课题学习最短路径问题教学设计

《课题学习最短路径问题》教案设计
一、教材分析
、教材的地位和作用
最短路径在我们生活中经常遇到，初中阶段主要是以“两点之间选段最短”、“垂线段最短”为知识基础，有时还借助于轴对称、平移等变换进行研究，本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为知识载体，展开了对最短路径问题课题的研究，让学生经历将实际问题转化为数学问题，再利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”或者是“三角形两边之和大于第三边”的问题，在此过程中让学生体会化归的数学思想。

、学情分析
在七年级已经研究过“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”等最短路径问题的基本知识，在本章的前面学生也初步掌握了作点关于某直线的对称点，所有这些内容构成了本节课的认知基础。

通过初中学段一年多的学习，学生已经有了图形变换以及模型构建的意识，获得了初步的数学化之思维转化这一数学活动的经验，具备了一定的主动参与、合作交流的意识和初步的观察、分析、归纳、猜想和解决问题的能力
、教案目标
知识与技能：掌握最短路径问题的分析方法和解决方法
过程与方法：体会转化的数学思想，感受轴对称在生活中的作用
情感态度与价值观：提高建立数学模型，分析问题、解决问题和勇于创新的精神
、教案重、难点：
教案重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题教案难点：最短路径问题的解题思路及证明方法
二、教法学法
根据课堂学习的内容特点，本节课主要采用以下教案方法：
、引导启发：本节课的教案中，教师所起的作用不再是一味“传授”，而是巧妙地创设问题情境，以问题的形式启发学生发现、解决问题，在学生思维受阻时给予适当引导。

、激趣教案：学习本应是件快乐的事，为了让学生“乐”学，教师通过“将军饮马问题”的探究极大地激发了学生的学习兴趣，提高了学习的效率。

在合理选择教法的同时，注重对学生学法的指导。

本节课主要指导学生以下两种学法：
、自主探究：“书上得来终觉浅，绝知此事要躬行。

”本节课的问题的解决都是通过学生的动手操作、观察、实验、猜想、推理等活动得出的，使学生亲历了知识的发生、发展、形成的全过程，从而变被动接受为主动探究。

、合作学习：教案中鼓励学生积极合作，充分交流，帮助学生在学习活动中获得最大的成功，促使学生学习方式的改变。

本节课采用多媒体、几何画板辅助教案,一方面能生动清楚的反映图形,增加课堂的容量,同时有利于突出重点,分散难点，增强教案条理性更好的提高课堂效率。

三、教案过程
、情景引入
问题：如图，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两村供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
师生活动：学生回答，连接，线段与的交点即为泵站修建的位置．
【设计意图】让学生感受“两点之间，线段最短”，为把“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫．
、探究新知
问题、相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
.将实际问题抽象为数学问题
这是一个实际问题，你打算首先做什么？你能将这个问题抽象为数学问题吗？
师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识:将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线
你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识：（）从地出发，到河边饮马，然后到地；（）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与、连接起来的两条线段的长度之和，就是从地到饮马地点，再回到地的路程之和；（）现在的问题是：在直线上找到一点，使与的和最小？
【设计意图】：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”
.解决数学问题
问题如图，点，在直线的同侧，在直线上找到一点，使与的和最小？
师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，相互补充。

如果学生有困难，教师可作如下提示：
（）如果点在点的异侧，如何在直线上找到一点，使与的和最小
（）现在点与点在同侧，能否将点移到的另一侧点′处，且满足直线上的任意一点，都能保持′?
（）你能根据轴对称的知识，找到（）中符合条件的点′吗？
学生叙述，教师板书，并画图，同时学生在自己的练习本上画图。

作法：（）作点关于直线的对称点′；
（）连接′，与直线相交于点．则点即为所求．
【设计意图】通过搭建台阶，教师一步一步引导学生，如何将“同侧”的两点难以解决的问题转化为“异侧”的两点容易解决的问题，为问题的解决提供思路，渗透转化思想.
.证明“最短”
问题你能用所学的知识证明最短吗？
师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.
证明：如图，在直线上任取一点（与点不重合），连接′，′，．由轴对称的性质知，
，．
∴，
．
在△中，，
∴．
即最短．
追问：证明最短时，为什么要在直线上任取一点（与点但不重合）？作用是什么？
师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线上任意一点（与点不重合）与，两点的距离和都大于，就说明最小．
【设计意图】让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．
追问：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？
师生活动：学生回答，相互补充.
【设计意图】学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转
C
P Q B 化思想，丰富数学活动经验.
、变式拓展
变式：牧马人从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，请画出最短路径。

师生活动：学生分析解题思路，并相互补充，
然后独立完成画图。

变式：牧马人从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，请画出最短路径。

师生活动：学生分析解题思路，然后独立
完成画图。

【设计意图】：通过两个变式，进一步拓展延伸“将军饮马问题”，变式，有一个动点变为两个动点，变式，再上升两个动点和两个定点，从而开阔了学生思维，让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法。

、归纳小结
本节课学习了什么？你有什么收获？
【设计意图】： 引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值。

、布置作业
如图，长方形台球桌上有两个球
（）请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球。

（）请你设计一条路径，使得球连续撞击台球桌边，反射后，撞到球。

、板书设计
课题学习 最短路径问题()
作法：（）作点 关于直线 的对称点′；
（）连接′，与直线 相交于点．
则点 即为所求． 四、评价与反思
本节课注重学生探究过程与小组交流的运用，最短路径问题对于学生而言难度较大，为了突破难点，我先让学生探究两点在异侧，再探究在同侧的问题。

并重视知识的发生、形成过程，让学生亲历了观察、操作、想象、论证、交流的整个过程，培养学生的探究能力，激发学习兴趣。

．几何画板的开发与利用
本课时是一节课题学习，是轴对称等图形变换的价值体现，自然盈满几何作图，同时这个问题带有一定的挑战性、探索性，为几何画板的使用提供了条件，整节课处处有画板的痕迹，几何画板的探测与验证功能与逻辑推理的联袂，呈现出强大的优势，化解了本节课的难点。

．问题情境贯彻始终
“问题”就是暂时的矛盾，是指一个人在有目的地追求而尚未找到合适手段时所感到的心理困境。

问题烘托情境，情境凸显问题，问题驱动思维，思维演绎精彩。

整个课堂以“问题”为主脉，驱动着学生积极介入探索，在解决问题的同时，获得了解决最短路径问题的基本套路，形成后继学习的新经验，这些经验具有较强的迁移效能。