2013 03 21 数学教育论文：以退求进思想与解题能力培养 平光宇
例谈“以退为进”策略在数学学习中的运用
例谈“以退为进”策略在数学学习中的运用《以退为进》是一种既在数学学习方面又在教学训练中得到广泛应用的策略。
它指的是在进行数学学习或数学操作时，将新知识拆解成几部分，先从最简单的部分开始学习，然后逐步进行深入细化，有条不紊地增加知识的深度和广度，最后实现自学能力的增强。
以退为进策略在数学学习中有着至关重要的作用，它可以帮助学生更好地理解数学学习内容，加深对数学基础知识的掌握。
从宏观上来说，它可以帮助学生形成正确的学习思想，提高学习效率和解决数学问题的能力。
从微观上来说，它可以帮助学生正确地选择正确的解决方案，并有效地分析和解决各种数学问题。
首先，以退为进策略有助于掌握数学的基础知识，而在掌握基础知识的基础上，学生更容易理解复杂的数学概念和问题解决步骤，从而能够更好地钻研数学理论。
通过以退为进的方法，学生可以从简单的问题开始，逐步深入，从而加深形成数学概念和知识结构。
因此，学习者可以更好地理解数学知识，学会解决更多的数学问题，从而增强数学解决能力。
其次，以退为进策略能够让学生形成正确的学习思想，特别是在做数学问题时，学生可以摆脱困难，转而重新思考问题，以更合理的思路为基础，并不断深入探索问题的解决办法，让学生养成审视问题的习惯，从而获得更好的学习效果。
另外，以退为进的学习策略也能够帮助学生更好地组织思路，梳理出更清晰的工作流程，有助于解决复杂的数学问题。
最后，以退为进策略可以帮助学生培养独立思考的能力，提高学习效率。
学生可以根据课本和老师提供的资料，结合自身的实际情况，逐步总结数学知识，利用以退为进的学习策略完成数学问题的求解，根据自身的需求，不断提高数学能力。
总之，以退为进的策略在数学学习方面发挥着重要的作用，可以帮助学生更好地掌握基础数学知识，加深数学理解，培养独立思考能力，让学生以更高效的方式学习应用数学。
例谈“以退为进”策略在数学学习中的运用
数学2014·８美国心理学家弗里德曼做的“登门槛”心理实验表明：“先得寸再进尺，往往能实现目标。
”华罗庚也说过：“复杂的问题要善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
”这就是“以退为进”的策略，在数学学习中常常用到。
一、退到思维起点，变繁为简，构建数学模型数学教学是思维活动的教学。
要使学生的思维得到有效发展，教师就要在学生学习新知时为他们寻找合适的思维起点，使他们在学习中建构数学模型，逐渐逼近数学的本质。
例如，特级教师刘松教学“数学广角———找次品”一课时，将教材中的数据变大，使原题变成：“２１８７瓶木糖醇口香糖中有一瓶特别轻（次品），用天平称，至少称几次才能保证找到它？”教学时，学生有的说２１８５次，有的说一千多次，还有的说７２９次……刘老师引领学生从３瓶想起，分成（１、１、１），需要称１次；９瓶分成（３、３、３），需要称２次；２７瓶分成（９、９、９），需要称３次；８１瓶分成（２７、２７、２７），需要称４次；２４３瓶分成（８１、８１、８１），需要称５次；７２９瓶分成（２４３、２４３、２４３），需要称６次；２１８７瓶分成（７２９、７２９、７２９），需要称７次。
学生面对庞大的数据２１８７时，显得束手无策，不得其门而入。
这时刘老师引导学生退到适合的思维起点，从最简单处想起：“用天平称时，将数据三等分，保证以最少的次数找到次品。
”……经过这样变繁为简的过程，逐步推进，不仅引导学生解决了问题，而且帮助学生积累了数学活动经验，顺利地构建了新知的数学模型。
二、退到旧知原点，变快为慢，感悟数学思想奥苏贝尔曾经说过：“影响学生的最重要因素是学生已经知道了什么。
”教学时退回到旧知原点，能再现学生认知结构中的相关知识经验，激活新旧知识之间的联结点，达到温故知新的目的。
例如，教学“乘法分配律”时，很多教师基本上是先从解决“买５件夹克（单价为６５元）和５条裤子（单价为４５元），一共要付出多少元”的问题入手，引出等式（６５＋４５）×５＝６５×５＋４５×５，再让学生写出几组这样的算式，然后归纳出规律。
例讲高中数学思想在解题中的应用
例讲高中数学思想在解题中的应用【内容摘要】数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。
高中数学涉及很多的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、整体思想等，用于解答数学习题，能够少走弯路，提高解题正确率。
授课中应注重为学生逐一讲解这些数学思想，总结这些思想适用的数学题型。
与此同时，针对不同的数学思想，与学生一起剖析经典的例题，以达到锻炼学生思维，提升其举一反三能力。
【关键词】高中数学思想解题应用例讲高中数学习题类型复杂多变，解题的思路方法不尽相同，尤其在解题的过程中注重相关数学思想的应用，可获得事半功倍的解题效果。
为提高学生对数学思想的重要性认识，自觉认真的学习、总结高中阶段相关的数学思想，并能具体问题具体分析，应注重为学生做好相关数学思想在解题中的应用示范。
一、函数与方程思想的应用例讲函数与方程是高中数学的重要知识点，两者有着千丝万缕的联系。
解题的过程中通过函数与方程之间的灵活转换，可有效地突破相关习题。
教学中应注重与学生一起总结函数与方程之间的契合点，使学生更好地把握两者之间转化的相关细节。
如涉及方程、零点问题，可将方程拆分成两个常见函数，其中两个函数图象交点的横坐标为方程的根，函数图象交点个数为零点个数，为函数与方程思想的应用做好铺垫。
不仅如此，授课中还应为学生系统的讲解高中阶段的常见函数，使其牢固掌握常见函数的相关性质、常见函数之间的联系，如指数函数图象和对数函数图象关于y=x对称，使学生能够根据题干创设的情境将方程迅速地拆分成相关函数，通过函数与方程思想的应用，进行函数与方程的转化，尽快地求出数学问题的正确结果。
另外，为使学生明白如何运用函数与方程思想解题，使其在应用中少走弯路，应结合相关教学内容精心筛选相关习题，与学生一起剖析破题思路，详细的板书解题过程。
如在讲解对数函数知识时，可讲解如下例题：二、数形结合思想的应用例讲数与形有着密切的联系，数与形之间转化的思想，即为数形结合思想。
例谈“以退为进”策略在数学学习中的运用
例谈“以退为进”策略在数学学习中的运用
“以退为进”策略在数学学习中的应用可以从以下几个方面展开：
1. 重新学习基础知识：数学是一门累进的学科，如果基础不牢固，后续学习将会受到很大的限制。
因此，在学习过程中，当遇到
困难时，可以放慢速度，重新学习和巩固基础知识，为后续的学习
打下基础。
2. 反复练习习题：数学需要反复练习才能真正掌握，通过不断
地练习，能够培养学生的数学思维能力。
3. 向老师寻求帮助：数学学习中遇到难题或问题时，及时向老
师寻求帮助是一个高效的策略，可以极大地提高学习效率。
4. 学会总结和归纳：数学涉及的概念和公式较多，学习中可以
采用总结和归纳的方法，将已学知识进行梳理和分类，使学习更有
条理。
5. 適時休息：適時休息可以讓學生保持学习的热情和精力，在
学习疲累的时候进行休息，使学习效率不会下降。
总之，“以退为进”策略在数学学习中的运用是很重要的，能
够帮助学生更好地掌握知识，提高学习效率，从而取得更好的成绩。
中学数学中的一些解题思想和方法的研究【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学中学数学中的一些解题思想和方法的研究一、前言部分数学，由于其具有广泛的应用价值、卓越的智力价值和深刻的文化价值，因此在基础教育中占有特殊重要的地位。
在中学的数学教育中，主导的内容不是那些正在发展中的现代数学分支，而是在人类文化宝库中业已形成的数学思想、知识和方法。
“问题”是数学的心脏，数学活动主要是提出问题和解题，而在数学教育活动中，“解题”更是最基本的活动形式。
无论是学生的数学概念的形成、数学命题的掌握、数学方法和技能技巧的获得，还是学生智力的培养和发展，都必须通过“解题”。
综观有关解题研究的论述，无论是国外的研究还是国内的研究，在解题理论研究上较多，在解题教学实践上的研究较少，比如：一道题我们该如何教？为什么这样教？我们应教给怎样的学生？这些方面研究较少。
1、解题教学研究中的问题：有不少人认为，随着数学内容的学习，数学知识的丰富，解题方法可以自然而然地掌握、解题能力可以自然而然地产生。
解题理论的研究纯属多余。
而来自学生的情况却是:许多人学了课本内容却不会解题，还有的人解了许多题却说不清思路。
可见，再丰富的经验也无法代替理论，缺乏理论指导的实践常会流于盲目。
有些传统题目十几年乃至几十年无任何改进，从这本书抄到那本书，局部上甚至有流行的错误。
解题研究多探讨“怎样解”，较少问“为什么这样解”，长期徘徊在一招一式的归类上，缺少观点上的提高与实质上的突破。
将解题的研究归结为应付升学的考查，解题的规律被简单化为“对题型”、“套解法”，由此产生盲目的“题海战术”。
这种模式，将智力开发等同于技艺训练，以考试为目标，以押题、猜题为主要手段，即使获得了高分也扼杀了学生的能力。
2、对数学解题研究方向的思考：解题研究应该谋求和把握的两个发展方向，数学解题研究既不应局限于一招一式的简单模仿，也不应停留于技能技巧的反复训练，而应提升到数学思想和数学方法的理论高度，更应进入到数学教学和数学学习的心理层面。
从学生的实际出发搞数学教学(论文)
从学生的实际出发搞数学教学中卫市常乐小学孙政在教学中，要想使学生不仅“学会”数学，而且“会学”数学，“爱学”数学。
就应当遵循儿童认知规律，从学生的实际出发，以新课标理念来指导我们的课堂教学，下面谈谈我的教学体会。
一、联系生活实际，促进知识迁移，引发兴趣小学生的思维以形象思维为主，教学中要充分考虑学生的身心发展特点，结合他们的生活经验和已有知识设计富有情趣和意义的活动，引发学习兴趣，为学生的认知搭建桥梁。
如教学《比例尺》一课时，我出示了学生的照片和校园平面图，让学生同实际事物进行对比。
熟悉的生活现象，激起了学生强烈的探究欲望。
通过分析、对比、讨论，学生认识到实际事物与图片的形状是相同的，而大小不同，并且它们大小存在一定的比例关系，照片和平面图是按照一定比例缩小而制成的，从而理解了比例尺的内涵。
在《圆的认识》一课教学中，我从自行车、汽车的车轮为什么不做成三角形、正方形、五边形而偏要做成圆形的来导入，学生被熟悉的现象所吸引，为找寻答案，他们动手进行了实验，自学了课本，很快找到了理论依据，掌握了圆的特征。
此时，我没有就此罢休，继续让他们想一想生活中还有哪些物体的面做成了圆形，联系所学的知识，解释为什么要做成圆形的，把数学知识和生活再次联系起来。
又如在《按比例分配》的应用题教学中，我设计这样两个问题：把100公顷土地平均分给东风村1至5组村民耕种公不公平？把土地等分成5份，分别种上葱、姜、蒜、青菜、稻谷等合不合理？这些问题与学生生活息息相关，他们熟知土地要根据人数多少来分，农作物要根据需求来播种，从而懂得了等分有时是不合理的，必须根据实际情况来确定新的分配方法，这样，自然就引出了“按比例分配”，“按比例分配”的内涵也不言而喻了。
使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们就生活在充满数学信息的现实世界中。
这样教学，符合儿童认知规律，能促使学生学会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移。
在数学教学中以“退”为进提高学生数学才能
化， 让 他 们 的观 察力 变 得 敏锐 ， 记 忆 力 得 到强 化 ， 想 象力 丰富 。因
此， 培养学生阅读课本的兴趣 ， 就是要善于用好课 本， 充分挖掘教 教学 中若能巧妙地利用数形结合 ， 通过数形之 间的相互转化 ， 从 材 中有 利于调动学生学习兴趣 的因素 ， 促使他们乐于阅读课本 。
②针对 阅读 ， 查漏补缺。在预习 、 听课 、 作业 、 考试 中难免会 碰到一些 障碍或疑难问题 ，这就要求学生把发 现疑难 的地方用
读一读数学 书 ， 即使 老师布置 了阅读数 学书的作业 ， 也是蜻蜓式 记号标注 出来 ， 引起注意 ， 针对存在 的问题再次看 书 ， 有重点地 阅读 ， 草草而过 ， 读不 出要点 ， 读不 出字里行 间所蕴藏的 内容 ， 更 请教老师和同学 ， 查漏补缺 ， 为后继学 习扫除障碍 ， 打牢 基础 。 读不出问题 和 自己的独到见解 或创新 。 其实要想真正学好数学 ， 光靠机械的题海 战术是没用的 ， 我们应该 引导学生退归课本 ， 阅 ③全面阅读 ， 发散思维 。一段时间的学 习过后 ， 我们还需指 导学生全 面地再读课本 ， 这样有助于掌握知识 的来龙去脉 ， 将分
【 才・ 智】
【 学 习策 略 】
在数学教学 中以“ 退＂ 为进提高学生数学才能
江苏
摘
南京
●王 希 文
要： 载 重 汽 车上 坡 时 ， 司机 会 采 取 前 行 的 方 法 ， 而 不是 运 用加 挡 。之 所 以会 采取 适 当的 “ 退” ， 其 目的是 为 了更 好 地
“ 进” 。学习的道路也是如此 ， 不可能总是一帆风顺、 畅通 无阻， 如 果教 师一味地 强求速度 ， 追求结果 ， 不讲 究学 习的方式方 法， 往往会适得其反 ， 欲速则不达。因此 ， 教 师要善 于学会“ 退” ， 将一个个复杂的问题“ 退” 成简单 的问题 ， 找 出规律 ， 从而 以 “ 退” 为进 ， 提高学生的数 学才能。 关键词 ： 教师 ； 数 学教学； 以“ 退” 为进 ， 数学才能
浅谈高中数学课堂教学中运算求解能力的培养
生解题时审题不仔细，屡屡失误，对学习丧失信心，运算能力
越来越差。
最后，部分学生没有养成良好的运算习惯。大多数学生
有懒惰情绪，思想不集中，演算能力薄弱，在计算时没有良好
的运算和检验习惯，而导致运算结果出错，使得数学运算求解
能力欠妥。
2 培养并提高运算求解能力的有效途径
根据数学运算以及数学能力的概念和发展要求，笔者认质属性，
揭示出概念的内涵和外延。例如基本不等式
+ 2
的使
用，要贴合“一正”、“二定”、“三相等”使用前提，同时，这个公
式除了“顺用”之外，还可以变形使用，例如变形为：ab
+ 4
2
。
在公式灵活运用的同时要及时做到信息的反馈，及时发现典
型错误，应通过正反两方面的例题进行纠正，提高学生的运算
同时，要有意识地培养学生的比较意识，这是解决问题的一 个重要导向。有时对一道试题进行解析时，要求我们善于选优 而从，比如三角函数中的求值问题，教师应该引导学生观察已知 角与未知角的关系，从而简化运算过程，如果教师在平时的教学 中能够给予学生更多运算方面的引导，学生在自己独立完成某 个运算量较大的题目时就会尝试观察题目本身具有的特征。
作者简介：白一淳，女，河南南阳人，现就读于河南师范大 学数学与信息科学学院 2018 级学科教学（数学）专业，研究方 向：中小学数学教育与教学。
参考文献
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— 科教导刊（电子版）· 2019 年第 16 期/6 月（上）—
2.3 加强数学认知教育，增强数学学习兴趣 数学认知是学生学习数学的基础，是对数学规律性、科学 性的理解和掌握。只有全面提高学生数学认知能力，才能充 分调动学生学习数学的自觉性和主动性。首先，培养学生学 习数学的信念，教师要清楚地把握教材每章节知识在生活中 的应用，让学生真正感到数学知识的应用和实际生活密不可 分，逐步树立学好数学的信念，增强学生学习数学的欲望。所 以，在教学中要引导学生追求数学学习的应用价值，促使学生 对数学产生极大的学习欲望。 笔者认为，教师在实际教学过程中，要积极收集数学史料， 以丰富的数学史知识和许多数学家的动人故事我课堂注入新 鲜的血液，从而在潜移默化中提高学生学习数学的情趣。此 外还可以开展一系列生动实用性的数学课外活动，如智力竞 赛、模型设计、数学竞赛等等，提高学生学习数学能力，对有助 于培养数学运算求解能力，增强学生学习数学的动力。 3 结束语 运算求解能力既不能离开具体的数学知识而孤立存在， 也不能离开其他关键能力而独立去发展。运算求解能力是和 观察理解能力、联想表述能力等多种能力互相渗透的，同时也 和逻辑思维能力等关键能力相互支持着。同时，针对学生数 学学习和训练，必须要从思想上高度重视运算求解能力的培 养，加强多种感官的运算训练，授课不忘运算方法、运算技能 的分析和讲解，逐步提高学生的运算能力，为学生学好数学， 提高初中阶段整体数学教学水平打下坚实的基础。
把握问题实质,提高解题能力——以高中数学解题教学实践课为例阐述
用，达到优化教学的意识，因此，作为一线教师，在解题教学时，要把握问题的实质，能够根据题目特点恰当地选择最恰
当的解题策略甚至一题多解来实施教学。
关键词 实质 解题能力 解题教学
中图分类号：G633.6
文献标识码：A
1 问题的提出 如今，学生学习数学知识归根结底还是要落实到解题上 来。解题不仅是学习数学的出发点，也是数学学习的落脚点。 解题作为数学学习的一种重要手段，也是衡量个人数学能力 的主要指标和检验数学学习效果的重要途径。解题是把所学 的基本概念、基本公式和法则等迁移到不同情境下的数学应 用，解题过程也要融入数学思想方法和解题方法技巧，是锻炼 学生逻辑思维能力和数学推理能力的最佳途径，通过解题能 够使学生牢固地掌握知识，灵活地运用知识，因此解题教学在 数学教学中占有重要的地位。 2 提高学生解题能力的重要性 现阶段，绝大多数学生没有经常温故学习的习惯，多数只 能做到偶尔回顾当天所学的内容，有部分学生认为只能通过 考试或解题来了解自己的学习水平，途径较单一；而对于解题 后作进一步的思考，会想一想题目有哪些变化的学生则更少。 此外，很多老师提倡“题海战术”，学生只顾多做题目，而 不重视做题的质量；只注重做题结果，而不重视解题的过程及 解题后的反思。这样一来，学过的知识遗忘快，这类学生往往 只注重知识个体而忽略整体，缺乏系统性的总结。 在学习数学中解题，在解题中学习数学。但在解题教学 实际中不能单纯地为了解题而解题，也不应一味地追求解题 的数量而忽视解题的质量我认为在要求学生解题时，应鼓励 学生自我探索，发现规律，不断鼓励学生对讲评内容，尤其是 自己出错的知识点进行“二次思维”。加深学生对该知识的印 象，避免重蹈覆辙。要在解题教学中紧紧抓住方法、技巧这些 关键点，针对问题特点优化解题教学过程，因此，学生在解题 中要具备反思的能力和养成反思的习惯，经常进行自我诊断 和反思，引导学生反思是有效提高解题效率的重要措施，使数 学题在解题教学中因教法的优化而产生最大效应。 3 提高学生解题能力的的途径 新视域下，高中数学主要考察学生对基本知识的掌握和 应用，考核学生正确解决具体问题的能力。而高中数学主要 的特点是，较强的逻辑性思维，较复杂的命题思路，较系统的 知识结构。尤其是在现行的教育背景下，笔者就如何提高学 生解题能力，简要地介绍了大致以下几种途径。 3.1 转变思维方式，对解法进行创新 传统的高中数学教学大都是让学生依照着书本上的所谓
把数学思想方法迁移为解决实际问题的能力
课 改 前 沿 ●
·
·
●
把 学慰 遥穆 解 寨 பைடு நூலகம்
◎ 高 宝德 （甘 肃省 秦 安 县 桥 南初 级 中学 ，甘 肃 天 水 ７４１６００）
【摘要 】随着新课标 的 实施 ，追 求 学生 的全 面发展 已成 为社会 各方面 的共识．在时代不 断进 步 的今 天 ，传 统 的教育 课 堂也应 当随之 改变 ，单 纯地 向学 生灌输 较为 枯燥 的知识 显然不能锻 炼学生 的能力 ，只能培养 出“高分低 能”的学生． 提 升学生各方面 的 能力 ，是每 一位教 育工 作者 的责任 与义 务．本 文将从 结合实际 问题运用 所学知识 、学会 反 思从而 完 善知识体 系、注重合 作学 习几 个方 面简 要论述 把 数 学思 想 方法迁移为解决 实 际 问题 能力 的策 略 ，以期 为广 大教 师 同 仁 提 供 一 些 建 议 ．
一 、 将实际 问题 引进课 堂 。提高学生兴趣 “兴 趣是最好的老师 ”，这句 话在课 堂 教学 中是绝 对 的 真理．由于数学知识 具有 逻辑 思维 较 强 、较为 枯燥 的 特点 ， 若学生不 能对 数学 产生 浓厚 的兴趣 ，便 很容 易 出现不 愿 学 习数学甚 至厌 学 的情 况 ，这对 于 营造好 学 的课 堂氛 围从 而 提高课堂 教学 效率是极为不利 的．因此 ，教 师在教 学 中应 该 注意调动 学生参与课堂的积极性 ，提 高学生学 习兴趣 ，培养 学生 主动 学习的 良好 习惯．教师 可 以将 生 活实 际 问题 引进 课 堂 教 学 中 ，营造 学 生 较 为 熟 悉 的 生 活 情 境 ，从 而 提 高 学 生 参 与课 堂的积极性．比如 ，有 这样 一个 经典 的 问题 “池 塘里 有一 种荷 花 ，面积 每天扩大两倍 ，在第 ３０天 时将池 塘 占满 ， 那 么第 ２８天荷花 面积 占池塘 的多少？”大 部分 学生 在做 这 道题 时首先想到 的是等 比数 列 的知识 ，即从第 一天 开 始算 起 ，但仔 细想想 就会发 现 ，倒过 来想 问题 会 变得 很简 单 ，第 ２９天是池塘的一半 ，而第 ２８天 即为 四分 之一．学 生通 过这 个 问题就能明 白解 决 问题 时应该 透过 现象 看本 质 ，而 不是 按部 就班地逐步解决 ．这样将实 际问题 引入 课堂 ，不但 能 引 起 学生的兴趣 ，调动其积极性 ，更 能使 学生掌握 解决 问题 的 方法与技巧 ，更好 地掌握知识． 二 、引 导 学 生 将 知 识 运 用 在 生 活 实 际 中 学 以致用是每 一名 学生理 应 达 到的 目标 ，在 传统 教 育 模式下 ，部分学生会 出现高分低 能 的情 况 ，即教材 知识掌 握 得很好 ，但遇到实际 问题时却束 手无策 ．随着 我 国教育 的改 革 ，教师应该寻求好 的教 学方 法 ，杜绝 这种 情 况 的发 生．在 数学课堂教学 中 ，教 师 可 以引导学 生在 实 际生活 中遇 到问 题要运用学 习的知识 ，通 过科 学 的方 法解 决．当 然 ，部分 学 生面对实 际问题时 可能会 无从 下 手 ，教师 可 以引导 学 生将 实 际问题模 型化 ，将其 转化 为学 生熟 悉 的数 学 问题．比如 ，
浅谈数学分析思想在高中数学解题中的应用
摘要：数学分析思想是高中数学学习中的重要思想，也是数学解题中的关键。
可以说，没有数学分析思想，很多数学问题就不能有效解决。
本文仅从数学分析思想的重要性和其在数学解题中的应用这两方面，谈谈笔者粗浅的看法，希望对高中生的数学学习有所帮助。
关键词：数学分析思想高中数学解题应用浅谈数学分析思想在高中数学解题中的应用文/康雨晖高中数学知识，在深度和广度上都比初中数学知识有较大的扩充，且在语言表达、内容描述上更抽象难懂，这需要高中生具备良好的数学思维，才能准确理解所学内容。
在新课程改革不断推进的当下，高考数学试题更加注重对学生综合能力的考察，而数学综合能力的提升离不开灵活的数学思维，尤其是对复杂问题的分析和推理能力。
所以数学思维中的分析思想十分重要，它不但在数学知识的学习上有重要的作用，而且对数学试题分析、准确作答也有重要的影响。
一、数学分析思想的重要性思维是行动的先导，正确的思维是解决问题的关键。
如果一个人具备了正确的思维方式，那么就有可能快速灵活地解决问题，所以在高中数学的学习中具备一定的数学思维十分重要。
而在众多的思维中，最关键的思维方式就是数学分析思想，它不但是理解数学问题的关键，还是解决数学问题的利器[1]，许多数学问题如果没有数学分析思想的运用，就不能得到有效解决，所以数学分析思想在高中数学的学习中尤为重要。
在高中数学的学习中，运用数学分析思想能够对比较抽象的数学知识进行分析归类，化抽象为具体，使知识更为直观形象。
在数学习题的解答中，运用数学分析思维能够迅速找到问题的关键，理清思路，建立知识与问题间的联系，提高解题的速度，从而提高学习数学的兴趣和自信心。
二、数学分析思想在解题中的应用数学分析思想在数学解题中的应用非常广泛，它能够使我们更快的找到解题的思路，使问题更加清晰，为我们灵活解题提供必要基础。
（一）数学分析思想能有效的转化题型高中数学的题型千变万化，灵活多样，往往一个知识点就能演化出多种题型，这对于许多基础不好的学生来说无疑增加了解题的难度。
数学解题论文问题解决论文：整体化思想在数学解题中的应用及其教学对策
数学解题论文问题解决论文：整体化思想在数学解题中的应用及其教学对策摘要：数学的整体化思想方法要求教师在数学解题过程中把所研究的对象作为一个整体来对待，从全局看问题，从整体去思考，整体地把握条件和结论的联系。
整体化思想是解决数学问题的思维方法，掌握整体化思想方法有利于培养学生的直觉思维能力和发展学生的思维品质。
作为教师，在教学过程中，应该培养学生的整体化思想，寻求潜在规律，用整体化思想去解决数学问题。
关键词：数学解题；整体化思想；问题解决一、问题的提出“问题是数学的心脏”，数学问题的解决是数学教学中的一个重要组成部分，一个数学问题一般总表现为一个系统。
所谓数学的整体化思想，就是暂时不注重于系统的某些元素的分析，暂时忽略或模糊系统的某些细节，而重视元素之间的联系、系统的整体结构，从整体上考虑命题的题设、题断及其相互关系，从整体上把握解决问题的方向，并做出决策。
整体化思想需要注意分析问题的整体结构，从整体角度思考，从宏观上理解和认识问题的实质，以达到解决问题的目的。
在数学解题过程中，学生需要了解整体与局部的关系，合理处理两者之间的联系，这样往往就能在解题过程中收到事半功倍的效果。
寻求需解问题与已知条件整体的联系，是整体化思想解题的实质。
“整体观察”、“整体代入”、“整体换元”、“整体构造”等在解题过程中起着重要作用，能将复杂的代数式转化成学生熟悉的式子，从而达到解题的最终目标。
整体化思想在很多类型的题目中都有广泛的应用，如代数式的化简与求值，解无解方程及不定方程，二次根式的运算及几何解证等。
二、整体化思想在解题中的应用1.整体代入法。
例1.2004年全国竞赛题：已知实数a、b、x、y 满足a+b=x+y=2，ax+by=5，则（a2+b2）xy+ab（x2+y2）的值为多少？思考与分析：（a2+b2）xy+ab（x2+y2）=a2xy+b2xy+abx2+aby2=ax（ay+bx）+by（ay+bx）=（ax+by）（ay+bx）将ax+by=5整体代入=5（ay+bx）而（a+b）（x+y）=ax+by+ay+bx=4 将ax+by=5整体代入所以ay+bx=-1，所以原式=-5此题通过两次整体代入，可以培养学生全面地、从全局上考虑问题的习惯，不仅看到数学问题的每个局部，更能看到整体和局部的关系。
试论高中数学教学中学生解题能力的培养
润 物 细 无 声——怎样教会学生课外阅读335400 江西省贵溪市第二小学 黄 娟摘 要：课外阅读作为语文课堂教学的延伸和补充，不但有利于学生开阔视野、增长知识，还有利于学生提高认识、陶冶情操。
然而小学高年级学生的课外阅读现状却令人担忧:现代传媒抢占了大量阅读文本的时间，许多家庭缺少良好的课外阅读氛围，教师缺乏对学生进行课外阅读的指导，学生课外阅读习惯难以养成。
基于以上情况，在小学开展课外阅读，教给学生选择课外读物的方法，在家庭与学校里给他们营造良好的读书氛围，并对他们加强方法指导。
关键词：课外阅读 方法指导作为一名语文教师，我在这几年的教学中我早已认识到，语文作为一门集思想性、艺术性、趣味性为一体的基础学科，学生仅在课堂上所学的知识是非常有限的，应将学生的课内学习发展到课外学习，拓宽学生的知识视野，增加学生的知识，提高学生的语文水平，这不仅是素质教育的要求，也是社会发展所提出的博深知识结构人才的要求。
在当今信息化社会里，让学生学会搜集、处理信息，培养学生较强的课外阅读能力已刻不容缓。
然而小学高年级学生的课外阅读现状却令人担忧。
一、广泛多样，教给学生选择课外读物的方法指导学生开展课外阅读首先面临的重要问题就是读什么？要完成这个任务，我认为教育者的立足点应该从学生的实际出发，以学生的兴趣为中心去考虑，综合开发课外阅读的源头活水。
读书“必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来，倘若叮在一处，所得就非常有限，枯燥了。
”教师在指导学生选择课外读物时，要确立阅读的内容和题材应广泛多样、活泼有趣的指导思想。
学生阅读的面宜广，不但阅读的内容要广，阅读的题材、风格也要广。
二、授之以渔，探求课外阅读的理想方式（一）开放性的阅读方式课外阅读是一种很个性化的学习和生活方式，它是依据学生的爱好和兴趣而维系的独立的读书活动。
对待学生的阅读方式，我们要宽容一些。
于是我采取开放性的阅读方式。
如果学生对课外读物感兴趣他当然会将自己的小脸埋进书页里面去，直至废寝忘食；如果翻动了书本的三页，还不能吸引住学生的目光，那就不能责怪学生，只能是书本身的问题了。
浅谈中学数学教学中的“以退求进”解题策略
浅谈中学数学教学中的“以退求进”解题策略
樊希玉
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2010(000)010
【摘要】美国著名数学家哈尔莫斯说：＂数学真正的组成部分应该是问题和解,解题才是数学的心脏.＂在中学数学教学中,有许多问题直接求解则举步维艰,但退一步思考却能左右逢源.这＂退一步＂的方法给思维留下了一个广阔的回旋空间,常常会出现灵感,立即找到解题的通道.
【总页数】1页(P96)
【作者】樊希玉
【作者单位】湖南省常德市澧县教师进修学校,415500
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.数学解题策略中的"以退求进"
2."以退求进"的解题策略
3."以退求进"巧解题——数学解题策略谈
4.“退中求进”的思想方法在高等代数教学中的运用
5.浅谈学习中的“以退求进”
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以退求进思想与解题能力培养平光宇（深圳市高级中学数学科组,邮编：518040，邮箱：654572683@ ）摘 要 本文通过对中学数学中一些具体问题的解决，揭示以退求进思想这一数学方法在解题过程中的地位，并指出该方法的思想对培养学生解题能力有重要的作用。
By solving some of the specific questions of high schoolmathematics, this article revealed the main role that the idea“solving the complicated one from an simple one” has played inthe problem solving process and pointed how important the ideais in improving students’ problem -solving skills.关键词 中学数学教育；以退求进思想解题遇到一些疑惑费解或难于入手的困难时，将问题退回到较为简单易解的地步，或许可以从中得到能反应问题本质属性的东西，或解题的新思路，或得到问题的结果，这就是以退求进的思想在解题过程中的作用。
本文旨在通过应用函数思想解决中学数学的部分具体问题，阐述函数思想方法的方法论意义，表明其对培养、提高学生解题能力的重要作用。
1 应用以退求进思想解题的几个途径1.1从抽象到具体的思想方法例1 设A 、B 都是含有10个元素的集合，A ∩B 含有5个元素，集合C 满足：（1）C ÜA ∪B ，且C 含有3个元素；（2）C ∩A ≠ φ 。
问这样的集合C 有多少个？分析：不妨将原问题具体化为：某班物理（A ）和化学（B ）两兴趣小组各有10人，其中有5人同时参加了两个小组（A ∩B ），现从这些人中选出3位组成代表队（C ）参加学校比赛，要求至少有一人是物理兴趣小组的成员，问一共可组成多少种这样的代表队？这是一个具体的组合问题，易知：++15210310C C C 25110C C = 120 + 225 + 100 = 445（个）或者为35315C C -= 455 – 10 = 445（个）。
解：满足条件的集合C 有445个。
例2 已知f ( x + y ) + f (x – y ) = 2 f ( x ) f ( y ) 对x 、y ∈R 都成立，且f ( 0 ) ≠ 0。
试判断函数f ( t )的奇偶性。
分析：考虑到所给式子的形态，可联想到三角函数的和差化积公式，不妨将函数具体化，“退”为f ( t ) = cos t ，有cos ( x + y ) + cos (x – y ) = 2cos x cos y ，cos0 = 1 ≠ 0，易知原函数f ( t )是一个偶函数。
解：令x – y = t ，因为对x 、y ∈R 式子都成立，所以 f ( t ) = f ( x – y ) = 2 f (x ) f ( y ) – f (x + y ) 于是f ( – t ) = f ( y – x ) = 2 f ( y ) f ( x ) – f (x + y ) = f ( t ) ，即原函数f ( t )是一个偶函数。
在上面两例中，我们将抽象的问题具体化，从抽象或不易理解退到容易理解且具体的问题（例1）或式子（例2）上，这样做有利于启迪我们的思维，找到与抽象问题有关的具体数学模型或结果可能的情况。
但在实际操作时，我们还应当注意：（1）不可改变原问题的实质性条件；（2）在具体解证过程中应就原问题的抽象性进行严格论证。
1.2 从一般退到特殊的思想方法例3 证明：不论m 、n 为任何实数，方程x 2 + y 2 – 2mx – 2ny + 4( m – n – 2 ) = 0所表示的曲线必通过一定点，并求出这个定点。
证：令m = n = 0，有方程 x 2 + y 2 – 8 = 0 ①令m = 0，n = 1，有方程x 2 + y 2 – 2y – 12 = 0 ②令m = 1，n = 0，有方程x 2 + y 2 – 2x – 4 = 0 ③联立方程①、②，解得交点（2，–2）和（–2，–2）。
再联立方程①、③，解得交点（2，2）和（2，–2）。
比较知只有（2，–2）可能是欲求的定点，将该点坐标代入曲线系验证得：4 + 4 – 4m + 4n + 4m – 4n – 8 = 0，所以（2，–2）为所求的定点。
例4 设数列{a n }与{b n }的通项公式分别是a n = 2 n ，b n = 3n + 2，它们的公共项从小到大排列成数列{c n }，求{c n }的前n 项和。
解：由{c n }的定义知c 1 = 8，设c n = a m = b k ，m 、k ∈N ，即有c n = 2m = 3 k + 2。
于是由于a m +1 = 2m +1 = 2⋅2m = 2⋅ (3k + 2) = 3 (2k + 1) + 1，这表明a m +1 ∉{b n }, 亦有a m +1 ∉{c n }。
而a m +2 = 2m +2 = 4 · 2m = 4 (3 k + 2) = 3 ( 4 k + 2 ) + 2，即有a m +2 ∈{b n }，亦有a m +2 ∈{c n }是{c n }中的第n + 1项，即c n +1 = a m +2。
于是m m n n c c 2221++== 4，故{c n }是首项为8、公比为4的等比数列，其前n 项和为 S n =3)12(82-n 。
从一般退到特殊，就是利用事物的共性通常寓于事物的个性之中的特征来解决问题。
在处理一些较复杂的问题时，如果从一般角度难以解决，那么就可以用这一方法，去讨论问题的特殊情况，进而发现规律和解题的思路。
例3将对一般曲线的讨论退到讨论两对具体曲线相交的情况，使问题得到解决。
在取具体曲线时既不失一般性，又便于计算。
例4将数列的一般通项退到特殊项，并由对特殊情况的分析，认识数列{c n }的结构，从而明确了解题的目标和途径。
1.3 从多退到少的思想方法例5 平面上有2n + 3个点，其中任三点不共线，任四点不共圆。
问能否过其中三点作一个圆，使其余2n 个点，一半在圆内，一半在圆外？分析：看看n = 1，即有5个点的情况。
如右图，A 、B 、C 、D 、E 是满足条件的5个点，则总有两点（如A 、B ）使其余的点均在这两点连线的同侧。
连AB ，C 、D 、E 对AB 的张角依次记为∠C 、∠D 、∠E ，由于无四点共圆，则这三个张角不相等，不妨设∠E < ∠D <∠C ，则过A 、B 、D 的圆为所求。
解：设平面上2n + 3个点中有A 、B 两点，可使其余2n + 1个点（分别记为C 1、C 2、…、C 2n 、C 2n +1）均在连线AB 的同侧。
C 1、C 2、…、C 2n 、C 2n +1对AB 的张角依次记为 ∠C 1、∠C 2、…、∠C 2n 、∠C 2n +1，由于无四点共圆，则这些张角互不相等，不妨设∠C 1 < ∠C 2 < …< ∠C 2n < ∠C 2n +1，则过A 、B 、C n +1的圆为所求。
例6 设a 1、a 2、…、a n 均为实数，且++2221a a na a a a n n 2212)(+++=+ ，求证：a 1 = a 2 = … = a n 。
分析：当n = 3时，3)(2321232221a a a a a a ++=+++++=232221(31a a a 2a 1 a 2 + 2a 1 a 3 + 2a 2 a 3 )，所以 0222222323121232221=---++a a a a a a a a a ，即 ( a 1 – a 2 ) 2 + ( a 1 – a 3 ) 2 + ( a 2 – a 3 ) 2 = 0，有 a 1 – a 2 = a 1 – a 3 = a 2 – a 3 = 0，故 a 1 = a 2 = a 3。
解：由于22221212()n na a a a a a n ++++++= ，所以22212()n n a a a +++ 2212a a =++ 2n a ++2a 1 a 2 + … + 2a 1a n + 2a 2a 3 + … +2a 2a n + … +2a n – 1 a n ) ，所以 ( n – 1 )+++ 2221(a a -)2n a 2a 1a 2 – … – 2a 1a n – 2a 2a 3 – … –2a 2a n – … –2a n – 1 a n = 0，即 ( a 1 – a 2 ) 2 + … + ( a 1 – a n ) 2 + ( a 2 – a 3)2 + … + ( a 2 – a n ) 2 + … + ( a n – 1 – a n ) 2 = 0，有 a 1 – a 2 = … = a 1 – a n = a 2 – a 3 = … = a 2 – a n = … = a n – 1 – a n = 0，故 a 1 = a 2 = … = a n 。
当一个问题呈现的元素或对象较多时，情况就会变得较复杂，处理起来也就较麻烦。
若我们先对元素或对象较少的简单情况进行分析，所得到的解决方式对原问题的解答将有很大的帮助。
例5和例6都是运用了从多退到少的方法使问题得到解决。
值得注意的是“少”要少得适宜，不是越“少”越好，应以有利于原问题的解决为度。
1.4 从高维退到低维的思想方法例7 设凸n 面体的n 个面的面积为S i （i = 1、2、3、…、n ），P 为n 面体内任一点，且P 到各个面的距离为h i （i = 1、2、3、…、n ），S 1∶S 2∶…∶S n = 1∶2∶…∶n ，求证：∑=ni iih 1)(为定值。
分析：将问题退到平面上来，考虑平面上凸n 边形的n 条边长为a i （i = 1、2、3、…、n ），P 为n 边形内任一点，且P 到各条边的距离为h i （i = 1、2、3、…、n ），a 1∶a 2∶…∶a n = 1∶2∶…∶n ，求证：∑=n i i ih 1)(为定值。
由边长的比例关系可设i a i= k ，即a i = ik (i = 1、2、3、…、n )，将n 边形的面积剖分成n 个小三角形的面积之和，有S =∑∑∑=====ni i n i i n i i i ih k h ik h a 111)(2)(2121, 所以 kS ih n i i 2)(1=∑=（定值）。
证：由面积的比例关系有i S i= k ，即S i = i k (i = 1、2、3、…、n )，将n 面体的体积剖分成n个小锥体的体积之和，有 ∑∑∑======n i i n i i n i i i ih k h ik h S V 111)(3)(3131,所以 k V ih n i i 3)(1=∑=（定值）。