2013-2014学年八年级数学上册_13.4_课题学习_最短路径问题课件_(新版)新人教版[1]
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八年级上学期数学134《最短路径问题》课件
A
O
B
Ｃ. .
E
D
M
N
G
H
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接… ∵点D,点C关于直线OA对称， 点G.H在OA上，∴DG=CG, DM=CM, 同理NC=NE，HC=HE, ∴CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE, CG+GH+HC=DG+GH+HE, ∵DG+GH+HE＞DE（两点之间，线段最短）， 即CG+GH+HC＞CM+CN+MN 即CM+CN+MN最短
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求
3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 作法：1.作点C关于直线 OA 的 对称点点D, 2. 作点C关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N， 则CM+MN+CN最短
F
A
O
B
D ·
· C
E
G
H
A
B
A/
B/
P
Q
最短路线：A P Q B
l
M
N
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接… ∵点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上，∴GF=GC,FM=CM, 同理HD=HE，ND=NE, ∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE, CG+GH+HD=FG+GH+HE, 在四边形EFGH中， ∵FG+GH+HE＞FE（两点之间，线段最短）， 即CG+GH+HD＞CM+MN+ND 即CM+MN+ND最短
人教版八年级数学上册教学课件-13.4 课题学习 最短路径问题24优秀课件PPT
B′
解题思路
5、推理论证′，连接AC′，B′C′，BC′.
根据轴对称的性质可知 BC=B′C，BC′=B′C′
∴AC+BC=AC+B′C=AB′ AC′+BC′=AC′+B′C′ 由△AB′C′三边关系可
知 A′B<AC′+B′C′
A
·
C′ C
B
·
l B′
人教版数学八年级上册
将军饮马问题
---13.4课题学习 最短路径问题1
B A
l
学习目标
1.能利用轴对称变换解决实际问题. 2.能利用作图解决生活中的轴对称问题. （作图建模）
学习重点：
路径极值问题的转换方法.
复习旧知
如图所示，点A、B分别是直线 l异侧 的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得 这个点到点A，点B的距离的和最短？
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在社会的底层。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的 损失，比错误更大的错误所以不要后悔。每个人都有潜在的能量，只是很容易:被习惯所掩盖，被时间所迷离,被惰性所消磨。与其临渊羡鱼，不如退而结网。 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。世界会向那些有目标和远见的人让路。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不 能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。赚钱之道很多，但是 找不到赚钱的种子，便成不了事业家。最有效的资本是我们的信誉，它小时不停为我们工作。销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成
人教版八年级数学上册第十三章课题学习最短路径问题(共30张PPT)
此时从A到B点路径最短.
M N
P Q
G
H B1 B
同样，当Ａ、Ｂ两点之间有４、５、 ６，．．．ｎ条河时，我们仍可以利用平 移转化桥长来解决问题．
例如： 沿垂直于河岸方向平移Ａ点
依次至Ａ１、Ａ２、Ａ3 ，．．．， An,平移距离分别等于各自河宽， AnB交第n条河近B点河岸于Nn,建桥 MnNn,连接MnAn-1交第(n-1）条河近 B点河岸与Nn-1,建桥Mn-1Nn-1，...， 连接M1A交第一条河近B点河岸于N1， 建桥M1N1,此时所走路径最短.
献 。 现 将 主 要工作 报告 一 、 关 心 爱 护学生 。经常 耐心细 致地做 学生的 思想教 育工作 ,有时可 以说达 到了废 寝 忘 食 的 地 步。特 别是在 抗击非 典期间 ,对学生 的生命 安全高 度负责 ,从协助校领导
制 定 各 项 预 防措施 到学生 病情的 监控和 学生的 诊治陪 护等都 凡事躬 亲。自 己带领 的 由 党 团 员 组成的 陪护小 组,不怕 死,不怕 累,出 色完成 了学校 交给的 陪护学 生的任 务 。 XX 年 7月 ,音 专 001班 黄德华 被骗到 合浦搞 传销,我 接到求 救电话 后,马上 与杨小 林 等 同 志 赶 赴合浦 解救学 生,回到 南宁后 ,又自己 掏钱为 学生购 好了返回龙州的车票
桥MN和PQ在中间，且方向不 能改变，仍无法直接利用“两 点之间，线段最短”解决问题， 只有利用平移变换转移到两侧 或同一侧先走桥长.
M N P Q
B
平移的方法有三种：两个桥长都平移 到A点处、都平移到B点处、MN平移 到A点处，PQ平移到B点处
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
人教版八年级上册第十三章《13.4课题学习最短路径问题 》课件
能不能作出B点的对称 点B',连接AB'，与l还交
于P点吗？
A
P A'
B l
B'
探 问题3 你能用所学的知识证明AP +BP最短吗？ 索 证明：如图，在直线l 上任取一点P′(与点P 不重合)
新
知 连接AP′，BP′，A′P′．由垂直平分线的性质知:
AP =A′P，AP′=A′P′
∴AP +BP= A'P +BP = A′B
检 的任意一点，则AP+BP的最小值是（ A）
测 A.4 B.5
C.6
D.7
E
A
P
B
C
F
当 3.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，
堂 检
AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 5 .
测
A
方法总结：此类求线段和的最小值问题， 找准对称点是关键，而后将求线段长的
课 堂 小 结
实际问题
抽象为数学问题
通过轴对称把同 侧点转为异侧点
利用“两点之间， 线段最短”确定 所求位置
P
l
A
探 模型二：一定直线，同侧两定点
索 新 问题2 如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
知
A
B
B
A
抽象成
l
PP
l
A′
利用轴对称，作出点A关于直线l的对称点A′.
作 模型二：一定直线，同侧两定点
图 探 作法 究 （1）作点A 关于直线l 的对称点A′；
（2）连接A′B，与直线l相交于点P． 则点P 即为所求．
测
A
于P点吗？
A
P A'
B l
B'
探 问题3 你能用所学的知识证明AP +BP最短吗？ 索 证明：如图，在直线l 上任取一点P′(与点P 不重合)
新
知 连接AP′，BP′，A′P′．由垂直平分线的性质知:
AP =A′P，AP′=A′P′
∴AP +BP= A'P +BP = A′B
检 的任意一点，则AP+BP的最小值是（ A）
测 A.4 B.5
C.6
D.7
E
A
P
B
C
F
当 3.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，
堂 检
AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 5 .
测
A
方法总结：此类求线段和的最小值问题， 找准对称点是关键，而后将求线段长的
课 堂 小 结
实际问题
抽象为数学问题
通过轴对称把同 侧点转为异侧点
利用“两点之间， 线段最短”确定 所求位置
P
l
A
探 模型二：一定直线，同侧两定点
索 新 问题2 如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
知
A
B
B
A
抽象成
l
PP
l
A′
利用轴对称，作出点A关于直线l的对称点A′.
作 模型二：一定直线，同侧两定点
图 探 作法 究 （1）作点A 关于直线l 的对称点A′；
（2）连接A′B，与直线l相交于点P． 则点P 即为所求．
测
A
人教版八年级数学上册13.4_最短路径问题ppt精品课件
·李庄B
. 提灌站C
g
2、如图，小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自 来水厂向村庄A与村庄B供水。 (1)若要使厂部到A,B村庄的距离相等，则应选择在 哪建厂？ （2）若要使厂部到A,B村的水管最省料，应建在什，在两条公路的 中间有一个油库，设为点P。如在两条公路上各设 置一个加油站，请设计一个方案，把两个加油站设 在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站， 再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短。
A·
则AB两地的距离为：
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
N
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN
所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
2. 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌 溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建 在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。 作法：作点B关于直线 a 的对称点点C,连接AC交直线a于点D，则点D为 建抽水站的位置。
P
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修 的什么地方，可使所用的输气管线最短？
所以泵站建在点P可使输气管线最短
应用
P
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得 PA+PB最小.
作法：① 作点B关于直线l的对称点B/.
② 连接AB/,交直线l于点P.
D
B
C
E
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
. 提灌站C
g
2、如图，小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自 来水厂向村庄A与村庄B供水。 (1)若要使厂部到A,B村庄的距离相等，则应选择在 哪建厂？ （2）若要使厂部到A,B村的水管最省料，应建在什，在两条公路的 中间有一个油库，设为点P。如在两条公路上各设 置一个加油站，请设计一个方案，把两个加油站设 在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站， 再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短。
A·
则AB两地的距离为：
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
N
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN
所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
2. 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌 溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建 在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。 作法：作点B关于直线 a 的对称点点C,连接AC交直线a于点D，则点D为 建抽水站的位置。
P
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修 的什么地方，可使所用的输气管线最短？
所以泵站建在点P可使输气管线最短
应用
P
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得 PA+PB最小.
作法：① 作点B关于直线l的对称点B/.
② 连接AB/,交直线l于点P.
D
B
C
E
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
初中八年级数学上册,第十三章第四节,《课题学习 ,最短路径问题》,新课教学课件
A' 证明: 在l 上任取另一点P’, 连结AP、AP’、BP’、A’P’.
∵ 直线 l是点A、A’的对称轴，点P、P’在对称轴上，
∴AP=A’P,AP’=A’P’. ∴AP+BP=A’P+BP=A’B.
在△A’BP’中，A’B<A’P’+BP’, ∴AP+BP <A’P’+BP’, 即AP+BP 最小.
由于两点之间线段最短，所以首先可连 山 接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经 线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题 A 就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何 在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”．
基本思路：
Q
P
河岸
大桥
B
【题后反思】
海伦在解决将军提出的问题 时，实际上是通过轴对称变换， 把A，B在直线同侧的问题转化 为在直线的两侧，从而可利用 “两点之间线段最短”加以解 决.
------------课后强化-------------如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径． C
初中八年级数学上册教学课件
第十二章《全等三角形》
§13.4 课题学Leabharlann 最短路径问题【将军饮马问题】
白日登山望烽火， 黄昏饮马傍交河。 尊敬的海伦先生，我每天从营地出发， 先到河边饮马，然后再去河岸同侧的烽火 台巡视，为了提高效率，我应该怎样走才 能使路程最短？ 将军，这个问题让我为 您慢慢道来！
建立模型
已知 直线 l 和 l 的同侧两点A，B
求作 点P使它在直线 l 上，并使 AP+BP最小 作法： 1.作点A关于直线 l 的对称点A′
八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题课件
追问1 这是一个实际问题，你打算首先(shǒuxiān)做什么？
将A，B 两地(liǎnɡ dì)抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
2021/12/13
第六页，共十九页。
探索(tàn suǒ) 新知
追问2 你能用自己的语言说明这个(zhè ge)问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′．
A
·
C′ C
B
·
l
2021/12/13
第十三页，共十九页。
B′
探索(tàn suǒ) 新知
问题(wèntí)3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明(zhèngmíng)：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
Image
12/13/2021
第十九页，共十九页。
第十六页，共十九页。
B′
巩固(gǒnggù) 练习
已知P是△ABC的边BC上的点，你 能在AB、AC上分别(fēnbié)确定一点Q和R， 使△PQR的周长最短吗？
2021/12/13
第十七页，共十九页。
知识(zhī shi) 小结
今天你有什么 收获？ (shén me)
2021/12/13
第十八页，共十九页。
13.4 课题学习 最短路径 问题 (lùjìng)
2021/12/13
第一页，共十九页。
如图所示，从A地到B地有三条
路可供选择，你会选走哪条路最近 (zuìjìn)？你的理由是什么？
将A，B 两地(liǎnɡ dì)抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
2021/12/13
第六页，共十九页。
探索(tàn suǒ) 新知
追问2 你能用自己的语言说明这个(zhè ge)问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′．
A
·
C′ C
B
·
l
2021/12/13
第十三页，共十九页。
B′
探索(tàn suǒ) 新知
问题(wèntí)3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明(zhèngmíng)：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
Image
12/13/2021
第十九页，共十九页。
第十六页，共十九页。
B′
巩固(gǒnggù) 练习
已知P是△ABC的边BC上的点，你 能在AB、AC上分别(fēnbié)确定一点Q和R， 使△PQR的周长最短吗？
2021/12/13
第十七页，共十九页。
知识(zhī shi) 小结
今天你有什么 收获？ (shén me)
2021/12/13
第十八页，共十九页。
13.4 课题学习 最短路径 问题 (lùjìng)
2021/12/13
第一页，共十九页。
如图所示，从A地到B地有三条
路可供选择，你会选走哪条路最近 (zuìjìn)？你的理由是什么？
八年级数学上册教学课件-13.4 课题学习 最短路径问题
人教版八年级上册第十三章课题学习
课题学习： 最短路径之“将军饮马”问题
引入课题
传说亚历山大城有一位精通数 学和物理的学者，名叫海伦．一 天，一位罗马将军专程去拜访他， 向他请教一个百思不得其解的问 题：将军每天骑马从城堡出发， 到军营，途中马要到小溪边饮水 一次。将军问怎样走，路程最短？
探究总结
引导学生将河流抽象成一条直线，将城堡和军营抽 象成两个点，将实际问题转化成数学问题。
解决问题
A l
B B
A
l P
B'
一、问题拓展
1.如图，牧马人从A地出 发，先到草地边某一处牧 马，再到河边饮马，然后 回到B处，请画出最短路 径.学生通过小组合作， 把实际问题转化成数学问 题。
二、解题思路
如图,过点A作关于线段MN的对
N
称点A',过点B作关于直线l的对 称点B'，连接A'B'，分别交MN、 l于点E、F，连接AE、BF，线段
草地
F
A'
E
B'
AE、EF、FB即所求的最短路径.
l
M
A
B
三、引导学生归纳总结出解决实际问题的一般模式
四、巩固练习
五、中考接轨变式练习
1
求线段 和最值
2
与三角形 知识相结 合题型
与四边形知识相结 合题型
A．4Βιβλιοθήκη B．6C．8 D．10六、课堂小结 引导学生自己总结本课收获
六、知识梳理
六、知识梳理
七、课后作业
找一道适合自己难度的最短路 径中考题，并完成解题。
谢谢参与！
活在忙与闲的两种境界里，才能够俯仰自得，享受生活的乐趣，成就人生的意义。 读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。——朱熹 所谓惊喜就是你苦苦等候的兔子来了，后面却跟着狼。 人工智能和天然愚蠢无法相提并论。 不要拿过去的记忆，来折磨现在的自己。 意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚 当你对自己诚实的时候，世界上没有人能够欺骗得了你。 君子坦荡荡，小人长戚戚。——《论语·述而》 穷人的苦恼在于没有选择，富人的苦恼在于有太多选择。 当你飞黄腾达的时候，你的朋友知道你是谁；当你穷困潦倒的时候，你才知道你的朋友是谁。 希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 希望是生命的源泉，失去它生命就会枯萎。 不要吃着碗里的惦记锅里的，直接抱着锅吃多省心。
课题学习： 最短路径之“将军饮马”问题
引入课题
传说亚历山大城有一位精通数 学和物理的学者，名叫海伦．一 天，一位罗马将军专程去拜访他， 向他请教一个百思不得其解的问 题：将军每天骑马从城堡出发， 到军营，途中马要到小溪边饮水 一次。将军问怎样走，路程最短？
探究总结
引导学生将河流抽象成一条直线，将城堡和军营抽 象成两个点，将实际问题转化成数学问题。
解决问题
A l
B B
A
l P
B'
一、问题拓展
1.如图，牧马人从A地出 发，先到草地边某一处牧 马，再到河边饮马，然后 回到B处，请画出最短路 径.学生通过小组合作， 把实际问题转化成数学问 题。
二、解题思路
如图,过点A作关于线段MN的对
N
称点A',过点B作关于直线l的对 称点B'，连接A'B'，分别交MN、 l于点E、F，连接AE、BF，线段
草地
F
A'
E
B'
AE、EF、FB即所求的最短路径.
l
M
A
B
三、引导学生归纳总结出解决实际问题的一般模式
四、巩固练习
五、中考接轨变式练习
1
求线段 和最值
2
与三角形 知识相结 合题型
与四边形知识相结 合题型
A．4Βιβλιοθήκη B．6C．8 D．10六、课堂小结 引导学生自己总结本课收获
六、知识梳理
六、知识梳理
七、课后作业
找一道适合自己难度的最短路 径中考题，并完成解题。
谢谢参与！
活在忙与闲的两种境界里，才能够俯仰自得，享受生活的乐趣，成就人生的意义。 读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。——朱熹 所谓惊喜就是你苦苦等候的兔子来了，后面却跟着狼。 人工智能和天然愚蠢无法相提并论。 不要拿过去的记忆，来折磨现在的自己。 意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚 当你对自己诚实的时候，世界上没有人能够欺骗得了你。 君子坦荡荡，小人长戚戚。——《论语·述而》 穷人的苦恼在于没有选择，富人的苦恼在于有太多选择。 当你飞黄腾达的时候，你的朋友知道你是谁；当你穷困潦倒的时候，你才知道你的朋友是谁。 希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 希望是生命的源泉，失去它生命就会枯萎。 不要吃着碗里的惦记锅里的，直接抱着锅吃多省心。
人教版八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题((共24张PPT)
问：这位将军怎样走路程最短？
M 草地
O
.驻地A
N 河边
(三)： 一点在两相交直线内部
例3变式：已知P是△ABC的边BC上的点， 你能在AB、AC上分别确定一点Q和R， 使△PQR的周长最短吗？
（四）： 两点在两相交直线内部
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河 边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的 最短路线。
15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。202 1年8月 下午9 时38分 21.8.1 021:3 8Augu st 10, 2021
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。202 1年8月 10日 星期二9 时38分 34秒2 1:38:3 410 August 2021
河
B/
问题
为什么这样做出的线段是最短的呢？你能用所学 的知识证明吗？
B
·
A
·
l C
B′
9、要学生做的事，教职员躬亲共做 ；要学 生学的 知识， 教职员 躬亲共 学；要 学生守 的规则 ，教职 员躬亲 共守。2 1.8.10 21.8.1 0Tues day, August 10, 2021
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。21 :38:34 21:38: 3421: 388/1 0/202 1 9:38:34 PM
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
M 草地
O
.驻地A
N 河边
(三)： 一点在两相交直线内部
例3变式：已知P是△ABC的边BC上的点， 你能在AB、AC上分别确定一点Q和R， 使△PQR的周长最短吗？
（四）： 两点在两相交直线内部
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河 边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的 最短路线。
15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。202 1年8月 下午9 时38分 21.8.1 021:3 8Augu st 10, 2021
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。202 1年8月 10日 星期二9 时38分 34秒2 1:38:3 410 August 2021
河
B/
问题
为什么这样做出的线段是最短的呢？你能用所学 的知识证明吗？
B
·
A
·
l C
B′
9、要学生做的事，教职员躬亲共做 ；要学 生学的 知识， 教职员 躬亲共 学；要 学生守 的规则 ，教职 员躬亲 共守。2 1.8.10 21.8.1 0Tues day, August 10, 2021
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。21 :38:34 21:38: 3421: 388/1 0/202 1 9:38:34 PM
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
人教部初二八年级数学上册 13.4课题研究最短路径问题 名师教学PPT课件
立德求知 务实创新
【隐身的正方形】
如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上， BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为 （）
A．4
B．5
C．6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．7
C'
A
P
B
DC
数学思想: 转化思想，构造正方形
立德求知 务实创新
四、课堂小结、总结归纳
动点问题还可以应用在特殊角的 旋转问题中，以及一次函数，二次函 数、圆中的求最值问题。如果后面有 机会再给同学们分享。
【等边系列】
如图，在等边△ABC中，AB=6， N为AB上一点且BN=2AN， BC的高 线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN 的最小值是___________．
A
A
N M
N
H
M
B
D
C
B
D
C
【分析】M点为折点，作B点关于AD的对称点，即C点， 连接CN，即为所求的最小值．
【关于对角线对称】（两定一动）
如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1， N是 AC边上的一动点，
①求DN+NM的最小值___________ ②则△DMN周长的最小值是___________．
A
D
M
N
B
C
【分析】考虑DM为定值，故求△DMN周长最小值即求DN+MN最小值． 点N为折
点，作点D关于AC的对称点，即点B，连接BN交AC于点N，此时△DMN周长最小．
【思路概述】：此处M、N均为折点，分别作点P关 于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线） 的对称点，化折线段PM+MN+NP为P'M+MN+NP'' 直线段，当P'、M、N、P''共线时，△PMN周长最 小．
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分别作点A关于OM，ON的对称 点A′，A″；连接A′，A″， 分别交OM，ON于点B、点C， 则点B、点C即为所求
13.4 课题学习 最短路径问题
如图所示，从A地到B地有三条路 可供选择，你会选走哪条路最近？ 你的理由是什么？
C A
①D ②
E B
③
两点之间,线段最短
F
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两 侧，在L上求一点P，使得 PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？ B
·
A
·
C′ C
l
B′
2. 如图，A.B两地在 一条河的两岸，现要 在河上建一座桥MN， 桥造在何处才能使从 A到B的路径AMNB 最短？（假设河的两 岸是平行的直线，桥 要与河垂直）
A· M
N E B
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。 证 明 ： 由 平 移 的 性 质 ， 得 BN∥EM 且 BN=EM, M BD∥CE, BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, M C 则AB两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, N D 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, E ∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN B 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
·
A
·
B
C′ C
l
B′
探索新知
追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？ B · A 若直线l 上任意一点（与点 · C 不重合）与A，B 两点的距离 C′ l 和都大于AC +BC，就说明AC + C BC 最小． B′
A·
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在 一条直线上时，三角形的周长最小
D
B
C
E
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
P
思考？？？
为什么这样做就能得到最短距 离呢？
根据：两点之间线段最短.
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · A 追问2 你能利用轴对称的 · 有关知识，找到上问中符合条 l 件的点B′吗？
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B 作法： · A （1）作点B 关于直线l 的对称 点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求．
B
A l
探索新知
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线． · A· l
B
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
·
A
·
B
C
l
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． B 由轴对称的性质知， · A BC =B′C，BC′=B′C′． · ∴ AC +BC C′ l = AC +B′C = AB′， C AC′+BC′ = AC′+B′C′． B′
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）． B A
C l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · 追问1 对于问题2，如何 A · 将点B“移”到l 的另一侧B′ l 处，满足直线l 上的任意一点 C，都保持CB 与CB′的长度 相等？
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
B
A l
探索新知
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
13.4 课题学习 最短路径问题
如图所示，从A地到B地有三条路 可供选择，你会选走哪条路最近？ 你的理由是什么？
C A
①D ②
E B
③
两点之间,线段最短
F
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两 侧，在L上求一点P，使得 PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？ B
·
A
·
C′ C
l
B′
2. 如图，A.B两地在 一条河的两岸，现要 在河上建一座桥MN， 桥造在何处才能使从 A到B的路径AMNB 最短？（假设河的两 岸是平行的直线，桥 要与河垂直）
A· M
N E B
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。 证 明 ： 由 平 移 的 性 质 ， 得 BN∥EM 且 BN=EM, M BD∥CE, BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, M C 则AB两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, N D 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, E ∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN B 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
·
A
·
B
C′ C
l
B′
探索新知
追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？ B · A 若直线l 上任意一点（与点 · C 不重合）与A，B 两点的距离 C′ l 和都大于AC +BC，就说明AC + C BC 最小． B′
A·
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在 一条直线上时，三角形的周长最小
D
B
C
E
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
P
思考？？？
为什么这样做就能得到最短距 离呢？
根据：两点之间线段最短.
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · A 追问2 你能利用轴对称的 · 有关知识，找到上问中符合条 l 件的点B′吗？
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B 作法： · A （1）作点B 关于直线l 的对称 点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求．
B
A l
探索新知
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线． · A· l
B
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
·
A
·
B
C
l
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． B 由轴对称的性质知， · A BC =B′C，BC′=B′C′． · ∴ AC +BC C′ l = AC +B′C = AB′， C AC′+BC′ = AC′+B′C′． B′
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）． B A
C l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · 追问1 对于问题2，如何 A · 将点B“移”到l 的另一侧B′ l 处，满足直线l 上的任意一点 C，都保持CB 与CB′的长度 相等？
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
B
A l
探索新知
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？