2017 2018版高中数学第1章导数及其应用 112 瞬时变化率导数苏教版选修2 21

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高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时变化率--导数学案苏教版选修2

1.1.2 瞬时变化率——导数导数定义求函数的导函数.1．瞬时速度(1)在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为__________．(2)一般地，如果当Δt __________0时，运动物体位移s (t )的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt无限趋近于一个______，那么这个______称为物体在t ＝t 0时的__________，也就是位移对于时间的____________．预习交流1做一做：如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3 s 时的瞬时速度为__________． 2．瞬时加速度一般地，如果当Δt __________时，运动物体速度v (t )的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt无限趋近于一个_______，那么这个________称为物体在t ＝t 0时的_________，也就是速度对于时间的____________．3．导数(1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于一个______A ，则称f (x )在x ＝x 0处______，并称该______A 为函数f (x )在x ＝x 0处的______，记为______．(2)导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的________． (3)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的________，记作________．预习交流2做一做：设函数f (x )可导，则当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于__________．预习交流3做一做：函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是__________．预习交流4利用导数求曲线切线方程的步骤有哪些？预习导引1．(1)平均速度 (2)无限趋近于常数常数瞬时速度瞬时变化率预习交流1：提示：s (3＋Δt )＝3(3＋Δt )2＝3[9＋6Δt ＋(Δt )2]＝27＋18Δt ＋3(Δt )2.s (3)＝3×32＝27.Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝18Δt ＋3(Δt )2， ∴Δs Δt ＝18＋3Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→18. 2．无限趋近于0 常数常数瞬时加速度瞬时变化率3．(1)常数可导常数导数 f ′(x 0) (2)斜率 (3)导函数 f ′(x )预习交流2：提示：f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13·f (1＋Δx )－f (1)Δx，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)，∴原式＝13f ′(1)．预习交流3：提示：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝(Δx )21＋Δx.∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx →0，即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0. 预习交流4：提示：利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； (3)将所得切线方程化为一般式．一、求瞬时速度一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，当汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度为12 m/s ，求a .思路分析：先根据瞬时速度的求法得到汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度的表达式，再代入求出a 的值．1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2.其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是__________．2．子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间为t 0＝1.6×10－3s ．求子弹射出枪口时的瞬时速度．根据条件求瞬时速度的步骤：(1)探究非匀速直线运动的规律s ＝s (t )；(2)由时间改变量Δt 确定路程改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(3)求平均速度v ＝ΔsΔt；(4)运用逼近思想求瞬时速度，当Δt →0时，ΔsΔt→v (常数)．二、利用导数的定义求函数的导数已知f (x )＝x 2－3.(1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．思路分析：根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键．1．若函数f (x )＝ax －2在x ＝3处的导数等于4，则a ＝__________.2．(1)求函数f (x )＝1x ＋1在x ＝1处的导数；(2)求函数f (x )＝2x 的导数．结合函数，先求出Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，再求ΔyΔx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx →0时，求ΔyΔx 的值，即f ′(x 0)．三、导数的几何意义已知y ＝2x 3上一点A (1,2)，求点A 处的切线斜率．思路分析：为求得过点(1,2)的切线斜率，可以从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手．1．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为__________．2．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程．1．导数的几何意义是指：曲线y ＝f (x )在(x 0，y 0)点处的切线的斜率就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值．2．运用导数的几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否是在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率．3．若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解．1．若一物体的运动方程为s ＝2－12t 2，则该物体在t ＝6时的瞬时速度为__________．2．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为__________． 3．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为__________．4．一质点按规律s ＝2t 3运动，则t ＝2时的瞬时速度为__________．5．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)＝__________.答案：活动与探究1：解：∵s ＝at 2＋1，∴s (2＋Δt )＝a (2＋Δt )2＋1＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1.于是Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1－(4a ＋1)＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2，∴Δs Δt ＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2Δt＝4a ＋a ·Δt . 当Δt →0时，ΔsΔt→4a ，依题意有4a ＝12，∴a ＝3. 迁移与应用：1．5 m/s 解析：s (3＋Δt )＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2＝(Δt )2＋5Δt ＋7，所以s (3＋Δt )－s (3)＝(Δt )2＋5Δt ，故s (3＋Δt )－s (3)Δt＝Δt ＋5，于是物体在3 s 末的瞬时速度，即Δt →0时，ΔsΔt→5(m/s)．2．解：运动方程为s ＝12at 2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0·Δt ＋12a ·(Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a ·Δt ，∴Δt →0时，ΔsΔt→at 0. 由题意知a ＝5×105(m/s 2)，t 0＝1.6×10－3(s)，故at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.活动与探究2：解：(1)因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－3－(22－3)Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4，所以f (x )在x ＝2处的导数等于4.(2)因为Δy Δx ＝f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2－3－(a 2－3)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ，所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .迁移与应用：1．4 解析：由题意知f ′(3)＝4，而f ′(3)＝Δy Δx ＝a (3＋Δx )－2－(3a －2)Δx＝a ，当Δx →0时，ΔyΔx→a ，故a ＝4.2．解：(1)(导数定义法)∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )，∴ΔyΔx＝－12(2＋Δx )，从而Δx →0时，2＋Δx →2，∴f (x )在x ＝1处的导数等于－14.(导函数的函数值法)∵Δy ＝1x ＋Δx ＋1－1x ＋1＝－Δx (x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，∴ΔyΔx＝－1(x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，从而Δx →0时，Δy Δx →－1(x ＋1)2，于是f ′(1)＝－1(1＋1)2＝－14.(2)∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝2x ＋Δx －2x ，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx －2x Δx ＝(2x ＋Δx －2x )(x ＋Δx ＋x )Δx (x ＋Δx ＋x )＝2x ＋Δx ＋x，从而Δx →0时，Δy Δx →1x.活动与探究3：解：设A (1,2)，B (1＋Δx,2(1＋Δx )3)，则割线AB 的斜率为k AB ＝2(1＋Δx )3－2Δx ＝6＋6Δx ＋2(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，k AB 无限趋近于常数6，从而曲线y ＝2x 3在点A (1,2)处的切线斜率为6.迁移与应用：1．x －y －1＝0 解析：∵y ＝14x 2，Δy ＝14(2＋Δx )2－14×22＝Δx ＋14(Δx )2，Δy Δx＝1＋14Δx ， ∴当Δx →0时，Δy Δx →1，即f ′(2)＝1，由导数的几何意义得抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线的斜率为1.∴切线方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0.2．解：因为Δy Δx ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12－1)Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0. 当堂检测1．－6 解析：Δs Δt ＝s (6＋Δt )－s (6)Δt ＝2－12(6＋Δt )2－(－16)Δt ＝－12Δt －6，∴当Δt →0时，ΔsΔt→－6.2．45° 解析：∵Δy Δx ＝12(1＋Δx )2－2－12×1＋2Δx ＝Δx ＋12(Δx )2Δx ＝1＋12Δx ，当Δx无限趋近于0时，1＋12Δx 无限趋近于1，∴曲线y ＝12x 2－2在点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线斜率为1，∴倾斜角为45°.3．－3 解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，Δy Δx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx＝－3.∴f (x )在x ＝2处的导数为－3.4．24 解析：Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )3－2×23＝2×[8＋6(Δt )2＋12Δt ＋(Δt )3]－16＝24Δt ＋12(Δt )2＋2(Δt )3， ∴Δs Δt ＝24＋12Δt ＋2(Δt )2，则当Δt →0时，Δs Δt →24. 5．98解析：由题图可知，直线l 的方程为9x ＋8y －36＝0. 当x ＝2时，y ＝94，即f (2)＝94.又切线斜率为－98，即f ′(2)＝－98，∴f (2)＋f ′(2)＝98.欢迎您的下载，资料仅供参考！。

高中数学第一章导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.2 导数的概念同步课件新人教A版选

(3)求极限，得导数 f′(x0)＝
Δy Δx.
[变式训练] (1)设 f(x)＝ax3＋2，若 f′(－1)＝3，则 a ＝( )
A．－1 B.12 C．1 D.13 (2)求函数 y＝x42在 x＝2 处的导数． (1)解析：因为 f′(－1)＝ f（－1＋ΔxΔ）x－f（－1）＝
a（ΔxΔ－x1）3＋a＝3a，所以 3a＝3，解得 a＝1. 答案：C
两个自变量的差，即(x0＋Δx)－x0.在求解此类问题时要
严格按照定义，注意分子与分母相应的符号的一致性．
[正确解答] 因为
f（x0－3ΔΔx）x －f（x0）＝
[f（x0－3－Δx3） Δ－ x f（x0）·(－3)]＝－3f′(x0)＝1，
所以 f′(x0)＝－13.
归纳升华根据已知条件，利用导数定义求函数 y＝f(x)在某一点 x0 处的导数，关键是牢记导数定义利用已知条件拼凑出导数定义的形式，从而得到 f′(x0)．
所以
ΔΔst＝
12Δt＋2＝2.
答案：A
类型 2 利用导数的定义求导数
[典例 2] (1)求函数 y＝3x2 在 x＝1 处的导数； (2)求函数 f(x)＝x－1x在 x＝1 处的导数．解：(1)因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6 Δx＋3(Δx)2，所以ΔΔxy＝6＋3Δx，
1．瞬时速度物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．若物体运动的路程与时间的关系式是 s＝f(t)，当Δt 趋近于 0 时，函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 之间的平均变化率f（t0＋ΔtΔ）t－f（t0）趋近于常数，
我们就把这个常数叫做 t0 时刻的瞬时速度．即 v＝
．故瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率．

高中数学第1章导数及其应用1_1_2瞬时变化率——导数互动课堂苏教版选修2-2

高中数学第1章导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数互动课堂苏教版选修2-2疏导引导本节课重点是导数的定义和导数的几何意义，难点是利用定义求函数在某点处的导数和在开区间内的导数.一、函数y=f(x)在点x 0处的导数(变化率)是f′(x 0)或y′0|x x =，即 f′(x 0)=0lim→∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00，它是函数的平均变化率当自变量的改变量趋向于零时的极限值，如果极限不存在，我们就说函数在点x 0处不可导.疑难疏引 (1)函数应在点x 0的附近有定义，否则导数不存在.(2)在定义导数的极限式中，Δx 趋近于0可正、可负，但不为0，而Δy 可能为0. (3)xy∆∆是函数y=f(x)对自变量x 在Δx 范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线y=f(x)上点(x 0，f(x 0))及点(x 0+Δx，f(x 0+Δx))的割线斜率. (4)导数f′(x 0)= 0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00是函数y=f(x)在点x 0处的瞬时变化率，它反映的函数y=f(x)在点x 0处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线y=f(x)上点(x 0，f(x 0))处的切线的斜率.因此，如果y=f(x)在点x 0可导，则曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为y-f(x 0)=f′(x 0)(x-x 0).(5)导数是一个局部概念，它只与函数y=f(x)在x 0及其附近的函数值有关，与Δx 无关. (6)在定义式中，设x=x 0+Δx，则Δx=x -x 0，当Δx 趋近于0时，x 趋近于x 0，因此，导数的定义式可写成f′(x 0)=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00=0lim x x →∆00)()(x x x f x f --. (7)若极限0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00不存在，则称函数y=f(x)在点x 0处不可导.(8)若f(x)在x 0可导，则曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0))有切线存在.反之不然，若曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0)有切线，函数y=f(x)在x 0不一定可导，并且，若函数y=f(x)在x o 不可导，曲线在点(x 0，f(x 0))也可能有切线，如切线平行与y 轴时. 一般地，0lim →∆x (a+bΔx)=a，其中a ，b 为常数.特别地，0lim →∆x a=a.如果函数y=f(x)在开区间(a ，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数f′(x).称这个函数f′(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y′，即 f′(x)=y′=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.函数y=f(x)在x 0处的导数y′0|x x =就是函数y=f(x)在开区间(a ，b)上导函数f′(x)在x 0处的函数值，即y′0|x x ==f′(x 0).所以函数y=f(x)在x 0处的导数也记作f′(x 0). 二、注意导数与导函数的区别与联系1.如果函数y=f(x)在开区间(a ，b)内每一点都有导数则称函数y=f(x)在开区间(a ，b)内可导.2.导数与导函数都可称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值.它们之间的关系是函数y=f(x)在点x 0处的导数就是导函数f′(x)在点x 0的函数值.3.求导函数时，只需将求导数式中的x 0换成x 即可，即f′(x)=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.4.由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数的一般方法是： (1)求函数的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x).(2)求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(. (3)取极限，得导数y′=0lim →∆x xy∆∆.三、导数与切线的理解导数集数与形于一身，新教材在介绍导数几何意义时，利用割线的极限位置来定义了曲线的切线.从代数角度看，平均变化率是由函数上的一点(x 0，f(x 0))到另一点(x 0+Δx，f(x 0+Δx))函数值增量与自变量增量的比值，当Δx 无限趋近于零时，曲线上某点的平均变化率无限趋近于唯一的一个常数，这个常数称为在该点的导数；从几何角度看过曲线上任一定点引曲线的割线，当动点无限趋近于该定点时，割线的斜率无限趋近于唯一的一个常数，割线就变为切线，因此导数的几何意义即为曲线上过该点的切线的斜率.用运动变化的观念分析曲线C:y=f(x)上某点(x 0，y 0)的切线，从点(x 0，y 0)引割线，当另一交点无限趋近某点(x 0,y 0)时，割线就变为切线，割线的斜率趋近于唯一的一个常数，这个常数就是曲线上的某点(x 0,y 0)的导数，其几何意义为切线的斜率，计算方法为Δx→0时，k=x y∆∆=f′(x 0)，或x→x 0时，k=00x x y y --=f′(x 0).特别地，如果曲线y=f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线平行于y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x=x 0.四、导数的物理意义瞬时速度是路程对时间的变化率，某时刻的瞬时速度就是路程在某时刻的导数，加速度是速度的导数，动量是动能的导数. 活学巧用1.如果一个质点从定点A 开始沿直线运动的位移函数为y=f(t)=t 3+3. (1)当t 0=4且Δt=0.01时，求Δy 和ty ∆∆; (2)当t 0=4时，求0lim →∆t ty∆∆的值; (3)说明0lim →∆t ty∆∆的几何意义. 解析：(1)Δy=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-43-3=(Δt)3+48Δt+12(Δt)2=(0.01)3+48(0.01)+12(0.01)2=0.481 201， ∴t y ∆∆=01.0481201.0=48.120 1. (2)当Δt=0.001时，ty∆∆=48.012 01，当Δt=0.000 1时，t y∆∆=48.001 201. 所以当Δt→0时，0lim →∆t ty∆∆=48.(3)Δy 是质点由固定点A 开始在Δt 这段时间内的位移，所以ty∆∆是质点A 在Δt 这段时间内的平均速度，而0lim →∆t ty∆∆是质点A 在时间t 0的瞬时速度. 2.已知y=f(x)=x2,求y′及y′|x=1.解析：∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=xx ∆+2-x2=xx x x x x •∆+∆+-)(2,∴y′=0lim→∆x x y ∆∆=0lim →∆x x x x x x x x ∆••∆+∆+-)(2=0lim →∆x )()(2x x x x x x x x x x ∆++•∆••∆+∆--=0lim→∆x xx x x x x x x x 22)(2••-=∆++••∆+-=23--x.y′|x =1=f′(1)=23)1(--=-1.点评:函数的导数与在点x 0处的导数不是同一概念,在点x 0处的导数是函数的导数在x=x 0处的函数值.求函数的导数分三个步骤:(1)求函数增量Δy=f(x+Δx)-f(x); (2)求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(; (3)取极限并求极限值,得导数f′(x)=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(.3.如果曲线y=x 2+x-3的某一条切线与直线y=3x+4平行，求切点坐标与切线方程. 解析：∵切线与直线y=3x+4平行，∴斜率为3. 设切点坐标为(x 0,y 0),则y′0|x x ==3. 又y′0|x x ==0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00=0lim →∆x xx x x x x x ∆+---∆++∆+33)()(020020 =0lim →∆x (Δx+2x 0+1)=2x 0+1,∴2x 0+1=3,从而得⎩⎨⎧-==.1,100y x∴切点坐标为(1，-1)，切线方程为3x-y-4=0.4.在曲线y=x 2+3的图象上取一点P(1，4)及附近一点(1+Δx，4+Δy)，求(1)xy∆∆；(2)Δx→0时，求xy∆∆的值；(3)在点P(1，4)的切线方程. 解析：(1)x y ∆∆=xf x f ∆-∆+)1()1(=xx ∆+-+∆+)31(3)1(22=2+Δx.(2)Δx→0时，xy∆∆=2+Δx→2, 即0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x (2+Δx)=2. (3)由(2)知过点P(1,4)的切线的斜率为2，故在点P(1，4)的切线方程为y-4=2(x-1)，即2x-y+2=0.5.(1)已知质点运动方程是s(t)=221gt +2t-1,求质点在t=4时的瞬时速度，其中s 的单位是m ，t 的单位是s.(2)已知某质点的运动方程是s(t)=3t 2-2t+1,求质点在t=10时的瞬时速度和动能.(设物体的质量为m)分析:瞬时速度是路程对时间的变化率，而动能U=221mv . 解：(1)质点在t=4时的瞬时速度为v (t=4)=0lim →∆t tt s t s ∆-∆+)()4(=0lim →∆t tg t t g ∆+⨯-•--∆++∆+1424211)4(2)4(2122=0lim →∆t ttt g t g ∆∆+∆+∆24212=0lim →∆t (21gΔt+4g+2)=4g+2, 所以质点在t=4时的瞬时速度为4g+2 (m/s). (2)质点在t=10时的瞬时速度为v (t=10)=0lim→∆t ts t s ∆-∆+)10()10(=0lim →∆t t t t ∆-⨯+⨯-+∆+-∆+11021031)10(2)10(322 =0lim →∆t tt t ∆∆+∆5832=0lim →∆t (3Δt+58)=58, 所以质点在t=10时的瞬时速度为v=58 m/s ；质点在t=10时的动能为 U=m mv 21212=×(58)2=1 682m J.。

2018年高中数学第一章导数及其应用 1.1.2 瞬时速度与导数课件3 新人教B版选修2-2

解：由题意 S(t) 100(1 at)2 ，所以 S t
200(a a2t) 100a2t ，所以 S ' 200(a a2t) .
14.课堂练习：
（1）求函数 y 2x 1在 x 1处的导数；
（2）求函数 y ax b 的导数；（3）求函数 y 3x 2 在 x 2 处的导数；（4）求函数 y ax2 bx 的导数.
15.归纳总结：
（1）了解了导数概念的实际背景；（2）经历了由平均变化率到瞬时变化率的过程；（3）知道了瞬时变化率就是导数；（4）学会了由导数定义求导数；（5）学习了用导数解决实际问题；（6）感觉到了无限逼近思想（极限思想）.
谢谢！
0.00001
平均速度/（m·s-1） -13.59 -13.149
-13.1049 -13.10049 -13.100049
时间区间/s
时间间隔/s
平均速度/（m·s-1）
[1.9，2]
0.1
-12.61
[1.99，2]
0.01
-13.051
[1.999，2]
0.001
-13.0951
[1.9999，2]
所以火箭熄火后约 10.2s 向上速度变为 0.
例 2.一正方形铁板在 0℃时，边长为 10cm.加热后铁板
会膨胀.当温度为 t ℃时，边长变为10(1 at) cm， a 为
常数.试求铁板面积对温度的膨胀率.
分析：此题与导数有何关系？
温度为 t ℃的膨胀率，就是导数.先求平均膨胀率，再
找常数就是导数.
找常数，令常数为 0，求时间.
解：火箭的运动方程为 h(t) 100t 1 gt2 ，在 t 附近的
2
平均变化率为 h(t t) h(t) 100 gt 1 gt ，所以

2017_2018版高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时速度与导数学案新人教B版选修2_2201

1.1.2 瞬时速度与导数明目标、知重点 1.理解瞬时速度及瞬时变化率的定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．设物体运动路程与时间的关系是s ＝s (t )，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率s t 0＋Δt －s t 0Δt ，当Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 s t 0＋Δt －s t 0Δt. 2．瞬时变化率一般地，函数y ＝f (x )在x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0 fx 0＋Δx －f x 0Δx.3．导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx，我们称它为函数y＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记为f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 fx 0＋Δx －f x 0Δx.4．导函数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )，于是在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数．记为f ′(x )或y ′(或y ′x )．导函数通常简称为导数．探究点一瞬时速度思考1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.在某些时间段内如何粗略地描述其运动状态？平均速度能否精确反映它的运动状态？答用0≤t ≤0.5和1≤t ≤2的平均速度v 来粗略地描述其运动状态．在0≤t ≤0.5这段时间里，v ＝h－h0.5－0＝4.05(m/s)；在1≤t ≤2这段时间里，v ＝h－h 2－1＝－8.2(m/s)．平均速度不能精确反映其运动状态，如高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，易知h (6549)＝h (0)，v ＝h6549－h 6549－0＝0，而运动员依然是运动状态．思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？答可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．如求t ＝2时的瞬时速度，可考察在t ＝2附近的一个间隔Δt ，当Δt 趋近于0时，看平均速度v 的变化趋势，用式子 lim Δt →0h＋Δt －hΔt表示，这就是物体在t ＝2时的瞬时速度．例1 火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100 m/s.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0?解火箭的运动方程为h (t )＝100t －12gt 2，火箭向上位移是初速度引起的位移(100t )与重力引起的位移⎝ ⎛⎭⎪⎫－12gt 2的合成．在t 附近的平均变化率为⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ＋Δt －12g t ＋Δt2－⎝⎛⎭⎪⎫100t －12gt 2Δt＝100Δt －g ·t ·Δt －12gΔt2Δt＝100－gt －12g Δt .当Δt →0时，上式趋近于100－gt . 可见t 时刻的瞬时速度h ′(t )＝100－gt . 令h ′(t )＝100－gt ＝0，解得t ＝100g ≈1009.8≈10.2(s)．所以火箭熄火后约10.2 s 向上速度变为0.反思与感悟瞬时速度是平均速度在Δt →0时的极限值．要求瞬时速度，可以先求平均速度．思考3 火箭向上速度变为0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？答火箭向上速度变为0，意味着火箭处于上升阶段的最高点处，即火箭达到了最大高度，由例1知火箭熄火后上升的时间为t ＝100g ，所以火箭熄火后上升的最大高度h ＝100×100g －12g ×⎝ ⎛⎭⎪⎫100g 2＝10022g≈510.2(m)．跟踪训练1 质点M 按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)．若质点M 在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 ∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2， ∴Δs Δt＝4a ＋a Δt .在t ＝2时，瞬时速度为lim Δt →0 Δs Δt ＝4a ，即4a ＝8，∴a ＝2. 探究点二导数的定义思考1 从平均速度当Δt →0时是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？答对函数y ＝f (x )来说，f (x )在点x ＝x 0附近改变Δx 时，平均变化率为f x 0＋Δx －f x 0Δx.当Δx →0时，如果平均变化率趋于一个常数l ，则l 称为函数f (x )在点x 0的瞬时变化率．思考2 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？答函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度．思考3 导函数和函数在一点处的导数有什么关系？答若函数f (x )在区间(a ，b )内可导，对(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )，f ′(x )就叫函数y ＝f (x )的导函数．函数f (x )在点x ＝x 0处的导数是导函数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．解由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2) ＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－Δx 2－ΔxΔx＝lim Δx →0(－Δx －1)＝－1.反思与感悟求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx＝fx 0＋Δx －f x 0Δx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx. 跟踪训练2 利用导数的定义求下列函数的导数： (1)y ＝x 2＋ax ＋b 在x ＝0处的导数； (2)y ＝x ＋2在x ＝2处的导数．解 (1)∵Δy ＝f (0＋Δx )－f (0)＝(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －02－a ·0－b ＝(Δx )2＋a (Δx )，∴Δy Δx＝Δx 2＋a ΔxΔx＝Δx ＋a ，∴y ′|x ＝0＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 (Δx ＋a )＝a . (2)∵Δy ＝＋Δx ＋2－2＋2＝4＋Δx －2，∴ΔyΔx ＝4＋Δx －2Δx ＝4＋Δx －4＋Δx ＋Δx4＋Δx ＋＝14＋Δx ＋2. ∴f ′(2)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 14＋Δx ＋2＝14. 探究点三导数的实际应用例3 一正方形铁板在0℃时，边长为10 cm ，加热后铁板会膨胀．当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at ) cm ，a 为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率．解设温度的增量为Δt ，则铁板面积S 的增量为 ΔS ＝102[1＋a (t ＋Δt )]2－102(1＋at )2＝200(a ＋a 2t )Δt ＋100a 2(Δt )2，因此ΔS Δt ＝200(a ＋a 2t )＋100a 2Δt .令Δt →0，得S ′＝200(a ＋a 2t )．所以铁板对温度的膨胀率为200(a ＋a 2t )．反思与感悟函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率Δy Δx＝fx 0＋Δx －f x 0Δx，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．跟踪训练3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)．根据导数的定义，Δy Δx ＝f ＋Δx －fΔx＝＋Δx2－＋Δx ＋15－2－7×2＋Δx＝4Δx ＋Δx 2－7ΔxΔx＝Δx －3，所以，f ′(2)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(Δx －3)＝－3. 同理可得，f ′(6)＝5.在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 ℃/h 的速率上升．1．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0答案 A 解析Δs Δt＝s t 0＋Δt －s t 0Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴li m Δt →0 ΔsΔt ＝at 0. 2．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关答案 B3．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2 答案 B解析 ∵Δy Δx＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32Δx＝－Δx －3，∴li m Δx →0 ΔyΔx ＝－3. 4．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________.答案－12解析 f ′(1)＝lim Δx →0 f＋Δx －fΔx＝lim Δx →011＋Δx－1Δx＝lim Δx →0－11＋Δx ＋1＋Δx＝－12.[呈重点、现规律]1．瞬时速度是平均速度当Δt →0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δx →0时的极限值．2．利用导数定义求导数的步骤：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率ΔyΔx；(3)取极限得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx.。

(全国通用版)2018版高中数学第一章导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.3 导数的几何意义

知识点二导函数
思考已知函数f(x)＝x2，分别计算f′(1)与f′(x)，它们有什么不同.
f1＋Δx－f1
答案 f′(1)＝lim Δx→0
Δx
＝2.
fx＋Δx－fx
f′(x)＝ lim Δx→0
Δx
＝2x，
f′(1)是一个值，而f′(x)是一个函数.
梳理对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化
时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝ f(x) 在点P处的切线.
(2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0)) 处
fx0＋Δx－fx0
的切线的斜率k，即k＝
f′(x0) ＝
lim
Δx→0
Δx
.
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为____y－__f_(_x_0)_＝___ __f_′__(x_0_)_(x_－__x_0_) _.
规律与方法
1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k Δl＝ixm→0fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.
2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x ＝x0处的一个函数值. 3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点坐标(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.

高中数学第一章导数及其应用 1.2 导数的计算导数概念与运算基础知识总结素材新人教A版选修2-2

导数概念与运算基础知识总结知识清单 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim →∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。

2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f（x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。

高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时变化率——导数(二)课件苏教版

3 ∵α∈[0，π)，∴α＝4π.
3 ∴切线的倾斜角为4π.
解析答案
(－1，－1)或(1,1) (2)曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线斜率为3，则点P的坐标为_______________.
解析设点 P 的坐标为(x0，x3 0)，
fx0＋Δx－fx0 ∵ Δx
2 3 3x2 Δ x ＋ 3 x Δ x ＋ Δ x 0 0 ＝ Δx
如图所示，当点Pn沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P时，割线PPn趋近于确定
的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线 .
(1)曲线y＝f(x)在某点处的切线与该点的位置有关；
(2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，
可以有多个，甚至可以有无穷多个.
思考答案有同学认为曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的不正确.曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与
解析答案
1
2
3
4
5
8 2.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为____.
解析 Δy f2＋Δx－f2 因为Δx＝ Δx
2
22＋Δx －8 ＝＝ 8 ＋ 2Δ x ， Δx
当Δx→0时，其值趋近于8.即k＝8.
解析答案
1
2
3
4
5
3.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0， 1 1 ，b＝___. 则a＝___
故当Δx→0时，其值趋近于x，∴y′|x＝1＝1.
∴点
3 1 ，－ P 处切线的斜率为 2
1，则切线的倾斜角为 45° .
解析答案
1
2
3
4
5

18版高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时速度与导数学案新人教B版选修2_2

1.1.2 瞬时速度与导数明目标、知重点 1.理解瞬时速度及瞬时变化率的定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．设物体运动路程与时间的关系是s＝s(t)，物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均变化率s t 0＋Δt－s t0Δt ，当Δt→0时的极限，即v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0s t0＋Δt－s t0Δt.2．瞬时变化率一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx.3．导数的概念一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记为f′(x0)，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x 0＋Δx－f x0Δx.4．导函数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为f′(x)或y′(或y′x)．导函数通常简称为导数．探究点一瞬时速度思考1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.在某些时间段内如何粗略地描述其运动状态？平均速度能否精确反映它的运动状态？答用0≤t ≤0.5和1≤t ≤2的平均速度v 来粗略地描述其运动状态．在0≤t ≤0.5这段时间里，v ＝h－h 0.5－0＝4.05(m/s)；在1≤t ≤2这段时间里，v ＝h－h 2－1＝－8.2(m/s)．平均速度不能精确反映其运动状态，如高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，易知h (6549)＝h (0)，v ＝h6549－h 6549－0＝0，而运动员依然是运动状态．思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？答可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．如求t ＝2时的瞬时速度，可考察在t ＝2附近的一个间隔Δt ，当Δt 趋近于0时，看平均速度v 的变化趋势，用式子 lim Δt →0h＋Δt －hΔt表示，这就是物体在t ＝2时的瞬时速度．例1 火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100 m/s.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0?解火箭的运动方程为h (t )＝100t －12gt 2，火箭向上位移是初速度引起的位移(100t )与重力引起的位移⎝ ⎛⎭⎪⎫－12gt 2的合成．在t 附近的平均变化率为⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ＋Δt －12g t ＋Δt2－⎝⎛⎭⎪⎫100t －12gt 2Δt＝100Δt －g ·t ·Δt －12gΔt2Δt＝100－gt －12g Δt .当Δt →0时，上式趋近于100－gt . 可见t 时刻的瞬时速度h ′(t )＝100－gt . 令h ′(t )＝100－gt ＝0，解得t ＝100g ≈1009.8≈10.2(s)．所以火箭熄火后约10.2 s 向上速度变为0.反思与感悟瞬时速度是平均速度在Δt →0时的极限值．要求瞬时速度，可以先求平均速度．思考3 火箭向上速度变为0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？答火箭向上速度变为0，意味着火箭处于上升阶段的最高点处，即火箭达到了最大高度，由例1知火箭熄火后上升的时间为t ＝100g ，所以火箭熄火后上升的最大高度h ＝100×100g－12g ×⎝ ⎛⎭⎪⎫100g 2＝10022g≈510.2(m)．跟踪训练1 质点M 按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)．若质点M 在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 ∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，∴Δs Δt＝4a ＋a Δt .在t ＝2时，瞬时速度为lim Δt →0 Δs Δt ＝4a ，即4a ＝8，∴a ＝2. 探究点二导数的定义思考1 从平均速度当Δt →0时是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？答对函数y ＝f (x )来说，f (x )在点x ＝x 0附近改变Δx 时，平均变化率为f x 0＋Δx －f x 0Δx.当Δx →0时，如果平均变化率趋于一个常数l ，则l 称为函数f (x )在点x 0的瞬时变化率．思考2 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？答函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度．思考3 导函数和函数在一点处的导数有什么关系？答若函数f (x )在区间(a ，b )内可导，对(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )，f ′(x )就叫函数y ＝f (x )的导函数．函数f (x )在点x ＝x 0处的导数是导函数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．解由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2) ＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－Δx 2－ΔxΔx＝lim Δx →0(－Δx －1)＝－1. 反思与感悟求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx. 跟踪训练2 利用导数的定义求下列函数的导数： (1)y ＝x 2＋ax ＋b 在x ＝0处的导数； (2)y ＝x ＋2在x ＝2处的导数．解 (1)∵Δy ＝f (0＋Δx )－f (0)＝(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －02－a ·0－b ＝(Δx )2＋a (Δx )，∴Δy Δx＝Δx 2＋a ΔxΔx＝Δx ＋a ，∴y ′|x ＝0＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 (Δx ＋a )＝a . (2)∵Δy ＝＋Δx ＋2－2＋2＝4＋Δx －2，∴ΔyΔx ＝4＋Δx －2Δx ＝4＋Δx －4＋Δx ＋Δx4＋Δx ＋＝14＋Δx ＋2. ∴f ′(2)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →014＋Δx ＋2＝14. 探究点三导数的实际应用例3 一正方形铁板在0℃时，边长为10 cm ，加热后铁板会膨胀．当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at ) cm ，a 为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率．解设温度的增量为Δt ，则铁板面积S 的增量为 ΔS ＝102[1＋a (t ＋Δt )]2－102(1＋at )2＝200(a ＋a 2t )Δt ＋100a 2(Δt )2，因此ΔS Δt ＝200(a ＋a 2t )＋100a 2Δt .令Δt →0，得S ′＝200(a ＋a 2t )．所以铁板对温度的膨胀率为200(a ＋a 2t )．反思与感悟函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率Δy Δx＝fx 0＋Δx －f x 0Δx，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．跟踪训练 3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)．根据导数的定义，Δy Δx ＝f ＋Δx －fΔx＝＋Δx2－＋Δx ＋15－2－7×2＋Δx＝4Δx ＋Δx 2－7ΔxΔx＝Δx －3，所以，f ′(2)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(Δx －3)＝－3. 同理可得，f ′(6)＝5.在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 ℃/h 的速率上升．1．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0答案 A 解析Δs Δt＝s t 0＋Δt －s t 0Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴li m Δt →0 ΔsΔt ＝at 0. 2．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关答案 B3．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2 答案 B 解析 ∵Δy Δx＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32Δx＝－Δx －3，∴li m Δx →0 ΔyΔx ＝－3. 4．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________.答案－12解析 f ′(1)＝lim Δx →0 f＋Δx －fΔx＝lim Δx →0 11＋Δx－1Δx＝lim Δx →0－11＋Δx ＋1＋Δx＝－12.[呈重点、现规律]1．瞬时速度是平均速度当Δt →0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δx →0时的极限值．2．利用导数定义求导数的步骤：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率ΔyΔx；(3)取极限得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx.。

[最新]高中数学第一章导数及其应用111函数的平均变化率112瞬时速

[最新]高中数学第一章导数及其应用111函数的平均变化率112瞬时速1.1.2 瞬时速度与导数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数f(x)＝x－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( ) A．3 C．1B．2 D．4 ＝3，2m2－1－2－【解析】由已知得：m－1∴m＋1＝3，∴m＝2. 【答案】 B2．一质点运动的方程为s＝5－3t，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )A．－3 C．6B．3 D．－62【解析】由平均速度和瞬时速度的关系可知，v＝s′(1)＝lim (－3Δt－6)＝－6.Δt→0【答案】 D3．已知函数f(x)＝2x－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则Δy＝( ) ΔxA．4 C．4＋2ΔxB．4x D．4＋2(Δx)22222【解析】因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)－4－(2×1－4)＝4Δx＋2(Δx)，Δy4Δx＋Δx所以＝ΔxΔx【答案】 C4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)(a，b 为常数)，则( )A．f′(x)＝a C．f′(x0)＝a【解析】∵f′(x0)＝limΔx→022＝4＋2Δx.B．f′(x)＝b D．f′(x0)＝bfx0＋Δx－fx0ΔxaΔx＋bΔx＝limΔxΔx→02＝lim (a＋bΔx)＝a，Δx→01∴f′(x0)＝a. 【答案】 C5．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且limΔx→0fx0－3Δx－fx0＝1，则f′(x0)等Δx于( )A．1 1C．－ 3【解析】∵lim Δx→0B．－1 1D. 3fx0－3Δx－fx0Δx＝lim[Δx→0fx0－3Δx－fx0・(－3)]－3Δx＝－3f′(x0)＝1， 1∴f′(x0)＝－.3【答案】 C 二、填空题6．若f′(x0)＝1，则limk→0fx0－k－fx0＝__________.2k 【导学号：05410003】【解析】 limk→0fx0－k－fx02k1f＝－lim2k→0x0－k－fx011＝－f′(x0)＝－. －k221【答案】－ 27．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图1-1-1所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，其三者的大小关系是________．图1-1-1【解析】∵v1＝st1－st0＝kMA，t1－t0st2－st1v2＝＝kAB，t2－t12st3－st2v3＝＝kBC，t3－t2由图象可知：kMAv2>v1. 【答案】 v3>v2>v18．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t，则物体的初速度是__________．【解析】物体的速度为v＝s′(t)，∴s′(t)＝limΔt→0st＋Δt－st Δtt＋ΔtΔt22＝lim Δt→0t＋Δt－－2t＋3t22Δt－6tΔt－3Δt＝limΔtΔt→0＝2－6t. 即v＝2－6t，所以物体的初速度是v0＝2－6×0＝2. 【答案】 2 三、解答题9．已知某物体按照s(t)＝3t＋t＋4(t的单位：s，s的单位：m)的规律做直线运动，求该物体在4 s附近的平均速度．【解】 v＝＝＋ΔtΔss＝Δt22＋Δt－sΔt＋Δt＋4－Δt2＋＋4＋＝(25＋3Δt)m/s，即该物体在4 s附近的平均速度为(25＋3Δt)m/s. 10．求函数y＝x＋ax＋b(a，b为常数)的导数．【解】因为Δy＝[(x＋Δx)＋a(x＋Δx)＋b]－(x＋ax＋b)＝2x・Δx＋(Δx)＋Δya ・Δx＝(2x＋a)・Δx＋(Δx)，故＝Δx2222x＋aΔx＋ΔxΔx2＝(2x＋a)＋Δx，Δylim ＝lim (2x＋a＋Δx)＝2x＋a，所以y′＝2x＋a. Δx→0ΔxΔx→0[能力提升]1．若f(x)＝x，f′(x0)＝3，则x0的值是( ) A．1B．－133C．±1 D．3333223【解析】∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)－x0＝3x0Δx＋3x0(Δx)＋(Δx)，∴Δy22＝3x0＋3x0Δx＋(Δx)，Δx222Δx→0∴f′(x0)＝lim[3x0＋3x0Δx＋(Δx)]＝3x0，由f′(x0)＝3，得3x0＝3，∴x0＝±1. 【答案】 C2．如果函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，那么lim2fx＋－f2x＝( )1A. 2C．2【解析】因为f′(1)＝1，所以limx→0B．1 1D. 4f＋x－fx＋x－f＝1， 1＝. 2所以limx→0fx＋－f2x1f＝lim 2x→0x【答案】 A3．已知f′(x0)>0，若a＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0fx0－Δx－fx0，b＝lim ，ΔxΔxΔx→0c＝limΔx→0fx0＋2Δx－fx0，Δxfx0＋Δx－fx0－Δxfx－fx0，e＝lim ，2Δxx－x0x→x0d＝lim则a，b，c，d，e的大小关系为__________．【解析】 a＝lim Δx→0fx0＋Δx－fx0＝f′(x0)，Δxb＝limΔx→0fx0－Δx－fx0Δxfx0－Δx－fx0＝－f′(x0)，－Δx＝－limΔx→0c＝limΔx→0fx0＋2Δx－fx0Δxfx0＋2Δx－fx0＝2f′(x0)，2Δxfx0＋Δx－fx0－Δx＝f′(x0)，2Δx＝2limΔx→0d＝limΔx→04e＝lim x→x0fx－fx0＝f′(x0)．x－x0即c>a＝d＝e>b. 【答案】 c>a＝d＝e>b2324．某一运动物体，在x(s)时离开出发点的距离(单位：m)是f(x)＝x＋x＋2x.3(1)求在第1 s内的平均速度； (2)求在1 s末的瞬时速度；(3)经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s? 【解】 (1)物体在第1 s内的平均变化率(即平均速度)为Δyf(2)＝Δx23＋Δx＋Δx－fΔx3f－f1－011＝ m/s. 32＋＋ΔxΔx＋＝11＋Δx－3 22＝6＋3Δx＋(Δx).3Δy当Δx→0时，→6，Δx所以物体在1 s末的瞬时速度为6 m/s. Δyf(3)＝Δx2x＋Δx3x＋Δx－fx＝Δx3＋x＋Δx2＋?32?x＋Δx－?x＋x＋2x??3?2Δx222＝2x＋2x＋2＋(Δx)＋2x・Δx＋Δx.3Δy2当Δx→0时，→2x＋2x＋2，Δx令2x＋2x＋2＝14，解得x＝2，即经过2 s该物体的运动速度达到14 m/s.2520XX―019学年度第一学期生物教研组工作计划一、指导思想坚持以《基础教育课程改革纲要》为指导，认真学习贯彻课程改革精神，以贯彻实施基础教育课程改革为核心，以研究课堂教学为重点，以促进教师队伍建设为根本，以提高教学质量为目标，全面实施素质教育。

2018年高中数学第一章导数及其应用 1.1.2 瞬时速度与导数课件6 新人教B版选修2-2

x
x
(3)取极限x 0时, y A x
例1．火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0？
解：火箭的运动方程为h(t)=100t－12 gt2，在t附近的平均变化率为
[100(t t) 1 g(t t)2] [100t 1 gt2]
2
2
t
100t gt t t 1 g(t)2
2
－gt。
1 2
g△t。
令h可’见(tt)时=1刻0的0瞬－时g速t=度0h，’(t)解=10得0－t gt。10g0
100 9.8
10.2(s)
所以火箭熄火后约10.2s向上的速度变为0.
例2．一正方形铁板在0°C时，边长为10cm，加热后
在x=x0处的函数值，即 f ( x0 ) f ( x) |xx0 。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。
计算区间2 t,2和区间2,2 t内平均速度v,
可以得到如下表格.
t 0时,在2 t,2这段时间内
v
h2 h2 t 2 2 t
4.9t2 13.1t t
4.9t 13.1
当t 0.01时, v 13.051;
当t 0.001时, v 13.0951;
当t 0.0001时, v 13.09951;
（2）如果函数y＝f (x)在开区间(a ,b)内每一点都可导,就说函数 y＝f (x)在开区间(a ,b)内可导，这时,对于开区间内每一个
确定的值x0，都对应着一个确定的导数，这样就在开区间
(a ,b)内可构成一个新的函数，称作f (x)的导函数。
（3）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x）的导函数。

2017 2018版高中数学 第1章 导数及其应用 112 瞬时变化率导数 苏教版选修2 21