2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(课标全国I)精校版(宁夏、黑龙江、吉林)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(宁夏卷,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（宁夏卷，含答案）第I 卷一， 选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的。
（1） 已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则A B =I (A) }{3,5 (B) }{3,6 (C) }{3,7 (D) }{3,9 （2） 复数3223ii+=- （A ）1 （B ）1- （C ）i (D)i -（3）对变量,x y 有观测数据（1x ，1y ）（1,2,...,10i =），得散点图1；对变量,u v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。
（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 （4）有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ,x y R ∃∈, sin()sin sin x y x y -=-3p : ∀x ∈[]0,π1cos 2sin 2x x -= 4p : sin cos 2x y x y π=⇒+= 其中假命题的是（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，3p（5）已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（A ）2(2)x ++2(2)y -=1 （B ）2(2)x -+2(2)y +=1 （C ）2(2)x ++2(2)y +=1 （D ）2(2)x -+2(2)y -=1（6）设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值 （7）已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为（A ）17-（B ）17 （C ）16- （D ）16（8）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =（A ）38 （B ）20 （C ）10 （D ）9（9） 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中错误的是 （A ）AC BE ⊥（B ）//EF ABCD 平面（C ）三棱锥A BEF -的体积为定值（D ）AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等（10）如果执行右边的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于 （A ）3 （B ） 3.5 （C ） 4 （D ）4.5（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为（A ）48122+ （B ）48242+（C ）36122+ （D ）36242+（12）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(全国卷1,答案不全)
绝密★启封并使用完毕前试题类型：2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =I （A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}(2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13（B ）12（C ）13（D ）56（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b= （A（BC ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b （9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=I 平面，11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）32（B ）22（C ）33（D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =.（14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=.（15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(新课标卷,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（新课标卷，含答案）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上．．．．．作答无效。
．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}0,1,2,3,4,1,3,5,,M N P M N ===I 则P 的子集共有 （A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个 故选B（2）复数512ii=- （A ）2i - （B ）12i - （C ）2i -+ （D ）12i -+ 故选C（3）下列函数中，即是偶数又在()0,+∞单调递增的函数是A. 3y x = B. 1y x =+ C. 21y x =-+ D. 2xy -=故选B 。
(4).椭圆221168x y +=的离心率为 A.13 B. 1232故选D。
（5）执行右面得程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（A）120（B）720（C）1440（D）5040故选B（6）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A）13(B)12(C)23(D)34故选A。
（7）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（A）45-（B）35- (C)35(D)45故选B（8）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为可选D（9）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)
14. 设向量→
→
1, 1 ，
1, 2
4 ，若→
→
，则 ＝________．
15. 曲线 ＝ln
1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．
16. 数列 满足
1 ＝3 1，前16项和为540，则 ＝________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个
10.
【答案】
D
【考点】
等比数列的性质
【解析】
根据等比数列的性质即可求出．
【解答】
是等比数列，且
则
＝
∴
＝
＝1， ，即 ＝2，
＝2 1＝32，
11.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
先判断
为直角三角形，再根据双曲线的定义和直角三角形的性质即可求出．
【解答】
由题意可得 ＝1， √3， ＝2，
∴ | |＝2 ＝4， ∵ | |＝2，
→→
＝1 1 的左、右顶点， 为 的上顶点， ⋅
线 ＝6上的动点， 与 的另一交点为 ， 与 的另一交点为 ． （1）求 的方程；
8． 为直
（2）证明：直线 过定点． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）)
古典概型及其概率计算公式 【解析】
根据古典概率公式即可求出．
【解答】 ， ， ， ， 中任取3点，共有 10种，
其中共线为 ， ， 和 ， ， 两种，
故取到的3点共线的概率为
，
5.
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(全国卷1,参考版解析)
请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O 为圆心，
OA 为半径作圆.
(I)证明：直线 AB 与 O 相切； (II)点 C,D 在⊙O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明：AB∥CD.
1 （A） 3
1
1
5
（B） 2 （C） 3 （D） 6
【答案】A 【解析】 试题分析：将 4 中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛，有 6 种种法，其中红
1 色和紫色不在一个花坛的种数有 2 种，故概率为 3 ，选 A.. （4）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a 5 ， c 2 ， cos A 2 ，则 b=
283π，则它的表面积是
（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π 【答案】A
（8）若 a>b>0，0<c<1，则 （A）logac<logbc （B）logca<logcb （C）ac<bc （D）ca>cb 【答案】B 【解析】
试题分析：对于选项
loga
A：
c
1gc lg a
,
logb
600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为
元。
【答案】 216000
二元一次不等式组①等价于
3x y 300,
150xx33yy
900, 600,
x 0,
y 0.
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图），即可行域.
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文(全国卷1,含答案)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共5页，满分150分。
考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A I B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A I B =∅C ．A U B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．A U B=R2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数3．下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π45．已知F是双曲线C：x2-23y=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3).则△APF 的面积为A．13B．12C．23D．326．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是7．设x，y满足约束条件33,1,0,x yx yy+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z=x+y的最大值为A．0 B．1 C．2 D．38．.函数sin21cosxyx=-的部分图像大致为9．已知函数()ln ln(2)f x x x=+-，则A．()f x在（0,2）单调递增B．()f x在（0,2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称10．如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +211．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(新课标卷,含答案)(1)
（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,aN，输出A,B，则
（A）A+B为a1,a2,…,aN的和
（B） 为a1,a2,…,aN的算术平均数
（C）A和B分别是a1,a2,…,aN中最大的数和最小的数
（A）－1 （B）0 （C） （D）1
（4）设F1、F2是椭圆E： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x= 上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是
如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF//AB，证明：
(Ⅰ)CD=BC；
(Ⅱ)△BCD∽△GBD
(23)(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是 (φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A、B、C、D以逆时针次序排列，点A的极坐标为(2， )
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c= asinC－ccosA
(1)求A
(2)若a=2，△ABC的面积为 ，求b,c
18.（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。
2020年全国普通高等学校招生统一考试文科数学试卷 全国Ⅰ卷(含答案)
2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国Ⅰ卷文科数学一、选择题1.若1i z =+,则22z z -=( ) A.0B.1C.2D.22.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x ⋂=-≤≤，则a =( ) A.-4B.-2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )51-51-51+51+4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =( ) A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C )的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)(1,2,...,20)x y i =得到下面的散点图： 由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x =+6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为( ) A.21y x =--B.21y x =-+C.23y x =-D.21y x =+7.设函数π()cos()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为( )A.10π9B.7π6C.4π3D.3π28.25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A. 5B. 10C. 15D. 209.已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=( ) 5 B.23 C.135 10.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14π,AB BC AC OO ===,则球O 的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π11.已知22:2220M x y x y +---=，直线:220l xy，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为( ) A.210x y --=B.210x y +-=C.210x y -+=D.210x y ++=12.若242log 42log a b a b +=+，则( )A.2a b >B.2a b <C.2a b >D.2a b <13.已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-,则A B ⋂=( ) A.{4,1}-B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}14.若312i i z =++，则||z =( ) A.0B.1C.2D.215.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.51- B.51- C.51+ D.51+ 16.设O 为正方形ABCD 的中心,在,,,,O A B C D 中任取3点,则取到的3点共线的概率为( ) A.15B.25C.12D.4517.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C )的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A.y a bx =+B.2y a bx =+C.e x y a b =+D.ln y a b x =+18.已知圆2260x y x +-=，过点()1,2的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( ) A.1B.2C.3D.419.设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为( )A.10π9B.7π6C.4π3D.3π220.设3log 42a =，则4a -= ( ) A.116B.19C.18D.1621.执行下面的程序框图，则输出的n = ( )A.17B.19C.21D.2322.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=( ) A.12B.24C.30D.3223.设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为( ) A.72B.3C.52D.224.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π二、填空题25.若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为____________.26.设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=___________.27.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.28.如图，在三棱锥–P ABC 的平面展开图中，1AC =，3AB AD ==，AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=︒，则cos FCB ∠=______________.29.若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为__________.30.设向量(1,1),(1,24)m m =-=+-a b ，若a b ⊥，则m =____________.31.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.32.数列{}n a 满足2(1)31n n n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a =_____________. 三、解答题33.设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． (1)求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和.34.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，6PO DO =.(1)证明：PA ⊥平面PBC ； (2)求二面角B PC E --的余弦值.35.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率.36.已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程； (2)证明：直线CD 过定点. 37.已知函数2()e x f x ax x =+-. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围. 38.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=.(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标. 39.已知函数()|31|2|1|f x x x =+--. (1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集.40.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为,,,A B C D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表 等级ABCD频数 40 20 20 20乙分厂产品等级的频数分布表 等级 ABCD频数28 17 34 21(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?41.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知150B =︒. (1)若3,27a c b ==，求ABC 的面积； (2)若2sin 3sin A C +=，求C . 42.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，90APC ∠=︒．(1)证明：平面PAB ⊥平面PAC ；(2)设2DO =3π，求三棱锥P ABC -的体积. 43.已知函数()(2)x f x e a x =-+. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.44.已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a +=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程； (2)证明：直线CD 过定点.45.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标． 46.已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． (1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集.参考答案1.答案：D 解析：2.答案：B 解析：3.答案：C解析：如图，设正四棱锥的高为h ，底面边长为a ，侧面三角形底边上的高为'h ，则依题意有：222212'()2'h ah a h h ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此有221'()22'a h ah -=，化简得2'4()2()1'0h h a a --=，解得5'1h a +=.4.答案：C解析：设点A 的坐标为()x y ，，由点A 到y 轴的距离为9可得9x =，由点A 到C 的焦点的距离为12，可得122px +=，解得6p =. 5.答案：D解析：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图像的大致走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为ln y a b x =+. 6.答案：B解析：先求函数的导函数32()46'f x x x =-，则由导数的几何意义知在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)'2k f ==-，又因为(1)1f =-，由直线方程的点斜式得切线方程为：(1)2(1)y x --=--，化简得21y x =-+.7.答案：C解析：由图知4π4ππ()cos()0996f ω-=-+=，所以4ππππ()962k k ω-+=+∈Z ，化简得39()4kk ω+=-∈Z ，又因为2π2T T <<，即2π4π2π||||ωω<<，所以1||2ω<<，当且仅当1k =-时1||2ω<<，所以32ω=，最小正周期2π4π||3T ω==.故选C. 8.答案：C解析：5()x y +的通项公式为55(012345)r r r C x y r -=，，，，，，所以1r =时，21433555y C x y x y r x==，，时32333510xC x y x y =，所以33x y 的系数为15. 9.答案：A解析：原式化简得23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-，或2（舍），又(0,π)α∈，所以sin α=10.答案：A解析：设1,AB a O =的半径为r ，球O 的半径为R ，所以2π4πr =，所以2r =，而1r O A ==，所以222114a R OO O A ==+=，所以球O 的表面积为24π64πR =，故选A. 11.答案：D解析：22:(1)(1)4M x y -+-=，因为1||||2||||2||2PAMB PAMS PM AB S PA AM PA =====所以||||PM AB ·最小，即||PM 最小，此时PM 与直线l 垂直，1122PM y x =+：， 直线PM 与直线l 的交点(10)P -，，过直线外一点P 作M 的切线所得切点弦所在直线方程为：210x y ++=，所以选D. 12.答案：B 解析： 13.答案：D解析：由2340x x --<解得14x -<<, 所以{}|14A x x =-<<,又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B ⋂=, 故选：D.14.答案：C解析：因为31+2i i 1+2i i 1i z =+=-=+,所以22112z =+=． 故选：C ． 15.答案：C解析：如图,设,CD a PE b ==,则22224a PO PE OEb =-=-, 由题意212PO ab =,即22142a b ab -=,化简得24()210b b a a -⋅-=, 解得15b a +=(负值舍去). 故选：C.16.答案：A解析：如图,从,,,,O A B C D 5个点中任取3个有 {,,},{,,},{,,},{,,}O A B O A C O A D O B C {,,},{,,},{,,},{,,}O B D O C D A B C A B D {,,},{,,}A C D B C D 共10种不同取法,3点共线只有{,,}A O C 与{,,}B O D 共2种情况, 由古典概型的概率计算公式知, 取到3点共线的概率为21105=. 故选：A.17.答案：D解析：由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+. 故选：D. 18.答案：B解析：圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3， 设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为229||982CP -=-=. 故选：B. 19.答案：C解析：由图可得：函数图象过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4ππcos 096ω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，又4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4πππ962ω-⋅+=-，解得：32ω=，所以函数()f x 的最小正周期为2π2π4π332T ω===， 故选：C. 20.答案：B解析：由3log 42a =可得3log 42a =，所以49a =， 所以有149a-=，故选：B. 21.答案：C解析：依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足135100n ++++>的最小正奇数，因为()()211112135110024n n n n -⎛⎫+⨯+⎪⎝⎭++++==+>，解得19n >，所以输出的21n =． 故选：C. 22.答案：D解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.故选：D. 23.答案：B解析：由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -， 则1,2a c ==，因为121||1||2OP F F ==， 所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，所以222121212214||||||||2||||162||||PF PF P P F PF PF PF F PF =-=+-=-， 解得12||||6PF PF =，所以12121||||32F F P S PF PF ==△， 故选：B. 24.答案：A解析：设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得2π4π,2r r =∴=，由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据圆截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=，∴球O 的表面积24π64πS R ==.故选：A.25.答案：1 解析： 26.3解析： 27.答案：2 解析： 28.答案：14-解析： 29.答案：1解析：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7z x y =+即：1177y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程：22010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得点A 的坐标为：1,0A ，据此可知目标函数的最大值为：max 1701z =+⨯=. 故答案为：1． 30.答案：5解析：由a b ⊥可得0a b ⋅=， 又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-， 所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=， 即5m =， 故答案为：5. 31.答案：2y x =解析：设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =. 32.答案：7解析：2(1)31n n n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 16123416S a a a a a =+++++13515241416()()a a a a a a a a =+++++++111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++ 11(102)(140)(5172941)a a ++++++++ 118392928484540a a =++=+=，17a ∴=.故答案为：7.33.答案：(1)2q =-；(2)1(31)(2)99nn n S +-=-.解析：(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1232a a a =+，即21112a a q a q =+. 所以220q q +-=，解得1q =(舍去)，2q =-. 故{}n a 的公比为2-. (2)记n S 为{}n na 的前n 项和.由(1)及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)(2)3nn n --=-⨯-.所以1(31)(2)99nn n S +-=-.34.答案：(1)见解析；.解析：(1)设DO a =，由题设可得,,PO AO AB a =，2PA PB PC a ===. 因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥. 又222PA PC AC +=，故PA PC ⊥. 所以PA ⊥平面PBC .(2)以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题设可得312(0,1,0),(0,1,0),,0,2E A C P ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 所以312,,0,0,1,22EC EP ⎛⎫⎛=--=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 设(,,)x y z =m 是平面PCE 的法向量，则 0,0,EP EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,310.2y y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 可取32⎛= ⎝m . 由(1)知2AP ⎛= ⎝⎭是平面PCB 的一个法向量，记n AP =, 则25cos ,||||⋅==⋅n m n m n m所以二面角B PC E --. 35.答案：(1)116；(2)34；(3)716. 解析：(1)甲连胜四场的概率为116. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为116； 乙连胜四场的概率为116； 丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684---=. (3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为111,,1688. 因此丙最终获胜的概率为111178168816+++=.36.答案：(1)2219x y +=；(2)见解析.解析：(1)由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -.则(1)(1)AG a GB a ==-,,,.由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =. 所以E 的方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,,(6,)C x y D x y P t .若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<. 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以()1139ty x =+.直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以()2233ty x =-.可得()()1221333y x y x -=+.由于222219x y +=，故()()2222339x x y +-=-，可得()()12122733y y x x =-++，即 ()()22121227(3)(3)0m y ym n y y n ++++++=.①将x my n =+代入2219x y +=得()2229290my mny n +++-=.所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=++. 代入①式得()()()22222792(3)(3)90m n m n mn n m +--++++=. 解得3n =-(舍去)，32n =. 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.综上，直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.37.答案：(1)见解析；(2)27e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 解析：(1)当1a =时，2()e x f x x x =+-，)e (1'2x f x x =+-.故当(,0)x ∈-∞时，)'(0f x <；当(0,)x ∈+∞时，)'(0f x >.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞单调递增. (2)31()12f x x ≥+等价于3211e 12x x ax x -⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭. 设函数321()1e (0)2x g x x ax x x -⎛⎫=-++≥ ⎪⎝⎭，则32213()121'e 22x g x x ax x x ax -⎛⎫=--++-+- ⎪⎝⎭21(23)42e 2x x x a x a -⎡⎤=--+++⎣⎦ 1(21)(2)e 2x x x a x -=----.(i)若210a +≤，即12a ≤-，则当(0,2)x ∈时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,2)单调递增，而(0)1g =，故当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意.(ii)若0212a <+<，即1122a -<<，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，)'(0g x <；当(21,2)x a ∈+时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,21),(2,)a ++∞单调递减，在(21,2)a +单调递增.由于(0)1g =，所以()1g x ≤当且仅当2(2)(74)e 1g a -=-≤，即27e 4a -≥.所以当27e 142a -≤<时，()1g x ≤.(iii)若212a +≥，即12a ≥，则31()1e 2x g x x x -⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.由于27e 10,42⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故由()ii 可得311e 12x x x -⎛⎫++ ⎪⎝≤⎭. 故当12a ≥时，()1g x ≤. 综上，a 的取值范围为27e [,)4-+∞.38.答案：(1)曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆；(2)11,44⎛⎫⎪⎝⎭.解析：(1)当1k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆.(2)当4k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得1C1=, 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=.由1,41630x y =-+=⎪⎩解得1,41.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11()44，.39.答案：(1)见解析；(2)7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.解析：(1)由题设知13(),31()51(1)33(1).x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，，()y f x =的图像如图所示.(2) 函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像.()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711,66⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在()1y f x =+的图像上方.故不等式()()1f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.40.答案：(1)由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为400.4100=； 乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为280.28100=. (2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为 65402520520752015100⨯+⨯-⨯-⨯=.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为 70283017034702110100⨯+⨯+⨯-⨯=.比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务. 解析：41.答案：(1)由题设及余弦定理得2222832cos150c c =+-⨯︒.解得2c =-(舍去)，2c =，从而a =.ABC 的面积为12sin1502⨯⨯︒=(2)在ABC 中，18030A B C C =︒--=︒-，所以 ()()sin sin 30sin 30A C C C C +=-+=︒+︒.故()sin 30C ︒+=. 而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒. 解析：42.答案：(1)由题设可知，PA PB PC ==.由于ABC 是正三角形，故可得PAC PAB ≅，PAC PBC ≅. 又90APC ∠=︒，故90,90APB BPC ∠=︒∠=︒.从而,PB PA PB PC ⊥⊥，故PB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC . (2)设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .由题设可得222rl l r =-=.解得1,r l ==.从而3AB =.由(1)可得222PA PB AB +=，故6PA PB PC ===. 所以三棱锥P ABC -的体积为31111663232PA PB PC ⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.解析：43.答案：(1)当1a =时，()e 2x f x x =--，则1'()e x f x =-. 当0x <时，)'(0f x <；当0x >时，)'(0f x >. 所以()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增. (2))'(e x f x a =-.当0a ≤时，()'0f x >，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增，故()f x 至多存在1个零点，不合题意.当0a >时，由()'0f x =可得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()'0f x <；当()ln ,x a ∈+∞时，()'0f x >，所以()f x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞单调递增，故当ln x a =时，()f x 取得量小值，最小值为()()ln 1ln f a a a =-+.()i 若10ea <≤，则(ln )0f a ≥，()f x 在(,)-∞+∞至多存在1个零点，不合题意.()ii 若1ea >，则(ln )0f a <.由于2(2)e 0f --=>，所以()f x 在(,ln )a -∞存在唯一零点.由(1)知，当2x >时，2e 20x -->，所以当4x >且()2ln 2x a >时，22()e e (2)x x f x a x =⋅-+ ()ln 2e2(2)2a x a x ⎛⎫>⋅+-+ ⎪⎝⎭2a =0>.故()f x 在(ln ,)a +∞存在唯一零点.从而()f x 在(,)-∞+∞有两个零点. 综上，a 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.解析：44.答案：(1)由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -.则(1)(1)AG a GB a ==-,,,.由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =. 所以E 的方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,,(6,)C x y D x y P t .若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<. 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以()1139ty x =+.直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以()2233ty x =-.可得()()1221333y x y x -=+.由于222219x y +=，故()()2222339x x y +-=-，可得()()12122733y y x x =-++，即 ()()22121227(3)(3)0m y ym n y y n ++++++=.①将x my n =+代入2219x y +=得()2229290my mny n +++-=.所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=++. 代入①式得()()()22222792(3)(3)90m n m n mn n m +--++++=. 解得3n =-(舍去)，32n =. 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.综上，直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.解析：45.答案：(1)当1k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆.(2)当4k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得1C1=, 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=.由1,41630x y =-+=⎪⎩解得1,41.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11()44，.解析：46.答案：(1)由题设知 13(),31()51(1)33(1).x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，，()y f x =的图像如图所示.(2) 函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像.()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711,66⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在()1y f x =+的图像上方.故不等式()()1f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.解析：。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文科试题(全国I卷)全解析(部分解析)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修) 解析版本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一、选择题 (1)cos300︒=(A)32-(B)-12 (C)12(D) 32 1.C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒=(2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð A.{}1,3 B. {}1,5 C. {}3,5 D. {}4,52.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识【解析】{}2,3,5U M =ð，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð{}1,3,5{}2,3,5⋂={}3,5(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 424.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===g ，37897988()a a a a a a a ===g 10,所以132850a a =, 所以13336456465528()()(50)52a a a a a a a a a =====g(5)43(1)(1)x x --的展开式 2x 的系数是(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)35.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】()134323422(1)(1)1464133x x x x x x x x x ⎛⎫-=-+---+- ⎪⎝⎭2x 的系数是 -12+6=-6(6)直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12||||PF PF =g(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 88.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PFPF +-()()2222121212121212222221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=12||||PF PF =g 4【解析2】由焦点三角形面积公式得：120220121260113cot 1cot 3sin 6022222F PF S b PF PF PF PF θ∆=====12||||PF PF =g 4（9）正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（A ）23 （B ）33 （C ）23（D ）63【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D 所成角，111136cos 1/2O O O OD OD ∠===（10）设123log 2,ln 2,5a b c -===则（A ）a b c <<（B ）b c a << (C) c a b << (D) c b a <<11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，21x +，2sin 1xα=+||||cos 2PA PB PA PB α•=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y •=u u u v u u u v ，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得32y ≤--322y ≥-+故min ()322PA PB •=-+u u u v u u u v.此时21x =-【解析2】设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫•== ⎪⎝⎭u u u v u u u v PABO2222221sin12sincos22212sin2sin sin22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-=⎪⎝⎭换元：2sin,012x xθ=<≤，()()112123223x xPA PB xx x--•==+-≥-u u u v u u u v（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A)233(B)433(C) 23 (D)83312.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为h,则有ABCD11222323V h h=⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB与CD的中点时,22max22123h=-=,故max433V=.第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(全国卷I,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（全国卷I ，含答案）本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=…一．选择题(1)cos300︒= (A)32-12 (C)12 (D) 32 (2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ðA.{}1,3B. {}1,5C. {}3,5D. {}4,5 (3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42 (5)43(1)(1)x x --的展开式 2x 的系数为(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3(6)直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线 1BA 与1AC 所成的角等于(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°(7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且()()f a f b =，则a b +的取值范围是(A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则 12||||PF PF =g(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8（9）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 （A ） 23 （B ）33 （C ）23（D ）63 （10）设123log 2,ln 2,5a b c -===则（A ）a b c <<（B ）b c a << (C) c a b << (D) c b a <<（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB •u u u v u u u v 的最小值为(A) 42-+32- (C) 422-+322-+（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为2343 (C) 383绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
精品解析：2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)(解析版)
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故答案为： .
【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
故选：D.
【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.
6.已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，
据此可知目标函数的最大值为： .
故答案为：1．
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
甲分厂产品等级的频数分布表
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标I)(有详细解析)
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）班级:___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知合集A={x|x2−3x−4<0}，B={−4,1,3,5}，则A⋂B=A. {−4,1}B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}2.若z=1+2i+i3，则|z|=()A. 0B. 1C. √2D. 23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. √5−14B. √5−12C. √5+14D. √5+124.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A. 15B. 25C. 12D. 455.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位： ∘C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据(x i,y i)(i=1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 ∘C至40 ∘C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+bx2C. y=a+be xD. y=a+blnx6.已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 47.设函数f(x)=cos (ωx+π6)在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A. 10π9B. 7π6C. 4π3D. 3π28.设alog34=2，则4−a=()A. 116B. 19C. 18D. 169.执行下面的程序框图，则输出的n=()A. 17B. 19C. 21D. 2310.设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=()A. 12B. 24C. 30D. 3211.设F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则ΔPF1F2的面积为()A. 72B. 3 C. 52D. 212.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为▵ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为()A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{2x+y−2≤0x−y−1≥0y+1≥0，则z=x+7y的最大值为_____．14.设向量a⃗=(1,−1)，b⃗ =(m+1,2m−4)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=______．15.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____．16.数列{a n}满足a n+2+(−1)n a n=3n−1，前16项和为540，则a1=____．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级，加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应该选哪个分厂承接加工业务？18.▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=150∘．(1)若a=√3c，b=2√7，求▵ABC的面积；(2)若sinA+√3sinC=√2，求C．219.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，▵ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90∘．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO=√2，圆锥的侧面积为√3π，求三棱锥P−ABC的体积．20.已知函数f(x)=e x−a(x+2).(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．21.已知A，B分别为椭圆E:+=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D，(1)求E的方程;(2)证明：直线CD过定点．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=cos k ty=sin k t,(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcos θ−16ρsin θ+ 3=0．(1)当k=1时，C1是什么曲线？(2)当k=4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．23.[选修4—5：不等式选讲]已知函数f(x)=│3x+1│−2│x−1│．(1)画出y=f(x)的图像；(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集．答案和解析1.D解：由不等式x2−3x−4<0，解得−1<x<4，所以A∩B={1,3}，2.C解：z=1+2i−i=1+i，则|z|=√12+12=√2，3.C解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a,侧面三角形底边上的高为ℎ′，则由题意可得{ℎ2=12aℎ′ℎ2=(ℎ′)2−(a2)2,故(ℎ′)2−(a2)2=12aℎ′，化简可得4(ℎ′a)2−2(ℎ′a)−1=0,ℎ′a>0，解得ℎ′a =√5+14．4.A解：如图，从5点中随机选取3个点，共有10种情况，AOB，AOD，BOC，DOC，ABC，ADC，DBC，DAB，AOC，BOD，其中三点共线的有两种情况：AOC和BOD，则p=210=15．5.D用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为y=a+blnx．6.B解：由可得，则圆心，半径，已知定点，则当直线与OA垂直时，弦长最小，OA=√(3−1)2+(0−2)2=√8，弦长2√r2−OA2=2，7.C解：由图可知f(−4π9)=cos (−4π9ω+π6)=0，所以−4π9ω+π6=π2+kπ(k∈Z),化简可得ω=−3+9k4(k∈Z)，又因为T<2π<2T，即2π|ω|<2π<4π|ω|，所以1<|ω|<2，则当且仅当k=−1时，1<|ω|<2，所以|ω|=32，故最小正周期T=2π|ω|=4π3．8.B解：由alog34=log34a=2，可得4a=32=9，∴4−a=(4a)−1=9−1=1，99.C解：输入n=1，S=0，则S=S+n=1，S⩽100，n=n+2=3，S=S+n=1+3=4，S⩽100，n=n+2=5，S=S+n=1+3+5=9，S⩽100，n=n+2=7，S=S+n=1+3+5+7=16，S⩽100，n=n+2=9，根据等差数列求和可得，S=1+3+5+⋯+19=100⩽100，n=19+2=21，输出n=21．10.D解：∵a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2，∴q(a1+a2+a3)=2，所以q=2，∵a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)，所以a6+a7+a8=32，11.B解：由双曲线的标准方程可得a=1,b=√3，c=2，所以焦点坐标为F1(−2,0),F2(2,0)，因为|OP|=2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，∴|PF1|2+|PF2|2=16，∵||PF1|−|PF2||=2a=2，所以||PF1|−|PF2||2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|=4，所以|PF1|⋅|PF2|=6，所以三角形PF1F2面积为12|PF1|⋅|PF2|=3，12.B解：由圆O1的面积为4π=πr2，故圆O1的半径r=2，∵AB=BC=AC=OO1，则三角形ABC是正三角形，由正弦定理：ABsin60∘=2r=4，得AB=OO1=2√3，由R2=r2+OO12，得球O的半径R=4，表面积为4πR2=64π，13.1解：根据约束条件画出可行域为：由z=x+7y得y=−17x+17z，平移直线y=−17x，要使z最大，则y=−17x+17z在y轴上的截距最大，由图可知经过点A(1,0)时截距最大，此时z=1，14.5解：∵a⃗⊥b⃗ ，所以a⃗⋅b⃗ =0，因为a⃗=(1,−1),b⃗ =(m+1,2m−4)，所以m+1−(2m−4)=0，故m=5．15.2x−y=0解：∵y=lnx+x+1，∴y′=1x+1设切点坐标为(x0,y0)，因为切线斜率为2，所以1x+1=2，故x0=1，此时，y0=ln1+2=2，所以切点坐标为(1,2)，∴y−2=2(x−1)所以切线方程为2x−y=0．16.7解：因为a n+2+(−1)n a n=3n−1，当n=2，6，10，14时，a2+a4=5，a6+a8=17，a10+a12=29，a14+a16=41因为前16项和为540，所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=540−(5+17+ 29+41)，所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448，当n为奇数时，a n+2−a n=3n−1，所以a3−a1=2，a5−a3=8，a7−a5=14⋯a n+2−a n=3n−1，累加得an+2−a1=2+8+14+⋯3n−1=(2+3n−1)⋅n+122，∴a n+2=(3n+1)⋅(n+1)4+a1，∴a3=2+a1，a5=10+a1，a7=24+a1，a9=44+a1，a11=70+a1，a13=102+a1，a15=140+a1，因为a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448，所以8a1+392=448，所以a1=7．17.解：(1)根据频数分布表可知甲、乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数分别为40，28，所以频率分别为40100=0.4，28100=0.28，用频率估计概率可得甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率分别为0.4和0.28．(2)甲分厂四个等级的频率分别为：0.4，0.2，0.2，0.2，故甲分厂的平均利润为：0.4×(90−25)+0.2×(50−25)+0.2×(20−25)+0.2×(−50−25)=15(元)，乙分厂四个等级的频率分别为：0.28，0.17，0.34，0.21，故乙分厂的平均利润为：0.28×(90−20)+0.17×(50−20)+0.34×(20−20)+0.21×(−50−20)=10(元)，因为甲分厂平均利润大于乙厂的平均利润，故选甲分厂承接加工业务．18.解：(1)由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，即28=3c2+c2−2√3c2cos150∘，解得c=2，所以a=2√3，所以S△ABC=12acsin B=12×2√3×2×12=√3．(2)因为A=180∘−B−C=30∘−C，所以sinA+√3sinC=sin(30∘−C)+√3sinC=12cosC+√32sinC=sin(30∘+C)=√22，因为A>0°，C>0°，所以0°<C<30°，所以30°<30°+C<60°，所以30°+C=45°，所以C=15°．19.解：(1)由已知条件得PA=PB=PC，因为∠APC=90°，所以PA⊥PC，所以AP2+PC2=AC2，又因为△ABC是等边三角形，所以AC=AB=BC，所以PA2+PB2=AB2，PB2+PC2=BC2，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA∩PC=P，所以PB⊥平面PAC，因为PB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC．(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意得{2+r2=l2,πrl=√3π,解得l=√3,r=1，所以等边三角形ABC的边长为√3，从而PA=PB=PC=√62，所以PO=√32−1=√22，所以三棱锥P−ABC的体积V=13SΔABC⋅PO=13×12×√3×√3×√32×√22=√68．20.解：(1)当a=1时，f(x)=e x−(x+2)，则f′(x)=e x−1，令f′(x)>0，得x>0；令f′(x)<0，得x<0，从而f(x)在(−∞,0)单调递减；在(0,+∞)单调递增．(2)f(x)=e x−a(x+2)=0，显然x≠−2，所以a=e xx+2，令g(x)=e xx+2，问题转化为y=a与g(x)的图象有两个交点，所以g′(x)=e x(x+1)(x+2)2，当x<−2或−2<x<−1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x >−1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)的极小值为g(−1)=1e ，当x <−2时，g(x)<0，当x >−2时，g(x)>0，所以当a >1e 时，y =a 与g(x)的图象有两个交点， 所以a 的取值范围为(1e ,+∞)．21. 解：由题意A (−a,0),B (a,0),G (0,1),AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,1),GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−1), AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2−1=8⇒a 2=9⇒a =3， ∴椭圆E 的方程为x 29+y 2=1．(2)由(1)知A (−3,0),B (3,0),P (6,m )，则直线PA 的方程为y =m 9(x +3)，联立{y =m 9(x +3)x 29+y 2=1⇒(9+m 2)x 2+6m 2x +9m 2−81=0,由韦达定理−3x C =9m 2−819+m 2⇒x C =−3m 2+279+m 2，代入直线PA 的方程y =m9(x +3)得，y C =6m9+m ，即C(−3m 2+279+m ,6m9+m )，直线PB的方程为y=m3(x−3)，联立{y=m3(x−3)x29+y2=1⇒(1+m2)x2−6m2x+9m2−9=0,由韦达定理3x D=9m2−91+m2⇒x D=3m2−31+m2，代入直线PA的方程y=m3(x−3)得，y D=−2m1+m2，即D(3m2−31+m2,−2m1+m2)，∴直线CD的斜率k CD=6m9+m2−−2m1+m2−3m2+279+m2−3m2−31+m2=4m3(3−m2)，∴直线CD的方程为y−−2m1+m2=4m3(3−m2)(x−3m2−31+m2)，整理得y=4m3(3−m2)(x−32)，∴直线CD过定点(32,0)．22.(1)当k=1时，曲线C1的参数方程为{x=costy=sint，化为直角坐标方程为x2+y2=1，表示以原点为圆心，半径为1的圆．(2)当k=4时，曲线C1的参数方程为{x=cos 4ty=sin4t，化为直角坐标方程为√x+√y=1，曲线C2化为直角坐标方程为4x−16y+3=0，联立{√x+√y=14x−16y+3=0，解得{x=14y=14,所以曲线C1与曲线C2的公共点的直角坐标为(14,14 )．23. (1)函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|={x +3,x >15x −1,−13≤x ≤1−x −3,x <−13，图象如图所示：(2)函数f(x +1)的图象即将函数f(x)的图象向左平移一个单位所得，如图， 联立{y =−x −3y =5x +4可得交点横坐标为x =−76， 所以f(x)>f(x +1)的解集为{x|x <−76}．。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标I)附答案
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知合集，，则A. B. C. D.2.若，则( )A.0 B. 1 C. D. 23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A. B. C. D.4.设O为正方形ABCD的中心，在O, A ,B, C, D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A. B. C. D.5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据1,2, (20)得到下面的散点图：由此散点图，在10至40之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x的回归方程类型的是( )A.B. C. D.6.已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47.设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为( )A. B. C. D.8.设，则=（）A. B. C. D.9.执行下面的程序框图，则输出的（）A. 17B. 19C. 21D. 2310.设是等比数列，且，，则（）A. 12B. 24C. 30D. 3211.设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且|| =2，则的面积为（）A. B. C. D.12.已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆. 若的面积为，，则球的表面积为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则z=x+7y的最大值为_____.14.设向量=(1,-1),=(m+1,2m-4)，若，则m=______.15.曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____.16.数列满足，前16项和为540，则=____.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A,B,C，D四个等级，加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级A B C D频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级A B C D频数28173421（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应该选哪个分厂承接加工业务？18.的内角的对边分别为，已知.（1）若，，求的面积；（2）若，求.19.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，.（1）证明：平面平面；（2）设,圆锥的侧面积为π，求三棱锥的体积.20.已知函数（1）当a=1时，讨论的单调性;（2）若有两个零点，求的取值范围.21.已知A,B分别为椭圆E:+=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,=8,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D,(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）当k=1时，是什么曲线？（2）当k=4时，求与的公共点的直角坐标.23.[选修4—5：不等式选讲]已知函数=│3+1│-2│-1│.（1）画出y=的图像；（2）求不等式>的解集.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查集合的交集运算和解一元二次不等式，属于基础题．【解答】解：由不等式，解得，所以，故选D．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查复数的运算，求复数的模，属于基础题．【解答】解：，则，故选C．3.【答案】C【解析】【分析】根据题意列出的关系式，化简即可得到答案.本题考查了立体几何中的比例关系，属于基础题.【解析】如图，设正四棱锥的高为h,底面边长为侧面三角形底边上的高为,则由题意可得，故，化简可得解得.故答案选C.4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查概率的知识，属于基础题．【解答】解：如图，从5点中随机选取3个点，共有10种情况，其中三点共线的有两种情况：AOC和BOD，则．故选A．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，属于基础题.连接各点，判断图象的大致走向，可判断函数为对数模型.【解析】用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为.故答案选D.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆的方程、直线方程以及求弦长，属于较易题．【解答】解：由可得，则圆心，半径，已知定点，则当直线与OA垂直时，弦长最小，弦长，故选B．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了余弦函数的图象与性质，属于中档题.先利用得到，由，可得，由可得k的值，w的值可得，即可求解.【解析】解：由图可知，所以化简可得,又因为,即，所以，当且仅当时，所以,最小正周期.故答案选C.8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查指对数的运算，属于基础题．【解答】解：由，可得，，故选B．9.【答案】C【解析】【分析】本题以程序框图为载体，考查了等差数列求和，属于中档题．【解答】解：输入n=1，S=0，则S=S+n=1，S⩽100，n=n+2=3，S=S+n=1+3=4，S⩽100，n=n+2=5，S=S+n=1+3+5=9，S⩽100，n=n+2=7，S=S+n=1+3+5+7=16，S⩽100，n=n+2=9，根据等差数列求和可得，S=1+3+5+⋯+19=100⩽100，n=19+2=21，输出n=21．故选C．10.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查等比数列的通项公式，属基础题.根据，结合等比数列的通项公式可求得等比数列的公比，因为，从而得到答案.【解答】解：∵，∴，所以，，所以，故选D11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的简单几何性质、圆的性质，属一般题.根据双曲线的标准方程得到其焦点坐标，结合,可确定点P在以为直径的圆上，得到,结合双曲线的定义可得的值，从而得到答案.【解答】解：由双曲线的标准方程可得，，所以焦点坐标为，因为，所以点P在以为直径的圆上，，，所以，所以，所以三角形面积为3，故选B.12.【答案】B【解析】【分析】本题考查球的结构与性质，球的表面积公式，属中档题.【解答】解：由圆O1的面积为，故圆O1的半径ρ=2，∵，则三角形ABC是正三角形，由正弦定理：，得，由，得球O的半径，表面积为，故答案为A.13.【答案】1【解析】【分析】本题考查利用线性规划求最值问题，属基础题.【解答】解：根据约束条件画出可行域为：由得，平移直线，要使z最大，则在y轴上的截距最大，由图可知经过点A(1,0)时截距最大，此时z=1，故答案为1.14.【答案】5【解析】【分析】本题主要考查平面向量垂直的充要条件，平面向量数量积的坐标运算，属基础题.由可得，再把两向量坐标代入运算可得答案.【解答】解：，所以，因为，所以，故.故答案为：515.【答案】【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，属基础题.根据导数的几何意义确定切点坐标，再根据直线的点斜式得到切线方程.【解答】解：，设切点坐标为，因为切线斜率为2，所以，故，此时,，所以切点坐标为，所以切线方程为.故答案为：.16.【答案】7【解析】【分析】本题主要考查累加法求通项公式，等差数列的求和公式以及数列的递推关系，属较难题.对取偶数，再结合条件可求得前16项中所有奇数项的和，对取奇数时，利用累加法求得的值，用其表示出前16项和可得答案.【解答】解：因为，当=2，6，10，14时，，，，因为前16项和为540，所以，所以，当为奇数时，，所以，，，累加得，，，，，，，，，因为，所以，所以.故答案为7.17.【答案】解：（1）根据频数分布表可知甲、乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数分别为40，28，所以频率分别为，，用频率估计概率可得甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率分别为0.4和0.28.（2）甲分厂四个等级的频率分别为：0.4，0.2，0.2，0.2，故甲分厂的平均利润为：（元），乙分厂四个等级的频率分别为：0.28，0.17，0.34，0.21，故乙分厂的平均利润为：（元），因为甲分厂平均利润大于乙厂的平均利润，故选甲分厂承接加工业务.【解析】本题主要考查频率的算法，平均数的概念及其意义，属基础题.（1）根据图表信息可得甲乙分厂的频数，从而得到答案.（2）根据图表信息可得甲乙分厂的四个等级的频率，再根据平均数的定义求得答案，比较两厂的平均数得到最终答案即可.18.【答案】解：(1)由余弦定理得，即，解得c=2，所以，所以S△ABC=.(2)因为，所以，因为A>0°，C>0°，所以0°<C<30°，所以30°<30°+C<60°，所以30°+C=45°，所以C=15°.【解析】本题考查余弦定理，三角形面积公式的应用，三角恒等变换的应用，属于中档题.(1)由已知条件结合余弦定理可求得c，从而可根据三角形面积公式求解；(2)由两角差的正弦公式对已知式进行化简，再由辅助角公式根据C的范围求解即可.19.【答案】解：(1)由已知条件得PA＝PB＝PC，因为∠APC＝90°，所以PA⊥PC，所以AP2＋PC2=AC2，又因为△ABC是等边三角形，所以AC=AB=BC，所以PA2＋PB2=AB2，PB2＋PC2=BC2，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA∩PC=P，所以PB⊥平面PAC，因为PB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意得解得，所以等边三角形ABC的边长为，从而PA＝PB＝PC＝，所以，所以三棱锥P-ABC的体积V=.【解析】【解析】本题考查线面位置关系的判定，圆锥的侧面积公式，棱锥的体积公式的应用，考查空间想象能力与运算能力，属于中档题.(1)由题意证得PB⊥PA，PB⊥PC，从而得到PB⊥平面PAC，根据面面垂直的判定定理即可证明；(2)由圆锥的性质可求得底面半径与母线长，从而可求得△ABC的边长，从而可求得三棱锥P-ABC的高，从而可求得体积.20.【答案】解：(1)当a=1时，，则，令，得x＞0；令，得x＜0，从而f(x)在(－∞，0)单调递减；在(0，+∞)单调递增.(2)，显然x≠－2，所以，令，问题转化为y=a与g(x)的图象有两个交点，所以，当x＜－2或－2＜x＜－1时，，g(x)单调递减；当x＞－1时，，g(x)单调递增，所以g(x)的极小值为，当x＜－2时，g(x)＜0，当x＞－2时，g(x)＞0，所以当a＞时，y=a与g(x)的图象有两个交点，所以a的取值范围为.【解析】【解析】本题考查利用导数判断函数的单调性，利用导数研究函数的零点，有一定难度.(1)先求导，可直接得出函数的单调性；(2)先分离参数得，再构造函数，利用导数研究函数的性质，即可得出a的取值范围.21.【答案】解：由题意，∴椭圆E的方程为.（2）由（1）知，则直线PA的方程为，联立，由韦达定理，代入直线PA的方程得，，即，直线PB的方程为，联立，由韦达定理，代入直线PA的方程得，，即,∴直线CD的斜率，∴直线CD的方程为，整理得，∴直线CD过定点.【解析】本题考查直线于椭圆的位置关系，定点问题，属于较难题；（1）求出各点坐标，表示出向量；（2）求出C，D两点坐标，进而求出直线CD，即可证明.22.【答案】【答案】（1）当时，曲线的参数方程为，化为直角坐标方程为，表示以原点为圆心，半径为1的圆.（2）当时，曲线的参数方程为，化为直角坐标方程为，曲线化为直角坐标方程为，联立，解得，所以曲线与曲线的公共点的直角坐标为.【解析】本题考查简单曲线的参数方程、极坐标方程，参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化等知识，考查运算求解能力，难度一般.23.【答案】（1）函数，图象如图所示：（2）函数的图象即将函数的图象向左平移一个单位所得，如图，联立可得交点横坐标为，所以的解集为.【解析】本题考查解绝对值不等式，考查了运算求解能力及数形结合的思想，难度一般.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(课标卷)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅（2）复数z ＝－3+i 2+i的共轭复数是 （A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）1 （4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a 2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则（A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B 2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数 （C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数（D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6（B）9（C）12（D）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8(11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是 （A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) （12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考公式：样本数据12,L n x x x 的标准差 锥体体积公式222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L =13V sh其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 2334,4S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合2,,|4,|A x x x R B x x x Z =≤∈=≤∈，则A B =I（A ）（0，2） （B ）[0，2] （C ）|0，2| （D ）|0，1，2| （2）a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于（A ）865 （B ）865- （C ）1665 （D ）1665-（3）已知复数23(13)iz i +=-，则i = (A)14 （B ）12（C ）1 （D ）2 （4）曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为 （A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+（5）中心在远点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为 （A 6 （B 5 （C ）62 （D ）52（6）如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p （2，2-），角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为(7) 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（A ）3πa 2 （B ）6πa 2 （C ）12πa 2 （D ） 24πa 2（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（A ）54（B ）45（C ）65（D ）56(9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x -4 (x ≥0），则(){}20x f x ->= （A ）{}24x x x <->或 （B ）{}04 x x x <>或 （C ）{}06 x x x <>或 （D ）{}22 x x x <->或 （10）若sin a = -45，a 是第一象限的角，则sin()4a π+= （A ）-72 （B ）72 （C ）2 - （D ）2 （11）已知 Y ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ，y ）在 Y ABCD 的内部，则z=2x-5y 的取值范围是 （A ）（-14，16） （B ）（-14，20） （C ）（-12，18） （D ）（-12，20）（12）已知函数f(x)=lg 1,01016,02x x x x <≤-+>⎧⎨⎩ 若a ，b ，c 均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，则abc 的取值范围是 （A ）（1，10） （B ）(5，6) （C ）(10，12) （D ）(20，24)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答。
二填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为-----------。
（14）设函数()y f x =为区间(]0,1上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有()01f x ≤≤，可以用随机模拟方法计算由曲线()y f x =及直线0x =，1x =，0y =所围成部分的面积，先产生两组i 每组N 个，区间(]0,1上的均匀随机数1, 2.....n x x x 和1, 2.....n y y y ，由此得到V 个点()(),1,2....x y i N -。
再数出其中满足1()(1,2.....)y f x i N ≤=的点数1N ，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为___________(15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱(16)在ABC V 中，D 为BC 边上一点，3BC BD =,2AD =135ADB ο∠=.若2AC =,则BD=_____三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分） 设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-。
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值。
（18）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。
{}n a（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ;（Ⅱ）若6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
（19）（本小题满分12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。
附：（20）（本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b=1（0﹤b ﹤1）的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列。
（Ⅰ）求AB（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值。
（21）本小题满分12分） 设函数()()21x x f x e ax =-- （Ⅰ）若a=12，求()x f 的单调区间； （Ⅱ）若当x ≥0时()x f ≥0，求a 的取值范围 （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图：已知圆上的弧»»AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于 E 点，证明：（Ⅰ）ACE ∠=BCD ∠。
（Ⅱ）2BC =BE x CD 。
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线1C ：{ {t 为参数}。
图2C ：{ {θ为参数} （Ⅰ）当a=3π时，求1C 与2C 的交点坐标： （Ⅱ）过坐标原点O 做1C 的垂线，垂足为A 、P 为OA 的中点，当a 变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()x ⎰=24x - + 1。
（Ⅰ）画出函数y=()x ⎰的图像：（Ⅱ）若不等式()x ⎰≤ax 的解集非空，求n 的取值范围X=1+tcosa y=tsinaX=cos θ y=sin θ答案一：选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
（1）D (2) C (3) D (4) A (5) D (6) C(7) B (8) D (9) B (10) A (11)B (12)C二：填空题：本大题共4小题，每小题五分，共20分。
（13）x 2+y 2=2 (14)1NN (15)①②③⑤(16)2+5三，解答题：接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(2)因为ABCD 为等腰梯形，AB P CD,AC ⊥6 所以3 因为∠APB=∠ADR=600所以6,HD=HC=1.可得3 等腰梯形ABCD 的面积为S=123……..9分所以四棱锥的体积为V=13x （2+3）x 3=3233+ ……..12分 （19）解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为7014%500=. ……4分(2) 22500(4027030160)9.96720030070430k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 由于9.967 6.635>所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. ……8分（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好. ……12分 （20）解：（1）由椭圆定义知22F +F |A ||AB |+|B |=4 又2AB =AF F AB 224||||+|B |,||=3得 （2）即21423x x =-| . 则22421212222284(1)4(12)8()49(1)11b b b x x x x b b b --=+-=-=+++解得 22b =.（21）解：（Ⅰ）12a =时，21()(1)2x f x x e x =--，'()1(1)(1)x x x f x e xe x e x =-+-=-+。
当(),1x ∈-∞-时'()f x >0;当()1,0x ∈-时，'()0f x <;当()0,x ∈+∞时，'()0f x >。
故()f x 在(),1-∞-，()0,+∞单调增加，在（-1，0）单调减少。
（Ⅱ）()(1)a f x x x ax =--。
令()1a g x x ax =--，则'()x g x e a =-。
若1a ≤，则当()0,x ∈+∞时，'()g x >0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当x ≥0时()g x ≥0，即()f x ≥0.若a >1，则当()0,ln x a ∈时，'()g x <0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当()0,ln x a ∈时()g x ＜0，即()f x ＜0. 综合得a 的取值范围为(],1-∞（23）解： （I ）当3πα=时，C 1的普通方程为3(1)y x =-，C 2的普通方程为221x y +=.联立方程组{23(1),1,y x x x y =-=+=解得C 1与C 2的交点为（1,0），13(,)22- （II ）C 1的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=.A 点坐标为2(sin ,cos sin )a a a -，故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin 21sin cos 2x a y a a ==-⎧⎨⎩ （a 为参数） P 点轨迹的普通方程为2211()416x y -+=故P 点是圆心为1(,0)4，半径为14的圆……5分 （Ⅱ）由函数()x y f =与函数y ax =的图像可知，当且仅当2a <-时，函数()x y f =与函数y ax =的图像有交点。