函数值域求法
函数值域的十种求法
函数值域的十种求法
1、通过定义域的极限来求函数值域：由于函数表示法中的变量x的取值范围是定义域，而函数值f(x)的取值范围则可以通过定义域极限的方法来求得。
2、通过函数定义关系来求函数值域：由于函数在定义域内有一定的定义关系，所以可以根据函数定义关系来求函数值域。
3、由于函数在定义域内有一定的性质，所以可以根据函数性质来求函数值域。
4、由于函数在定义域内有一定的对称性，所以可以根据函数的对称性来求函数值域。
5、由于函数在定义域内有一定的单调性，所以可以根据函数的单调性来求函数值域。
6、根据函数的奇偶性来求函数值域：如果函数在定义域内具有奇偶性，则可以根据函数的奇偶性来求函数值域。
7、由于函数在定义域内有一定的常数性，所以可以根据函数的常数性来求函数值域。
8、根据函数增减性来求函数值域：如果函数在定义域内具有增减性，则可以根据函数的增减性来求函数值域。
9、由于函数在定义域内有一定的循环性，所以可以根据函数的循环性来求函数值域。
10、根据函数的图像形状来求函数值域：如果函数在定义域内具有特定的图像形状，则可以根据函数的图像形状来求函数值域。
函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数值域的十种求法
函数值域的十种求法函数值域是一种数学概念，它描述了一个函数的结果范围，是数学研究的基础。
求函数值域的方法有多种，每种方法都有不同的优劣。
本文介绍了求函数值域的十种方法，及其优势和劣势，以供参考。
一、定义法定义法是求取函数值域最为简单的方法，只要将函数的定义式扩大至所有可能被求出的范围即可。
定义法最大的优势在于可以精确求出函数值域，大大减少误差，使得函数值域的求解更有可靠性。
但是，定义法也有其缺点，即求解过程会很繁琐，在有多个参数的函数中，会消耗大量的计算时间。
二、图像法图像法是一种简单易行的求函数值域的方法，它只需要将函数的图像表示出来，然后从图像中观察出函数值域的范围即可。
图像法的优势在于求解速度快，只需要对函数的图像做一次有限次的绘制，就可以直观了解函数的值域，而无需进行耗时的计算。
但是，图像法本身并不能精确求出函数值域，无法判断一些细微的函数特征，从而可能导致求得的函数值域不够准确。
三、五行式五行式是一种常见的求函数值域的方法，它将参数组合为五个不同的行，分别代表不同的极限情况，然后从五行式中求取函数值域。
五行式的最大优势就在于可以根据函数本身的特征，从而排除掉一些不必要的计算，减少运算量，大大提高求解的效率。
但是，五行式也存在一定的局限性，它无法正确处理复杂的函数，也不能处理参数过多的函数。
四、三角形法三角形法是一种求函数值域的经典方法，它将参数抽象出来，将参数空间细分为多个三角形，并将每个三角形中的值域分别求取出来。
三角形法的最大优势在于可以将参数空间剖分为有结构的模块，并在不同模块之间建立联系，从而大大减少计算量。
但是，三角形法也有其不足，即它只能处理二元函数的值域求解，而且在一些复杂函数的情况下，其求解精度也无法保证。
五、基于函数本质的求法基于函数本质的求法是一种综合的求值域的方法，它的原理是从函数的定义本质出发，抽象出函数的特征，并对参数和函数值域之间的联系进行分析，最后求解出函数值域。
高考数学复习函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域 解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]评注：配方法往往需结合函数图象求值域．3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 对于形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:.112..22222222b a y 型：直接用不等式性质k+xbx b. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx nx mx n d. y 型 x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1 例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
函数值域求法十一种
函数值域求法十一种函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，求函数 $y=\frac{1}{x}$ 的值域。
解：由于 $x\neq 0$，显然函数的值域是：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，求函数 $y=x^2+2x+3$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数配方得：$y=(x+1)^2+2$。
由二次函数的性质可知：当 $x=-1$ 时，$y_{\max}=2$，当 $x=1$ 时，$y_{\min}=4$。
故函数的值域是：$[2,4]$。
3.判别式法例如，求函数 $y=\frac{1+x+x^2}{1+x^2}$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数化为关于 $x$ 的一元二次方程 $(y-1)x^2+(y-1)x+(1-y)=0$。
1）当 $y\neq 1$ 时，$\Delta=(-1)^2-4(y-1)(1-y)\geq 0$，解得：$y\in[\frac{1}{2},2]$。
2）当 $y=1$ 时，$x=\pm 1$，故函数的值域是：$[\frac{1}{2},2]$。
4.反函数法例如，求函数 $y=3x+4$ 的值域。
解：由原函数式可得其反函数为：$x=\frac{y-4}{3}$，其定义域为 $\mathbb{R}$，故函数的值域也为 $\mathbb{R}$。
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数的值域为：XXX11(x1)2 2令x1t，(t0)则XXX11t2 2化简得XXX11t2函数的值域为(0,1]。
例13.求函数y sinx cosx的值域。
解：由三角函数的性质可知。
1sinx1，1cosx 1故2sinx cosx 2由于sinx cosx的周期为2，所以只需考虑[0,2)的值域即可。
求值域的10种方法
求值域的10种方法值域是一个函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
找到函数的值域通常是为了确定函数可能的取值范围，并且在数学和计算中都是非常重要的。
以下是求值域的10种方法：1.列举法列举法是最简单直接的方法。
通过观察函数的定义，给出一组有序的输出值，并将这些值组成一个集合。
这些值将构成函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以通过进行一系列的替换运算，然后给出输出值的集合{0,1,4,9,16,...}。
2.图像法在图像法中，我们首先绘制函数的图像，然后找到图像上所有纵坐标的值。
这些纵坐标的集合构成了函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以绘制一个抛物线形状的图像，然后观察所有纵坐标的值。
3.解析法解析法是通过使用代数表达式或方程来确定函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以使用代数方法将方程f(x)=y转化为x^2=y。
然后通过解这个方程，我们可以得到y可能的取值范围，即函数的值域。
4.图像逼近法在图像逼近法中，我们通过绘制函数的图像，并观察图像在最高和最低点之间所有可能的纵坐标值。
这些纵坐标的集合构成函数的值域。
5.猜测法猜测法是一种直觉方法，凭借对函数的直觉和理解猜测出其可能的取值范围。
这种方法通常需要一定的数学背景和经验，并且在实践中被广泛应用。
6.极值法在极值法中，我们通过找到函数的极大值和极小值来确定函数的值域。
极大值是函数图像的局部最高点，极小值是函数图像的局部最低点。
函数的值域就是极值点之间的所有可能的函数值。
7.夹逼法夹逼法是通过使用两个已知函数（夹逼函数）来夹住待求函数，然后确定待求函数的值域。
待求函数的值域将位于夹逼函数的值域之间。
8.对数法对数法是通过取函数的对数来确定函数的值域。
求函数的对数在一些问题中很有用，因为它可以将具有无穷大或无穷小解的问题转化为具有有限解的问题。
9.差集法差集法是通过找到函数定义域的补集，然后从全体实数集中去除差集的元素，得到函数的值域。
函数求值域的15种方法
函数求值域的15种方法求值域是数学中一个重要的概念，它可以用来确定函数在什么值上才能可以被定义。
它也可以用来判断函数是否具有极值以及极值在哪里。
求解函数域可以使用很多种方法，下面介绍15种求解函数域的方法。
1. 曲线图：用曲线图来求解函数域，通过分析函数的凹凸变化，以及变化的临界点来考虑函数的值域。
2. 区间法：分析函数的解析式，找出函数变量的取值范围，从而求出函数的定义域。
3. 限制法：通过限制函数的方程来求解函数域的大小，有助于函数属于哪个集合。
4. 线性变换：通过对函数值的线性变换，可以求解函数值的取值范围。
5. 积分法：根据求解函数值的积分值，来判断函数值的取值范围。
6. 求根法：通过求解函数的根，找出函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的有效值。
7. 不等式法：分析函数的不等式，来求出函数的定义域。
8. 收敛法：通过检验函数的收敛性，来确定函数的定义域。
9. 极值法：通过分析函数的极值，找出函数的值域。
10. 极限法：通过求解函数的极限，来确定函数的值域。
11. 变分法：根据函数在不同变量上的变分，求出函数的定义域。
12. 拓扑法：根据不同拓扑形状，确定函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的值。
13. 微分表示法：通过求解函数的微分，来确定函数的取值范围。
14. 二分法：通过分段求解函数的值，以二分的方式查找函数的值域。
15. 图解法：通过对函数的图解，计算出函数所具有的定义域。
以上就是15种求解函数域的方法。
上述15种方法都可以用来帮助我们求解函数域，可以根据不同的情况，适当选择不同的方法来解决问题。
根据实际情况，选择合适的方法，有助于我们获得更好的结果，但这也取决于我们是否能够正确掌握这些求解函数域的方法。
求函数值域的12种方法
求函数值域的12种方法函数的值域即为函数的输出值的集合。
在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。
1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。
例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。
2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。
例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。
通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。
3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。
例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。
4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。
5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。
6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函数的值域。
例如，对于函数$f(x) = \sqrt{\sin x}$，可以将其分解为$f(x) = \sqrt{g(x)}$，其中$g(x) = \sin x$，由于$\sin x$的值域为$[-1, 1]$，因此$\sqrt{\sin x}$的值域为闭区间$[0, 1]$。
求函数值域的12种方法
求函数值域的12种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。
函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。
下面就函数的值域的求法，举例说如下。
一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
求函数值域常见的五种方法
求函数值域常见的五种方法求函数的值域是函数学习的一个难点，求值域时涉及到的知识和方法较多，下面介绍几种常用的方法供参考．一、 判别式法思路：将函数式整理成一元二次方程的形式，借用判别式求值域．例1 求函数的4312--=x x y 值域． 解：原式整理成01432=---y yx yx ， )4()41()1(∞+⋃-⋃--∞∈，，，x ，且0≠y ，∴0)14(492≥++=∆y y y .解得0≥y 或254-≤y ． 当 254-=y 时，)41(23，-∈=x ． 又0≠y ， ∴所求函数的值域是),0(]254--+∞⋃∞，（． 二、 配方法例2 求函数x x y 21-+=的值域． 解：由已知得2121)21(21+-+--=x x y 1)121(212+---=x∴所求函数的值域是]1-，（∞． 三、 单调性法思路：利用函数的图象和性质求解.例3 当)0,21(-∈x 时，求函数)1lg()1lg(x x y -++=的值域．解：由已知得)1lg(2x y -=， ∵)0,21(-∈x ，∴)41,0(2∈x ． 又2x -在)0,21(-∈x 上递增， ∴)1,43(12∈-x ． 又u y lg =在)1,43(上递增， ∴)0,43(lg )1lg(2∈-x ，原函数的值域为)0,43(lg ． 四、 反函数法例4 求函数xx y -+=11的值域． 解：∵函数的定义域是{}1,0|≠≥x x x 且，由原函数变形得011≥+-=y y x ， ∴1≥y 或1-<y ．∴函数的值域为),1[)1,(+∞⋃--∞．五、 换元法例5 求函数x x y --=1的值域。
解：令x t -=1，则)0(12≥-=t t x ，那么45)21(2++-=t y ． ∵1≥t 时，y 在),0[+∞上递减， ∴当t ≥0时，]1,(-∞∈y ．∴原函数的值域是]1,(-∞．。
高中数学函数值域的求法(9种)
函数值域的求法求函数的值域时，要明确两点：一是函数值域的概念，二是函数的定义域和对应关系。
常用的方法有：观察法、换元法、配方法、判别式法、数形结合法、分离常数法、反表示法、中间变量值域法等。
（1）观察法：有的函数结构并不复杂，可以通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的函数的值域求出函数的值域。
如函数211xy +=的值域{}10|≤<y y 。
（2）换元法：运用换元，将已知的函数转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。
例如：形如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数，0≠ac ）的函数常用此法。
（3）配方法：若函数是二次函数的形式，即可化为()02≠++=a c bx ax y 型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间上二次函数最值得求法。
如求函数32+-=x x y 的值域，因为()2212≥+-=x y ，所以所求函数的值域为[)∞+，2。
（4）判别式法：求形如fex dx c bx ax y ++++=22（f e d c b a ,,,,,不同时为0）的值域，常利用去分母的形式，把函数转化为关于x 的一元二次方程，通过方程有实根，判别式0≥∆，求出y 的取值范围，即得到函数的值域。
（5）数形结合法：有些函数的图像比较容易画出，可以通过函数的图像得出函数的值域；或者分段函数也常用画出函数图像的方法判断出函数的值域。
例如：12--+=x x y 。
（6）分离常数法：形如()0≠++=a b ax d cx y 的函数，经常采用分离常数法，将bax d cx ++变形为()b ax a bc d a c b ax a bcd b ax ac +-+=+-++，再结合x 的取值范围确定b ax a bcd +-的取值范围，从而确定函数的值域。
如求函数112+-=x x y 的值域时，因为132+-=x y ，且013≠+x ，所以2≠y ，所以函数的值域为{}2,|≠∈y R y y 且。
求值域的十种方法
求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 1 ．求函数的值域。
【解析】∵ ，∴ ，∴函数的值域为。
【练习】1 ．求下列函数的值域：① ；② ；③ ；，。
【参考答案】① ；② ；③ ；。
二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。
形如的函数的值域问题，均可使用配方法。
例 2 ．求函数（）的值域。
【解析】。
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 。
∴函数（）的值域为。
例 3 ．求函数的值域。
【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。
说明：在求解值域 ( 最值 ) 时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。
例 4 ．若，试求的最大值。
【分析与解】本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最大值。
利用两点，确定一条直线，作出图象易得：， y=1 时，取最大值。
【练习】2 ．求下列函数的最大值、最小值与值域：① ；② ；③ ；④ ；，；。
【参考答案】① ；② ；③ ；④ ；；三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。
适用类型：分子、分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ) ，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。
例 5 ．求函数的值域。
分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出，从而便于求出反函数。
反解得，故函数的值域为。
【练习】1 ．求函数的值域。
2 ．求函数，的值域。
【参考答案】 1 ．；。
四．分离变量法：适用类型 1 ：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例 6 ：求函数的值域。
解：∵ ，∵ ，∴ ，∴函数的值域为。
适用类型 2 ：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为( 常数 ) 的形式。
例 7 ：求函数的值域。
高中数学：求函数值域的10种常见方法
求函数的值域（常用）一、用非负数的性质例1：求下列函数的值域：（1）y=-3x 2+2;（2）≥-1).练1：函数2()1f x x x =+-的最小值是_________________．练2：求函数y =练3：求函数的值域。
练4：（1）232+-=x x y （2）]8,5[,452∈+-=x x x y（3）2234x x y -+-=]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=二、分离常数法对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．例1：求下列函数的值域：（1）y=21x x ++（2）y=2211x x -+.练1：求下列函数的值域：（1）13222++=x x y （2）3214222++++=x x x x y三、利用函数单调性已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法． 例1：求函数y=3x+x 3的值域.练1：求函数122+-=xx y ()0>x 的值域.练2：求函数x x y 213--=的值域.四、利用判别式特殊地，对于可以化为关于x 的二次方程a(y)x 2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用0()0,a y y x ∆≥≠且求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值． 例1：求函数y =234x x +的最值．练1：利用判别式方法求函数222231x x y x x -+=-+的值域．五、利用换元法求值域有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑． 例1：求函数的值域。
练1：求()6log 62log 2222++=x x y 的值域.1x x y -+=练2：设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+的值域.练3：求函数的值域．练4：求函数x x y 213--=的值域.六：判别式法例1：求函数的值域。
七、利用数形结合数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外． 例1：若62--=x x y ,求y 的最大、最小值．练1：求函数342+-=x x y 的值域．22x 1x x 1y +++=练2：求函数186122+-++=x x x y 的值域．练3：若（求x-y 的最大、最小值．八、利用已知函数的有界性． 例1：求函数y=25243x x -+的值域.练1：求函数的值域。
函数求值域15种方法
函数求值域15种方法方法一：对于已知函数，可以通过求函数的表达式来确定函数的值域。
例如对于f(x)=x^2+1需要求值域，可以将其表示为y=x^2+1，然后观察x和y的关系，可以得到y的值域为[1,+∞)。
方法二：对于一些简单的函数，可以使用数学知识来确定其值域。
例如对于 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的值域为[-1, 1]，因此 f(x) 的值域也是[-1, 1]。
方法三：对于复合函数，可以通过将内部函数的值域代入外部函数中来确定整个函数的值域。
例如对于f(x)=√(x^2+1)，内部函数g(x)=x^2+1的值域为[1,+∞)，将值域代入外部函数，可以得到f(x)的值域也是[1,+∞)。
方法四：对于分段函数，可以分别求解不同区间上函数的值域，然后将这些值域合并得到整个函数的值域。
例如对于f(x)={x,x<0;x^2,x≥0}，可以分别求解x<0和x≥0的情况，得到f(x)的值域为(-∞,0]∪[0,+∞)。
方法五：利用函数的奇偶性来确定函数的值域。
如果函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)，那么函数的值域关于原点对称；如果函数是偶函数，即f(-x)=f(x)，那么函数的值域关于y轴对称。
根据函数的奇偶性可以推断出函数的值域。
方法六：利用函数的周期性来确定函数的值域。
如果函数有周期T，那么函数的值域在一个周期内是相同的。
可以通过观察函数的图像或者函数的性质来确定函数的周期，并进一步确定函数的值域。
方法七：利用函数的极限来确定函数的值域。
可以求函数在正无穷和负无穷的极限，根据极限的性质来确定函数的值域。
如果函数在正无穷的极限是一个确定的值，那么函数的值域是有界的；如果函数在正无穷的极限趋近于正无穷，那么函数的值域是无界的。
方法八：利用函数的导数来确定函数的值域。
可以求函数的导数，然后分析导函数的正负性和极值点，从而确定函数的值域。
如果导函数在一些区间内始终大于零，那么函数在该区间上是单调递增的，可以确定函数的值域；如果导函数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间上是单调递减的，可以确定函数的值域。
求函数值域的十三种方法
求函数值域的十三种方法求函数值域是数学中常见的问题，通过求函数值域可以了解函数的取值范围，对于解决实际问题和理论分析都有重要意义。
下面将介绍求函数值域的十三种方法。
一、观察法观察法是最直观的方法，通过观察函数的定义域和性质，可以初步确定函数的值域。
例如，对于一个关于实数的二次函数，如果其开口向上，则可以判断其值域为大于等于最低点的y坐标的实数集合。
二、代数法代数法是通过运用代数运算的方法求函数值域。
例如，对于一个有理函数，可以通过求其对应的分式函数的极限来确定函数的值域。
三、图像法图像法是通过绘制函数的图像来求函数值域。
通过观察图像的变化趋势，可以确定函数的值域。
例如，对于一个周期函数，可以通过绘制其一个周期内的图像，然后根据图像的波动范围确定函数的值域。
四、导数法导数法是通过求函数的导数来求函数值域。
通过分析导数的增减性和极值点，可以确定函数的值域。
例如，对于一个单调递增函数，其值域为整个定义域；对于一个有界函数，其值域为一个闭区间。
五、反函数法反函数法是通过求函数的反函数来求函数值域。
通过求反函数的定义域，可以得到函数的值域。
例如，对于一个严格单调增函数，其反函数的定义域即为函数的值域。
六、极限法极限法是通过求函数的极限来求函数值域。
通过分析函数的极限可以确定函数的趋势和边界，从而确定函数的值域。
例如，对于一个无界函数，可以通过求其极限来确定函数的值域。
七、积分法积分法是通过求函数的积分来求函数值域。
通过分析函数的积分可以确定函数的曲线下面积，从而确定函数的值域。
例如，对于一个连续非负函数，可以通过求其积分来确定函数的值域。
八、级数法级数法是通过求函数级数的和来求函数值域。
通过分析级数的收敛性和和的性质，可以确定函数的值域。
例如，对于一个幂级数函数，可以通过求级数的收敛域来确定函数的值域。
九、微分方程法微分方程法是通过求函数满足的微分方程来求函数值域。
通过求微分方程的解析解或数值解，可以确定函数的值域。
函数值域求法十种
函数值域的常用求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x1y =的值域。
解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞Y例2. 求函数x3y -=的值域。
解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数132222++++=x x x x y 的值域。
分析与解答：因为04321122≠+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x ，原函数变形为：()()()03222=-+-+-y x y x y （1）当2=y 时，求得3=y ，所以2≠y 。
当2≠y 时，因为R x ∈，所以一元二次方程（1）有实数根。
则：0≥∆，即：()()()3102032422≤≤⇒≥----y y y y 所以3102≤<y ，4. 分离常数法5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数1e 1e y xx +-=的值域。
解：由原函数式可得：1y 1y e x -+=∵0e x >∴01y 1y >-+解得：1y 1<<-故所求函数的值域为)1,1(-6. 函数单调性法例9. 求函数)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域。
解：令1x log y ,2y 325x 1-==-则21y ,y 在[2，10]上都是增函数 所以21y y y +=在[2，10]上是增函数当x=2时，8112log 2y 33min =-+=-当x=10时，339log 2y 35max =+=所求函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81例10. 求函数1x 1x y --+=的值域。
高中数学求值域的10种方法
求函数值域的十种方法一．直接法（察看法）：对于一些比较简单的函数，其值域可经过察看获得。
例 1．求函数y x1的值域。
【分析】∵ x0 ，∴x11，∴函数 y x1的值域为[1,) 。
【练习】1．求以下函数的值域：① y 3x 2( 1 x 1) ；② f ( x)2 4 x ；x；○4y21,0,1,2 。
③ y x 1 1 ， xx1【参照答案】① [ 1,5]；② [2,)；③ (,1)(1,) ；{1,0,3} 。
4二．配方法：合用于二次函数及能经过换元法等转变为二次函数的题型。
形如F (x) af 2 ( x) bf ( x) c 的函数的值域问题，均可使用配方法。
例 2．求函数y x24x 2（ x[ 1,1] ）的值域。
【分析】y x24x 2( x2)2 6 。
∵ 1 x 1 ，∴ 3 x2 1 ，∴1 (x2)29，∴ 3(x 2)2 6 5 ，∴ 3 y 5。
∴函数 y x24x 2 （ x[ 1,1]）的值域为 [3,5]。
例 3 ．求函数y2x24x( x0, 4 ) 的值域。
【分析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不如设：f (x)x2 4 x( f (x)0) 配方得： f (x)(x2)24(x0, 4 ) 利用二次函数的有关知识得f (x)0, 4，从而得出： y0,2 。
说明：在求解值域 (最值 ) 时，碰到分式、根式、对数式等种类时要注意函数自己定义域的限制，本题为：f ( x)0 。
例 4 ．若x 2 y4, x0, y0，试求 lg x lg y 的最大值。
【剖析与解】 本题可当作第一象限内动点P(x, y) 在直线 x 2 y 4 上滑动时函数 lg x lg y lg xy 的最大值。
利用两点(4,0) ， (0,2) 确立一条直线，作出图象易得：x (0,4), y (0,2), 而 lg x lg y lg xy lg[ y(4 2y)] lg[ 2( y 1)2 2] ，y=1 时， lg xlg y 取最大值 lg 2 。
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函数值域求法一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数）1、求242-+-=x y 的值域。
由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：)[)[∞+-∈∞+∈-+-=,2,,024)(2y x x g 所以2、求函数y =的值域。
≥0≥1，然后在求其倒数即得答案。
解：≥0∴≥1，∴≤１，∴函数的值域为（０，１]．二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。
设：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：][2,2-∈y 。
说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f 。
2、求函数342-+-=x x ey 的值域。
解答：此题可以看作是u e y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数，对u 配方可得：1)2(2+--=x u ，得到函数u 的最大值1=u ，再根据u e y =得到y 为增函数且0>y 故函数342-+-=x x ey 的值域为：],0(e y ∈。
3、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。
本题可看成一象限动点),(y x p 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。
利用两点(4，0)，(0，2)确定一条直线，作出图象易得：2)1(2lg[)]24(lg[lg lg lg ),2,0(),4,0(2+--=-==+∈∈y y y xy y x y x 而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。
三、反函数法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型）对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。
1、求函数12+=x xy 的值域。
由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x ，从而便于求出反函数。
12+=x x y 反解得yy x -=2即x xy -=2 故函数的值域为：),2()2,(+∞-∞∈ y 。
（反函数的定义域即是原函数的值域）2、求函数11+-=x x e e y 的值域。
解答：先证明11x x e e y -+=有反函数，为此，设21x x <且R x x ∈21,，0)1)(1(211112121221121<++-=+--+-=-x x x x x x x x e e e e e e e e y y 。
所以y 为减函数，存在反函数。
可以求得其反函数为：xxy -+-=111ln 。
此函数的定义域为)1,1(-∈x ，故原函数的值域为)1,1(-∈y 。
四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断）1、求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。
由于本题的分子、分母均为关于x 的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：7423222-+=++x x y xy y x 整理得：073)2(2)2(2=++-+-y x y x y 当2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足032)(2≠++=x x x f 即R x ∈此时方程有实根即△0≥，△[].2,29[0)73)(2(4)]2(22-∈⇒≥+---=y y y y注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是29,2-==y y ）代回方程检验。
将29,2-==y y 分别代入检验得2=y 不符合方程，所以)2,29[-∈y 。
2、求函数2212+++=x x x y 的值域。
解答：先将此函数化成隐函数的形式得：012)12(2=-+-+y x y yx ，(1)这是一个关于x 的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式0)12(4)12(2≥---=∆y y y ，解得：2121≤≤-y 。
故原函数的值域为：],[2121-∈y 。
五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等）1、求函数x x y 41332-+-=的值域。
由于题中含有x 413-不便于计算，但如果令：x t 413-=注意0≥t 从而得：)0(321341322≥+--=∴-=t t t y t x 变形得)0(8)1(22≥++-=t t y 即：]4,(-∞∈y注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。
2、已知),(y x p 是圆422=+y x 上的点，试求xy y x t 322-+=的值域。
在三角函数章节中我们学过：1cos sin 22=∂+∂注意到422=+y x 可变形为：1)2()2(22=+y x 令,0[,sin 2,cos 2∈∂∂=∂=yx 2π)则∂-=∂⨯∂⨯-=2sin 64sin 2cos 234t 4,0[2∈∂又π)即]1,1[2sin -∈∂故]10,2[-∈t3、试求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的值域。
题中出现x x sin cos +，而x x x x x x cos sin 21)cos (sin ,1cos sin 222+=+=+由此联想到将x x sin cos 视为一整体，令]2,2[cos sin -∈+=x x t 由上面的关系式易得21cos sin cos sin 2122-=⇒+=t x x x x t 故原函数可变形为：]2,2[1)1(21,2)1(2])2,2[(21222-∈-+=-+=-∈-+=t t y t y t t t y 即]221,1[+-∈∴y六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域） 1、求函数xxy cos 2sin 3--=的值域。
分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式1212x x y y k --=，将原函数视为定点(2，3)到动点)sin ,(cos x x 的斜率，又知动点)sin ,(cos x x 满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：]3326,3326[+-∈y 2、求函数13y x x =-+-的值域。
分析：此题首先是如何去掉绝对值，将其做成一个分段函数。
24,(,1],2,(1,3),24,[3,),x x y x x x -+∈-∞⎧⎪=∈⎨⎪-∈+∞⎩在对应的区间内，画出此函数的图像，如图1所示，易得出函数的值域为),2[+∞。
七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值。
（如：ab b a ab b a 2,222≥+≥+），利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取""=成立的条件。
）1、当0>x 时，求函数248)(xx x f +=的最值，并指出)(x f 取最值时x 的值。
因为2244448)(xx x x x x f ++=+=可利用不等式33abc c b a ≥++即：324443)(x x x x f ⋅⋅⋅≥所以12)(≥x f 当且仅当244x x =即1=x 时取“=”当1=x 时)(x f 取得最小值12。
2、双曲线12222=-b y a x 的离心率为1e ，双曲线12222=-ax b y 的离心率为2e ，则21e e +的最小值是（）。
A 22 B4 C2 D 2根据双曲线的离心率公式易得：b b a a b a e e 222221+++=+，我们知道xy y x 2≥+所以abb a e e 22212+≥+（当且仅当b b a a b a 2222+=+时取“=”）而ab b a 222≥+故2221≥+e e （当且仅当b a =时取“=”）22)(m in 21=+e e 所以。
说明：利用均值不等式解题时一定要注意“一正，二定，三等”三个条件缺一不可。
3、求函数12++=x x y 的值域。
解答：211112≥++==+++x x x x y ，当且仅当1=x 时""=成立。
故函数的值域为),2[+∞∈y 。
此法可以灵活运用，对于分母为一次多项式的二次分式，当然可以运用判别式法求得其值域，但是若能变通地运用此法，可以省去判别式法中介二次不等式的过程。
4、求函数1222+++=x x x y 的值域。
解答：此题可以利用判别式法求解，这里考虑运用基本不等式法求解此题，此时关键是在分子中分解出)"1("+x 项来，可以一般的运用待定系数法完成这一工作，办法是设：22))(1(2++=+++x x c b x x ，将上面等式的左边展开，有：)()1(2c b x b x ++++， 故而21=+b ，2=+c b 。
解得1=b ，1=c 。
从而原函数1111)1)(1()1(+++++++==x x x x x y ； ⅰ)当1->x 时，01>+x ，011>+x ，此时2≥y ，等号成立，当且仅当0=x 。
ⅱ)当1-<x 时，0)1(>+-x ，01>-，此时有211)1(11)1(11)1)(1(-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=+++=++++=x x x x x x x y ， 等号成立，当且仅当2-=x 。
综上，原函数的值域为：),2[]2,(+∞⋃--∞∈y 。
八、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式）1、求函数122+--=x x xx y 的值域。
观察分子、分母中均含有x x -2项，可利用部分分式法；则有43)21(11111122222+--=+--+-=+--=x x x x x x x x x y 不妨令：)0)(()(1)(,43)21()(2≠=+-=x f x f x g x x f 从而)∞+⎢⎣⎡∈,43)(x f注意：在本题中应排除0)(=x f ，因为)(x f 作为分母。