第五章 单位根检验和协整分析(计量经济学-南京财经大学-陈耀辉)

其中 称作位移项（漂移项） t 称为趋势项。 ， 显然，对于以上三个模型，当 < 1 时，yt 是平稳的，当 = 1 时， yt 是非平稳的。
以模型 (5.1) 为例，若 = 0，统计量， ˆ ˆ) = t( t (T-1) ˆ s( ) 该极限分布为标准正态分布。 若 < 1，统计量， ˆ ˆ t ( ) = ( ) ˆ s( ) 渐近服从标准正态分布。根据中心极限定理，当 T 时，
T (
ˆ T
(5.4)
(5.5)
- ) N (0, 2 (1- 2 ) )
ˆ t( )
(5.6)
那么在 = 1 条件下，统计量
服从什么分布呢？当 = 1 时，
变量非平稳，上述极限分布退化为零。
首先观察 = 1 条件下，数据生成系统(5.1)，(5.2) 和 (5.3)的变化情 况。 = 1 条件下的(5.1) 式是随机游走过程。
以随机游走过程和平稳的 AR(1)过程作比较, 对于随机游走过程 xt = xt-1 + ut , x0 = 0, ut IN (0, u2) 有 xt = xt-2 + ut-1 + ut = … = E(xt) = E( Var(xt) =
u
i 1
t
i
,
（具有永久记忆性）
u
i 1 t i 1
第四节 DF 分布
由于虚假回归问题的存在，在回归模型中应避免直接使用非平稳变量。 因此检验变量的平稳性是一个必须解决的问题。在前面介绍用相关图判断时 间序列的平稳性。这一章则给出严格的统计检验方法，即单位根检验。 在介绍检验方法之前，先讨论所用统计量的分布。给出三个数据生成过 程（d.g.p.） ， yt = yt-1 + ut , y0 = 0, ut IID(0, 2) yt = + yt-1 + ut , y0 = 0, ut IID(0, 2) yt = + t + yt-1 + ut , y0 = 0, ut IID(0, 2) (5.1) (5.2) (5.3)
10
y=y(-1)+u
2200
2000
5
1800
0
1600
-5
1400
-10 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
1200 50 100 150 200 250 300
图 5.4
由 yt = yt-1+ ut 生成的序列
深圳股票综合指数
= 1 条件下的 (5.2) 式是含有随机趋势项的过程。 将(5.2) 式作如下变换则展
示的更清楚。 yt = + yt-1 + ut = + ( + yt-2 + ut-1) + ut = … = y0 + t +
u
i 1
t
i
= ui t+
i 1
t
(5.7)
这是一个趋势项和一个随机游走过程之和。所以称作随机趋势过程，见图 5.5，虽然总趋势向上（下） ，但随机过程围绕总趋势上下漂动。因为对 yt 作一次差分后，序列就平稳了，
ˆ 1
) > 2 ) 见图 5.3。
样本容量
图 5.3
⑸ 虚假回归的直观解释 因为上述数据生成系统是真实的，所以对于回归模型 yt = 0 + 1xt + wt , 应有1 = 0，即 yt 与 xt 不相关，则模型变为 yt = 0 + wt 已知 yt I(1), wt I(0)，所以 yt = 0 + wt 两侧的单整阶数出 现矛盾。导致1 无法表现为零。
k =
Cov( xT , xT k ) Var( xT ) Var( xT k )
=
(T k ) u 2 T u
2
(T k ) u
2
=
T k T
=
1 k ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ T
对于 AR(1) 过程 yt = 1 yt-1 + ut , 1 < 1, y0 = 0, yt = ut + 1 ut-1 + 12 ut-2 + … + 1t-1 u1 =
1 i u t i ,
i 0 t 1 t 1
ut IN(0, u2) 有
(yt 只有有限记忆力)
E(xt) = E( 1i u t i ) = 0
i 0
Var(yt) = E[ 1i u t i ]2 =
i 0
t 1
1 1 1
2
u2.
(方差为有限值)
(L) (1- L) d xt = (L) ut
因含有 d 个单位根，所以常把时间序列单整阶数的检验称为单位根检验（unit root test） 。 若 xt I(d)，yt I(c)，则 zt = (a xt + b yt) I (max[d, c]).
zt = (a xt + b yt) = (a xt + b yt) - (a xt -1 + b yt - 1) = (a xt + b yt)
yt = yt - yt-1 = + ut
所以也称 yt 为差分平稳过程。
120 100 80 60
y=0.1+y(-1)+u
（平稳）
20
y=-0.1+y(-1)+u
0 -20 -40
40 20 0 -20 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 -60 -80 -100 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
t
i
)=0
i
Var(u )
= tu2.
（随 T 的增加， 方差变为无穷大）
T k i 1 T k i 1
下面求 xT 和 xT - k 的相关系数，k 。 Cov(xT, xT-k) = E(xT xT-k) = E( u i
i 1 T

ui
) = E( u i
2
) = (T - k) u2
yt = 0.1 t + ut 生成的序列
图 5.7
yt = 0.1+ 0.1t + yt-1+ ut 生成的序列
图 5.7 给出的是含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程。 yt = + t + yt-1 + ut = + t + ( + (t-1) + yt-2 + ut-1) + ut = … = y0 + t + ( t) t - (1+2 +…+ t ) + u i
第五章 单位根检验和协整分析
从本章起介绍计量经济学近20年来最新研究成果。如果把 第2、3章内容称为经典计量经济学，那么将要介绍的内容则应 该称为非经典计量经济学。 从1974年开始计量经济学工作者渐渐意识到当用含有单位 根的时间序列建立经典计量经济模型时会出现一些问题，这就 是虚假回归。 应该知道通过经济数据了解经济变量的变化规律有时是存 在相当大的局限性的，所以在建立模型时，必须依靠经济理论 ，同时对参数进行假设检验。实际上，有时只依靠经济理论仍 然不行。比如处于调整中的经济变量，哪些是它的外生变量， 哪些是它的无关变量，单凭经济理论就很难判别清楚。所以当 研究经济变量参数变化规律时，常常采用另外一种方法，即统 计理论方法，通过设计具有某种特征的能生成数据的随机过程 或数据生成系统研究经济问题。下面常常用到数据生成系统这 个概念。
当 c > d 时，zt 只有差分 c 次才能平稳。一般来说，若 xt I (c)，yt I (c)，则 zt = (a xt + b yt) I (c). 但也有 zt 的单整阶数小于 c 的情形。当 zt 的单整阶数小于 c 时，则称 xt 与 yt 存在协整关系。
第二节 单整过程的统计特征
图 5.1 三条曲线叠加示意图
图 5.2
t(98)分布和虚假回归条件下的 t 分布
⑵ t 统计量的分布 有如下数据生成系统 xt = xt-1 + ut , yt = yt-1 + vt , E(ui vj) = 0, x0 = 0, y0 = 0, ut IID(0, 1) vt IID (0, 1)
无限的 永久的
第三节 虚假回归 ⑴ 用蒙特卡罗模拟方法分析相关系数的分布。 ut IN(0, 1), ut I (0) vt IN(0, 1), vt I (0) 每次生成 T=100 的相互独立的{ut}和{vt}，并计算 Ruv。重复 1 万次，从而得到 Ruv 的分布。 xt = xt-1 + ut , x0 = 0, xt I (1) yt = yt-1 + vt , y0 = 0, yt I (1) 利用{ut}和{vt}，每次生成 T=100 的{xt}和{yt}并计算 Rxy。重复 1 万次，从而得 到 Rxy 的分布。 pt = pt-1 + xt , p0 = 0, pt I (2) qt = qt-1 + yt , q0 = 0, qt I (2) 利用{xt}和{yt}，每次生成 T=100 的{pt}和{qt}并计算 Rpq。重复 1 万次，从而得 到 Rpq 的分布。 1. 两个相互独立的 I(0)变量{ut}和{vt}的相关系数 Ruv 的分布为正态（见图 5.1a） 。 2. 两个相互独立的 I(1)变量{xt}和{yt}的相关系数 Rxy 的分布为倒 U 形 （见 图 5.1b） 。 3. 两个相互独立的 I(2)变量{pt}和{qt}的相关系数 Rpq 的分布为 U 形 （见图 5.1c） 。