最新线段和最小值问题中考题型总结

合集下载

线段和最小值问题整理

线段和最小值问题是一类数学问题，通常涉及到在给定的线段上找到使某个函数取得最小值的点。

这类问题在数学建模、优化问题和几何学中都有应用。

下面是对线段和最小值问题的整理：
1. 定义线段：线段是由两个端点确定的一段连续的直线部分。

2. 定义函数：线段和最小值问题通常需要定义一个函数，该函数将线段上的点映射到一个实数上。

3. 最小值问题：线段和最小值问题的目标是找到线段上使函数取得最小值的点。

4. 解决方法：解决线段和最小值问题的方法通常包括数学分析和优化算法。

a. 数学分析：通过分析函数的性质、导数和极值点等，可以找到函数取得最小值的点。

b. 优化算法：如果函数较为复杂或者无法通过数学分析得到解析解，可以使用优化算法，如梯度下降法、遗传算法等，来搜索最小值点。

5. 约束条件：线段和最小值问题中，通常会存在一些约束条件，如线段的端点范围、函数的可行域等。

这些约束条件需要考虑在解决问题时。

线段和最小值问题的具体形式和解决方法会因具体情况而异，可以根据具体问题的特点来选择合适的方法进行求解。

初三数学两之间线段最短求最值四大类型

两之间线段最短求最值四大类型【专题说明】“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。

【方法技巧】模型一“一线两点”型(一动＋两定)类型一异侧线段和最小值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．【解题思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．类型二同侧线段和最小值问题(将军饮马模型)问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决．作点B关于l 的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为点P.类型三同侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P 三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.类型四异侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决．模型二“一点两线”型(两动＋一定)问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小．【解题思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．模型三“两点两线”型(两动＋两定)问题：点P，Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小．【解题思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．【典例分析】【典例1-1】基本模型问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧试确定点P的位置，使AP+BP的值最小．解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB′，与直线l交于点P；二证：验证当A，P，B'三点共线时，AP+BP取得最小值．三计算．请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．【典例1-2】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧，在直线l上确定点P的位置，使|P A ﹣PB|的值最大．解题思路：一找：连接AB并延长，交直线l于点P；二证：验证当A，B，P三点共线时，|P A﹣PB|取得最大值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【典例1-3】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使AP+BP 的值最小．解题思路：一找：连接AB交直线l于点P；二证：验证当A，P，B三点共线时，AP+BP取得最小值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【典例1-4】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使|P A﹣PB|的值最大．解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长，交直线于点P；二证：验证当A，B'，P三点共线时，|P A﹣PB|取得最大值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【变式1-1】如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点N为BC的中点，点M是对角线AC上一点，则MB+MN的最小值为．【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点O是对角线BD的中点，E是AB 边上一点，且AE＝1，P是CD边上一点，则|PE﹣PO|的最大值为．【变式1-3】如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠DAB＝60°，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在BD，AB上，且BF＝DE＝4．点P为AC上一点，则|PF﹣PE|的最大值为．【变式1-4】结论：如图，抛物线y＝ax2﹣bx﹣4与x轴交于，A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l为该抛物线的对称轴，点M为直线l上的一点，则MA+MC 的最小值为．【典例2】模型分析问题：点P是∠AOB内的一定点，点M，N分别为OA，OB上的动点，试确定点M，N 的位置，使△PMN的周长最小．解题思路：一找：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P“，连接P'P“，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P′，M，N，P″四点共线时，△PMN的周长最小．三计算．注：当三个点均为动点时，先假定一个点为定点，再将其特化为“一定两动“问题请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，点M、N分别在BC、CD上，（1）当∠MAN＝∠C时，∠AMN+∠ANM＝°；（2）当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝°．【变式2-2】如图，在边长为2的等边△ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则△PMN周长的最小值为．【典例3】模型分析问题：点P，Q是∠AOB内部的两定点，点M，N分别是OA，OB上的动点，试确定点M，N的位置，使四边形PMNQ的周长最小．解题思路：一找：作点P关于OA的对称点P'，点Q关于OB的对称点Q′，连接P′Q′，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P′，M，N，Q′四点共线时，四边形PQNM的周长最小．三计算．请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【变式3-1】如图，已知正方形ABCD的边长为5，AE＝2DF＝2，点G，H分别在CD，BC 边上，则四边形EFGH周长的最小值为．【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是AB的中点，若点P，Q分别是边BC，CD上的动点，则四边形AEPQ周长的最小值为．【典例4-1】基本模型问题：如图，点A，B为直线l同侧两定点，M，N为直线l上的动点，且MN的长度为定值，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．解题思路：一找：以AM，MN为邻边．构造▱AMNA′，作点A′关于直线l的对称点A“，连接A “B，交直线l于点N，再确定点M；二证：验证当A“，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．三计算．请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．【典例4-2】模型演变问题：如图，直线a∥b，定点A，B分别位于直线a的上方和直线b的下方，M，N分别为直线a，b上的动点，且MN⊥a，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．解题思路：一找：以AM，MN为邻边构造▱AMNA′，连接A'B；二证：验证当A'，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【变式4-1】如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AM+CN的最小值为．【变式4-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABD沿射线DB方向平移得到△A'B'D'，连接B'C，D'C，求B'C+D'C的最小值．专题12 两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）（知识解读）【专题说明】“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。

初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)

初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小；（1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：mm A Bm B mA Bmnmnnmn（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：n点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nmnmnmmm三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

2024年中考数学二轮专题复习：+复习线段和差的最大值与最小值(拔高)

中考二轮复习之线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小；（1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：PmABm A B mA B PmAB n QPnmP'Q'nm Q PnB Q PnmAB A'nm AB（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动AB E Dn A BA'B'nAPQ AA'mn Pm nA B m n A Pm nAB点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

中考几何中“线段和的最小值与定值”问题

中考几何中“线段和的最小值与定值”问题近年来，中考数学的一个热门考点就是“线段和的最值与定值”问题，也是难点之一。

学生常常找不到解题的突破口，此类试题往往同根而异形，利用两个“典型题例”进行“发散式”的概括和引申，是解决此类问题的一个捷径。

所谓“典型题例”，就是某些题例虽然不是几何公理或定理，却可以举一反三地运用于其他相关的系列问题的解答。

下面就“线段和的最值与定值”问题，运用两个“典型题例”的源命题进行探讨。

一、关于线段和的最小值源命题（北师大版七年级下册P228 第七章习题7.3“问题解决”第2 题）：如图1 所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短？本题的解答是：作出点B 的轴对称点B1，连接AB1 交直线l于点P，则点P为所求的奶站位置。

利用这一题例的结论，可以解决一些同根异形关联题，下面试举几例：【关联题1】（2008 年湖北荆门市中考题）如图2，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_____________．析解：利用菱形的对称性，在AD 上找出点M 关于AC 的对称点M＇（即AD 的中点），连结M＇N交AC 于P，则PM+PN 的最小值为线段M＇N 的长，而M＇、N 分别为边AD、BC的中点，故M＇N 的长等于菱形的边长5。

【关联题2】（2007 年乐山市中考题）如图3，MN 是⊙O的直径，MN=2，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，B 为弧AN 的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为（）析解：连结OA，由∠AMN=30°得∠AON=60°，取点B 关于MN 的对称点B＇，连结OB＇、AB＇，AB＇交MN 于点P，则AB＇的长为PA+PB 的最小值，且易知∠AOB＇=90°，即△AOB＇为等腰Rt△，故。

2024年中考复习-11 几何图形中求线段,线段和,面积等最值问题(4题型)(解析版)

抢分秘籍11几何图形中求线段，线段和，面积等最值问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）几何图形中求线段、线段和、面积最值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。

每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1．从考点频率看，几何图形中的性质综合问题，是高频考点、也是必考点。

2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一线段最值问题【例1】（2024·四川成都·一模）如图1，在四边形ABFE 中，90F ∠=︒，点C 为线段EF 上一点，使得AC BC ⊥，24AC BC ==，此时BF CF =，连接BE ，BE AE ⊥，且AE BE =．(1)求CE 的长度；(2)如图2，点D 为线段AC 上一动点（点D 不与A ，C 重合），连接BD ，以BD 为斜边向右侧作等腰直角三角形BGD ．①当DG AB ∥时，试求AD 的长度；②如图3，点H 为AB 的中点，连接HG ，试问HG 是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．DC =，即可得出DM GF =，证明DMG GFB ≌，进而证明G 在EF 上，根据已知条件证明D 在EB 上，然后解直角三角形，即可求解；②如图所示，过点H 作HP EF ⊥于点P ，连接EH ，由①可得G 在EF 上运动，当HG EF ⊥时，HG 取得最小值，即,G P 重合时，HP 的长即为HG 的最小值，由①可得103AT =，求得sin 10ETA ∠=，根据45HEF ETA α∠=+︒=∠，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，取AB 的中点H ，连接,EH HC ，∵BF CF =，90F ∠=︒，∴45BCF ∠=︒，BC =，又∵AC BC⊥∴45ECA ∠=︒∵AE BE =，BE AE⊥∴45EBA ∠=︒∴45ECA ABE ∠=∠=︒∴FEB CAB∠=∠∵24AC BC ==，∴2BC =∴BF CF ==∴1tan 2CB CAB AC ∠==∴1tan tan 2FB FEB CAB EF ∠==∠=∴12BF EF =∴EF =∴CE EF CF =-=（2）①如图所示，过点D 作DM EF ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥于点N，由（1）可得45ACE ABE ∠=∠=︒∴CDM V 是等腰直角三角形，∴CD =，∵,CBF DBG 都是等腰直角三角形，∴CB DB BF BG =∴BD BG BC BF=又∵DBG CBF∠=∠∴DBC GBF∠=∠∴DBC GBF∽∴DC DB GF GB==∴DC =∴DM GF=在,DMG GFB 中，DM GF DMG F DG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DMG GFB≌∴MGD FBG∠=∠∵90FBG FGB ∠+∠=︒∴90MGD FGB ∠+∠=︒又∵90DGB ∠=︒∴180MGF ∠=︒∴G 在EF 上，∵DG AB ∥，90DGB ∠=︒∴90GBA ∠=︒∵45,45ABE DBG ABD∠=︒∠=︒=∠∴D 在EB 上，∵1tan 2CAB ∠=，∴12DN AN =，则AD ==∵,45DN AB ABE ⊥∠=︒∴DN DB=∴3AB DN =，∵4AC =，2CB =∴AB =∴133DN AB ==，∴103AD ==，②如图所示，过点H 作HP EF ⊥于点P ，连接EH ，由①可得G 在EF 上运动，∴当HG EF ⊥时，HG 取得最小值，即,G P 重合时，HP 的长即为HG 的最小值，设,AC EB 交于点T ，即与①中点D 重合，由①可得103AT =∵AB =∴AE =，12EH AB ==∴sin 10103AE ETA AT ∠==设FEB CAB α∠=∠=则45HEF ETA α∠=+︒=∠，在Rt PEH △中，sin sin 102PH HEF EH ETA EH =∠⨯=∠⨯=⨯．【点睛】证明G 点在EF 上是解题的关键．本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形.【例2】（2024·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，点()0,0O ，()2,0A，(2,B )，C ，D 分别为OA ，OB 的中点．以点O 为中心，逆时针旋转OCD ，得OC D '' ，点C ，D 的对应点分别为点C '，D ¢．(1)填空∶如图①，当点D ¢落在y 轴上时，点D ¢的坐标为_____，点C '的坐标为______；(2)如图②，当点C '落在OB 上时，求点D ¢的坐标和BD '的长；(3)若M 为C D ''的中点，求BM 的最大值和最小值(直接写出结果即可)．()，D为OB中点，B2,23()∴，D1,3()22132OD∴=+=，∵以点O为中心，逆时针旋转由（1）知60AOB ∠=︒，30GD O '∴∠=︒，112OG OD '∴==，D G '()1,3D ∴'-，()2,23B ，∵C ，D 分别为OA ，OB 的中点，此时M 在BO 的延长线上，()2,23B ，()222234OB ∴=+=，742BM OB OM ∴=+=+；即BM 最大值为742+；此时M 在线段OB 上，BM BM ∴最小值为427-；综上所述，BM 最大值为1．（2024·山东济宁·模拟预测）已知，四边形ABCD 是正方形，DEF 绕点D 旋转（DE AB <），90EDF ∠=︒，DE DF =，连接AE CF ，．(1)如图1，求证：ADE CDF ≅ ；(2)直线AE 与CF 相交于点G ．①如图2，BM AG ⊥于点M ，⊥BN CF 于点N ，求证：四边形BMGN 是正方形；②如图3，连接BG ，若6AB =，3DE =，直接写出在DEF 旋转的过程中，线段BG 长度的最小值为．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，90ADC ∠=︒，DE DF = ，90EDF ∠=︒，ADC EDF ∴∠=∠，ADE CDF \Ð=Ð，在ADE V 和CDF 中，DA DC ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，SAS ADE CDF ∴（） ≌．（2）解：①证明：如图2中，设AG 与CD 相交于点P ，90ADP ∠=︒ ，90DAP DPA ∴∠+∠=︒，ADE CDF ≅ ，DAE DCF ∴∠=∠，DPA GPC ∠∠= ，90DAE DPA GPC GCP ∠∠∠∠∴+=+=︒，90PGN ∠∴=︒，BM AG ⊥ ，BN GN ⊥，∴四边形BMGN 是矩形，90MBN ∴∠=︒，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC MBN ∠∠==︒，ABM CBN ∴∠=∠，又90AMB BNC ∠∠==︒ ，AMB CNB ∴≅ ，MB NB ∴=，∴矩形BMGN 是正方形；∵DAH BAM ∠+∠=∠∴DAH ABM ∠=∠，又∵AD BA =，DHA ∠∴AMB DHA ≌△△，BM AH ∴=，222AH AD DH =- ，DH ∴最大时，AH 最小，即点(1)若AC AB AD BC >⊥，，当点E 在线段AC 上时，AD BE ，交于点F ，点F 为BE 中点．①如图1，若37BF BD AD ===，，求AE 的长度；②如图2，点G 为线段AF 上一点，连接GE 并延长交BC 的延长线于点H ．若点E 为GH 中点，602BAC DAC EBC ∠=︒∠=∠，，求证：12AG DF AB +=．(2)如图3，若360AC AB BAC ︒==∠=，．当点E 在线段AC 的延长线上时，连接DE ，将DCE △沿DC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到DCM △，连接AM ，当AM 取得最小值时，ABC 内存在点K ，使得ABK CAK ∠=∠，当KE 取得最小值时，请直接写出2AK 的值．AD BC EG AD ⊥⊥ ，，90BDF ∴∠=︒，EGF ∠=BDF EGF ∴∠=∠，在Rt BDF △中，90BDF ∠=(22DF BF BD ∴=-=AD BC ⊥ ，90ADC ∴∠=︒，点E 为GH 的中点，GE HE ∴=，在AGE 和KHE △中，12AE KE =⎧⎪∠=∠⎨，由题意可知：160∠=︒，AC 30CAM ∴∠=︒，1322CM AC ∴==，32CE CM ∴==，（1）如图①，在ABC 中，点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，若BC =MN 的长为__________．问题探究：（2）如图②，在正方形ABCD 中，6AD =，点E 为AD 上的靠近点A 的三等分点，点F 为AB 上的动点，将AEF △折叠，点A 的对应点为点G ，求CG 的最小值．问题解决：（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心ABCDE ，已知120ABC ∠=︒，60BCD ∠=︒，40m AB AE ==，80m BC CD ==，点C 处为参观入口，DE 的中点P 处规划为“优秀”作品展台，求点C 与点P 之间的最小距离．∵点E为AD上的靠近点∴11633 AE AD==⨯在Rt EDC中，EC 根据折叠的性质，EG（1）如图1，点D 为ABC 的边BC 上一点，连接2,,3BD AD BDA BAC AB ∠=∠=，若ABD △的面积为4，则ACD 的面积为______；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，6,5AB BC ==，在射线BC 和射线CD 上分别取点E F 、，使得65BE CF =，连接AE BF 、相交于点P ，连接CP ，求CP 的最小值；【问题解决】（3）如图3，菱形ABCD 是某社区的一块空地，经测量，120AB =米，60ABC ∠=︒．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线AD 上取一点E ，沿BE CE 、修两条小路，并在小路BE 上取点H ，将CH 段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，BHC BCE ∠=∠，为了节省铺设成本，要求休闲通道CH 的长度尽可能小，问CH 的长度是否存在最小值？若存在，求出CH 长度的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）5；（2）343-；（3）存在，最小值为403米【分析】（1）证明C ABD BA ∽△△，利用相似三角形的性质得到994CBA ABD S S == ，即可得到ACD 的面积；（2）证明ABE BCF ∽△△，进一步得到90APB ∠=︒，则证明点P 在矩形ABCD 内部以AB 为直径的O 上运动，连接,OP OC ，OC 交O 于点P '，进一求出3,34OP OP OB OC '====，则343CP OC OP ''=-=-，由CP OC OP ≥-，即可得到CP 的最小值；（3）证明,CBH EBC ∽得到2BC BE BH =⋅，则2AB BE BH =⋅，再证明,ABH EBA ∽得到120AHB EAB ∠=∠=︒，证明点H 在O 的劣弧 AB 上运动，求得90OBC ∠=︒，进一步求得403OH AO BO ===米，勾股定理可得803OC =米，记OC 与O 相交于点H '，则403OH OH '==米，求出403CH OC OH ''=-=米，由403CH OC OH '≥-=米，即可得到答案．【详解】（1）解：∵,BDA BAC ∠=∠B B ∠=∠，∴C ABD BA ∽△△，∴2439ABDCBA S BD S AB ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，∴994CBA ABD S S == ，∴ACD 的面积为945CBA ABD S S -=-= ，故答案为：5（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABE BCF ∠=∠=︒，∵65BE CF =，6,5AB BC ==，∴65BE AB CF BC ==，∴ABE BCF ∽△△，∴BAE CBF ∠=∠，∵90CBF ABP ∠+∠=︒∴90BAE ABP ∠+∠=︒∴()18090APB BAE ABP ∠=︒-∠+∠=︒∴点P 在矩形ABCD 内部以AB 为直径的O 上运动，则1602BM AM AB ===米，题型二线段和的最小值问题【例1】（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在OAB 中，3OB =，若将OAB 绕点O 逆时针旋转120︒得OA B ''，连接BB '，则BB '=________．【问题探究】（2）如图2，已知ABC 是边长为BC 为边向外作等边BCD △，P 为ABC 内一点，连接AP BP CP ，，，将BPC △绕点C 逆时针旋转60︒，得DQC △，求PA PB PC ++的最小值；【实际应用】（3）如图3，在长方形ABCD 中，边1020AB AD ==，，P 是BC 边上一动点，Q 为ADP △内的任意一点，是否存在一点P 和一点Q ，使得AQ DQ PQ ++有最小值？若存在，请求出此时PQ 的长，若不存在，请说明理由．在OAB 中，3OB =，将 120BOB '∴∠=︒，OB OB '==OBB OB B ''∴∠=∠，OBB OB B B OB '''∠+∠+∠=PA PB PC PA ∴++=+∴当点D、Q、P、A⊥连接AD，作DE AC∠=∠=︒DCB BCA60本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于利用旋转构造等边三角形，从而把三条不在一条直线的线段之和的问题，转换成几点共线求线段的最值问题是解题的关键．【例2】（2024·贵州毕节·一模）在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进是边长为2的等边三角形．行探究．已知ABC(1)【动手操作】如图1，若D为线段BC上靠近点B的三等分点，将线段AD绕点A逆时针旋转60︒得到线段AE，连接CE，则CE的长为________；(2)【探究应用】如图2,D 为ABC 内一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE ，连接CE ，若,,B D E 三点共线，求证：EB 平分AEC ∠；(3)【拓展提升】如图3，若D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点D 顺时针旋转60︒得到线段DE ，连接CE ．请求出点D 在运动过程中，DEC 的周长的最小值．（3）由ABD ACE ≌△△，得CE BD =，可得DEC 的周长BC DE =+，而DE AD =，知AD 的最小时，DEC 的周长最小，此时AD BC ⊥，即可求得答案．∵ABD ACE ≌△△，∴CE BD =，∴DEC 的周长DE CE =+∴当点D 在线段BC 上时，∵DEC 为等边三角形，1．（2024·陕西·二模）在平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，且4OA OB ==，连接AB ．(1)如图1，C 为线段AB 上一点，连接OC ，将OC 绕点O 逆时针旋转90︒得到OD ，连接AD ，求AC AD +的值．(2)如图2，当点C 在x 轴上，点D 位于第二象限时，90ADC ∠=︒，且AD CD =，E 为AB 的中点，连接DE ，试探究线段AD DE +是否存在最小值？若存在，求出AD DE +的最小值；若不存在，请说明理由．又90AOB ∠=︒，∴四边形DMON 是矩形，∴90MDN ∠=︒，大值和最小值分别是______和______；（2）如图2，在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 在AD 上，点Q 在BC 上，且AP CQ =，连接CP 、QD ，求PC QD +最小时AP 的长；（3）如图3，在ABCD Y 中，10AB =，20AD =，点D 到AB 的距离为，动点E 、F 在AD 边上运动，始终保持3EF =，在BC 边上有一个直径为BM 的半圆O ，连接AM 与半圆O 交于点N ，连接CE 、FN ，求CE EF FN ++的最小值．如图，当点P 在AO 的延长线上时，此时PA 的最大值为：PO OA +故答案为：11；3；（2）延长BA 至点B '，使AB ∵在矩形ABCD 中，4AB =，∴DAB BAP CBA '∠=∠=∠=∠∴DA 垂直平分BB '，∴PB PB '=，（3）如图，过点F 作FG EC ∥，交BC OG '，NO ，∵在ABCD Y 中，10AB =，20AD =，点∴AD BC ∥，即EF CG ∥，BC AD =∴四边形EFGC 是平行四边形，∴3GC EF ==，FG EC =，【点睛】本题考查圆的基本性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，勾股定理，三角形三边关系定理，两点之间线段最短等知识点．灵活运用所学知识、弄清题意并作出适当辅助线是解题的关键．3．（2024·陕西西安·三模）【问题提出】（1）如图①，AB 为半圆O 的直径，点P 为半圆O 的 AB 上一点，BC 切半圆O 于点B ，若10AB =，12BC =，则CP 的最小值为；【问题探究】（2）如图②，在矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点P 为矩形ABCD 内一点，连接PB 、PC ，若矩形ABCD 的面积是PBC 面积的3倍，求PB PC +的最小值；【问题解决】（3）如图③，平面图形ABCDEF 为某校园内的一片空地，经测量，AB BC ===60B ∠︒，150BAF BCD ∠=∠=︒，DE DC ⊥，20CD =米，劣弧 EF所对的圆心角为90︒， EF 所在圆的圆心在AF 的延长线上，10AF =米．某天活动课上，九（1）班的同学准备在这块空地上玩游戏，每位同学在游戏开始前，在BC 上选取一点P ，在弧 EF上选取一点Q ，并在点P 和点Q 处各插上一面小旗，从点A 出发，先到点P 处拔下小旗，再到点Q 处拔下小旗，用时最短者获胜．已知晓雯和晓静的跑步速度相同，要使用时最短，则所跑的总路程()AP PQ +应最短，问AP PQ +是否存在最小值？若存在，请你求出AP PQ +的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）8；（2）41；（3）AP PQ +存在最小值，最小值为()20310m -．【分析】（1）连接OC 交O 于点1P ，则1CP是CP 的最小值，求出1CP 的长即可，（2）过点P 作PH BC ⊥于点H ，作EF BC ∥，连接BC '，BP C P '+的最小值，即为BC '的长度，求出BC '即可，（3）连接AC ，作点A 关于BC 的对称点A '，连接PA '，A Q '，AA '，过A '作A N ED '⊥，分别交ED 、AC 的延长线于点N 、M ，分别延长AF ，DE 交于点O ，连接OQ ，OA '，当A Q '取得最小值时，AP PQ +的值最小，即A Q ''的长，求出A Q ''即可．解：（1）如图，连接OC 交O 于点1P ，连接OP ，点P 为半圆O 的AB上一点，∴当点P 与点1P 不重合时，CP OC OP >-，当点P 与点1P 重合时，1CP CP OC OP ==-，CP OC OP ∴≥-，CP ∴的最小值OC OP =-，BC 切半圆O 于点B ，90ABC ∴∠=︒，152OB OP AB === ，12BC =，2212513OC ∴=+=，CP ∴的最小值1358OC OP =-=-=，故答案为：8．（2）过P 作PH BC ⊥，如图，矩形ABCD 的面积是13553PBC S ∴=⨯⨯= 2PH ∴=，60ABC ∠=︒ ，AB BC ==ABC ∴ 是等边三角形，60BAC BCA ∴∠=∠=︒，150BAF BCD ∠=∠=︒ ，DE ACD MCD CAO ∴∠=∠=∠=AA M '∴ 和OA N '△都是直角三角形，四边形,E G分别作,,⊥⊥与EF交于点F，连接CF．EF AD FG AB FG特例感知（1）以下结论中正确的序号有______；ED CF BG为边围成的三角形不是直①四边形AGFE是矩形；②矩形ABCD与四边形AGFE位似；③以,,角三角形；类比发现（2）如图2，将图1中的四边形AGFE绕着点A旋转，连接BG，观察CF与BG之间的数量关系和位置关系，并证明你的发现；拓展应用（3）连接CE ，当CE 的长度最大时，①求BG 的长度；②连接,,AC AF CF ，若在ACF △内存在一点P ，使CP AP ++的值最小，求CP AP ++的最小值．∴HF DE =，CH BG =∴CHF 是直角三角形，∵四边形ABCD 是矩形，∴43AB CD ==，AD =∴228AC AB BC =+=，则由（2）知，90CEF ∠=︒，∵2247CF CE EF =+=∴3221BG CF ==；根据旋转，可得30PAF KAL ∠=∠=∴3KL PF =，过P 作PS AK ⊥于S ，则12PS AP =∴32KS AK AS AP =-=，则tan ∠题型三面积的最小值问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边ABC 中，点D 在边BC 上，3BD =，连接AD ，则ACD 的面积为；【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，且45EAF ∠=︒，若5EF =，求AEF △的面积；【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在4AB =米，AD =ABCD 区域内开挖一个AEF △的工作面，其中B 、F 分别在BC CD 、边上（不与B 、C 、D 重合），且60EAF ∠=︒，为了减少对该路段的拥堵影响，要求AEF △面积最小，那么是否存在一个面积最小的AEF △？若存在，请求出AEF △面积的最小值；若不存在，请说明理由．（2）如图所示，延长∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD D =，∠∴ABG ADF ≌∴AG AF DAF =，∠（3）把ADF △绕点A ∴33AG AF FAG =，∠∵60EAF ∠=︒，∴30EAG ∠=︒，本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，通过作出辅助线构造直角三角形，全等三角形是解题的关键．【例2】（2024·陕西西安·二模）图形旋转是解决几何问题的一种重要方法．如图1，正方形ABCD 中，E F 、分别在边AB BC 、上，且45EDF ∠=︒，连接EF ，试探究AE CF EF 、、之间的数量关系．解决这个问题可将ADE V 绕点D 逆时针旋转90︒到CDH △的位置（易得出点H 在BC 的延长线上），进一步证明DEF 与DHF △全等，即可解决问题．(1)如图1，正方形ABCD 中，45,3,2EDF AE CF ∠=︒==，则EF =______；(2)如图2，正方形ABCD 中，若30EDF ∠=︒，过点E 作EM BC ∥交DF 于M 点，请计算AE CF +与EM 的比值，写出解答过程；(3)如图3，若60EDF ∠=︒，正方形ABCD 的边长8AB =，试探究DEF 面积的最小值．,,,D F H G 四点共圆；进而可得30FHG ∠=，根据13tan 30AE CF CH CF FH EM GH GH ++====︒，即可求解；（3）过点E 作EK CD ⊥于K ，交DF 于M ，作FT EK ⊥于T ，得出4DEF S EM = ，进而根据（2）的方法得出3EM GH FH ==，根据FC AE CH ==时，面积最小，得出32163OF =-，即可求解．【详解】（1）解：∵将ADE V 绕点D 逆时针旋转90︒，∴90DCH A DCB ∠=∠=︒=∠，DH DE HDC EDA=∠=∠，∴点H 在BC 的延长线上，∵四边形ABCD 是正方形∴90ADC ∠=︒，∵45EDF ∠=︒，∴45HDF CDH FDC ADE FDC EDF∠=∠+∠=∠+∠=︒=∠又∵DF DF =，∴DEF ()SAS DHF ≌，∴235EF FH FC CH FC AE ==+=+=+=，故答案为：5．（2）解：将ADE V ，DEM △绕点D 逆时针旋转90︒，得,DCH DHG∴,AED CHD DEM DHG ∠=∠∠=∠，∵EM BC ∥，则EM AB ⊥，∴90AEM ∠=︒，∴90CHG CHD DHG AED DEM AEM ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∵30EDF ∠=︒，EM BC ∥则EM AD ∥，∴ADE CDH ∠=∠，30GDH MDE ∠=∠=︒，∵EM BC ∥，∴EMF DFC ∠=∠，∴180EMD EMF EMD DFC ∠+∠=∠+∠=︒，即180DFC DGH ∠+∠=︒，∴,,,D F H G 四点共圆；∴30GFH GDH ∠=∠=︒，又30FHG ∠=︒∴1tan 30AE CF CH CF FH EM GH GH ++====︒（3）如图，过点E 作EK CD ⊥于K ，交DF 于M ，作FT EK ⊥于T ，90FTK TKC BCD ∠=∠=∠=︒∴四边形CFTK 是矩形，FT CK∴=8DK CK DK FT ∴+=+=111()4222DEF EMD EMF S S S DK EM FT EM DK FH EM ∴=+=⋅+⋅=+= 同（2）将ADE V ，DEM △绕点D 逆时针旋转90︒，得,DCH DHG ，可得60GFH EDM ∠=∠=︒，EM GH=∵2220-+=≥，∴FH x y =+≥当且仅当x y =时取得等于号，此时FC AE CH ==，设,,,D F H G 的圆心为O ，∵DC FH ⊥，FC CH =，∴DC 经过点O ，∴OF OD =，sin 602OC OF OF =︒=∵8OD OC +=即82OF +=解得：32OF =-∴232FH FC OF ===-∴48GH ==-，∴()44448192DEF S EM GH ===-=- ，即DEF 面积的最小为192-．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆等知识，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．1．（2023·陕西西安·一模）问题发现（1）在ABC 中，2AB =，60C ∠=︒，则ABC 面积的最大值为；（2）如图1，在四边形ABCD 中，6AB AD ==，90BCD BAD ∠=∠=︒，8AC =，求BC CD +的值．问题解决（3）有一个直径为60cm 的圆形配件O ，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC ，要求60O B ∠=∠=︒，OA OC =，并使切割出的四边形孔洞OABC 的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC ？若存在，请求出四边形OABC 面积的最小值及此时OA 的长；若不存在，请说明理由．∴当点C 在C '的位置，即∴C A C B ''=，BD =∴ABC '△是等边三角形，∴2C B AB '==，∴B ADE ∠=∠，BAC ∠∵6AB AD ==，BCD ∠∴180B ADC ∠+∠=︒，∵180ADE ADC ∠+∠=∵60AOC ∠=︒，OA OC =∴将AOB 绕O 点顺时针旋转∴60BOE ∠=︒，OE OB =∴BOE △是等边三角形，∴160302BE OB ==⨯=，（1）如图①，已知ABC 是面积为AD 是BAC ∠的平分线，则AB 的长为______．问题探究：（2）如图②，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，4AB =，点D 为AB 的中点，点E ，F 分别在边AC ，BC 上，且90EDF ∠=︒．证明：DE DF =．问题解决：（3）如图③，李叔叔准备在一块空地上修建一个矩形花园ABCD ，然后将其分割种植三种不同的花卉．按照他的分割方案，点P ，Q 分别在AD ，BC 上，连接PQ 、PB 、PC ，60BPC ∠=︒，E 、F 分别在PB 、PC 上，连接QE 、QF ，QE QF =，120EQF ∠=︒，其中四边形PEQF 种植玫瑰，ABP 和PCD 种植郁金香，剩下的区域种植康乃馨，根据实际需要，要求种植玫瑰的四边形PEQF 的面积为2，为了节约成本，矩形花园ABCD 的面积是否存在最小值？若存在，请求出矩形ABCD 的最小面积，若不存在，请说明理由．当PQ BC ⊥时，矩形ABCD 的面积最小，根据2ABCD PEQF S S =四边形四边形，即可求解．【详解】解：（1）∵ABC 是面积为AD 是BAC ∠的平分线，∴12BD CD AB ==设ABC 的边长为a∴2AD a =∴2112224ABC S BC AD a a a =�创=∴24a =解得：4a =，故答案为：4．（2）如图所示，连接CD，∵在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，4AB =，点D 为AB 的中点，∴CD AD =，90ADC ∠=︒，45A DCF ∠=∠=︒又∵90EDF ∠=︒∴ADE ADC CDE EDF EDC CDF∠=∠-∠=∠-∠=∠在,ADE CDF △△中，45A DCF ADE CDF AD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE CDFV V ≌∴DE DF =；（3）如图所示，∵60BPC ∠=︒，120EQF ∠=︒，∴36060120180PFQ PEQ ∠+∠=︒-︒-︒=︒将QFP △绕点Q 逆时针旋转120︒，得到EQG ，∴,,P E G 三点共线，∴四边形PEQF 的面积等于PQG ，又∵120,PQG PQ GQ ∠=︒=，∴30QPG QGP ∠=∠=︒过点Q 作QN PG ⊥于点N ，则12QN PQ =设PQ b =，则1,22NQ b PN b ==∴2PG PN ==∴21112224PQG S PG NQ b b =⨯=⨯⨯=∵四边形PEQF 的面积为∴16b =，即16PQ =,如图所示，作QM PM ⊥于点M ，∵30EPQ FPQ ∠=∠=︒，QM PM ⊥，QN PG ⊥，则QN QM =，在,ENQ FMQ 中，QN QM EQ FQ=⎧⎨=⎩∴()HL ENQ FMQ ≌，同理可得PNQ PMQ≌则2PNQPEQF S S = 四边形∴PEQF PNQM S S =四边形四边形，作点Q 关于PE 的对称点T ，连接PT ，则PTQ 是等边三角形，则PTQ S = ，如图所示，依题意，当PQ BC ⊥时，矩形ABCD 的面积最小，此时,E F 与,N M 重合，，∴22128ABCD PEQF S S ==⨯四边形四边形∴矩形ABCD 的最小面积为2【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．3．（2024·陕西榆林·二模）（1）如图1，AB CD ∥，1,2AB CD ==，AD ，BC 交于点E ，若4=AD ，则AE =；（2）如图2，矩形ABCD 内接于O ，2,AB BC ==，点P 在 AD 上运动，求PBC 的面积的最大值；（3）为了提高居民的生活品质，市政部门计划把一块边长为120米的正方形荒地ABCD (如图3)改造成一个户外休闲区，计划在边AD ，BC 上分别取点P ，Q ，修建一条笔直的通道PQ ，要求2CQ AP =，过点B 作BE PQ ⊥于点E ，在点E 处修建一个应急处理中心，再修建三条笔直的道路BE CE DE ，，，并计划在CDE 内种植花卉，DEP 内修建老年活动区，BCE 内修建休息区，在四边形ABEP 内修建儿童游乐园．问种植花卉的CDE 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．∵四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，AC ∴是O 的直径．在Rt ABC △中，tan BC BAC AB∠=60BPC BAC ∴∠=∠=︒过点O 作OE BC ⊥，垂足为E ，延长连接P B P C ₂，₂，此时P BC ₂的面积最大．理由：在 AD 上任意另取一点P。

中考数学考点系统复习第七章作图与图形变换微专题(五) 利用“两点之间,线段最短”求最值

2．★如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 N，交 AC 于点 M，P 是直线 MN 上一动点，H 为 BC 的中点，若 AB＝13，△ABC 的周长是 36.则 PB＋PH 的最小值为 112 2.
3．★如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝3，点 P 为矩形 ABCD 内一点，
结论：AM＋MN＋NB 的最小值为 A″B＋MN.
9．★如图，正方形 ABCD 的对角线上的两个动点 M，N，满足 AB＝ 2MN，点 P 是 BC 的中点，连接 AN，PM，若 AB＝6，则当 AN＋MN＋PM 的值最小时，线段 AN 的长为 2 5 .
模型三：“两点两线”型(两个动点＋两个定点) (一)利用垂直平分线的性质求四边形周长最小值【模型分析】点 P，Q 是∠AOB 内部的两定点，在 OA 上找点 M，在 OB 上找点 N，使得四边形 PQNM 周长最小．思路点拨：
8．★如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点 G，H 分别是边 BC，CD 上的动点，则四边形 EFGH 周长的最小值为 22 5＋10＋10.
1 且动点 P 满足 S△PAB＝3S 矩形 ABCD，则点 P 到 A，B 两点距离之和的最小值为 22 13 .
4．★如图，直线 y＝x＋1 与抛物线 y＝x2－4x＋5 交于 A，B 两点，P 是 y
轴上的一个动点，当△PAB 的周长最小时，S△PAB＝2.2. 4. 4
(二)线段差最大值问题【基础模型】两定点 A，B 位于直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P，使得|PA－PB|值最大．思路点拨：根据两边之差小于第三边，|PA－PB|的最大值即为 AB 的长，连接 AB 并延长，与直线 l 交于点 P，点 P 即为所求．

专题线段和最小值问题

几何最值问题
在平面几何动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为几何最值问题.
基本模型一：两定点在一直线同侧确定单动点问题
直线l表示草原上的一条河流，一骑马将军从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的驻地.他应沿怎样的路线行走，使路程最短？请作出这条最短路线.
(2) 在解决不同类型的几何最值问题时你能体会其中蕴含哪些数学思想方法？
线段和最小问题
基本模型一：单动点问题
基本模型二：双动点问题
一次轴对称+两点间线段最短两次轴对称+两点间线段最短
A' C
P
A'
AP+PB最小
D B' AC+CD+DB最小
线段和最小问题
基本模型三：双动点问题平移+两点间线段最短
解：1.作点A关于直线l 的对称点A '; 2. 连接A 'B,交直线 l于点P;
3. 连接AP.
∴将军沿A P B的路线行走，
路程最短.
P
A'
模型应用——单动点问题
例1.（2016•南通）平面直角坐标系xoy中，已知A（－1，0）、 B（3，0）、C（0，－1）三点，D（1，m）是一个动点，当△ACD的周长最小时，△ABD的面积为______.
3
当堂反馈：
3. 如图，AB是⊙O的直径，AB = 8，点M在⊙O上，∠MAB =
20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN =1，
则△PMN周长的最小值为（ B ）.
A. 4
B. 5
C. 6

中考数学专题复习——线段和差的最小值问题1

学习目标
• 掌握线段和最值的求解方法。
知识准备
1、轴对称的性质； 2、两点之间线段最短； 3、垂线段最短； 4、勾股定理； 5、角、等腰三角形、特殊四边形、圆的轴对
称性。
基本图形:两点一线
A
B
A
B
P
L
P
L
A’
基本解法:利用对称性,将“折”转“直”B’
小结：求线段和最小值的一般步骤：
①选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A’；
②连结对称点A’与B之间的线段，交直线l于点P，点P即为所求的点，线段A’B的长就是AP+BP的最小值。
出题背景变式有：
角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆坐标轴、抛物线等。(轴对称图形）
解题思路：
找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。
变式1：两个定点，一个动点如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是 _______5______．
C
N′ M
D

AN
B
图3
针对练习：
1、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ B ）
A、1 B、
C、 2 D、 +1
A
D
K
E
Q
B
P
C
拓展提升：多条线段和最小（两点两线型）
如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（2,4），点B 的坐标是（6,2），在y轴和x轴上找两点P、Q，使得A， B，P，Q四点组成的四边形周长最小，请画出示意图，并求出P、Q两点的坐标。

中考压轴题分类专题二《线段和差的最值问题》

中考压轴题分类专题二——线段和差的最值问题基本题型：一、两线段和的最小值：已知两点A 、B 与直线l ，直线l 上有一动点P ，求PA +PB 的最小值。

求出A 点关于直线l 的对称点/A ，连接B A /交直线l 于点P ，则点P为所求最小值所取的点，()min /PB PA B A +=。

本题可转化为求ABP ∆的周长的最小值。

拓展：已知两点A 、B 与两直线1l 与2l ，动点P 在1l 上，动点Q 在2l 上，求AP +PQ +QB 的最小值。

求出A 点关于直线1l 的对称点/A ，再求出B 点关于直线2l 的对称点/B ，连接//B A 分别交直线1l 于点P、交直线2l 于点Q ，则P 、Q 为所求最小值所取的点，()min //QB PQ AP B A ++=。

本题可转化为求四边形APQB 的周长的最小值。

二、两线段差的最大值：已知两点A 、B 与直线l （AB 与l 不平行且在l 同侧），动点P 在l 上，求maxPBPA -。

连接AB 并延长交直线l 于点P ，则点P 为所求最大值时所取的点，maxPB PA AB -=。

yxOBA/PA所需知识点：一、中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y ,x x 。

拓展：三角形的重心（三中线交点）公式：已知ABC ∆的顶点分别为()()()332211y ,x C ,y ,x B ,y ,x A ，则ABC ∆的重心G 为⎪⎭⎫⎝⎛++++3,3321321y y y x x x 。

二、直线的斜率：直线的斜率是指直线与x 轴正方向所成角α的正切值。

00900<<α时，0t a n >=αk ；0018090<<α时，()0180t a n t a n 0<--==ααk 。

已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2121x x y y k PQ --=。

中考几何图形中求线段最小值问题思路整理,线段最小值问题归纳

斜大于直---一类线段最值的求法通常，我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。

经过探究我们得到一个事实：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

即我们今天所要讲的内容“斜大于直”问题。

“斜大于直”问题在中考线段最值中考察较为广泛，即点到线的最短距离问题，常见的有单线段的最值，线段和的最小，系数不为1的线段和的最值（胡不归问题）等等。

如需加深难度通常将定点和定线隐藏处理即可。

本文将通过7大变式予以说明。

反思：①本题的关键在于确定△PEF的外心，利用等边三角形的特殊性将垂直平分线的交点转化为角平分线的交点，寻找到外心.
②发现外心为一定点，则转化为求定点到直线的最短距离问题，即垂线段最短（斜大于直）.。

中考线段最小值问题四种常见解法

方法一：利用几何性质解决问题知识点1：垂线段最短（点到直线的距离，垂线段最短）知识点2：两点之间线段最短（即“将军饮马”问题）知识点3：利用“画圆”来确定动点问题解决最值问题运用画圆解决问题有两种情况：情况1：动点到某一定点的距离是定值（圆上的点到圆心的距离恒等于半径）情况2：动点为90°固定角的顶点（直径所对的圆周角恒定为90°）在中考中最常用的是“知识点2”、“知识点3”方法二：利用代数法直接证明知识点1：利用配方法求三次二项式的最值知识点2：运用二次函数中顶点求最值代数方法较为常见，所以我们本篇暂时不会涉及.接下来，我们来简单看一下每个几何知识点对应的问题知识点1：垂线段最短常出现几何图形问题中，通常在初二会见到，中考中不会涉及。

例：如图，在△ABC中有一点D在AC上移动，若AB=AC=5，BC=6则AD+BD+CD的最小值为_______.分析:题目中问“AD+BD+CD”的最小值，通过图形我们可以知道“AD+CD”是定值，所以问题可以转换为求BD的最小值.那么求BD的最小值即为求一点B到某一直线AC上的最小值，所以可以利用“垂线段最短”的性质来求解.过点B作AC垂线即可解决问题.知识点2：两点之间线段最短这类问题常出现在函数的大题中，考生如果函数知识不过关也不能拿到满分，因为仅作出图形别不能得出答案，还需要利用函数知识进行求点坐标.解题思路：通常做定点关于动点所在直线的对称点（两个动点所在直线就做两个对称点），然后连接对称点与另一点与动点所在直线的交点即为动点位置。

例1.如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）和（2，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是______.分析：典型的“将军饮马”问题。

通过作点B关于y轴的对称点即可解决问题.例2：如图所示，直线y=x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，点C 是OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是_______.分析：本题中存在两个动点，分别是点D、点E所以我们只需要做点C关于直线AB、关于y轴的对称点即可解决问题.知识点3：利用“画圆”来确定动点问题解决最值问题例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是________.分析：由翻折得到，DF=DB=3.所以点F在以点D为圆心以3为半径的圆上.连接A与圆心D，AD与圆的交点即为F'所以AF的最小值是AD-DF'=5-3=2.例2：如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是________.分析：根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°.所以点H在以AB为直径的圆上，所以以AB中点为圆心，以AB长的一半为半径画圆，连接D与圆心交点即为点H.所以DH'=OD-OH'中考中常见的求最值方法就是上面所提到的这些。

求线段最小值方法总结

求线段最小值方法总结嘿，咱今儿就来讲讲求线段最小值的那些事儿！你想想啊，线段最小值，这可不是个小问题呢！就好像咱出门找路，得找到最短最省力的那条道儿呀。

比如说，咱常见的一种情况就是“两点之间，线段最短”。

这就好比你要从 A 点到 B 点，那直接走直线肯定是最短的路呀，你总不能绕个大圈子吧，那多费劲呀！还有呢，像那种通过对称点来找线段最小值的。

哎呀，这就像是给线段变个魔术似的。

比如有个图形，你通过找到某个点的对称点，一下子就能发现那条最短的线段啦！这多神奇呀！再说说利用三角形三边关系来求的。

你看三角形，两边之和肯定大于第三边呀，那咱就利用这个特点，来找到最短的那条边。

这就好像是在一堆东西里面挑出最精华的那个。

还有一种情况，就是把线段放到一个具体的情境里面。

比如说在一个几何图形里，或者在一个实际问题中。

这时候你就得开动脑筋啦，把那些隐藏的条件都找出来，然后像侦探一样，找到那条最短的线段。

你说这求线段最小值是不是挺有意思的？就像玩游戏一样，得不断地探索、尝试，才能找到答案。

有时候啊，可能一开始觉得挺难的，但是别着急呀，慢慢想，总能找到办法的。

就像爬山一样，一开始觉得累，等爬到山顶了，那成就感可不是一般的大呀！咱在学习求线段最小值的时候，可不能死记硬背那些方法，得真正理解了，才能运用自如呀。

你想想，要是只知道背，到时候遇到个新问题不就傻眼啦？所以呀，得学会举一反三，灵活运用。

比如说，给你一个图形，你得能迅速判断出用哪种方法来求线段最小值。

这就需要咱多练习，多思考。

总之呢，求线段最小值虽然有一定难度，但只要咱用心去学，肯定能掌握好的。

加油吧，小伙伴们！让我们一起在求线段最小值的道路上披荆斩棘，所向披靡！到时候，什么难题都难不倒我们啦！这难道不是一件超级棒的事情吗？。

初中数学线段题型总结归纳

初中数学线段题型总结归纳线段是初中数学教学中的一个重要知识点，也是解决几何问题和实际进一步计算的基础。

本文旨在总结和归纳初中数学中涉及线段的常见题型，帮助学生更好地理解和应用相关知识。

一、线段的基本概念线段是由两个不同点A和B确定的，用记号AB表示。

其中，点A称为线段的起点，点B称为线段的终点。

线段的长度可以用起点和终点表示为|AB|，也可以用坐标表示为AB。

二、线段的比较1. 线段的比较大小常见于求线段长度的比较问题。

当两个线段的长度不等时，可以直接通过比较线段的长度得出结果；当两个线段的长度相等时，需要通过其他方式进行判断（如利用直角三角形的性质）。

2. 在比较线段大小时，可以利用线段的长度、坐标等信息进行比较，也可以通过等式、不等式等表示进行推导。

三、线段的运算1. 线段的加法与减法：线段的加法是指将两条线段首尾相接，组成一条新的线段。

线段的减法是指从一条线段中截取另一条线段，得到剩余部分。

2. 线段的加法减法可通过线段的长度进行求解，也可以通过坐标运算进行推导。

3. 线段的乘法与除法：乘法运算通常涉及到线段的比例关系，用来解决直角三角形的题型；除法运算则是对线段进行分割，求出给定比例的分割点坐标。

四、线段的平分点线段的平分点是指将一条线段分为两等分的点，可以通过计算线段的中点坐标来求解。

利用线段的平分点，可以进一步进行垂直平分线、角平分线等问题的解析。

五、线段的延长线与中点连线线段的延长线是指将线段向两侧延长形成直线的情况，中点连线是指连接线段的中点与其他点生成新的线段。

利用线段的延长线和中点连线，可以解决等分线段、共线点等题目。

六、线段的角关系1. 垂直线段：当两条线段的交角为直角时，称其为垂直线段。

直角线段的特点是相互垂直，即两条直角线段的斜率的乘积为-1。

2. 平行线段：当两条线段的交角为零度时，称其为平行线段。

平行线段的特点是两条线段的斜率相等。

3. 倾斜线段：当两条线段既不是垂直线段，也不是平行线段时，称其为倾斜线段。

线段和的最小值问题(初三复习课)

E`（3，-1） F`（-1，2） BE`=3 E`F`=5 BF`=4 EF=
5
四边形MNFE周长最小值为 5 5
3 2 18 5．如图，抛物线 y 5 x 5 x 3 和y轴的交点为A，M为
OA的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标．
两点一线 A、B是两定点 P、Q在直线l 上运动求AP+BQ最小确定P、Q的位置
A、B两定点 P在直线l 上运动求AP+BP最小确定P的位置
A
P A’ B
l
例1：（2010天津）在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. （Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
一、回归教材，举一反三。二、题型归类，触类旁通。三、及时反思，总结方法。
教材中哪些结论与线段长度最短有关？一、两点之间，线段最短。二、连结直线外一点和直线上所有点的线段中，垂线段最短。
如图，要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向A， B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在 l 上找几个点试一试，能发现什么规律？
D O P C
B
C
B
2. （温州中考）如图，AB是⊙O的直径，AB=2，OC ⌒ ⌒ ⌒ 是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在AC上,AD=2CD，点P 是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值是 3 .

中考专题复习-----线段和差地最大值与最小值

中考专题------线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：m m BmABm（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型nmnmnnnm变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动m nmnmnm点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：mmmm过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

（2）点A、B在直线m同侧：练习题QQ1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR周长的最小值为．2、如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为．3、如图，在锐角三角形ABC 中，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少？4、如图4所示，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM 的最小值为 .Q5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC 上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC 上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2(B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC 绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；A（1）点A、B在直线m同侧：AB解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。

最新线段和最小值问题中考题型总结

线段和最小值问题整理

初三数学两之间线段最短求最值四大类型

初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)

2024年中考数学二轮专题复习：+复习线段和差的最大值与最小值(拔高)

中考几何中“线段和的最小值与定值”问题

2024年中考复习-11 几何图形中求线段,线段和,面积等最值问题(4题型)(解析版)

中考数学 考点系统复习 第七章 作图与图形变换 微专题(五) 利用“两点之间,线段最短”求最值

专题线段和最小值问题

中考数学专题复习——线段和差的最小值问题1

中考压轴题分类专题二《线段和差的最值问题》

中考几何图形中求线段最小值问题思路整理,线段最小值问题归纳

中考线段最小值问题四种常见解法

求线段最小值方法总结

初中数学线段题型总结归纳

线段和的最小值问题(初三复习课)

中考专题复习-----线段和差地最大值与最小值

中考数学考点系统复习第七章作图与图形变换微专题(五) 利用“两点之间,线段最短”求最值