人教版九年级数学上册《二次函数 的图象和性质》同步测试题及答案【名师推荐】
人教版九年级数学上册22.1二次函数的图像和性质同步练习 附答案解析(一)
22.1二次函数的图像和性质同步练习(一)一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、抛物线的顶点坐标是（）A.B.C.D.2、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）A.B.C. 2mD. 1m3、已知是的二次函数，与的对应值如下表：其表达式为（）.A.B.C.D.4、抛物线与轴的交点坐标是（）.A.B.C.D.5、在抛物线上的一个点是（）.A.B.C.D.6、一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数的关系式是（）A.B.C.D.7、如图，在矩形中，，，，，则四边形的面积的最大值是（）A.B.C.8、如图，正方形的边长为，以正方形的顶点、、、为圆心画四个全等的圆．若圆的半径为，且，阴影部分的面积为，则能反映与之间函数关系的大致图象是（）A.B.C.D.9、若不等式对恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.10、小颖用计算器探索方程的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（）A.B.C.D.11、如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（）A.B.C.D.12、二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列四个结论错误的是（）A.B.C.D.13、二次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A.B.C.D.14、抛物线的顶点坐标是（）A.B.C.D.15、某工厂一种产品的年产量是件，如果每一年都比上一年的产品增加倍，两年后产品与的函数关系是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、二次函数的最小值为．17、抛物线的对称轴是直线．18、若抛物线经过点，则．19、若抛物线的顶点在轴的下方，则的取值范围是____________20、抛物线经过点和两点，则．（分数写成a/b形式）三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、求抛物线的顶点和对称轴．22、已知二次函数，当，求函数？；当？时，函数的值为.23、已知二次函数的图象如图所示，请结合图象，判断下列各式的符号．①；②；③；④．22.1二次函数同步练习(一) 答案部分一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、抛物线的顶点坐标是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，顶点坐标为，故正确答案为：．2、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）A.B.C. 2mD. 1m【答案】A【解析】解：由题意可得水喷出的最大高度为故正确答案是3、已知是的二次函数，与的对应值如下表：其表达式为（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】解：二次函数经过点，抛物线的对称轴为，顶点坐标为，故设解析式为，将点代入解析式，得：，，，故正确答案是.4、抛物线与轴的交点坐标是（）.A.B.C.D.【答案】D【解析】解：令，，即与轴的交点坐标为，故正确答案是：.5、在抛物线上的一个点是（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】解：当时，,故点不在抛物线上，当时，,故点不在抛物线上，当时，,故点在抛物线上，当时，,故点不在抛物线上，故正确答案是：.6、一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数的关系式是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：根据一直角边长为，则另一条直角边为，根据题意得出：．7、如图，在矩形中，，，，，则四边形的面积的最大值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：设，则，，设四边形的面积为，依题意，得，即：，，抛物线开口向下，函数有最大值为．8、如图，正方形的边长为，以正方形的顶点、、、为圆心画四个全等的圆．若圆的半径为，且，阴影部分的面积为，则能反映与之间函数关系的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：易得阴影部分的面积为个圆的面积，故由题意得，属于二次函数，根据自变量的取值为，有实际意义的函数在第一象限，故正确的选项应为9、若不等式对恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由得，，当时，不成立，，关于的一次函数，当时，，当时，，不等式对恒成立，，解得．10、小颖用计算器探索方程的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：抛物线与轴的一个交点为，又抛物线的对称轴为：，另一个交点坐标为：，则方程的另一个近似根为．11、如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：二次函数的顶点为，对称轴为，而对称轴左侧图象与轴交点横坐标的取值范围是，右侧交点横坐标的取值范围是．12、二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列四个结论错误的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：因为二次函数的图象与轴的交点在轴的上方，所以；由已知抛物线对称轴是直线，得；由图知二次函数图象与轴有两个交点，故有；直线与抛物线交于轴的下方，即当时，，即．13、二次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：抛物线与轴有两个交点，；抛物线开口向上，；抛物线与轴的交点在轴的正半轴，；抛物线的对称轴在的正半轴上，．14、抛物线的顶点坐标是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：顶点式，顶点坐标是，抛物线的顶点坐标为．15、某工厂一种产品的年产量是件，如果每一年都比上一年的产品增加倍，两年后产品与的函数关系是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：某工厂一种产品的年产量是件，每一年都比上一年的产品增加倍，一年后产品是：，两年后产品y与x的函数关系是：．二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、二次函数的最小值为．【答案】-4【解析】解：二次函数的开口向上，顶点坐标为，所以最小值为．故答案为：．17、抛物线的对称轴是直线．【答案】【解析】解：，其对称轴为．故答案是：．18、若抛物线经过点，则．【答案】-1【解析】解：抛物线经过点，，解得：．故答案为：．19、若抛物线的顶点在轴的下方，则的取值范围是____________【答案】【解析】解：此抛物线的顶点坐标为由题意得即20、抛物线经过点和两点，则．（分数写成a/b形式）【答案】0【解析】解：把点和分别代入得由方程组得，则．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、求抛物线的顶点和对称轴．【解析】解：，抛物线的顶点坐标为，对称轴是．故答案是：，．22、已知二次函数，当，求函数？；当？时，函数的值为.【解析】解：把代入函数解析式得：；令，则有：，，解得，；综上可知当时，；当，或时，函数的值为.正确答案是：；，.23、已知二次函数的图象如图所示，请结合图象，判断下列各式的符号．①；②；③；④．【解析】解：①抛物线开口向下，则，对称轴在轴的左侧，则，则，抛物线与轴的交点在轴的下方，则，；②抛物线与轴没有交点，所以；③当自变量为时，图象在轴下方，则时，；④当自变量为时，图象在轴下方，则时，．。
人教版数学九年级上册_22.1《二次函数的图像和性质》测试题(含答案及解析)
二次函数的图像和性质测试题时间：90分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若二次函数y=x2−6x+9的图象经过A(−1,y1)，B(1,y2)，C(3+√3,y3)三点.则关于y1，y2，y3大小关系正确的是()A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y2>y1>y3D. y3>y1>y22.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，有下面四个结论：①abc>0；②a−b+c>0；③2a+3b>0；④c−4b>0其中，正确的结论是()A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①③④3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①b<0，c>0；②a+b+c<0；③方程的两根之和大于0；④a−b+c<0，其中正确的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2−bx的图象可能是()A. B.C. D.5.将抛物线y=−3x2平移，得到抛物线y=−3(x−1)2−2，下列平移方式中，正确的是()A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c−m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2−4ac<0；②abc>0；③a−b+c<0；④m>−2，其中，正确的个数有()A. 1B. 2C. 3D. 47.若抛物线y=x2−2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为()A. y=(x−2)2+3B. y=(x−2)2+5C. y=x2−1D. y=x2+48.二次函数y=2x2−3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是()A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点(2,3)C. 抛物线的对称轴是直线x=1D. 抛物线与x轴有两个交点9.在二次函数y=−x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是()A. x<1B. x>1C. x<−1D. x>−110.直线y=52x−2与抛物线y=x2−12x的交点个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 互相重合的两个二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.已知抛物线y=x2−(k+2)x+9的顶点在坐标轴上，则k的值为______．12.二次函数y=−x2+2x+2图象的顶点坐标是______．13.函数y=x2+mx−4，当x<2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______ ．14.抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−5,4)，且对称轴是直线x=−2，则a+b+c=______ ．15.二次函数y=−2(x−1)2+5的图象的对称轴为______ ，顶点坐标为______ ．16.如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0)，Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为______ ．17.如图，抛物线C1：y=12x2经过平移得到抛物线C2：y=12x2+2x，抛物线C2的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是______ ．18.已知(−3,y1)，(4,y2)，(−1,y3)是二次函数y=x2−4x上的点，则y1，y2，y3从小到大用“<”排列是______．19.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x=−1，点B的坐标为(1,0).下面的四个结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③ab<0；④a−b+c<0，其中正确的结论是______ (填写序号)．20.如图，抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,0)，且对称轴为直线x=1，有下列结论：①abc<0；②10a+3b+c>0；③抛物线经过点(4,y1)与点(−3,y2)，则y1>y2；④无论a，b，c取,0)；⑤am2+bm+何值，抛物线都经过同一个点(−caa≥0，其中所有正确的结论是______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.已知：二次函数图象的顶点坐标是(3,5)，且抛物线经过点A(1,3)．(1)求此抛物线的表达式；(2)如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．22.已知二次函数y=(m−2)x2+(m+3)x+m+2的图象过点(0,5)．(1)求m的值，并写出二次函数的解析式；(2)求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．23.已知函数y=−x2+(m−1)x+m(m为常数)．(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是______．A.0B.1C.2D.1或2(2)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上．(3)当−2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．24.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(−1,0)和点C(0,3)，对称轴为直线x=1．(1)求该二次函数的关系式和顶点坐标；(2)结合图象，解答下列问题：①当−1<x<2时，求函数y的取值范围．②当y<3时，求x的取值范围．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点C和点D的坐标；(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．注：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−b2a ,4ac−b24a)(m2+1)=0有实数根．26.已知关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+12(1)求m的值；(m2+1)的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图(2)先作y=x2−(m+1)x+12形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；(3)在(2)的条件下，当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点时，求n2−4n的最大值和最小值．答案和解析【答案】 1. A 2. C 3. B 4. C 5. D6. B7. C8. D 9. B 10. C11. 4，−8，−2 12. (1,3) 13. m ≤−4 14. 415. x =1；(1,5) 16. (−2,0) 17. 418. y 2<y 3<y 1 19. ①②④ 20. ②④⑤21. 解：(1)设抛物线的解析式为y =a(x −3)2+5， 将A(1,3)代入上式得3=a(1−3)2+5，解得a =−12， ∴抛物线的解析式为y =−12(x −3)2+5， (2)∵A(1,3)抛物线对称轴为：直线x =3 ∴B(5,3)，令x =0，y =−12(x −3)2+5=12，则C(0,12)， △ABC 的面积=12×(5−1)×(3−12)=5．22. 解：(1)把(0,5)代入y =(m −2)x 2+(m +3)x +m +2得m +2=5， 解得m =3所以二次函数解析式为y =x 2+6x +5； (2)因为y =x 2+6x +5=(x +3)2−4，所以此二次函数图象的顶点坐标为(−3,−4)，对称轴为直线x =−3． 23. D24. 解：(1)根据题意得{a −b +c =0c =3−b2a =1，解得{a =−1b =2c =3， 所以二次函数关系式为y =−x 2+2x +3，因为y =−(x −1)2+4，所以抛物线的顶点坐标为(1,4)；(2)①当x =−1时，y =0；x =2时，y =3； 而抛物线的顶点坐标为(1,4)，且开口向下， 所以当−1<x <2时，0<y ≤4；②当y =3时，−x 2+2x +3=3，解得x =0或2， 所以当y <3时，x <0或x >2．25. 解：(1)由点A(−1,0)和点B(3,0)得{−9+3b +c =0−1−b+c=0，解得：{b=2，(2)令x =0，则y =3， ∴C(0,3)，∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4， ∴D(1,4)；(3)设P(x,y)(x >0,y >0)，S △COE =12×1×3=32，S △ABP =12×4y =2y ，∵S △ABP =4S △COE ，∴2y =4×32， ∴y =3，∴−x 2+2x +3=3，解得：x 1=0(不合题意，舍去)，x 2=2， ∴P(2,3)．26. 解：(1)对于一元二次方程x 2−(m +1)x +12(m 2+1)=0，△=(m +1)2−2(m 2+1)=−m 2+2m −1=−(m −1)2， ∵方程有实数根， ∴−(m −1)2≥0， ∴m =1．(2)由(1)可知y =x 2−2x +1=(x −1)2， 图象如图所示：平移后的解析式为y =−(x +2)2+2=−x 2−4x −2．(3)由{y =2x +n y =−x 2−4x −2消去y 得到x 2+6x +n +2=0， 由题意∆≥0，∴36−4n −8≥0， ∴n ≤7，∵n ≥m ，m =1， ∴1≤n ≤7， 令，∴n =2时，y′的值最小，最小值为−4， n =7时，y′的值最大，最大值为21， ∴n 2−4n 的最大值为21，最小值为−4．1. 解：二次函数对称轴为直线x=−−62×1=3，3−(−1)=4，3−1=2，3+√3−3=√3，∵4>2>√3，∴y1>y2>y3．故选A．先求出二次函数的对称轴，再求出点A、B、C到对称轴的距离，然后根据二次函数增减性判断即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性以及增减性，确定出各点到对称轴的距离的大小是解题的关键．2. 解：∵抛物线开口向上，∴a>0；∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=−b2a>0，∴b<0；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c<0，∴abc>0，所以①正确；∵x=−1时，y>0，∴a−b+c>0，所以②正确；∵x=−b2a =13，∴2a+3b=0，所以③错误；∵x=2时，y>0，∴4a+2b+c>0，把2a=−3b代入得−6b+2b+c>0，∴c−4b>0，所以④正确．故选：C．根据抛物线开口方向得到a>0；根据对称轴得到x=−b2a>0，则b<0；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c<0，则abc>0，可判断①正确；当自变量为−1时对应的函数图象在x轴上方，则a−b+c>0，可判断②正确；根据抛物线对称轴方程得到x=−b2a =13，则2a+3b=0，可判断③错误；当自变量为2时对应的函数图象在x轴上方，则4a+2b+c>0，把2a=−3b代入可对④进行判断．本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，当a>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=--b2a；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)．3. 解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线对称轴x>0，且抛物线与y轴交于正半轴，∴b>0，c>0，故①错误；>0，即x1+x2>0，故③正确；由对称轴x>0，可知x1+x22由可知抛物线与x轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：−1<x<0，∴当x=−1时，y=a−b+c<0，故④正确．故选：B．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号与抛物线开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点是关键．4. 解：A、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而对于抛物线>0，应在y轴的右侧，故不合题意，图形错误；y=ax2−bx来说，对称轴x=b2aB、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a<0，b>0；而对于抛物线y=ax2−bx<0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误；来说，对称轴x=b2aC、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而对于抛物线y=ax2−bx>0，应在y轴的右侧，故符合题意；来说，图象开口向上，对称轴x=b2aD、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而对于抛物线y=ax2−bx 来说，图象开口向下，a<0，故不合题意，图形错误；故选：C．首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．5. 解：∵y=−3x2的顶点坐标为(0,0)，y=−3(x−1)2−2的顶点坐标为(1,−2)，∴将抛物线y=−3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=−3(x−1)2−2．故选：D．找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．6. 解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2−4ac>0，故①错误；∵图象开口向上，∴a>0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b<0，∵图象与y轴交于x轴下方，∴c<0，∴abc>0，故②正确；当x=−1时，a−b+c>0，故此选项错误；∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：−2，故二次函数y=ax2+bx+c向上平移小于2个单位，则平移后解析式y=ax2+bx+c−m与x轴有两个交点，此时关于x的一元二次方程ax2+bx+c−m=0有两个不相等的实数根，故④正确．故选：B．直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系分析得出答案．此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确把握二次函数与方程之间的关系是解题关键．7. 解：将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，∵y=(x−1)2+2，∴原抛物线图象的解析式应变为y=(x−1+1)2+2−3=x2−1，故答案为C．思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题．本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的，记住左加右减，上加下减的规律，属于中考常考题型．8. 解：A、a=2，则抛物线y=2x2−3的开口向上，所以A选项错误；B、当x=2时，y=2×4−3=5，则抛物线不经过点(2,3)，所以B选项错误；C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；D、当y=0时，2x2−3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确．故选D．根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2−3=0解的情况对D进行判断．本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，它的顶点坐标是(−b2a ,4ac−b24a)，对称轴为直线x=−b2a，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质：当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上，x<−b2a时，y随x的增大而减小；x>−b2a时，y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下，x<−b2a 时，y随x的增大而增大；x>−b2a时，y随x的增大而减小．9. 解：y=−x2+2x+1=−(x−1)2+2，抛物线的对称轴为直线x=1，∵a=−1<0，∴当x>1时，y随x的增大而减少．故选B．先配方得到抛物线的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质求解．本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(−b2a ,4ac−b24a)，对称轴直线x=−b2a，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质：当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上，x<−b2a时，y随x的增大而减小；x>−b2a 时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，对称即顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下，x<−b2a 时，y随x的增大而增大；x>−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．10. 解：直线y=52x−2与抛物线y=x2−12x的交点求法是：令52x−2=x2−12x，∴x2−3x+2=0，∴x1=1，x2=2，∴直线y=52x−2与抛物线y=x2−12x的个数是2个．故选C．根据直线与二次函数交点的求法得出一元二次方程的解，即可得出交点个数．此题主要考查了一元二次方程的性质，根据题意得出一元二次方程的解的个数是解决问题的关键．11. 解：当抛物线y=x2−(k+2)x+9的顶点在x轴上时，△=0，即△=(k+2)2−4×9=0，解得k=4或k=−8；当抛物线y=x2−(k+2)x+9的顶点在y轴上时，x=−b2a =k+22=0，解得k=−2．故答案为：4，−8，−2．由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．12. 解：∵y=−x2+2x+2=−(x2−2x+1)+3=−(x−1)2+3，故顶点的坐标是(1,3).故填空答案：(1,3)．此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．13. 解：∵x<2时，y随x的增大而减小，∴−m2×1≥2，∴m≤−4．故答案为：m≤−4．根据二次函数的性质，二次函数的顶点的横坐标不小于2列式计算即可得解．本题考查了二次函数的性质，熟记性质，根据顶点的横坐标列出不等式是解题的关键．14. 解：∵对称轴方程为x=−2，∴−b2a=−2，整理可得b=4a，∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−5,4)，∴4=25a−5b+c，把b=4a代入可得，4=25a−20a+c，解得c=4−5a，∴抛物线解析式为y=ax2+4ax+4−5a，当x=1时，则有a+b+c=a+4a+4−5a=4，故答案为：4．把A点坐标代入抛物线解析式结合对称轴方程可用a分别表示出b和c，则可用a表示出抛物线解析式，再令x=1代入可求得y的值，即a+b+c的值．本题主要考查二次函数的解析式，分别用a表示出b和c，得出抛物线解析式是解题的关键．15. 解：∵y=−2(x−1)2+5，∴抛物线顶点坐标为(1,5)，对称轴为x=1，故答案为：x=1，(1,5)．由抛物线解析式可求得其顶点坐标及对称轴．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)．16. 解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0)，Q两点关于它的对称轴x=1对称，∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等，∴Q点的坐标为：(−2,0)．故答案为：(−2,0)．直接利用二次函数的对称性得出Q点坐标即可．此题主要考查了二次函数的性质，正确利用函数对称性得出答案是解题关键．17. 解：抛物线C1：y=12x2的顶点坐标为(0,0)，∵y=12x2+2x=12(x+2)2−2，∴平移后抛物线的顶点坐标为(−2,2)，对称轴为直线x=−2，当x=−2时，y=12×(−2)2=2，∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积为：12×(2+2)×2=4，故答案为：4．确定出抛物线y=12x2+2x的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．18. 解：y1=(−3)2+4×3=21，y2=42−4×4=0，y3=(−1)2+4×1=5，∴y2<y3<y1，故答案为：y2<y3<y1，可分别求出y1、y2、y3的值后，再进行比较大小．本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是求出各点的函数值，本题属于基础题型．19. 解：∵抛物线对称轴是直线x=−1，点B的坐标为(1,0)，∴A(−3,0)，∴AB=4，故选项①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故选项②正确；∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴ab>0，故选项③错误；当x=−1时，y=a−b+c此时最小，为负数，故选项④正确；故答案为：①②④．利用二次函数对称性以及结合b2−4ac的符号与x轴交点个数关系，再利用数形结合分别分析得出答案．此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确判断a−b+c的符号是解题关键．20. 解：由图象可知，抛物线开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，抛物线与y轴交于负半轴，则c<0，∴abc>0，故①错误；∵抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,0)，且对称轴为直线x=1，∴抛物线y=ax2+bx+c过点(3,0)，∴当x=3时，y=9a+3b+c=0，∵a>0，∴10a+3b+c>0，故②正确；∵对称轴为x=1，且开口向上，∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，∴y1<y2，故③错误；当x=−ca 时，y=a⋅(−ca)2+b⋅(−ca)+c=c2−bc+aca=c(a−b+c)a，∵当x=−1时，y=a−b+c=0，∴当x=−ca 时，y=a⋅(−ca)2+b⋅(−ca)+c=0，即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点(−ca,0)，故④正确；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=1对应的函数值为y=a+b+c，又∵x=1时函数取得最小值，∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，∵b=−2a，∴am2+bm+a≥0，故⑤正确；故答案为：②④⑤．由开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断①；由x=3时的函数值及a>0可判断②；由抛物线的增减性可判断③；由当x=−ca 时，y=a⋅(−ca)2+b⋅(−ca)+c=c(a−b+c)a且a−b+c=0可判断④；由x=1时函数y取得最小值及b=−2a可判断⑤．本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．21. (1)设顶点式y=a(x−3)2+5，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；(2)利用抛物线的对称性得到B(5,3)，再确定出C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．22. (1)把已知点的坐标代入y =(m −2)x 2+(m +3)x +m +2可求出m 的值，从而得到抛物线解析式；(2)把(1)中的解析式配成顶点式，从而得到二次函数图象的顶点坐标和对称轴．本题考查了在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的性质．23. 解：(1)∵函数y =−x 2+(m −1)x +m(m 为常数)，∴△=(m −1)2+4m =(m +1)2≥0，则该函数图象与x 轴的公共点的个数是1或2，故选D ；(2)y =−x 2+(m −1)x +m =−(x −m−12)2+(m+1)24， 把x =m−12代入y =(x +1)2得：y =(m−12+1)2=(m+1)24， 则不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数y =(x +1)2的图象上；(3)设函数z =(m+1)24，当m =−1时，z 有最小值为0；当m <−1时，z 随m 的增大而减小；当m >−1时，z 随m 的增大而增大，当m =−2时，z =14；当m =3时，z =4，则当−2≤m ≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z ≤4．(1)表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；(2)将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；(3)根据m 的范围确定出顶点纵坐标范围即可．此题考查了抛物线与x 轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．24. (1)把A 点和C 点坐标代入y =ax 2+bx +c 得到两个方程，再加上对称轴方程即可得到三元方程组，然后解方程组求出a 、b 、c 即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式即可得到顶点坐标；(2)①先分别计算出x 为−1和2时的函数值，然后根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围；②先计算出函数值为3所对应的自变量的值，然后根据二次函数的性质写出y <3时，x 的取值范围．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的性质．25. (1)将A 、B 的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b 、c 的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；(2)令x =0，可得C 点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C 的坐标；(3)设P(x,y)(x >0,y >0)，根据题意列出方程即可求得y ，即得D 点坐标．此题主要考查了二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法，图形面积的求法等知识，根据S△ABP=4S△COE列出方程是解决问题的关键．26. (1)由题意△≥0，列出不等式，解不等式即可；(2)画出翻折.平移后的图象，根据顶点坐标即可写出函数的解析式；(3)首先确定n的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题；本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法、翻折变换、平移变换、二次函数的最值问题等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．。
人教版九年级上册数学《二次函数的图像和性质》综合练习题【含答案】
《二次函数的图象和性质》同步练习题一、选择题（共10小题）1．下列函数中是二次函数的为 ()A ．B ．C ．D ．31y x =-231y x =-22(1)y x x =+-323y x x =+-2．二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是2y ax bx c =++y ax c =+ ()A ．B ．C ．D ．3．已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则二次函数的顶点y kx b =+2y kx bx k =+-在第 象限．()A ．一B ．二C ．三D ．四4．抛物线的顶点坐标是 22(3)2y x =-+()A ．B ．C ．D ．(3,2)-(3,2)(3,2)--(3,2)-5．已知，二次函数满足以下三个条件：①，②，③2y ax bx c =++24b c a >0a b c -+<，则它的图象可能是 b c <()A ．B ．C ．D ．6．把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是2(2)y x =+ ()A ．B ．C ．D ．2(2)2y x =++2(1)2y x =+-22y x =+22y x =-7．将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是 2y x =2(3)y x =+()A ．向左平移3个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移3个单位8．二次函数的图象可能是 22y x x =-+()A ．B ．C ．D ．9．若点，，都在抛物线上，则下1(1,)M y -2(1,)N y 37(,)2P y 2241(0)y mx mx m m =-+++>列结论正确的是 ()A ．B ．C ．D ．123y y y <<132y y y <<312y y y <<213y y y <<10．二次函数与轴交点坐标为 23(2)5y x =--y ()A ．B ．C ．D ．(0,2)(0,5)-(0,7)(0,3)二、填空题（共4小题）11．请写出一个开口向上且与轴交点坐标为的抛物线的表达式： ．y (0,1)12．若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 22()1y x k =-++2x - y x k ．13．抛物线的对称轴是 ．22247y x x =+-14．已知抛物线经过，，对于任意，点均不在抛2y ax bx c =++(0,2)A (4,2)B 0a >(,)P m n 物线上．若，则的取值范围是 ．2n >m 三、解答题（共6小题）15．已知抛物线．2246y x x =--（1）请用配方法求出顶点的坐标；（2）如果该抛物线沿轴向左平移个单位后经过原点，求的值．x (0)m m >m 16．如图，在中，，，，动点从点开始沿边ABC ∆90B ∠=︒12AB mm =24BC mm =P A向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以AB B 2/mm s B Q B BC C 的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过多少4/mm s C P Q A B 秒，四边形的面积最小．APQC17．已知二次函数．243(0)y ax ax b a =-++≠（1）求出二次函数图象的对称轴；（2）若该二次函数的图象经过点，且整数，满足，求二次函数的表(1,3)a b 4||9a b <+<达式；（3）对于该二次函数图象上的两点，，，，设，当时，1(A x 1)y 2(B x 2)y 11t x t + 25x 均有，请结合图象，直接写出的取值范围．12y y t 18．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和．xOy 2(0)y ax bx c a =++>(0,3)A -(3,0)B （1）求的值及、满足的关系式；c a b（2）若抛物线在、两点间从左到右上升，求的取值范围；A B a （3）结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点、？若能，写出(1,)M m n -+(4,)N m n -一个符合要求的抛物线的表达式和的值，若不能，请说明理由．n 19．小明利用函数与不等式的关系，对形如12()()()0n x x x x x x --⋯->为正整数）的不等式的解法进行了探究．(n （1）下面是小明的探究过程，请补充完整：①对于不等式，观察函数的图象可以得到如表格：30x ->3y x =-的范围x 3x >3x <的符号y +-由表格可知不等式的解集为．30x ->3x >②对于不等式，观察函数的图象可以得到如表表格：(3)(1)0x x -->(3)(1)y x x =--的范围x 3x >13x <<1x <的符号y +-+由表格可知不等式的解集为 ．(3)(1)0x x -->③对于不等式，请根据已描出的点画出函数的(3)(1)(1)0x x x --+>(3)(1)(1)y x x x =--+图象；观察函数的图象补全下面的表格：(3)(1)(1)y x x x =--+的范围x 3x >13x <<11x -<<1x <-的符号y +- 由表格可知不等式的解集为 ．(3)(1)(1)0x x x --+>⋯⋯小明将上述探究过程总结如下：对于解形如为正整数）的12()()()0(n x x x x x x n --⋯⋯->不等式，先将，，按从大到小的顺序排列，再划分的范围，然后通过列表格的1x 2x ⋯n x x 办法，可以发现表格中的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解y 集．（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式的解集为 ．(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>②不等式的解集为 ．2(9)(8)(7)0x x x --->20．函数是二次函数．223y mx mx m =--（1）如果该二次函数的图象与轴的交点为，那么 ；y(0,3)m（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．答案一、选择题（共10小题）1．解：、是一次函数，故错误；A 31y x =-A 、是二次函数，故正确；B 231y x =-B 、不含二次项，故错误；C 22(1)y x x =+-C 、是三次函数，故错误；D 323y x x =+-D 故选：．B 2．解：一次函数和二次函数都经过轴上的，y (0,)c 两个函数图象交于轴上的同一点，排除、；∴y B C 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除；0a >D 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，正确；0a <A 故选：．A 3．解：一次函数的图象经过一、二、四象限，y kx b =+，，0k ∴<0b >△，2224()40b k k b k =--=+>抛物线与轴有两个交点，∴x、异号，k b 抛物线的对称轴在轴右侧，∴y 二次函数的顶点在第一象限．∴2y kx bx k =+-故选：．A 4．解：抛物线的顶点坐标是，22(3)2y x =-+(3,2)故选：．B 5．解：二次函数满足以下三个条件：①，②，③， 2y ax bx c =++24b c a >0a b c -+<b c <由①可知当时，则抛物线与轴有两个交点，当时，∴0a >240b ac ->x 0a <240b ac -<则抛物线与轴无交点；x 由②可知：当时，，1x =-0y <由③可知：，0b c -+>，必须，0a b c -+< ∴0a <符合条件的有、，∴C D 由的图象可知，对称轴直线，，，抛物线交的负半轴，C 02b x a=->0a <0b ∴>y ，则，0c <b c >由的图象可知，对称轴直线，，，抛物线交的负半轴，D 02b x a=-<0a <0b ∴<y ，则有可能，0c <b c <故满足条件的图象可能是，D 故选：．D 6．解：抛物线的顶点坐标是，向下平移2个单位长度，再向右平移1个单2(2)y x =+(2,0)-位长度后抛物线的顶点坐标是，(1,2)--所以平移后抛物线的解析式为：2(1)2y x =+-故选：．B 7．解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，2y x =(0,0)2(3)y x =+(3,0)-点向左平移3个单位可得到，(0,0)(3,0)-将抛物线向左平移3个单位得到抛物线．∴2y x =2(3)y x =+故选：．A 8．解：，，22y x x =-+ 0a <抛物线开口向下，、不正确，∴A C 又对称轴，而的对称轴是直线， 212x =-=-D 0x =只有符合要求．∴B 故选：．B 9．解：观察二次函数的图象可知：．132y y y <<故选：．B 10．解：23(2)5y x =-- 当时，，∴0x =7y =即二次函数与轴交点坐标为，23(2)5y x =--y (0,7)故选：．C 二、填空题（共4小题）11．解：抛物线开口方向向上，且与轴的交点坐标为，y (0,1)抛物线的解析式为．∴21y x =+故答案为．21y x =+12．解：，22()1y x k =-++对称轴为，∴x k =-，20a =-< 抛物线开口向下，∴在对称轴右侧随的增大而减小，∴y x 当时，随的增大而减小，2x - y x ，解得，2k ∴-- 2k 故．2k 13．解：抛物线的对称轴是：，22247y x x =+-24622x =-=-⨯故．6x =-14．解：依照题意，画出图形，如图所示．当时，或，2n >0m <4m >当时，若点均不在抛物线上，则．∴2n >(,)P m n 04m 故．04m三、解答题（共6小题）15．解：（1）2246y x x =--22(2)6x x =--，22(1)8x =--故该函数的顶点坐标为：；(1,8)-（2）当时，，0y =202(1)8x =--解得：，，11x =-23x =即图象与轴的交点坐标为：，，x (1,0)-(3,0)故该抛物线沿轴向左平移3个单位后经过原点，x 即．3m =16．解：设经过秒，四边形的面积最小x APQC 由题意得，，，2AP x =4BQ x =则，122PB x =-的面积PBQ ∆12BQ PB =⨯⨯1(122)42x x =⨯-⨯，24(3)36x =--+当时，的面积的最大值是，3x s =PBQ ∆236mm此时四边形的面积最小．APQC 17．解：（1）二次函数图象的对称轴是；422a x a-=-=（2）该二次函数的图象经过点，(1,3)，433a a b ∴-++=，3b a ∴=把代入，3b a =4||9a b <+<得．43||9a a <+<当时，，则．0a >449a <<914a <<而为整数，a ，则，2a ∴=6b =二次函数的表达式为；∴2289y x x =-+当时，，则．0a <429a <-<922a -<<-而为整数，a 或，3a ∴=-4-则对应的或，9b =-12-二次函数的表达式为或；∴23126y x x =-+-24169y x x =-+-（3）当时，均有，25x 12y y 二次函数的对称轴是直线，243(0)y ax ax b a =-++≠2x =，12y y ①当时，有，即∴0a >12|2||2|x x -- 12|2|2x x -- ，212222x x x ∴--- ，2124x x x ∴- ，25x ，241x ∴-- 该二次函数图象上的两点，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 设，当时，均有，11t x t + 25x 12y y ∴115t t -⎧⎨+⎩ ．14t ∴- ②当时，，即0a <12|2||2|x x -- 12|2|2x x -- ，或，1222x x ∴-- 1222x x -- ，或12x x ∴ 124x x - ，25x ，241x ∴--该二次函数图象上的两点，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 设，当时，均有，11t x t + 25x 12y y 比的最大值还大，或比的最小值还小，这是不存在的，t ∴2x 1t + 24x -故时，的值不存在，0a <t 综上，当时，．0a >14t - 18．解：（1）抛物线经过点和． 2(0)y ax bx c a =++>(0,3)A -(3,0)B ，∴3093c a b c-=⎧⎨=++⎩，．3c ∴=-310a b +-=（2）由1可得：，2(13)3y ax a x =+--对称轴为直线，132a x a -=-抛物线在、两点间从左到右上升，当时，对称轴在点左侧，如图： A B 0a >A即：，解得：，1302a a -- 13a．、两点间从左到右上升，103a ∴< A B 当时，抛物线在、两点间从左到右上升，∴103a < A B （3）抛物线不能同时经过点、．(1,)M m n -+(4,)N m n -理由如下：若抛物线同时经过点、．则对称轴为：，(1,)M m n -+(4,)N m n -(1)(4)322m m x -++-==由抛物线经过点可知抛物线经过，与抛物线经过相矛盾，A (3,3)-(3,0)B 故：抛物线不能同时经过点、(1,)M m n -+(4,)N m n -19．解：（1）②由表格可知不等式的解集为或，(3)(1)0x x -->3x >1x <故或；3x >1x <③图象如右图所示，当时，，当时，，11x -<<(3)(1)(1)0x x x --+>1x <-(3)(1)(1)0x x x --+<由表格可知不等式的解集为或，(3)(1)(1)0x x x --+>3x >11x -<<故，，或；+-3x >11x -<<（2）①不等式的解集为或或，(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>6x >24x <<2x <-故或或；6x >24x <<2x <-②不等式的解集为或且，2(9)(8)(7)0x x x --->9x >8x <7x ≠故或且9x >8x <7x ≠20．解：（1）该函数的图象与轴交于点， y (0,3)把，代入解析式得：，∴0x =3y =33m -=解得，1m =-故答案为；1-（2）由（1）可知函数的解析式为，223y x x =-++，2223(1)4y x x x =-++=--+ 顶点坐标为；∴(1,4)列表如下：x 2-1-01234y5-034305-描点；画图如下：。
人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图像和性质》同步测试题(附答案)
人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图像和性质》同步测试题（附答案）一、选择题1．下列函数中一定是二次函数的是（）A．y=3x−1B．y=ax2+x C．y=x3+2D．y=x2−3x2．抛物线y=(x+3)2−4的顶点坐标是（）A．(3,4)B．(−3,4)C．(3,−4)D．(−3,−4)3．二次函数y=(m−2)x2+2x−1中，m的取值范围是（）A．m>2B．m<2C．m≠2D．一切实数x2上关于对称轴对称的两点，若点A的横坐标是−2，则点 B横坐标4．已知A、B是抛物线y=−12为（）A．2 B．3 C．4 D．55．把抛物线y=−2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）A．y=−2(x+1)2+2B．y=−2(x+1)2−2C．y=−2(x−1)2+2D．y=−2(x−1)2−26．已知点A(−3,y1)，B(1,y2)，C(4,y3)在抛物线y=−(x−2)2+5上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y1<y3<y2D．y3<y1<y27．已知二次函数y=(m−2)x2（m为实数，且m≠2），当x≤0时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（）A．m<0B．m>2C．m>0D．m<28．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1，0)，其对称轴为直线x=1，下面结论中正确的是（）A．abc>0B．2a−b=0C．4a+2b+c<0D．9a+3b+c=0二、填空题9．抛物线y=(x−1)2+2的对称轴是直线.10．当函数y=(a−1)x a2+1+2x+3是二次函数时，a的值为．11．已知二次函数y=−2(x−2)2+m的图像经过原点，那么m的值为．12．二次函数y=x2−4x−1的最小值是．13．已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），则线段AB的长为．三、解答题14．已知抛物线y=ax2经过点(-1，2)．（1）求抛物线的函数表达式，并判断点(1，2)是否在该抛物线上．（2）若点P(m，6)在该抛物线上，求m的值．15．已知抛物线y=x2+mx+n经过点A(−5，6)，B(2，6)．（1）求抛物线的表达式。
人教版九年级上册数学22 1二次函数的图像和性质同步训练(含答案)
人教版九年级上册数学22.1二次函数的图像和性质同步训练一、单选题1．抛物线()252y x =--+的顶点坐标是（ ）A ．()5,2-B ．()5,2C ．()5,2--D ．()5,2- 2．当1a x a -≤≤时，二次函数243y x x =-+的最小值为8，则a 的值为（ ） A ．1-或5 B ．0或6 C ．1-或6 D ．0或5 3．将抛物线232y x =+向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为( ) A ．2)3(15y x =++B ．23(1)5y x =-+C ．23(1)1y x =+-D ．23(1)1y x =--4．如图是一次函数y kx b =+的图象，则二次函数22y kx bx =++的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若抛物线2y ax bx c =++上的()40P ，，Q 两点关于直线1x =对称，则Q 点的坐标为（ ）A ．()10-，B ．()20-，C ．()30-，D ．()40-，6．已知点()11,A y -，()22,B y -，()32,C y 三点都在二次函数22y x x m =--+的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．312y y y >>D ．213y y y >> 7．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，则下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．0a b c ++>C ．32b c <D ．b a c >+8．二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图像如图所示，图像过点()10-，对称轴为直线2x =，下列结论：①0abc >；①42a c b +>；①()42a b m am b +≤+（m 为常数）：①320b c ->．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9．若将抛物线22y x =的图象先向右平移5个单位，再向上平移4个单位，得到新抛物线的表达式为______．10．已知抛物线2()y a x h k =-+与x 轴有两个交点()()1,0,3,0A B -，抛物线2()y a x h m k =--+与x 轴的一个交点是()4,0，则m 的值是__________．11．已知二次函数223(0)y ax ax a =-++>，若点(,3)P m 在该函数的图象上，且0m ≠，则m 的值为________．12．请写出一个图像关于1x =对称的二次函数的表达式________．13．请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为()12-，的二次函数解析式______． 14．函数()=--2y 2x 31的图象可由函数22y x =的图象沿x 轴向_______平移_______个单位，再沿y 轴向_______平移_______个单位得到．15．已知二次函数223y x x =+-，当41x -≤≤时，y 的取值范围为___________． 16．在平面直角坐标系中，若将抛物线2245y x x =-+先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线解析式为___________．三、解答题17．已知二次函数y ＝a (x ﹣1)2+4的图象经过点(﹣1，0)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．18．已知二次函数y =ax 2+bx +3的图象经过点 (－3，0)，(2，－5)．(1)试确定此二次函数的解析式；(2)请你判断点P (－2，3)是否在这个二次函数的图象上？19．已知函数y=（m 2﹣m ）x 2+（m ﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m 的值；（2）若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？20．如图所示，已知抛物线25y ax bx =++（0a <）与x 轴交于点()1,0A -和点()5,0B ，与y 轴交点C ．(1)求抛物线的解折式；(2)点Q 是线段BC 上异于B ，C 的动点，过点Q 作QF x ⊥轴于点F ，交抛物线于点G ．当QCG 为直角三角形时，请直接写出．．．．点G 的坐标．参考答案： 1．B2．C3．B4．C5．B6．A7．A8．A9．()2254y x =-+10．5或111．212．()21y x =-，答案不唯一13．()212y x =--（答案不唯一）14． 右 3 下 115．45y -≤≤/54y ≥≥-16．()2221y x =-+17．(1)y ＝﹣(x ﹣1)2+4；(2)抛物线开口向下，顶点坐标为(1，4)，对称轴为直线x ＝1． 18．（1）y =﹣x 2﹣2x +3；（2）点P （﹣2，3）在这个二次函数的图象上， 19．(1)、m=0；(2)、m≠0且m≠1.20．(1)245y x x =-++(2)()3,8G 或()4,5G ．。
2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章 二次函数的图像和性质》同步练习题含答案(人教版)
2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章二次函数的图像和性质》同步练习题含答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列函数中是二次函数的是（）A．y=1x2B．y=2x+1C．y=12x2+2x3D．y=−4x2+52．二次函数y=x2−2x+3的一次项系数是（）A．1 B．2 C．-2 D．33．在同一平面直角坐标系中作出y=2x2，y=−2x2，y=12x2的图象，它们的共同点是（）A．关于y轴对称，抛物线的开口向上B．关于y轴对称，抛物线的开口向下C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点D．当x>0时，y随x的增大而减小4．抛物线y＝－2x2＋1的顶点坐标是（）A．（－2，0）B．（0，1）C．（0，－1）D．（－2，0）5．已知A(0，y1)，B(3，y2)为抛物线y=(x−2)2上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1>y2B．y1=y2C．y1<y2D．无法确定6．已知抛物线y=−(x−b)2+2b+c（b，c为常数）经过不同的两点(−2−b，m)，(−1+c，m)那么该抛物线的顶点坐标不可能是下列中的（）A．(−2，−7)B．(−1，−3)C．(1，8)D．(2，13)7．关于x的二次函数y=ax2+bx+c图象经过点(1，0)和(0，−2)，且对称轴在y轴的左侧，若t= a−b，则t的取值范围是（）A．−2<t<2B．−2<t<0C．−4<t<0D．−4<t<2 8．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a>0）经过(0，0)，(4，0)两点．则下列四个结论正确的有（）①4a+b=0；②5a+3b+2c>0；③若该抛物线y=ax2+bx+c与直线y=−3有交点，则a的取值范围是a≥34；④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c−t=0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．当函数y=(a−1)x a2+1+2x+3是二次函数时，a的值为．10．抛物线y=−12x2+1在y轴的右侧呈趋势（填“上升”或者“下降”）．11．将二次函数y=2x2−8x+13化成y=a(x+ℎ)2+k的形式为. 12．对于二次函数y=−2(x+3)2−1，当x的取值范围是时，y随x的增大而减小．13．点P(m，n)在抛物线y=x2+x+2上，且点P到y轴的距离小于1，则n的取值范围是.三、解答题14．已知抛物线的顶点是(−3，2)，且经过点(1，−14)，求该抛物线的函数表达式．15．指出函数y=−12(x+1)2−1的图象的开口方向、对称轴和顶点，怎样移动抛物线y=-12x2就可以得到抛物线y=−12(x+1)2−116．二次函数图象的对称轴是y轴，最大值为4，且过点A（1，2），与x轴交于B、C两点．求△ABC 的面积．17．如图，已知抛物线y=ax2＋bx−3过点A(−1，0)，B(3，0)点M、N为抛物线上的动点，过点M 作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E.过点N作NF⊥x轴，垂足为点F（1）求二次函数y=ax2+bx−3的表达式；（2）若M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE为正方形，求该正方形的面积；18．在直角坐标系中，设函数y=m(x+1)2+4n（m≠0，且m，n为实数）（1）求函数图象的对称轴.（2）若m，n异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点.（3）已知当x=0，3，4时，对应的函数值分别为p，q，r，若2q<p+r，求证：m<0.参考答案1．D2．C3．C4．B5．A6．B7．A8．C9．-110．下降11．y=2(x−2)2+512．x＞-313．74≤n<414．解：∵抛物线的顶点是(−3，2)∴可设抛物线的函数表达式为y=a(x+3)2+2∵抛物线经过点(1，−14)∴−14=a(1+3)2+2，解得a=−1∴抛物线的函数表达式为y=−(x+3)2+2．15．解：由y=−12(x+1)2−1得到该函数的图象的开口方向向下，对称轴是直线x=-1，顶点坐标是（-1，-1）；∵抛物线y=−12x2的顶点坐标是（0，0）∴由顶点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到顶点（-1，-1）∴抛物线y=−12x2向左平移1个单位，再向下平移1个单位就可以得到抛物线y=−12(x+1)2−1．16．解：设该二次函数的表达式为y=ax2+4把点A（1，2）代入y=ax2+4，得a+4=2 解得a=-2∴该二次函数的表达式为y=−2x2+4当y=0时解得x 1=−√2，x 2=√2∴BC =2√2∴S △ABC =12×2√2×2=2√2．17．（1）解：把A(−1，0)，B(3，0)代入y =ax 2+bx −3得：{a −b −3=09a +3b −3=0解得{a =1b =2故该抛物线解析式为：y =x 2−2x −3（2）解：由(1)知，抛物线解析式为：y =x 2−2x −3=(x −1)2−4∴该抛物线的对称轴是x =1，顶点坐标为(1，−4).如图，设点M 坐标为(m ，m 2−2m −3)∴ME =|−m 2+2m +3|∵M 、N 关于x =1对称，且点M 在对称轴右侧∴点N 的横坐标为2−m∴MN =2m −2∵四边形MNFE 为正方形∴ME =MN∴|−m 2+2m +3|=2m −2分两种情况：①当−m 2+2m +3=2m −2时，解得：m 1=√5，m 2=−√5（不符合题意，舍去） 当m =√5时，正方形的面积为(2√5−2)2=24−8√5；②当−m2+2m+3=2−2m时，解得：m3=2+√5，m4=2−√5(不符合题意，舍去) 当m=2+√5时，正方形的面积为(2+2√5)2=24+8√5；综上所述，正方形的面积为24−8√5或24+8√5.18．（1）解：∵函数y=m(x+1)2+4n（m≠0，且m，n为实数）∴函数图象的对称轴为x=−1（2）证明：令y=0，则0=m(x+1)2+4n即(x+1)2=−4nm∵ m，n异号>0∴−4nm∴一元二次方程有两个不相等的实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点；（3）证明：由题可知p=m+4n，q=16m+4n，r=25m+4n，∵2q−(p+r)=2(16m+4n)−(m+4n+25m+4n)=6m<0∴m<0.。
人教版 九年级数学上册 22.1 二次函数的图象和性质 同步训练(含答案)
人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质同步训练一、选择题1. 二次函数y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2的共同性质是()A．其图象开口都向上B．其图象的对称轴都是y轴C．其图象都有最高点D．y随x的增大而增大2. 若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中的信息可知y与x之间的函数解析式是()A.y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋83. 若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为()A. x1＝0，x2＝6B. x1＝1，x2＝7C. x1＝1，x2＝－7D. x1＝－1，x2＝74. 已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是()A．b≥－1 B．b≤－1C．b≥1 D．b≤15. 二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是()A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点(2，3)C. 抛物线的对称轴是直线x＝1D. 抛物线与x轴有两个交点6. 将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是() A．向左平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度7. 已知抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，－2)，则b与c的值分别为() A．－1，－2 B．4，－2C．－4，0 D．4，08. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且图象过A(x1，m)、B(x1＋n，m)两点，则m、n的关系为()A. m＝12n B. m＝14n C. m＝12n2 D. m＝14n2二、填空题9. 某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝12x2－4x＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函数解析式为________________．10. 已知抛物线y＝2(x－1)2上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，且1＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是________．11. 抛物线y＝－8x2的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x＞0时，y随x的增大而________，当x＜0时，y随x的增大而________．12. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为________________．13. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为________．14. 顶点坐标是(2，0)，且与抛物线y＝－3x2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为________．15. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是________．16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．三、解答题17. 已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．(1)求此抛物线的解析式；(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上；(3)求出抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．18. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；(3)若直线y＝－12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点，求b的取值范围．19. 如图，等腰直角三角形ABC的直角边与正方形MNPQ的边长均为10 cm，边CA与边MN在同一直线上，开始时点A与点M重合，△ABC沿MN方向以1 cm/s 的速度匀速运动，当点A与点N重合时，停止运动．设运动的时间为t s，运动过程中△ABC与正方形MNPQ重叠部分的面积为S cm2.(1)试写出S关于t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；(2)当MA＝2 cm时，重叠部分的面积是多少？20. 设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质同步训练-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】A[解析] ∵x ＝1时，ax 2＝1，∴a ＝1.将(－1，8)，(0，3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧1－b ＋c ＝8，c ＝3，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3.∴y 与x 之间的函数解析式是y ＝x 2－4x ＋3.故选A.3. 【答案】D【解析】∵二次函数y ＝x 2＋mx 的对称轴为x ＝－m2＝3，解得m ＝－6，则关于x 的方程为x 2－6x ＝7，解得，x 1＝－1，x 2＝7.4. 【答案】D [解析] 先根据抛物线的性质得到其对称轴为直线x ＝b ，且当x ＞b 时，y 的值随x 值的增大而减小．因为当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，所以b≤1.5. 【答案】D【解析】本题考查了二次函数的性质，由于2>0，所以抛物线的开口向上，所以A 选项错误；由于当x ＝2时，y ＝8－3＝5，所以B 选项错误；由于y ＝2x 2－3的对称轴是y 轴，所以C 选项错误；由2x 2－3＝0得b 2－4ac ＝24>0，则该抛物线与x 轴有两个交点，所以D 选项正确．6. 【答案】D [解析] A ．将函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位长度得到函数y ＝(x ＋1)2的图象，它经过点(1，4)；B.将函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位长度得到函数y ＝(x －3)2的图象，它经过点(1，4)；C.将函数y ＝x 2的图象向上平移3个单位长度得到函数y ＝x 2＋3的图象，它经过点(1，4)；D.将函数y ＝x 2的图象向下平移1个单位长度得到函数y ＝x 2－1的图象，它不经过点(1，4)．故选D.7. 【答案】D8. 【答案】D【解析】因为二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴只有一个交点，∴b 2－4c ＝0，即c ＝b 24，由题意知，点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，∴12AB＝|n|2＝－b 2－x 1，b ＝－|n|－2x 1, ∴c ＝（－|n|－2x 1）24＝|n|2＋4|n|x 1＋4x 214，∵A(x 1，m)在y ＝x 2＋bx ＋c 上，∴m ＝x 21＋bx 1＋c ，∴ m ＝x 21＋(－|n|－2x 1)· x 1＋|n|2＋4|n|x 1＋4x 214，化简整理得m ＝14n 2，故选D .二、填空题9. 【答案】y ＝12(x ＋2)2＋1 [解析] 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y ＝a(x －h)2＋k.又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2－4x ＋3相同，所以a ＝12，所以该抛物线的函数解析式是y ＝12(x ＋2)2＋1.10. 【答案】y 1<y 2[解析] ∵抛物线的解析式是y ＝2(x －1)2，∴其对称轴是直线x ＝1，抛物线的开口向上， ∴在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大．又∵抛物线y ＝2(x －1)2上有两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且1＜x 1＜x 2，∴y 1<y 2.11. 【答案】下y 轴 (0，0) 减小 增大12. 【答案】y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x 【解析】依题意，所求函数有可能经过(－1，0)，(－12，－14) 或(1，0)，(－12，－14) .设所求函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，图象经过原点，则c ＝0，当图象经过(－1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝b ＝1，即所求解析式为y ＝x 2＋x ; 当图象经过(1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝－13，b ＝13，即所求解析式为y ＝－13x 2＋13x .综上所述，所求函数的解析式为y＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x .13. 【答案】0 【解析】设抛物线与x 轴的另一个交点是Q ，∵抛物线的对称轴是过点(1，0)的直线，与x 轴的一个交点是P(4，0)，∴与x 轴的另一个交点Q(－2，0)，把(－2，0)代入解析式得：0＝4a －2b ＋c ，∴4a －2b ＋c ＝0.14. 【答案】y ＝－3(x －2)215. 【答案】(－2，0)【解析】如解图，过D 作DM ⊥x 轴于点M ，∴M(m ，0)，又B(m ＋2，0)，∴MB ＝2，由C(0，c)，D(m ，c)知：OC ＝DM ，即点C 、D 关于对称轴对称，故点O 、M 也关于对称轴对称，∴OA ＝MB ＝2，∴A(－2，0)．16. 【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b 24a)．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b 24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－ba ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－b a ，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．三、解答题17. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝ax 2经过点A(－2，－8)，∴4a ＝－8，解得a ＝－2，∴此抛物线的解析式为y ＝－2x 2.(2)当x ＝－1时，y ＝－2，∴点B(－1，－4)不在此抛物线上．(3)把y ＝－6代入y ＝－2x 2，得－2x 2＝－6，解得x ＝±3，∴抛物线上纵坐标为－6的点的坐标为(3，－6)，(－3，－6)．18. 【答案】解：(1)把B(－2，6)，C(2，2)代入抛物线的解析式得： ⎩⎨⎧6＝a·（－2）2＋b·（－2）＋22＝a·22＋b·2＋2，(1分)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－1，(2分)∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－x ＋2.(3分)(2)抛物线解析式化为顶点式：y ＝12(x －1)2＋32，则抛物线顶点D(1，32)，(4分) 如解图①所示，过点B 、D 、C 分别向x 轴作垂线，垂足分别为点M 、N 、H ，则有：S △BCD ＝S 梯形BMHC －S 梯形BMND －S 梯形DNHC ＝12(6＋2) ×4－12(6＋32)×3－12(32＋2) ×1 ＝3.(6分)解图①解图② (3)如解图②所示，连接BC ，∵直线BC 斜率k BC ＝2－62－（－2）＝－1＜－12，∴过点C 作直线MN 与直线y ＝－12x 平行，设直线MN 的解析式为y ＝－12x ＋b 1，代入C(2，2)， ∴b 1＝3.(7分)作直线EF 与抛物线相切，且与直线y ＝－12x 平行， 设直线EF 的解析式为y ＝－12x ＋b 2，联立抛物线解析式得， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2－x ＋2y ＝－12x ＋b 2， ∴x 2－x ＋4－2b 2＝ 0， ∵直线EF 与抛物线相切，∴b 2－4ac ＝0，即(－1)2－4(4－2b 2)＝0，(9分)∴b 2＝158，(11分) ∴158＜b ≤3.(12分)注：斜率知识为高中知识，但常渗透于中考压轴题，与二次函数相结合考查，做题时注意其性质的应用．19. 【答案】解：(1)设AB 与MQ 交于点R.∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形MNPQ 是正方形， ∴△AMR 是等腰直角三角形． 由题意知，AM ＝MR ＝t ，∴S ＝S △AMR ＝12t·t ＝12t 2(0≤t≤10)．(2)当MA ＝2 cm ，即t ＝2时，重叠部分的面积是12×2×2＝2(cm 2)．20. 【答案】解：(1)当k ＝0时，y ＝－(x －1)(x ＋3)，所画图象如解图所示．(2分)(2)①k 取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称，②函数y ＝(x －1)[(k －1)x ＋(k －3)](k 是常数)的图象都经过(1，0)和(－1，4)．(5分)(3)由题意可得y 2＝(x －1)[(2－1)x ＋(2－3)]＝(x －1)2，平移后的函数y 3的表达式为y 3＝(x －1＋4)2－2＝(x ＋3)2－2， 所以当x ＝－3时，函数y 3的最小值是－2.(8分)。
人教版初中数学九年级上册《22.1二次函数图像和性质》同步练习含答案解析
九年级上册第二十二章《 22.1 二次函数的图像和性质》同步练习题一、单项选择题（每题只有一个正确答案）1．以下函数中是二次函数的是( )A． y＝ 3x－ 1B． y＝3x2－ 1C． y＝ (x＋ 1)2－x2D． y＝ ax2＋ 2x－32 2．若 y=（a +a）A． a=﹣ 1 或 a=3 3．抛物线y＝－ x是二次函数，那么（）B． a≠﹣ 1 且 a≠0C． a=﹣ 1D． a=3 2不拥有的性质是()A．张口向下B．对称轴是y 轴C．与 y 轴不订交D．最高点是原点4．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：① y ax2；② y bx2；③ y cx2；④ y dx2，则a,b, c, d的大小关系为()A．a b c d B．a b d c C．b a c d D．b a d c 5．关于的图象以下表达错误的选项是A．极点坐标为（﹣3， 2）B．对称轴为x=﹣ 3C．当 x＜﹣ 3 时 y 随 x 增大而减小D．函数有最大值为26．已知二次函数的图象以下列图，则以下说法正确的选项是（）A．＜0B．＜ 0C．＜ 0D．＜ 07．抛物线 y= （ x﹣ 2）2﹣ 1 可以由抛物线y=x 2平移而获取，以下平移正确的选项是（）A．先向左平移 2 个单位长度，尔后向上平移 1 个单位长度B．先向左平移 2 个单位长度，尔后向下平移 1 个单位长度C．先向右平移 2 个单位长度，尔后向上平移 1 个单位长度D．先向右平移 2 个单位长度，尔后向下平移 1 个单位长度8．如图，二次函数的图象张口向下，且经过第三象限的点若点P 的横坐标为，则一次函数的图象大体是A ．B ．C ．D．二、填空题9．二次函数y＝ kx2－ x－ 2 经过点 (1， 5)，则 k＝_________.10．函数 y= –的图象是抛物线，则 m= __________．11．张口向下的抛物线y＝(m 2－ 2)x2＋2mx ＋1 的对称轴经过点 (－1， 3)，则 m＝ _____．12．如图，这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段文字，则被墨迹污染的二次项系数是__________．13．抛物线 y=ax 2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与 x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象以下列图，以下结论：①4ac＜ b2；②方程ax2+bx+c=0 的两个根是x1=﹣ 1，x2=3；③3a+c=0；④当 y＞ 0 时，x 的取值范围是﹣ 1≤x＜ 3；⑤当 x＜ 0 时，y 随 x 增大而增大，其中结论正确的选项是 _____（只需填序号）三、解答题14．已知函数y=- (m+2)- (m为常数),求当m为何值时:(1)y 是 x 的一次函数 ?(2)y 是 x 的二次函数 ?并求出此时纵坐标为 -8 的点的坐标 .15．某广告公司设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告设计花销为1000 元 /m2.设矩形的一边长为xm，面积为ym2.(1) 求出 y 与 x 之间的函数关系式，说明y 可否是 x 的二次函数，并确定x 的取值范围；(2)若 x＝ 3 时，广告牌的面积最大，求此时的广告费应为多少？16．如图，已知二次函数 y=ax2+bx+3 的图象交 x 轴于点 A （ 1， 0）， B（ 3， 0），交 y 轴于点 C．（ 1）求这个二次函数的表达式；（ 2）点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线 x=m 分别交直线 BC 和抛物线于点 M ， N，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出 m 的值．参照答案1． B【解析】【解析】依照二次函数的定义:形如,则 y 是 x 的二次函数进行判断即可.【详解】A选项 ,y＝ 3x－ 1 是一次函数 ,不吻合题意 ,B选项 ,y＝3x2－ 1 是二次函数 ,吻合题意 ,C选项 , y＝ (x＋1)2－x2整理后 y=2x+1 是一次函数 ,不吻合题意 ,D选项 , y＝ ax2＋ 2x－ 3,二次项系数不确定可否等于0,不用然是二次函数 ,不吻合题意 ,应选 B.【点睛】此题主要观察二次函数的定义,解决此题的要点是要熟练掌握二次函数的定义.2． D【解析】【解析】依照二次函数定义，自变量的最高指数是二，且系数不为0，列出方程与不等式即可解答．【详解】2依照题意，得： a ﹣2a﹣ 1=22又由于 a +a≠0即 a≠0或 a≠﹣ 1应选 D．【点睛】解题要点是掌握二次函数的定义．3． C【解析】【解析】抛物线y=-x 2的二次项系数为-1，故抛物线张口向下，极点坐标（0， 0），最高点为原点，对称轴为y 轴，与 y 轴交于（ 0，0）．∵抛物线y=-x 2的二次项系数为-1，∴抛物线张口向下，极点坐标（0， 0）， A 正确；∴最高点为原点，对称轴为y 轴， B 、D 正确；与y 轴交于（ 0， 0）， C 错误，应选 C．【点睛】此题观察了基本二次函数 y=ax 2的性质：极点坐标（ 0， 0），对称轴为 y 轴，当 a＞ 0 时，张口向上，当 a＜ 0 时，张口向下．4． A【解析】由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象张口向上，当二次项系数为负时，图象张口向下”结合“二次项系数的绝对值越大，图象的张口越大”解析可得：a b c d .应选 A.点睛：（ 1）二次函数y ax2a0的图象的张口方向由“a 的符号”确定，当a0 时，图象的张口向上，当 a 0 时，图象的张口向下；（2）二次函数y ax2a0的图象的开口大小由a的大小确定，当a越大时，图象的张口越小.5． D【解析】解析：依照二次函数的性质比较四个选项利用消除法即可得出结论.详解：依照二次函数的性质可知的极点坐标为（﹣3， 2），故 A 正确；对称轴为x=﹣ 3，故 B 正确；张口向上，在对称轴右侧y 随x 增大而减小且函数有最小值 2 ，故 C 正确 D 错误 .点睛：此题观察了二次函数的性质，在解题时可结合函数大体图象来判断. 正确理解二次函数的基本性质是解题的要点 .6． B【解析】【解析】依照抛物线的张口方向确定a，依照抛物线与y 轴的交点确定 c，依照对称轴确定b，依照抛物线与 x 轴的交点确定b2-4ac，依照 x=1 时， y＞ 0，确定 a+b+c 的符号．∵抛物线张口向上，∴a＞ 0，∵抛物线交于y 轴的正半轴，∴c＞ 0，∴ac＞ 0，A 错误；∵ - ＞ 0， a＞ 0，∴b＜ 0，∴ B 正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，C 错误；当 x=1 时， y＞ 0，∴a+b+c＞ 0， D 错误；应选B．【点睛】此题观察的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线张口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．7． D【解析】解析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的极点坐标为基准研究．详解：抛物线y=x 2极点为（0，0），抛物线y= （x﹣ 2）2﹣ 1 的极点为（2，﹣ 1），则抛物线y=x 2向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位获取抛物线y= （ x﹣ 2）2﹣ 1 的图象．应选：D．点睛：此题观察二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线极点，从而确定平移方向．8． D【解析】【解析】依照二次函数的图象可以判断a、 b、的正负情况，从而可以获取一次函数经过哪几个象限，观察各选项即可得答案．【详解】由二次函数的图象可知，，，当时，，的图象经过二、三、四象限，观察可得 D 选项的图象吻合，应选 D．【点睛】此题观察二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，认真识图，会用函数的思想、数形结合思想解答问题是要点.9． 8【解析】解析：把（1， 5）代入 y=kx 2-x-2 中，即可获取关于k 的一元一次方程，解这个方程即可求得k 的值．详解：∵二次函数y=kx 2-x-2 经过点（ 1，5），∴5=k-1-2 ，解得 k=8 ；故答案为 8．点睛：此题观察了二次函数图象上点的坐标特色，抛物线上的点的坐标适合解析式．10．–1【解析】依照抛物线的定义，得＝，解得： m=– 1．11．－ 1【解析】由于抛物线y= （ m2-2） x2+2mx+1 的对称轴经过点（-1， 3），b2m=-1，∴对称轴为直线 x=-1 ，x=2 m22a2解得 m1=-1 ， m2=2．由于抛物线的张口向下，所以当m=2 时， m2-2=2 ＞ 0，不合题意，应舍去，∴m=-1 ．故答案为： -1.12．－ 2【解析】由题意得,所以 a=-2.13．①②③⑤【解析】【解析】利用抛物线与x 轴的交点个数可对①进行判断;利用抛物线的对称性获取抛物线与x 轴的一个交点坐标为(3,0), 则可对②进行判断;由对称轴方程获取b=-2a,尔后依照x=-1时函数值为0可获取 3a+c=0,则可对③进行判断;依照二次函数的性质对④进行判断.【详解】①∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△ =b2﹣ 4ac＞0，∴ 4ac＜ b2，结论①正确；②∵抛物线 y=ax2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=1 ，与 x 轴的一个交点坐标为（﹣ 1， 0），∴抛物线与 x 轴的另一交点坐标为（ 3，0），∴方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=﹣ 1， x2=3 ，结论②正确；③∵抛物线 y=ax2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=1，∴﹣=1，∴b= ﹣ 2a．∵当 x= ﹣1 时， y=0 ，∴a﹣ b+c=0，即 3a+c=0，结论③正确；④∵抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0）、（ 3， 0），∴当 y＞ 0 时， x 的取值范围是﹣1＜ x＜ 3，结论④错误；⑤∵抛物线张口向下，对称轴为直线x=1，∴当 x＜ 0 时， y 随 x 增大而增大，结论⑤正确．综上所述：正确的结论有①②③⑤．故答案为：①②③⑤．【点睛】二次函数图象与系数的关系：关于二次函数y=ax 2+bx+c （ a≠0），二次项系数 a 决定抛物线的张口方向和大小：当a＞ 0 时，抛物线向上张口；当a＜ 0 时，抛物线向下张口；一次项系数b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的地址：当 a 与 b 同号时（即 ab＞ 0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab＜ 0），对称轴在 y 轴右；常数项c 决定抛物线与 y 轴交点地址：抛物线与 y 轴交于（ 0， c）；抛物线与 x 轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞ 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△=b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△=b2-4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点．14． (1) m= ±;(2) m=2, 纵坐标为 -8 的点的坐标是 (±,-8).【解析】【解析】（ 1）依照一次函数的定义求m 的值即可；（2）依照二次函数的定义求得m 的值，从而求得二次函数的解析式，把y=-8代入解析式，求得x 的值，即可得纵坐标为-8的点的坐标.【详解】(1) 由 y=- (m+ 2)(m为常数 ),y 是 x 的一次函数,得解得m=±,当 m=±时 ,y 是 x 的一次函数.(2) 由y=- (m+ 2)(m 为常数),y是x 的二次函数,得解得m=2,m=- 2(不吻合题意的要舍去 ),当 m= 2 时 ,y 是 x 的二次函数 ,当 y=- 8 时 ,-8=- 4x2,解得 x= ±,故纵坐标为 - 8 的点的坐标是 (±,-8) .【点睛】此题观察了一次函数的定义、二次函数的定义，解题要点是掌握一次函数与二次函数的定义．15． (1)y ＝－ x2＋ 6x，是， 0＜ x＜ 6；（2） 9000 元【解析】试题解析：（ 1）矩形的一边长为 xm，依照矩形的周长是 12m，可得矩形的另一边长为（6－x） m，根据矩形的面积公式即可得出y 与 x 之间的函数表达式；（ 2）把 x＝ 3 代入函数的解析式得出y 的值即为广告牌的最大面积，再乘以1000 即为此时的广告费．试题解析：解：（ 1）由题意得出：y ＝ x(6－ x)＝－ x2＋ 6x，是二次函数，0＜ x＜ 6；（2）当 x＝ 3 时， y＝－ 32＋ 3×6＝ 9，1000×9＝ 9000 元，即此时的广告费应为9000 元．点睛：此题主要观察了依照实责问题抽象出二次函数解析式以及求二次函数值，正确得出二次函数解析式是解题要点．16．（ 1）这个二次函数的表达式是 y=x 2﹣ 4x+3 ；（ 2） S△最大 =；（ 3）当△BMN 是等腰BCP三角形时， m 的值为，﹣，1， 2．【解析】解析：（1）依照待定系数法，可得函数解析式；（ 2）依照平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE 的长，依照面积的和差，可得二次函数，依照二次函数的性质，可得答案；（ 3）依照等腰三角形的定义，可得关于m 的方程，依照解方程，可得答案．详解：（ 1）将 A （ 1， 0）， B（ 3， 0）代入函数解析式，得＝，＝解得＝，＝这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3 ；（ 2）当 x=0 时， y=3，即点 C（ 0，3），设 BC 的表达式为y=kx+b ，将点 B（ 3，0）点 C（ 0， 3）代入函数解析式，得＝，＝解这个方程组，得＝＝直线 BC 的解析是为y=-x+3 ，过点 P 作 PE∥ y 轴，交直线 BC 于点 E（ t， -t+3 ），22PE=-t+3-（ t -4t+3 ） =-t +3t，22，∴ S△BCP=S△BPE+S CPE= （ -t +3t）×3=- （ t- ） +∵- ＜ 0，∴当 t= 时， S△BCP最大 = .（3） M （ m， -m+3 ）， N （m， m2-4m+3 ）2MN=m -3m， BM=|m-3|，当 MN=BM时，① m2-3m=（m-3），解得m=，②m2 -3m=- （ m-3），解得 m=-当BN=MN 时，∠ NBM= ∠ BMN=45°，m2 -4m+3=0 ，解得 m=1 或 m=3（舍）当BM=BN 时，∠ BMN= ∠ BNM=45°，-（ m2-4m+3 ） =-m+3 ，解得 m=2 或 m=3（舍），当△BMN 是等腰三角形时，m 的值为，-，1，2．点睛：此题观察了二次函数综合题，解（1）的要点是待定系数法；解（2）的要点是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的要点是利用等腰三角形的定义得出关于m 的方程，要分类谈论，以防遗漏．。
人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质同步练习(含答案)
人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质[测试时间：45分钟分值：100分]一、选择题(每题5分，共30分)1．与抛物线y＝2(x－1)2＋2形状相同的抛物线是()A．y＝12(x－1)2B．y＝2x2C．y＝(x－1)2＋2 D．y＝(2x－1)2＋22．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝ax＋b(a，b都不为0)的图象的相对位置可以是()A BC D3．关于二次函数y＝－12(x－3)2－2的图象与性质，下列结论错误的是()A．抛物线的开口向下B．当x＝3时，函数有最大值－2 C．当x>3时，y随x的增大而减小D．抛物线可由y＝12x2的图象经过平移得到4．已知二次函数y＝a(x－1)2＋3，当x<1时，y随x的增大而增大，则a 的取值范围是()A．a≥0 B．a≤0C．a>0 D．a<05．下列抛物线中，顶点坐标为(2,1)的是()A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x－2)2＋1C．y＝(x＋2)2－1 D．y＝(x－2)2－16．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状(如图1)，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4 cm，最低点C在x轴上，高CH＝2 cm，BD＝2 cm，则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为()图1A ．y ＝12(x ＋3)2B ．y ＝12(x －3)2C ．y ＝－12(x ＋3)2D ．y ＝－12(x －3)2二、填空题(每题4分，共24分)7．二次函数y ＝－(x －3)2＋2的图象的顶点坐标是______________，对称轴是______________．8．已知二次函数y ＝－12x 2－3，如果x >0，那么函数值y 随着自变量x 的增大而________(填“增大”或“减小”)．9．隧道的截面是抛物线形，以水平面为x 轴，隧道中线为y 轴，则抛物线的解析式为y ＝－19x 2＋3.25，一辆车高3 m ，宽4 m ，该车________通过该隧道(填“能”或“不能”)．10．如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上，抛物线C 2的顶点也在抛物线C 1上时，此时我们称抛物线C 1与C 2是“互为关联”的抛物线．那么与抛物线y ＝2x 2是“互为关联”且顶点不同的抛物线的解析式可以是__________________(只需写出一个)．11．某游乐园要建一个圆形喷水池，在喷水池的中心安装一个大的喷水头，高度为103m ，喷出的水柱沿抛物线轨迹运动(如图2)，在离中心水平距离4 m 处达到最高，高度为6 m ，之后落在水池边缘，那么这个喷水池的直径为________ m.图212．如图3，抛物线y ＝ax 2＋c (a <0)交x 轴于点G ，F ，交y 轴于点D ，在x轴上方的抛物线上有两点B ，E ，它们关于y 轴对称，点G ，B 在y 轴左侧，BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C ，四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为________．图3三、解答题(共46分)13．(8分)已知抛物线如图4，根据图象可得：图4(1)抛物线的顶点坐标为______________； (2)对称轴为______________；(3)当x ＝______________时，y 有最大值，最大值是______________； (4)当______________时，y 随着x 的增大而增大； (5)当______________时，y >0.14．(8分)已知二次函数y ＝12(x ＋1)2＋4.(1)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；(2)画出此函数的图象，并说出将此函数图象如何平移得到y ＝12x 2的图象．15．(10分)如图5，一个运动员推铅球，铅球在点A 处出手，出手时球离地面约53 m ．铅球落地点在B 处，铅球运行中在运动员前4 m 处(即OC ＝4 m)到达最高点，最高点高为3 m ．已知铅球经过的路线是抛物线，根据如图的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？图516．(10分)如图6，点A是抛物线y＝ax2上第一象限内的点，点A的坐标为(3,6)，AB⊥y轴与抛物线y＝ax2的另一交点为点B.(1)求a的值和点B的坐标；(2)在x轴上有一点C，点C的坐标为(5,0)，求△AOC的面积．图617．(10分)如图7，抛物线的顶点为(1，－4)，与x轴交于A，B两点，与y 轴负半轴交于点C(0，－3)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为对称轴右侧抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M落在对称轴上，求P点的坐标．图7参考答案1．B 2.A 3.D 4.D 5.B 6.B7．(3,2)直线x＝38.减小9.不能10．y＝－2(x－1)2＋2(答案不唯一)11．2012.413．(1)(－3,2)(2)直线x＝－3(3)－32(4)x<－3(5)－5<x<－1 14．(1)抛物线的开口向上，顶点坐标为(－1,4)，对称轴为直线x＝－1.(2)图略，将二次函数y＝12(x＋1)2＋4的图象向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度可得到y＝12x2的图象．15．该运动员的成绩为10 m.16．(1)a＝23，点B的坐标为(－3,6)．(2)S△AOC＝15.17．(1)y＝x2－2x－3.(2)点P的坐标为(2，－3)或(4,5)．。
九年级数学上册《第二十二章二次函数的图像和性质》同步练习题带答案(人教版)
九年级数学上册《第二十二章二次函数的图像和性质》同步练习题带答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．坐标平面上，某二次函数图形的顶点为（2，﹣1），此函数图形与x轴相交于P、Q两点，且PQ=6．若此函数图形通过（1，a）、（3，b）、（﹣1，c）、（﹣3，d）四点，则a、b、c、d之值何者为正？（）A．a B．b C．c D．d2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x …-1 0 1 2 ……y …0 3 4 3那么关于它的图象，下列判断正确的是（）A．开口向上B．与x轴的另一个交点是（3，0）C．与y轴交于负半轴D．在直线x=1的左侧部分是下降的3．已知抛物线C：y=(x+2)2+1，将抛物线C平移得到抛物线C′，若两条抛物线C和C′关于直线x=1对称，则下列平移方法中，正确的是（）A．将抛物线C向右平移3个单位B．将抛物线C向右平移6个单位C．将抛物线C向左平移3个单位D．将抛物线C向左平移6个单位4．将函数y=x2-2x-5变形为y=a（x-h）2+k的形式，正确的是（）A．y=（x-1）2-5 B．y=（x-2）2+5C．y=（x-1）2-6 D．y=（x+1）2-45．已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是（）A．x>-3 B．-3<x<1 C．x<-3或x>1 D．x<1x2经过平移得到抛物线y=ax2+bx，其对称轴与两段抛物线所6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 13，则a、b的值分别为（）围成的阴影部分的面积为83A．和B．和﹣C．和﹣D．﹣和7．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，自变量x与函数y之间的部分对应值如表：x …0 1 2 3 …y …﹣1 2 3 2 …在该函数的图象上有A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，且﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4，y1与y2的大小关系正确的是（）A．y1≥y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1＜y28．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x=h＜2，0＜x A＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③若OC=2OA，则2b﹣ac=4；④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．函数y=x2+2x+1，当y=0时，x= ；当1＜x＜2时，y随x的增大而（填写“增大”或“减小”）．10．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0无实数解，则抛物线y＝﹣x2﹣bx+c经过象限．11．若函数y=a（x﹣h）2+k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y=2x2﹣2x+3相同，则此函数关系式．12．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.有下列结论：①b2−4ac<0；②ab>0；③a−b+c=0；④4a+b=0；⑤当y=2时，x只能等于0 .其中正确的是13．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示，当y˃0时，x的范围是.三、解答题14．将长为156cm的铁线剪成两段，每段都围成一个边长为整数（cm）的正方形，求这两个正方形面积和的最小值．15．已知二次函数y=x2+bx+c的图象过（2，-1）和（4，3）两点，求y=x2+bx+c的表达式16．已知二次函数y=-2x2+8x-6，完成下列各题：（1）写出它的顶点坐标C；（2）它的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C，求S△ABC．x2﹣x+4.17．已知抛物线y=﹣12（1）用配方法确定它的顶点坐标和对称轴；（2）x取何值时，y随x的增大而减小？18．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(m，−2m+3)，过点A作y轴的平行线交二次函数y=x2的图象于点B．（1）点B的纵坐标为（用含m的代数式表示）；（2）当点A落在二次函数y=x2的图象上时，求m的值；（3）当m<0时，若AB=2．求m的值；（4）当线段AB的长度随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．19．某班“数学兴趣小组”对函数y=x2−2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.x⋯−3−52−2−10 1 2523 ⋯y⋯ 3 540 −10 −10543 ⋯（1）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；（2）观察函数图象，写出2条函数的性质；（3）进一步探究函数图象发现：①方程x2−2|x|=0的实数根为；②方程x2−2|x|=2有个实数根.③关于x 的方程 x 2−2|x|=a 有4个实数根时，a 的取值范围 .参考答案1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】-1；增大 10．【答案】三、四11．【答案】y=﹣2（x ﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8 12．【答案】③④ 13．【答案】−1<x <314．【答案】解：设其中一段铁丝的长度为xcm ，另一段为（156﹣x ）cm 则两个正方形面积和S= 116 x 2+ 116 （156﹣x ）2= 18 （x ﹣78）2+761 ∴由函数当x=78cm 时，S 最小，为761cm 2． 答：这两个正方形面积之和的最小值是761cm 215．【答案】解：把（2，﹣1）和（4，3）代入y=x 2+bx+c 得 {1+2b +c =−116+4b +c =3解得 {b =−4c =3所以二次函数解析式为y=x 2﹣4x+316．【答案】（1）解：∵y=-2x 2+8x-6=-2（x-2）2+2 ∴顶点坐标C 为（2，2） （2）解：∵二次函数y=-2x 2+8x-6的图象与x 轴交于A ，B 两点 ∴当y=0时，0=-2x 2+8x-6 ∴x 1=1，x 2=3∴点A （1，0），点B （3，0） ∴AB=2∴S △ABC = 12 ×AB ×2=2.17．【答案】（1）解：∵y=﹣ 12 x 2﹣x+4=﹣ 12 （x 2+2x ﹣8）=﹣ 12 [（x+1）2﹣9]=﹣ 12 （x+1）2+ 92 ∴它的顶点坐标为（﹣1， 92 ），对称轴为直线x=﹣1 （2）解：∵抛物线对称轴是直线x=﹣1，开口向下 ∴当x ＞﹣1时，y 随x 增大而减小 18．【答案】（1）m 2（2）解：把A （m ，-2m+3）代入y=x 2，得-2m+3=m 2． 解得m 1=-3，m 2=1；（3）解：根据题意知：|-2m+3-m 2|=2． ①-2m+3-m 2=2解得m 1=−√2−1，m 2=√2−1 ∵m ＜0∴m=−√2−1，符合题意； ②-2m+3-m 2=-2解得m 1=−√6−1，m 2=√6−1 ∵m ＜0∴m=−√6−1，符合题意．综上所述，m 的值为−√2−1或−√6−1； （4）-3＜m ≤-1或m ＞119．【答案】（1）解：如图所示；（2）①函数图象是轴对称图形，关于 y 轴对称；②当 x >1 时， y 随 x 的增大而增大 （3）x 1=−2，x 2=0，x 3=2；2；−1<a <0。
人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图像和性质》同步练习题(附答案)
人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图像和性质》同步练习题（附答案）姓名班级学号成绩一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．拋物线的顶点坐标是（）A．B．C．D．2．函数是关于的二次函数，则的值为（）A．B．C．D．3．把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为A．B．C．D．4．如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（）A．B．C．D．5．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，与x轴交于点A，点A的坐标为，则的值为（）A．B．0 C．1 D．26．已知点，在二次函数的图像上，若，则必有（）A．B．C．D．7．如图，二次函数的图象与x轴相交于点A，B，顶点M在矩形的边上移动.若，点B的横坐标的最大值为2.5，则点A的横坐标最小值为（）A．-2 B．C．D．08．如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．已知是关于的二次函数，则m= .10．已知二次函数，则的最小值是．11．已知二次函数，当时，的取值范围是．12．若抛物线的图象与轴有交点，那么的取值范围是.13．已知抛物线，若抛物线恒在轴下方，且符合条件的整数只有三个，则实数的最小值为.三、解答题：（本题共5题，共45分）14．求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。
15．二次函数的图象经过点．（1）求二次函数的对称轴；（2）当时，求此时二次函数的表达式；把化为的形式，并写出顶点坐标．16．已知抛物线是常数的开口向上且经过点和．（1）当时，求抛物线的顶点坐标；（2）若二次函数在时，的最大值为，求的值；（3）若射线与抛物线仅有一个公共点，求的取值范围．17．如图，在平面直角坐标系中，过抛物线的顶点A作x轴的平行线，交抛物线y＝x2+1于点B，点B在第一象限．（1）求点A的坐标；（2）点P为x轴上任意一点，连结AP、BP，求△ABP的面积．18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x－2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－(x－m)2＋m2的顶点为P，过点P分别作x轴，y轴的垂线交AB于点M，Q，直线PM交x轴于点N．（1）若点P在y轴的左侧，且N为PM中点，求抛物线的解析式；（2）求线段PQ长的最小值，并求出当PQ的长度最小时点P的坐标；（3）若P，M，N三点中，任意两点都不重合，且PN＞MN，求m的取值范围．参考答案：1．C 2．C 3．B 4．B 5．B 6．D 7．C 8．D9．-110．311．12．13．-914．解：对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-1）15．（1）解：二次函数的对称轴是直线，即直线（2）解：二次函数的图象经过点此时二次函数的表达式为；顶点坐标为．16．（1）解：抛物线是常数经过点，和抛物线的顶点坐标为；（2）解：抛物线是常数的开口向上且经过点和二次函数，在时，的最大值为时，或时或解得舍弃或；（3）解：和直线的解析式为抛物线抛物线在的范围内仅有一个交点即方程在的范围内仅有一个根整理得在的范围内只有一个解即抛物线在的范围内与轴只有一个交点观察图象可知，时解得．当方程有等根时，解得或舍弃当时，交点的横坐标为，符合题意或．17．（1）解：∵点A是抛物线的顶点∴和∴点A的坐标为(4,2)（2）解：∵AB平行于x轴∴又B在抛物线y＝x2+1上∴∴底为AB=3，高恒为218．（1）解：∵抛物线y＝－(x﹣m)2＋m2的顶点为P∴P（m，m2）∵PM⊥x轴∴M（m，－m－2），N（m，0）∵N为PM中点∴m2－m－2＝0解得m1＝－1，m2＝2∵点P在y轴左侧∴m＝－1∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋1．（2）解：由y＝－x－2＝0，解得x＝－2，所以A（－2，0），OA＝2．当x＝0时，y＝－x－2＝－2，所以B（0，－2），OB＝OA＝2．∵∠AOB＝90°∴∠OAB＝∠OBA＝45°∵PM⊥x轴，PQ⊥y轴∴∠PQM＝∠PMQ＝45°∴PQ＝PM＝m2－(－m－2)＝(m＋ )2＋．∵a＝1＞0∴当m＝－时，PQ的值最小，最小值为此时点P的坐标为（－，）．（3）解：易知，当m＝－2时，M，N重合，不合题意；当m＝0时，P，N重合，不合题意；当m＜－2时（如图），PN＞MN，符合题意；当m＞－2时（如图），PN－MN＝m2－[－(－m－2)]＝m2－m－2＝(m－ )2－．由m2－m－2＝0，解得m1＝－1，m2＝2又∵a＝1＞0∴当－2＜m＜－1或m＞2时，PN－MN的值大于0，即PN＞MN；综上可知，m的取值范围是m＜－2或－2＜m＜－1或m＞2。
人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图像和性质》同步练习题(附答案)
人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图像和性质》同步练习题(附答案)姓名班级学号成绩一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．抛物线的顶点坐标是（）A．B．C．D．2．二次函数的图象与轴的交点个数是（）A．1个B．2个C．0个D．无法确定3．把抛物线向右平移2个单位，则所得抛物线的表达式为（）A．B．C． D．4．如图，在用一坐标中，函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝ax+b的图象大致是（）A． B． C． D．5．已知二次函数（为实数，且），当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知，和三点都在二次函数的图象上，则，和的大小关系为（）A．B．C．D．7．已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（）A．B．C．D．8．如图，抛物线交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①一元二次方程有两个相等的实数根；②若点，和在该函数图象上，则；③将该抛物线先向左平移1个单位，再沿x轴翻折，得到的抛物线表达式是；④在y轴上找一点D，使的面积为1，则D点的坐标为.以上四个结论中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．已知二次函数y＝3（x﹣3）（x+2），则该函数对称轴为直线．10．关于x的函数与x轴有唯一交点，则a的值是.11．已知二次函数有最小值，则的值是．12．已知二次函数y=x2＋2mx＋2，当x＞2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是. 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是．三、解答题：（本题共5题，共45分）14．已知点在以y轴为对称轴的抛物线上，求的最大值．15．抛物线．（1）求顶点坐标，对称轴；（2）x取何值时，y随x的增大而减小？（3）x取何值时，y＝0；x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0 ．16．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．（1）当，时，比较与的大小，并说明理由；（2）若对于，都有，求的取值范围．17．已知：如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B（0，3）和点A（3，0）．（1）求该抛物线的函数解析式和直线AB的函数解析式；（2）若直线l⊥x轴，在第一象限内与抛物线交于点M，与直线AB交于点N，求点M与点N之间的距离的最大值或最小值，以及此时点M，N的坐标．18．已知抛物线（a为常数，）的图象经过原点，点A在抛物线上运动．（1）求a的值．（2）若点和点都是这个抛物线上的点，且有，求t的取值范围．（3）设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作轴，垂足为点B，过点D作轴，垂足于点C，试问四边形的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由．参考答案：1．D 2．C 3．D 4．D 5．B 6．C 7．D 8．C9．x＝10．0或111．112．m≥-213．-214．解：∵二次函数的对称轴是直线x=0∴∴a=0∴该二次函数的解析式为：∵点在该函数的图象上∴∴∴当m=1时，取得最大值-3．15．（1）解：．顶点坐标为（2，2），对称轴为直线；（2）解：当时，y随x的增大而减小；（3）解：令y=0，即-2x2+8x-6=0，解得x=1或3，抛物线开口向下当或时，y＝0；当时，y＞0；当或时，y＜0．16．（1）解：由题意可知，在抛物线上抛物线开口向上，对称轴为直线，到对称轴的距离相同；（2）解：当时，则解得和抛物线经过点和对称轴为直线对于，都有解得解得．17．（1）解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B（0，3）和点A（3，0）∴，解得∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3设直线AB的函数解析式为y＝kx＋m，由题意，得，解得∴直线AB的函数解析式为y＝－x＋3．（2）解：设点M的坐标为（a，－a2＋2a＋3），则N点坐标为（a，－a＋3）∵M，N在第一象限∴MN＝－a2＋2a＋3－（－a＋3）＝－a2＋2a＋3＋a－3＝－a2＋3a＝－＋∴当a＝时，点M与点N之间的距离的最大，最大值为，此时点M的坐标为，点N的坐标为．18．（1）解：将原点坐标代入抛物线可得：∵∴；（2）解：把代入抛物线可得：点P和点Q代入抛物线解析式可得：∵∴∴∴；（3）解：由抛物线解析式可得对称轴为平行于轴，设且和由抛物线的对称性可知、两点的中点坐标在对称轴上∴∴∵和都和轴垂直，平行于轴∴四边形是矩形由函数图象可知点纵坐标∴四边形的周长为：∴当时四边形周长有最大值。
人教版九年级上册数学22.1 二次函数的图象和性质 同步检测(答案解析)
22.1 二次函数的图象和性质1.有下列函数：①y=x 2;②y=-x 2;③y=(x-1)2+2.其中，图象通过平移可以得到函数y=x 2+2x-3的有(B). A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 2.已知二次函数y=ax 2-2x+2(a ＞0)，那么它的图象一定不经过(C). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.抛物线y=(m-1)x 2-mx-m 2+1的图象过原点，则m 的值为(D). A.±1 B.0 C.1 D.-14.二次函数y=x 2+bx+c ，若b+c=0，则它的图象一定过点(D). A.(-1，-1) B.(1，-1) C.(-1，1) D.(1，1)5.请写出一个对称轴为直线x=1，且图象开口向上的二次函数表达式： y=x 2-2x ． 6.将二次函数y=12x 2-2x+1化成y=ax+m 2+n 的形式为 y=21 (x －2)2－1 ． 7.已知抛物线y=x 2+bx+c 经过点A(0，5)，B(4，5)，则此抛物线的对称轴是 直线x=2 ． 8.已知y 是x 的二次函数，y 与x 的部分对应值如下表所示：该二次函数图象向左平移 3 个单位，图象经过原点. 9.已知二次函数y=-21x 2-x+23．(第9题) (1)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． (2)根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围．(3)若将此函数图象沿x 轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【答案】(1)图略 (2)x ＜-3或x ＞1. (3)∵y=-21（x+1）2+2，∴此图象沿x 轴向右平移3个单位，平移后图象所对应的二次函数表达式为y=-21（x-2）2+2. 10.已知抛物线y=-x 2+bx+c 经过点B(-1，0)和点C(2，3). (1)求此抛物线的函数表达式.(2)如果此抛物线沿y 轴平移一次后过点(-2，1)，试确定这次平移的方向和距离. 【答案】(1)由题可得⎩⎨⎧=++-=+--32401c b c b ,解得⎩⎨⎧==32c b .∴抛物线的函数表达式为y=-x 2+2x+3.(2)设沿y 轴平移m 个单位，则此抛物线的函数表达式为y=-x 2+2x+3+m. 由题意可知1=-4-4+3+m ，解得m=6＞0，∴抛物线向上平移了6个单位.11.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列说法中，正确的是(B). A.abc ＜0，b 2-4ac ＞0 B.abc ＞0，b 2-4ac ＞0 C.abc ＜0，b 2-4ac ＜0 D.abc ＞0，b 2-4ac ＜0（第11题）（第12题） （第14题）12.如图所示，抛物线y=x 2-2x-3与y 轴交于点C ，点D 的坐标为(0，-1)，在第四象限抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，则点P 的横坐标为(A). A.1+2 B.1-2 C.2-1 D.1-2或1+213.小颖想用“描点法”画二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象，取自变量x 的5个值，分别计算出对应的y 值(如下表).由于粗心，小颖算错了其中的一个y 值，请你指出这个算错的y 值所对应的x= 2 ．14.如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为(3，0)，顶点B在y轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上.若抛物线y=-x2-5x+c经过点B，C，则菱形ABCD的面积为 20 .（第15题）15.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA，OC分别在坐标轴上，OA=2，OC=1，以点A 为顶点的抛物线经过点C.(1)求抛物线的函数表达式.(2)将矩形ABCO绕点A旋转，得到矩形AB′C′O′，使点C′落在x轴上，抛物线是否经过点C′？请说明理由.【答案】(1)∵OA=2，∴抛物线的顶点A的坐标是(0，2)，C(-1，0).∴设抛物线的函数表达式为y=ax2+2，把点C(-1，0)代入，得0=a+2，解得a=-2.∴抛物线的函数表达式为y=-2x2+2.（第15题答图）(2)如答图所示，连结AC，AC′.根据旋转的性质得到AC=AC′，OA⊥CC′，即点C与点C′关于y轴对称.又∵该抛物线的对称轴是y轴，点C在该抛物线上，∴抛物线经过点C′.16.如果二次函数的二次项系数为1，那么此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称［p，q］为此函数的特征数，如函数y=x 2+2x+3的特征数是［2，3］．(1)若一个二次函数的特征数为［-2，1］，求此函数图象的顶点坐标． (2)探究下列问题：①若一个二次函数的特征数为［4，-1］，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．②若一个二次函数的特征数为［2，3］，则此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为［3，4］？【答案】 (1)由题意得y=x 2-2x+1=（x-1）2，∴此函数图象的顶点坐标为（1，0）. (2)①由题意得y=x 2+4x-1=（x+2）2-5，∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得y=（x+2-1）2-5+1=（x+1）2-4=x 2+2x-3.∴图象对应的函数的特征数为 ［2，-3］.②∵原函数的特征数为 [2，3]，∴该函数表达式为y=x 2+2x+3=（x+1）2+2. ∵平移后图象对应的函数的特征数为[3，4]，∴该函数表达式为y=x 2+3x+4=（x+23）2+47. ∴原函数的图象应向左平移21个单位，再向下平移41个单位. 17.【绍兴】矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为(2，1).一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达式为y=x 2，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为(A).A.y=x 2+8x+14 B.y=x 2-8x+14 C.y=x 2+4x+3 D.y=x 2-4x+318.【杭州】设直线x=1是函数y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是实数，且a ＜0)的图象的对称轴，下列说法中，正确的是(C).A.若m ＞1，则(m-1)a+b ＞0B.若m ＞1，则(m-1)a+b ＜0C.若m ＜1，则(m+1)a+b ＞0D.若m ＜1，则(m+1)a+b ＜0（第19题）19.【宁波】如图所示，已知抛物线y=-x 2+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(3，0).(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标.(2)P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标. 【答案】(1)把点B(3，0)代入抛物线y=-x 2+mx+3，得0=-32+3m+3，解得m=2. ∴y=-x 2+2x+3=-(x-1)2+4.∴抛物线的顶点坐标为(1，4).（第19题答图）(2)如答图所示，连结BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小. 抛物线y=-x 2+mx+3与y 轴的交点为C （0，3）.设直线BC 的表达式为y=kx+b.∵点B(3，0)，点C(0，3)，∴⎩⎨⎧=+=b b k 330,解得⎩⎨⎧=-=31b k .∴直线BC 的表达式为y=-x+3. 当x=1时，y=-1+3=2，∴当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为(1，2).（第20题）20.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y=a （x-25）2+h 分别与x 轴、y 轴交于点A(1，0)和点B(0，-2)，将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°至AP. (1)求点P 的坐标及抛物线C 1的函数表达式.(2)将抛物线C 1先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C 2，请判断点P 是否在抛物线C 2上，并说明理由. 【答案】（第20 题答图） (1)∵点A(1，0)和点B(0，-2)，∴OA=1，OB=2.如答图所示，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，由题意得AB=AP ，∠BAP=90°， ∴∠OAB+∠PAM=∠ABO+∠OAB=90°. ∴∠ABO=∠PAM. 在△ABO 与△PAM 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AP,AB PAM,ABO AMP,AOB ,∴△ABO ≌△PAM.∴AM=OB ，PM=OA. ∴P(3，-1).∵点A(1，0)，B(0，-2)在抛物线C 1:y=a （x-25）2+h 上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=h a h a 2225022510,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=8921h a .∴抛物线的函数表达式C 1：y=-21（x-25）2+89.(2)∵将抛物线C 1先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C 2，∴抛物线C 2的表达式为y=-21（x-25+2）2+89+1=-21（x-21）2+817.当x=3时，y=-21（3-21）2+817=-1，∴点P 在抛物线C 2上.。
最新人教版九年级上册二次函数的图象和性质 同步练习 含答案
人教版九年级上册同步练习二次函数的图象和性质一．选择题（共10小题）1．下列函数属于二次函数的是（）A．y＝x﹣B．y＝（x﹣3）2﹣x2C．y＝﹣x D．y＝2（x+1）2﹣12．当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（）A．a＝1B．a＝﹣1C．a≠﹣1D．a≠13．下列抛物线的图象，开口最大的是（）A．y＝x2B．y＝4x2C．y＝﹣2x2D．无法确定4．抛物线y＝（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）5．抛物线y＝x2+4x+7的对称轴是（）A．直线x＝4B．直线x＝﹣4C．直线x＝2D．直线x＝﹣2 6．对于二次函数y＝2（x﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（）A．图象开口向下B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x＝﹣17．下列对二次函数y＝x2﹣2x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．对称轴右侧部分下降8．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．abc＞0B．a+b+c＝0C．4a﹣2b+c＜0D．b2﹣4ac＜0 10．二次函数y＝﹣x2+ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（）A．a＝4B．当x＞2.5时，y随x的增大而减小C．当x＝﹣1时，b＞5D．当b＝8时，函数最大值为10二．填空题（共8小题）11．若y＝（a+2）x|a|+1是以x为自变量的二次函数，则a＝．12．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为．13．二次函数y＝x2﹣16x﹣8的最小值是．14．当二次函数y＝﹣x2+4x﹣6有最大值时，x＝．15．二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），则m的值为．16．将抛物线y＝2（x+3）2+4先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为．17．已知点P1（﹣2，y1），P2（2，y2）在二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，则y1y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有．（填序号）三．解答题（共6小题）19．已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y═x2﹣mx+m2+m．（1）若该抛物线经过原点，求m的值；（2）求证该抛物线的顶点在直线y＝x上；（3）若点A（﹣4，0），B（0，2），当该抛物线与线段AB只有一个公共点时，结合函数图象，直接写出m的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2bx+b2+1的对称轴与x轴交于点A，将点A向左平移b个单位，再向上平移3﹣b2个单位，得到点B．（1）求点B的坐标（用含b的式子表示）；（2）当抛物线经过点（0，2），且b＞0时，求抛物线的表达式；（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合图象，直接写出b 的取值范围．21．把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n ＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．22．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．23．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与直线y＝﹣x+3相交于x 轴上的点A，y轴上的点B．顶点为P．（1）求这个二次函数的解析式；（2）现将抛物线向左平移m个单位，当抛物线与△PBA有且只有一个公共点时，求m的值．24．已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A （3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A．自变量x的次数不是2，故A错误；B．y＝（x﹣3）2﹣x2整理后得到y＝﹣6x+9，是一次函数，故B 错误C．由可知，自变量x的次数不是2，故C错误；D．y＝2（x+1）2﹣1是二次函数的顶点式解析式，故D正确．故选：D．2．解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1，故选：D．3．解：∵二次函数中|a|的值越小，函数图象的开口越大，又∵||＜|﹣2|＜|4|，∴抛物线y＝x2的图象开口最大，故选：A．4．解：抛物线y＝（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（3，﹣5），故选：C．5．解：因为a＝1，b＝4，c＝7，所以对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝﹣2，故选：D．6．解：A、y＝2（x﹣1）2﹣8，∵a＝2＞0，∴图象的开口向上，故本选项错误；B、当x＞1时，y随x的增大而增大；故本选项错误；C、当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；D、图象的对称轴是直线x＝1，故本选项错误．故选：C．7．解：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，A．由a＝1＞0知抛物线开口向上，此选项错误；B．此抛物线的对称轴为直线x＝1，此选项错误；C．当x＝0时，y＝0，此抛物线经过原点，此选项正确；D．由a＞0且对称轴为直线x＝1知，当x＞1，即对称轴右侧时，y随x的增大而增大，此选项错误；故选：C．8．解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项正确；C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误．故选：B．9．解：由图象可得，a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，故选项A正确；当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故选项B错误；当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故选项C错误；该函数图象与x轴两个交点，则b2﹣4ac＞0，故选项D错误；故选：A．10．解：∵二次函数y＝﹣x2+ax+b∴对称轴为直线x＝﹣＝2∴a＝4，故结论A正确；∵对称轴为直线x＝2且图象开口向下，∴当x＞2.5时，y随x的增大而减小，故结论B正确；当x＝﹣1时，由图象知此时y＞0即﹣1﹣4+b＞0∴b＞5，故结论C正确；当b＝8时，y＝﹣x2+4x+8＝﹣（x﹣2）2+12∴函数有最大值12，故结论D不正确；故选：D．二．填空题（共8小题）11．解：由题意得：|a|＝2，且a+2≠0，解得：a＝2，故答案为：2．12．解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，∴顶点坐标是（1，8）．故答案为：（1，8）．13．解：y＝x2﹣16x﹣8＝（x﹣8）2﹣72，由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为﹣72，故答案为：﹣72．14．解：∵y＝﹣x2+4x﹣6，＝﹣（x2﹣4x+4）+4﹣6，＝﹣（x﹣2）2﹣2，∴当x＝2时，二次函数取得最大值．故答案为：2．15．解：∵根二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），∴5﹣m2＝4，解得m＝±1．故答案为±1．16．解：将抛物线y＝2（x+3）2+4先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度可得：y＝2（x+3﹣1）2+4﹣5，即y＝2（x+2）2﹣1，故答案为y＝2（x+2）2﹣1．17．解：当x＝﹣2时，y1＝（﹣2+1）2﹣2＝﹣1；当x＝2时，y2＝（2+1）2﹣2＝7．∵﹣1＜7，∴y1＜y2．故答案为＜．18．解：抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，因此可得，抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），a﹣b+c＝0，x＝﹣＝2，即4a+b＝0，因此①正确；当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，因此②不正确；当x＝5时，y＝25a+5b+c＝0，又b＝﹣4a，所以5a+c＝0，而a＜0，因此有3a+c＞0，故③正确；在对称轴的左侧，即当x＜2时，y随x的增大而增大，因此④不正确；当x＝2时，y最大＝4a+2b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，因此有4a+2b≥am2+bm，故⑤正确；综上所述，正确的结论有：①③⑤，故答案为：①③⑤．三．解答题（共6小题）19．解：（1）∵抛物线经过原点，∴m2+m＝0，解得m1＝0，m2＝﹣2；（2）∵y═x2﹣mx+m2+m＝（x﹣m）2+m，∴该抛物线的顶点坐标为（m，m），∴抛物线的顶点直线直线y＝x上；（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把点A（﹣4，0），B（0，2）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝+2，令x+2＝x2﹣mx+m2+m，整理得x2﹣（m+）x+m2+m ﹣2＝0，△＝（m+）2﹣4×（m2+m﹣2）＝0，解得m＝，∵此时对称轴为x＝﹣＝＞0，故舍去；把A（﹣4，0）代入y＝x2﹣mx+m2+m得，m2+5m+8＝0，解得m＝﹣2或﹣8；把B（0，2）代入y＝x2﹣mx+m2+m得，m2+m+﹣2＝0，解得m＝﹣1，由图象可知，该抛物线与线段AB只有一个公共点时，﹣8≤m≤﹣1﹣或﹣2≤m≤﹣1+．20．解：（1）由题意得抛物线y＝﹣x2+2bx+b2+1的对称轴为，∴点A坐标为（b，0），∴点B坐标为（0，3﹣b2）（2）把（0，2）代入y＝﹣x2+2bx+b2+1中，解得b＝±1．∵b＞0，∴b＝1．∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+2；（3）当抛物线过点B时，抛物线AB有一个公共点，∴b2+1＝3﹣b2∴b＝±1，如图：当b＞1时，抛物线与线段AB无交点；当b＝1时，抛物线与线段AB有一个交点；当﹣1＜b＜1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b＝﹣1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b＜﹣1时，抛物线与线段AB无交点．∴若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则﹣1≤b≤1．21．解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝（x+1﹣4）2+2﹣5，即y＝（x﹣3）2﹣3，∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3．（2）动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上，理由如下：∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，∴函数的最小值为﹣3，∵﹣6＜﹣3，∴动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上；（3）∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝3，∴当x＜3时，y随x的增大而减小，∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，∴y1＞y2．22．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a ﹣3．∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵抛物线的顶点在x轴上，∴2a2﹣a﹣3＝0，解得a＝或a＝﹣1，∴抛物线为y＝x2﹣3x+或y＝﹣x2+2x﹣1；（3）∵抛物线的对称轴为x＝1，则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2），∴当a＞0，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＜0，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．23．解：（1）∵直线y＝﹣x+3交于x轴上的点A，y轴上的点B，∴A（3，0），B（0，3），把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）当抛物线经过点B时，抛物线与△PBA有且只有一个公共点，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴P（1，4），将抛物线向左平移m个单位，P对应点为（1﹣m，4），∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1+m）2+4，把B（0，3）代入得，3═﹣（﹣1+m）2+4，解得m1＝2，m2＝0（舍去），故m的值为2．24．解：（1）把O（0，0），A（3，3）代入得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x；（2）设直线OA解析式为y＝kx，把A（3，3）代入得：k＝1，即直线OA解析式为y＝x，∵PB⊥x轴，∴P，C，B三点纵坐标相等，∵B（m，0），∴把x＝m代入y＝x中得：y＝m，即C（m，m），把x＝m代入y＝﹣x2+4x中得：y＝﹣m2+4m，即P（m，﹣m2+4m），∵P在直线OA上方，∴PC＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m（0＜m＜3），当m＝﹣＝时，PC取得最大值，最大值为＝．。
人教版九年级数学上册《二次函数 的图象和性质》同步测试题及答案【名师推荐】
22.1.3 二次函数2)(h x a y -=的图象和性质（二）知识点：抛物线2)(h x a y -=的特点有：(1)当0>a 时，开口向 ；当0<a 时，开口向 。
(2)对称轴是 ，顶点坐标是 。
(3)当0>a 时，在对称轴的左侧（h x <），y 随x 的 ，在对称轴的右侧（h x >），y 随x 的 ；当0<a 时，在对称轴的左侧（h x <），y 随x 的 ，在对称轴的右侧（h x >），y 随x 的 。
(4)当x 时，函数y 的值最大（或最小），是 。
一．选择题1.把二次函数2x y =的图象向右平移3个单位长度，得到新的图象的函数表达式是（ ）A. 32+=x yB. 32-=x yC. 2)3(+=x yD. 2)3(-=x y2.抛物线2)3(2--=x y 的顶点坐标和对称轴分别是（ ）A.3),0,3(-=-x 直线B. 3),0,3(=x 直线C. 3),3,0(-=-x 直线D. 3),3,0(-=x 直线3.已知二次函数2)1(3+=x y 的图象上有三点 ),2(),,2(),,1(321y C y B y A - ，则321,,y y y 的大小关系为（ ）A.321y y y >>B. 312y y y >>C. 213y y y >>D. 123y y y >>4.把抛物线2)1(6+=x y 的图象平移后得到抛物线26x y =的图象，则平移的方法可以是（ ）A.沿y 轴向上平移1个单位长度B.沿y 轴向下平移1个单位长度C.沿x 轴向左平移1个单位长度D.沿x 轴向右平移1个单位长度5.若二次函数12+-=mx x y 的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是（ ） A. 2 B. 2- C.0 D. 2±6.对称轴是直线2-=x 的抛物线是（ ）A.22+-=x yB.22+=x yC.2)2(21+=x y D.2)2(3-=x y 7.对于函数2)2(3-=x y ，下列说法正确的是（ ）A. 当0>x 时，y 随x 的增大而减小B. 当0<x 时，y 随x 的增大而增大C. 当2>x 时，y 随x 的增大而增大D. 当2->x 时，y 随x 的增大而减小8.二次函数132+=x y 和2)1(3-=x y ，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y 轴，顶点坐标都是原点（0,0）；③当0>x 时，它们的函数值y 都是随着x 的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的.其中正确的说法有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个二．填空题1.抛物线2)1(3--=x y 的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
九年级数学上册《第二十二章-二次函数的图像和性质》同步练习题及答案(人教版)
九年级数学上册《第二十二章二次函数的图像和性质》同步练习题及答案（人教版) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=2x+1B．y=(x−1)2−x2C．y=2x2D．y=−1x22．若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠03．若二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点(−2,−3)，则必在该图象上的点还有（）A．(−3,−2)B．(2,3)C．(2,−3)D．(−2,3)4．关于二次函数y=−x2−2下列说法正确的是（）．A．有最大值-2 B．有最小值-2C．对称轴是x=1D．对称轴是x=−15．已知抛物线y＝12（x−1）2+k上有三点A(﹣2，y1 )，B(﹣1，y2)，C(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y3＞y1D．y2＞y1＞y36．若二次函数y=(m−2)x2+2x−1的图象有最低点，则m的取值范围是（）A．m≥2B．m≤2C．m>2D．m<27．将y=x2+6x+7进行配方，正确的结果是（）A．y=(x−3)2−2B．y=(x−3)2+2C．y=(x+3)2−16D．y=(x+3)2−28．当a≠0时，y=ax+b和y=ax2+bx+c大致图像可能是（）A．B．C．D．9．如图，抛物线y=ax2+bx+c过点(−1，0)，且对称轴为直线x=1，有下列结论①abc<0；②10a+3b+c>0：③抛物线经过点(4，y1)与点(−3，y2)，则y1>y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个，0)；⑤am2+bm+a≥0，其中正确的结论是（）点(−caA．①②③B．③④⑤C．②③④D．②④⑤二、填空题10．函数y=(m+3)x m2−7是二次函数，则m的值为．x2+3的顶点坐标为．11．函数y=1312．二次函数y＝2(x－3)2＋1的最小值是．13．已知二次函数y=−x2+2x，当−1<x<a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是三、解答题14．二次函数y=ax2+bx+5的图象经过(−1，11)，(1，3)两点．求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点．15．二次函数图象的对称轴是y轴，最大值为4，且过点A（1，2），与x轴交于B、C两点．求△ABC的面积．16．抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的交点坐标是(−1，0)（1）请直接写出这条抛物线的对称轴；（2）已知点A(m，y1)，B(m+1，y2)在抛物线上，若y1<y2，求m的取值范围．17．如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．18．已知抛物线y＝ax2+5x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点A，C的坐标分别为（1，0），（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）①如图1，直线l为抛物线的对称轴，请在直线l上找一点M，使得AM+CM最小，求出点M的坐标．②连接AC，求△ACM的面积．∠PBC时，求出直线BP的解析（3）如图2，P是在x轴上方抛物线上的一动点，连接BC，BP，当∠PBA＝12式．参考答案1．【答案】C2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】D10．【答案】311．【答案】(0，3)12．【答案】113．【答案】−1<a≤114．【答案】解：∵二次函数y=ax2+bx+5的图象经过(−1，11)，(1，3)两点∴{a−b+5=11a+b+5=3解这个方程组，得{a=2b=−4∴二次函数的解析式为：y=2x2−4x+5∵y=2x2−4x+5=2(x2−2x+1)+3=2(x−1)2+3∴二次函数图象的对称轴是直线x=1，顶点是(1，3)．故这个二次函数的解析式为：y=2x2−4x+5，对称轴：直线x=1，顶点：(1，3)．15．【答案】解：设该二次函数的表达式为y=ax2+4把点A（1，2）代入y=ax2+4，得a+4=2解得a=-2∴该二次函数的表达式为y=−2x2+4当y=0时解得x1=−√2，x2=√2∴BC=2√2∴S△ABC=12×2√2×2=2√2．16．【答案】（1）解：对称轴为x=1（2）解：由（1）可知，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的大致图象如图所示：∵a>0，对称轴x=1∴①当m+1<1时y1>y2；②当m>1时y1<y2；③当m与m+1在1的两侧且到1的距离相等时y1=y2此时m=1−12=12综上，m>12时17．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A ∴Δ=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1∴抛物线解析式为y=x2+2x+1（2）解：∵y=（x+1）2∴顶点A的坐标为（-1，0）∵点C是线段AB的中点即点A与点B关于C点对称∴B点的横坐标为1当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4）设直线AB的解析式为y=kx+b把A（-1，0），B（1，4）代入得{−k+b=0k+b=4解得∴直线AB的解析式为y=2x+2．18．【答案】（1）解：将A(1，0)，C(0，−4)代入y =ax 2+5x +c 得：{a +5+c =0c =−4解得{a =−1c =−4则抛物线的解析式为y =−x 2+5x −4．（2）解：①如图，作点C 关于直线l 的对称点C ′，连接C ′M则C ′M =CM∴AM +CM =AM +C ′M由两点之间线段最短可知，当点A ，M ，C ′共线时，AM +C ′M 最小 二次函数y =−x 2+5x −4=−(x −52)2+94的对称轴为直线x =52∵C(0，−4)∴C ′(2×52，−4)，即C ′(5，−4)设直线AC ′的解析式为y =kx +b将点A(1，0)，C ′(5，−4)代入得：{k +b =05k +b =−4，解得{k =−1b =1则直线AC ′的解析式为y=-x+1 当x =52时，y =−52+1=−32 故点M 的坐标为(52，−32)；②∵A(1，0)，C(0，−4)，C ′(5，−4)，M(52，−32)∴CC ′=5，△ACC ′的CC ′边上的高为4，△MCC ′的CC ′边上的高为−32+4=52 则△ACM 的面积为S △ACC ′−S △MCC ′=12×5×4−12×5×52=154．（3）解：如图，延长BP 交y 轴于点D∵二次函数y =−x 2+5x −4的对称轴为直线x =52，且A(1，0)∴B(4，0)∵OB ⊥CD ，∠PBA =12∠PBC∴BO 垂直平分CD （等腰三角形的三线合一） ∴点C 与点D 关于x 轴对称∵C(0，−4) ∴D(0，4)设直线BP 的解析式为y =k 1x +b 1将点B(4，0)，D(0，4)代入得：{4k 1+b 1=0b 1=4，解得{k 1=−1b 1=4则直线BP 的解析式为y =−x +4．。
九年级数学：二次函数图像与性质的同步测试(含答案)
二次函数图像与性质同步测试题一．选择题（每题4分，共24分）1.若2y mx nx p =+-（其中,,m n p 是常数）为二次函数，则（ ） A.,,m n p 均不为0 B.00m n ≠≠且 C.0m ≠ D.00m p ≠≠且 2.下列抛物线的顶点坐标为（0,1）的是（ ）A.21y x =+ B.21y x =- C.()21y x =+ D.()21y x =-3.关于二次函数235y x =-+，下列说法正确的是（ ） A.它的开口方向向上 B.当x ＜0时，y 随x 的增大而加增大 C.顶点坐标是（5,0） D.当x =0时，y 的最小值是54.已知点()()()1234,,2,,1,y y y ---都在函数2y x =的图像上，则（ ）A.123y y y ＜＜B.132y y y ＜＜C.321y y y ＜＜D.213y y y ＜＜13.抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）A.先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度B.先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度C.先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度D.先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 6.当ab ＞0，函数2y ax =与y ax b =+的图像可能是（ ）一．填空题（每题4分，共24分）7.若()223y k x kx =-+-是二次函数，则k 的取值范围___________8.抛物线214y x =+的开口__________,对称轴是_________. 9.已知抛物线25y x =-，当x =______时，y 有最____值等于___.10.抛物线()21y x =-可看作抛物线2y x =向___平移_____个单位长度得到。
11.抛物线215y x =-+向下平移3个单位长度，则顶点坐标为______。
12.已知二次函数224y x x =-+-，它的顶点坐标为______，当x ________时，y 随x 的增大而增大，当x ________时，y 随x 的增大而减小。
九年级数学上册《第二十二章 二次函数的图像和性质》同步练习题及答案(人教版)
九年级数学上册《第二十二章二次函数的图像和性质》同步练习题及答案（人教版）姓名班级学号一、单选题1．下列函数不属于二次函数的是（）（x+1）2A．y=（x﹣1）（x+2）B．y= 12C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣√3 x22．已知y关于x的二次函数解析式为y=(m−2)x|m|，则m=（）A．±2 B．1 C．-2 D．±13．抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=2x2+x﹣3关于x轴对称，则此抛物线的解析式为（）A．y=﹣2x2﹣x+3 B．y=﹣2x2+x+3C．y=2x2﹣x+3 D．y=﹣2x2+x﹣34．二次函数y=x2−3x+1的图象与y轴的交点坐标是（）A．(0，0)B．(0，1)C．(0，−3)D．(3，0)5．对于二次函数y=ax2−2ax+3(a≠0)，下列说法错误的是( )A．对称轴为直线x=1B．一定经过点(2，3)C．当x<1时y随x增大而增大D．当a>0，m≠1时am2−2am+3>−a+3 .6．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax＋b与二次函数y=ax2+bx的图象可能是（）A． B． C． D．7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图如图所示，若M=a+b﹣c，N=4a﹣2b+c，P=2a﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有( )A．3个B．2个C．1个D．0个8．已知点(x1，y1)，(x2，y2)在二次函数y=ax2−2ax+b(a>0)的图像上，若y1>y2，则必有（）A．x1>x2>1B．x1<x2<1C．|x1−1|<|x2−1|D．|x1−1|>|x2−1|9．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+4）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（）A．若k＞2，m＜0，则二次函数y的最大值小于0B．若k≠2，m＜0，则二次函数y的最大值大于0C．若k＜2，m≠0，则二次函数y的最大值小于0D．若k≠2，m＞0，则二次函数y的最大值大于0二、填空题10．把二次函数y=x2+3x+4的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得图象对应的函数解析式是．11．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2﹣m+5＝．12．函数y=x2+m与坐标轴交于A、B、C三点，若△ABC为等腰直角三角形，则m=．13．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：①它们的图象开口方向、大小相同；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；③当x ＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们与坐标轴都有一个交点；其中正确的说法有．14．如图，抛物线y＝x2﹣2x+m的顶点为A，与y轴交于点B，BC∥x轴，与抛物线交于点C，CD∥y 轴，与射线OA交于点D，OC＝OD，则m＝．三、解答题15．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，−3），（3，0）．（1）求二次函数的表达式；时，（2）将二次函数y=x2+bx+c的图象向上平移n(n>0)个单位后得到的图象记为G，当0≤x≤52图象G与x轴只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．16．在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2－2mx +m－4 (m≠0)的顶点为A,与x轴交于B,C两点(B 在点C左侧)，与y轴交于点D．（1）求点A的坐标;（2）若BC=4,①求抛物线的解析式;②将抛物线在C,D之间的部分记为图象G (包含C,D两点) . 若过点A的直线y= kx+ b(k≠0)与图象G有两个交点，结合函数的图象，求k的取值范围.17．已知二次函数y=﹣2x2，y=﹣2（x﹣2）2，y=﹣2（x﹣2）2+2请回答下列问题：（1）写出抛物线y=﹣2（x﹣2）2的顶点坐标，开口方向和对称轴；（2）分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=﹣2x2得到抛物线y=﹣2（x﹣2）2和y=﹣2（x﹣2）2+2？（3）如果要得到抛物线y=﹣2（x﹣2017）2﹣2018，应将y=﹣2x2怎样平移？18．如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(−3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC 点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长；（3）当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？参考答案1．C2．C3．A4．B5．C6．D7．A8．D9．D10．y =(x −12)2−13411．612．-113．①14．2315．（1）解：∵该二次函数的图象经过点(0，-3)，( 3，0)∴{−3=0+0+c 0=9+3b +c解得：{b =−2c =−3∴二次函数的表达式为y =x 2−2x −3（2）解：如图74≤n ＜3或n ＝416．（1）解：y=mx2－2mx +m－4=m(x2－2x+1)－4=m(x－1)2－4.∴点A的坐标为(1，－4) ；（2）解：①由(1)得，抛物线的对称轴为：x= 1.∵抛物线与x轴交于B，C两点(点B在点C左侧)，BC=4∴点B的坐标为(－1,0)，点C的坐标为(3，0) .∴m+ 2m +m－4=0∴m=1.∴抛物线的解析式为：y= x2－2x－3；②由①可得点D的坐标为：(0，－3).当直线过点A， D时，解得：k=－1.当直线过点A， C时，解得：k=2.结合函数的图象可知，k的取值范围为：－1≤k<0或0<k≤2.17．（1）解：抛物线y=﹣2（x﹣2）2的顶点坐标（2，0），开口方向向下，对称轴为直线x=2 （2）解：y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），y=﹣2（x﹣2）2的顶点坐标为（2，0）y=﹣2（x﹣2）2+2的顶点坐标为（2，2）所以，抛物线y=﹣2x2向右平移2个单位得到抛物线y=﹣2（x﹣2）2抛物线y=﹣2x2向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到抛物线y=﹣2（x﹣2）2+2（3）解：∵抛物线y=﹣2（x﹣2017）2﹣2018的顶点坐标为（2017，﹣2018）∴应将y=﹣2x 2向右平移2017个单位，向下平移2018个单位得到．18．（1）解：∵抛物线y =ax 2+bx +4交x 轴于A(−3，0)，B(4，0)两点∴{9a −3b +4=016a +4b +4=0解得∴此抛物线的表达式为y =−13x 2+13x +4；（2）解：如图，抛物线y =−13x 2+13x +4，当x =0时∴点C 坐标为(0，4)∴OB =OC∵∠BOC =90°∴∠OBC =∠OCB =45°∵PM ⊥x 轴∴∠MQB =∠MBQ =45°∴∠MQB =∠PQN =45°∵PN ⊥BC∴∠NPQ =∠PQN =45°∴PN =QN∴PQ 2=PN 2+NQ 2=2PN 2∴PN =√22PQ ． 设直线BC 的表达式为y =kx +n∵点B(4，0)，点C(0，4)∴{4k +n =0n =4∴{k =−1n =4∴直线BC的表达式为y=−x+4∵点P的横坐标为m∴P(m，−13m2+13m+4)，Q(m，−m+4)∵点P在点Q的上方∴PQ=(−13m2+13m+4)−(−m+4)=−13m2+43m∴PN=√22PQ=√22(−13m2+43m)=−√26m2+2√23m(0<m<4)；（3）解：PN=−√26m2+2√23m=−√26(m−2)2+2√23(0<m<4)∵−√26＜0∴当m=2时，PN有最大值，PN最大=2√23．。
九年级数学上册《第二十二章 二次函数的图像和性质》同步训练题及答案(人教版)
九年级数学上册《第二十二章二次函数的图像和性质》同步训练题及答案(人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．抛物线y=2x2−4x+1的对称轴是直线（）A．x=−3B．x=−32C．x=1D．x=−12．小明将如图两水平线L1、L2的其中一条当成x轴，且向右为正方向；两条直线L3、L4的其中一条当成y 轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出二次函数y＝ax2﹣2a2x+1的图象，则（）A．L1为x轴，L3为y轴B．L2为x轴，L3为y轴C．L1为x轴，L4为y轴D．L2为x轴，L4为y轴3．二次函数y＝x2+bx+c的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为y＝x2﹣2x+1，则b+c的值为（）A．16 B．6 C．0 D．﹣124．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．5．已知二次函数y＝ax2−4ax+5（其中x是自变量），当x⩽−2时.y随x的增大而增大，且−6⩽x⩽5时，y的最小值为−7，则a的值为（）A．3 B．−15C．−125D．-16．若二次函数y=ax2−2ax−1，当x分别取x1,x2两个不同的值时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为( )A．1 B．-1 C．2 D．-27．若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点，坐标分别是（x1，0），（x2，0），且x1< x2 . 图象上有一点M(x0，y0)在x轴下方，则下列判断正确是（）A．a>0B．b2−4ac≥0C．x1<x0<x2D．a(x0−x1)(x0−x2)<08．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，以下列结论正确的是（）①abc>0；②3a>2b；③4a−2b+c<0；④m(am+b)≤a−b (m为任意实数).A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．y=−2x2+5x−1的图象不经过象限；10．写出一个开口向上，顶点坐标是（2，-3）的函数解析式11．若函数y=x2−3x+c的图象与坐标轴有三个交点，则c的取值范围是．12．已知抛物线y=x2−4x+3与x轴交于A、B两点，P为抛物线上一点，且SΔAPB=1，则P 的坐标为．13．如图，抛物线y=x2+4x与直线y=2x+2交于A，B两点，将抛物线沿着射线AB平移2√5个单位，平移后的抛物线顶点坐标为.三、解答题：（本题共5题，共45分）14．已知：m、n是方程x2−6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=−x2+bx+c的图象经过点A(−m，0)，B(0，n)求这个抛物线的解析式．15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x=2，求二次函数解析式并写出图象最低点坐标．16．如图，抛物线y=−x2+bx+与x轴交于A(2,0)，B(−4,0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由)，与x轴交于另一点B，顶点为D．17．已知抛物线y=a(x－2)2+c经过点A(－2,0)和点C(0, 94（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且∠DEF=∠DAB，DE=EF，直接写出线段BE的长．18．如图，抛物线C1：y=−x2+mx+n与抛物线C2：y=ax2−4x+5(a≠0)关于y轴对称，C1与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧.（1）求抛物线C1，C2的函数表达式.（2）在抛物线C1上是否存在一点N，在抛物线C2上是否存在一点M，使得以AB为边，且以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由.1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．B 7．D 8．C9．第二10．y=(x-2)2-311．c <94且c ≠012．(2，-1)或（2- √2 ，1），或（2+ √2 ，1）13．(2，−2)14．解：∵x 2−6x +5=0∴(x −1)(x −5)=0∴x =1或x =5∵m 、n 是方程x 2−6x +5=0的两个实数根，且m ＜n∴m =1，n =5∴点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（0，5）∴{−1−b +c =0c =5∴{b =4c =5∴抛物线解析式为y =−x 2+4x +5．15．解：设二次函数解析式为y=a （x ﹣2）2+k把A （1，0），C （0，6）代入得：{a +k =04a +k =6解得：{a =2k =−2则二次函数解析式为y=2（x ﹣2）2﹣2=2x 2﹣8x+6，二次函数图象的最低点，即顶点坐标为（2，﹣2）．16．（1）解： ∵ 抛物线 y =x 2+bx +c 与x 轴交于 A(2,0),B(−4,0) 两点∴{−4+2b +c =0−16−4b +c =0 解得： {b =−2c =8∴ 该抛物线的解析式为 y =−x 2−2x +8（2）解：该抛物线的对称轴上存在点Q ，使得 △QAC 的周长最小．如解图所示，作点C 关于抛物线对称轴的对称点H ，连接 HA交对称轴于点Q ，连接 CO 、AC∵ 点C 关于抛物线对称轴的对称点H ，且 HA ，交对称轴于点Q∴△QAC 的周长为 AC +CQ +AQ =AC +QH +AQ =AC +AH∵Q 为抛物线对称轴上一点∴△QAC 的周长 AC +CQ +AQ ≥AC +AH∴ 当点Q 处在解图位置时， △QAC 的周长最小．∵ 在 y =−x 2−2x +8 中，当 x =0 时 y =8∴C(0,8)∵A(2,0),B(−4,0)∴ 抛物线的对称轴为直线 x =−1∵ 点H 是点C 关于抛物线对称轴直线 x =−1 的对称点，且 C(0.8) ．设过点 A(2,0),H(−2,8) 两点的直线 AH 的解析式为： y =k(x −2)∵H(−2,8) 在 AH 直线上∴−4k =8 ，解得： k =−2∴AH 直线的解析式为： y =−2(x −2)=−2x +4∵ 抛物线对称轴为直线 x =−1 ，且 AH 直线与抛物线对称轴交于点Q∴ 在 y =−2x +4 中，当 x =−1 时 y =−2×(−1)+4=6∴Q(−1,6)∴ 在该抛物线的对称轴上存在点Q ，使得 △QAC 的周长最小，当 △QAC 的周长最小时，Q 点的坐标为 (−1,6)17．（1）将点A(-2,0)，C(0, 94 )代入 y = a(x - 2)2 + c ，得： {16a +c =04a +c =94，解得： {a =−316c =3 ． ∴抛物线的解析式为y= −316 (x －2)2+3 ．∴顶点D 的坐标为(2,3)．（2）∵A,B 两点为抛物线与x 轴两交点，D 为坐标顶点∴DA=DB ，故∠DAB=∠DBA∵DE=EF∴∠EDF=∠EFD ．∵∠EFD=∠FEB+∠EBD ，∠DEF=∠DAB∴∠EDF=∠FEB+∠DEF∴∠BDE=∠BED故BD=BE ．∵A(-2,0)，D(2,3)∴利用对称性可得B(6,0)经计算BD=5,故BE=5．18．（1）解：∵C 1、C 2关于y 轴对称∴C 1与C 2的交点一定在y 轴上，且C 1与C 2的形状、大小均相同∴a=-1∴C 2：y=ax 2-4x+5，当x=0时，y=5∴C 1：y=-x 2+mx+n ，当x=0时，y=n∴n=5∵a=-1∴C 2的对称轴为x= −−42a =-2故C1的对称轴为x= m=22得m=4，（对称轴关于y轴对称，则C1的对称轴为2）∴C1：y=-x2+4x+5，C2：y=-x2-4x+5（2）解：∵AB的中点为（2，0），且点N在抛物线C1上，点M在抛物线C2上∴AB只能为平行四边形的一边∴MN∥AB且MN=ABC1：y=-x2+4x+5令y=0，得x2-4x-5=0解得x1=5，x2=-1∴A（-1，0），B（5，0）则AB=5-（-1）=6∴MN=6设N（t，-t2+4t+5），则M（t+6，-t2+4t+5）或（t-6，-t2+4t+5）①当M（t+6，-t2+4t+5）时则-（t+6）2-4（t+6）+5=-t2+4t+5，解得t=-3∴-t2+4t+5=-16∴N（-3，-16），M（3，-16）；②当M（t-6，-t2+4t+5）时则-（t-6）2-4（t-6）+5=-t2+4t+5，解得t=3∴-t2+4t+5=8∴N（3，8），M（-3，8）；综上可知存在满足条件的点M、N，其坐标为M（3，-16），N（-3，-16）或M（-3，8），N（3，8）。
九年级数学上册《二次函数的图像与性质》同步练习1 含答案
22.1《二次函数的图像与性质》同步练习1带答案 一．选择题1.抛物线122+=x y 的顶点坐标是（ ）A.(0，1)B. (0，-1)C. (1，0)D. (-1，0)2.抛物线)0(2≠+=a b ax y 与x 轴有两个交点，且开口向下，则b a ,的取值范围分别是（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0<<b a D.0,0><b a3.将抛物线322-=x y 平移后得到抛物线22x y =，平移的方法可以是（ ） 第3题A.向下平移3个单位长度B. 向上平移3个单位长度C.向下平移2个单位长度D.向下平移2个单位长度4.抛物线122+-=x y 的对称轴是（ ）A ．直线21=xB ．直线21-=x C ．y 轴 D ．直线2=x 5.抛物线42-=x y 与x 轴交于B,C 两点，顶点为A ，则ABC ∆的周长为（ ）A ．54B ．454+C ．12D ．452+6.在同一平面直角坐标系中，一次函数c ax y +=和二次函数c ax y +=2的图象大致所示中的（ ）AB ．C ．D ．二．填空题 1．抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小.2．二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当)(,2121x x x x x ≠取时，函数值相等，则当x 取21x x +时，函数值等于 。
3．任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点。
其中判断正确的是 。
4.点),3(m A 在抛物线12-=x y 上，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为 。
5.若抛物线3)2(2+-+=x m x y 的对称轴是y 轴，则=m 。
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22.1.3 二次函数2)(h x a y -=的图象和性质（二）
知识点：抛物线2)(h x a y -=的特点有：
(1)当0>a 时，开口向 ；当0<a 时，开口向 。
(2)对称轴是 ，顶点坐标是 。
(3)当0>a 时，在对称轴的左侧（h x <），y 随x 的 ，在对称轴的右侧（h x >），y 随
x 的 ；当0<a 时，在对称轴的左侧（h x <）
，y 随x 的 ，在对称轴的右侧（h x >），y 随x 的 。
(4)当x 时，函数y 的值最大（或最小），是 。
一．选择题
1.把二次函数2x y =的图象向右平移3个单位长度，得到新的图象的函数表达式是（ ）
A. 32+=x y
B. 32-=x y
C. 2)3(+=x y
D. 2)3(-=x y
2.抛物线2
)3(2--=x y 的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A.3),0,3(-=-x 直线
B. 3),0,3(=x 直线
C. 3),3,0(-=-x 直线
D. 3),3,0(-=x 直线
3.已知二次函数2)1(3+=x y 的图象上有三点 ),2(),,2(),,1(321y C y B y A - ，则321,,y y y 的大小关系为（ ）
A.321y y y >>
B. 312y y y >>
C. 213y y y >>
D. 123y y y >>
4.把抛物线2)1(6+=x y 的图象平移后得到抛物线26x y =的图象，则平移的方法可以是（ ）
A.沿y 轴向上平移1个单位长度
B.沿y 轴向下平移1个单位长度
C.沿x 轴向左平移1个单位长度
D.沿x 轴向右平移1个单位长度
5.若二次函数12+-=mx x y 的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是（ ） A. 2 B. 2- C.0 D. 2±
6.对称轴是直线2-=x 的抛物线是（ ）
A.22+-=x y
B.22+=x y
C.2)2(2
1+=x y D.2)2(3-=x y 7.对于函数2)2(3-=x y ，下列说法正确的是（ ）
A. 当0>x 时，y 随x 的增大而减小
B. 当0<x 时，y 随x 的增大而增大
C. 当2>x 时，y 随x 的增大而增大
D. 当2->x 时，y 随x 的增大而减小
8.二次函数132+=x y 和2)1(3-=x y ，以下说法：①它们的图象都是开口向上；
②它们的对称轴都是y 轴，顶点坐标都是原点（0,0）；
③当0>x 时，它们的函数值y 都是随着x 的增大而增大；
④它们的开口的大小是一样的.
其中正确的说法有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二．填空题
1.抛物线2)1(3--=x y 的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
2.当x 时，函数2)3(2
1+-=x y y 随x 的增大而增大，当x 时，随x 的增大而减小。
3.若抛物线2)(h x a y -=的对称轴是直线1-=x ，且它与函数23x y =的形状相同，开口方向相同，
则=a ，=h 。
4.抛物线2)5(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线
2x y =向 平移 个单位长度得到的。
5.抛物线 向右平移3个单位长度即得到抛物线2
)1(2-=x y 。
6.已知),3(),,2(),,1(321y C y B y A --三点都在二次函数2)2(2+-=x y 的图象上，则321,,y y y 的大小关系为 。
7.顶点是)0,2(，且抛物线2
3x y -=的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为 。
8.对称轴为2-=x ，顶点在x 轴上，并与y 轴交于点（0,3）的抛物线解析式为
三．解答题
1.抛物线 2)2(-=x a y 经过点)1,1(-． (1)确定a 的值;
(2)求出该抛物线与坐标轴的交点坐标．
2.已知二次函数2)(h x a y -=，当2=x 时有最大值，且此函数的图象经过点)3,1(-，求此二次函
数的解析式，并指出当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？
3.如图，抛物线的顶点M 在x 轴上，抛物线与y 轴交于点N ，且OM=ON=4，矩形ABCD 的顶点
A 、
B 在抛物线上，
C 、
D 在x 轴上.
(1)求抛物线的解析式;
答案
课前思考：（1）上 下（2）直线h x = （h,0） （3）增大而减小 增大而增大 增大而增大 增大而减小 （4）=h 0
选择题
D 2.B 3. B 4.D 5.D 6.C 7.C 8.B
填空题
1.下 1=x （1,0）
2.x<-3 x>-3
3. 3 -1
4.上 5=x （5，0）右 5
5. 2)2(2+=x y
6. 312y y y >>
7.2)2(3--=x y
8.
2)2(43+=
x y
解答题 )
4,0(4
0)
0,2(20
)2()2(1
1
)21()2()1,1()1.(1222
-∴-=∴=∴=∴=--=-=∴-=--=-轴交点与令轴交点与令在代入把y y x x x y x y a a x a y
的增大而增大随时，当代入上式
把是函数取最大值当x y x x y a a x a y h x 2)2(33
3
)21()3,1()2(2
2.22
22
<--=∴-=∴-=---=∴=∴=Θ
821)4(41)4(22)
4(22,4,)4(4
1))4(4
1,()2()4(4
14
1)40()4()
4,0(),0,4(4
)1.(322222
2
-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=∴-==-=-=∴--=∴=-=∴==t t t l t DM CD t DM t AD t t A x y a N x a y N M ON OM 设代入上式得，把设抛物线的解析式为Θ。