2019版高考数学一轮复习第6章不等式6.3基本不等式课件理

1 1 a b a＋b＝(a＋b)· ＋ ＝2＋ ＋ ≥2＋2 b b a a
ab ·＝4， ba
当且仅当 a＝b＝2 时取“＝”，故选 C.
[条件探究]
1 9 将典例条件变为“x＞0，y＞0 且 ＋ ＝ x y
1”，求 x＋y 的最小值．
解 y ∵x＞0，y＞0，∴y＞9 且 x＝ . y－9
最小 值是 2 p(简记： 积定和最小 )．
(2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有 p2 最大 值是 (简记： 和定积最大 4 )．
注： 应用基本不等式求最值时， 必须考察“一正、 二定、 三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．
3．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． b a (2) ＋ ≥2(a，b 同号)． a b
第6章
不等式
6． 3
基本不等式
基础知识过关
[知识梳理] 1．基本不等式
a＋b 2 设 a>0，b>0，则 a、b 的算术平均数为
，几何
平均数为 ab，基本不等式可叙述为 两个正数的算术平 均数不小于它们的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值问题 已知 x＞0，y＞0，则： (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有
[诊断自测] 1．概念思辨 a＋b (1)两个不等式 a ＋b ≥2ab 与 ≥ ab成立的条件是 2
2 2
相同的．( × ) 1 (2)函数 y＝x＋ 的最小值是 2.( × ) x 4 (3)函数 f(x)＝sinx＋ 的最小值为 2.( × ) sinx x y (4)x＞0 且 y＞0 是 ＋ ≥2 的充要条件．( × ) y x
1 当且仅当 x ＝ 时等号成立 ，即 10
f(x)≤－2.
当 x＞1 时，lg x＞0， 1 f(x)＝lg x＋ ≥2(当且仅当 x＝10 时等号成立)． lg x 综上 f(x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
角度 3 典例
寻求定值应用 5 1 x < 求 f(x)＝4x－2＋ 的最大值． 4x－5 4 配凑成积定的式子．
3．小题热身 (1)下列不等式一定成立的是( A．lg
1 2 x ＋ >lg 4
)
x(x>0)
1 B．sinx＋ ≥2(x≠kπ，k∈Z) sinx C．x2＋1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x ＋1
1 1 2 解析 取 x＝ ，则 lg x ＋4 ＝lg x，故排除 A；取 x 2
1 ∴xy 的最大值为 . 8
经典题型冲关
题型 1 角度 1 典例 的最小值．
利用基本不等式求最值 直接应用 1 (2018· 沈阳模拟)已知 a＞b＞0， 求a＋ ba－b
2
直接应用基本不等式．
解
2
∵a＞b＞0，∴a－b＞0. 4 a ·2 ＝ a
2
1 1 4 2 2 ∴a ＋ ≥a ＋ ＝ a ＋ 2 ≥2 a ba－b b＋a－b2 2
3 1 ＝ π，则 sinx＝－1，故排除 B；取 x＝0，则 2 ＝1，故 2 x ＋1 排除 D.应选 C.
1 (2)已知 x＞0， y＞0,2x＋y＝1， 则 xy 的最大值为_______ ． 8
解析
2 x ＋ y 1 2 ∵2xy≤ ＝ ， 4 2
1 1 1 ∴ xy≤ 当且仅当2x＝y，即x＝4，y＝2时取“＝”号 . 8
2
2 4，当且仅当 b＝a－b，a ＝2，a＞b＞0，即 a＝ 2，b＝ 2 时取等号． 1 ∴a ＋ 的最小值是 4. ba－b
2
角度 2 典例
变号应用 1 求 f(x)＝lg x＋ 的值域． lg x 注意分类讨论．
解
f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．
பைடு நூலகம்
当 0＜x＜1 时，lg x＜0， 1 ∴－f(x)＝－lg x＋ ≥2 －lg x
15 15 ________m ，宽为________m 时菜园面积最大． 2
解析
设矩形的长为 x m，宽为 y m．则 x＋2y＝30，
1 1 225 x＋2y2 所以 S＝xy＝ x· (2y)≤ ＝ ，当且仅当 x＝2y，即 2 2 2 2
15 x＝15，y＝ 时取等号． 2
角度 4 典例
常量代换法求最值(多维探究) x y (2015· 福建高考)若直线 ＋ ＝1(a＞0，b＞0) a b ) B．3 D．5 注意巧用 1 的代换．
过点(1,1)，则 a＋b 的最小值等于( A．2 C．4
x y 解析 因为直线 ＋ ＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)， a b 1 1 所以 ＋ ＝1. a b 所以
a＋b2 (3)ab≤ (a，b∈R)． 2
2 2 a ＋ b a ＋ b 2 (4) (a，b∈R)， ≤ 2 2
2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R)． a2＋b2 a＋b2 (5) ≥ ≥ab(a，b∈R)． 2 4 (6) a2＋b2 a＋b 2 ≥ ≥ ab≥ (a>0，b>0)． 2 2 1 1 ＋ a b
解
5 1 因为 x＜ ，所以 5－4x＞0，则 f(x)＝4x－2＋ 4 4x－5 5 － 4x ＝
1 ＝－ 5－4x＋ ＋ 3≤ － 2 ＋ 3 ＝ 1 ，当且仅当 5 － 4 x
1 1 ，即 x＝1 时，等号成立．故 f(x)＝4x－2＋ 的最 5－4x 4x－5 大值为 1.
2．教材衍化 (1)(必修 A5P99 例 1(2))设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( A．80 C．81
解析
) B．77 D．82
由基本不等式 18 ＝ x ＋ y≥2 xy ⇔ 9≥ xy ⇔
xy≤81，当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值 81，故选 C.
(2)(必修 A5P100A 组 T2)一段长为 30 m 的篱笆围成一个 一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形的长为