360课件

分析 利用换元法可以转化为二次函数问题．
图 2－8－1 【解析】设 t＝|x|，则 y＝t2＋2at－1＝(t＋a)2－a2－1(t≥0)． 当 a≤0 时，－a≥0(如图 2－8－1)， ∴当 t＝－a 时，ymin＝－a2－1.
当 a＞0 时，－a＜0(如图 2－8－2)，
图 2－8－2 函数 y＝(t＋a)2－a2－1 在区间[0，＋∞)上为增函数， ∴ymin＝－1. －a2－1，a≤0， ∴ymin＝ －1，a＞0. 【点评】 本题通过换元法把问题转化为二次函数在给定区 间上的最小值问题．对称轴 t＝－a 可能在区间[0，＋∞)上也 可能在区间[0，＋∞)外，所以有必要分类讨论．
【解析】∵f(2＋x)＝f(2－x)， ∴函数 f(x)的图象关于直线 x＝2 对称． 可设 f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)． ∵函数 f(x)的图象过点(0,3)， ∴4a＋h＝3，即 h＝3－4a. ∴f(x)＝a(x－2)2＋3－4a＝ax2－4ax＋3(a≠0)． 设 x1，x2 是方程 f(x)＝0 的两根， 3 则 x1＋x2＝4，x1x2＝a. 6 2 2 2 ∴x1＋x2＝(x1＋x2) －2x1x2＝16－a＝10. ∴a＝1.∴f(x)＝x2－4x＋3.
3 － ＋2 1－2a 2 3 1 ②令 f(2)＝1，解得 a＝4.此时 x0＝ 2a ＝－3< 2 . 3 ∴当 a＝4时，满足要求，最大值为 1. 1－2a －3± 2 2 ③令 f .要使 f(x)在 x0 处取得 ＝1，解得 a＝ 2 2a 3 最大值，必须且只需 a<0 且 x0∈－2，2. 3＋2 2 －3＋2 2 经检验 a＝－ 满足要求，a＝ (舍去)． 2 2 3＋2 2 3 综上所述，实数 a 的值为4或－ 2 .
方法二：由 f(－1)＝f(3)＝2，得对称轴的方程是 x＝1. ∵顶点在直线 3x－2y＋9＝0 上， ∴把 x＝1 代入，得 y＝6.∴顶点坐标是(1,6)． 设 f(x)＝a(x－1)2＋6，∵f(3)＝2， ∴f(3)＝4a＋6＝2.∴a＝－1. ∴f(x)＝－(x－1)2＋6＝－x2＋2x＋5. 方法三：由已知，得 f(－1)－2＝f(3)－2＝0. 可设 f(x)－2＝a(x＋1)(x－3)． ∴f(x)＝a(x2－2x－3)＋2. 把 x＝1 代入 3x－2y＋9＝0，得 y＝6. ∵过点(1,6)，代入，得 a(1－2－3)＋2＝6.∴a＝－1. ∴f(x)＝－x2＋2x＋5.
方法点拨：求二次函数解析式的方法一般用待定系数法. 可以设 y＝ax2＋bx＋c，y＝ax－k2＋h，y＝ax－x1x－x2三 种形式中的一种，然后根据已知条件列式求出待定的未知数， 从而确定二次函数解析式.
考点二 二次函数在给定区间上的最值 示例2 设 a 为常数，函数 f(x)＝x2＋2a|x|－1，求函数 f(x) 的最小值．
方法点拨： 二次函数在给定区间上的最值问题的解题步骤： ①把二次 函数式配方，找出对称轴方程；②分情况讨论对称轴与所给区 间的关系； ③结合二次函数的图象、 单调性求解.在解题过程中， 注意合理运用换元法、配方法、分类讨论等方法.
本课的主要考点有二次函数的解析式、 二次函数的图象及 其应用、二次函数在限定区间上的最值．解题思想方法有数形 结合、分类讨论、等价转化、函数与方程结合．同时常用到配 方法、换元法等．解决二次函数问题，最关键是抓住“三点一 轴”(三点指的是区间的两个端点和图象顶点， 一轴是对称轴).
展示2 已 知 函 数 f(x) ＝ ax2 ＋ (2a － 1)x － 3(a≠0) 在 区 间
3 － ，2上的最大值是 2
1，求实数 a 的值．
3 【解析】函数的最大值只能在 x1＝－ 或 x2＝2 或 x0＝ 2 1－2a 2a 处取得． 3 10 － ＝1，解得 a＝－ <0. ①令 f 2 3 1－2a 23 3 此时 x0＝ 2a ＝－20∈－2，2. 3 故函数 f(x)的最大值不能在 x1＝－2处取得．
(2)∵f(x)＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6， 若 x∈[0,5]，∵函数的对称轴为 x＝1， ∴y 最小＝f(5)＝－10. 【点评】确定二次函数解析式一般要用待定系数法，所以 要选择二次函数的形式．用不同的形式求解，解法是不同的， 注意灵活应用二次函数的三种表示形式．
展示1 已知二次函数 f(x)满足 f(2＋x)＝f(2－x)且方程 f(x) ＝0 的两个实根的平方和为 10，函数 f(x)的图象过点(0,3)，求 函数 f(x)的解析式．
1 3 (2)要使函数 f(x)＝ x ＋mx2＋nx 单调递减，则 f′(x)＝x2 3 ＋2mx＋n<0. 又单调递减区间的长度是正整数，设关于 x 的方程 f′(x) ＝x2＋2mx＋n＝0 的两根为 a，b，即有 b－a 为区间长度． 又 b－a＝ a＋b2－4ab＝ 4m2－4n＝2 m2－n(m，n∈ N*)． 又 b－a 为正整数且 m＋n<10， ∴m＝2，n＝3 或 m＝3，n＝5.
1．二次函数的三种表示形式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) (1)一般式：__________________________； (2)配方式：__________________________； y＝a(x－k)2＋h(a≠0) y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) (3)零点式：__________________________. 2．二次函数的图象 抛物线 二次函数的图象是一条 ________，当 a＞0 时，开口 向上 向下 ________；当 a＜0 时，开口________． x1＋x2 b x＝－2a或x＝k或x＝ 图象的对称轴方程为___________________________． 2
3．二次函数的性质
(1)当 a＞0 b 4ac－b2 － ，＋∞ 间____________上为增函数，ymin＝ 4a ； 2a (2)当 a＜0
b －∞，－ 2a 时，在区间______________上为减函间－∞，－2a上为________，
分析 由已知条件，数形结合，选用恰当的二次函数表示 形式，用待定系数法求解析式．
【解析】 (1)方法一：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． a－b＋c＝2， 由题意，得 9a＋3b＋c＝2. ∴8a＋4b＝0.∴b＝－2a，c＝2－3a. ∴f(x)＝ax2＋bx＋c＝ax2－2ax＋2－3a＝a(x－1)2＋2－4a. 顶点(1,2－4a)在直线 3x－2y＋9＝0 上， ∴3－2(2－4a)＋9＝0. ∴a＝－1，b＝2，c＝5.∴f(x)＝－x2＋2x＋5.
【解析】 1 3 (1)∵f(x)＝ x ＋mx2＋nx， 3 ∴f′(x)＝x2＋2mx＋n. 又函数 g(x)＝f′(x)－2x－3＝x2＋(2m－2)x＋n－3 在 x＝ －2 处取得极值， 则 g′(－2)＝2×(－2)＋(2m－2)＝0⇒m＝3. 又在 x＝－2 处取得最小值－5， 则 g(－2)＝(－2)2＋(－2)×4＋n－3＝－5⇒n＝2. 1 3 ∴f(x)＝3x ＋3x2＋2x.
1 3 (2011 年江西文)设函数 f(x)＝ x ＋mx2＋nx. 3 (1)如果函数 g(x)＝f′(x)－2x－3 在 x＝－2 处取得最小值 －5，求函数 f(x)的解析式； (2)如果 m＋n<10(m，n∈N*)，函数 f(x)的单调递减区间的 长度是正整数，试求实数 m 和 n 的值(注：区间(a，b)的长度为 b－a)．
4ac－b2 b － ，＋∞上为________，ymax＝ 减函数 4a . 2a
4．二次函数在限定区间上的最大(小)值 求二次函数在限定区间上的最值或值域时， 要抓住图象的 开口方向和区间与对称轴的位置关系，结合图象，利用单调性 求解．
考点一 求二次函数解析式 示例1 已知二次函数 f(x)满足 f(－1)＝f(3)＝2，抛物线 y＝ f(x)的顶点在直线 3x－2y＋9＝0 上． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若 x∈[0,5]，求函数 f(x)的最小值．