第六讲 三角平分线 3

新思维教育八年级培优班讲义第六讲：第十二章全等三角形（四）角平分线的性质定理和判定【教学目标】知识与技能：掌握角的平分线的性质定理和判定定理的内容、证明及应用过程与方法。

实践操作：尝试探究角的平分线的性质定理与判定定理情感、态度与价值观;1、渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想2、培养学生积极探索、大胆猜想的创新意识与求证精神重点和难点重点：角平分线的性质定理和判定定理的应用难点：性质定理和判定定理的区别和灵活运用【知识归纳】1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。

4.注意在证明中用到这两个定理，如何把文字叙述转化成数学符号：例：如图怎么运用角的平分线的性质定理：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE怎么运用角的平分线的判定定理：∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE∴点P在∠AOB的平分线上自我评测：知识点掌握情况备注非常好一般有待提高角平分线的定义 角平分线的性质定理 角平分线的判定定理 角平分线的作图【教学过程】例1. 已知：在等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，AB=15cm ， （1）求证：BD+DE=AC ． （2）求△DBE 的周长．分析：（1）因为AC=BC=BD+CD ，只要证明CD=DE 即可，又因为AD 平分∠BAC ，则CD=DE ； （2）由（1）可知AC=BD+DE ，由CD=DE ，AD=AD ，∠C=∠AED=90°，可证△ACD ≌△AED ，则AC=AE ，所以BD+DE+BE=AC+BE=AE+BE=AB ．证明：（1）∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，∠C=90°， ∴CD=DE ，∴BC=BD+CD=BD+DE ， ∵ AC=BC ，∴AC=BD+DE ；（2）∵CD=DE ，AD=AD ，∠C=∠AED=90°， ∴△ACD ≌△AED ， ∴AC=AE ， ∵AC=BD+DE ， ∴BD+DE=AE ，∴△BDE 周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15cm ．例2.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE=CF ． 求证：AD 是△ABC 的角平分线．分析：首先可证明Rt △BDE ≌Rt △DCF （HL ）再根据三角形角平分线的逆定理求得AD 是角平分线即可．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴Rt △BDE 和Rt △DCF 是直角三角形．∵⎩⎨⎧==CFBE DCBD∴Rt △BDE ≌Rt △DCF （HL ）， ∴DE=DF ，又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴AD 是角平分线．例3、已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC 。

求证：OB=OC ． 证明：∵AO 平分∠BAC ∴OE=OD∵CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，∴△AOD 、△AOE 、△AEB 、△ADC 都是直角三角形。

在Rt △AOD 与Rt △AOE 中⎩⎨⎧==OAOA OEOD ∴Rt △BDE ≌Rt △DCF （HL ）， ∴AE=AD在Rt △AEB 与Rt △ADC 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠==∠=∠CAD BAE ADAE ADC EB 090A ∴△BDE ≌△DCF(ASA) ∴CD=BE∴CD-DO=BE-EO 即OB=OC【变式1】如图所示，在R t △ACB 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．（1）若BC ＝8，BD ＝5，则点D 到AB 的距离是__________．（2）若BD ∶DC ＝3∶2，点D 到AB 的距离为6，则BC 的长为__________．例2、BD=CD ，BF 垂直AC 于F ，CE 垂直AB 于E ，求证：点D 在∠BAC 的角平分线上 证明：∵BF 垂直AC 于F ，CE 垂直AB 于E ∴∠CFD=∠BED=∠AFD=∠A ED=90° ∴△ADF 、△ADE 都是直角三角形。

在△CFD 与R △BED 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠==∠=∠BDE CDF BD CD BED CFD 090∴△CFD ≌△BED(ASA) DF=DE在Rt △AFD 与Rt △AED 中 ⎩⎨⎧==ADAD DEDF∴Rt △AFD ≌Rt △AED （HL ），∴∠DFA=∠DEA∴点D 在∠BAC 的角平分线上【变式1】如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，BE ，CD 相交于Ｏ，ＯＢ＝ＯＣ。

求证∠１＝∠２．例3、已知：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ． （1）若连接AM ，则AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论； （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．解：(1)AM 平分∠BAD 。

（2）DM 与AM 垂直。

作ME 垂直AD 于E, ∵DM 平分∠ADC ∴∠1=∠2；CM=EM ∵M 是BC 的中点， ∴CM=BM, ∴EM=BM,∵ME 垂直AD 于E∴∠DEM=∠B=∠C=90° ∴∠DME=∠CMD 在Rt △MEA 与Rt △MBA 中⎩⎨⎧==AMAM BMEM ∴Rt △MEA ≌Rt △MBA （HL ）， ∴∠3=∠4,∠EMA=∠BMA∴AM 平分∠BAD∠EMA+∠DME=(∠EMA+∠DME+∠BMA+∠DMC)÷2=1800÷2=900 即：DM 与AM 垂直。

【变式1】四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AE 平分∠DAB,BE 平分∠ABC ，点E 恰在DC 上，∠C=∠D=90°。

（1）求证：AE ⊥BE（2）猜想AB 、AD 、BC 之间有何数量关系？请证明你的结论。

例4.如图，在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，且DE=2cm ，AB=9cm ，BC=6cm ，求△ABC 的面积．解：作DF 垂直BC 于点F ， ∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴DE=DF=2∴△DBC 的面积是2×6÷2=6cm 2 ∴△ADB 的面积是2×9÷2=9cm 2∴△ABC 的面积是6+9=15cm 2【变式练习】如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的三条边上的点，CE=BF ，△DCE 和△DBF 的面积相等．求证：AD 平分∠BAC ．例5.如图，某铁路MN 与公路PQ 相交于点O ，且夹角为90°，其仓库G 在A 区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm ． （1）在图上标出仓库G 的位置．（比例尺为1：10 000，用尺规作图）． （2）求出仓库G 到铁路的实际距离。

【变式1】如图，直线123,,l l l 表示三条互相交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离相等，试问： （1） 可选择的地点有几处？ （2） 你能画出塔台的位置吗？易错题：一、忽视“垂直”条件例1.已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B=∠C ，BF=CF 。

求证：AF 为∠BAC 的平分线。

错误解法：线上）距离相等的点在角平分的平分线上（到角两边在点CAB F BFCF ∠∴=正确解法： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知） ∴∠CDF=∠BEF=90°∵∠DFC=∠BFE(对顶角相等)，BF=CF(已知) ∴△DFC ≌△EFB(S.S.A.)∴DF=EF(全等三角形对应边相等) ∵FE ⊥AB,FD ⊥AC （已知）∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF 为∠BAC 的平分线错因：在应用角平分线定理及逆定理时遗漏了“垂直” 的条件。

小结：（1）有角平分线，通常向角两边引垂线。

（2）证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。

常用方法有：使用全等三角形，角平分线的性质和利用面积相等，但特别要注意点到角两边的距离。

（3）注意：许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用角平分线性质定理和判定定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．趣味天地：漂亮的问问题方法？有甲、乙两人，其中，甲只说假话，而不说真话；乙则是只说真话，不说假话。

但是，他们两个人在回答别人的问题时，只通过点头与摇头来表示，不讲话。

有一天，一个人面对两条路：A与B，其中一条路是通向京城的，而另一条路是通向一个小村庄的。

这时，他面前站着甲与乙两人，但他不知道此人是甲还是乙，也不知道“点头”是表示“是”还是表示“否”。

现在，他必须问一个问题，才可能断定出哪条路通向京城。

那么，这个问题应该怎样问？何去何从——走哪条路？有一个外地人路过一个小镇，此时天色已晚，于是他便去投宿。

当他来到一个十字路口时，他知道肯定有一条路是通向宾馆的，可是路口却没有任何标记，只有三个小木牌。

第一个木牌上写着：这条路上有宾馆。

第二个木牌上写着：这条路上没有宾馆。

第三个木牌上写着：那两个木牌有一个写的是事实，另一个是假的。

相信我，我的话不会有错。

假设你是这个投宿的人，按照第三个木牌的话为依据，你觉得你会找到宾馆吗？如果可以，那条路上有宾馆哪条路上有宾馆？课后作业：一、选择题1．三角形中到三边距离相等的点是（）A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点C、三条中线的交点D、三条角平分线的交点2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝12cm，则△DBE的周长为（）A 、12cmB 、10cmC 、14cmD 、11cm3．如图所示，已知PA 、PC 分别是△ABC 的外角∠DAC 、∠ECA 的平分线，PM ⊥BD ，PN ⊥BE ，垂足分别为M 、N ，那么PM 与PN 的关系是（） A.PM ＞PN B.PM ＝PN C.PM ＜PN D.无法确定第2题 第3题 第4题4．如图所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠A 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，下面给出四个结论，其中正确的结论有( )①AD 平分∠EDF ； ②AE=AF ； ③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等 ④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 二、填空题1．如图，已知BO 平分CBA ∠，CO 平分ACB ∠，MN BC ∥，且过点O ，若12AB =，14AC =，则AMN △的周长是___________________第1题 第2题 第3题 2．如图，在△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠CAB ，BC ＝8cm ，BD ＝5cm ，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．3．如图所示：⑴若∠BAD ＝∠CAD ，且BD ⊥AB 于B ，DC ⊥AC 于C ，则BD ＝CD ，⑵若BD ⊥AB 于B ，DC ⊥AC 于C ，且BD ＝CD ，则∠BAD ＝∠CAD ，试利用上述知识，解决下面的问题：三条公路两两相交于A 、B 、C 三点，现计划修建一个商品超市，要求ＯＡＭＢＣＮEBDCADM AB C NP EDB CA EFDC AEB这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有 处． 三、细心做一做，你会成功1．已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，求证：∠B ＝∠C.2．如图，已知在△ABC 中，90C ∠=，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC ∠．3． 先作图，再证明．（1）在所给的图形（如图）中完成下列作图（保留作图痕迹） ①作ACB ∠的平分线CD ，交AB 于点D ； ②延长BC 到点E ，使CE CA =，连结AE ． （2）求证：CD AE ∥．4.如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF⊥BC 于F ，PA=PC ， 求证：∠PCB+∠BAP=180ºＢＡ ＣＢＤＡＥＣAFCDEB中小学全脑教育培训专家11/1121NPF C BA。