集合竞赛试题

竞赛试题选讲之：集合与函数

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．（2006陕西赛区预赛）a,b 为实数，集合{,1},{,0},:b M P a f x x a

==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ，则a+b 的值等于

（ ）

A ． -1

B ．0

C ．1

D ．1±

2．（2006天津）已知函数22)(2+-=ax x x f ，当),1[+∞-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，则a 的取值范围是 （ ） A ．12<<-a B ．12≤≤-a C ．23-≤≤-a D ．13≤≤-a 3．（2006陕西赛区预赛）若关于x 的方程3

23()2

5x

a

a

+=-有负数根，则实数a 的取值范围为

（ ）

A ．2(,)

(5,)3

-∞-+∞

B ．3

(,)

(5,)4

-∞-+∞ C ．2(,5)3- D ．23

(,)34

-

4．（2006陕西赛区预赛）若函数()f x 满足22

(

)log ||

f x x =+()f x 的解析式是

（ ）

A ．2log x

B ．2log x -

C ．2x

-

D ．2

x -

5．（2006年江苏）函数3log 3

x

y =的图象是

（ ）

A B C D 6．（2006陕西赛区预赛）已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为12,x x 且

1201,1x x <<>则b

a 的取值范围是

（ ） A ．1(1,]2-- B ．1(1,)2-- C ．1(2,]2-- D ．1

(2,)2

--

7．（2006年江苏）设()f x 是定义在R 上单调递减的奇函数．若120x x +>，230x x +>，310x x +>则

（ ） A ．()()()1230f x f x f x ++> B ．()()()1230f x f x f x ++<

C ．()()()1230f x f x f x ++=

D ．()()()123f x f x f x +>

8．（2006吉林预赛）如果集合A={y|y=－x 2+1，x ∈R +}，B={y|y=－x+1，x ∈R}，则A 与B 的交集是

（ ） A ． (0，1)或(1，1) B ．{(0，1)，(1，1)} C ． {0，1} D ． (－∞，1)

9．（2006安徽初赛）已知lg x 的小数部分为a ，则21

lg x

的小数部分为 （ ）

A ．2a -的小数部分

B ．12a -的小数部分

C ．22a -的小数部分

D ．以上都不正确

10．（2006吉林预赛）若函数f(x)=x 3－6bx+3b 在(0，1)内有极小值，则实数b 的取值范围是 （ ） A ． (0，1) B ． (－∞，1) C ． (0，+∞) D ． (0，0.5)

11．（2006年南昌市）设集合22{8|},{29|}A a a N B b b N =+∈=+∈,若A B P =,则P 中元素个数为

（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．至少3个 12．（2006年南昌市）设x x

x f -+=11)(,记()()1f x f x =,若)),(()(1x f f x f n n =+则=)(2006x f （ ）

A ．x

B ．-x 1

C ．x x -+11

D ．1

1+-x x

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

1．（2006安徽初赛）已知实数x 、y 满足()()()()5

5

1115115

41545

x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩，则x y += ． 2．（2006天津）已知集合},,,,{54321a a a a a C B A = ，且},{21a a B A = ，则集合A 、B 、C 所有可能的情况有 种．

3．（2006年南昌市）设M ＝{1,2,…,100},A 是M 的子集,且A 中至少含有一个立方数,则这种子集A 的个数是

____________. 4．（2006年江苏）集合{}

3,,010A x x n n N n ==∈<<，{}5,,06B y y m m N m ==∈≤≤，则集合A

B 的

所有元素之和为 ．

5．（2006年南昌市）若曲线2|2|y x =-与直线3y x k =+恰有三个公共点,则k 的值为___

6．（2006年上海）已知函数:f R +

→R 满足：对任意,x y ∈R +

，都有11()()()20062005f x f y f xy x

y

⎛⎫=+++ ⎪

⎝⎭

，

则所有满足条件的函数f 为 ．

7．（2006年上海）对于任意实数a ，b ，不等式{}

max ,,2006a b a b b C +--≥恒成立，则常数C 的最大

值是 ．（注：{}max ,,x y z 表示x ，y ，z 中的最大者．）

8．（2006年上海）设2()cos f x x ax b x =++，{}{}()0,R (())0,R x f x x x f f x x =∈==∈≠∅，则满足条件的所有实数a ，b 的值分别为 ．

三、解答题（每小题20分，共60分）

1．（2006年江苏）设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪

=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭

，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅，求实数a 的取值

范围．

2．(集训试题)已知a>0，函数f(x)=ax-bx 2,

（1）当b>0时，若对任意x ∈R 都有f(x)≤1，证明：a ≤2b ；

（2）当b>1时，证明：对任意x ∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a ≤2b ； （3）当0

3．(06重庆卷) 已知定义域为R 的函数()f x 满足()2

2()().f

f x x

x f x x x -+=-+

（I ）若(2)3f =，求(1)f ;又若(0)f a =，求()f a ;

（II ）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式.

参考答案

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）