2019年中考数学重点题型突破易错点：4-4《多边形与平行四边形》试题及答案
中考数学《多边形和平行四边形》专题含解析
多边形和平行四边形一、填空题1．如图，□ABCD中，∠B=50°，AB=5cm，BC=7cm，则∠D=度，□ABCD的周长为cm．2．如图：□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为cm．3．如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为．二、选择题4．如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB 6．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对7．如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DFC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC三、解答题8．如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．9．已知：□ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．10．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．（1）求证：四边形AECG是平行四边形；（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm2．①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值．12．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是；②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是．13．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD 的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．试说明点P是四边形ABCD的准等距点．（4）试研究四边形的准等距点个数的情况．（说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数，不必证明）14．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．多边形和平行四边形参考答案与试题解析一、填空题1．如图，□ABCD中，∠B=50°，AB=5cm，BC=7cm，则∠D=50度，□ABCD的周长为24cm．【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行边形性质中对角、对边相等可知，∠B=∠D=50°，平行四边形的周长=2（AB+BC）．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B∵∠B=50°∴∠D=50°②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD∵AB=5cm，BC=7cm∴□ABCD的周长为：2（AB+BC）=24cm．故答案为50、24．【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．2．如图：□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为8cm．【考点】平行四边形的性质．【分析】平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即2（AB+BC）=28，则AB+BC=14cm，而△ABC的周长=AB+BC+AC=22，所以AC=22﹣14=8cm．【解答】解：∵□ABCD的周长是28 cm∴AB+AD=14cm∵△ABC的周长是22cm∴AC=22﹣（AB+AC）=8cm故答案为8．【点评】在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择地使用，避免混淆性质，以致错用性质．3．如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为2．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】作EF∥AB，交AD于F，可证ABEF、CDFE为平行四边形，又AE平分∠BAD，可进一步证明AB=BE，ABEF为菱形，则AF=AB=3，DF=5﹣3=2，则EC=2．【解答】解：过点E作EF∥AB，交AD于F∵在□ABCD，EF∥AB∴AB=EF，AF=BE∵∠FAE=∠BAE∴△AFE≌△ABE∴AB=BE=EF=AF∴ABEF为菱形∴EC=AD﹣AB=2．故答案为：2．【点评】此题综合性较强，考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、角平分线的定义等知识点．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）4．如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A与点C关于原点对称，所以C的坐标为（2，﹣3）．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，A点与C点关于原点对称∴C点坐标为（2，﹣3）．故选D．【点评】主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的关系．要会根据平行四边形的性质得到点A与点C关于原点对称的特点，是解题的关键．5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB【考点】平行四边形的判定．【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是C【解答】解：A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故正确；B、根据平行四边形的定义即可判定，故正确；C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，等腰梯形满足条件．故该选项错误．D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定．故正确．故选C．【点评】此题主要考查对平行四边形的判定掌握的熟练程度．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．6．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对【考点】平行四边形的性质．【专题】应用题；压轴题．【分析】由于在平行四边形中，已给出条件MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，因此，MN、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，所以红、紫四边形的高相等，由此可证明S1S4=S2S3．【解答】解：设红、紫四边形的高相等为h1，黄、白四边形的高相等，高为h2，则S1=DE•h1，S2=AF•h2，S3=EC•h1，S4=FB•h2，因为DE=AF，EC=FB，故A错误；S1+S4=DE•h1+FB•h2=AF•h1+FB•h2，S2+S3=AF•h2+EC•h1=AF•h2+FB•h1，故B错误；S1S4=DE•h1•FB•h2=AF•h1•FB•h2，S2S3=AF•h2•EC•h1=AF•h2•FB•h1，所以S1S4=S2S3，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的是平行四变形的性质，平行四边形两组对边分别平行且相等，同时充分利用等量相加减原理解题，否则容易从直观上判断B是正确的．7．如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DFC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】本题要综合分析，但主要依据都是平行四边形的性质．【解答】解：A、∵AD∥BC∴△AFD∽△EFB∴====4S△EFB；故S△AFDB、由A中的相似比可知，BF=DF，正确．C、由∠AEC=∠DCE可知正确．D、利用等腰三角形和平行的性质即可证明．故选：A．【点评】解决本题的关键是利用相似求得各对应线段的比例关系．三、解答题8．如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°，所以四边形AFCE是平行四边形．（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC=∠BFC，∠EAF=∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．∴∠ADE=∠CBF=60°．∵AE=AD，CF=CB，∴△AED，△CFB是正三角形．∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．∴四边形AFCE是平行四边形．（2）解：上述结论还成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．∴∠ADE=∠CBF．∵AE=AD，CF=CB，∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．∴∠AED=∠CFB．又∵AD=BC，在△ADE和△CBF中．，∴△ADE≌△CBF（AAS）．∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．又∵∠DAB=∠BCD，∴∠EAF=∠FCE．∴四边形EAFC是平行四边形．【点评】本题考查了等边三角形的性质及平行四边形的判定．多种知识综合运用是解题中经常要遇到的．9．已知：□ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）先判定四边形AFGC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等的性质知AC=FG；然后由被平行线所截的线段对应成比例（==）求出PE与PG的数量关系，解答到此，来证明AC=PE+PF的问题就迎刃而解了．（2）推理类同于（1）．【解答】证明：（1）延长FP交DC于点G，∵AB∥CD，AC∥FG，∴四边形AFGC是平行四边形，∴AC=FG（平行四边形的对边相等），∵EG∥AC，∴==（被平行线所截的线段对应成比例）；又∵OA=OC，∴PE=PG，∴AC=FG=PF+PG=PE+PF；（2）若点P在BD延长线上，AC=PF﹣PE．如下图所示若点P在DB延长线上，AC=PE﹣PF．如下图所示．．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质．10．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．（1）求证：四边形AECG是平行四边形；（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；解一元二次方程﹣公式法；勾股定理；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明AG∥CE，AE∥CG 即可；（2）解法1：在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的长求出；解法2，通过△AEF∽△ACB，可将线段EF的长求出．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．由题意，得∠GAH=∠DAC，∠ECF=∠BCA．∴∠GAH=∠ECF，∴AG∥CE．又∵AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形．（2）解法1：在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=3，∴AC=5．∵CF=CB=3，∴AF=2．在Rt△AEF中，设EF=x，则AE=4﹣x．根据勾股定理，得AE2=AF2+EF2，即（4﹣x）2=22+x2．解得x=，即线段EF长为cm．解法2：∵∠AFE=∠B=90°，∠FAE=∠BAC，∴△AEF∽△ACB，∴．∴，解得，即线段EF长为cm．【点评】本题考查图形的折叠变化，关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm2．①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值．【考点】二次函数综合题；平行四边形的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）在三角形AEP中，AP=2，∠A=60°，利用三角函数可求出AE和PE，即可求出面积；（2）①此题应分情况讨论，因为两个动点运动速度不同，所以有点P与点Q都在AB 上运动、点P在BC上运动点Q仍在AB上运动、点P和点Q都在BC上运动三种情况，在每种情况下可利用三角函数分别求出我们所需要的值，进而求解．②在①的基础上，首先①求出函数关系式之后，根据t的取值范围不同函数最大值也不同．【解答】解：（1）当点P运动2秒时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=．（2分）=；∴S△APE（2）①当0≤t＜6时，点P与点Q都在AB上运动，如图所示：设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=t，AP=t+2，AG=1+，PG=+t．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=t+；②当6≤t＜8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．如图所示：设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4﹣，QF=t，BP=t﹣6，CP=10﹣t，PG=（10﹣t），而BD=4，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=﹣t2+10t﹣34，③当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动．如图所示：设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20﹣2t，QF=（20﹣2t），CP=10﹣t，PG=（10﹣t）．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=．（14分）故S关于t的函数关系式为；②（附加题）当0≤t＜6时，S的最大值为，（1分）当6≤t＜8时，S的最大值为6，（舍去），（2分）当8≤t≤10时，S的最大值为6，（3分）所以当t=8时，S有最大值为6．（如正确作出函数图象并根据图象得出最大值，同样给4分）【点评】此题解答需数形结合，把函数知识和几何知识紧密联系在一起，难易程度适中．12．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或；②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是S1×S3=S2×S4或．【考点】作图—应用与设计作图．【专题】压轴题；新定义；开放型．【分析】（1）在BD上任选一点E（不与B、D重合），连接AE、CE即可；（2）根据等底等高，可得结论：①S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或等．②S1×S3=S2×S4或等．【解答】解：（1）比如：（2）①S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或等．②∵分别作△ABD与△BCD的高，h1，h2，则=，=，∴S1×S3=S2×S4或等．【点评】此题主要考查学生的阅读理解能力和对等底等高知识的灵活应用．13．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD 的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．试说明点P是四边形ABCD的准等距点．（4）试研究四边形的准等距点个数的情况．（说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数，不必证明）【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分，根据线段垂直平分线的性质，则只需要在其中一条对角线上找到和对角线的交点不重合的点即可；（2）根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则可作对角线BD的垂直平分线和另一条对角线所在的直线的交点即为所求作；（3）只需说明PD=PB即可．根据已知的条件可以根据AAS证明△DCF≌△BCE，则∠CDB=∠CBD，进而得到∠PDB=∠PBD，证明结论即可；（4）根据上述确定准等距点的方法：即作其中一条对角线的垂直平分线和另一条对角线所在的直线的交点．所以分析讨论的时候，主要是根据两条对角线的位置关系进行分析讨论．【解答】解：（1）如图2，点P即为所画点；（1分）（2）如图3，点P即为所作点（作法不唯一）；（2分）（3）连接DB．在△DCF与△BCE中，∠DCF=∠BCE，∠CDF=∠CBE，CF=CE．∴△DCF≌△BCE（AAS），∴CD=CB，∴∠CDB=∠CBD，∴∠PDB=∠PBD，∴PD=PB，∵PA≠PC，∴点P是四边形ABCD的准等距点．（4）①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个．（7分）【点评】关键是熟悉菱形的性质，能够根据线段垂直平分线的性质的逆定理进行分析作图，能够根据找准等距点的方和四边形中两条对角线的位置关系判断准等距点的个数．14．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题；探究型．【分析】连接BE，根据边角边可证△PAM和△EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又因为BC⊥AC，所以DE也和AC 垂直．以下几种情况虽然图象有所变化，但是证明方法一致．【解答】解：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．（2）如图4，如图5．（3）方法一：如图6，连接BE，∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，∴△PMA≌△EMB．∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．∵平行四边形PADC，∴PA∥DC，PA=DC．∴BE∥DC，BE=DC，∴四边形DEBC是平行四边形．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．方法二：如图7，连接BE，PB，AE，∵PM=ME，AM=MB，∴四边形PAEB是平行四边形．∴PA∥BE，PA=BE，余下部分同方法一：方法三：如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，∵平行四边形PADC，∴AN=NC，PN=ND．∵AM=BM，AN=NC，∴MN∥BC，MN=BC．又∵PN=ND，PM=ME，∴MN∥DE，MN=DE．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∴DE⊥AC．（4）如图9，DE∥BC，DE=BC．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及全等的应用，难易程度适中．。
【解析版】中考数学常考易错点：4.4《多边形与平行四边形》(原创)
4.4 多边形与平行四边形易错清单1. 平行四边形的性质.【例1】(2018·湖南益阳)如图,平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能是( ).A. AE=CFB. BE=FDC. BF=DED. ∠1=∠2【解析】 A.当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF,故此选项符合题意;B. 当BE=FD,∵平行四边形ABCD,∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误;C. 当BF=ED,∴BE=DF.∵平行四边形ABCD,∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误;D. 当∠1=∠2,∵平行四边形ABCD,∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(ASA),故此选项错误;【答案】 A【误区纠错】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.注意平行四边形对角线互相平分.2. 平行四边形的判定.【例2】(2018·云南)如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M,N分别是AD,BC的中点,BC=2CD.(1)求证:四边形MNCD是平行四边形;(2)求证:BD=MN.【解析】(1)根据平行四边形的性质,可得AD与BC的关系,根据MD与NC的关系,可得证明结论;(2)根据根据等边三角形的判定与性质,可得∠DNC的度数,根据三角形外角的性质,可得∠DBC的度数,根据正切函数,可得答案.【答案】(1)∵ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC.∵M,N分别是AD,BC的中点,∴MD=NC,MD∥NC.∴四边形MNCD是平行四边形.(2)如图,连接ND,∵四边形MNCD是平行四边形,∴MN=DC.∵N是BC的中点,∴BN=CN.∵BC=2CD,∠C=60°,∴△NCD是等边三角形.∴ND=NC,∠DNC=60°.∵∠DNC是△BND的外角,∴∠NBD+∠NDB=∠DNC.∵DN=NC=NB,【误区纠错】本题考查了平行四边形的判定与性质,利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,等边三角形的判定与性质,正切函数.但是要注意一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,例如等腰梯形.名师点拨1. 掌握多边形内角和公式(n-2)·180°及外角和均为360°这个特征.2. 会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.名师点拨1. 掌握多边形内角和公式(n-2)·180°及外角和均为360°这个特征.2. 会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.提分策略1. 综合运用平行四边形的性质与判定解决问题.由于平行四边形的对边相等、对角相等,所以利用平行四边形的性质可以探索与证明边角相等的问题,解决此类问题时,一般先判定一个四边形是平行四边形,然后利用其性质得到结论.【例1】如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF.求证:(1)△ABE≌△CDF;(2)四边形BFDE是平行四边形.【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,对角相等的性质,即可证得∠A=∠C,AB=CD,又由AE=CF,利用SAS,即可判定△ABE≌△CDF.(2)由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边平行且相等,即可得AD∥BC,AD=BC.又由AE=CF,即可证得DE=BF.根据对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可证得四边形BFDE是平行四边形.【答案】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB=CD.在△ABE和△CDF中,∵AB=CD,∠A=∠C,AE=CF,∴△ABE≌△CDF(SAS).(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵AE=CF,∴AD-AE=BC-CF,即DE=BF.∴四边形BFDE是平行四边形.2. 平行四边形的判定.利用平行四边形的性质研究三角形的全等,以及等腰三角形的判定等,也可为了证明一个四边形是平行四边形,先证明两个三角形全等,为进一步证明四边形是平行四边形提供条件.【例2】(2018·甘肃白银)D,E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB,AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连接OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺次连接点D,G,F,E.如图,当点O在△ABC的内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形.【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC,GF∥BC且GF=BC,从而得到DE∥GF,DE=GF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;【答案】∵D,E分别是AB,AC边的中点,∴DE∥GF且DE=GF.∴四边形DEFG是平行四边形.3. 研究一种或多种正多边形的镶嵌问题.(1)判断一种正多边形能否进行平面镶嵌,可以用360°除以这个正多边形的内角度数,如果能整除则这个正多边形能进行平面镶嵌.【例3】在下列图形中,单独选用该图形不能进行平面镶嵌的是( ).A. 正三角形B. 正六边形C. 正方形D. 正五边形【解析】 A. 正三角形的一个内角度数为180°-360°÷3=60°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;B. 正六边形的一个内角度数为180°-360°÷6=120°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;C. 正方形的一个内角度数为180°-360°÷4=90°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;D. 正五边形的一个内角度数为180°-360°÷5=108°,不是360°的因数,不能镶嵌平面,符合题意.【答案】 D(2)判断不同种的正多边形能否进行平面镶嵌,先求出这些正多边形的内角,建立方程,然后判断这个方程是否有正整数解.【例4】现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张,下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( ).A. 正方形和正六边形B. 正三角形和正方形C. 正三角形和正六边形D. 正三角形、正方形和正六边形【解析】A选项,正方形和正六边形内角分别为90°,120°,由于90m+120n=360,得,显然n取任何正整数时,m不能得正整数,故不能铺满;B选项,正三角形和正方形内角分别为60°,90°,由于60°×3+90°×2=360°,故能铺满;C选项,正三角形和正六边形内角分别为60°,120°,由于60°×2+120°×2=360°,故能铺满;D选项,正三角形、正方形和正六边形内角分别为60°,90°,120°,由于60°+90°+90°+120°=360°,故能铺满.【答案】 A专项训练一、选择题1. (2018·北京房山区二模)若正多边形的一个外角是36°,则该正多边形为( ).A. 正八边形B. 正九边形C. 正十边形D. 正十一边形2. (2018·江苏常州模拟)已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是( ).A. 当AB=BC时,它是菱形B. 当AC⊥BD时,它是菱形C. 当∠ABC=90°时,它是矩形D. 当AC=BD时,它是正方形3. (2018·四川乐山模拟)如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB 的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则S1+S2等于( ).A. 4B. 6C. 8D. 不能确定(第3题)(第4题)4. (2018·安徽安庆外国语学校模拟)如图,已知点O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°,则∠DAO+∠DCO的大小是( ).A. 70°B. 110°C. 140°D. 150°5. (2018·浙江海宁部分学校联考)如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的外角,且∠1=∠2=∠3=∠4=70°,则∠AED的度数是( ).A. 110°B. 108°C. 105°D. 100°(第5题)(第7题)6. (2018·内蒙古赤峰模拟)一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°,则该多边形的边数是( ).A. 5B. 6C. 7D. 87. (2018·云南宣威模拟)如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线AE交BC于点E,且AE=BE,则∠BCD的度数为( ).A. 30°B. 60°或120°C. 60°D. 120°8. (2018·陕西西安模拟)下面给出了四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是( ).A. 1∶2∶3∶4B. 2∶3∶2∶3C. 2∶3∶4∶5D. 1∶2∶2∶3二、填空题9. (2018·江苏南京二模)如图,将正五边形ABCDE的点C固定,并依顺时针方向旋转,若要使得新五边形A'B'C'D'E'的顶点D'落在直线BC上,则至少要旋转°.(第9题)10. (2018·湖北枣阳模拟)已知▱ABCD的周长为28,自顶点A作AE⊥DC,垂足为E,AF⊥BC,垂足为F.若AE=3,AF=4,则CE-CF= .三、解答题11. (2018·上海长宁区二模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是BC,BA的中点,连接DE,F在DE延长线上,且AF=AE.求证:四边形ACEF是平行四边形.(第11题)12. (2018·广东深圳模拟)已知:如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线BD,作AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,(1)求证:△AED≌△CFB;(2)若∠ABC=75°,∠ADB=30°,AE=3,求平行四边形ABCD的周长?(第12题)13. (2018·浙江湖州中考模拟试卷)如图,▱ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点.(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;(2)若AD=AE=2,∠A=60°,求四边形EBFD的周长.(第13题)参考答案与解析1. C [解析]多边形外角和均等于360°,2. D [解析] 当AC=BD时,它是矩形..因为对角线相等的平行四边形是矩形.3. C [解析]∵△PEF的面积是2,∴△PBC的面积是2×4=8.∵△PDC,△PAB的面积和等于△PBC的面积均是平行四边形面积的一半,∴S1+S2=8.4. D [解析]∠BAO+∠BCO=∠ABO+∠CBO=∠ABC=70°,所以∠BOA+∠BOC=360°-140°=220°,所以∠AOC=140°.5. D [解析]本题考查多边形的内角和,外角和的概念.6. C [解析](n-2)×180°=3×360°-180°.7. D [解析]△ABE是等边三角形.8. B [解析]平行四边形对角相等.9. 72°[解析]正五边形每个内角相等,均等于, 至少旋转180°-108°=72°后新五边形A'B'C'D'E'的顶点D'落在直线BC上.11. ∵∠ACB=90°, E是BA的中点,∴CE=AE=BE.∵AF=AE,∴AF=CE.在△BEC中,∵BE=CE且D是BC的中点,∴ED是等腰三角形BEC底边上的中线.∴ED也是等腰三角形BEC的顶角平分线.∴∠1=∠2.∴∠AEC=180°-∠1-∠2=180°-2∠1.∵AF=AE,∴∠F=∠3 .∵∠1=∠3,∴∠1=∠F=∠3.∴在△AEF中,∠FAE=180°-∠3-∠F=180°-2∠1. ∴∠AEC=∠F AE,∴CE∥AF.又CE=AF,∴四边形ACEF是平行四边形.(第11题)12. (1)∵平行四边形ABCD,∴AD=BC,AD∥BC.∴∠ADE=∠CBF.又AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,∴∠AED=∠CFB=90°.∴△AED≌△CFB (AAS) .(2)在Rt△AED中,∵∠ADE=30°,AE=3,∴AD=2AE=2×3=6.∵∠ABC=75°,∠ADB=∠CBD=30°,∴∠ABE=45° .13. (1)在▱ABCD中,AB=CD,AB∥CD.∵E,F分别是AB,CD的中点,∴BE=DF.∴四边形EBFD是平行四边形.(2)∵AD=AE,∠A=60°,∴△ADE是等边三角形.∴DE=AD=2.又BE=AE=2,由(1)知四边形EBFD是平行四边形, ∴四边形EBFD的周长=2(BE+DE)=8.。
中考数学总复习《45多边形与平行四边形》试题训练及解析.doc
第五节多边形与平行四边形基础训练1.（2017苏州中考）如图,在正五边形ABCDE中,连接BE,贝iJZABE的度数为（B）A.30°B.36°C.54°D.72°“（第1题图）2.（湘西屮考）下列说法错误的是（D）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形2两组对边分别相等的四边形是平行四边形C 一组对边平行冃相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形3・（2015石家屮四十三屮模拟）如图，在口ABCD屮，延长AB到点E,使BE = AB,连接DE交BC于点F,则下列结论不一定成立的是（D）A. ZE=ZCDF B・ EF=DFC. AD = 2BFD. BE=2CF4.（2017 丽水中考）如图，在口ABCD 中，连接AC, ZABC= ZCAD=45° , AB =2,则BC的长是（C）A.y[2B. 2C. 2^2 D・ 45.（荷泽中考）在口ABCD中,AB = 3, BC=4,当口ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（B）①AC = 5；②ZA+ZC=180° ；③AC丄BD；④AC=BD.A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④6・（孝感中考）在口ABCD中，AD = 8, AE平分ZBAD交BC于点E” DF平分ZADC 交BC于点F,且EF=2,则AB的长为（D）儿 3 B. 5C 2或3 〃・3或57.平行四边形ABCD与等边AAEF如图放置，如果ZB = 45° ,那么ZBAE 的大小是（A）A.75°B.70°C.65°D.60°8.（北京中考）如图是由射线AB, BC, CD, DE, EA组成的平面图形，则Z1 + Z2+Z3+Z4+Z5= 360°9・（江西中考）如图所示，在oABCD中，ZC = 40° ,过点D作AD的垂线，交AB于点E,交CB的延长线于点F,则ZBEF的度数为§0。
2019年中考数学重点题型突破易错点：4-4《多边形与平行四边形》试题及答案
4.4多边形与平行四边形易错清单1.平行四边形的性质.【例1】(2014·湖南益阳)如图,平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能是().A. AE=CFB. BE=FDC. BF=DED. ∠1=∠2【解析】 A.当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF,故此选项符合题意;B. 当BE=FD,∵平行四边形ABCD,∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误;C. 当BF=ED,∴BE=DF.∵平行四边形ABCD,∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误;D. 当∠1=∠2,∵平行四边形ABCD,∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(ASA),故此选项错误;【答案】 A【误区纠错】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.注意平行四边形对角线互相平分.2.平行四边形的判定.【例2】(2014·云南)如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M,N分别是AD,BC的中点,BC=2CD.(1)求证:四边形MNCD是平行四边形;(2)求证:BD=MN.【解析】(1)根据平行四边形的性质,可得AD与BC的关系,根据MD与NC的关系,可得证明结论;(2)根据根据等边三角形的判定与性质,可得∠DNC的度数,根据三角形外角的性质,可得∠DBC的度数,根据正切函数,可得答案.【答案】(1)∵ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC.∵M,N分别是AD,BC的中点,∴MD=NC,MD∥NC.∴四边形MNCD是平行四边形.(2)如图,连接ND,∵四边形MNCD是平行四边形,∴MN=DC.∵N是BC的中点,∴BN=CN.∵BC=2CD,∠C=60°,∴△NCD是等边三角形.∴ND=NC,∠DNC=60°.∵∠DNC是△BND的外角,∴∠NBD+∠NDB=∠DNC.∵DN=NC=NB,【误区纠错】本题考查了平行四边形的判定与性质,利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,等边三角形的判定与性质,正切函数.但是要注意一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,例如等腰梯形.名师点拨1.掌握多边形内角和公式(n-2)·180°及外角和均为360°这个特征.2.会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.名师点拨1.掌握多边形内角和公式(n-2)·180°及外角和均为360°这个特征.2.会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.提分策略1.综合运用平行四边形的性质与判定解决问题.由于平行四边形的对边相等、对角相等,所以利用平行四边形的性质可以探索与证明边角相等的问题,解决此类问题时,一般先判定一个四边形是平行四边形,然后利用其性质得到结论.【例1】如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF.求证:(1)△ABE≌△CDF;(2)四边形BFDE是平行四边形.【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,对角相等的性质,即可证得∠A=∠C,AB=CD,又由AE=CF,利用SAS,即可判定△ABE≌△CDF.(2)由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边平行且相等,即可得AD∥BC,AD=BC.又由AE=CF,即可证得DE=BF.根据对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可证得四边形BFDE是平行四边形.【答案】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB=CD.在△ABE和△CDF中,∵AB=CD,∠A=∠C,AE=CF,∴△ABE≌△CDF(SAS).(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵AE=CF,∴AD-AE=BC-CF,即DE=BF.∴四边形BFDE是平行四边形.2.平行四边形的判定.利用平行四边形的性质研究三角形的全等,以及等腰三角形的判定等,也可为了证明一个四边形是平行四边形,先证明两个三角形全等,为进一步证明四边形是平行四边形提供条件.【例2】(2014·甘肃白银)D,E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB,AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连接OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺次连接点D,G,F,E.如图,当点O在△ABC的内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形.【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC,GF∥BC且GF=BC,从而得到DE∥GF,DE=GF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;【答案】∵D,E分别是AB,AC边的中点,∴DE∥GF且DE=GF.∴四边形DEFG是平行四边形.3.研究一种或多种正多边形的镶嵌问题.(1)判断一种正多边形能否进行平面镶嵌,可以用360°除以这个正多边形的内角度数,如果能整除则这个正多边形能进行平面镶嵌.【例3】在下列图形中,单独选用该图形不能进行平面镶嵌的是().A. 正三角形B. 正六边形C. 正方形D. 正五边形【解析】 A. 正三角形的一个内角度数为180°-360°÷3=60°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;B. 正六边形的一个内角度数为180°-360°÷6=120°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;C. 正方形的一个内角度数为180°-360°÷4=90°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;D. 正五边形的一个内角度数为180°-360°÷5=108°,不是360°的因数,不能镶嵌平面,符合题意.【答案】 D(2)判断不同种的正多边形能否进行平面镶嵌,先求出这些正多边形的内角,建立方程,然后判断这个方程是否有正整数解.【例4】现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张,下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是().A. 正方形和正六边形B. 正三角形和正方形C. 正三角形和正六边形D. 正三角形、正方形和正六边形【解析】A选项,正方形和正六边形内角分别为90°,120°,由于90m+120n=360,得,显然n取任何正整数时,m不能得正整数,故不能铺满;B选项,正三角形和正方形内角分别为60°,90°,由于60°×3+90°×2=360°,故能铺满; C选项,正三角形和正六边形内角分别为60°,120°,由于60°×2+120°×2=360°,故能铺满;D选项,正三角形、正方形和正六边形内角分别为60°,90°,120°,由于60°+90°+90°+120°=360°,故能铺满.【答案】 A专项训练一、选择题1. (2014·北京房山区二模)若正多边形的一个外角是36°,则该正多边形为().A. 正八边形B. 正九边形C. 正十边形D. 正十一边形2.(2014·江苏常州模拟)已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是().A. 当AB=BC时,它是菱形B. 当AC⊥BD时,它是菱形C. 当∠ABC=90°时,它是矩形D. 当AC=BD时,它是正方形3.(2014·四川乐山模拟)如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则S1+S2等于().A. 4B. 6C. 8D. 不能确定(第3题)(第4题)4.(2014·安徽安庆外国语学校模拟)如图,已知点O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°,则∠DAO+∠DCO的大小是().A. 70°B. 110°C. 140°D. 150°5. (2013·浙江海宁部分学校联考)如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的外角,且∠1=∠2=∠3=∠4=70°,则∠AED的度数是().A. 110°B. 108°C. 105°D. 100°(第5题)(第7题)6.(2013·内蒙古赤峰模拟)一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°,则该多边形的边数是().A. 5B. 6C. 7D. 87. (2013·云南宣威模拟)如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线AE交BC于点E,且AE=BE,则∠BCD的度数为().A. 30°B. 60°或120°C. 60°D. 120°8. (2013·陕西西安模拟)下面给出了四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是().A. 1∶2∶3∶4B. 2∶3∶2∶3C. 2∶3∶4∶5D. 1∶2∶2∶3二、填空题9.(2014·江苏南京二模)如图,将正五边形ABCDE的点C固定,并依顺时针方向旋转,若要使得新五边形A'B'C'D'E'的顶点D'落在直线BC上,则至少要旋转°.(第9题)10. (2013·湖北枣阳模拟)已知▱ABCD的周长为28,自顶点A作AE⊥DC,垂足为E,AF⊥BC,垂足为F.若AE=3,AF=4,则CE-CF= .三、解答题11. (2014·上海长宁区二模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是BC,BA的中点,连接DE,F在DE延长线上,且AF=AE.求证:四边形ACEF是平行四边形.(第11题)12. (2014·广东深圳模拟)已知:如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线BD,作AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,(1)求证:△AED≌△CFB;(2)若∠ABC=75°,∠ADB=30°,AE=3,求平行四边形ABCD的周长?(第12题)13. (2013·浙江湖州中考模拟试卷)如图,▱ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点.(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;(2)若AD=AE=2,∠A=60°,求四边形EBFD的周长.(第13题)参考答案与解析1. C[解析]多边形外角和均等于360°,2. D[解析] 当AC=BD时,它是矩形..因为对角线相等的平行四边形是矩形.3. C[解析]∵△PEF的面积是2,∴△PBC的面积是2×4=8.∵△PDC,△PAB的面积和等于△PBC的面积均是平行四边形面积的一半,∴S1+S2=8.4. D[解析]∠BAO+∠BCO=∠ABO+∠CBO=∠ABC=70°,所以∠BOA+∠BOC=360°-140°=220°,所以∠AOC=140°.5. D[解析]本题考查多边形的内角和,外角和的概念.6. C[解析](n-2)×180°=3×360°-180°.7. D[解析]△ABE是等边三角形.8. B[解析]平行四边形对角相等.9.72°[解析]正五边形每个内角相等,均等于, 至少旋转180°-108°=72°后新五边形A'B'C'D'E'的顶点D'落在直线BC上.11.∵∠ACB=90°, E是BA的中点,∴CE=AE=BE.∵AF=AE,∴AF=CE.在△BEC中,∵BE=CE且D是BC的中点,∴ED是等腰三角形BEC底边上的中线.∴ED也是等腰三角形BEC的顶角平分线.∴∠1=∠2.∴∠AEC=180°-∠1-∠2=180°-2∠1.∵AF=AE,∴∠F=∠3 .∵∠1=∠3,∴∠1=∠F=∠3.∴在△AEF中,∠FAE=180°-∠3-∠F=180°-2∠1.∴∠AEC=∠F AE,∴CE∥AF.又CE=AF,∴四边形ACEF是平行四边形.(第11题)12. (1)∵平行四边形ABCD,∴AD=BC,AD∥BC.∴∠ADE=∠CBF.又AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F, ∴∠AED=∠CFB=90°.∴△AED≌△CFB (AAS) .(2)在Rt△AED中,∵∠ADE=30°,AE=3,∴AD=2AE=2×3=6.∵∠ABC=75°,∠ADB=∠CBD=30°, ∴∠ABE=45°.13. (1)在▱ABCD中,AB=CD,AB∥CD.∵E,F分别是AB,CD的中点,∴BE=DF.∴四边形EBFD是平行四边形.(2)∵AD=AE,∠A=60°,∴△ADE是等边三角形.∴DE=AD=2.又BE=AE=2,由(1)知四边形EBFD是平行四边形, ∴四边形EBFD的周长=2(BE+DE)=8.。
中考数学总复习：多边形与平行四边形--考点例题讲解+练习(基础).doc
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】中考总复习：多边形与平行四边形--知识讲解（基础）【考纲要求】【：多边形与平行四边形考纲要求】1. 多边形A：了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系．B：会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形．(2)平行四边形A：会识别平行四边形．B：掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题．C：会运用平行四边形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、多边形1.多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段．2.多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n －2)个三角形．3．多边形的角：n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.【要点诠释】（1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.考点二、平面图形的镶嵌1．镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．2．平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．两条平行线间的距离：定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离．性质：夹在两条平行线间的平行线段相等．【要点诠释】1.平行四边形的面积=底×高；2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌1．（2015•葫芦岛）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．60° B．65° C．55° D．50°【思路点拨】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．【答案】A【解析】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，∴∠P=180°﹣120°=60°．故选：A．【总结升华】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．举一反三：【变式】如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=_________.【答案】40°.2．(2011·十堰)现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( )A．正方形和正六边形 B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形 D．正三角形、正方形和正六边形【思路点拨】注意各正多边形的内角度数.【答案】A.【解析】正方形和正六边形的每个内角分别为90°和120°，要镶嵌则需要满足90°m＋120°n＝360°，但是m、n没有正整数解，故选A.【总结升华】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.举一反三：【变式】现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有( )A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】B.类型二：平行四边形及其他知识的综合运用3．（2014春•章丘市校级月考）如图，已知在▭ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，BM⊥AC、DN⊥AC，CF⊥BD垂足分别是E、M、N、F，求证：EN∥MF．【思路点拨】连接ME，FN，由四边形ABCD为平行四边形，得到对角线互相平分，利用AAS得到三角形AOE与三角形COF全等，利用全等三角形对应边相等得到OE=OF，同理得到三角形BOM与三角形DON全等，得到OM=ON，进而确定出四边形MEFN为平行四边形，利用平行四边形的对边平行即可得证．【答案与解析】证明：连接ME，FN，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE⊥BD，CF⊥BD，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF，同理△BOM≌△DON，得到OM=ON，∴四边形EMFN为平行四边形，∴EN∥MF．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．4.如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D，使，点E、F分别为边BC、AC 的中点.（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于G，求证：AG=DG.【思路点拨】（1）E、F分别为BC、AC中点，则EF为△ABC的中位线，所以EF∥AB，.而.则EF=AD.从而易证△DAF≌△EFC, 则DF=CE=BE.(2) AG与DG在同一个三角形中,只需证∠D=∠DAG即可.【答案与解析】（1）∵点E、F分别为BC、AC的中点，∴ EF是△ABC的中位线.∴ EF∥AB，.又∵，∴ EF=AD.∵ EF∥AB，∴∠EFC=∠BAC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAF=90.又∵ F是AC的中点，∴AF=CF，∴△DAF≌△EFC.∴DF=EC=BE.（2）由(1)知∵△DAF≌△EFC，∴∠D=∠FEC.又∵ EF∥AB，∴∠B=∠FEC.又∵ AG∥BC，∴∠DAG=∠B，∴∠ DAG=∠FEC∴∠D=∠DAG.∴AG=DG.【总结升华】三角形中位线定理的作用：位置关系——可以证明两条直线平行；数量关系——可以证明线段的相等或倍分.此外应注意三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形.举一反三：【变式】如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C.5．如图：六边形ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD ⊥BD．已知FD=4cm，BD=3cm．则六边形ABCDEF的面积是_________cm2．【思路点拨】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．【答案与解析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，∴AE=BD，AC=FD，∵FD⊥BD，∴∠GDH=90°，∴四边形AHDG是矩形，∴AH=DG∵EH=AE-AH，BG=BD-DG∴EH=BG．∴六边形ABCDEF的面积=平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=3×4=12cm2．故答案为：12.【总结升华】注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．6 .（2012•厦门）已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P 作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF．（1）如图，若PE=3，EO=1，求∠EPF的度数；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+32-4，求BC的长．【思路点拨】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解；（2）根据三角形中位线定理可得PF∥AO，且PF=12AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠AOD=∠PFD=90°，再根据同位角相等，两直线平行可得PE∥OD，所以PE也是△AOD的中位线，然后证明四边形ABCD是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解．【答案与解析】（1）如图，连接PO，∵PE⊥AC，PE=3，EO=1，∴tan∠EPO=33 EOPE=，∴∠EPO=30°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠PFO=90°，在Rt△PEO和Rt△PFO中，PO PO PE PF=⎧⎨=⎩，∴R t△PEO≌Rt△PFO（HL），∴∠FPO=∠EPO=30°，∴∠EPF=∠FPO+∠EPO=30°+30°=60°；（2）如图，∵点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴PF∥AO，且PF=12 AO，∵PF⊥BD，∴∠PFD=90°，∴∠AOD=∠PFD=90°，又∵PE⊥AC，∴∠AEP=90°，∴∠AOD=∠AEP，∴PE∥OD，∵点P是AD的中点，∴PE是△AOD的中位线，∴PE=12 OD，∵PE=PF，∴AO=OD，且AO⊥OD，∴平行四边形ABCD是正方形，设BC=x，则BF=22x+12×22x=324x，∵BF=BC+32-4=x+32 -4，∴x+32-4=324x，解得x=4，即BC=4．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质，（2）中判定出平行四边形ABCD是正方形是解题的关键．举一反三：【变式】如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（－2，－1），且P（－1，－2）是双曲线上的一点，Q为坐标平面上的一动点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分别为A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，是否可以使△OBQ与△OAP面积相等？（3）如图2，点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．图1 图2【答案】（1）正比例函数解析式为，反比例函数解析式为．（2）当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为，，解得.所以点Q的坐标为和．（3）因为P（，），由勾股定理得OP＝，平行四边形OPCQ周长=．因为点Q在第一象限中的双曲线上，所以可设点Q的坐标为，由勾股定理可得，通过图形分析可得：OQ有最小值2，即当Q为第一象限中的双曲线与直线的交点时，线段OQ的长度最小．所以平行四边形OPCQ周长的最小值：．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
(遵义专版)2019年中考数学总复习第4节多边形与平行四边形(精练)试题
第四节多边形与平行四边形1．(湘西中考)下列说法错误的是( D )A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2．(2019乌鲁木齐中考)如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是( C ) A．4 B．5 C．6 D．73．(河北中考)如图，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是( B )A．7 B．8 C．9 D．10(第3题图)(第4题图)4．(宁夏中考)在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE＝3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于__2__．5．(2019通辽中考)在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F.若AD＝11，EF＝5，则AB＝__8或3__．6．(2019汇川升学二模)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角(∠D，∠C)向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处，若AD＝2，BC＝3，则EF的长为．7．(梅州中考)如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC ＝3，则S△BCF＝__4__．(第7题图)(第8题图)8．(2019十堰中考)如图，在▱ABCD 中，AB ＝213 cm ，AD ＝4 cm ，AC ⊥BC ，则△DBC 比△ABC 的周长长__4__cm.9．(2019原创)如图，▱ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上折叠，使点A 正好与CD 上的F 点重合，若△FDE 的周长为16，△FCB 的周长为28，则FC 的长为( C ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．710．(2019南充中考)如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF∥BC，GH ∥AB ，且CG ＝2BG ，S△BPG＝1，则S ▱AEPH ＝__4__．(第10题图)(第11题图)11．(2019西宁中考)如图，将▱ABCD 沿EF 对折，使点A 落在点C 处，若∠A＝60°，AD ＝4，AB ＝8，则AE 的长为__285__．12．(东营中考)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC>AB ，点D 在BC 上，以AC 为对角线的平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是__4__．(第12题图)(第13题图)13．(2019齐齐哈尔中考)如图，在等腰三角形纸片ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，沿底边BC 上的高AD 剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是__10．14．(2019武汉中考)如图，在▱ABCD 中，∠D ＝100°，∠DAB 的平分线AE 交DC 于点E ，连接BE.若AE ＝AB ，则∠EBC 的度数为__30°__．(第14题图)(第15题图)15．(2019连云港中考)如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，若∠EAF＝56°，则∠B ＝__56°__．16．(2019福建中考)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l 上，且有一个公共顶点O ，其摆放方式如图所示，则∠AOB＝__108__°.(第16题图)(第17题图)17．(2019邵阳中考)如图所示的正六边形ABCDEF ，连接FD ，则∠FDC 的大小为__90°__．18．(2019益阳中考)如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，连接AF ，CE.求证：AF ＝CE. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ， ∴∠ABE ＝∠CDF. 又∵AE⊥BD，CF ⊥BD ， ∴∠AEB ＝∠CFD＝90°， AE ∥CF ，在△ABE 和△CDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE＝∠CDF，∠AEB ＝∠CFD，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)， ∴AE ＝CF ， ∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形， ∴AF ＝CE.19．(鄂州中考)如图，▱ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过A ，C 两点作AE⊥BD，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，延长AE ，CF 分别交CD ，AB 于M ，N.(1)求证：四边形CMAN 是平行四边形． (2)已知DE ＝4，FN ＝3，求BN 的长． 解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ∥AB ，∵AM ⊥BD ，CN ⊥BD ， ∴A M∥CN，又∵CM∥AN， ∴四边形AMCN 是平行四边形；(2)∵四边形AMCN 是平行四边形， ∴CM ＝AN ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ＝AB ，CD ∥AB ，∴DM ＝BN ，∠MDE ＝∠NBF，在△MDE 和△NBF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MDE＝∠NBF，∠DEM ＝∠BFN＝90°，DM ＝BN ， ∴△MDE ≌△NBF ，∴ME ＝NF ＝3，在Rt △DME 中， ∵∠DEM ＝90°，DE ＝4，ME ＝3， ∴DM ＝DE 2＋ME 2＝32＋42＝5， ∴BN ＝DM ＝5.20．如图①，在△OAB 中，∠OAB ＝90°，∠AOB ＝30°，OB ＝8，以OB 为边，在△OAB 外作等边△OBC，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于点E.(1)求证：四边形ABCE 是平行四边形；(2)如图②，将图①中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为FG ，求OG 的长． 解：(1)∵在Rt △OAB 中，D 为OB 的中点， ∴AD ＝12OB ，OD ＝BD ＝12OB ，DO ＝DA ，∴∠DAO ＝∠DOA＝30°， ∴∠EOA ＝∠DOC＋∠DOA＝90°， ∴∠AEO ＝60°，又∵△OBC 为等边三角形，∴∠BCO＝∠AEO＝60°，∴BC∥AE，∵∠BAO＝∠COA＝90°，∴CO∥AB，∴四边形ABCE是平行四边形；(2)在Rt△OAB中，OA＝OB·cos30°＝43，在Rt△AOG中，设OG＝x，则AG＝CG＝8－x，根据勾股定理得x2＋(43)2＝(8－x)2，解得x＝1.即OG＝1.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸2．如图，正比例函数y1＝﹣2x的图象与反比例函数y2＝kx的图象交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为6．则k的值为（）A.3B.﹣3C.﹣6D.6 3．下列命题是真命题的是（）A．一元二次方程一定有两个实数根B．对于反比例函数y＝2x，y随x的增大而减小C．有一个角是直角的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形4．已知在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直且相等的两条弦，垂足为点P，且OP＝，则弦AB 的长为（）A.4B.6C.8D.105．下列图形中，的是( )A. B.C. D.6．如图，某底面为圆形的古塔剖面和山坡的剖面在同一平面上，古塔EF （F 为塔底的中心）与地面BD 垂直，古塔的底面直径CD ＝8米，BC ＝10米，斜坡AB ＝26米，斜坡坡面AB 的坡度i ＝5：12，在坡脚的点A 处测得古塔顶端点E 的仰角∠GAE ＝47°，则古塔EF 的高度约（ ）（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）A ．27.74米B ．30.66米C ．35.51米D ．40.66米7．某班学生到距学校12km 的烈士陵园扫墓，一部分同学骑自行车先出发，经过12h 后，其余同学乘汽车出发，由于____________，设自行车的速度为/xkm h ，则可得方程为1212132x x -=，根据此情境和所列方程，上题中______________中的内容应该是（ ） A ．汽车速度是自行车速度的3倍，结果同时到达B ．汽车速度是自行车速度的3倍，后部分同学比前部分同学迟到12h C ．汽车速度是自行车速度的3倍，前部分同学比后部分同学迟到1h AD ．汽车每小时比自行车多行驶3km ，结果同时到达.8．若方程4x 2+（a 2﹣3a ﹣10）x+4a ＝0的两根互为相反数，则a 的值是（ ） A ．5或﹣2B ．5C ．﹣2D ．非以上答案9．一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α等于（ ）A ．105B ．115C ．120D ．13510．在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++(m 是常数，且0m ≠)的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．11．设边长为a 的正方形面积为2，下列关于a 的四种说法：① a 是有理数；②a 是方程2x 2－4＝0的解；③a 是2的算术平方根；④1＜a ＜2．其中，所有正确说法的序号是（ ） A ．②③B ．③④C ．②③④D ．①②③④12．下列各式计算正确的是（ ）A B ．（﹣a 2b ）3=a 6b 3C ．a 3﹒a=a 4D ．(b ﹢2a)(2a ﹣b)=b 2﹣4a 2二、填空题13=______（结果用根号表示） 14．把多项式34x x -分解因式的结果是______.15．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝10，DA ＝，则BD 的长为_______．16．化简(21++的结果为_____.17．如图，将平行四边形ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B ' 处，若∠1=∠2=44°，则∠B 的大小为_________度．18．若一次函数的图象与直线3y x =-平行，且经过点()1,2，则一次函数的表达式为___________. 三、解答题19．如图所示，△ABC 中，点D 是AB 上一点，且AD ＝CD ，以CD 为直径的⊙O 交BC 于点E ，交AC 于点F ，且点F 是半圆CD 的中点． （1）求证：AB 与⊙O 相切．（2）若tanB ＝2，AB ＝6，求CE 的长度．20．如图，A 、B 是直线L 上的两点，AB=4厘米，过L 外一点C 作CD ∥L ，射线BC 与L 所成的锐角∠1=60°，线段BC=2厘米，动点P 、Q 分别从B 、C 同时出发，P 以每秒1厘米的速度沿由B 向C 的方向运动，Q 以每秒2厘米的速度沿由C 向D 的方向运动．设P ，Q 运动的时间为t （秒），当t ＞2时，PA 交CD 于E ．（1）用含t 的代数式分别表示CE 和QE 的长． （2）求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式．（3）当QE 恰好平分△APQ 的面积时，QE 的长是多少厘米？21．已知函数y ＝y 1+y 2，其中y 1与x 成反比例，y 2与x ﹣2成正比例，函数的自变量x 的取值范围是x≥12，且当x ＝1或x ＝4时，y 的值均为32．请对该函数及其图象进行如下探究：(1)解析式探究：根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为： ． (2)函数图象探究： ①根据解析式，补全下表：②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象.(3)结合画出的函数图象，解决问题： ①当x ＝34，214，8时，函数值分别为y 1，y 2，y 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系为： ；(用“＜”或“＝”表示)②若直线y ＝k 与该函数图象有两个交点，则k 的取值范围是 ，此时，x 的取值范围是 ． 22．如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ．以C 为圆心，CB 的长为半径作弧，交AB 于点D ．分别以B 、D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点E ．作射线CE 交AB 于点M ．分别以A 、C 为圆心，CM 、AM 的长为半径作弧，两弧交于点N ．连接AN 、CN （1）求证：AN ⊥CN（2）若AB ＝5，tanB ＝3，求四边形AMCN 的面积．23．深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台．（1）求甲、乙两种书柜的进价；（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少．24．解不等式组()214111143x x x x ⎧+-⎪⎨+--≤⎪⎩＞25．已知：点A ，B 位于直线m 的两侧，在直线m 上求作点P ，使|PA ﹣PB|的值最大．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．14．(2)(2)x x x +-15．16．317．114度18．35y x =-+三、解答题19．（1）见解析；（2）CE ＝5. 【解析】【分析】（1）连接DF ，由CD 为⊙O 的直径，得到∠CFD ＝90°，求得∠A ＝∠ACD ＝45°，于是得到结论；（2）根据已知条件得到CD ＝2BD ，求得BD ＝2，CD ＝4，得到BC ＝，根据切割线定理即可得到结论．【详解】（1）连接DF ，∵CD 为⊙O 的直径，∴∠CFD ＝90°，∵点F 是半圆CD 的中点，∴CF ＝DF ，∴∠ACD ＝45°，∵AD ＝CD ，∴∠A ＝∠ACD ＝45°，∴∠ADC ＝90°，∴AB 与⊙O 相切；（2）∵CD ⊥AB ，tanB ＝2，∴CD ＝2BD ，∵AD ＝CD ，∴AB ＝3BD ，∵AB ＝6，∴BD ＝2，CD ＝4，∴BC ＝∵BD 与⊙O 相切，∴BD 2＝BE•BC，∴BE 2＝ ，∴CE ＝BC ﹣BE ．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质和判定，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．20．（1）4(2)t EC t -= ，()2224t t QE t-+= ；（2）)2242APQ S t t =-+； （3）6. 【解析】【分析】 （1）根据题意的出BP=t ，CQ=2t ，PC=t-2．再根据EC ∥AB ，得出EC PC AB PB=最后得出EC 的值，即可表示出CE 和QE 的长． （2）本题关键是得出S 与t 的函数关系式，那么求面积就要知道底边和高的长，我们可以QE 为底边，过P 引l 的垂线作高，根据P 的速度可以用t 表示出BP ，也就能用BP 和∠1的正弦函数求出高，那么关键是求QE 的长，我们可以根据Q 的速度用时间t 表示出CQ ，那么只要求出CE 即可．因为EC ∥BA ，那么我们可以用相似三角形的对应线段成比例来求CE 的长，根据三角形PEC 和PAB 相似，可得出关于CE 、AB 、PC 、BC 的比例关系式，有BP 、BC 、AB 的值，那么我们就可以用含t 的式子表示出CE ，也就表示出了QE ，那么可根据三角形的面积公式得出关于S 与t 的函数关系式了．（3）如果QE 恰好平分三角形APQ 的面积，那么此时P 到CD 和CD 到l 之间的距离就相等，那么C 就是PB 的中点，可根据BP=2BC 求出t 的值，然后根据（1）中得出的表示QE 的式子，将t 代入即可得出QE 的值．【详解】解：（1）由题意知：BP=t ，CQ=2t ，PC=t-2；∵EC ∥AB ，∴EC PC AB PB = ∴()42t PC AB EC PB t-⋅== ∴()()2224422t t t QE QC EC t t t -+-=-=-=（2）作PF ⊥L 于F ，交DC 延长线于M ，AN ⊥CD 于N ．则在△PBF 中，PF=PB•sin60°=2t ∴S △APQ =S △AQE +S △PQE =12QE•AN+12QE•PM=12QE•PF=()222412t t t -+)224t t -+（3）此时E 为PA 的中点，所以C 也是PB 的中点则t-2=2，∴t=4()2224t t QE t -+==()2242444-⨯+=6（厘米）【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及解直角三角形的应用等知识点，根据相似三角形得出表示CE 的式子是解题的关键所在．21．(1)2112y x x =+-；(2)①见解析；②见解析；(3)①y 2＜y 1＜y 3；②1＜k≤134，12≤x≤8． 【解析】【分析】(1)根据题意设11k y x= ，y 2＝k 2(x ﹣2)，则12(2)k y k x x =+-，即可解答 （2）将表中数据代入2112y x x =+-，即可解答 （3）①由(2)中图象可得：(2，1)是图象上最低点，在该点左侧，y 随x 增大而减小；在该点右侧y 随x 增大而增大，即可解答 ②观察图象得：x≥12 ，图象最低点为(2，1)，再代入即可 【详解】(1)设11k y x= ，y 2＝k 2(x ﹣2)，则12(2)k y k x x =+- ， 由题意得：1212323242k k k k ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，解得：12212k k =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴该函数解析式为2112y x x =+- ， 故答案为：2112y x x =+-， (2)①根据解析式，补全下表：②根据上表在平面直角坐标系中描点，画出图象．(3)①由(2)中图象可得：(2，1)是图象上最低点，在该点左侧，y 随x 增大而减小；在该点右侧y 随x增大而增大，∴y2＜y1＜y3，故答案为：y2＜y1＜y3，②观察图象得：x≥12，图象最低点为(2，1)，∴当直线y＝k与该图象有两个交点时，1＜k≤134，此时x的范围是：12≤x≤8．故答案为：1＜k≤134，12≤x≤8．【点睛】此题考查待定系数法求反比例函数的解析式，列出方程式解题关键22．（1）详见解析；（2）12.【解析】【分析】(1)由作图可知四边形AMCN是平行四边形，CM⊥AB，据此即可得答案；(2)在Rt△CBM中，利用tan∠B＝CMBM＝3，由此可以设BM＝k，CM＝3k，表示出AM，然后在Rt△ACM中，利用勾股定理求出k的值，继而求得CM＝3，AM＝4，利用矩形面积公式即可求得答案. 【详解】(1)由作图可知：CN＝AM，AN＝CM，∴四边形AMCN是平行四边形，∵CM⊥AB，∴∠AMC＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴∠ANC＝90°，∴AN⊥CN．(2)在Rt△CBM中，∵tan∠B＝CMBM＝3，∴可以假设BM＝k，CM＝3k，∵AC＝AB＝5，∴AM＝5﹣k，在Rt△ACM中，∵AC2＝CM2+AM2，∴25＝(3k)2+(5﹣k)2，解得k＝1或0(舍弃)，∴CM ＝3，AM ＝4，∴四边形AMCN 的面积＝CM•AM＝12．【点睛】本题考查了作图——复杂作图，矩形的判定，勾股定理等，熟练掌握作图的基本方法是解题的关键.23．（1）每个甲种书柜的进价为360元，每个乙种书柜的进价为300元；（2）购进乙种书柜20个，则购进甲种书柜40个时花费最少，费用为19200元．【解析】【分析】（1）设每个乙种书柜的进价为x 元，每个甲种书柜的进价为1.2x 元，根据用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台，列方程求解；（2）设购进甲种书柜m 个，则购进乙种书柜（60-m ）个，根据乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍，列不等式组求解．【详解】解：（1）设每个乙种书柜的进价为x 元，则每个甲种书柜的进价为1.2x 元， 根据题意得，3600420041.2x x+=， 解得x=300，经检验，x=300是原方程的根，300×1.2=360（元）．故每个甲种书柜的进价为360元，每个乙种书柜的进价为300元；（2）设购进甲种书柜m 个，则购进乙种书柜（60-m ）个，购进两种书柜的总成本为y 元，根据题意得，()36030060602y m m m m =+-⎧-≤⎨⎩， 解得y=60m+18000（m≥20），∵k=60＞0，∴y 随x 的增大而增大，当m=20时，y=19200（元）．故购进甲种书柜20个，则购进乙种书柜40个时花费最少，费用为19200元．【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解．24．-5≤x＜52【解析】【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解．【详解】解：() 214111143x xx x⎧+-⎪⎨+--≤⎪⎩＞①②由①得x＜52；由②得x≥-5；∴不等式组的解集为-5≤x＜52．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．25．见解析；【解析】【分析】作点A关于直线l的对称点A′，则PA＝PA′，因而|PA﹣PB|＝|PA′﹣PB|，则当A′，B、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大．【详解】解：作点A关于直线l的对称点A′，连A′B并延长交直线l于P．点P即为所求．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考常考题型．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．752．已知，则以下对m的估算正确的（）A.2＜m＜3B.3＜m＜4C.4＜m＜5D.5＜m＜63．由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,若小正方体的棱长为a,关于它的视图和表面积,下列说法正确的是( )A．它的主视图面积最大,最大面积为4a2B．它的左视图面积最大,最大面积为4a2C．它的俯视图面积最大,最大面积为5a2D．它的表面积为22a24．如图，延长正方形ABCD的AB边至点E，使BE=AC，则∠BED=( )A．20°B．30°C．22.5°D．32.5°5．以下所给的数值中，为不等式﹣2x+3＜0的解集的是（）A.x＜﹣2B.x＞﹣1C.x＜﹣32D.x＞326．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（包含端点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②﹣1≤a≤﹣23；③3≤n≤4；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．有这样一道题：如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E，F，G分别在4B，BC，FD 上，连接DH，如果BC=12,BF=3.求tan HDG∠的值.以下是排乱的证明步骤：①求出EF、DF的长；②求出tan HDG∠的值；③证明BFE=CDF∠∠④求出HG、DG;⑤证明ΔBEF~ΔCFD.证明步骤正确的顺序是( )A．③⑤④①②B．①④⑤③②C．③⑤①④②D．⑤①④③②9．某天的同一时刻，甲同学测得1m的测竿在地面上的影长为0.6m，乙同学测得国旗旗杆在地面上的影长为9.6m。
中考数学总复习《多边形与平行四边形》专项测试卷附答案
中考数学总复习《多边形与平行四边形》专项测试卷附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________A层·基础过关1.(2024·云南)一个七边形的内角和等于( )A.540°B.900°C.980°D.1080°2.如图,在四边形ABCD中,已知AD∥BC.添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )A.AD=BCB.AB∥DCC.AB=DCD.∠A=∠C3.综合实践课上,嘉嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.(1)~(3)是其作图过程.(1)作BD的垂直平分线交BD于点O;(2)连接AO,在AO的延长线上截取OC=AO;(3)连接DC,BC,则四边形ABCD即为所求.在嘉嘉的作法中,可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )A.两组对边分别平行B.两组对边分别相等C.对角线互相平分D.一组对边平行且相等4.(2024·赤峰)如图,是正n边形纸片的一部分,其中l,m是正n边形两条边的一部分,若l,m所在的直线相交形成的锐角为60°,则n的值是( )A.5B.6C.8D.105.(2024·重庆)如果一个多边形的每一个外角都是40°,那么这个多边形的边数为.6.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=5,AD=3,∠DAB的平分线AE交线段CD 于点E,则EC=.7.(2024·武汉)如图,在▱ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,AF=CE.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件,使四边形ABEF是平行四边形.(不需要说明理由)B层·能力提升8.(2024·河南)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为OC的中点,EF ∥AB交BC于点F.若AB=4,则EF的长为( )A.12B.1C.43D.29.(2024·浙江)如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,AC=2,BD=2√3.过点A作AE ⊥BC交BC于点E,记BE的长为x,BC的长为y.当x,y的值发生变化时,下列代数式的值不变的是( )A.x+yB.x-yC.xyD.x2+y210.如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=8,∠ABC=120°,点E是AD上一动点,将△ABE沿BE折叠得到△A'BE,当点A'恰好落在EC上时,DE的长为.11.(2024·雅安)如图,点O是▱ABCD对角线的交点,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F.(1)求证:△ODE≌△OBF;(2)当EF⊥BD时,DE=15 cm,分别连接BE,DF.求此时四边形BEDF的周长.C层·挑战冲A+12.如图,在▱ABCD中,AC是一条对角线,且AB=AC=5,BC=6,E,F是AD边上两点,点F在点E的右侧,AE=DF,连接CE,CE的延长线与BA的延长线相交于点G. (1)如图1,M是BC边上一点,连接AM,MF,MF与CE相交于点N.,求AG的长;①若AE=32②在满足①的条件下,若EN=NC,求证:AM⊥BC;(2)如图2,连接GF,H是GF上一点,连接EH.若∠EHG=∠EFG+∠CEF,且HF=2GH,求EF的长.参考答案A层·基础过关1.(2024·云南)一个七边形的内角和等于(B)A.540°B.900°C.980°D.1080°2.如图,在四边形ABCD中,已知AD∥BC.添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(C)A.AD=BCB.AB∥DCC.AB=DCD.∠A=∠C3.综合实践课上,嘉嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.(1)~(3)是其作图过程.(1)作BD的垂直平分线交BD于点O;(2)连接AO,在AO的延长线上截取OC=AO;(3)连接DC,BC,则四边形ABCD即为所求.在嘉嘉的作法中,可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(C)A.两组对边分别平行B.两组对边分别相等C.对角线互相平分D.一组对边平行且相等4.(2024·赤峰)如图,是正n边形纸片的一部分,其中l,m是正n边形两条边的一部分,若l,m所在的直线相交形成的锐角为60°,则n的值是(B)A.5B.6C.8D.105.(2024·重庆)如果一个多边形的每一个外角都是40°,那么这个多边形的边数为9.6.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=5,AD=3,∠DAB的平分线AE交线段CD 于点E,则EC=2.7.(2024·武汉)如图,在▱ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,AF=CE.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件,使四边形ABEF是平行四边形.(不需要说明理由)【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠D.∵AF=CE∴AD-AF=BC-CE∴DF=BE在△ABE与△CDF中,{AB=CD ∠B=∠D BE=DF∴△ABE≌△CDF(SAS);(2)(答案不唯一)如图,添加BE=CE,理由如下:∵AF=CE,BE=CE∴AF=BE∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC,即AF∥BE∴四边形ABEF是平行四边形.B层·能力提升8.(2024·河南)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为OC的中点,EF ∥AB交BC于点F.若AB=4,则EF的长为(B)A.12B.1C.43D.29.(2024·浙江)如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,AC=2,BD=2√3.过点A作AE ⊥BC交BC于点E,记BE的长为x,BC的长为y.当x,y的值发生变化时,下列代数式的值不变的是(C)A.x+yB.x-yC.xyD.x2+y210.如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=8,∠ABC=120°,点E是AD上一动点,将△ABE沿BE折叠得到△A'BE,当点A'恰好落在EC上时,DE的长为√37-3.11.(2024·雅安)如图,点O是▱ABCD对角线的交点,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F.(1)求证:△ODE≌△OBF;【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥CB,∴∠OED=∠OFB∵点O是▱ABCD对角线的交点∴OD=OB在△ODE和△OBF中,{∠OED=∠OFB ∠DOE=∠BOF OD=OB∴△ODE≌△OBF(AAS);(2)当EF⊥BD时,DE=15 cm,分别连接BE,DF.求此时四边形BEDF的周长.【解析】(2)连接BE,DF,如图由(1)得△ODE≌△OBF∴DE=BF∵DE∥BF∴四边形BEDF是平行四边形∵EF⊥BD∴四边形BEDF是菱形∴DF=BF=BE=DE=15 cm,∴DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60(cm)∴四边形BEDF的周长为60 cm.C层·挑战冲A+12.如图,在▱ABCD中,AC是一条对角线,且AB=AC=5,BC=6,E,F是AD边上两点,点F在点E的右侧,AE=DF,连接CE,CE的延长线与BA的延长线相交于点G.(1)如图1,M是BC边上一点,连接AM,MF,MF与CE相交于点N.①若AE=32,求AG的长;②在满足①的条件下,若EN=NC,求证:AM⊥BC;【解析】(1)①∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD,AD∥BC,DC=AB=5,AD=BC=6∴∠GAE=∠CDE,∠AGE=∠DCE∴△AGE∽△DCE,∴AGDC =AE DE∵AE=32,∴DE=92,∴92AG=5×32∴AG=53.②∵AD∥BC,∴∠EFN=∠CMN∵∠ENF=∠CNM,EN=NC∴△ENF≌△CNM(AAS),∴EF=CM∵AE=32,AE=DF,∴DF=32∴EF=AD-AE-DF=3,∴CM=3∵BC=6,∴BM=3,∴BM=MC∵AB=AC,∴AM⊥BC.(2)如图2,连接GF,H是GF上一点,连接EH.若∠EHG=∠EFG+∠CEF,且HF=2GH,求EF的长.【解析】(2)连接CF,∵AB=AC,AB=DC ∴AC=DC∴∠CAD=∠CDA∵AE=DF,∴△AEC≌△DFC(SAS)∴CE=CF∴∠CFE=∠CEF∵∠EHG=∠EFG+∠CEF∴∠EHG=∠EFG+∠CFE=∠CFG∴EH∥CF,∴GHHF =GE EC∵HF=2GH,∴GEEC =1 2∵AB∥CD,∴∠GAE=∠CDE,∠AGE=∠DCE∴△AGE∽△DCE,∴AEDE =GECE,∴AEDE=12∴DE=2AE设AE=x,则DE=2x∵AD=6,∴x+2x=6,∴x=2即AE=2,∴DF=2∴EF=AD-AE-DF=2.第11页共11页。
(完整版)2019年中考数学专题复习第二十讲多边形与平行四边形(含详细参考答案)
2019 年中考数学专题复习第五章四边形第二十讲多边形与平行四边形【基础知识回顾】一、多边形：1、定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段相连组成的图形叫做多边形，各边相等、也相等的多边形叫做正多边形2、多边形的内外角和：n(n≥3)的内角和是外角和是正n 边形的每个外角的度数是，每个内角的度数是。
3、多边形的对角线：多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段，从n 边形的一个顶点出发有条对角线，将多边形分成个三角形，一个n 边形共有条对边线【名师提醒：1、三角形是边数最少的多边形2、所有的正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有条对称轴，边数为数的正多边形也是中心对称图形】二、平面图形的密铺：1、定义：用、完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间、地铺成一起，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的。
2、密铺的方法：⑴用同一种正多边形密铺，可以用、或⑵用两种正多边形密铺，组合方式有：和、和、和等几种【名师提醒：能密铺的图形在一个拼接处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于并使相等的边互相平合】三、平行四边形1、定义：两组对边分别的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD 可表示为2、平行四边形的特质：⑴平行四边形的两组对边分别⑵平行四边形的两组对角分别⑶平行四边形的对角线【名师提醒：1、平行四边形是对称图形，对称中心是过对角线交点的任一直线被一组对边截得的线段该直线将原平行四边形分成全等的两个部分】3、平行四边形的判定：⑴用定义判定⑵两组对边分别的四边形是平行四边形⑶一组对边的四边形是平行四边形⑷两组对角分别的四边形是平行四边形⑸对角线的四边形是平行四边形【名师提醒：特别的：一组对边平行，另一组对边相等的四边形和一组对边相等、一组对角相等的四边形都不能保证是平行四边形】4、平行四边形的面积：计算公式×同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积【名师提醒：夹在两平行线间的平行线段两平行线之间的距离处处】【重点考点例析】考点一：多边形内角和、外角和公式例1 （2018•铜仁市）如果一个多边形的内角和是外角和的3 倍，则这个多边形的边数是（）A．8 B．9C．10 D．11【思路分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n-2）=3×360°解得n=8．故选：A．【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．考点二：平行四边形的性质例2 （2018•青岛）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC 与BD 相交于点E，点G 为AD 的中点，连接CG，CG 的延长线交BA 的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF 的形状，并证明你的结论．【思路分析】（1）只要证明AB=CD，AF=CD 即可解决问题；（2）结论：四边形ACDF 是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠AFC=∠DCG，∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=AF．（2）解：结论：四边形ACDF 是矩形．理由：∵AF=CD，AF∥CD，∴四边形ACDF 是平行四边形，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠FAG=60°，∵AB=AG=AF，∴△AFG 是等边三角形，∴AG=GF，∵△AGF≌△DGC，∴FG=CG，∵AG=GD，∴AD=CF，∴四边形ACDF 是矩形．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．考点三：平行四边形的判定例3 （2018•东营）如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连接DE 并延长，交AB 的延长线于点F，AB=BF．添加一个条件使四边形ABCD 是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（）A．AD=BC B．CD=BFC．∠A=∠C D．∠F=∠CDF【思路分析】正确选项是D．想办法证明CD=AB，CD∥AB 即可解决问题；【解答】解：正确选项是D．理由：∵∠F=∠CDF，∠CED=∠BEF，EC=BE，∴△CDE≌△BFE，CD∥AF，∴CD=BF，∵BF=AB，∴CD=AB，∴四边形ABCD 是平行四边形．故选：D．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【备考真题过关】一、选择题1．（2018•北京）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°2.（2018•乌鲁木齐）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A．4 B．5C．6 D．73.（2018•济宁）如图，在五边形ABCDE 中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP 分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P 的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°4.（2018•台州）正十边形的每一个内角的度数为（）A．120°B．135°C．140°D．144°5.（2018•宁波）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，E 是边CD 的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1 的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°6.（2018•黔南州）如图在▱ABCD 中，已知AC=4cm，若△ACD 的周长为13cm，则▱ABCD 的周长为（）A．26cm B．24cmC．20cm D．18cm7.（2018•泸州）如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，E 是AB 中点，且AE+EO=4，则▱ABCD 的周长为（）A．20 B．16C．12 D．88.（2018•玉林）在四边形ABCD 中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD 为平行四边形的选法共有（）A．3 种B．4 种C．5 种D．6 种9.（2018•呼和浩特）顺次连接平面上A、B、C、D 四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC=AD③∠A=∠C④∠B=∠D 四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况共有（）A．5 种B．4 种C．3 种D．1 种10.（2018•眉山）如图，在▱ABCD 中，CD=2AD，BE⊥AD 于点E，F 为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（）DEBCA．1 个B．2 个C．3 个二、填空题11．（2018•宿迁）若一个多边形的内角和是其外角和的3 倍，则这个多边形的边数是．12. （2018•山西）图1 是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2 是从图1 冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．13. （2018•抚顺）将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5= ．14.（2018•十堰）如图，已知▱ABCD 的对角线AC，BD 交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD 的周长为．215.（2018•株洲）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD，且BD=CD，过点A 作AM⊥BD 于点M，过点D 作DN⊥AB 于点N，且DN=3 ，在DB 的延长线上取一点P，满足∠ABD=∠MAP+∠PAB，则AP= ．16.（2018•泰州）如图，▱ABCD 中，AC、BD 相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC 的周长为．17.（2018•无锡）如图，已知∠XOY=60°，点A 在边OX 上，OA=2．过点A 作AC⊥OY 于点C，以AC 为一边在∠XOY 内作等边三角形ABC，点P 是△ ABC 围成的区域（包括各边）内的一点，过点P 作PD∥OY 交OX 于点D，作PE∥OX 交OY 于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b 的取值范围是．三、解答题18.（2018•岳阳）如图，在平行四边形ABCD 中，AE=CF，求证：四边形BFDE 是平行四边形．19.（2018•宿迁）如图，在▱ABCD 中，点E、F 分别在边CB、AD 的延长线上，且BE=DF，EF 分别与AB、CD 交于点G、H．求证：AG=CH．20.（2018•临安区）已知：如图，E、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．21.（2018•福建）如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，EF 过点O 且与AD，BC 分别相交于点E，F．求证：OE=OF．22.（2018•大庆）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D、E 分别是AB、AC 的中点，连接CD，过 E 作EF∥DC 交BC 的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF 是平行四边形；（2）若四边形CDEF 的周长是25cm，AC 的长为5cm，求线段AB 的长度．23. （2018•永州）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB 为边向外作等边△ABD，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F．（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形BCFD 的面积．2019 年中考数学专题复习第五章四边形第二十讲多边形与平行四边形参考答案【备考真题过关】一、选择题1.【思路分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和；根据一个外角得60°，可知对应内角为120°，很明显内角和是外角和的2 倍即720．【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°=6，该正多边形的内角和为：（6-2）×180°=720°．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．2.【思路分析】根据内角和定理180°•（n-2）即可求得．【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n-2）•180°，∴（n-2）×180°=720°，解得n=6，∴这个多边形的边数是6．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180°•（n-2），难度适中．3.【思路分析】先根据五边形内角和求得∠ECD+∠BCD，再根据角平分线求得∠PDC+∠PCD，最后根据三角形内角和求得∠P 的度数．【解答】解：如图，∵在五边形ABCDE 中，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠ECD+∠BCD=240°，又∵DP、CP 分别平分∠EDC、∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=120°，∴△CDP 中，∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-120°=60°．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和=（n-2）•180（n≥3 且n 为整数）．4.【思路分析】利用正十边形的外角和是360 度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；再根据内角与外角的关系可求出正十边形的每个内角的度数；【解答】解：∵一个十边形的每个外角都相等，∴十边形的一个外角为360÷10=36°．∴每个内角的度数为180°-36°=144°；故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系．多边形的外角性质：多边形的外角和是360 度．多边形的内角与它的外角互为邻补角．5.【思路分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA 的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，∴∠BCA=180°-60°-80°=40°，∵对角线AC 与BD 相交于点O，E 是边CD 的中点，∴EO 是△DBC 的中位线，∴EO∥BC，∴∠1=∠ACB=40°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO 是△DBC 的中位线是解题关键．6.【思路分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC=9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长．【解答】解：∵AC=4cm，若△ADC 的周长为13cm，∴AD+DC=13-4=9（cm）．又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∴平行四边形的周长为2（AB+BC）=18cm．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质．此题利用了“平行四边形的对边相等”的性质．7.【思路分析】首先证明：1，由AE+EO=4，推出AB+BC=8 即可解决问题；OE= BC2【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，∵AE=EB，∴1OE= BC，2∵AE+EO=4，∴2AE+2EO=8，∴AB+BC=8，∴平行四边形ABCD 的周长=2×8=16，故选：B．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．8.【思路分析】根据平行四边形的判定方法中，①②、③④、①③、③④均可判定是平行四边形．【解答】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4 种，分别是：①②、③④、①③、③④．故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边形的两组对边分别平行；2、一组对边平行且相等；3、两组对边分别相等；4、对角线互相平分；5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．本题利用了第1，2，3 种来判定．9.【思路分析】根据平行四边形的判定定理可得出答案．【解答】解；当①③时，四边形ABCD 为平行四边形；当①④时，四边形ABCD 为平行四边形；当③④时，四边形ABCD 为平行四边形；故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．10.【思路分析】如图延长EF 交BC 的延长线于G，取AB 的中点H 连接FH．想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH 是菱形即可解决问题；【解答】解：如图延长EF 交BC 的延长线于G，取AB 的中点H 连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，∴S 四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH 是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH 是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选：D．【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题11.【思路分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n 边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得（n-2）•180=3×360，解得n=8．则这个多边形的边数是8．【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．12.【思路分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．【解答】解：由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，故答案为：360°．【点评】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．13.【思路分析】直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7 的度数，进而得出答案．【解答】解：如图所示：∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，∴∠6+∠7=140°，2 2 2 ∴∠5=180°-（∠6+∠7）=40°． 故答案为：40°．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解 题关键．14. 【思路分析】根据平行四边形的性质即可解决问题；【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，∴△OCD 的周长=5+4+5=14，故答案为 14．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟 练掌握平行四边形的性质，属于中考基础题．15. 【思路分析】根据 BD=CD ，AB=CD ，可得 BD=BA ，再根据AM ⊥BD ，DN ⊥AB ，即可得到 DN=AM=3 ，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB ，∠ABD=∠P+∠BAP ，即可得到△APM 是等腰直角三角形，进而得到 AP= AM=6．【解答】解：∵BD=CD ，AB=CD ，∴BD=BA ，又∵AM ⊥BD ，DN ⊥AB ，∴DN=AM=3 ，又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB ，∠ABD=∠P+∠BAP ，∴∠P=∠PAM ，∴△APM 是等腰直角三角形，2∴AP= AM=6，故答案为：6．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题给的关键是判定△APM 是等腰直角三角形．16.【思路分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，∵AC+BD=16，∴OB+OC=8，∴△BOC 的周长=BC+OB+OC=6+8=14，故答案为14．【点评】本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17.【思路分析】作辅助线，构建30 度的直角三角形，先证明四边形EODP 是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP 中，∠EPH=30°，可得EH 的长，计算a+2b=2OH，确认OH 最大和最小值的位置，可得结论．【解答】解：过P 作PH⊥OY 交于点H，∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP 是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a，Rt △HEP 中，∠EPH=30°，∴ 1 1 EH= EP= a ， 2 2 ∴a+2b=2（ 1 a+b ）=2（EH+EO ）=2OH ， 2 当 P 在 AC 边上时，H 与 C 重合，此时 OH 的最小值 1，即 a+2b 的 最小值是 2； 当 P 在点 B 时，OH 的最大值是：1+ 3 2 =OC= OA=1 2= 5 ，即（a+2b ）的最大值是 5， 2∴2≤a+2b≤5．【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形 30 度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认 a+2b 的最值就是确认 OH 最值的范围．三、解答题18. 【思路分析】首先根据四边形 ABCD 是平行四边形，判断出 AB ∥CD ，且AB=CD ，然后根据 AE=CF ，判断出 BE=DF ，即可推得四边形 BFDE 是平行四边形．【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，且 AB=CD ，又∵AE=CF ，∴BE=DF ，∴BE ∥DF 且 BE=DF ，∴四边形 BFDE 是平行四边形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理 1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理 2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③ 判定定理 3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理⎨ ⎩4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理 5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．19. 【思路分析】利用平行四边形的性质得出 AF=EC ，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，∠A=∠C ，AD ∥BC ，∴∠E=∠F ，∵BE=DF ，∴AF=EC ，⎧∠A ＝∠C 在△AGF 和△CHE 中⎪ AF ＝EC ， ⎪∠F ＝∠E ∴△AGF ≌△CHE （ASA ），∴AG=CH ．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握平行线的性质是解题关键．20. 【思路分析】（1）要证△ADF ≌△CBE ，因为 AE=CF ，则两边同时加上EF ，得到 AF=CE ，又因为 ABCD 是平行四边形，得出AD=CB ，∠DAF=∠BCE ，从而根据 SAS 推出两三角形全等；（2）由全等可得到∠DFA=∠BEC ，所以得到 DF ∥EB ．【解答】证明：（1）∵AE=CF ，∴AE+EF=CF+FE ，即 AF=CE ．又 ABCD 是平行四边形，∴AD=CB ，AD ∥BC ．∴∠DAF=∠BCE．在△ADF 与△CBE中AF＝CE∠DAF＝∠BCEAD＝CB，∴△ADF≌△CBE（SAS）．（2）∵△ADF≌△CBE，∴∠DFA=∠BEC．∴DF∥EB．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．21.【思路分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE 和△OCF 中，∠OAE＝∠OCFOA＝OC∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．22.【思路分析】（1）由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE=BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE 为平行四边形；（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形DCFE 的周长=AB+BC，故BC=25-AB，然后根据勾股定理即可求得；【解答】（1）证明：∵D、E 分别是AB、AC 的中点，F 是BC 延长线上的一点，∴ED 是Rt△ABC 的中位线，∴ED∥FC．BC=2DE，又EF∥DC，∴四边形CDEF 是平行四边形；（2）解：∵四边形CDEF 是平行四边形；∴DC=EF，∵DC 是Rt△ABC 斜边AB 上的中线，∴AB=2DC，∴四边形DCFE 的周长=AB+BC，∵四边形DCFE 的周长为25cm，AC 的长5cm，∴BC=25-AB，∵在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25-AB）2+52，解得，AB=13cm，【点评】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．23.【思路分析】（1）在Rt△ABC 中，E 为AB 的中点，则1 1CE= AB，BE= AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得2 2∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60 度．所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，则四边形BCFD 是平行四边形．（2）在Rt△ABC 中，求出BC，AC 即可解决问题；【解答】（1）证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°．在等边△ABD 中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°．∵E 为AB 的中点，∴AE=BE．又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC．在△ABC 中，∠ACB=90°，E 为AB 的中点，3 3 3 3 ∴ 1 1 CE= AB ，BE= AB ．2 2∴CE=AE ，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°．又∵△AEF ≌△BEC ，∴∠AFE=∠BCE=60°．又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°．∴FC ∥BD ．又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD ∥BC ，即 FD ∥BC ．∴四边形 BCFD 是平行四边形．（2）解：在 Rt △ABC 中，∵∠BAC=30°，AB=6， ∴ 1 BC= AB=3，AC= BC=3 ， 2∴S 平行四边形 BCFD =3×3 =9 ．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等 三角形解决问题，属于中考常考题型．。
精选中考数学易错题专题复习平行四边形附答案
精选中考数学易错题专题复习平行四边形附答案一、平行四边形1．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形；（2）证明图2中的△ABC分割成两个互补三角形；（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI．①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为、、的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积．②若△ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积．【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6【解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可．（2）根据互补三角形的定义证明即可．（3）①画出图形后，利用割补法求面积即可．②平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，只要证明S△EFM=3S△ABC即可．试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形．（2）如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，∴∠EAF+∠BAC=180°，∴△AEF和△ABC是两个互补三角形．∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，∴∠EAH=∠BAC，∵AF=AC，∴AH=AB，在△AEH和△ABC中，∴△AEH≌△ABC，∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．（3）①边长为、、的三角形如图4所示．∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5，∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62．②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设∠ABC=x，∵AM∥CH，CH⊥BC，∴AM⊥BC，∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x，∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，∴△AEM≌△DBI，∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，∴△DBI和△ABC是互补三角形，∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，∴S△EFM=3S△ABC=6．考点：1、作图﹣应用与设计，2、三角形面积2．操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F．探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E 恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时∠AFD 的度数．归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论．【答案】（1）①45°；②BC的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析.【解析】试题分析：（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF 垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG度数，即可求出∠F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可．试题解析：（1）①当点P在线段BC上时，∵∠EAP=∠BAP=30°，∴∠DAE=90°﹣30°×2=30°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点E为DF 的中点时，P也为BC的中点，理由如下：如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，∵EG∥AD，DE=EF，∴EG=AD=1，∵AB=AE，∴点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，∴AF垂直平分线段BE，∴OB=OE，∵GE∥BP，∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，∴△BOP≌△EOG，∴BP=EG=1，即P为BC的中点，∴∠DAF=90°﹣∠BAF，∠ADF=45°+∠BAF，∴∠AFD=180°﹣∠DAF﹣∠ADF=45°；（2）∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且∠1=∠BAP，∴∠1+∠2=×90°=45°，即∠FAG=45°，则∠AFD=90°﹣45°=45°；（3）如图2所示，∠AFE的大小不会发生变化，∠AFE=45°，作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，∴∠BAE=90°+2α，∴∠FAE=∠BAE=45°+α，∴∠FAG=∠FAE﹣∠EAG=45°，在Rt△AFG中，∠AFE=90°﹣45°=45°．考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质.3．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．4．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23.【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，3AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠FEK=33，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=12EK=2， ∵△OPF 是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2， 在Rt △PHF 中，PH=12PF=1，HF=3，OH=2﹣3， ∴OP=()2212362+-=-.如图4中，点P 在线段OC 上，当PO=PF 时，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=33OE=233， 综上所述：OP 的长为62-或233. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.5．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，BD=BC ，点E 为CD 的中点，射线BE 交AD 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：四边形BCFD 是菱形；（2）若AD=1，BC=2，求BF 的长．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】（1）∵AF ∥BC ，∴∠DCB =∠CDF ，∠FBC =∠BFD ，∵点E 为CD 的中点，∴DE =EC ，在△BCE与△FDE中，FBC BFDDCB CDFDE EC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△FDE，∴DF=BC，又∵DF∥BC，∴四边形BCDF为平行四边形，∵BD=BC，∴四边形BCFD是菱形；（2）∵四边形BCFD是菱形，∴BD=DF=BC=2，在Rt△BAD中，AB=223BD AD-=，∵AF=AD+DF=1+2=3，在Rt△BAF中，BF=22AB AF+=23．6．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF ，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF ，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2．如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2考点：四边形综合题7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E 是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形ADBC的面积．【答案】（1）见解析；（2）S平行四边形ADBC273【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=12AB，BE=12AB，得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度.所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD//BC，则四边形BCFD是平行四边形.（2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；【详解】解：（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°，∵E为AB的中点，∴AE=BE，又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC，在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=12AB，BE=12AB，∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°，又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°，又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°，∴FC∥BD，又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC，∴四边形BCFD是平行四边形；（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AF=3，AC=33∴S平行四边形BCFD=3×33=93，S△ACF=12×3×33=932，S平行四边形ADBC=2732．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.8．(1)问题发现如图1,点E. F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；(2)类比引申如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E. F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF；(3)联想拓展如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC 满足的等量关系，并写出推理过程。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第三期)专题24多边形与平行四边形(含解析)
多边形与平行四边形一.选择题1.（2019?湖北省咸宁市?3分）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（）A ．45°B ．60°C ．72°D ．90°【分析】根据多边形的内角和公式（n ﹣2）?180°求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的一个外角．【解答】解：∵正多边形的内角和是540°，∴多边形的边数为540°÷180°+2＝5，∵多边形的外角和都是360°，∴多边形的每个外角＝360÷5＝72°．故选：C ．【点评】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．2.（2019云南4分）一个十二边形的内角和等于A.2160°B.2080°C.1980°D.1800°【解析】多边形内角和公式为180)2(n ，其中n 为多边形的边的条数.∴十二边形内角和为1800180)212(，故选D3. （2019?甘肃庆阳?3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°【分析】根据多边形内角和公式（n ﹣2）×180°即可求出结果．【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，故选：C ．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．4. （2019?广东广州?3分）如图，?ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，对角线AC ，BD 相交于点O ，。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题24 多边形与平行四边形(含解析)
多边形与平行四边形一.选择题1. （2019•湖北十堰•3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对角线互相平分【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选：C．【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．2.（2019▪广西池河▪3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ）A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF【分析】利用三角形中位线定理得到DE AC，结合平行四边形的判定定理进行选择．【解答】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE A C．A.根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．B.根据∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．C.根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．D.根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．3.（2019▪广西池河▪3分）如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的边长是（ ）A．1 B．C．D．2【分析】过点B作BG⊥AC于点G．，正六边形ABCDEF中，每个内角为（6﹣2）×180°÷6＝120°，即∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，于是AG＝AC＝，AB＝2，【解答】解：如图，过点B作BG⊥AC于点G．正六边形ABCDEF中，每个内角为（6﹣2）×180°÷6＝120°，∴∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∴AG＝AC＝，∴GB＝1，AB＝2，即边长为2．故选：D．【点评】本题考查了正多边形，熟练运用正多边形的内角和公式是解题的关键．4.（2019▪黑龙江哈尔滨▪3分）如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（ ）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．【解答】解：∵在▱ABCD中，EM∥AD∴易证四边形AMEN为平行四边形∴易证△BEM∽△BAD∽△END∴＝＝，A项错误＝，B项错误＝＝，C项错误＝＝，D项正确故选：D．【点评】此题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．5. （2019•湖南湘西州•4分）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，列方程可求解．【解答】解：设所求多边形边数为n，则（n﹣2）•180°＝1080°，解得n＝8．故选：D．【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．6. （2019•湖南湘西州•4分）下列命题是真命题的是（ ）A．同旁内角相等，两直线平行B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．相等的两个角是对顶角D．圆内接四边形对角相等【分析】由平行线的判定方法得出A是假命题；由平行四边形的判定定理得出B是真命题；由对顶角的定义得出C是假命题；由圆内接四边形的性质得出D是假命题；即可得出答案．【解答】解：A/同旁内角相等，两直线平行；假命题；B．对角线互相平分的四边形是平行四边形；真命题；C．相等的两个角是对顶角；假命题；D．圆内接四边形对角相等；假命题；故选：B．【点评】本题考查了命题与定理、平行线的判定、平行四边形的判定、对顶角的定义、圆内接四边形的性质；要熟练掌握．7. （2019•湖南岳阳•3分）下列命题是假命题的是（ ）A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B．同角（或等角）的余角相等C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分【分析】由平行四边形的性质得出A是假命题；由同角（或等角）的余角相等，得出B是真命题；由线段垂直平分线的性质和正方形的性质得出C.D是真命题，即可得出答案．【解答】解：A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；B．同角（或等角）的余角相等；真命题；C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题；D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；故选：A．【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8. （2019•甘肃武威•3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（ ）A．180°B．360°C．540°D．720°【分析】根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°即可求出结果．【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．二.填空题1. （2019•广东•4分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是_________．【答案】8【解析】（n-2）×180°=1080°，解得n=8.【考点】n边形的内角和=（n-2）×180°2. （2019•湖北武汉•3分）如图，在▱ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为 21° ．【分析】设∠ADE＝x，由等腰三角形的性质和直角三角形得出∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，得出DE＝CD，证出∠DCE＝∠DEC＝2x，由平行四边形的性质得出∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，得出方程，解方程即可．【解答】解：设∠ADE＝x，∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，∵AE＝EF＝CD，∴DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCA＝x，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，∴2x＝63°﹣x，解得：x＝21°，即∠ADE＝21°；故答案为：21°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；根据角的关系得出方程是解题的关键．3. （2019•湖北孝感•3分）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝ 0.14 ．【分析】根据圆的面积公式得到⊙O的面积S＝3.14，求得圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×1×sin30°＝3，即可得到结论．【解答】解：∵⊙O的半径为1，∴⊙O的面积S＝3.14，∴圆的内接正十二边形的中心角为＝30°，∴圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×1×sin30°＝3，∴则S﹣S1＝0.14，故答案为：0.14．【点评】本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．4. （2019•湖南长沙•3分）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是 100 m．【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2DE，问题得解．【解答】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝2×50＝100米．故答案为：100．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．5. （2019•湖南岳阳•4分）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为 4 ．【分析】设多边形的边数为n，根据题意得出方程（n﹣2）×180°＝360°，求出即可．【解答】解：设多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝360°，解得：n＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了多边形的内角和和外角和定理，能根据题意列出方程是解此题的关键．6 （2019，山东枣庄，4分）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝ 36 度．【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝36度．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．n边形的内角和为：180°（n﹣2）．7. （2019•江苏泰州•3分）八边形的内角和为 1080 °．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解．【解答】解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．故答案为：1080°．【点评】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．8 . （2019•湖南株洲•3分）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝ 66 度．【分析】首先根据正五边形的性质得到∠EAB＝108度，然后根据角平分线的定义得到∠PAB＝54度，再利用三角形内角和定理得到∠APB的度数．【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠EAB＝108度，∵AP是∠EAB的角平分线，∴∠PAB＝54度，∵∠ABP＝60°，∴∠APB＝180°﹣60°﹣54°＝66°．故答案为：66．【点评】本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和定理．2.三.解答题1. （2019•湖北天门•8分）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：（1）AE⊥BF；（2）四边形BEGF是平行四边形．【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△BCF得出AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，由平行线的性质得出∠CBF＝∠CEG，证出AE⊥EG，即可得出结论；（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，则AP＝CE，∠EBP＝90°，证明△APE≌△ECG得出AE＝EG，证出EG＝BF，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF＝90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CEG+∠BEA＝90°，∴AE⊥EG，∴AE⊥BF；（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，如图所示：则AP＝CE，∠EBP＝90°，∴∠P＝45°，∵CG为正方形ABCD外角的平分线，∴∠ECG＝45°，∴∠P＝∠ECG，由（1）得∠BAE＝∠CEG，在△APE和△ECG中，，∴△APE≌△ECG（ASA），∴AE＝EG，∵AE＝BF，∴EG＝BF，∵EG∥BF，∴四边形BEGF是平行四边形．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2. （2019•湖北武汉•8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝D C．（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BG C．（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝A B．【分析】（1）作平行四边形AFCD即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质和对顶角的性质即可得到结论；（3）作平行四边形AEMB即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示，线段AF即为所求；（2）如图所示，点G即为所求；（3）如图所示，线段EM即为所求．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，平行线四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出图形是解题的关键．3. （2019•湖北孝感•13分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于A.B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）点A的坐标为 （﹣2，0） ，点B的坐标为 （4，0） ，线段AC的长为 2 ，抛物线的解析式为 y＝x2﹣x﹣4 ．（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．①如果在x轴上存在点Q，使得以点B.C.P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标．②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4﹣m（0＜m＜2）时，试比较f的对应函数值f1和f2的大小．【分析】（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故a＝，即可求解；（2）分BC是平行四边形的一条边时、BC是平行四边形的对角线时，两种情况分别求解即可．（3）证明△EPH∽△CAO，∴，即：，则EP＝PH，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4，令y＝0，则x＝4或﹣2，即点A.B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），则AC＝2，故答案为：（﹣2，0）、（4，0）、2、y＝x2﹣x﹣4；（2）①当BC是平行四边形的一条边时，如图所示，点C向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点B，设：点P（n，n2﹣n﹣4），点Q（m，0），则点P向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点Q，即：n+4＝m，n2﹣n﹣4+4＝0，解得：m＝4或6（舍去4），即点Q（6，0）；②当BC是平行四边形的对角线时，设点P（m，n）、点Q（s，0），其中n＝m2﹣m﹣4，由中心公式可得：m+s＝﹣2，n+0＝4，解得：s＝2或4（舍去4），故点Q（2，0）；故点Q的坐标为（2，0）或（6，0）；（3）如图2，过点P作PH∥x轴交BC于点H，∵GP∥y轴，∴∠HEP＝∠ACB，∵PH∥x轴，∴∠PHO＝∠AOC，∴△EPH∽△CAO，∴，即：，则EP＝PH，设点P（t，y P），点H（x H，y P），则t2﹣t﹣4＝x H﹣4，则x H＝t2﹣t，f＝PH＝[t﹣（t2﹣t）]＝﹣（t2﹣4t），当t＝m时，f1＝（m2﹣4m），当t＝4﹣m时，f2＝﹣（m2﹣2m），则f1﹣f2＝﹣m（m﹣），则0＜m＜2，∴f1﹣f2＞0，f1＞f2．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（2），要主要分类求解，避免遗漏．4. （2019•湖南衡阳•12分）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB ′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．【分析】（1）当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，由此构建方程即可解决问题．（2）如图1中，连接BF交AC于M．证明EF＝2EM，由此构建方程即可解决问题．（3）证明DE＝AC即可解决问题．（4）如图3中，连接AM，AB′．根据AB′≥AM﹣MB′求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，∴6+t＝2（6﹣t），∴t＝3，∴t＝3时，△BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：如图1中，连接BF交AC于M．∵BF平分∠ABC，BA＝BC，∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，∵EF∥BQ，∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°，∴EF＝2EM，∴t＝2•（3﹣t），解得t＝3．（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，∴△APK是等边三角形，∴PA＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．（4）如图3中，连接AM，AB′∵BM＝CM＝3，AB＝AC，∴AM⊥BC，∴AM＝＝3，∵AB′≥AM﹣MB′，∴AB′≥3﹣3，∴AB′的最小值为3﹣3．【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．5 （2019•浙江嘉兴•8分）在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．【分析】（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'＝，BD＝AC＝BD''＝，AD'＝BC＝AD''＝；画出图形即可；（2）根据平行线分线段成比例定理画出图形即可．【解答】解：（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'＝，BD＝AC＝BD''＝，AD'＝BC＝AD''＝；画出图形如图1所示；（2）如图2所示．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理；熟练掌握勾股定理好平行线分线段成比例定理是解题的关键．6. （2019•甘肃•10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A.B.P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E），即可求解．【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PE＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A.B.P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．7. （2019•南京•7分）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE 相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．【分析】依据四边形DBCE是平行四边形，即可得出BD＝CE，依据CE∥AD，即可得出∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，即可判定△ADF≌△CEF．【解答】证明：∵DE∥BC，CE∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形，∴BD＝CE，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∴AD＝EC，∵CE∥AD，∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，∴△ADF≌△CEF（ASA）．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．8 （2019•湖南怀化•10分）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，由已知得出∠AEB ＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，由AAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）证出∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）证明：∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝90°，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．9 （2019•湖南邵阳•10分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A.B两点，过A.B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D.点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P 向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，进而可得出点C，D的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；（3）由（2）可得出点A，B，C，D的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点E，F的坐标，由AQ∥EF且以A.E.F、Q四点为顶点的四边形为平行四边形可得出AQ＝EF，分0＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8三种情况找出AQ，EF的长，由AQ＝EF可得出关于t的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．【解答】解：（1）将（0，0），（8，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+x．（2）当y＝m时，﹣x2+x＝m，解得：x1＝4﹣，x2＝4+，∴点A的坐标为（4﹣，m），点B的坐标为（4+，m），∴点D的坐标为（4﹣，0），点C的坐标为（4+，0）．∵矩形ABCD为正方形，∴4+﹣（4﹣）＝m，解得：m1＝﹣16（舍去），m2＝4．∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4．（3）以A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．由（2）可知：点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（6，4），点C的坐标为（6，0），点D的坐标为（2，0）．设直线AC的解析式为y＝kx+a（k≠0），将A（2，4），C（6，0）代入y＝kx+a，得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6．当x＝2+t时，y＝﹣x2+x＝﹣t2+t+4，y＝﹣x+6＝﹣t+4，∴点E的坐标为（2+t，﹣t2+t+4），点F的坐标为（2+t，﹣t+4）．∵以A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQ∥EF，∴AQ＝EF，分三种情况考虑：①当0＜t≤4时，如图1所示，AQ＝t，EF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，∴t＝﹣t2+t，解得：t1＝0（舍去），t2＝4；②当4＜t≤7时，如图2所示，AQ＝t﹣4，EF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，∴t﹣4＝﹣t2+t，解得：t3＝﹣2（舍去），t4＝6；③当7＜t≤8时，AQ＝t﹣4，EF＝﹣t+4﹣（﹣t2+t+4）＝t2﹣t，∴t﹣4＝t2﹣t，解得：t5＝5﹣（舍去），t6＝5+（舍去）．综上所述：当以A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）分0＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8三种情况，利用平行四边形的性质找出关于t的一元二次方程．10 （2019•湖南岳阳•10分）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E.F分别在边A D.BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P 为直线EF上一动点（不与E.F重合），过点P分别作直线BE.BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1，求证：BE＝BF；（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含A.b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含A.b的式子表示QM与QN 之间的数量关系．（不要求写证明过程）【分析】（1）证明∠BEF＝∠BFE即可解决问题（也可以利用全等三角形的性质解决问题即可）．（2）如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形．利用面积法证明PM+PN ＝EH，利用勾股定理求出AB即可解决问题．（3）①如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．由S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，可得BE•PM﹣•BF•PN＝•BF•EH，由BE＝BF，推出PM﹣PN＝EH＝，由此即可解决问题．②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，由翻折可知：∠DEF＝∠BEF，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF．（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝A B．∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，∴AD＝BC＝7，AE＝2，在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，∴AB＝＝，∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF，∴•BF•EH＝•BE•PM+•BF•PN，∵BE＝BF，∴PM+PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平行四边形，∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2．（3）①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，∴AD＝BC＝a+b，∴AE＝AD﹣DE＝b，∴EH＝AB＝，∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，∴BE•PM﹣•BF•PN＝•BF•EH，∵BE＝BF，∴PM﹣PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平行四边形，∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝．②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，翻折变换，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考压轴题．8.9.10.。
2019年中考数学：多边形与平行四边形专题练习(含解析)
2019年中考数学：多边形与平行四边形真题汇编(名师精选全国真题实战训练+答案，值得下载练习)一.选择题1.（2018•江苏苏州•3分）如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD=BC，过AC中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF=2CD，连接DF．若AB=8，则DF的长为（）A．3 B．4 C．2D．3【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得：EG=4，设CD=x，则EF=BC=2x，证明四边形EGDF是平行四边形，可得DF=EG=4．【解答】解：取BC的中点G，连接EG，∵E是AC的中点，∴EG是△ABC的中位线，∴EG=AB==4，设CD=x，则EF=BC=2x，∴BG=CG=x，∴EF=2x=DG，∵EF∥CD，∴四边形EGDF是平行四边形，∴DF=EG=4，故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，作辅助线构建三角形的中位线是本题的关键．2.（2018•山东东营市•3分）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF．添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（）A．AD=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D．∠F=∠CDF【分析】正确选项是D．想办法证明CD=AB，CD∥AB即可解决问题；【解答】解：正确选项是D．理由：∵∠F=∠CDF，∠CED=∠BEF，EC=BE，∴△CDE≌△BFE，CD∥AF，∴CD=BF，∵BF=AB，∴CD=AB，∴四边形ABCD是平行四边形．故选：D．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3.（2018•山东济宁市•3分）如图，在五边形A BCDE 中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP 分别平分∠EDC.∠BCD，则∠P=（）A．50°B．55°C．60°D．65°【解答】解：∵在五边形A BCDE 中，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠ECD+∠BCD=240°，又∵DP、CP 分别平分∠EDC.∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=120°，∴△CDP 中，∠P=180°﹣（∠PDC+∠PCD）=180°﹣120°=60°．故选：C．4. （2018•乌鲁木齐•4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得．【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，∴（n﹣2）×180°=720°，解得n=6，∴这个多边形的边数是6．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180°•（n﹣2），难度适中．4. （2018•临安•3分）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=36度．【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC==108°，△ABC是等腰三角形，∴∠BAC=∠BCA=36度．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．n边形的内角和为：180°（n﹣2）．5. （2018•广西玉林•3分）在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种【分析】根据平行四边形的判定方法中，①②、③④、①③、③④均可判定是平行四边形．【解答】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：①②、③④、①③、③④．故选：B．6. （2018·黑龙江龙东地区·3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC.BD相交于点O，AE 平分∠BAD，分别交BC.BD于点E.P，连接OE，∠ADC=60°，AB=BC=1，则下列结论：①∠CAD=30°②BD=③S平行四边形ABCD=AB•AC④OE=AD⑤S△APO=，正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：OE=AB=，OE∥AB，根据勾股定理计算OC==和OD的长，可得BD的长；③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理可作判断；⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S△AOE=S△EOC=OE•OC=，=，代入可得结论．【解答】解：①∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∴∠DAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE=1，∴△ABE是等边三角形，∴AE=BE=1，∵BC=2，∴EC=1，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ACE，∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，∴∠ACE=30°，∵AD∥BC，∴∠CAD=∠ACE=30°，故①正确；②∵BE=EC，OA=OC，∴OE=AB=，OE∥AB，∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，Rt△EOC中，OC==，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD=∠BAD=120°，∴∠ACB=30°，∴∠ACD=90°，Rt△OCD中，OD==，∴BD=2OD=，故②正确；③由②知：∠BAC=90°，∴S▱ABCD=AB•AC，故③正确；④由②知：OE是△ABC的中位线，∴OE=AB，故④不正确；⑤∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=，∴S△AOE=S△EOC=OE•OC==，∵OE∥AB，∴，∴=，∴S△AOP===；故⑤正确；本题正确的有：①②③⑤，4个，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．7.（2018•福建A卷•4分）一个n边形的内角和为360°，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求n．【解答】解：根据n边形的内角和公式，得：（n﹣2）•180=360，解得n=4．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．8. （2018•福建B卷•4分）一个n边形的内角和为360°，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求n．【解答】解：根据n边形的内角和公式，得：（n﹣2）•180=360，解得n=4．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．7.（2018•贵州黔西南州•4分）如图在▱ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（）A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm【分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC=9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长．【解答】解：∵AC=4cm，若△ADC的周长为13cm，∴AD+DC=13﹣4=9（cm）．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∴平行四边形的周长为2（AB+BC）=18cm．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质．此题利用了“平行四边形的对边相等”的性质．8.（2018•贵州铜仁•4分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n﹣2）=3×360°解得n=8．故选：A．9.（2018•海南•3分）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC.BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（）A．15 B．18 C．21 D．24【分析】利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题；【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，∴BC+CD=18，∵OD=OB，DE=EC，∴OE+DE=（BC+CD）=9，∵BD=12，∴OD=BD=6，∴△DOE的周长为9+6=15，故选：A．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．14．(2018湖南省邵阳市)（3分）如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B的大小是40°．【分析】根据外角的概念求出∠ADC，根据垂直的定义、四边形的内角和等于360°计算即可．【解答】解：∵∠ADE=60°，∴∠ADC=120°，∵AD⊥AB，∴∠DAB=90°，∴∠B=360°﹣∠C﹣∠ADC﹣∠A=40°，故答案为：40°．【点评】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于360°、外角的概念是解题的关键．15. （2018•乌鲁木齐•4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得．【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，∴（n﹣2）×180°=720°，解得n=6，∴这个多边形的边数是6．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180°•（n﹣2），难度适中．二.填空题1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3分）若一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形的边数为12．【分析】根据已知和多边形的外角和求出边数即可．【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于30°，又∵多边形的外角和等于360°，∴多边形的边数是=12，故答案为：12．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能熟记多边形的外角和等于360°是解此题的关键．2. （2018·湖南郴州·3分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是720°．【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解．【解答】解：这个正多边形的边数为=6，所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°．故答案为720°．【点评】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．3. （2018·湖南怀化·4分）一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是10．【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于36°，∴多边形的边数为360°÷36°=10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．4.（2018•江苏宿迁•3分）一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是________.【答案】8【分析】根据多边形的内角和公式，多边形外角和为360°，根据题意列出方程，解之即可. 【详解】设这个多边形边数为n，∴（n-2）×180°=360°×3，∴n=8，故答案为：8.【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和公式、外角和为360度是解题的关键.5.（2018•江苏无锡•2分）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是2≤a+2b≤5．【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的长，计算a+2b=2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论．【解答】解：过P作PH⊥OY交于点H，∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a，Rt△HEP中，∠EPH=30°，∴EH=EP=a，∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，∴2≤a+2b≤5．【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围．6.（2018•山东聊城市•3分）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是540°或360°或180°．【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解．【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°=540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°=360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°=180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．故答案为：540°或360°或180°．【点评】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键．7.（2018•山东济宁市•3分）在△ABC 中，点E，F 分别是边A B，AC 的中点，点D在B C 边上，连接D E，DF，EF，请你添加一个条件 D 是B C 的中点，使△BED 与△FDE 全等．【解答】解：当D是B C 的中点时，△BED≌△FDE，∵E，F 分别是边A B，AC 的中点，∴EF∥BC，当E，D 分别是边A B，BC 的中点时，ED∥AC，∴四边形B EFD 是平行四边形，∴△BED≌△FDE，故答案为：D 是B C 的中点．8. （2018•上海•4分）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设=，=那么向量用向量、表示为+2．【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF，故AF=2AB=2DC，结合三角形法则进行解答．【解答】解：如图，连接BD，FC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB．∴△DCE∽△FBE．又E是边BC的中点，∴==，∴EC=BE，即点E是DF的中点，∴四边形DBFC是平行四边形，∴DC=BF，故AF=2AB=2DC，∴=+=+2=+2．故答案是：+2．【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则的应用是关键．9. （2018•上海•4分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是度．【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和．【解答】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．所以该多边形的内角和是3×180°=540°．故答案为540．【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边的内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形．10. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是2＜AD＜8．【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE.AF即可判断；【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，∴AE=2AB=8，在Rt△ABF中，AF=AB=2，∴AD的取值范围为2＜AD＜8，故答案为2＜AD＜8．角形的中位线定理表示AD=2x，AD∥EF，可得∠CAD=∠CEF=45°，证明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM=45°，证明△ENF≌△MNB，则EN=MN=x，BN=FN=，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC 的长．【解答】解：设EF=x，∵点E.点F分别是OA.OD的中点，∴EF是△OAD的中位线，∴AD=2x，AD∥EF，∴∠CAD=∠CEF=45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=2x，∴∠ACB=∠CAD=45°，∵EM⊥BC，∴∠EMC=90°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴∠CEM=45°，连接BE，∵AB=OB，AE=OE∴BE⊥AO∴∠BEM=45°，∴BM=EM=MC=x，∴BM=FE，易得△ENF≌△MNB，∴EN=MN=x，BN=FN=，Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2，∴，x=2或﹣2（舍），∴BC=2x=4．故答案为：4．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．11. （2018·黑龙江哈尔滨·3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC.BD相交于点O，AB=OB，点E.点F分别是OA.OD的中点，连接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN=，则线段BC的长为4．【分析】设EF=x，根据三12.（2018•贵州贵阳•4分）如图，点M、N 分别是正五边形ABCDE 的两边AB.BC 上的点，且AM BN ，点O 是正五边形的中心，则MON 的度数是度.【解】方法一：特殊位置，即 O M AB ，ON BC 时， MON36072 5方法二：一般位置，作 OP AB ，OQ BC ，如图所示：易得： Rt OPM ≌ Rt OQN ，则POM QON POQPOM MOQ由NOM NOQ MOQ∴MON POQ360 72513.（2018•海南•4分）五边形的内角和的度数是 540° ．【分析】根据n边形的内角和公式：180°（n﹣2），将n=5代入即可求得答案．【解答】解：五边形的内角和的度数为：180°×（5﹣2）=180°×3=540°．故答案为：540°．【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，准确记住公式是解此题的关键．14. （2018•上海•4分）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设=，=那么向量用向量、表示为+2．【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF，故AF=2AB=2DC，结合三角形法则进行解答．【解答】解：如图，连接BD，FC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB．∴△DCE∽△FBE．又E是边BC的中点，∴==，∴EC=BE，即点E是DF的中点，∴四边形DBFC是平行四边形，∴DC=BF，故AF=2AB=2DC，∴=+=+2=+2．故答案是：+2．【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则的应用是关键．15. （2018•上海•4分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是度．【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和．【解答】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．所以该多边形的内角和是3×180°=540°．故答案为540．【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边的内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形．三.解答题1.（2018•江苏宿迁•8分）如图，在□ABCD中，点E.F分别在边CB.AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB.CD交于点G、H，求证：AG＝CH.【答案】证明见解析.【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，根据平行线的性质得∠E=∠F，再结合已知条件可得AF=CE，根据ASA得△CEH≌△AFG，根据全等三角形对应边相等得证.【详解】∵在四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，∴∠E=∠F，又∵BE＝DF，∴AD+DF=CB+BE，即AF=CE，在△CEH和△AFG中，，∴△CEH≌△AFG，∴CH=AG.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.2.已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：①构造一个真命题，画图并给出证明；②构造一个假命题，举反例加以说明．【分析】如果①②结合，那么这些线段所在的两个三角形是SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的对边平行；如果②③结合，和①②结合的情况相同；如果①④结合，由对边平行可得到两对内错角相等，那么AD，BC所在的三角形全等，也得到平行的对边也相等，那么是平行四边形；最易举出反例的是②④，它有可能是等腰梯形．【解答】解：（1）①④为论断时：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠DBC．又∵OA=OC，∴△AOD≌△COB．∴AD=BC．∴四边形ABCD为平行四边形．（2）②④为论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形．【点评】本题主要考查平行四边形的判定，学生注意常用等腰梯形做反例来推翻不是平行四边形的判断．3.（2018•江苏无锡•8分）如图，平行四边形ABCD中，E.F分别是边BC.AD的中点，求证：∠ABF=∠CDE．【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案．【解答】解：在▱ABCD中，AD=BC，∠A=∠C，∵E.F分别是边BC.AD的中点，∴AF=CE，在△ABF与△CDE中，∴△ABF≌△CDE（SAS）∴∠ABF=∠CDE【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质以及全等三角形，本题属于中等题型4.（2018•江苏淮安•8分）已知：如图，▱ABCD的对角线AC.BD相交于点O，过点O的直线分别与AD.BC 相交于点E.F．求证：AE=CF．【分析】利用平行四边形的性质得出AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO，再利用ASA求出△AOE ≌△COF，即可得出答案．【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠EAC=∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．5．（2018•临安•6分）已知：如图，E.F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．【分析】（1）要证△ADF≌△CBE，因为AE=CF，则两边同时加上EF，得到AF=CE，又因为ABCD是平行四边形，得出AD=CB，∠DAF=∠BCE，从而根据SAS推出两三角形全等；（2）由全等可得到∠DF A=∠BEC，所以得到DF∥E B．【解答】证明：（1）∵AE=CF，∴AE+EF=CF+FE，即AF=CE．又ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AD∥B C．∴∠DAF=∠BCE．在△ADF与△CBE中，∴△ADF≌△CBE（SAS）．（2）∵△ADF≌△CBE，∴∠DF A=∠BE C．∴DF∥E B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA.HL．注意：AAA.SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6.（2018•湖州•10分）已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB≥AC，D，E分别为AC，BC边上的点（不包括端点），且==m，连结AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM交AB于点F．（1）如图1，过点E作EH⊥AB于点H，连结DH．①求证：四边形DHEC是平行四边形；②若m=，求证：AE=DF；（2）如图2，若m=，求的值．【分析】（1）①先判断出△BHE∽△BAC，进而判断出HE=DC，即可得出结论；②先判断出AC=AB，BH=HE，再判断出∠HEA=∠AFD，即可得出结论；（2）先判断出△EGB∽△CAB，进而求出CD：BE=3：5，再判断出∠AFM=∠AEG进而判断出△FAD∽△EGA，即可得出结论．【解答】解：（1）①证明：∵EH⊥AB，∠BAC=90°，∴EH∥CA，∴△BHE∽△BAC，∴，∵，∴，∴HE=DC，∵EH∥DC，∴四边形DHEC是平行四边形；②∵，∠BAC=90°，∴AC=AB，∵，HE=DC，∴HE=DC，∴，∵∠BHE=90°，∴BH=HE，∵HE=DC，∴BH=CD，∴AH=AD，∵DM⊥AE，EH⊥AB，∴∠EHA=∠AMF=90°，∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°，∴∠HEA=∠AFD，∵∠EHA=∠FAD=90°，∴△HEA≌△AFD，∴AE=DF；（2）如图2，过点E作EG⊥AB于G，∵CA⊥AB，∴△EGB∽△CAB，∴，∴，∵，∴EG=CD，设EG=CD=3x，AC=3y，∴BE=5x，BC=5y，∴BG=4x，AB=4y，∵∠EGA=∠AMF=90°，∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM，∴∠AFM=∠AEG，∵∠FAD=∠EGA=90°，∴△FAD∽△EGA，∴=【点评】此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，判断出∠HEA=∠AFD是解本题的关键．7. （2018·黑龙江大庆·7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D.E分别是AB.AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．【分析】（1）由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE=BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形；（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形DCFE的周长=AB+BC，故BC=25﹣AB，然后根据勾股定理即可求得；【解答】（1）证明：∵D.E分别是AB.AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥FC．BC=2DE，又EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形；（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形；∴DC=EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB=2DC，∴四边形DCFE的周长=AB+BC，∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，∴BC=25﹣AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，解得，AB=13cm，8. （8分）如图，点B.F、C.E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．【分析】连接BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AB=DE，依据AB∥DE，即可得出四边形ABDE 是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分．【解答】证明：如图，连接BD，AE，∵FB=CE，∴BC=EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AD与BE互相平分．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论．9. （2018·湖北省恩施·12分）如图，已知抛物线交x轴于A.B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为坐标平面内一点，以B.C.D.P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点M1.M2.M3使得△M1BC.△M2BC.△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1.M2.M3这三个点的坐标．【分析】（1）由OC与OB的长，确定出B与C的坐标，再由A坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即可；（2）分三种情况讨论：当四边形CBPD是平行四边形；当四边形BCPD是平行四边形；四边形BDCP是平行四边形时，利用平移规律确定出P坐标即可；（3）由B与C坐标确定出直线BC解析式，求出与直线BC平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确定出交点与直线BC解析式，进而确定出另一条与直线BC平行且与BC距离相等的直线解析式，确定出所求M坐标，且求出定值S的值即可．【解答】解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把C（0，2）代入得：2=﹣3a，即a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2；（2）抛物线y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+，∴D（1，），当四边形CBPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，）；当四边形CDBP是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，﹣）；当四边形BCPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（﹣2，）；（3）设直线BC解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，2）代入得：，解得：，∴y=﹣x+2，设与直线BC平行的解析式为y=﹣x+b，联立得：，消去y得：2x2﹣6x+3b﹣6=0，当直线与抛物线只有一个公共点时，△=36﹣8（3b﹣6）=0，解得：b=，即y=﹣x+，此时交点M1坐标为（，）；可得出两平行线间的距离为，同理可得另一条与BC平行且平行线间的距离为的直线方程为y=﹣x+，联立解得：M 2（，﹣），M3（，﹣﹣），此时S=1．【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．10.（2018•福建A卷•8分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11.（2018•福建B卷•8分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．12.( 2018•广西北海•8分）如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E.F，且 BE=DF.（1）求证：▱ABCD 是菱形；（2）若AB=5,AC=6，求▱ABCD 的面积。
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4.4多边形与平行四边形易错清单1.平行四边形的性质.【例1】(2014·湖南益阳)如图,平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能是().A. AE=CFB. BE=FDC. BF=DED. ∠1=∠2【解析】 A.当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF,故此选项符合题意;B. 当BE=FD,∵平行四边形ABCD,∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误;C. 当BF=ED,∴BE=DF.∵平行四边形ABCD,∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误;D. 当∠1=∠2,∵平行四边形ABCD,∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(ASA),故此选项错误;【答案】 A【误区纠错】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.注意平行四边形对角线互相平分.2.平行四边形的判定.【例2】(2014·云南)如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M,N分别是AD,BC的中点,BC=2CD.(1)求证:四边形MNCD是平行四边形;(2)求证:BD=MN.【解析】(1)根据平行四边形的性质,可得AD与BC的关系,根据MD与NC的关系,可得证明结论;(2)根据根据等边三角形的判定与性质,可得∠DNC的度数,根据三角形外角的性质,可得∠DBC的度数,根据正切函数,可得答案.【答案】(1)∵ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC.∵M,N分别是AD,BC的中点,∴MD=NC,MD∥NC.∴四边形MNCD是平行四边形.(2)如图,连接ND,∵四边形MNCD是平行四边形,∴MN=DC.∵N是BC的中点,∴BN=CN.∵BC=2CD,∠C=60°,∴△NCD是等边三角形.∴ND=NC,∠DNC=60°.∵∠DNC是△BND的外角,∴∠NBD+∠NDB=∠DNC.∵DN=NC=NB,【误区纠错】本题考查了平行四边形的判定与性质,利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,等边三角形的判定与性质,正切函数.但是要注意一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,例如等腰梯形.名师点拨1.掌握多边形内角和公式(n-2)·180°及外角和均为360°这个特征.2.会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.名师点拨1.掌握多边形内角和公式(n-2)·180°及外角和均为360°这个特征.2.会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.提分策略1.综合运用平行四边形的性质与判定解决问题.由于平行四边形的对边相等、对角相等,所以利用平行四边形的性质可以探索与证明边角相等的问题,解决此类问题时,一般先判定一个四边形是平行四边形,然后利用其性质得到结论.【例1】如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF.求证:(1)△ABE≌△CDF;(2)四边形BFDE是平行四边形.【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,对角相等的性质,即可证得∠A=∠C,AB=CD,又由AE=CF,利用SAS,即可判定△ABE≌△CDF.(2)由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边平行且相等,即可得AD∥BC,AD=BC.又由AE=CF,即可证得DE=BF.根据对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可证得四边形BFDE是平行四边形.【答案】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB=CD.在△ABE和△CDF中,∵AB=CD,∠A=∠C,AE=CF,∴△ABE≌△CDF(SAS).(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵AE=CF,∴AD-AE=BC-CF,即DE=BF.∴四边形BFDE是平行四边形.2.平行四边形的判定.利用平行四边形的性质研究三角形的全等,以及等腰三角形的判定等,也可为了证明一个四边形是平行四边形,先证明两个三角形全等,为进一步证明四边形是平行四边形提供条件.【例2】(2014·甘肃白银)D,E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB,AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连接OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺次连接点D,G,F,E.如图,当点O在△ABC的内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形.【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC,GF∥BC且GF=BC,从而得到DE∥GF,DE=GF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;【答案】∵D,E分别是AB,AC边的中点,∴DE∥GF且DE=GF.∴四边形DEFG是平行四边形.3.研究一种或多种正多边形的镶嵌问题.(1)判断一种正多边形能否进行平面镶嵌,可以用360°除以这个正多边形的内角度数,如果能整除则这个正多边形能进行平面镶嵌.【例3】在下列图形中,单独选用该图形不能进行平面镶嵌的是().A. 正三角形B. 正六边形C. 正方形D. 正五边形【解析】 A. 正三角形的一个内角度数为180°-360°÷3=60°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;B. 正六边形的一个内角度数为180°-360°÷6=120°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;C. 正方形的一个内角度数为180°-360°÷4=90°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;D. 正五边形的一个内角度数为180°-360°÷5=108°,不是360°的因数,不能镶嵌平面,符合题意.【答案】 D(2)判断不同种的正多边形能否进行平面镶嵌,先求出这些正多边形的内角,建立方程,然后判断这个方程是否有正整数解.【例4】现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张,下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是().A. 正方形和正六边形B. 正三角形和正方形C. 正三角形和正六边形D. 正三角形、正方形和正六边形【解析】A选项,正方形和正六边形内角分别为90°,120°,由于90m+120n=360,得,显然n取任何正整数时,m不能得正整数,故不能铺满;B选项,正三角形和正方形内角分别为60°,90°,由于60°×3+90°×2=360°,故能铺满; C选项,正三角形和正六边形内角分别为60°,120°,由于60°×2+120°×2=360°,故能铺满;D选项,正三角形、正方形和正六边形内角分别为60°,90°,120°,由于60°+90°+90°+120°=360°,故能铺满.【答案】 A专项训练一、选择题1. (2014·北京房山区二模)若正多边形的一个外角是36°,则该正多边形为().A. 正八边形B. 正九边形C. 正十边形D. 正十一边形2.(2014·江苏常州模拟)已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是().A. 当AB=BC时,它是菱形B. 当AC⊥BD时,它是菱形C. 当∠ABC=90°时,它是矩形D. 当AC=BD时,它是正方形3.(2014·四川乐山模拟)如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则S1+S2等于().A. 4B. 6C. 8D. 不能确定(第3题)(第4题)4.(2014·安徽安庆外国语学校模拟)如图,已知点O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°,则∠DAO+∠DCO的大小是().A. 70°B. 110°C. 140°D. 150°5. (2013·浙江海宁部分学校联考)如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的外角,且∠1=∠2=∠3=∠4=70°,则∠AED的度数是().A. 110°B. 108°C. 105°D. 100°(第5题)(第7题)6.(2013·内蒙古赤峰模拟)一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°,则该多边形的边数是().A. 5B. 6C. 7D. 87. (2013·云南宣威模拟)如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线AE交BC于点E,且AE=BE,则∠BCD的度数为().A. 30°B. 60°或120°C. 60°D. 120°8. (2013·陕西西安模拟)下面给出了四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是().A. 1∶2∶3∶4B. 2∶3∶2∶3C. 2∶3∶4∶5D. 1∶2∶2∶3二、填空题9.(2014·江苏南京二模)如图,将正五边形ABCDE的点C固定,并依顺时针方向旋转,若要使得新五边形A'B'C'D'E'的顶点D'落在直线BC上,则至少要旋转°.(第9题)10. (2013·湖北枣阳模拟)已知▱ABCD的周长为28,自顶点A作AE⊥DC,垂足为E,AF⊥BC,垂足为F.若AE=3,AF=4,则CE-CF= .三、解答题11. (2014·上海长宁区二模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是BC,BA的中点,连接DE,F在DE延长线上,且AF=AE.求证:四边形ACEF是平行四边形.(第11题)12. (2014·广东深圳模拟)已知:如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线BD,作AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,(1)求证:△AED≌△CFB;(2)若∠ABC=75°,∠ADB=30°,AE=3,求平行四边形ABCD的周长?(第12题)13. (2013·浙江湖州中考模拟试卷)如图,▱ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点.(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;(2)若AD=AE=2,∠A=60°,求四边形EBFD的周长.(第13题)参考答案与解析1. C[解析]多边形外角和均等于360°,2. D[解析] 当AC=BD时,它是矩形..因为对角线相等的平行四边形是矩形.3. C[解析]∵△PEF的面积是2,∴△PBC的面积是2×4=8.∵△PDC,△PAB的面积和等于△PBC的面积均是平行四边形面积的一半,∴S1+S2=8.4.D[解析]∠BAO+∠BCO=∠ABO+∠CBO=∠ABC=70°,所以∠BOA+∠BOC=360°-140°=220°,所以∠AOC=140°.5. D[解析]本题考查多边形的内角和,外角和的概念.6. C[解析](n-2)×180°=3×360°-180°.7. D[解析]△ABE是等边三角形.8. B[解析]平行四边形对角相等.9.72°[解析]正五边形每个内角相等,均等于, 至少旋转180°-108°=72°后新五边形A'B'C'D'E'的顶点D'落在直线BC上.11.∵∠ACB=90°,E是BA的中点,∴CE=AE=BE.∵AF=AE,∴AF=CE.在△BEC中,∵BE=CE且D是BC的中点,∴ED是等腰三角形BEC底边上的中线.∴ED也是等腰三角形BEC的顶角平分线.∴∠1=∠2.∴∠AEC=180°-∠1-∠2=180°-2∠1.∵AF=AE,∴∠F=∠3 .∵∠1=∠3,∴∠1=∠F=∠3.∴在△AEF中,∠FAE=180°-∠3-∠F=180°-2∠1.∴∠AEC=∠F AE,∴CE∥AF.又CE=AF,∴四边形ACEF是平行四边形.(第11题)12. (1)∵平行四边形ABCD,∴AD=BC,AD∥BC.∴∠ADE=∠CBF.又AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F, ∴∠AED=∠CFB=90°.∴△AED≌△CFB (AAS) .(2)在Rt△AED中,∵∠ADE=30°,AE=3,∴AD=2AE=2×3=6.∵∠ABC=75°,∠ADB=∠CBD=30°,∴∠ABE=45°.13. (1)在▱ABCD中,AB=CD,AB∥CD.∵E,F分别是AB,CD的中点,∴BE=DF.∴四边形EBFD是平行四边形. (2)∵AD=AE,∠A=60°,∴△ADE是等边三角形.∴DE=AD=2.又BE=AE=2,由(1)知四边形EBFD是平行四边形, ∴四边形EBFD的周长=2(BE+DE)=8.。