2018届辽宁凌源市高三毕业班一模抽考数学(理)试题

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2018届辽宁省凌源二中高考三模高三数学考试卷数学(理)试卷(word版)

2018届辽宁省凌源二中高考三模高三数学考试卷数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}240,01M x x N x x =-≤=<<,则M C N =（） A.[]2,0- B.[][]2,01,2- C.[]1.2 D ．∅2.已知复数()4121iz i -=-,则它的实部与虚部之和为（）A ．34-B ．34C ．14-D ．143.如图,在正六边形ABCDEF 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A ．12 B ．13 C.14 D ．254.已知点()0,23A ，,,06B π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()() 406,2f x sin x πωϕωϕπ=+<<<<⎛⎫⎪⎝⎭的图象上的两个点,若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度,得到函数()g x 的图象,则函数()g x 的图象的一条对称轴的方程为（） A ．12x π=B ．6x π=C.3x π=D ．512x π=5.设数列设数列{}n a 的前n 项和为n S ,如果114,24n n a a S +==-,则10S =（）A ．()10231- B ．()10231+ C.()9231+ D ．()9431-6.《孙子算经》中有一道题:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳度之,不足一尺，木长几何?”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条,绳子剩余4.5尺;将绳子对折再量木条,木条剩余1尺,问木条长多少尺?"解决本题的程序框图如图所示,则输出的i =（）A ．4.5B ．5 C.6 D ．6.57.如图为一个半圆柱.ADE 是等腰直角三角形,F 是线段CD 的中点，4AB =,该半圆柱的体积为18π,则异面直线AB 与EF 所成角的正弦值为（）A ．3311 B ．1111 C.2211 D ．238.大学生小徐、小杨、小蔡通过招聘会被教育局录取并分配到一中、二中、三中去任教,这三所学校每所学校分配一名老师,具体谁被分配到哪所学校还不清楚.他们三人任教的学科是语文、数学、英语,且每个学科一名老师,现知道:(1)小徐没有被分配到一中;(2)小杨没有被分配到二中;(3)教英语的没有被分配到三中;(4)教语文的被分配到一中;(5)教语文的不是小杨.据此判断到三中任教的人和所任教的学科分别是 A.小徐语文 B 小蔡数学 C.小杨数学 D.小蔡语文 9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）A.3442+B.3422+C.3242+D.3622+10.在直角坐标系中,已知三点()()(),1,3,,4,5A a B b C ,O 为坐标原点,若向量OA 与OC 在向量OB 方向上的投影相等,且10AB OC =-,则a b -=( ) A.6 B.-6 C.-5 D.511.已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<.作倾斜角为34π的直线交椭圆C 于,A B 两点,线段AB 的中点为,M O 为坐标原点,若直线OM 的斜率为12,则b =A ．1B ．2 C.3 D ．6212.已知函数()()2xf x x m e -=-,曲线()y f x =上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线都与直线y x =平行,则实数m 的取值范围是A ．()21,1e -- B ．()21,1e ---- C.()2,0e -- D ．()21,1e -+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在()421x x --的展开式中,含3x 项的系数是．14.设实数,x y 满足约束条件35474311x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的最大值为．15.设数列{}n a 满足(1)2n n n a +=，则12891111...a a a a ++++= ． 16.设1F ,2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b->>的左、右焦点,AB 为过焦点1F 的弦(,A B 在双曲线的同一支上),且()2231AB AF BF +=+.若4= 3AB b .则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,.a b c ,且 2asin A bsin B bsinA csinC ++=. (1)求C ;(2)若2,22a b ==,线段BC 的垂直平分线交AB 于点D ,求CD 的长.18. 某大型高端制造公司为响应(中国制造2025)中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据:月份5 6 7 8 9 10 11 12 研发费用x （百万元） 2 3 6 10 21 13 15 18 产品销量y （万台）1122.563.53.54.5（1）根据数据可知y 与 x 之间存在线性相关关系. (i)求出y 关于x 的线性回归方程(系数精确到0.001);(ii)若2018年6月份研发投人为25百万元，根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量;(2)为庆祝该公司9月份成立30周年,特制定以下奖励制度:以z (单位:万台)表示日销量，[) 0. 18,0.2x ∈,则每位员工每日奖励200元;[)0.2,0.21z ∈,则每位员工每日奖励300元;[)0.21.z ∈+∞,则每位员工每日奖励400元.现已知该公司9月份日销量z (万台)服从正态分布()0. 2,0.0001N ,请你计算每位员工当月(按30天计算)获得奖励金额总数大约多少元参考数据:88112347,1308i i xiyi x i ====∑∑. 参考公式:对于一组数据()()()1122,,,,......,,n n x y x y x y .其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121,2ni ni xiyi nx yb a y bx x nx i ==-==--∑∑若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ,则()()0. 6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=.19.如图、在三棱柱111ABC A B C -中,四边形11BB C C 是矩形.11AB B C ⊥.平面1A BC ⊥平面11AB C.(1)证明:1=AA AB ;(2)若111=3,4,60BC AB ABB =∠=,求二面角1A ACB --余弦值. 20.设O 是坐标原点,F 是抛物线()220x py p =>的焦点,C 是该抛物线上的任意一点，当它与y 轴正方向的夹角为60°时,21OC =.(1)求抛物线的方程;(2)已知()0,A p ,设B 是该抛物线上的任意一点,,M N 是x 轴上的两个动点,且=2MN p ，BM BN =当+AM AN ANAM取得最大值时,求BMN 的面积.21.已知函数()21ln 22f x m x x x -+-. (1)若0m <,曲线()y f x =在点()(1,1f 处的切线在两坐标轴上的截距之和为2,求m 的值(2)若对于任意的1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及任意的[]1212, 2.,x x e x x ∈≠总有121212()()f x f x tx x x x ->-成立.求t 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.在平面直角坐标系xOy 中,已知倾斜角为a 的直线l 经过点() 2,1A -.以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为12sin =3ρθρ+(1)写出曲线C 的普通方程;(2)若直线l 与曲线C 有两个不同的交点,M N ,求AM AN +的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()242f x x x a =++-. (1)当6a =时,求()12f x ≥的解集; (2)已知()27 2,2.4a g x x ax >-=++若对于1,2a x ⎡⎤⎢⎥⎣-⎦∈,都有()()f x g x ≥成立,求a 取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BDCAC 6-10: DBCAD 11、12：BA二、填空题13. -12 14.11 15.9516.2 三、解答题17.解（1）因为sin sin 2sin sin a A b B b A c C ++=.所以2222a b ab c ++=.由余弦定理得2222cos 22a b c C ab +-==-. 又0C π<<，所以34C π=. （2）由（1）知34C π=根据余弦定理可得()2222222cos 2222222202c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭.所以25c =.由下弦定理得sin sin c b C B =，即2522sin 22B=. 解得5sin 5B =，从而25cos 5B =. 设BC 的中垂直交于BC 于点E . 因为在Rt BDE ∆中，cos BE B BD =,所以15cos 2255BE BD B ===. 因为DE 为线段BC 的中垂线. 所以52CD BE ==. 18.解：（1）（i)因为11.3x y ==所以1213478113830.244213088121340ni ni xiyi nx yb x nx i ==--⨯⨯===≈-⨯-∑∑833110.315340a y bx =-=-⨯≈，所以y 关于x 的线性回归方程为0.2440.135y x =+（ii ）当25x =时，0.244250.135 6.415y =⨯+=（万台）（注：若30.244110.316,0.2440.316a y x =-⨯==+，当25x =时，0.244250.136 6.416y =⨯+=（万台）第（1）小问共得5分，即扣1分）（2）由题知9月份日销量z （万台)服从正态分布()0.2,0.0001N . 则20.2,0.0001,0.01μσσ===.日销量[)0.18,0.2z ∈的概率为0.95440.47722=. 日销量[)0.2,0.21z ∈的概率为0.68260.34132=. 日销量[)0.21,z ∈+∞的概率为10.68260.15872-=. 所以每位员工当月的奖励金额总数为()2000.47723000.3134000.1587307839.3⨯+⨯+⨯⨯=元 19.(1)证明∵在三棱柱111ABC A B C -中,1111// BC B C AB B C +⊥，,∴AB BC ⊥. 又.11BC BB ABBB B ⊥=，，∴BC ⊥平面11AA B B .设1AB 与1A B 相交于点E ,1AC 与1AC 相交于点F ,连接EF , ∵四边形11AA B B 与11AAC C 均是平行四边形 ∴//EF BC .EF ⊥平面11AA B B , ∴1EF AB ⊥,1EF A B ⊥又1AEA ∠是平面1A BC 与平面11AB C 所成其中和个二面角的平面角. 又平面1A BC ⊥平面11AB C , ∴11AB A B ⊥,∴四边形1AA B B 1是菱形，从而1AA AB =.(2)解:由题设可知四边形11AA B B 是菱形，160ABB ∠=.∴14AB AB ==.以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -. ∴()()()()10,0,0,2,0,00,23,0,23,3E A A C -. ∴()()12,23,0,2,23,3AA AC =--=-. 设平面1AAC 的法几量(),,m x y z =. ∴100m AA m AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩即3022330x y x y z ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩. 令3y =-，可得()3,3,4m =-. 又由（1）可知1AB ⊥平面1A BC .∴可取平面1A BC 的法向量为()2,0,0n EA ==. ∴37cos ,14m n m n m n ==，由图可知二面角1A ACB --的平面角为锐角，所以它的余弦值为3714. 20.解：（1）设()0,0C x y ，则由抛物线的定义得02pFC y =+. 当FC 与y轴正方向的夹角60°时，00222p p y y ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即032p y =.又2222120212OC x y py y p o o o =+=+==. 所以2p =，抛物线的方程为24x y =（2）因为BM BN =所以点B 在线段MN 的中垂线上，设()11,B x y ，则()()112,0,2,0M x N x -+ 所以()()22221122,22AM x AN x =-+=++()221121622216814226464164111xAM AN AM AN y y AN AM AM AN x y y+++++====+++所以1222444112222224411y y y AM ANAN AMyy⎛⎫+++ ⎪⎝⎭+=≤=++当且仅当12y =时等号成立，此时122x =± 所以1142AMNSMN y ∆==. 21.解（1）因为21()ln 22f x m x x x =+- 所以'()2,'(1)1mf x x f m x=+-=-. 又因为切点坐标为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以切线方程为()112y m x m =---. 令0x =，得212m y +=-；令0y =，得212(1)m x m +=-. 由212122(1)2m m m ++-=-，化简得2260m m +-=.解得2m =-或32m =，又0m <，所以2m =-. （2）不防设12x x >，由（1）知，1'()2,1,22m f x x m x e x =+-≤≤≤≤所以()()121212f x f x tx x x x ->-等价于()()()121212t x x f x f x x x -->.即()()122111f x f x t x x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，所以()()1212t tf x f x x x +>+.设()()'tg x f x x=+，则()()12g x g x >，所以()g x 在[]2,e 上为单调递增函数. 因此()()2'0,'20m t g x g x x x x ≥=+--≥，对于1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立. 所以2120,2t x x x +--≥即3222xt x x ≤-+对于[]2,x e ∈恒成立. 设()()32222x h x x x x e =-+≤≤，则()()211'3434+022h x x x x x =-+=->.所以()h x 在[]2,e 上单调递增，()max (2)1h x h ==. 因此，1t ≤，即(],1t ∈-∞22.解（1）由12sin 3ρθρ+=得22sin 3ρρθ+=将222sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩（t 为参数）代入上式中. 得曲线C 的普通方程为22230x y y ++-= （2）将l 的参数方程2cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨-+⎩，代入C 的方程22230x y y ++-=整理得()24cos sin 40t t αα--+-. 因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点.所以()224cos -sin 240αα∆->化简得cos sin 0αα<.又0a π≤<，所以2a ππ<<，且cos 0,sin 0αα<>.设方程的两根为12,t t ，则()12124sin cos 0,40t t t t αα+=-<=>. 所以120,0t t <<所以()()12+4sin cos 42sin 4AM AN t t πααα⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭. 由2παπ<<，得3444πππα<-<. 所以2sin 124πα⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，从而442sin 424πα⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭.即AM AN +的取值范围是(4,42⎤⎦.23.解：当6a =时，()2426f x x x =++-，()12f x ≥等价于236x x ++-≥.因为21,3235,2321,2x x x x x x x -≥⎧⎪++-=-≤≤⎨⎪-+<-⎩.所以3216x x >⎧⎨-≥⎩或2356x -≤≤⎧⎨≥⎩或2216x x <-⎧⎨-+≥⎩.解得72x ≥或52x ≤-. 所以解集为5722x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.第页 11 （2）当2a >-，且1,2a x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()2424f x x x a a =+--=+. 所以()()f x g x ≥，即()4a g x +≥. 又()2724g x x ax =++的最大值必为()1,2a g g ⎛⎫- ⎪⎝⎭之一. 所以21142457444a a a a ⎧+≥-⎪⎪⎨⎪+≥+⎪⎩，即25345944a a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪--≤⎪⎩. 解得59125a -≤≤.所以α的取值范围为59,125⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

辽宁省凌源市实验中学、凌源二中2018届高三12月联考数学(理)试卷 Word版含解析

2017-2018学年度上学期高三学年12月验收考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以，故选B。

2. 已知为虚数单位，若复数，则（）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】，所以，故选C。

3. 已知，均为正实数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，得，，得，所以“”是“”的充要条件，故选C。

4. 等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C。

5. 已知实数，满足不等式组则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，表示原点到阴影区域的距离的平方，所以是原点到的距离的平方，则，是原点到点的距离的平方，则，所以的取值范围是，故选D。

6. 将函数（）的图象向左平移个单位长度后得到函数图象的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，故选A。

7. 执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的值为（）A. B. 或 C. D.【答案】C【解析】当时，，则；当时，，无解，所以，故选C。

8. 已知双曲线：（，）的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，即，故选A。

9. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，，所以当最大时，体积最大，，当且仅当时，取到最大值，所以，，外接球的直径，所以，，故选B。

2018年高三数学一模试卷及答案(理科)

2018年高三数学一模试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21012A =--，，，，，()(){}130B x x x =-+<，则A B = （） A ．{}21,0--， B ．{}0,1 C ．{}1,01-， D ．{}0,1,2 2.已知复数21iz i=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i - 3.下列说法正确的是（）A ．若命题0:p x R ∃∈，20010x x -+<，则:p x R ⌝∀∉，210x x -+≥B ．已知相关变量(),x y 满足回归方程 24y x =-，若变量x 增加一个单位，则y 平均增加4个单位C ．命题“若圆()()22:11C x m y m -++-=与两坐标轴都有公共点，则实数[]0,1m ∈”为真命题D ．已知随机变量()22X N σ ，，若()0.32P X a <=，则()40.68P X a >-=4.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，过C ，M ，D 三点的抛物线与CD 围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（）A ．16 B ．13 C.12 D ．235.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（）A ．33cmB ．35cm C. 34cm D ．36cm6.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若48102a a a =，则3S 的最小值为（） A ．2 B ．3 C.4 D.67.20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成31n +；如果n 是个偶数，则下一步变成2n，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为（）A ．5B ．16C.5或32 D ．4或5或32 8.在)12nx -的二项展开式中，若第四项的系数为7-，则n =（）A ．9B ．8 C.7 D ．69.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8430S S =-≠，则412S S 的值为（） A ．13-B ．112- C.112 D ．1310.将函数()22sin cos f x x x x =-()0t t >个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（） A ．23π B ．3π C. 2π D ．6π 11.如图，过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交其准线l 于点C ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线方程为（）A ．29y x =B ．26y x = C.23y x = D．2y =12.已知函数()()23xf x x e =-，设关于x 的方程()()()22120f x mf x m R e--=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为（）A ．3B ．1或3 C.4或6 D ．3或4或6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()1,1a =- ，(),1b t =，若()()//a b a b +- ，则实数t =．14.设实数x ，y 满足不等式组70,310,350,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩则2z x y =-的最大值为．15.已知双曲线经过点(1,，其一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的标准方程为． 16.已知等腰直角ABC △的斜边2BC =，沿斜边的高线AD 将ADC △折起，使二面角B ADC --的大小为3π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且有cos cos cos 0a B b A C +=.（1）求角C 的大小；（2）当2c =时，求ABC S △的最大值.18. 某调查机构随机调查了20岁到70岁之间的600位网上购物者的年龄分布情况，并将所得数据按照[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[]60,70分成5组，绘制成频率分布直方图（如图）.（1）求频率分布直方图中实数m 的值及这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的人数；（2）现采用分层抽样的方法从参与调查的600位网上购物者中随机抽取10人，再从这10人中任选2人，设这2人中年龄在[)30,40内的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.19. 如图，菱形ABCD 与四边形BDEF 相交于BD ，120ABC ∠=，BF ⊥平面ABCD ，//DE BF ，2BF DE =，AF FC ⊥，M 为CF 的中点，AC BD G = .（1）求证：//GM 平面CDE ；（2）求直线AM 与平面ACE 成角的正弦值.20. 已知椭圆E 的两个焦点为()110F -，，()210F ，，离心率2e =（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线():0l y x m m =+≠与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当m 变化时，求TAB △面积的最大值. 21. 已知函数()21axf x x e-=-（a 是常数）.（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当()0,16x ∈时，函数()f x 有零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-.（1）求不等式()1f x ≤的解集A ；（2）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+.试卷答案一、选择题1-5:ADCDB 6-10:DCBBD 11、12：CA 二、填空题13.1- 14.8 15.2214y x -= 16.73π三、解答题17.解：（1）因为cos cos cos 0a B b A C +=，由正弦定理，得sin cos sin cos cos 0A B B A C C +=，即()sin cos 0A B C C +=，即sin cos 0C C C =. 因为在ABC △中，0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos 2C =，解得4C π=.（2）由余弦定理，得222222cos c a b ab C a b =+-=+，即(224=2a b ab +≥，故(22ab ≤=，当且仅当a b ==.所以(11sin 221222ABC S ab C =≤⨯⨯=+△即ABC S △的最大值为118.解：（1）由频率分布直方图，可得()0.0300.0260.0140.012101m ++++⨯=，得0.018m =.则这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的频率为()0.0180.01410=0.32+⨯，故这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的人数为6000.32=192⨯.（2）由频率分布直方图可知，年龄在[)30,40内的人数与其他年龄段的总人数比为0.03010310.030107⨯=-⨯，由分层抽样的知识知，抽出的10人中年龄在[)30,40内的人数为3，其他年龄段的总人数为7.所以X 的可能取值为0，1，2.()023********C C P X C ===，()11372107115C C P X C ===，()20372101215C C P X C ===所以X 的分布列为故X 的数学期望()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=. 19.（1）证明：取BC 的中点N ，连接GN ，MN . 因为G 为菱形对角线的交点，所以G 为AC 中点.又N 为BC 中点，所以//GN CD ，又GN ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//GN 平面CDE .又因为M ，N 分别为FC ，BC 的中点.所以//MN FB ，又因为//DE BF ，所以//DE MN ，MN ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以//MN 平面CDE ，又MN ，GN ⊂平面MNG ，MN GN N = ，所以平面//GMN 平面CDE .又GM ⊂平面GMN ，所以//GM平面CDE . （2）解：连接GF .设菱形的边长2AB =，则由120ABC ∠=，得1GB GD ==，GA GC ==又因为AF FC ⊥，所以FG GA ==则在直角GBF △中，BFDE =.由BF ⊥平面ABCD ，//DE BF ，得DE ⊥平面ABCD .以G 为坐标原点，分别以GA ，GD 所在直线为x 轴，y 轴，过点G 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系G xyz -，则()0,0,0G，)0A，，01E ⎛ ⎝⎭，(0F -，，1,222M ⎛-- ⎝⎭，则)0GA =，，01GE ⎛= ⎝⎭ . 设(),,m x y z =为平面ACE 的一个法向量，则0,0,m GA m GE ⎧=⎪⎨=⎪⎩即00y z =⎨+=⎪⎩.令z =1y =-，所以(0,m =-.又1,22AM ⎛=- ⎝⎭，所以11cos ,10AM mAM m AM m+=== . 设直线AM 与平面ACE 所成角为θ，则sin θ=. 所以直线AM 与平面ACE20.解：（1）由离心率2e =1c =，解得a =所以1b =.所以椭圆E 的方程是2212x y +=. （2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，据221,2x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2234220x mx m ++-= ∵直线l 与椭圆E 有两个不同的交点，∴()()22412220m m ∆=-->，又0m ≠，所以m <0m ≠.由根与系数的关系得1243mx x -+=，212223m x x -=设线段AB 中点为C ，点C 横坐标12223C x x m x +==-，3C C my x m =+=，∴2,33m m C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴线段AB 垂直平分线方程为233m m y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，∴点T 坐标为,03m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点T 到直线AB的距离d =，又AB ==，所以123TABS =△=232m =时，三角形TAB 面积最大，且()max TAB S =△.21.解：（1）当0a =时，()21f x x =-，函数在()0+∞，上单调递增，在()0-∞，上单调递减.当0a ≠时，()()()'2222ax ax axf x xe x a e eax x ---=+-=-+，因为0ax e ->，令()220g x ax x =-+=，解得0x =或2x a=. ①当0a >时，函数()22g x ax x =-+在20,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有()0g x ≥，即()'0f x ≥，函数()y f x =单调递增；函数()22g x ax x =-+在(),0-∞，2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有()0g x <，即()'0f x <，函数()y f x =单调递减；②当0a <时，函数()22g x ax x =-+在2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，()0,+∞上有()0g x >，即()'0f x >，函数()y f x =单调递增；函数()22g x ax x =-+在2,0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有()0g x ≤，即()'0f x ≤，函数()y f x =单调递减.综上所述，当0a =时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,+∞，递减区间为(),0-∞；当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间为20,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减区间为(),0-∞，2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，函数()y f x =的单调递增区间为2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,+∞，递减区间为2,0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）①当0a =时，由()210f x x =-=，可得1x =±，()10,16∈，故0a =满足题意. ②当0a >时，函数()y f x =在20,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，（i ）若()20,16a ∈，解得18a >. 可知20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是增函数，2,16x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是减函数，由()010f =-<，∴在()0,16上()2max 22410f x f e a a-⎛⎫==-≥⎪⎝⎭，解得22a e e -≤≤，所以128a e <≤；（ii ）若[)216,a ∈+∞，解得108a <≤.函数()y f x =在()0,16上递增，由()010f =-<，则()161625610af e-=->，解得1ln 22a <.由11ln 228>，所以10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.③当0a <时，函数()y f x =在()0,16上递增，()01f =-，()161625610af e -=->，解得1ln 22a <， ∴0a <，综上所述，实数a 的取值范围是2,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.22.解：（1）因为2222cos sin 1y θθ+=+=，所以曲线C 的普通方程为2213x y +=.sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=，因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=. （2）设),sin Pθθ，则点P 到直线l的距离为d ==≤ 等号成立当且仅当sin 13πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()1126k k Z πθπ=+∈时等号成立，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此点P 到直线l的距离的最大值为223.（1）解：由211x -≤，得1211x -≤-≤，即1x ≤，解得11x -≤≤，所以[]11A =-，.（2）证明：（证法一）()()()222222221111m n mn m n m n m n +-+=+--=---因为,m n A ∈，所以11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，所以()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+，又10mn +≥，故1m n mn +≤+.（证法二）因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，而()()()1110m n mn m n +-+=--≤()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+.。

辽宁省2018届高三3月高考模拟考试数学(理)试题+Word版含答案

（Ⅰ）证明： BE ∥平面 PAD ；（Ⅱ）求直线 PB 与平面 BDE 所成角的正弦值．
P E D C B
A
19．（本小题满分 12 分）也称为可入肺颗 PM 2.5 是指大气中空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，粒物．我国 PM 2.5 标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即 PM 2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米～75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超标．某城市环保局从该市市区 2017 年上半年每天的 PM 2.5 监测数据中随机抽取 18 天的数据作为样本，将监测值绘制成茎叶图如下图所示（十位为茎，个位为叶）．（Ⅰ）在这 18 个数据中随机抽取 3 个数据，求其中恰有 2 个数据为空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）在这 18 个数据中随机抽取 3 个数据，用表示其中不超标数据的个数，求的分布列及数学期望；．（Ⅲ）以这 18 天的 PM 2.5 日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按 360 天计算）中约有多少天的空气质量为二级．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10．在三棱锥 D ABC 中，已知 AD 平面ABC ，且 ABC为正三角形， AD AB 则三棱锥 D ABC 的外接球的表面积为 A． 10 B． 9 C． 8 D． 7
3，
11．已知 F1 ， F2 分别是双曲线
x2 y2 1 ( a 0 ， b 0) 的左、右焦点，以线段 F1F2 为斜 a 2 b2
f ( p 1) f (q 1) 1 恒成立，则实数 a 的取值范围是 pq
B．[15， ) C．（，6）（非选择题共 90 分） D．（，6 ]

辽宁省凌源二中2018届高考三模数学(理)试题(解析版)

辽宁省凌源二中2018届高考三模试卷高三数学考试卷(理科)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：化简集合，根据补集的定义可得结果.详解：由已知，，故选B.点睛：本题主要一元二次不等式的解法以及集合的补集运算，意在考查运算求解能力.2. 已知复数,则它的实部与虚部之和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用复数乘方的运算法则化简复数，根据复数实部与虚部的定义求解即可.详解：，所以复数的实部为，虚部为，，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 如图,在正六边形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据正六边形的性质，利用三角形面积公式求出阴影部分的面积，利用几何概型概率公式求解即可. 详解：设正六边形的边长为，可知，所以正六边形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是，故选C.4. 已知点,是函数的图象上的两个点,若将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则函数的图象的一条对称轴的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由,是函数的图象上的两个点，可求得与，根据函数图象变换规律可得，根据正弦函数的性质可得结果.详解：，，由，得，，又，由可得是一条对称轴方程，故选A.点睛：本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.5. 设数列设数列的前项和为,如果,则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由可得，两式相减可化为，从第二项起构成公比为的等比数列，结合等比数列求和公式可得结果.详解：，①，而当时，，②两式相减得，从第二项起构成公比为的等比数列，，故选C.点睛：本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.6. 《孙子算经》中有一道题:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳度之,不足一尺，木长几何?”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条,绳子剩余4.5尺;将绳子对折再量木条,木条剩余1尺,问木条长多少尺?"解决本题的程序框图如图所示,则输出的=（）A. 4.5B. 5C. 6D. 6.5【答案】D【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.详解：；；；；，输出，故选D.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7. 如图为一个半圆柱.是等腰直角三角形,是线段的中点，,该半圆柱的体积为,则异面直线与所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：因为，所以异面直线与所成的角为，利用半圆柱的体积为,求出底面半径，利用直角三角形的性质可得结果.详解：设上底半圆的半径为，由，得，，，因为，所以异面直线与所成的角为，，即异面直线与所成角的正弦值为，故选B.点睛：本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到，异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.8. 大学生小徐、小杨、小蔡通过招聘会被教育局录取并分配到一中、二中、三中去任教,这三所学校每所学校分配一名老师,具体谁被分配到哪所学校还不清楚.他们三人任教的学科是语文、数学、英语,且每个学科一名老师,现知道:(1)小徐没有被分配到一中;(2)小杨没有被分配到二中;(3)教英语的没有被分配到三中;(4)教语文的被分配到一中;(5)教语文的不是小杨.据此判断到三中任教的人和所任教的学科分别是A. 小徐语文B. 小蔡数学C. 小杨数学D. 小蔡语文【答案】C【解析】分析：逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.详解：小徐没有被分配到一中,教语文的被分配到一中，小杨不任教语文，所以只有小蔡被分配到一中任教语文，小杨没有被分配到二中，也没有被分配到一中，所以只能被分配到三中，且任教数学，所以只能小徐被分配到二中，且任教英语，故选C.点睛：本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由一个直四棱柱挖去一个直三棱柱，根据三视图中的数据，可求得该几何体的表面积.详解：由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由一个直四棱柱挖去一个直三棱柱，该几何体的形状如图所示，于是，，，，所以表面积，故选A.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点. 观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10. 在直角坐标系中,已知三点,为坐标原点,若向量与在向量方向上的投影相等,且,则=( )A. 6B. -6C. -5D. 5【答案】D【解析】分析：由向量与在向量方向的投影相等，可得，，再利用,可得，两式联立可得结果.详解：向量与在向量方向的投影相等，，，即，①又，，得，②②-①得，故选D.点睛：本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.11. 已知椭圆.作倾斜角为的直线交椭圆于两点,线段的中点为为坐标原点,若直线的斜率为,则=A. 1B.C.D.【答案】B【解析】分析：首先设出点A,B的坐标，然后结合点差法计算b的值即可.详解：设,,则，两式作差得.因为,所以.即.由,解得,即.本题选择B选项.点睛：本题主要考查点差法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12. 已知函数,曲线上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线都与直线平行,则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：，问题转化为由两个不同的根，利用导数研究函数的单调性，结合单调性可得结果.详解：，令，得，设，则，所以在上单调递减，在上单调递增，，当，有两根不同的解，与的图象有两个不同的交点，，解得，实数的取值范围是，故选A.点睛：本题考查导数与切线的几何意义，考查转化与回归、函数与方程的数学思想以及运算求解能力和推理论证能力，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在的展开式中,含项的系数是__________．【答案】-12.【解析】分析：求出的展开式的通项为，令可得结果.详解：的展开式的通项为，令可得，，含项的系数是，故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14. 设实数满足约束条件,则的最大值为__________．【答案】11.【解析】分析：作出可行域，变变形为，，平移直线，由图可知当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，将点代入，即可得结果.详解：作出约束条件表示的可行域，由可得，变变形为，，平移直线，由图可知当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，将点代入，可得取得最大值，故答案为.15. 设数列满足，则=__________．【答案】.【解析】分析：由，可得，利用“裂项相消法”求解即可.详解：，，，故答案为.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.16. 设,分别是双曲线的左、右焦点,为过焦点的弦(在双曲线的同一支上),且.若.则双曲线的离心率为__________．【答案】2.【解析】分析：由，利用双曲线定义可得，结合，即可得结果.详解：，又因为，由此可得，，故答案为.点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角的对边分别为,且.(1)求;(2)若,线段的垂直平分线交于点,求的长.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）由，根据正弦定理可得.由余弦定理得，从而可得结果；（2）由（1）知根据余弦定理可得，由正弦定理可得，从而，利用直角三角形的性质可得结果.详解：（1）因为.所以.由余弦定理得.又，所以.（2）由（1）知根据余弦定理可得.所以.由下弦定理得，即.解得，从而.设的中垂直交于于点.因为在中，,所以.因为为线段的中垂线.所以.点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18. 某大型高端制造公司为响应(中国制造2025)中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据:研发费用（百万元）产品销量（万台）（1）根据数据可知与之间存在线性相关关系.(i)求出关于的线性回归方程(系数精确到0.001);(ii)若2018年6月份研发投人为25百万元，根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量;(2)为庆祝该公司9月份成立30周年,特制定以下奖励制度:以(单位:万台)表示日销量，,则每位员工每日奖励200元;,则每位员工每日奖励300元;,则每位员工每日奖励400元.现已知该公司9月份日销量(万台)服从正态分布,请你计算每位员工当月(按30天计算)获得奖励金额总数大约多少元参考数据:.参考公式:对于一组数据.其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为若随机变量服从正态分布,则.【答案】(1) （i) ;（ii）.(2) .【解析】分析：（1）（i)根据平均数公式可求出与的值，从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得关于的回归方程；（ii）将代入所求回归方程，即可的结果；（2）由题知9月份日销量（万台)服从正态分布，则，根据正态曲线的对称性求出各区间上的概率，进而可得结果.详解：（1）（i)因为所以，所以关于的线性回归方程为（ii）当时，（万台）（注：若，当时，（万台）第（1）小问共得5分，即扣1分）（2）由题知9月份日销量（万台)服从正态分布.则.日销量的概率为.日销量的概率为.日销量的概率为.所以每位员工当月的奖励金额总数为元点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19. 如图、在三棱柱中,四边形是矩形..平面⊥平面.(1)证明:;(2)若,求二面角余弦值.【答案】(1)见解析.(2) .【解析】分析：(1)先证明四边形是平行四边形，再证明，从而可得四边形是菱形,进而可得；（2）以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量垂直数量积为零，列方程组求出平面的法向量，结合平面的法向量为，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：(1)证明:在三棱柱中,，.又.平面.设与相交于点,与相交于点,连接，四边形与均是平行四边形，,平面，，，是平面与平面所成其中一个二面角的平面角.又平面平面,四边形是菱形,从而.(2)解:由(1)及题设可知四边形是菱形,，.以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,,,，，.设平面的法向量，即令,可得.又由(1)可知平面,可取平面的法向量为，。

辽宁省凌源市实验中学、凌源二中2018届高三12月联考数学理试卷含Word版含解析

2. 已知为虚数单位，若复数，则（）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】，所以，故选C。

4. 等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C。

6. 将函数（）的图象向左平移个单位长度后得到函数图象的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，故选A。

7. 执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的值为（）A. B. 或 C. D.【答案】C【解析】当时，，则；当时，，无解，所以，故选C。

8. 已知双曲线：（，）的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，即，故选A。

2018届东北三省四市高三高考第一次模拟考试数学(理)试题

2018届东北三省四市高三高考第一次模拟考试数学(理)试题2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷数学（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|||1A x x =<，{}|(3)0B x x x =-<，则A B =（）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,3)-D ．(1,3)2.若复数11iz ai +=+为纯虚数，则实数a 的值为（）A ．1B ．0C ．12- D ．1-3.中国有个名句“运城帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示）表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，以此类推，例如3266用算筹表示就是≡||⊥T ，则8771用算筹可表示为（）8.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A=+，2b =，ABC ∆面积的最大值是（）A ．1B 3C ．2D ．49.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角B AD C --，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（） A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π10.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移a 个单位得到函数()cos(2)4g x x π=+的图象，则a 的值可以为（）A ．512πB ．712πC ．924π1D ．4124π11.已知焦点在x 轴上的双曲线222211x y m m -=-的左右两个焦点分别为1F 和2F ，其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（） A 5B ．72C ．2D ．312.若直线10kx y k --+=（k R ∈）和曲线:E 3253y ax bx =++（0ab ≠）的图象交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y （123x xx <<）三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行，则过点(,)b a 可作曲线E的（）条切线A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数x ，y 满足约束条件0,40,5,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩则25z x y =++的最大值为．14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为2.1161.13y x =-+，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为．（最后结果精确到整数位）15.已知函数()f x 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，当(1)2f =时，(2018)(2019)f f +的值为．16.已知腰长为2的等腰直角ABC ∆中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若||2PC =，则()()PA PB PC PM ⋅⋅⋅的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列{}na 的前n 项和为nS ，且21nSn n =-+，正项等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且22b a =，45b a =．（1）求{}na 和{}nb 的通项公式；（2）数列{}nc 中，11c a =，且1nn ncc T +=-，求{}nc 的通项nc ．18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，1==．PA AB（1）证明：//EF平面DCP；（2）求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值．20.在平面直角坐标系中，椭圆C：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，点3(1,)2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．21.已知函数2()45xaf x xx e =-+-（a R ∈）．（1）若()f x 为在R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；（2）设()()xg x ef x =，当1m ≥时，若12()()2()g x g x g m +=（其中1x m <，2x m>），求证：122x xm+<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：cos 3ρθ=，曲线2C ：4cos ρθ=（02πθ≤<）．（1）求1C 与2C 交点的极坐标；（2）设点Q 在2C 上，23OQ QP =，求动点P 的极坐标方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x x m =+++，m R ∈．（1）当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集；（2）对于(,0)x ∀∈-∞都有2()f x x x≥+恒成立，求实数m 的取值范围．2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）数学答案一、选择题1-5:CDCDD 6-10:BABCC 11、12：BC二、填空题13.14 14.38 15.72- 16.32242-三、解答题17.解：（1）∵21nSn n =-+，∴令1n =，11a=，12(1)n n n a S S n -=-=-，(2)n ≥，经检验11a =不能与na （2n ≥）时合并， ∴1,1,2(1), 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩又∵数列{}nb 为等比数列，222b a ==，458ba ==，∴2424bq b==，∴2q =，∴11b =，∴12n nb-=．（2）122112nn n T -==--，∵12121cc -=-，23221cc -=-，…，1121n nn cc ---=-，以上各式相加得112(12)(1)12n n c c n ---=---，111c a ==，∴121n nc n -=--， ∴21n nc=-．18.解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=，得0.035a =，平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁；设中位数为x ，则100.010100.015(35)0.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=，∴42.1x ≈岁．（2）第1,2组抽取的人数分别为2人，3人．设第2组中恰好抽取2人的事件为A ，则1223353()5C C P A C ==．（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注环境治理和保护问题的概率为45P =，X的所有可能取值为0，1,2,3，∴03341(0)(1)5125P X C ==-=，11234412(1)()(1)55125P X C ==-=，2234448(2)()(1)55125P X C ==-=，333464(3)()5125P X C ===，所以X 的分布列为：X0 123P 1125 121254812564125∵4~(3,)5X B ， ∴412()355E X =⨯=． 19.解：（1）取PC 中点M ，连接DM ，MF ， ∵M ，F 分别是PC ，PB 中点，∴//MF CB ，12MF CB =， ∵E 为DA 中点，ABCD 为矩形，∴//DE CB ，12DE CB =， ∴//MF DE ，MF DE =，∴四边形DEFM 为平行四边形， ∴//EF DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， ∴//EF 平面PDC ．（2）∵PA ⊥平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，∴AD ，AB ，AP两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(1,0,0)P ，(0,0,1)D ，(0,1,1)C ，1(0,0,)2E ，11(,,0)22F ，设平面EFC 法向量1(,,)n x y z =，111(,,)222EF =-，11(,,1)22FC =-，则110,0,EF n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,110,22x y z x y z +-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取1(3,1,2)n =-，设平面PDC 法向量为2(,,)n x y z =，(1,0,1)PD =-，(1,1,1)PC =-，则220,0,PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩取2(1,0,1)n =， 12121257cos ,||||142n n n n n n ⋅<>===⋅⨯所以平面EFC 与平面PDC 5720.解：（1）∵12c a =，∴2a c =，椭圆的方程为2222143x y c c+=，将3(1,)2代入得22191412cc +=，∴21c =，∴椭圆的方程为22143x y +=．（2）设l 的方程为1x my =+，联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得22(34)690my my ++-=，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，有122634m y ym -+=+，122934y ym -=+，有2222212112(1)||13434m m AB m m m ++=+=++，点P (2,0)-到直线l 的距离为21m +点(2,0)Q 到直线l 的距离为21m+从而四边形APBQ 的面积2222112(1)2412341m m S m m++=⨯=++（或121||||2S PQ y y =-）令21t m =+，1t ≥，有22431tS t =+2413t t=+，设函数1()3f t t t =+，21'()30f t t=->，所以()f t 在[1,)+∞上单调递增，有134t t +≥，故2242461313tS t t t==≤++，所以当1t =，即0m =时，四边形APBQ 面积的最大值为6． 21.解：（1）∵()f x 的定义域为x R ∈且单调递增， ∴在x R ∈上，'()240xa f x x e =-+≥恒成立，即：(42)xa x e ≥-，所以设()(42)xh x x e =-，x R ∈，∴'()(22)xh x x e =-，∴当(,1)x ∈-∞时，'()0h x >，∴()h x 在(,1)x ∈-∞上为增函数， ∴当[1,)x ∈+∞时，'()0h x ≤，∴()h x 在[1,)x ∈+∞上为减函数， ∴max()(1)2h x h e ==，∵max(42)xa x e ⎡⎤≥-⎣⎦，∴2a e ≥，即[2,)a e ∈+∞．（2）∵2()()(45)xx g x ef x x x e a==-+-，∵12()()2()g x g x g m +=，[1,)m ∈+∞， ∴122221122(45)(45)2(45)2x x m xx e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+-，∴122221122(45)(45)2(45)x x mxx e x x e m m e -++-+=-+，∴设2()(45)xx xx e ϕ=-+，x R ∈，则12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴2'()(1)0xx x eϕ=-≥，∴()x ϕ在x R ∈上递增，∴设()()()F x m x m x ϕϕ=++-，(0,)x ∈+∞，∴22'()(1)(1)m xm xF x m x em x e +-=+----，∵0x >， ∴0m xm x ee +->>，22(1)(1)(22)20m x m x m x +----=-≥，∴'()0F x ≥，()F x 在(0,)x ∈+∞上递增， ∴()(0)2()F x F m ϕ>=，∴()()2()m x m x m ϕϕϕ++->，(0,)x ∈+∞，令1x m x =-，∴11()()2()m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>，即11(2)()2()m x x m ϕϕϕ-+>，又∵12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴12(2)2()()2()m x m x m ϕϕϕϕ-+->，即12(2)()m x x ϕϕ->，∵()x ϕ在x R ∈上递增， ∴122m xx ->，即122x xm+<得证．22.解：（1）联立cos 3,4cos ,ρθρθ=⎧⎨=⎩3cos 2θ=±，∵02πθ≤<，6πθ=，3ρ= ∴所求交点的极坐标(23,)6π．（2）设(,)P ρθ，0(,)Q ρθ且04cos ρθ=，0[0,)2πθ∈，由已知23OQ QP=，得02,5,ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴24cos 5ρθ=，点P 的极坐标方程为10cos ρθ=，[0,)2πθ∈．23.解：（1）当2m =-时，41,0,3()|2||23|21,0,2345,.2x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=++-=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩当413,0,x x +≤⎧⎨≥⎩解得102x ≤≤；当302x -<<，13≤恒成立；当453,3,2x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-，此不等式的解集为1|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（2）令233,0,22()()2353,,2x m x x g x f x x x x m x x ⎧--++-≤<⎪⎪=--=⎨⎪--+-≤-⎪⎩当302x -≤<时，22'()1g x x=-+，当20x -≤<时，'()0g x ≥，所以()g x 在[2,0)上单调递增，当322x -≤≤-时，'()0g x ≤，所以()g x 在3[,2)2--上单调递减，所以min()(2)g x g =-2230m =+≥，所以223m ≥-，当32x ≤-时，22'()50g x x =-+<，所以()g x 在3(,]2-∞-上单调递减，所以min335()()026g x g m =-=+≥，所以356m ≥-，综上，223m ≥-．。

辽宁省凌源市2018届高三数学三校联考试题理

辽宁省凌源市2018届高三数学三校联考试题理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2540M x x x =-+≤，{}24xN x =>，则（）A ．M N =R UB ．{}24M N x x =<<I C ．{}2M N x x =>U D ．{}24M N x x =<≤I 2．记复数z 的虚部为()Im z ，已知复数5i2i 2i 1z =--（i 为虚数单位），则()Im z 为（） A ．3- B ．2 C ．3i - D ．33．已知曲线()323f x x =在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos -=+ααααα（） A ．12 B ．35 C ．2 D ．38- 4．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A ．2363mm 10π B ．2363mm 5π C ．2726mm 5π D ．2363mm 20π5．已知圆()()22:341E x y m -++-=（m ∈R ），当m 变化时，圆E 上的点与原点O 的最短距离是双曲线2222:1x y C a b-=（00a b >>，）的离心率，则双曲线C 的渐近线为（）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．3y x =±6．已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则46tan 3a a ⎛⎫⋅=⎪⎝⎭π（）A ．．3-．7．执行如图的程序框图，若输出的S 的值为10-，则①中应填（）A ．18?n ≥B ．19?n ≥C ．20?n ≥D ．19?n < 8．已知函数()f x 为R 内的奇函数，且当0x ≥时，()e 1cos xf x m x =-++，记()22a f =--，()1b f =--，()33c f =，则,,a b c 间的大小关系是（）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<9．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A ．23+πB ．12+π C ．26+π D ．23+π 10．已知函数()()2sin f x x =+ωϕ（0,,2⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦πωϕπ）的部分图象如图所示，其中52MN =.即命题()5:2sin 36p f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ，命题q ：将()f x 的图象向右平移6π个单位，得到函数22sin 33y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππ的图象.则以下判断正确的是（）A ．p q ∧为真B ．p q ∨为假C ．()p q ∧⌝为真D ．()p q ⌝∨为真11．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为（） A．7112+．9 C．8312．912．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，263n n n S a a =+，*n ∈N ，()()122121n n n a n a ab +=--，若*n ∀∈N ，n k T >恒成立，则k 的最小值是（） A ．17 B ．49 C ．149 D ．8441第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知在ABC ∆中，BC AB CB =-uu u r uu u r uu r，()1,2AB =uu u r ，若边AB 的中点D 的坐标为()3,1，点C 的坐标为(),2t ，则t = ．14．在812x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的为p ，32127x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含2x -项的为q ，则p q +的最大值为．15．已知,x y 满足3,,60,x y t x y +≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩π其中2t >π，若()sin x y +的最大值与最小值分别为1，12，则实数t 的取值范围为．16．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bi ē n ào ）.已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量()sin ,cos u x x =r ，()6sin cos ,7sin 2cos v x x x x =+-r ，设函数()f x u v =⋅r r .将函数()f x 的图象向右平移24π个单位，得到函数()g x 的图象. （1）若,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ，求函数()g x 的值域；（2）已知,,a b c 分别为ABC ∆中角,,A B C 的对边，且满足()2g A =，0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π，a =2b =，求ABC ∆的面积.18．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中CD AB ∥，BC AB ⊥，侧面ABE ⊥平面ABCD ，且AB AE BE ===222BC CD ==，动点F 在棱AE 上，且EF FA =λ.（1）试探究λ的值，使CE ∥平面BDF ，并给予证明；（2）当1=λ时，求直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值.19．如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在A 市的普及情况，A 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为点12,F F ，其离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点1F 的直线1l 与椭圆C 交于,M N 两点，过点2F 的直线2l 与椭圆C 交于,P Q 两点，且12l l ∥，证明：四边形MNPQ 不可能是菱形.21．已知函数()()e 1xf x a x b =-+-（,a b ∈R ），其中e 为自然对数的底数.（1）讨论函数()f x 的单调性及极值；（2）若不等式()0f x ≥在x ∈R 内恒成立，求证：()1324b a +<. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos ,sin x t y =⎧⎨=⎩αα（0t >，α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标sin 34⎛⎫+= ⎪⎝⎭πθ. （1）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值；（2）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t+≥+. 理数参考答案及评分细则一、选择题1-5:DABAC 6-10:BBCDC 11、12：DC 二、填空题13．1 14．- 15．57,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ 16．24-π 三、解答题17．解：（1）由题意，得()f x u v =⋅r r()sin 6sin cos x x x =++()cos 7sin 2cos x x x -226sin 2cos 8sin cos x x x x =-+ 4sin 24cos 22x x =-+224x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π.所以()22244g x x ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππ223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π.因为,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ，所以22,363x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦πππ，所以1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π，所以()2,2g x ⎡⎤∈-⎣⎦，所以函数()g x 的值域为2,2⎡⎤-⎣⎦.（2）因为()2g A =，所以sin 23A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π. 因为0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π，所以22,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭πππ. 所以233A -=ππ，解得3A =π.所以1cos 2A =.又222cos 2b c a A bc+-=，且a =，2b =，所以4c =.所以ABC ∆的面积1sin 2ABC S bc A ∆==18．解：（1）当12=λ时，CE ∥平面BDF . 证明如下：连接AC 交BD 于点G ，连接GF . ∵CD AB ∥，2AB CD =，∴12CG CD GA AB ==. ∵12EF FA =，∴12EF CG FA GA ==. ∴GF CE ∥.又∵CE ⊄平面BDF ，GF ⊂平面BDF ， ∴CE ∥平面BDF .（2）取AB 的中点O ，连接EO . 则EO AB ⊥.∵平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE I 平面ABCD AB =，且EO AB ⊥， ∴EO ⊥平面ABCD .∵BO CD ∥，且1BO CD ==，∴四边形BODC 为平行四边形，∴BC DO ∥. 又∵BC AB ⊥，∴AB OD ⊥.由,,OA OD OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则()0,0,0O ，()0,1,0A ，()0,1,0B -，()1,0,0D ，()1,1,0C -，(E .当1=λ时，有EF FA =uu u r uu r，∴可得10,2F ⎛ ⎝⎭.∴()1,1,0BD =uu u r，(CE =-uur，30,2BF ⎛= ⎝⎭uu u r .设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =r，则有0,0,n BD n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu u r即0,30,2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令z =1y =-，1x =，即(1,n =-r.设CE 与平面BDF 所成的角为θ，则sin cos ,CE n ==θuu rr 15=.∴当1=λ时，直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值为15. 19．解：（1）由列联表可知2K 的观测值()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++()220050405060 2.020 2.07211090100100⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关. （2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有6053100⨯=（人），偶尔或不用网络外卖的有4052100⨯=（人）. 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为2133233355710C C C P C C =+=. ②由22⨯列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为1101120020=，将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120. 由题意得1110,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，所以()111110202E X =⨯=； ()1199910202040D X =⨯⨯=.20．解：（1）由已知，得12c a =，b =又222c a b =-，故解得24a =，23b =，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）由（1），知()11,0F -，如图，易知直线MN 不能平行于x 轴，所以令直线MN 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程2234120,1,x y x my ⎧+-=⎨=-⎩得()2234690m y my +--=，所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+.此时MN =同理，令直线PQ 的方程为1x my =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，此时342634m y y m -+=+，342934y y m -=+，此时PQ =故MN PQ =.所以四边形MNPQ 是平行四边形.若MNPQ Y 是菱形，则OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=u u u r u u u r，于是有12120x x y y +=. 又()()121211x x my my =--()212121m y y m y y =-++，所以有()()21212110m y y m y y +-++=，整理得到22125034m m --=+，即21250m +=，上述关于m 的方程显然没有实数解，故四边形MNPQ 不可能是菱形.21．解：（1）由题意得()()e 1x f x a '=-+.当10a +≤，即1a ≤-时，()0f x '>，()f x 在R 内单调递增，没有极值.当10a +>，即1a >-时，令()0f x '=，得()ln 1x a =+，当()ln 1x a <+时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()ln 1x a >+时，()0f x '>，()f x 单调递增，故当()ln 1x a =+时，()f x 取得极小值()()ln 11f a a b +=+--()()1ln 1a a ++，无极大值.综上所述，当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，没有极值；当1a >-时，()f x 在区间()(),ln 1a -∞+内单调递减，在区间()()ln 1,a ++∞内单调递增，()f x 的极小值为()()a 1b 1ln 1a a +--++，无极大值.（2）当1a =-时，()13024b a +=<成立. 当1a <-时，由（1），知()f x 在R 内单调递增，令c 为1-和11b a-+中较小的数，所以1c ≤-，且11b c a -≤+，则1e e c -≤，()()11a c b -+≤--+. 所以()()1e 1e cf c a c b -=-+-≤()11e 10b b ----=-<，与()0f x ≥恒成立矛盾，应舍去.当1a >-时，()()()min ln 11f x f a a b =+=+--()()1ln 10a a ++≥，即()()11ln 1a a a b +-++≥，所以()()()()22111ln 1a b a a a +≤+-++. 令()()22ln 0g x x x x x =->，则()()12ln g x x x '=-.令()0g x '>，得0<令()0g x '<，得x >故()g x在区间(内单调递增，在区间)+∞内单调递减.故()max e e 2g x g ==-=，即当11a a +=⇒=时，()max e2g x =.所以()()211a b a +≤+-()()2e1ln 12a a ++≤.所以()1e24b a +≤.而e 3<，所以()1324b a +<.22．解：（1）直线l 的直角坐标方程为30x y +-=. 曲线C 上的点到直线l 的距离d ==，当sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πα时，max d ==，即曲线C 上的点到直线l（2）∵曲线C 上的所有点均在直线l 的下方， ∴对∀∈R α，有cos sin 30t +-<αα恒成立，()3-<αϕ（其中1tan t =ϕ）恒成立，3<.又0t >，∴解得0t <<∴实数t的取值范围为(0,.23．解：（1）依题意，得()3,1,12,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩于是得()1,333,x f x x ≤-⎧≤⇔⎨-≤⎩ 或11,223,x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,233,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{}11x x -≤≤.（2）()()121g x f x x x =++=-+2221223x x x +≥---=当且仅当()()21220x x -+≤时，取等号， ∴[)3,M =+∞. 原不等式等价于2331t t t -+-()()2323133t t t t t t t -+-+-==.∵t M ∈，∴30t -≥，210t +>.∴()()2310t t t -+≥.∴2313t t t +≥+.。

【高三数学试题精选】2018年高考理科数学一模考试试题(带答案)

在中，为中点，故--------------------------3分
∵平面，平面，平面；---4分
（其它证法，请参照给分）
（2）依题意知且
∴平面
∵平面，∴，------------------5分
∵为中点，∴
结合，知四边形是平行四边形
∴，----------------------------------------------------7分
∵，
∴--------------------------------11分
2018年高考理科数学一模考试试题（带答案）
5绝密★启用前
揭阳市--2分
从而，，-----------------------------------------------4分
∵，∴；--------------------------------------------------------------6分
把代入并去绝对值整理，
或者
前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的恒成立
则，解得；----------------------------------------------------------------------12分
②当直线斜率不存在时，其方程为和，---------------------------13分
而，∴∴，即-----8分
又∴平面，
∵平面，∴------------------------------------------------9分
（3）解法一如图，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系
设，则
易知平面的一个法向量为，-----------10分
设平面的一个法向量为，则

辽宁省凌源市实验中学、凌源二中2018届高三12月联考数学(理)试卷

相交于不同的两点、，当
时，求的取值范围。
7.
已知函
（1）当
数时，求函数
（2）若，围．
，对任意，
，
（
）．
的单调区间；
恒成立，求实数的取值范
评卷人
得分
二、填空题（共 3 题)
8.
的展开式中的系数为__________．
9. 在直角梯形
中，
，
，
，
，梯形所在平面内一点
答案第 4页，总 7页
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 姓名：____________班级：____________学号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
辽宁省凌源市实验中学、凌源二中 2018 届高三 12 月联考数
mx_parse_5773772.png 6.【答案】： mx_answer_5773774.png 【解释】：
mx_parse_5773774.png 7.【答案】： mx_answer_5773763.png 【解释】：
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 姓名：____________班级：____________学号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
满足
，则
__________．
10. 已知首项为的数列满足
任意相邻两项的和不为 0，若为数列的前项和，则

2018高三数学(理)第一次模拟考试题(东北三省三校有答案)

2018高三数学（理）第一次模拟考试题（东北三省三校有答案）2018高三数学（理）第一次模拟考试题（东北三省三校有答案）哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学 2018年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数的模为( ) A. B. C. D. 2.已知集合，，若，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( ) A. B. C. D. 4.已知，则 ( ) A. B. C. D. 5.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为( ) A. B.2 C. D. 6. 展开式中的常数项是( ) A. B. C.8 D. 7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是( ) A. B. C.1 D.3 8.已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调增区间为( ) A.B. C. D. 9.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入，，则输出的值为( ) A.148 B.37 C.333 D.0 10.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为( ) A. B. C. D. 11.已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，若以为直径的圆与轴相切，则的值是( ) A. B. C. D. 12.在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在中，，，，则 ______________.14.若满足约束条件，则的最大值为______________. 15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科、、，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教学科；③在长春工作的教师教学科；④乙不教学科. 可以判断乙教的学科是______________. 16.已知函数，是函数的极值点，给出以下几个命题：① ；② ；③ ；④ ；其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号) 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知正项数列满足：，其中为数列的前项和.(1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和 . 18.某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间，需求量为100台；最低气温位于区间，需求量为200台；最低气温位于区间，需求量为300台。

辽宁省凌源市高三数学三校联考试题理

.
由题意得
，
所以
；
.
20．解：（ 1）由已知，得
，
，
又故解得
，
，
，
所以椭圆的标准方程为
.
（ 2）由（ 1），知
，如图，
- 9 - / 14
易知直线
不能平行于轴，
所以令直线
的方程为
，
，
，
联立方程
得
，
所以
，
.
此时同理，令直线
的方程为
. ，
，
，
此时
，
，
此时
，
故
.
所以四边形
是平行四边形 .
若
是菱形，则
②将频率视为概率，从
市所有参与调查的网民中随机抽取 10 人赠送礼品，记其中经常使
用网络外卖的人数为
，求的数学期望和方差 .
参考公式：
，其中
.
参考数据：
20．已知椭圆
（
）的左、右焦点分别为点
，其离心率为，
短轴长为
.
（ 1）求椭圆的标准方程；
（ 2）过点的直线与椭圆交于
两点，过点的直线与椭圆交于
（
，为参数） . 以
坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线
的极坐
- 5 - / 14
标方程为
.
（ 1）当
时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；
（ 2）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围 .
23．选修 4-5 ：不等式选讲
已知函数
.
（ 1）解不等式
，即
，

辽宁凌源市2018届高三毕业班一模抽考数学(理)试题含答案

凌源市教育局高三“抽考”数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）{}21012A =--，，，，()(){}130B x x x =-+<A B = A ． B ． C ． D ．{}21,0--，{}0,1{}1,01-，{}0,1,22.已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为（）21i z i=+i z A ． B ． C ． D ．1i -+1i --1i +1i-3.下列说法正确的是（）A ．若命题，，则，0:p x R ∃∈20010x x -+<:p x R ⌝∀∉210x x -+≥B ．已知相关变量满足回归方程，若变量增加一个单位，则平均增加(),x y24y x =-x y 个单位4C ．命题“若圆与两坐标轴都有公共点，则实数”为()()22:11C x m y m -++-=[]0,1m ∈真命题D ．已知随机变量，若，则()22X N σ ，()0.32P X a <=()40.68P X a >-= 4.如图，在边长为的正方形中，是的中点，过，，三点的抛物线2ABCD M AB C M D 与围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（）CDA ．B ． C. D ．161312235.已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（）cmA ．B ． C. D ．33cm 35cm 34cm 36cm 6.已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（）{}n a n n S 48102a a a =3S A ． B ． C. D.23467.20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数，按照n以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成；如果是个偶数，则下一步n 31n +n 变成，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准2n 确地说是落入底部的4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的值为，则输入的值为（）i 6n A ． B ． C.或 D ．或或51653245328.在的二项展开式中，若第四项的系数为，则（）)12nx --7-n =A ． B ． C. D ．98769.已知等差数列的前项和为，且，则的值为（）{}n a n n S 8430S S =-≠412S S A ． B ． C. D ．13-112-1121310.将函数的图象向左平移个单位长度，所()22sin cos f x x x x =--()0t t >得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（）tA ．B ． C. D ．23π3π2π6π11.如图，过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，交其准线于()220y px p =>F A B l 点，若，且，则此抛物线方程为（）C 2BC BF =3AF =A ． B ． C. D ．29y x=26y x =23y x =2y =12.已知函数，设关于的方程有个()()23x f x x e =-x ()()()22120f x mf x m R e--=∈n 不同的实数解，则的所有可能的值为（）n A ． B ．或 C.或 D ．或或31346346第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，，若，则实数．()1,1a =- (),1b t = ()()//a b a b +- t =14.设实数，满足不等式组则的最大值为．x y 70,310,350,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩2z x y =-15.已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 (1,2y x =．16.已知等腰直角的斜边，沿斜边的高线将折起，使二面角ABC △2BC =AD ADC △的大小为，则四面体的外接球的表面积为．B ADC --3πABCD 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且有ABC △A B C a b c.cos cos cos 0a B b A C +=（1）求角的大小；C （2）当时，求的最大值.2c =ABC S △18. 某调查机构随机调查了岁到岁之间的位网上购物者的年龄分布情况，并将所2070600得数据按照，，，，分成组，绘制成频率分布[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,705直方图（如图）.（1）求频率分布直方图中实数的值及这位网上购物者中年龄在内的人数；m 600[)40,60（2）现采用分层抽样的方法从参与调查的位网上购物者中随机抽取人，再从这人6001010中任选人，设这人中年龄在内的人数为，求的分布列和数学期望.22[)30,40X X19. 如图，菱形与四边形相交于，，平面，ABCD BDEF BD 120ABC ∠= BF ⊥ABCD ，，，为的中点，.//DE BF 2BF DE =AF FC ⊥M CF AC BD G =（1）求证：平面；//GM C D E （2）求直线与平面成角的正弦值.AM ACE20. 已知椭圆的两个焦点为，，离心率.E ()110F -，()210F ，e =（1）求椭圆的方程；E （2）设直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交轴():0l y x m m =+≠E A B AB x 于点，当变化时，求面积的最大值.T m TAB △21. 已知函数（是常数）.()21ax f x x e -=-a （1）求函数的单调区间；()y f x =（2）当时，函数有零点，求的取值范围.()0,16x ∈()f x a 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在极坐标系xOy C ,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩θ（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）xOy O x中，直线.l sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；C l （2）设是曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值.P C P l 23.选修4-5：不等式选讲已知函数.()21f x x =-（1）求不等式的解集；()1f x ≤A （2）当时，证明：.,m n A ∈1m n mn +≤+试卷答案一、选择题1-5:ADCDB 6-10:DCBBD 11、12：CA二、填空题13. 14. 15. 16.1-82214y x -=73π三、解答题17.解：（1）因为，cos cos cos 0a B b A C +=由正弦定理，得，sin cos sin cos cos 0A B B A C C +=即，即.()sin cos 0A B C C +=sin cos 0C C C -=因为在中，，ABC △0C π<<所以，所以，解得.sin 0C≠cos C =4C π=（2）由余弦定理，得，222222cos c a b ab C a b =+-=+-即，(224=2a b ab +-≥-故，当且仅当时，取等号.(22ab ≤=a b ==所以，(11sin 22122ABC S ab C =≤⨯+=+△即的最大值为ABC S △118.解：（1）由频率分布直方图，可得，得()0.0300.0260.0140.012101m ++++⨯=.0.018m =则这位网上购物者中年龄在内的频率为，600[)40,60()0.0180.01410=0.32+⨯故这位网上购物者中年龄在内的人数为.600[)40,606000.32=192⨯（2）由频率分布直方图可知，年龄在内的人数与其他年龄段的总人数比为[)30,40，0.03010310.030107⨯=-⨯由分层抽样的知识知，抽出的人中年龄在内的人数为，其他年龄段的总人数为10[)30,403.7所以的可能取值为，，.X 012，，()023********C C P X C ===()11372107115C C P X C ===()20372101215C C P X C ===所以的分布列为X X 012P715715115故的数学期望.X ()77130121515155E X =⨯+⨯+⨯=19.（1）证明：取的中点，连接，.BC N GN MN 因为为菱形对角线的交点，所以为中点.G G AC 又为中点，所以，又平面，平面，所以N BC //GN CD GN ⊄CDE CD ⊂CDE 平面.//GN CDE 又因为，分别为，的中点.M N FC BC 所以，又因为，所以，平面，平面//MN FB //DE BF //DE MN MN ⊄CDE DE ⊂，所以平面，又，平面，，所以平面CDE //MN CDE MN GN ⊂MNG MN GN N = 平面.//GMN CDE 又平面，所以平面.GM ⊂GMN //GM CDE （2）解：连接.GF 设菱形的边长，则由，得，2AB =120ABC ∠= 1GB GD ==GA GC ==又因为，所以AF FC⊥FG GA ==则在直角中，，所以.GBF △BF =DE =由平面，，得平面.BF ⊥ABCD //DE BF DE ⊥ABCD 以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，过点与平面垂直的G GA GD x y G ABCD直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，z G xyz -()0,0,0G )0A ，01E ⎛ ⎝，，(0F -12M ⎛- ⎝则，.)0GA = ，01GE ⎛= ⎝ 设为平面的一个法向量，(),,m x y z = ACE则即.0,0,m GA m GE ⎧=⎪⎨=⎪⎩00y z =⎨=⎪⎩令，得，所以.z =1y =-(0,m =- 又，12AM ⎛=- ⎝ 所以.cos ,AM m AM m AM m === 设直线与平面所成角为，则.AM ACEθsin θ=所以直线与平面AM ACE 20.解：（1）由离心率，半焦距，解得e =1c=a =所以.1b ==所以椭圆的方程是.E 2212x y +=（2）解：设，，()11,A x y ()22,B x y 据得221,2x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩2234220x mx m ++-=∵直线与椭圆有两个不同的交点，l E ∴，又，所以且.()()22412220mm ∆=-->0m ≠m <<0m ≠由根与系数的关系得，1243mx x -+=212223m x x -=设线段中点为，点横坐标，，∴AB C C 12223C x x m x +==-3C C my x m =+=，2,33m m C ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴线段垂直平分线方程为，∴点坐标为，AB 233m m y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭T ,03m ⎛⎫- ⎪⎝⎭点到直线的距离T ABd 又，AB ==所以TABS =△时，三角形面积最大，且=232m =TAB ()max TAB S =△21.解：（1）当时，，函数在上单调递增，在上单调0a =()21f x x =-()0+∞，()0-∞，递减.当时，，因为，0a ≠()()()'2222ax ax ax f x xe x a e e ax x ---=+-=-+0ax e ->令，解得或.()220g x ax x =-+=0x =2x a=①当时，函数在上有，即，函数0a >()22g x ax x =-+20,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦()0g x ≥()'0fx ≥单调递增；函数在，上有，即()y f x =()22g x ax x =-+(),0-∞2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0g x <，函数单调递减；()'0f x <()y f x =②当时，函数在，上有，即，0a <()22g x ax x =-+2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,+∞()0g x >()'0f x >函数单调递增；函数在上有，即，()y f x =()22g x ax x =-+2,0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()0g x ≤()'0f x ≤函数单调递减.()y f x =综上所述，当时，函数的单调递增区间为，递减区间为；0a =()y f x =()0,+∞(),0-∞当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，；0a >()y f x =20,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(),0-∞2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当时，函数的单调递增区间为，，递减区间为.0a <()y f x =2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,+∞2,0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）①当时，由，可得，，故满足题意.0a =()210f x x =-=1x =±()10,16∈0a =②当时，函数在上单调递增，在上单调递减，0a >()y f x =20,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（i ）若，解得.()20,16a ∈18a >可知时，是增函数，时，是减函数，20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 2,16x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 由，∴在上，()010f =-<()0,16()2max 22410f x f e a a -⎛⎫==-≥ ⎪⎝⎭解得，所以；22a ee -≤≤128a e <≤（ii ）若，解得.[)216,a ∈+∞108a <≤函数在上递增，()y f x =()0,16由，则，解得.()010f =-<()161625610af e-=->1ln 22a <由，所以.11ln 228>10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦③当时，函数在上递增，，，0a <()y f x =()0,16()01f =-()161625610a f e -=->解得，1ln 22a <∴，0a <综上所述，实数的取值范围是.a 2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦22.解：（1）因为，2222cos sin 1y θθ+=+=所以曲线的普通方程为.C 2213x y +=，展开得，即，sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 3ρθρθ-=3y x -=因此直线的直角坐标方程为.l 30x y -+=（2）设，),sin Pθθ则点到直线的距离为P l d等号成立当且仅当，即时等号成立，即，sin 13πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()1126k k Z πθπ=+∈31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭因此点到直线P l 23.（1）解：由，得，即，211x -≤1211x -≤-≤1x ≤解得，所以.11x -≤≤[]11A =-，（2）证明：（证法一）()()()222222221111m n mn m n m n m n +-+=+--=---因为，所以，，，，,m n A ∈11m -≤≤11n -≤≤210m -≤210n -≤所以，，()()22110m n ---≤()221m n mn +≤+又，故.10mn +≥1m n mn +≤+（证法二）因为，故，，,m n A ∈11m -≤≤11n -≤≤而()()()1110m n mn m n +-+=--≤，()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦即，故.()11mn m n mn -+≤+≤+1m n mn +≤+。

东北三省三校2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题有答案AlUPAw

哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2018年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数21ii+的模为( ) A.12B.2C.2D.22.已知集合{}29A x y x ==-，{}B x x a =≥，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A.(],3-∞-B.(),3-∞-C.(],0-∞D.[)3,+∞3.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( ) A.14B.12C.13D.234.已知1sin 33a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos 6a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A.13B.13-C.22D.2-5.中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()2,4-，则它的离心率为( ) A.5B.2C.3D.56.()52121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是( )A.12B.12-C.8D.8-7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A.32B.92C.1D.38.已知函数()()3cos 0f x x x ωωω=+>的图象的相邻两条对称轴之间的距离是2π，则该函数的一个单调增区间为( )A.,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入8521m=，6105n=，则输出m的值为( )A.148B.37C.333D.010.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD－，该四棱锥的侧面积为43，则该半球的体积为( )A.43πB.23π82π42π11.已知抛物线2:2C y x=，直线1:2l y x b=-+与抛物线C交于A，B两点，若以AB为直径的圆与x轴相切，则b的值是( )A.15- B.25- C.45- D.85-12.在ABC△，90C=∠°，24AB BC==，,M N是边AB上的两个动点，且1MN=，则CM CN⋅u u u u r u u u r的取值范围为( )A.11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[]5,9 C.15,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.11,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC△中，2AB=，7AC=23ABCπ=∠，则BC=______________.14.若,x y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1yx+的最大值为______________.15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A 、B 、C ，已知： ①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C 学科； ③在长春工作的教师教A 学科；④乙不教B 学科. 可以判断乙教的学科是______________.16.已知函数()21ln 2f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，给出以下几个命题：①010x e <<；②01x e>；③()000f x x +<；④()000f x x +>；其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号)三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知正项数列{}n a 满足：2423n nn S a a =+-，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设211n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间[]20,10--，需求量为100台；最低气温位于区间[)25,20--，需求量为200台；最低气温位于区间[)35,25--，需求量为300台。

高考最新-2018年高中毕业班数学第一次模拟考试题精品

绝密★启用前18年高中毕业班数学第一次模拟考试题数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时l20分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

[]4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{cos0,sin 270},{|0}A B x x x ==+=则AB 为A ． {0,1}-B ．{1,1}-C ．{1}-D ．{0}2．设i 为虚数单位，则()61i +展开式中的第三项为A 30 iB 15i -C 30D 15-3．,,a b c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是A.a b c >>B.b c a >>C.b a c >>D.a c b >> 4．计算机的价格大约每３年下降23，那么今年花8100元买的一台计算机，９年后的价格大约是 A. 2400元 B. 900元 C. 300元 D. 100元5．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了右边一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是A.22y x =- B.21(1)2y x =- C.2log y x = D. 1()2x y =6．两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则双曲线12222=-b y a x 的离心率为A ．53 BC ．54 D7．对a ∀、b R ∈，运算“⊕”、“⊗”定义为：a b ⊕=,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩，a b ⊗=,().()a a b b a b ≥⎧⎨<⎩，则下列各式其中恒成立的是⑴a b a b a b =+⊗+⊕ ⑵a b a b a b =-⊗-⊕ ⑶[][]a b a b a b =⋅⊗⋅⊕ ⑷[][]a b a b a b =÷⊗÷⊕A. ⑴、⑵、⑶、⑷B. ⑴、⑵、⑶C. ⑴、⑶D.⑵、⑷8．已知：0{(,)|y x y y ≥⎧⎪Ω=⎨≤⎪⎩，直线2y mx m =+和曲线y =有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2()[,1]2P M ππ-∈，则实数m 的取值范围为[] A ．1[,1]2B．[0,3 C．,1]3D ． [0,1] 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．9．由抛物线2y x =和直线2x =所围成图形的面积为________________．10．已知点P(2,1)在圆C ：2220x y ax y b ++-+=上，点P 关于直线10x y +-=的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为、半径为． 11. 设010211()cos ,()'(),()'(),,()'()n n f x x f x f x f x f x f x f x +====,,n N *∈则2008()f x ．12．某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校文学社共有100名学生，他们参加活动的次数统计如俯视图侧视图正视图E D CBAP 右图所示．则该文学社学生参加活动的人均次数为；从文学社中任意选两名学生，他们参加活动次数不同的概率是． 13. （几何证明选讲选做题）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥于点D ，且4AD DB =，设COD θ∠=，则cos 2θ＝．14. (不等式选讲选做题) 函数y=的最大值为．15．(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，已知直线过点（1，0），且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为3π，则直线的极坐标方程为______________. 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知：向量(3,1)a =- ，(sin 2,b x =cos2)x ，函数()f x a b =⋅ （1）若()0f x =且0x π<<，求x 的值；（2）求函数()f x 的单调增区间以及函数取得最大值时，向量a 与b 的夹角． 17．（本小题满分13分）[] 已知函数3211()(1)32f x x a x ax =-++ ()a R ∈，函数()'()g x f x = (1)判断方程()0g x =的零点个数；(2)解关于x 的不等式()0g x >，并用程序框图表示你的求解过程．18．（本小题满分14分）已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点。

辽宁凌源市高三毕业班一模抽考数学(理)试题Word版含答案

凌源市教育局高三“抽考”数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21012A =--，，，，，()(){}130B x x x =-+<，则A B =（）A ．{}21,0--，B ．{}0,1C ．{}1,01-，D ．{}0,1,2 2.已知复数21iz i=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i - 3.下列说法正确的是（）A ．若命题0:p x R ∃∈，20010x x -+<，则:p x R ⌝∀∉，210x x -+≥B ．已知相关变量(),x y 满足回归方程24y x =-，若变量x 增加一个单位，则y 平均增加4个单位C ．命题“若圆()()22:11C x m y m -++-=与两坐标轴都有公共点，则实数[]0,1m ∈”为真命题D ．已知随机变量()22XN σ，，若()0.32P X a <=，则()40.68P X a >-=4.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，过C ，M ，D 三点的抛物线与CD 围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（）A ．16 B ．13 C.12 D ．235.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（）A ．33cmB ．35cm C. 34cm D ．36cm6.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若48102a a a =，则3S 的最小值为（） A ．2 B ．3 C.4 D.67.20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成31n +；如果n 是个偶数，则下一步变成2n，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为（）A ．5B ．16 C.5或32 D ．4或5或32 8.在)12nx -的二项展开式中，若第四项的系数为7-，则n =（）A ．9B ．8 C.7 D ．69.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8430S S =-≠，则412S S 的值为（） A ．13-B ．112- C.112 D ．1310.将函数()22sin cos f x x x x =-()0t t >个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（） A ．23π B ．3π C. 2π D ．6π 11.如图，过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交其准线l 于点C ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线方程为（）A ．29y x =B ．26y x = C.23y x = D．2y =12.已知函数()()23xf x x e =-，设关于x 的方程()()()22120f x mf x m R e--=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为（）A ．3B ．1或3 C.4或6 D ．3或4或6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()1,1a =-，(),1b t =，若()()//a b a b +-，则实数t = ．14.设实数x ，y 满足不等式组70,310,350,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩则2z x y =-的最大值为．15.已知双曲线经过点(1,，其一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的标准方程为．16.已知等腰直角ABC △的斜边2BC =，沿斜边的高线AD 将ADC △折起，使二面角B ADC --的大小为3π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且有cos cos cos 0a B b A C +=.（1）求角C 的大小；（2）当2c =时，求ABC S △的最大值.18. 某调查机构随机调查了20岁到70岁之间的600位网上购物者的年龄分布情况，并将所得数据按照[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[]60,70分成5组，绘制成频率分布直方图（如图）.（1）求频率分布直方图中实数m 的值及这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的人数；（2）现采用分层抽样的方法从参与调查的600位网上购物者中随机抽取10人，再从这10人中任选2人，设这2人中年龄在[)30,40内的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.19. 如图，菱形ABCD 与四边形BDEF 相交于BD ，120ABC ∠=，BF ⊥平面ABCD ，//DE BF ，2BF DE =，AF FC ⊥，M 为CF 的中点，ACBD G =.（1）求证：//GM 平面CDE ；（2）求直线AM 与平面ACE 成角的正弦值.20. 已知椭圆E 的两个焦点为()110F -，，()210F ，，离心率2e =（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线():0l y x m m =+≠与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当m 变化时，求TAB △面积的最大值. 21. 已知函数()21axf x x e-=-（a 是常数）.（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当()0,16x ∈时，函数()f x 有零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-.（1）求不等式()1f x ≤的解集A ；（2）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+.试卷答案一、选择题1-5:ADCDB 6-10:DCBBD 11、12：CA 二、填空题13.1- 14.8 15.2214y x -= 16.73π三、解答题17.解：（1）因为cos cos cos 0a B b A C +=，由正弦定理，得sin cos sin cos cos 0A B B A C C +=，即()sin cos 0A B C C +=，即sin cos 0C C C =. 因为在ABC △中，0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos 2C =，解得4C π=.（2）由余弦定理，得222222cos c a b ab C a b =+-=+，即(224=2a b ab +≥，故(22ab ≤=，当且仅当a b ==.所以(11sin 221222ABC S ab C =≤⨯⨯=+△即ABC S △的最大值为118.解：（1）由频率分布直方图，可得()0.0300.0260.0140.012101m ++++⨯=，得0.018m =.则这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的频率为()0.0180.01410=0.32+⨯，故这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的人数为6000.32=192⨯.（2）由频率分布直方图可知，年龄在[)30,40内的人数与其他年龄段的总人数比为0.03010310.030107⨯=-⨯，由分层抽样的知识知，抽出的10人中年龄在[)30,40内的人数为3，其他年龄段的总人数为7. 所以X 的可能取值为0，1，2.()023********C C P X C ===，()11372107115C C P X C ===，()20372101215C C P X C ===所以X 的分布列为故X 的数学期望()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=. 19.（1）证明：取BC 的中点N ，连接GN ，MN . 因为G 为菱形对角线的交点，所以G 为AC 中点.又N 为BC 中点，所以//GN CD ，又GN ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//GN 平面CDE .又因为M ，N 分别为FC ，BC 的中点.所以//MN FB ，又因为//DE BF ，所以//DE MN ，MN ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以//MN 平面CDE ，又MN ，GN ⊂平面MNG ，MN GN N =，所以平面//GMN 平面CDE .又GM ⊂平面GMN ，所以//GM 平面CDE . （2）解：连接GF .设菱形的边长2AB =，则由120ABC ∠=，得1GB GD ==，GA GC ==又因为AF FC ⊥，所以FG GA ==则在直角GBF △中，BF2DE =. 由BF ⊥平面ABCD ，//DE BF ，得DE ⊥平面ABCD .以G 为坐标原点，分别以GA ，GD 所在直线为x 轴，y 轴，过点G 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系G xyz -，则()0,0,0G，)0A，，01E ⎛ ⎝⎭，(0F -，，1,222M ⎛-- ⎝⎭，则()3,00GA =，，012GE ⎛= ⎝⎭，. 设(),,m x y z =为平面ACE 的一个法向量，则0,0,m GA m GE ⎧=⎪⎨=⎪⎩即002y z =⎨+=⎪⎩. 令z =1y =-，所以(0,m =-.又12AM ⎛=- ⎝⎭，所以11cos ,AM m AM m AM m+===. 设直线AM 与平面ACE 所成角为θ，则sin 10θ=. 所以直线AM 与平面ACE 20.解：（1）由离心率e =1c =，解得a =所以1b =.所以椭圆E 的方程是2212x y +=. （2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，据221,2x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2234220x mx m ++-= ∵直线l 与椭圆E 有两个不同的交点，∴()()22412220m m ∆=-->，又0m ≠，所以m <0m ≠.由根与系数的关系得1243mx x -+=，212223m x x -=设线段AB 中点为C ，点C 横坐标12223C x x m x +==-，3C C my x m =+=，∴2,33m m C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴线段AB 垂直平分线方程为233m m y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，∴点T 坐标为,03m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点T 到直线AB的距离d =，又()122AB x x =+=，所以2124823TABS m =-△=232m =时，三角形TAB 面积最大，且()max 3TAB S =△.21.解：（1）当0a =时，()21f x x =-，函数在()0+∞，上单调递增，在()0-∞，上单调递减.当0a ≠时，()()()'2222ax ax axf x xe x a e eax x ---=+-=-+，因为0ax e ->，令()220g x ax x =-+=，解得0x =或2x a=. ①当0a >时，函数()22g x ax x =-+在20,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有()0g x ≥，即()'0f x ≥，函数()y f x =单调递增；函数()22g x ax x =-+在(),0-∞，2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有()0g x <，即()'0f x <，函数()y f x =单调递减；②当0a <时，函数()22g x ax x =-+在2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，()0,+∞上有()0g x >，即()'0fx >，函数()y f x =单调递增；函数()22g x ax x =-+在2,0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有()0g x ≤，即()'0f x ≤，函数()y f x =单调递减.综上所述，当0a =时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,+∞，递减区间为(),0-∞；当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间为20,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减区间为(),0-∞，2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，函数()y f x =的单调递增区间为2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,+∞，递减区间为2,0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）①当0a =时，由()210f x x =-=，可得1x =±，()10,16∈，故0a =满足题意. ②当0a >时，函数()y f x =在20,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，（i ）若()20,16a ∈，解得18a >. 可知20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是增函数，2,16x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是减函数，由()010f =-<，∴在()0,16上()2max 22410f x f e a a-⎛⎫==-≥⎪⎝⎭，解得22a e e -≤≤，所以128a e <≤；（ii ）若[)216,a ∈+∞，解得108a <≤.函数()y f x =在()0,16上递增，由()010f =-<，则()161625610af e-=->，解得1ln 22a <.由11ln 228>，所以10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. ③当0a <时，函数()y f x =在()0,16上递增，()01f =-，()161625610af e -=->，解得1ln 22a <， ∴0a <，综上所述，实数a 的取值范围是2,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.22.解：（1）因为2222cos sin 1y θθ+=+=，所以曲线C 的普通方程为2213x y +=.sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=，因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=. （2）设),sin Pθθ，则点P 到直线l的距离为2d ==≤ 等号成立当且仅当sin 13πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()1126k k Z πθπ=+∈时等号成立，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此点P 到直线l的距离的最大值为223.（1）解：由211x -≤，得1211x -≤-≤，即1x ≤，解得11x -≤≤，所以[]11A =-，.（2）证明：（证法一）()()()222222221111m n mn m n m n m n +-+=+--=---因为,m n A ∈，所以11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，所以()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+，又10mn +≥，故1m n mn +≤+.（证法二）因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，而()()()1110m n mn m n +-+=--≤()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+.。

辽宁省凌源市高三上学期期末考试数学(理)试卷

辽宁省凌源市2018届高三上学期期末考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}23410A x x x =-+≤，{B x y ==，则 A B ⋂=（） A ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．13,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.已知实数,m n 满足()()4235m ni i i +-=+，则m n +=（）A ．95B ．115 C. 94 D ．1143.某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品的数量分别为：460,350,190.现在用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，下列说法正确的是（） A.甲抽取样品数为48 B.乙抽取样品数为35 C.丙抽取样品数为21D.三者中甲抽取的样品数最多，乙抽取的样品数最少 4.“直线230ax y --=的倾斜角大于4π”是“2a >”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O (O 为坐标圆点）被曲线3sin6y x π=分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A ．136 B ．118 C. 112 D ．196.已知正项等比数列{}n a 满足()1123452log 0a a a a a =，且618a =，则数列{}n a 的前9项和为（）A ．31732 B ．31832 C.63764 D ．638647.记[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]33,4.64==.执行如图所示的程序框图，输出i 的值是（）A ．4B ．5 C.6 D ．78.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线l 的距离为2，过点F 且倾斜角为60︒的直线与拋物线C 交于,M N 两点，若,MM l NN l ''⊥⊥，垂足分别为,M N ''，则M N F ''∆的面积为（）A D 9.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．()882π+B ．()964π+ C. ()884π+D ．()884π+10.已知直线:10l x y +-=截圆()222:0x y r r Ω+=>,M N 在圆Ω上，且直线()():12130l m x m y m '++--=过定点P ，若PM PN ⊥，则MN 的取值范围为（） A．2⎡⎣ B．2⎡+⎣C. D．11.已知函数()()2312cos sin 2sin cos cos 22f x x x x ππθθ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2πθ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭在3,86ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，且8f m π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围为（）A．⎫+∞⎪⎪⎣⎭ B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. [)1,+∞ D．⎫+∞⎪⎪⎣⎭12.已知关于x 的不等式ln 4xx x ax e +->的解集中只有两个整数，则实数a 的取值范围为（） A ．42ln 22ln 2,22e e -⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．32ln 312ln 2,32e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 32ln 312ln 2,32e e +-⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．32ln 312ln 2,32ee +-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 823x ⎛⎝的展开式中，含2x 的项的系数为．14.已知函数()2cos sin 2f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值与最大值之和为．15.已知实数,x y 满足73,313,1y x x y x y ≥-⎧⎪+≤⎨⎪≤+⎩则23412x y z -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值为．16.已知数列{}n a 满足1368n n a a n n+-=+，若1n n a a +>，则数列{}n a 的首项的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，且203S BA AC ⋅+=,4C π=. （1）求cos B 的值；（2）若16AB AC ⋅=，求b 的值.18.共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广.最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”.（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；（2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.19.已知正四棱锥S ABCD -的各条棱长都相等，且点,E F 分别是,SB SD 的中点.（1）求证:AC SB ⊥；（2）若M ∈平面AEF ，且M SC ∈，求SMSC的值.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且过点⎛- ⎝⎭.过椭圆C 右焦点且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于()()1122,,,P x y Q x y 两点，且120y y +≠. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点1Q 与点Q 关于x 轴对称，且直线1Q P 与x 轴交于点R ，求RPQ ∆面积的最大值. 21.已知函数()()2x f x x e =-. （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设()()()22,x g x f x e ax h x x =+-=，若()()()()11220g x h x g x h x -⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，对任意()12,0,x x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 4p θθ+=，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线2C 的参数方程为2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于A B 、两点，P 为曲线2C 上的动点，求PAB ∆面积的最大值. 23.选修4-5:不等式选讲已知 ()13f x x x =-++. （1）求不等式()4f x ≤的解集M ；（2）若,a b M ∈，证明：()()2223230a a b b +-+-≥.试卷答案一、选择题1-5: BABBB 6-10: CCDAD 11、12：CA 二、填空题 13.6316 14. 12- 15.16416.()7,-+∞ 三、解答题17. 解：（I )因为203S BA AC ⋅+=，得13cos 2sin 2bc A bc A =⨯,得3sin A cosA =，有3tanA =，故A 为锐角.又由()222sin 9cos 91sin A A A ==-，所以29sin 10A =. 又A 为锐角.所以 0,0sinA cosA >>,故sin A =，故cos A =. 故()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+===（2）16AB AC ⋅=，所以cos 16bc A =，得bc =. ∵0B π<<，∴sin B =. 在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin b cB C ==c =②. 联立①②，解得8b =.18.解：（1）记“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”为事件A ，则()7436762210101010101025P A =⨯+⨯+⨯=. （2）显然X 的取值为0,1,2,3,()12341210101025C C P X C C ==⨯=,()111227364412121010101019175C C C C C P X C C C C ==⨯+⨯=,()1111276436121210101010712150C C C C C P X C C C C ==⨯+⨯=,()12761210107330C C P X C C ==⨯=,故随机变量X 的分布列为X 的数学期望()11971719012325751503010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.解：（1）设AC BD O ⋂=,则O 为底面正方形ABCD 中心，连接SO , 因为S ABCD -为正四梭锥.所以SO ⊥平面ABCD ,所以SO AC ⊥. 又BD AC ⊥,且SO BD O ⋂=,所以AC ⊥平面SBD ; 因为SB ⊂平面SBD ,故AC SB ⊥.（2）作出点M 如图所示，连接AM .因为,,OA OB OS 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O xyz -.设2OA =,所以()()()()() 2,0,0,0,2,0),2,0,00,2,0),0,0,20,1,1,0(,1,,1(,D E A B C S F ---.设SMSCλ=,其中[]0,1λ∈,则()2,0,2SM SC λλλ==--, 所以()22,0,22AM AS SM λλ=+=---,设平面AEMF 的法向量为(),,n x y z =，又()()2,1,1,2,1,1AE AF =-=--，所以00n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩，所以0y =,令1,2x z ==,所以()1,0,2n = 因为AM ⊂平面AEF ，所以0n AM ⋅=，即()222220λλ--+-=.解得13λ=,所以13SM SC =.20.解：（I )依题意，22222931,4,c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得3a b c ===，故椭圆C 的方程为221123x y +=；（2）依题意，椭圆右焦点F 坐标为()3,0，设直线():30l x my m =+≠，直线l 与椭圆C 方程联立223,1,123x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简并整理得224)630(m y my ++-=，∴12122263,44m y y y y m m +=-=-++，由题设知直线1Q P 的方程为()121112y y y y x x x x +-=--，令0y =得()()()11212211221112121233y x x my y my y x y x y x x y y y y y y -++++=-==+++22643464mm m m -+=+=-+，∴点()4,0R ；故1211122RPQ S RF y y ∆=⋅-=⨯===1== (当且仅当22911m m +=+即m =时等号成立) ∴RPQ ∆的面积存在最大值，最大值为1.21. 解：（1）依题意，()()()21x x x f x e x e x e '=+-=-，令()0f x '>,解得1x >,故函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；（2）当()()110g x h x ->时，对任意的()20,x ∈+∞都有()()22 0g x h x ->；当()()110g x h x -<时，对任意的()20,x ∈+∞，都有()()22 0g x h x -<；故()()0g x h x ->对()0,x ∈+∞成立，或()() 0g x h x -<对()0,x ∈+∞恒成立. 而()()()1x g x h x x e ax -=--，设函数()()1,0,x p x e ax x =--∈+∞.则()0p x >对()0,x ∈+∞恒成立，或()0p x <对()0,x ∈+∞恒成立，()x p x e a '=-， ①当1a ≤时，∵()0,x ∈+∞，∴1x e >，∴()0p x '>恒成立，所以()p x 在()0,+∞上递增，()00p =，故()0p x >在()0,+∞上恒成立，符合题意.②当1a >时，令()0p x '=得ln x a =，令()0p x '<得 0ln x a <<，故()p x 在()0,ln a 上递减，所以()()ln 00p a p <=而()2a p a e a a =--，设函数()[)2,1,a a e a a a ϕ=--∈+∞，则()21a a e a ϕ'=--，∵()20a a e ϕ''=->⎡⎤⎣⎦恒成立，∴()a ϕ'在()1,+∞上递增，()()120a e ϕϕ''>=->恒成立， ∴()a ϕ在()1,+∞上递增，()()120a e ϕϕ>=->恒成立. 即()0p a >，而()0ln p a <不合题意.综上①②，故实数a 的取值范围为(],1-∞.22.解：（1）曲线1C 的直角坐标方程为4x y +=，曲线2C 的普通方程为()()22219x y -+-=. （2）联立圆1C 与直线2C 的方程，⎝⎭⎝⎭AB = 又()23cos ,13sin P θθ++到1C 的距离d =，当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max d =，PAB ∆面积最大值为12=. 23.解：（1）()22,1,4,31,22,3,x x f x x x x +≥⎧⎪=-<<⎨⎪--≤-⎩由()4f x ≤得31x -≤≤，∴{}31M x x =-≤≤.（2）∵,a b M ∈，∴31a -≤≤，31b -≤≤， ∴212,212a b -≤+≤-≤+≤， ∴()()2214,14a b +≤+≤，∴()2223140a a a +-=+-≤，()2223140b b b +-=+-≤， ∴()()2223230a a b b +-+-≥.。