计算机图形学--第十一讲 Bezier曲线

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bezier曲线绘制算法

摘要：

1.贝塞尔曲线简介

2.贝塞尔曲线的计算方法

3.贝塞尔曲线的应用

4.贝塞尔曲线的优缺点

正文：

贝塞尔曲线是一种以四个控制点定义的平滑曲线，它具有很好的局部性和全球性，广泛应用于计算机图形学、动画设计等领域。

计算贝塞尔曲线的方法有多种，其中比较常见的是使用de Casteljau 算法。该算法通过计算两个分段贝塞尔曲线的交点，来求解原始贝塞尔曲线上的点。具体来说，假设我们有四个控制点A、B、C、D，我们首先计算出AB、BC 两条线段的贝塞尔曲线，然后求解这两条贝塞尔曲线的交点P，接着以P 为控制点，计算出PB、PC 两条线段的贝塞尔曲线，最后求解这两条贝塞尔曲线与AC 的交点，该交点即为所求的贝塞尔曲线上的点。

贝塞尔曲线的应用非常广泛，例如在计算机图形学中，它可以用于绘制任意形状的曲线，还可以用于控制物体的动画运动路径；在计算机辅助设计中，它可以用于精确控制设计曲线的形状，提高设计的准确性和效率。

贝塞尔曲线的优点在于其具有很好的局部性和全球性，可以很好地描述出各种复杂的曲线形状。同时，贝塞尔曲线的计算方法相对简单，易于实现和控制。然而，贝塞尔曲线也存在一些缺点，例如其计算过程中需要处理复杂的数

学运算，对计算机的计算能力有一定的要求。此外，贝塞尔曲线的控制点数量较多，调整起来比较麻烦，需要一定的技巧和经验。

总的来说，贝塞尔曲线是一种重要的曲线描述方法，其在计算机图形学、动画设计等领域有着广泛的应用。

bezier 曲线拟合算法

贝塞尔曲线（Bezier Curve）是一种数学曲线，常用于图形设计和计算机图形学中的曲线拟合。贝塞尔曲线可以通过控制点来描述曲线的形状。

在曲线拟合中，常用的一种算法是贝塞尔曲线拟合算法，其基本想是通过调整控制点的位置来逼近给定的数据点集合。

以下是一个简单的贝塞尔曲线拟合算法的步骤：

1.给定一组数据点集合，这些点将成为贝塞尔曲线要拟合的目标。

2.选起始控制点和结束控制点，这两个控制点定义了曲线的起始和

结束位置。

3.根据需求选择其他控制点的数量，每个控制点都会对曲线形状产

生影响。

4.根据控制点的位置，使用贝塞尔曲线公式计算出曲线上的各个点。

5.使用某种误差度量方法（例如最小二乘法），将拟合曲线与原始数

据点进行比较，并调整控制点的位置以减小误差。

6.重复步骤4和步骤5，直至达到满意的拟合效果或收敛。

需要注意的是，贝塞尔曲线拟合算法的具体实现方式可能因应用环境和需求而有所差异，这里只是提供了一种基本的算法框架。在实际应用中，您可以根据具体情况进行调整和优化。

同时，还有其他的曲线拟合算法，如多项式拟合、样条曲线等，您也可以根据自己的需求选择适合的算法。

3D计算机图形学重点知识

第一章：

1、什么是右手规则？（P4）

答：使右手拇指与食指展开成L形状，使右拇指指向x轴的正向，食指指向y 轴的正向，那么手掌向z轴的正向。

2、请解释图1.11生成两个圆环的不同方法？进一步思考面可以由什么基本形状组成？（P9）

答：第一个圆环面是用围绕该圆环面的多个四边形条带生成的，16个这样的条带组合做成整个圆环面。第二个圆环面是用单一的长四边形条类似一条带围绕该圆环面所生成的。由此例可知：面可以由四边形和三角形两种基本形状构成。3、为什么要采用背面和正面，可以应用在何处，请给出实例。（P11）

答：在某些情况下，我们只希望多边形的正面为可见的，但在其他时候，我们可能要求不论正面还是背面均为可见的。采用背面和正面，可以增加画面生成的真实感。例如：要使一个物体变成透明的，我们就可以通过设定背面为不可见来实现。

第二章

1、解释OpenGL绘制的四个阶段。（P15）

答：建模（通过仿射变换，创建显示场景的三维模型。）——视线选择（通过正射投影和透视变换，设置摄像机的位置和方向，确定视图区的范围，进而控制观察三维模型的视线。）——透视相除（将齐次坐标转换回一般的x、y、z坐标系）——显示（将场景绘制在计算机屏幕或其他显示媒介。）

2、什么是线性变换？平移变换？仿射变换？（P17）

答：◆仅当以下两个条件得到满足，变换A称为一个线性变换。

（1）对于所有的α∈R及x∈ R2，有A(αx)= αA(x)；

（2）对于所有的x ，y ∈ R2，有A(x+y)= A(x) + A(y)。

◆若对于任意x ∈ R2，存在一个恒定的向量u ∈ R2，使得A满足A(x)= x+u，则称变换A是平移变换。

计算机图形学实验报告-实验3Bezier曲线

计算机图形学实验报告

班级计算机工硕班

学号 2011220456

姓名王泽晶

实验三:Bezier 曲线

实验目的：通过本次试验，学生可以掌握Bezier 曲线的求值、升阶算法及Bezier 曲线绘制方法。

实验内容：

1. 绘制控制多边形（使用鼠标左键指定多边形顶点，右键结束），使用白色折线段表示。

2. 绘制Bezier 曲线，使用红色，线宽为2，在右键结束控制多边形顶点指定时即执行。

Bezier 曲线是一种广泛应用于外形设计的参数曲线，它通过对一些特定点的控制来控制曲线的形状，我们称这些点为控制顶点。现在我们来给出Bezier 曲线的数学表达式。

在空间给定1n +个点012,,,,n P P P P ，称下列参数曲线为n 次Bezier 曲线：

,0()(),01

i i n i P t P B t

t ==≤≤∑ 其中,()i n B t 是Bernstein 基函数，其表达式为：

,!()(1)!()!i n i

i n n B t t t i n i -=--，接着我们讨论3次Bezier 曲线，我们也采用将表达式改写为矩阵形式的方法，我们得到：

3303!()(1)!(3)!i i i

i P t P t t i i -==--∑32230123(1)3(1)3(1)t P t t P t t P t P =-+-+-+

01323232323331,363,33,P P t t t t t t t t t P P ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦

01322313313630,,,13300100

n次bezier曲线的数学表达式

n次Bezier曲线是计算机图形学和计算机辅助设计中常见的一种曲线表示方法，它可以用来描述平滑的曲线轨迹。它的数学表达式可以通过一些简单的数学运算来得到，下面我们将详细介绍n次Bezier曲线的数学表达式。

1. 一次Bezier曲线的数学表达式

假设有两个控制点P0和P1，那么一次Bezier曲线的数学表达式为：B(t) = (1-t) * P0 + t * P1, 0 <= t <= 1

2. 二次Bezier曲线的数学表达式

假设有三个控制点P0、P1和P2，那么二次Bezier曲线的数学表达式为：

B(t) = (1-t)^2 * P0 + 2 * t * (1-t) * P1 + t^2 * P2, 0 <= t <= 1

3. 三次Bezier曲线的数学表达式

假设有四个控制点P0、P1、P2和P3，那么三次Bezier曲线的数学表达式为：

B(t) = (1-t)^3 * P0 + 3 * t * (1-t)^2 * P1 + 3 * t^2 * (1-t) * P2 + t^3 * P3, 0 <= t <= 1

4. 一般情况下的n次Bezier曲线的数学表达式

对于一般情况下的n次Bezier曲线，其数学表达式可以通过递归的方式来计算，具体而言，它的数学表达式为：

B(t) = Σ(i=0, n) C(n, i) * (1-t)^(n-i) * t^i * Pi, 0 <= t <= 1

其中，C(n, i)表示组合数，其计算公式为：

C(n, i) = n! / (i! * (n-i)!)

Catia-V5-曲线曲面理论基础详解

5
Catia曲线曲面造型的几何理论基础
最简单的参数曲线是直线段,端点为P1、P2的直线段参数方程可表示为: P(t) = P1 + ( P2 - P1 )t
y 1 x2
t ∈[0, 1]；
圆在计算机图形学中应用十分广泛,其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为:
0 x 1
其参数形式可表示为:
CATIA曲线曲面造型的几何理论基础
主要参考资料： 1，最经典CATIA曲线曲面设计基本理论 2，3D计算机图形学（原书第三版）作者：复旦托业CAD培训中心作者：（英）Alan Watt CAD/CAM技术基础包宏译作者：来自百度文库
1
3，第十一讲：非均匀有理B样条曲线和曲面
Catia曲线曲面造型的几何理论基础
2 代入(1-1)得: P' (1) Q' ' (0) P' (1) P' ' (1)
0 ……(1-1)
Q(0) 2 P(1) P(1) …………(1-3) 即 Q' ' (0) 在 P' ' (1) 和 P ' (1) 确定的平面内。β 为任意常数。当 1, 0 时,G2连续就成为C2连续。在
4
Catia曲线曲面造型的几何理论基础
曲线、曲面的显式、隐式、参数表示

第10部分计算机图形学Bezier曲线

第10部分 Bezier曲线
Bezier曲线的递推算法

需求
– 计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。

基本递推算法
– 抛物线三切线定理
1 2 1 P0 P01 P P P 0P 0 1 1 1 2 1 P01 P P P P 1 1 2 0 P 1
第10部分 Bezier曲线第15页
5.
变差缩减性
–
–
1/18/2019
Bezier曲线的矩阵表示
1 1 P0 C (t ) t 1 P 1 0 1
一次
1 3 3 3 6 3 t 1 3 3 0 0 0 1
C (t ) t 2
Bezier曲线
Ray
ray@mail.buct.edu.cn
1/18/2019
李辉副教授
内容

Bezier 曲线历史 Bezier 曲线的定义 Bernstein基函数的性质 Bezier 曲线的性质 Bezier 曲线的递推算法 Bezier 曲线的拼接 Bezier 曲线的升阶和降阶
Pi Pi k k 1 k 1 ( 1 t ) P tP i i 1 k 0 k ห้องสมุดไป่ตู้,2,..., n i 0,1,..., n k

课件计算机图形学贝塞尔曲线及B样条

顶点用于定义曲线的阶次和形状，
如n+1个顶点定义n次多项式。
下图中4个顶点定义一个唯一的三次贝塞尔曲线。
3 曲线的形状趋向于多边形折线的形状，若改变顶点则改变
曲线形状，因此它被用于外形设计。
4 特征多边形的第一条边和最后一条边表示出起点和终点的
切线方向。
贝塞尔曲线的例子：
顶点
多边形折线（特征多边形）
使用不灵活。如3顶点则2次，4顶点则3次。
p(t )
பைடு நூலகம்
(1t)2
p 0
2t(1 t)
p 1
t
2
p 2
(0
t
1)
p(t) (1 t)3 p0 3t(1 t)2 p1 3t 2 (1 t) p2 t3 p3
2 当顶点数m较大时，曲线的阶次将比较高，多边形对曲线形状的控制将大为减弱。
3 改变任意顶点的位置将会对整条曲线产生影响，
三次参数曲线
参数样条曲线贝塞尔曲线
B 计算方法 B 样条曲线
有理 B 样条方法
非均匀有理 B 样条曲线 (NURBS)
（三）使用计算机进行辅助设计的工作
三次参数样条曲线: 过型值点，不方便。 Beizier曲线:不过点，调整方便，但次数高，不能局部调整。 B样条曲线 :不过点，调整方便，可以进行局部调整。非均匀有理:不过点，调整方便，可以进行局部调整。通过

计算机图形学曲线

2. 4
三次Bezier曲线的拼接
三次Bezier曲线曲线的拼接，工程上经常采用分段绘制三次 Bezier曲线，然后将分段的Bezier曲线连接起来，形成Bezier 样条曲线。设有两条Bezier曲线Q1(t)和Q2(t)，其特征多边形顶点分别为：Ｐ1、Ｐ2、Ｐ3、Ｐ4和R1、R2、R3、R4，如图。
3 2
1 3 3 3 6 3 Pt t 3 t 2 t 1 0 3 3 0 0 1

1 P0 0 P1 0 P2 0 P3
（1）一次Bezier曲线
一次Bezier曲线由两个控制顶点确定，此时，相应的曲线表达式为
2.1 Bezier曲线定义
在空间给定n+1个控制顶点Pi(i=0,1,…,n)，称下列参数曲线为n次Bezier曲线。
P(t ) Pi Bi ,n (t )
i 0
n
(0 t 1)
n i i
Bi , n t C 1 t t
i n
0 t 1
n! C i!n i !
A2 x 3(p1x p 0 x ) 2p0 x p x 1 A3 x 2(p0x p 1 x ) p x p x 0 1
A2 y 3(p1 y p 0 y ) 2p y p y 0 1 A3 y 2(p0 y p 1 y ) p y p y 0 1

bezier曲线算法

摘要：

一、贝塞尔曲线算法概述

1.贝塞尔曲线的定义

2.贝塞尔曲线在计算机图形学中的应用

二、贝塞尔曲线算法的原理

1.伯恩哈德·兰伯特·贝塞尔方程

2.控制点和结束点的关系

3.细分方法

三、常见的贝塞尔曲线算法

1.线性插值法

2.二次插值法

3.三次插值法（de Casteljau 算法）

四、贝塞尔曲线算法的应用实例

1.绘制简单的贝塞尔曲线

2.使用贝塞尔曲线绘制复杂图形

五、贝塞尔曲线算法的优化

1.减少计算量

2.提高精度

正文：

贝塞尔曲线算法是一种在计算机图形学中广泛应用的数学方法，它能够根

据给定的控制点和结束点，生成平滑的曲线。这种算法基于伯恩哈德·兰伯特·贝塞尔方程，通过细分方法，可以得到精确的曲线。

贝塞尔曲线是由三个点（控制点）和两个结束点组成的，其中控制点和结束点的关系可以通过伯恩哈德·兰伯特·贝塞尔方程来描述。在计算过程中，首先需要根据控制点和结束点计算出曲线的中间点，然后通过细分方法，将曲线分为两段，继续计算每一段的控制点和结束点，直到达到所需的精度。

在计算机图形学中，贝塞尔曲线算法被广泛应用于绘制复杂的图形和动画。例如，可以利用贝塞尔曲线绘制平滑的曲线、折线、多边形等。此外，该算法还可以用于生成纹理、阴影等视觉效果。

常见的贝塞尔曲线算法包括线性插值法、二次插值法和三次插值法（de Casteljau 算法）。线性插值法是一种简单的方法，但是生成的曲线精度较低；二次插值法可以提高精度，但是计算量较大；而三次插值法（de Casteljau 算法）则在精度和计算量之间取得了较好的平衡。

bezier曲线表达式

贝塞尔曲线（Bezier Curve）是一种常用的数学曲线，用于计算机图形学和动画制作等领域。贝塞尔曲线可以使用参数形式表示，也可以使用矢量表示。

贝塞尔曲线的矢量表示形式是：P(t) = ∑_{i=0}^{n} B_{i,n}(t) * P_i其中，P(t)表示曲线上的点，B_{i,n}(t)是贝塞尔基函数，P_i 是控制点。n表示控制点的个数，t是一个参数，取值范围是[0,1]。

对于2次贝塞尔曲线，其基函数为：B_{0,2}(t) = 1-t^2, B_{1,2}(t) = 2t*(1-t), B_{2,2}(t) = t^2在参数t=0时，曲线起点为P_0；在参数t=1时，曲线终点为P_2。

对于3次贝塞尔曲线，其基函数为：B_{0,3}(t) = 1-t^3, B_{1,3}(t) = 3t*(1-t)^2, B_{2,3}(t) = 3t^2*(1-t), B_{3,3}(t) = t^3在参数t=0时，曲线起点为P_0；在参数t=1时，曲线终点为P_3。

对于更高次的贝塞尔曲线，其基函数可以递推得到。

此外，贝塞尔曲线的参数形式表示为：C(t) = ∑_{i=0}^{n} C_i * t^i其中，C_i是控制点，t是一个参数，取值范围是[0,1]。该公式可用于绘制贝塞尔曲线。

Bezier曲线曲面的拼接

Bezier曲线曲面是一种常见的计算机图形学中的曲线曲面构造

方法。其原理是通过数学公式来描述一个点集合的形状。在实际应

用中，我们通常需要根据实际需求来构造或者拼接Bezier曲线曲面。本文将着重介绍Bezier曲线曲面的拼接方法。

一、Bezier曲线曲面的构造

Bezier曲线曲面的构造方法很简单，只需要给定点的坐标和曲

线方程即可。其中，点的坐标用于描述曲线上的控制点位置，而曲

线方程则用于描述控制点间的线段的形状。

对于一条Bezier曲线，它的方程可以表示为：

$$P(u)=\\sum_{i=0}^{n}B_i^n(u)P_i$$

其中，$n$代表控制点的数量，$P_i$表示第$i$个控制点的坐标，$B_i^n(u)$是权重多项式，它可以通过如下公式计算：

$$B_i^n(u)={n\\choose i}u^i(1-u)^{n-i}$$

这个公式包含两个部分。第一部分是二项式系数

$C_n^i={n\\choose i}$，它描述的是从$n$个点中选取$i$个点的组

合数。第二部分是$u^i(1-u)^{n-i}$，它描述的是每个控制点在曲

线上占据的位置和弧长。通过这两部分的组合，我们可以得到一个

平滑连续的Bezier曲线。

对于一条Bezier曲面，它的方程可以表示为：

$$P(u,v)=\\sum_{i=0}^{n}\\sum_{j=0}^{m}B_i^n(u)B_j^m(v)

P_{ij}$$

其中，$n$和$m$分别代表控制点的数量，$P_{ij}$表示第$i$行，第$j$列的控制点的坐标。这个方程就是通过控制点的二维数组来描

bezier bezier曲线、b-样条生成原理

贝塞尔曲线（Bezier Curve）和B样条（B-Spline）是计算机图形学中常用的两种曲线生成方法，它们在图形设计、动画制作、CAD软件等领域被广泛应用。本文将从贝塞尔曲线和B样条的生成原理入手，深入探讨它们的内在机制和应用。

一、贝塞尔曲线的生成原理

贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年在汽车工业中首次引入的曲线生成方法。其生成原理基于一组控制点来描述曲线的形状，这组控制点通过线性插值的方式来确定曲线的路径。贝塞尔曲线的生成过程可以简要描述如下：

1. 定义控制点：从给定的控制点集合中选择若干个点作为曲线的控制点。

2. 插值计算：根据控制点的位置和权重，通过插值计算得到曲线上的点。

3. 曲线绘制：利用插值计算得到的曲线上的点，进行绘制来呈现出贝塞尔曲线的形状。

在具体应用中，贝塞尔曲线的生成可以通过线性插值、二次插值和三次插值等不同插值方式来实现，其中三次插值的贝塞尔曲线应用最为

广泛，其生成原理更为复杂，但也更为灵活。

二、B样条的生成原理

B样条（B-Spline）是另一种常用的曲线生成方法，在实际应用中具

有一定的优势。B样条的生成原理与贝塞尔曲线不同，它是基于多项

式函数的分段插值来描述曲线的形状。B样条的生成过程可以简要描

述如下：

1. 定义控制点和节点向量：B样条需要定义一组控制点和一组节点向

量（Knot Vector）来描述曲线的形状。

2. 基函数计算：根据节点向量和控制点，计算出关联的基函数（Basis Function）。

3. 曲线计算：利用基函数和控制点的权重，通过计算得到曲线上的点。

计算机图形学PPT-B样条曲线性质及类型划分

2、变差缩减性：设平面内 n+1 个控制顶点构成B样条曲线 P(t) 的特征多边形。在该平面内的任意一条直线与 P(t) 的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数
3、几何不变性： B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关
4、凸包性：
B样条曲线落在Pi构成的凸包之中。其凸包区域小于或等于同一组控制顶点定义的Bezier曲线凸包区域
u 2
B 0,2 ( u )
3 2
u
B 1,2 ( u
1)
1
2 1
u2
2 1
2
u(2 u ) ( 3 u )2
1 2
(u
1 )( 3
u)
1
2 1
(u
1)2
B 1,3 ( u)
2 1
2
(u (4
1 )( 3 u)2
u
)
1 ( u 2 )( 4 u ) 2
0 u 1 1 u 2 2 u3
B 0 ,1 ( u )
1
0
0 u 1 其它
u ( 0 ,1,2 ,3,4 ,5 ,6 )
B 0 ,2 ( u ) uB 0 ,1 ( u ) ( 2 u ) B1,1 ( u ) uB 0 ,1 ( u ) ( 2 u ) B1,1 ( u )
2
u
u
0u1 1u2

bezier曲线代码实现

一、什么是贝塞尔曲线？

贝塞尔曲线是一种数学曲线，它使用一组控制点来定义一条曲线。它在计算机图形学、汽车设计和电子游戏等领域得到了广泛的应用。

二、贝塞尔曲线的类型

1. 二次贝塞尔曲线：由三个点定义，包括起始点、控制点和结束点。

2. 三次贝塞尔曲线：由四个点定义，包括起始点、两个控制点和结束点。

三、贝塞尔曲线的实现

1. 二次贝塞尔曲线的实现：

```python

import pygame

def quadratic_bezier(points, num_divisions):

x0, y0 = points[0]

x1, y1 = points[1]

x2, y2 = points[2]

for i in range(num_divisions):

t = i / num_divisions

x = (1 - t)**2 * x0 + 2 * (1 - t) * t * x1 + t**2 * x2

y = (1 - t)**2 * y0 + 2 * (1 - t) * t * y1 + t**2 * y2

pygame.draw.line(screen, (255, 255, 255), (x, y), (x, y))

```

2. 三次贝塞尔曲线的实现：

```python

import pygame

def cubic_bezier(points, num_divisions):

x0, y0 = points[0]

x1, y1 = points[1]

x2, y2 = points[2]

bezier 曲线的曲面拟合

一、Bezier曲线

Bezier曲线是一种基本的几何曲线，它是由法国的科学家法国人Pierre Bezier于1962年提出的，在计算机图形学中应用广泛，在大多数绘图软件中都有它的实现。实际上，Bezier曲线是一种由控制点和贝塞尔曲线段组成的平滑曲线，这些贝塞尔曲线段可以连接构成一条实现的曲线段。

Bezier曲线的定义如下：用n+1个控制点P0，P1，...Pn确定唯一的n阶Bezier曲线，该曲线由n个(n>=2)Bezier曲线段组成，它的路径方程为：

B(t) = sum(Pi* Bn,i(t) (i=0,1,...n)

其中Bn,i (t)为贝塞尔基函数：

Bn，i (t)= C(n,i)*t^i*(1-t)^(n-i) (i=0,1...n) 其中C(n,i) 为组合数：

C(n,i) = n!/(i!*(n-i)!)

Bezier曲线具有一定的优势：

（1）Bezier曲线的计算量不多，而且计算量固定，从它的定义式可以看出，Bezier曲线的计算量只和控制点的数量有关，和区间长度无关；

（2）Bezier曲线的计算公式是一种确定的公式，易于推导，即使在变换空间中也能简单的求解；

（3）Bezier曲线的优点在于曲线的表示力强，它不仅能准确描

述曲线上的每一点，而且能模拟出椭圆、圆弧、抛物线、双曲线等复杂的曲线。

二、Bezier曲面

Bezier曲面是基于Bezier曲线构建的一种曲面，与Bezier曲线相比，Bezier曲面有更大的表示能力，能代表更复杂的曲面，该方法在计算机图形学中应用广泛，特别是在汽车设计、航空航天、产品建模、工业设计、船舶设计等行业非常流行。