高三数学一轮复习教案第一节三角函数

第三章三角函数
【知识导读】
【方法点拨】
三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”．这一部分的内容，具有以下几个特点：1．公式多.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键.
2．思想方法丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.
3．变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强.
4．应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.
第1课 三角函数的概念
【考点导读】
1． 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．
角的概念推广后，有正角、负角和零角；与α终边相同的角连同角α本身，可构成一个集合
{}
Z k k S ∈⋅+==,360 αββ；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度
与弧度的互换，能运用弧长公式r l α=
及扇形的面积公式S ＝lr 2
1（l 为弧长）解决问题.
2． 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.
角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点(,)P x y （不同于坐标原点），设OP r =
（0r =>）
，则α的三个三角函数值定义为：sin ,cos ,tan y x y
r r x
ααα=
==． 从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R ；正切函数的定义域为
{|,,}2
R k k Z π
αααπ∈≠+
∈．
3． 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．
由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记0、
6π、4π、3π、2
π
的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处. 4． 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．
在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题． 【基础练习】
1． 885-化成2(02,)k k Z πααπ+≤≤∈的形式是 ．
2．已知α为第三象限角，则2α
所在的象限是 ． 3．已知角α的终边过点(5,12)P -，则cos α= ， tan α= ． 4．
tan(3)sin 5
cos8
-的符号为 ．
5．已知角θ的终边上一点(,1)P a -（0≠a ），且a -=θtan ，求θsin ，θcos 的值．
解：由三角函数定义知，1a =±，当1a =
时，sin 2θ=-
，cos 2
θ=； 13612ππ-+
第二或第四象限 513
-
125- 正
当1a =-时，sin 2θ=-，cos 2
θ=-． 【范例解析】
例1.如图，α，β分别是终边落在OM ，ON 位置上的两个角， 且30α=︒，300β=︒．
（1）求终边落在阴影部分（含边界）时所有角的集合； （2）终边落在阴影部分，且在区间[0,360]︒︒时所有角的集合； （3）求始边在OM 位置上，终边在ON 位置上所有角的集合． 解：（1）{6036030360,}k k k Z θθ-︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈； （2）{030}{300360}θθθθ︒≤≤︒⋃︒≤≤︒； （3）
270βα-=︒，{270360,}k k Z θθ∴=︒+⋅︒∈．
点评：三角函数中应注意文字语言与符号语言的转化；第（3）问要注意角的方向． 例2.（1）已知角α的终边经过一点(4,3)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值；
（2）已知角α的终边在一条直线y =上，求sin α，tan α的值． 分析：利用三角函数定义求解．
解：（1）由已知4x a =，5r a =．当0a >时，5r a =，3sin 5α=-
，4
cos 5
α=，则2
2s i n c o s 5
αα+=-；
当0a <时，5r a =-，3sin 5α=，4cos 5α=-，则2
2sin cos 5
αα+=．
（2）设点()(0)P a a ≠是角α的终边y =上一点，则tan α=
当0a >时，角α是第一象限角，则sin 2α=
；
当0a <时，角α是第三象限角，则sin 2
α=-． 点评：要注意对参数进行分类讨论．
例3.（1）若sin cos 0θθ⋅>，则θ在第_____________象限． （2）若角α是第二象限角，则sin 2α，cos2α，sin
2
α
，cos
2
α
，tan
2
α
中能确定是正值的有____个．
解：（1）由sin cos 0θθ⋅>，得sin θ，cos θ同号，故θ在第一，三象限．
（2）由角α是第二象限角，即
222
k k π
παππ+<<+，得
4
2
2
k k π
α
π
ππ+<
<
+，
4224k k ππαππ+<<+，故仅有tan
2
α
为正值．
点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号．
例4. 一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？ 分析：选取变量，建立目标函数求最值．
解：设扇形的半径为x ㎝，则弧长为(202)l x =-㎝，故面积为21
(202)(5)252
y x x x =-=--+， 当5x =时，面积最大，此时5x =，10l =，2l
x
α==， 所以当2α=弧度时，扇形面积最大252
cm ．
点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数． 【反馈演练】
1．若sin cos θθ>且sin cos 0θθ⋅<则θ在第_______象限． 2．已知6α=，则点(sin ,tan )A αα在第________
象限． 3．已知角θ
是第二象限，且(P m
为其终边上一点，若cos 4
m θ=
，则m 的值为
． 4．将时钟的分针拨快30min ，则时针转过的弧度为 ．
5．若46παπ<<，且α与23
π
-终边相同，则α= ． 6．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______，这个圆心角所在的扇形的面
积是___________．
7．已知sin 20θ<，θθcos cos -=，则点1
(tan ,)cos P θθ
在第 象限． 8．已知6
π
α=
，角β的终边与α的终边关于直线y x =对称，则角β的集合为____________________．
9．设θ是第二象限角，且满足|sin
|sin
2
2
θ
θ
=-，则
2
θ
是第_______
象限的角． 10．（1）已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．
（2）若扇形的面积为82
cm ，当扇形的中心角α(0)α>为多少弧度时，该扇形周长最小． 简解：（1）该扇形面积22
cm ；
二 三 12π
-
163π
11
sin
2
11cos1- 三
5
{2,}6k k Z ββππ=+∈
三
（2）2182
r l y
rl +=⎧⎪
⎨=⎪⎩
，得162y r r =+≥
r =
l =，2l r α==．
11．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴，终边在直线x y 3=上，求
1
sin cos tan tan αααα
⋅+-
的值． 解：当角α在第一象限时，tan 3α=
，sin 10α=
，cos 10
α=， 则189
sin cos tan tan 30
αααα⋅+-
=； 当角α在第三象限时，tan 3α=
，sin 10α=-
，cos 10
α=-， 则189
sin cos tan tan 30
αααα⋅+-
=． 12．已知cos cos θθ=-，且tan 0θ<，判断
sin(cos )
cos(sin )
θθ的符号．
解：由已知θ是第二象限，则1cos 0θ-<<，0sin 1θ<<，cos(sin )0θ∴>，sin(cos )0θ<，故
sin(cos )
0cos(sin )
θθ<．。