第一章习题选解

习题选解第一章 习题选解.习 题 1－11．设x x x f +-=11)(，求)(x f -，)1(x f ，)(1x f ，)1(+x f ． 解：1()1xf x x-=+ 1()1()1()1x x f x x x --+∴-==+--，1111()111x x f x x x --==++1111()11xx f x xx+==--+，1(1)(1)1(1)2x x f x x x -++==-+++ 2．下列各题中，函数)(x f 与)(x g 是否相同？为什么？（1）24)(2--=x x x f ，2)(+=x x g ；解：因为)(x f 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞，而()g x 的定义域为(,)-∞+∞，所以()f x 与()g x 定义域不同，因此()f x 与()g x 不相同．（2）2)13()(-=x x f ，13)(-=x x g ；解：因为()f x 与()g x 定义域相同，对应法则相同，故()f x 与()g x 相同．（3）11ln)(-+=x x x f ，)1ln()1ln()(--+=x x x g ； 解：由10101x x x -≠⎧⎪+⎨>⎪-⎩解出()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃+∞，而由1010x x +>⎧⎨->⎩解出()g x 的定义域为(1,)+∞，所以()f x 与()g x 定义域不同，因此()f x 与()g x 不相同． （4）11ln)(2++=x x x f ，)1ln()1ln()(2+-+=x x x g ． 解：因为()f x 与()g x 定义域相同，对应法则相同，故()f x 与()g x 相同．3．设⎩⎨⎧>+≤-=11121)(2x x x x x f ， ， ，求 )0(f ，)1(f ，)1(-f ，)23(f ，)23(-f ．解：(0)1f =，(1)1f =-，(1)3f -=，313()24f =，313()24f -=．4．设x x f ln )(=，证明)]1([)1()(+=++x x f x f x f ． 证：因为()(1)ln ln(1)f x f x x x ++=++，又[(1)]ln[(1)]ln ln(1)f x x x x x x +=+=++， 得证。

5．下列函数哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是非奇非偶函数？ （1） 532x x y -=； 解：因为5()23f x x x =-，于是55()23(23)f x x x x x -=-+=--，所以原函数为奇函数．（2） x x y 2sin sin +=；解：因为2()sin sin f x x x =+，于是22()sin()sin ()sin sin f x x x x x -=-+-=-+，不等于()f x 或()f x -，所以原函数为非奇非偶函数． （3） )sin(sin x y =；解：因为()sin(sin )f x x =， 于是()sin(sin())sin(sin )sin(sin )()f x x x x f x -=-=-=-=-，所以原函数为奇函数。

（4）)1(2 >-=-a a a y xx ；解：因为()(1)2x xa a f x a --=> ，于是()()22x x x xa a a a f x f x -----==-=-　，所以原函数为奇函数．（5）)1(2 >+=-a a a y xx ；解： 因为()(1)2x xa a f x a -+=> ，于是()()22x x x xa a a a f x f x --++-==-=　，所以原函数为偶函数．（6）)1(11 >+-=a a a x y x x ；解： 因为1()1x x a f x x a -=+ ，于是111()()111x x x x x x a a a f x x x x f x a a a ------=--==+++=　，所以原函数为偶函数．（7）xxy +-=22lg； 解：因为2()lg 2xf x x-=+ ，于是 22()lg lg ()22x xf x f x x x+--=-=--+=　，所以原函数为奇函数．（8）1cos sin +-=x x y ；解：因为()sin cos 1f x x x =-+，于是()sin()cos()1sin cos 1f x x x x x -=---+=--+　，不等于()f x 或()f x -，所以原函数为非奇非偶函数．（9）21cos xx y -=；解：因为()f x =()()f x f x -==　，所以原函数为偶函数．（10）)1lg(2x x y ++=．解：因为()lg(f x x =　，于是()lg(lg lg(()1xf x x x f x -=-=-=-+=-　=-，所以原函数为奇函数． 6．对于下列函数)(x f 与)(x g ，求复合函数)]([x g f 和[()]g f x ，并确定它们的定义域．（1） 1)(32)(2-=+=x x g x x f ， ；解：22[()]2(1)321,(,)f g x x x x =-+=+∈-∞+∞；22[()](23)14128,(,)g f x x x x x =+-=++∈-∞+∞．（2）4)(1)(x x g x x f =-=， ；解：[()](,1][1,)f g x x =∈-∞-+∞ ；2[()](1),[1,)g f x x x =-∈+∞．（3）)1sin()(2)(+==x x g x f x ， ．解：sin(1)[()]2,(,)x f g x x +=∈-∞+∞．[()]sin(21),(,)x g f x x =+∈-∞+∞．7．设b ax x f +=)(，满足x x f f =)]([，且1)2(-=f ，求)(x f ．解：因为2[()]()(1)f f x a ax b b a x a b x =++=++=，得21,(1)0a a b =+=，当1a =时，0,()b f x x==，与1)2(-=f 矛盾；所以，1a =-，此时，()f x x b =-+，由1)2(-=f 知，1b =，故()1f x x =-+．8．设x v e u u y v -===，　，　arcsin ，试将y 表示成x 的函数．解：arcsin y e =．9．指出下列各复合函数是由哪些简单函数复合而成的． （1） 22)1(arcsin x y -=；解：由22,arcsin ,1y u u v v t x ====-复合而成．（2）)11(sec 3xy -=；解：由31,sec ,1y u u v v x===-复合而成． （3）1sin log +=x a e y ；解：由log ,sin ,,1t a y u u v v e t x ====+复合而成．（4）321arctan -=x y ．解：由21,,arctan 3-===x v v u u y 复合而成． 10．以下各对函数)(u f y =与)(x g u =中，哪些可以复合成复合函数)]([x g f ？哪些不能复合？为什么？（1）2)2arcsin(x u u y =+=， ；解：因为222x +≥不在arcsin t 的定义域内，所以)(u f y =与)(x g u =不能复合成复合函数)]([x g f ．（2）21arccos x x u u y +==， ；解：因为2(1,1)1xx∈-+在arccos u 的定义域内，所以)(u f y =与)(x g u =能复合成复合函数)]([x g f ．（3）211lnx u u y +==， ；解： 因为21ln01u x=≤+不在y =所以)(u f y =与)(x g u =不能复合成复合函数)]([x g f ．（4）x u u y sin )1ln(=-=， ．解： 因为1sin 0x -≥与ln y t =的定义域交集非空，所以)(u f y =与)(x g u =能复合成复合函数)]([x g f ．11．设)(x f 的定义域为]10[，，问（1）)(2x f ；（2）)(sin x f ，（3）)0)((>+a a x f ；（4）)0)(()(>-++a a x f a x f 的定义域各是什么？解：（1）201x ≤≤，即11x -≤≤，所以)(2x f 的定义域为[1,1]-；（2）0sin 1x≤≤，即2(21)n x n ππ≤≤+，1,2,3n = 所以)(sin x f 的定义域为[2,(21)]n n ππ+，1,2,3n =（3）01x a ≤+≤，即1a x a -≤≤-，所以)0)((>+a a x f 的定义域为]1,[a a -- ．（4）01x a ≤+≤且01x a ≤-≤，即1a x a -≤≤-且1a x a ≤≤+，所以)0)(()(>-++a a x f a x f 的定义域为：若210≤<a ， 则为]1,[a a --；若21>a ，则为空集 ．习 题 1－21．设lim nn x a →∞=，证明：lim n n x a→∞=．证 因为n n x a x a-≤-，所以0ε∀>，由lim n n x a →∞=知N ∃，当n N >时，有n n x a x a ε-≤-<成立，由定义知lim n n x a→∞=．2．根据数列极限的N -ε定义证明（1）　2)12(lim =+∞→nn ； （2）21lim0n n→∞=； （3） 1lim 11n n n →∞+=- ； （4）1n →∞=．证 （1） 由于11(2)2n n+-=　，所以ε∀>，取1N ε>，当n N>时，有111(2)2n n Nε+-=<<　成立，由定义知 2)12(lim =+∞→n n ；（2） 要使22110n n ε-=<　，只要n >0ε∀>，取N >当n N >时，有2221110n n Nε-=<<　成立，由定义知21lim0n n →∞=；（4）41n n nε--==<<，只要4n ε>即可．所以0ε∀>，取4N ε>，当n N >441n Nε-<<<成立，由定义知1n →∞=． 3．设 个，　，　，　n n x x x 9999.099.09.021===，问　?l i m =∞→n n x 求出N ，使Nn >时，n x 与其极限之差的绝对值小于0.0001．证10.99991n nx -=-= 110n，显然l i m n n x →∞=．要使1n x -=　10.000110n <， 只要4N>，当N n >，就有1n x -=　41110.0001101010n N <<=4．设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=，证明：lim 0n n n x y →∞=．证 因为数列{}n x 有界，故0M∃>，使得对一切n x ，有n x M≤，又lim 0nn y →∞=，故0,,N ε∀>∃当n N >时，有n y Mε<，于是，当nN >时，有n n n n x y x y M Mεε=<=，由定义知 lim 0n nn x y →∞=．5．对于数列{}n x ，若21k x a -→ ()k →∞，2k x a → ()k →∞，证明：n x a →()n →∞证 因为21k x a -→()k →∞，2k x a → ()k →∞，所以0ε∀>，0K ∃>，使得当k K >时，有21k x a ε--<，2k x a ε-<成立，令2N K =，则当n N >时，有n x a ε-<，由定义知 n x a →()n →∞．习 题 1－31．根据函数极限的定义证明（1）　5)13(lim 2=-→x x ；（2）212lim 31x x x x →---=-+．（3）　3131lim 33=+∞→x x x ； （4）lim0x →+∞=　．证（1）(31)532x x --=-，0ε∀>要使32x ε-<，只要23x ε-<即可．于是取3εδ=，则当02x δ<-<时，就有(31)5323x x δε--=-<=，由定义知　5)13(lim 2=-→x x ．（2）22(1)(2)33111x x x x x x x --+-+=+=+++，0ε∀>，要使2231x x x ε--+<+，只要1x ε+<即可．于是取δε=，则当01x δ<+<时，22311x x x x δε--+=+<=+成立，由定义知 212lim31x x x x →---=-+．（3）要使333333111113333x x x x x xε++--==<，只要x >即可．所以，0ε∀>，取X >，当x X>时，有333311113333x x Xx ε+-=<<成立，由定义知　3131lim 33=+∞→x x x ． （40ε-≤<　，只要21x ε>即可．所以，0ε∀>，取21X ε>，则当x X >0ε-≤<<　成立，由定义知lim0x =　．2．设⎩⎨⎧≥-<=3133)(x x x x x f ，　， ，讨论3→x 时)(x f 的左、右极限． 解：33lim()lim 3x x f x x --→→==，33lim ()lim(31)8x x f x x ++→→=-=．3．当∞→x 时，13122→+-=x x y ，问X 应为何值，才能使X x >时，01.01<-y ？解：要使222222134441110.01333x x y x x x x-+--=-=-=<<+++，只要20x >即可． 故取20X >，当X x >时，有01.01<-y ．4．证明函数 ()f x x = 当0x →时极限为零．证：因为()000f x x x -=-=-，所以，0ε∀>，取δε=，当00x δ<-<时，有()00f x x δε-=-<=，由定义知 0lim ()0x f x →=5．证明：若x →+∞及x →-∞时，函数()f x 的极限都存在且都等于A ，则li m ()x f x A →∞=．证：因为x →+∞及x →-∞时，函数()f x 的极限都存在且都等于A ，所以，0ε∀>，10X ∃>，当1x X >时，有()f x A ε-<；又20X ∃>，当2x X <-时，有()f x A ε-<．取{}12max ,X X X =，当x X>时，就有()f x A ε-<成立，由定义知，lim()x f x A →∞=．6．设 lim()x f x A →∞=存在，证明：存在正数M及X，使得当x X>时，有()f x M <．证：由于lim()x f x A →∞=，所以对于1ε=，0X ∃>，当x X>时，有()1f x A -<，于是当x X >时，有()()()1f x f x A A f x A A A =-+≤-+<+，取1M A =+， 则当x X >时，有()f x M <．习 题 1－41．两个无穷小量的商是否一定是无穷小量？举例说明之。