二次函数实际应用问题及解析

中考压轴题中函数之二次函数的实际应用问题，主要是解答题，也有少量的选择和填空题，常见问题有以几何为背景问题，以球类为背景问题，以桥、隧道为背景问题和以利润为背景问题四类。

一. 以几何为背景问题

原创模拟预测题 1. 市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管AB 高出地面 1.5m，在B 处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B 与水流最高点C 的连线与地平面成45 的角，水流的最高点C离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出 2m，水流的落地点为D ．在建立如图所示的直角坐标系中：

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）求水流的落地点D 到A 点的距离是多少 m？

13

【答案】（ 1）y 1 x 2 2 x 3；（ 2）2 7 m．

22

【解析】试题分析：（ 1）把抛物线的问题放到直角坐标系中解决，是探究实际问题常用的方法，本题关键是解等腰直角三角形，求出抛物线顶点C（2，3.5 ）及 B （0，1.5 ），设顶点式求解

析式；

（2）求 AD，实际上是求当 y=0 时点 D 横坐标．在如图所建立的直角坐标系中，

由题意知，B 点的坐标为（0，1.5），

CBE 45 ，△ BEC 为等腰直角三角形，

BE 2，点坐标为（2，3.5）

2

（1）设抛物线的函数解析式为y ax 2 bx c（ a 0），

则抛物线过点（01，.5）顶点为（2，3.5），当x 0 时，y c 1.5

由2，得b 4a ，

2a

22

4ac b 6a 16a

由3.5 ，得3.5

4a 4a

1 解之，得a 0 （舍去），a ， b 4a

2 ．

2

13 所以抛物线的解析式为y 1x2 2x 3．

22

考点：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用点评：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．结合实际问题并从

中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学会数形结合解答二次函数的相关题型．

原创模拟预测题 2. 在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长 15m）

的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为 40m的栅栏围成（如图所示）．若设花园的BC边长为 x（ m），花园的面积为y （m）

（1）求y 与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（2）满足条件的花园面积能达到 200 m 吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由；（3）根据（1）中求得的函数关系式 ,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？

12

答案】（ 1）y x2 20x （0 x 15）；（ 2）不能；（ 3）x 15时，最大面积 187.5m

解析】

2

∴ y 1 x2 20x(0 x≤ 15)

2

2）当y 200 时，

12

即x2 20x 200

2

2

∴ x2 40x 400 0

解得：x 20 15

∵0 x≤ 15

∴ 此花园的面积不能达到 200m

考点：本题考查实际问题中二次函数解析式的求法及二次函数的实际应用

点评：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．结合实际问题并从中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学会数形结合解答二次函数的相关题型．

二. 以球类为背景问题

原创模拟预测题 3. 如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O点正上方 2m的 A 处发出，把球看成点，其运行的高度 y（ m）与运行的水平距离 x（m）满足关系式2

y a x 6 h 。已知球网与 O点的水平距离为 9m，高度为 2.43m，球场的边界距 O 点的水平距离为18m。

1）当 h=2.6 时，求 y 与 x 的关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围）；

2）当 h=2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

3）若球一定能越过球网，又不出边界，求二次函数中二次项系数 a 的最大值。

22

答案】（1）把 x=0，y=2 及 h=2.6 代入到y a x 6 2 h ，即2 a 0 6 2 2.6，

1

∴a 。

60

12

∴当 h=2.6 时， y 与 x 的关系式为y 1 x 6 2.6 。

60

2

3）把 x=0， y=2 代入到y a x 6 h ，得h 2 36a。

x=9 时，y a 9 6 2 2 36a 2 27a >2.43 ①，

x=18时，y a 18 62 2 36a 2 108a≤ 0 ②，由① ②解得a1。

54

∴若球一定能越过球网，又不出边界，二次函数中二次项

系数

考点】二次函数的性质和应用，无理数的大小比较。a 的最大值

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三 . 以桥、隧道为背景问题

2

原创模拟预测题 4. 如图，一大桥有一段抛物线型的拱梁， 抛物线的表达式为

y=ax 2+bx+c ， 小王骑自行车从 O 匀速沿直线到拱梁一端 A ，再匀速通过拱梁部分的桥面 AC ，小王从 O 到 A 用了 2 秒，当小王骑自行车行驶 10 秒时和 20 秒时拱梁的高度相同， 则小强骑自行车通过拱

【答案】 26。

【考点】 二次函数的应用

原创模拟预测题 5. 某山区的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府 对该特产的销售投资收益为：每投入 x 万元，可获得利润 P= 1 x 60 2 41（万元）。

50 当地政府拟规划加快开

发该特产的销售， 其规划方案为： 在规划前后对该项目每年最多可投 人 100 万元的销售投资，在实施规划 5 年的前两年中，每年都从 100 万元中拨出 60 万元用 于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售； 公路通车后的 3 年中，该特产 既在本地销售，也在外地销售。在外地销售的投资收益为：每投入 x 万元，可获利润梁部分的桥面 AC 共需