2010第一学期期末复习3

•积分
可积性条件 1. 不定积分 充分条件： 连续函数，单调函数，不连续但 只有有限间断点的函数；
必要条wk.baidu.com： 可积
2. 定积分
有界；
原函数存在的充分条件： 连续；
3. 反常积分
比较判别法
1 无穷积分常用比较函数 p , x p>1时收敛，其它情况发散； 1 , 无界积分常用比较函数 p ( x c) c为瑕点，
dx 例： 2 2 2 x x 4
4
3 x 1 1 1 5 2 例： dx 例： (sin x 1 x ) dx 0 2 2 2 2 3 1 ( 1 x ) 2 2 4 2 2 例： 设 f ( x ) x 1 x f ( t ) dt 1, 求 f ( x ). x x 1 3 1 x x 1, x 1 x 0, x 0 例：设f ( x ) x ,0 x 1 ,求 f ( t )dt 2 x 0, x 0 ,0 x 1 2 1 2 arctan x 1, x 1 2
例： 设 I cos(sin x ) dx，则 （ ） . ( A) I 1

π 2 0
(B) I 1
( C) I 1

2
( D) I 0

例： 设 I1 4 x sin xd x， I 2 4 x sin xd x , I 3 4 x 2 sin2 xd x ,
求定积分方法：用定义及物理或几何意义求解; 采用不定积分的方法求出原函数， 利用牛顿-莱布尼兹公式. 注意：换元时不需考虑单调性，只要使旧变量的 上下限对应于新变量的上下限即可 反常积分计算方法：莱布尼兹公式中在瑕点或无穷点 处的值为原函数在此点的极限. 注意：若反常积分有多个瑕点或无穷点，需要把积分 区间分割，使得每一子区间端点至多有一个特殊点， 然后进行计算.
求不定积分常用方法
1. 直接求原函数； 基本积分表： 1 x x kdx , x dx , dx , e dx , a dx, sin xdx, cos xdx, x 1 1 2 2 dx, dx, sec xdx, csc xdx, 2 2 1 x 1 x shxdx, chxdx, tan xdx, cot xdx, sec xdx, 1 1 1 dx, dx, dx, csc xdx, 2 2 2 2 2 2 a x a x a x 1 1 dx, 2 dx, 2 2 2 x a x a
某些无理函数的积分可以通过换元转换成有理函数 的积分. 5. 递推公式法； 一般用于被积函数含有参数n的情况； 常用分部积分得到递推公式.
6. 解方程法； 利用分部积分或其它方法得到关于积分的方程， 然后求解； 也可用于求函数表达式，其中题目条件中的函数 表达式里有积分形式出现. 对不定积分情况，所求方程的解+任意常数C才是 所求不定积分的值.
1 1
积分的应用
1. 求平面曲线所围成的面积；
由y f ( x ), y g ( x )所围成的图形面积微元 | f ( x ) g ( x ) | dx, 由x f ( y ), x g ( y )所围成的图形面积微元 | f ( y ) g ( y ) | dy,
极坐标方程,面积微元为(1/2)r2dθ. 要掌握如何画出极坐标下的曲线图像
2. 分部积分； 注意u,v的选取原则;
3. 换元法；
第二类换元法x=f(t)中，要求函数具有单调性；
a x : x a sin t , t ; 2 常用代换：
2 2

a x : x a tan t , t
2 2 2 2

2
;
2 再用u x换元，得到x a的情况；
2. 求平面曲线的弧长； 根据曲线方程形式和积分变量的选择，采用不同 的弧长微元形式：
以x为积分变量，ds 1 y'2 dx; 以y为积分变量，ds 1 x' dy;
2
参数方程，ds
x'2 y'2 dt;
极坐标方程，ds r 2 r '2 d ;
2 2 例： 曲线 y ( x )3 (0 x 1) 的弧长为 ( 2 2 . 1) 3 3
3. 求空间立体的体积
以x为积分变量，体积微元 为A( x )dx.其中 A( x )为过x点作垂直于x轴的截面面积；
曲线绕x轴或与x轴平行的直线y=y0旋转一周所成 b 的旋转体：V a dV 2 dV ( f ( x ) y0 ) dx 以x作为积分变量；
以y作为积分变量；
dV 2 ( y y0 ) xdy
4 4 4
则有 ____ . ( A) I 2 I 3 I 1 ; ( B ) I 3 I 2 I 1 ; ( C ) I 1 I 2 I 3 ; ( D ) I 2 I 1 I 3 .
例：设 f ( x )在区间[0,1]上连续，且单调增加， 证明 0 2 xf ( x )dx 0 f ( x )dx .
1 π 例： 曲线 r cos 2 (0 ) 与 0 所围图形的面积为 . 4 4
例：设曲线y x 2与直线y ax(0 a 2)围成的平面 图形的面积S1 ,曲线y x 2与直线y ax(0 a 2), x 2 围成的平面图形的面积 S2 . a3 8 a3 (1)求S1 , S 2 . S1 , S2 2a 6 3 6 （2 ）求a的值时S1 S 2最小. a 2
3 33 S 4 ln 2 ,V 16 ln 2 2 4
4. 求旋转曲面的侧面积 绕x轴旋转，面积微元为2πyds; 绕y轴旋转，面积微元为2πxds;
绕与坐标轴平行的直线 旋转
参数方程与极坐标下的侧面积公式
5. 物理应用：
做功 水的压力 质点引力
不均匀物体质量 例：设沿y轴上的区间[0,1]放置一个长度为1且线密度
例： 求由曲线 y e 与直线 x=0， y=0，x=1所围 成的图形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积. 2
x
x 1 t2 例：求曲线 (1 t 2)与直线y 0, x 5所围成的 y ln t 平面图形的面积以及该 图形绕直线x 6旋转一周所得 旋转体的体积.
为的均匀细棍，在x轴上x 1处有一个单位质点，求 细棍对质点的引力沿x轴正向的分力.
k 2 2
6.其它应用：
n 例： lim 2 2 n i 1 n i
n
2 2 t dt sin x 例： lim x 0 x sin2 x x
4
2 6
的分式的积分方法： p 2 p At b 2 2 x px q ( x ) a ; 令t x 2 2 2 (t a 2 ) k At 2 2 的积分中用 u t a 换元， 2 2 k (t a )
b 的积分中用t a tan u换元，或利用 2 2 k (t a ) 1 In 2 dt的递推表达式. 2 n (t a )
p<1时收敛，其它情况发散；
常通过等价代换得到被积函数当x趋于无穷或瑕点时 的等价量作为比较函数； 注意：瑕点的定义
例：下列广义积分中， 收敛的是：
x 1 e 1 A 1 dx B 1 2 dx 2 x 1 x 1 1 1 C 3 dx D 0 dx x x ln(1 x ) 例：下列广义积分中， 发散的是：
arcsin x A 0 dx x ln x C 0 dx 2 1 x
1
1
1 B 2 dx x ln x ln(ln x ) 1 1 D 0 dx 4 1 x

x4 1 例： 设 I1 0 dx，I 2 1 dx，则 （ ） . 2 1 x x ln x ( A ) I1收敛I 2发散; (B ) I1发散I 2收敛; (C) I1与I 2都收敛; ( D) I1与I 2都发散
x a : x a sec t ,0 t

, 得到x a的情况，
x 2t 1 t2 万能公式代换： t tan , sin x , cos x , 2 2 2 1 t 1 t 2 dx dt; 2 1 t
4. 有理函数积分法；
Ax B 将有理函数进行分解所得形为 ( x 2 px q ) k
2 arcsin x 3 例： x 1 dx 例： dx 2 4 2 x x x 1 2 8 arcsin x x 1 1 x x ln 2 x 1 1 x 2 ln 1 x x 2
被积函数的可加性； 积分性质 可加性 积分区间的可加性； 保号性； 积分中值定理 常用于证明不等式； 证明不等式； 证明存在ξ， 使得某个含有积分的 等式成立；