2018届高考数学二轮复习 第1部分 专题二 函数、不等式、导数 1-2-4 导数的综合应用限时规范训练 文

限时规范训练 导数的综合应用

限时40分钟，实际用时________ 分值81分，实际得分________

一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)

1．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：

①函数y ＝f (x )在区间⎝

⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，3内单调递减；

③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )取极小值； ⑤当x ＝－1

2时，函数y ＝f (x )取极大值．

则上述判断中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④⑤

D ．③

解析：选D.当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，①错；当x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，2时，

f ′(x )

＞0，f (x )单调递增，当x ∈(2,3)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，②错；当x ＝2时，函数y ＝

f (x )取极大值，④错；当x ＝－12

时，函数y ＝f (x )无极值，⑤错．故选D.

2．若函数f (x )＝2x 2

－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )

A ．[1，＋∞)

B ．[1,2)

C.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫1，32 D.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫32，2 解析：选C.f ′(x )＝4x －1x

＝ 2x －1 2x ＋1

x

， ∵x ＞0，由f ′(x )＝0得x ＝12

.

∴令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜1

2

.

由题意得⎩

⎪⎨⎪

⎧

k －1≥0，k －1＜1

2＜k ＋1⇒1≤k ＜3

2

.故C 正确．

3．已知函数f (x )(x ∈R )满足f ′(x )＞f (x )，则( ) A ．f (2)＜e 2

f (0) B ．f (2)≤e 2

f (0) C ．f (2)＝e 2

f (0) D ．f (2)＞e 2

f (0) 解析：选D.由题意构造函数

g (x )＝

f x

e

x

，则g ′(x )＝

f ′ x －f x

e

x

＞0，则g (x )＝

f x

e

在R 上单调递增，则有g (2)＞g (0)，故f (2)＞e 2

f (0)．

4．不等式e x

－x ＞ax 的解集为P ，且[0,2]⊆P ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，e －1) B ．(e －1，＋∞) C ．(－∞，e ＋1)

D ．(e ＋1，＋∞)

解析：选A.由题意知不等式e x

－x ＞ax 在区间[0,2]上恒成立，当x ＝0时，不等式显然成立，当x ≠0时，只需a ＜e x

x －1恒成立，令f (x )＝e x

x －1，f ′(x )＝e x

x －1 x

2

，显然函数在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值e －1，则a ＜e －1，故选A.

5．设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋b x

，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线，则当x ＞1时，f (x )与g (x )的大小关系是( )

A ．f (x )＞g (x )

B ．f (x )＜g (x )

C ．f (x )＝g (x )

D ．f (x )与g (x )的大小关系不确定

解析：选B.由题意得f (x )与x 轴的交点(1,0)在g (x )上，所以a ＋b ＝0，因为函数f (x )，g (x )的图象在此公共点处有公切线，所以f (x )，g (x )在此公共点处的导数相等，f ′(x )＝1

x

，g ′(x )

＝a －b x 2，以上两式在x ＝1时相等，即1＝a －b ，又a ＋b ＝0，所以a ＝12，b ＝－12，即g (x )＝x 2

－

12x ，f (x )＝ln x ，令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －x 2＋12x ，则h ′(x )＝1x －12－12x 2＝2x －x 2

－12x 2＝－ x －1

2

2x ，因为x ＞1，所以h ′(x )＜0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以h (x )＜h (1)＝0，所以f (x )＜g (x )．故选B.

6．设函数f (x )＝ax 3

－x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]都有f (x )≥0，则实数a 的取值范围为( )

A ．(－∞，2]

B ．[0，＋∞)

C ．[0,2]

D ．[1,2]

解析：选C.∵f (x )＝ax 3

－x ＋1，∴f ′(x )＝3ax 2

－1， 当a ＜0时，f ′(x )＝3ax 2

－1＜0，f (x )在[－1,1]上单调递减，

f (x )min ＝f (1)＝a ＜0，不符合题意．

当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1，f (x )在[－1,1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝0，符合题意． 当a ＞0时，由f ′(x )＝3ax 2

－1≥0，得x ≥1

3a 或x ≤－1

3a ，当0＜13a ＜1，即a ＞13时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13a

，13a 上单调递减，在⎝

⎛

⎦

⎥⎤

13a ，1上单调递增，

∴⎩⎪⎨⎪

⎧

f －1 ＝－a ＋1＋1＝2－a ≥0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＝a ⎝ ⎛⎭

⎪⎫13a 3

－13a ＋1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧

a ≤2

a ≥

427

a ＞13

，

∴1

3＜a ≤2； 当

13a ≥1，即0＜a ≤1

3

时，f (x )在[－1,1]上单调递减， f (x )min ＝f (1)＝a ＞0，符合题意．

综上可得，0≤a ≤2.

二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

7．已知y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，且xf ′(x )＋f (x )＞0，则函数g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)的零点个数为________．

解析：因为g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)，g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝1，y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，所以g (x )为(0，＋∞)上的连续可导函数，又g (x )＞g (0)＝1，所以g (x )在(0，＋∞)上无零点．

答案：0

8．在函数f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2

(x ＞0)的图象上任取两个不同点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，总能使得f (x 1)－f (x 2)≥4(x 1－x 2)，则实数a 的取值范围为________．

解析：不妨设x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，∵f (x 1)－f (x 2)≥4(x 1－x 2)，∴

f x 1 －f x 2

x 1－x 2

≥4，