第一章 1.4 二次函数的应用3
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新湘教版九年级下册数学目录
九年级下册
第1章二次函数
1.1 二次函数
1.2 二次函数的图像与性质
1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
1.4二次函数与一元二次方程的联系
1.5二次函数的应用
第2章圆
2.1 圆的对称性
2.2 圆心角、圆周角
2.3 垂径定理
2.4 过不共线三点作圆
2.5 直线与圆的位置关系
2.6 弧长和扇形面积
2.7 正多边形与圆
第3章投影与视图
3.1 投影
3.2直棱柱、圆锥的侧面展开图
3.3 三视图
第4章概率
4.1 随机事件与可能性
4.2 概率及其计算
4.3 用频率估计概率
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二次函数的应用
二次函数的应用一、介绍二次函数是一种特殊的函数形式，其表达式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将以实际问题为例，探讨二次函数的应用。
二、抛物线的性质二次函数的图像是一条抛物线。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其图像的性质如下：1. 凹凸性：当a>0时，图像开口向上，为凹向上的抛物线；当a<0时，图像开口向下，为凹向下的抛物线。
2. 零点：即二次函数的x轴交点。
零点的个数与抛物线与x轴的交点的个数相等。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其零点的判别式为Δ=b^2-4ac。
当Δ>0时，有两个不同实数零点；当Δ=0时，有一个实数零点；当Δ<0时，则无实数零点。
3. 对称轴：对称轴是抛物线的中轴线，过顶点且与x轴垂直。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a。
三、二次函数在实际问题中的应用二次函数的应用广泛，涵盖了许多领域。
以下将介绍二次函数在数学、物理和经济领域的应用。
1. 最值问题在数学中，二次函数常常用于解决最值问题。
最值问题是指找出一个函数在特定区间内的最大值或最小值。
以二次函数y=ax^2+bx+c为例，如何确定其最值呢？- 当a>0时，二次函数为凹向上的抛物线。
其顶点就是函数的最小值，可通过求对称轴上的点来找到。
- 当a<0时，二次函数为凹向下的抛物线。
其顶点就是函数的最大值，同样可通过求对称轴上的点来找到。
这种最值问题可以应用于优化领域，如物流中最短路径的确定、经济学中的成本最小化等。
2. 物体运动问题在物理学中，二次函数有重要的应用，特别是在描述物体运动的问题上。
抛物线图像可以表示物体的轨迹，具体应用包括：- 自由落体问题：当物体沿竖直方向自由下落时，其运动轨迹为抛物线。
通过二次函数可以计算出物体的运动轨迹、最高点和最大高度等参数。
- 抛体运动问题：当物体在水平方向斜抛时，其运动轨迹也是抛物线。
二次函数的应用
1.4 二次函数的应用（3） （巩固练习）姓名 班级第一部分1. 用配方法将函数12212+-=x x y 写成()k h x a y +-=2的形式是……………（ ） A.()11212--=x y B.()32212--=x y C.()12212--=x y D.()31212--=x y2. 下列二次函数中，经过原点的是……………………………………………………（ ） A. y =x 2－1 B. y=(x －1)2 C. y=x 2－3x +2 D. y=－(x －2)2+43. 将抛物线y=2x 2+5向右平移2个单位后，所得抛物线的解析式是………………（ ）A. (－4，－5)B. (4，－5)C. (－4，5)D. (4，5) 4.抛物线y=x 2－4x －7的顶点坐标是………………………………………（ ）A. (2，－11)B. (－2，7)C. (2，11)D. (2，－3)5. 二次函数y =－2x 2+4x －9的最高点的纵坐标是………………………………………（ ）A.7B.－7C.9D.－9 6、用配方法将抛物线y =－3x 2+6x +2化成y=a (x+m )2+k 的形式.7、将二次函数1412-+=x x y 化成()n m x a y ++=2的形式是…………………（ ） A. y =14(x +2)2－2 B. y =14(x +2)2+2 C. y =14(x －2)2－2 D. y =14(x －2)2+28、求抛物线217322y x x =--+的对称轴、顶点坐标.9、求抛物线y =12x 2－2x +2的顶点坐标，并说明它是由什么函数向什么方向平移得到？10.、已知二次函数图象的顶点是(－1，2)，且过点(0，32)． (1) 求二次函数的表达式；(2) 求证：对任意实数m ，点M (m ，－m 2)都不在这个二次函数的图象上.11、(21)(2)1y x x =-++化成()y a x m n 2=++的形式为…………（ ）A. 23252416y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭B. 2317248y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C. 2317248y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭D. 2317248y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭12、一个运动员打尔夫球，若球的飞行高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数表达式为()21301090y x =--+，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为……………（ ） A. 10m B. 20m C. 30m D. 60m参考答案第一部分1. 用配方法将函数12212+-=x x y 写成()k h x a y +-=2的形式是……………（ ） A.()11212--=x y B.()32212--=x y C.()12212--=x y D.()31212--=x y答案：C2. 下列二次函数中，经过原点的是……………………………………………………（ ） A. y =x 2－1 B. y=(x －1)2 C. y=x 2－3x +2 D. y=－(x －2)2+4答案：D3. 将抛物线y=2x 2+5向右平移2个单位后，所得抛物线的解析式是………………（ ）A. (－4，－5)B. (4，－5)C. (－4，5)D. (4，5) 答案：D4.抛物线y=x 2－4x －7的顶点坐标是………………………………………（ ）A. (2，－11)B. (－2，7)C. (2，11)D. (2，－3)答案：A5. 二次函数y =－2x 2+4x －9的最高点的纵坐标是………………………………………（ ）A.7B.－7C.9D.－9 解析：即求顶点的纵坐标. 答案：B6、用配方法将抛物线y =－3x 2+6x +2化成y=a (x+m )2+k 的形式.解：y =－3x 2+6x +2=－3(x 2－2x )+2=－3[(x －1)2－1]+2=－3(x －1)2+5.7、将二次函数1412-+=x x y 化成()n m x a y ++=2的形式是…………………（ ） A. y =14(x +2)2－2 B. y =14(x +2)2+2 C. y =14(x －2)2－2 D. y =14(x －2)2+2答案：A8、求抛物线217322y x x =--+的对称轴、顶点坐标.方法一：217322y x x =--+=12-(x 2+6x )+72 =12-[(x +3)2－9]+72= 12-(x +3)2+8，∴抛物线的对称轴是直线x =－3，顶点坐标是(－3，8).方法二：∵a =12-，b =－3，c =72，∴331222b a --=-=-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，()22174342281442ac b a ⎛⎫⨯-⨯-- ⎪-⎝⎭==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭.∴抛物线的对称轴是直线x =－3，顶点坐标是(－3，8). 9、求抛物线y =12x 2－2x +2的顶点坐标，并说明它是由什么函数向什么方向平移得到？ ∵221222b a --=-=⨯，()2214224201442ac b a ⨯⨯---==⨯，∴顶点坐标为(2，0)， y =12(x －2)2，由抛物线y =12x 2向右平移2个单位得到. 10.、已知二次函数图象的顶点是(－1，2)，且过点(0，32)． (1) 求二次函数的表达式；(2) 求证：对任意实数m ，点M (m ，－m 2)都不在这个二次函数的图象上. 解：(1) ∵顶点坐标是(－1，2)，∴设函数解析式为y=a (x+1)2+2. 把点(0，32)代入，得32=a (0+1)2+2，∴a =12-， ∴函数表达式为y=12-(x+1)2+2.(2) 若点M (m ，－m 2)都在这个二次函数的图象上，则－m 2=12-(m+1)2+2，即m 2－2m +3=0.∵b 2－4ac =(－2)2－4×1×3=－8<0，∴不存在这样的m 的值.11、(21)(2)1y x x =-++化成()y a x m n 2=++的形式为…………（ ）A. 23252416y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭B. 2317248y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C. 2317248y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭D. 2317248y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭答案：C12、一个运动员打尔夫球，若球的飞行高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数表达式为()21301090y x =--+，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为……………（ ） A. 10m B. 20m C. 30m D. 60m 解析：最大高度即为顶点纵坐标. 答案：A。
浙教版数学九年级上册_《二次函数》整章教材分析
第一章二次函数本章是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。
伽利略所发现的、通过比萨斜塔实验验证的、著名的自由落体运动公式就是二次函数刻画物体运动的最好例证，是最重要的物理学公式之一。
二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。
和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。
函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。
学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。
本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。
二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。
本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。
二次函数的经济应用
二次函数的经济应用二次函数是高中数学中的一个重要章节，其在实际生活中也有广泛的应用。
本文将以经济学领域为切入点，介绍二次函数在经济学中的应用，并探讨其对经济决策和分析的重要性。
1. 二次函数与成本函数在经济学中，成本函数是描述企业生产成本与产量之间关系的一个重要工具。
二次函数可以用来拟合成本函数，并对企业的生产过程进行分析。
假设某企业的生产成本与产量的关系可以用二次函数表示，成本函数的一般形式为：C(x) = ax^2 + bx + c，其中C表示成本，x表示产量。
通过研究二次函数的相关性质，我们可以得到企业的最低成本、最大产量、边际成本等重要信息。
这些信息对企业的经营决策至关重要，可以帮助企业制定最优的生产方案，实现成本最小化和利润最大化。
2. 二次函数与营销策略营销策略是企业提高市场竞争力的关键之一。
二次函数在营销策略中的应用主要体现在产品定价和市场需求预测上。
对于市场需求，二次函数可以用来拟合销售量与产品价格之间的关系。
通常情况下，销售量随着价格的降低而增加，但随着价格的降低到一定程度后，销售量的增加速度逐渐减缓。
基于二次函数的模型，企业可以预测不同价格下的市场需求，从而制定更合理的定价策略，平衡产品利润和市场份额。
另外，在市场竞争中，企业也可以利用二次函数来分析竞争对手的定价策略和市场需求曲线。
通过对竞争对手的分析，企业可以针对性地调整自己的营销策略，寻找竞争优势，提升市场占有率。
3. 二次函数与投资决策投资决策是企业长期发展的关键环节。
二次函数可以帮助企业分析投资回报率以及不同投资方案的风险和收益。
假设某企业考虑投资一个项目，该项目的投资额和预期收益之间的关系可以用二次函数表示。
通过对二次函数的分析，企业可以确定最优的投资额，以最大化投资回报率。
同时，二次函数还可以帮助企业分析不同投资方案的风险。
通过研究二次函数的凹凸性质，企业可以了解投资收益的波动情况，并据此制定风险管理策略，降低投资风险。
二次函数的应用(3)
东海县石梁河中学孙克浩赵州桥圣路易斯拱门玉带桥拱桥造型美，应用广，遍布全国各地。
常见的桥孔形状除半圆形、椭圆形、马蹄形外，还有抛物线形。
抛物线形桥孔的水位涨落是汛期常见的现象，水位上涨后，桥孔下的水面宽变为多少？另外，“水涨船高”，涨水后，船能否从桥下安全通过？这些都是汛期常见的现象及具有现实意义的问题。
本节课我们将探索这些问题。
没有平面直角坐标系,怎么办?怎样建立直角坐标系最简单?6 m3 m 上升1m桥孔是抛物线形,能否求出它的函数关系式?一座抛物线拱桥架在一条河流上,这座拱桥下的水面离桥孔3m 时,水面宽6m.当水位上升1m 时,水面宽多少?解:如图,以桥孔的最高点为原点,过原点的水平线为轴,过原点的铅垂线为纵轴建立直角坐标系，设桥孔抛物线对应二次函数为:y=ax2,因为当水面离桥孔顶部3米时,水面宽为6米,所以A点的坐标为(3,-3),代入y=ax2得:-3=a×32解得a＝-,所以桥孔对应的函数关系式为：y=-x2．把y=2代入y=-x2解得x=±(负值舍去）．所以ＣＤ＝２≈4.9.答：水位上长１米时，桥下水面宽为4.9米．一艘装满防汛器材的船，在上面问题所说的河流中航行，露出水面的部分高为0.5m 、宽为4m.当水位上升１米时，这艘船能从桥下通过吗？怎样进行计算呢?满足什么条件时, 船才能从桥下通过?宽和高须同时满足,即宽要比4大,高要比0.5大 4 m 0.5m 方法一:取宽比高解:如图,由题意可知GE=GF,即x=2将x=2代入y=-x 2可得:y=-×22≈－1.333所以高为：2-1.333 =0.667而0.667＞0.5所以这这艘船能从桥下通过．ＥＦＧＯＨ方法二：取高比宽解：如图，由题意可知OG=2-0.5=1.5 即y=－1.5将y=－1.5代入y=-x 2可得:－1.5=-x 2,可以求出x≈2.121,所以宽为:EF=2×2.121=4.242，而4.242 ＞4所以这这艘船能从桥下通过．33-3对于上面的问题,你还能建立不同的直角坐标系吗?(-3,3)-6如图:可设y=ax 2+k,可求得:y=-x 2+3．(3,3)6如图:可设y=a(x+m)2+k,可求得:y=-(x-3)2+3．如图:可设y=a(x+m)2+k,可求得:y=-(x+3)2+3．你能用平移的观点说说它们与y=-x 2图象之间的关系吗?你还有什么发现闻名中外的赵州桥是我国隋朝工匠发明并建造的一座扁平抛物线形石拱桥,石拱跨径37.02米,拱高7.23米,试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线桥拱对应的二次函数关系式.A(-18.5,-7.23)解:由题意可知,点A(-18.5,-7.23)在函数图象上,由,-7.23= (-18.5)2a,得a≈-0.021.所以该桥孔对应的二次函数关系式为:y=-0.021x 2.你还能用不同的方法求解吗?y xo这节课你有哪些收获1.通过建立适当的坐标系求函数关系式.实际问题数学问题转化解决,应用2.。
1.4二次函数的应用(3)
1.求出下列二次函数和坐标轴的交点坐标： y=2x² -4x+8
y (0,c)
2.对于二次函数y=ax2+bx+c，请回 答下列问题： 如何求函数的图象与坐标轴的交 点的坐标？
x o
2.对于二次函数y=ax2+bx+c，请回答下列问题： (1)如何求函数的图象与坐标轴的交点的坐标？ ①图象与y轴的坐标： 设 x=0，得 y=c. ∴图象与y轴的交点的坐标是(0,c). ②图象与x轴的交点的坐标： 设y=0，得 0=ax2+bx+c. 解这个一元二次方程 (ⅰ).设b2-4ac＞0，得
o
B
练习：如图,足球场上守门员甲在点O处开出一高球,球从离地1m的点A(A在y 轴上)处飞出,运动员乙在距O点6m的B点处发现足球在自己的正上方达到最高 点M,距地面约4m高,足球落地后又一次弹起.已知足球在草坪上弹起后的抛物 线与原来的抛物线形状相同,但最大高度减少到原来的最大高度的一半. (1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的函数解析式； (2)足球第一次落地点C距离守门员多少m(取 3 = 7 )? 4 (3)运动员乙如果要抢到第二个落地点D,他应该再向前跑多少m( 6 = 5 )?
x1,2
b b -b ± b2 - 4ac = = - . ∴图象与x轴的交点坐标是( - ,0). 2a 2a 2a
例1 利用二次函数的图象求方程x2+x-1=0的根的近似 值. 画出抛物线y=x2+x-1的图象(如图). y ∵图中的抛物线与 x轴交点A、B的坐标分别 y=x2+x-1 3 约(-1.6,0)和(0.6,0), 2 2 ∴一元二次方程x +x-1=0 (-2,1) 1 (1,1) A B 的实数根分别为x1≈-1.6， -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 (0,-1) (-1,-1) x2≈-0.6. (-0.5,-1.25)
21.4 二次函数的应用(3)
第2课时 建立二次函数的模型解决实际问题
(3)存在这样的点 P. 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此连接 点 P 与点 C 的线段应被 x 轴平分， ∴点 P 的纵坐标是 1. ∵点 P 在抛物线 y＝x2－4x＋3 上，∴当 y＝1 时，即 x2 －4x＋3＝1，解得 x1＝2－ 2，x2＝2＋ 2， ∴点 P 的坐标是(2－ 2，1)或(2＋ 2，1)．
轴交于两点 A，B，其顶点为点 C. (1)对于任意实数 m， 点 M(m， －2)是否在该抛物线上？ 请说明理由； (2)求证：△ABC 是等腰直角三角形； (3)已知点 D 在 x 轴上，那么在抛物线 上是否存在点 P，使得以 B，C，D，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
第2课时 建立二次函数的模型解决实际问题
[解析] (1)设点 M(m，－2)在抛物线 y＝x2－4x＋3 上，则 －2＝m2－4m＋3，即 m2－4m＋5＝0，此方程无实数解，从 而点 M(m，－2)不在该抛物线上． (2)先求得点 A，B，C 的坐标，从而得到 AC，BC，AB 的长，再说明△ABC 是等腰直角三角形． (3)设存在这样的点 P，根据对角线互相平分的四边形是 平行四边形，则连接点 P 与点 C 的线段应被 x 轴平分，得到 点 P 的纵坐标是 1，由点 P 在抛物线 y＝x2－4x＋3 上，将点 P 的纵坐标代入可得点 P 的坐标．
典型例题解析
例：在平面直角坐标系中，点 M 的坐标为(－1，1)，点 N 的坐标为(3，5)，点 P 为抛物线 y＝x2－3x＋2 上的一个动 点，当 PM＋PN 之长最短时，点 P 的坐标是( C ) A．(0，2)或(4，6) C．(0，2) B．(4，6)
二次函数的应用教学教案
二次函数的应用教学教案第一章：二次函数的图像与性质1.1 了解二次函数的一般形式：y = ax^2 + bx + c1.2 学习二次函数的图像：开口方向、顶点、对称轴、判别式1.3 掌握二次函数的增减性和奇偶性1.4 了解二次函数的图像与x轴的交点：解二次方程第二章：二次函数的图像变换2.1 了解图像的平移：上移、下移、左移、右移2.2 学习图像的伸缩：扩大、缩小2.3 掌握图像的旋转：顺时针旋转、逆时针旋转2.4 应用图像变换解决实际问题第三章：二次函数与几何图形3.1 了解二次函数与圆的关系3.2 学习二次函数与抛物线的关系3.3 掌握二次函数与三角形的关系3.4 应用二次函数与几何图形解决实际问题第四章：二次函数的顶点公式4.1 学习顶点公式：顶点坐标、对称轴、开口方向4.2 掌握顶点公式的应用：求最值、求对称轴、判断开口方向4.3 应用顶点公式解决实际问题4.4 了解顶点公式的拓展：配方法第五章：二次函数与方程的解法5.1 学习二次方程的解法：因式分解、公式法、配方法5.2 掌握二次方程的应用：求解实际问题中的未知数5.3 了解二次方程的根的判别式：判别式的计算与解释5.4 应用二次方程解决实际问题第六章：二次函数在实际问题中的应用6.1 学习将实际问题转化为二次函数模型6.2 掌握实际问题中二次函数的解析和解法6.3 了解二次函数在生活中的应用实例：如抛物线运动、光学成像等6.4 应用二次函数解决实际问题第七章：二次函数图像的描绘7.1 学习使用描点法描绘二次函数图像7.2 掌握坐标轴的绘制和标注7.3 了解二次函数图像的绘制技巧7.4 应用描绘的二次函数图像解决实际问题第八章：二次函数图像的解析8.1 学习二次函数图像的切线和渐近线8.2 掌握二次函数图像的凹凸性和拐点8.3 了解二次函数图像的面积和积分8.4 应用二次函数图像的解析解决实际问题第九章：二次函数与线性函数的组合9.1 学习二次函数和线性函数的组合形式9.2 掌握组合函数的图像和性质9.3 了解组合函数的应用实例9.4 应用组合函数解决实际问题第十章：二次函数的综合应用10.1 学习二次函数在不同领域的应用实例10.2 掌握二次函数的综合解题策略10.3 了解二次函数在高级数学中的应用10.4 应用二次函数的综合知识解决实际问题重点和难点解析六、二次函数在实际问题中的应用将实际问题转化为二次函数模型：学生需要学会识别实际问题中的变量和常数，并将它们转化为二次函数的一般形式。
二次函数的应用(三)
则：隧道下部矩形的高为8-
+2
x，
？
x
又
b 32 32 在0 x 范围内， 2a 4 2
32 当x 4.48 （米）时，S有最大值. 4 答：当隧道的底部宽度为4.48米时，隧道的截面积最大.
课堂练习
1.某商品现在的售价为每件60元， 每星期可卖出300件，市场调查反 映：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出 18件，已知商品的进价为每件40元， 如何定价才能使利润最大？
y=(60+x)(300-10x)40(300-10x) 2 Y=-10x +100x+6000
根据窗框的长、宽都必须大于零，即
2
b 3 a 0, b 3, c 0 又 1在0 x 2的范围内 2a 2 4ac b2 3 当x 1时，y最大值 4a 2 3 3 答：当长为１米，宽为 米时，窗户的透光面积最大，最大面积是 平方米. 2 2
6 3 x 0, x 0
根据题意，有：5r+πr+2r+2l=8, 即：l=4－0.5(π+7)r 又因为：l＞0且r ＞0 所以： 4－0.5(π+7)r＞0
π 2 π 2 故透光面积:S= r +2rl= r +2r［4－0.5(π +7)r］ 2 2
π =－ ( +7)r2+8r 2
(0＜r＜
则：0＜r＜π+7
8 π +7
6 3x yx 2
(4)这里自变量x的取值范围是什么?根据什么来确定?
二次函数的应用教学教案
二次函数的应用教学教案第一章：二次函数的图像与性质1.1 教学目标了解二次函数的图像特征，如开口方向、顶点坐标等。
掌握二次函数的增减性和对称性。
能够分析实际问题中的二次函数图像和性质。
1.2 教学内容二次函数的标准形式：y = ax^2 + bx + c二次函数的图像：开口方向、顶点坐标、对称轴二次函数的增减性：a的正负与开口方向的关系二次函数的对称性：对称轴和顶点的性质1.3 教学活动引入二次函数图像的实例，让学生观察和描述。
引导学生通过变换二次函数的系数来分析开口方向、顶点坐标等。
运用实际问题，让学生应用二次函数的增减性和对称性解决问题。
1.4 教学资源二次函数图像的示例图片实际问题情境的案例1.5 教学评估通过练习题让学生绘制二次函数的图像，并分析其性质。
提供实际问题，让学生应用二次函数的性质解决问题，并进行评估。
第二章：二次函数的顶点公式2.1 教学目标掌握二次函数的顶点公式：y = a(x h)^2 + k能够通过顶点公式求解二次函数的顶点和对称轴。
2.2 教学内容二次函数的顶点公式及其意义顶点公式与标准形式的关系通过顶点公式求解二次函数的顶点和对称轴2.3 教学活动引导学生通过实际问题情境，发现二次函数的顶点公式。
解释顶点公式与标准形式的关系，并引导学生如何使用。
通过练习题，让学生应用顶点公式求解二次函数的顶点和对称轴。
2.4 教学资源实际问题情境的案例二次函数的顶点公式的示例图片2.5 教学评估提供练习题，让学生应用顶点公式求解二次函数的顶点和对称轴，并进行评估。
第三章：二次函数的根与解析式3.1 教学目标了解二次函数的根与解析式的关系。
能够通过解析式求解二次函数的根。
3.2 教学内容二次函数的根的定义和性质二次函数的解析式与根的关系通过解析式求解二次函数的根3.3 教学活动引入二次函数的根的概念，并通过实际例子解释其性质。
引导学生通过解析式来求解二次函数的根。
提供练习题，让学生应用解析式求解二次函数的根。
二次函数基础知识
整理得：x2－180x+7700＝0， 解得：x1＝70，x2＝110， 由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售 单价应在70元到110元之间，而60≤x≤87，
A. y1＜y2 B. y1＝y2 C. y1＞y2 D.不能确定
6.已知二次函数y＝x2+(m-1)x+1，当x＞1时，y随x的 增大而增大，则m的取值范围是（ D）
A.m＝－1 B.m＝3 C.m≤－1 D.m≥－1
7.顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y= 1 x2
3
的图象相同的抛物线所对应的函数表达式是（ D）
2.
次
开口方向
向上
向下
函
对称轴
数
的
顶点坐标
直线x=h （h,0）
直线x=h （h,0）
图
最值
当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y最大值=0
象 与 性 质
增减性
当x＜h时，y随x的增 当x＞h时，y随x的增 大而减小；x＞h时， 大而减小；x＜h时，y y随x的增大而增大. 随x的增大而增大.
2.二次函数的图象与性质
y=ax2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标
最值
增减性
a＞0
a＜0
向上
向下
y轴
y轴
（0,k）
（0,k）
当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k
当x＜0时，y随x的 增大而减小；x＞0 时，y随x的增大而
增大.
当x＞0时，y随x的增 大而减小；x＜0时， y随x的增大而增大.
二次函数的应用
二次函数的应用随着数学的发展，二次函数逐渐渗透进我们的生活中。
二次函数的应用广泛而且深入，从物理学到经济学，从建筑设计到人工智能，都能看到二次函数的身影。
本文将深入探讨二次函数的应用，以及它给我们带来的便利和挑战。
1. 物理学中的二次函数应用在物理学中，二次函数能够描述物体在运动中所呈现的曲线。
例如，抛体运动的轨迹可以用二次函数来表示。
我们可以通过二次函数的特点，如凹凸性质、根的情况等，来推断物体的抛射高度、落地点等重要参数。
此外，二次函数还能够用于描述光的传播、声音的传播等现象。
通过二次函数的应用，我们能更好地理解和解释物理现象。
2. 经济学中的二次函数应用经济学中，二次函数被广泛应用于成本分析、收益分析等方面。
例如，在生产成本分析中，二次函数可以描述边际成本和边际产量的关系。
通过求解二次函数的极值，我们可以找到最优的生产数量，从而实现效益最大化。
此外，二次函数还可以应用于市场需求曲线和供给曲线的分析，通过研究二次函数的性质，我们能够预测市场的变化趋势，制定合理的经济政策。
3. 建筑设计中的二次函数应用在建筑设计中，二次函数被广泛用于描述建筑物的曲线形状。
例如，拱门的形状可以用二次函数来表示。
通过研究二次函数的属性，建筑师可以设计出更加美观和稳定的建筑物。
此外，二次函数还能够应用于地质勘探和土木工程等领域。
通过分析地表地下的形状和变化规律，我们能够更好地预测地震、滑坡等自然灾害的发生概率，从而采取相应的防护措施。
4. 人工智能中的二次函数应用随着人工智能的快速发展，二次函数在机器学习和深度学习等领域也发挥着重要的作用。
例如，在图像处理中，我们可以通过二次函数来描述图像的亮度和对比度的调整关系。
此外，二次函数还可以用于模式识别、自然语言处理等方面。
通过分析二次函数的特征，我们能够训练出更加准确和智能的机器学习模型，实现人工智能技术的飞速发展。
总结起来，二次函数的应用范围十分广泛，涵盖了物理学、经济学、建筑设计、人工智能等多个领域。
浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》教学设计1
浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》教学设计1一. 教材分析浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象与性质的基础上，进一步探究二次函数在实际生活中的应用。
本节内容主要包括二次函数在几何中的应用，以及利用二次函数解决实际问题。
教材通过丰富的实例，引导学生体会二次函数在现实生活中的广泛应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图象与性质有了初步的了解。
但学生在解决实际问题方面，尤其是将数学知识与生活实际相结合的能力方面还有待提高。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生将所学知识应用于实际问题中，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够运用二次函数解决简单的实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
2.过程与方法目标：通过观察、分析实际问题，引导学生运用二次函数的知识进行分析、解答，培养学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够认识到数学在生活中的重要性，增强学习数学的兴趣，提高自主学习的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：学生能够运用二次函数解决实际问题。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数的知识进行解答。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生感知二次函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.案例教学法：分析具体的实际问题，让学生在解决问题的过程中，掌握二次函数的应用方法。
3.启发式教学法：在教学过程中，教师引导学生主动思考、探究，提高学生的自主学习能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于课堂讲解和练习。
2.准备多媒体教学设备，用于展示二次函数的图象和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一个实际问题，如抛物线与几何图形的交点问题，引导学生回顾二次函数的知识，为新课的学习做好铺垫。