2.1.2指数函数及其性质(二)

2．1.2 指数函数及其性质(二) 课时目标 1.理解指数函数的单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题.2.理解指数函数的底数a 对函数图象的影响．
1．下列一定是指数函数的是( )
A ．y ＝－3x
B ．y ＝x x (x >0，且x ≠1)
C ．y ＝(a －2)x (a >3)
D ．y ＝(1－2)x
2．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则( )
A ．a <0，b <0
B ．a <0，b >0
C ．0<a <1，b >1
D ．0<a <1,0<b <1
3．函数y ＝πx 的值域是( )
A ．(0，＋∞)
B ．[0，＋∞)
C ．R
D ．(－∞，0)
4．若(12)2a ＋1<(12
)3－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(12
，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，12
) 5．设13<(13)b <(13
)a <1，则( ) A ．a a <a b <b a B ．a a <b a <a b
C ．a b <a a <b a
D ．a b <b a <a a
6．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为( )
A ．a <2
B ．a >2
C ．－1<a <0
D ．0<a <1
一、选择题
1．设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则( )
A ．Q P
B ．Q P
C ．P ∩Q ＝{2,4}
D ．P ∩Q ＝{(2,4)}
2．函数y ＝16－4x 的值域是( )
A ．[0，＋∞)
B ．[0,4]
C ．[0,4)
D ．(0,4)
3．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )
A ．6
B ．1
C ．3 D.32
4．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( )
A ．f (x )与g (x )均为偶函数
B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数
C ．f (x )与g (x )均为奇函数
D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数
5．函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，则f (x )的表达式为( )
A ．f (x )＝－e x －2
B ．f (x )＝－e －x ＋2
C ．f (x )＝－e －x －2
D ．f (x )＝e －x ＋2
6．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝12
43-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 三个数的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a
C ．a <b <c
二、填空题
7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12
的解集是________________．
9．函数y ＝2212x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．
三、解答题
10．(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试判断f (x )的单调性；
(2)求函数y ＝2212
x x --的单调区间．
11．函数f (x )＝4x －2x ＋1＋3的定义域为[－12，12
]． (1)设t ＝2x ，求t 的取值范围；
(2)求函数f (x )的值域．
能力提升
12．函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )
13．已知函数f (x )＝2x
－1
2x ＋1.
(1)求f [f (0)＋4]的值；
(2)求证：f (x )在R 上是增函数；
(3)解不等式：0<f (x －2)<1517.
1．比较两个指数式值的大小主要有以下方法：
(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性．
(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m <c 且c <b n ，则a m <b n ；若a m >c 且c >b n ，则a m >b n .
2．了解由y ＝f (u )及u ＝φ(x )的单调性探求y ＝f [φ(x )]的单调性的一般方法．
2．1.2 指数函数及其性质(二)
知识梳理
1．C 2.C 3.A
4．B [∵函数y ＝(12
)x 在R 上为减函数， ∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12
.] 5．C [由已知条件得0<a <b <1，
∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .]
6．C
作业设计
1．B [因为P ＝{y |y ≥0}，Q ＝{y |y >0}，所以Q P .]
2．C [∵4x >0，∴0≤16－4x <16，
∴16－4x ∈[0,4)．]
3．C [函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3.]
4．B [∵f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，
g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )．]
5．C [∵y ＝f (x )的图象与g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，
∴f (x )＝－g (－x )＝－(e －x ＋2)＝－e －x －2.]
6．A [∵y ＝(35)x 是减函数，－13>－12
， ∴b >a >1.又0<c <1，∴c <a <b .]
7．19
解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关
系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．
8．(－∞，－1)
解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，
∴f (0)＝0.
当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.
当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32，得x ∈∅；
当x ＝0时，f (0)＝0<－1
2不成立；
当x <0时，由2x －1<－12，2x <2－
1，得x <－1.
综上可知x ∈(－∞，－1)．
9．[1，＋∞)
解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断． 令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝(1
2)u 在u ∈R 上为减函数，
问题转化为求u ＝－x 2＋2x 的单调递减区间，即为x ∈[1，＋
∞)．
10．解 (1)设x 1<x 2，则g (x 1)<g (x 2)．
又由y ＝2u 的增减性得，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )为R 上的增函数．
(2)令u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，
则u 在区间[1，＋∞)上为增函数．
根据(1)可知y ＝在[1，＋∞)上为增函数． 同理可得函数y 在(－∞，1]上为单调减函数．
即函数y 的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．
11．解 (1)∵t ＝2x 在x ∈[－12，1
2]上单调递增，
∴t ∈[2
2，2]．
(2)函数可化为：f (x )＝g (t )＝t 2－2t ＋3，
g (t )在[2
2，1]上递减，在[1，2]上递增，
比较得g (2
2)<g (2)．
∴f (x )min ＝g (1)＝2，
f (x )max ＝
g (2)＝5－2 2.
∴函数的值域为[2,5－22]．
12．A [当x →－∞时，2x →0，所以y ＝2x －x 2→－∞， 所以排除C 、D.
当x ＝3时，y ＝－1，所以排除B.故选A.]
13．(1)解 ∵f (0)＝20
－1
20＋1＝0，
∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24－124＋1＝15
17.
(2)证明 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，
则22x >12x >0,22x －12x >0，
即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在R 上是增函数．
(3)解 由0<f (x －2)<15
17得f (0)<f (x －2)<f (4)，
又f (x )在R 上是增函数，∴0<x －2<4，
即2<x <6，所以不等式的解集是{x |2<x <6}．。