圆与相似三角形复习知识点说课讲解

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(完整版)相似三角形最全讲义(教师版)

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。

a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d cb a =4、比例外项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。

5、比例内项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。

6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：c da b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a ．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ΛΛ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ΛΛ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

圆与相似三角形复习知识点.doc

圆中的基本图形和常见数学思想圆一•直是初中阶段数学学习的一个难点，因为圆中知识点很多，综合性也很强。

而且中考中圆常常利四边形，三角形，甚至代数中的二次函数结合起来考察学生的能力。

把圆中涵盖的知识点融入到几个基木图形中，并教会学生在复杂的图形中提炼出基本图形。

另外-•定要帮助学生进行解题方法的训练和总结。

让他们熟悉圆中常用的数学方法。

归纳了以下几个方面的内容，概述如下。

1 I员1中基本图形主要有这个图形中涵盖了：1、垂径定理及其推论；2、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍；3、半径、弦心距、弓形高、弦长四者的关系;4、直径所对的圆周角是直角这个图形中涵盖了：1、圆的内接四边形的对角互补，外角等于内对角,2、相似关系；3、割线定理这个图形中涵盖了：1、弦切角等于所夹弧所对的圆周角,2、相似关系；3、切割线定理这个图形中涵盖了:1、三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，并且到三角形三个顶点的距离相等2、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍这个图形中涵盖了：2、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，并旦到三角形三条边的距离相等3、三角形的面积和周长、内切圆半径三者的关系，4、三角形两条内角角平分线组成的夹角与第三个内角的关系这个图形中涵盖了：1、同弧所对的圆周角相等,2、相似关系，3、相交弦定理这个图形中涵盖了：1、直径所对的圆周角是宜角，9 0度的圆周角所对的弦是直径2、相似关系，射影定理，1、切线长定理2、连心线垂直平分公共弦3、圆的对称性这个图形中涵盖了：等边三角形的内切圆半径、外接圆半径、等边三角形的边长三者的比例关系。

这个图形中涵盖了：正方形的内切圆半径、外接圆半径、正方形的边长三者的比例关系。

这个图形中涵盖了：3、直角三角形的外心在斜边的中点4、直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半正六边形的内切圆半径、外接圆半径、正六边形的边长三者的比例关系。

这个图形中涵盖了:5.需要转化角度的时候，常作弦构造同弧所对的周角利用全等三角形利用相似三角形或者全等三角形找中间量利用同弧或者等弧利用中点或者中位线利用线段的垂直平分线利用对称性添加辅助线.圆中常见辅助线有:1. 已知直径时,常构造直径所对的圆周角.2. 连接半径或者作弦心距，构造直角三角形，为用垂径定理或者勾股定理创造条件.3. 与切线有关的问题也常常连接圆心和切点，构造直角三角形.4. 两圆的问题中常常连接两个圆心或者连接两圆的交点.2 圆中|常用的数学方法有1. 设未知数建构方程，或者引入参数，构造直角三角形，相似三角形，利用勾股定理，三角函数，比例线段解决问题，这不仅仅是解决圆中计算题常用的方法，其实也是解决几何问题常用的方法。

相似三角形的判定说课稿

说课稿尊敬的领导、各位老师，大家好：我是信阳市商城县苏仙石中学的陈文丽，今天我说课的题目是《相似三角形判定定理的证明》，它选自新北师大版初中数学九年级上册第四章第五节。

下面我将从教材分析、教法分析、学法指导和教学过程四个方面来对本课进行说明。

一、说教材1、地位和作用在这之前，学生学习了全等三角形的相关知识，相似三角形是全等三角形的拓广和发展，而相似三角形的判定是相似三角形的主要内容之一，相似三角形的判定是进一步对相似三角形的本质和定义的全面研究，也是相似三角形性质的研究基础，同时还是研究圆中比例线段和三角函数的重要工具，可见相似三角形的判定占据着重要的地位。

2、教学目标基于对教材、教学大纲的认识和学生已有的认知结构和心理特征的分析，我确定了本节的教学目标：知识目标：会证明相似三角形的判定定理，并能灵活运用相似三角形的判定定理解决实际问题。

能力目标：掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力。

情感与态度目标：培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。

3、重点、难点和关键点依照教材和教学大纲的要求，为了能更好的完成本节课的教学目标，我制定了本节课教学的重和难点：重点：证明相似三角形判定定理，抓住判定方法的条件，通过已知条件的分析，把握图形的结构特点。

难点：证明相似三角形判定定理。

关键点：利用经典题目特别训练，并辅以课件的演示是突破难点的好方法。

二、说教法：1、学情分析《相似三角形判定定理的证明》是《探究三角形相似的条件》之后的一个学习内容，学生已经学习了相似三角形的有关知识，对相似三角形已经有了一定的认识，并且在前一节课的学习中，已充分经历了猜想，动手操作，得出结论的过程。

本节主要进行相似三角形判定定理的证明，证明过程中需要添加辅助线，对学生来说具有挑战性，需要通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明。

2、教法分析教学中不仅要教知识，更重要的是教给学生方法。

第20讲圆与相似三角形的结合复习课件(共38张PPT)

在 Rt△ADC 中，∵∠ACD＝30°，∴AD＝1，CD＝ 3， S 阴影＝S 梯形 OCDA－S 扇形 AOC＝12(1＋2)× 3－60·3π60·22＝ 323－2π3 .
全效优等生
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
圆与类似三角形的综合运用 (1)证明圆的切线的常用辅助线是作过切点的半径，证明直线与这条半径垂直； (2)运用切线的性质时，常连结切点和圆心．
CD＝235.
又∵CF＝FD，∴CF＝12CD＝12×235＝265，
∴EF＝CF－CE＝265－3＝76，
7
∴在 Rt△AFE 中，sin∠EAF＝EAFE＝63＝178.
全效优等生
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
2．如图6－20－4，在△ABC中，BA＝ BC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D.连结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.
∴AD＝3，BD＝
3.∴B2E＝
33，∴BE＝23
3 .
全效优等生
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
(3)如答图②，当 E 与 A 重合时，∵AB 是直径，AD⊥CD， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴C，D，B 共线．
∵AC⊥AB，∴在 Rt△ABC 中，AB＝2 3，AC＝2， ∴tan∠ABC＝AACB＝ 33，∴∠ABC＝30°， ∴α＝∠DAB＝90°－∠ABC＝60°，当E′在BA的延长线上时，可得∠D′AB>∠DAB＝60°， ∵0°<α<90°，∴α的取值范围是60°<α<90°.
全效优等生
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
判定圆中的类似三角形例1 如图6－20－1，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E. (1)求证：△ADE∽△BCE； (2)如果AD2＝AE•AC，求证：CD＝CB.

图形的相似、圆的复习课件

相似图形的性质
性质形状相似性边长比例角度比例
描述相似图形具有相同的形状。相似图形的对应边长之间的比例相等。相似图形的对应角度之间的比例相等。
圆的复习
1 基本概念
圆是由所有到圆心距离相等的点组成的图形。
2 性质和特点
圆的每条弧长相等，圆的直径是圆的两倍。
3 相关公式
圆的面积公式为πr²，圆的周长公式为2πr。
图形的相似、圆的复习 ppt课件
图形的相似性、圆的复习是学习几何的重要内容。本课程将帮助您理解相似图形的定义、特点、性质以及圆的基本概念、性质和相关公式。通过精心设计的ppt课件，您将能够轻松理解和掌握这些知识。
相似图形的定义
形状与比例
相似图形具有相同的形状，但尺寸可以不同。它们的边长、角度比例相等。
ppt课件设计
目录和标题设计
清晰的目录和标题设计能够帮助听众更好地理解课程结构和内容。
内容布局和排版
合理的内容布局和排版能够使信息更易于理解和记忆。
图表和图像的使用
图表和图像可以直观地呈现概念和数据，增加课件的吸引力。
色彩和字体选择
正确的色彩和字体选择可以提升课件的视觉效果和阅读体验。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对应的角度相等
相似图形的对应角度相等，因此它们的形状看起来相似。
比例相等
相似图形的对应线段的比例相等，这是相似性的另一个重要特点。
相似图形的特点
相似三角形的特点
相似三角形的对应角度相等，对应线段的比例相等。
相似四边形的特点
相似四边形的对应角度相等，对应线段的比例相等。
相似多边形的特点
相似多边形的对应角度相等，对应线段的比例相等。

《相似三角形(复习)》说课稿

《相似三角形（复习）》说课稿桦川二中李婷尊敬的各位领导、专家、老师：大家好！今天我说课的内容是《相似三角形》的复习课。

一、教材分析相似三角形的性质和判定在几何证明和计算问题中有着非常广泛的应用，特别是综合运用相似三角形的性质和判定探究一些与相似有关的综合题更是一个热点。

相似三角形的有关知识与方程、二次函数和圆有着紧密的联系，以相似三角形的几种常见基本图形：①平行线型；②斜交型；③垂直型；④旋转型为背景的综合题是本节知识的进一步应用和深化，同时，四种常见的类型又为图形间的演变做了很好的铺垫。

基于以上认识，参考教学大纲和数学课程标准的要求，我们确立了本节课的教学目标：使学生进一步理解和掌握相似三角形的相关知识；掌握相似三角形常见类型；理解基本图形间的演变关系并能从复杂图形中分析出基本图形，提高学生分析问题和解决问题的能力，体会在解决问题过程中如何与他人交流合作。

为顺利完成上述目标和体现复习课的教学特点，我们确立了本节复习课的教学重点为相似三角形常见类型，而从复杂图形中分析出基本图形为本节课的教学难点。

二、教法分析动手实践、自主探索与交流合作是学生学习数学的重要方式，数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。

由于数学课程内容是现实的，并且“过程”要成为课程内容的一部分，数学的学习方式就不能再单一的、枯燥的、以被动听讲和练习为主的方式了。

教师就要注意把思考的空间和时间留给学生，把自己工作的着眼点放在启发和信任上，让学生自主探索，亲身实践，经历一个实践和创新的过程。

因此，在教学设计中，我们立足于“动手实践，自主探索”这一过程教学理念。

例如：四种相似三角形的常见类型，我们没有机械地直接给出，而是通过让学生做相应的类型题，结合已有的知识经验归纳得出，这样不仅加深了学生对相似三角形四种常见类型的印象，同时也培养了学生归纳问题的能力，在讲解垂直型相似的第三种基本图形时，与物理学科中光的反射定律相对比，一方面让学生充分认识了图形，另一方面也在比较中完成了学科间的整合。

《相似三角形》全章复习与巩固(基础)-知识讲解

《相似三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】（1）了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段的概念;（2)通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方;(3）了解两个三角形相似的概念,探索两个三角形相似的条件；(4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度)；（5)理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律。

【知识网络】【要点梳理】要点一、比例线段及比例的性质1。

比例线段：（1)线段的比:如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n,那么就说这两条线段的比是a:b=m：n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.(2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项:已知四条线段ａ,ｂ，ｃ,ｄ,如果，那么ａ，ｂ,ｃ,ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ,ｃ叫做比例内项,线段ｄ还叫做ａ,ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b：c或,那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便，a，b的单位一致，c,d的单位一2。

比例的性质（1）比例的基本性质：(2）反比性质:(3）更比性质: 或（4）合比性质：（5）等比性质: 且3。

平行线分线段成比例定理（1)三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

（2）三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.(3)三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。

相似三角形的性质说课

相似三角形的性质说课尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是相似三角形的性质。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析相似三角形是初中数学中的重要内容，它是在全等三角形的基础上进行的拓展和延伸。

相似三角形的性质不仅是解决几何问题的重要工具，也为后续学习三角函数、圆等知识奠定了基础。

本节课所涉及的相似三角形的性质，包括对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方等。

这些性质在实际生活中有着广泛的应用，例如在测量物体的高度、宽度等方面。

二、学情分析学生在之前已经学习了全等三角形的相关知识，对三角形的性质有了一定的了解和掌握。

同时，学生也具备了一定的观察、分析和推理能力。

但是，对于相似三角形的性质，学生可能会在理解和应用上存在一定的困难，尤其是对于相似比与周长比、面积比之间的关系。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解相似三角形的性质，包括对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方。

（2）能够运用相似三角形的性质解决简单的几何问题。

2、过程与方法目标（1）通过观察、猜想、验证等活动，培养学生的观察能力、分析能力和推理能力。

（2）让学生经历探索相似三角形性质的过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感态度与价值观目标（1）通过小组合作学习，培养学生的合作意识和团队精神。

（2）让学生在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。

四、教学重难点1、教学重点相似三角形的性质，即对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方。

2、教学难点相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质的推导和应用。

五、教法与学法1、教法为了突出重点，突破难点，我将采用启发式教学法、直观演示法和讲练结合法。

通过引导学生观察、思考、讨论和练习，让学生在自主探索和合作交流中掌握知识，提高能力。

专题十三相似三角形定理与圆幂定理

专题十三相似三角形定理与圆幂定理本专题主要复习相似三角形的进一步认识、圆的进一步的认识．通过本专题的复习，了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．【知识要点】1．相似三角形概念相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形．相似比：相似三角形对应边的比．2．相似三角形的判定如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两角对应相等两三角形相似)．如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似)．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似)．3．直角三角形相似的判定定理直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4．相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边成比例．相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．相似三角形周长的比等于相似比．相似三角形的面积比等于相似比的平方．5．相关结论平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰．梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行．6．弦切角定理弦切角定义：切线与弦所夹的角．弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．7．圆内接四边形的性质圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角．8．圆幂定理相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D则有P A·PB＝PC·PD．【复习要求】1．了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．2．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．3．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．【例题分析】例1 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，E 为AC 中点，AD ⊥BC 于D ，DE 交BA 的延长线于F ．求证：BF ∶DF ＝AB ∶AC ．【分析】欲证AFDFAC AB =，虽然四条线段可分配于△ABC 和△DFB 中，由于△ABC 和△FBD 一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，故需借助中间比牵线搭桥，易证Rt △BAC ∽Rt △BDA ，得出=AC AB ADBD，于是只需证出ADBDAF DF =，进而须证△DFB ∽△AFD 即可．证明：∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∠DAC ＝∠B ，∴ADBDAC AB =……① 又∵AD ⊥BC ，E 为AC 中点，∴DE ＝AE ，∠DAE ＝∠ADE ，∴∠B ＝∠ADE ，又∵∠F ＝∠F ，∴△F AD ∽△FDB ，∴DFBFAD BD =………②，由①②得⋅=DFBFAC AB 【说明】由于△ABC 和△FBD 这两个三角形一个是直角三角形，一个是钝角三角形，明显不相似，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，且图中又没有相等的线段来代换，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧．此题用到直角三角形中斜边上的高这个“双垂直”的基本图形，这里有三对相似三角形，这个图形在证相似三角形中非常重要．例2 △ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 是两条高，求证：BC DE 21=【分析】欲证BC DE 21=，只须证21=BC DE ．由已知易得21=AB AD ，于是只须证明,ABAD BC DE =进而想到证明△ADE ∽△ABC ，这可以由21==AC AE AB AD 证得．证明：∵∠A ＝60°，BD ，CE 是两条高，∴∠ABD ＝∠ACE ＝30°∵AB AD 21=，AC AE 21=，∴21==AC AE AB AD ，又∠A ＝∠A∴△ADE ∽△ABC ，∴BC DE AB AD BC DE 2121=∴==.【说明】在判定相似三角形时，应特别注意应用“两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似”这条判定定理．例3 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，AD 、EC 交于F ，求证BDFDAD CD =【分析】CD 、FD 在△FDC 中，AD 、BD 在△BDA 中，所以证△FDC 与△BDA 相似便可以得到结论．证明：∵AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°，∵∠BAD ＋∠B ＝90°，∠BCE ＋∠B ＝90°，∴∠BAD ＝∠BCE ，∴△FDC ∽△BDA ，∴⋅=BDFDAD CD 【说明】为什么找到△FDC 与△BDA 相似呢?从求证的比例式出发，“竖看”，线段CD 、AD 在△ADC 中，但线段FD 、BD 却不在一个三角形中；那么“横瞧”，CD 、FD 在△FDC ，AD 、BD 在△BDA 中，所以证△FDC 与△BDA 相似便可以得到结论．小结为“横瞧竖看分配相似三角形”．例4 如图，平行四边形ABCD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，求证：AB ·DE ＝BC ·DF【分析】化求证的等积式为比例式：DEDFBC AB =，又因为CD ＝AB ，AD ＝BC ，即证明比例式DEDFAD CD = 证明：∵平行四边形ABCD ，∴∠C ＝∠A ， ∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，∴∠AED ＝∠DFC ＝90°，∴△CFD ∽△AED ，∴DEDFAD CD = ∵CD ＝AB ，AD ＝BC ，∴DEDFBC AB =即AB ·DE ＝BC ·DF ．【说明】DEDFBC AB =，“横瞧竖看”都不能分配在两个三角形中，但题中有相等的线段：CD ＝AB ，AD ＝BC 所以可横瞧竖看用相等线段代换过来的比例式：DEDFAD CD =，这个比例式中的四条线段可分配在两个相似三角形中．例5 AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝60°，P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，连结OC ，过点C 作CD ⊥OC 交PQ 于点D ．(1)求证：△CDQ 是等腰三角形；(2)如果△CDQ ≌△COB ，求BP ∶PO 的值．【分析】证明△CDQ 是等腰三角形，只需证明∠DCQ ＝∠Q ，利用题目中已有的相似三角形和等腰三角形把这两个角的关系建立起来．并可以得到各边的比例关系，不妨把圆的半径设为1，简化计算．(1)证明：由已知得∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°， ∴∠Q ＝30°，∠BCO ＝∠ABC ＝30°．∵CD ⊥OC ， ∴∠DCQ ＝∠BCO ＝30°，∴∠DCQ ＝∠Q ， ∴△CDQ 是等腰三角形．(2)解：设⊙O 的半径为1，则AB ＝2，OC ＝1，.3,121===BC AB AC ∵等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等，∴CQ ＝BC ＝3．∵31+=+=CQ AC AQ ，,23121+==AQ AP∴=-=AP AB BP 2332312-=+-231+=-=AO AP PO 2131-=-， ∴3:=PO BP ．【说明】利用好相似三角形对应角相等的条件，进行角的转化是解题中常用的技巧．例6 △ABC 内接于圆O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于D 点，交⊙O 的切线BE 于F ，连结BD ，CD ．求证：(1)BD 平分∠CBE ；(2)AB ·BF ＝AF ·DC ．【分析】可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关系推出．由条件及(1)的结论，可知BD ＝CD ，因此欲求AB ·BF ＝AF ·DC ，可求BFBDAF AB =，因此只须求△ABF ∽△BDF 即可．证明：(1)∵∠CAD ＝∠BAD ＝∠FBD ，∠CAD ＝∠CBD ， ∴∠CBD ＝∠FBD ，∴BD 平分∠CBE ． (2)在△DBF 与△BAF 中，∵∠FBD ＝∠F AB ，∠F ＝∠F ，∴△ABF ∽△BDF ，BFBDAF AB =，∴AB ·BF ＝BD ·AF ．又∵BD ＝CD ，∴AB ·BF ＝CD ·AF ．例7 ⊙O 以等腰三角形ABC 一腰AB 为直径，它交另一腰AC 于E ，交BC 于D ．求证：BC ＝2DE【分析】由等腰三角形的性质可得∠B ＝∠C ，由圆内接四边形性质可得∠B ＝∠DEC ，所以∠C ＝∠DEC ，所以DE ＝CD ，连结AD ，可得AD ⊥BC ，利用等腰三角形“三线合一”性质得BC ＝2CD ，即BC ＝2DE ．证明：连结AD ∵AB 是⊙O 直径 ∴AD ⊥BC ∵AB ＝AC ∴BC ＝2CD ，∠B ＝∠C ∵⊙O 内接四边形ABDE∴∠B ＝∠DEC (四点共圆的一个内角等于对角的外角) ∴∠C ＝∠DEC ∴DE ＝DC ∴BC ＝2DE例8 ⊙O 内两弦AB ，CD 的延长线相交于圆外一点E ，由E 引AD 的平行线与直线BC 交于F ，作切线FG ，G 为切点，求证：EF ＝FG ．【分析】由于FG 切圆O 于G ，则有FG 2＝FB ·FC ，因此，只要证明FE 2＝FB ·FC 成立即可．证明：∵在△BFE 与△EFC 中有∠BEF ＝∠A ＝∠C ，又 ∠BFE ＝∠EFC ，∴△BFE ∽△EFC ，FEFCFB FE，∴FE 2＝FB ·FC ．又∵FG 2＝FB ·FC ，∴FE 2＝FG 2，∴ FE ＝FG ．习题13一、选择题1．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于D ，AB ＝a ，则DB ＝（） A ．4a B ．3a C ．2a D ．43a 2．如图，AD 是△ABC 高线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则(1)AD 2＝BD ·CD (2)AD 2＝AE ·AB (3)AD 2＝AF ·AC (4)AD 2＝AC 2－AC ·CF 中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是半圆的三等分点，则∠C ＋∠E ＋∠D ＝( )A ．135°B ．110°C ．145°D ．120° 4．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D ，连结AD ，那么( )A ．∠BAD ＋∠CAD ＝90°B ．∠BAD ＞∠CADC ．∠BAD ＝∠CAD D ．∠BAD ＜∠CAD二、填空题5．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝2，DB ＝1，则DC ＝______，AD ＝______． 6．在Rt △ABC 中，AD 为斜边上的高，S △ABC ＝4S △ABD ，则AB ∶BC ＝______．7．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于点D ，且AD ＝3DB ，设∠COD ＝θ ，则tan 22θ______．8．如图，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 与B ，CD 切⊙O 与D ，交BA 的延长线于E ．若AB ＝3，ED ＝2，则BC 的长为______．三、解答题9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，⊙O 为内切圆，E 为切点，(Ⅰ)求∠AOD 的度数；(Ⅱ)若AO ＝8 cm ，DO ＝6 cm ，求OE 的长．10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 经过点D ．(1)求证：BC 是⊙O 切线；(2)若BD ＝5，DC ＝3，求AC 的长．11．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB 于E ，连结AC 、OC 、BC ．(1)求证：∠ACO ＝∠BCD ；(2)若BE ＝2，CD ＝8，求AB 和AC 的长．专题十三相似三角形定理与圆幂定理参考答案习题13一、选择题：1．A 2．C 3．D 4．C 二、填空题5．3,3 6．1∶2 7．318．3 三、解答题9．(Ⅰ)∵AB ∥CD ，∴∠BAD ＋∠ADC ＝180°.∵⊙O 内切于梯形ABCD ，∴AO 平分∠BAD ，有∠DAO ＝21∠BAD ，又DO 平分∠ADC ，有∠ADO ＝21∠ADC ．∴∠DAO ＋∠ADO ＝21(∠BAD ＋∠ADC )＝90°，∴∠AOD ＝180°－(∠DAO ＋∠ADO )＝90°．(Ⅱ)∵在Rt △AOD 中，AO ＝8cm ，DO ＝6cm ， ∴由勾股定理，得.cm 1022=+DO AO∵E 为切点，∴OE ⊥AD ．有∠AEO ＝90°，∴∠AEO ＝∠AOD ．又∠CAD 为公共角，∴△AEO ∽△AOD ． ∴cm 8.4,==∴=⋅ADODAO OE AD AO OD OE . 10．(1)连接OD ．∵OA ＝OD ，AD 平分∠BAC ，∴∠ODA ＝∠OAD ，∠OAD ＝∠CAD ．∴∠ODA ＝∠CAD ． ∴OD ∥AC ．∴∠ODB ＝∠C ＝90°．∴BC 是⊙O 的切线． (2)过D 作DE ⊥AB 于E ．∴∠AED ＝∠C ＝90°．又∵AD ＝AD ，∠EAD ＝∠CAD ，∴△AED ≌△ACD ． ∴AE ＝AC ，DE ＝DC ＝3．在Rt △BED 中，∠BED ＝90°，由勾股定理，得422=-=DE BD BE ，设AC ＝x (x ＞0)，则AE ＝x ．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝BD ＋DC ＝8，AB ＝x ＋4，由勾股定理，得 x 2＋82＝(x ＋4)2．解得x ＝6．即AC ＝6．11．(1)连结BD ，∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴＝．∴∠1＝∠2．又∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠A ．∴∠1＝∠2．即：∠ACO ＝∠BCD ．(2)由(1)问可知，∠A ＝∠2，∠AEC ＝∠CEB ．∴△ACE ∽△CBE ．∴CEAEBE CE =．∴CE 2＝BE ·AE ．又CD ＝8，∴CE ＝DE ＝4． ∴AE ＝8．∴AB ＝10．∴AC ＝.548022==+CE AE。

中考数学讲义《相似三角形》、《圆》

[考点1]会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算[考点2]会用比例的基本性质解决有关问题[考点3]会利用三角形的相似解决一些实际问题[考点4]会能利用位似变换将一个图形放大或缩小例1（2013北京中考）例1.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC 上，并且点A，E，D在同一条直线上。

若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m例2 （2012北京中考）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边40cmDE=，20cmEF=，测得边DF离地面的高度1.5mAC=，8mCD=，则树高AB=m．例3 如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=例4 如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为例5（ZFX / P71例2）已知：如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD与点P，Q.（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1的除外）；（2）求BP:PQ:QR的值.例6（ZFX / P71例1）已知：如图，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，PB=3,BF⊥BP于点B，试在射线BF上找点M，使得以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似，作图并指出相似比k的值.例7（ZFX / P71例3）已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°,P为下底BC上一点（不与B、C重合）. 连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B(1)你认为图中哪两个三角形相似，为什么？(2)当点P在底边BC上自点B向C移动过程中，是否存在一点P，使得DE:EC=5:3，如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由.ECFPDCBAEPDC BA例1 在矩形ABCD 中，DC=2，CF ⊥BD 分别交BD 、AD 于点E 、F ，连接BF ．（1）求证：△DEC ∽△FDC ；（2）当F 为AD 的中点时，求sin ∠FBD 的值及BC 的长度例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，翻折∠C ，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，折痕为EF （点E 、F 分别在边AC 、BC 上）（1）若△CEF 与△ABC 相似． ①当AC=BC=2时，AD 的长为； ②当AC=3，BC=4时，AD 的长为；（1）当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似吗？请说明理由。

(完整版)相似三角形知识点归纳(全)

《相似三角形》知识点归纳
知识点 1 有关相似形的概念
(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形
.
(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比 ( 相似系数 ) ．
知识点 2 比例线段的相关概念、比例的性质
．相似三角形对应边的比叫做相似比 ( 或相
（2）三角形相似的判定方法
1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边
( 或两边的延长线 ) 相交，所构成的三角形与原三角形相似 .
2、判定定理 1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． AA
3、判定定理 2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
（ 1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点
.
（ 2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形
.
（ 3）位似图形的对应边互相平行或共线 .
（ 4）位似图形具有相似图形的所有性质 .
位似图形的性质：
Байду номын сангаас
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
．SAS
4 、判定定理 3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS
5、判定定理 4：直角三角形中， “ HL”
全等与相似的比较：
三角形全等
三角形相似
两角夹一边对应相等 (ASA) 两角一对边对应相等 (AAS) 两边及夹角对应相等 (SAS) 三边对应相等 (SSS) 、 (HL ）
两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等
B
C
（ 1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” 似系数 ) ．相似三角形对应角相等，对应边成比例．

专题五相似三角形与圆

专题一、相似三角形与圆一、知识梳理定理1 射影定理直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似.定理2 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅定理3 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅定理4 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅定理5 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅二、基础过关1.如图，已知半圆O 与四边形ABCD 的边AD 、AB 、BC 都相切，切点分别为D 、E 、C ，半径OC=1，则AE•BE= ．2.如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，已知CP=3，PD=4，AP=2，那么AB= ．3.如图，点P 为弦AB 上的一点，连接OP ，过点P 作PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，若AP=9，BP=4，则PC= ．O EDCBADECB PAOPO DCBA第1题第3题第2题4．如图，P 是圆O 外的一点，点B 、D 在圆上，PB 、PD 分别交圆O 于点A 、C ，如果AP=4，AB=2，PC=CD ，那么PD= ．5.如图，直线PA 过半圆的圆心O ，交半圆于A ，B 两点，PC 切半圆与点C ，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为．6.如图，PC 是⊙O 的切线，切点为C ，PAB 为⊙O 的割线，交⊙O 于点A 、B ，PC=2，PA=1，则PB 的长为．三、例题讲解例1．已知AD 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为M ，分别过A ，D 两点作BC 的垂线，垂足分别为B ，C ，AD 的延长线与BC 相交于点E ．（1）求证：△ABM ∽△MCD ；（2）若AD=8，AB=5，求ME 的长．例2.如图，CD 是⊙O 的切线，点C 在直径AB 的延长线上．（1）求证：∠CAD=∠BDC ；（2）若BD=AD ，AC=3，求CD 的长．第4题第6题第5题例3．如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A，连接PO并延长，与⊙O交于C、D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC、CM．（1）求证：CM2=MN•MA；（2）若∠P=30°，PC=2，求CM的长．例4．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．（1）求∠DAF的度数；（2）求证：AE2=EF•ED；（3）求证：AD是⊙O的切线．例5．如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于H．（1）求证：△HBE∽△ABC；（2）若CF=4，BF=5，求AC和EH的长．例6．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，点P在BC延长线上，且满足∠PAC=∠B．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）弦CE⊥AD交AB于点F，若AF•AB=12，求AC的长．例7．如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠FAB；（2）求证：BC2=CE•CP；（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．例8．如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF=EF．（1）求证：CO2=OF•OP；（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC=4，PB=4，求GH的长．四、课后练习1.如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．2.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：（1）直线DC是⊙O的切线；（2）AC2=2AD•AO．3．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．4.如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD 延长线交直线l于点F，点A是的中点．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若PA=6，求PB的长．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．6．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．（1）求证：AC∥PO；（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求的值．7．已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC=CP．（1）求∠P的度数；（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE•DC=20，求⊙O的面积．（π取3.14）8．如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．9．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且=．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AD=12，AM=MC，求的值．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．五、能力提升1．如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．（1）求证：△ABE∽△BCD；（2）若MB=BE=1，求CD的长度．2．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．（1）求AD的长．（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．。

九年级(上)培优讲义：第13讲圆三角函数相似三角形

第13讲:圆与三角函数、相似三角形的综合一、知识建构1. 点与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ ；对应的点到圆心的距离d 和半径r 之间的数量关系分别为：①d r ，②d r ，③d r .2. 直线与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ ；对应的圆心到直线的距离d 和圆的半径r 之间的数量关系分别为：①d r ，②d r ，③d r . 3. 圆与圆的位置关系共有五种：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ；两圆的圆心距d 和两圆半径R 、r （R ≥r ）之间的数量关系分别为：①d R －r ，②d R －r ，③ R －r d R ＋r ，④d R ＋r ，⑤d R ＋r .4. 圆的切线过切点的半径；经过的一端，并且这条的直线是圆的切线.5. 从圆外一点可以向圆可以引条切线，相等，相等.6. 三角形的三个顶点确定个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫心，是三角形的交点.7. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的，内切圆的圆心是三角形的交点，叫做三角形的 . 二、例题精讲例1.如图，第一象限内半径为2的⊙C 与y 轴相切于点A ，作直径AD ，过点D 作⊙C 的切线l 交x 轴于点B ，P 为直线l 上一动点，已知直线P A 的解析式为：y =kx +3。

(1) 设点P 的纵坐标为p ，写出p 随变化的函数关系式。

(2)设⊙C 与P A 交于点M ，与AB 交于点N ，则不论动点P 处于直线l 上（除点B 以外）的什么位置时，都有△AMN ∽△ABP 。

请你对于点P 处于图中位置时的两三角形相似给予证明；(3)是否存在使△AMN 的面积等于2532的k 值？若存在，请求出符合的k 值；若不存在，请说明理由。

2，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点例2.如图1，已知菱形ABCD的边长为3，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．D的坐标为（3（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜3）①当t=1时，△ADF与△DEF是否相似？请说明理由；②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）例3．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x 轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF．（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．例4.已知，如图(a)，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(x1,0),B(x2,0)，C(0,－2)，其顶点为D.以AB 为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N.∠ONE=30°，|x1－x2|=8.（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连结AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得⊿ABP与⊿ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图（b）,点Q 为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH·AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.例5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，cos A＝35.求：(1)DE，CD的长；(2)tan∠DBC的值．三、基础演练1.如图，⊙O的直径AB=8，P是圆上任一点（A、B除外），∠APB的平分线交⊙O于C，弦EF过AC、BC的中点M、N，则EF的长是（）A．34B．32C．6 D．522.如图，点A是反比例函数y=2x(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=－的图象于点B，以AB为边作□ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为( )A．2 B．3 C．4 D．53.在△ABC中，∠ACB为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧BAC，如图所示．若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S1，S2，两个弓形面积分别为S3，S4，S1－S2=，则S3－S4的值是( )A．π429B．π423C．π411D．π454.关于x的方程022=++baxx有两个不相等的实数根，且较小的根为2，则下列结论：①02<+ba；②0<ab；③关于x的方程0222=+++baxx有两个不相等的实数根；④抛物线222-++=baxxy的顶点在第四象限。

(数学说课稿)《相似三角形》说课稿

相像三角形说课稿本节说课的内容是学校几何其次册的5·3相像三角形。

一、教材分析〔一〕教材的地位和作用相像三角形的学问是在全等三角形学问的根底上的拓广和开展，相像三角形承接全等三角形，从特殊的相等到一般的成比例予以深化，学好相像三角形的学问，为今后进一步学习三角函数及与固有关的比例线段等学问打下良好的根底。

本节课是为学习相像三角形的判定定理做预备的，因此学好本节内容对今后的学习至关重要。

〔二〕教学的目标和要求1．学问目标：理解相像三角形的概念，把握判定三角形相像的预备定理。

2．力量目标：培育同学探究新学问，提高分析问题和解决问题的力量，增进发放思维力量和现有学问区向最近开展区迁延的力量。

3．情感目标：加强同学对斩学问探究的爱好，渗透几何中理性思维的思想。

〔三〕教学的重点和难点1．重点：相像三角形和相像比约概念及判定三角形相像的预备定理。

2．难点：相像三角形商定义和判定三角形相像的预备定理。

二、教法与学法接受直观、类比的方法，以多媒体手段帮助教学，引导同学预习教材内容，养成良好约自学才惯，启发同学发觉问题、思考问题，培育同学规律思维力量。

逐步设疑，引导同学乐观参与争辩，确定，使其具有成就感，提高他们学习约爱好和学习的乐观性。

三、教学过程的分析看我国国旗，国旗上约大五角星和小五角星是相像图形。

本节课要学习的新学问是相像三角形，预备分四个步骤进行。

1．关于相像三角形定义的学习，是从实践中总结得出定义的两个条件，培育同学观看归纳的思维方法，从感性生疏转化为理性生疏。

我预备用三角形的中位线定理引入，让同学动手画一个具有三角形中位线的三角形，然后问：三角形的中位线所截得的三角形与原三角形的各角有什么关系各边有什么关系再格中位线所在约直线上下平移进行观看，想一想怎么答复。

同学简洁由学过的学问得出：所截得的三角形与原三角形的“对应角相等，对应边成比例〞，最终指明具有这两个特性的两个三角形就叫做相像三角形。

(完整版)相似三角形说课稿.

相似三角形说课稿(一)、教材所处的地位和作用：本节内容在全书及章节的地位是：《相似三角形》是义务教育课程标准实验教科书人教版九年级下册第二章第节内容。

在此之前，学生已学习了图形的相似及相似多边形的基础上,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节内容在本章中占有非常重要的地位，相似三角形的概念既是性质又是判定为本章的学习奠定了基础，在整个初中数学的学习中，也占据了十分重要的地位。

本节课是为学习探索三角形相似的条件做准备的，因此学好本节课内容对今后的学习至关重要。

（二）、教学目标1、知识目标：理解相似三角形的定义，并通过一些具体的情境和应用深化对相似三角形的理解和认识；2、能力目标：通过渗透类比的思想方法，培养生探究新知识，提高分析问题和解决问题的能力，借助练习对相似三角形的定义进行应用；3、情感目标：进一步体会数学内容之间的内在系，步认识特殊之间的辩证关系，提高学生学习数学的兴趣和自信心。

（三）教学重点和难点（根据本节课在本章及初中数学中的地位，新课标的要求，学生认知规律，心理特征把本节课的重难点定为：）教学重点：相似三角形定义的理解教学难点：相似三角形定义的正确运用（四）教材处理《数学课程标准》中“要引导学生投入到探索与交流的学习活动中”的教学要求根据从实物让学生经历探索相似三角形的概念的过程，让学生先自学，总结概念，同时关注学生学习兴趣及积极性，通过适当的交流合作，加深对概念的理解以突破重点，通过大量的练习应用让学生由对概念的理解变为运用，使学生共同进步。

二、说教法：教是为了不教，因此在课堂上更重要的是教学生如何学习、如何发现问题和解决问题。

因此，本节课，在教法上采用让学生先学，借助“读（看）—练—议—讲”结合法，完成概念的教学，通过让学生合作探讨或独立完成练习加深对概念的理解。

再采用学生参与程度高的学导式讨论教学法，在学生看书、练习和讨论的基础上，在教师启发引导下，运用问题解决式教学法等方法解决概念的应用。

专题相似三角形说课稿

相似三角形说课稿杨伟一．教材分析相似三角形位于中考系统复习第六章，图形与变换中图形相似的一个分支。

在中考中占有重要地位分值为8分左右，所考查知识主要是相似三角形性质及判定。

重点是相似三角形在实现生活中的应用，题型多以解答题型式出现，而题目的载体可以是四边形，圆，函数和图形的运动变化。

难度，较难。

二．目标分析（一）目标：①了解相似三角形的性质，掌握两个三角形相似的性质与判定条件。

②能利用图形的相似解决一些实际问题。

(二) 重难点①重点：利用相似三角形的相关知识解决实际问题。

③难点：如何把实际问题转换成有关相似三角形的数学模型。

三．教法分析与教学设计充分确立学生在教学中的主体地位。

贯彻师生合作精神，实现高效、民主教学，为此我采用“三环七步、探究学习法”其流程为：创设情境——合作探究——个性展示——反馈拓展——课堂小结——布置作业。

针对本班学生的学情，我设置较为现实中应用。

再次，渗透“转化”“建模”的数学思想。

设参数、列方程的数学方法。

课前以小故事的形式（设置怎样测量金字塔的高度）引入课文，给学生设下疑问，激发学生学习的兴趣，采取自主学习法让我们班学习标兵——张倩同学引领大家探究学习，其目的发挥学生主人翁地位，努力做到“我的课堂、我做主、我的小组我的家”。

通过合作探究，勇于展示，勇于质疑的形式，激发学生学习热情。

为了突破重难点，老师在适度时给以点评指导，突破难点。

在整个的课堂活动中，我尽量使用激励性的语言和欣赏的目光鼓励学生畅所欲言，畅谈收获，每个学生身上都有闪光点，就看你是否有一双善于发现的眼睛；每一节课都是一座矿山，就看你是否善于去挖掘。

总之，在课堂上，尽量留给学生更多的空间，更多的展示自己的机会，让学生在充满情感的、和谐的课堂氛围中，在老师和同学的鼓励与欣赏中认识自我，找到自信，体验成功的乐趣，从而树立了学好数学的信心，真正实现“知识的超市，生命的狂欢！”四．教学反思：在此，我还想谈谈我对高效课堂的一些粗浅的体会和看法，高效课堂是一种课堂教学的改革，它不仅仅是改变了课堂模式，更重要的是教育理念大转变。

相似三角形与圆综合说课讲解

(一）知识复习巩固圆的基本性质：圆周角性质，垂径定理逆定理，切线长定理相似三角形四种判定，及性质(二）例题精讲：例1、已知：如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交⊙O的切线BF于点F,B为切点。

求证：(1)BD平分∠CBF;(2)AB⋅BF=AF⋅CD.考点：相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理，弦切角定理分析：（1）由于AF是∠BAC的角平分线，那么∠1=∠2，利用弦切角定理可得∠1=∠3，利用同弧所对的圆周角相等，可得∠2=∠4，那么，可证∠3=∠4，即BD平分∠CBF；（2）由于∠3=∠1，∠F=∠F，那么可证△DBF∽△BAF，再利用相似三角形的性质，可得相关比例线段AB：AF=BD：BF，又由于∠1=∠2，同圆里相等的圆周角所对的弧相等，而同圆里相等的弧所对的弦相等，从而BD=CD，等量代换，可得AB：AF=CD：BF，即AB•BF=AF•CD．解答：证明：(1)∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2,(2分)∵BF切⊙O于点B，∴∠3=∠2，∴∠3=∠1,(4分)又∵∠2=∠4，∴∠3=∠4,即BD平分∠CBF;(6分)(2)在△DBF和△BAF中，∵∠3=∠1，∠F=∠F，∴△DBF∽△BAF,(8分)∴BDAB=BFAF即AB⋅BF=AF⋅BD(10分)∵∠1=∠2，∴BD=CD,(11分)∴AB⋅BF=AF⋅CD.(12分)例2、已知：如图,△ABC内接于圆,AB=AC,D为延长线上一点,AD交圆于E. 求证：AB2=AD⋅AE.考点：相似三角形的判定与性质，圆周角定理分析：如图，作辅助线；证明△ABE∽△ADB，列出比例式，即可解决问题．解答：证明：如图，连接BE；∵AB=AC，∴∠B=∠ACB；∵∠AEB=∠ACB，∴∠AEB=∠B，而∠BAE=∠BAD，∴△ABE∽△ADB，∴AB:AD=AE:AB，∴AB2=AD⋅AE.例3、如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30∘，C是弦AB上的任意一点(不与点A. B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.(1)弦长AB等于______(结果保留根号)；(2)当∠D=20∘时，求∠BOD的度数；(3)当AC的长度为多少时，以A. C. D为顶点的三角形与以B. C. 0为顶点的三角形相似?请写出解答过程。