2013命题基本知识与公理的教学

第三章
数学基础知识的教学
第二节 基础知识的教学
二、数学命题的教学
（一）判断（命题）概述。
1、判断的意义
判断：是对思维对象有所断定的一种思维方式。
例如：“2是自然数”；“1是质数”；
“A=B”“1+2=9”
判断有两个基本特征： （1） 一定要“有所断定”。不能作出肯定或否定 的思维形式，不称其为判断。例如：“1小于9 吗？”“1+2=3吗？”等都不是判断。
• 其一，由公理系统不至导出互相矛盾的命题，即公理系统应 是无矛盾的或相容的； • 其二，每个公理都不能由其他公理推演而得，即公理系统应 是最简的，或曰独立的； • 其三，由公理系统确能演绎出所论学科或理论的全部结论， 即公理系统应是完备的。
初中平面几何体系——公理化思想
• 欧几里得几何是公理化的典范。 • 《原本》第一卷，开宗明义，欧几里得给出23个基本概念:“点”、 “线”、“直线”、“平面是其上直线看齐的面”等 • 欧几里得建立了五个公设(postulates)和五个公理：

”和特称
逆否命题——对偶的逻辑——事情不顺利时的思考法 例如： 古典经济学最基本的命题：
让市场自由竞争，经济就会顺利运作。
其逆否命题是：
命题的构造：逆命题
逆命题的制作，将原命题的结论与条件交换即可。
数学中，往往还将一个复合命题中部分相同个数的条 件与结论交换位置所得的“逆命题”，称为“偏逆命 题”. 如：命题“若a>b ,c>0 ,则ac>bc ”， 它的逆命题是
长方体体积=长· 宽· 高 祖暅原理：幂势既同，则积不容异。
体 积 理 论 的 构 建
柱 锥 台 体 积 的 统 一
A O C' B' C B
设拟柱二底面积分别 为S,S1,中截面面积为M， 高为h,则它的体积 为(S+4M+S1)h/6.
关于公理化思想
• 公理化方法： • 尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题 （公理、公设）,以此为出发点,应用演绎推理,推出 尽可能多的结论的方法. • 公理化思想的精髓 • ——以简驭繁，以少及多 • 公理系统的要求：
1等量性：合同的图形有相同的量； 2可加性：图形的合并相当于量的相加； 3度量单位：单位量（长度,面积,体积）
面积体系的建立
关键：长方形面积公式 可证：有一边相等的长方形，其 面积之比等于另一边之比。 长方形面积=长· 宽
D'
C'
D
A' B' A
C
B
类似的，可证明
多边形面积公式
长方体体积=长· 宽· 高
•案例：平面的基本性质
数学公理的教学
• • • • • • • • 了解什么是公理； 对公理作解释 （实践证明—观察实验验证） 理解并记忆公理的具体内容； 在推理和计算中熟练地予以应用。 高中立体几何公理系统： 公理4： 平行于同一条直线的两条直线平行。
几何量（长度，面积和体积）公理体系 几何量（长度、面积、体积）的定义：
• 思考：证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半
命题的推广
• 当直线MA∥NB，且 点P在MA和NB之间 时，∠APB,∠MAP 和∠NBP有何等量关 系？试加以证明。 • 你还能就本题作出新 的猜想？
M P O A
N
M
A
P B
M
A
N P
B
M P O
A E B
N
B
N
数学命题教学
• 数学命题是数学知识的主体，主要包括公理、定 理、法则、公式。 • 数学命题代表一种思维形式： • ——有……条件就可以得到……结论。 • 基本任务： • 使学生认识命题的条件和结论，掌握命题推理过 程或证明方法，运用所学的命题进行计算、推理 或论证，提高数学基本能力。 • 并在此基础上，使学生熟悉基本的数学思想和数 学方法，弄清数学命题间的关系，把学过的命题 系统化，形成结构紧密的知识体系。
“若ac>bc, 则a>b,c>0” 它还有两个“偏逆命 题”： “若ac>bc,c>0,则a>b”; “若ac>bc,a>b,则c>0”.
思考：你能从三角 形中位线定理中获 得更多的命题吗？
制作“逆命题”的注意事项：
（1）必须分清条件和结论。
例如：“在直角三角形中，若一锐角等于300， 则它对的边等于斜边的一半” （2）命题的条件、结论互换后，必须要适当作些 语词修饰。
• 欧氏几何公理系统的特点：
以经验为基础，以数学实体及其关系为对象，以诉诸直觉为方法，通常称它为实质公 理化。这是几何公理化的第一个发展阶段。 几何公理化的第二个发展阶段，从实质公理化向形式公理化过渡。（希尔伯特）
• 新课标几何“公理”体系——9条基本事实
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充分条件与必要条件
• • • • • • 命题：“狗有四只脚” “狗”是“有四只脚”的充分条件， “有四只脚”是“狗”的必要条件。 必要：无它必不行，有它未必行。 充分：有它必行，无它未必不行。 充要：有它必行，无它必不行。
命题的构造：四种命题
逆否命题的制作
逆否命题的制作，应注意全称量词“ 量词“ ”的互换关系。
（2） 判断有真假之分。
2、命题是表达判断的陈述语句。
命题的关系
——征服数学的关键在于了解必要条件和充分条件
• • • • • 著名经济学者陷入的“逻辑矛盾” 在某个经济学会议上，一个演说者举了许多例子说明 “数学对于经济学的研究是不可或缺的”。 演讲结束后，一位著名的经济学者对演讲者说： “说是那么说，可是再怎么学习数学，对于经济学的研究还 是不够的。” 然后举了很多例子，最后说：“所以我不赞成你的意见。” 这个演讲者不假思索地回答“先生说的对极了。” 结果这个经济学家反过来斥责他： “怎么这么快就放弃了自己的想法，实在太没有节操了。” 注：如果这位经济学家头脑里考虑到必要条件和充分条件， 就会知道这个演讲者前后说法一点都不矛盾。 演讲者谈的是：数学对经济学研究的必要性， 而那位经济学家的意见是：光是学数学还不够充分。 必要和不充分之间一点矛盾也没有。
基本 事实 3
这是 定理
教学设计：基本事实4：两条直线被第三条直线 所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
A • 合作学习： • 任意画出两条平行的直线，再任 E B 意画一条直线与这两条平行线相 C 交。测量同位角的度数，你发现 G D 了什么？与其他同学的发现相同 吗？ • 在“几何画板”软件中画出如图 的图形，直线EF平行于GH，直 测量 ABF , ACH ，然后转动直线 AD，观察 ABF 和ACH 的大小，你 线AD与直线EF，GH分别相交与 发现了什么？ 点 B， C。 F
H
如果直线EF与GH不平行，上面的结论仍成立吗？请作图验证。
课标实例 60
直观阐述基本事实：两组对应边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 [说明] 虽然基本事实不需要证明，但是启发学生进行观分析、探索结论 的合理性。
图1
图2
观察图 1 中的△ABC，如果对图中的边 BC“视而不见” ， 另外，也可以用图形运动（叠合）的方法确认 这样，对∠ B 和∠C 也就“视而不见”了（如图 2） ，此时 “两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”这个 △ ABC 的形状和大小并不改变。这就是说，AB、AC 两条边 结论。 对于以上事实的认可，也可以从六个元素中的 及它们的夹角确定了△ ABC 的形状和大小，于是可以推断，
如“等腰三角形两底角相等”的逆命题制作 必须要适当作些语词修饰。
分段式命题
案例、勾股定理及其逆定理
• 如果几个命题的前提和结论所含 事项都面面俱到且互不相容，称 这一组命题为分段式命题。 • 勾股定理的逆定理： • 在⊿ABC中，若a2+b2=c2，则 ∠C=900. • 如何证明？ • 构造法
A
C A1
B
C1
B1
案例：勾股定理及其逆定理
• 在⊿ABC中，若a2+b2=c2， 则∠C=900. • 法2：用反证法证明 • 假设 ∠C≠900， 即当∠C 为锐角或钝角时，推出三 边的关系，得出矛盾。 • 当∠C<900时，可得 a2+b2>c2。 • 当∠C>900时 ，可得 a2+b2<c2。 • 这与已知a2+b2=c2矛盾。 所以∠C=900.
一个出发，既由少到多进行考虑，通过画图探索出 两边以及这两边的夹角可以确定一个三角形。因此，可以 需要几个元素即可确定一个三角形。 认同“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”这个基
本事实。
基本事实9： 两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 浙教版原课本： 平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的 三角形与原三角形相似.
• • • • • • • • 公设1 过两点必可引直线； 公设2 直线可无限制地延长。 公设3 可以任意点为中心、任意长为半径作圆周。公设4 凡直角都相等。 公设5 若两直线与第三条直线相交，其一侧的两个内角之和小于两个直角，则将这 两条直线向该侧充分延长后必相交。 公理1 等于同一个量的两个量相等。 公理2 等量加等量仍为等量。 公理3 不等的量加等量得到不等的量。 公理4 能互相重合的量必为等量。 公理5 整体大于部分。
A
b a C D
c
B
A c a D C B
b
案例：勾股定理及其逆定理的一个推广
• • • • • • • • • • 在⊿ABC中，∠C为最大角： 1)若∠C=900，则a2+b2=c2。（勾股定理） 2)若∠C<900，则a2+b2>c2。 3)若∠C>900，则a2+b2<c2。 反之也成立，即： 1)若a2+b2=c2 ，则∠C=900 。（勾股定理逆定理） 2)若a2+b2>c2，则∠C<900。 3)若a2+b2<c2 ，则∠C>900 。 结论：分段式定理的逆命题一定成立。 证明分段式定理的逆命题成立，通常用反证法。