改广东省数学(理)卷文档版(有答案)-2014年普通高等学校招生统一考试
2014年广东高考理科数学试卷参考答案与解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.54.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A 、200,20B 、100,20C 、200,10D 、100,107、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
2014年广东高考理科数学试题含答案(Word版)-推荐下载
提示解: 法一由:射影定理知从பைடு நூலகம்而cos C c cos B a,
a 2b, a 2 . b
解法二: 由上弦定理得: sin B cos C sin C cos B 2sin B,即sin(B C) 2sin B,
sin A 2sin B,即a 2b, a 2 . b
D.130
: C12 C52 A52 40; D.
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线0产中不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资22负料，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看2与全22过，22度并22工且22作尽2下可护1都能关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编5试技写、卷术重电保交要气护底设设装。备备4置管高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并3技试资件且、术卷料拒管中试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2014高考真题广东卷(理科数学)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．学科网在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则 A. B. C.D.2．已知复数Z 满足，则Z= A. B.C.D.3．若变量满足约束条件的最大值学科网和最小值分别为和，则A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足，则曲线与曲线的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量，则下列向量中与成夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1） 6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，学科网为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线，满足，则学科网下面结论一定正确的是A. B. C.既不垂直也不平行 D.的位置关系不确定8．设集合，那么集合A 中满足条件“”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）{1,0,1}M =-{0,1,2}N =M N ={1,0,1}-{1,0,1,2}-{1,0,2}-{0,1}(34)25i z +=34i -34i +34i --34i -+,x y 121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且m n m n -=09k <<221259x y k-=-221259x y k -=-()1,0,1a =-a 60︒1234,,,l l l l 122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥14l l ⊥14//l l 14,l l 14,l l (){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=1234513x x x x x ≤++++≤9．不等式的解集为 。
2014广东省高考理科数学试卷及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则M N =A. {}0,1B. {}1,0,2-C. {}1,0,1,2-D. {}1,0,1-2.已知复数z 满足()3425i z +=，则z = A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3.若变量x ，y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥，且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -= A. 5B. 6C. 7D. 84.若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等B. 实半轴长相等 C . 虚半轴长相等D. 离心率相等5.已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A. ()1,1,0-B. ()1,1,0-C. ()0,1,1-D. ()0,1,1-6.已知某地区中小学学生们近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 200，20B. 100，20C. 200，10D. 100，10 7.若空间中四条两两不同的直线1l ，2l ，3l ，4l ，满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14l lC. 1l 与4l 既不垂直也不平行D. 1l 与4l 的位置关系不确定8.设集合(){}{}12345,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤ ”的元素个数是 A. 60B. 90C. 120D. 130二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
2014年广东高考理科数学试题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.54.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0222222:11,,60,.2210(1)1(1)0B B =∴++-⋅+-+答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 200,20B. 100,20C. 200,10D. 100,107.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130 答案: D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .10.曲线25+=-x e y 在点)3,0(处的切线方程为 .11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba .13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++=L L .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ，（1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f .17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下： （1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.(](](]044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=:根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ， 交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D －AF －E 的余弦值.:(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF AD AF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠I I Q 解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CD DECF CP EF DC DEDF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴⋅======⋅∴==Q Q 为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠==12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,,22,0),,,431(,0),(ADFCP 1,0),2222AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CF F E n n λλλ==-⊥===-=u u u r u u u r u u u r u u u r Q u r u u u r u u r 解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,19||||n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅u u r u u u r u u r u u u ru r u u ru u r u r u u u r 利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式;20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.21.（本题14分）设函数()f x =，其中2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.2020-2-8。
2014年广东高考理科数学试题含答案(Word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0222222:11,,60,.2210(1)1(1)0B B =∴++-⋅+-+答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D 8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130 答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130, D.x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 . '5'0:530:5,5,35,530.x x x y y e y y x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= . 51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDF AEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ，（1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f . 55233:(1)()sin()sin , 3.121243223(2)(1):()3sin(),4()()3sin()3sin()443(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )4444323cos sin 6cos 426cos ,(0,),42f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈解由得10sin 4331030()3sin()3sin()3sin 3.44444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======解频率分布直方图如下所示(](](]044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D －AF －E 的余弦值.:(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF ADAF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CDDE CF CP EF DC DEDF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴=⋅======⋅∴====为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠==12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431,0),ADF CP (3,1,0),22AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,19||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--∴++-><->-++++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-+++<--<<-<-∴-<-<-<--+∴=-∞------+---+-+∞==-⋅⋅该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-+∞+>+++>+>∴<-∞------++∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D ,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴-<----<<-+<--+--+<+->∴><+<<-+++<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii x x x x x k x x k k k g x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<<--+<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f --<<-+<-++<∴<>+->∴<++-+<---⋃--⋃-+⋃-+-+++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。
2014年广东高考数学(理科)试题及答案
绝密★启用前试卷类型：A2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学 (理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，…。
一、选择题：…．1．已知集合M ={− 1，0，1}，N ={0，1，2}，则M ∪N =（ ） A ．{− 1，0，1} B ．{− 1，0，1，2} C ．{− 1，0，2}D ．{0，1}【B 】2．已知i 为虚数单位，复数z 满足(3 + 4i )z = 25，则z =（ ） A ．3 − 4i B ．3 + 4i C ．− 3 − 4i D ．− 3 + 4i【A 】3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x + y ≤1y ≥− 1且z = 2x + y 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M − m =（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【C 】4．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225 − y 29 − k = 1与曲线x 225 − k − y 29 = 1的（ ）A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等【D 】5．已知向量a =(1，0，− 1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是（ ） A ．(− 1，1，0) B ．(1，− 1，0)C ．(0，− 1，1)D ．(− 1，0，1)【B 】6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，10【A 】7．若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是（ ） A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1，l 4既不垂直也不平行D ．l 1，l 4的位置关系不确定【D 】8．设集合A ={(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{− 1，0，1}，i = 1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+|x 5|≤3”的元素个数为（ ） A ．60B ．90C ．120D ．130【D 】二、填空题：…．(一) 必做题(9～13题)9．已知x ∈R ，则不等式|x − 1|+|x + 2|≥5的解集为____________________． 【(− ∞，− 3]∪[2，+ ∞)（也可以写成{x ∈R |x ≤− 3，或x ≥2}）】10．曲线y = e − 5x + 2在点(0，3)处的切线方程为_____________________． 【5x + y − 3 = 0】小学生 3500名高中生 2000名初中生 4500名图1 图2级53111．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为_____________________．【1 6】12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知b cos C + c cos B = 2b，则ab= ______________________．【2】13．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11 + a9a12 = 2e5，则ln a1 + ln a2 + …+ ln a20 = ______________________．【50】(二) 选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρ sin2θ= cos θ和ρ sin θ = 1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为______________．【(1，1)】15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB =2AE，AC与DE交于点F，则△CDF的面积△AEF的面积= ______________．【9】三、解答题：…．A BCDEF图316．（本小题满分12分）已知函数f(x)= A sin(x +π4)，x∈R，且f(5π12)=32．（1）求A的值；（2）若f(θ)+ f(−θ)=32，θ∈(0，π2)，求f(3π4−θ)．【（1）3；（2）30 4．】解：（1）f(5π12)= A sin(5π12+π4)= A sin2π3= A sin(π−π3)= A sinπ3=32A =32，解得A =3．（2）f(θ)+ f(−θ)=3sin(θ +π4)+3sin(−θ +π4)=3sin(θ +π4)+3cos(θ +π4)=6[sin(θ +π4)·22+3cos(θ +π4)·22]=6sin[(θ +π4)+π4]=6sin(θ +π2)=6cos θ =32，解得cos θ =6 4．又θ∈(0，π2)，则sin θ = 1 − cos 2 θ=104．故f(3π4−θ)=3sin(π−θ)=3sin θ =304．17．（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 3 0. 12(30，35] 5 0. 20(35，40]8 0. 32(40，45]n1f1(45，50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂（工人人数较多）任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率．【（1）n1 = 7，n2 = 2，f1 = 0. 28，f2 = 0. 08；（2）如图所示；（3）0. 5904．】件数解：（1）依题意n1 = 7，n2 = 2，f1 = n1÷25 = 0. 28，f2 = n2÷25 = 0. 08．（2）绘制的频率分布直方图如图所示；（3）设在该厂任取4人中日加工零件数落在区间(30，35]有ξ人．则ξ服从二项分布B，且n = 4，p = 0. 2，即ξ～B(4，0. 2)．故所求概率为P(ξ≥1)= 1 −P(ξ = 0)= 1 − C400. 20(1 − 0. 2)4= 1 − 0. 4096 = 0. 5904．18．（本小题满分13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC = 30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D−AF−E的余弦值．【（1）…；（2）25719．】 法二：（向量法，坐标系）解证：依题意AD ⊥CD ，又PD ⊥平面ABCD ，则PD ⊥AD ，PD ⊥CD ，则以DP →，DC →，DA →分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设CD = 2．（1）依题意 PC = 4，PD = 23，AD = AB = BC = 2．DA →=(0，0，2)，PC → =(0，2，0)−(23，0，0)=(− 23，2，0)，则 PC →·DA → = … = 0， 即PC →⊥DA →，故PC ⊥DA ．又PC ⊥AF ，故PC ⊥平面ADF ． （2）设 PF → = t PC →，则 PF → = t PC →= t [(0，2，0)−(23，0，0)]=(− 23t ，2t ，0)，AF → = AP → + PF →=[(23，0，0)−(0，0，2)]+(− 23t ，2t ，0) =(23(1 − t )，2t ，− 2)．又AF ⊥PC ，则 AF →·PC →=(23(1 − t )，2t ，− 2)·(− 23，2，0)= … = 0， 即4t − 3 = 0，解得t = 34，AF → =(32，32，− 2)．由（1）知 PC →=(− 23，2，0)是平面ADF 的一个法向量． 设m =(a ，b ，c )是平面AEF 的一个法向量，则m ⊥平面AEF ， 即m ⊥AF →，m ⊥EF →，又EF ∥DC ，则m ⊥DC →， 故 ⎩⎨⎧m ·AF → = 3a 2 + 3b 2 − 2c = 0m ·DC →= 2b = 0，令c =3 得m =(4，0，3)．则cos <m ，PC →> = … = − 83419= − 25719，显然所求二面角为锐角，故cos ∠D − AF − E =|cos <m ，PC →>|= 25719．19．（本小题满分14分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n = 2na n + 1 − 3n 2 − 4n ，n ∈N *，且S 3 = 15． （1）求a 1，a 2，a 3的值； （2）求数列{a n }的通项公式．【（1）a 1 = 3，a 2 = 5，a 3 = 7；（2）a n = 2n + 1．】解：（1）令n = 1，2得a 1 = S 1 = 2a 2 − 3 − 4，a 1 + a 2 = S 2 = 4a 3 − 12 − 8， 又a 1 + a 2 + a 3 = S 3 = 15，联立求解得a 1 = 3，a 2 = 5，a 3 = 7．（2）法一：（数学归纳法）由（1）猜想通项公式a n = 2n + 1，然后用数学归纳法证明．…．20．（本小题满分14分）已知椭圆C ：x 2a 2 + y 2b 2 = 1（a ＞b ＞0）的一个焦点为(5,0)，离心率为 53． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【（1）x 29 + y 24= 1；（2）x 2 + y 2 = 13．】解：（1）依题意 ⎩⎪⎨⎪⎧c = 5e 2 = ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2= ⎝ ⎛⎭⎪⎫532= 59a 2 = b 2 + c 2，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2 = 9b 2 = 4c 2 = 5，故C 方程为x 29 + y 24 = 1．（2）设过点P 且与C 相切的两直线为l 1和l 2． ① 若l 1和l 2中有一条斜率不存在（垂直于x 轴），则依题意另一条斜率为0（平行于x 轴），显然切点分别为椭圆长轴和短轴顶点， 此时点P 坐标为(±3，±2)．② 若l 1和l 2的斜率均存在，设l 1和l 2的斜率分别为k 1和k 2，过点P 与C 相切的直线l 斜率为k ，则l ：y − y 0 = k (x − x 0)，即y = k (x − x 0)+ y 0， 代入C 得4x 2 + 9[k (x − x 0)+ y 0]2 = 36，即(9k 2 + 4)x 2 + 18(y 0 − kx 0)kx + 9[(y 0 − kx 0)2 − 4]= 0，由l 与C 相切知Δ = 182(y 0 − kx 0)2 − 4(9k 2 + 4)9[(y 0 − kx 0)2 − 4]= 0， 对k 整理得(x 02− 9)k 2 − 2x 0y 0k +(y 02− 4)= 0（x 02≠±3）…（❀）， 依题意方程（❀）的两根即为k 1和k 2， 由一元二次方程根与系数关系得k 1·k 2 = y 02− 4x 02 − 9，又l 1⊥l 2，则k 1·k 2 = − 1，即 y 02− 4x 02 − 9= − 1，整理得x 02 + y 02 = 13（x 02≠±3）．综合①②并检验得所求点P 的轨迹方程为x 2 + y 2 = 13．21．（本小题满分14分）设函数f(x)=1(x2 + 2x + k)2 + 2(x2 + 2x + k)− 3，其中k＜− 2．（1）求函数f(x)的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f(x)在D上的单调性；（3）若k＜− 6，求D上满足条件f(x)＞f(1)的x的集合（用区间表示）．【（1）(−∞，− 1 − 2 −k)∪(− 1 −− 2 −k，− 1 +− 2 −k)∪(− 1 + 2 −k，+ ∞)；（2）f(x)在(−∞，− 1 − 2 −k)和(− 1，− 1 +− 2 −k)上单调递增，在(− 1 −− 2 −k，− 1)和(− 1 + 2 −k，+ ∞)上单调递减；（3）(− 1 −− 2k− 4，− 1 − 2 −k)∪(− 1 −− 2 −k，− 3)∪(1，− 1 +− 2 −k)∪(− 1 + 2 −k，− 1 +− 2k− 4)．】解：（1）依题意得(x2 + 2x + k)2 + 2(x2 + 2x + k)− 3＞0，即[(x2 + 2x + k)− 1][(x2 + 2x + k)+ 3]＞0，则x2 + 2x + k＜− 3，或x2 + 2x + k＞1，即(x + 1)2＜− 2 −k，或(x + 1)2＞2 −k，则|x + 1|＜− 2 −k，或|x + 1|＞ 2 −k，故− 1 −− 2 −k＜x＜− 1 +− 2 −k，或x＜− 1 − 2 −k，或x＞− 1 + 2 −k，又2 −k＞− 2 −k，则 2 −k＞− 2 −k，即− 1 − 2 −k＜− 1 −− 2 −k＜− 1 +− 2 −k＜− 1 + 2 −k，故所求定义域D为(−∞，− 1 − 2 −k)∪(− 1 −− 2 −k，− 1 +− 2 −k)∪(− 1 + 2 −k，+ ∞)．（2）法一：（导数法）依题意f'(x)= −2(x2 + 2x + k + 1)(x + 1) [(x2 + 2x + k)2 + 2(x2 + 2x + k)− 3]3令f '(x)＞0得(x2 + 2x + k + 1)(x + 1)＜0，即[(x + 1)2−(−k)2](x + 1)＜0，则(x + 1 +−k)(x + 1 −−k)(x + 1)＜0，由数轴穿根法如图得x ＜− 1 − − k ，或− 1＜x ＜− 1 + − k ，结合定义域得f (x )在(− ∞，− 1 − 2 − k )和(− 1，− 1 + − 2 − k )上单调递增， 在(− 1 − − 2 − k ，− 1)和(− 1 + 2 − k ，+ ∞)上单调递减．法二：（复合函数单调性：同增异减）设v (t )= t 2 + 2t − 3，t (x )= x 2 + 2x + k ，则y (v )= 1v，显然y (v )是减函数． v (t )和t (x )的的对称轴分别为t = − 1和x = − 1，令t ＞−1得x 2 + 2x + k ＞− 1，即x 2 + 2x + 1＞− k ，则(x + 1)2＞− k ， 即|x + 1|＞− k ，解得x ＜− 1 − − k ，或x ＞− 1 + − k ，如图，根据复合函数的单调性复合法则及定义域得f (x )在(− ∞，− 1 − 2 − k )和(− 1，− 1 + − 2 − k )上单调递增， 在(− 1 − − 2 − k ，− 1)和(− 1 + 2 − k ，+ ∞)上单调递减． （3）令f (x ) = f (1)得1(x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2 + 2x + k )− 3 =1(3 + k )2+ 2(3 + k )− 3则(x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2 + 2x + k )− 3 =(3 + k )2 + 2(3 + k )− 3 整理得[(x + 1)2 −(− 2k − 4)](x + 2x − 3)= 0，即[x + 1 + − 2k − 4][x + 1 − − 2k − 4](x + 3)(x − 1)= 0解得x = − 1 + − 2k − 4，或x = − 1 − − 2k − 4，或x = − 3，或x = 1．tv (t ) ↗ ↘ ↘ ↗ v (x ) ↘ ↗ ↘ ↗ y (v ) ↘ ↘ ↘ ↘ y (x ) ↗↘ ↗ ↘由k＜− 6知−k＞6，则− 2 −k＞2， 2 −k＜− 2k− 4，故1∈(− 1，− 1 +− 2 −k)，− 3∈(− 1 −− 2 −k，− 1)，− 1 −− 2k− 4＜− 1 − 2 −k，− 1 +− 2k− 4＞− 1 + 2 −k，结合定义域及单调性知f(x)＞f(1)的解集为(− 1 −− 2k− 4，− 1 − 2 −k)∪(− 1 −− 2 −k，− 3)∪(1，− 1 +− 2 −k)∪(− 1 + 2 −k，− 1 +− 2k− 4)．。
2014年高考理科数学(广东卷)试题及详细答案
图1 图22014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则MN =A ．{0,1}B ．{1,0,2}-C ．{1,0,1,2}-D ．{1,0,1}-2．已知复数z 满足(34)25i z +=，则z =A ．34i -+B ．34i --C ．34i +D ．34i -3．若变量,x y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥，且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A ．5B ．6C ．7D ．84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等5．已知向量(1,0,1)-a =，则下列向量中与a 成60夹角的是A ．(1,1,0)-B ．(1,1,0)-C ．(0,1,1)-D ．(1,0,1)-6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示. 为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2 %的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14//l l C ．1l 与4l 既不垂直也不平行 D ．1l 与4l 的位置关系不确定 8．设集合(){}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-= ，那么集合A 中满足条件 “1234513x x x x x ++++≤≤”的元素个数为AFED CB图3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9 ~ 13题）9．不等式125x x -++≥的解集为 ．10．曲线25+=-x e y 在点)3,0(处的切线方程为 ．11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 ． 12．在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,. 已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba． 13．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= ．（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()4f x A x π=+，x ∈R ，且23)125(=πf ． （1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．图4PABCED F随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数 频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 80.32(40,45] 1n 1f (45,50]2n2f（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率．18．（本小题满分14分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，30DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E ．（1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D AF E --的余弦值．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S 满足21234n n S na n n +=--，*n ∈N ，且315S =．（1）求123,,a a a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式． 20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的一个焦点为，离心率为3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．21.（本小题满分14分）设函数()f x =2k <-．（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）．2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题）9. (,3][2,)-∞-+∞10. 530x y+-=11.1612. 2 13.50（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14.(1,1)15.9三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）16. 解：（1）5523()sin()sin12124322f A A Aππππ=+===，解得A=（2）由（1）得())4f x xπ=+，所以()()sin()sin()44f fππθθθθ+-=++-33()3()22222θθθθθ=+-==所以cos4θ=，又因为)2,0(πθ∈，所以sin4θ==，所以33()sin())44444fππθπθπθθ-=-+=-===PA BC EDFGH18．（本小题满分14分）18.（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD AD⊥.因为在正方形ABCD中CD AD⊥，又CD PD D=，所以AD⊥平面PCD.因为CF⊂平面PCD ，所以AD CF⊥.因为AF CF⊥，AF AD A=，所以CF⊥平面ADF.（2）方法一：以D为坐标原点，DP、DC、DA分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系设正方形ABCD的边长为1，则(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(4D A C PE F由（1）得(3,1,0)CP=-是平面BCDE的一个法向量.设平面AEF的法向量为(,,)x y z=n，3(0,,0)4EF=，(4EA=-，所以3434EF yEA x z⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩nn.令4x=，则0y=，z==n是平面AEF的一个法向量.设二面角D AF E--的平面角为θ，且(0,)2πθ∈所以cosCPCPθ⋅===⋅nn，所以二面角D AF E--.方法二：过点D作DG AE⊥于G，过点D作DH AF⊥于H，连接GH.因为CD PD⊥，CD ED⊥，EDAD D=，所以CD⊥平面ADE.因为FE∥CD，所以FE⊥平面ADE.因为DG⊂平面ADE，所以FE DG⊥.因为AE FE E=，所以DG⊥平面AEF.根据三垂线定理，有GH AF⊥，所以DHG∠为二面角D AF E--的平面角.设正方形ABCD的边长为1，在Rt△ADF中，1AD=，2DF=，所以7DH=.在Rt△ADE中，因为1124FC CD PC==，所以14DE PD==DG=. 所以GH==，所以cos19GHDHGDH∠==，所以二面角D AF E--.19. 解：（1）当2n =时，2123420S a a a =+=-，又312315S a a a =++=，所以3342015a a -+=，解得37a =. 当1n =时，11227S a a ==-，又128a a +=，解得123,5a a ==. 所以1233,5,7a a a ===.（2）21234n n S na n n +=-- ①当2n ≥时，212(1)3(1)4(1)n n S n a n n -=----- ② ①-②得12(22)61n n n a na n a n +=----. 整理得12(21)61n n na n a n +=-++，即1216122n n n n a a n n+-+=+. 猜想21n a n =+，*n ∈N . 以下用数学归纳法证明： 当1n =时，13a =，猜想成立； 假设当n k =时，21k a k =+，当1n k =+时，21216121614161(21)232(1)122222k k k k k k k k a a k k k k k k k k+-+-+-++=+=++==+=++， 猜想也成立，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n ∈N .20.（本小题满分14分）20. 解：（1）依题意得c =c e a ==， 所以3a =，2224b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22194x y += （2）当过点P 的两条切线12,l l 的斜率均存在时，设100:()l y y k x x -=-，则2001:()l y y x x k-=--联立2200194()x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩， 得2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++-+--=， 所以22220000(18)()4(49)[9()36]0k y kx k y kx ∆=--+--=， 整理得2200()49y kx k -=+， 即2220000(9)240x k x y k y --+-=，因为12l l ⊥，所以201220419y k k x -==--，整理得220013x y +=；当过点P 的两条切线12,l l 一条斜率不存在，一条斜率为0时，P 为(3,2)±或(3,2)-±，均满足220013x y +=.综上所述，点P 的轨迹方程为2213x y +=.21. 解：（1）()f x =由22(23)(21)0x x k x x k +++++->，得223x x k ++<-或221x x k ++>， 即2(1)2x k +<--或2(1)2x k +>-+，所以11x -<-1x <-1x >-2k <-.所以函数()f x 的定义域(,1(11(1)D =-∞-⋃--⋃-+∞. （2）令222()(2)2(2)3g x x x k x x k =+++++-，则()f x =，x D ∈ 22()2(2)(22)2(22)4(1)(21)g x x x k x x x x x k '=+++++=++++，令()0g x '=，解得11x =-21x =-，31x =-2k <-.因为1311111x x -<--<-<- 所以(),()g x g x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 在(,1-∞-和(1,1--上是增函数，在(11)--和(1)-+∞上是减函数. （3）因为(1)(1)g x g x --=-+，所以(1)(1)f x f x --=-+， 所以函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线1x =-对称， 所以(1)(3)f f =-.因为6k <-，所以1311-<-<<-①当(11x ∈--时，要使()(1)f x f >，则(13)(1,1x ∈--⋃-；②当(,1(1)x ∈-∞-⋃-+∞时，令()(1)f x f =，即()(1)g x g =，22(23)(21)(6)(2)x x k x x k k k +++++-=++，令22t x x k =++(1)t >，则(3)(1)(6)(2)t t k k +-=++， 整理得222(815)0t t k k +-++=，即[(3)][(5)]0t k t k -+++=，因为1t >且6k <-，所以(5)t k =-+，即225x x k k ++=--，所以22250x x k +++=，解得1x =-(,1(1)∈-∞-⋃-+∞，所以()(1)(1f x f f ==-.要使()(1)f x f >，则(11(11x ∈--⋃--. 综上所述，当6k <-时，在D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合为(11(13)(1,1(11--⋃--⋃-⋃--.。
广东高考理科数学试题含答案(Word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+Q 答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0222222:11,,60,.2210(1)1(1)0B B =∴++-⋅+-+答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D 8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130 答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130, D.x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞U U 答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 . '5'0:530:5,5,35,530.xx x y y eyy x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++=L L .51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=Q L L 答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDF AEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆:答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ，（1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f . 55233:(1)()sin()sin , 3.121243223(2)(1):()3sin(),4()()3sin()3sin()443(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )4444323cos sin 6cos 426cos ,(0,),2f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈Q 解由得10sin 331030()3sin()3sin()3sin 3.444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f和2f的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f======解频率分布直方图如下所示(](](]0044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.BCξξ-=-=:根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝030，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D－AF－E的余弦值.:(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF AD AF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠I I Q 解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CDDE CF CP EF DCDE DF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴=⋅======⋅∴====Q Q 为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠==12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,,22,0),,,431,0),ADFCP 1,0),22AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CF F E n n λλλ==-⊥===-=u u u r u u u r u u u r u u u r Q u r u u u r u u r 解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,19||||n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅u u r u u u r u u r u u u ru r u u ru u r u r u u u r 利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±Q 依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =，其中2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--∴++-><->-++++<+++=∆=-+=Q 解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(11(1).(2)0,1()2(2k k x x k x k D u f x u x ---><-∴-+++<--<<-<-∴-<-<-<--+∴=-∞----+-++∞==-⋅⋅Q Q U U 该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-+∞+>+++>+>∴<-∞------++∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D ,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴-<----<<-+<--+--+<+->∴><+<<-+++<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii x x x x x k x x k k k g x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<<--+<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f --<<-+<-++<∴<>+->∴<++-+<---⋃--⋃-+⋃-+-+++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。
2014年广东高考理科数学试题含答案(Word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0:11,,60,.22B B =∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130 答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130,D .x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 .'5'0:530:5,5,35,530.xx x y y eyy x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= . 51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDF AEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f. 55233:(1)()sin()sin ,12124322(2)(1):()sin(),4()()sin()sin()44coscos sin )(sin()cos cos()sin )44443sin 42cos (0,),2f A A A f xx f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴+-=+-+=++-+-===∴=∈解由得sin 33()sin())444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-===17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======解频率分布直方图如下所示(](](]044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D －AF －E 的余弦值.:(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF ADAF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CD DECF CP EF DCDE DF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴==⋅====⋅∴====为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠==12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431,0),ADF CP (3,1,0),22AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--∴++-><-->-++++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-+++<-<-+<-∴-<--<-<-+-∴=-∞------+---+-+∞=>=-⋅⋅该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-+∞+>+++>+>∴<-∞------++∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴-<----<<--+-+--+<+->∴><+<<-+++<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii xx x x xk x x k k kg x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<<--+<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f --<<-+<-++<∴<>+->∴<++-<-+---⋃--⋃-⋃-+-++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。
2014年广东省数学(理)高考真题含答案(超完美word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
2014年广东高考理科数学试题含答案(Word版)
答案: C 提示 : 画出可行域(略), 易知在点(2,1) (−1, −1)处目标函数 最小值m = −3,∴ M − m = 6, 选 C.
4.若实数 k 满足 0 < k < 9, 则曲线 A 离心率相等
别取得最大值M = 3,
x2 y2 x2 y2 − = 1 曲线 − = 1的 25 9 − k 25 − k 9
B.
a 成 60° 夹角的是
C. 0,-1,1 D. -1,0,1
-1,1,0
1,-1,0
答案 : B 提示 : 1 = ,即 12 + 02 + (−1) 2 ⋅ 12 + (−1) 2 + 0 2 2 (1, 0, −1) ⋅ (1, −1, 0) 两向 1 的夹角余弦值为 , 从而夹角为600 ,∴ 选 B. 2
6、已知某地区中小学生人数和近视情况 别如 1 和 用 层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查 则样本容 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10
2 所示 为了解该地区中小学生的近视形成原因 和抽取的高中生近视人数 别为
答案 : A 提示 : 样本容 为(3500 + 4500 + 2000) ⋅ 2% = 200,
.
+ 2 在点 (0,3) 处的 线方程为 答案 : 5 x + y − 3 = 0
提示 : y ' = −5e −5 x ,∴ y '
x =0
= − 5,∴ 所求 线方程为y − 3 = −5 x,即5 x + y − 3 = 0 .
.
11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个 的数 则 七个数的中位数是 6 的概率为 1 答案 : 6 提示 : 要使6为取出的7个数中的中位数, 则取出的数中必有3个 大于6,
2014年高考广东省理科数学真题(word清晰版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.54.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A 、200,20B 、100,20C 、200,10D 、100,107、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
2014年广东卷数学试题及答案(理)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.54.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A 、200,20B 、100,20C 、200,10D 、100,107、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
2014年普通高等学校招生统一考试数学试卷(广东.理)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．学科网在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值学科网和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，学科网为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定小学 初中高中 年级 O8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
2014年高考真题理科广东B卷(数学理)Word版(附答案)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0 :11,,60,.22BB=∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 200,20B. 100,20C. 200,10D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l，满足122334,,l l l l l l⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l⊥ B.14//l l C.14,l l既不垂直也不平行 D.14,l l的位置关系不确定答案:D8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i∈-=，那么集合A中满足条件“1234513x x x x x≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C10;:C40;:C C C80.104080130,D.x x x x xC C AC C++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-xx的解集为.(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 .'5'0:530:5,5,35,530.x x x y y e y y x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则=ba.2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sincos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDFAEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f .55233:(1)()sin()sin ,12124322(2)(1):()sin(),4()()sin())44coscos sin )(sin()cos cos()sin )44443cos sin 42cos (0,),2f A A A f xx f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴+-=+-+=+-+-===∴=∈解由得sin 33()sin()).444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-===17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======解频率分布直方图如下所示(](](]044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D －AF －E 的余弦值. :(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF ADAF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CDDE CF CP EF DC DEDF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴==⋅====⋅∴====为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠==12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431(,0),(ADF CP (3,1,0),2222AEF (xDP DC DA x y z DC A CF CP F DFCF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,19||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为，离心率为3，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--±∴++-><->-+++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-+++<-<-+<-∴---<-+-∴=-∞------+---+-+∞=>=-⋅⋅该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--+<+++<-+<∴<∈--+>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-+∞+>+++>+>∴<-∞------+∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D ,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴-<----<<--+-+--+<+->∴><+<<-+++<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii xx x x x kx x k kk g x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<<--+<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f --<<-+<-++<∴<>+->∴<++-<-+--⋃--⋃-+⋃-+-+++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。
2014年高考理科数学广东卷及答案
数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1}M =-,{0,1,2}N =,则M N = ( ) A .{0,1} B .{1,0,2}- C .{1,0,1,2}-D .{1,0,1}- 2.已知复数z 满足(34i)25z +=,则z =( )A .34i -+B .34i --C .34i +D .34i -3.若变量x ,y 满足约束条件,1,1,y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ,则m n -= ( )A .5B .6C .7D .84.若实数k 满足9k 0＜＜,则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 ( )A .焦距相等B .实半轴长相等C .虚半轴长相等D .离心率相等5.已知向量(1,0,1)=-a ,则下列向量中与a 成60夹角的是( )A .(1,1,0)-B .(1,1,0)-C .(0,1,1)-D .(1,0,1)-6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A .200,20B .100,20C .200,10D .100,10 7.若空间中四条两两不同的直线1l ,2l ,3l ,4l ,满足12l l ⊥,23l l ⊥,34l l ⊥,则下列结论一定正确的是( )A .14l l ⊥B .14l l ∥C .1l 与4l 既不垂直也不平行D .1l 与4l 的位置关系不确定8.设集合12345{(,,,,)|{1,0,1},1,2,3,4,5}i A x x x x x xi =∈-=,那么集合A 中满足条件“12345||||||||||3x x x x x ++++1≤≤”的元素个数为( )A .60B .90C .120D .130二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. （一）必做题（9～13题）9.不等式|1||2|x x -++≥5的解集为 . 10.曲线52x y e -=+在点(0,3)处的切线方程为 .11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为 .12.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知cos cos 2b C c B b +=,则ab= . 13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且510119122e a a a a +=,则1220ln ln ln =a a a +++… .（二）选做题（14-15题,考生只能从中选做一题）姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在AB 上且2EB AE ＝,AC 与DE 交于点F ,则CDF AEF ∆=∆的面积的面积 .三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数π()sin()4f x A x =+,x ∈R ,且5π3()122f =.（Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若3()()2f f θθ+-=,π(0,)2θ∈,求3π()4f θ-.17.（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件）,获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 80.32(40,45] 1n 1f (45,50]2n2f（Ⅰ）确定样本频率分布表中1n ,2n ,1f 和2f 的值； （Ⅱ）根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图；（Ⅲ）根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率.18.（本小题满分13分）如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,30DPC ∠＝,AF PC ⊥于点F ,FE CD ∥,交PD 于点E .（Ⅰ）证明：CF ⊥平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D AF E --的余弦值.19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21234n n S na n n +=--,*n ∈N ,且315S =. （Ⅰ）求1a ,2a ,3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.20.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为,离心率为3.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.21.（本小题满分14分）设函数()f x =,其中2k <-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （Ⅱ）讨论函数()f x 在D 上的单调性；（Ⅲ）若6k <-,求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）答案解析{1,0,1,2}M N =-在点(1,1)--处目标函数分别取得最小值3n =-，则6m n -=，故选B.【解析】09k <<(9)34k -=-【提示】根据k 的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及221)(1,1,0)(1)1--+22221)(1,1,0)1(1)0-=+-+221)(0,1,1)1(1)-+-221)(1,0,1)1(1)-+-【提示】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论2000)2%200=20002%50%20=可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图可得出结论，14l l ，的位置关系不确定.。
2014年高考真题理科广东B卷(数学理)Word版(附答案) (1)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0 :11,,60,.22BB=∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 200,20B. 100,20C. 200,10D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l，满足122334,,l l l l l l⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l⊥ B.14//l l C.14,l l既不垂直也不平行 D.14,l l的位置关系不确定答案:D8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i∈-=，那么集合A中满足条件“1234513x x x x x≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C10;:C40;:C C C80.104080130,D.x x x x xC C AC C++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-xx的解集为.(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 .'5'0:530:5,5,35,530.x x x y y e y y x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则=ba.2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sincos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDFAEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f .55233:(1)()sin()sin ,12124322(2)(1):()sin(),4()()sin())44coscos sin )(sin()cos cos()sin )44443cos sin 42cos (0,),2f A A A f xx f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴+-=+-+=+-+-===∴=∈解由得sin 33()sin()).444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-===17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======解频率分布直方图如下所示(](](]044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D －AF －E 的余弦值. :(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF ADAF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CDDE CF CP EF DC DEDF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴==⋅====⋅∴====为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠==12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431(,0),(ADF CP (3,1,0),2222AEF (xDP DC DA x y z DC A CF CP F DFCF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,19||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为，离心率为3，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--±∴++-><->-+++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-+++<-<-+<-∴---<-+-∴=-∞------+---+-+∞=>=-⋅⋅该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--+<+++<-+<∴<∈--+>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-+∞+>+++>+>∴<-∞------+∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D ,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴-<----<<--+-+--+<+->∴><+<<-+++<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii xx x x x kx x k kk g x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<<--+<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f --<<-+<-++<∴<>+->∴<++-<-+--⋃--⋃-+⋃-+-+++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷,含答案)5
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1} B . {1,0,2}- C. {1,0,1,2}- D . {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z= A. 34i -+ B. 34i -- C . 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的A. 焦距相等B. 实半轴长相等C. 虚半轴长相等D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是小学初中高中年级OA.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1） 6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定二、填空题：9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
10．曲线25+=-xe y 在点)3,0(处的切线方程为 。
12．在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba。
13．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= 。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f 。
18．（本小题满分13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，030DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，//FE CD ，交PD 于点E . （1）证明：CF ADF ⊥平面（2）求二面角D AF E --的余弦值。
19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =， (1)求123,,a a a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式。
A B C D EF P20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程。
21．（本小题满分14分） 设函数()f x =，其中2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）；2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案 成本文 6/8/2014１－８：CDBA BADD;８.解：A 中元素为有序数组()12345,,,,x x x x x ，题中要求有序数组的5个数中仅1个数为1±、仅2个数为1±或仅3个数为1±，所以共有123555222222130C C C ⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=个不同数组；9.(,3)(2,)-∞-+∞; 10.53y x =-+; 11.16; 12.2; 13.50; 14.(1,1); 15.9;11.解：6之前6个数中取3个，6之后3个数中取3个，336331016C C P C ⋅==； 16.解：（1）553()sin()121242f A πππ=+=，32A ∴=，A =()f -θ()f θ（2）3()()))442f f +-=+-+=ππθθθθ，3cos )sin cos )]2++-+=θθθθ，32=θ，cos =θ，又)2,0(πθ∈，sin ∴==θ， )43(θπ-f )=-==πθθ．17. 解：（1）127,2n n ==，120.28,0.08f f ==；（2）样本频率分布直方图为（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率0.2， 设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为ξ，则~(4,0.2)B ξ，4(1)1(0)1(10.2)10.40960.5904P P ξξ≥=-==--=-=，所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率约为0.5904．18.（１）PD ⊥平面ABCD ，PD AD ∴⊥，又CD AD ⊥，PD CD D =， AD ∴⊥平面PCD ，AD PC ∴⊥，又AF PC ⊥，PC ∴⊥平面ADF ，即CF ADF ⊥平面；（２）设1AB =，则Rt PDC ∆中，1CD =，又DPC ∠=2PC ∴=，PD ，由（１）知CF DF ⊥DF ∴=AF ==12CF ∴==，又//FE CD ，14DE CF PD PC ∴==，DE ∴=，同理3344EF CD ==，如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系，则(0,0,1)A E ，3,0)4F ，P ，(0,1,0)C ，设(,,)m x y z =是平面AEF 的法向量，则m AE m EF ⎧⊥⎨⊥⎩，又3(3(0,,0)4AE EF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以30304m AE x z m EF y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，令4x =，得z =m =， 由（１）知平面ADF 的一个法向量(,0)PC =， 设二面角D AF E --的平面角为θ，可知θ为锐角，||cos |cos ,|||||m PC m PC m PC ⋅=<>==⋅θ=，即所求．19.解：23420S a =-，3233520S S a a =+=-，又315S =，37a ∴=，234208S a =-=，又212222(27)37S S a a a a =+=-+=-， 25a ∴=，112273a S a ==-=， 综上知13a =，25a =，37a =；（２）由（１）猜想21n a n =+，下面用数学归纳法证明． ①当1n =时，结论显然成立；②假设当n k =（1k ≥）时，21k a k =+，则3(21)357(21)(2)2k k S k k k k ++=++++=⨯=+，又21234k k S ka k k +=--，21(2)234k k k ka k k +∴+=--，解得1246k a k +=+， 12(1)1k a k +∴=++，即当1n k =+时，结论成立；由①②知，*,21n n N a n ∀∈=+．20.解：（１）可知c =c a =3a ∴=，2224b a c =-=，椭圆C 的标准方程为22194x y +=； （２）设两切线为12,l l ，①当1l x ⊥轴或1//l x 轴时，对应2//l x 轴或2l x ⊥轴，可知(3,2)P ±±②当1l 与x 轴不垂直且不平行时，03x ≠±，设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k-，1l 的方程为00()y y k x x -=-，联立22194x y +=， 得2220000(94)18()9()360k x y kx kx y kx ++-+--=，因为直线与椭圆相切，所以0∆=，得222200009()(94)[()4]0y kx k k y kx --+--=，2200364[()4]0k y kx ∴-+--=， 2220000(9)240x k x y k y ∴--+-=所以k 是方程2220000(9)240x x x y x y --+-=的一个根， 同理1k-是方程2220000(9)240x x x y x y --+-=的另一个根，1()k k ∴⋅-=202049y x --，得220013x y +=，其中03x ≠±， 所以点P 的轨迹方程为2213x y +=（3x ≠±），因为(3,2)P ±±满足上式，综上知：点P 的轨迹方程为2213x y +=．21.解：（１）可知222(2)2(2)30x x k x x k +++++->，22[(2)3][(2)1]0x x k x x k ∴+++⋅++->， 223x x k ∴++<-或221x x k ++>，2(1)2x k ∴+<--(20)k -->或2(1)2x k +>-(20)k ->，|1|x ∴+<|1|x +1∴-1x <-或1x <-1x >- 所以函数()f x 的定义域D 为(,1-∞-(1-1-(1)-+∞；（２）22(2)(22)2(22)'()x x k x x f x +++++=-2(21)(22)x x k x ++++=-， 由'()0f x >得2(21)(22)0x x k x ++++<，即(111)0x x x +++<，1x ∴<-11x -<<-，结合定义域知1x <-11x -<<-， 所以函数()f x的单调递增区间为(,1-∞-，(1,1--，同理递减区间为(11)--，(1)-+∞；（３）由()(1)f x f =得2222(2)2(2)3(3)2(3)3x x k x x k k k +++++-=+++-，2222[(2)(3)]2[(2)(3)]0x x k k x x k k ∴++-++++-+=， 22(225)(23)0x x k x x ∴+++⋅+-=，(11(3)(1)0x x x x ∴++⋅+-=，1x ∴=-1x =-或3x =-或1x =， 6k <-，1(1,1∴∈--，3(11)-∈--，11-<-11->- 结合函数()f x 的单调性知()(1)f x f >的解集为(11--(13)--(1,1---．(11。