最短路径问题教案
最短路径问题学案教案
最短路径问题【目标导航】1.理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”. “饮马问题”，“造桥选址问题”.考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.2.解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”.关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理.这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用. 【合作探究】探究一：（1）如图1，一个牧童从P 点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．（2）如图2，直线l 是一条河，A 、B 是两个村庄，欲在l 上的某处修建一个水泵站M ，向A 、B 两地供水，要使所需管道M A +M B 的长度最短，在图中标出M 点．（3）如图3，在一条河的两岸有A ，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段C D 表示．试问：桥C D 建在何处，才能使A 到B 的路程最短呢？请在图中画出桥C D 的位置．画出示意图，并用平移的原理说明理由．变式1．在边长为2㎝的正方形ABC D 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝．变式2．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为__________第2题 第3题 第4题 变式3.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为_________变式4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是A D 和AB 上的动点，则B M+MN 的最小值是____．变式5．一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，则PC ＋PD 的最小值________，此时P 点的坐标为________． 探究二：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马， 先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线.A DE P BC 第5题O x y B D A C P变式1.如图，已知平面直角坐标系中，A ，B 坐标为A （-1，3），B （-4，2），设M ，N 分别为x 轴，y 轴上一动点，问是否存在这样的点M （m ，0），N （0，n ）使四边形AB MN 的周长最短？并求m ，n 的值．第1题 第2题 第3题 第4题变式2.如图，在△ABC 中，D 、E 为边AC 上的两个点，试在AB ，BC 上各取一个点M ，N ，使四边形DMNE 的周长最短．变式3.如图，已知平面直角坐标系，A 、B 两点的坐标分别为A （2，-3），B （4，-1）．若C （a ，0），D （a +3，0）是x 轴上的两个动点，则当a = 时，四边形AB D C 的周长最短． 变式4.如图，抛物线23212--=x x y 与直线y=x -2交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），动点P 从A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B ．若使点P 运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为 ． 探究三：1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A 和B 是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是 寸．第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 2.如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽A D 平行且大于A D ，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A 处，到达C 处需要走的最短路程是 米．（精确到0.01米）3.如图所示，是一个圆柱体，A BCD 是它的一个横截面，A B=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C 点，那么，最近的路程长为 ．4.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 ．5.有一长、宽、高分别是5cm ，4cm ，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A 处沿长方体的表面爬到长方体上和A 相对的顶点B 处，则需要爬行的最短路径长为 ．6.如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A 的最短路程是 ．y O x P D B (40)A ， (02)C ，【课后练习】1.如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 与PD 相等；（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式；（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN ∠=°？若存在，请直接写出点P 的坐标．2.如图，已知点A （-4，8）和点B （2，n ）在抛物线y=ax 2上．（1）求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标； （2）平移抛物线y=ax 2，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C （-2，0）和点D （-4，0）是x 轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′C D 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．3. 如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC ，已知AB=5，DE =1，BD =8，设CD=x ．(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式224(12)9x x ++-+的最小值．小结：上式中，原式=22222(12)3x x ++-+，而22a b +的几何意义是以a 、b 为直角边的直角三角形斜边长．【拓展提升】 1．阅读材料： 例：说明代数式221+(3)4x x +-+的几何意义，并求它的最小值．解：2222221+(3)4(0)1+(3)2x x x x +-+=-+-+，如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则22(0)1x -+可以看成点P 与点A （0，1）的距离，22(3)2x -+可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度 之和，它的最小值就是PA+PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A ′，则PA=PA ′，因此，求PA+PB 的最小值，只需求PA ′+PB 的最小值，而点A ′、B 间的直线段距离最短，所以PA ′+PB 的最小值为线段A ′B 的长度．为此，构造直角三角形A ′CB ，因为A ′C =3，CB =3，所以A ′B =32，即原式的最小值为32． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）代数式22(1)1+(2)9x x -+-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点 A （1，1）、点B 的距离之和．（填写点B 的坐标） （2）代数式2249+1237x x x +-+的最小值为 ．2.如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标； (2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．4 x2 2A8 -2 O-2 -4 y 6 B C D -44((2)①图)4 x2 2 A ′8-2 O -2 -4 y 6 B ′ CD -4 4 A ′′((2)②图)4 x2 2 A ′8 -2 O-2 -4 y6 B ′ C D -4 4 A ′′B ′′。
13.4课题学习 最短路径问题教学设计
13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题。
2.内容解析最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。
从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。
本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
二、目标和目标解析1.目标（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。
体会数学在实际生活中的价值。
2.目标解析达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。
达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。
三、教学问题诊断分析已形成的：我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。
最短路径问题教案
最短路径问题教案一、前置知识在学习最短路径问题之前，需要掌握以下基础知识：1.图的基本概念：顶点、边、度、路径、连通性等。
2.图的存储方式：邻接矩阵、邻接表等。
3.图的遍历算法：深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）等。
4.基本的算法思想：贪心、分治、动态规划等。
二、最短路径问题最短路径问题是指在一个加权图中，找到从一个顶点到另一个顶点的最短路径。
其中，加权图是指每条边都有一个权值，表示从一个顶点到另一个顶点的距离或代价。
最短路径问题是图论中的一个经典问题，也是许多实际问题的基础。
例如，在计算机网络中，路由器需要找到从源节点到目标节点的最短路径，以便将数据包传输到目标节点。
最短路径问题可以分为两类：单源最短路径和全源最短路径。
1. 单源最短路径单源最短路径是指从一个固定的源节点出发，到达图中其他所有节点的最短路径。
常见的算法有：•Dijkstra算法•Bellman-Ford算法•SPFA算法1.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题。
它的基本思想是：从源节点开始，每次选择距离源节点最近的一个节点，然后以该节点为中心进行扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法的具体步骤如下：1.初始化：将源节点到所有节点的距离初始化为无穷大，源节点到自身的距离为0。
2.选择：从未确定最短路径的节点中，选择距离源节点最近的节点。
3.更新：对于该节点的所有邻居节点，更新它们到源节点的距离。
4.标记：将该节点标记为已确定最短路径。
5.重复：重复步骤2~4，直到所有节点都被标记为已确定最短路径，或者无法到达终点。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为节点数。
如果使用堆优化，可以将时间复杂度降为O(mlogn)，其中m为边数。
1.2 Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决单源最短路径问题。
它的基本思想是：从源节点开始，每次对所有边进行松弛操作，即尝试通过当前节点更新其他节点的距离，直到所有节点的距离都不再更新。
八年级数学上册《最短路径问题》教案、教学设计
4.方法指导：教师引导学生运用坐标系、网格纸等工具，将实际问题转化为数学模型。
5.课堂小结：总结解决最短路径问题的方法，提炼数学思想。
第二课时：巩固提高，解决实际问题
1.创设情境：提供一些实际生活中的问题，让学生运用所学知识解决。
2.自主探究：学生独立思考，尝试解决实际问题。
2.培养学生面对困难时，勇于挑战、积极思考的良好品质。
3.培养学生合作交流、共同解决问题的团队意识，提高沟通能力。
4.培养学生将所学知识运用到实际生活中的意识，增强学生的实践能力。
5.使学生认识到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在解决实际问题中的价值，提高学生对数学学科的认识。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于坐标系、距离计算等概念有初步的了解。在此基础上，他们对最短路径问题充满好奇心，但可能尚未形成系统性的解题思路和方法。因此，在本章节的教学中，应关注以下几个方面：
b.请学生尝试研究：在给定的条件下，如何判断两点之间是否存在最短路径？若存在，如何求解？
作业要求：
1.学生需独立完成作业，确保解题过程清晰、规范。
2.鼓励学生在解决最短路径问题时，尝试不同的方法和思路，培养创新意识。
3.做完作业后，学生应认真检查，确保答案正确，并对解题过程进行总结和反思。
4.作业完成后，及时上交，教师将进行批改和反馈。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生解决最短路径问题的能力，特布置以下作业：
1.必做题：
a.请学生绘制一幅包含五个点的坐标系图，任意指定两个点作为起点和终点，找出所有可能的最短路径，并计算出它们的长度。
b.从教材或课外资料中选择两道最短路径问题的题目，运用课堂所学方法进行解答。
13.4最短路径问题 教案
第十三章轴对称13.4 课题学习最短路径问题【教材分析】教学目标知识技能能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用.过程方法在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化思想.情感态度通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性.重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题【教学流程】环节导学问题师生活动二次备课情境引入如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．教师出示问题，引导学生思考、回答，引入课题。
自主探究探究点一探索最短路径问题活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用教师出示问题情境，激发学生学习兴趣和探究欲望.合作交流自主探究合作交流轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？答：将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？答：(1)从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地，再回到B地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图)．问题2：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？追问3：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？追问4：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？展示点评：作法：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l交于点C.则点C即为所求．追问5、你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:教师引导学生，联想轴对称知识解决，尝试作法，师生共同矫正，教师引导学生通过合作交流完成证明；证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC＝B′C，BC′＝B′C′.∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴AC＋BC＜AC′＋BC′.即AC＋BC最短.探究点二选址造桥问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．)展示点评：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．解：在直线a上取任意一点M′，作M′N′⊥b 于点N′，平移AM，使点M′移动到点N′的位置，点A移动到点A′的位置，连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥a于点M，则路径AMNB最短．理由如下：如图，点M′为直线a上任意一点(不与点M重合)，∵线段A′N′是线段AM平移得到的∴AA′＝MN′，A′N′＝AM∴AM′＋MN′＋BN′＝A′N′＋AA′＋BN′∵MN平行AA′且MN＝AA′学生证明后，教师提出下面问题，引导学生小组讨论解决：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，师生共总结方法：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题．利用三角形的三边关系，若直线l上任意一点(与点C 不重合)与A，B两点的距离和都大于AC＋BC，就说明AC＋BC最小. C′的代表的是除点C以外直线l上的任意一点．教师引导学生自主、合作探寻解题思路，展示；方法总结：解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法将河的宽度为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距∴MN可以看作是AA′经过平移得到的∴A′N＝AM∴AM＋NB＝A′N＋NB∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB ＝A′B<A′N′＋BN′∴AM＋NB＝A′N＋NB∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB ＝A′B<A′N′＋BN′∴AM＋NB<AM′＋BN′∵MN＝MN′∴AM＋MN＋NB<AM′＋M′N′＋N′B，即路径AMNB最短．离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法(如利用轴对称或平移等)转化在一条线段上，从而解决这个问题．尝试应用1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是米.4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。
17.1勾股定理的应用最短路径问题(教案)
在今天的教学中，我重点关注了勾股定理在实际问题中的应用，尤其是最短路径问题的求解。通过这节课的教学，我发现以下几点值得反思：
1.学生对勾股定理的理解程度。在授课过程中，我发现部分学生对勾股定理的理解还不够深入，导致在实际问题中不知如何运用。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强对勾股定理原理的讲解，让学生真正理解并掌握这个定理。
4.学生参与度。在课堂教学中，我注意到部分学生的参与度不高，可能是因为他们对课程内容不感兴趣或跟不上教学进度。为了提高学生的参与度，我需要关注每一个学生，及时了解他们的需求和困惑，调整教学节奏和策略。
5.课堂氛围的营造。在今天的教学中，课堂氛围较为活跃，学生们积极讨论、互动。我认为这是一个好的现象，说明学生们对课程内容感兴趣。在今后的教学中，我需要继续保持这种氛围，让学生在轻松愉快的氛围中学习。
17.1勾股定理的应用最短路径问题（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第十七章第一节，主要围绕勾股定理的应用——最短路径问题展开。内容包括：
1.勾股定理的复习与巩固：引导学生回顾勾股定理的内容及其证明，理解直角三角形边长之间的数量关系。
2.最短路径问题引入：通过实际生活中的例子（如城市规划、园林设计等），引出最短路径问题，激发学生兴趣。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决最短路径问题的关键工具，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用勾股定理在实际中找到两点之间的最短路径，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的运用和最短路径问题的求解方法这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
人教版数学八年级上册13.4最短路径问题优秀教学案例
2.组织学生进行课堂展示，让他们分享自己的学习心得和解决问题的方法，培养他们的表达能力和沟通能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
（五）作业小结
1.布置具有实践性和拓展性的作业，让学生运用所学知识解决实际问题，提高他们的应用能力。
2.要求学生在作业中总结最短路径问题的解决方法，培养他们的归纳总结能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示实际，激发他们的学习兴趣。
2.设计具有挑战性和趣味性的实例，让学生在解决问题的过程中，自然引入最短路径问题的概念和方法。
3.创设合作交流的氛围，让学生在小组内共同探讨问题，激发他们的思考和创造力。
（二）讲授新知
1.引导学生关注最短路径问题的本质，即寻找两点间的最优路径，让学生在解决问题的过程中，自然而然地掌握相关知识。
2.通过提问、设疑等方式，引导学生思考最短路径问题的解决方法，激发他们的求知欲和好奇心。
3.讲解最短路径问题的解决方法，如坐标系法、动态规划法、图论等，让学生了解多种解决思路。
3.教师及时批改作业，给予学生反馈，帮助他们发现不足，提高学习效果。
本节课的教学内容与过程注重知识的传授、方法的训练和情感的培养，充分体现了教育的人文关怀和学生的全面发展。通过本节课的学习，学生将更好地掌握最短路径问题的解决方法，提高他们的数学素养和实际应用能力，为未来的学习和生活打下坚实基础。
最短路径问题-教案
最短路线问题一、教学对象：小学三四年级学生二、教学目标1.能够在理解的基础上准确运用“标数法”解决最短路线题目；2.能够运用“标数法”解决其他应用问题，提高学生综合运用知识解决问题的能力；3.在运用“标数法”解决最短路线问题的过程中，引导学生认识杨辉三角，通过找规律，体会数学的魅力；三、教学过程1.导入新知老师：同学们，在日常生活、工作中，我们其实经常会遇到有关行程路线的问题。
快递员送包裹，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求在走最少的路的同时能够游遍所有的景点。
而这些的问题，就是我们今天所要研究学习的“最短路线问题”2.讲解新知最短路线的选择老师：现在请大家看向讲义开头的那一张地图（图1）。
小明同学想从A点步行到达B点，怎么走才是最省时省力的呢？对，很好，在走的路线最短的情况下。
我们常常说两点之间直线最短，但同学们也应该注意到了，在现实生活中，我们的街道常常是纵横交错的，也就是说，小明是不可以直接从A飞到B的，而只能沿着地图上的街道行走。
为了解决这样的问题，我们不妨把问题简单化一下，假设我们要走的城市街道如图（图2）。
好的，现在请同学们拿出一支铅笔画一画从A到B的最短路径，并且尝试着数一数究竟有多少条可选择的最短路径，给大家一分钟的时间，现在开始。
老师：通过尝试，我们不难发现，像城市街道这样的道路布局，两点之间往往不止一条的最短路径，而这些最短路线也有着明显的相似之处。
B在A的右上（东北）方，我们其实只要在从A到B的过程中仅选择向右走或向上走，而不选择向左走或向下走，也就是我们常说的“不走回头路”，是不是就可以保证我们走的就是最短路线呀。
运用“标数法”计算最短路线数目老师：那么，从A到B到底有多少最短路径可供我们选择呢？现在请同学们看向例1，让我们一起来解决这一问题；老师：首先，我们在位于角上的起点标上1，因为只有一种方式选择起点；然后，我们将从这个点出发向东走或者向北走所有能够到达的点上标1。
最短路径优秀教案.doc
课题学习最短路径问题（笫1课时）教学目标1.了解将军饮马及造桥选址两个常见类型.2.会解答将军饮马及造桥选址中的最短路径问题.3.能初步应用将军饮马及造桥选址两个常见类型完成类似题目.教学重点难点1.将实际问题抽象为数学问题.2.解决最短路径问题教学内容将军饮马.教学过程一、导入新课问题1如下图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边/饮马，然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？二、探究新知1.将实际问题抽象为数学问题师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识.(1)把A、B两地抽象为两个点；(2)把河边Z近似地看成一条直线(下图)，C为直线Z上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在/的什么位置时，AC与CB的和最小.2.尝试解决数学问题(1)由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点A, 〃分别是直线?异侧的两个点，如何在2上找到一个点，使得这个点到点A、点〃的距离的和最短?•B利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接与直线/相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.(2)现在要解决的问题是：点A, B分别是直线2同侧的两个点，如何在2 上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短?(3)如何能把点B移到2的另一侧处，同时对直线2上的任一点C,都保持CB 与CB，的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使新问题得到解决.(4)你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点歹吗？学生独立思考后，尝试画图，完成问题.小组交流，师生共同补充得出：作出点B关于/的对称点B',利用轴对称的性质，可以得到CB'=CB (下右图).连接AB',则A夕与/的交点即为所求.3.师生共同分析，合作证明“AC+BC”最短.证明：如上右图，在直线/上的任一点C （与点C 不重合）,连接AC, BC, BG 由轴对称的性质知：BC=B'C, BC=BC:.AC+BC=AC+B ,C=AB ,f AC ,+BC ,=AC+B f C ,.在△ ABC 中，AB ,<AC ,+B ,C ,,・•・ AC+BC<AC+BC. 即AC+BC 最短.提问：证明AC+BC 最短时，为什么要在直线/上任収一点C （与点C 不重合），证 明AC+BC<AC+BC2这里“C”的作用是什么？学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识.三、巩固练习已知P 是△ABC 的边BC 上的点，你能在AB 、AC 上分别确定一点Q 和几 使△P0R 的周长最短吗？学生独立完成，必要时教师点拨指导.课堂小结总结用数学解决实际问题的步骤.教学反思： 证明"I'・B'。
最短路径问题教案
最短路径问题教案目标：通过教学学生如何解决最短路径问题的基本方法和算法。
预备知识：- 图的基本概念和表示：- 顶点（节点）和边（连接节点的线段）- 有向图和无向图- 图的存储方法：- 邻接矩阵- 邻接表引入最短路径问题：- 解释最短路径问题的定义和场景（例如，在道路网络中找到两个位置之间的最短路程）解决最短路径问题：1. 单源最短路径（从一个顶点出发，找到到达其他所有顶点的最短路径）- 方法：- 迪杰斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）- 贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm）2. 多源最短路径（从任意一个顶点到达其他所有顶点的最短路径）- 方法：- 弗洛伊德算法（Floyd-Warshall Algorithm）详细讲解迪杰斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）：1. 解释算法的基本思想（通过逐步更新当前节点到其他节点的最短距离）2. 介绍算法的步骤：- 创建一个距离集合，用于存储从源节点到其他节点的当前最短距离（初始值为无穷大）；- 遍历所有节点，选取一个未被访问的节点作为当前节点；- 更新当前节点到其他节点的距离；- 选择下一个未被访问的节点作为当前节点，重复前面两个步骤，直到所有节点都被访问；- 最终得到源节点到每个节点的最短距离。
3. 通过一个示例图进行演示和详细讲解算法的步骤和执行过程。
4. 讲解算法的复杂度分析：- 时间复杂度：O(V^2)，其中 V 是顶点数，对于稀疏图可以使用堆优化的方式将时间复杂度优化到 O((V+E)logV)。
- 空间复杂度：O(V)，用于存储距离集合。
应用和实际问题：- 最短路径问题在实际生活中的应用- 导航系统- 网络路由- 物流配送优化等练习和作业：1. 练习手动计算给定图的最短路径。
2. 通过编程实现迪杰斯特拉算法，并测试不同的图和输入情况。
授课方法：- 结合课堂讲解、示例图演示和实践编程练习- 鼓励学生提问和参与讨论- 可以结合图形化工具展示算法执行过程评估方式：- 练习题和作业的完成情况- 对算法执行过程的理解和分析。
第13章-第10课 13.4最短路径问题 教案
13.4.最短路径问题一、内容和内容解析1．内容利用轴对称、平移研究某些最短路径问题。
2．内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”。
“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马问题”“造桥选址”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称﹑平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称﹑平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.二、目标和目标解析1.目标：（1）能利用轴对称﹑平移变化解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，（2）在探索最短路径的过程中，感悟﹑应用转化思想．2. 目标解析达成目标（1）的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称、平移变化，将不共线的点﹑线转化到一条直线上，从而将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；并能通过逻辑推理证明所求距离最短．达成目标（2）的标志是：在探索最短路径的过程中，能借助轴对称、平移变化，将不共线的点﹑线转化到一条直线上，体会轴对称、平移的“桥梁”作用，感悟转化思想．三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手。
对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路．教学时．教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”．在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生想不到，不会用．教师可作适时的点拨，让学生体会“任意”的作用.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：如何利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题．四、教学支持条件分析根据本节内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，化静为动，以《几何画板》为平台，通过动态的演示，对线段长度的度量，更有助于学生的探究发现。
八年级数学人教版上册13.4课题学习最短路径问题(第一课时)优秀教学案例
（五）作业小结
1.作业布置：布置一些有关最短路径问题的课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。
2.作业反馈：对学生的作业进行及时批改和反馈，指出其中的错误和不足，给予肯定和建议。
3.课后拓展：鼓励学生参加数学竞赛、研究性学习等活动，拓宽视野，培养创新精神。同时，关注学生在学习过程中的情感态度和价值观的培养，引导他们关爱他人、乐于助人，形成良好的品德素养。
2.利用多媒体展示典型实例，让学生更好地理解和掌握最短路径问题的解决方法。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们的合作精神和团队意识。
4.注重个体差异，给予学生个性化的指导，帮助他们在原有基础上得到提高。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，让他们感受到数学在生活中的实际应用，提高学生学习数学的积极性。
4.反思与评价：引导学生进行自我反思和同伴评价，培养学生的批判性思维和自我改进的能力。同时，教师对学生的学习过程和结果进行评价，注重鼓励性评价，激发学生的学习兴趣和自信心。
5.课后拓展与情感态度培养：布置相关的课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。同时，关注学生在学习过程中的情感态度和价值观的培养，引导他们关爱他人、乐于助人，形成良好的品德素养。
五、案例亮点
1.生活情境导入：通过生活情境导入新课，使学生能够直观地感受到最短路径问题的实际意义，激发学生的学习兴趣和积极性。
2.多媒体辅助教学：利用多媒体展示典型的最短路径问题实例，使抽象的问题具体化、形象化，有助于学生更好地理解和掌握知识。
3.问题导向与小组合作：提出具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
八年级数学人教版上册13.4最短路径问题(第一课时)优秀教学案例
（一）知识与技能
1.理解最短路径问题的实际应用背景，认识到最短路径问题在生活中的重要性。
2.掌握利用图的性质寻找最短路径的方法，能够运用所学知识解决实际问题。
3.了解最短路径问题的基本概念，如路径、权重、最短路径等。
4.学会使用图论中的算法求解最短路径问题，如迪杰斯特拉算法。
（二）过程与方法
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活情境引入：通过展示城市交通网络图，引导学生关注实际生活中的最短路径问题，激发学生的学习兴趣。
2.创设问题情境：提出问题：“如何在城市交通网络中找到从一个地点到另一个地点的最短路径？”引导学生思考和提出解决问题的方法。
（二）讲授新知
1.图的基本概念：介绍图的定义、图的节点和边等基本概念，为学生理解最短路径问题打下基础。
5.知识拓展与延伸：在教学过程中，不仅关注学生对知识的掌握程度，还注重引导学生思考最短路径问题在其他领域的应用，激发学生的学习兴趣和拓展思维。通过知识拓展与延伸，学生能够更好地将所学知识应用于实际生活中，提高他们的数学应用能力。
在教学过程中，我以城市交通网络为背景，设计了一系列具有挑战性的问题，引导学生从实际情境中发现问题、提出问题，激发学生的探究兴趣。同时，我充分发挥学生的主体作用，组织学生进行合作探究，引导他们通过画图、讨论等方式，寻找解决问题的策略。
在教学评价方面，我注重过程性评价与终结性评价相结合，不仅关注学生对知识的掌握程度，更注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。通过本节课的教学，使学生能够运用所学的知识解决实际生活中的最短路径问题，提高他们的数学应用意识。
3.评价原则：评价应具有客观性、发展性、指导性，能够激发学生的学习动力和自我提升意识。
第十八章平行四边形四边形中的最短路径问题(教案)
在实践活动方面，虽然大部分学生能够积极参与，但仍有个别学生操作不够熟练，对实验结果的理解也不够深入。为了提高实践活动的效果，我计划在后续教学中增加一些简单的练习，让学生有更多机会动手操作，提高他们的实际应用能力。
五、教学反思
在本次教学活动中，我重点关注了平行四边形的性质以及四边形中最短路径问题的解决方法。从学生的反应和学习成果来看，我觉得有以下几个方面值得反思：
首先，关于平行四边形性质的讲解，我尝试通过生动的例子和实际操作，让学生更好地理解这一概念。从课堂反馈来看，这种方法效果还不错，学生能够较快地掌握平行四边形的性质。但在接下来的教学中，我需要更多地关注那些对几何图形理解能力较弱的学生，尽可能让他们也能跟上教学进度。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平行四边形的基本概念。平行四边形是具有两组对边分别平行的四边形。它在几何学中具有重要性，因为它的性质可以帮助我们解决很多实际问题，如最短路径问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何在平行四边形中找到两点之间的最短路径，以及这一知识如何帮助我们解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平行四边形的性质和最短路径的寻找方法这两个重点。对于难点部分，我会通过图形示例和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平行四边形最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何在实际图形中应用平行四边形的性质来寻找最短路径。
人教版初中数学八年级上册13.4最短路径问题(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示最短路径的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“最短路径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《最短路径问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过如何找到两点间最短距离的情况？”（如从家到学校的最短路线）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索最短路径的奥秘。
（3）在复杂图形中寻找最短路径时，可以引导学生从简单图形出发，逐步增加难度，让学生掌握解题方法；
（4）结合实际应用，可以设计一些案例，如旅行商问题、工程选址问题等，指导学生如何将所学知识运用到实际中。
在教学过程中，教师应针对这些难点和重点，运用生动形象的语言、具体实例和操作演示，帮助学生理解、掌握和运用相关知识。同时，注意关注学生的反馈，适时调整教学方法和进度，确保学生透彻理解本节课的核心内容。
（3）在实际图形中寻找最短路径，如三角形、四边形等；
（4）将现实生活中的问题转化为数学模型，利用数学知识求解。
举例：讲解最短路径概念时，可以通过实际生活中的例子（如地图上两点间的最短距离）进行说明，使学生理解并掌握这个核心概念。
2.教学难点
（1）如何将实际问题抽象为数学模型，找到最短路径；
最短路径问题教案
最短路径问题教案最短路径问题是图论中的一个重要问题，它涉及到在一个给定图中找到两个节点之间最短的路径的长度。
最常见的应用场景是在网络中找到两个节点间的最短路径，在计算机科学中，最短路径问题也常被应用于路由算法和图像处理等领域。
一、教学目标：1. 理解最短路径问题的基本概念和应用场景。
2. 掌握最短路径算法的基本原理和实现方法。
3. 能够用编程语言实现最短路径算法的代码。
4. 能够解决实际问题中的最短路径问题。
二、教学重点：1. 最短路径问题的基本概念和应用场景。
2. 最短路径算法的基本原理和实现方法。
三、教学难点：1. 最短路径算法的实现方法。
2. 如何解决实际问题中的最短路径问题。
四、教学过程：1. 导入：通过实际例子引入最短路径问题，如旅行商问题、网络路由等。
2. 概念讲解：讲解最短路径问题的基本概念，包括图、节点、边、路径等相关概念。
3. 最短路径算法：讲解最短路径算法的基本原理和实现方法，包括迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法等。
4. 实例演示：（1）演示迪杰斯特拉算法的实现过程，并给出具体的图示例。
（2）演示弗洛伊德算法的实现过程，并给出具体的图示例。
5. 练习：（1）以小组为单位，每个小组选择一个最短路径问题，分析问题，设计算法，编写代码求解。
（2）小组展示解题过程和结果。
6. 总结：总结最短路径问题的概念、算法和应用场景，并提出建议和思考。
五、教学手段：1. PPT讲解：用PPT讲解最短路径问题的基本概念、算法原理和实现方法，并配以图示例进行讲解。
2. 实例演示：通过具体的图示例演示最短路径算法的实现过程，帮助学生理解算法的具体步骤和操作。
3. 问题解答：在讲解过程中，及时解答学生提出的问题，帮助学生理解和消除疑惑。
4. 小组练习：通过小组合作的方式，让学生在实际问题中应用最短路径算法，锻炼解决问题的能力和编程实践能力。
六、思考题：1. 最短路径问题有哪些应用场景？2. 迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法有什么区别？3. 最短路径问题还有哪些其他的解法？分别适用于什么情况？4. 如何判断一个图中是否存在负权边？5. 如何判断一个图中是否存在负权环？七、教学反思：最短路径问题是图论中的一个经典问题，教学过程中需要注意以问题为导向，通过实例来讲解和演示算法的实现过程，培养学生的问题分析和解决能力。
人教版八年级上册数学13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例
（三）情感态度与价值观
1.让学生在解决实际问题的过程中，体验数学的乐趣，提高学生学习数学的兴趣。
2.培养学生面对困难时积极思考、勇于挑战的精神，增强学生的自信心。
3.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的数学应用意识和社会责任感。
三、教学重难点
2.跨学科教学：结合其他学科的知识，如地理、信息技术等，拓宽学生的知识视野，培养学生的综合能力。
六、教学资源
1.教材：人教版八年级上册数学教材。
2.辅助材料：相关的最短路径问题的案例、练习题和拓展问题。
3.现代教育技术：多媒体课件、网络资源等。
七、教学评价
1.学生评价：通过学生的课堂表现、作业完成情况和练习成绩等方面进行评价。
（二）讲授新知
在导入新课后，我会开始讲解最短路径问题的相关知识。首先，我会向学生们介绍最短路径问题的定义，让学生们明白什么是最短路径。接着，我会讲解解决最短路径问题的基本方法，如坐标系法、函数法等。在讲解的过程中，我会结合具体的例子，让学生们更直观地理解这些方法。
（三）学生小组讨论
在讲授完新知识后，我会让学生们进行小组讨论。我会给每个小组提供一个实际问题，让他们运用所学知识，合作解决这个最短路径问题。这样的讨论，可以培养学生的团队合作精神，也可以让学生们在实践中加深对知识的理解和应用。
3.互动评价：小组之间进行互动评价，相互学习和提高。
（四）反思与评价
1.自我反思：引导学生对自己的学习过程进行反思，发现自身的优点和不足，制定改进措施。
2.同伴评价：学生之间相互评价，给予意见和建议，促进共同进步。
3.教师评价：教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的个体差异，给予鼓励和指导。
最短路径教案
最短路径教案第一篇：最短路径教案13.4最短路径问题一、教学内容：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。
本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。
二、教学目标1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题2、再谈岁最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。
三、教学重难点重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。
四、教学问题诊断最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。
解答“当点AB在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与BC的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与直线l上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。
在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。
教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与直线l 上的点的和最小”为学生搭建“脚手架”，在证明最短时，教师要适时点拨学生，让学生体会任意的作用。
五、教学过程教师引语：现实生活中经常会有这样的生活经历，比如学校虽然为我们铺设了一些石板甬路，方便同学们的行走，但是很多时候我们却并不在这些小路上行走，这样做的目的是什么呢？（学生一起回答）如果用数学知识来解释这种行为，那就是我们曾经学习的“两点之间、线段最短”或“垂线段最短”，我们称这样的问题为最短路径问题（板书课题）现实生活中经常涉及到最短路径问题，这节课我们学习的主要任务就是最短路径问题，并用所学知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。
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课题：§13·4 课题学习最短路径问题（第2课时）内容分析1.课标要求“课题学习”，着重在于考查学生综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。
本节课是“最短路径问题（第2课时）”，让学生经历用“平移变换”和“两点之间，线段最短”来寻求分析问题和解决问题的方法的过程，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，体会图形变化在解决问题中的作用，感悟转化的思想。
2.教材分析知识层面：本节课的教学内容是研究一道有趣的“造桥选址”问题，充分体现了利用平移变换实现问题转化，从而有效求解。
学生是在已经学习了三角形及平移、轴对称知识的基础上进行的有关最短路径问题的研究。
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。
本节课以“造桥选址”为背景，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。
对它的学习和研究，有助于对最短路径问题的分析、解决。
为今后在求立体图形、圆、平面直角坐标系中求最值问题提供了方法。
能力层面：学生在七年级和上节课的学习过程中，已经掌握了用与最值有关的公理、定理解决问题的推理能力。
“造桥选址”是实际生活中的极值问题，在这个问题中，平移起了一个桥梁作用，学习过程的本质是推理与化归的过程。
有助于提高学生的推理能力、应用意识；分析问题、解决问题的能力。
思想层面：本节课在将实际问题抽象成几何图形的过程中渗透数学建模的思想。
在如何将三条线段的和转化为两条线段的和的探索过程中体现了转化的思想。
在最值问题的证明中，“任取”一点'C(除了点C外)，由于点'C的任意性，所以结论对于直线上的每一点（除了点C外）都成立，这在数学中常采用的方法，体现了化归的思想。
3.学情分析最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此之前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有具体背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。
与上节课相比，本节课的问题更为复杂，出现了三段线段的和最小问题，解答“当点N在直线2l的什么位置时，NBAM++最小?”需要将其转化为“当MN点N在直线2l的什么位置时，NBAM+最小?”。
能否这样转化，如何实现这样的转化？有的学生会存在理解上和操作上的困难，还有的学生可能会受思维惯性的影响（上节课学习了“利用轴对称解决最短路径问题”）。
在教学中要巧妙引导，其本质还是在于对“两点之间，线段最短”的深刻理解。
在证明“在直线2l上任取一点'N（与所求做的点不重合），B''++'AM'NNM大于NB+”，这种思路和方法，学生有了上节课的经验，容易想到。
AM+MN教师要适时点拨，让学生体会“任意”，并在小组合作中展开讨论，让学生自己证明。
教学目标对教学内容的研究是为了制定精准的教学目标，本节课的总体教学目标是：能利用平移解决最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中作用，感悟转化的思想。
具体体现如下：（1)知识与技能：初步学会利用三角形、平移性质等知识，求线段和的最小值，会解决简单的最短路径问题；（2）数学思考：经历问题探究的过程，感受图形变换、转化等数学思想方法，体验数学思考的严谨性；（3）问题解决：经历与同学合作讨论交流解决问题的过程，尝试解释自己解决问题的方法；（4）情感与态度：在学习过程中，体会数学与生活的关系；激发学生学习数学的兴趣；培养学生的合作精神。
重点：利用平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
难点：如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题。
关键：利用平移将桥的长度巧妙地化解开去。
设计意图：学生能将实际问题中的“地点”“河岸”“桥”抽象为数学中的“点”“线”“线段”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用河的宽度固定，利用平移巧妙地将两河岸巧妙“二合一”为一条直线，从而将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；会用与上节课类似的方法证明问题，体现了化归的思想，提高学生的应用意识。
策略分析教学目标的达成需要有效的教学策略，依据教学内容和学生情况，为解决教学问题，本节课采取“问题串”的方式组织教学活动。
在教学中我以小故事的方式推动教学，设计了一系列的问题，由易到难，层层深入，引导学生在逐步解决问题的过程中理解找到符合条件的点的方法和原理；这样使问题简单化，学生易于理解和掌握。
从而达到突出重点、突破难点，化难为易的目的。
教学过程一、复习引入师：“最短路径问题”是大家很熟悉的一个话题，生活中的应用非常广泛：（图片1）在城市建设时经常将弯曲的河道改直，这样做的数学依据是什么？生：两点之间，线段最短（图片2）测量学生跳远成绩的数学依据是什么？生：垂线段最短（图片3）在两岸平行的河面上如何建桥最经济最科学，它的数学依据是什么？生：垂线段最短师：我们要学会运用数学知识来美化我们的生活。
上节课我们一起讨论了两个非常有趣的话题“将军饮马”问题。
如图1：将军从A地出发到一条笔直的小溪边l饮马，然后到B 地．到溪边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？问1：你能用数学语言描述这个问题吗？生：A,B两点在直线l两侧，在直线l上找点C使CA+CB最小问2：你是如何找到点C的，依据是什么？生：连接AB交直线l于C点，C点就是要找的点，依据是“两点之间，线段最短”如图2：将军从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?问1：你能用数学语言描述这个问题吗？生：A,B两点在直线l同侧，在直线l上找点C使CA+CB最小问2：你是如何找到点C的，依据是什么？生：作B点关于直线l的对称点B′点，连接AB′交直线l于C点，C点就是要找的点，依据是“两点之间，线段最短”师：刚才两位同学的回答都非常准确，这两个问题实际上就是求“两点一线”型的线段和最小值问题（1）两点在直线l 的异侧 （2）两点在直线l 的同侧两点在直线l 的异侧时，利用“两点之间，线段最短”找点C ，两点在直线l 的同侧时，利用轴对称将直线同侧两点转化为异侧两点，再利用“两点之间，线段最短”找点C 。
转化思想是解决数学问题的一种重要思想方法1、实际生活问题转化为数学问题2、两点在直线同侧问题转化为两点在直线异侧问题。
设计意图：通过复习，渗透转化思想。
我们继续研究“将军饮马”问题，将军又搬家了，搬到哪呢？我们一起来看题：A 、B 两地在一条大河的两岸，将军现要在河上造一座桥MN ，才能从A 到B 地。
（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）使得从A 到B 的距离最短，桥应该造在何处？这又出现了一个“最短路径问题”。
在本节课中会运用怎样的图形变换来解决这个问题呢？二、自主探究活动一、 分析问题：问题1：对于这个实际问题，我们首先要做什么？生：首先把实际问题转化为数学问题。
N M河流图1P图2河岸BABA追问1：能在实际问题中抽象出几何图形吗?生：具体地可以将A 、B 两地抽象为两个点，将河的两岸抽象为两条互相平行的直线，将桥抽象为一条与直线垂直的线段MN 。
我们要解决的问题就是找到满足条件的线段MN 的具体位置。
追问2：对于桥的确定需要几个点？生：两个（点N M ,） 追问3：如果已知一个点可以确定另一个点吗？生思考并回答：可以。
师：这样把找“一条线段MN ”的问题就转化为“找一个点”的问题了。
追问4：综合以上分析，请结合图形用数学语言来描述这个问题？学生思考讨论，并相互补充，最后达成共识：如图3，直线1l ∥2l ，点N 为直线2l 上的一个动点，2MN l ⊥，交直线1l 于点M ，当点N 位于什么位置时，NB MN AM ++最小？也可说成：如图3，直线1l ∥2l ，点M 为直线1l 上的一个动点，1MN l ⊥，交直线2l 于点N ，当点M 位于什么位置时，NB MN AM ++最小？ 设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”。
三、合作提升活动二、解决问题追问3：问题中要求的N 点位于何处NB MN AM ++最小，在这三条线段中，有哪些线段的长度会随着点N 位置变化而变化？生：由于河岸是互相平行的且桥要与河岸垂直，决定了桥的长度MN 就是河宽，无论桥造在何处，MN 是必经路线，所以我认为NB MN AM ++最小本质上就是NB AM +最小。
M M N N N M B 河流A b 3图追问4：这位同学的分析很准确，这是一个很大的突破，那么怎样保证NB AM +最小呢？学生思考。
追问5：如图4，假设点A 、B 中间不是隔着一条河（平行线），而是一条直线，你会解决这个问题吗？生：直接连接A 、B 即可。
图4 图5追问6：我们现在将一条直线转化成了一条河，这两个问题之间有什么联系？你能把今天的问题转化为前面的问题来解决吗？学生小组讨论，动手操作，老师观察生1：将直线1l 向直线2l 平移，与2l 重合，连接AB 交2l 于点N,N 点就是所要找的点。
生2：将直线1l 向直线2l 平移，平移的方向为“与河岸垂直”，平移的距离为“河宽”，使两直线重合，但点A 也需要同样的平移，否则点A 与河岸的距离会发生变化。
这样就转化为假设的问题了，从而找到建桥点N 。
师动画演示。
师：如何清楚地表达这种方法？并画出图形。
学生小组合作交流，相互补充生：过点A 作射线1AC l ⊥,在AC 上截取='AA 河宽，连接B A '，交直线2l 于点N ，点N 即为所求。
设计意图：通过搭建平台，将“三条线段和”的问题，转化为“两条线段和”B A 河流B Ab a 图6的问题；将“两平行线”转化为“一条直线”问题。
通过这两个台阶，降低问题的难度，渗透转化思想，提高学生分析问题、解决问题的能力。
四、引导发展活动三、证明问题通过几何画板演示MN 位置变化时路径大小的变化师：你能证明这样找到的点N 为符合条件的点吗？通过上节课的学习，要证明“最大”或“最小”这类问题，通常怎么处理？生：常常要另任选一个量，通过与需求证的那个“最大”或“最小”的量进行比较来证明。
生：不妨在直线2l 上另外取一点'N ，作为建桥点，过'N 作'1NM l ⊥，垂足为'M ，连接B N AM '',,求证：<++NB MN AM B N N M AM ''''++.学生在学习提纲上进行尝试证明。