计算机图形学_曲线的生成

Bezier曲线通过特征多边形的起点和终点。 曲线通过特征多边形的起点和终点。 曲线通过特征多边形的起点和终点
Q (t ) = n∑ ( Pi − pi − 1) Bi − 1, n − 1(t )
' i =1
n
在起始点， ， 其余项均为0，故有： 在起始点，t=0，B0,n-1(0)=1,其余项均为 ，故有： 其余项均为
Chap 7
曲线的生成
7.1. 规则曲线的生成
所谓规则曲线就是一条可以用标准代数方程来描 述的曲线。 述的曲线。 例如，在平面直角坐标系内，如果一条曲线上的 例如，在平面直角坐标系内， 点都能满足符合某种条件， 点都能满足符合某种条件，而满足该条件的点又均位于 这条曲线上， 这条曲线上，那么我们就可以把这种对应关系写成一个 确定的函数式： 确定的函数式： y = f (x) 这个函数式就称为曲线的方程；同样， 这个函数式就称为曲线的方程；同样，该曲线即 为这个方程的曲线。 为这个方程的曲线。
7.2 自由曲线的生成
广义地讲，自由曲线是一条无法用标准代数方程类描述的曲线。 广义地讲，自由曲线是一条无法用标准代数方程类描述的曲线。 插值：给定一组有序的数据点 插值：给定一组有序的数据点Pi，i＝0，1，…，n，构造一条曲线顺 ＝ ， ， ， ， 序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值， 序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，搜构成的曲线称 为插值曲线。 为插值曲线。 逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点， 逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为 对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。 对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。 光顺：指曲线的拐点不能太多，光顺的条件是： 光顺：指曲线的拐点不能太多，光顺的条件是： ；（2） ；（3） （1）具有二阶几何连续；（ ）不存在多余的拐点和奇异点；（ ） ）具有二阶几何连续；（ 不存在多余的拐点和奇异点；（ 曲率变化较小。 曲率变化较小。 拟合：指用插值或逼近方法使生成的曲线、曲面达到某些设计要求。 拟合：指用插值或逼近方法使生成的曲线、曲面达到某些设计要求。
(2)参数方程曲线的生成
绘制用参数方程表示曲线在研究曲线性质和用计算 机绘制曲线时是很方便的。参数方程取如下形式： 机绘制曲线时是很方便的。参数方程取如下形式： x = f 1( t ) y = f 2( t )
参数在一定取值范围内变动即可算出曲线上一系列 点的纵横坐标，从而画出曲线。 点的纵横坐标，从而画出曲线。 画出曲线
2 ,3 3 ,3
称为三次Bezier曲线的调和函数。这四条曲线均是三次 曲线的调和函数。 称为三次 曲线的调和函数 曲线，形成Bezier曲线的一组基。任何三次 曲线的一组基。 曲线，形成 曲线的一组基 任何三次Bezier曲线 曲线 都是这四条曲线的线性组合。 都是这四条曲线的线性组合
p(t ) = t
P(t ) = [t 2
1 − 2 1 P0 t 1]− 2 2 0 P 1 1 0 0 P2
4、三次Bezier曲线： 、三次 曲线： 曲线
n=3，三次多项式，有四个控制点，则： ，三次多项式，有四个控制点， 其中
Q(t ) = ∑ PiBi ,3(t )
7.1.1 规则曲线绘制的基本原理
对曲线进行离散化处理， 对曲线进行离散化处理，把它们分割成很多 短的直线段， 短的直线段，用这些短的直线段组成的折线来逼 近曲线。 近曲线。 至于这些短的直线段取多长，则取决于图形 至于这些短的直线段取多长， 输出设备的精度和我们绘制的曲线所要求的精度， 输出设备的精度和我们绘制的曲线所要求的精度， 但我们所要求达到的精度不能逾越图形设备实际 所具有的精度。 所具有的精度。
三．Bezier曲线的拼接 曲线的拼接
为了保证分段参数曲线从一段到另一段平滑过渡， 为了保证分段参数曲线从一段到另一段平滑过渡，可以在连接点处 要求各种连续性条件。 要求各种连续性条件。 1、C0连续，可以简单的表示曲线相连，即如果两个曲线段具有一个 、 连续，可以简单的表示曲线相连， 公共的端点，那么这两个曲线段是连续的。 公共的端点，那么这两个曲线段是连续的。
7.2.2 Bezier 曲线 一、定义及其数学表示式
1、定义 给定空间n+1个点的位置矢量 i（i=0，1，2，…， 个点的位置矢量P 给定空间 个点的位置矢量 ， ， ， ， n），则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是： ），则 参数曲线上各点坐标的插值公式是： ）， 参数曲线上各点坐标的插值公式是
7.1.2 规则曲线绘制的基本方法
(1)函数 y = f (x) 曲线的生成
应给出自变量x的取值范围 绘制曲线 y = f (x) 时，应给出自变量 的取值范围 x1 增量Δ 和 x2 ，并选取适当的 x 增量Δx ，计算出曲线上一系列 相应的点的坐标，依次用直线连接即可画出曲线。 相应的点的坐标，依次用直线连接即可画出曲线。
7.2.1 曲线的表示要求
1)唯一性 2)几何不变性 3)易于定界 4)统一性 5)易于实现光滑连接 6)几何直观
7.2.2 基本定义
型值点： 型值点： 是指通过测量或者计算得到的曲线上少量描述曲线几何形状的 数据点。通常是求得一些型值点后，采用一定的数学方法， 数据点。通常是求得一些型值点后，采用一定的数学方法，建 立曲线的数学模型， 立曲线的数学模型，从而根据数学模型去获得曲线上每一点的 几何信息。 几何信息。 控制点： 控制点： 是指用来控制或调整曲线形状的特殊点， 是指用来控制或调整曲线形状的特殊点，曲线段本身不通过该 控制点。 控制点。
Bezier曲线在始点和终点处的切线方向与特征多边形的第一 曲线在始点ห้องสมุดไป่ตู้终点处的切线方向与特征多边形的第一 条边及最后一条边的走向一致。 条边及最后一条边的走向一致。
2、对称性 。 Bezier曲线形状相同，走向相反。即假如保持n次Bezier曲 、 Bezier曲线形状相同 走向相反。即假如保持n Bezier曲 曲线形状相同， 线诸顶点的位置不变，而把次序颠倒过来，即下标为的的点（Pi） 线诸顶点的位置不变，而把次序颠倒过来，即下标为的的点（Pi）改为下 标为n 的点（Pn- ），则此时曲线仍不变 只不过曲线的走向相反而已。 则此时曲线仍不变， 标为n-i的点（Pn-i），则此时曲线仍不变，只不过曲线的走向相反而已。 3、凸包性。Bezier曲线各点均应落在特征多边形各顶点构成的凸包（包 凸包性。Bezier曲线各点均应落在特征多边形各顶点构成的凸包（ 曲线各点均应落在特征多边形各顶点构成的凸包 含所有顶点的最小凸多边形）之中， 含所有顶点的最小凸多边形）之中，
7.2.2 基本定义
1.参数连续性 参数连续性 C0连续：曲线相连。 连续：曲线相连。 C1连续：指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的 连续： 一阶导数 C2连续：指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的 连续： 一阶导数和二阶导数 2.几何连续性 几何连续性 连续：两个曲线段在公共点处具有相同的坐标值。 G0连续：两个曲线段在公共点处具有相同的坐标值。 G1连续：指两个曲线段公共点处的一阶导数成比例。 连续：指两个曲线段公共点处的一阶导数成比例。 G2连续：指两个曲线段公共点处的一阶导数和二阶导数均成比 连续： 例。
i =0
3
= (1 − t ) 3 P 0 + 3t (1 − t ) 2 P1 + 3t 2 (1 − t ) P 2 + t 3 P 3
B B B
0 ,3
( t ) = (1 − t ) 3 ( t ) = 3 t 2 (1 − t ) (t ) = t 3
B 1 , 3 ( t ) = 3 t (1 − t ) 2
Q(0) = ∑ PiBi , n (0)
i =0
n
= P0 B 0, n(0) + P1B1, n(0) + ... + PnBn , n(0)
t=1： = P 0 ：
Q(1) = ∑ PiBi , n(1)
i =0
n
= P0 B 0, n (1) + P1B1, n (1) + ... + PnBn , n (1) = Pn
4、几何不变性。 、几何不变性。 这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线的位置与形 这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线的位置与形 状与其特征多边形顶点P =0,1,..., 的位置有关， =0,1,...,n) 状与其特征多边形顶点 i(i=0,1,..., )的位置有关，它不依赖坐标系的 选择。 选择
i =0
1
= (1 − t ) P 0 + tP1, t ∈ [0,1]
说明：一次Bezier曲线是连接起点 和终点 的直线段。 曲线是连接起点P0和终点 的直线段。 说明：一次 曲线是连接起点 和终点P1的直线段 矩阵表示为： 矩阵表示为：
− 1 1 P0 P(t ) = [t ,1] P 1 0 1
2、C1连续，如说明代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的 、 连续， 一阶导数。 一阶导数。 3、二阶参数连续，记作C2连续，是指两个曲线段在相交点处有相同 、二阶参数连续，记作 连续， 的一阶和二阶导数。这样可从一个曲线平滑地过渡到另一个曲线段。 的一阶和二阶导数。这样可从一个曲线平滑地过渡到另一个曲线段。
Q ' (0) = n( P1 − P 0)
在终止点， ， 其余项均为0，故有： 在终止点，t=1， B n-1,n-1(1)=1,其余项均为 ，故有： 其余项均为
Q ' (1) = n( Pn − Pn − 1)
对于三次Bezier曲线，n=3，所以 曲线， 对于三次 曲线 ，
Q ' (0) = 3( P1 − P 0) Q ' (1) = 3( P 3 − P 2)