中小学几何教学研究——范希尔理论
II范希尔的几何思维水平理论
对未来研究的展望和建议
完善理论框架
建议未来研究在范希尔理论的基础上进一步完善 理论框架，以更全面地描述和解释几何思维的发 展。
跨文化研究
建议在不同文化背景下开展范希尔理论的跨文化 研究，以验证其适用性和有效性，并促进理论的 普适性发展。
开发有效的教学方法和策略
针对范希尔理论提出的教学方法和策略，建议开 展实证研究以验证其有效性，并探索更多适用于 不同学生群体和教学环境的方法和策略。
分析能力
引导学生分析几何问题的本质，找 出解决问题的关键所在。
推理能力
通过逻辑推理和演绎推理，帮助学 生掌握几何证明的方法和技巧。
优化数学教学方法和策略
个性化教学
01
针对不同学生的几何思维水平，采用个性化的教学方法和策略
，提高教学效果。
合作学习
02
鼓励学生之间的合作学习，让他们在交流和讨论中互相启发、
直观感知
通过实物、图形等直观手 段，帮助学生形成对几何 图形的初步感知和认识。
抽象概括
引导学生从具体实例中抽 象出几何图形的本质特征 ，形成对几何概念的深刻 理解。
实际应用
将几何概念与实际生活相 结合，让学生在解决问题 中加深对几何概念的理解 。
提高学生的几何思维能力
观察能力
培养学生观察几何图形的能力， 发现图形中的基本元素和特征。
对实践应用的挑战
教学方法的适配性
范希尔理论强调的特定教学方法 和策略在实际应用中可能受到诸 多限制，如教师能力、学生背景 、教学资源等。
评价标准的客观性
根据范希尔理论评价学生的几何 思维水平时，评价标准的客观性 难以保证，容易受到主观因素的 影响。
跨文化的适用性
范希尔理论起源于西方文化背景 ，其在不同文化背景下的适用性 和有效性有待进一步验证。
范希尔理论的几何思维水平研究综述
范希尔理论的几何思维水平研究综述范希尔理论是一种用来解释自然界各种物理现象的有效模型，它应用于几何思维水平方面有显著的价值，其研究实质上是对自然界的几何思维活动的深入解析和总结。
本文以《范希尔理论的几何思维水平研究综述》为标题，在前人的工作基础上，从范希尔理论的几何思维水平研究的三个主要领域（几何结构、空间观念和论据驱动思维）展开研究，深入剖析范希尔理论对几何思维水平研究的影响，以及具体表现出来的一些特点，并指出其存在的一些不足，从而为研究者以及未来在几何思维水平领域开展更深层次研究提供参考。
范希尔理论最初由威廉范希尔在20世纪30年代提出，被认为是20世纪最重要的物理理论之一。
范希尔理论的几何思维水平的研究着重于研究自然界中的几何结构对一些物理现象的影响，其研究可以分为三大类：几何结构，空间观念和论据驱动思维。
第一，几何结构部分主要是在运用范希尔理论来分析物理系统的空间结构，研究范希尔理论如何建立数学模型来描述物理现象，从而推导出空间结构的特征，以及其与物理现象之间的关系。
比如，研究者发现，宇宙中的物体行星等，只有在空间结构的质心关系和轨道非线性调节的情况下，才可能实现运动;而当物体在重力场中处于某些特定的空间结构位置时，力学角动量守恒定律就会得到很好的应用。
第二，空间观念方面，范希尔理论着重于提出物体在空间中的运动、运动特性以及精确测量物体的行动所需的空间参考系，而这些参考系又与物体的特性有关，它们有助于更准确地描述物体的物理运动现象，从而帮助物理学家更准确地预测物理现象。
第三，论据驱动思维。
范希尔理论中强调，在推理过程中，要有规律、全面、准确地把握物体结构，需要考虑两个因素：一是有效证据，二是准确地从证据中得出结论。
结合以上三种观点，范希尔理论可以帮助理解物体的运动规律、推理其变化的规律，从而更好地控制物体的变化状态，使物体的运动更加有序和精确。
范希尔理论对于几何思维水平的研究有所帮助，但也存在一些不足。
范希尔理论依据
理论依据本文根据范希尔几何思维水平理论作为依据，范希尔几何思维水平1应该包括以下六个阶段:0-水平（前认知阶段Former Cognitive)：在这个阶段的学生只能识别一些常见的图形，能区别曲线和直线。
例如：不能对正方形和园很好区别，其推理对象是具体的形象。
1-水平（视觉 Visually)：学生只能够从整体上对几何图形进行感性的认识,根据图形的形状来进行分类。
对性质还不了解。
2-水平（分析Analysis)：处于2-水平的学生,能够认识到图形的特征,并能通过图形的性质来区分不同图形,例如,学生开始明白只要是四条边相等的图形就是菱形。
开始能对图形的组成要素及特征进行分析,利用某一性质做图形分类,但不能够进行演绎推理。
例如:知道三角形有三条边和三个角,但不能理解内角越大,则对边越长的性质。
3-水平（非形式化的演绎Informal Deduction)：这个阶段的学生能够理解图形特征与图形性质之间的关系,利用性质、公式和定理进行演绎推理，但是不能做多步的推理论证。
例如,能够根据全等条件对三角形进行全等判定,但还分不清性质与定理的关系。
4-水平（形式化的演绎Formal deduction)：处于该水平的学生逻辑思维能力明显提高，对一道几何题能用不同的方式来解决，能对问题进行合理的猜测，然后正确证明。
能写出一个定理的逆定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，逆定理是两边平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。
5-水平（严密性Rigour)：处于这个层次的学生能够进行严格的几何推理,能够理解不同几何系统的差异。
例如,能区别欧氏几何与非欧氏几何系统的差异。
甚至可以自创一种几几何推理的层次划分上世纪50年代，荷兰的范希尔夫妇划分的几何思维理论对几何课程具有重要的指导意义，范希尔几何分类理论把几何思维分成以下几个水平[2]。
水平0，视觉。
这个阶段儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构图元素（如边、角）；能画图或仿画图形，使用标准或不标准名称描述几何图形；能根据对形状的操作解决几何问题等。
范希尔理论
学生是用思考长方形的边、角要素的二维图形的思维描述三维的长方体。
2.看实物：借助长方体盒子，独立探究，看看你对长方体的特征有哪些新的发现？
给学生提供一般长方体盒子1个，相对面是正方形的长方体盒子2个（牙膏盒状、月饼盒状各1个）。从中选出自己认为是长方体的盒子进行研究。学生可以通过观察、测量、比较等手段独立探索特征，之后让学生第二次描述长方体特征。
例如：以图形组成要素来说，当注意到长方形的边长时，学童可以发现长方形都有四个边，这四个边刚好分成两组，一组是两个长边，一组是两个短边，而且两个长边等长，两个短边也等长。
无法解释这些几何性质间的关系。
例如：无法透过推理，理解为什么四个角都是直角的四边形，它们的对角线一定会等长且互相平分。
关联期(Relation)或非形式演绎期(InformalDeduction)
严密性(Rigor)或公理性(Axiomatic)
公理体系——不同的公理体系
达到这个层次的人们，可以在不同的公设系统中建立定理，并分析或比较这些定理的特性，例如：能区分欧氏几何与非欧几何系统间的差异，也可以理解抽像的几何推理，甚至可以自创一套几何公设系统。一般的人很难达到这个层次，即使是以数学为专业者也不易达成。
能够利用特征正确判断“月饼盒”是长方体的。
学生能够指出正方体有6个面都相等，但月饼盒只有2个面相等。
以特征作为标准进行初步的演绎推理。
范希尔几何思维水平的应用
诊断、评价学生
平移与旋转：史伯卿
长方体认识
设计教学活动
平移与旋转：史伯卿
长方体认识
学习活动
学习目标
行为表现
思维表现
1.说特征：说一说你心目中的长方体有什么特征？
范希尔理论及其对几何教学的启示
辑推理解 释几何学 中的公理 ， 定 义定理等 ， 也能推 理 出新的 定理 ， 建 立定 理间的关系 网 例如 ， 他 们可以把任何一 个四边形 分割成 两个 三角形 ， 从而 由三 角 形 的 内角 和 是 １ ８ ０ 。 ， 推 导出 四边 形 的 内 角 和
（ ２ ） 水平 １ ： 分 析 儿童能分析 图形 的组 成要 素及 特征 ， 并 且在 此 基础 上 了解 图形 的一些特性 ， 利用特性解 决几何 问题 ， 但 无法解 释 性 质 间 的关 系 ， 也 无 法 了解 图 形 的定 义 ．
系 被统 一内化为一 个新 的思 维领域 ， 教 师做全 面 的评述 帮 助 学生完成这一过程． 二、 范 希 尔 理 论 对 小 学 数 学 教 学 的启 示 范 希尔认 为几何思 维各 水平 间 的学 习成 长历程 ． 主要 来 自教 学的组 织与 方法 以及教 材 的选择 和使 用 ， 而不是 随 着年龄成长 和心理 成熟 而 自然 而然地 提 升的． 合理 地运 用 范希尔理论 有助于 教师 为学生 构建 学习 环境 ， 提 高教学 效 率． 下面结合范希尔理论谈谈其对小学数学教 学的启 示． （ 一） 联系生活实际 ， 合理创设情境
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教 学 方 法
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范希 壤论 壤 对 臌 镶觳 案 扃承
◎王文强 （ 泉 州幼儿师范高等专科学校永春校 区． 福建 泉州 ３ ６ ２ ６ ０ ０ ）
【 摘要 】 介绍 了范希 尔理论 的 几 何 思维水平 以及 所对直
内容．
２ ． 几何教学阶段 （ １ ） 阶段 ｌ ： 学 的 咨 询 教师和学生就 学 习对象进 行 双 向交流 ， 教 师 了 解 学 生 情况 ， 并且帮助学 生理解要 学 习 的课 题 ， 丽 学生 提 出问题 ， 观察术语等 ， 以确定下一步 的学 习． （ ２ ） 阶段 ２ ： 引导 定 向 教师为学生仔 细地安 排 活动顺 序 ， 使 学生认 识 到学 习 进行的方 向， 逐渐 熟悉 这一结构 的特性．
范希尔的理论
范希尔理论及其相关研究荷兰学者范希尔夫妇经过理论和实践两方面的长期探索，指出学生的几何思维存在5 个水平：直观( V i s u a l i z a t i o n ) 、分析 ( A n a l y s i s ) 、推理 ( I n f e r e n c e ) 、演绎 ( De d u c t i o n ) 、严谨( R i g o r ) I 引．这些不同的水平是不连续的，但却是顺次的．学生在进入某一水平学习之前，必须掌握之前水平的大部分内容．因此，势必需要讨论如何才能使学生从一个水平跳跃到下一水平?A l a n H o f f e r根据范希尔理论给出了学生在每个思维水平上几何学习的阶段：熟知 ( F a mi l i a r i z a t i o n ) 、受指导的定向 ( G u i d e d Or i e n t a t i o n ) 、描述 ( V e r b a li z a t i o n ) 、自由定向 ( F r e e Or i e n t a t i o n ) 、整合 ( I n t e g r a t i o n )[ 4 1 美国数学教育界了解范希尔理论开始于 1 9 7 6 年 Wi r s z u p的文章，在之后的近三十年里开展了较为全面的研究．如 Ma y b e r r y研究了 5个水平的本质及学生在各水平中的组织；Us i s k i n以范希尔理论为依据测量了学生的几何能力；F u y s等调查了范希尔理论的教学效果；B u r g e r等则调查了这些水平在描述学生几何思维水平中的有效性，以及学生的外在行为对各水平的反映效果．我国了解范希尔理论的时间比较晚．目前对该理论的研究还处于介绍和应用的阶段．如李士镝在分析几何认知的特点时，对范希尔的几何思维发展理论作了详细介绍；章建跃在解释平面几何入门难的问题时，也应用了该理论。
但问题是范希尔理论产生于荷兰，其学生受西方文化的影响，对于受东方文化影响的中国学生，这一理论是否依然有效?一项由美日学者共同开展的跨文化研究【 4 1 表明，美日两国学生尽管在几何学习的阶段上存在细微的差异，但总体上，范希尔理论对于在东方文化下成长起来的学生仍然是有效的．因此，我们有理由相信，在东方文化下，范希尔理论仍然是可以应用的，也可作为中美几何课程比较的一个理论依据．范希尔理论在“ 相似”领域的具体化对比中美几何教材【’ 及《标准》可以发现，“ 相似”一章主要包括比和比例，图形相似的概念和性质，相似三角形概念、性质及判定，相似性的应用等内容．其中比和比例是研究相似性的重要工具．在本章学习之前，中美学生 ( 美国学生指以《发现几何》为教材的学生，以下同)均已学过数的比和比例．因此，本章主要学习的新知识为图形的相似及相似三角形．为了利用范希尔理论比较两国的这两部分内容，以下是对该理论在这一领域上的具体化。
范希尔理论的几何思维水平研究综述及启示
范希尔理论的几何思维水平研究综述及启示近些年来，范希尔理论在教育、心理学研究、数理统计学等领域得到了越来越多的关注。
范希尔理论指出，几何思维水平可以精确地衡量一个人的智力水平，并且可以用来预测他未来的表现。
然而，尽管这些实验研究对范希尔理论的影响大有帮助，但由于众多因素的影响，研究得出的结论并不一致，至今仍然有很多关于几何思维水平的问题尚未解决。
本文将综述关于范希尔理论几何思维水平研究的有关研究，以获得更好的理解和更深入的研究。
范希尔理论提出，几何思维水平可以精确地衡量一个人的智力水平，并且可以用来预测他未来的表现。
范希尔理论假设，通过测量不同年龄段人群的几何思维水平，可以降低评估智商水平的结果不稳定性，从而实现对一个人智商水平的准确判断。
为了实现这一目标，范希尔在他的理论中提出了三个因素来衡量几何思维水平，即形状认知、几何形状理解、和几何形状组合技能。
随着范希尔理论流行的应用，一系列相关研究开始流行起来，并且得出了不同的结论。
例如，一项有关几何思维水平与学习能力的研究发现，几何思维水平与学习能力存在显著的正相关，即学生的几何思维水平越高，学习能力也越高。
在此基础上，另一项研究指出，几何思维水平可以预测智商水平，可以说几何思维水平是智商水平的更精确的反映。
此外，一项关于范希尔理论几何思维水平表现的研究认为，不同年龄段人群对几何思维水平的反应是不同的。
研究发现，小学生比中学生更容易表现出较高的几何思维水平，而高中生则表现出较低的几何思维水平。
因此，根据不同年龄段人群的反应，几何思维水平的测量也有所不同。
另外，一些研究还发现，范希尔理论几何思维水平的测量会受到社会文化因素的影响。
例如，一项研究发现，由于中国孩子在小学时更容易接触到几何形状的数学概念，因此比西方孩子更容易表现出较高的几何思维水平。
因此，在不同的文化背景下，测量学生几何思维水平的方法也可能会有所不同。
从以上研究结果来看，范希尔理论几何思维水平研究具有多样性，研究结果也有所不同。
范希尔几何思维水平对几何教学的启示
范希尔几何思维水平对几何教学的启示范希尔几何思维水平对几何教学的启示关于学生几何概念发展与学习的研究，范希尔的几何思维水平是有着广泛影响的。
范希尔的几何思维水平既可用于诊断学生的几何思维水平，也可用于教学活动的设计。
一线教师认识和理解范希尔的几何思维水平，有利于在几何教学中组织有效教学活动，更好地促进学生空间观念的形成。
范希尔几何思维水平分为五个等级，而小学生只能达到前三个等级。
现结合前三个等级以“直线、射线和角”的教学为例，具体说一说范希尔几何思维水平在几何教学中的启示。
一、借助直观，促进理解（水平1）1. 关于水平1（直观化）的解读。
处于这一水平的学生能按照外观来识别、操作一些几何图形，学生的推理是由直觉主宰。
也就是说在这个阶段的学生往往只能从外观上识别图形，而不关心也没有能力清楚地确定图形的性质。
2. 体现出“直观性”的心理特点。
小学生的思维是以具体性和形象性为主的，所以对一些直观的图形和概念比较容易理解。
对于那些比较抽象的几何概念，理解存在一定困难，需要借助直观的手段来理解。
3. 对教学的启示。
在“直线、射线和角”的教学中，首先出示一组线，让学生对其分类。
此时通过对外观的观察可以按照直和曲的标准将其分类。
通过这样的标准分类，有利于学生从整体上感知射线、直线和线段的共同本质特征——直，为进一步学习三线间的联系做好铺垫。
尽管这样的分类仅仅是从外观上进行的，而不是根据图形的性质来区分的，但这样的处理却把学生的思维由直观引向图形的性质特征，以便更好地从直观化水平向描述水平过渡。
另外，关于射线、直线的认识，也是需要联系生活中熟悉的事物。
例如在学习射线时，可借助课件向学生展示射向天空的光线。
让学生说一说这条射向天空的光线有什么特点。
在学习直线时，则可展示孙悟空的金箍棒，然后动态展示金箍棒一直向两端延长的动画，并让学生想象这样一直延长下去的金箍棒会具有怎样的特点。
这种直观化的手段，有利于学生整体感知光线（金箍棒）的特点及其构成要素（端点和线）。
基于范希尔理论的立体几何教学研究
基于范希尔理论的立体几何教学研究作者：冯凯来源：《中学课程辅导·教师通讯》2017年第24期【内容摘要】范希尔理论将学生几何思维水平划分为5个层次，与《课程标准》立体几何内容安排思想相符，对立体几何教学有很高的指导意义。
结合范希尔理论及其特点，教师要重视立体几何教学进阶性，不同层次语言符号使用，学习过程中思维水平间过度，确保教学与学习思维水平匹配。
【关键词】范希尔理论立体几何课程标准几何思维水平教学策略立体几何高中数学知识中的学生要掌握的重要模块，高考重要考点。
范希尔理论对几何思维和几何教学等方面的研究较为深刻，被许多国家作为几何教学的重要理论参考与依据，但我国在实际教学中运用尚且不够广泛深入，所以值得我们加以关注，并结合实际运用，以提高几何教学效率与效果。
一、范希爾理论荷兰学者范希尔夫妇通过教授高中课程实践，探索教学规律，指出学生几何思维的五个水平以及与之对应的五个教学阶段。
首先层次0：视觉是能辨认图形，能运用几何构图元素画图，简单描述几何图形，解决关于形状的几何问题，但不能运用图形特征或要素概括论述图形。
层次1：分析是能根据图形组成要素与特征，分析图形特性，比较几何图形，解决几何问题，但无法了解图形定义，解释性质的关联。
层次2：非形式化的演绎是能够了解图形以及其性质间的关系，进行非形式化地推论，探索图形的内在属性及其关系，使用定义、公式、性质进行演绎推论，但不能灵活的运用定理进行推论和了解证明的重要性。
层次3：形式的演绎是了解证明的重要性，理解证明条件的充分必要性，发现定理间的联系，尝试用演绎方式证明猜测。
层次4：严密性是在不同的公理系统下建立对应的定理网络[1]。
教学阶段分别是1：学前咨询，教师通过交流帮助学生理解学习的课题；2：引导定向，认识学习方向，熟悉结构；3：阐明，形成学习的关系系统；4：自由定向，学生自由探索，明确学习对象之间的关系；5：整合，教师对教授的知识做全面的评述，帮助学生形成新的思维领域。
小学数学教科书图形与几何领域比较研究基于范希尔理论的视角
在分析方法上，我们主要运用了文本分析和内容分析的方法。通过仔细研读 教科书中的相关内容，我们发现两套教科书在图形与几何领域的编写思路和结构 安排上存在一定差异。例如，大陆版教科书按照知识体系进行编写，注重知识点 的系统性和衔接性；而台湾版教科书则更加注重问题解决和探究式学习，通过实 际案例引导学生掌握图形与几何知识。
小学数学教科书图形与几何领 域比较研究基于范希尔理论的
视角
基本内容
本次演示旨在通过对小学数学教科书中的图形与几何领域进行比较研究，从 范希尔理论的视角出发，探讨其应用价值。首先，我们将对图形与几何领域的相 关研究进行综述，以了解该领域的发展现状、应用前景和挑战。接着，我们将阐 述研究方法，包括样本选取、数据收集和分析方法。最后，我们将分享比较研究 的结果，并对其进行讨论，总结范希尔理论在小学数学教科书图形与几何领域中 的实际应用价值。
因此，在应用场景和实践案例的对比中，我们需要不同教科书在培养学生数 学应用能力和数学素养方面的差异。
在总结本次演示时，我们可以看到小学数学教科书中的图形与几何领域具有 重要的教育价值，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力具有积极作用。通 过比较不同教科书在研究现状、研究方法、技巧和难点以及应用场景和实践案例 等方面的特点，我们可以更好地把握各个教科书的优势与不足，为教学实践提供 有益的参考。
参考内容
基本内容
小学数学教科书中的图形与几何领域是学生们在学习数学时的重要内容。在 这个领域，各种形状和空间概念的理解与掌握对于培养学生的数学思维和解决问 题的能力至关重要。本次演示将对小学数学教科书中的图形与几何领域进行比较 研究，从研究现状、研究方法、技巧和难点以及应用场景、实践案例等方面进行 深入探讨。
本研究采用比较研究的方法，对两套不同版本的小学数学教科书进行比较分 析。样本选取方面，我们选择了分别来自中国大陆和台湾的两套小学数学教科书。 其中，大陆版教科书重视基础知识和技能的培养，而台湾版教科书则更加学生的 创新思维和实践能力的培养。通过对比分析这两套教科书中的图形与几何内容， 我们可以更好地了解不同教育理念在图形与几何领域的体现。
基于范希尔几何思维水平的立体几何教学研究
基于范希尔几何思维水平的立体几何教学研究立体几何在新课程改革以及高中数学课程中都占有重要的地位,并且立体几何具有很多现实意义及应用价值。
立体几何具有高度抽象性和复杂性的特点。
高一学生的抽象逻辑思维程度不高。
同时,教材内容的选择及其编排方式,教师在教学过程中教学手段的选择都对学生学习立体几何有一定影响。
综合各种原因,学生在学习立体几何时有一定难度,造成学习薄弱。
几何领域比较认可的理论为范希尔几何思维水平理论,国内外对此理论有一定的研究和应用。
但是我国将范希尔几何思维水平应用到立体几何中的研究较少。
本文主要针对学生学习立体几何困难的现象,以范希尔几何思维水平为理论依据展开了立体几何教学研究。
笔者以人教A版必修二立体几何初步部分为教材研究对象,以东平明湖中学高一四个班的学生为几何思维水平测试对象。
本文共分为五章。
第一章、第二章主要对问题提出以及理论基础、文献综述进行了阐述。
第三章为基于范希尔几何思维水平的教材分析。
以范希尔几何思维水平为理论依据从编写依据、内容组织结构、内容呈现方式三个维度对人教A版必修二立体几何初步部分的教材内容进行了分析研究。
通过分析研究得出人教A版的立体几何部分与范希尔几何思维水平基本相符合。
但是人教A版教材在立体几何部分与现代信息技术几乎没有结合。
通过教材分析对立体几何部分整体有了清晰的了解,有利于笔者进行教学设计。
第四章为基于范希尔教学阶段的教学设计。
笔者借助在东平明湖中学实习的机会,以一个班的学生为实验班,进行以范希尔教学阶段为基础的立体几何初步教学。
并在本文第四章给出了教学设计中的两个典型示例。
第五章对学生进行范希尔几何思维水平测试。
立体几何初步部分教学结束之后对两个层次中的四个班进行范希尔几何思维水平的测试。
测试结束之后得出学生的几何思维水平。
从全体被试、不同层次、同一层次不同班、性别四个方面对学生的几何思维水平进行统计分析。
通过分析结果得出范希尔五个教学阶段对学生的几何思维水平的提高有一定作用,但在性别方面并没有显著差异。
范希尔理论指导下的“图形的认识”教学
范希尔理论指导下的“图形的认识”教学作者：尹力郭修瑾来源：《教育研究与评论（小学教育教学）》2021年第10期摘要：根據范希尔理论，小学生的几何思维主要处于水平1—水平3阶段。
由此，可结合教材的分段螺旋上升式安排，做细、做实“图形的认识”教学。
水平1阶段的教学可分为三个步骤：观察物体，聚焦图形;比较图形，提炼共性;符号表征，建立表象。
水平2阶段的教学可分为三个步骤：分离特征;提纯本质;简略表征。
水平3阶段的教学可分为两个步骤：建立图形关系;开展图形推理。
关键词：范希尔;几何思维;发展水平;图形的认识教学，既应充分适应学生的实际发展水平，又应积极促进学生可能的发展。
荷兰著名数学教育家范希尔夫妇将学生几何思维的发展划分为5个水平阶段（小学生主要处在水平1—水平3阶段），对几何教学有重要的指导价值。
小学数学教师可以在这一理论的指导下，结合教材的分段螺旋上升式安排，做细、做实“图形的认识”教学，让学生感受到3个水平阶段学习之间的联系与区别，从而更好地促进学生几何思维的发展。
下面，对此谈谈笔者的认识和做法。
一、水平1阶段的教学：基于直观，建立图形表象水平1阶段是指直观（也被翻译为“视觉”）阶段。
小学低年段的学生通常处于这一阶段，他们能依赖具体实物、凭借感知从整体上识别图形、仿画图形，能使用标准或不标准的名称命名图形，但不能清楚地认识图形的特征和性质，无法使用特征或性质分析图形，也无法对图形做概括性论述。
正如范希尔所说，学生“能识别图形看起来像什么物体”，“知道它是什么图形，但无法解释为什么”。
因此，直观阶段的教学目标是建立图形表象，形成图形名称。
教学过程通常是观察熟悉物体，感知到物体上的图形相像，将相像的图形画出来归为一类，用一个标准图形概括，形成表象并命名。
学生将形成的表象以及相应的名称储存在头脑中，作为识别图形的主要依据。
此后，学生经相关情境的刺激能灵活地调取与运用，为进一步学习图形的特征等打下基础。
以范希尔理论为框架的中学数学几何教材的研究
以范希尔理论为框架的中学数学几何教材的研究本研究旨在探讨上海教育出版社、人民教育出版社两个版本的数学教材在几何教材上的呈现情况。
本研究首先在前人研究基础上,按照范希尔理论、结合美、英、中国全日制义务教育、中国上海中小学四个几何课程标准,编制了用于评价教材的类目分析表,用内容分析法将上海教育出版社和人民教育出版社的初中几何教材中的所有内容,按照自行编制的内容分析类目表分析。
从而呈现几何教材中知识的范希尔几何思维水平分布情形,进而探讨两套教材所呈现的特征。
本研究有以下几点发现:1.人教版与上教版初中几何教材设计均符合范希尔几何思维水平理论;2.上教版与人教版几何内容设置基本相同;3.上教版更具有范希尔几何思维水平角度的系统性;4.上教版与人教版的几何知识分在各年级分布呈现不同特点;5.教材编排思路大异小同。
范·希尔理论在初中几何教学中的应用研究
范·希尔理论在初中几何教学中的应用研究科学合理的几何教学在一定程度上有助于促进学生几何素养的发展。
如何使学生更好的学习几何,提高学生几何思维水平,是广大一线教师普遍关心的问题。
从这一实际教学问题出发,帮助一线教师探索一种行之有效的几何教学方法,促进学生几何思维的发展增强学生几何学习的积极性,是论文的主要研究初衷。
目前就促进学生几何思维发展而言,范·希尔理论是最具代表性的理论之一,该理论从5个维度评估学生几何思维发展状况,并且从学生实际几何思维出发,依据5个几何教学阶段设计课堂教学方案。
论文从教学实践应用角度出发。
首先,通过文献分析法,对初中几何教学应用范·希尔理论的相关文献进行综述分析;在文献梳理的基础上阐释“几何思维”和“几何思维水平”相关基础性研究概念。
其次,通过问卷调查法,依据“中学生几何思维认知水平测试问卷”测试评估了学生几何思维发展状况,详细分析了所在实习学校八年级1班和2班学生几何思维水平,为接下来的教学实验研究提供现实性参考依据。
再次,从理论与实践结合的角度整合了范·希尔理论与几何课堂教学的基本步骤;并在此基础上分析阐释了范·希尔理论几何课堂教学基本原则;这就为“平行四边形”教学研究奠定现实基础,随之给出“平行四边形的性质(第3课时)”和“平行四边形的判定(第1课时)”两个教学实验案例。
最后,采用教学实验法,以范·希尔5个几何教学阶段为主要研究依据,结合八年级“平行四边形”知识,作为主要实验内容进行几何教学实验研究。
为验证范·希尔理论对学生几何思维水平的影响效果,教学实验后分别对实验班、对照班学生几何思维水平状况进行了数据测试分析;并在教学实验前、后,对实验班进行了学生“几何学习兴趣”的配对分析。
经过教学实验对比分析后得出以下研究结论:第一,教师能更好的把握学生几何思维状况;第二,学生几何思维得以更好的发展;第三,“探索--猜想--验证--应用--归纳”的几何教学模式,让学生经历几何知识的探究过程,重蹈几何知识形成的关键步子,使学生体会到数学家在探索知识过程中的优良精神品质,实现以“数学育人”的教育目的;第四,在教学实验研究分析的基础上尝试总结析取出提高学生几何思维能力的教学方法。
II范希尔的几何思维水平理论
评价
前苏联学者很快就注意到了范希尔的思想，他的论文 （1959）在1963年就由皮什卡罗（A. M. Pyshkalo）作了详 尽的报道。10年之后，美国人才开始了解范希尔的工作。在 1974年召开的大西洋城NCTM年会上，芝加哥大学的威兹普 （Isaak Wirszup）将范希尔的思想正式介绍给了美国学者， 并同时介绍了前苏联几何教学的“惊人进展”。威兹普的报 告后来以“几何教学心理学中的一个重大突破”为标题发表 在Martin 和Bradbard主编的著作上（Wirszup，1976）。 与此同时，弗赖登塔尔也提供了思维水平在数学归纳法学习 中的范例。他发现，数学归纳实际上也是沿着五个思维水平 发展的（Freudenthal, 1973, p123）。所有这一些，使范希 尔理论引起了全世界的广泛关注，并成为上世纪80年代几何 教学研究的一个热点。
层次2︰非形式化的演绎 (informal deduction)
儿童能建立图形及图形性质之间的关系，可以提出 非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步 探求图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定 义及发现的性质做演绎推论。但不能了解证明与定 理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立证明结果 的成立，也未能建立定理网络之间的内在关系。例 如：学生了解了等腰三角形的性质后，他们会推出 等腰直角三角形同时也是直角三角形的一种，因为 等腰直角三角形较直角三角形多了一些性质的限制 。因此，学童能作一些非正式的说明但还不能作系 统性的证明.
能写出一定理的逆定理如平行四边形的对角线互相平分其逆定理是对角线互相平分的四边形是平行四层次4严密性在这个层次能在不同的公理系统下严谨地建立定理以分析比较不同的几何系统如欧氏几何与非欧氏几何系统的比较
II. 范希尔的几何思维水平
范希尔理论依据
理论依据本文根据范希尔几何思维水平理论作为依据，范希尔几何思维水平1应该包括以下六个阶段:0-水平（前认知阶段Former Cognitive)：在这个阶段的学生只能识别一些常见的图形，能区别曲线和直线。
例如：不能对正方形和园很好区别，其推理对象是具体的形象。
1-水平（视觉 Visually)：学生只能够从整体上对几何图形进行感性的认识,根据图形的形状来进行分类。
对性质还不了解。
2-水平（分析Analysis)：处于2-水平的学生,能够认识到图形的特征,并能通过图形的性质来区分不同图形,例如,学生开始明白只要是四条边相等的图形就是菱形。
开始能对图形的组成要素及特征进行分析,利用某一性质做图形分类,但不能够进行演绎推理。
例如:知道三角形有三条边和三个角,但不能理解内角越大,则对边越长的性质。
3-水平（非形式化的演绎Informal Deduction)：这个阶段的学生能够理解图形特征与图形性质之间的关系,利用性质、公式和定理进行演绎推理，但是不能做多步的推理论证。
例如,能够根据全等条件对三角形进行全等判定,但还分不清性质与定理的关系。
4-水平（形式化的演绎Formal deduction)：处于该水平的学生逻辑思维能力明显提高，对一道几何题能用不同的方式来解决，能对问题进行合理的猜测，然后正确证明。
能写出一个定理的逆定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，逆定理是两边平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。
5-水平（严密性Rigour)：处于这个层次的学生能够进行严格的几何推理,能够理解不同几何系统的差异。
例如,能区别欧氏几何与非欧氏几何系统的差异。
甚至可以自创一种几几何推理的层次划分上世纪50年代，荷兰的范希尔夫妇划分的几何思维理论对几何课程具有重要的指导意义，范希尔几何分类理论把几何思维分成以下几个水平[2]。
水平0，视觉。
这个阶段儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构图元素（如边、角）；能画图或仿画图形，使用标准或不标准名称描述几何图形；能根据对形状的操作解决几何问题等。
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五、几何的教学
1.几何教学的认知分析 （1）几何教学层次的分析 （2）错误概念 2.计算机辅助教学 3.有关几何教学的几点建议
阶段一：提供信息的活动
图形辨认 复制图形
阶段二：特定方向的活动
分类活动
描绘和构建图形
进行平铺活动 多种多边形的对称轴 测量图形的成分（角 度大小，边长等）
案例一：四边形的教学设计思路
阶段三：解释活动
学生在卡片上列出自己熟悉的多边形性质 列出不同图形的类别
阶段四：自由探索活动
学生们检验全等图形的对应边，对应角 使用软件画出非常规的图形 写出画某个熟悉多边形图形的程序或步骤
水平2
水平3
物理特征 ------
列出物理特征 基于物理特征 的外延性分类
-------
数学性质 只能运用具有 简单结构的定
义
列出数学特征
基于数学特征 的外延性分类
举例证明
任何定义 理解等价定义
充分性和必要 性的集合
沟通外延与内 涵的联系
非形式的逻辑 证明
证明等价定义
正式的数学证 明
案例一：四边形的教学设计思路
在本阶段教学中，通过教师引导，学生积极主动探索，完成教学活动。教 师首先需要引导学生动手操作，采用折纸、剪切的方法得到菱形，并积极思 考，分析图形要素解决问题，最后学生进行交流讨论，获得结论。最终得出 “菱形边、角、对角线的关系”,并且通过大胆猜想得出菱形具有哪些性质。
获得菱形性质学习后，为深化学生对性质的理解、掌握并明确菱形性质 之间的关系。教师通过一系列针对性的练习，让学生体会菱形性质运用，加 深对菱形的认识，开始进行正式的演绎推论。让学生将菱形的性质纳入自己 的认知结构，教师也可利用练习掌握学生的几何学习情况。
1. 几何问题的基本特点
四、几何中的问题解决
1. 几何问题的基本特点
这三个过程是密切联 系的，几何中高效的 认知活动需要它们之 间的密切配合：
确认二维和三维空间中的图形和形状这种确认以来一些特殊的 规则，这些规则与沟改造和表达的方式是相对独立的。
视觉
构造
推理
四、几何中的问题解决
2. 几何问题常见类型
创造性研究
形式（几何）
从
直
几
观
何 直
形式证明
化 世
观
界
上
欧氏几何证明（基于表象的语言）
升
为
形
几何：直观表示（表象）
式 化
世
对客观对象的感知
界 的
过
与环境的互动（依照一定的规则）
程
三、几何推理与论证技能的形成与发展
1. 空间能力的发展 2.逻辑推理与证明技能的发展 3.公理化思想的初步形成
四、几何中的问题解决
（3）研究展望
› ①是否存在其他的几何思维水平？
› ②如何细化各个水平的评价指标？
表2 学生在直观水平上的具体表现
描述词
找到外表是整体的形状示例 构造，画出或复制形状 命名 颜色/字母符号 根据外表用词语描述形状 借助于画图而不是性质来解常规问题 找出图形的部分，但不做如下具体要 求…….
具体表现
四、几何中的问题解决
3. 视觉在解决几何问题中的作用 几何问题的解决除了一般的数学技能和能力外，还需要一定的空间意识， 其中，特别是视觉与几何直觉。研究表明，学生的空间意识与他们的问题解决 能力是有很大的练习，因此，在几何学习过程中，除了通常数学学习中所需要 的语言技能，逻辑技能和应用技能外，要特别重视画图与视觉技能。
① ②
③
2. 几何概念的形成与发展 （1）范希尔理论
①
2. 几何概念的形成与发展 （1）范希尔理论
②
2. 几何概念的形成与发展 （1）范希尔理论
③
（2）范希尔理论的应用
案例：基于范希尔理论的教学设计
水平 活动 辨认 运用定义
形成定义 分类 证明
范希尔模型用于学生几何活动水平的定位
水平0
水平1
按照组成部分的联系比较两个形状；依 参照相似/不同的边和角来比较正方形
据性质以不同方式将形状分类
和矩形；按照直角数目构成分类四边
形的规则。
按照图形的性质说明和使用图形的词语 能够解释面积规则和 描述；说明规则的词语或符号含义并且 会使用他们
…………
…………
…………
…………
（3）研究展望 › ③如何刻画不同几何教学内容（或活动）的范希尔思维水平？ › ④如何编制符合我国教学实际的范希尔水平测试题？ › ⑤如何考察不同年级学生的范希尔思维水平？ › ⑥我国学生在范希尔水平上是否存在性别差异？ › ⑦如何帮助学生在不同思维水平之间过渡？ › ⑧范希尔理论对我国的几何课程设计与评价有什么意义？ › ⑨能够把范希尔理论推广到其他数学内容？
案例一：四边形的教学设计思路
阶段五：整合活动
以游戏的方式，从自己列出的性质中辨认出特定的图形 对自己在前面活动中所做出的图形加以描述和评论
案例：基于范希尔理论的教学设计——菱形 根据 Van Hiele理论进行教学设计时，首先要思考范希尔理论中教学
阶段与教学流程的对应关系：
下面将选取具体的教学案例解释说明，案例选自于《义务教育教科 书·数学》初二年级下册第十八章第二节《特殊的平行四边形》——菱形 （1）。根据 Van Hiele思维水平和教学阶段设计教学活动时，教师要能 够诊断出班级学生的几何水平，根据教学内容和学生具体情况进行设计， 注意学生几何思维水平的六个特性，让学生在原有的水平基础上改进几何 认识，提高几何思维水平。
2. 几何概念的形成与发展 （2）皮亚杰理论（同时关注皮亚杰与范希尔理论的关系）
（3） 一些核心概念的发展与形成过程 ① 图形与性质 ②变换与关系 ③向量与坐标系 ④证明与演绎系统
3. 空间意识的形成与发展 几何学习与空间意识是紧密相关的，且大多数的数学教育者都认为空间 意识应是几何课程的一部分。 学校几何主要是学习空间物体形式化或数学化之后的关系与变换，以及 创立表征它们的数学化公理系统，换句话说，空间意识是由一连串藉由建造 与运用心像表征空间物体、关系与变换的认知过程组成。 尤西斯金将几何分为四个维度： 想象、画图并建造图形；学习自然世界的空间观点；用来当作一种表征 看不到数学概念及关系工具；用来当作一种形式数学系统的表征。
下面将说明在具体课堂教学中如何运用 Van Hiele 理论中的教学策略。
教师和学生通过交流，给出本课相关的学习内容。教师引导学生熟悉相 关的教学内容，咨询学生对小学旧知识菱形的定义及之前学习矩形的概念、 性质等认知结构，掌握学生的基本情况，让学生开始熟悉相关的内容。
在本阶段教学中，教师使用词汇与术语是相当重要的。通过发现我们发 现初二年级基本都能达到分析水平，说明学生能够认识菱形的组成成分，了 解菱形的特征，但是还无法利用几何概念对菱形进行准确定义及分类。所以 教师需要通过类比矩形的概念，并课件中动态展示菱形的形成过程，让学生 自行归纳菱形的概念、定义。从而引出将要学习的新课题——菱形的性质。
几何教学研究一一
李艳利
一、绪论
1.几何课程的特征
2. 几何概念的形成与发展 （1）范希尔理论
①
2.几何课程的目标
3.中小学选择几何内容的理由
二、几何概念与空间意识的形成与发展
1. 几何概念的特点 （1）直观性 （2）图形——概念性 （3）拟实验性 （4）层次性 （5）本原性
2. 几何概针对所要教学菱形概念及性质分析，教师需要选取适合的教学任务，通 过安排学生参与, 利用折纸、测量等教学手段让学生动手操作。让学生在对 图形视觉直观的认识基础上，参与操作活动进行主动探索，并分析发现教学 中图形的特征及性质。教师应该让学生明确本节课的学习目标，确保学生在 探索活动中，逐渐熟悉菱形的特性，建立菱形性质的知识网络。
第五阶段：整合 教师通过课堂小节帮助学生回顾本节课学习的菱形性质知识，并分析教学 探究活动中所采用的学习方法，及图形的性质关系整合入学生的思维认识框 架中，构建学生自身的几何知识网络体系。通过归纳总结不仅能帮助教师的 有效教学，而且也能让学生巩固新知，使其内化，发展其思维水平，进行更 深层次的演绎推理。
使用具体实物在纸上复制形状/模式 把角度当作拐弯 矩形比正方形宽 平行四边形是“倾斜的矩形” 在七巧板难题在红反复试验
表3 学生在抽象水平上的具体表现
描述词
具体表现
找出和检验图形组成部分之间的联系， 学生发现正方形有四条相等的边和四
例如边的相等
个直角
对于回忆组成部分和使用合适的单词， 例如，对边，平分每条对角线