新人教B版必修二1.1.7《柱、锥、台和球的体积》ppt课件2
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人教高中数学B版必修二1.1.7柱锥台球体积课件(共34张PPT)
S/
ss's')
=0
V锥
1 sh 3
柱、锥、台体体积公式统一成
V台h3(s ss's')
五、球的体积
S1
R
V 球 1 3R1 S1 3R2 S1 3R3 S 1 3R球 S面
V球
4 R3
3
例1、在长方体ABCD-A/B/C/D/中,用截
面截下一个棱锥C-A/DD/,求棱锥C-
A/DD/的体积与剩余部分的体积之比。
祖暅原理:幂势既同,则积不容异。
水平截面面积 + 高
体积
说明:
等底面积、等高的两个柱体或锥体的体 积相等。
一、柱体的体积(棱柱和圆柱)
柱体的体积
长方体的体积
柱体的体积
V柱体Sh
V圆柱r2h
h
ss
Ss
sS
等底等高的柱体体积相等
二、锥体的体积(棱锥和圆锥)
h’
h
S’
S’
s
s
V圆锥
1 3V圆柱
三、柱体与锥体的体积关系
(方法2)
D1
求:棱锥C1-BA1D的体积?
C1 D1
C1
D
A1
A1
B1
C
B
D
C1
D
C
D1 A
A1
B1
B
D
B
A
B
V长方体 Sh
柱
祖暅原理
、 锥 、
V柱体Sh
V圆柱r2h
台 的 体
V锥体
1 3
S
h
V圆锥
1r2
3
h
积
V球
34V 台 R3体 1 3hV( 圆S台 1 3ShS( rS2) rrr2)
数学人教B版必修2课件:1.1.7 柱、锥、台和球的体积 Word版含解析
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典例透析 随堂练习
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
【变式训练1】 如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC-
A1B1C1,D是棱BC的中点.正三棱柱的主视图如图②.则该正三棱柱
ABC-A1B1C1的体积为
.
解析:由三视图可知:在正三棱柱中,AD= 3,AA1=3,从而在底面
-3-
1.1.7 柱、锥、台和 球的体积
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123
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典例透析 随堂练习
【做一做1】 已知一斜棱柱的底面积为S,上、下两底面间的距
离为h,则利用祖暅原理可知此斜棱柱的体积为
.
答案:Sh
-4-
1.1.7 柱、锥、台和 球的体积
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典例透析 随堂练习Fra bibliotek123
2.柱、锥、台的体积 柱体、锥体、台体的体积公式如下表,其中S',S分别表示上、下 底面的面积,h表示高,r'和r分别表示上、下底面圆的半径.
2
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典例透析 随堂练习
-12-
1.1.7 柱、锥、台和 球的体积
1
2
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典例透析 随堂练习
在(2)中,如图③,从割补的过程中,我们不难发现在割补前后斜棱
柱的每个侧面上相当于将一个平行四边形割补成一个矩形,因而侧 面积没有变化,体积也没有发生变化. 名师点拨 在解题中使用体积公式时一定要注意棱锥和棱台的体积 公式中都有个 .三13 棱锥是一种比较特殊的棱锥,在求体积时可以 根据条件适当转换顶点以达到简化运算的目的,根据这一思想还可 以求一些简单的距离问题.
人教B版数学必修二课件:第1章 1.1 1.1.7 柱、锥、台和球的体积
C [圆锥的高 h= 52-32=4,故 V=13π×32×4=12π.]
3.若一个球的直径是 12 cm,则它的体积为________cm3.
288π [由题意,知球的半径 R=6 cm,故其体积 V=43πR3=43 ×π×63=288π(cm3).]
合作探究 提素养
求柱体的体积 【例 1】 如图所示的几何体,上面是圆柱,其底面直径为 6 cm, 高为 3 cm,下面是正六棱柱,其底面边长为 4 cm,高为 2 cm,现从 中间挖去一个直径为 2 cm 的圆柱,求此几何体的体积.
由 S 侧=4×12(10+20)·E1E=780,得 EE1=13, 在直角梯形 EOO1E1 中,O1E1=12A1B1=5,OE=12AB=10, ∴O1O= E1E2-OE-O1E12=12, V 正四棱台=13×12×(102+202+10×20)=2 800 (cm3). 故正四棱台的体积为 2 800 cm3.
2.柱体、锥体、台体和球的体积公式 其中 S′、S 分别表示上、下底面的面积,h 表示高,r′和 r 分 别表示上、下底面圆的半径,R 表示球的半径.
名称 棱柱
柱体 圆柱
锥体
棱锥 圆锥
台体
棱台 圆台
球
体积(V)
_S_h__
πr2h 1 3Sh 13πr2h
13h(S+ SS′+S′) 13πh(r2+rr′+r′2)
则 O1B1= 2 cm, OB=2 2 cm, 过点 B1 作 B1M⊥OB 于点 M,那么 B1M 为正四棱台的高,在 Rt△BMB1 中, BB1=2 cm,MB=(2 2- 2)= 2 (cm).
根据勾股定理 MB1= BB21-MB2 = 22- 22= 2(cm). S 上=22=4 (cm2), S 下=42=16(cm2), ∴V 正四棱台=13× 2×(4+ 4×16+16) =13× 2×28=238 2 (cm3).
高中数学人教B版必修2课件:1.1.7 柱、锥、台和球的体积
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:设圆柱的底面半径为r,高为h,如图,
ℎ = ������sin������, 2π������ = ������cos������, ������cos������ 所以 h=msin α,r= 2π , 则由题意可知: 所以 V 圆柱 =πr2h=π
������cos������ 2 · msin 2π
答案: 3 3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型二
有关锥体体积的问题
【例2】 (1)若圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形,则其 体积等于 . (2)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6 cm,在棱AB,AD,AA1上分 别取点P,Q,R,使得AP=2 cm,AQ=3 cm,AR=4 cm,则三棱锥A-PQR的 体积为 .
α=
������3 sin������cos2 ������ . 4π
反思 对于几何体的侧面展开图问题,要注意展开前后的“变”与“不 变”.对此题而言,为了求体积要抓住关键元素,即圆柱的底面半径、 高.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练1】 如图①是一个水平放置的正三棱柱ABCA1B1C1,D是棱BC的中点.正三棱柱的主视图如图②.则该正三棱柱 ABC-A1B1C1的体积为 .
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练3】 若某几何体的三视图(单位:cm)如图,则此几何体 的体积是 .
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解析:此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体,而 V 正四棱台 =
人B版数学必修2课件:第1章 1.1.7 柱、锥、台和球的体积
阅读教材 P28~P29“中间”以上内容,完成下列问题. 1.“幂势既同,则积不容异”,即“ 夹在两个平行平面间的两个几何体,
被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等, 那么这两个几何体的体积相等 ”.
2.作用:等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.
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判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的某个平面所 截,如果截得的两个截面面积相等,则这两个几何体的体积相等.( (2)锥体的体积只与底面积和高度有关,与其具体形状无关.( 1 (3)由 V 锥体=3S· h,可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面.( ) ) )
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1 由 S 侧=4×2(10+20)· E1E=780,得 EE1=13, 1 在直角梯形 EOO1E1 中,O1E1=2A1B1=5, 1 OE=2AB=10, ∴O1O= E1E2-OE-O1E12=12, 1 V 正四棱台=3×12×(102+202+10×20)=2 800 (cm3). 故正四棱台的体积为 2 800 cm3.
图 11102
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【精彩点拨】
AB∶A1B1=1∶2 ―→ S△ABC∶S△A B C ―→
1 1 1
计算VA -ABC ―→ 计算VC-A B C ―→ 计算VB-A B C
1 1 1 1 1 1
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【自主解答】
设棱台的高为h,S△ABC=S,则S△A1B1C1=4S.
2
)
B.30 D.36π
2
1 【解析】 圆锥的高 h= 5 -3 =4,故 V=3π×32×4=12π.
人教B版高中数学必修二1.1.7 柱、锥台和球的体积教学课件
高为 3 ,求这个正四棱锥的体积.
牛刀小试
5.等边三角形的边长为a,它绕其一边所在的直线 旋转一周,求所得旋转体的体积.
小结:
记住常见几何体的体积公式.
V柱体= Sh
V锥体=
1 Sh 3
V台体=
1 h(s 3
+
ss' + s')
V球
=
4 3
R
3
牛刀小试
1. 已知长方体的铜块长、宽、高分别是2,4,8, 将它熔化后转成一个正方体形的铜块(不计损 耗),求铸成的铜块的棱长_____
2. 火星的直径约是地球的一半,地球的体积是火 星体积的__________倍
3. 已知圆锥的母线长为5cm,高为4cm,求这个圆锥 的体积
牛刀小试
4.已知正四棱锥的侧面都是等边三角形,它的斜
s 和高 h 的积. 圆柱的底面半径为r,高为h,体积为
_.
例1 一个正方体和一个圆柱等高,并且侧面 积相等,求这个正方体和圆柱的体积之比.
设正方体棱长为a,圆柱底面圆半径为r,高为h
锥体的体积
如图:三棱柱ABC-A'B'C' ,底面积为S,高为h.
问A 从A点出发棱柱能分C 割成A几个三棱锥?
C B
例2 如图所示在长方体 ABCD ABCD
用截面截下一个棱锥 C ADD,求
棱锥 C ADD的体积与剩余部分的
体积比.
D
C
A
B
D A
C B
台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h,则
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
牛刀小试
5.等边三角形的边长为a,它绕其一边所在的直线 旋转一周,求所得旋转体的体积.
小结:
记住常见几何体的体积公式.
V柱体= Sh
V锥体=
1 Sh 3
V台体=
1 h(s 3
+
ss' + s')
V球
=
4 3
R
3
牛刀小试
1. 已知长方体的铜块长、宽、高分别是2,4,8, 将它熔化后转成一个正方体形的铜块(不计损 耗),求铸成的铜块的棱长_____
2. 火星的直径约是地球的一半,地球的体积是火 星体积的__________倍
3. 已知圆锥的母线长为5cm,高为4cm,求这个圆锥 的体积
牛刀小试
4.已知正四棱锥的侧面都是等边三角形,它的斜
s 和高 h 的积. 圆柱的底面半径为r,高为h,体积为
_.
例1 一个正方体和一个圆柱等高,并且侧面 积相等,求这个正方体和圆柱的体积之比.
设正方体棱长为a,圆柱底面圆半径为r,高为h
锥体的体积
如图:三棱柱ABC-A'B'C' ,底面积为S,高为h.
问A 从A点出发棱柱能分C 割成A几个三棱锥?
C B
例2 如图所示在长方体 ABCD ABCD
用截面截下一个棱锥 C ADD,求
棱锥 C ADD的体积与剩余部分的
体积比.
D
C
A
B
D A
C B
台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h,则
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
高二数学(人教B版)必修2课件:1.1.7柱、锥、台和球的体积(共21张PPT)教学课件
二、提出问题
普
思考:如何求其它几何体的体积?
通
高 祖暅原理:幂势既同,则积不容异
中
课
程
标
准
Liangxiangzhongxue
问题:两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱)的 体积如何?
三、概念形成
普 概念1.柱体(棱柱和圆柱)的体积
通 高 中 课 程
棱柱(圆柱)可由多边形(圆)沿某一方向得到,因此,
程 标 准
V锥体
1 3
Sh
h
h
Liangxiangzhongxue
S
S
S
三、概念形成
普 概念3.台体(棱台、圆台)的体积
通
棱台和圆台分别是棱锥和圆锥用平行于底面的平面截去
高 中 课
一个锥体得到的。因此台体的体积可以用两个锥体体积的 差来计算。体积公式如下:
程 标 准
V台 体1 3hS SS'S'
四、应用举例
普 通
例2.如图,长方体 A B C D A ' 中B ' ,C 用' D 截' 面截下一个棱
锥
C , 求A 棱'锥D D ' 的体积C 与 剩A 余'D 部D 分'的体积之比。
高
中
课
程
D'
C'
标 准
A'
B'
Liangxiangzhongxue
D
A
C B
四、应用举例
普 通 高
例3.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/c)m六3角螺帽 共重5.8kg,已知底面是正六边形,边长为12mm,内孔直 径为10mm,高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个 ( 取
高中数学 1.1.7柱、锥、台和球的体积课件 新人教B版必修2
1.本节主要在学习了柱,锥,台及球体 的体积和球的表面积.
2.应用上述结论解决实际问题.
精选ppt
21
平面几何中我们用单位正方形的面积来 度量平面图形的面积,立体几何中用单位正方 体(棱长为1个长度单位)的体积来度量几何体 的体积.
一个几何体的体积是单位正方体体积的 多少倍,那么这个几何体的体积的数值就 是多少。
精选ppt
3
取一摞纸张放在桌面上(如图所示) , 并改变它们的放置方法,观察改变前后 的体积是否发生变化?
精选ppt
11
探究: 从一个正方体中,如图那样截去4个三棱锥后, 得到一个正三棱锥A-BCD,求它的体积是正方体体积 的几分之几?
精选ppt
12
5.球的体积计算公式:
V球
4 R3
3
球的表面积:
S球面 4R2
精选ppt
13
四应用
例1.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8g/cm3)六角螺帽共重5.8kg,已知螺帽 底面是正六边形,边长为12mm,内孔直径 为10mm,高为10mm,问这堆螺帽大约 有多少个( 取3.14,可用计算器)?
6
18
8
6
5 15
15
11
11
精选ppt
16
牛刀小试1:
1.正三棱锥的底面边长为3, 侧棱长
为2 3 ,求这个正三棱锥的体积.
2、求棱长6为 的正四面体的体积
3、在底面半径 体积
变 式 、 在 底 面 2,半 母径 线为 4长 的为 圆 锥
且满足AP=C1Q,则四棱锥B-APQC 的
体积是( B )
(A)
1 2
V
1
(B)3
V
2.应用上述结论解决实际问题.
精选ppt
21
平面几何中我们用单位正方形的面积来 度量平面图形的面积,立体几何中用单位正方 体(棱长为1个长度单位)的体积来度量几何体 的体积.
一个几何体的体积是单位正方体体积的 多少倍,那么这个几何体的体积的数值就 是多少。
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3
取一摞纸张放在桌面上(如图所示) , 并改变它们的放置方法,观察改变前后 的体积是否发生变化?
精选ppt
11
探究: 从一个正方体中,如图那样截去4个三棱锥后, 得到一个正三棱锥A-BCD,求它的体积是正方体体积 的几分之几?
精选ppt
12
5.球的体积计算公式:
V球
4 R3
3
球的表面积:
S球面 4R2
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13
四应用
例1.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8g/cm3)六角螺帽共重5.8kg,已知螺帽 底面是正六边形,边长为12mm,内孔直径 为10mm,高为10mm,问这堆螺帽大约 有多少个( 取3.14,可用计算器)?
6
18
8
6
5 15
15
11
11
精选ppt
16
牛刀小试1:
1.正三棱锥的底面边长为3, 侧棱长
为2 3 ,求这个正三棱锥的体积.
2、求棱长6为 的正四面体的体积
3、在底面半径 体积
变 式 、 在 底 面 2,半 母径 线为 4长 的为 圆 锥
且满足AP=C1Q,则四棱锥B-APQC 的
体积是( B )
(A)
1 2
V
1
(B)3
V
高中数学必修二课件-1.1.7 柱、锥、台和球的体积-人教B版
积相等。
祖暅原理:幂势既同,则积不容异
夹在两个平行平面间的两个几何 体,被平行于这两个平面的任意平 面所截,如果截得的两个截面的面 积都相等,那么这两个几何体的体
积相等。
祖暅原理:幂势既同,则积不容异
夹在两个平行平面间的两个几何 体,被平行于这两个平面的任意平 面所截,如果截得的两个截面的面 积都相等,那么这两个几何体的体
谢谢
P
1、理解祖暅原理,体会公式推导的过程 2、会利用公式求几何体的体积 3.能够用转化思想和割补的方法解决较复杂的求体积问题
练习:直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,已知点 P、Q 分别
为 AA1、CC1 上的点,而且满足 AP=C1Q,则四棱锥 B—APQC
的体积是 1
A.2V
1 B.3V
B2
O
例 如图所示,在长方体 ABCD—A′B′ C′D′中,用截面截下一个棱锥 C— A′DD′,求棱锥 C—A′DD′的体 积与剩余部分的体积之比.
若将棱锥C—A′DD′改为棱锥D—A′CD′
练习:已知正三棱锥P—ABC的侧棱 PA、PB、PC两两互相垂直,且 等于a,求棱锥的体积
思考:其外接球的体积 思考:其内切球的体积
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
祖暅,字景烁,范阳遒县(今 河北涞水)人、数学家、天文学 家,祖冲之之子。同父亲祖冲之 一起圆满解决了球面积的计算问 题,得到正确的体积公式,并据 此于5世纪末提出了著名的“祖 暅原理”。
(429年~500年)
祖暅
祖暅原理:幂势既同,则积不容异
夹在两个平行平面间的两个几何 体,被平行于这两个平面的任意平 面所截,如果截得的两个截面的面 积都相等,那么这两个几何体的体
积相等。
祖暅原理:幂势既同,则积不容异
夹在两个平行平面间的两个几何 体,被平行于这两个平面的任意平 面所截,如果截得的两个截面的面 积都相等,那么这两个几何体的体
积相等。
祖暅原理:幂势既同,则积不容异
夹在两个平行平面间的两个几何 体,被平行于这两个平面的任意平 面所截,如果截得的两个截面的面 积都相等,那么这两个几何体的体
谢谢
P
1、理解祖暅原理,体会公式推导的过程 2、会利用公式求几何体的体积 3.能够用转化思想和割补的方法解决较复杂的求体积问题
练习:直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,已知点 P、Q 分别
为 AA1、CC1 上的点,而且满足 AP=C1Q,则四棱锥 B—APQC
的体积是 1
A.2V
1 B.3V
B2
O
例 如图所示,在长方体 ABCD—A′B′ C′D′中,用截面截下一个棱锥 C— A′DD′,求棱锥 C—A′DD′的体 积与剩余部分的体积之比.
若将棱锥C—A′DD′改为棱锥D—A′CD′
练习:已知正三棱锥P—ABC的侧棱 PA、PB、PC两两互相垂直,且 等于a,求棱锥的体积
思考:其外接球的体积 思考:其内切球的体积
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
祖暅,字景烁,范阳遒县(今 河北涞水)人、数学家、天文学 家,祖冲之之子。同父亲祖冲之 一起圆满解决了球面积的计算问 题,得到正确的体积公式,并据 此于5世纪末提出了著名的“祖 暅原理”。
(429年~500年)
祖暅
祖暅原理:幂势既同,则积不容异
夹在两个平行平面间的两个几何 体,被平行于这两个平面的任意平 面所截,如果截得的两个截面的面 积都相等,那么这两个几何体的体
积相等。
高中数学人教新课标B版必修2《1.1.7柱、锥、台和球的体积》课件
锥体的体积
E
G
A
C
B
锥体的体积
EE
G
A
CC
B
锥体的体积
EE
G
A
CC
B
锥体的体积
EE
GALeabharlann CCB锥体的体积
EE
G
A
CC
B
EE
锥体的体积 G
A
CC
B
EE
锥体的体积 G
A
CC
B
EE
锥体的体积 G
A
CC
B
EE
锥体的体积 G
A
CC
B
EE
锥体的体积 G
A
CC
B
E
E
锥体的体积 G
A
C
C
B
锥体的体积
S为底面积,h为高.
h
s
h
s
3、棱台和圆台的体积 台体的体积可以用两个锥体的体积的差来计算。
若台体的上下底面积分别是s/,s,高是h,则
x
s/
s/
h
s
s
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系呢?
V柱体=sh
s/
S=S’ s
V台体=
1 h(s 3
+
ss' + s')
s/
S/=0
s
V锥体=
s
4、球的体积
祖暅原理:幂势既同,则积不容异。
夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面 的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那 么这两个几何体的体积相等。
等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。
祖暅是我国古代南北朝时期(5世纪)的 数学家,他在总结前人研究的基础上,总 结出这个原理,在欧洲直到17世纪,才 由意大利的卡瓦列里提出这个事实。
高中数学人教B版必修二课件:1.1.7 柱、锥、台和球的体积
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
20
设O1、O分别是上、下底面的中心,
则四边形EOO1E1是直角梯形, 由 S 侧=4×12(10+20)·E1E=780,得 EE1=13. 在直角梯形 EOO1E1 中,O1E1=12A1B1=5, OE=21AB=10,
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
21
∴O1O= E1E2-OE-O1E12=12, V 正四棱台=13×12×(102+202+10×20)=2 800(cm3). 故正四棱台的体积为2 800 cm3.
4
4.底面半径为r,母线长为l的圆锥侧面积S侧= πrl ,表面积 S=πr2+πrl .
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
5
[预习导引] 1.祖暅原理 (1)“幂势既同,则积不容异”,即“_夹__在__两__个__平__行__平__面__间__的_ _两__个__几__何__体__,__被__平__行__于__这__两__个__平__面__的__任__意__平__面__所__截__,__如__果__截_ _得__的__两__个__截__面__的__面__积__总__相__等__,__那__么__这__两__个__几__何__体__的__体__积__相__等_.”
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课堂讲义
重点难点,个个击破
要点一 柱体的体积 例1 某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.8-2π
B.8-π
C.8-π2
D.8-π4
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
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解析
这是一个正方体切掉两个
1 4
圆柱后
得到的几何体,如图,
几何体的高为2,
V=23-14×π×12×2×2=8-π.
人教B版高中数学必修二课件第一章1.1.7柱、锥、台和球的体积.pptx
高中数学课件
(鼎尚图文*****整理制作)
第
一 章
1.1
立 体 几 何 初
空 间 几 何 体
步
1.1.7
柱、 锥、 台和 球的 体积
课前预习·巧设计 名师课堂·一点通 创新演练·大冲关
读教材·填要点
小问题·大思维 考点一 考点二 考点三 考点四 解题高手 NO.1课堂强化
No.2课下检测
[读教材·填要点]
[悟一法] 求柱体的体积,关键是确定底面积和高,而求圆柱的体积 则需要确定底面半径和高.
[通一类] 1.一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等,且 侧面积也相等,求正方体和圆柱的体积之比.
解:设正方体棱长为 a,圆柱高为 h,底面半径为 r,
则有a22π=rhπ=r24a2
①
②
,
由①得 r= ππa; 由②得 πrh=2a2,
1.长方体的体积
(1)若长方体的长、宽、高分别为a,b,c,那么它的体积为
V长方体=.
abc
(2)若长方体的底面积和高分别为S、h,那么它的体积V长方体
=. Sh
2.祖暅原理:幂势既同,则积不容异 这就是说:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这 两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相 等,那么这两个几何体的体积相等.应用祖暅原理可说明: 的两个等柱底体面或积锥、体等的高体积相等.
3.由 V 锥体=13S·h,可知三棱锥的任何一个面都可以作为 底面吗?
提示:可以. 4.如果一个球的表面积变为原来的2倍,那么它的半 径变为原来的______倍,体积变为原来的________ 倍.
提示:根据表面积和体积公式容易知道,当表面积变为原 来的 2 倍时,球的半径变为原来的 2倍,体积变为原来的 2 2倍.
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第
一 章
1.1
立 体 几 何 初
空 间 几 何 体
步
1.1.7
柱、 锥、 台和 球的 体积
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[读教材·填要点]
[悟一法] 求柱体的体积,关键是确定底面积和高,而求圆柱的体积 则需要确定底面半径和高.
[通一类] 1.一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等,且 侧面积也相等,求正方体和圆柱的体积之比.
解:设正方体棱长为 a,圆柱高为 h,底面半径为 r,
则有a22π=rhπ=r24a2
①
②
,
由①得 r= ππa; 由②得 πrh=2a2,
1.长方体的体积
(1)若长方体的长、宽、高分别为a,b,c,那么它的体积为
V长方体=.
abc
(2)若长方体的底面积和高分别为S、h,那么它的体积V长方体
=. Sh
2.祖暅原理:幂势既同,则积不容异 这就是说:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这 两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相 等,那么这两个几何体的体积相等.应用祖暅原理可说明: 的两个等柱底体面或积锥、体等的高体积相等.
3.由 V 锥体=13S·h,可知三棱锥的任何一个面都可以作为 底面吗?
提示:可以. 4.如果一个球的表面积变为原来的2倍,那么它的半 径变为原来的______倍,体积变为原来的________ 倍.
提示:根据表面积和体积公式容易知道,当表面积变为原 来的 2 倍时,球的半径变为原来的 2倍,体积变为原来的 2 2倍.
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目标:
(1)展示人规范快 速,总结规律 (用彩笔);
(2)其他同学讨论 完毕总结完善, A层注意拓展, 不浪费一分钟;
(3)小组长要检查 落实,力争全部 达标
精彩点评
展示问题 小组 点评
例1
1组 2组
例2
3组 6组
例4
4组 5组
目标:
(1)点评对错、规范 (布局、书写)、思路分 析(步骤、易错点), 总结规律方法用彩笔, (2)其它同学认真倾 听、积极思考,重点内容 记好笔记。有不明白或 有补充的要大胆提出。 (3)力争全部达成目 标,A层多拓展、质 疑,B层注重总结,C层 多整理,记忆。
1、复习提问:(1)直棱柱、正棱锥 正棱台的侧面积、球的全面积(2) 圆柱,圆锥的侧面积公式
2、课本、柱、锥、台和球的体积学 案、攻玉集、练习本、绘图仪器、 双色笔,自制模型,顺便把你的积 极性也准备好!
回顾:正六棱柱三视图 投影情况
主左一样高、
主俯一样长、
宽
俯左一样宽。
学习目标
➢1.掌握棱柱、棱锥、和棱台的体积公式 的推导方法,理解“祖暅原理”是空间 与平面问题相互转化的思想方法,加强 对体积公式的应用。
1.祖暅原理:幂势既同,则积不容异。
2. V柱体 Sh
S = S'
1 V台体 3 S SS ' S ' h
S' = 0
S=S'
S'
1 V锥体 3 Sh
S'=0
S
S
S
2020/9/30
整理巩固
要求: 整理合作探究问题 总结规律与方法
解决健忘的最好办法:落实
作业布置
• 1.整理学案 • 2.课后练习A,B两组
平行于这两个平面的任意平面所截,如果截 得的两个截面的面积总相等,那么这两个几 何体的体积相等。
等底面积、等高的两个柱体或锥体的 体积相等吗?
等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等
P
Q
二.体积公式
1.棱柱和圆柱的体积: V柱体=sh
h
s
S
S
2.锥体体积
将一个三棱柱按如图所示分解成三
个三棱锥,那么这三个三棱锥的体积有 什么关系?它们与三棱柱的体积有什么 关系?
等面积法: 等底等高的三角形面积相等
h
h
a
a
S
1 2
a
h
h a
取一摞作业本放在桌面上(如图所示) , 并改变它们的放置方法,观察改变前后 的体积是否发生变化?
从以上事实中你得到什么启发?
一、祖暅原理:幂势既同,则积不容异
这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指 夹在两个平行平面高间。的两个几何体,被
七班以下同学课间操找我: 郭梦雨 栾鑫 刘雯 孙丹 栾奇 八班以下同学课间操找我: 尹宇 肖孟昕 傅亮 单婷 闫浩玉
例1:如图,在长方体 ABCD ABCD 中,
截下一个棱锥 C ADD ,球棱锥的体积与
剩余部分的体积之比。
D'
C'
A'
B'
D
C
A
B
2020/9/30
【例2】有一堆形状规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg,已
3
自主学习
自纠:1.独立纠错,画出自己不能解决的问题 准备讨论; 2、迅速做完导学案上例1、例2、题目。
独立思考, 独立审题 要求:思维敏捷,手、脑、眼并用。
合作探究
重点讨论内容:
1.已知三视图如何画出原图形的直观图?例3 2.已知长方体的长、宽、高,如何求外接球的半径?例4 3.通过合作迅速把例1,例2,例3,及跟踪练习完成。 4.自己的疑难问题。 目标:
知底面六边形边长为个?(铁的比
重是7.8 g/cm3)
解:六角螺帽的体积V是一个正六棱柱的体积V1与一个圆柱的 体积V2的差
V1 V2
3 122
4
3.14
6
10
2
2
10 10
3.74 103 0.785 103
mm3 mm3
➢2.积极讨论,踊跃展示,以极度的热情 投入到课堂学习中,体验学习的快乐 。
问题: ⑴若长方形的长和宽分别为 a和b,你能表示它的面积吗?
S长方形=ab ⑵若长方体的长、宽、高
分别为a、b、c,那么 它的体积如何计算呢?
V长方体=abc
你能否用另外一种形式来表示长方体的体积
呢?
V长方体=Sh
2020/9/30
(1)小组长首先安排讨论任务,人人参与,热烈讨论,积极 表达自己的观点,提升快速思维和准确表达的能力。
(2)小组长调控节奏,先一对一分层讨论,再小组内集中讨 论。
(3)讨论时,手不离笔、随时记录,未解决的问题,组长记 录好,准备展示质疑。
展示问题 例1 例2 例3
小组 1组 3组 4组
要求
板演
板演 画出 直观 图
即底面积为S,高为h的棱锥体的体积为
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1 V棱锥 = Sh
3
3.台体的体积
设棱台上底面积为S’, 下底面积为S,高为h则
1
V = S + SS' + S' h
台体
3
两个底面积相等、高也相等的棱台(圆台)的体积 相等
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1
V = S + SS' + S' h
台体
2.已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2,高为 4cm,
现将它熔化后铸成一个正方体的铜块,那么铸成的铜
块的棱长为多少(不计损耗)?4cm 3.若一个六棱锥的高为10cm,底面是边长为6cm大的正
六边形,求这个六棱锥的体积.180 3cm3 4.一个正四棱台形油槽可以装没有190升,假如它的上、
下底边长分别等于60cm和40cm,求它的深度.75cm
所以一个毛坯的体积为
V 3.74103 0.785103 2.96 103 mm3 2.96cm3
约有毛坯 5.8 103 7.8 2.96 251(个)
20答20/9:/30这堆毛坯约有251个.
【例3】一个几何体的三视图如图所示, (1)试画出它的直观图; (2)指出它表面中的平面图形, 并求出它的体积.
解: 根据三视图上所标的尺寸可知,该图形是以上、下底 分别为1和2,高为1的直角梯形为底面,高为1的直四 棱柱
由棱柱的体积计算公式可得:V
Sh
1 2
1
2
11
3 2
所以该几何体的表面分别是矩形和直角梯形,体积为 3 .
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2
1.用一张长12cm、宽8cm的矩形铁皮围成圆柱形的侧面,
求这个圆柱的体积. 288 cm3 或 192 cm3
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