学案

一、本次课的重点：机械振动和机械波

知识回顾 机械振动

1. 简谐运动

（1）定义：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动。

（2）特征：回复力F=-k x（判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。

凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动），加速度a=-k x/m，方向与位移方向相反，总指向平衡位置。

注意：在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。

“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态）

简谐运动是一种变加速运动，在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大。（3）描述简谐运动的物理量

①位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段，是矢量，其最大值等于振幅。

②振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱。

③周期T和频率f ：表示振动快慢的物理量，二者互为倒数关系，即T=1/ f 。

④几个物理量之间的相互关系：

由定义知：F∝x，方向相反。由牛顿第二定律知：F∝a，方向相同。

由以上两条可知：a∝x，方向相反。

v与x、F、a之间的关系复杂：当v、a同向（即v、F同向，也就是v、x反向）时v一定增大；

当v、a反向（即v、F反向，也就是v、x同向）时，v一定减小。

（4）简谐运动的图像

①意义：表示振动物体位移随时间变化的规律，注意振动图像不是质点的运动轨迹。

②特点：简谐运动的图像是正弦（或余弦）曲线。

③应用：可直观地读取振幅A、周期T以及各时刻的位移x，判定回复力、加速度方向，判定某段时间内位移、

回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。

2. 弹簧振子：周期和频率只取决于弹簧的劲度系数和振子的质量，与其放置的环境和放置的方式无任何关系。

公式：k

m T π2=（无论水平还是竖直放置）

对水平方向振动的弹簧振子，回复力是弹簧的弹力；对竖直方向上振动的弹簧振子，回复力是弹力和重力的合力。 例如某一弹簧振子做简谐运动时的周期为T ，不管把它放在地球上、月球上还是卫星中；是水平放置、倾斜放置还是竖直放置；振幅是大还是小，它的周期都是T 。

3. 单摆：摆线的质量不计且不可伸长，摆球的直径比摆线的长度小得多，摆球可视为质点，是一种理想化模型。

（1）单摆的振动可看作简谐运动的条件：最大摆角α<5°。

（2）单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力。 （3）公式：T=2π

g

L

① 在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅无关；

② 单摆的振动周期跟摆球的质量无关，只与摆长L 和当地的重力加速度g 有关；

③ 摆长L 是指悬点到摆球重心间的距离，在某些变形单摆中，摆长L 应理解为等效摆长，重力加速度应理解为等效重力加速度（一般情况下，等效重力加速度g' 等于摆球静止在平衡位置时摆线的张力与摆球质量的比值）。

（4）小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同。

只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。这时周期公式中的l 应该是圆弧半径R 和小球半径r 的差。 4. 受迫振动

（1）受迫振动：振动系统在周期性驱动力作用下的振动。

（2）受迫振动的特点：受迫振动稳定时，系统振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关。 （3）共振：当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，振动物体的振幅最大，这种现象叫做共振。 共振的条件：驱动力的频率等于振动系统的固有频率。 题型一 关于v 与x 、F 、a 之间的关系

【例1】水平弹簧振子，每隔时间t ，振子的位移总是大小和方向都相同，每隔t/2的时间，振子的动量总是大小相等，方向相反，则有（ ）

A. 弹簧振子的周期可能小于t /2

B. 每隔t/2的时间，振子的加速度总是相同的

C. 每隔t/2的时间，振子的动能总是相同的

D. 每隔t/2的时间，弹簧的长度总是相同的

1. 一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T ，振幅为A ，设振子第一次从平衡位置运动到x=A/2处所经历最短

时间为t 1，第一次从最大正位移处运动到x=A/2处所经历最短时间为t 2，关于t 1与t 2，以下说法正确的是（ ）

A. t 1＝t 2

B. t 1＜t 2

C. t 1＞t 2

D. 无法判断 2. 弹簧振子作简谐运动时，以下说法正确的是（ ）

A. 振子通过平衡位置时，回复力一定为零

B. 振子作减速运动，加速度却在增大

C. 振子向平衡位置运动时，加速度方向与速度方向相反，

D. 振子远离平衡位置运动时，加速度方向与速度方向相反 3. 关于简谐振动，以下说法中哪些是正确的（ ）

A. 回复力方向总是指向平衡位置

B. 物体向平衡位置运动时，加速度和速度方向一致

C. 物体向远离平衡位置的方向运动时，加速度和速度方向有可能一致

D. 物体向远离平衡位置的方向运动时，速度和加速度都在减小

210-1-2

x (cm)

t (s)

甲

乙

24

6

8

题型二 关于周期、频率以及振幅之间的关系

【例2】一个弹簧振子，第一次被压缩x 后释放做自由振动，周期为T 1，第二次被压缩2x 后释放做自由振动，周期为T 2，则两次振动周期之比T 1∶T 2为（ ）

A. 1∶1

B. 1∶2

C. 2∶1

D. 1∶4 类题变形：

1. 若单摆摆长不变，摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置的速度减小为原来的1/2，则单摆振动的 A. 频率不变，振幅不变 B. 频率不变，振幅改变 C. 频率改变 振幅改变 D. 频率改变，振幅不变

2. 已知单摆摆长为L ，悬点正下方3L/4处有一个钉子。让摆球做小角度摆动，其周期将是多大？

题型三 关于振动图像

【例3】劲度系数为20N ／cm 的弹簧振子，它的振动图像如图所示， 在图中A 点对应的时刻（ ）

A. 振子所受的弹力大小为0.5N ，方向指向x 轴的负方向

B. 振子的速度方向指向x 轴的正方向

C. 在0～4s 内振子作了1.75次全振动

D. 在0～4s 内振子通过的路程为0.35cm ，位移为0 类题练习：

1. 如下图所示为质点P 在0～4s 内的振动图象，下列说法中正确的是（ ）

A. 再过1s ，该质点的位移是正的最大

B. 再过1s ，该质点的速度方向向上

C. 再过1s ，该质点的加速度方向向上

D. 再过1s ，该质点的加速度最大 2. 如图所示是甲、乙两质量相等的振子分别做简谐振动的图像，则（ ） A. 甲、乙两振子的振幅分别是2cm 和1cm B. 甲的振动频率比乙小

C. 前2s 内甲、乙两振子的加速度均为正值

D. 第2s 末甲的速度最大，乙的加速度最大

3. 一质点作简谐运动的图象如下图所示，则该质点（ ）

A. 在0至0.01s 内，速度与加速度同方向

B. 在0.01至0.02s 内，速度与回复力同方向

C. 在0.025s 末，速度为正，加速度为负

D. 在0.04s 末，速度为零，回复力最大 题型四 相关综合计算

【例4】弹簧振子以O 点为平衡位置在B 、C 两点之间做简谐运动。B 、C 相距20 cm 。某时刻振子处于B 点，经过0.5 s ，振子首次到达C 点。求： （1）振动的周期和频率；

（2）振子在5 s 内通过的路程及位移大小；

（3）振子在B 点的加速度大小跟它距O 点4 cm 处P 点的加速度大小的比值。