2020西城一模数学试题答案逐题解析

2020年北京市西城区高三一模数学试题(含答案)

第Ⅱ卷(非选择题共 110 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.在吠吠 h 的展开式中,常数项为
.(用数字作答)
12.若向量 ⸶ 吠hㄠhhㄠ ⸶ ㄠ吠h满足 ㄰ 㸴,则实数吠的取值范围是
.
13.设双曲线吠h t
h
h⸶
t ㄱh的一条渐近线方程为
⸶
h h
吠,则该双曲线的离心率为
(D) 吠㸴hh h ⸶
6.设ㄠㄠ为非零实数,且 t ㄠ t ,则
(A)
t
(B) t h
(C)a b
h
t
(D) t
h
1/5
7.某四棱锥的三视图如图所示,记 S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则
(A)h h ㄠ且 h 㸴
(B)h h ㄠ且 h 㸴
(C)h h ㄠ且 h 㸴
(D)h h ㄠ且 h 㸴 8.设ㄠ为非零向量,则“൭
21.(本小题满分 14 分)
对于正整数 ,如果
h个整数ㄠ hㄠㄠ满足
h
,
且
h
⸶ ,则称数组ㄠ hㄠㄠ h为的一个“正整数分拆”.记ㄠ hㄠㄠ均为偶数的“正整数分拆”
的个数为ㄠㄠ hㄠㄠ均为奇数的“正整数分拆”的个数为쳌 .
(Ⅰ)写出整数 4 的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数
ㄠ㔰两点和ㄠ⺁两点.
ㄠㄱh,直线 h经过点ㄠㄱh,直线直线 h,且直线 , h分别与椭圆相交于
(Ⅰ)若ㄠ分别为椭圆的左、右焦点,且直线吠轴,求四边形㔰⺁的面积;
(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为 0,四边形㔰⺁为平行四边形,求证:

2020年北京西城区初三数学一模试题及答案(Word版)145843

2020年北京西城区初三数学一模试题及答案（Word 版）145843初三数学试卷 2018.5一、选择题〔此题共32分，每题4分〕下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的 1．4-的绝对值等于A ．4B ．14 C ．14- D ．4- 2．据统计，今年春节期间，北京市居民在京旅行人数约为2410000人次，同比增长17.6%．将2410000用科学记数法表示应为 A ．70.24110⨯ B ．62.4110⨯ C ．524.110⨯ D ．424110⨯3．如图，AB 是⊙O 直径，弦CD AB ⊥于点E ．假设8CD =，3OE =，那么⊙O 的直径为 A ．5 B ．6C ．8D ．104．假设一个正多边形的一个内角是144°，那么那个多边形的边数为 A ．12 B ．11 C ．10 D ．9 5|3|0y +=，那么()2xy -的值为 A ．6- B ．9 C ．6D ．9-6．关于一组数据：85，83，85，81，86．以下讲法中正确的选项是 A ．这组数据的平均数是85 B ．这组数据的方差是3.2 C ．这组数据的中位数是84 D ．这组数据的众数是867．在平面直角坐标系中，关于平面内任一点()P a b ，假设规定以下两种变换： ①()()f a b a b =--，，，如()()1212f =--，，． ②()()g a b b a =，，．如()()1331g =，，．按照以上变换，那么()()f g a b ，等于 A ．()b a --，B ．()a b ，C ．()b a ，D ．()a b --，8．小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的表面〔不考虑接缝〕，如图2所示．小明所用正方形包装纸的边长至少为 A ．40B．30+C ．D ．10+图2图1二、填空题〔此题共16分，每题4分〕9．假设分式241x x ++的值为零，那么x 的值为．10．分解因式：2816ax ax a -+= ．11．如图，在ABC △中，D 、E 分不为AB 、AC 边上的点，DE BC ∥．假设3AD =，5DB =， 1.2DE =，那么BC = ． 12．在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形．如图，菱形ABCD 的四个顶点坐标分不是()80-，，()04，，()80，，()04-，，那么菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是个；假设菱形n n n n A B C D 的四个顶点坐标分不为()20n -，，()0n ，，()20n ，，()0n -，〔n 为正整数〕，那么菱形n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的个数为〔用含有n 的式子表示〕．三、解答题〔此题共30分，每题5分〕13()101|199920103-⎛⎫--+- ⎪⎝⎭．14．解不等式组()245221.3x x x x ⎧++⎪⎨-<⎪⎩≤，把它的解集在数轴上表示出来，并求它的整数解． 3215．：如图，A 、B 、C 、D 四点在一条直线上，且AB DC =，ECD FBA ∠=∠，A D ∠=∠．求证：AE DF =．EDCB A GFEDCBA16．12x y =，求2222x x xy y⋅-+222x y y x y x y -++-的值．17．列方程或方程组解应用题〝家电下乡〞农民得实惠，依照〝家电下乡〞的有关政策：农户每购买一件家电，国家将按每件家电售价的13%补贴给农户．小明的爷爷2018年5月份购买了一台彩电和一台洗衣机，他从乡政府领到了390元补贴款．假设彩电的售价比洗衣机的售价高1000元，咨询一台彩电和一台洗衣机的售价各是多少元？18．：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，45B ∠=°，105BAC ∠=°，4AD CD ==．求BC 的长．四、解答题〔此题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分〕19．某电脑公司现有A 、B 、C 三种型号的甲品牌电脑和D 、E 两种型号的乙品牌电脑．某校要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．〔1〕写出所有可能的选购方案〔利用树状图或列表法表示〕；〔2〕假如〔1〕中各种选购方案被选中的可能性相同，那么B 型号电脑被选中的概率是多少？D C B A20．如图，将直线4y x =沿y 轴向下平移后，得到的直线与x 轴交于点904A ⎛⎫⎪⎝⎭，，与双曲线()0ky x x=>交于点B ．〔1〕求直线AB 的解析式；〔2〕假设点B 的纵坐标为m ，求k 的值〔用含有m 的式子表示〕．21．如图，ABC △内接于⊙O ，AB AC =．点D 在⊙O 上，AD AB ⊥于点A ，AD 与BC 交于点E ，点F 在DA 的延长线上，AF AE =．〔1〕求证：BF 是⊙O 的切线；〔2〕假设4AD =，4cos 5ABF ∠=，求BC 的长．22．在ABC △中，BC a =，BC 边上的高2h a =，沿图中线段DE 、CF 将ABC △剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG ，如图1所示．请你解决如下咨询题：在A B C '''△中，B C a ''=，B C ''边上的高12h a =．请你设计两种不同的分割方法，将A B C '''△沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，请在图2、图3中，图2C′B′A′图1HG画出分割线及拼接后的图形．五、解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分〕 23．：关于x 的方程()231230mx m x m --+-=．〔1〕求证：m 取任何实数量，方程总有实数根；〔2〕假设二次函数()213123y mx m x m =--+-的图象关于y 轴对称． ① 求二次函数1y 的解析式；② 一次函数222y x =-，证明：在实数范畴内，关于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立；〔3〕在〔2〕条件下，假设二次函数23y ax bx c =++的图角通过点()50-，，且在实数范畴内，关于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥均成立，求二次函数23y ax bx c =++的解析式．24．如图1，在□ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，E 恰为BC 的中点，tan 2B =．〔1〕求证：AD AE =；〔2〕如图2，点P 在线段BE 上，作EF DP ⊥于点F ，连结AF ．求证：DF EF -=；〔3〕请你在图3中画图探究：当P 为线段EC 上任意一点〔P 不与点E 重合〕时，作EF 垂直直线DP ，垂足为点F ，连结AF ．线段DF 、EF 与AF 之间有如何样的数量关系？直截了当写出你的结论．图2C′B′A′图1EDCBA图2PF ABCDE图3ABCDE25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =+x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 的坐标为()30，，连结BC ．〔1〕求证：ABC △是等边三角形；〔2〕点P 在线段BC 的延长线上，连结AP ，作AP 的垂直平分线，垂足为点D ，并与y 轴交于点E ，分不连结EA 、EC 、EP ．① 假设6CP =，直截了当写出AEP ∠的度数；② 假设点P 在线段BC 的延长线上运动〔P 不与点C 重合〕，AEP ∠的度数是否变化？假设变化，请讲明理由；假设不变，求出AEP ∠的度数；〔3〕在〔2〕的条件下，假设P 从C 点动身在BC 的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度．EC 与AP 交于点F ，设AEF △的面积为1S ，CFP △的面积为2S ，12y S S =-，运动时刻为()0t t >秒时，求y 关于t 的函数关系式．。

2020西城初三数学一模答案

北京市西城区九年级统一测试数学试卷答案及评分标准 2020.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）17．解：101() +(12sin602=2122= 3．························································································· 5分18．解：原不等式组为3(2)22,25.4x xxx①②解不等式①，得x<4.解不等式②，得52x .∴原不等式组的解集为542x.································································································ 5分19．解：（1）依题意，得△=22[(21)]41m m．=41m ≥ 0．解得 m ≥14．（2）答案不唯一，如: 0m ，此时方程为20x x ．解得10x ，21x ． ····························································· 5分20．（1）证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ OA =OC ，OB =OD ． ∵ OA =OB ， ∴ OA =OC =OB =OD ． ∴ AC =BD ． ∴ □ABCD 是矩形．（2）解: ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠BAD =∠ADC =90°． ∴ ∠BAC +∠CAD =90°． ∵ BE ⊥AC ，∴ ∠BAC +∠ABE =90°． ∴∠CAD =∠ABE ．在Rt △ACD 中， AD=cos ∠CAD =cos ∠ABE=5， ∴ AC =5． ······························································ 5分21．答案不唯一，如：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（2）如图．（3）证明：∵ CF =BD ，DF =BC ，∴ 四边形DBCF 是平行四边形.·························································································· 5分22．解：（2）（3）（4）答案不唯一，理由须支撑推断的结论．·························································································· 6分23．（1）证明：连接AC ，∵ OC = OA ， ∴点C 在⊙O 上． ∵ OA = OC ， BA = BC ，∴ ∠OAC =∠OCA ，∠BAC =∠BCA ． ∴ ∠OCB =∠OAB =90°．∴ OC ⊥BC 于点C ． ∴ BC 是⊙O 切线．（2）① 补全图形.② 证明：∵ BA ，BC 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，C ，∴ BA =BC ，∠DBA =∠DBC ． ∴ BD 是AC 的垂直平分线．∵ OA =OC ， ∴ ∠AOB =∠COB ．B频数字数1009080706050∵ AD AC ，AE 为⊙O 的直径，∴ CEDE ． ∴ ∠COE =∠DOE ． ∵ ∠AOB =∠DOE ，∴ ∠AOB =∠BOC =∠COE =60°． ∵ BC 是⊙O 的切线，切点为C ， ∴ ∠OCB =∠OCF =90°． ∴ ∠OBC =∠OFC =30°．∴ OF = OB ． ······························································· 6分24．解:（1）（2）画出函数y 1的图象；（3）① 0.83或2.49 ． ② 5.32．···························································································· 6分25．解：（1）①令y =0 ，则20kx k ．∵0k ，解得 x = -2． ∴ 点A 的坐标为(-2，0) ． ∵点P 的坐标为(1，6)， ∴ m = 6． ②13．（2）① P (1，3k ) ．② 依题意，得222 kx k kx ，解得22x k． ∴点Q 的横坐标为 22k， ∵22k>1（0k ）， ∴ 点Q 在点P 的右侧．如图，分别过点P ，Q 作PM ⊥x 轴于M ，QN ⊥x 轴于N ，则点M ，点N 的横坐标分别为1，22k．若PQ =P A ，则 1PQPA． ∴1 PQ MNPA MA． ∴ MN =MA ． ∴ 2213k，解得 k =1． ∵ MA = 3， ∴ 当PQ PA =MNMA≤1时，k ≥1． ∴ 3m k ≥3．∴ 当PQ ≤P A 时，m ≥3． ·················································· 5分26．解：（1）∵ 抛物线22 y ax bx a 的对称轴为直线x = -1，∴ 12ba． ∴ 2 b a ．∴ 222y ax ax a 化为2(1)2 y a x ．将点A （-3，0）代入2(1)2 y a x 中，得 12a ． ∴ 21(1)22y x21322x x ． ∴ 抛物线的表达式为21322y x x ．点B 的坐标为（1，0）．（2）210 x ．（3）∵ 抛物线的顶点为（-1,2）， ∴ 点D 的坐标为（1,0 ）．∵∠DOP =45°，且抛物线上满足条件的点P 恰有4个，∴ 抛物线与x ∴ 满足条件的点P 在x 轴上方有2个，在x 轴下方也有2个． ∴ 20a ．解得 2a ．∴ a 的取值范围是2a ．27．（1）补全图形，如图1.证明：（2）∵ CQ =CP ，∠ACB = 90°，∴ AP =AQ ． ∴ ∠APQ =∠Q ． ∵ BD ⊥AQ ，∴∠QBD +∠Q =∠QBD +∠BFC = 90°． ∴ ∠Q =∠BFC ． ∵∠MFN =∠BFC ， ∴∠MFN =∠Q ．同理，∠NMF=∠APQ ． ∴ ∠MFN =∠FMN ． ∴ NM =NF ．（3）连接CE ，如图2．由（1）可得 ∠P AC =∠FBC ， ∵ ∠ACB =90°，AC =BC ， ∴ △APC ≌ △BFC ． ∴ CP =CF ． ∵ AM =CP ， ∴ AM =CF ．∵ ∠CAB =∠CBA =45°． ∴ ∠EAB =∠EBA ． ∴ AE =BE ．又 ∵ AC =BC ，∴ CE 所在直线是AB 的垂直平分线． ∴ ∠ECB =∠ECA =45°． ∴ ∠GAM =∠ECF =45°．由（1）可得 ∠AMG =∠CFE ， ∴ △AGM ≌ △CEF ． ∴ GM =EF ．∵ BN =BE + EF + FN =AE +GM + MN ． ∴ BN =AE + GN ．···························································································· 7分图2图1CBAP QN DM GHKFE28．解：（1）①2；3≤CP ≤2； ② O ．（2）直线y b与x 轴、y 轴分别交于点F ， G （0，b ），当0＜b ＜1时，线段FG 在⊙O 的内部，与⊙O 无公共点，此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为1 b ，最大距离为1b ．∵ 线段FG 与⊙O 满足限距关系， ∴ 1b ≥2(1) b ．解得b ≥13． ∴ b 的取值范围是13≤b ＜1．当1≤b ≤2时，线段FG 与⊙O 有公共点，线段FG 与⊙O 满足限距关系. 当b ＞2时，线段FG 在⊙O 的外部，与⊙O 无公共点，此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为112b ，最大距离为1b ． ∵ 线段FG 与⊙O 满足限距关系，∴ 1b ≥12(1)2b ．而112(1)2b b 总成立．∴ 当b ＞2时，线段FG 与⊙O 满足限距关系．综上，b 的取值范围是b ≥13．（3）0＜r ≤3．································································································ 7分。

2020北京西城高三一模数学

2020北京西城区高三一模数学 2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页,共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A={x|x<3},B={x|x<0,或x>2},则A∩B=(A)(−∞,0) (B)(2,3)(C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)2.若复数z=(3−i)(1+i),则|z|=(A)2√2(B)2√5(C)√10(D)203.下列函数中,值域为R且为奇函数的是(A)y=x+2(B)y=sinx(C)y=x−x3(D)y=2x4.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=2,a1+a4=5,则S6=(A)10 (B)9 (C)8 (D)75.设A(2,−1),B(4,1),则以线段AB为直径的圆的方程是(A)(x−3)2+y2=2(B))(x−3)2+y2=8(C)(x+3)2+y2=2(D) (x+3)2+y2=86.设a,b,c为非零实数,且a>c,b>c,则(A)a+b>c(B)ab>c2(C)a+b2>c(D)1a+1b>2c7.某四棱锥的三视图如图所示,记S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则(A)2√2∉S,且2√3∉S (B)2√2∉S,且2√3∈S(C)2√2∈S,且2√3∉S(D)2√2∈S,且2√3∈S8.设a,b 为非零向量,则“|a +b|=|a|+|b|”是“a 与b 共线”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 9.已知函数f(x)=sinx 1+2sinx 的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有①绕着x 轴上一点旋转180°;②沿x 轴正方向平移;③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.(A)①③ (B)③④ (C)②③ (D)②④ 10.设函数f(x)={x 2+10x +1,x ≤0|lgx |, x >0若关于x 的方程f(x)=a(a ∈R)有四个实数解x i (i =1,2,3,4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则(x 1+x 2)(x 3−x 4)的取值范围是(A)(0,101](B)(0,99] (C)(0,100] (D)(0,+∞)第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.在(x +1x )6的展开式中,常数项为 .(用数字作答)12.若向量a =(x 2,2),b =(1,x)满足a ·b <3,则实数x 的取值范围是 .13.设双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的一条渐近线方程为y =√22x ,则该双曲线的离心率为 .)的最小正周期为;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的最大值为14.函数f(x)=sin(2x+π4.15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是.三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,底面ABCD满足AD∥BC,且AB=AD=AA1=2,BD= DC=2√2.(Ⅰ)求证:AB⊥平面ADD1A1;(Ⅱ)求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值.17.(本小题满分14分),求sinC的值及△ABC的面积.已知△ABC满足,且b=√6,A=2π3从①B=π,②a=√3,③a=3√2sinB这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.4注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出m的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数f(x)=alnx+x2−(a+2)x,其中a∈R.,求a的值;(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线的倾斜角为π4(Ⅱ)已知导函数f′(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x∈(1,e)时,f(x)>−e2.设椭圆E:x 22+y2=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1∥直线l2,且直线l1,l2分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.(Ⅰ)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1⊥x轴,求四边形ABCD的面积;(Ⅱ)若直线l1的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.21.(本小题满分14分)对于正整数n,如果k(k∈N∗)个整数a1,a2,…,a k满足1≤a1≤a2≤⋯≤a k≤n,且a1+a2+⋯+a k=n,则称数组(a1,a2,…,a k)为n的一个“正整数分拆”.记a1,a2,…,a k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n,a1,a2,…,a k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数n(n≥4),设(a1,a2,…,a k)是n的一个“正整数分拆”,且a1=2,求k的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n,证明:f n≤g n;并求出使得等号成立的n的值.(注:对于n的两个“正整数分拆”(a1,a2,…,a k)与(b1,b2,…,b m),当且仅当k=m且a1=b1,a2=b2,…,a k=b m 时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)。

2020年北京西城一模数学试卷+答案

2020北京西城区高三一模数学 2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页,共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A={x|x<3},B={x|x<0,或x>2},则A∩B=(A)(−∞,0) (B)(2,3)(C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)2.若复数z=(3−i)(1+i),则|z|=(A)2√2(B)2√5(C)√10(D)203.下列函数中,值域为R且为奇函数的是(A)y=x+2(B)y=sinx(C)y=x−x3(D)y=2x4.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=2,a1+a4=5,则S6=(A)10 (B)9 (C)8 (D)75.设A(2,−1),B(4,1),则以线段AB为直径的圆的方程是(A)(x−3)2+y2=2(B))(x−3)2+y2=8(C)(x+3)2+y2=2(D) (x+3)2+y2=86.设a,b,c为非零实数,且a>c,b>c,则(A)a+b>c(B)ab>c2(C)a+b2>c(D)1a+1b>2c7.某四棱锥的三视图如图所示,记S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则 (A)2√2∉S,且2√3∉S (B)2√2∉S,且2√3∈S (C)2√2∈S,且2√3∉S (D)2√2∈S,且2√3∈S8.设a,b 为非零向量,则“|a +b|=|a|+|b|”是“a 与b 共线”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)=sinx1+2sinx的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有①绕着x 轴上一点旋转180°; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A)①③(B)③④(C)②③(D)②④10.设函数f(x)={x 2+10x +1,x ≤0|lgx |, x >0若关于x 的方程f(x)=a(a ∈R)有四个实数解x i (i =1,2,3,4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则(x 1+x 2)(x 3−x 4)的取值范围是 (A)(0,101] (B)(0,99](C)(0,100](D)(0,+∞)第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.在(x +1x )6的展开式中,常数项为.(用数字作答)12.若向量a =(x 2,2),b =(1,x)满足a ·b <3,则实数x 的取值范围是. 13.设双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的一条渐近线方程为y =√22x ,则该双曲线的离心率为.)的最小正周期为;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的最大值为14.函数f(x)=sin(2x+π4.15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是.三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,底面ABCD满足AD∥BC,且AB=AD=AA1=2,BD= DC=2√2.(Ⅰ)求证:AB⊥平面ADD1A1;(Ⅱ)求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值.17.(本小题满分14分),求sinC的值及△ABC的面积.已知△ABC满足,且b=√6,A=2π3从①B=π,②a=√3,③a=3√2sinB这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.4注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出m的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数f(x)=alnx+x2−(a+2)x,其中a∈R.,求a的值;(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线的倾斜角为π4(Ⅱ)已知导函数f′(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x∈(1,e)时,f(x)>−e2.设椭圆E:x 22=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1∥直线l2,且直线l1,l2分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.(Ⅰ)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1⊥x轴,求四边形ABCD的面积;(Ⅱ)若直线l1的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.21.(本小题满分14分)对于正整数n,如果k(k∈N∗)个整数a1,a2,…,a k满足1≤a1≤a2≤⋯≤a k≤n,且a1+a2+⋯+a k=n,则称数组(a1,a2,…,a k)为n的一个“正整数分拆”.记a1,a2,…,a k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n,a1,a2,…,a k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数n(n≥4),设(a1,a2,…,a k)是n的一个“正整数分拆”,且a1=2,求k的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n,证明:f n≤g n;并求出使得等号成立的n的值.(注:对于n的两个“正整数分拆”(a1,a2,…,a k)与(b1,b2,…,b m),当且仅当k=m且a1=b1,a2=b2,…,a k=b m 时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)西城区高三统一测试数学参考答案 2020.4一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．C 2．B 3．C 4．B 5. A 6. C7. D8. A9. D10. B二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分. 11．2012．(3,1)-13214．π，π815．②③注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分. 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为在底面ABCD中，2,AB AD BD ===所以222AB AD BD +=，即AB AD ⊥. ……………… 2分因为1AA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以1AA ⊥AB ， ……………… 4分又因为1AA AD A =，1,AA AD ⊂平面11ADD A ，所以AB ⊥平面11ADD A . ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得1,,AB AD AA 两两垂直，故分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 7分在底面ABCD 中，由题意，得224BC BD CD =+=.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,4,0)C ，1(2,0,2)B ，1(0,2,2)D ，所以(2,0,0)AB =，1(0,4,2)B C =-，11(2,2,0)B D =-， ……………… 8分设平面11B CD 的法向量(,,)x y z =n ，由10B C ⋅=n ，110B D ⋅=n ，得420,220,y z x y -=⎧⎨-+=⎩令1y =，得(1,1,2)=n . ………………11分设直线AB 与平面11B CD 所成的角为θ，则 6sin |cos ,|||6||||AB AB AB θ⋅=<>==⋅n n n ，直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值为66. ……………… 14分17．（本小题满分14分）解：（不可以选择②作为补充条件.）选择①作为补充条件. ……………… 2分解答如下：因为在ABC △中，πA B C ++=，所以sin sin()C A B =+ ……………… 4分 sin cos cos sin A B A B =+ ……………… 6分B 1B DAA 1D 1CC yxz2ππ2ππsincos cos sin 3434=+4=. ……………… 8分在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin 3sin b A a B ==. ……………… 11分所以△ABC的面积1sin 2S ab C =. ……………… 14分选择③作为补充条件. ……………… 2分解答如下：在△ABC中，由a B =，以及正弦定理sin sin a bA B=， ……………… 4分得2πsin3B ，解得21sin 2B =. 由2π3A =，得B 为锐角，所以π4B =，且3a B ==. ……………… 6分因为在ABC △中，πA B C ++=，所以sin sin()C A B =+ ……………… 8分 sin cos cos sin A B A B =+ ……………… 10分2ππ2ππsincos cos sin 3434=+=. ……………… 11分所以△ABC的面积1sin 2S ab C =. ……………… 14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为212010=，……… 3分故在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生约为150510⨯=万人. ……………… 5分（Ⅱ）由图表知，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，由题意，随机变量X 的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 6分且205328C C 5(0)C 14P X ⋅===，115328C C 15(1)C 28P X ⋅===，025328C C 3(2)C 28P X ⋅===. ……………… 9分所以随机变量的分布列为：……………… 10分所以51533()0121428284E X =⨯+⨯+⨯=. ……………… 11分（Ⅲ）m 的最小值为4. ……………… 14分19．（本小题满分14分）解:（Ⅰ）由题意，得()2(2)f x x a xa'=+-+， ……………… 2分 X则π(2)tan 4f '=， ……………… 4分即224()1a a+-+=，解得2a =. ……………… 6分（Ⅱ）(2()2(2))(1)x f x a a x x a x x '=+--+=-，其中(1,e)x ∈. ……………… 7分令0(2())(1)a x f x x x'=-=-，得1x =，或2ax =. ……………… 8分由导函数()f x '在区间(1,e)上存在零点，得(1,e)2a∈，即(2,2e)a ∈. …… 9分随着x 变化，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在(1,)2上单调递减，在(,e)2上单调递增.所以()f x 在(1,e)上存在最小值2()ln()224a a af a a =--. ……………… 11分设2()2ln 2g x x x x x =--，(1,e)x ∈. 则()()22a a g f =，(1,e)2a ∈. …… 12分所以()2ln 2g x x x '=-.由(1,e)x ∈，得2ln (0,2)x ∈，2(2,2e)x ∈，则()2ln 20g x x x '=-<. 所以()g x 在区间(1,e)上单调递减.所以2()(e)e g x g >=-，即2()()e 22a a g f =>-故当(1,e)x ∈时，2()e f x >-. ……………… 14分20．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意，得a 1b =，则1c =. ……………… 2分根据椭圆的对称性，知四边形ABCD 是矩形.设0(1,)A y -，0(1,)B y --，0(1,)C y -，0(1,)D y ，将1x =-代入椭圆方程得2012y =. ……………… 3分所以四边形ABCD的面积0||||2||2S AB AD y c =⋅=⋅=. ……………… 5分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线1()l y k x m =-：， ……………… 6分联立22(),1,2y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得22222(12)4220k x k mx k m +-+-=， …… 7分则42222164(12)(22)0k m k k m ∆=-+->，2122412k m x x k +=+，221222212k m x x k -=+. ……………… 8分所以12|||AB x x - ……………… 9分=同理，得||CD = 由四边形ABCD 为平行四边形，得||||AB CD =，即得22m n =. 由题意知m n ≠，所以m n =-，即0m n +=. ……………… 11分（Ⅲ）结论：四边形ABCD 不可能为矩形. ……………… 12分由（Ⅱ）知,M N 两点关于原点对称.根据椭圆的对称性，可得,A C 两点关于原点对称，故C 的坐标为11(,)x y --.由题意，得221112x y +=，222212x y +=. ……………… 13分于是，2221212122212121AB BC y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-22212221112(1)2(1)2y y y y -==-≠----. 所以AB 不可能垂直于BC .所以四边形ABCD 不能为矩形. ……………… 15分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）(1,1,1,1)，(1,1,2)，(1,3)，(2,2)，(4) . ……………… 3分（Ⅱ）由题意，知122k a a a n =≤≤≤≤，且12k a a a n +++=，得122k n a a a k =+++≥，即2n k ≤. ……………… 5分所以当n 是偶数时，k 的最大值是2n （此时，2(2,2,,2)k 共有个是n 的一个“正整数分拆”）；当n 是奇数时，k 的最大值是12n -（此时，12(2,2,,2,3)k -共有个是n 的一个“正整数分拆”）. ……………… 8分（Ⅲ）当n 为奇数时，由题意，得0n f =；且1(1,1,,1)n 共有个是n 的一个各位数字均为奇数的“正整数分拆”，所以0n g >，故n n f g <. ……………… 9分当n 为偶数时，由()n 是各位数字均为偶数的“正整数分拆”，1(1,1,,1)n 共有个是各位数字均为奇数的“正整数分拆”，得0n f >，0n g >.① 当2n =时，n 的“正整数分拆”只有(1,1)和(2)，所以221f g ==； ② 当4n =时，由（Ⅰ）知，442f g ==； ……………… 11分 ③ 当n 为大于4的偶数时，因为对于n 的任意一个各位数字均为偶数的“正整数分拆”12(,,,)k a a a ，都存在一个与之对应的各位数字均为奇数的“正整数分拆”121(1,1,,1,1,1,,1)k k a a a ---共有个.且当12(,,,)k a a a 不同时，其对应的121(1,1,,1,1,1,,1)k k a a a ---共有个也不相同，所以n n f g ≤.又因为在上述对应关系下，各位数字均为奇数的“正整数分拆”(3,3)n -不存在与之对应的各位数字都是偶数的“正整数分拆”，（注：因为6n ≥，所以(3,3)n -有意义）所以n n f g <.综上，对所有的正整数n ，n n f g ≤；当且仅当2n =或4时等号成立. ……… 14分。

北京市西城区2020高三一模数学

西城区高三统一测试数学2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ 卷3至6页,共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 (选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A ={x |x <3},B ={x |x <0,或x >2},则A ∩B = (A )(-¥,0) (B )(2,3) (C )(-¥,0)∪(2,3) (D )(-¥,3) 2.若复数z =(3-i )(1+i ),则|z |=(A )2 2(B )2 5(C ) 10(D )203. 下列函数中,值域为 R 且为奇函数的是(A ) y =x +2(B )y =s i n x (C )y =x -x 3(D )y =2x4.设等差数列 {a n }的前n 项和为S n ,若a 3=2,a 1+a 4=5,则S 6= (A )10(B )9(C )8(D )75. 设A (2,-1),B (4,1),则以线段A B 为直径的圆的方程是(A )(x -3)2+y 2=2(B )(x -3)2+y 2=8(C )(x +3)2+y 2=2 (D )(x +3)2+y 2=86. 设a ,b ,c 为非零实数,且a >c ,b >c ,则(A )a +b >c (B )a b >c2(C )a +b>c(D )1+1>22a b c1+2s i n xî 7. 某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则 (A )2 2∉S ,且2 3∉S (B )2 2∉S ,且2 3∈S (C )2 2∈S ,且2 3∉S (D )2 2∈S ,且2 3∈S8. 设a ,b 为非零向量,则 “|a +b |=|a |+|b |”是 “a 与b 共线”的 (A ) 充分而不必要条件(B )必要而不充分条件 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件9. 已知函数f (x )=s i n x的部分图象如图所示, 将此图象分别作以下变换, 那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有① 绕着x 轴上一点旋转180°; ② 沿x 轴正方向平移; ③ 以x 轴为轴作轴对称;④ 以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A )①③(B )③④ (C )②③ (D )②④( ) ìïx 2+10x +1,x ≤0, ( ) ( ) 10. 设函数f x = í 若关于x 的方程f x =a a ∈R 有四个实数 ï|l gx |, x >0. 解x i (i =1,2,3,4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则 (x 1+x 2)(x 3-x 4)的取值范围是 (A )(0,101] (B )(0,99] (C )(0,100] (D )(0,+¥)4第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11. 在 (x +x1)6的展开式中,常数项为 .(用数字作答) 12. 若向量a =(x 2,2),b =(1,x )满足a ·b <3,则实数x 的取值范围是.13. 设双曲线x2-y 2=1(b >0)的一条渐近线方程为y = 2x ,则该双曲线的离心率 4 b 22为 .14. 函数f (x )=s i n (2x +π)的最小正周期为 ;若函数f (x )在区间 (0,α)上单调递增,则α 的最大值为 .15. 在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70 ,女生成绩的优秀率为50 ;乙校男生成绩的优秀率为60 ,女生成绩的优秀率为40 .对于此次测试,给出下列三个结论: ① 甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;② 甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率; ③ 甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定. 其中,所有正确结论的序号是.34三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱 A B C D -A 1B 1C 1D 1 中,AA 1 ⊥ 平面 A BCD , 底面 A B C D 满足 A D ∥B C ,且A B =A D =A A 1=2,B D =D C =2 2. (Ⅰ)求证:A B ⊥平面A D D 1A 1;(Ⅱ)求直线A B 与平面B 1C D 1 所成角的正弦值.17.(本小题满分14分)已知△A B C 满足 ,且b = 6,A =2π,求s i n C 的值及△A B C 的面积.从①B =π,②a = 3,③a =3 2s i n B 这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.42019年底, 北京2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募, 仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试, 所得成绩 (单位: 分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数; (Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X ,求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组 (每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m 个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90 .根据图表中数据,以频率作为概率,给出 m 的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数f (x )=a l n x +x 2-(a +2)x ,其中a ∈R .(Ⅰ)若曲线y =f (x )在点 (2,f (2))处切线的倾斜角为 π,求a 的值; (Ⅱ)已知导函数f '(x )在区间 (1,e )上存在零点,证明:当x ∈(1,e )时,f (x )>-e 2.2 设椭圆E :x2+y 2 =1, 直线l 1 经过点 M (m ,0), 直线l 2 经过点N (n ,0), 直线l 1∥直线l 2,且直线l 1,l 2 分别与椭圆E 相交于A ,B 两点和C ,D 两点. (Ⅰ)若 M ,N 分别为椭圆E 的左、右焦点,且直线l 1⊥x 轴,求四边形A B C D 的面积; (Ⅱ)若直线l 1 的斜率存在且不为0,四边形A B C D 为平行四边形,求证:m +n =0; (Ⅲ)在 (Ⅱ)的条件下,判断四边形A B C D 能否为矩形,说明理由.21.(本小题满分14分)对于正整数n ,如果k (k ∈N *)个整数a 1,a 2,…,a k 满足1≤a 1≤a 2≤… ≤a k ≤n ,且a 1+a 2+…+a k =n ,则称数组 (a 1,a 2,…,a k )为n 的一个 “正整数分拆”.记a 1, a 2,…,a k 均为偶数的 “正整数分拆”的个数为f n ,a 1,a 2,…,a k 均为奇数的 “正整数分拆”的个数为g n .(Ⅰ)写出整数4的所有 “正整数分拆”; (Ⅱ)对于给定的整数n (n ≥4),设 (a 1,a 2,…,a k )是n 的一个 “正整数分拆”,且a 1=2,求k 的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n ,证明:f n ≤g n ;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个 “正整数分拆”(a 1,a 2,…,a k )与 (b 1,b 2,…,b m ),当且仅当 k =m 且a 1=b 1,a 2=b 2,…,a k =b m 时,称这两个 “正整数分拆”是相同的.)。

20200405西城一模答案

西城区高三统一测试数学参考答案 2020.4一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．C 2．B 3．C 4．B 5. A 6. C7. D8. A9. D10. B二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分. 11．20 12．(3,1)-1314．π，π815．②③注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为在底面ABCD中，2,AB AD BD ===所以222AB AD BD +=，即AB AD ⊥. ……………… 2分因为1AA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以1AA ⊥AB ， ……………… 4分又因为1AA AD A =，1,AA AD ⊂平面11ADD A ，所以AB ⊥平面11ADD A . ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得1,,AB AD AA 两两垂直，故分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 7分在底面ABCD中，由题意，得4BC =.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,4,0)C ，1(2,0,2)B ，1(0,2,2)D ，所以(2,0,0)AB =，1(0,4,2)B C =-，11(2,2,0)B D =-， ……………… 8分设平面11B CD 的法向量(,,)x y z =n ，由10B C ⋅=n ，110B D ⋅=n ，得420,220,y z x y -=⎧⎨-+=⎩令1y =，得(1,1,2)=n . ………………11分设直线AB 与平面11B CD 所成的角为θ，则sin |cos ,|||||||AB AB AB θ⋅=<>==⋅n nn 直线AB 与平面11B CD ……………… 14分17．（本小题满分14分）解：（不可以选择②作为补充条件.）选择①作为补充条件. ……………… 2分解答如下：因为在ABC △中，πA B C ++=，所以sin sin()C A B =+ ……………… 4分 sin cos cos sin A B A B =+ ……………… 6分2ππ2ππsin cos cos sin 3434=+= ……………… 8分在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin 3sin b A a B ==.……………… 11分所以△ABC 的面积1sin 2S ab C =.................. 14分选择③作为补充条件. (2)分解答如下：在△ABC 中，由a B =，以及正弦定理sin sin a bA B=， ……………… 4分sin321sin 2B =. 由2π3A =，得B 为锐角，所以π4B =，且3a B ==. ……………… 6分因为在ABC △中，πA B C ++=，所以sin sin()C A B =+ ……………… 8分 sin cos cos sin A B A B =+ ……………… 10分2ππ2ππsincos cos sin 3434=+= ……………… 11分所以△ABC的面积1sin 2S ab C =……………… 14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为212010=，……… 3分故在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生约为150510⨯=万人.……………… 5分（Ⅱ）由图表知，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，由题意，随机变量X 的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 6分且205328C C 5(0)C 14P X ⋅===，115328C C 15(1)C 28P X ⋅===，025328C C 3(2)C 28P X ⋅===. ……………… 9分所以随机变量X 的分布列为：……………… 10分所以51533()0121428284E X =⨯+⨯+⨯=. ……………… 11分（Ⅲ）m 的最小值为4. ……………… 14分19．（本小题满分14分）解:（Ⅰ）由题意，得()2(2)f x x a xa'=+-+， ……………… 2分则π(2)tan4f '=， ……………… 4分即224()1a a+-+=，解得2a =. ……………… 6分（Ⅱ）(2()2(2))(1)x f x a a x x a x x '=+--+=-，其中(1,e)x ∈. ……………… 7分令0(2())(1)a x f x x x'=-=-，得1x =，或2ax =. ……………… 8分由导函数()f x '在区间(1,e)上存在零点，得(1,e)2a∈，即(2,2e)a ∈. …… 9分随着x 变化，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在(1,)2a 上单调递减，在(,e)2a上单调递增.所以()f x 在(1,e)上存在最小值2()ln()224a a af a a =--. ……………… 11分设2()2ln 2g x x x x x =--，(1,e)x ∈. 则()()22a ag f =，(1,e)2a ∈. …… 12分所以()2ln 2g x x x '=-.由(1,e)x ∈，得2ln (0,2)x ∈，2(2,2e)x ∈，则()2ln 20g x x x '=-<. 所以()g x 在区间(1,e)上单调递减.所以2()(e)e g x g >=-，即2()()e 22a ag f =>-故当(1,e)x ∈时，2()e f x >-. ……………… 14分20．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意，得a ，1b =，则1c =. ……………… 2分根据椭圆的对称性，知四边形ABCD 是矩形. 设0(1,)A y -，0(1,)B y --，0(1,)C y -，0(1,)D y ，将1x =-代入椭圆方程得212y =. ……………… 3分所以四边形ABCD的面积0||||2||2S AB AD y c =⋅=⋅=. ……………… 5分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线1()l y k x m =-：， ……………… 6分联立22(),1,2y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得22222(12)4220k x k mx k m +-+-=， …… 7分则42222164(12)(22)0k m k k m ∆=-+->，2122412k m x x k +=+，221222212k m x x k -=+. ……………… 8分所以12|||AB x x =- ……………… 9分=同理，得||CD = 由四边形ABCD 为平行四边形，得||||AB CD =，即得22m n =. 由题意知m n ≠，所以m n =-，即0m n +=. ……………… 11分（Ⅲ）结论：四边形ABCD 不可能为矩形. ……………… 12分由（Ⅱ）知,M N 两点关于原点对称.根据椭圆的对称性，可得,A C 两点关于原点对称，故C 的坐标为11(,)x y --.由题意，得221112x y +=，222212x y +=. ……………… 13分于是，2221212122212121AB BCy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-22212221112(1)2(1)2y y y y -==-≠----. 所以AB 不可能垂直于BC .所以四边形ABCD 不能为矩形. ……………… 15分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）(1,1,1,1)，(1,1,2)，(1,3)，(2,2)，(4) . ……………… 3分（Ⅱ）由题意，知122k a a a n =≤≤≤≤，且12k a a a n +++=，得122k n a a a k =+++≥，即2nk ≤. ……………… 5分所以当n 是偶数时，k 的最大值是2n （此时，2(2,2,,2)k 共有个是n 的一个“正整数分拆”）；当n 是奇数时，k 的最大值是12n -（此时，12(2,2,,2,3)k -共有个是n 的一个“正整数分拆”）. ……………… 8分（Ⅲ）当n 为奇数时，由题意，得0n f =；且1(1,1,,1)n 共有个是n 的一个各位数字均为奇数的“正整数分拆”，所以0n g >，故n n f g <. ……………… 9分当n 为偶数时，由()n 是各位数字均为偶数的“正整数分拆”，1(1,1,,1)n 共有个是各位数字均为奇数的“正整数分拆”，得0n f >，0n g >.① 当2n =时，n 的“正整数分拆”只有(1,1)和(2)，所以221f g ==；② 当4n =时，由（Ⅰ）知，442f g ==； ……………… 11分 ③ 当n 为大于4的偶数时，因为对于n 的任意一个各位数字均为偶数的“正整数分拆”12(,,,)k a a a ，都存在一个与之对应的各位数字均为奇数的“正整数分拆”121(1,1,,1,1,1,,1)k k a a a ---共有个.且当12(,,,)k a a a 不同时，其对应的121(1,1,,1,1,1,,1)k k a a a ---共有个也不相同，所以n n f g ≤.又因为在上述对应关系下，各位数字均为奇数的“正整数分拆”(3,3)n -不存在与之对应的各位数字都是偶数的“正整数分拆”，（注：因为6n ≥，所以(3,3)n -有意义）所以n n f g <.综上，对所有的正整数n ，n n f g ≤；当且仅当2n =或4时等号成立. ……… 14分。

2020年北京市西城区初三数学一模试卷及参考答案

2020年北京市西城区初三一模试卷数学 2020.5考生须知1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题(本题共16分，每小题2分) 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019年9月25日正式通航，预计到2022年机场旅客吞吐量将达到45000000人次，将45000000用科学记数法表示为(A)45×106(B)4.5×107(C)4.5×108(D)0.45×1082.右图是某个几何体的三视图，该几何体是(A)圆锥(B)圆柱(C)长方体(D)正三棱柱3.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是4.在数轴上，点A,B表示的数互为相反数，若点A在点B的左侧，且AB=2√2，则点A点B表示的数分别是(A)−√2，√2 (B)√2，−√2(C)0，2√2(D)−2√2，2√25.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的两点，若∠CAB=65°,则∠ADC的度数为(A)65°(B)35°(C)32.5°(D)25°6. 甲、乙两名运动员的10次射击成绩（单位：环）如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数依次记为x̅甲，x̅乙，射击成绩的方差依次记为S甲2，S乙2，则下列关系中完全正确的是（A）x̅甲=x̅乙, S甲2>S乙2（B）x̅甲=x̅乙, S甲2<S乙2（C）x̅甲>x̅乙, S甲2>S乙2（D）x̅甲<x̅乙, S甲2<S乙27.如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度，阳光下他测得长1.0m的竹竿落在地面上的影长为0.9m.在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上.他测得这棵树落在地面上的影长BD 为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是(A)6.0m(B)5.0m(C)4.0m(D)3.0m8.设m是非零实数，给出下列四个命题:①若−1<m<0,则1m <m<m2②m>1,则1m<m2<m③m<1m <m2,则m<0④m2<m<1m,则0<m<1其中命题成立的序号是（A）①③（B）①④（C）②③（D）③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 若√x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是10.若多边形的内角和市外角和的2倍，则该多边形是边形11.已知y是以x为自变量的二次函数，且当x=0，时，y的最小值为−1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式12.如果a2+a=1,那么代数式1a −a−1a2−1的值是13. 如图，在正方形ABCD，BE评分∠CBD，EF⊥BD于点F，若DE=√2，则BC的长为14. 如图，△ABC的顶点A，B，C都在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则AC的长为，BD的长为15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A,B，C的坐标分别是(0,4),(4,0),(8,0),⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为.16.某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月(30天)接待游客人数(单位:万人)的数据，绘制了下面的统计图和统计表.根据以上信息，以下四个判断中，正确的是(填写所有正确结论的序号).①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有4天;②该景区这个月每日接待游客人数的中位数在5~10万人之间;③该景区这个月平均每日接待游客人数低于5万人:④这个月1日至5日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为3/10三、解答题(本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：(12)−1+(1−√3)0+|−√3|−2sin60°18.解不等式组：{3(x−2)<2x−2, 2x+54<x19.关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m2=0有两个实数根(1)求m的取值范围:(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根20.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD交于点O,OA=OB,过点B作BE⊥AC于点E.(1)求证:□ABCD是矩形;，求AC的长（2）若AD=2√5，cos∠ABE=2√5521.先阅读下列材料，再解答问题.尺规作图已知:△ABC，D是边AB上一点，如图1，求作:四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形小明的做法如下:(1)设计方案先画一个符合题意的草图，如图2,再分析实现目标的具体方法，依据:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(2)设计作图步骤，完成作图作法:如图，①延长BC至点E:②分别作∠ECP=∠ABE,∠ADQ=∠ABE:③DQ与CP交于点F.∴四边形DBCF即为所求.出的四边形DBCF是平行四边形，并证明22.运用语音识别输入软件可以提高文字输入的速度。

2020年北京西城区高三一模数学试卷

2020年北京西城区高三一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设集合，，或，则（）．A. B. C. D.2.若复数，则（）．A. B. C. D.3.下列函数中，值域为且为奇函数的是（）．A. B. C. D.4.设等差数列的前项和为，若，，则（）．A.B.C.D.5.设，，则以线段为直径的圆的方程是（）．A.B.C.D.6.设，，为非零实数，且，，则（）．A.B.C.D.7.某四棱锥的三视图如图所示，记为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）．正（主）视图侧（左）视图俯视图A.，且B.，且C.，且D. ，且8.设，为非零向量，则“”是“与共线”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）．①绕着轴上一点旋转；②沿轴正方向平移；③以轴为轴作轴对称；④以轴的某一条垂线为轴作轴对称．A.①③B.③④C.②③D.②④10.设函数，若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.在的展开式中，常数项为．（用数字作答）12.若向量，满足，则实数的取值范围是．13.设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为．14.函数的最小正周期为；若函数在区间上单调递增，则的最大值为．15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为；乙校男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为．对于此次测试，给出下列三个结论：①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且，．（1）（2）求证：平面．求直线与平面所成角的正弦值．17.已知满足，且，，求的值及的面积．从①，②，③这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．（1）（2）（3）18.2019年底，北京年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破万，其中青年学生约有万人．现从这万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如下：男女试估计在这万青年学生志愿者中，英语测试成绩在分以上的女生人数．从选出的名男生中随机抽取人，记其中测试成绩在分以上的人数，求的分布列和数学期望．为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于），并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有人的英语测试成绩在分以上的概率大于．根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值．（结论不要求证明）（1）（2）19.设函数，其中．若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值．已知导函数在区间上存在零点，证明：当时，．（1）20.设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线，分别与椭圆相交于，两点和，两点．若，分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积．【答案】解析:由题意知，，或，∴或．故选．解析:复数，则．故选．解析:由等差数列性质知，，而，则，（2）（3）若直线的斜率存在且不为，四边形为平行四边形，求证：．在（）的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由．（1）（2）（3）21.对于正整数，如果个整数，，，满足，且，则称数组为的一个”正整数分拆”．记，，，均为偶数的”正整数分拆”的个数为，，，，均为奇数的”正整数分拆”的个数为．写出整数的所有”正整数分拆”．对于给定的整数，设是的一个”正整数分拆”，且，求的最大值．对所有的正整数，证明：；并求出使得等号成立的的值．(注：对于的两个”正整数分拆”与，当且仅当且，，，时，称这两个”正整数分拆”是相同的．)C1.B2.C3.B4.∴公差，首项，∴．故选．解析:由题意知，圆心为中点，而，，∴，半径，∴圆心的方程为．故选．解析:由，，取，，则，，，排除、、选项．由同向不等式性质，，即．故选．解析:将四棱锥的三视图转化为直观图如下：其中，，A 5.C 6.D 7.，，即，且．故选．解析:由知，，∴，则，，即，同向，故“”是“，共线”的充分不必要条件．故选．解析:正弦函数的最小正周期为，则，即为的周期，可向右平移单位与原图重合，②对．正弦函数关于对称，即，所以，故关于对称，④对．综上所述，选．解析:作出函数的图象，如图所示：A 8.D 9.B 10.x–1010y–20–10O因为方程有四个实数解，则函数的图象与的图象有个交点，所以可知，当时，，其对称轴为，由二次函数的对称性可知：．当时，则，即，则，当时，，即，所以，所以，则，由可知，，则，又，，令，，则可知在上单调递减，又，，所以，所以的取值范围为．故选．解析:11.的二项展开式的通项公式为，令，得，故的二项展开式中常数项为．解析:，，则，即，解得：．故答案为：．解析:由题意知，，则双曲线的一条渐近线方程为，则，，所以离心率．解析:由题意知，，周期．令得，，．令得，在上单调增，故的最大取值为．答案为，．解析:设甲校有男生人，则有女生人，设乙校有男生人，则有女生人，其中、，且、，则甲校有优秀学生人，乙校有优秀学生人，12.13. ;14.②③15.（1）（2）令，得：，所以当乙校男生比甲校男生超过人以上时，乙校学生优秀学生更多，即乙校学生优秀率更高，故①错，由题意知，甲、乙两校男生成绩优秀率各自都比女生高，故甲乙两校所有男生优秀率大于甲乙两校所有女生优秀率，故②对，由①知，当时，乙校学生优秀率更高，此时，甲校学生成绩优秀率小于两校所有学生成绩优秀率，当时，甲校学生优秀率更高，此时，甲校学生成绩优秀率大于两校所有学生成绩优秀率，即甲校学生与两校所有学生优秀率的大小关系不确定，故③对，综上所述，正确的结论有②③．解析:∵平面，∴，又∵在中，，∴，又∵，∴平面．由（）问可知，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，∵在四棱柱中，平面，∴，且和都垂直于平面，∵在中，，∴，又∵，（1）证明见解析．（2）．16.∴，又∵在中，，∴，且，∴，，，，，∴，，，∴平面的法向量，∴直线和平面所成角的正弦值．解析:当选择条件①时：∵，，，由正弦定理得：，即得，，∴．当选择条件②时：已知，，，∵，，且为钝角，所以无解．当选择条件③时：∵，，，∴为锐角，由正弦定理得：，即得，当选择条件①时：，．当选择条件②时：无解．当选择条件③时：，．17.（1）（2），，由正弦定理得，，即得，，∴．解析:在茎叶图中，女生一共有人，其中英语成绩在分以上者共有人，所以在这个抽样的人中，英语成绩在分以上者比例为，因为人中女生的占比为，由此得到万青年点燃者中女生的人数为，如果以抽取的人中的女生中成绩在分以上的比例作为万女青年志愿者的英语成绩在分以上的比例估计，则有万女青年志愿者中英语成绩在分以上的人数为万人．因为从名男生中抽取人，其中英语成绩在分以上者共有人，所以的取值为，，，，，，则随机变量的分布列为：（1）万人．（2）的分布列为：数学期望为．（3）．18.（3）（1）（2）数学期望．在抽取的人中，英语成绩在分以上者共计人，所以在这人中随机抽取一人，其英语成绩在分以上的概率为，在超过人的青年志愿者中抽取人，其英语成绩在分以上至少一人为事件，则，由此得到，所以的最小值为．解析:∵，由题可知，即，得．∵，∵，可设，令得或，∵在上存在零点，∴，即，由此可知：减极小增∴在单调递减，单调递增，∴，设，，（1）．（2）证明见解析．19.（1）（2）（3）∵，∴，∴，∴在单调递减，∴，∴当时，．解析:由题意可得：，，所以．由题意可得，，，由得，所以，，且，即，，同理可得，因为四边形为平行四边形，所以，即，因为，所以，即．点到直线，直线的距离分别为，由（）知，所以点到直线，直线的距离相等，根据椭圆的对称性，故而原点是平行四边形的对称中心，假设平行四边形是矩形，则，那么，则，所以，这时直线轴，（1）．（2）证明见解析．（3）不能为矩形，证明见解析．20.四边形（1）（2）（3）这与直线的斜率存在相矛盾，所以假设不成立，即平行四边形不能为矩形．解析:，，，，．欲使最大，只须最小，当为偶数时，，当为奇数时，，．当为奇数时，由题意，得，且是的一个各位数字均为奇数的“正整数分拆”，所以，故．当为偶数时，由是各位数字均为偶数的“正整数分拆”，是各位数字均为奇数的“正整数分拆”，得，．①当时，的“正整数分拆”只有和，所以；②当时，由知，；③当为大于的偶数时，因为对于的任意一个各位数字均为偶数的“正整数分拆”，都存在一个与之对应的各位数字均为奇数的“正整数分拆”．且当不同时，其对应的也不相同，所以．又因为在上述对应关系下，各位数字均为奇数的“正整数分拆”不存在与之对应的各位数字都是偶数的“正整数分拆”，（注：因为，所以有意义），所以．（1），，，，．（2）当为偶数时，，当为奇数时，．（3）证明见解析；为，．21.共有个共有个共有个共有个综上，对所有的正整数，；当且仅当或时等号成立．。

2020西城一模数学试题答案逐题解析

2020年北京市西城区初三一模数学考试逐题解析数学试卷 2020.5一、选择题（本题共 16分，每小题 2 分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019 年9月25日正式通航预计到 2022年机场旅客吞吐量将达到 45 000 000人次，将 45 000 000用科学记数法表示为(A)64510⨯(B) 74510.⨯(C) 84510.⨯(D) 804510.⨯【答案】B【解析】将45000000用科学计数法表示为74.510⨯．故B 正确. 2．右图是某个几何体的三视图，该几何体是(A)圆锥(B)圆柱(C)长方体(D)正三棱柱【答案】B【解析】俯视图为圆的只有A 和B ，A 选项圆锥的主视图为三角形，B 选项圆柱的主视图为矩形．故B 正确.3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】A选项与D选项是轴对称图形，选项B为中心对称图形，只有C选项满足中心对称图形以及轴对称图形的特征．故C正确.4．在数轴上，点A，B表示的数互为相反数，若点A在点B的左侧，且AB＝则点A，点B表示的数分别是(A)(C)0，(D)−【答案】A【解析】AB=且A，B互为相反数，故AO=，点A在点B的左侧A表示的数为A正确.5．如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上的两点．若∠CAB= 65︒，则∠ADC的度数为(A) 65︒(B)35︒(C) 32.5︒(D) 25︒【答案】D【解析】由题意知，AB为直径，故∠ACB=90°，∠ABC=∠ACB－∠ACB=25°．圆中同弧所对的圆周角相等，∠ADC=∠ABC=25°．故D正确.6．甲、乙两名运动员10 次射击成绩(单位，环)如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩平均数记为x甲，x乙，射击成绩的方差依次记为2s甲，2s乙，则下列关系中完全正确的是B COA(A) x =x 甲乙，22s >s 甲乙 (B) x =x 甲乙，22s <s 甲乙(C) x x >甲乙，22s >s 甲乙(D) x x <甲乙，22s <s 甲乙【答案】A【解析】由图可知，甲的平均数为()84+92+10410=9⨯⨯⨯÷，乙的平均数为()83+94+10310=9⨯⨯⨯÷，故甲、乙的平均数相等．由图可知，乙比甲稳定，故乙的方差小于甲的方差．故A 正确.7．如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度，阳光下他测得长 1m 的竹竿落在地面上的影长为0.9m ，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上，他测得这棵树落在地面上的影长 BD 为 2.7m ，落在墙面上的影长 CD 为 1.0m ，则这棵树的高度是(A)6.0m(B)5.0m(C)4.0m(D)3.0m【答案】C【解析】利用相似性质得出，影长BD 对应的树高为12.7=30.9m ⨯，加上落在墙上的乙甲影长CD 对应的树高1m ，树高应为4m ．故C 正确.8．设 m 是非零实数，给出下列四个命题： ①若10m −<<，则21m m m<<；②若m >1，则21m m m <<；③若21m m m <<，则m <0；④若21m m m <<，则0<m <1.其中命题成立的序号是(A)①③(B)①④(C)②③(D)③④【答案】B【解析】此题实际考察函数图象的应用．在同一个坐标系内作21,,y x y x y x=== 三个函数图象．①－1＜m ＜0时，根据函数图象可知21m m m＜＜，①正确． ②m ＞1时，21m m m＜＜，②错误．由1m m ＜得，m ＜-1或0＜m ＜1；由21m m ＜得，m ＜0或m ＞1；得出公共部分为m ＜－1，故③错误．同理可得④正确．故B 正确.二、填空题（本题共 16分，每小题 2 分）9在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围_________. 【答案】x ≥1【解析】二次根式在实数范围内有意义，则被开方数≥0，即x －1≥0，解得x ≥1．故答案为x ≥1.10．若多边形的内角和是外角和的 2 倍，则该多边形是_____边形. 【答案】六【解析】多边形的外角和为360°，由题意可知，该多边形内角和为720°，根据多边形内角和公式，()2180=720n −⨯︒︒，n =6．故答案为六.11．已知 y 是以 x 为自变量的二次函数，且当 x =0 时，y 的最小值为1−，写出一个满足上述条件的二次函数表达式__________.【答案】答案不唯一，如:21y x =−.【解析】当x ＝0时，y 的最小值为－1，该二次函数表达式顶点为（0，－1）且二次项系数大于零．故答案可以为21y x =−.12．如果21a a +=，那么代数式2111a a a −−−的值是__________. 【答案】1【解析】由2+=1a a 得2-1=-a a ．所以原式=1-11-11a a aa a a a a −=+==− ．故答案为1.13．如图，在正方形 ABCD 中，BE 平分∠CBD ，EF ⊥BD 于点F ，若 DEBC 的长为_________.AE F DCB【解析】因为正方形ABCD ，所以BC =CD ，BC ⊥CD , ∠BDC =45°．因为BE 平分∠ CBD ，EF ⊥BD ，可证△BCE ≌△BFE （AAS ），所以CE =FE ．又△BDC 为等腰直角三角形，DE，所以FE =1，所以EC =1，所以DC =DE +EC．故答案.14．如图，∆ABC 的顶点A ，B ，C 都在边长为 1 的正方形网格的格点上，BD ⊥AC于点 D ，则 AC 的长为________，BD 的长为_________.【答案】5；3.【解析】作AE ⊥BC 于E ．则AE =3，CE =4，在Rt △AEC 中，由勾股定理可得AC =5．利用等面积法可求BD ,11522ABC S BC AE ∆=⨯⨯=, 11522ABC S AC BD ∆=⨯⨯=,可得BD =3．故答案为5；3.15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A ，B ，C 的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），M 是 ∆ABC 的外接圆，则点 M 的坐标为___________.【答案】（6,6）DCBA【解析】三角形外接圆圆心为三边垂直平分线交点．分别作AB 、BC 的垂直平分线，可得交点为（6,6）．故答案为（6,6）.16．某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表.根据以上信息，以下四个判断中，正确的是_______(填写所有正确结论的序号)①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤” 的天数仅有 4 天； ②该景区这个月每日接待游客人数的中位数在 5~10 万人之间； ③该景区这个月平均每日接待游客人数低于 5 万人；④这个月 1 日至 5 日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他“这两天游玩环境评价均为好” 的可能性为310. 【答案】①④【解析】游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”对应的每日接待游客人数为≥10，由图一可知仅有四天，①正确．总天数为30，中位数应按照从小到大排序后选取第15位和16位取平均数．而每日接待游客人数在0（含）～5之间的天数为16，故中位数应落在此区间，②错误．每日接待游客人数在5（含）～10之间的天数为10，每日接待游客人数≥10的天数为4，可以看成每日接待游客人数≥5的天数总和为游客人数/万人10+4×2=18＞16，因此平均数应大于5，③错误．游玩环境评价为“好”对应的每日接待游客人数为0（含）～5之间，满足条件的日期为1、4、5日，首先在五天中取一天，概率为35，再在剩余的四天中再取一天，概率为24 ，二者相乘得310 ，④正确．也可以列出所有可能的结果，满足条件的结果共三种，分别为1+4、1+5、4+5，总结果为10，所以概率为310．故答案为①④. 三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第27-28题，每小题7分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：(10112602+sin −⎛⎫+−−︒ ⎪⎝⎭.【答案】3 【解析】101()(1|2sin602−+−+−o= 2122++−⨯=318．解不等式组：()3222254x x ,x x.−<−⎧⎪⎨+<⎪⎩【答案】542x ＜＜【解析】原不等式组为3(2)2 2 25 4x x x x −−⎧⎪⎨+⎪⎩＜①＜②解不等式①，得4x ＜解不等式②，得52x ＞∴原不等式组得解集为542x ＜＜19．关于 x 的一元二次方程 x 2 − (2m +1)x + m 2 = 0 有两个实数根. （1）求 m 的取值范围；（2）写出一个满足条件的 m 的值，求此时方程的根. 【答案】（1）14m −≥；（2）答案不唯一，见解析. 【解析】（1）依题意，得[]22(21)41m m −+−⨯⨯△=410m =+≥解得14m −≥ （2）答案不唯一，如：m =0，此时方程为20x x −=解得10x =，21x =20．如图，在Y ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，OA =OB ，过点 B 作 BE ⊥AC 于点E . （1）求证：Y ABCD 是矩形;（2）若 AD =cos ∠ABE =5，求 AC 的长.【答案】（1）见解析；（2）AC ＝5 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ OA =OC ，OB =OD ． ∵ OA =OB ， ∴ OA =OC =OB =OD ． ∴ AC =BD ． ∴ ABCD 是矩形．（2）解： ∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ ∠BAD =∠ADC =90°． ∴ ∠BAC +∠CAD =90°． ∵ BE ⊥AC ，∴ ∠BAC +∠ABE =90°． ∴∠CAD =∠ABE ．在Rt △ACD 中，AD=cos ∠CAD =cos ∠ABE=5，∴ AC ＝5．CB ADOEEODABC21．先阅读下列材料，再解答问题.尺规作图已知：△ABC，D是边AB上一点，如图1，求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形.小明的做法如下：请你参考小明的做法，再设计一种尺规作图的方法(与小明的方法不同)，使得画出的四边形 DBCF 是平行四边形，并证明.【答案】答案不唯一，见解析. 【解析】（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（2）如图．（3）证明： ∵ CF =BD ，DF =BC ，∴ 四边形DBCF 是平行四边形.22．运用语音识别输入统计可以提高文字输入的速度，为了解 A ，B 两种语音识别输入软件的可读性，小秦同学随机选择了 20 段话，其中每段话都含有 100 个字(不计标点符号)，在保持相同语速条件下，他用标准普通话朗读每段话来测试这两种语音识别输入软件的准确性，整个测试分析过程如下，请补充完整.（1）收集数据两种软件每次识别正确的字数记录如下：A 98 98 92 92 92 92 92 89 89 85 84 84 83 83 79 79 78 78 69 58B 99 96 96 96 96 96 96 94 92 8988858078727271655855B（2）整理、描述数据根据上面得到的两组样本数据，绘制了分布直方图：（3）分析数据两组样本数据的平均数，众数，中位数，方差如下表所示（4）得出结论根据以上信息，判断____种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下：_______________(至少从两个不同的角度说明判断的合理性).【答案】见解析. 【解析】（2）（3）（4）答案不唯一，理由须支撑推断的结论．970605010418090100字数B频数223．如图，四边形 OABC 中，∠OAB = 90︒，OA =OC ，BA =BC ．以 O 为圆心，以OA 为半径作☉O ．（1）求证：BC 是☉O 的切线；（2）连接 BO 并延长交☉O 于点 D ，延长 AO 交☉O 于点 E ，与BC 的延长线交于点 F 若»»AD AC =. ①补全图形；②求证：OF =OB .【答案】（1）见解析；（2）①②见解析.【解析】（1）证明：连接 AC ， ∵ OC = OA ， ∴点C 在⊙O 上． ∵ OA = OC ，BA = BC ，∴ ∠OAC =∠OCA ，∠BAC =∠BCA ． ∴ ∠OCB =∠OAB =90°．CAOBEDF∴ OC ⊥BC 于点 C ． ∴ BC 是⊙O 切线．（2） ① 补全图形.②证明：∵BA ，BC 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ,C ∴ BA =BC ，∠DBA =∠DBC ． ∴ BD 是AC 的垂直平分线． ∵ OA =OC ， ∴ ∠AOB =∠COB ．∵»»AD AC =，AE 为⊙O 的直径，∴»»CEDE =． ∴ ∠COE =∠DOE ． ∵ ∠AOB =∠DOE ，∴ ∠AOB =∠BOC =∠COE =60°． ∵ BC 是⊙O 的切线，切点为C ， ∴ ∠OCB =∠OCF =90°． ∴ ∠OBC =∠OFC =30°． ∴ OF = OB ．CAOBEDF24．如图，在△ABC中，AB=4cm，BC=5cm，P是AB上的动点．设A，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，C，P两点间的距离为y2cm.小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1 )，(x，y2 )，并画出函数y1，y2的图象：（3）结合函数图象,①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为____cm；②记»AB所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为_____cm.【答案】（1）（2）画出函数y1的图象；（3）① 0.83或2.49 ． ② 5.32．25．在平面直角坐标系 xOy 中，直线1l ：y =kx +2k (k >0)与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，与函数my x=(x >0)的图象的交点 P 位于第一象限. （1）若点 P 的坐标为(1，6)， ①求 m 的值及点 A 的坐标; ②PBPA=_________；（2）直线2l ：y =2kx −2 与 y 轴交于点 C ，与直线1l 交于点 Q ，若点 P 的横坐标为1， ①写出点 P 的坐标(用含 k 的式子表示)； ②当 PQ ≤P A 时，求 m 的取值范围. 【答案】（1）① m = 6，点A 的坐标为(—2，0)；② 13；（2）① P (1，3k )；② m ≥3. 【解析】（1）①令y =0，则kx +2k =0． ∵ k ＞0 ，解得 x = —2． ∴ 点A 的坐标为(—2，0) ． ∵ 点P 的坐标为(1，6)， ∴ m = 6． ②13．（2）① P (1，3k ) ．② 依题意，得kx +2k =2kx -2，解得 x =22k+．∴ 点Q 的横坐标为22k +，∵ 22k +＞1（ k ＞0 ），∴ 点Q 在点P 的右侧．如图，分别过点P ，Q 作 PM ⊥x 轴于M ，QN ⊥x 轴于N ，则点M ，点N 的横坐标分别为 1，22k+．若 PQ =P A ，则1PQPA=．∴1PQ MNPA MA==． ∴ MN =MA ． ∴ 2213k+−=，解得 k =1．∵ MA = 3，∴ 当1PQ MNPA MA =≤时，k ≥1．∴ m =3k ≥3．∴ 当 PQ ≤P A 时，m ≥3．26．已知抛物线 y =ax 2+bx +a +2(a ≠0)与 x 轴交于点 A (x 1，0)，点 B (x 2，0)，(点 A 在点B 的左侧)，抛物线的对称轴为直线 x =−1.（1）若点 A 的坐标为(−3，0)，求抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）C 是第三象限的点，且点 C 的横坐标为−2，若抛物线恰好经过点 C ，直接写出x 2的取值范围；（3）抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D ，点 P 在抛物线上，且∠DOP =45°，若抛物线上满足条件的点 P 恰有 4 个，结合图象，求 a 的取值范围.【答案】（1）抛物线的表达式为21322y x x =−−+；点B 的坐标为（1，0）；（2）－1＜x 2＜0 （3）a ＜－2 【解析】（1）∵ 抛物线22y ax bx a =+++的对称轴为直线x = -1， ∴ 12ba−=−． ∴ b =2a ．∴ 222y ax ax a =+++化为2(1)2y a x =++．将点 A （-3，0）代入2(1)2y a x =++中，得 a =12−．∴ 22113(1)2222y x x x =−++=−−+．∴ 抛物线的表达式为21322y x x =−−+．点B 的坐标为（1，0）．（2）－1＜x 2＜0 ．（3） ∵ 抛物线的顶点为（-1，2）， ∴ 点D 的坐标为（-1, 0）．∵ ∠DOP =45°，且抛物线上满足条件的点P 恰有4个， ∴ 抛物线与x 轴的交点都在原点的左侧．∴ 满足条件的点P 在x 轴上方有2个，在x 轴下方也有2个．∴ a +2＜0 ．解得a ＜－2．∴ a 的取值范围是a ＜－2．27．如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB =90．点 P 在线段 BC 上，延长 BC 至点 Q ，使得 CQ =CP ，连接 AP ，AQ ．过点 B 作 BD ⊥AQ 于点 D ，交 AP 于点 E ，交 AC于点 F ．K 是线段 AD 上的一个动点(与点 A ，D 不重合)，过点 K 作 GN ⊥AP 于点H ，交 AB 于点 G ，交 AC 于点 M ，交 FD 的延长线于点 N .（1）依题意补全图1;（2）求证：NM =NF ；（3）若AM =CP ，用等式表示线段 AE ，GN 与 BN 之间的数量关系，并证明.【答案】（1）补全图形，如图 1.（2）见解析；（3）BN =AE + GN ，过程见解析.【解析】（1）补全图形，如图 1.（2）证明：∵ CQ =CP ，∠ACB = 90°，∴ AP =AQ ．NG H M K图1E P QD C A F NG H M K图1E P QD C AF∵ BD ⊥AQ ，∴ ∠QBD +∠Q =∠QBD +∠BFC = 90°．∴ ∠Q =∠BFC ．∵ ∠MFN =∠BFC ，∴ ∠MFN =∠Q ．同理，∠NMF =∠APQ ．∴ ∠MFN =∠FMN ．∴ NM =NF ．（3）BN =AE + GN ；证：连接CE ，如图 2．由（1）可得 ∠P AC =∠FBC ，∵ ∠ACB =90°，AC =BC ，∴ △APC ≌△BFC ．∴ CP =CF ．∵ AM =CP ，∴ AM =CF ．∵ ∠CAB =∠CBA =45°．NG H M K图2E P QD C AB F∴AE =BE．又∵AC =BC，∴CE所在直线是AB的垂直平分线．∴∠ECB =∠ECA =45°．∴∠GAM =∠ECF=45°．由（1）可得∠AMG =∠CFE，∴△AGM≌△CEF．∴GM=EF．∵BN=BE + EF + FN=AE +GM+ MN．∴BN=AE+ GN．28．对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M于点N可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．（1）如图1，点C(1，0)，D(−1，0)，E(0，)，点P在线段DE上运动(点P可以与点D，E重合)，连接OP，CP.①线段OP的最小值为_______，最大值为_______；线段CP的取值范围_____;②在点O，点C中，点____________与线段DE满足限距关系；（2）如图2，e O的半径为1，直线y =+b (b>0)与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与e O满足限距关系，求b的取值范围；（3）e O的半径为r(r>0)，点H，K是e O上的两个点，分别以H，K为圆心，1 为半径作圆得到e H和e K，若对于任意点H，K，e H和e K都满足限距关系，直接写出r的取值范围.【答案】（1）①2CP≤2；②O；（2）b≥13；（3）0＜r≤3．【解析】（1）①2CP≤2；②O．（2）直线y b=+与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），当0＜b＜1时，线段FG在⊙O的内部，与⊙O无公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1-b，最大距离为1+b．∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴1+ b≥ 2(1-b) ．解得b≥13．∴b的取值范围是13≤b＜1．当1≤b≤2时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系.当b＞2 时，线段FG在⊙O的外部，与⊙O无公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为112b−，最大距离为b+1.∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴b+1≥ 2(11 2b−)而b+1≥ 2(12b−)总成立．∴当b＞2时，线段FG与⊙O满足限距关系．综上，b的取值范围是b≥13．（3）0＜r≤3．。

2020北京西城区一模高考数学试卷及答案

2020北京西城区高三一模数学 2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页,共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A={x|x<3},B={x|x<0,或x>2},则A∩B=(A)(−∞,0) (B)(2,3)(C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)2.若复数z=(3−i)(1+i),则|z|=(A)2√2(B)2√5(C)√10(D)203.下列函数中,值域为R且为奇函数的是(A)y=x+2(B)y=sinx(C)y=x−x3(D)y=2x4.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=2,a1+a4=5,则S6=(A)10 (B)9 (C)8 (D)75.设A(2,−1),B(4,1),则以线段AB为直径的圆的方程是(A)(x−3)2+y2=2(B))(x−3)2+y2=8(C)(x+3)2+y2=2(D) (x+3)2+y2=86.设a,b,c为非零实数,且a>c,b>c,则(A)a+b>c(B)ab>c2(C)a+b2>c(D)1a+1b>2c7.某四棱锥的三视图如图所示,记S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则 (A)2√2∉S,且2√3∉S (B)2√2∉S,且2√3∈S (C)2√2∈S,且2√3∉S (D)2√2∈S,且2√3∈S8.设a,b 为非零向量,则“|a +b|=|a|+|b|”是“a 与b 共线”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)=sinx1+2sinx的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有①绕着x 轴上一点旋转180°; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A)①③(B)③④(C)②③(D)②④10.设函数f(x)={x 2+10x +1,x ≤0|lgx |, x >0若关于x 的方程f(x)=a(a ∈R)有四个实数解x i (i =1,2,3,4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则(x 1+x 2)(x 3−x 4)的取值范围是 (A)(0,101] (B)(0,99](C)(0,100](D)(0,+∞)第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.在(x +1x )6的展开式中,常数项为.(用数字作答)12.若向量a =(x 2,2),b =(1,x)满足a ·b <3,则实数x 的取值范围是. 13.设双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的一条渐近线方程为y =√22x ,则该双曲线的离心率为.)的最小正周期为;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的最大值为14.函数f(x)=sin(2x+π4.15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是.三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,底面ABCD满足AD∥BC,且AB=AD=AA1=2,BD= DC=2√2.(Ⅰ)求证:AB⊥平面ADD1A1;(Ⅱ)求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值.17.(本小题满分14分),求sinC的值及△ABC的面积.已知△ABC满足,且b=√6,A=2π3从①B=π,②a=√3,③a=3√2sinB这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.4注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出m的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数f(x)=alnx+x2−(a+2)x,其中a∈R.,求a的值;(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线的倾斜角为π4(Ⅱ)已知导函数f′(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x∈(1,e)时,f(x)>−e2.设椭圆E:x 22+y2=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1∥直线l2,且直线l1,l2分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.(Ⅰ)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1⊥x轴,求四边形ABCD的面积;(Ⅱ)若直线l1的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.21.(本小题满分14分)对于正整数n,如果k(k∈N∗)个整数a1,a2,…,a k满足1≤a1≤a2≤⋯≤a k≤n,且a1+a2+⋯+a k=n,则称数组(a1,a2,…,a k)为n的一个“正整数分拆”.记a1,a2,…,a k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n,a1,a2,…,a k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数n(n≥4),设(a1,a2,…,a k)是n的一个“正整数分拆”,且a1=2,求k的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n,证明:f n≤g n;并求出使得等号成立的n的值.(注:对于n的两个“正整数分拆”(a1,a2,…,a k)与(b1,b2,…,b m),当且仅当k=m且a1=b1,a2=b2,…,a k=b m 时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)2020北京西城区高三一模数学参考答案一、选择题：（本题满分40份）16.（本小题满分14份）（1）证明：在∆ABD中，AB=AD=2，BD=2√2有勾股定理得，∠BAD=90°∴AB⊥ADAA1⊥平面ABCD，AB⊆平面ABCD，∴AA1⊥AB又∵AA1∩AD=A∴AB⊥平面ADD1A1（2）解：由（1）知，AB，AD，AA1两两垂直，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,4,0),B 1(2,0,2),D 1(0,2,2)∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2),B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)设平面B 1CD 1的法向量为n ⃗ =(x,y,z) ∴{n ⃗ ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ⃗ ·B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{4y −2z =0−2x +2y =0令x =1,则y =1,z =2∴n ⃗ =(1,1,2)设直线AB 与平面B 1CD 1所成角为θ，∴sinθ=|cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n ⃗ ||=|22×√6|=√6617.（本小题满分14份）当选择条件①时：∵B =π4，A =2π3， sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√32×√22−12×√22=√6−√24由正弦定理得，a sinA =b sinB ,即√32=√6√22得，a =3∴S ∆ABC =12absinC =9−3√34当条件选择②时：已知a =√3,b =√6,A =2π3∵a <b,A <B,且A 为钝角，所以无解。

2020西城初三数学一模

北京市西城区九年级统一测试数学试卷2020.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1–8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019年9月25日正式通航，预计到2022年机场旅客吞吐量将达到45 000 000人次，将45 000 000用科学记数法表示为（A ）64510（B ）74.510 （C ）84.510（D ）80.45102．右图是某个几何体的三视图，该几何体是（A ）圆锥（B ）圆柱（C ）长方体（D ）正三棱柱3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（A ）（B ）（C ）（D ）4．在数轴上，点A ，B 表示的数互为相反数，若点A 在点B 的左侧，且AB ，则点A ，点B 表示的数分别是（A ）（B ，（C ）0，（D ），5．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点．若∠CAB =65°，则∠ADC 的度数为（A ）65°（B ）35°（C ）32.5°（D ）25°6．甲、乙两名运动员的10次射击成绩（单位：环）如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数依次记为x 甲，x 乙，射击成绩的方差依次记为2s 甲，2s 乙，则下列关系中完全正确的是（A ）x 甲=x 乙，2s 甲＞2s 乙（B ）x 甲=x 乙，2s 甲＜2s 乙（C ）x 甲＞x 乙，2s 甲＞2s 乙（D ）x 甲＜x 乙，2s 甲＜2s 乙7．如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长1.0 m 的竹竿落在地面上的影长为0.9 m ．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长BD 为2.7 m ，落在墙面上的影长CD 为1.0 m ，则这棵树的高度是（A ）6.0 m（B ）5.0 m（C ）4.0 m（D ）3.0 m8．设m 是非零实数，给出下列四个命题：①若10m ，则21m m m； ②若1m ，则21m m m； ③若21m m m，则0m ；④若21m m m，则01m ．其中命题成立的序号是（A ）①③（B ）①④（C ）②③（D ）③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是． 10．若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形是边形．11．已知y 是以x 为自变量的二次函数，且当x =0时，y 的最小值为-1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式．12．如果21a a ，那么代数式2111a a a 的值是． 13．如图，在正方形ABCD 中，BE 平分∠CBD ，EF ⊥BD 于点F .若DEBC 的长为．14．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 都在边长为1的正方形网格的格点上， BD ⊥AC 于点D ，则AC 的长为，BD 的长为．第14题图第15题图15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M 是△ABC 的外接圆，则点M 的坐标为．16．某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表.根据以上信息，以下四个判断中，正确的是（填写所有正确结论的序号）． ① 该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有4天； ② 该景区这个月每日接待游客人数的中位数在5～10万人之间； ③ 该景区这个月平均每日接待游客人数低于5万人；④ 这个月1日至5日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他 “这两天游玩环境评价均为好”的可能性为310. 游客人数/万人日期三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）17．计算：101() +(12sin602．18．解不等式组：3(2)22, 25.4x xxx19．关于x的一元二次方程22(21)0x m x m有两个实数根.（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．20．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OB，过点B作BE⊥AC于点E. （1）求证：□ABCD是矩形；（2）若AD，cos ABE，求AC的长．21．先阅读下列材料，再解答问题.尺规作图已知：△ABC，D是边AB上一点，如图1，图1求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形.小明的做法如下：请你参考小明的做法，再设计一种尺规作图的方法（与小明的方法不同），使得画出的四边形DBCF是平行四边形，并证明．22．运用语音识别输入软件可以提高文字输入的速度．为了解A，B两种语音识别输入软件的准确性，小秦同学随机选取了20段话，其中每段话都含100个文字（不计标点符号）.在保持相同语速的条件下，他用标准普通话朗读每段话来测试这两种语音识别输入软件的准确性.他的测试和分析过程如下，请补充完整.（1）收集数据两种软件每次识别正确的字数记录如下：（2）整理、描述数据根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图：（3）分析数据两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：（4）得出结论根据以上信息，判断种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下：____________________（至少从两个不同的角度说明判断的合理性）．23．如图，四边形OABC中，∠OAB=90°，OA=OC，BA=BC．以O为圆心，以OA为半径作⊙O.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，若AD AC，①补全图形；②求证：OF=OB.ABA 98 98 92 92 92 92 92 89 89 8584 84 83 83 79 79 78 78 69 58B 99 96 96 96 96 96 96 94 92 8988 85 80 78 72 72 71 65 58 5524．如图，在△ABC中，AB=4 cm，BC=5 cm. P是 AB上的动点，设A，P两点间的距离为x cm，B，P两点间的距离为y1 cm，C，P两点间的距离为y2 cm.PAC小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整:（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值:（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，点(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为cm；②记 AB所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O 时，PC的长度约为cm．25．在平面直角坐标系xOy 中，直线 1:2(0)l y kx k k 与 x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与函数(0)my x x的图象的交点P 位于第一象限. （1）若点P 的坐标为(1，6)， ① 求m 的值及点A 的坐标；②PBPA= ；（2）直线 2:22l y kx 与y 轴交于点C ，与直线l 1 交于点Q ，若点P 的横坐标为1， ① 写出点P 的坐标（用含k 的式子表示）； ② 当PQ ≤P A 时，求m 的取值范围.26．已知抛物线22y ax bx a （0a ）与x 轴交于点A （1x ，0），点B （2x ，0）（点A 在点B 的左侧），抛物线的对称轴为直线1x .（1）若点A 的坐标为（3,0 ），求抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）C 是第三象限的点，且点C 的横坐标为2 ，若抛物线恰好经过点C ，直接写出 2x 的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，点P 在抛物线上，且∠DOP =45°，若抛物线上满足条件的点P 恰有4个，结合图象，求a 的取值范围.27．如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB =90°. 点P 在线段BC 上，延长BC 至点Q ，使得CQ =CP ，连接AP ，AQ ．过点B 作BD ⊥AQ 于点D ，交AP 于点E ，交AC 于点F ．K 是线段A D 上的一个动点（与点A ，D 不重合），过点K 作GN ⊥AP 于点H ，交AB 于点G ，交AC 于点M ，交FD 的延长线于点N ．（1）依题意补全图1；（2）求证：NM =NF ；（3）若AM =CP ，用等式表示线段AE ，GN 与BN 之间的数量关系，并证明．图1图2CBAP QDFECBAP QDFE28．对于平面直角坐标系xOy 中的图形1W 和图形2W ，给出如下定义：在图形1W 上存在两点A ，B （点A 与点B 可以重合），在图形2W 上存在两点M ，N （点M 与点N 可以重合），使得2AM BN ，则称图形1W 和图形2W 满足限距关系.（1）如图1，点(1,0)C ，(1,0)D，E ，点P 在线段DE 上运动（点P 可以与点D ，E 重合），连接OP ，CP .①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______，线段CP 的取值范围是______；②在点O ，点C 中，点_______与线段DE 满足限距关系；图1图2（2）如图2，O 的半径为1，直线(0)y b b 与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与O 满足限距关系，求b 的取值范围；（3）O 的半径为(0)r r ，点H ，K 是O 上的两点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到H 和K ，若对于任意点H ，K ，H 和K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围.。

2020年西城高三一模数学试题及答案

16.(本小题满分 14 分)
如图,在四棱柱㔰⺁ t 㔰⺁中, hㄠ㔰⺁ ⸶ ⺁ ⸶ h h
(Ⅰ)求证: 㔰平面⺁⺁ ;
平面㔰⺁,底面 ABCD 满足⺁㔰 ,且㔰 ⸶ ⺁ ⸶ ⸶
(Ⅱ)求直线㔰与平面㔰⺁所成角的正弦值.
17.(本小题满分 14 分)
已知△ 㔰满足
,且 ⸶
(D) 吠㸴hh h ⸶
6.设ㄠㄠ为非零实数,且 t ㄠ t ,则
(A)
t
(B) t h
(C)a b
h
t
(D) t
h
1/5
7.某四棱锥的三视图如图所示,记 S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则
(A)h h ㄠ且 h 㸴
(B)h h ㄠ且 h 㸴
(C)h h ㄠ且 h 㸴
(D)h h ㄠ且 h 㸴 8.设ㄠ为非零向量,则“൭
1.设集合 ⸶ 㤴吠൭吠 ㄰ 㸴橔ㄠ㔰 ⸶ 㤴吠൭吠 ㄰ ㄱㄠ或吠 t h橔ㄠ则㔰 ⸶
(A) t ㄠㄱh (B) hㄠ㸴h
(C) t ㄠㄱh hㄠ㸴h (D) t ㄠ㸴h
2.若复数 ⸶ 㸴 t h h,则൭ ൭ ⸶
(A)h h
(B)h
(C) ㄱ
3.下列函数中,值域为 R 且为奇函数的是
(A) ⸶ 吠 h
③以吠轴为轴作轴对称;
④以吠轴的某一条垂线为轴作轴对称.
(A)①③
(B)③④
(C)②③
10.设函数
吠h ⸶
吠h ㄱ吠 쳌吠ㄠ
ㄠ吠吠
t
ㄱ若关于 ㄱ
吠
的方程
吠㸴 ㄰ 吠 ,则吠吠hh 吠㸴 t 吠 h的取值范围是
吠h ⸶

2020西城一模数学试卷

2020北京西城区高三一模数学 2020.4第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、设集合{}{}20,3><=<=x x x B x x A 或，则=⋂B A ( )(A))0,(-∞ (B))3,2( (C))3,2()0,(⋃-∞ (D))3,(-∞ 2、若复数)1)(3(i i z +-=,则=z ( )(A)22 (B)52 (C)10 (D)203、下列函数中,值域为R 且为奇函数的是( )(A)2+=x y (B)x y sin = (C)3x x y -= (D)xy 2= 4、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若5,2413=+=a a a ,则=6S ( )(A)10 (B)9 (C)8 (D)75、设)1,4(),1,2(B A -，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )(A)2)3(22=+-y x (B)8)3(22=+-y x (C)2)3(22=++y x (D)8)3(22=++y x6、设c b a ,,为非零实数,且c b c a >>,,则( ) (A)c b a >+ (B)2c ab > (C)c b a >+2 (D)cb a 211>+ 7.某四棱锥的三视图如图所示,记S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则( )(A)S S ∉∉3222且 (B)S S ∈∉3222且(C)S S ∉∈3222且 (D)S S ∈∈3222且8.设b a ,为非零向量,则“b a b a +=+”是“a 与b 共线”的( )(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件9.已知函数x x x f sin 1sin )(+=的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有( ) ①绕着x 轴上一点旋转ο180; ②沿x 轴正方向平移;③以x 轴为轴作轴对称; ④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.(A)①③ (B)③④ (C)②③ (D)②④ 10.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=0,lg 0,110)(2x x x x x x f 若关于x 的方程)()(R a a x f ∈=有四个实数解),,4,3,2,1(=i x i 其中4321x x x x <<<,则))((4321x x x x -+的取值范围是( )(A)]101,0( (B)]99,0( (C)]010,0( (D)),0(+∞第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11、在6)1(x x +的展开式中,常数项为 .(用数字作答)12、若向量),1(),2,(2x b x a ==满足3<⋅b a ,则实数x 的取值范围是 .13、设双曲线)0(14222>=-b by x 的一条渐近线方程为x y 22=,则该双曲线的离心率为 . 14、函数)42sin()(π+=x x f 的最小正周期为 ;若函数)(x f 在区间),0(a 上单调递增,则α的最大值为 .15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱1111D C B A ABCD -中,⊥1AA 平面ABCD ,底面ABCD 满足BC AD //, 且22,21=====DC BD AA AD AB(Ⅰ)求证:⊥AB 平面11A ADD ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11CD B 所成角的正弦值.17.(本小题满分14分)已知ABC ∆满足，且,32,6π==A b 求C sin 的值及ABC ∆面积从①4π=B ②3=a ③B a sin 23=这三个条件中选一个，补充上面的问题中，并完成解答。

2020年北京市西城区高三一模数学试卷逐题解析

2020年北京市西城区高三一模数学考试逐题解析2020.4 本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第I 卷（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 设集合{|3},A x x =<{|0B x x =<,或2}x >,则A B =（A ）(,0)-∞ （B ）(2,3)（C ）(,0)(2,3)-∞（D ）(,3)-∞ 【答案】C【解析】本题考查集合的运算.{|3}A x x =<,{|0B x x =<,或2}x >由集合的运算法则可知:{|0A B x x =<或23}x <<故选C.2. 若复数(3i)(1i)z =-+,则||z =（A ）（B ）（C（D ）20【答案】B【解析】本题考查复数.2(3i)(1i)33i i i 42i z =-+=+--=+||z ==故选B.3. 下列函数中,值域为R 且为奇函数的是（A ）2y x =+ （B ）sin y x =（C ）3y x x =-（D ）2x y = 【答案】C【解析】本题考查函数奇偶性和值域.A 选项,非奇非偶函数,值域为R ;B 选项,奇函数,值域为[1,1]-;C 选项,()()f x f x -=-,故为奇函数,且值域为R ;D 选项,非奇非偶函数,值域为(0,)+∞.故选C.4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3142,5a a a =+=,则6S =（A ）10（B ）9 （C ）8（D ）7【答案】B【解析】本题考查等差数列.设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d . 1122235a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得141a d =⎧⎨=-⎩,665(1)6492S ⨯⨯-=⨯+= 故选B.5. 设(2,1),(4,1)A B -,则以线段AB 为直径的圆的方程是（A ）22(3)2x y -+=（B ）22(3)8x y -+= （C ）22(3)2x y ++=（D ）22(3)8x y ++=【答案】A【解析】本题考查圆的标准方程.由题意可知,AB 为直径,所以圆心为AB 中点(3,0).且半径为||2AB r === 所以圆方程为22(3)2x y -+=.故选A.6. 设,,a b c 为非零实数,且,a c b c >>,则（A ）a b c +> （B ）2ab c >（C ）2a b c +> （D ）112a b c +>【答案】C【解析】本题考查不等式.当1,2,3a b c =-=-=-时,,a c b c >>,但a b c +=,A 选项错误;当1,2,3a b c =-=-=-时,,a c b c >>,但2ab c <,B 选项错误;因为,a c b c >>,所以2a b c +>,即2a bc +>,C 选项正确;当1,2,3a b c =-=-=-时,,a c b c >>,但112a b c +<,D 选项错误.故选C.7. 某四棱锥的三视图如图所示,记S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则（A ）22S ∉,且23S ∉（B ）22S ∉,且23S ∈（C ）22S ∈,且23S ∉（D ）22S ∈,且23S ∈【答案】D【解析】本题考查三视图.四棱锥的直观图如图所示:由图可知,2AB BC CD AD PA =====; 22PB PD ==; 23PC =;所以{2,22,23}S =.因此22S ∈,且23S ∈,故选D.8. 设,a b 为非零向量,则“||||||=+a +b a b ”是“a 与b 共线”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查平面向量.当两个非零向量,a b 方向相同时,cos ,cos01<>==a b ,22222||2||2||||||(||||)||||+=+⋅+=+⋅+=+=+a b a a b b a a b b a b a b 当两个非零向量,a b 方向相反时,cos ,cos1801<>==-a b ,22222||2||2||||||(||||)||||+=+⋅+=-⋅+=-=-a b a a b b a a b b a b a b 所以“||||||=+a +b a b ”是“a 与b 共线”的充分而不必要条件.故选A.9. 已知函数sin ()12sin x f x x=+的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有①绕着x 轴上一点旋转180;②沿x 轴正方向平移;③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.（A ）①③（B ）③④ （C ）②③（D ）②④ 【答案】D【解析】本题考查三角函数的图象和性质.由题可得:定义域内任意x ,sin(2π)sin (2π)=()12sin(2π)12sin x x f x f x x x++==+++, 所以2π为()f x 的周期,故可沿x 轴正方向平移*2π()k k ∈N 单位后,与原图象重合,②正确;又因为sin y x =,12sin y x =+都关于ππ,2x k k =+∈Z 对称, 所以()f x 的图象关于ππ,2x k k =+∈Z 对称,④正确; 由函数定义可得:()f x 图象不可能关于x 轴对称,③错误;由图易得函数图象不关于(,0),a a ∈R 对称,①错误.故选D.10. 设函数2101,0,()|lg |,0.x x x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩若关于x 的方程()()f x a a =∈R 有四个实数解(1,2,3,4)i x i =,其中1234x x x x <<<,则1234()()x x x x +-的取值范围是（A ）(0,101] （B ）(0,99]（C ）(0,100] （D ）(0,)+∞【答案】B【解析】本题考查函数的图象及性质.()f x a =有四个实数解1234,x x x x <<<即()y f x =与y a=的图象有四个不同的交点.所以(0,1].a ∈由题可得1210.x x +=-341[,1),(1,10].10x x ∈∈且34|lg ||lg |,x x =即34lg lg x x -=,所以34lg 0x x =,即343411,.x x x x ==所以34344410,.x x x x x x -<-=-又因为1y x x =-在(0,)+∞为减函数,所以44199[,0).10x x -∈-所以123434()()10()(0,99].x x x x x x +-=--∈故选B.第II 卷（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。

2020西城一模-数学试卷-20200405-160443

西城区高三统一测试数学2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ 卷3至6页,共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 (选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A ={x |x <3},B ={x |x <0,或x >2},则A ∩B = (A )(-∞,0) (B )(2,3) (C )(-∞,0)∪(2,3) (D )(-∞,3) 2.若复数z =(3-i )(1+i ),则|z |=(A )2 2(B )2 5(C ) 10(D )203. 下列函数中,值域为 R 且为奇函数的是(A )y =x +2(B )y =s i n x (C )y =x -x 3(D )y =2x4.设等差数列 {a n }的前n 项和为S n ,若a 3=2,a 1+a 4=5,则S 6= (A )10(B )9(C )8(D )75. 设A (2,-1),B (4,1),则以线段A B 为直径的圆的方程是(A )(x -3)2+y 2=2 (B )(x -3)2+y 2=8 (C )(x +3)2+y 2=2(D )(x +3)2+y 2=86. 设a ,b ,c 为非零实数,且a >c ,b >c ,则(A )a +b >c (B )a b >c2(C )a +b>c(D )1+1>22 a b c1+2s i n x⎩ 7. 某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则 (A )2 2∉S ,且2 3∉S (B )2 2∉S ,且2 3∈S (C )2 2∈S ,且2 3∉S (D )2 2∈S ,且2 3∈S8. 设a ,b 为非零向量,则 “|a +b |=|a |+|b |”是 “a 与b 共线”的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件9. 已知函数f (x )=s i n x的部分图象如图所示, 将此图象分别作以下变换, 那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有 ① 绕着x 轴上一点旋转180°; ② 沿x 轴正方向平移; ③ 以x 轴为轴作轴对称;④ 以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A )①③(B )③④(C )②③ (D )②④( ) ⎧⎪x 2+10x +1,x ≤0,10. 设函数f x = ⎨ 若关于x 的方程f x =a a ∈R 有四个实数 ⎪|l gx |, x >0. 解x i (i =1,2,3,4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则 (x 1+x 2)(x 3-x 4)的取值范围是 (A )(0,101] (B )(0,99] (C )(0,100] (D )(0,+∞)4第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11. 在 (x +x1)6的展开式中,常数项为 .(用数字作答) 12. 若向量a =(x 2,2),b =(1,x )满足a ·b <3,则实数x 的取值范围是.13. 设双曲线x 2-y 2=1(b >0)的一条渐近线方程为y = 2x ,则该双曲线的离心率 4 b22为 . 14. 函数f (x )=s i n (2x +π)的最小正周期为;若函数f (x )在区间 (0,α)上单调递增,则α 的最大值为 .15. 在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70 ,女生成绩的优秀率为50 ;乙校男生成绩的优秀率为60 ,女生成绩的优秀率为40 .对于此次测试,给出下列三个结论: ① 甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;② 甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率; ③ 甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定. 其中,所有正确结论的序号是.34三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱 A B C D -A 1B 1C 1D 1 中,A A 1 ⊥ 平面 A B C D , 底面 A B C D 满足 A D ∥B C ,且A B =A D =A A 1=2,B D =D C =2 2. (Ⅰ)求证:A B ⊥平面A D D 1A 1; (Ⅱ)求直线A B 与平面B 1C D 1 所成角的正弦值.17.(本小题满分14分)已知△A B C 满足 ,且b = 6,A =2π,求s i n C 的值及△A B C 的面积.从①B =π,②a = 3,③a =3 2s i n B 这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.42019年底, 北京2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募, 仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试, 所得成绩 (单位: 分)统计结果用茎叶图记录如下: (Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数; (Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X ,求X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组 (每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m 个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90 .根据图表中数据,以频率作为概率,给出 m 的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数f (x )=a l n x +x 2-(a +2)x ,其中a ∈R .(Ⅰ)若曲线y =f (x )在点 (2,f (2))处切线的倾斜角为 π,求a 的值; (Ⅱ)已知导函数f '(x )在区间 (1,e )上存在零点,证明:当x ∈(1,e )时,f (x )>-e 2.2设椭圆E :x2 +y 2 =1, 直线l 1 经过点 M (m ,0), 直线l 2 经过点 N (n ,0), 直线l 1∥直线l 2,且直线l 1,l 2 分别与椭圆E 相交于A ,B 两点和C ,D 两点. (Ⅰ)若 M ,N 分别为椭圆E 的左、右焦点,且直线l 1⊥x 轴,求四边形A B C D 的面积; (Ⅱ)若直线l 1 的斜率存在且不为0,四边形A B C D 为平行四边形,求证:m +n =0; (Ⅲ)在 (Ⅱ)的条件下,判断四边形A B C D 能否为矩形,说明理由.21.(本小题满分14分)对于正整数n ,如果k (k ∈N *)个整数a 1,a 2,…,a k 满足1≤a 1≤a 2≤… ≤a k ≤n ,且a 1+a 2+…+a k =n ,则称数组 (a 1,a 2,…,a k )为n 的一个 “正整数分拆”.记a 1,a 2,…,a k 均为偶数的 “正整数分拆”的个数为f n ,a 1,a 2,…,a k 均为奇数的 “正整数分拆”的个数为g n . (Ⅰ)写出整数4的所有 “正整数分拆”; (Ⅱ)对于给定的整数n (n ≥4),设 (a 1,a 2,…,a k )是n 的一个 “正整数分拆”,且a 1=2,求k 的最大值; (Ⅲ)对所有的正整数n ,证明:f n ≤g n ;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个 “正整数分拆”(a 1,a 2,…,a k )与 (b 1,b 2,…,b m ),当且仅当 k =m 且a 1=b 1,a 2=b 2,…,a k =b m 时,称这两个 “正整数分拆”是相同的.)。

2020 西城一模(解析版)

的中点坐标为：，圆半径为，
圆方程为 .
故选： .
【点睛】
本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.
6．C
【解析】
【分析】
取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案.
【详解】
，故，，故正确；
取，计算知错误；
故选： .
【点睛】
本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.
【详解】
(Ⅰ) ，故，
，故 .
(Ⅱ) ，即，存在唯一零点，
设零点为，故，即，
在上单调递减，在上单调递增，
故
，
设，则，
设，则，单调递减，
，故恒成立，故单调递减.
，故当时， .
【点睛】
本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.
20．(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析
【点睛】
本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
4．B
【解析】
【分析】
根据题意，解得，，得到答案.
【详解】
，解得，，故 .
故选： .
【点睛】
本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.
5．A
【解析】
【分析】
计算的中点坐标为，圆半径为，得到圆方程.
【详解】
，
同理可得，
，故，
即，，故 .
(Ⅲ)设中点为，则，，
相减得到，即，
同理可得：的中点，满足，
故，故四边形不能为矩形.
【点睛】
本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

2020年北京市西城区高考数学一模试卷（二）（有答案解析）

2020年北京市西城区⾼考数学⼀模试卷（⼆）（有答案解析）2020年北京市西城区⾼考数学⼀模试卷（⼆）⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，共40.0分）1.设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={-3，-1，1，3}，则集合（?U A）∩B=（）A. {-3，-1}B. {-3，-1，3}C. {1，3}D. {-1，1}2.若复数，则在复平⾯内z对应的点位于（）A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限3.执⾏如图所⽰的程序框图，则输出的k值为（）A. 4B. 5C. 7D. 94.下列直线中，与曲线C：没有公共点的是（）A. 2x+y=0B. 2x+y-4=0C. 2x-y=0D. 2x-y-4=05.设a，b，m均为正数，则“b＞a”是“”的（）A. 充分⽽不必要条件B. 必要⽽不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.如图，阴影表⽰的平⾯区域W是由曲线x-y=0，x2+y2=2所围成的．若点P（x，y）在W内（含边界），则z=4x+3y的最⼤值和最⼩值分别为（）A. ，-7B. ，C. 7，D. 7，-77.购票⼈数1~5051~100100以上门票价格13元/⼈11元/⼈9元/⼈现某单位要组织其市场部和⽣产部的员⼯游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需⽀付门票费为1290元；若两个部门合在⼀起作为⼀个团体，同⼀时间购票游览公园，则需⽀付门票费为990元，那么这两个部门的⼈数之差为（）A. B. C. D.8.如果把⼀个平⾯区域内两点间的距离的最⼤值称为此区域的直径，那么曲线围成的平⾯区域的直径为（）A. B. C. D.⼆、填空题（本⼤题共6⼩题，共30.0分）9.在等⽐数列{a n}中，a2=1，a5=8，则数列{a n}的前n项和S n=______．10.设F1，F2为双曲线的两个焦点，若双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分，则双曲线C的离⼼率为______．11.函数f（x）=sin2x+cos2x的最⼩正周期T=______；如果对于任意的x∈R都有f（x）≤a，那么实数a的取值范围是______．12.某四棱锥的三视图如图所⽰，那么该四棱锥的体积为______．13.能说明“若sinα=cosβ，则α+β=k?360°+90°，其中k∈Z”为假命题的⼀组α，β的值是______．14.如图所⽰，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表⽰数2，右侧的每个算珠表⽰数1（允许⼀侧⽆珠），记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c．例如，图中上档的数字和a=9．若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有______种．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共80.0分）15.在△ABC中，已知a2+c2-b2=mac，其中m∈R．（Ⅰ）判断m能否等于3，并说明理由；（Ⅱ）若m=-1，，c=4，求sin A．16.如图，在多⾯体ABCDEF中，梯形z与平⾏四边形D-xyz所在平⾯互相垂直，AF∥DE，DE⊥AD，AD⊥BE，，．（Ⅰ）求证：BF∥平⾯CDE；（Ⅱ）求⼆⾯⾓B-EF-D的余弦值；（Ⅲ）判断线段BE上是否存在点Q，使得平⾯CDQ⊥平⾯BEF？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．17.为培养学⽣的阅读习惯，某校开展了为期⼀年的“弘扬传统⽂化，阅读经典名著”活动．活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、⼄两组各10名学⽣的阅读量（单位：本），统计结果⽤茎叶图记录如下，⼄组记录中有⼀个数据模糊，⽆法确认，在图中以a表⽰．（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值⼤于⼄组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、⼄两组中阅读量超过15本的学⽣称为“阅读达⼈”．设a=3，现从所有“阅读达⼈”⾥任取3⼈，求其中⼄组的⼈数X的分布列和数学期望．（Ⅲ）记甲组阅读量的⽅差为s02．在甲组中增加⼀名学⽣A得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的⽅差为s12；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的⽅差为s22，试⽐较s02，s12，s22的⼤⼩．（结论不要求证明）18.设函数f（x）=me x-x2+3，其中m∈R．（Ⅰ）当f（x）为偶函数时，求函数h（x）=xf（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-2，4]上有两个零点，求m的取值范围．19.已知椭圆W：的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（n，0）的直线与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）．（Ⅰ）当n=0，且直线CD⊥x轴时，求四边形ACBD的⾯积；（Ⅱ）设n=1，直线CB与直线x=4相交于点M，求证：A，D，M三点共线．20.如图，设A是由n×n（n≥2）个实数组成的n⾏n列的数表，其中a ij（i，j=1，2，…，ij∈{1，-1}．a11a12 (1)a21a22 (2)…?a n1a n2…a nn定义p st=a s1a t1+a s2a t2+…+a sn a tn（s，t=1，2，…，n）为第s⾏与第t⾏的积．若对于任意s，t（s≠t），都有p st=0，则称数表A为完美数表．（Ⅰ）当n=2时，试写出⼀个符合条件的完美数表；（Ⅱ）证明：不存在10⾏10列的完美数表；（Ⅲ）设A为n⾏n列的完美数表，且对于任意的i=1，2，…，l和j=1，2，…，k，都有a ij=1，证明：kl≤n．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：根据题意，全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，则?U A={x|x≤0或x≥2}⼜由B={-3，-1，1，3}，则集合（?U A）∩B={-3，-1，3}；故选：B．根据题意，由补集的定义求出集合?U A，进⽽由交集的定义分析可得答案．本题考查集合的混合运算，关键是掌握集合交、并、补集的定义，属于基础题．2.答案：D解析：解：∵=，∴在复平⾯内z对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．直接利⽤复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表⽰法及其⼏何意义，是基础题．3.答案：D解析：解：当k=1时，S==-3，k=3，S＜2成⽴，S==-，k=5，S＜2成⽴，S=，k=7，S＜2成⽴，S=，k=9，S＜2不成⽴，输出，k=9，故选：D．根据程序框图进⾏模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利⽤模拟运算是解决本题的关键．4.答案：C解析：解：曲线C参数⽅程为：，①×2-②得，2x-y-4=0，故曲线C为斜率为2的直线，选项中斜率为2的直线为C，D．⽽D与曲线C重合，有⽆数个公共点，排除．故选：C．通过C的参数⽅程，得到C的普通⽅程2x-y-4=0，再根据直线与直线的位置关系，可得．本题考查了直线的参数⽅程，直线与直线的位置关系，为基础题．5.答案：C解析：解：∵a，b，m均为正数，∴由得b（a+m）＞a（b+m），即ab+bm＞ab+am，即bm＞am，∵m是正数，∴b＞a，反之也成⽴，所以“b＞a”是“”的充要条件，故选：C．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进⾏判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式关系是解决本题的关键．6.答案：A解析：解：由题意可知直线平移直线0=4x+3y，当直线经过A上取得最⼩值，平移到与x2+y2=2相切于B时，取得最⼤值，B（-1，-1），最⼩值为：-7；由可得：25x2-8zx+z2-18=0，△=64z2-4（z2-8）×25=0，解得z=5，z=（舍去），所以则z=4x+3y的最⼤值和最⼩值分别为：5；-7．故选：A．利⽤已知条件平移直线0=4x+3y，判断最优解，求解⽬标函数的最值即可．本题考查线性规划的简单应⽤，考查转化思想以及计算能⼒．7.答案：B解析：解：∵990不能被13整除，∴两个部门⼈数之和：a+b≥51，（1）若51≤a+b≤100，则11 （a+b）=990得：a+b=90，①由共需⽀付门票费为1290元可知，11a+13b=1290 ②解①②得：b=150，a=-60，不符合题意．（2）若a+b≥100，则9 （a+b）=990，得a +b=110 ③由共需⽀付门票费为1290元可知，1≤a≤50，51≤b≤100，得11a+13b=1290 ④，解③④得：a=70⼈，b=40⼈故两个部门的⼈数之差为70-40=30⼈，故选：B．根据990不能被13整除，得两个部门⼈数之和：a+b≥51，然后结合门票价格和⼈数之间的关系，建⽴⽅程组进⾏求解即可．本题主要考查函数的应⽤问题，结合门票价格和⼈数之间的关系，建⽴⽅程是解决本题的关键．考查学⽣分析问题的能⼒．8.答案：B解析：解：曲线x4+y2=2围成的平⾯区域，关于x，y轴对称，设曲线上的点P（x，y），可得|OP|==≤．所以曲线x4+y2=2围成的平⾯区域的直径为：3．故选：B．利⽤曲线的对称性，设出点的坐标，通过距离公式以及⼆次函数的性质求解最值即可．本题考查曲线与⽅程的应⽤，新定义的应⽤．考查转化思想以及计算能⼒．9.答案：解析：解：∵a2=1，a5=8∴a5=a2q3，即q3==8，即q=2，⾸项a1=，则数列{a n}的前n项和S n==2n-1-，故答案为：2n-1-．根据等⽐数列的通项公式，求出⾸项和公⽐，结合等⽐数列的前n项和公式进⾏计算即可．本题主要考查等⽐数列前n项和的计算，结合通项公式求出⾸项和公⽐是解决本题的关键．10.答案：3解析：解：双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分，可得2a=?2c，则c=3a，即e==3．故答案为：3．由题意可得2a=?2c，结合离⼼率公式，可得所求值．本题考查双曲线的⽅程和性质，主要是离⼼率的求法，考查运算能⼒，属于基础题．11.答案：π解析：解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），即函数的周期T==π，若对于任意的x∈R都有f（x）≤a，则a≥f（x）max，即当sin（2x+）=1时，f（x）取得最⼤值，最⼤值为，即f（x）max=，则a≥，故答案为：π，a≥．利⽤辅助⾓公式，结合周期公式进⾏求解，不等式f（x）≤a等价为a≥f（x）max，进⾏求解即可．本题主要考查三⾓函数的性质的应⽤，利⽤辅助⾓公式进⾏化简是解决本题的关键．12.答案：解析：【分析】本题考查三视图求解⼏何体的体积，判断⼏何体的形状是解题的关键，属于基础题．画出⼏何体的直观图，利⽤三视图的数据，求解⼏何体的体积．【解答】解：⼏何体的直观图如图：是底⾯是长为2，宽为1的长⽅形，⾼为2的四棱锥，故四棱锥的体积为：×1×2×2=．故答案为．13.答案：α=110°，β=20°解析：解：若sinα=cosβ，则α=k?360°+90°±β（k∈Z），命题中α=k?360°+90°-β，（k∈Z），要否定命题，只须从α=k? 360°+90°+β（k∈Z）中找⼀个反例即可，如α=110°，β=20°，（答案不唯⼀，再如α=120°，β=30°等，只要满⾜α=k? 360°+90°+β（k∈Z）且α≠k?360°+90°-β（k∈Z）即可作为反例．故填：α=110°，β=20°．若sinα=cosβ，则α=k?360°+90°±β（k∈Z），⽽命题中只给出了α=k?360°+90°-β（k∈Z）的情况，故可从另⼀种情况中找反例．本题考查了三⾓函数的值及三⾓函数的性质、诱导公式等知识，属于基础题．14.答案：32解析：解：根据题意，a，b，c的取值范围都是从7～14共8个数字，故公差d范围是-3到3，①当公差d=0时，有=8种，②当公差d=±1时，b不取7和14，有2=12种，③当公差d=±2时，b不取7，8，13，14，有2=8种，④当公差d=±3时，b只能取10或11，有2=4种，综上共有8+12+8+4=32种，故填：32a，b，c的取值范围都是从7～14，可以根据公差d的情况进⾏讨论．本题考查排列、组合的应⽤，要表⽰的有3项，做题时容易找不到切⼊点，本题应考虑等差中项的选取⽅法，属于中档题．15.答案：解：（Ⅰ）当m=3时，由题可知a2+c2-b2=3ac，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得．这与cos B∈[-1，1]⽭盾，所以m不可能等于3．（Ⅱ）由（Ⅰ），得，所以．因为，c=4，a2+c2-b2=-ac，所以a2+16-28=-4a，解得a=-6（舍）或a=2.在△ABC中，由正弦定理，得．解析：本题考查了正弦定理余弦定理的应⽤，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．（Ⅰ）当m=3时，由题可知a2+c2-b2=3ac，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，化简求得cos B，即可判断出结论．（Ⅱ）由（Ⅰ），得，可得B．由，c=4，a2+c2-b2=-ac，解得a，再利⽤正弦定理即可得出．16.答案：解：（Ⅰ）由底⾯ABCD为平⾏四边形，知AB∥CD，⼜因为AB?平⾯CDE，CD?平⾯CDE，所以AB∥平⾯CDE．………………（2分）同理AF∥平⾯CDE，⼜因为AB∩AF=A，所以平⾯ABF∥平⾯CDE．……………（3分）⼜因为BF?平⾯ABF，所以BF∥平⾯CDE．………………（4分）（Ⅱ）连接BD，因为平⾯ADEF⊥平⾯ABCD，平⾯ADEF∩平⾯ABCD=AD，DE⊥AD，所以DE⊥平⾯ABCD．则DE⊥DB．⼜因为DE⊥AD，AD⊥BE，DE∩BE=E，所以AD⊥平⾯BDE，则AD⊥BD．故DA，DB，DE两两垂直，所以以DA，DB，DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建⽴空间直⾓坐标系，………………（6分）则D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（-1，1，0），E（0，0，2），F （1，0，1），所以，，=（0，1，0）为平⾯DEF的⼀个法向量．设平⾯BEF的⼀个法向量为=（x，y，z），由=0，?=0，得令z=1，得=（1，2，1）．………………（8分）所以cos＜，＞==．如图可得⼆⾯⾓B-EF-D为锐⾓，所以⼆⾯⾓B-EF-D的余弦值为．………………（10分）（Ⅲ）结论：线段BE上存在点Q，使得平⾯CDQ⊥平⾯BEF．………………（11分）证明如下：设，所以．设平⾯CDQ的法向量为=（a，b，c），⼜因为，所以，=0，即………………（12分）若平⾯CDQ⊥平⾯BEF，则=0，即a+2b+c=0，………………（13分）解得．所以线段BE上存在点Q，使得平⾯CDQ⊥平⾯BEF，且此时．……（14分）解析：（Ⅰ）根据⾯⾯平⾏的性质定理先证明平⾯ABF∥平⾯CDE即可证明BF∥平⾯CDE；（Ⅱ）建⽴空间坐标系，求出两个平⾯的法向量，利⽤向量法求⼆⾯⾓B-EF-D的余弦值；（Ⅲ）根据⾯⾯垂直与向量之间的关系转化为向量进⾏求解．本题主要考查空间直线和平⾯，平⾯和平⾯位置关系的判定，利⽤相应定理或者建⽴空间坐标系，利⽤向量法是解决本题的关键．17.答案：（本⼩题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学⽣阅读量的平均值为，⼄组10名学⽣阅读量的平均值为．………………（2分）由题意，得，即a＜2．………………（3分）故图中a的取值为0或1．………………（4分）（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达⼈”有2⼈，⼄组“阅读达⼈”有3⼈．由题意，随机变量X的所有可能取值为：1，2，3．………………（5分）且，，．……（8分）所以随机变量X的分布列为：X123P………………（9分）所以．………………（10分）（Ⅲ）．………………（13分）解析：（Ⅰ）由茎叶图分别求出甲组10名学⽣阅读量的平均值和⼄组10名学⽣阅读量的平均值，由此能求出图中a的取值．（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达⼈”有2⼈，⼄组“阅读达⼈”有3⼈．随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．（Ⅲ）．本题考查实数值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、⽅差等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）由函数f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），即me-x-（-x）2+3=me x-x2+3对于任意实数x都成⽴，所以m=0．此时h（x）=xf（x）=-x3+3x，则h'（x）=-3x2+3．由h'（x）=0，解得x=±1,当x变化时，h'（x）与h（x）的变化情况如下表所⽰：x（-∞，-1）-1（-1，1）1（1，+∞）h'（x）-0+0-h（x）↘极⼩值↗极⼤值↘所以（）在（，），（，）上单调递减，在（，）上单调递增,所以h（x）有极⼩值h（-1）=-2，h（x）有极⼤值h（1）=2．（Ⅱ）由f（x）=me x-x2+3=0，得．所以“f（x）在区间[-2，4]上有两个零点”等价于“直线y=m与曲线，x∈[-2，4]有且只有两个公共点”．对函数g（x）求导，得．由g'（x）=0，解得x1=-1，x2=3．当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表所⽰：x（-2，-1）-1（-1，3）3（3，4）g'（x）-0+0-g（x）↘极⼩值↗极⼤值↘所以g（x）在（-2，-1），（3，4）上单调递减，在（-1，3）上单调递增．⼜因为g（-2）=e2，g（-1）=-2e，，，所以当或时，直线y=m与曲线，x∈[-2，4]有且只有两个公共点．即当或时，函数f（x）在区间[-2，4]上有两个零点.解析：（Ⅰ）先求出m的值，再求函数的导数，得到函数的单调区间，从⽽求出函数的极值；（Ⅱ）由已知可得，命题等价于“直线y=m与曲线，x∈[-2，4]有且只有两个公共点”．对g（x）求导，得到函数的单调区间，分类讨论即可得解．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应⽤，考查换元思想、分类讨论思想，解题时仔细谨慎，属于中档题．19.答案：解：（Ⅰ）由题意，得a2=4m=4，解得m=1．所以椭圆W⽅程为．当n=0，及直线CD⊥x轴时，易得C（0，1），D（0，-1）．且A（-2，0），B（2，0）．所以|AB|=4，|CD|=2，显然此时四边形ACBD为菱形，所以四边形ACBD的⾯积为．（Ⅱ）当直线CD的斜率k不存在时，由题意，得CD的⽅程为x=1，代⼊椭圆W的⽅程，得，，易得CB的⽅程为．则，，，所以，即A，D，M三点共线．当直线CD的斜率k存在时，设CD的⽅程为y=k（x-1）（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），联⽴⽅程消去y，得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0．由题意，得△＞0恒成⽴，故，．直线CB的⽅程为．令x=4，得．⼜因为A（-2，0），D（x2，y2），则直线AD，AM的斜率分别为，，所以．上式中的分⼦===0，所以k AD-k AM=0．所以A，D，M三点共线．解析：（Ⅰ）当n=0，及直线CD⊥x轴时，易得C（0，1），D（0，-1）．且A（-2，0），B（2，0）．所以|AB|=4，|CD|=2，显然此时四边形ACBD为菱形，可得⾯积．（Ⅱ）分斜率是否存在讨论，①当直线CD的斜率k不存在时，求出A，M，C，D坐标，⽤向量法易证A，D，M三点共线．②当直线CD的斜率k存在时，设CD的⽅程为y=k（x-1）（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），联⽴⽅程消去y，得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0．将k AM，k AD表⽰为含有k的算式，可以证k AM，k AD相等．故A，D，M 三点共线．本题考查椭圆的⽅程和性质，主要考查椭圆⽅程的运⽤，注意联⽴直线⽅程，运⽤韦达定理，同时考查向量的共线的坐标运算，证明时需对直线CD斜率是否存在讨论，属于中档题．20.答案：（Ⅰ）解：由题意，可写出如下的完美数表：11-11+a12a22=1×（-1）+1×1=0，121121∴此完美数表符合条件．（Ⅱ）证明：假设存在10⾏10列的完美数表A．根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何⼀列的数变为其相反数（即+1均变为-1，⽽-1均变为+1），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表．完美数表A反复经过上述两个结论的变换，前三⾏可以为如下形式：1...11...11...11 (1)1…11…1-1…-1-1…-11…1-1…-11…1-1…-1在这个新数表中，设前三⾏中的数均为1的有x列，前三⾏中“第1，2⾏中的数为1，且第3⾏中的数为-1”的有y列，前三⾏中“第1，3⾏中的数为1，且第2⾏中的数为-1”的有z列，前三⾏中“第1⾏中的数为1，且第2，3⾏中的数为-1”的有w列（如上表所⽰），则x+y+z+w=10①由p12=0，得x+y=z+w；②由p13=0，得x+z=y+w；③由p23=0，得x+w=y+z．④解⽅程组①，②，③，④，得．这与x，y，z，w∈N⽭盾，所以不存在10⾏10列的完美数表．（Ⅲ）证明：记第1列前l⾏中的数的和a11+a21+…+a l1=X1，第2列前l⾏中的数的和a12+a22+…+a l2=X2，……，第n列前l ⾏中的数的和a1n+a2n+…+a ln=X n，∵对于任意的i=1，2，…，l和j=1，2，…，k，都有a ij=1，∴．⼜∵对于任意s，t（s≠t），都有p st=0，∴．⼜∵，∴ln≥l2k，即kl≤n．解析：本题第（Ⅰ）题可根据题⽬的意思先写出⼀个完美数表，然后⽤P12是否等于0来验证；第（Ⅱ）题可先假设这样的10⾏10列的完美数表是存在的，然后根据完美数表的特点进⾏适当变换，观察完美数表中1与-1的个数再与题⼲中的验证公式去验证，最终得到⽭盾的结论，命题得证；第（Ⅲ）题先设出每⾏中1的个数，然后根据题⼲中结论的任意性来证明结论成⽴．本题第（Ⅰ）题主要考查对题意的阅读理解能⼒；第（Ⅱ）题主要考查联系矩阵的特点对完美数表的规律的认识；第（Ⅲ）题主要考查对完美数表元素1的个数特点证明．本题是⼀道较难的偏难题．。