计算机图形学 曲线和曲面 算法

5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = [x(t ) = t y ( t ) z ( t )] = T * M B * G B −1 3 − 3 3 −6 3 t 1 * − 3 3 0 0 0 1 1 P 1 P 0 2 * 0 P3 0 P4
G1 g1x G g 2x G = 2 = G3 g 3 x G4 g 4 x g1 y g2 y g3 y g4 y g1z g2z g3z g4z
Q(t ) = [x(t )
G1 g1 x G g 2x G = 2 = G 3 g 3 x G 4 g 4 x
y (t ) z (t )] = t 3
g1 y g2 y g3 y g4 y g1 z g2z g3z g4z
[
t2
m11 m t 1 21 m31 m41
]
m12 m22 m32 m42
m13 m23 m33 m43
m14 G1 m24 G2 m34 G3 m44 G4
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = T * M H * GH = T * M H * ( M HB * GB ) = T * ( M H * M HB ) * GB = T * M B * GB
M B = M H * M HB −1 3 − 3 3 −6 3 = − 3 3 0 0 0 1 1 0 0 0
如何确定曲线的约束条件
Q(t ) = [x(t ) y ( t ) z ( t )] = T * C
拆分 C = M * G
G 为四个元素的几何约束行向量矩阵
M 为基矩阵
m11 m 21 m31 m41 m12 m22 m32 m42 m13 m23 m33 m43 m14 m24 m34 m44
3 2
0 ≤ t ≤1
令 T = [t 3
ax b x C= cx d x ay by cy dy
t2
t 1
]
则系数矩阵 曲线 x(t) = axt3 +bxt 2 + cxt + dx
y(t) = ayt3 +byt 2 + cyt + dy z(t) = azt3 +bzt 2 + czt + dz 0 ≤ t ≤1
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
G B = [P1 P2 P3
1 0 = − 3 0
P4 ]
0
T
R1 = Q' (0) = 3( P2 − P ) R4 = Q ' (1) = 3( P4 − P3 ) 1
GH = [P 1
P2
R1
R4 ]
T
0 P 1 0 0 1 P2 = M HB * GB 3 0 0 P3 0 − 3 3 P4 0
曲线是几何矩阵中约束元素的加权和。每个权 曲线是几何矩阵中约束元素的加权和。 的三次多项式，称为调和函数, 都是关于 t 的三次多项式，称为调和函数,记 为
B =T *M
于是
Q (t ) = B * G
5.1.2 Hermite 曲线
由端点P1、P4和端点处切向量R1、R4的约束确 由端点P 和端点处切向量R 定 ，其几何矩阵为
x ' ( t ) = 3t 2
x ( 0 ) = P1 x = [ 0
0 1
0 1
1 ]* M
1] * M
H H
* G Hx * G Hx
x ' ( 0 ) = R 1 x = [0 x ' (1) = R 4 x = [3
[
2t 1 0 * M H * G Hx
]
0 2
1 1
0 ]* M
0 ]* M
P1
P4
P4点切向量R4，每条曲线的大小方向 都相同； P1点的切向量R1的方向相 同，大小不同。R1越大，曲线越高
两段Hermite曲线 两段Hermite曲线 Hermite
G1
连续
P4 P 1 P P 4 and 7 kR4 R1 R4 R7
高次函数一般有三种表示方法
直接将y 表示成x 直接将y和z表示成x的显函数 y = f(x), z = g(x) f(x,y,z) = 0 的隐式方程 曲线的参数表示 x = x(t) ，y = y(t), z = z(t)
为什么参数曲线次数为3 为什么参数曲线次数为3？
低于三次的函数控制曲线形状时不够灵活， 低于三次的函数控制曲线形状时不够灵活，高 于三次的曲线会增加不必要的摆动其增加计算 量。
5.1.4 B样条曲线 B样条曲线
B样条通常用m +1个控制点 样条通常用m +1个控制点 （P0、P1、…Pm）产生m-2个曲线段 P 产生m 3。 (Q3、Q4、…Qm), m >= 3。 Q 样条曲线一般不过控制点。 B样条曲线一般不过控制点。
三次参数曲线是三维空间中次数最低的 非平面曲线。 非平面曲线。 高于3 高于3次的曲线还是有应用的
5.1.1 3次参数曲线的基本特征 3次参数曲线的基本特征
Q(t ) = [x(t )
3
y ( t ) z ( t )]
2
T
x(t ) = a x t + bx t + c x t + d x y (t ) = a y t 3 + b y t 2 + c y t + d y z (t ) = a z t + bz t + c z t + d z
3 2 2
P = [2t
2
[
3
− 3t + 9t + 17, 3t − 3t − 3t + 5
2 3 2
]
]
曲线与约束的关系
曲线段可以用端点、切向量和曲线段之间的连 曲线段可以用端点、 续性等约束条件来定义 两个端点和两端点处的切向量定义Hermite Hermite曲 两个端点和两端点处的切向量定义Hermite曲 线； 两个端点和另外两个控制端点切向量的点定义 Bezier曲线 曲线； 的Bezier曲线； 由四个控制顶点定义的样条曲线。 由四个控制顶点定义的样条曲线。
−2 3 0 0 1 −2 1 0 1 − 1 0 0
M
H
2 − 3 = 0 1
Q(t ) = [x(t )
y ( t ) z ( t )] = T * M H * G H = t 3
[
t2
1 P 2 −2 1 1 − 3 3 − 2 − 1 P * 4 t 1 0 0 1 0 R1 1 0 0 0 R4
[
3
t
2
]
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = (1 − t )3 P + 3t (1 − t ) 2 P2 + 3t 2 (1 − t ) P3 + t 3 P4 1
BB = (1 − t )3 3t (1 − t )2
[
3t 2 (1 − t ) t 3
]
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
az bz cz dz
写成
Q (t ) = [ x (t )
y ( t ) z ( t )] = T * C
曲线的导数表示曲线的切向量
d d Q(t ) = Q' (t ) = (T * C ) dt dt = 3t
[
2
2t 1 0 * C
]
曲线段之间的连续性
几何连续G 与参数连续C 几何连续Gi 与参数连续Ci 连续(C 两条曲线段拼接成一条曲线。 G0 连续(C0)：两条曲线段拼接成一条曲线。 G1连续： 两条曲线段拼接点处切向量方向相 连续： 若相等（方向、大小）－ ）－C 同。若相等（方向、大小）－C1 连续： Gｎ连续：两条曲线段拼接点处切向量的阶导 数方向相同。 数方向相同。 n阶导数相等 －Cn
H H
* G Hx * G Hx
P 0 1 P 1 2 = G = Hx P3 0 3 P4 x
0 1 = 0 3 0 1 0 2 0 1 1 1
0 1 0 2
1 1 0 0
−1
0 1 1 1
1 1 * M H * GHx 0 0
R1和R4的方向可直观 R1和R4的方向可直观 看出， 看出，便于控制曲线 形状。 形状。 两段Bezier曲线， Bezier曲线 两段Bezier曲线，当 P4 – P3 = k(P5 - P4) 时（三点相异且共 线）， k >0 端点连 接处是连续的。 接处是连续的。如果 ,则连续 则连续。 k = 1 ,则连续。
x (t ) = T * M * G 展开
x(t ) = (t 3m11 + t 2m21 + tm31 + m41 )g1x + (t 3m12 + t 2m22 + tm32 + m42 )g2 x + (t 3m13 + t 2m23 + tm33 + m43 )g3x + (t 3m14 + t 2m24 + tm34 + m44 )g4 x
k >0
绘图过程 给定两个端点和端点处切向量，利用M 给定两个端点和端点处切向量，利用M矩 1，计算中间点P 阵, t = 0 : step : 1，计算中间点P， 依次连线, 依次连线, 构成最后曲线
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
通过给定两个不在曲 线上的中间点来间接 地确定端点切向量
曲线和曲面的表示
西安电子科技大学 计算机学院
5.1 三次参数曲线
曲线和曲面可以用折线和多边形进行一次线性 逼近，为了达到一定精度， 逼近，为了达到一定精度，需要生成和存储大 量的顶点坐标，数据的交互繁琐。 量的顶点坐标，数据的交互繁琐。 所以，一般使用结构更紧凑、 所以，一般使用结构更紧凑、更易于控制的分 段光滑曲线（曲面）表示－ 段光滑曲线（曲面）表示－比线性更高次的函 存储空间更少，更易于控制。 数，存储空间更少，更易于控制。
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
曲线段一定落在P1、P2、P3、P4定义的凸多边 曲线段一定落在P1、P2、P3、P4定义的凸多边 P1 凸壳） 形（凸壳）内。 如果调和函数非负且其和为1 如果调和函数非负且其和为1，且三次曲线对 所有控制点做加权求和而定义， 所有控制点做加权求和而定义，凸壳特性对曲 线成立。 线成立。 给定四个控制点P1(0,0,0) P1(0,0,0)、 1)、 给定四个控制点P1(0,0,0)、P2(1, 1, 1)、 P3(2,-1,-1)、P4(3,0,0)，构造Bezier曲线， Bezier曲线 P3(2,-1,-1)、P4(3,0,0)，构造Bezier曲线， 并计算t 1/3， 2/3处的 并计算t = 0 , t = 1, t = 1/3，t= 2/3处的 值。
p2 p1
Q1 Q2 Q3 Q1、Q2有C1和G1 、 有 连续， 、 只 连续，Q1、Q3只 有G1连续
p0
例2：证明如下的两条三次曲线段达到 2 ：证明如下的两条三次曲线段达到C 连续，并画出两条曲线段。 连续，并画出两条曲线段。
P1 = − 2 t + 3t + 9 t + 7, − 3t + 3t + 5
GH = [P1
G Hx = [P1
P4
R1
R
T 4 x
]
x(t) =axt +bxt +cxt +dx =T*Cx =T*MH *GHx = t t t 1*MH *GHx
3 2 3 2
[
]
t = 0、代入，得到其P x、P4 x约束： 1 1
x (1 ) = P4 x = [ 1
]
Q ( t ) = BH * G H = ( 2t 3 − 3t 2 + 1) P + ( −2t 3 + 3t 2 ) P4 + (t 3 − 2t 2 + t ) R1 + (t 3 − t 2 ) R4 1
Hermite 曲线完全 插值控制点（ 插值控制点（2个， P1、P4）。 ）。切向量对 P1、P4）。切向量对 曲线的影响如图 两段Hermite Hermite连接连 两段Hermite连接连 续，可以轻易实现连 续。