最新-2018年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题 精品
2018全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）qfRgF4dw271．设1a =，则代数式32312612a a a +--的值为( >.<A ）24 <B ）25 <C ）10 <D ）122．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：<a b ，）△<c d ，）＝<ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有<u v ，）△<x y ，）＝<u v ，），那么<x y ，）为( >.qfRgF4dw27<A ）<0，1） <B ）<1，0） <C ）<﹣1，0） <D ）<0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y x xy x x y==，，则x y +的值为( >.<A ）1 <B ）2 <C ）92<D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( >.<A ）1324S S S S < <B ）1324S S S S = <C ）1324S S S S > <D ）不能确定5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( >. <A ）4 <B ）5 <C ）6 <D ）7 二、填空题<共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .NW2GT2oy018．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=<x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .NW2GT2oy019．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .NW2GT2oy01三、解答题<共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线<第8题）<第10题）<第12题）223y x =于P ，Q 两点. <1）求证：∠ABP =∠ABQ ；<2）若点A 的坐标为<0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解读式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-， 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得<x y ，）=<1，0）．3．C<第13题）<第14题）解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即 ()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，<第4题）解之得 3＜m ≤4.7．19解： 在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.NW2GT2oy01 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-， 又因为2BD AC =，于是 22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+． 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =． 所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则<第8题）22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AF CB AC =，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（）， 解得a ＋b ＝49<另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，. <第10题）因为AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：<1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， .设点A 的坐标为<0，t ），则点B 的坐标为<0，-t ）.设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,并设P Q，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是 222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为PQx PCQD x =-，所以BC PC BDQD=.因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .<第12题）<第13题）<2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由<1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC ，BD ，所以AC 2-，AD =2.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PCACDQAD =，即a b =，所以a b +=．由<1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=， 于是可求得2a b =将2b =代入223y x =，得到点Q 的坐标，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-所以直线PQ 的函数解读式为1y x =+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解读式为1y x =+，或1y +. 解法二 设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,其中1t =. 由<1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x = 将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1>得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若32Q x =，代入上式得 3P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =， 可得32P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解读式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒． 于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673sin 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==． 申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
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2018年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题（2018年4月1月 下午1∶00－3∶00）班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．若x 3＋x 2＋x ＋1＝0，则x －27＋x－26＋…＋x －1＋1＋x ＋…＋x 26＋x 27的值是（ ）（A ）1（B ）0 （C ）－1（D ）22．定义：定点A 与⊙O 上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与⊙O 之间的距离．现有一矩形ABCD 如图，AB ＝14cm ，BC ＝12cm ，⊙K 与矩形的边AB 、BC 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，则点A 与⊙K 的距离为 （ ）（A ）4cm（B ）8cm（C ）10cm（D ）12cm3．某班选举班干部，全班有50名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，50．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”．如果令a i ，j ＝⎩⎨⎧1，第i 号同学同意第j 号同学当选，2，第i 号同学不同意第j 号同学当选．其中i ＝1，2，…，50；j ＝1，2，…，50．则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为 （ ）（A ）a 1,1＋a 1,2＋…＋a 1,50＋a 50,1＋a 50,2＋…＋a 50,50 （B ）a 1,1＋a 2,1＋…＋a 50,1＋a 1,50＋a 2,50＋…＋a 50,50 （C ）a 1,1a 1,50＋a 2,1a 2,50＋…＋a 50,1a 50,50 （D ）a 1,1a 50,1＋a 1,2a 50,2＋…＋a 1,50a 50,504．若a b ＋c ＝b c ＋a ＝ca ＋b ＝t ，则一次函数y ＝tx ＋t 2的图象必定经过的象限是（ ）（A ）第一、二象限 （B ）第一、二、三象限 （C ）第二、三、四象限（D ）第三、四象限5．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个 6．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB ＝4，AO ＝62，那么AC 的长等于（ ）（A ）12 （B ）16 （C ）43 （D ）8 2 二、填空题（共6小题，每小题6分，共满分36分）7．函数y ＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋|x ＋3|，当x ＝___________时，y 有最小值，最小值等于___________．AFA8．以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为__________．9．如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，若AB＝6cm，AC＝4cm，∠A＝60º，则AD 的长为___________cm．10．设x1，x2，x3，...，x2018为实数，且满足x1x2x3...x2018＝x1－x2x3...x2018＝x1x2－x3 (x2018)＝…＝x1x2x3…x2018－x2018＝1，则x2000的值是__________．11．正六边形轨道ABCDEF的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A，C两点同时出发，均按A→B→C→D→E→F→A→…方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米／秒，乙的速度为8厘米／秒，那么出发后经过___________秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．正整数M的个位上的数字与数20132015的个位上的数字相同，把M的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N．若N是M的4倍，T是M的最小值，则T的各位数字之和等于___________．三、解答题（共4小题，满分54分）13．（本题满分12分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象G和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B（0，4），且ac＝b．（1）求该二次函数的解析表达式；（2）将一次函数y＝－3x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与G的另一个交点为C，求△ABC的面积．14．（本题满分12分）如图，AB ∥CD 、AD ∥CE ，F 、G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE 于点M 、N 、P 、Q ，求证：MN ＋PQ ＝2PN ．15．（本题满分14分）2018个质点均匀分布在半径为R 的圆周上，依次记为P 1，P 2，P 3，…，P 2018．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i 个质点，则下次就涂第i 个质点后面的第i 个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂点方案；若不能，请说明理由．A B CD E F G P Q M N16．（本题满分16分）从连续自然数1，2，3，…，2018中任意取n个不同的数．（1）求证：当n＝1018时，无论怎样选取这n个数，总存在其中的4个数的和等于4017；（2）当n≤1018（n是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由．2018年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：C解：由3210x x x +++=，得1x =-，所以2627--+x x + … +x x ++-11+ … +2726x x +=-1．2．答案：A解：连结AK 、EK ，设AK 与⊙O 的交点为H ，则AH 即为所求， 因为AK =22AE EK +=10，所以AH = 4． 3．答案：C解：由题意得C 正确． 4．答案：A解：由已知可得t c b a c b a )(2++=++，当0a b c ++≠时，12t =，1124y x =+，直线过第一、二、三象限； 当0a b c ++=时，1t =-，1y x =-+，直线过第一、二、四象限．综合上可得，直线必定经过的象限是第一、二象限．5．答案：C解：设直角三角形的两条直角边长为,a b (a b ≤)，则12a b k ab ++=⋅（a ,b ,k 均为正整数），化简，得(4)(4)8ka kb --=，所以4148ka kb -=⎧⎨-=⎩或4244ka kb -=⎧⎨-=⎩．解得1512k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或234k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或⎪⎩⎪⎨⎧===.8,6,1b a k 即有3组解．6．答案：B解：在AC 上取一点G ，使CG =AB =4，连接OG ，则△OG C ≌△OAB ，所以OG =OA =26， ∠AOG =90°，所以△AOG 是等腰直角三角形，AG =12，所以AC =16．二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．答案：-2，2解：当x ≤-3时，y = -3x -6；当-3＜x ≤-2时，y = -x ； 当-2＜x ≤-1时，y =x +4；AD（第2题）AB CEFO G（第6题）当x ＞-1时，y =3x +6．；所以当x =-2时，y 的值最小，最小值为2． 8．答案：8个解：正三角形的各边必为立方体各面的对角线，共有8个正三角形． 9．答案：5312 解：由S △ABC =S △ABD + S △ADC ，得︒⋅⋅60sin 21AC AB =︒⋅⋅+︒⋅⋅30sin 2130sin 21AC AD AD AB ． 解得AD =5312．10．答案：1，或253±-解：由已知，321x x x ...200032120001x x x x x -=1，321x x x (1999)32119991x x x x x -=1，解得123200012319991515,22x x x x x x x x±±==． 所以12000=x ，或200032x ±=-． 11．答案：238104解：设甲跑完x 条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x 厘米，乙走了2.91208x ⨯厘米，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+⨯>--+-⨯．，1201202402.91208120)1(1202402.9)1(1208x x x x解得328327<≤x ．因x 是整数，所以x =8，即经过2.98120⨯=232400=238104秒时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．答案：36 解：20152013的个位数字是7，所以可设710+=k M ，其中k 是m 位正整数，则k N m+⨯=107．由条件N =4M ，得k m+⨯107=)710(4+k ，即39)410(7-=m k ．当m =5时，k 取得最小值17948．所以T =179487，它的各位数字之和为36． 三、解答题（共4题，满分54分） 13．(12分)解：（1）由B （0，4）得，c =4．G 与x 轴的交点A （2ba-，0），由条件ac b =，得b c a =，所以2b a -=22c -=-，即A （2-，0）．所以4,4240.b a a b =⎧⎨-+=⎩解得1,4.a b =⎧⎨=⎩所求二次函数的解析式为244y x x =++．（2）设图象L 的函数解析式为y =3-x +b ，因图象L 过点A （2-，0），所以6b =-，即平移后所得一次函数的解析式为y =36x --．令36x --=244x x ++， 解得12x =-，25x =-．将它们分别代入y =36x --， 得10y =，29y =．所以图象L 与G 的另一个交点为C （5-，9）． 如图，过C 作CD ⊥x 轴于D ，则 S △ABC =S 梯形BCDO -S △ACD -S △ABO =111(49)53924222+⨯-⨯⨯-⨯⨯=15．（第13题）14．(12分)证明：延长BA 、EC ，设交点为O ，则四边形OADC 为平行四边形． ∵ F 是AC 的中点， ∴ DF 的延长线必过O 点，且31=OG DG ． ∵ AB ∥CD ， ∴DNANPN MN =． ∵ AD ∥CE ，∴DNCQPN PQ =． ∴ +PN MN =PN PQ DN AN DNCQ+ =DNCQ AN +．又=OQ DN 31=OG DG ， ∴ OQ =3DN ．∴ CQ =OQ -OC =3DN -OC =3DN -AD ，AN =AD -DN ， 于是，AN +CQ =2DN ， ∴+PN MN =PNPQ DN CQAN +=2，即 MN +PQ =2PN ．15．(14分)解：不能．理由：设继i P 点涂成红色后被涂到的点是第j 号，则j =2,22007,22007,22007.i i i i ≤⎧⎨->⎩若i =2018，则j =2018，即除2007P 点涂成红色外，其余均没有涂到． 若i ≠2018，则2i ≠2018，且2i ≠4014，即2i -2018≠2018， 表明2007P 点永远涂不到红色．16．(16分)解：（1）设123x x x ，，，…，1007x 是1，2，3，…，2018中任意取出的1018个数．首先，将1，2，3，…，2018分成1004对，每对数的和为2018，BACMN P E FQDG O每对数记作(m ，2018-m ) ，其中m =1，2，3， (1004)因为2018个数取出1018个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对，因此至少有3对数，不妨记为112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，， (123m m m ，，互不相等)均为123x x x ，，，…，1007x 中的6个数．其次，将这2018个数中的2018个数(除1004、2018 外)分成1003对，每对数的和为2018，每对数记作(k ，2018-k ) ，其中k =1，2， (1003)2018个数中至少有1018个数被取出，因此2018个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是123x x x ，，，…，1007x 中的4个数，不妨记其中的一对为11(2008)k k -，．又在三对数112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，，，(123m m m ，，互不相等)中至少存在1对数中的两个数与11(2008)k k -，中的两个数互不相同，不妨设该对数为11(2009)m m -，，于是1111200920084017m m k k +-++-=． （2）不成立．当1006n =时，不妨从1，2，…，2018中取出后面的1018个数：1003 ，1004， (2018)则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1018+1018=4018>4017； 当1006n <时，同样从1，2，…，2018中取出后面的n 个数，其中任何4数之和大于1003+1004+1018+1018=4018>4017． 所以1006n ≤时都不成立．。
全国初中数学联赛浙江省复赛试卷
全国初中数学联赛浙江省复赛试卷一、解答题（共5小题，满分100分）1．（20分）已知a2+b2＝1，对于满足条件0≤x≤1的一切实数x，不等式a（1﹣x）（1﹣x ﹣ax）﹣b x（b﹣x﹣b x）≥0（1）恒成立．当乘积ab取最小值时，求a，b的值．2．（20分）如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB＝BC．（1）证明：点O在圆D的圆周上．（△2）设ABC的面积为S，求圆D的半径R的最小值．3．（20分）设a为质数，b为正整数，且9（2a+b）2＝509（4a+511b）（1）求a，b的值．4．（20分）已知a2+b2＝1，对于满足条件x+y＝1，xy≥0的一切实数对（x．y），不等式ay2﹣xy+b x2≥0（1）恒成立．当乘积ab取最小值时，求a，b的值．5．（20分）设a为质数，b，c为正整数，且满足求a（b+c）的值．全国初中数学联赛浙江省复赛试卷参考答案与试题解析一、解答题（共5小题，满分100分）1．（20分）已知a2+b2＝1，对于满足条件0≤x≤1的一切实数x，不等式a（1﹣x）（1﹣x ﹣ax）﹣b x（b﹣x﹣b x）≥0（1）恒成立．当乘积ab取最小值时，求a，b的值．【分析】由已知条件a2+b2＝1，代入已知不等式重新整理，利用特殊值法确定关于a，b 的不等式，利用二次函数的增减性，确定判别式的取值范围，进而可以解决．【解答】解：整理不等式（1）并将a2+b2＝1代入，得（1+a+b）x2﹣（2a+1）x+a≥0（2）在不等式（2）中，令x＝0，得a≥0；令x＝1，得b≥0．易知1+a+b＞0，0＜＜1，故二次函数y＝（1+a+b）x2﹣（2a+1）x+a的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．由题设知，不等式（2）对于满足条件0≤x≤1的一切实数x恒成立，所以它的判别式＝（△2a+1）2﹣4（1+a+b）a≤0，即ab≥．由方程组（3）消去b，得16a4﹣16a2+1＝0，所以a2＝又因为a≥0，所以a＝或a＝或a2＝，．于是方程组（3）的解为或，所以ab的最小值为，此时a，b的值有两组，分别为a＝，b＝和a＝，b＝．（ 【点评】此题主要考查了二次函数与不等式以及二元二次方程的解法，综合性较强，需耐心思考．2．（20 分）如图，圆 O 与圆 D 相交于 A ，B 两点，BC 为圆 D 的切线，点 C 在圆 O 上，且AB ＝BC ．（1）证明：点 O 在圆 D 的圆周上．（△2）设 ABC 的面积为 S ，求圆 D 的半径 R 的最小值．【分析】 1）连 OA ，OB ，OC ，△AC ，可证 OBA ∽△OBC ，即可证明∠OBA ＝∠OBC ，所以 DB ＝DO ，即可证点 O 在圆 D 的圆周上；（2）设圆 O 的半径为 a ，BO 的延长线交 AC 于点 E ，设 AC ＝2y （0＜y ≤△a ）即可求证BDO ∽△ABC ，进而可以 r ，即可求 r 的最小值，即可解题．【解答】解：（1）连 OA ，OB ，OC ，AC ，因为 O 为圆心，AB ＝BC ，所以△OBA ∽△OBC ，从而∠OBA ＝∠OBC ．因为 OD ⊥AB ，DB ⊥BC ，所以∠DOB ＝90°﹣∠OBA ＝90°﹣∠OBC ＝∠DBO ，所以 DB ＝DO ，因此点 O 在圆 D 的圆周上．（2）设圆 O 的半径为 a ，BO 的延长线交 AC 于点 E ，易知 BE ⊥AC ．设 AC ＝2y （0＜y ≤a ），OE ＝x ，AB ＝l ，则 a 2＝x 2+y 2，S ＝y （a +x ），l 2＝y 2+（a +x ）2＝y 2+a 2+2ax +x 2＝2a 2+2ax ＝2a （a +x ）＝因为∠ABC ＝2∠OBA ＝2∠OAB ＝∠BDO ，AB ＝BC ，DB ＝DO ，所以△BDO∽△ABC，所以＝，即，故r＝．所以r2＝＝×＝×≥，即r≥，其中等号当a＝y时成立，这时AC是圆O的直径．所以圆D的半径r的最小值为．【点评】本题考查了相似三角形对应角相等、对应边比值相等的性质，考查了不等式的极值问题，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求点O在圆D的圆周上是解题的关键．3．（20分）设a为质数，b为正整数，且9（2a+b）2＝509（4a+511b）（1）求a，b的值．【分析】首先将9（2a+b）2＝509（4a+511b）变形为＝，此时假设m＝，n＝，则可得到b＝＝与n＝m2．因而可转化为关于m的一元二次方程3m2﹣511m+6a＝0．利用根与系数的关系，求得m的取值进而讨论a、b的取值．【解答】解：①式即＝，故设m＝，n＝，则b＝＝②∴3n﹣511m+6a＝0，又n＝m2，所以3m2﹣511m+6a＝0③由①式可知，（2a+b）2能被509整除，而509是质数，于是2a+b能被509整除，故m 为整数，即关于m的一元二次方程③有整数根，所以它的判别式△＝5112﹣72a为完全平方数．不妨设△＝5112﹣72a＝t2（t为自然数），则72a＝5112﹣t2＝（511+t）（511﹣t）．由于511+t和511﹣t的奇偶性相同，且511+t≥511，所以只可能有以下几种情况：①②③④两式相加，得36a+2＝1022，没有整数解．两式相加，得18a+4＝1022，没有整数解．两式相加，得12a+6＝1022，没有整数解．两式相加，得6a+12＝1022，没有整数解．⑤⑥两式相加，得4a+18＝1022，解得a＝251．两式相加，得2a+36＝1022，解得a＝493，而493＝17×29不是质数，故舍去．综合可知a＝251．此时方程③的解为m＝3或m＝（舍去）．把a＝251，m＝3代入②式，得b＝＝7．答：a＝251，b＝7．【点评】本题考查一元二次方程整数根与有理根、数的整除性问题．解决本题的关键是将问题转化为一元二次方程来解决．4．（20分）已知a2+b2＝1，对于满足条件x+y＝1，xy≥0的一切实数对（x．y），不等式ay2﹣xy+b x2≥0（1）恒成立．当乘积ab取最小值时，求a，b的值．【分析】利用特殊值法可得出a、b的范围，把y＝1﹣x代入不等式，可整理成（1+a+b）x2﹣（2a+1）x+a≥0，再利用二次函数的性质可得到关于a、b的不等式，可求得ab的最小值，结合条件a2+b2＝1，可得到关于a、b的方程组，则可求得a、b的值．【解答】解：∵x+y＝1，xy≥0，∴0≤x≤1，0≤y≤1．在（1）式中，令x＝0，y＝1，得a≥0；令x＝1，y＝0，得b≥0．将y＝1﹣x代入（1）式，得a（1﹣x）2﹣x（1+x）+b x2≥0，即（1+a+b）x2﹣（2a+1）x+a≥0（2），∵a2+b2＝1，∴1+a+b＞0，0＜＜1，∴二次函数y＝（1+a+b）x2﹣（2a+1）x+a的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．∵不等式（2）对于满足条件0≤x≤1的一切实数x恒成立，∴＝（△2a+1）2﹣4（1+a+b）﹣a≤0，即ab．由方程组（3），消去b，得16a4﹣16a2+1＝0，解得∵a≥0，∴a＝或a＝．∴方程组（3）的解为或或a2＝，∴满足条件的a，b的值有两组，分别为a＝，b＝和a＝，b＝．【点评】本题为二次函数的综合应用，构造二次函数，根据二次函数的性质得到ab≥，从而求得ab的最小值是解题的关键．本题综合性较强，涉及构造的思想，难度较大．5．（20分）设a为质数，b，c为正整数，且满足求a（b+c）的值．【分析】先把（1）式化为完全平方的形式，再把原方程化为关于m、n、a的三元二次方程，再根据n＝m2，此方程化为二元二次方程，由（1）可判断出m为整数，再由一元二次方程的判别式可得5112﹣72a为完全平方数，设5112﹣72a＝t（t为自然数），再把关于t的方程进行因式分解，求出符合条件的a的值代入（2）即可求解．【解答】解：把（1）式化为＝，设m＝2b﹣c＝，n＝＝（3），则故3n﹣511m+6a＝0，又n＝m2，所以3m2﹣511m+6a＝0（4）（5分）由（1）式可知，（2a+2b﹣c）2能被509整除，而509是质数，于是2a+2b﹣c能被509整除，故m为整数，即关于m的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式＝511△2﹣72a为完全平方数．（10分）不妨设△＝5112﹣72a＝t2（t为自然数），则72a＝5112﹣t2＝（511+t）（511﹣t）．由于511+t和511﹣t的奇偶性相同，且511+t≥511，所以只可能有以下几种情况：①②③④⑤⑥舍去．两式相加，得36a+2＝1022，没有整数解；两式相加，得18a+4＝1022，没有整数解；两式相加，得12a+6＝1022，没有整数解；两式相加，得6a+12＝1022，没有整数解；两式相加，得4a+18＝1022，解得a＝251；两式相加，得2a+36＝1022，解得a＝493，而493＝17×29不是质数，故综合可知a＝251，此时方程（4）的解为m＝3或m＝把a＝251，m＝3代入（3）式，得2b﹣c＝（舍去）．（20分）＝7，即c＝2b﹣7．代入（2）式得b＝（2b﹣7）＝2，所以b＝5，c＝3，因此a（b+c）＝251×（5+3）＝2008．（25分）故答案为：2008．【点评】本题考查的是质数与合数的定义、奇数与偶数、一元二次方程根的判别式，涉及面较广，难度较大．。
2018年初中数学联赛试题参考答案和评分标准word版
5．对随意的整数x,y，定义x@yxyxy，则使得(x@y)@z(y@z)@x(z@x)@y
0的整数组(x,y,z)的个数为（）
A.1．B.2．C.3．D.4．
【答】D.
(x@y)@z(xyxy)@z(xyxy)z(xyxy)zxyzxyyzzxxyz，
由已知条件可得abbcca
11
[(abc)2(a2b2c2)]
22
，a3b3c33abc，所以
a5b5c5(a2b2c2)(a3b3c3)[a2(b3c3)b2(a3c3)c2(a3b3)]
3abc[a2b2(ab)a2c2(ac)b2c2(bc)]3abc(a2b2ca2c2bb2c2a)
3abcabc(abbcca)3abc
数组(a,b,c)的个数为（）
A.4．B.5．C.6．D.7．
【答】B.
由已知得，a2017bc2018，b2017ac2018，c2017ab2018，两两作差，可
得(ab)(12017c)0，(bc)(12017a)0，(ca)(12017b)0.
2018年初中数学联赛试题参照答案及评分标准第5页（共10页）
A.0．B.1．C.2．D.3．
【答】B.
令y9x，则y0，且xy29，原方程变成3y3y29，解得y1或y6，从
而可得x8或x27.
查验可知：x8是增根，舍去；x27是原方程的实数根.
所以，原方程只有1个实数根.
5．设a,b,c为三个实数，它们中任何一个数加上其他两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元
所以，知足条件的素数对(p,q)的个数为2.
2018年初中数学联赛试题及答案
2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．设二次函数2222a ax x y ++=的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为C B ,.当△ABC 为等边三角形时，其边长为 （ ）A.6．B.22．C.32．D.23． 【答】C.由题设知)2,(2a a A --.设)0,(1x B ，)0,(2x C ，二次函数的图象的对称轴与x 轴的交点为D ，则222212212122444)(||a a a x x x x x x BC =⨯-=-+=-=.又BC AD 23=，则22223|2|a a ⋅=-，解得62=a 或02=a （舍去）.所以，△ABC 的边长3222==a BC .2．如图，在矩形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BD 于点E ，1AB =，15CAE ∠=︒，则BE =（ ）． B.22． C.12-．1．【答】D.延长AE 交BC 于点F ，过点E 作BC 的垂线，垂足为H .由已知得︒=∠=∠=∠=∠45HEF AFB FAD BAF ，1==AB BF ， ︒=∠=∠30ACB EBH .设x BE =，则2xHE HF ==，23x BH =. 因为HF BH BF +=，所以2231xx +=，解得13-=x .所以 13-=BE .3．设q p ,均为大于3的素数，则使2245q pq p ++为完全平方数的素数对),(q p 的个数为（ ） A.1． B.2． C.3． D.4．【答】B.设22245m q pq p =++（m 为自然数），则22)2(m pq q p =++，即pq q p m q p m =++--)2)(2(.由于q p ,为素数，且q q p m p q p m >++>++2,2，所以21m p q --=，2m p q pq ++=，从而0142=---q p pq ，即9)2)(4(=--q p ，所以(,)(5,11)p q =或(7,5).所以，满足条件的素数对),(q p 的个数为2.4．若实数b a ,满足2=-b a ，4)1()1(22=+--ab b a ，则=-55b a （ ）A.46．B.64．C.82．D.128． 【答】C.由条件4)1()1(22=+--ab b a 得04223322=-+----b a ab b a b a ，即 0]3))[((]4)[(2)(22=+--++---ab b a b a ab b a b a ，又2=-b a ，所以0]34[2]44[22=+++-ab ab ，解得1=ab .所以222()26a b a b ab +=-+=，332()[()3]14a b a b a b ab -=--+=，82)())((22332255=---+=-b a b a b a b a b a .5．对任意的整数y x ,，定义xy y x y x -+=@，则使得(@)@(@)@x y z y z x +(@)@z x y +0=的整数组),,(z y x 的个数为 （ ）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】D.z xy y x z xy y x z xy y x z y x )()(@)(@)@(-+-+-+=-+=xyz zx yz xy z y x +---++=，由对称性，同样可得xyz zx yz xy z y x x z y +---++=@)@(，xyz zx yz xy z y x y x z +---++=@)@(.所以，由已知可得 0=+---++xyz zx yz xy z y x ，即1)1)(1)(1(-=---z y x . 所以，z y x ,,为整数时，只能有以下几种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=-,11,11,11z y x 所以，)0,2,2(),,(=z y x 或)2,0,2(或)2,2,0(或)0,0,0(，故共有4个符合要求的整数组.6．设20501202012019120181++++=M ，则M1的整数部分是 （ ） A.60． B.61． C.62． D.63．【答】B.因为3320181⨯<M ，所以335613320181=>M . 又)205012032120311()203012019120181(+++++++= M83230134520205011320301=⨯+⨯>， 所以13451185611345832301=<M ，故M1的整数部分为61.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB BC 2=，AB CE ⊥于E ，F 为AD 的中点，若︒=∠48AEF ，则=∠B _______．【答】84︒. 设BC 的中点为G ，连结FG 交CE 于H ，由题设条件知FGCD 为菱形. 由DC FG AB ////及F 为AD 的中点，知H 为CE 的中点. 又AB CE ⊥，所以FG CE ⊥，所以FH 垂直平分CE ，故 ︒=∠=∠=∠=∠48AEF EFG GFC DFC . 所以︒=︒⨯-︒=∠=∠84482180FGC B .2．若实数y x ,满足2154133=+++)(y x y x ，则y x +的最大值为 ． 【答】3.由2154133=+++)(y x y x 可得22115()()()42x y x xy y x y +-+++=，即 22115()()42x y x xy y +-++=. ①令k y x =+，注意到2222131()04244y x xy y x y -++=-++>，故0>=+k y x .又因为22211()344x xy y x y xy -++=+-+，故由①式可得3115342k xyk k -+=，所以kk k xy 3215413-+=. 于是，y x ,可看作关于t 的一元二次方程032154132=-++-kk k kt t 的两根，所以 3211542()403k k k k+-∆=--⋅≥， 化简得 0303≤-+k k ，即0)103)(3(2≤++-k k k ，所以30≤<k . 故y x +的最大值为3.B3．没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为 ． 【答】21504.显然首位数字不能为0，末位不能为0和5.当首位数字不为5时，则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7个数，千位上只能选万位和个位之外的8个数，百位上只能选剩下的7个数，十位上只能选剩下的6个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为1881667878=⨯⨯⨯⨯个.当首位数字为5时，则个位有8个数可选，依次千位有8个数可选，百位有7个数可选, 十位有6个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为26886788=⨯⨯⨯个.所以，满足条件的五位数的个数为21504268818816=+（个）.4．已知实数c b a ,,满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则=++abcc b a 555 ．【答】52. 由已知条件可得21)]()[(212222-=++-++=++c b a c b a ca bc ab ，abc c b a 3333=++，所以 555c b a ++)]()()([))((332332332333222b a c c a b c b a c b a c b a +++++-++++= 2222223[()()()]abc a b a b a c a c b c b c =-+++++)(3222222a c b b c a c b a abc +++=abc abc abc ca bc ab abc abc 25213)(3=-=+++=.所以 25555=++abc c b a .第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．满足1)1(22=-++x x x 的整数x 的个数为 （ ）A.1．B.2．C.3．D.4． 【答】C.当02=+x 且012≠-+x x 时，2-=x . 当112=-+x x 时，2-=x 或1=x . 当112-=-+x x 且2+x 为偶数时，0=x . 所以，满足条件的整数x 有3个.2．已知123123,,()x x x x x x <<为关于x 的方程323(2)0x x a x a -++-=的三个实数根，则22211234x x x x -++= （ ）A.5．B.6．C.7．D.8．【答】A.方程即0)2)(1(2=+--a x x x ，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是2,1312=+=x x x ，故2221123313113114()()412()41x x x x x x x x x x x x -++=+-++=-++312()15x x =++=.3．已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，CE CD 4=，FBC EFB ∠=∠，则 =∠ABF tan （ ）A.21． B.53． C.22． D.23． 【答】B.不妨设4=CD ，则3,1==DE CE .设x DF =，则x AF -=4，92+=x EF .作EF BH ⊥于点H .因为AFB FBC EFB ∠=∠=∠，BHF BAF ∠=︒=∠90，BF 公共，所以△BAF ≌△BHF ，所以4==BA BH .由BCE DEF BEF ABF ABCD S S S S S ∆∆∆∆+++=四边形得14213219421)4(421422⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+-⋅⋅=x x x ， 解得58=x .所以5124=-=x AF ，53tan ==∠AB AF ABF .4．=（ ）A.0．B.1．C.2．D.3．【答】B.令y =0y ≥，且29x y =-=1y =或6y =，从而可得8x =-或27x =.检验可知：8x =-是增根，舍去；27x =是原方程的实数根. 所以，原方程只有1个实数根.5．设c b a ,,为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组),,(c b a 的个数为 （ ）A.4．B.5．C.6．D.7． 【答】B.由已知得， 20182017=+bc a ，20182017=+ac b ，20182017=+ab c ，两两作差，可得0)20171)((=--c b a ，0)20171)((=--a c b ，0)20171)((=--b a c .E由0)20171)((=--c b a ，可得 b a =或20171=c . （1）当c b a ==时，有020*******=-+a a ，解得1=a 或20172018-=a . （2）当c b a ≠=时，解得20171==b a ， 201712018-=c . （3）当b a ≠时，20171=c ，此时有：201712018,20171-==b a ，或20171,201712018=-=b a . 故这样的三元数组),,(c b a 共有5个.6．已知实数b a ,满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ，则=+b a （ ） A.2． B.3． C.4． D.5．【答】A.有已知条件可得 2)1(2)1(3-=-+-a a ，2)1(2)1(3=-+-b b ，两式相加得33(1)2(1)(1)2(1)0a a b b -+-+-+-=，因式分解得22(2)[(1)(1)(1)(1)2]0a b a a b b +-----+-+=. 因为02)1(43)]1(21)1[(2)1()1)(1()1(2222>+-+---=+-+----b b a b b a a ， 所以 02=-+b a ，因此 2=+b a .二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知r q p ,,为素数，且pqr 整除1-++rp qr pq ，则=++r q p _______． 【答】10. 设11111pq qr rp k pqr p q r pqr++-==++-，由题意知k 是正整数，又2,,≥r q p ，所以23<k ，从而1=k ，即有pqr rp qr pq =-++1，于是可知r q p ,,互不相等.当r q p <<≤2时， qr rp qr pq pqr 31<-++=，所以3<q ，故2=q .于是222qr qr q r =++1-，故3)2)(2(=--r q ，所以32,12=-=-r q ，即5,3==r q ，所以，)5,3,2(),,(=r q p .再由r q p ,,的对称性知，所有可能的数组(,,)p q r 共有6组，即(2,3,5)，)3,5,2(，)5,2,3(，)2,5,3(，)3,2,5(，)2,3,5(.于是10=++r q p .2．已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为 ． 【答】8.设这两个数为)(,22n m n m >，则 100022-=+n m n m ，即2(1)(1)1001m n --=.又100110011143791117713=⨯=⨯=⨯=⨯，所以 2(1,1)m n --＝(1001,1)或(143,7)或(91,11)或(77,13)，验证可知只有)7,143()1,1(2=--n m 满足条件，此时8,1442==n m .3．已知D 是△ABC 内一点，E 是AC 的中点，6AB =，10BC =，BCD BAD ∠=∠，ABD EDC ∠=∠，则=DE ．【答】4.延长CD 至F ，使DC DF =，则AF DE //且AF DE 21=，所以ABD EDC AFD ∠=∠=∠，故D B F A ,,,四点共圆，于是BCD BAD BFD ∠=∠=∠，所以10==BC BF ，且FC BD ⊥，故90FAB FDB ∠=∠=︒.又6=AB ，故861022=-=AF ，所以421==AF DE .4．已知二次函数)504()12(2222++++++=n m x n m x y 的图象在x 轴的上方，则满足条件的正整数对),(n m 的个数为 ．【答】15.因为二次函数的图象在x 轴的上方，所以0)504(4)]12(2[222<++-++=∆n m n m ，整理得49424<++n m mn ，即251)12)(1(<++n m .因为n m ,为正整数，所以25)12)(1(≤++n m . 又21≥+m ，所以22512<+n ，故5≤n . 当1=n 时，3251≤+m ，故322≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有7个；当2=n 时，51≤+m ，故4≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有4个；当3=n 时，7251≤+m ，故718≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有2个； 当4=n 时，9251≤+m ，故917≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有1个；当5=n 时，11251≤+m ，故1114≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有1个.综合可知：符合条件的正整数对),(n m 有7＋4＋2＋1＋1＝15个.第二试 （A ）一、（本题满分20分）设d c b a ,,,为四个不同的实数，若b a ,为方程011102=--d cx x 的根，d c ,为方程011102=--b ax x 的根，求d c b a +++的值.解 由韦达定理得10a b c +=，10c d a +=，两式相加得)(10c a d c b a +=+++.……………………5分因为a 是方程011102=--d cx x 的根，所以011102=--d ac a ，又c a d -=10，所以010111102=-+-ac c a a . ① ……………………10分类似可得 010111102=-+-ac a c c . ② ……………………15分 ①－②得 0)121)((=-+-c a c a .因为c a ≠，所以121=+c a ，所以1210)(10=+=+++c a d c b a . ……………………20分二、（本题满分25分）如图，在扇形OAB 中，︒=∠90AOB ，12=OA ，点C 在OA 上，4=AC ，点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD 的交点为F .（1）当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ；（2）求DE CE 2+的最小值.解 (1)分别过E O ,作CD 的垂线，垂足为N M ,. 由8,6==OC OD ，得10=CD .所以)(21EN OM CD S S S ECD OCD +⋅=+=∆∆ 6012102121=⨯⨯=⋅≤OE CD ， ……………………5分 当DC OE ⊥时，S 取得最大值60.此时，536108612=⨯-=-=OF OE EF . ……………………10分 （2）延长OB 至点G ，使12==OB BG ，连结GE GC ,. 因为21==OG OE OE OD ，EOG DOE ∠=∠，所以△ODE ∽△OEG ，所以21=EG DE ，故DE EG 2=.……………………20分所以108824222=+=≥+=+CG EG CE DE CE ，当G E C ,,三点共线时等号成立.故DE CE 2+的最小值为108. ……………………25分C三、（本题满分25分）求所有的正整数n m ,，使得22233)(n m n m n m +-+是非负整数.解 记22233)(n m n m n m S +-+=，则22222)(3)()(]3))[((nm mn n m mn n m n m n m mn n m n m S +-+-+=+--++=. 因为n m ,为正整数，故可令pqn m mn =+，q p ,为正整数，且1),(=q p . 于是 22223)(3)(pq pq n m p q p q n m S +-+=--+=.因为S 为非负整数，所以2|q p ，又1),(=q p ，故1=p ，即mn n m |)(+. ①……………………10分所以nm mn n n m n +-=+2是整数，所以2|)(n n m +，故n m n +≥2，即n m n ≥-2. 又由0≥S ，知02233≥-+n m n m . ② 所以n m m n m m n m n 2223223)(≥-=-≥，所以m n ≥.由对称性，同理可得n m ≥，故n m =. ……………………20分 把n m =代入①，得m |2，则2≥m .把n m =代入②，得0243≥-m m ，即2≤m . 故2=m .所以，满足条件的正整数n m ,为2=m ，2=n . ……………………25分第二试 （B ）一、（本题满分20分）若实数c b a ,,满足59)515151)((=-++-++-+++b a c a c b c b a c b a ，求)111)((cb ac b a ++++的值.解 记x c b a =++，y ca bc ab =++，z abc =，则)616161()515151)((cx b x a x x b a c a c b c b a c b a -+-+-=-++-++-+++abc x ca bc ab x c b a x ca bc ab x c b a x x 216)(36)(6)](36)(123[232-+++++-+++++-=23(936)536216x x y x xy z-+=-+-， ……………………10分结合已知条件可得23(936)95362165x x y x xy z -+=-+-，整理得z xy 227=.所以 227)111)((==++++z xy c b a c b a . ……………………20分二、（本题满分25分）如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，AC AB =，DC DE =.（1）证明：BC AD //；（2）设AC 与DE 交于点P ，如果︒=∠30ACE ，求PEDP. 解 （1）由题意知45ACB DCE ∠=∠=︒，BC =，EC =，所以DCA ECB ∠=∠，AC DCBC EC=，所以△ADC ∽△BEC ，故DAC ∠= 45EBC ∠=︒，所以ACB DAC ∠=∠，所以BC AD //.……………………10分（2）设x AE =，因为︒=∠30ACE ，可得x AC 3=，2CE x =，DE DC ==.因为90EAP CDP ∠=∠=︒，EPA CPD ∠=∠，所以△APE ∽△DPC ，故可得DPC APE S S ∆∆=21. ……………………15分 又223x S S S ACE APE EPC ==+∆∆∆，2x S S S CDE DPC EPC ==+∆∆∆，于是可得 2)32(x S DPC -=∆，2)13(x S EPC -=∆. ……………………20分所以2131332-=--==∆∆EPC DPC S S PE DP . ……………………25分 三、（本题满分25分）设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为m ，1+x 的各位数字之和为n ，并且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数.求x .解 设abcd x =，由题设知m 与n 的最大公约数),(n m 为大于2的素数.若9≠d ，则1+=m n ，所以(,)1m n =，矛盾，故9=d . ……………………5分 若9≠c ，则891-=-+=m m n ，故(,)(,8)m n m =，它不可能是大于2的素数，矛盾，故9=c .……………………10分若9=b ，显然9≠a ，所以269991-=---+=m m n ，故(,)(,26)13m n m ==，但此时可得13≥n ，363926>≥+=n m ，矛盾. ……………………15分若9≠b ，则17991-=--+=m m n ，故(,)m n (,17)17m ==，只可能34,17==m n . ……………………20分 于是可得8899=x 或9799. ……………………25分。
2018年全国中考数学真题浙江杭州中考数学(解析版-精品文档)
2018年浙江杭州市初中毕业、升学考试数学学科（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．（2018浙江杭州，1，3分） |-3|=( )A.3B.-3C.13D.13-【答案】D【解析】负数的绝对值等于它的相反数,|-3|=3,故选择D【知识点】负数的绝对值等于它的相反数2．（2018浙江杭州，2，3分）数据1 800 000用科学计数法表示为( )A. 61.8 B.61.810⨯ C.51.810⨯ D. 61810⨯【答案】B【解析】把大于10的数表示成10na⨯的形式时,n等于原数的整数位数减1,故选择B【知识点】科学计数法3．（2018浙江杭州，3，3分）下列计算正确的是( )2± C.2±【答案】Aa=≥,∴B、D，∴C也错【知识点】根式的性质4．（2018浙江杭州，4，3分）测试五位学生的“一分钟跳绳”的成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响到的是（）A. 方差 B. 标准差 C.中位数 D. 平均数【答案】C【解析】平均数、方差、标准差与各个数据大小都有关系，而中位数只受数据排列顺序的影响，最大的更大不影响大小处中间数的位置【知识点】数据分析5．（2018浙江杭州，5，3分）若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则（）A.AM AN> B. AM AN≥ C.AM AN< D. AM AN≤【答案】D【解析】AM和AN可以看成是直线为一定点到直线上两定点的距离，由垂线段最短，则AM AN<，再考虑特殊情况，当AB=AC的时候AM=AN【知识点】垂线段最短6．（2018浙江杭州，6，3分）某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道得+5，每答错一题得-2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则（）A. 20x y-= B. 20x y+= C.5260x y-= D. 5260x y+=【答案】C【解析】答对得分：5x分，答错得分-2y分，不答得分0分，共得分60分，则5260x y-=【知识点】二元一次方程组的应用7．（2018浙江杭州，7，3分）一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1~6）朝上一面的数字。
2018年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题及参考答案
2018年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题（2018年4月1日 下午1：00—3：00）答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分） 1．若3210x x x +++=，则2627--+x x+ … +x x ++-11+ … +2726x x +的值是（ ）（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）2 2．定义：定点A 与⊙O 上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与⊙O 之间的距离．现有一矩形ABCD 如图，AB =14cm ，BC =12cm ，⊙K 与矩形的边AB 、BC 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，则点A 与⊙K 的距离为（ ）（A ）4cm （B ）8cm （C ）10cm （D ）12cm3．某班选举班干部，全班有50名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，50．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”． 如果令⎩⎨⎧=号同学当选．号同学不同意第，第号同学当选，号同学同意第，第，j i j i a j i 01其中i =1，2，...，50；j =1，2， (50)则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为（ ） （A ）2111，，a a ++ … ++++250150501，，，a a a … +5050，a （B ）1211，，a a ++ … ++++502501150，，，a a a … +5050，a （C ） 50111，，a a +50212，，a a + … +5050150，，a a （D ） 15011，，a a +25021，，a a + … +5050501，，a aA（第2题）4．若a b c t b c c a a b===+++，则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是（ ） （A ）第一、二象限 （B ）第一、二、三象限 （C ）第二、三、四象限 （D ）第三、四象限5．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )(A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)无穷多个 6．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB =4，AO =26，那么AC 的长等于( )(A) 12 (B) 16(C)(D)二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．函数321+++++=x x x y ，当x = 时，y 有最小值，最小值等于 ．8．以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为 ．9．如图，△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB =6 cm ，AC =4 cm ，∠A =60°，则AD 的长为 cm ． 10．设，，，321x x x … ，2007x 为实数，且满足321x x x …2007x =321x x x -…2007x =321x x x -…2007x =…=321x x x …20072006x x -=1，则2000x 的值是 ．11．正六边形轨道ABCDEF 的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A ，C 两点同时出发，均按A →B →C →D →E →F →A →… 方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米／秒，乙的速度为8厘米／秒，那么出发后经过 秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．正整数M 的个位上的数字与数20152013的个位上的数字相同，把M 的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N ．若N 是M 的4倍，T 是M 的最小值，则T 的各位数字之和等于 ．ABCEFO（第6题） （第9题）ABCD三、解答题（共4小题，满分54分）13．（本题满分12分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象G 和x 轴有且只有一个交点A ，与y 轴的交点为B （0，4），且ac b =． （1）求该二次函数的解析表达式；（2）将一次函数y =3-x 的图象作适当平移，使它经过点A ，记所得的图象为L ，图象L 与G 的另一个交点为C ，求△ABC 的面积．如图，AB ∥CD 、AD ∥CE ，F 、G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE 于点M 、N 、P 、Q，求证：MN +PQ =2PN ．BACMN P EFQDG2007个质点均匀分布在半径为R 的圆周上，依次记为1P ，2P ，3P ，…，2007P ．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i 个质点，则下次就涂第i 个质点后面的第i 个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂点方案；若不能，请说明理由．从连续自然数1，2，3，…，2008中任意取n个不同的数，（1）求证：当n=1007时，无论怎样选取这n个数，总存在其中的4个数的和等于4017．（2）当n≤1006（n是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由．2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：C解：由3210x x x +++=，得1x =-，所以2627--+x x + … +x x ++-11+ … +2726x x +=-1．2．答案：A解：连结AK 、EK ，设AK 与⊙O 的交点为H ，则AH 即为所求， 因为AK =22AE EK +=10，所以AH = 4． 3．答案：C解：由题意得C 正确． 4．答案：A解：由已知可得t c b a c b a )(2++=++，当0a b c ++≠时，12t =，1124y x =+，直线过第一、二、三象限； 当0a b c ++=时，1t =-，1y x =-+，直线过第一、二、四象限．综合上可得，直线必定经过的象限是第一、二象限．5．答案：C解：设直角三角形的两条直角边长为,a b (a b ≤)，则12a b k ab ++=⋅（a ,b ,k 均为正整数），化简，得(4)(4)8ka kb --=，所以4148ka kb -=⎧⎨-=⎩或4244ka kb -=⎧⎨-=⎩．解得1512k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或234k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或⎪⎩⎪⎨⎧===.8,6,1b a k 即有3组解．6．答案：B解：在AC 上取一点G ，使CG =AB =4，连接OG ，则△OG C ≌△OAB ，所以OG =OA =26， ∠AOG =90°，所以△AOG 是等腰直角三角形，AG =12，所以AC =16．A（第2题）AB CEFO G（第6题）二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．答案：-2，2解：当x ≤-3时，y = -3x -6；当-3＜x ≤-2时，y = -x ； 当-2＜x ≤-1时，y =x +4； 当x ＞-1时，y =3x +6．；所以当x =-2时，y 的值最小，最小值为2． 8．答案：8个解：正三角形的各边必为立方体各面的对角线，共有8个正三角形． 9．答案：5312 解：由S △ABC =S △ABD + S △ADC ，得︒⋅⋅60sin 21AC AB =︒⋅⋅+︒⋅⋅30sin 2130sin 21AC AD AD AB ． 解得AD =5312．10．答案：1，或253±-解：由已知，321x x x ...200032120001x x x x x -=1，321x x x (1999)32119991x x x x x -=1，解得123200012319991515,22x x x x x x x x ±±==． 所以12000=x ，或2000x = 11．答案：238104解：设甲跑完x 条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x 厘米，乙走了2.91208x ⨯厘米，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+⨯>--+-⨯．，1201202402.91208120)1(1202402.9)1(1208x x x x解得328327<≤x ．因x 是整数，所以x =8，即经过2.98120⨯=232400=238104秒时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．答案：36 解：20152013的个位数字是7，所以可设710+=k M ，其中k 是m 位正整数，则k N m+⨯=107．由条件N =4M ，得k m+⨯107=)710(4+k ，即39)410(7-=m k ．当m =5时，k 取得最小值17948．所以T =179487，它的各位数字之和为36．三、解答题（共4题，满分54分） 13．(12分)解：（1）由B （0，4）得，c =4．G 与x 轴的交点A （2ba-，0）， 由条件ac b =，得b c a =，所以2b a -=22c -=-，即A （2-，0）．所以4,4240.b a a b =⎧⎨-+=⎩解得1,4.a b =⎧⎨=⎩所求二次函数的解析式为244y x x =++．（2）设图象L 的函数解析式为y =3-x +b ，因图象L 过点A （2-，0），所以6b =-，即平移后所得一次函数的解析式为y =36x --．令36x --=244x x ++， 解得12x =-，25x =-．将它们分别代入y =36x --， 得10y =，29y =．所以图象L 与G 的另一个交点为C （5-，9）． 如图，过C 作CD ⊥x 轴于D ，则 S △ABC =S 梯形BCDO -S △ACD -S △ABO =111(49)53924222+⨯-⨯⨯-⨯⨯=15．（第13题）14．(12分)证明：延长BA 、EC ，设交点为O ，则四边形OADC 为平行四边形． ∵ F 是AC 的中点， ∴ DF 的延长线必过O 点，且31=OG DG ． ∵ AB ∥CD ， ∴DNANPN MN =． ∵ AD ∥CE ，∴DNCQPN PQ =． ∴ +PN MN =PN PQ DN AN DNCQ+ =DNCQ AN +．又=OQ DN 31=OG DG ， ∴ OQ =3DN ．∴ CQ =OQ -OC =3DN -OC =3DN -AD ，AN =AD -DN ， 于是，AN +CQ =2DN ， ∴+PN MN =PNPQ DN CQAN +=2，即 MN +PQ =2PN ．15．(14分)解：不能．理由：设继i P 点涂成红色后被涂到的点是第j 号，则j =2,22007,22007,22007.i i i i ≤⎧⎨->⎩若i =2007，则j =2007，即除2007P 点涂成红色外，其余均没有涂到． 若i ≠2007，则2i ≠2007，且2i ≠4014，即2i -2007≠2007， 表明2007P 点永远涂不到红色．BACMN P E FQDG O初数复赛试题 第11页（共6页） 16．(16分)解：（1）设123x x x ，，，…，1007x 是1，2，3，…，2008中任意取出的1007个数．首先，将1，2，3，…，2008分成1004对，每对数的和为2009，每对数记作(m ，2009-m ) ，其中m =1，2，3， (1004)因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对，因此至少有3对数，不妨记为112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，， (123m m m ，，互不相等)均为123x x x ，，，…，1007x 中的6个数．其次，将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外)分成1003对，每对数的和为2008，每对数记作(k ，2008-k ) ，其中k =1，2， (1003)2006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是123x x x ，，，…，1007x 中的4个数，不妨记其中的一对为11(2008)k k -，．又在三对数112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，，，(123m m m ，，互不相等)中至少存在1对数中的两个数与11(2008)k k -，中的两个数互不相同，不妨设该对数为11(2009)m m -，，于是1111200920084017m m k k +-++-=．（2）不成立．当1006n =时，不妨从1，2，…，2008中取出后面的1006个数：1003 ，1004， (2008)则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=4018>4017；当1006n <时，同样从1，2，…，2008中取出后面的n 个数，其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=4018>4017．所以1006n ≤时都不成立．。
浙教版2018-2019学年度八年级数学竞赛试题(含解析)
绝密★启用前2018-2019学年浙教版八年级数学竞赛试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一．选择题（共6小题，每小题4分，共24分）1．已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，则m2的值为（）A．4 B．1，4 C．1，4，49 D．无法确定2．已知+=3，则代数式的值为（）A．3 B．﹣2 C．﹣D．﹣3．正方形ABCD中，点P，Q分别是边AB，AD上的点，连接PQ、PC、QC，下列说法：①若∠PCQ=45°，则PB+QD=PQ；②若AP=AQ=，∠PCQ=36°，则；③若△PQC是正三角形，若PB=1，则AP=．其中正确的说法有（）A．3个B．2个C．1个D．0个4．10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的真分数）”，则这10个有理数的和为（）A．B．C．D．5．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB=300米，BC=600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．AB之间D．BC之间6．试卷上有6道选择题，每题有3个选项，结果阅卷老师发现，在所有卷子中任选3张答卷，都有一道题的选择互不相同，请问最多有（）人参加了这次考试．A．11 B．12 C．13 D．14第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）7．一条大河有A、B两个港口，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A、B之间往返航行．甲在静水中的速度是28千米/时，乙在静水中的速度是20千米/时，已知两船第二次迎面相遇与甲船第二次追上乙船（不算开始时甲、乙在A处的那一次）的地点相距40千米，则A、B两港口的距离为千米．8．在环行自行车赛场内，甲、乙、丙三人骑自行车进行训练，他们的速度是：甲每分钟圈，乙每分钟圈，丙每分钟圈，他们同时出发，起点如图所示（甲从A点出发，沿圆周逆时针运动；乙从B点出发，沿圆周逆时针运动；丙从C点出发，沿圆周顺时针运动），则出发后分三人第一次相遇．9．表2、表3是从表1中截取的一部分，则a+b=表1表2表310．杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家，下图是杨辉在公元1261年著作《详解九章算法》里面的一张图，即“杨辉三角”，该图中有很多规律，请仔细观察，解答下列问题：（1）图中给出了七行数字，根据构成规律，第8行中从右边数第3个数是；（2）利用不完全归纳法探索出第n行中的所有数字之和为．11．已知x、y、z满足，对于数a、[a]表示不大于a的最大整数，{a}=a﹣[a]，则10（x+y）+z的值为．12．甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对l题就可提4个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是．三．解答题（共4小题，52分）13．（12分）观察下列各式：13+23=1+8=9，而（1+2）2=9，∴13+23=（1+2）2；13+23+33=36，而（1+2+3）2=36，∴13+23+33=（1+2+3）2；13+23+33+43=100，而（1+2+3+4）2=100，∴13+23+33+43=（1+2+3+4）2；∴13+23+33+43+53=（）2=．根据以上规律填空：（1）13+23+33+…+n3=（）2=[]2．（2）猜想：113+123+133+143+153=．14．（12分）某中学的1号教学大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门也大小相同，安全检查时，对4道门进行了测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过800名学生．（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）该中学的2号教学大楼，有和1号教学大楼相同的正门和侧门共5道，若这栋大楼的教室里最多有1920名学生，安全检查规定，在紧急情况下，全大楼学生应在4分钟内通过这5道门安全撤离，该栋大楼正门和侧门各有几道？15．（14分）如图1，小明将一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2）量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°再将这两张三角形纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D 在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）．小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮忙解决．（1）将图3中的△ABC沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；（2）将图3中的△ABC绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于G，若DG=kEG，求k的值；（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH．16．（14分）探究问题：（1）阅读理解：①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P 为△ABC的费马点，此时P A+PB+PC的值为△ABC的费马距离；②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB•CD+BC•DA=AC•B D．此为托勒密定理；（2）知识迁移：①请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点．求证：PB+PC=P A；②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；第二步：在上任取一点P′，连接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）=P′A+；第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离．（3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．参考答案与试题解析1．解：两式相加得：（3+m）x=10，则x=，代入第二个方程得：y=，当方程组有整数解时，3+m是10和15的公约数．∴3+m=±1或±5．即m=﹣2或﹣4或2或﹣8．又∵m是正整数，∴m=2，则m2=4．故选：A．2．解：+==3，即a+2b=6ab，则原式===﹣，故选：D．3．（1）证明：延长AB至点E，使BE=DQ，连接EC，AC，∵正方形ABCD，∴∠BCA=∠DCA=45°，CD=DA=AB=BC，∠D=∠EBC=90°，∴在△BEC和△DQC中，，∴△BEC≌△DQC（SAS），∴CE=CQ，∠BCE=∠DCQ，∵∠PCQ=45°，∴∠DCQ+∠PCB=45°，∴∠BCE+∠PCB=45°，即∠ECP=45°，∵在△PCE和△PCQ中，，∴△PCE≌△PCQ（SAS），∴PE=PQ，∵PE=PB+BE=PB+QD，∴PQ=PB+QD，（2）过点Q作∠PQC的角平分线，交PC于点E，∵正方形ABCD，∴∠A=∠D=∠B=90°，AD=AB=BC=CD，∵∠PCQ=36°，AP=AQ=，∴PQ=2，PB=QD，∴PE=PC﹣2，∵在△PBC和△QDC中，，∴△PBC≌△QDC（SAS），∴QC=PC，∴∠CPQ=∠CQP=72°，∴∠PQE=∠EQC=36°，∴QE=QP=EC=2，∵△QPE∽△CQP，∴PQ：QC=PE：PQ，即PQ2=PE•PC，∵PQ=2，∴PE•PC=4，∵PE=PC﹣2，∴PC2﹣2PC﹣4=0，解得：PC1=1﹣＜0（舍去），PC2=1+，∴PC=+1，（3）取PC的中点E，连接BE，做BM⊥PC于点M，∵正方形ABCD，∴BC=CD=AB=AD，∠D=∠B=∠A=∠BCD=90°，∵△PCQ为正三角形，∴QC=PQ=PC，∠QCP=60°，∵在Rt△PBC和Rt△QDC中，，∴Rt△PBC≌Rt△QDC（HL），∴∠BCP=∠DCQ=，PB=QD，∵E为PC的中点，∴BE=EC=PE=，∴∠BEM=30°，∴2BM=BE，∴4BM=PC，∵PC=AP，∴4BM=AP，∵BM⊥PC，∠BCP=15°，∴∠PBM=15°，∴△PBM∽△PCB，∴BP：PC=BM：BC，∵PB=1，∴BC=AB=AP+1，∴，∴AP2﹣AP﹣1=0，解得：AP1=1+，AP2=1﹣＜0（舍去），∴AP=+1，∴其中说法正确的共3个，故选：A．4．解：这10个有理数，每9个相加，一共得出另外10个数，由于原10个有理数互不相等，可以轻易得出它们相加后得出的另外10个数也是互不相等的，而这10个数根据题意都是分母22的既约真分数，而满足这个条件的真分数恰好正好有10个，∴这10项分别是：1/22，3/22，5/22，7/22，9/22，13/22，15/22，17/22，19/22，21/22．它们每一个都是原来10个有理数其中9个相加的和，那么，如果再把这10个以22为分母的真分数相加，得出来的结果必然是原来的10个有理数之和的9倍．所以，10个真分数相加得出结果为5，于是所求的10个有理数之和为5/9．故选：D．5．解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×300+10×900=13500（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+10×600=15000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×900+15×600=36000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（300﹣m）+10（900﹣m）=13500+5m＞13500，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（300+n）+15n+10（600﹣n）=15000+35n＞13500．∴该停靠点的位置应设在点A；故选：A．6．解：法一：第一道题有三个人分别选了1、2、3；第二道题他们三个人选了同一个答案（就是1吧，因为所有答案条件相同无所谓的），另外两个人选了2、3；第三道题他们五个人选了1，其他两个人选了2、3；第四题他们7个选1，另两个2、3；第五题他们9个选1，另两个2、3；第六题他们11个选1，另两个2、3；一共13人．只有这种情况才能保证随便三张卷子都有1题答案互不相同，这是抽屉定理中的穷举法．法二：首先只有一道试题时候最多3人，只有两道试题的时候最多4人，这个很容易用穷举法知道．现在，如果有14人做这道题的话，14人中任取3人的组合共有364种，根据抽屉原理，这里至少有122种取法第一题的答案相同．同样，在这122种取法中，至少41种取法第2题答案相同，接下来有14种取法第3题答案相同，5种取法第4题答案相同，这样根据两道题时候的情况，可以知道14人是不可能的，所以最多13人．7．解：设A、B两个港口的距离为d，甲顺水速度：28+4=32千米/时，甲逆水速度：28﹣4=24千米/时，乙顺水速度：20+4=24千米/时，乙逆水速度：20﹣4=16千米/时，第二次相遇地点：从A到B：甲速：乙速=32：24=4：3，甲到B，乙到E；甲从B到A，速度24，甲速：乙速=24：24=1：1，甲、乙在EB的中点F点第一次相遇；乙到B时，甲到E，这时甲速：乙速=24：16=3：2，甲到A点时，乙到C点；甲又从A顺水，这时甲速：乙速=32：16=2：1，所以甲、乙第二次相遇地点是AC处的点H，AH=×AB=AB=d，第二次追上地点：甲比乙多行1来回时第一次追上，多行2来回时第二次追上．甲行一个来回2AB时间+=d乙行一个来回2AB时间+=，一个来回甲比乙少用时间：﹣=，甲多行2来回的时间是：×2=，说明乙第二次被追上时行的来回数是：=4，甲第二次追上乙时，乙在第5个来回中，甲在第7个来回中．甲行6个来回时间是×6=，乙行4个来回时间是×4=，﹣=，从A到B甲少用时间：﹣=，说明第二次追上是在乙行到第五个来回的返回途中．﹣=，从B到A，甲比乙少用时间：﹣=，=，追上地点是从B到A的中点C处．根据题中条件，HC=40（千米），即=40，解得d=240千米．故答案为：240．8．解：设出发后x分钟后三人第一次相遇，由甲和乙相遇得：x=，解得：x=5，此时，甲逆时针行驶了=圈，当出发5分钟后，丙顺时针行驶了×5=圈，此时，甲乙丙第一次相遇．故答案为：5．9．解：表2中，∵15是5的3倍，24是6的4倍，∴a是5的6倍是30，或a是7的4倍是28，表3中，∵16是2的8倍，24是3的8倍，∴b是4的7倍是28，∴a+b=30+28=58或a+b=28+28=56．故答案为：58或56．10．解：（1）设第n行第2个数为a n（n≥2，n为正整数），第n行第3个数为b n（n≥3，n为正整数），观察，发现规律：∵a2=1，a3=2，a4=3，a5=4，a6=5，∴a n=n﹣1；∵b3=1，b4=3=1+2=b3+2，b5=6=3+3=b4+3，b6=10=6+4=b5+4，…，∴b n﹣b n﹣1=n﹣2，∴b n=b3+b4﹣b3+b5﹣b4+b6﹣b5+…+b n﹣b n﹣1=1+2+3+…+n﹣2=．当n=8时，b3==21；故答案为：21；（2）∵第1行数字之和1=20，第2行数字之和2=21，第3行数字之和4=22，第4行数字之和8=23，…∴第n行数字之和为2n﹣1．故答案为：2n﹣1．11．解：∵{a}=a﹣[a]，∴a={a}+[a]，∵①+②+③得：x+[x]+{x}+y+[y]+{y}+z+[z]+{z}=0.6，2x+2y+2z=0.6，x+y+z=0.3④，④﹣①得：{y}+[z]=1.2，所以{y}=0.2，[z]=1，④﹣②得：{x}+[y]=0.1，所以[y]=0，{x}=0.1，④﹣③得：[x]+{z}=﹣1，所以{z}=0，[x]=﹣1，∴x=[x]+{x}=﹣1+0.1=﹣0.9，y=[y]+{y}=0+0.2=0.2，z=[z]+{z}=1+0=1，∴10（x+y）+z=10×（﹣0.9+0.2）+1=﹣6．12．解：设甲、乙、丙答对得题数分别为x，y，z，根据题意列方程得，6x+5y+4z+1=x+y+z+16，整理得，5x+4y+3z=15，∵x，y，z为非负整数．∴x=1，y=1，z=2；或x=0，y=3，z=1．故答案为：（1，1，2）或（0，3，1）．13．解：由题意可知：13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2=225（1）∵1+2+…+n=（1+n）+[2+（n﹣1）]+…+[+（n﹣+1）]=，∴13+23+33+…+n3=（1+2+…+n）2=[]2；（2）113+123+133+143+153=13+23+33+...+153﹣（13+23+33+ (103)=（1+2+…+15）2﹣（1+2+…+10）2=1202﹣552=11375．故答案为：1+2+3+4+5；225；1+2+…+n；；11375．14．解：（1）设平均每分钟一道正门可通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生．则，解得．答：平均每分钟一道正门可通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生；（2）设该栋大楼正门有m道，侧门有n道，则，解得．故该栋大楼正门有2道，侧门有3道．15．解：∵AB=DE=10，∠A=∠D=30°，∴FB=FE=5，∠B=∠FED=60°，FD=EF=5．（1）如图4，FC1=BF=5，所以△ABC沿BD向右平移的距离为5；（2）∵△ABC绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，∴∠AF A1=30°，∴∠A1FD=60°，而∠D=30°，∴FG⊥CD，∴EG=EF=，∴DG=10﹣=，∴DG=3EG，∴k的值为3；（3）∵△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，∴B1F=BF=EF，∠AB1F=∠B=60°，∴DB1=AE，∠DB1H=∠AEH=120°，而∠DHB1=∠AHE，在△DB1H与△AEH中，∵∠DB1H=∠AEH，DB1=AE，∠DHB1=∠AHE，∴△DB1H≌△AEH，∴AH=DH．16．（2）①证明：由托勒密定理可知PB•AC+PC•AB=P A•BC∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC，∴PB+PC=P A，②P′D、AD，（3）解：如图，以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD，连接AD，则知线段AD的长即为最短距离．∵△BCD为等边三角形，BC=4，∴∠CBD=60°，BD=BC=4，∵∠ABC=30°，∴∠ABD=90°，在Rt△ABD中，∵AB=3，BD=4，∴AD===5（km），∴从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为5km．。
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准 精品
2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知2012，b =，2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a << 【答】C.因为11a =，1b=110a b<<，故b a <.又2)1)c a -=-=1)，而221)30-=->1，故c a >.因此b a c <<.2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6. 【答】B.方程即22()234x y y ++=，显然x y +必须是偶数，所以可设2x y t +=，则原方程变为22217t y +=，它的整数解为2,3,t y =±⎧⎨=±⎩从而可求得原方程的整数解为(,)x y ＝(7,3)-，(1,3)，(7,3)-，(1,3)--，共4组.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ ）ABCD【答】D.过点C 作CP//BG ，交DE 于点P.因为BC ＝CE ＝1，所以CP 是△BEG 的中位线，所以P 为EG 的中点.又因为AD ＝CE ＝1，AD//CE ，所以△ADF ≌△ECF ，所以CF ＝DF ，又CP//FG ，所以FG 是△DCP 的中位线，所以G 为DP 的中点.因此DG ＝GP ＝PE ＝13DE. 连接BD ，易知∠BDC ＝∠EDC ＝45°，所以∠BDE ＝90°. 又BDBG==. 4．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ ）EC AA ．18-. B ．0. C ．1. D ．98. 【答】B.442222222219()2122()48a ab b a b a b ab a b ab ab ++=+-+=-+=--+.因为222||1ab a b ≤+=，所以1122ab -≤≤，从而311444ab -≤-≤，故2190()416ab ≤-≤，因此219902()488ab ≤--+≤，即44908a ab b ≤++≤.因此44a ab b ++的最小值为0，当a b ==a b ==时取得. 5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p的所有可能的值之和为 （ ）A ．0.B ．34-.C ．1-.D ．54-. 【答】 B.由一元二次方程的根与系数的关系可得122x x p +=-，1232x x p ⋅=--，所以2222121212()2464x x x x x x p p +=+-⋅=++，332212121212()[()3]2(496)x x x x x x x x p p p +=++-⋅=-++.又由232311224()x x x x +=-+得223312124()x x x x +=-+，所以2246442(496)p p p p p ++=+++，所以(43)(1)0p p p ++=，所以12330,,14p p p ==-=-. 代入检验可知：1230,4p p ==-均满足题意，31p =-不满足题意. 因此，实数p 的所有可能的值之和为12330()44p p +=+-=-.6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ ）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个. 【答】C.根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个.（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6×4＝24个.（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个.（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个.因此，满足要求的四位数共有4＋24＋8＋8＝44个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=，则t =_________． 【答】 1±.由1a t b +=得1b t a =-，代入1b t c +=得11t t a c +=-，整理得2(1)()0ct ac t a c -++-= ① 又由1c t a+=可得1ac at +=，代入①式得22()0ct at a c -+-=，即2()(1)0c a t --=，又c a ≠，所以210t -=，所以1t =±.验证可知：11,1a b c a a -==-时1t =；11,1a b c a a+=-=-+时1t =-.因此，1t =±. 2．使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 ． 【答】 1．设2521mn ⨯+=（其中n 为正整数），则2521(1)(1)m n n n ⨯=-=+-，显然n 为奇数，设21n k =-（其中k 是正整数），则524(1)m k k ⨯=-，即252(1)m k k -⨯=-.显然1k >，此时k 和1k -互质，所以252,11,m k k -⎧=⨯⎨-=⎩或25,12,m k k -=⎧⎨-=⎩或22,15,m k k -⎧=⎨-=⎩解得5,4k m ==. 因此，满足要求的整数m 只有1个.3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BCAP＝ ． 【答】设D 为BC 的中点，在△ABC 外作∠CAE ＝20°，则∠BAE ＝60°. 作CE ⊥AE ，PF ⊥AE ，则易证△ACE ≌△ACD ，所以CE ＝CD ＝12BC. 又PF ＝PA sin ∠BAE ＝PA sin 60，PF ＝CE＝12BC ，因此BCAP4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝ ．【答】332. 因为22313(3)(1)(1)(1)a a a a abc a bc a a bc b c a b c --=-+=+-=--+=--，所以EB2131(1)(1)a a abc =----. 同理可得2131(1)(1)b b b a c =----，2131(1)(1)c c c a b =----. 结合22243131319a b c a a b b c c ++=------可得1114(1)(1)(1)(1)(1)(1)9b c a c a b ++=------，所以4(1)(1)(1)(1)(1)(1)9a b c a b c ---=-+-+-. 结合1abc =-，4a b c ++=，可得14ab bc ac ++=-. 因此，222233()2()2a b c a b c ab bc ac ++=++-++=.实际上，满足条件的,,a b c 可以分别为11,,422-.第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <.又因为c 为整数，所以1114c ≤≤. ……………………5分 根据勾股定理可得222a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯， ……………………10分因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩……………………15分 所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为1694π. ……………………20分 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅. ……………………5分 又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，……………………10分∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ……………………20分∴PD BD CD OD=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. ……………………25分 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE……………………5分因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-. ……………………10分 又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）. ……………………15分又因为AM//BC ，所以OA OMOB OC =3||2|6|-=-. ……………………20分 把6c =-代入解得52b =（另一解52b =-舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y x x =-+-. ……………………25分第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则60a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c ≤<及60a b c ++=得603a b c c =++<，所以20c >.由a b c +>及60a b c ++=得602a b c c =++>，所以30c <.又因为c 为整数，所以2129c ≤≤. ……………………5分 根据勾股定理可得222a b c +=，把60c a b =--代入，化简得60()18000ab a b -++=，所以322(60)(60)1800235a b --==⨯⨯， ……………………10分因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是326025,6035,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或2226025,6023,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩ 解得20,15,a b =⎧⎨=⎩或10,24.a b =⎧⎨=⎩……………………15分当20,15a b ==时，25c =，三角形的外接圆的面积为6254π； 当10,24a b ==时，26c =，三角形的外接圆的面积为169π. ……………………20分 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E.证明：∠BAE ＝∠ACB.证明：连接OA ，OB ，OC ，BD.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅. ……………………5分 又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，……………………10分∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ∴PD BDCD OD=， ……………………15分∴2BD CD PD OD AD ⋅=⋅=，∴BD ADAD CD=. 又∠BDA ＝∠BDP ＋90°＝∠ODC ＋90°＝∠ADC ，∴△BDA ∽△ADC ， ……………………20分 ∴∠BAD ＝∠ACD ，∴AB 是△ADC 的外接圆的切线，∴∠BAE ＝∠ACB. ……………………25分三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移1)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线的解析式.解 抛物线的方程即2213(3)62b y x bc =--++，所以点P 23(3,)2b b c +，点C (0,)c . 设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-. ……………………5分 又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）. ……………………10分将抛物线2213(3)662b y x b =--+-向左平移1)个单位后，得到的新抛物线为2213(324)662b y x b =--++-.易求得两抛物线的交点为Q 23(312102)2b b +-+. ……………………15分 由∠QBO ＝∠OBC 可得tan ∠QBO ＝tan ∠OBC.作QN ⊥AB ，垂足为N ，则N (312b +-，又233(x b b =+=，所以tan ∠QBO ＝QN BN2310212b +=12=111)]22==⋅. ……………………20分又tan ∠OBC ＝OCOB 1(2b ==⋅，所以111)](22b ⋅=⋅-. 解得4b =（另一解45)03b =<，舍去）.因此，抛物线的解析式为21466y x x =-+-. ……………………25分。
浙教版2018-2019学年九年级数学竞赛试卷(二)及答案
绝密★启用前浙教版2018-2019学年初三数学竞赛试卷(二)题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共6小题，6*5=30分）1．a、b、c都是实数，且a≠0，a+b=﹣2c，则方程ax2+bx+c=0（）A．有两个正根B．至少有一个正根C．有且只有一个正根D．无正根2．a、b都是自然数，且123456789=（11111+a）（11111﹣b），则（）A．a﹣b是奇数B．a﹣b是4的倍数C．a﹣b是2的倍数，但不一定是4的倍数D．a﹣b是2的倍数，但不是4的倍数3．将函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象绕y轴翻转180°，再绕x轴翻转180°，所得的函数图象对应的解析式为（）A．y=﹣ax2+bx﹣c B．y=﹣ax2﹣bx﹣cC．y=ax2﹣bx﹣c D．y=﹣ax2+bx+c4．如果直角三角形的三边都是200以内的正整数，且较长的两边长相差1，那么这样的直角三角形有（）A．12个B．9个C．6个D．1个5．一条直线过△ABC的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：16．已知关于x的方程x2+mx+m+2=0有不同的实数根，其中m为整数，且仅有一个实根的整数部分是2，则m的值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．不存在第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共6小题，6*5=30分）7．已知a是方程x2+x﹣=0的根，则的值等于．8．设x为正实数，则函数y=x2﹣x+的最小值是．9．已知凸n边形A1A2…A n（n＞4）的所有内角都是15°的整数倍，且∠A1+∠A2+∠A3=285°，那么，n等于．10．已知四条直线：y=kx﹣3，y=﹣1，y=3，x=1所围成的四边形面积是12，则k的值是．11．如图，直角扇形MON中，∠MON=90°，过线段MN中点A作AB∥ON交弧MN于点B，则∠BON=．12．如果不等式|x﹣a|+|x|＜2没有实数解，则实数a的取值范围是．评卷人得分三．解答题（共4小题，4*10=40分）13．已知如图，圆内接四边形ABCD，AB=AD，PB=BO，CE⊥PE，CD=18，求DE．14．设两个数x和y的平方和为7，它们的立方和为10，求x+y的最大值．15．如图，已知圆O的弦AB被点C、D三等分，又E、F是弧AB的三等分点，连接EC、FD交于S，连接SA、SB，求证：∠ASB=∠AO B．16．对a＞b＞c＞0，作二次方程x2﹣（a+b+c）x+ab+bc+ca=0．（1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；（2）若方程有实根x0，求证：a＞x0＞b+c；（3）当方程有实根6，9时，求正整数a，b，c．参考答案1．解：设方程两根分别为x1，x2，由a≠0，a+b=﹣2c，得b=﹣a﹣2c，∴△=b2﹣4ac=（﹣a﹣2c）2﹣4ac=a2+4c2＞0，若c=0，则a+b=0，方程变为ax2﹣ax=0，解得x=0或1．若a与c异号，则x1x2=＜0，即两根异号，所以原方程有一正根和一负根．若a与c同号，由b=﹣a﹣2c可得a，b异号；则x1x2=＞0，即两根同号；x1+x2=＞0，则方程一定有正根，所以原方程此时有两个正根．综上所述原方程至少有一个正根．故选：B．2．解：由已知等式可知a、b均为偶数，∵（11111+a）（11111﹣b）=111112+11111（a﹣b）﹣ab，123456789被4除余1，其中111112被4除余1，ab被4除余0，∴11111（a﹣b）被4除余0，∴a﹣b是4的倍数．故选：B．3．解：y=ax2+bx+c（a≠0）的图象关于y轴对称的图象是y=ax2﹣bx+c（即以﹣x代x）的图象，而y=ax2﹣bx+c的图象关于x轴对称的是y=﹣ax2+bx﹣c（即以﹣y代y）的图象，∴所求解析式为y=﹣ax2+bx﹣c．故选A．4．解：设两直角边为x、y，则斜边为x+1，（x+1）2=x2+y2，即y2=2x+1，∴y为奇数．y分别取3，5，7，9，11，13，15，17，19对应的x顺次为4、12、24、40、60、84、112、144、180，故这样的直角三角形有9个．故选：B．5．解：通过图可看到，过内心O的直线m将△ABC的周长平分．设△ABC的周长为a，内切圆半径为r，则左边部分的面积为=，同理右边部分的面积也为∴该直线分成的两个图形的面积相等故选：B．6．解：当m=﹣2，原方程变为：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，∴x1=0，x2=2，所以当m=﹣2时，原方程仅有一个实根的整数部分是2；当m=﹣3，原方程变为：x2﹣3x﹣1=0，∴△=b2﹣4ac=（3）2﹣4×1×（﹣1）=13，∴x=，即x1=，x2=，x1的整数部分为3，x2为负数，所以当m=﹣3，没有一个实根的整数部分是2．所以A对，B，C，D错．故选：A．7．解：=，=，由a是方程x2+x﹣=0的根得出：a2+a=，代入上式==20．故答案为：20．8．解：∵x为正实数，∴由函数y=x2﹣x+，得y=（x﹣1）2+（﹣）2+1，∵（x﹣1）2≥0，（﹣）2≥0，∴（x﹣1）2+（﹣）2+1≥1，即y≥1；∴函数y=x2﹣x+的最小值是1．故答案是：1．9．解：由已知有另外n﹣3个内角的和为（n﹣2）•180°﹣285°，它能被（n﹣3）整除，且商也是15°的整数倍，商是180°﹣，满足条件的n=10．故答案为：10．10．解：在y=kx﹣3中，令y=﹣1，解得x=；令y=3，x=；当k＜0时，四边形的面积是：[（1﹣）+（1﹣）]×4=12，解得k=﹣2；当k＞0时，可得[（﹣1）+（﹣1）]×4=12，解得k=1．即k的值为﹣2或1．11．解：延长BA交OM于点C，连接MB，∵A是MN的中点，AB∥ON，∴点C是OM的中点，又∠MON=90°，∴BC⊥OM，∴BC垂直平分OM，∴MB=OB，又OM=OB，∴△OMB是等边三角形，∴∠MOB=60°，∴∠NOB=90°﹣60°=30°．故答案为：30°．12．解：∵|x﹣a|+|x|＜2，∴|x﹣a|＜2﹣|x|，设y1=|x﹣a|，y2=2﹣|x|，∴y1=，y2=，根据原不等式没有实数解，即y1＜y2没有实数解，从两函数图象可以看出：a≤﹣2或a≥2时，y1的图象与y2的图象没交点．故答案为a≤﹣2或a≥2．13．解：连OA，如图，∵AB=AD，∴∠AOB=∠DCO，∴OA∥DC，而PB=BO，CD=18∴===，则OA=×18=12，P A=2AD，由切割线定理得，PB•PC=P A•PD，即12×36=2AD•3AD，所以AD=6，过O作OF⊥AB于F点，则BF=AF=3，∵∠EDC=∠ABO，且CE⊥PE，∴Rt△CDE～Rt△OBF，∴=，即=，∴DE=．14．解：由题意得：，令x=s+t，y=s﹣t，则x+y=2s，且，由①得2t2=7﹣2s2，将其代入②中得：2s3+3s（7﹣2s2）=10，即4s3﹣21s+10=0，∴（s﹣2）（s﹣）（s+）=0，∴s的最大值为2，∴x+y的最大值为4．15．证明：连接OE、OF、AE、AF，延长SA交FE的延长线于K，∵=，∴AB∥EF，∴==，∵AC=CD，∴KE=EF=AE，∠KAF=90°，F A⊥SA，又=，∴OE⊥F A，OE∥SA，同理可证OF∥SB，∴∠ASB=∠EOF=∠AO B．16．解：（1）由方程有实根得，△=（a+b+c）2﹣4（ab+bc+ca）≥0即0≤a2+b2+c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca=a（a﹣b﹣c）﹣b（a+c﹣b）﹣c（a+b﹣c）＜a（a﹣b﹣c），由a＞0，得a﹣b﹣c＞0，即a＞b+c．所以，a，b，c不能成为一个三角形的三边．（4分）（2）设f（x）=x2﹣（a+b+c）x+ab+bc+ca，则f（b+c）=bc＞0，f（a）=bc＞0，且f（）=＜0由（1）知b+c＜＜a，所以二次方程的实根x0都在b+c与a之间，即a＞x0＞b+c．（7分）（3）由根与系数关系有a+b+c=15，ab+bc+ca=54，得a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）=225﹣108=117＜112．由（2）知a＞9，故得92＜a2＜112，∴a=10．∴b+c=5，bc=4，由b＞c，解得b=4，c=1，∴a=10，b=4，c=1．（10分）。
全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题(Word版,含答案)
全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1． 5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（ ）（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）24 2． 如图，长方形ABCD 恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，如果小长方形的面积是3，则长方形ABCD 的周长是（ ）（A ）17 （B ）18 （C ）19 （D ）317 3．设0＜k ＜1，关于x 的一次函数)1(1x kkx y -+=，当1≤x ≤2时的最大值是（ ） （A ）k（B ）k k 12- （C ）k 1 （D ）kk 1+4．钟面上的1~12这12个数字把圆周12等分，以其中任意4个等分点为顶点作四边形，其中矩形的个数是（ ）（A ）10个 （B ）14个 （C ）15个 （D ）30个5．平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数1212-+=x x y 的图象上整点的个数是 （ ）（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个ADBC（第2题）6．用标有1克，2克，6克，26克的法码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置法码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）的种数共有（ ） （A ）15种 （B ）23种 （C ）28种 （D ）33种二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．三个实数按从小到大排列为1x ，2x ，3x ，把其中每两个数作和得到三个数分别是14，17，33，则2x = ．8．如图，AB 为半⊙O 的直径，C 为半圆弧的三等分点，过B ，C 两点的半⊙O 的切线交于点P ，若AB 的长是2a ，则P A 的长是 ．9．函数1422-+=x x y 的最小值是 ．10．在正方形ABCD 中，点E 是BC 上的一定点，且BE =10，EC =14，点P 是BD 上的一动点，则PE +PC 的最小值是 ．11．某商店出售A 、B 、C 三种生日贺卡，已知A 种贺卡每张0.5元，B 种贺卡每张1元，C 种贺卡每张2.5元．营业员统计3月份的经营情况如下：三种贺卡共售出150张，营业收入合计180元．则该商店3月份售出的C 种贺卡至少有 张．12．有一个英文单词由5个字母组成，如果将26个英文字母a ，b ，c ，…，y ，z 按顺序依次对应0到25这26个整数，那么这个单词中的5个字母对应的整数按从左到右的顺序分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5．已知x 1+3x 2，4x 2，x 3+2x 4,，5x 4，6x 4+x 5 除以26所得的余数分别为15，6，20，9，9．则该英文单词是 ．DE（第10题）。
2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准【直接打印】精品
2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知21a ，32b，62c ，那么,,a b c 的大小关系是（）A.ab cB.ac b C.bacD.b ca【答】C. 因为121a，132b，所以110ab，故ba .又(62)(21)6ca(21)，而22(6)(21)3220，所以621，故ca .因此ba c .2．方程222334x xy y的整数解(,)x y 的组数为（）A ．3.B ．4.C ．5.D ．6.【答】B. 方程即22()234xy y，显然x y 必须是偶数，所以可设2x y t ，则原方程变为22217ty，它的整数解为2,3,t y从而可求得原方程的整数解为(,)x y ＝(7,3)，(1,3)，(7,3)，(1,3)，共4组.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为（）A ．63B ．53C ．263D ．253【答】D.过点C 作CP//BG ，交DE 于点P.因为BC ＝CE ＝1，所以CP 是△BEG 的中位线，所以P 为EG 的中点.又因为AD ＝CE ＝1，AD//CE ，所以△ADF ≌△ECF ，所以CF ＝DF ，又CP//FG ，所以FG 是△DCP 的中位线，所以G 为DP 的中点.因此DG ＝GP ＝PE ＝13DE ＝23.连接BD ，易知∠BDC ＝∠EDC ＝45°，所以∠BDE ＝90°. 又BD ＝2，所以BG ＝22225BDDG293.4．已知实数,a b 满足221a b ，则44a ab b 的最小值为（）PGFEBCADA ．18. B ．0. C ．1. D ．98.【答】B.442222222219()2122()48aabbab a bab a b ab ab .因为222||1ab a b ，所以1122ab ，从而311444ab，故2190()416ab，因此219902()488ab，即44908aabb.因此44a abb 的最小值为0，当22,22a b或22,22ab时取得.5．若方程22320x pxp 的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()xxxx ，则实数p的所有可能的值之和为（）A ．0.B ．34. C ．1.D ．54.【答】 B.由一元二次方程的根与系数的关系可得122x x p ，1232x x p ，所以2222121212()2464x x x x x x p p，332212121212()[()3]2(496)xxx x x x x x p pp.又由232311224()x x x x 得223312124()x x x x ，所以2246442(496)p p p pp ，所以(43)(1)0p pp ，所以12330,,14p p p .代入检验可知：1230,4p p 均满足题意，31p 不满足题意. 因此，实数p 的所有可能的值之和为12330()44p p .6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a cb d .这样的四位数共有（）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个.【答】C.根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个.（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6×4＝24个.（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个.（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个.因此，满足要求的四位数共有4＋24＋8＋8＝44个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111abct b c a，则t_________．【答】1.由1a t b 得1bt a，代入1bt c得11t tac ，整理得2(1)()0ct ac ta c ①又由1c t a 可得1ac at ，代入①式得22()0ctatac ，即2()(1)0c a t，又c a ，所以210t，所以1t.验证可知：11,1a b caa时1t；11,1a bcaa时1t .因此，1t .2．使得521m是完全平方数的整数m 的个数为．【答】1．设2521mn （其中n 为正整数），则2521(1)(1)mnn n ，显然n 为奇数，设21n k （其中k 是正整数），则524(1)mk k ，即252(1)m k k .显然1k，此时k 和1k 互质，所以252,11,m k k 或25,12,m k k 或22,15,m k k 解得5,4k m .因此，满足要求的整数m 只有1个.3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BC AP＝．【答】3.设D 为BC 的中点，在△ABC 外作∠CAE ＝20°，则∠BAE ＝60°. 作CE ⊥AE ，PF ⊥AE ，则易证△ACE ≌△ACD ，所以CE ＝CD ＝12BC.又PF ＝PA sin ∠BAE ＝PA sin 60°＝32AP ，PF ＝CE ，所以32AP ＝12BC ，因此BC AP＝3.4．已知实数,,a b c 满足1abc，4a b c ，22243131319a b c aa bb cc ，则222abc ＝．【答】332.因为22313(3)(1)(1)(1)aa aa abc a bc a a bcbc a b c ，所以FEDBCAP2131(1)(1)a aa b c .同理可得2131(1)(1)b b b a c ，2131(1)(1)c cc a b .结合22243131319ab c aa bb cc 可得1114(1)(1)(1)(1)(1)(1)9b c a c a b ，所以4(1)(1)(1)(1)(1)(1)9a b c a b c .结合1abc，4a b c，可得14ab bc ac. 因此，222233()2()2a bca bc ab bc ac .实际上，满足条件的,,a b c 可以分别为11,,422.第二试（A)一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ），则30a b c .显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c 及30a b c 得303a b c c ，所以10c . 由a b c 及30a b c 得302a b c c ，所以15c . 又因为c 为整数，所以1114c .……………………5分根据勾股定理可得222abc ，把30ca b 代入，化简得30()4500ab a b ，所以22(30)(30)450235a b ，……………………10分因为,a b 均为整数且a b ，所以只可能是22305,3023,ab解得5,12.a b ……………………15分所以，直角三角形的斜边长13c ，三角形的外接圆的面积为1694.……………………20分二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D .证明：2ADBD CD .DPOABC2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共4页）证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PAPD PO ，2ADPD OD . ……………………5分又由切割线定理可得2PAPB PC ，∴PB PC PD PO ，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，……………………10分∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ，……………………20分∴PD BD CD OD，∴2AD PD OD BD CD .……………………25分三．（本题满分25分）已知抛物线216yxbx c 的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x ）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解易求得点P 23(3,)2b bc ，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c的两根，所以21396x b bc ，22396x bbc ，又AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE ＝296b c .……………………5分因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AEPE DE ，即2223(96)()||2bc b c m ，又易知0m，所以可得6m. ……………………10分又由DA ＝DC 得22DA DC ，即22222(96)(30)()bc mb mc ，把6m代入后可解得6c （另一解0c 舍去）.……………………15分又因为AM//BC ，所以OA OM OBOC，即223||3962|6|396b b c bbc.……………………20分把6c 代入解得52b （另一解52b舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y xx . ……………………25分2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共5页）精品文档强烈推荐2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有。
2018年全国初中数学竞赛试题及答案
若关于 m 的方程有正整数解，则
9 4n(n 1) 8 (2 n 1)2 l 2 （ l 为正整数），
即 l 2 (2n 1)2 8,[ l (2n 1)][( l (2 n 1)] 8
４
l (2n 1) 8 l (2n 1) 4
所以
,或
，
l (2n 1) 1 l (2n 1) 2
解得： n
5 4
所以 PQ＝ yp
yQ
( a2
3a
4)
(a2
3a
4) ＝
2
2a
8
即当 a＝ 0（属于 -2≤ a≤2）时， PQ 的最大值为 8。
12．已知 a ， b 都是正整数，试问关于 x 的方程 x 2 abx 1 ( a b) 2
把它们求出来；如果没有，请给出证明．
-4
Q
-6
B
-8
-10
0 是否有两个整数解？如果有，请
但不多于 8 个，红球不少于 2 个，黑球不多于 3 个，那么上述取法的种数是（
）
（ A ）14
（ B） 16
（C） 18
（D ）20
解：选（ B ）。只用考虑红球与黑球各有 4 种选择：红球（ 2,3,4,5 ），黑球（ 0,1,2,3 ）共 4× 4＝ 16 种
3．已知 a 、 b 、 c 是三个互不相等的实数，且三个关于 x 的一元二次方程 ax 2 bx c 0 ，
综上，存在正整数 a＝ 1， b=3 或 a=3， b=1，使得
方程 x 2 abx 1 (a b) 0 有两个整数解为 x1 1, x2 2 。 2
DE
13．如图，点 E， F 分别在四边形 ABCD 的边 AD ， BC 的延长线上，且满足
初中数学竞赛“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题（含答案）
初中数学竞赛“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题（含答案）中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．⽤圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交.⼀、选择题（共5⼩题，每⼩题6分，满分30分. 以下每道⼩题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有⼀个选项是正确的. 请将正确选项的代号填⼊题后的括号⾥. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满⾜ 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（）．（A ）7 （B ）（C ）（D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得212184x +==， 21122y --+==，所以444y x +=22233y x++- 2226y x=-+=7． 2．把⼀枚六个⾯编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正⽅体骰⼦先后投掷2次，若两个正⾯朝上的编号分别为m ，n ，则⼆次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）12（第3题）【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个⼆次函数. 由题意知＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满⾜条件的m n ，有17对. 故1736P =.3．有两个同⼼圆，⼤圆周上有4个不同的点，⼩圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条（B ） 8条（C ）10条（D ）12条【答】（B ）解：如图，⼤圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；⼩圆周上的两个点E ，F 中，⾄少有⼀个不是四边形ABCD 的对⾓线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，⾄少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从⽽这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所⽰放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满⾜条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的⼀条弦，且1AB a =<．以AB 为⼀边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的⼀点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）．（A（B ）1 （C（D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ．设D α∠=，则120ECA EAC α∠=?-=∠．⼜因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=?+?- 120α=?-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==．（第4题）5．将1，2，3，4，5这五个数字排成⼀排，最后⼀个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第⼀个数整除，那么满⾜要求的排法有（）．（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的⼀个满⾜要求的排列．⾸先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件⽭盾．⼜如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明⼀个偶数后⾯⼀定要接两个或两个以上的奇数，除⾮接的这个奇数是最后⼀个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满⾜条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．⼆、填空题（共5⼩题，每⼩题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义⼀种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的⽅程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满⾜条件的实数a 的取值范围是．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠=+-+>?，，解得，0a >，或1a <-．7．⼩王沿街匀速⾏⾛，发现每隔6分钟从背后驶过⼀辆18路公交车，每隔3分钟从迎⾯驶来⼀辆18路公交车．假设每辆18路公交车⾏驶速度相同，⽽且18路公交车总站每隔固定时间发⼀辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x ⽶/分，⼩王⾏⾛的速度是y ⽶/分，同向⾏驶的相邻两车的间距为s ⽶．每隔6分钟从背后开过⼀辆18路公交车，则s y x =-66．①每隔3分钟从迎⾯驶来⼀辆18路公交车，则s y x =+33．②由①，②可得 x s 4=，所以4=xs．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．⼜//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==．因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆⼼I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为．【答】163．解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ，BC 边上的（第8题）（第8题答案）⾼为a h ，则11()22a ABC ah S abc r ==++△，所以a r ah a b c=++．因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成⽐例，因此a a h r DEh BC-=，所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=?=-=-++ ()a b c a b c +=++，故 879168793DE ?+==++（）．10．关于x ，y 的⽅程22208()x y x y +=-的所有正整数解为．【答】481603232.x x y y ====??，，，解：因为208是4的倍数，偶数的平⽅数除以4所得的余数为0，奇数的平⽅数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213?，（第9题答案）其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=?-+≤2222131511?-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进⽽2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从⽽13s -＝7．于是62044s s t t ====??，，；，因此 481603232.x x y y ====??，，，三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．在直⾓坐标系xOy 中，⼀次函数b kx y +=0k ≠（）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，且使得△OAB 的⾯积值等于3OA OB ++．（1）⽤b 表⽰k ；（2）求△OAB ⾯积的最⼩值．解：（1）令0=x ，得0y b b =>，；令0=y ，得00bx k k=-><，．所以A ，B 两点的坐标分别为0)(0)b AB b k -（，，，，于是，△OAB 的⾯积为 )(21kbb S -?=．由题意，有3)(21++-=-?b kbk b b ，解得 )3(222+-=b b b k ，2b >．……………… 5分（2）由（1）知21(3)(2)7(2)10()222b b b b b S b k b b +-+-+=?-==--21027)72b b =-++=++-≥1027+，当且仅当1022b b -=-时，有S =102+=b ，1-=k 时，不等式中的等号成⽴．所以，△OAB ⾯积的最⼩值为1027+． ……………… 15分12．是否存在质数p ，q ，使得关于x 的⼀元⼆次⽅程20px qx p -+=有有理数根？解：设⽅程有有理数根，则判别式为平⽅数．令2224q p n ?=-=，其中n 是⼀个⾮负整数．则2()()4q n q n p -+=．……………… 5分由于1≤q n -≤q +n ，且q n -与q n +同奇偶，故同为偶数．因此，有如下⼏种可能情形：222q n q n p -=??+=?，， 24q n q n p -=??+=?，， 4q n p q n p -=??+=?，， 22q n p q n p -=??+=?，， 24.q n p q n ?-=?+=?，消去n ，解得22251222222p p p q p q q q p q =+=+===+，，，，．……………… 10分对于第1，3种情形，2p =，从⽽q ＝5；对于第2，5种情形，2p =，从⽽q ＝4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q 是合数（不合题意，舍去）．⼜当2p =，q ＝5时，⽅程为22520x x -+=，它的根为12122x x ==，，它们都是有理数．综上所述，存在满⾜题设的质数． ……………… 15分13．如图，△ABC 的三边长B C aC Ab A ===，，，a b c ，，都是整数，且a b ，的最⼤公约数为2．点G 和点I 分别为△ABC 的重⼼和内⼼，且90GIC ∠=?．求△ABC 的周长．解：如图，延长GI ，与边BC CA ，分别交于点P Q ，．设重⼼G 在边BC CA ，上的投影分别为E F ，，△ABC 的内切圆的半径为r ，BC CA ，边上的⾼的长分别为a b h h ，，易知CP ＝CQ ，由PQC GPC GQC S S S =+△△△，可得 ()123a b r GE GF h h =+=+，即 222123A B C A B C A B CS S Sa b c a b=?+ ?++??△△△，从⽽可得 6aba b c a b++=+． ……………… 10分因为△ABC 的重⼼G 和内⼼I 不重合，所以，△ABC 不是正三⾓形，且b a ≠，否则，2a b ==，可得2c =，⽭盾．不妨假设a b >，由于()2a b =，，设()1111221a a b b a b ===，，，，于是有1111126a b ab a b a b =++为整数，所以有11()12a b +，即()24a b +．于是只有1410a b ==，时，可得11c =，满⾜条件．因此有35a b c ++=．所以，△ABC 的周长为35．……………… 15分（第13题）（第13题答案）。
2018年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题26
一元二次次方程的应用1.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．2.某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5 000元，少租出商铺1间．（假设年租金的增加额均为5000元的整数倍）该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元．（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金-各种费用）为275万元？（3）275万元是否为最大年收益？若是，说明理由；若不是，请求出当每间的年租金定为多少万元时，达到最大年收益，最大是多少？3、如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为xm，面积为ym2．（1）求y与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？（3）能围成比63m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．4、某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个．商场想了两个方案来增加利润：方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；方案二：售价不变，但发资料做广告．已知这种商品每月的广告费用m（千元）与销售量倍数p关系为p=-0.4m2+2m；试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！5.某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金-各种费用）为275万元?6.如图，某海军基地位于A处，其正南方向200海里处有一个重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C．小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．（1）小岛D 和小岛F 相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船速度的2倍，军舰在由B 到C 航行的途中与补给船相遇于E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里， 6≈2.45）7国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x （套）与每套的售价1y （万元）之间满足关系式x y 21701-=，月产量x （套）与生产总成本2y （万元）存在如图所示的函数关系.（1）直接写出．．．．2y 与x 之间的函数关系式；（2）求月产量x 的范围；（3）当月产量x （套）为多少时，这种设备的月利润为1750万元？8.如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠A ＝90°，AB ＝12，BC ＝21，AD=16.动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度向点C 运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t（秒）.（1）设△DPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（2）当t 为何值时，四边形PCDQ 是平行四边形？（3）当t 为何值时，△DPQ 为等腰三角形?9.我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．（利润=销售总额-收购成本-各种费用）（1）设x 天后每千克该野生菌的市场价格为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式．（2）若存放x 天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P 元，试写出P 与x 之间的函数关系式．（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W 元？10.如图所示，在矩形OABC 在第一象限，且B(30,18).动点P 从点O 出发，沿O-A-B 的方向以每秒2个单位长的速度向点B 运动，动点Q 同时从点O 出发，沿O-C-B 的方向以每秒1个单位长的速度向点B 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t （秒）.（1）当t=________时,PQ 将矩形OABC 面积等分.（2）当0<t<15时,t 为何值，△BPQ 为直角三角形?（3）当t>18时,t 为何值，△OPQ 为矩形OABC 面积的2713?11.为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过x 吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过x 吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨 x100元交费．（1）该单元居民8月份用水80吨，超过了规定的x 吨，则超过部分应交水费 ______________ 元（用含x 的式子表示）．（2）下表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况：根据上表的数据，求该水厂规定的x吨是多少？12.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低x元．（1）填表：（不需化简）（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？13.在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．14.图中折线（AB ∥CD ∥x 轴）反映了某种规格土楼模型的单价y （元）与购买数量x （个）之间的函数关系．（1）求当10≤x ≤20时，y 与x 的函数关系式；（2）已知某旅游团购买该种规格的土楼模型总金额为2625元，问该旅游团共购买这种土楼模型多少个？（总金额=数量×单价）15.某文具零售店老板到批发市场选购A 、B 两种文具，批发价分别为12元/件、8元/件；若该店零售的A 、B 两种文具的日销售量y （件）与零售价x （元/件）均成一次函数关系（如图）（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）该店老板计划这次选购A 、B 两种文具的数量共100件，所花资金不超过1000元，并希望全部售完后获利不低于296元，若按日销售4件和B 种文具每件可获利2元计算，他这次有哪几种进货方案？ （3）若A 种文具的零售价比B 种文具的零售价高2元/件，求这两种文具每天的销售利润W（元）与A 种文具零售价x （元/件）之间的函数关系式。
2019-2020年初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题及答案
MCB2019-2020年初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题及答案2468101010111111170512[()()()()()]()2222221024a =+⨯++++-=6．有10条不同的直线n n b x k y +=（n = 1，2，3，…，10），其中369k k k ==，47100b b b ===，则这10条直线的交点个数最多有（ ）（A ）45个 （B ）40个 （C ）39个 （D ）31个 解：答案：【B 】如图，满足已知条件的6条直线至多有10这6条直线最多有6个交点，再增加一条直线与前7交点，……一直增加到第10条直线与前9条直线最多有9个 交点，所以这10条直线的交点个数最多有：10+6+7+8+9=40(个二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．在平行四边形ABCD 的边AB 和AD 上分别取点E 和F ， 使13AE AB =，14AF AD =，连结EF 交对角线AC 于G ，则AC 的值是 ． 解：答案：17如图，1//33AE AF AB CD DM AE DM FD ⇒==⇒= 113367AG AE AE AE AG GC CM CD DM AE AE AC ∴====⇒=++ 8的圆过一个半径为2的圆的圆心， 则图中阴影部分的面积为 ． 解：答案：2连结OO 1， AB ，则有OO 1⊥AB 于点P ，在1Rt APO Rt APO ∆∆和中，222222222111112)AP AO OP O A O P O P O P O P =-=-⇒-=-⇒即点O 1在AB 上与点P 重合，易知AB 是圆O 1的直径，三角形ABO 是直角三角形. 所以222111=(22)2242S ππ⨯⨯-⨯⨯-⨯=阴影 （第8题）x ，y ，zz y x ++11，x z y ++11,yx z ++11 （第10题）9．已知y =26x mx +-，当1≤m ≤3时，y ＜0恒成立，那么实数x 的取值范围是． 解：答案：3x -<<由26<0x mx +-，22mmx +-<<=解得 -当1≤m ≤3时，1=3 22m +-则 -的最大值为-；所以，当1≤m ≤3时，y ＜0恒成立，即260x mx +-<恒成立时， x 的取值范围是332x -<<. 10．如图是一个数的转换器，每次输入3个不为零的数，经转换器转换后输出3个新数，规律如下：当输入数分别为x ，y ，z 时，对应输出的新数依次为z y x ++11，x z y ++11，yx z ++11．例如，输入 1，2，3，则输出56，34，23. 那么当输出的新数为31，41，51时，输入的3个数依次为 ．解：答案：11111132，， 2221112=333()1113=4()3(0)425()26111=5x y z k x k x y z xy xz x y z xy k xy yz x y z yz k y k k y z x yz xz x y z xz k z k z x y ++=⎧⎧+=⎪⎪+⎪+=++=⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪+⇒+=++−−−−→=⇒=>⎨⎨⎨⎨+⎪⎪⎪⎪+=++=⎩⎩⎪⎪=+⎪⎪⎩+⎩令1111,,1132k x y z x y z ⇒=++=++=++⇒=== 11．10张卡片上分别写有0到9这10个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相邻两张卡片位置的方法对它们进行操作，规则如下：当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换．若规定将相邻两张卡片交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何，至多经过 次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列．解：答案：45记2n ≥张卡片至多经过n a 次操作后，能将它们按从小到大顺序排列，则232431091;2;3;............9.a a a a a a a ==+=+=+ 所以10123.....945a =++++=12．设整数a 使得关于x 的一元二次方程255261430x ax a -+-=的两个根都是整数，则a 的值是 ．解：答案：18. 由题意，得222255202860(552)156()a a a k k N ∆=-+=-+=∈即22(552)156[(552)][(552)]782262ka k a k a --=⇒+-⨯--=⨯=⨯因为[(552)][(552)]ka k a +---和具有相同的奇偶性且[(552)][(552)]2k a k a k +---=≥+0故(552)=78(552)=26(552)=2(552)=6(552)=2(552)=6(552)=78(552)=26k a k a k a k a k a k a k a k a +-+-+-+-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨--------⎩⎩⎩⎩或或或 解得，只有=40=18k a ，符合题意。
最新(XXXX全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题精品)-
最新（XXXX全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题精品）- 评审人员应注意1992年全国初中数学竞赛(浙江赛区)第二轮第题(xxxx年4月2日下午1: 00-3: 00)。
评审员应检查总分。
1.用圆珠笔或钢笔回答问题。
2。
写答案时，不要超过约束线。
3.不要交论文初稿。
1。
选择题(共6题，每题5分，满分30分)。
下面的每一项给出了四个选项，代号分别为A、B、C和d。
其中只有一个选项是正确的。
请在问题后的括号内填写正确选项的代码。
如果你不填写，多填或填错，你将得零分。
)的最大值是()(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 2。
如图所示，矩形ABCD可分为七个形状和大小相同的小矩形。
如果小矩形的面积是3，矩形ABCD的周长是()(a) 17 (b) 18 (c) 19 (d) 173 3。
设置0 (2号)cad评分员1。
5个不同自然数的平均数是12，中间数是17，最大值是1(1？x)，当1≤x≤2时，最大值为()k111(A)k (B)2k？(丙)(丁)k？kkk其中矩形的数量是()(A)10(B)14(C)15(D)304。
钟面上的12个数字1到12将圆周分成12个相等的部分，以任何4个相等的部分作为顶点形成四边形，5。
在平面直角坐标系中，如果横坐标和纵坐标都是整数的点叫做积分点，那么函数y？图像上的积分点数是()(A)2(B)4(C)6(D)8x？122x？16。
用一个标有1g、2g、6g和26g的砝码在无刻度天平上称重。
如果重量可以放在天平的两端，那么可以称量的不同克数(正整数的重量)是()(甲)15种(乙)23种(丙)28种(丁)33种2，填空(共6项，每项6分，满分36分)是得分7的人。
三个实数从小到大排列为x1、x2、x3。
如果两个数的和分别是14、17、33，x2 = 0 .8。
如图所示，AB是半≦O的直径，C是半圆弧的三分点，穿过两点b和C的半≦O的切线与点p相交。
如果AB的长度为2a，pa为0. 9。
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2018年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1． 5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（ ）（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）24 2． 如图，长方形ABCD 恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，如果小长方形的面积是3，则长方形ABCD 的周长是（ ）（A ）17 （B ）18 （C ）19 （D ）317 3．设0＜k ＜1，关于x 的一次函数)1(1x kkx y -+=，当1≤x ≤2时的最大值是（ ） （A ）k （B ）k k 12- （C ）k1 （D ）k k 1+4．钟面上的1~12这12个数字把圆周12等分，以其中任意4个等分点为顶点作四边形，其中矩形的个数是（ ）（A ）10个 （B ）14个 （C ）15个 （D ）30个5．平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数1212-+=x x y 的图象上整点的个数是 （ ）（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个ADBC（第2题）6．用标有1克，2克，6克，26克的法码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置法码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）的种数共有（ ） （A ）15种 （B ）23种 （C ）28种 （D ）33种二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．三个实数按从小到大排列为1x ，2x ，3x ，把其中每两个数作和得到三个数分别是14，17，33，则2x = ．8．如图，AB 为半⊙O 的直径，C 为半圆弧的三等分点，过B ，C 两点的半⊙O 的切线交于点P ，若AB 的长是2a ，则P A 的长是 ．9．函数1422-+=x x y 的最小值是 ．10．在正方形ABCD 中，点E 是BC 上的一定点，且BE =10，EC =14，点P 是BD 上的一动点，则PE +PC 的最小值是 ．11．某商店出售A 、B 、C 三种生日贺卡，已知A 种贺卡每张0.5元，B 种贺卡每张1元，C 种贺卡每张2.5元．营业员统计3月份的经营情况如下：三种贺卡共售出150张，营业收入合计180元．则该商店3月份售出的C 种贺卡至少有 张．12．有一个英文单词由5个字母组成，如果将26个英文字母a ，b ，c ，…，y ，z 按顺序依次对应0到25这26个整数，那么这个单词中的5个字母对应的整数按从左到右的顺序分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5．已知x 1+3x 2，4x 2，x 3+2x 4,，5x 4，6x 4+x 5 除以26所得的余数分别为15，6，20，9，9．则该英文单词是 ．DE（第10题）三、解答题（共4小题，满分54分）某列从上海到温州的火车，包括起始和终点在内共有6个停靠站，将这6个站按火车到达的先后次序，依次记为A，B，C，D，E，F．小张乘坐这趟列车从上海出发去温州，火车驶离上海时，小张发现他乘坐的车厢里连他自己在内共19名旅客，这些旅客小张都认识，其中有些是浙江人，其他的都是上海人．一路上小张观测到下列情况：①除了终点站，在每一站，当火车到达时这节车厢里浙江人的人数与下车旅客的人数相同，且这次行程中没有新的旅客进入这节车厢；②当火车离开车站B时，车厢里有12名旅客；当火车离开车站D时，还有7名旅客在这一车厢里；在F站下车的旅客包括小张在内共5人．（1）火车驶离上海时，小张乘坐的这节车厢里共有多少浙江人？多少上海人？（2）在B到C、C到D、D到E的旅途中，分别有多少浙江人？多少上海人？BP与MN、AN分别交于E、F，（1）求证：BF=2FP；（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．BAC MNPEF15．（本题满分15分）设,,,321x x x …2006,x 是整数，且满足下列条件： ① -1≤n x ≤2，n =1，2，3，…，2018； ②+++321x x x …2002006=+x ；③+++232221x x x (20062)2006=+x ．求 +++333231x x x (32006)x + 的最小值和最大值．一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃：①能从任意一点（a，b），跳到点（2a，b）或（a，2b）；②对于点（a，b），如果a＞b，则能从（a，b）跳到（a－b，b）；如果a＜b，则能从（a，b）跳到（a，b－a）．例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）．请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由．（1）（3,5）；（２）（12，60）；（3）（200，5）；（4）（200，6）．2018年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：D解：设这5个自然数从小到大排列依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 3=17．当这5个自然数中最大一个x 5的可能值最大时，其他3个自然数必取最小的可能值，x 1=0，x 2=1，x 4=18，此时x 5=24． 2．答案：C解：设小长方形的长、宽分别为x ，y ，则3 x = 4 y ，y x 34=． ∴334=⋅y y ．23=y ，x =2．∴ 长方形ABCD 的周长为19． 3．答案：A 解：k x k k y 1)1(+-=，∵ 0＜k ＜1，∴ kk k k k )1)(1(1-+=-＜0，该一次函数的值随x 的增大而减小，当1≤x ≤2时，最大值为k kk k =+-11．4．答案：C解：连结圆周上12个等分点，得6条直径，以其中任意两条为对角线的四边形即为矩形，共15个矩形． 5．答案：C解：将函数表达式变形，得122+=-x y xy ，24224=--x y xy ，25)12)(12(=--x y ．∵ x ，y 都是整数，∴ )12(),12(--x y 也是整数．∴ ⎩⎨⎧=-=-2512,112x y 或⎩⎨⎧-=--=-2512,112x y 或 ⎩⎨⎧=-=-112,2512x y 或 ⎩⎨⎧-=--=-112,2512x y 或 ⎩⎨⎧=-=-512,512x y 或⎩⎨⎧-=--=-.512,512x y 解得整点为（13，1），（-12，0），（1，13），（0，-12），（3，3），（-2，-2）． 6．答案：C解：（1）当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有1克，2克，6克，26克；（2）当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有3克，7克，8克，27克， 28克，32克；（3）当天平的一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有9克，29克，33克，34克；（4）当天平的一端放4个砝码时，可以称量重物的克数有35克．（5）当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以称量重物的克数有1克，4克，5克，20克，24克，25克；（6）当天平的一端放1个砝码，另一端放2个砝码时，可以称量重物的克数有3克，5克，7克，18克，19克，21克，22克，23克，25克，27克，30克，31克； （7）当天平的一端放1个砝码，另一端放3个砝码时，可以称量重物的克数有17 克，23克，31克，33克；（8）当天平的一端放2个砝码，另一端也放2个砝码时，可以称量重物的克数有19克，21克，29克．去掉重复的克数后，共有28种．二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．答案：15解： 1421=+x x ，1731=+x x ，3332=+x x ， ∴ 32321=++x x x ，152=x ． 8．答案：a 7解：连结OC ，OP ，则∠OCP =90°，∠COP =60°，OC = a∴ PC =a 3，PB =PC =a 3，P A =a 7． 9．答案：1-解：y =3)1(22-+x =⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+.0,3)1(2,0,3)1(222x x x x 其图象如图，由图象可知，当x = 0时，y 最小为 -1． 10．答案：26解：连结AP ，则PE +PC =PE +P A ，当点P 在AE 上时，其值最小，最小值为26102422=+．11．答案：20解：设A 、B 、C 三种贺卡售出的张数分别为x ，y ，z ，则 ⎩⎨⎧=++=++.1805.25.0,150z y x z y x消去y 得，305.15.0-=z x ．由0305.1≥-z ，得20≥z ．12．答案：right ，evght（第9题）解：由题意得，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=+=++=+=+.9266,9265,20262,6264,152635544434322121k x x k x k x x k x k x x （54321,,,,k k k k k 为非负整数）．由0≤54321,,,,x x x x x ≤25，可分析得出，123454,17,8,216,7,19.x x x x x =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩或或，三、解答题（共4题，满分54分） 13．(12分)解：（1）由条件得，在B 站有7人下车，∴ 19名旅客中有7位浙江人，即火车驶离上海时，车厢里有7个浙江人，12个上海人． ……………2分 （2）在E 站有2人下车，即在D —E 途中有2个浙江人，5个上海人， ……………2分 从而C —D 途中至少有2位浙江人，在D 站至少有2人下车， ……………2分 ∴ C 站后车厢里至少有9个人． ∵ 火车离开B 站时车厢里有12人，离开D 站时有7人， ∴ 在C 站至少有3人下车，即经过C 站后车厢里至多9人，故经过C 站后车厢里有9人，即在C 站有3人下车． ……………2分 ∴ B —C 途中车厢里还有3个浙江人，9个上海人． ……………2分 在D 站有2人下车，C —D 途中车厢里还有2个浙江人，7个上海人．……………2分14．(12分)解：（1）如图1，连结PN ，则PN ∥AB ，且 AB PN 21=． ……………………2分∴ △ABF ∽△NPF ，2===PNABFN AF FP BF ． ∴ BF =2FP ． ……………………2分 （2）如图2，取AF 的中点G ，连结MG ，则 MG ∥EF ，AG =GF =FN ． ……………………2分∴ S △NEF =41S △MNG ……………………2分 BACM N PE F（图1） A MPFG=41×32S △AMN ……………………2分 =41×32×41S △ABC =241S ． ……………2分15．(15分)解：设,,,321x x x …2006,x 中有r 个－1、s 个1、t 个2，则⎩⎨⎧=++=++-.20064,2002t s r t s r ………………5分 两式相加，得s ＋3t ＝1103，故0367t ≤≤． ………………2分∵ +++333231x x x …t s r x 832006++-=+ ………………2分=2006+t ． ………………2分∴ 200≤+++333231x x x (32006)x +≤6×367+200=2402． 当0,1103,903t s r ===时，+++333231x x x ...32006x +取最小值200，.........2分 当367,2,536t s r ===时，+++333231x x x (32006)x +取最大值2402．………2分 16．(15分)解：（1）能到达点（3，5）和点（200，6）． ………………2分从（1，1）出发到（3，5）的路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2）→（3，4）→（3，8）→（3，5）． ………………3分 从（1，1）出发到（200，6）的路径为：（1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6） →（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6） →（160，6）→（320，6）→（前面的数反复减20次6）→（200，6）．……3分 （2）不能到达点（12，60）和（200，5）． ………………2分 理由如下：∵ a 和b 的公共奇约数=a 和2b 的公共奇约数=2a 和b 的公共奇约数， ∴ 由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数．∵ 如果a ＞b ，a 和b 的最大公约数=（a －b ）和b 的最大公约数， 如果a ＜b ，a 和b 的最大公约数=（b －a ）和b 的最大公约数， ∴ 由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数．从而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数．…………3分 ∵ 1和1的公共奇约数为1，12和60的公共奇约数为3，200和5的公共奇约数为5．………………2分∴从（1,1）出发不可能到达给定点（12，60）和（200，5）．。