韦达定理及其应用竞赛题(完整资料).doc
巧用韦达定理解一道竞赛题
数 学 通 讯 2001 年第 6 期
巧用韦达定理解一道竞赛题 3
胡如松
(湘乡市第一中学 ,湖南 湘乡 411400) 中图分类号 :O12 - 44 文献标识码 :A 文章编号 :0488 - 7395 (2001) 06 - 0046 - 01
题 给定实数 a , b , c , 已知复数 z 1 , z 2 ,
u3
=
z3 z1
,
则 u1 + u2 + u3 = 1
(1)
且| u1| = | u2| = | u3| = 1.
而
u1 u2 +
u2 u3
+
u3 u1
=
1 u1
+
1 u2
+
1 u3
= u1 + u2 + u3 = u1 + u2 + u3 = 1.
即 u1 u2 + u2 u3 + u3 u1 = 1
我在学习过程中发现有一些题目若用辅
助圆来解决则显得简捷 、明朗.
例
1
( 2000
年全国高考试题)
椭圆
x2 9
+
y2 4
=
1
的焦点为
F1 、F2 , 点
P 为其上的动
点 ,当 ∠F1 PF2 为钝角时 , 求点 P 横坐标的
取值范围.
收稿日期 :2000 - 09 - 09 作者简介 :胡如松 ( 1962 —) , 男 , 湖南双峰县人 , 湖南湘乡市第一中学高级教 师 ,学士.
(2)
同时易知 u1 u2 u3 = 1
(3)
由(1) , (2) , (3) 及韦达定理知 : u1 , u2 ,
初中数学竞赛：韦达定理(附练习题及答案)
初中数学竞赛：韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。
思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么ba ab +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。
思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。
【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。
九年级数学竞赛资料专题(四)——韦达定理的应用下
韦达定理的应用例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．(祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得x1＋x2＝－p，x1x2＝q．于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，即x1x2－x1－x2＋1＝199．∴(x1－1)(x2－1)＝199．注意到x1－1、x2－1均为整数，解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．于是x1x2＋x1＋x2＝11，即(x1＋1)(x2＋1)＝12．∵x1、x2为正整数，解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．故有m＝6或7．例3 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p ＋q＞1．(四川省初中数学竞赛试题)证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得α＋β＝p，αβ＝－q．于是p＋q＝α＋β－αβ，＝－(αβ－α－β＋1)＋1＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理〖大纲要求〗1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。
对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；2. 掌握韦达定理及其简单的应用；3. 会在实数范围内把二次三项式分解因式；4. 会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。
内容分析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac△＞0时，方程有两个不相等的实数根当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a(2) 如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0．3.二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C）6 （D）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。
韦达定理及其应用竞赛题
【内容综述】设一元二次方程 宀肚…。
佃弄°）有二实数根可和也，贝U “f 的关系, 为韦达定理。
其逆命题也成立。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中 数学竞赛中有着广泛的应用。
本讲重点介绍它在五个方面的应用。
【要点讲解】1. 求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
★★例1若a , b 为实数，且以+力十l = n , “ + 十1 = （］，求石打的值。
思路注意a , b 为方程Q +覽+1 = 0的二实根；（隐含A 土 0）。
解（1）当a=b 时，（2）当说护■^时，由已知及根的定义可知，a ，b 分别是方程*打"1二D 的两根，由韦 达定理得.b d _ 盘2 +於 _ ©4对'一M)_ [-餌一*1..—4 — ---- ---------- -- -------------------- - ----------------- -- /L? h ■说明此题易漏解a=b 的情况。
根的对称多项式对，工扌 程的系数表达出来。
一般地，设 可「丁为方程宀E = D 的二根，'-卅+对，则有递 推关系。
其中n 为自然数。
由此关系可解一批竞赛题。
附加：本题还有一种最基本方法即分别解出 a ，b 值进而求出所求多项式值，但计算量 较大。
★★★例2若榊3=疏+1 ,池27-1 = 口且聊5|,试求代数式也G思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。
解：因为 宀，由根的定义知m n 为方程*-z = 0的二不等实根，再由韦达定理,这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c称之 b 电等都可以用方的值。
-I-J1 = 1 規=一.+以=强+小晴+沪）5坏-旳知4i （用1尸一 2饷7 - 2伽尸[如+一加用伽+即）]-伽『（K1 +劝L J='[1^ -3（-l ）P 一_彳-1）.1]_（-1『.1彳十1 =332. 构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，贝U 可以利用韦达定理构造以这两个字母为 根的一元二次方程。
初三数学竞赛专题——韦达定理
初三数学竞赛专题——韦达定理一、选择题1．两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根，则b a a b +的值是( ) A ．9413B ．1949413C ．999413D ．979413 答案：B2．如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么b a a b +的值为( )A ．22123B ．22125或2C ．22125D ．22123或2(2001年TI 杯全国初中数学竞赛试题)答案：B3．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，3答案：C 4．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤1B ．m ≥43C ．143≤<mD ．43≤m ≤1答案：C5．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x答案：C6．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p 的值是( )A ．1B ．-lC ．21-D ．21 答案：C7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( )A ．23B ．25C ．5D ．2 答案：B二、填空题8．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ． (2003年天津市竞赛题)答案：5．9．(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 取值范围是 ．(2001年内蒙古中考题)(2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 ．(2003年四川省中考题)答案：（1）2135-≤<-m ；（2）7>m 10．CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ．(2003年金华市中考题)答案：611．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．(2002年四川省竞赛题) 答案：18211≤<m ． 12．已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 ．(2002年湖北省黄冈市中考题)答案：一313．已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ． (2001年浙江省绍兴市竞赛题)答案：014．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ．(“祖冲之杯”邀请赛试题)答案：30，2三、解答题15．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ．(1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值． 答案：（1）125≤k ；（2）0=k ． 16．已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．(2002年苏州市中考题)答案：（1）△=02)1(22>+-m ；（2）4=m ，51±=x ；0=m ，01=x ，22-=x17．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD ＝m ，BD=n ，AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．答案：1222===n m BD AD BC AC ，即m=2n ①，△=4n 2一m 2—8n 十16>0 ②，把①代人②得，n ≤2．又222119)(<-x x ，得4n 2一m 2—8n+4<0③，把①代人③，得n>21，∴221≤<n ， ∴n=l ，2，从而得m=2或4．18．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2)求22212111x mx x mx -+-的最大值．(全国初中数学联赛题) 答案：（1）2175-=m ；（2）原式=25)23(22--m ，当1-=m 时，最大值为10．19．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的长为10，且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根．(1)求rn 的值；(2）若E 是AB 上的一点，CF ⊥DE 于F ，求BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面积的31，请说明理由．答案：（1）m=8；（2）BE=2．20．设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值．(第十六届江苏省竞赛题) 答案：当32=m 时，2221x x +有最小值，这个最小值为98 21．已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根． (1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由．(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长． (2003年哈尔滨市中考题) 答案：（1）当m=2时，△=0，∴AB ∥CD 且AB=CD ，故四边形ABCD 是平行四边形．当m>2时，△=m 一2>0，又AB+CD ＝2m>0，047)21(2>+-=⋅m CD AB ，∴AB ≠CD ，而AB ∥CD ，故四边形ABCD 是梯形．（2）12121=-=AB DC PQ ，∴2=-AB DC ，∵AB DC BC DC AB DC ⋅-+=-4)()(22 ，∴)2(4)2(2222+--=m m m ，解得3=m ，从而AB=2，CD=4．22．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程和012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实数根，并且使方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实数根，试求c b a ++的值．(2000年俄罗斯数学竞赛题)答案：设01121=++ax x ，0121=++c bx x ，得b a c x --=11，由0222=++a x x ，0222=++b cx x ，得12--=c b a x （c ≠1），故121x x =．另一方面由韦达定理知11x 是第一个方程的根，这就表明2x 是方程012=++ax x 和02=++a x x 的公共根．因此两式相减有0)1)(1(2=--x a ，但当1=a 时，这两个方程无实根，故x 2=l ，从而x 1=l ，于是2-=a ，1-=+c b ，所以3-=++c b a23．关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确? 答案：由条件得14)(2+=+ab b a ，又△=0434)(92≥⨯⨯-+ab b a ，∴ab b a 316)(2≥+，即ab ab 31614≥+，∴4ab ≤3，从而4ab+1≤4．即(a+b)2≤4．。
应用高次方程的韦达定理解竞赛题
早维■地2021年第3期-------------------中学数学教学参考（上旬）应用高次方程的韦达定理解竞赛题焦和平（西北工业大学附属中学)文章编号：1002-2171(2021)3-0077-02若关于工的一元”次方程H----h a p+a^CKa^^O)在复数集中的72个根为x!，x2，…，〜，则有2X iXK«'<><"〉:JC i〇C jJC k1an__/__-|n n^0X\X2....:c…=C—1) —〇a…这就是一元n次方程根与系数的关系，亦称韦达 定理，它在多项式问题中有着广泛的应用。
本文举例 说明它在数学竞赛中的应用，供参考。
例1已知a，6,c是三个互不相等的实数，解关 于:c，：y，2：的方程组X=1,X_y y z=1，¥b^+~bX=l〇[7-^+7解析：观察三个方程的结构特征，易知a，6，c是关于f的方程&—#+子=1，即—工=〇的根。
由韦达定理得原方程的解为工=以(：，3；=以+ ^c+ca，z=<2+6+c。
说明：本题的结构比较明显，容易构造一个根为 a，6，c的一兀三次方程。
例2 (2019年白俄罗斯数学奥林匹克试题）设a，6，c为正实数，函数 /(:r)=x3+a:c2+26:r—1 有三 个不同的零点，函数g(x)=2x2+26:r+a没有零点。
证明：a—6>1。
解析：设函数/(：r)的三个零点为^，x2，x3，则由韦达定理，得 A+:c2+13=—+:c2<r3+X3A=所以 x?=O i+:r2+:c3)2—2 (4X2+工2工3 +工3工1 ) =a2 —4心。
由均值不等式，得V —从=X? +d +d > 33v/^vrixT=3〇又由 g(«r)无零点，得 462—8a<0,即 2a—62〉0。
两式相加，得 a2—46+(2a—62)>3,即（a+1)2—(6+2)2〉0,亦即（a+6+3)(a一b_1)〉0。
韦达定理全面练习题及答案
1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ）(A )－31 (B) 31(C )3 (D) －34、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（） (A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21(B) －6 (C ) 21 (D) －257、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．答案：。
数学竞赛专题之韦达定理练习
数学竞赛专题之韦达定理练习一．选择题（共9小题）3．如果a，b为质数，且a2﹣13a+m=0，b2﹣13b+m=0，那么的值为（）．或2 C D．或24．设x1，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p，q的值分5．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程x﹣7x+c+7=0的两根，．C6．方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1、x2，则的值是（）D．7．两个质数a、b恰好是整系数方程x2﹣99x+m=0的两个根，则的值是（）C D．D．＜m≤1 D．≤m≤110．已知α、β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根，则代数式α2+α（β2﹣2）的值为_________．11．（1）已知x1和x2为一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0的两个实根，并x1和x2满足不等式，则实数m取值范围是_________；（2）已知关于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m﹣7=0有两个负数根，那么实数m的取值范围是_________．12．已知α、β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3﹣α2β﹣αβ2+β3=0，求证：p=0，q＜0．13．CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程x2﹣6x+4=0的两根，则△ABC的面积为_________．14．已知方程x2+px+q=0的两根均为正整数，且p+q=28，那么这个方程两根为_________．15．已知α、β是方程x2﹣x﹣1=0的两个根，则α4+3β的值为_________．16．△ABC的一边为5，另外两边的长恰好是方程2x2﹣12x+m=0的两个根，则m的取值范围_________．三．解答题（共5小题）17．已知关于x的方程（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|=|x1|+2，求m的值及相应的x1、x2．18．设x1、x2是方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2=0的两个实根，当m为何值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值．19．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0（1）k取什么值时，方程有两个实数根；（2）如果方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求k的值．20．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值．21．设a、b、c为三个不同的实数，使得方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实数根，并且使方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实数根，试求a+b+c的值．数学竞赛专题之韦达定理练习参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）y= y=3．如果a，b为质数，且a2﹣13a+m=0，b2﹣13b+m=0，那么的值为（）或2 D或2，则∴4．设x1，x2是关于x的方程x+px+q=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x+qx+p=0的两根，则p，q的值分解得．边上的中线长是．6．方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1、x2，则的值是（）D∴﹣7．两个质数a、b恰好是整系数方程x2﹣99x+m=0的两个根，则的值是（）D ∴+，∴=，故选D2＜m≤1 D≤m≤1＞∴22211．（1）已知x1和x2为一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0的两个实根，并x1和x2满足不等式，则实数m取值范围是﹣＜m≤；2．=∵，∴＞﹣﹣；∴故答案为﹣≤∴，CD=×16．△ABC的一边为5，另外两边的长恰好是方程2x2﹣12x+m=0的两个根，则m的取值范围＜m≤18．，；＜三．解答题（共5小题）17．已知关于x的方程（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根；，（，≤，．2222=2+≤∴﹣＞×+=19．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0（1）k取什么值时，方程有两个实数根；（，∴时，方程有两个实数根；k=时，有＞k=矛盾，k=20．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x+2（m﹣2）x+m﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值．∴，∴=21．设a、b、c为三个不同的实数，使得方程x+ax+1=0和x+bx+c=0有一个相同的实数根，并且使方程x+x+a=0 2（，∴。
一元二次方程-韦达定理的应用及答案
一元二次方程韦达定理的应用知识点：一元二次方程根的判别式 ：当△>0 时________方程_____________，当△=0 时_________方程有_______________ ，当△<0 时_________方程___________ .韦达定理的应用：1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值3.已知方程两根满足某种关系， 确定方程中字母系数的值4.已知两数的和与积， 求这两个数例 1.关于 x 的一元二次方程 2223840x mx m m --+-=.求证： 当 m>2 时,原方程永远有两个实数根.例 2.已知关于 x 的方程22(1)10kx x x k -++-=有两个不相等的实数根.(1)求 k 的取值范围;(2)是否存在实数 k ， 使此方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在， 求出 k 的值;若不存在， 说明理由.例 3.已知关于 x 的方程222(3)410x k x k k --+--=(1)若这个方程有实数根， 求 k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为 1， 求 k 的值;例 4.已知关于 x 的一元二次方程21(2)302x m x m +-+-= (1)求证： 无论m 取什么实数值， 这个方程总有两个不相等的实数根。
(2)若这个方程的两个实数根12,x x 满足1221x x m +=+， 求 m 的值。
例 5.当 m 为何值时， 方程28(1)70x m x m --+-=的两根：(1) 均为正数; (2)均为负数; (3)一个正数， 一个负数; (4)一根为零; (5)互为倒数; (6)都大于 2.例 6.已知 a,b,c,是△ ABC 的三边长， 且关于 x 的方程 22(1)2(1)0b x ax c x --+-=有两个相等的实根，求证： 这个三角形是直角三角形。
例 7.若 n>0 ，关于 x 的方程21(2)04x m n x mn ---=有两个相等的正的实数根， 求m n的值。
初中物理竞赛：韦达定理(附练习题及答案)
初中物理竞赛：韦达定理(附练习题及答案)韦达定理是物理学中的一个重要定理，用于求解力学问题。
它是基于能量守恒和功的定义推导出来的。
韦达定理的表达式为：\[W = \Delta KE \]其中，W表示外力做的功，\(\Delta KE\)表示物体动能的变化。
韦达定理可以应用于各种力学问题，帮助我们分析和计算物体的运动情况和动能的变化。
下面是一些韦达定理的练题及答案，供参考：1. 一个质量为2kg的物体在力为10N的作用下沿着力的方向移动了5m，求外力所做的功。
解答：根据韦达定理，外力做的功等于物体动能的变化。
由于力与物体的位移方向相同，所以力做正功。
根据韦达定理的表达式，可以得到：\[W = \Delta KE\]由于物体的质量和加速度未知，无法直接计算动能的变化。
但我们可以利用力和位移的关系求出力所做的功。
根据功的定义，可以得到：\[W = F \cdot s\]代入已知的数值可以计算出外力所做的功：\[W = 10N \cdot 5m = 50J\]所以外力所做的功为50焦耳。
2. 一个质量为1kg的物体从静止开始，受到一个恒力为5N的作用力，沿着力的方向移动了10m，求外力所做的功和物体的末速度。
解答：根据韦达定理，外力做的功等于物体动能的变化。
由于力与物体的位移方向相同，所以力做正功。
根据韦达定理的表达式，可以得到：\[W = \Delta KE\]由于物体的初始速度为零，加速度未知，无法直接计算动能的变化。
但我们可以利用力和位移的关系求出力所做的功。
根据功的定义，可以得到：\[W = F \cdot s\]代入已知的数值可以计算出外力所做的功：\[W = 5N \cdot 10m = 50J\]所以外力所做的功为50焦耳。
根据动能定理，可以得到：\[W = \Delta KE = \frac{1}{2} mv^2 - 0\]由此可以求解出物体的末速度：\[50 = \frac{1}{2} \cdot 1kg \cdot v^2\]\[v^2 = 100\]\[v = 10m/s\]所以物体的末速度为10米每秒。
韦达定理练习题(含答案)
韦达定理练习题一．填空题（共16小题）1．方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为．2．已知实数x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则x1x2＝．3．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则ab﹣2022a﹣2022b的值是．4．设x1、x2是方程x2﹣mx＝0的两个根，且x1+x2＝﹣3，则m的值是．5．若m，n是方程x2+2021x﹣2022＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值为．6．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α、β，则αβ﹣α﹣β的值为．7．已知α，β是一元二次方程x2﹣x﹣9＝0的两个实数根，则代数式α2﹣2α﹣β+3的值为．8．设a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a3+a2+3a+2024b＝．9．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的根，则的值是．10．α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为．11．关于x的一元二次方程3x2﹣10x﹣17＝0的两个根分别为x1和x2，则＝．12．已知a，b是关于x的一元二次方程x2+（m+3）x﹣2＝0的两个不相等的实数根，且满足＝﹣1，则m的值是．13．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则mn+m+n＝．14．已知m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，则式子的值是．15．已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣x22+4x2的值为．16．关于x的一元二次方程x2﹣kx+4＝0的两个实数根分别是x1、x2，且满足x12+x22﹣2x1﹣2x2﹣7＝0，则k的值为．二．解答题（共4小题）17．已知关于x的方程2x2+2kx+k﹣1＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求方程的另一个根．18．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．（1）证明无论k取何值时方程总有两个实数根．（2）△ABC中，BC＝5，AB、AC的长是这个方程的两个实数根，求k为何值时，△ABC 是等腰三角形？19．已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣4＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，且x1＝3x2，求m的值．20．阅读材料并解决下列问题：材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求+的值．解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n＝1，mn＝﹣1，∴+＝＝＝＝﹣3．根据上述材料解决下面的问题：（1）一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）已知实数m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p，q满足p2＝7p﹣2，2q2＝7q﹣1，且p≠2q，求p2+4q2的值．参考答案与试题解析一．填空题（共16小题）1．方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为﹣1．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接可得答案．【解答】解：∵方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．2．已知实数x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则x1x2＝﹣1．【分析】根据根与系数的关系解答．【解答】解：∵方程x2+x﹣1＝0中的a＝b＝1，c＝﹣1，∴x1x2＝＝﹣1．故答案是：﹣1．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．3．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则ab﹣2022a﹣2022b的值是2019．【分析】由a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系即可求出两根之和和两根之积，代入代数式即可求解．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣3．∴ab﹣2022a﹣2022b＝ab﹣2022（a+b）＝﹣3﹣2022×（﹣1）＝2019，故答案为：2019．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．4．设x1、x2是方程x2﹣mx＝0的两个根，且x1+x2＝﹣3，则m的值是﹣3．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝m，而x1+x2＝﹣3，所以m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．5．若m，n是方程x2+2021x﹣2022＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值为1．【分析】利用根与系数的关系可得出m+n＝﹣2021，mn＝﹣2022，再将其代入m+n﹣mn 中即可求出结论．【解答】解：∵m，n是方程x2+2021x﹣2022＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣2021，mn＝﹣2022，∴m+n﹣mn＝﹣2021﹣（﹣2022）＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．6．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α、β，则αβ﹣α﹣β的值为﹣2．【分析】根据根与系数的关系得到α+β＝3，αβ＝1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据根与系数的关系得到α+β＝3，αβ＝1，所以αβ﹣α﹣β＝αβ﹣（α+β）＝1﹣3＝﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．7．已知α，β是一元二次方程x2﹣x﹣9＝0的两个实数根，则代数式α2﹣2α﹣β+3的值为11．【分析】利用一元二次方程的根及根与系数的关系可得出α2﹣α＝9，α+β＝1，再将其代入α2﹣2α﹣β+3＝α2﹣α﹣（α+β）+3中即可求出结论．【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣x﹣9＝0的两个实数根，∴α2﹣α﹣9＝0，α+β＝1，∴α2﹣α＝9，所以α2﹣2α﹣β+3＝α2﹣α﹣（α+β）+3＝9﹣1+3故答案为：11．【点评】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根及根与系数的关系，找出α2﹣α＝9，α+β＝1是解题的关键．8．设a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a3+a2+3a+2024b＝﹣2024．【分析】先根据一元二次方程根的定义得到a2＝﹣a+2021，再用a表示a3得到a3＝2022a ﹣2021，所以原式变形为2024（a+b），接着根据根与现实的关系得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a为x2+x﹣2021＝0的根，∴a2+a﹣2021＝0，即a2＝﹣a+2021，∴a3＝a（﹣a+2021）＝﹣a2+2021a＝a﹣2021+2021a＝2022a﹣2021，∴a3+a2+3a+2024b＝2022a﹣2021﹣a+2021+3a+2024b＝2024（a+b），∵a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，∴a3+a2+3a+2024b＝2024×（﹣1）＝﹣2024．故答案为：﹣2024．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．9．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的根，则的值是﹣1．【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，把求出的两根之和与两根之积代入计算，即可求出值．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣1，∴＝＝＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题10．α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为﹣4．【分析】α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝4，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x+k﹣1＝0的根，∴α2﹣α+k﹣1＝0，α+β＝1，∴α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝﹣k+1﹣1＝﹣k＝4，∴k＝﹣4，故答案是：﹣4．【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．11．关于x的一元二次方程3x2﹣10x﹣17＝0的两个根分别为x1和x2，则＝．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再由进行求解即可．【解答】解：∵一元二次方程3x2﹣10x﹣17＝0的两根是x1，x2，∴，，∴．故答案是：．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．12．已知a，b是关于x的一元二次方程x2+（m+3）x﹣2＝0的两个不相等的实数根，且满足＝﹣1，则m的值是﹣5．【分析】根据根与系数的关系结合＝﹣1，即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，再由根的判别式Δ＞0，即可确定m的值．【解答】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2+（m+3）x﹣2＝0的两个不相等的实数根，∴a+b＝﹣（m+3），ab＝﹣2，∵＝﹣1，即＝＝﹣1，解得：m＝﹣5．∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝（m+3）2﹣4×（﹣2）＝（m+3）2+8＞0，∴m＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合＝﹣1，找出关于m的方程是解题的关键．13．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则mn+m+n＝﹣7．【分析】根据根与系数的关系得到m+n＝﹣2，mn＝﹣5，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：根据题意得：m+n＝﹣2，mn＝﹣5，所以mn+m+n＝﹣5+（﹣2）＝﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．14．已知m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，则式子的值是27．【分析】利用一元二次方程解的定义和根与系数的关系，采用整体代入求解．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，∴m2＝3m+2，n2﹣2＝3n，m+n＝3，∴m3﹣10m+n＝m（3m+2）﹣10m+n＝3m2﹣8m+n＝3（3m+2）﹣8m+n＝m+n+6＝3+6＝9，n﹣＝＝＝3，原式＝9×3＝27．故答案为：27．【点评】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，利用整体思想代入求值是解题的关键．15．已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣x22+4x2的值为4．【分析】利用一元二次方程解的定义得到x12＝2x1+2，x22＝2x2+2；然后由根与系数的关系求得x1+x2＝2；最后代入所求的代数式求值即可．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，∴x12＝2x1+2，x22＝2x2+2，x1+x2＝2．∴x12﹣x22+4x2＝（2x1+2）﹣（2x2+2）+4x2＝2（x1+x2）＝2×2＝4．故答案是：4．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．16．关于x的一元二次方程x2﹣kx+4＝0的两个实数根分别是x1、x2，且满足x12+x22﹣2x1﹣2x2﹣7＝0，则k的值为5．【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝k，x1x2＝4，再把已知的条件进行整理，整体代入运算即可求解．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0的两个实数根分别是x1、x2，∴x1+x2＝k，x1x2＝4，∵x12+x22﹣2x1﹣2x2﹣7＝0，∴（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）﹣7＝0，∴k2﹣2×4﹣2k﹣7＝0，整理得：k2﹣2k﹣15＝0，解得：k＝5或k＝﹣3，当k＝﹣3时，Δ＝32﹣4×1×4＝9﹣16＝﹣7＜0，则原方程无实数解，故k＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系并灵活运用．二．解答题（共4小题）17．已知关于x的方程2x2+2kx+k﹣1＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求方程的另一个根．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ4（k﹣1）2+4＞0，由此可证出方程有两个不相等的实数根；（2）把x＝﹣1代入方程，求得k＝1，即可得出2x2+2x＝0，然后解方程即可求出方程的另一个根．【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝（2k）2﹣4×2×（k﹣1）＝4k2﹣8k+8＝4（k﹣1）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x＝﹣1是该方程的一个根，∴2﹣2k+k﹣1＝0，解得k＝1，∴方程为2x2+2x＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝0，∴方程的另一个根为x＝0．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”．18．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．（1）证明无论k取何值时方程总有两个实数根．（2）△ABC中，BC＝5，AB、AC的长是这个方程的两个实数根，求k为何值时，△ABC 是等腰三角形？【分析】（1）表示出方程根的判别式，根据根的判别式的正负即可确定出方程根的情况；（2）由（1）得到AB≠AC，分AC＝BC与AB＝BC两种情况求出k的值即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0，∴无论k取何值时方程总有两个实数根．（2）解：∵方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的解为：x＝＝，即x1＝k+2，x2＝k+1，∵AB、AC是方程的两个实数根，∴AB≠AC，∵BC＝5，∴当k+2＝5，或k+1＝5时，△ABC是等腰三角形，∴k＝3或4，故当k为3或4时，△ABC是等腰三角形．【点评】此题考查了根与系数的关系，涉及的知识有：一元二次方程根与系数的关系，根的情况判断，以及等腰三角形的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣4＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，且x1＝3x2，求m的值．【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，判断Δ与0的关系．（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，再利用x1＝3x2形成关于m 的方程，然后求解即可．【解答】（1）证明：关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣4m，c＝4m2﹣4．∴Δ＝（﹣4m）2﹣4×1×（4m2﹣4）＝16＞0．∴此方程有两个不相等的实数根；（2）解：若此方程的两个根分别为x1，x2，由题意得，x1+x2＝4m，x1x2＝4m2﹣4．∵x1＝3x2，∴3x2+x2＝4m，即x2＝m，∴x1＝3m，∴3m•m＝4m2﹣4，即m2＝4，解得m＝±2．当m＝﹣2时，x1＝﹣6，x2＝﹣2．此时x1＜x2，不符合题意．∴m＝﹣2舍去故m的值为2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，及根与系数的关系，根据根与系数的关系及两个根的关系得到方程中有关参数的方程是解题的关键．20．阅读材料并解决下列问题：材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求+的值．解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n＝1，mn＝﹣1，∴+＝＝＝＝﹣3．根据上述材料解决下面的问题：（1）一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣．（2）已知实数m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p，q满足p2＝7p﹣2，2q2＝7q﹣1，且p≠2q，求p2+4q2的值．【分析】（1）5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，则x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．（2）由题意m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的两个不等的实数根，由此可得结论；（3）由题意知p与2q即为方程x2﹣7x+2＝0的两个不等的实数根，由此可得结论．【解答】解：（1）在5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，∴x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．故答案为：﹣2，﹣；（2）∵m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，m≠n，∴m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的两个不等的实数根，∴m+n＝1，mn＝﹣，∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣×1＝﹣；（3）由题意知p与2q即为方程x2﹣7x+2＝0的两个不等的实数根，∴p+2q＝7，2pq＝2，∴p2+4q2＝（p+2q）2﹣4pq＝72﹣2×2＝45．【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．。
韦达定理全面练习题及答案
1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ）(A )－31 (B) 31(C )3 (D) －34、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（） (A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21(B) －6 (C ) 21 (D) －257、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．答案：。
韦达定理及其应用竞赛题
韦达定理及其应用竞赛题(共7页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-韦达定理及其应用【内容综述】设一元二次方程有二实数根，则，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。
其逆命题也成立。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。
本讲重点介绍它在五个方面的应用。
【要点讲解】1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
★★例1若a，b为实数，且，，求的值。
思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。
解（1）当a=b时，；（2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得， ab=1.说明此题易漏解a=b的情况。
根的对称多项式，，等都可以用方程的系数表达出来。
一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。
其中n为自然数。
由此关系可解一批竞赛题。
附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。
★★★例2若，且，试求代数式的值。
思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。
解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定理，得，∴2．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。
（1）试求以和为根的一元二次方程；（2）若以和为根的一元二次方程仍为。
求所有这样的一元二次方程。
解（1）由韦达定理知，。
，。
所以，所求方程为。
（2）由已知条件可得解之可得由②得，分别讨论（p,q）=(0,0)，(1,0)，(1-)。
-,0)，(0,1)，(2,1)，(2-,1)或(0, 1于是，得以下七个方程，，，，，0-，其中0x2=11x2=+无实数根，舍去。
其余21xx2=++，0六个方程均为所求。
3．证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。
九年级数学竞赛资料专题(三)——韦达定理的应用上
韦达定理的应用一、典型例题例1：已知关于x 的方程2x －（m ＋1）x ＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。
解：设另一个根为x 1，则相加，得531-=x例2：已知方程x －5x ＋8=0的两根为x 1，x 2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和.解：∵ 又 ∴代入得， ∴新方程为例3：判断是不是方程9x －10x －2=0的一个实数根？ 解：∵二次实数方程实根共轭，∴若是，则另一根为 ∴，。
∴以为根的一元二次方程即为.例4：解方程组解：设∴.∴A=5. ∴x-y=5 又xy=-6.∴解方程组∴可解得例5：已知Rt ABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S的值解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b，则2。
又a，b为方程两根。
∴ab=4m（m-2）∴S但a，b为实数且∴∴∴m=5或6 当m=6时，∴m=5 ∴S.例6：M 为何值时，方程8x －（m －1）x ＋m －7=0的两根① 均为正数 ②均为负数 ③一个正数，一个负数 ④一根为零 ⑤互为倒数解：①∵ ⎪⎩⎪⎨⎧+≥∆02121＞＞x x xx ∴m>7 ②∵∴不存在这样的情况。
③∴m<7 ④∴m=7 ⑤∴m=15.但使∴不存在这种情况【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根，则m＋n等于2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋，可求得p= ,q=3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48，则m的值为（）A．±8 B.8 C.－8 D.±44. 已知两个数的和比a少5，这两个数的积比a多3，则a为何值时，这两个数相等？5. 已知方程（a＋3）x＋1=ax有负数根，求a的取值范围。
6. 已知方程组的两组解分别为，，求代数式a1b2+a2b1的值。
7. ABC中，AB=AC， A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,b和c是关于x 的方程x＋mx＋2－m=0的两个实数根，求ABC的周长。
韦达定理全面练习题及答案 (1)
1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ） (A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）(A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ）(A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 7、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 答案：。
韦达定理练习题
韦达定理练习题一、选择题A. x1 + x2 = b/aB. x1 x2 = b/aC. x1 x2 = √(b^2 4ac)/aD. x1 x2 = c/a2. 已知一元二次方程x^2 5x + 6 = 0的两根为x1和x2，则x1 x2的值为？A. 5B. 6C. 5D. 63. 若一元二次方程2x^2 4x + 1 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2的值为？A. 2B. 4C. 2D. 4二、填空题1. 已知一元二次方程x^2 3x + 2 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = ______，x1 x2 = ______。
2. 若一元二次方程3x^2 6x + 2 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = ______，x1 x2 = ______。
3. 已知一元二次方程4x^2 + 8x 9 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = ______，x1 x2 = ______。
三、解答题1. 已知一元二次方程x^2 (2a+1)x + a^2 = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
2. 设一元二次方程x^2 (k+3)x + 2k = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
3. 已知一元二次方程x^2 (a+b)x + ab = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
4. 若一元二次方程x^2 (m+n)x + mn = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
5. 已知一元二次方程x^2 (2a1)x + a^2 a = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
四、应用题1. 在一个一元二次方程中，两根的和是10，两根的积是21，请写出这个方程。
2. 如果一元二次方程的两根分别是方程系数的倒数，且两根的积是1/6，求这个方程。
3. 有一个一元二次方程，它的两根的和是它们积的3倍，且两根的积是12，求这个方程。
韦达定理全面练习题及答案
韦达定理全面练习题及答案
下面是几道关于韦达定理的练题及答案，供大家练和参考。
问题一
已知两边长为18cm和24cm的直角三角形的斜边是多少？
答案：
根据韦达定理，直角三角形的斜边的平方等于其他两边的平方和。
因此，斜边长为：
√(18^2 + 24^2) = √(324 + 576) = √900 = 30cm
问题二
已知一个平行四边形的两边长分别为10cm和15cm，以及对角线之间的夹角为60度，求另外两边长。
答案：
根据韦达定理，平行四边形的两对角线长度的平方和等于平行四边形的两边长度的平方和的两倍。
因此，另外两边长分别为：
√(10^2 + 15^2 - 2 * 10 * 15 * cos(60°)) = √(100 + 225 - 300 * 0.5) = √(100 + 225 - 150) = √175 = 5√7 cm
问题三
已知一个三角形的边长分别为7cm、8cm和9cm，求其面积。
答案：
根据海伦公式，已知三角形的三条边长可以计算出其面积。
公式如下：
面积= √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))
其中，s = (a + b + c) / 2 是三角形的半周长，而a、b和c分别是三角形的三条边长。
带入已知边长，可以计算出面积：
面积= √(12 * (12 - 7) * (12 - 8) * (12 - 9)) = √(12 * 5 * 4 * 3) = √720 = 12√5 cm²。
初三奥数：韦达定理在竞赛中的应用
韦达定理在初中数学竞赛题中的应用设一元二次方程 ax 2bx c 0(a 0) 的两根为 x 1、 x 2 ，则 x 1 x 2b ，x 2 c这个定理叫韦达定理。
ax 1a韦达定理是初中数学竞赛的重点内容， 题型多样， 方法灵活，触及知识面广。
例 1、 已知实数 a b ，且满足 (a1) 2 3 3(a 1) ， 3(b 1) 3 (b 1) 2则bba a的值为（）（2004 年全国初中数学竞赛试题第 1 题）ab（A ）23 （ B ） -23 （C ）-2（D ）-13解：∵ a 、 b 是关于 x 的方程 ( x 1)23( x1) 3 0 的两个不相等的实数根，整理此方程，得x 25x1 0 ，∵△ =25-4>0∴ a b5， ab 1故 a 、 b 均为负数。
因此bbaab ab a ab = a 2b 2ab = ( a b) 22ab23a ba babab所以选（ B ）例 2、实数 s.t 分别满足 19s 299s 10, t 2 99t 19 0, st1，求st4s 1 的值。
19 0 可化为 19(1)299(1) 1 t解：由题设知 t0 ，∴ t 2 99t 01t t又 st 1，∴ st∴ s ， 1是方程 19x 2 99x 10 的两个不相等的实数根。
t ∴ s199 ， s 11t 19t19st 4s 1 = s 1 4s 1 = 99 4 1=95= 5。
tt t 19 19 19例 3、若 ab 1 ，且有 5a 2 2001a 9 0,9b 22001b5 0 ，则 a的值是（）b（A ）9（B ）5（C ）2001 （D ） 20015 959解：由题设知 b0 ，∴9b22001b 5 0可化为520019 0 b2b又∵ 5a22001a 90 ，且ab 1 ，∴ a, 1是方程5x22001x 90 的两个不相等的实数根。
b∴ a 1=a9 b b5所以选（ A）例 4、已知3m22m50,5n22n30 ，其中 m.n 为实数，求 m 1的值。
九年级数学竞赛题：韦达定理
九年级数学竞赛题：韦达定理一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 求根公式是：1x =1x a ba b a ac b b ac b b x x -=-=---+-+-=+2224)(42221ac a ac a ac b b x x ==---=⋅2222221444)4()(这表明一元二次方程两根的和与积，可用一元二次方程系数表示，“acx x a b x x =-=+2121,”被称为一元二次方程的根与系数的关系，常常被称为韦达定理，这是因为该定理是16世纪最杰出的数学家韦达发现的．韦达定理简单的形式里包含了丰富的数学内容，在以下方面有广泛的应用： （1）求代数式的值；（2）确定方程中参数的值；（3）结合根的判别式，讨论根的符号特征； （4）逆用构造一元二次方程辅助解题等．例1 （1）若方程042=+-c x x 的一个根为2_______，c =______． （2）已知方程0532=-+x x 的两根为x 1、x 2，则=+2221x x _________．（3）已知α、β是方程0522=-+x x 的两个实数根，则ααβα22++的值为__________．例2 若关于x 的一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实数根为x 1、x 2，且42121-+>x x x x ，则实数m 的取值范围是（ ）．A 、35->m B 、21≤m C 、35-<m D 、2135≤<-m 例3 已知关于x 的方程0122=-+-m mx x 的两个实数根的平方和为23，求m 的值． 例4已知关于x 的一元二次方程)0(02=/=-+a a x ax （1）求证：对于任意非零实数a ，该方程恒有不等两实根； （2）设x 1、x 2 是该方程的两个根，若a x x 求,4||||21=+的值．例5（1）△ABC 的一边长为5，另两边长恰为01222=+-m x x 的两根，求m 的取值范围． （2）已知1≠xy ，且有yxy y x x 求,0520019,092001522=++=++的值． （3）已知x 、y 均为实数，且满足17=++y x xy ，6622=+xy y x ，求432234y xy y x y x x ++++的值．1．若x 1、x 2是方程0132=+-x x 的两个实数根，则2111x x +的值是____________． 2．已知关于x 的方程032=+-m x x 的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为___________． 3．已知关于x 的方程02)(2=-++-ab x b a x ，x 1、x 2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：（1）21x x =/，（2）ab x x >21，（3）222221b a x x +>+，则正确结论的序号是__________． （在横线上填上所有正确结论的序号）．4．已知x 1、x 2是方程032=--x x 的两根，那么2221x x +的值是（ ）． A ．1 B ．5 C ．7 D ．7495．已知α、β是关于x 的一元二次方程0)32(22=+++m x m x 的两个不相等的实数根，且满足111-=+βα，则m 的值是（ ）．A ．3或-1B ．3C ．1D ．-3或16．在Rt △ABC 中c b a C 、、,90 =∠分别是∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边，b a 、是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长为（ ）． A ．23 B ．25C ．5D ．2 7．已知关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-k x k kx 有两个不相等的实数根x 1、x 2 ． （1）求k 的取值范围； （2）是否存在实数k ，使11121=+x x 成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．8．已知关于x 的一元二次方程0241)2(22=-++-m x m x ． （1）当m 为何值时，这个方程有两个相等的实数根；（2）如果这个方程的两个实数根x 1、x 2 满足182221=+x x ，求m 的值．9．若整数m 使方程020062=++-m mx x 的根为非零数，则这样的整数m 的个数为___________．10．设x 1、x 2是方程02)1(222=+++-k x k x 的两个实数根，且8)1)(1(21=++x x ，则k 的值是___________．11．已知1=/ab 且 有08199552=++a a 及05199582=++b b ，则=ba___________． 12．已知实数b a =/，且满足22)1(3)1(3),1(33)1(+-=++-=+b b a a ，则baaa b b +的值为（ ）．A ．23B ．-23C ．-2D ．-1313．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（ ）． A ．10≤≤m B ．43≥m C ．143≤<m D ．143≤≤m14．若一元二次方程02=++q Px x 的两个根为p 、q ，则pq 等于（ ）． A ．0 B ．1 C ．0或-2 D ．0或115．已知关于x 的方程0122=++px x 的两个实数根一个大于1，另一个小于1，求实数p 的取值范围．16．已知x 、y 是正整数，并且的值求2222,120,23y x xy y x y x xy +=+=++．17．已知四边形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，过P 作D EF AD MN C //,//，分别交AB 、CD 、AD 、BC 于点M 、N 、E 、F ，设PF PN b PE PM a ⋅=⋅=,解答下列问题：（1）当四边形ABCD 是矩形时，见图1，请判断a 与b 的大小关系，并说明理由； （2）当四边形ABCD 是平行四边形，且∠ A 为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）在（2）的条件下，设,k PDBP=是否存在这样的实数k ，使得94ABD PEAM =∆S S 平行四边形? 若存在，请求出满足条件的所有是的值；若不存在，请说明理由．。
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韦达定理及其应用
【内容综述】
设一元二次方程有二实数根，则，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。
其逆命题也成立。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。
本讲重点介绍它在五个方面的应用。
【要点讲解】
1．求代数式的值
应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
★★例1若a，b为实数，且，，求
的值。
思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。
解（1）当a=b时，
；
（2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得
，ab=1.
说明此题易漏解a=b的情况。
根的对称多项式，，等都可以用方程的系数表达出来。
一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。
其中n为自然数。
由此关系可解一批竞赛题。
附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。
★★★例2若，且，试求代数式
的值。
思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。
解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定理，得
，
∴
2．构造一元二次方程
如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。
（1）试求以和为根的一元二次方程；
（2）若以和为根的一元二次方程仍为。
求所有这样的一元二次方程。
解（1）由韦达定理知
，。
，。
所以，所求方程为。
（2）由已知条件可得
解之可得由②得，分别讨论
（p,q）=(0,0)，(1,0)，(1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2-,1)或(0, 1-)。
于是，得以下七个方程，，，，，0
x2=
x2
1
x2=
+无实数根，舍去。
-，其中0
1
+
x2=
+，0
1
其余六个方程均为所求。
3．证明等式或不等式
根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。
★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。
证明由已知得，。
根据韦达定理的逆定理知，以a，b为根的关于x的实系数一元二次方程为
①
由a，b为实数知此方程有实根。
∴0
c2=，故c=0，从而。
这表明①有两个相等实根，即有a=b。
说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。
另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。
此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。
4．研究方程根的情况
将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。
关于方程的实根符号判定有下述定理：
⑴方程有二正根，ab<0，ac>0；
⑵方程有二负根，ab>0，ac>0；
⑶方程有异号二根，ac<0；
⑷方程两根均为“0”，b=c=0，；
★★★例5设一元二次方程的根分别满足下列条件，试求实数a的范围。
⑴二根均大于1；
⑵一根大于1，另一根小于1。
思路设方程二根分别为，，则二根均大于1等价于
和同时为正；一根大于1，另一根小于是等价于和异号。
解设此方程的二根为，，则
，。
⑴方程二根均大于1的条件为
解之得
3
a
7-
≤
<
-
⑵方程二根中一个大于1，另一个小于1的条件为
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
+
-
-
-
=
-
-
>
-
-
=
∆
.0
1
)a2
(
a
6
)1
x
)(
1
x(
,0
)a
6(4
a4
2
1
2
解之得。
7
a-
<。
说明此例属于二次方程实根的分布问题，注意命题转换的等价性；解题过程中涉及二次不等式的解法，请参照后继相关内容。
此例若用二次函数知识求解，则解题过程极为简便。
5．求参数的值与解方程
韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。
★★★例6解方程。
解：原方程可变形为。
令，。
则
, 。
由韦达定理逆定理知，以a，b-为根的一元二次方程是。
解得，。
即a=8-或a=9。
或通过求解x结果相同，且严谨。
，（舍去）。
解之得，。
此种方法应检验：是或否成立
强化训练
A 级
★★1.若k为正整数，且方程有两个不等的正整数根，则k的值为________________。
★★2.若，，则
_______________。
★★★3 .已知和是方程的二实根，则
_____________。
★★★4.已知方程（m为整数）有两个不等的正整数根，求m的值。
Ｂ级
★★★★5.已知：和为方程及方程
的实根，其中n为正奇数，且。
求证：，是方程的实根。
★★★★6.已知关于x的方程的二实根和满足
，试求k的值。
参考答案
1．2
提示：原方程即，所以，由
知k=1，2，3，5，11；由知k=2，3，4，7。
所以k=2，3，但k=3时原方程有二相等正整数根，不合题意。
故k=2。
2．提示：由x，y为方程的二根，知，。
于。
3．21
提示：由，，知，
4．设二个不等的正整数根为，，由韦达定理，有
消去m，得。
即。
则且。
，。
故。
5．由韦达定理有，。
又，。
二式相减得。
，。
将代入有。
从而，
同理
和是方程的根。
6．当β=α时，可知1=β=α，所以2k 13k 124=⇒⨯=+，当β≠α时，易证得。
从而， 为方程的二不同实根。
，。
于是，
，。
当时，方程为。
解得 或
取，即能符合题意，故k 的值为。