课题学习最短路径问题教学设计

《课题学习最短路径问题》教案设计

一、教材分析

、教材的地位和作用

最短路径在我们生活中经常遇到，初中阶段主要是以“两点之间选段最短”、“垂线段最短”为知识基础，有时还借助于轴对称、平移等变换进行研究，本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为知识载体，展开了对最短路径问题课题的研究，让学生经历将实际问题转化为数学问题，再利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”或者是“三角形两边之和大于第三边”的问题，在此过程中让学生体会化归的数学思想。

、学情分析

在七年级已经研究过“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”等最短路径问题的基本知识，在本章的前面学生也初步掌握了作点关于某直线的对称点，所有这些内容构成了本节课的认知基础。通过初中学段一年多的学习，学生已经有了图形变换以及模型构建的意识，获得了初步的数学化之思维转化这一数学活动的经验，具备了一定的主动参与、合作交流的意识和初步的观察、分析、归纳、猜想和解决问题的能力

、教案目标

知识与技能：掌握最短路径问题的分析方法和解决方法

过程与方法：体会转化的数学思想，感受轴对称在生活中的作用

情感态度与价值观：提高建立数学模型，分析问题、解决问题和勇于创新的精神

、教案重、难点：

教案重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题教案难点：最短路径问题的解题思路及证明方法

二、教法学法

根据课堂学习的内容特点，本节课主要采用以下教案方法：

、引导启发：本节课的教案中，教师所起的作用不再是一味“传授”，而是巧妙地创设问题情境，以问题的形式启发学生发现、解决问题，在学生思维受阻时给予适当引导。

、激趣教案：学习本应是件快乐的事，为了让学生“乐”学，教师通过“将军饮马问题”的探究极大地激发了学生的学习兴趣，提高了学习的效率。

在合理选择教法的同时，注重对学生学法的指导。本节课主要指导学生以下两种学法：

、自主探究：“书上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”本节课的问题的解决都是通过学生的动手操作、观察、实验、猜想、推理等活动得出的，使学生亲历了知识的发生、发展、形成的全过程，从而变被动接受为主动探究。

、合作学习：教案中鼓励学生积极合作，充分交流，帮助学生在学习活动中获得最大的成功，促使学生学习方式的改变。

本节课采用多媒体、几何画板辅助教案,一方面能生动清楚的反映图形,增加课堂的容量,同时有利于突出重点,分散难点，增强教案条理性更好的提高课堂效率。

三、教案过程

、情景引入

问题：如图，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两村供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

师生活动：学生回答，连接，线段与的交点即为泵站修建的位置．

【设计意图】让学生感受“两点之间，线段最短”，为把“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫．

、探究新知

问题、相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．

.将实际问题抽象为数学问题

这是一个实际问题，你打算首先做什么？你能将这个问题抽象为数学问题吗？

师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识:将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线

你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？

师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识：（）从地出发，到河边饮马，然后到地；（）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与、连接起来的两条线段的长度之和，就是从地到饮马地点，再回到地的路程之和；（）现在的问题是：在直线上找到一点，使与的和最小？

【设计意图】：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”

.解决数学问题

问题如图，点，在直线的同侧，在直线上找到一点，使与的和最小？

师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，相互补充。

如果学生有困难，教师可作如下提示：

（）如果点在点的异侧，如何在直线上找到一点，使与的和最小

（）现在点与点在同侧，能否将点移到的另一侧点′处，且满足直线上的任意一点，都能保持′?

（）你能根据轴对称的知识，找到（）中符合条件的点′吗？

学生叙述，教师板书，并画图，同时学生在自己的练习本上画图。

作法：（）作点关于直线的对称点′；

（）连接′，与直线相交于点．则点即为所求．

【设计意图】通过搭建台阶，教师一步一步引导学生，如何将“同侧”的两点难以解决的问题转化为“异侧”的两点容易解决的问题，为问题的解决提供思路，渗透转化思想.

.证明“最短”

问题你能用所学的知识证明最短吗？

师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.

证明：如图，在直线上任取一点（与点不重合），连接′，′，．由轴对称的性质知，

，．

∴，

．

在△中，，

∴．

即最短．

追问：证明最短时，为什么要在直线上任取一点（与点但不重合）？作用是什么？

师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线上任意一点（与点不重合）与，两点的距离和都大于，就说明最小．

【设计意图】让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．

追问：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？

师生活动：学生回答，相互补充.

【设计意图】学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转