最短路径问题教案

课题：§13·4 课题学习最短路径问题（第2课时）

内容分析

1.课标要求

“课题学习”，着重在于考查学生综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。本节课是“最短路径问题（第2课时）”，让学生经历用“平移变换”和“两点之间，线段最短”来寻求分析问题和解决问题的方法的过程，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，体会图形变化在解决问题中的作用，感悟转化的思想。

2.教材分析

知识层面：本节课的教学内容是研究一道有趣的“造桥选址”问题，充分体现了利用平移变换实现问题转化，从而有效求解。学生是在已经学习了三角形及平移、轴对称知识的基础上进行的有关最短路径问题的研究。最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。

本节课以“造桥选址”为背景，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。对它的学习和研究，有助于对最短路径问题的分析、解决。为今后在求立体图形、圆、平面直角坐标系中求最值问题提供了方法。

能力层面：学生在七年级和上节课的学习过程中，已经掌握了用与最值有关的公理、定理解决问题的推理能力。“造桥选址”是实际生活中的极值问题，在这个问题中，平移起了一个桥梁作用，学习过程的本质是推理与化归的过程。有助于提高学生的推理能力、应用意识；分析问题、解决问题的能力。

思想层面：本节课在将实际问题抽象成几何图形的过程中渗透数学建模的思想。在如何将三条线段的和转化为两条线段的和的探索过程中体现了转化的思

想。在最值问题的证明中，“任取”一点'C(除了点C外)，由于点'C的任意性，

所以结论对于直线上的每一点（除了点C外）都成立，这在数学中常采用的方法，体现了化归的思想。

3.学情分析

最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此之前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有具体背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。

与上节课相比，本节课的问题更为复杂，出现了三段线段的和最小问题，解答“当点N在直线2l的什么位置时，NB

AM+

+最小?”需要将其转化为“当

MN

点N在直线2l的什么位置时，NB

AM+最小?”。能否这样转化，如何实现这样的转化？有的学生会存在理解上和操作上的困难，还有的学生可能会受思维惯性的影响（上节课学习了“利用轴对称解决最短路径问题”）。在教学中要巧妙引导，其本质还是在于对“两点之间，线段最短”的深刻理解。

在证明“在直线2l上任取一点'N（与所求做的点不重合），B

'

'+

+

'

AM'

N

N

M

大于NB

+”，这种思路和方法，学生有了上节课的经验，容易想到。

AM+

MN

教师要适时点拨，让学生体会“任意”，并在小组合作中展开讨论，让学生自己证明。

教学目标

对教学内容的研究是为了制定精准的教学目标，本节课的总体教学目标是：能利用平移解决最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中作用，感悟转化的思想。具体体现如下：

（1)知识与技能：初步学会利用三角形、平移性质等知识，求线段和的最小值，会解决简单的最短路径问题；

（2）数学思考：经历问题探究的过程，感受图形变换、转化等数学思想方法，体验数学思考的严谨性；

（3）问题解决：经历与同学合作讨论交流解决问题的过程，尝试解释自己解决问题的方法；

（4）情感与态度：在学习过程中，体会数学与生活的关系；激发学生学习数学的兴趣；培养学生的合作精神。

重点：利用平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

难点：如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题。

关键：利用平移将桥的长度巧妙地化解开去。

设计意图：学生能将实际问题中的“地点”“河岸”“桥”抽象为数学中的“点”“线”“线段”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用河的宽度固定，利用平移巧妙地将两河岸巧妙“二合一”为一条直线，从而将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；会用与上节课类似的方法证明问题，体现了化归的思想，提高学生的应用意识。

策略分析

教学目标的达成需要有效的教学策略，依据教学内容和学生情况，为解决教学问题，本节课采取“问题串”的方式组织教学活动。在教学中我以小故事的方式推动教学，设计了一系列的问题，由易到难，层层深入，引导学生在逐步解决问题的过程中理解找到符合条件的点的方法和原理；这样使问题简单化，学生易于理解和掌握。从而达到突出重点、突破难点，化难为易的目的。

教学过程

一、复习引入

师：“最短路径问题”是大家很熟悉的一个话题，生活中的应用非常广泛：（图片1）在城市建设时经常将弯曲的河道改直，这样做的数学依据是什么？

生：两点之间，线段最短

（图片2）测量学生跳远成绩的数学依据是什么？

生：垂线段最短

（图片3）在两岸平行的河面上如何建桥最经济最科学，它的数学依据是什么？

生：垂线段最短

师：我们要学会运用数学知识来美化我们的生活。上节课我们一起讨论了两个非常有趣的话题“将军饮马”问题。

如图1：将军从A地出发到一条笔直的小溪边l饮马，然后到B 地．到溪边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

问1：你能用数学语言描述这个问题吗？

生：A,B两点在直线l两侧，在直线l上找点C使CA+CB最小

问2：你是如何找到点C的，依据是什么？

生：连接AB交直线l于C点，C点就是要找的点，依据是“两点之间，线段最短”

如图2：将军从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B 地.

到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?

问1：你能用数学语言描述这个问题吗？

生：A,B两点在直线l同侧，在直线l上找点C使CA+CB最小

问2：你是如何找到点C的，依据是什么？

生：作B点关于直线l的对称点B′点，连接AB′交直线l于C点，C点就是要找的点，依据是“两点之间，线段最短”

师：刚才两位同学的回答都非常准确，这两个问题实际上就是求“两点一线”型的线段和最小值问题