2016年贵州省高中数学竞赛
2016全国高中数学联赛试题及评分标准
2016全国高中数学联赛试题及评分标准9月将至，开学的同时，每年一年一度的全国高中数学联赛也即将来了，同学们可知道高中联赛的前世今生吗？从1956年起，在华罗庚、苏步青等老一辈数学家的倡导下，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省市都开展了数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛。
1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区都举办了中学数学竞赛。
1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。
竞赛分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约200名学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营”(每年元月)。
各省的参赛名额由3人到8人不等，视该省当年的联赛考试成绩而定，且对于承办方省份有一定额外的优惠。
在CMO中成绩优异的60名左右的学生可以进入国家集训队。
经过集训队的选拔，将有6名表现最顶尖的选手进入中国国家代表队，参加国际数学奥林匹克(IMO)。
为了促进拔尖人才的尽快成长，教育部规定：在高中阶段获得全国数学联赛省、市、自治区赛区一等奖者便获得保送重点大学的资格，对于没有保送者在高考中加分，加分情况根据各省市政策而定，有些省、市、自治区保留了竞赛获奖者高考加5分到20分不等，而部分省级行政区已经取消了竞赛加分。
对二、三等奖获得者，各省、市、自治区又出台了不同的政策，其中包括自主招生资格等优惠录取政策。
为严格标准，中国数学会每年限定一等奖名额1000名左右，并划分到各省、市、自治区。
各省、市、自治区在上报一等奖候选人名单的同时，还要交上他们的试卷，最终由中国数学会对其试卷审核后确定获奖名单。
☆ 试题模式自2010年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。
专题34不等式第三缉(原卷版)-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题34不等式第三缉1．【2017年浙江预赛】设在中有两个实数根,则的取值范围为.f (x )=x 2+ax +b [0,1]a 2‒2b 2．【2017年江苏预赛】设是实数,则的最大值是.x 、y 2x +2y2x 4+4y 4+93．【2016年陕西预赛】设m 、n 均为正整数，且满足24m =n 4.则m 的最小值为________.4．【2016年陕西预赛】设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，且f (x )+g (x )=2x .若对x ∈[1，2]，不等式af (x )+g (2x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围是_______.5．【2016年陕西预赛】设a ∈R .则函数f (x )=|2x -1|+|3x -2|+|4x -3|+|5x -4|的最小值为_______.6．【2016年福建预赛】设f (x )为定义在R 上的函数，若f (0)=1008，且对任意的x ∈R ，满足f (x +4)-f (x )≤2(x +1)，f (x +12)-f (x )≥6(x +5).则 _________.f(2016)2016=7．【2016年福建预赛】当x 、y 、z 为正数时，的最大值为________.4xz +yz x 2+y 2+z 28．【2016年新疆预赛】已知,且.则的最小值为______.x 、y >0x +2y =2x 22y +4y 2x 9．【2016年山西预赛】设n 为正整数，使介于之间．则n ＝__________.3n +3n 与n +4n +110．【2016年全国】设实数a 满足.则a 的取值范围是________.a <9a 3‒11a <|a |11．【2016年吉林预赛】设实数x 、y 满足则2x-y 的最大值为________.{x ‒y +1≥0,y +1≥0,x +y +1≤0.12．【2016年吉林预赛】设实数x 、y 满足则2x-y 的最大值为________.{x ‒y +1≥0,y +1≥0,x +y +1≤0.13．【2016年浙江预赛】已知为互不相等的整数。
2016年全国高中数学联赛获奖名单(江西省赛区)
团体总分名次第一名第二名第三名第四名第五名第六名江西师大附中江西省高安市第二中学 江西省余江县第一中学 景德镇二中 江西省樟树中学吉安一中 江西省鹰潭市第一中学 江西师大附中 江西省鹰潭市第一中学 南昌大学附属中学 吉安一中吉安一中学校姓名年级总分学校姓名年级总分江西师大附中张继霖261分江西省高安市第二中学彭展翔219分江西省余江县第一中学黄沛铖214分景德镇二中陈自元212分江西省樟树中学付伟中210分吉安一中刘鸿骏210分江西省鹰潭市第一中学胡亚建210分江西师大附中符文鑫198分江西省鹰潭市第一中学谢宇辉198分南昌大学附属中学赵昀昇198分吉安一中肖海尧198分吉安一中钟 涵192分九江第一中学李祺璇191分江西省余江县第一中学杨 林高二190分江西省余江县第一中学朱 瑞189分吉安一中温雅琴187分新干中学甘轶凡184分江西师大附中张宇熙177分临川一中刘猛辉174分南昌二中赵思泽鹏173分九江第一中学徐 航173分吉安白鹭洲中学姚逸麟172分九江第一中学曹 瑞172分临川一中谭轩逸172分南昌县莲塘一中贺龙坤171分吉安一中罗中沛171分景德镇一中余枫云169分南昌二中虞家伟高二163分宜丰中学袁征仕163分婺源天佑中学吴子贤163分江西师大附中古俊龙高二160分南昌二中熊志尧160分江西省鹰潭市第一中学刘轩舟160分九江第一中学闵方远159分吉安一中刘祥辉159分临川一中谭泽昊159分临川二中朱志向158分南昌县莲塘一中魏恒达158分肖海尧钟 涵付伟中 刘鸿骏 胡亚建 符文鑫 谢宇辉 赵昀昇临川一中934分黄沛铖 陈自元 张继霖 彭展翔九江市第一中学982分鹰潭市第一中学942分江西师大附中1039分余江一中986分2016年全国高中数学联赛获奖名单(江西赛区)一 等 奖（53名）4人3人5人3人4人参加冬令营名单（代表江西省参加国家决赛）团 体 总 分 奖吉安一中1117分学校团体总分一等奖人数7人玉山一中曾政浩158分江西省宁都中学刘 浩157分景德镇一中甘擎天157分新建二中涂 勋157分南昌二中付逸芃156分吉安一中刘函宇156分景德镇二中钟子堪155分江西省高安中学卢 肇155分江西省会昌中学李 思154分萍乡市湘东中学欧怡纯152分景德镇一中吴欣睿高二152分临川一中吴律辉152分江西省丰城中学西校区陈 明151分九江第一中学王鼎南150分萍乡中学段志宇150分二 等 奖（253名）江西省余江县第一中学胡林庆149分景德镇一中蔡丹杨149分江西省鹰潭市第一中学吴月锋147分新建二中胡 琦高二146分新建二中李翰冰高二144分南昌县莲塘一中张泽华高一144分宜丰中学徐 耿142分新余市第一中学黄含驰141分宜春市第一中学彭星嘉141分吉安白鹭洲中学罗昱辰141分吉安一中李龙旭141分临川一中占韶伟139分萍乡中学潘武琪139分萍乡中学刘定君139分赣县中学肖岸星138分萍乡中学杨 鑫高二138分临川一中李杰高二138分江西省宁都中学李 翀137分九江第一中学朱能杰高二137分南昌大学附属中学易光濮137分南昌十中郑翰浓136分新建二中徐永月136分吉安白鹭洲中学李嘉享136分新建二中高越高二136分赣县第三中学谢江平135分江西省高安中学黄凯135分景德镇二中胡晓海135分萍乡中学段济屿134分江西省丰城中学西校区吴天泽133分玉山一中叶 凯132分浮梁一中李智杰高二132分兴国平川中学谢中林131分景德镇一中占钰霞130分景德镇二中杨沈昊高二130分江西省高安市第二中学熊凡130分景德镇一中邬曾凯130分江西省信丰中学王文辉129分景德镇二中朱刚基129分临川一中周超129分江西省高安中学王书恺129分江西省南康中学刘庆鑫128分江西省宜春中学彭宇帆128分上饶中学杨泽澄127分临川一中徐昱晗127分南昌县莲塘一中姜宇荣127分江西省余江县第一中学黄清126分临川二中徐涛126分吉安白鹭洲中学罗成龙126分吉安一中周曦琨125分吉安白鹭洲中学左旭润124分丰城市第九中学罗霄航124分宜春市第一中学龙文煊124分婺源天佑中学詹延苇123分临川一中吴润东123分江西师大附中王文杰高二123分莲花中学廖志文123分新干中学李豪123分新干中学桂昱鹏123分临川一中陈俭静123分修水县琴海学校熊水斌122分江西省鹰潭市第一中学陈雨涛高二122分江西省信丰中学陈翔122分新干中学邹恒星122分江西省宜春中学杨子江122分江西省丰城中学西校区罗雯鑫122分新建二中胡智龙122分景德镇一中傅文栩122分江西省高安市第二中学敖宇122分景德镇一中吴承君121分上栗中学唐 锋121分新干中学陈林佺121分江西师大附中郑杰耀120分江西师大附中俞彦恒120分吉安一中邓迅高二120分赣州中学钟远哲119分新建二中张文杰119分江西省高安中学晏寓帅高二119分临川一中聂浩坤119分南昌县莲塘一中罗建119分江西省余江县第一中学陈波高二118分上饶中学余祺118分江西省高安中学卢麒丞118分景德镇一中段文龙高二118分南昌县莲塘一中刘宇浩高一117分江西省丰城中学西校区蒋中杰117分江西省寻乌中学温新泉116分景德镇二中王俊杰高二116分玉山一中毛晓宇高二116分永丰中学刘紫荆116分江西省大余中学吴肇坚115分新建二中喻圣豪115分江西师大附中陈子楷高二115分赣州市第三中学曾昭伟114分景德镇一中徐欣仪114分丰城市第九中学熊振涛114分新建二中刘良兴高一114分新干中学胡佳琪高二114分赣州中学张海113分江西省于都中学黄杨斌113分新建二中熊辉高一113分江西师大附中余政嵘高二112分上饶中学余佩芸112分新余市第四中学肖鸿禹112分南昌三中姜勇刚112分吉安白鹭洲中学谢伟111分景德镇二中万盛华111分南昌县莲塘一中邓浚涛高一111分江西师大附中邓峻恺111分江西省高安市第二中学梁钦宇高二110分景德镇一中黄泰来110分九江第一中学胡世龙高二110分江西省余江县第一中学夏怡新109分江西省宁都中学曾 晋109分江西省樟树中学肖赫109分南昌外国语学校赖蒽109分横峰中学张学梁高二108分新余市第一中学徐心雨108分吉安白鹭洲中学王湛丰108分吉安一中刘悦108分景德镇二中刘祺睿108分南昌二中董实高二108分江西省信丰中学郭辉忠107分江西省信丰中学赖铭睿106分南昌县莲塘一中章林琪高二106分江西师大附中熊杰106分余干新时代学校刘慧彤106分江西师大附中胡世超高二106分黎川二中冯天夏高二106分江西省宁都中学钟钰彬105分江西省鹰潭市第一中学叶思民105分江西省樟树中学雷苏105分万年中学胡骏飞105分玉山一中闫 弘高二104分南昌大学附属中学罗纳川104分萍乡中学李梓欣104分吉安白鹭洲中学李锐涵104分景德镇一中胡婧瑶104分景德镇一中程鹏飞104分江西省鹰潭市第一中学祝文婧103分景德镇一中张育鸣103分九江第一中学余鹏程高二103分萍乡市湘东中学徐振豪高二103分临川一中王步其103分新余市第四中学聂翔宇高二103分南昌县莲塘一中刘龙坤103分莲花中学王 浩102分广丰中学汤方淼102分江西省樟树中学皮宇帆102分景德镇一中刘伯喧102分吉安一中匡龙昊高二102分南城一中曹一媛102分安远县第一中学叶杰祺101分九江第一中学熊毅高二101分永新任弼时中学吴智海101分丰城市第九中学邬志云101分江西省高安中学刘鑫101分临川一中刘浩捷101分安远县第一中学谢英豪100分九江第一中学周炜明高二100分玉山一中郑文军高二100分永丰中学肖珏100分芦溪中学李 勉100分景德镇一中黄明月100分江西省鹰潭市第一中学吴昭邦99分赣州中学吴雨林99分江西省石城中学刘泽霖99分吉安县立中学胡伟国99分江西省余江县第一中学庄智星高二98分江西省全南中学张耀根98分新建二中周子阳高二98分广丰中学张怡98分景德镇一中虞梓钰98分江西师大附中杨鸿宇高二98分弋阳县一中郭瑞98分江西省樟树中学范溢文98分永丰中学范慷隆98分赣县中学徐伟东97分南昌县莲塘一中徐辉97分鄱阳实验中学吴志兵97分东乡一中吴承宇97分江西省丰城中学西校区李世进97分吉安白鹭洲中学郭诗诚97分江西省石城中学张源珍96分江西省瑞金第一中学曾毅强96分景德镇一中周怡清96分余干中学宋亚豪96分景德镇二中石焱明96分临川一中饶其其96分吉安白鹭洲中学刘宇林96分东乡一中乐俊聪96分江西省万载中学何雅诗96分新余市第四中学郭郁俊高二96分上饶县中龚震96分抚州一中陈思婕96分吉安一中周少勤95分临川一中许振95分南昌二中刘涵琦95分临川二中刘超高二95分于都县第三中学吴铂涵高二94分江西省石城中学温生雄94分赣州中学刘磊94分江西省寻乌中学陈瑞94分江西省高安中学俞芷晴94分吉安一中尹梓琦高二94分抚州一中谢雨瀟高二94分永丰二中宋阳94分江西省高安中学彭子晨高二94分新余市分宜中学李佳磊94分景德镇一中蔡雯琦94分九江市同文中学张海滨93分宜丰中学刘琪93分南昌县莲塘一中刘路辉93分景德镇一中饶岩柯93分江西师大附中蔡中泽93分江西省鹰潭市第一中学俞汶佑高二92分赣县第三中学魏旺华92分江西省宁都中学刘 欣92分南昌二中周游高一92分江西省宜春中学周刚92分景德镇一中袁子健高二92分九江第一中学毛井锋92分景德镇一中李文奕92分吉安白鹭洲中学李乐成92分景德镇一中李芳菲92分江西省高安市第二中学邓文争92分景德镇一中张沛阳91分上栗中学张航祺91分萍乡市湘东中学王 瑶91分吉安一中谭钰炜91分景德镇二中刘祉进91分赣州市第三中学龙俊泽91分安远县第一中学赖浩菁90分吉安一中周益升高二90分临川二中章能90分新干中学项晓波90分萍乡市湘东中学王媛丽90分南昌二中罗煜90分江西师大附中李世哲90分江西省丰城中学西校区管健90分乐平中学陈佳濠90分江西省宁都中学阮 晖90分贵溪市第一中学何帅韬90分修水县第一中学祝启文89分景德镇一中袁姝雯89分吉安白鹭洲中学杨泽宇高二89分江西省万载中学兰宸昊89分江西省宜春中学龚海松89分上饶中学程博文89分吉安县立中学曹程伟89分赣州市第三中学严景松89分江西省高安中学彭玎陆89分临川二中黄俊卿89分江西省石城中学郑海 89分三 等 奖（298名）兴国平川中学陈庆祥88分安远县第一中学陈浩高二88分九江市同文中学钟 澳88分南昌二中游镇宇88分丰城市第九中学王文迪88分九江市同文中学孙 岩88分景德镇一中江天任高二88分鄱阳一中胡云辉88分芦溪中学贺童浩88分莲花中学贺佳源88分江西师大附中何哲88分江西省高安中学何金泓高二88分临川一中甘志强88分都昌县第一中学段训杰88分景德镇一中董泽宁88分上饶中学董昱璨88分江西师大附中曾进高二88分江西省信丰中学刘洪威88分九江市第三中学胡广鹏87分上饶中学张文韬高二87分南昌外国语学校徐世濠87分景德镇一中巫子辰高二87分景德镇二中帅哲玮87分宜春市第一中学彭星瑜87分贵溪市第一中学林少雄87分吉安一中梁良87分景德镇一中江懿文87分南昌二中黄天孝高二87分南昌二中黄潜临高二87分莲花中学陈木清87分吉安一中陈建双87分新干中学杨勋利86分婺源紫阳中学项志奇86分江西省高安中学涂佳婕86分鄱阳一中洪鹏86分铅山一中丁正86分江西省瑞金第一中学刘毓馥85分弋阳县一中杨益85分南昌县莲塘一中万子超85分新余市第一中学廖捷文高二85分江西省高安市第二中学况虎85分景德镇一中金智豪高二85分临川二中江威峰85分江西师大附中黄瑞熙高二85分江西省樟树中学龚紫恒85分景德镇二中程天倚高一85分赣州中学黄君84分赣州市第一中学杨轶涵84分江西省信丰中学温国华84分九江市同文中学张毅飞84分吉安白鹭洲中学严家琪高二84分南昌县莲塘一中刘定邦84分丰城市第九中学范志浩84分九江第一中学崔一帆高二84分吉安白鹭洲中学陈衍唯84分江西省石城中学许耀川83分江西省宁都中学刘嘉玮83分吉水中学朱 祥83分江西师大附中吴晟83分丰城市第九中学邱江83分乐安一中康矗高二83分江西省信丰中学徐秀敏82分修水县第一中学邱 添82分临川一中郑宏涛82分景德镇一中张天祎高二82分吉安白鹭洲中学肖常胜82分景德镇二中魏鑫嵘高二82分新建二中毛文超82分景德镇一中蒋嘉益高二82分景德镇一中黄卓一82分景德镇二中何弘霖82分都昌县第二中学向旭杰81分江西省高安中学黄冠群81分安远县第一中学叶书睿80分江西省鹰潭市第一中学徐文祺80分江西省鹰潭市第一中学汪展鹏高二80分上饶中学郑斐然高二80分萍乡中学杨俊逸80分江西省高安中学罗振发80分萍乡中学罗曦雨80分江西省高安中学刘杰80分吉安白鹭洲中学刘彪高二80分临川二中雷星月高二80分江西省高安中学胡森根80分景德镇一中洪文轩80分南昌二中陈文峥高二80分永丰中学陈辉80分贵溪市第一中学王洲禹79分新建二中涂晨昕79分江西省樟树中学刘佳昊高二79分贵溪市第一中学邓文钊高二79分临川二中陈印华79分江西省余江县第一中学刘宇琴高二78分江西省瑞金第一中学杨子豪78分安远县第一中学刘武微78分赣县第三中学黄海森78分吉安一中朱睿78分江西师大附中张远航78分江西省丰城中学西校区袁鸣78分瑞昌市第一中学喻嘉诚78分江西省丰城中学西校区鄢荣宽78分新建二中裘以峰78分都昌县第一中学黄纪伟78分上饶中学陈昭宇高二78分江西省丰城中学西校区曾辰林78分江西省万载中学张嘉吉77分吉安一中郭逸筱77分南城一中 吴创新77分江西省樟树中学胡家明76分江西省信丰中学袁泽政76分江西省宁都中学杨子禹76分临川一中吴吉宇高二76分江西师大附中欧阳毅恒76分吉安一中刘旻宇高二76分江西师大附中李俊良76分新余市第四中学胡天益高二76分南城二中杜文俊76分南昌十中陈瀚涛76分九江第一中学曾凡涣76分宜丰中学蔡宏炜76分南昌县莲塘一中万卓越76分江西省信丰中学李凯75分广丰中学周赫宸75分吉安一中张雯倩75分景德镇二中余加友高二75分江西省万载中学辛馨75分吉安县立中学肖达盛75分新建二中夏兆安高二75分乐平中学吴伟豪75分鄱阳一中吴建华75分吉安县立中学魏雨轩75分临川一中雷城乐阳75分万年中学黄浩男75分景德镇二中郭治轩75分南昌二中刘丹琪75分江西省余江县第一中学邓旭高二74分鄱阳一中朱凯波74分景德镇二中郑义晟高一74分吉水二中杨洋74分九江市同文中学吴启睿74分临川二中王世龙74分江西省樟树中学王鹏翔74分南昌二中李萧铭74分峡江中学黄志轩74分九江第一中学桂煜州高二74分上饶市一中管子卿74分江西省宜春中学陈俊豫74分乐安二中曾世敏74分抚州一中曾凯峰74分江西师大附中周暄晋73分吉安县立中学吴顾强73分临川一中潘豪73分德安县第一中学罗来鹏73分贵溪市第一中学陆佳俊73分萍乡中学何文禺73分于都县第二中学朱泽华高二72分江西省余江县第一中学吴龙照高二72分安远县第一中学陈昊高二72分横峰中学周邦彦72分九江第一中学张祖文高二72分临川二中王泽磊72分临川一中万梓俊72分江西省丰城中学西校区孙煜锋72分江西省宜春中学刘祎炜72分奉新县第一中学冷慧星72分临川二中傅龙辉72分江西省高安市第二中学付蓉莎72分新余市第一中学范逸飞72分江西省高安中学陈祎72分吉安县立中学曾任校72分新建一中谢成豪72分江西省大余中学钟遥71分江西省南康中学吴祖汾71分江西省石城中学曾春华71分临川一中刘中兴71分江西省高安市第二中学刘辉鹏高二71分景德镇一中凌清华71分新建二中程伟豪71分上饶县中陈英奇71分都昌县第二中学曹嘉英71分兴国平川中学杨星70分江西省龙南中学廖峻70分泰和中学朱宇婧70分景德镇一中周毅成高二70分南昌县莲塘一中张健高二70分乐安一中游正中70分上饶市一中王琪70分南昌十中彭宏睿70分余干中学李松70分抚州一中黄亚坤70分南昌大学附属中学侯思琪70分抚州一中韩志超70分永新任弼时中学陈浩70分新建一中欧阳辉勇70分江西省石城中学邓宇轩70分江西省南康中学陈扬69分玉山一中周芷若高一69分江西师大附中尹康69分吉安一中熊千韵69分江西省高安中学唐宗翔高一69分上栗中学苏国旺69分江西省高安市第二中学罗炯一69分鄱阳中学李健69分安义中学黄子明69分江西省高安中学黄荣平69分江西省丰城中学西校区丁凯威69分新干二中曾令元69分赣州市第一中学朱煜68分江西省信丰中学张世源68分江西省宁都中学温林峰68分赣州市第一中学方承强68分宜春市第一中学周轶童68分九江第一中学陶 佳68分安福中学谭永根68分江西省高安中学罗恒宇68分峡江中学黄占波68分江西省上高第二中学黄昱炜高二68分乐平中学胡路发高二68分江西省丰城中学西校区何月68分江西省丰城中学西校区陈兵华68分江西省崇义中学吴诚威67分都昌县第一中学徐梓建67分江西省丰城中学西校区徐澳67分江西省高安中学汪子铃67分南昌十中涂振峰67分上栗中学刘宇龙67分南昌县莲塘一中李楚含67分景德镇二中李 政高一67分上栗中学冯明发67分丰城市第九中学陈阳67分金溪一中陈瀚深67分江西省大余中学刘晓倩66分赣州市第三中学胡姝涵高一66分安远县第一中学郭桂芳66分江西省鹰潭市第一中学朱 帆66分赣州市第三中学张原铭高二66分江西省于都中学吴泽鹏66分江西省南康中学卢曜66分江西省大余中学刘典均66分弋阳县一中周巧燕66分南昌二中袁正66分江西省万载中学余颖洁66分江西省樟树中学余文晖66分临川二中杨勇66分南昌二中王珂66分万年中学李照寅高二66分修水一中匡查理66分南昌二中江哲昊66分南昌县莲塘一中黄凡66分玉山一中胡慧程66分南昌三中段依田66分江西省丰城中学西校区曾佳进66分余干新时代学校曹克安66分万年中学蔡方俊妍66分兴国县第三中学郭运珠65分新余市第四中学张博轩65分吉安一中尹文彪65分鄱阳一中唐海强65分江西省万载中学龙洋65分丰城市第九中学刘文耀65分南昌县莲塘一中涂轶杰高一65分江西省宁都中学周 杨64分安远县第一中学薛林根64分江西省余江县第一中学宋浩华64分江西省高安中学邹璐峰64分吉安一中庄雁64分吉安一中颜治文64分丰城市第四中学许诺64分江西省樟树中学熊宇浩64分江西省高安中学肖万其64分丰城市第九中学吴乐尧64分万年中学万宇航高二64分景德镇二中帅斯樑64分德兴一中邱羽飞64分南昌大学附属中学潘洋洋64分吉安白鹭洲中学欧阳媛高二64分南昌县莲塘一中吕乐64分崇仁一中刘佳盼64分乐平中学黄文宇64分江西省丰城中学西校区付则君64分新建二中邓毅64分横峰中学陈红艺64分江西省瑞金第一中学杨子怡63分江西省南康中学刘庆盛63分江西省大余中学赖勖贵63分景德镇二中邹梓轩高一63分江西省丰城中学西校区张超63分崇仁一中袁赛帅63分景德镇一中余承灏高二63分都昌县第一中学叶金旺63分吉安一中谢彦琳高二63分吉安一中唐文昊高二63分永修县第一中学宋晴63分吉安一中刘文伟63分丰城市第九中学雷彤63分丰城市第九中学胡凌杰63分景德镇二中徐远帆63分上饶市一中王笑宇高二63分。
2016年全国高中数学联赛决赛咸阳市入选名单
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2016年全国高中数学联赛获奖名单（江西省赛区）
2016年全国高中数学联赛获奖名单（江西省赛区）团体总分名次第一名第二名第三名第四名第五名第六名江西师大附中江西省高安市第二中学江西省余江县第一中学景德镇二中江西省樟树中学吉安一中江西省鹰潭市第一中学江西师大附中江西省鹰潭市第一中学南昌大学附属中学吉安一中吉安一中学校姓名年级总分学校姓名年级总分江西师大附中张继霖261分江西省高安市第二中学彭展翔219分江西省余江县第一中学黄沛铖214分景德镇二中陈自元212分江西省樟树中学付伟中210分吉安一中刘鸿骏210分江西省鹰潭市第一中学胡亚建210分江西师大附中符文鑫198分江西省鹰潭市第一中学谢宇辉198分南昌大学附属中学赵昀昇198分吉安一中肖海尧198分吉安一中钟涵192分九江第一中学李祺璇191分江西省余江县第一中学杨林高二190分江西省余江县第一中学朱瑞189分吉安一中温雅琴187分新干中学甘轶凡184分江西师大附中张宇熙177分临川一中刘猛辉174分南昌二中赵思泽鹏173分九江第一中学徐航173分吉安白鹭洲中学姚逸麟172分九江第一中学曹瑞172分临川一中谭轩逸172分南昌县莲塘一中贺龙坤171分吉安一中罗中沛171分景德镇一中余枫云169分南昌二中虞家伟高二163分宜丰中学袁征仕163分婺源天佑中学吴子贤163分江西师大附中古俊龙高二160分南昌二中熊志尧160分江西省鹰潭市第一中学刘轩舟160分九江第一中学闵方远159分吉安一中刘祥辉159分临川一中谭泽昊159分临川二中朱志向158分南昌县莲塘一中魏恒达158分肖海尧钟涵付伟中刘鸿骏胡亚建符文鑫谢宇辉赵昀昇临川一中934分黄沛铖陈自元张继霖彭展翔九江市第一中学982分鹰潭市第一中学942分江西师大附中1039分余江一中986分2016年全国高中数学联赛获奖名单(江西赛区)一等奖（53名）4人3人5人3人4人参加冬令营名单（代表江西省参加国家决赛）团体总分奖吉安一中1117分学校团体总分一等奖人数7人玉山一中曾政浩158分江西省宁都中学刘浩157分景德镇一中甘擎天157分新建二中涂勋157分南昌二中付逸芃156分吉安一中刘函宇156分景德镇二中钟子堪155分江西省高安中学卢肇155分江西省会昌中学李思154分萍乡市湘东中学欧怡纯152分景德镇一中吴欣睿高二152分临川一中吴律辉152分江西省丰城中学西校区陈明151分九江第一中学王鼎南150分萍乡中学段志宇150分二等奖（253名）江西省余江县第一中学胡林庆149分景德镇一中蔡丹杨149分江西省鹰潭市第一中学吴月锋147分新建二中胡琦高二146分新建二中李翰冰高二144分南昌县莲塘一中张泽华高一144分宜丰中学徐耿142分新余市第一中学黄含驰141分宜春市第一中学彭星嘉141分吉安白鹭洲中学罗昱辰141分吉安一中李龙旭141分临川一中占韶伟139分萍乡中学潘武琪139分萍乡中学刘定君139分赣县中学肖岸星138分萍乡中学杨鑫高二138分临川一中李杰高二138分江西省宁都中学李翀137分九江第一中学朱能杰高二137分南昌大学附属中学易光濮137分南昌十中郑翰浓136分新建二中徐永月136分吉安白鹭洲中学李嘉享136分新建二中高越高二136分赣县第三中学谢江平135分江西省高安中学黄凯135分景德镇二中胡晓海135分萍乡中学段济屿134分江西省丰城中学西校区吴天泽133分玉山一中叶凯132分浮梁一中李智杰高二132分兴国平川中学谢中林131分景德镇一中占钰霞130分景德镇二中杨沈昊高二130分江西省高安市第二中学熊凡130分景德镇一中邬曾凯130分江西省信丰中学王文辉129分景德镇二中朱刚基129分临川一中周超129分江西省高安中学王书恺129分江西省南康中学刘庆鑫128分江西省宜春中学彭宇帆128分上饶中学杨泽澄127分临川一中徐昱晗127分南昌县莲塘一中姜宇荣127分江西省余江县第一中学黄清126分临川二中徐涛126分吉安白鹭洲中学罗成龙126分吉安一中周曦琨125分吉安白鹭洲中学左旭润124分丰城市第九中学罗霄航124分宜春市第一中学龙文煊124分婺源天佑中学詹延苇123分临川一中吴润东123分江西师大附中王文杰高二123分莲花中学廖志文123分新干中学李豪123分新干中学桂昱鹏123分临川一中陈俭静123分修水县琴海学校熊水斌122分江西省鹰潭市第一中学陈雨涛高二122分江西省信丰中学陈翔122分新干中学邹恒星122分江西省宜春中学杨子江122分江西省丰城中学西校区罗雯鑫122分新建二中胡智龙122分景德镇一中傅文栩122分江西省高安市第二中学敖宇122分景德镇一中吴承君121分上栗中学唐锋121分新干中学陈林佺121分江西师大附中郑杰耀120分江西师大附中俞彦恒120分吉安一中邓迅高二120分赣州中学钟远哲119分新建二中张文杰119分江西省高安中学晏寓帅高二119分临川一中聂浩坤119分南昌县莲塘一中罗建119分江西省余江县第一中学陈波高二118分上饶中学余祺118分江西省高安中学卢麒丞118分景德镇一中段文龙高二118分南昌县莲塘一中刘宇浩高一117分江西省丰城中学西校区蒋中杰117分江西省寻乌中学温新泉116分景德镇二中王俊杰高二116分玉山一中毛晓宇高二116分永丰中学刘紫荆116分江西省大余中学吴肇坚115分新建二中喻圣豪115分江西师大附中陈子楷高二115分赣州市第三中学曾昭伟114分景德镇一中徐欣仪114分丰城市第九中学熊振涛114分新建二中刘良兴高一114分新干中学胡佳琪高二114分赣州中学张海113分江西省于都中学黄杨斌113分新建二中熊辉高一113分江西师大附中余政嵘高二112分上饶中学余佩芸112分新余市第四中学肖鸿禹112分南昌三中姜勇刚112分吉安白鹭洲中学谢伟111分景德镇二中万盛华111分南昌县莲塘一中邓浚涛高一111分江西师大附中邓峻恺111分江西省高安市第二中学梁钦宇高二110分景德镇一中黄泰来110分九江第一中学胡世龙高二110分江西省余江县第一中学夏怡新109分江西省宁都中学曾晋109分江西省樟树中学肖赫109分南昌外国语学校赖蒽109分横峰中学张学梁高二108分新余市第一中学徐心雨108分吉安白鹭洲中学王湛丰108分吉安一中刘悦108分景德镇二中刘祺睿108分南昌二中董实高二108分江西省信丰中学郭辉忠107分江西省信丰中学赖铭睿106分南昌县莲塘一中章林琪高二106分江西师大附中熊杰106分余干新时代学校刘慧彤106分江西师大附中胡世超高二106分黎川二中冯天夏高二106分江西省宁都中学钟钰彬105分江西省鹰潭市第一中学叶思民105分江西省樟树中学雷苏105分万年中学胡骏飞105分玉山一中闫弘高二104分南昌大学附属中学罗纳川104分萍乡中学李梓欣104分吉安白鹭洲中学李锐涵104分景德镇一中胡婧瑶104分景德镇一中程鹏飞104分江西省鹰潭市第一中学祝文婧103分景德镇一中张育鸣103分九江第一中学余鹏程高二103分萍乡市湘东中学徐振豪高二103分临川一中王步其103分新余市第四中学聂翔宇高二103分南昌县莲塘一中刘龙坤103分莲花中学王浩102分广丰中学汤方淼102分江西省樟树中学皮宇帆102分景德镇一中刘伯喧102分吉安一中匡龙昊高二102分南城一中曹一媛102分安远县第一中学叶杰祺101分九江第一中学熊毅高二101分永新任弼时中学吴智海101分丰城市第九中学邬志云101分江西省高安中学刘鑫101分临川一中刘浩捷101分安远县第一中学谢英豪100分九江第一中学周炜明高二100分玉山一中郑文军高二100分永丰中学肖珏100分芦溪中学李勉100分景德镇一中黄明月100分江西省鹰潭市第一中学吴昭邦99分赣州中学吴雨林99分江西省石城中学刘泽霖99分吉安县立中学胡伟国99分江西省余江县第一中学庄智星高二98分江西省全南中学张耀根98分新建二中周子阳高二98分广丰中学张怡98分景德镇一中虞梓钰98分江西师大附中杨鸿宇高二98分弋阳县一中郭瑞98分江西省樟树中学范溢文98分永丰中学范慷隆98分赣县中学徐伟东97分南昌县莲塘一中徐辉97分鄱阳实验中学吴志兵97分东乡一中吴承宇97分江西省丰城中学西校区李世进97分吉安白鹭洲中学郭诗诚97分江西省石城中学张源珍96分江西省瑞金第一中学曾毅强96分景德镇一中周怡清96分余干中学宋亚豪96分景德镇二中石焱明96分临川一中饶其其96分吉安白鹭洲中学刘宇林96分东乡一中乐俊聪96分江西省万载中学何雅诗96分新余市第四中学郭郁俊高二96分上饶县中龚震96分抚州一中陈思婕96分吉安一中周少勤95分临川一中许振95分南昌二中刘涵琦95分临川二中刘超高二95分于都县第三中学吴铂涵高二94分江西省石城中学温生雄94分赣州中学刘磊94分江西省寻乌中学陈瑞94分江西省高安中学俞芷晴94分吉安一中尹梓琦高二94分抚州一中谢雨瀟高二94分永丰二中宋阳94分江西省高安中学彭子晨高二94分新余市分宜中学李佳磊94分景德镇一中蔡雯琦94分九江市同文中学张海滨93分宜丰中学刘琪93分南昌县莲塘一中刘路辉93分景德镇一中饶岩柯93分江西师大附中蔡中泽93分江西省鹰潭市第一中学俞汶佑高二92分赣县第三中学魏旺华92分江西省宁都中学刘欣92分南昌二中周游高一92分江西省宜春中学周刚92分景德镇一中袁子健高二92分九江第一中学毛井锋92分景德镇一中李文奕92分吉安白鹭洲中学李乐成92分景德镇一中李芳菲92分江西省高安市第二中学邓文争92分景德镇一中张沛阳91分上栗中学张航祺91分萍乡市湘东中学王瑶91分吉安一中谭钰炜91分景德镇二中刘祉进91分赣州市第三中学龙俊泽91分安远县第一中学赖浩菁90分吉安一中周益升高二90分临川二中章能90分新干中学项晓波90分萍乡市湘东中学王媛丽90分南昌二中罗煜90分江西师大附中李世哲90分江西省丰城中学西校区管健90分乐平中学陈佳濠90分江西省宁都中学阮晖90分贵溪市第一中学何帅韬90分修水县第一中学祝启文89分景德镇一中袁姝雯89分吉安白鹭洲中学杨泽宇高二89分江西省万载中学兰宸昊89分江西省宜春中学龚海松89分上饶中学程博文89分吉安县立中学曹程伟89分赣州市第三中学严景松89分江西省高安中学彭玎陆89分临川二中黄俊卿89分江西省石城中学郑海 89分三等奖（298名）兴国平川中学陈庆祥88分安远县第一中学陈浩高二88分九江市同文中学钟澳88分南昌二中游镇宇88分丰城市第九中学王文迪88分九江市同文中学孙岩88分景德镇一中江天任高二88分鄱阳一中胡云辉88分芦溪中学贺童浩88分莲花中学贺佳源88分江西师大附中何哲88分江西省高安中学何金泓高二88分临川一中甘志强88分都昌县第一中学段训杰88分景德镇一中董泽宁88分上饶中学董昱璨88分江西师大附中曾进高二88分江西省信丰中学刘洪威88分九江市第三中学胡广鹏87分上饶中学张文韬高二87分南昌外国语学校徐世濠87分景德镇一中巫子辰高二87分景德镇二中帅哲玮87分宜春市第一中学彭星瑜87分贵溪市第一中学林少雄87分吉安一中梁良87分景德镇一中江懿文87分南昌二中黄天孝高二87分南昌二中黄潜临高二87分莲花中学陈木清87分吉安一中陈建双87分新干中学杨勋利86分婺源紫阳中学项志奇86分江西省高安中学涂佳婕86分鄱阳一中洪鹏86分铅山一中丁正86分江西省瑞金第一中学刘毓馥85分弋阳县一中杨益85分南昌县莲塘一中万子超85分新余市第一中学廖捷文高二85分江西省高安市第二中学况虎85分景德镇一中金智豪高二85分临川二中江威峰85分江西师大附中黄瑞熙高二85分江西省樟树中学龚紫恒85分景德镇二中程天倚高一85分赣州中学黄君84分赣州市第一中学杨轶涵84分江西省信丰中学温国华84分九江市同文中学张毅飞84分吉安白鹭洲中学严家琪高二84分南昌县莲塘一中刘定邦84分丰城市第九中学范志浩84分九江第一中学崔一帆高二84分吉安白鹭洲中学陈衍唯84分江西省石城中学许耀川83分江西省宁都中学刘嘉玮83分吉水中学朱祥83分江西师大附中吴晟83分丰城市第九中学邱江83分乐安一中康矗高二83分江西省信丰中学徐秀敏82分修水县第一中学邱添82分临川一中郑宏涛82分景德镇一中张天祎高二82分吉安白鹭洲中学肖常胜82分景德镇二中魏鑫嵘高二82分新建二中毛文超82分景德镇一中蒋嘉益高二82分景德镇一中黄卓一82分景德镇二中何弘霖82分都昌县第二中学向旭杰81分江西省高安中学黄冠群81分安远县第一中学叶书睿80分江西省鹰潭市第一中学徐文祺80分江西省鹰潭市第一中学汪展鹏高二80分上饶中学郑斐然高二80分萍乡中学杨俊逸80分江西省高安中学罗振发80分萍乡中学罗曦雨80分江西省高安中学刘杰80分吉安白鹭洲中学刘彪高二80分临川二中雷星月高二80分江西省高安中学胡森根80分景德镇一中洪文轩80分南昌二中陈文峥高二80分永丰中学陈辉80分贵溪市第一中学王洲禹79分新建二中涂晨昕79分江西省樟树中学刘佳昊高二79分贵溪市第一中学邓文钊高二79分临川二中陈印华79分江西省余江县第一中学刘宇琴高二78分江西省瑞金第一中学杨子豪78分安远县第一中学刘武微78分赣县第三中学黄海森78分吉安一中朱睿78分江西师大附中张远航78分江西省丰城中学西校区袁鸣78分瑞昌市第一中学喻嘉诚78分江西省丰城中学西校区鄢荣宽78分新建二中裘以峰78分都昌县第一中学黄纪伟78分上饶中学陈昭宇高二78分江西省丰城中学西校区曾辰林78分江西省万载中学张嘉吉77分吉安一中郭逸筱77分南城一中吴创新77分江西省樟树中学胡家明76分江西省信丰中学袁泽政76分江西省宁都中学杨子禹76分临川一中吴吉宇高二76分江西师大附中欧阳毅恒76分吉安一中刘旻宇高二76分江西师大附中李俊良76分新余市第四中学胡天益高二76分南城二中杜文俊76分南昌十中陈瀚涛76分九江第一中学曾凡涣76分宜丰中学蔡宏炜76分南昌县莲塘一中万卓越76分江西省信丰中学李凯75分广丰中学周赫宸75分吉安一中张雯倩75分景德镇二中余加友高二75分江西省万载中学辛馨75分吉安县立中学肖达盛75分新建二中夏兆安高二75分乐平中学吴伟豪75分鄱阳一中吴建华75分吉安县立中学魏雨轩75分临川一中雷城乐阳75分万年中学黄浩男75分景德镇二中郭治轩75分南昌二中刘丹琪75分江西省余江县第一中学邓旭高二74分鄱阳一中朱凯波74分景德镇二中郑义晟高一74分吉水二中杨洋74分九江市同文中学吴启睿74分临川二中王世龙74分江西省樟树中学王鹏翔74分南昌二中李萧铭74分峡江中学黄志轩74分九江第一中学桂煜州高二74分上饶市一中管子卿74分江西省宜春中学陈俊豫74分乐安二中曾世敏74分抚州一中曾凯峰74分江西师大附中周暄晋73分吉安县立中学吴顾强73分临川一中潘豪73分德安县第一中学罗来鹏73分贵溪市第一中学陆佳俊73分萍乡中学何文禺73分于都县第二中学朱泽华高二72分江西省余江县第一中学吴龙照高二72分安远县第一中学陈昊高二72分横峰中学周邦彦72分九江第一中学张祖文高二72分临川二中王泽磊72分临川一中万梓俊72分江西省丰城中学西校区孙煜锋72分江西省宜春中学刘祎炜72分奉新县第一中学冷慧星72分临川二中傅龙辉72分江西省高安市第二中学付蓉莎72分新余市第一中学范逸飞72分江西省高安中学陈祎72分吉安县立中学曾任校72分新建一中谢成豪72分江西省大余中学钟遥71分江西省南康中学吴祖汾71分江西省石城中学曾春华71分临川一中刘中兴71分江西省高安市第二中学刘辉鹏高二71分景德镇一中凌清华71分新建二中程伟豪71分上饶县中陈英奇71分都昌县第二中学曹嘉英71分兴国平川中学杨星70分江西省龙南中学廖峻70分泰和中学朱宇婧70分景德镇一中周毅成高二70分南昌县莲塘一中张健高二70分乐安一中游正中70分上饶市一中王琪70分南昌十中彭宏睿70分余干中学李松70分抚州一中黄亚坤70分南昌大学附属中学侯思琪70分抚州一中韩志超70分永新任弼时中学陈浩70分新建一中欧阳辉勇70分江西省石城中学邓宇轩70分江西省南康中学陈扬69分玉山一中周芷若高一69分江西师大附中尹康69分吉安一中熊千韵69分江西省高安中学唐宗翔高一69分上栗中学苏国旺69分江西省高安市第二中学罗炯一69分鄱阳中学李健69分安义中学黄子明69分江西省高安中学黄荣平69分江西省丰城中学西校区丁凯威69分新干二中曾令元69分赣州市第一中学朱煜68分江西省信丰中学张世源68分江西省宁都中学温林峰68分赣州市第一中学方承强68分宜春市第一中学周轶童68分九江第一中学陶佳68分安福中学谭永根68分江西省高安中学罗恒宇68分峡江中学黄占波68分江西省上高第二中学黄昱炜高二68分乐平中学胡路发高二68分江西省丰城中学西校区何月68分江西省丰城中学西校区陈兵华68分江西省崇义中学吴诚威67分都昌县第一中学徐梓建67分江西省丰城中学西校区徐澳67分江西省高安中学汪子铃67分南昌十中涂振峰67分上栗中学刘宇龙67分南昌县莲塘一中李楚含67分景德镇二中李政高一67分上栗中学冯明发67分丰城市第九中学陈阳67分金溪一中陈瀚深67分江西省大余中学刘晓倩66分赣州市第三中学胡姝涵高一66分安远县第一中学郭桂芳66分江西省鹰潭市第一中学朱帆66分赣州市第三中学张原铭高二66分江西省于都中学吴泽鹏66分江西省南康中学卢曜66分江西省大余中学刘典均66分弋阳县一中周巧燕66分南昌二中袁正66分江西省万载中学余颖洁66分江西省樟树中学余文晖66分临川二中杨勇66分南昌二中王珂66分万年中学李照寅高二66分修水一中匡查理66分南昌二中江哲昊66分南昌县莲塘一中黄凡66分玉山一中胡慧程66分南昌三中段依田66分江西省丰城中学西校区曾佳进66分余干新时代学校曹克安66分万年中学蔡方俊妍66分兴国县第三中学郭运珠65分新余市第四中学张博轩65分吉安一中尹文彪65分鄱阳一中唐海强65分江西省万载中学龙洋65分丰城市第九中学刘文耀65分南昌县莲塘一中涂轶杰高一65分江西省宁都中学周杨64分安远县第一中学薛林根64分江西省余江县第一中学宋浩华64分江西省高安中学邹璐峰64分吉安一中庄雁64分吉安一中颜治文64分丰城市第四中学许诺64分江西省樟树中学熊宇浩64分江西省高安中学肖万其64分丰城市第九中学吴乐尧64分万年中学万宇航高二64分景德镇二中帅斯樑64分德兴一中邱羽飞64分南昌大学附属中学潘洋洋64分吉安白鹭洲中学欧阳媛高二64分南昌县莲塘一中吕乐64分崇仁一中刘佳盼64分乐平中学黄文宇64分江西省丰城中学西校区付则君64分新建二中邓毅64分横峰中学陈红艺64分江西省瑞金第一中学杨子怡63分江西省南康中学刘庆盛63分江西省大余中学赖勖贵63分景德镇二中邹梓轩高一63分江西省丰城中学西校区张超63分崇仁一中袁赛帅63分景德镇一中余承灏高二63分都昌县第一中学叶金旺63分吉安一中谢彦琳高二63分吉安一中唐文昊高二63分永修县第一中学宋晴63分吉安一中刘文伟63分丰城市第九中学雷彤63分丰城市第九中学胡凌杰63分景德镇二中徐远帆63分上饶市一中王笑宇高二63分。
2016年全国高中数学联赛一试
2016年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1．设实数a 满足||1193a a a a <-<，则a 的取值范围是2．设复数w z ,满足3||=z ，i w z w z 47))((+=-+，其中i 是虚数单位，w z ,分别表示w z ,的共轭复数，则)2)(2(w z w z -+的模为3．正实数w v u ,,均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则u w log 的值为4．袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为5．设P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足ABC ∠=90°，M 为AP 的中点．若AB =1，AC =2，2=AP ，则二面角M —BC —A 的大小为 6．设函数10cos 10sin )(44kx kx x f +=，其中k 是一个正整数．若对任意实数a ，均有}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<，则k 的最小值为7．双曲线C 的方程为1322=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点P ，Q ，使得PQ F 1∠=90°，则PQ F 1∆的内切圆半径是8．设4321,,,a a a a 是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）在ABC ∆中，已知CB CA BC BA AC AB ∙=∙+∙32．求C sin 的最大值．10．（本题满分20分）已知)(x f 是R 上的奇函数，1)1(=f ，且对任意0<x ，均有)()1(x xf x x f =-． 求+++)981()31()991()21()1001()1(f f f f f f …)511()501(f f +的值．11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x 轴正半轴上的一个动点．以F 为焦点，O 为顶点作抛物线C ．设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 为C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆21,C C 均与直线OP相切于点P ，且均与轴相切．求点F 的坐标，使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值．。
2016年全国中学生数学能力竞赛通知【模板】
全国中学生数学能力竞赛组织委员会国基函【2016】017号2016年全国中学生数学能力竞赛通知各省（自治区、直辖市）、市（地、州、盟）、县（市、区、旗）教研部门，各中学：为全面实施素质教育，推动《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》的实施，提高数学学科地位和教学质量，培养中学生的数学能力，激发广大师生教与学的积极性，全国中学生数学能力竞赛组织委员会决定举办2016年全国中学生数学能力竞赛。
本次竞赛是第九届全国中学生数学能力竞赛，由国家基础教育实验中心、全国中学生数学能力竞赛组织委员会主办，全国统一命题和表彰。
全国中学生数学能力竞赛是全国性中学数学学科综合能力竞赛。
本竞赛旨在全面贯彻素质教育精神，培养广大青少年热爱数学的精神，激发广大中学生学习数学的兴趣，掌握基本的数学知识与技能，数学思想和方法，提升中学生的数学能力。
本次竞赛将在整体上体现创新、发散性思维，综合考查学生的运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、实践能力和创新能力。
本竞赛将严格遵循教育部下发的《中小学竞赛活动管理的若干规定》的文件精神，竞赛的举办及其后续的研究、评价、总结工作，将对目前正在进行的基础教育阶段数学学科课程改革以及测试、评估改革提供数据参考。
本竞赛面向全体中学生，各级各类中学生均可参赛，提倡“重在参与”的奥林匹克精神，不提倡选拔尖子生参赛和举办任何形式的培训活动。
2016年全国中学生数学能力竞赛分为（初中阶段）七年级组、八年级组、九年级组，（高中阶段）高一年级组、高二年级组、高三年级组，共计六个组别。
本次大赛分初、决赛两个赛程，初赛时间为11月27日（星期日）9：00-11：00，决赛时间为12月25日（星期日）9：00-11：00。
各省（自治区、直辖市）、市（地、州、盟）、县（市、区、旗）、学校可根据实际情况选择几个年级组参加竞赛，具体参赛办法详见《细则》。
现将《2016年全国中学生数学能力竞赛实施细则》等文件同时发至各有关单位，请各级教研部门或中学数学专业机构遵循本《通知》及《细则》精神，做好本次竞赛的宣传发动、组织报名、竞赛实施、评卷颁奖及赛后活动等各项工作。
2016年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)
2016年全国高中数学联赛（B 卷）一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为 ．2.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ．3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ．4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为 ．5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ．6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++-+=则直线l 的方程为 ．7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为 ．8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程()2100lg lg 100x x =的两个不同的解，求12100a a a L 的值．10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．。
各省高中数学竞赛试题汇编——函数小题目
各省数学竞赛试题汇编——函数小题目1．【2018年湖南预赛】函数的定义城为_________.【答案】【解析】由得，所以函数的定义城为.故答案为2．【2018年湖南预赛】已知函数对任意的实数满足：，且当时，，当时，，则象与的图象的交点个数为___________。
【答案】10【解析】由题意知，f（x）=且周期是6，，且此函数是偶函数，在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：由图可得，两个函数图象的交点个数是10个．3．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 4．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 5．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 6．【2018年贵州预赛】若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____________. 【答案】【解析】由知x＞0，故.令，则.当时，；当时，.所以在（0，e）上递增，在（e，+）上递减.故，即.7．【2018年安徽预赛】设点P、Q分别在函数的图象上，则的最小值=_________. 【答案】【解析】设P（），Q（）使最小.由互为反函数，知点P、Q处的切线斜率都是1，直线PQ的斜率都是-1.故.故答案为：8．【2018年广东预赛】函数的值域为_____________.【答案】当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.【解析】，因为，所以当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.故答案为：当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.9．【2018年广东预赛】已知方程在区间（-2，2）内恰有两个实根，则k的取值范围是__________. 【答案】【解析】记，令，得.当时，在（）上为增函数.当时，在（）上为减函数.所以在点处取得最大值，当且仅当时，在区间（-2，2）内恰有两个实根，故k的取值范围是.故答案为：10．【2018年贵州预赛】方程组的实数解为___________.【答案】【解析】因为，所以，即，代入，得.由.11．【2018年湖北预赛】设是定义在上的单调函数，若对任意的，都有，则不等式的解集为______.【答案】【解析】由题设，存在正常数，使得，且对任意的，有.当时，有，由单调性知此方程只有唯一解.所以.不等式，即，解得.故不等式的解集为.12．【2018年甘肃预赛】关于的方程有唯一实数解，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】解法一原方程化为．（1）．（2）时，的两根分别为1、3，不符合题意．（3）时，的两根分别为2，．因此，符合题意要求．（4），即时，若，不符合要求；若，因此，符合要求．解法二，因为，所以．上单调递增，在上单调递减．又，所以的取值范围是．13．【2018年吉林预赛】函数的定义域为__________.【答案】（1，2）（4，5）【解析】由题得，解之得x∈（1，2）（4，5）.故答案为：（1，2）（4，5）14．【2018年山东预赛】对任意的实数的最小值为______．【答案】【解析】设，则①＋②＋③得．解得．又当时，有解．故当时，取到最小值．15．【2018年山东预赛】已知，且为方程的一个根，则的最大可能值为______．【答案】9【解析】由题设，则．因为，则必为完全平方数．设，则．所以．解得，8，,0．所以的最大可能值为9.16．【2018年山东预赛】设为最接近的整数，则______．【答案】【解析】设，则，即．而，因此满足个．注意到，从而或7．由于，所以．因此．17．【2018年天津预赛】已知函数的定义域都是，它们的图象围成的区域面积是_____________【答案】【解析】将的图象补充为完整的圆，则由中心对称性易知答案是圆面积的一半，为.故答案为：18．【2018年天津预赛】若为正实数，且是奇函数，则不等式的解集是_____________【答案】【解析】由可得即也即，所以.由于在（0，+）上递增，所以在（0，+）上是增函数，结合是奇函数可知在R上是增函数.解不等式，只需找到的解.方程等价于也即两边平方，解得.因此，不等式的解集是.故答案为：19．【2018年河南预赛】已知函数，若的定义域为，值域为，则的值为______．【答案】0【解析】因为，所以有，得，故上是增函数，进而．解得（舍）或．故填0．20．【2018年河北预赛】若，且满足那么. 【答案】1【解析】把已知条件变形为函数上为增函数且是奇函数，另，故，所以.21．【2018年四川预赛】设函数上的最大值为，最小值为，那么的值为______. 【答案】4【解析】因为上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.又的最大值为故故答案为：422．【2018年四川预赛】的值为______.【答案】1【解析】令，则从而，化简为.所以，原式故答案为：123．【2018年浙江预赛】已知a为正实数，且是奇函数，则的值域为________.【答案】【解析】由为奇函数可知，解得a= 2，即，由此得的值域为.24．【2018年浙江预赛】设，则有________个不同的解. 【答案】3【解析】因为由得到，或.由，得一个解；由得两个解，共3个解.25．【2018年浙江预赛】设满足，则x的取值范围为________. 【答案】【解析】由.令，，所以.26．【2018年江西预赛】函数的值域是区间______．【答案】【解析】显然函数定义域为，在此区间内，由于，即，故有角使得．于是，因为，则．在此范围内，则有．因此．（当时，；当时，）故答案为：27．【2018年山西预赛】函数的值域为________.【答案】【解析】由条件知.令.则，，，因为，所以，.28．【2018年湖南预赛】如图，A与P分别是单位圆O上的定点与动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数，则=__________.【答案】【解析】对角度x进行简单的分类，然后根据三角函数的定义得到利用函数的周期性得到.故答案为：29．【2018年湖南预赛】如图放置的边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，即先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，设顶点C滚动时的轨迹方程为，则上的表达式为__________.【答案】【解析】①由于是以4为周期的周期函数，所以当时此时由周期性及①式的结果得到故答案为：30．【2018年湖南预赛】设，函数（其中表示对于，当时表达式的最大值），则的最小值为_____.【答案】【解析】对于每一个，函数是线性函数.因此，在任意有限闭区间上，函数的最大值与最小值均在区间端点处达到，从而有由于函数图像交点的横坐标c满足，得到其图像为两条折线组成，且故答案为：31．【2018年福建预赛】已知定义在上的奇函数，它的图象关于直线对称．当时，，则______．【答案】2【解析】由为奇函数，且其图象关于直线对称，知，且，所以．是以8为周期的周期函数．又，所以．32．【2018年福建预赛】已知整系数多项式，若，则______．【答案】24【解析】设，则，于是．所以．所以是多项式的一个根．又不可能是三次整系数多项式、二次整系数多项式的零点．所以整除．故为整数．所以．由，得．所以．33．【2018年福建预赛】已知函数满足：对任意实数，都有成立，且，则______．【答案】【解析】在中，令，得．令，得．又，所以，即．又，，所以．故．34．【2016年上海预赛】若x∈(-1,1)时，恒为正值，则实数a的取值范围是____________。
2016年高二数学竞赛获奖名单
一等奖
市属
广州大学附属中学
龙辰纲
一等奖
市属
广州大学附属中学
叶皓天
一等奖
市属
广州大学附属中学
周穗齐
一等奖
市属
广州大学附属中学
黄文韬
一等奖
市属
广州大学附属中学
胡光雄
一等奖
市属
广州大学附属中学
吕力行
一等奖
市属
广州大学附属中学
林逸晴
一等奖
市属
广州大学附属中学
梁超宇
一等奖
市属
广州大学附属中学
梁一帆
一等奖
方正
一等奖
市属
广州市第二中学
郑恪逊
一等奖
市属
广州市第二中学
刘奕旻
一等奖
市属
广州市第二中学
殷镐成
一等奖
市属
广州市第二中学
方子鸣
一等奖
市属
广州市第二中学
郑燊
一等奖
市属
广州市第二中学
何为
一等奖
市属
广州市第二中学
陈卓欣
一等奖
市属
广州市第二中学
何同立
一等奖
市属
广州市第二中学
马炜俊
一等奖
市属
广州市第二中学
毛志鹏
华师附中
李昶晟
一等奖
省属
华师附中
张睿达
一等奖
省属
华师附中
陈翼
一等奖
省属
华师附中
袁德昊
一等奖
省属
华师附中
蔡超仪
一等奖
省属
华师附中
李宇同
一等奖
省属
华师附中
2016年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛获奖名单通报 .doc
2016年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛获奖名单通报各完全中学、高级中学:2016年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛已经结束。
我市共有37所学校组织学生参加了竞赛，经过决赛，获广东省一等奖14人，二等奖18人，三等奖45人；评出市一等奖32人、二等奖81人、三等奖172人（获奖名单见附件）。
希望获奖的学生继续努力，戒骄戒躁，争取更大成绩，同时也希望学校对获奖的学生给予表扬，以资鼓励。
附件2016年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛获奖名单东莞市教育局教研室东莞市中学数学教学研究会二O一六年九月七日附件2016年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛获奖名单序号考生所在学校规范校名考生姓名省奖市奖1 东莞市东华高级中学王瀚森一等奖一等奖2 翰林实验学校张慧玲一等奖一等奖3 虎门外语学校陈秋颖一等奖一等奖4 东莞中学张恺泓一等奖一等奖5 东莞市东华高级中学辜俊皓一等奖一等奖6 东莞中学梁正川一等奖一等奖7 东莞市东华高级中学詹锦鸿一等奖一等奖8 东莞市东华高级中学李子焯一等奖一等奖9 虎门外语学校陈宇鸣一等奖一等奖10 东莞中学尹嘉豪一等奖一等奖11 东莞中学张乐一等奖一等奖12 翰林实验学校王嘉俊一等奖一等奖13 东莞市东华高级中学郑宇航一等奖一等奖14 东莞市东华高级中学董立一等奖一等奖15 东莞中学萧竣禧二等奖一等奖16 东莞市东华高级中学骆嘉骏二等奖一等奖17 东莞市东华高级中学杨明杰二等奖一等奖18 虎门外语学校赵崇劭二等奖一等奖19 东莞市东华高级中学张可二等奖一等奖20 东莞市东华高级中学欧伟彤二等奖一等奖21 翰林实验学校刘景皓二等奖一等奖22 东莞中学叶泽峰二等奖一等奖23 虎门外语学校柯桂芝二等奖一等奖24 东莞市南开实验学校林舒滢二等奖一等奖25 东莞中学洪满枝二等奖一等奖26 东莞中学刘翰之二等奖一等奖27 东莞市东华高级中学林越山二等奖一等奖28 东莞市东华高级中学武子越二等奖一等奖29 虎门外语学校王湛鑫二等奖一等奖30 虎门外语学校李弘二等奖一等奖31 翰林实验学校陈龙二等奖一等奖32 东莞市东华高级中学张涵健二等奖一等奖33 东莞市东华高级中学何冠苇三等奖二等奖34 东莞市东华高级中学郭立达三等奖二等奖35 东莞市东华高级中学孙肇东三等奖二等奖36 虎门外语学校方嘉瑜三等奖二等奖37 虎门外语学校陈诗杰三等奖二等奖38 东莞市石龙中学裴铮三等奖二等奖39 东莞市南开实验学校辛宛杰三等奖二等奖40 东莞中学李靖禹三等奖二等奖41 东莞中学舒杨三等奖二等奖42 东莞市东华高级中学陈振华三等奖二等奖43 东莞市东华高级中学易婧之三等奖二等奖44 翰林实验学校周绰凝三等奖二等奖45 光正实验学校陈江锋三等奖二等奖46 东莞中学刘继贤三等奖二等奖47 东莞中学李逸凡三等奖二等奖48 东莞实验中学罗梓聪三等奖二等奖49 东莞市东华高级中学袁健勇三等奖二等奖50 虎门外语学校孙文涛三等奖二等奖51 虎门外语学校李万成三等奖二等奖52 虎门外语学校陈子强三等奖二等奖53 东莞市第六高级中学苏钊正三等奖二等奖54 翰林实验学校王嘉伟三等奖二等奖55 东莞中学何耿婧三等奖二等奖56 东莞市东华高级中学黄鑫豪三等奖二等奖57 东莞市东华高级中学范双荣三等奖二等奖58 东莞市东华高级中学龙铮三等奖二等奖59 虎门外语学校陈颖欣三等奖二等奖60 光正实验学校曾敬三等奖二等奖61 东莞市东华高级中学刘沁园三等奖二等奖62 东莞市东华高级中学陈天南三等奖二等奖63 东莞市东华高级中学肖榕滨三等奖二等奖64 东莞中学温伟佳三等奖二等奖65 东莞市东华高级中学黄杰三等奖二等奖66 东莞市东华高级中学卢振锋三等奖二等奖67 东莞中学刘佳荣三等奖二等奖68 东莞高级中学陈灿辉三等奖二等奖69 东莞市东华高级中学陈昱蓉三等奖二等奖70 东莞市东华高级中学高健航三等奖二等奖71 东莞市东华高级中学黄沅玮三等奖二等奖72 东莞市光明中学喻岩三等奖二等奖73 东莞市光明中学詹永华三等奖二等奖74 虎门外语学校徐晓琳三等奖二等奖75 东莞市南开实验学校钟子振三等奖二等奖76 东莞市南开实验学校卢可欣三等奖二等奖77 东莞中学刘奕彤三等奖二等奖78 东莞中学洪雨铭二等奖79 东莞高级中学卢英豪二等奖80 东莞中学王宇程二等奖81 东莞中学唐子彧二等奖82 东莞市第一中学吴永伟二等奖83 东莞实验中学黄仲民二等奖84 东莞高级中学狄开岩二等奖85 东莞市东莞中学松山湖学校邓尧健二等奖86 虎门外语学校黄凯波二等奖87 翰林实验学校吴晔昊二等奖88 厚街中学陈梓航二等奖89 东莞市东华高级中学黄镇二等奖90 东莞中学崔冬琪二等奖91 东莞中学林一桥二等奖92 东莞中学钟泽培二等奖93 东莞实验中学余少凯二等奖94 东莞市东华高级中学萧利刚二等奖95 东莞市光明中学杨镇生二等奖96 翰林实验学校黄茜二等奖97 东莞市第一中学詹阳生二等奖98 东莞市第一中学李心如二等奖99 东莞市第一中学刘根生二等奖100 东莞市第一中学陈智远二等奖101 东莞市东华高级中学苏逸宁二等奖102 东方明珠学校曾鸿飞二等奖103 东莞中学孙可欣二等奖104 翰林实验学校朱英健二等奖105 东莞中学侯士燊二等奖106 东莞市南开实验学校林浩鑫二等奖107 东莞市东华高级中学陈钰彬二等奖108 虎门外语学校任岩松二等奖109 东方明珠学校李晓蓬二等奖110 光正实验学校陈家栋二等奖111 东莞市东华高级中学骆远辉二等奖112 东莞实验中学罗筠二等奖113 东莞市粤华学校龙婷婷二等奖114 东莞高级中学周金三等奖115 东莞高级中学刘锐三等奖116 东莞市东华高级中学周诗琪三等奖117 东莞市东华高级中学张威三等奖118 东莞市光明中学罗佳熙三等奖119 虎门外语学校王艺佟三等奖120 常平中学陈立彬三等奖121 东莞市第六高级中学石国林三等奖122 翰林实验学校帅聪三等奖123 光正实验学校程益三等奖124 东莞市松山湖莞美学校文唐轩三等奖125 东莞市东华高级中学刘潇涵三等奖126 东莞市东华高级中学刘家熹三等奖127 东莞中学黄健杰三等奖128 东莞实验中学陈淑钧三等奖129 东莞市光明中学袁南君三等奖130 东莞市光明中学蔡慧欣三等奖131 东莞市光明中学张家铭三等奖132 东莞中学敖睿三等奖133 东莞中学阳星月三等奖134 东莞中学罗一超三等奖135 东莞中学李瀚良三等奖136 东莞高级中学冯伟三等奖137 东莞市东莞中学松山湖学校陈鑫宇三等奖138 东莞市东莞中学松山湖学校刘丽珍三等奖139 东莞市光明中学陈炜锋三等奖140 翰林实验学校郑少彦三等奖141 东莞市第七高级中学罗庭威三等奖142 东莞市第十高级中学肖承江三等奖143 北京师范大学东莞石竹附属学校赖盼三等奖144 东莞市粤华学校李经纬三等奖145 东莞市松山湖莞美学校明光荣三等奖146 东莞市东莞中学松山湖学校赖鹤丰三等奖147 东莞市石龙中学冯耀昆三等奖148 光正实验学校黄亦诚三等奖149 东莞市第二高级中学张婉琴三等奖150 东莞中学杨晶鉒三等奖151 东莞实验中学关楚鹏三等奖152 东莞高级中学刘欣三等奖153 东莞高级中学李科诚三等奖154 东莞市第六高级中学范修来三等奖155 塘厦中学郭沛三等奖156 大朗中学余思思三等奖157 东莞市光明中学周德黎三等奖158 东莞市石龙中学袁仲和三等奖159 东莞实验中学李镇锋三等奖160 东莞高级中学梁文辉三等奖161 东莞市东华高级中学李浩三等奖162 东莞市石龙中学陈健源三等奖163 翰林实验学校黄政鸿三等奖164 北京师范大学东莞石竹附属学校卢俊杰三等奖165 东莞中学刘子儒三等奖166 东莞市第一中学郑子华三等奖167 东莞实验中学洪江鑫三等奖168 东莞高级中学袁梓濠三等奖169 厚街中学邓昌淑三等奖170 东莞市第一中学陈鹏宇三等奖171 东莞市东华高级中学陈桂锋三等奖172 东莞市东莞中学松山湖学校刘梓杰三等奖173 东莞市东莞中学松山湖学校阳海龙三等奖174 东莞外国语学校杨家竣三等奖175 东莞市光明中学刘灿彬三等奖176 东莞市光明中学李唯露三等奖177 虎门外语学校蓝靖瑜三等奖178 万江中学林丽妹三等奖179 常平中学刘肯三等奖180 东莞市南开实验学校黄庆怡三等奖181 东方明珠学校张耀宗三等奖182 光正实验学校郑敏芳三等奖183 东莞中学李泽源三等奖184 东莞中学祁震宇三等奖185 东莞中学何晓彤三等奖186 东莞中学梁润庄三等奖187 东莞中学陈溥淏三等奖188 东莞市第一中学杨思捷三等奖189 东莞实验中学陈烨三等奖190 东莞市东华高级中学陈树斌三等奖191 东莞市石龙中学唐浩勤三等奖192 常平中学黄树楷三等奖193 东莞市第六高级中学陈伟铧三等奖194 第八高级中学庄俊伟三等奖195 东莞中学黄善超三等奖196 东莞中学马逸坤三等奖197 东莞中学庄园三等奖198 东莞市第一中学钟楚峰三等奖199 东莞实验中学梁锐通三等奖200 东莞高级中学谭绮文三等奖201 东莞市光明中学周通三等奖202 东莞市石龙中学黄登科三等奖203 常平中学朱志森三等奖204 东莞市第六高级中学庾建昌三等奖205 翰林实验学校刘茜三等奖206 塘厦中学谢翀三等奖207 东方明珠学校王俊钦三等奖208 东方明珠学校杨清云三等奖209 光正实验学校李锐兵三等奖210 英才学校程泽浩三等奖211 东莞中学叶颖琛三等奖212 东莞市第一中学刘峥硕三等奖213 东莞实验中学陈子航三等奖214 东莞市东莞中学松山湖学校黄慧馨三等奖215 东莞市光明中学黄彦均三等奖216 虎门中学吴锦威三等奖217 东莞市南开实验学校黄春晖三等奖218 光正实验学校陈培祥三等奖219 英才学校吴晓青三等奖220 东莞中学戴家乐三等奖221 东莞市第一中学吴亮华三等奖222 东莞实验中学邱乾三等奖223 东莞实验中学文康三等奖224 东莞高级中学谭学斌三等奖225 东莞高级中学魏超三等奖226 东莞市东莞中学松山湖学校陈成希三等奖227 东莞市东莞中学松山湖学校薛建华三等奖228 东莞市东莞中学松山湖学校袁淑婷三等奖229 东莞市光明中学朱熠伦三等奖230 虎门中学陈家乐三等奖231 虎门中学刘良鸿三等奖232 常平中学梁倚朝三等奖233 常平中学张宇超三等奖234 东莞市第六高级中学莫浩华三等奖235 东莞市第六高级中学殷浩贤三等奖236 东莞市第六高级中学黄林源三等奖237 翰林实验学校方嘉豪三等奖238 东莞市第四高级中学杨丰铭三等奖239 塘厦中学张春玲三等奖240 东莞市南开实验学校萧灏文三等奖241 东莞市南开实验学校薛祥旺三等奖242 东莞市南城中学肖必鸿三等奖243 英才学校罗杰斌三等奖244 东莞市粤华学校詹嘉嘉三等奖245 东莞市光明中学黄逢亮三等奖246 东莞市光明中学苏纪华三等奖247 东莞市东华高级中学张海洋三等奖248 东莞中学李元琦三等奖249 东莞市第二高级中学杨佳伟三等奖250 东莞中学叶忠正三等奖251 东莞市东华高级中学刘子航三等奖252 光正实验学校陈俊杰三等奖253 东莞市第十高级中学马雪乐三等奖254 东莞市第一中学梁证隆三等奖255 东莞实验中学黄登儒三等奖256 东莞市东莞中学松山湖学校尹浩文三等奖257 东莞市济川中学吴俊宏三等奖258 光正实验学校黄任天三等奖259 东莞市第五高级中学杨本杰三等奖260 英才学校江腾浪三等奖261 虎门外语学校吴双三等奖262 东莞市第五高级中学龚淼云三等奖263 东莞实验中学陈益川三等奖264 东莞高级中学蔡永辉三等奖265 东莞高级中学黄奕凯三等奖266 东莞市东莞中学松山湖学校刘健恒三等奖267 东莞市东莞中学松山湖学校徐婕三等奖268 东莞市东莞中学松山湖学校周焕胜三等奖269 东莞市光明中学周广亮三等奖270 东莞市光明中学赵媛三等奖271 虎门中学邱戈帆三等奖272 常平中学张国政三等奖273 厚街中学林华波三等奖274 东莞中学黎晓欣三等奖275 东莞中学蔡容焕三等奖276 东莞市第一中学张健新三等奖277 东莞高级中学黄益银三等奖278 东莞市东华高级中学林安弘三等奖279 东莞外国语学校黄海鹏三等奖280 东莞市石龙中学邱锐鑫三等奖281 虎门中学郭佳豪三等奖282 万江中学曹家宝三等奖283 光正实验学校彭培杰三等奖284 东莞市长安中学张朝东三等奖285 大岭山中学黄晓建三等奖。
历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)
4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有
命题甲：θ> ；
命题乙：a、b、c相交于一点．
则
A．甲是乙的充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分
C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对
化简得， ①
与抛物线方程联立，得
即 ②
此时，方程②有两个相等的根：
代入①，得
所以直线DE与此抛物线有且只有一个公共点 ……10分
（2） ……15分
设直线DE与x轴交于点G，令
解得
于是
所以 ……20分
16.解：取
（1）先证：
因为
……5分
（2）再证：
综上可知，α的最大值是3，β的最小值是3 ……20分
1988年全国高中数学联赛试题
（2）设直线DE与此抛物线的公共点F，记△BCF与△ADE的面积分别为 ,求 的值.
16.设 为实数，若对任意的实数 恒成立，其中
求 的最大值和 的最小值
2017年全国高中数学联赛（四川初赛）试题
草考答案及评分标准
一，选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A
5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴M∪N∪P=I； ⑵N≠Ø． ⑶M≠Ø． ⑷P≠Ø中，正确的表达式的个数是
A．1B．2C．3D．4
解：均正确，选D．
⑴ 点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；
2016年全国高中数学联赛(B卷)试题及答案
2016年全国高中数学联赛(B卷)试题及答案2016年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分） 1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24aa +的值为．答案：6． 解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,a a +>故24 6.aa +=另解：设等比数列的公比为q ，则52611.a a a q a q +=+又因()()()()()22252132********2223331111112436222,a a a a a a a q a q a q a q a q a q a qa q a q a q aa =++=⋅+⋅+=+⋅⋅+=+=+而24a a+>，从而24 6.aa +=2.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ． 答案：7．解：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为133227.2MRSMNPQS S -=⨯-⨯⨯=正方形3.已知复数z 满足22z z z z+=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ．答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知， 222i 22i i,a b ab a b a b -+++=-比较虚、实部得220,230.a b a ab b -+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有230,a +=即32a =-，进而23b a a =+=于是，满足条件的复数z 的积为3333 3.22⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391xf xg x x +=++，则()()22f g 的值为 ．答案：2016. 解：由条件知()()002,f g += ①()()22818190.f g +=++= ②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=-结合①知，()()()()22400 2.f g f g --=+= ③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =⨯= 另解：因为()()391x f x g x x +=++， ①所以()()2290.f g += ②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以()()2.f x f x =- ③又因为()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x -=-，()()1212g x g x ⎡⎤-++=-++⎣⎦，从而()()2 4.g x g x =--- ④将③、④代入①，再移项，得()()3229 5.x f x g x x ---=++ ⑤在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g -= ⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g = 5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ． 解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为223560.C P ⨯=过所求的概率为6012.12525p == 6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C xy a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C xy x ay ++-+=则直线l 的方程为 ．答案：2450.x y -+=解：12,C C 的标准方程分别为 ()()2222212:1,:1 2.C x y C x y a a +=++-=-由于两圆关于直线l 对称，所以它们的半径相等．因此220,a a=->解得 2.a =故12,C C 的圆心分别是()()120,0,1,2.O O -直线l 就是线段12O O 的垂直平分线，它通过12O O 的中点1,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由此可得直线l 的方程是2450.x y -+=7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN=，则异面直线,AM BN所成角的余弦值为 ．解：如图，以底面ABCD 的中心O 为坐标原点，,,AB BC OVu u u r u u u r u u u r 的方向为,,x y z 轴的正向，V DN yxOzMCBA建立空间直角坐标系．不妨设2,AB =此时高1,VO =从而()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1.A B D V ----由条件知111112,,,,,222333M N ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此 311442,,,,,.222333AM BN ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r设异面直线,AM BN 所成的角为θ，则111cos 112AM BN AM BNθ⋅-===⋅⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数． 解：由于对任意整数n ，有 135113,2461224612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++≤+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭ 等号成立的充分必要条件是()1mod12n ≡-，结合12016n ≤≤知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =-=L 共有168个．另解：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()mod x y m ≡，则.x y m m ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭这是因为，当()mod x y m ≡时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故.x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧⎫=-=-=+-+=-=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n ≡时，11112222.2461224612n n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=+++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭容易验证，当正整数满足112n ≤≤时，只有当11n =时，等式324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭才成立．而201612168=⨯，故当12016n ≤≤时，满足324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭正整数n 的个数为168.二、解答题：（共3小题，共56分） 9.（16分）已知{}na 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程 ()2100lg lg 100x x =的两个不同的解，求12100a a a L 的值．解 对50,51k =，有()2100lg lg 1002lg ,k k k a a a ==+即()2100lg lg 20.kka a --=因此，5051lg ,lg aa 是一元二次方程210020tt --=的两个不同实根，从而()505150511lg lg lg ,100a a a a =+=即1100505110.aa =由等比数列的性质知，()501501001210050511010.a a aa a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭L 10.（20分）在ABC中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．解 （1）由数量积的定义及余弦定理知，222cos .2b c a AB AC cb A +-⋅==u u u r u u u r 同理得，222222,.22a cb a bc BA BC CA CB +-+-⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r 故已知条件化为()()22222222223,b c a a c b a b c +-++-=+-即22223.ab c +=（2）由余弦定理及基本不等式，得()2222222123cos 2223636a b a b a b c C ab ab a b a b b a b a +-++-===+≥⋅等号成立当且仅当::36 5.a b c =因此cos C 的最小值211.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C的方程为221xy -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．解 过点(),0a 作两条互相垂直的直线1:l x a =与2:0.l y =易知，1l 与C 交于点((22001,,1P a a Q a a ---（注意这里1a >），2l 与C交于点()()001,0,1,0,R S -由条件知20000212a PQ R S -===，解得 2.a =这意味着符合条件的a 2.下面验证2a事实上，当12,l l 中有某条直线斜率不存在时，则可设12:,:0l x a l y ==，就是前面所讨论的12,l l 的情况，这时有.PQ RS =若12,l l 的斜率都存在，不妨设((()121:2,:20,l y k x l y x k k==-≠ 注意这里1k ≠±（否则1l 将与C 的渐近线平行，从而1l与C 只有一个交点）． 联立1l 与C 的方程知，(222210,x k x ---=即()2222122210,k x k x k ----=这是一个二次方程式，其判别式为2440k∆=+>．故1l与C 有两个不同的交点,P Q ．同样，2l 与C 也有两个不同的交点,.R S 由弦长公式知，2222244112.11k k PQ k k k ++=+=⋅--用1k-代替k ，同理可得()()22221122.11k k RS k k --+-+=⋅=---于是.PQ RS =综上所述，2a =加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x L 和实数122016,,,y y yL 满足：（1）221,1,2,,2016kk xy k +==L ；（2）122016y yy +++L 是奇数．求122016x xx +++L 的最小值．解：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,kk xy k ≤≤=L 于是（注意0ix ≥）()2016201620162016201622211111120162016.kkkkk k k k k k x xy yy =====≥=-=-≥-∑∑∑∑∑ ① 不妨设112016,,0,,,0,02016,mm y yy y m +>≤≤≤L L 则201611,2016.mkk k k m ym y m ==+≤-≤-∑∑若11m kk ym =>-∑，并且201612015,kk m ym =+->-∑令 2016111,2015,mkk k k m ym a y m b ==+=-+-=-+∑∑则0,1,a b <<于是()201620161111201522016,m kkk k k k m y yy m a m b m a b ===+=+=-+--+=-+-∑∑∑由条件（2）知，20161kk y =∑是奇数，所以a b -是奇数，这与0,1a b <<矛盾． 因此必有11m kk ym =≤-∑，或者201612015,kk m ym =+-≤-∑则201620161112015.m kk k k k k m yy y ===+=-≤∑∑∑于是结合①得201611.kk x=≥∑又当122015201612201520160,1,1,0x xx x y y y y ==========L L 时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++L 的最小值为1．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤ 证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<≤是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<≤是偶数，则,2A B n =∅I 的不超过k 的正约数的集合是.A B U 若结论不成立，我们证明.A B =对d A ∈，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k ≤，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k ≤，即2d B ∈，故.A B ≤反过来，对d B ∈，设2d d '=，则|d n '，d '是奇数，又2k d k '≤<，故,d A '∈从而.B A ≤ 所以.A B =故2n 的不超过k 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立．三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠Q GPDBA 解：连接AC ，与BD 交于点.M 由平行四边形的性质，点M 是,AC BD 的中点．因此，GM Q PODB A点G 在线段AC 上．由于90GPC GQC ∠=∠=o，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆．由相交弦定理知 .PM MQ GM MC ⋅=⋅ ①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有1,2OC GC AG == 因此,G O 关于点M 对称．于是.GM MC AM MO ⋅=⋅ ②结合①、②，有PM MQ AM MO ⋅=⋅，因此,,,A P O Q 四点共圆．又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO ∠=∠，即AG 平分.PAQ ∠ 四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．解：先证明17.B ≥考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合B 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：情况一：A 中没有负数．设1211a a a <<<L 是A 中的全部元素，这里120,0,a a ≥>于是1223242113111011,a a a a a a a a a a a a <<<<<<<L L 上式从小到大共有19818++=个数，它们均是B 的元素，这表明18.B ≥情况二：A 中至少有一个负数．设12,,,k b b b L 是A 中的全部非负元素，12,,,lc c c L 是A 中的全部负元素．不妨设110,l kc c b b <<<≤<<L L 其中,k l 为正整数，11k l +=，而k l ≥，故 6.k ≥于是有 111212,k k l kc b c b c b c b c b >>>>>>L L 它们是B 中的110k l +-=个元素，且非正数；又有 23242526364656,b b b b b b b b b b b b b b <<<<<< 它们是B 中的7个元素，且为正数．故10717.B ≥+= 由此可知，17.B ≥另一方面，令{}2340,1,2,2,2,2,A =±±±±±则{}236780,1,2,2,2,,2,2,2B =-±±±±±-L 是个17元集合．综上所述，B 的元素个数的最小值为17.。
2016年贵州省高考数学试卷(文科)(全国新课标ⅲ)
2016年贵州省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）B=（）1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁AA．{4，8} B．{0，2，6} C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10} 2．（5分）若z=4+3i，则=（）A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）若tanθ=，则cos2θ=（）A． B． C．D．7．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C． D．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．8111．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4π B．C．6π D．12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+3y﹣5的最小值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知直线l：x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|= ．16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知各项都为正数的数列{an }满足a1=1，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0．（1）求a2，a3；（2）求{an}的通项公式．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：yi =9.32，tiyi=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜＜x；（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c x．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年贵州省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．C．2．D．3．A4．D5．C．6．D．7．A8．B．9．D10．B．11．B12．解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，可得P（﹣c，±），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得kBH =kBM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即A（﹣1，﹣1）．化目标函数z=2x+3y﹣5为．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣1）+3×（﹣1）﹣5=﹣10．故答案为：﹣10．14．解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ+（k∈Z），=，当k=0时，正数φmin故答案为：．15．解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==3，∴|AB|=2=2，∵直线l：x﹣y+6=0∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．16．解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）=f（﹣x）=e x﹣1+x，则f′（x）=e x﹣1+1，f′（1）=e0+1=2．∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）．即y=2x．故答案为：y=2x．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解答】解：（1）根据题意，an 2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0，当n=1时，有a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2=0，而a1=1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2=0，解可得a2=，当n=2时，有a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3=0，又由a2=，解可得a3=，故a2=，a3=；（2）根据题意，an 2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0，变形可得（an ﹣2an+1）（an+1）=0，即有an =2an+1或an=﹣1，又由数列{an}各项都为正数，则有an =2an+1，故数列{an }是首项为a1=1，公比为的等比数列，则an=1×（）n﹣1=n﹣1，故an=n﹣1．18．解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．．19．解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE=BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF==2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，∵AM CG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC=MG=3，又∵ME=3，EC=CG=2，∴△MEG的高h=，∴S===2，△BCM∴四面体N﹣BCM的体积VN﹣BCM===．20．解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为 x=﹣，S△PQF =|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF =|FN||y1﹣y2|，∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．21．解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣x+1的导数为f′（x）=﹣1，由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）；（2）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜＜x，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）可得f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）递减，可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x﹣1；设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0，即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；（3）证明：设G（x）=1+（c﹣1）x﹣c x，G′（x）=c﹣1﹣c x lnc，可令G′（x）=0，可得c x=，由c＞1，x∈（0，1），可得1＜c x＜c，即1＜＜c，由（1）可得f（x）的增区间为（0，1），可得c x=恰有一解，设为x=x0是G（x）的最大值点，且0＜x＜1，由G（0）=G（1）=0，且G（x）在（0，x0）递增，在（x，1）递减，可得G（x0）=1+（c﹣1）x﹣c x0＞0成立，则c＞1，当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c x．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]的参数方程为（α为参数），23．解答】解：（1）曲线C1移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，：+y2=1；即有椭圆C1曲线C的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，2即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；即有C2（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．[选修4-5：不等式选讲]24．解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．。
2016年高中数学联赛试题答案
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3. 正实数 u , v, w 均不等于 1，若 log u vw log v w 5 ， log v u log w v 3 ，则 ． log w u 的值为 4 答案： ． 5 解：令 log u v a, log v w b ，则 1 1 log v u , log w v ， log u vw log u v log u v log v w a ab ， a b 1 1 5 条 件 化 为 a ab b 5, 3 ， 由 此 可 得 ab ． 因 此 a b 4 1 4 log w u log w v log v u ． ab 5 4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币 和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值
M 为 AP 的中点．若 AB 1, AC 2, AP 2 ，则二面角 M BC A 的大小 为 ． 2 答案： arctan ． 3 解：由 ABC 90 知， AC 为底面圆的直径． 设 底 面 中 心 为 O ， 则 PO 平 面 ABC ． 易 知 1 AO AC 1 ，进而 PO AP 2 AO 2 1 ． 2 设 H 为 M 在底面上的射影，则 H 为 AO 的中 点．在底面中作 HK BC 于点 K ，则由三垂线定理 知 MK BC ，从而 MKH 为二面角 M BC A 的平面角． 3 1 HK HC 3 因 MH AH ，结合 HK 与 AB 平行知， ，即 HK ， 4 2 AB AC 4 MH 2 2 这样 tan MKH ．故二面角 M BC A 的大小为 arctan ． 3 HK 3 kx kx 6. 设函数 f ( x) sin 4 cos 4 ，其中 k 是一个正整数．若对任意实数 a ， 10 10 均有 f ( x) a x a 1 f ( x) x R ，则 k 的最小值为 ．
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题10 排列组合、二项式定理(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题10 排列组合、二项式定理（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2018·广东·高三竞赛）袋中装有m 个红球和n 个白球，m ＞n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系40m n +≤的数组（m ，n ）的个数为_______. 【答案】3 【解析】 【详解】记“取出两个红球”为事件A ，“取出两个白球”为事件B ，“取出一红一白两个球”为事件C ，则()22m m n C P A C +=，()22n m n C P B C +=，()112m nm nC C P C C +⋅=. 依题意得()()()P A P B P C +=，即2211m n m n C C C C +=.所以()2m n m n +=-，从而m n +为完全平方数.又由4m n >≥及40m n +≤，得940m n ≤+≤. 所以9,3,m n m n +=⎧⎨-=⎩或16,4,m n m n +=⎧⎨-=⎩或25,5,m n m n +=⎧⎨-=⎩或36,6,m n m n +=⎧⎨-=⎩. 解之得（m ，n ）=（6，3）（舍去），或（10，6），或（15，10），或（21，15）. 故符合题意的数组（m ，n ）有3个. 故答案为32．（2018·湖南·高三竞赛）已知123A B={a ,,}a a ⋃，当A B ≠时，(,)A B 与(,)B A 视为不同的对，则这样的(,)A B 对的个数有_____个. 【答案】26 【解析】 【详解】由集合A 、B 都是A B 的子集，A B ≠且()123,,A B a a a ⋃=. 当 A =∅时，B 有1种取法； 当A 为一元集时，B 有2种取法；当A 为二元集时，B 有4种取法； 当A 为三元集时，B 有7种取法.故不同的（A ，B ）对有13234726+⨯+⨯+=（个）. 故答案为263．（2018·湖南·高三竞赛）从-3、-2、-1、0、1、2、3、4八个数字中，任取三个不同的数字作为二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的系数.若二次函数的图象过原点，且其顶点在第一象限或第三象限，这样的二次函数有_____个. 【答案】24 【解析】 【详解】可将二次函数分为两大类：一类顶点在第一象限；另一类顶点在第三象限，然后由顶点坐标的符号分别考查.因为图象过坐标原点，所以c=0.故二次函数可写成()2f x a bx =+的形式.又()2224b b f x a x a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以其顶点坐标是2,24b b a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.若顶点在第一象限，则有02b a >，204b a->.故0a <，0b >. 因此，这样的二次函数有113412A A ⋅=个.若顶点在第三象限，则有02b a -<，204b a-<.故0a >，0b >.这样的二次函数有2412A =个. 由加法原理知，满足条件的二次函数共有11234424A A A ⋅+=个.故答案为244．（2018·湖南·高三竞赛）31||2||x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为_____.【答案】-20 【解析】 【详解】因为6312x x ⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭.所以()333346120T C ⎛⎫=-=-. 故答案为-205．（2018·四川·高三竞赛）设集合{}1,2,3,4,5,6,7,8I =，若I 的非空子集A B 、满足A B =∅，就称有序集合对(),A B 为I 的“隔离集合对”，则集合I 的“隔离集合对”的个数为______.（用具体数字作答） 【答案】6050 【解析】 【详解】设A 为I 的()17k k ≤≤元子集，则B 为I 的补集的非空子集.所以，“隔离集合对”的个数为()()()()7778880880808898888888111212122223216050kkk kk k k k C C C C C C C --===-=-=+-+---=-+=∑∑∑. 故答案为6050.6．（2020·浙江·高三竞赛）已知十进制九位数()12910a a a ⋅⋅⋅，则所有满足1254a a a >>>=，569a a a <<<的九位数的个数为__________.【答案】25 【解析】 【详解】由题意得：{}i (i 1,2,3,4,6,7,8,9)5,6,7,8,9a =∈，且有顺序.于是满足题意的有445525N C C =⋅=.故答案为：25.7．（2018·山东·高三竞赛）集合A 、B 满足{}1,2,3,,10A B =，A B =∅，若A 中的元素个数不是A 中的元素，B 中的元素个数不是B 中的元素，则满足条件的所有不同的集合A 的个数为______． 【答案】186 【解析】 【详解】设A 中元素个数为()1,2,,9k k =，则B 中元素个数为10k -，依题意k A ∉，441122m k m ⎛⎫⎛⎫-<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．10k B -∉，10k A -∈，此时满足题设要求的A 的个数为1102k C --．其中，当5k =时，不满足题意，故5k ≠．所以A 的个数为018484888882186C C C C C +++-=-=．8．（2020·辽宁锦州·高二期末）202148被7除后的余数为_______. 【答案】6 【解析】 【分析】将问题转化为二项式定理即可求解. 【详解】()2021202148491=-的通项公式为()202112021491r rr r T C -+=⨯⨯-，当{}0,1,2,,2020r ∈时，1r T +都能整除7，当2021r =时，该项为-1，所以余数为6. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查二项式定理，属于基础题.9．（2021·江西·铅山县第一中学高二阶段练习（理））已知多项式()()10310290129101(1)(1)1x x a a x a x a x a x +=+++++++++，则2a =___________.【答案】42 【解析】 【分析】根据题意把310x x +变形为()()3101111x x ⎡⎤⎡⎤-+++-++⎣⎦⎣⎦，然后利用二项式定理来求. 【详解】因为()()3103101111x x x x ⎡⎤⎡⎤+=-+++-++⎣⎦⎣⎦()()10290129101(1)(1)1a a x a x a x a x =+++++++++，所以22231042a C C =-+=.故答案为：42.10．（2021·全国·高三竞赛）若33223(2011)x y ax bx y cxy dy +=+++，则248a b c d -+-=__________．【答案】8-【分析】 【详解】令x 1,y 2==-，条件式立即化为3(2)248a b c d -=-+-，即2488a b c d -+-=-. 故答案为：8-.11．（2020·江苏·高三竞赛）用三个数字“3，1，4”构成一个四位密码，共有___________种不同结果． 【答案】81 【解析】 【详解】解析：只有一个数时，3种；两个数时，()221344242C C C +⨯=种；三个数时，33436⨯⨯=种，共81种． 故答案为：81.12．（2020·江苏·高三竞赛）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，则满足()()()f f f x x =的函数f ：A A →共有___________个．【答案】47 【解析】 【详解】解析,值域中元素的个数为1或6，若值域中元素的个数为1， 则()f x m =（m 为常数），共6种； 若值域中元素的个数6， 当()f x x =时，1种；当()(())((()))x f x f f x f f f x x →→→→，则3个一组，有36240C =．因此题述所求为164047++=个． 故答案为：47.13．（2018·河北·高三竞赛）欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有_____种上楼梯的方法.【解析】 【详解】本题采用分步计数原理.第一类：0次一步跨上2阶楼梯，即每步跨上一阶楼梯，跨7次楼梯，只有1种上楼梯的方法；第二类，1次一步跨上2阶楼梯，5次每步跨上一阶楼梯，跨6次楼梯，有166C =种方法；第三类：2次一步跨上2阶楼梯，3次每步跨上一阶楼梯，跨5次楼梯，有5210C =种方法；第四类：3次一步跨上2阶楼梯，1次每步跨上一阶楼梯，跨4次楼梯，有344C =种方法；共计21种上楼梯的方法.14．（2018·河南·高三竞赛）若()()222012224nn n x a a x a x a x n *+=++++∈N ，则242n a a a +++被3除的余数是______．【答案】1 【解析】 【详解】令0x =，得204na =．分别令1x =和1x =-，将得到的两式相加，得()2202421622nn n a a a a ++++=+． 所以()()2222122242162423142nn n n n n n a a a -+++=+-=+- ()()21211121mod3n n -≡-⨯-≡-≡．15．（2018·湖北·高三竞赛）一枚骰子连贯投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为______. 【答案】772【解析】 【详解】设1234a a a a 、、、分别是四次投掷骰子得到的点数，那么()1234,,,a a a a 共有46种不同的情况. 如果从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数，则1234a a a a ≤≤≤.若1234a a a a 、、、的值都相等，则()1234,,,a a a a 有16C 种不同的情况；若1234a a a a 、、、恰好取两个不同的值，则()1234,,,a a a a 有263C 种不同的情况；若1234a a a a 、、、恰好取3个不同的值，则()1234,,,a a a a 有363C 种不同的情况；若1234a a a a 、、、恰好取4个不同的值，则()1234,,,a a a a 有46C 种不同的情况.因此，满足1234a a a a ≤≤≤的情况共有1234666633126C C C C +++=（种）.故所求的概率为41267672=. 16．（2019·河南·高二竞赛）称{1,2,3,4,5,6,7,8,9}的某非空子集为奇子集：如果其中所有数之和为奇数，则奇子集的个数为____________ . 【答案】256 【解析】 【详解】全集{1，2，3，…，9}中含有5个奇数、4个偶数.根据奇子集的定义知，奇子集中只能含有1个奇数、3个奇数、5个奇数，而偶数的个数为0、1、2、3、4都有可能. 所以，奇子集共有：()()()101401450144444435454445C C C C C C C C C C C C +++++++++++()()135014555444C C C C C C =+++++()451012256=++⨯=个.故答案为：256．17．（2019·贵州·高三竞赛）已知m ∈{11，13，15，17，19}，n ∈{2000，2001，…，2019}，则mn 的个位数是1的概率为____________ . 【答案】25【解析】 【详解】当m =11，n ∈{2000，2001，…，2019}时，mn 的个位数都是1，此时有20种选法； 当m =13，n ∈{2000，2004，2008，2012，2016}时，mn 的个位数都是1，此时有5种选法； 当m =15时，mn 的个位数不可能为1，此时有0种选法；当m =17，n ∈{2000，2004，2008，2012，2016}时，mn 的个位数都是1，此时有5种选法； 当m =19，n ∈{2000，2002，2004，…，2018}时，m 的个位数都是1，此时有10种选法. 综上，所求概率为205051025205++++=⨯.故答案为：25．18．（2020·全国·高三竞赛）在1，2，3，…，10中随机选出一个数a 在－1，－2，－3，…，－10中随机选出一个数b ，则2a b +被3整除的概率为______ . 【答案】37100【解析】 【分析】题中条件2a b +是3的倍数，考虑2a 被3除的余数分情况讨论.另外注意有2a 和b 被3除的余数相加是3的倍数. 【详解】数组(),a b 共有210100=种等可能性的选法. 考虑其中使2a b +被3整除的选法数N .若a 被3整除，则b 也被3整除.此时,a b 各有3种选法，这样的(),a b 有239=种.若a 不被3整除，则()()222319613321a k k k k k =±=±+=±+，于是2a 被3除余1，那么b 被3除余2.此时a 有7种选法，b 有4种选法，这样的(),a b 有7428⨯=种.因此92837.N =+=于是所求概率为37100. 【点睛】此题考查计数原理和概率的知识，属于中档题.19．（2021·全国·高三竞赛）把数字09～进行排列，使得2在3的左边，3在5的左边，5在7的左边的排法种数为_________． 【答案】151200 【解析】 【分析】 【详解】考虑全排列，有种1010A 排法；将数字2、3、5、7从队列中拿出来，保留原队列顺序，有44A 种排法；使得2在3的左边，3在5的左边，5在7的左边，只能按照2、3、5、7的顺序排列，有1种排法；故满足题意的排法数是1010441151200A A ⋅=． 故答案为：151200.20．（2021·全国·高三竞赛）若多项式219201x x x x -+--+可以表示成1920011920a a y a y a y ++++，这里1y x =+，则2a =___.【答案】1330 【解析】 【分析】 【详解】 因为: ()()219202192021211(1)111(1)y x x x x x x x x x x y -+--+=+-+--+=+=+-，又因为：()()219201920220210119200119201y x x x x y a a y a y a y a y a y a y a y -+--+=++++=++++，所以3221C 1330a ==.故答案为：1330.21．（2021·全国·高三竞赛）有甲乙两个盒子，甲盒中有5个球，乙盒中有6个球（所有球都是一样的）.每次随机选择一个盒子，并从中取出一个球，直到某个盒子中不再有球时结束.则结束时是甲盒中没有球的概率为______. 【答案】319512【解析】 【分析】 【详解】相当于前十次中至少有五次选择了甲盒的概率， 即5101011101051319222512i i p CC ===+=∑.故答案为：319 512.22．（2021·全国·高三竞赛）一次聚会有8个人参加，每个人都恰好和除他之外的两个人各握手一次．聚会结束后，将所有握手的情况记录下来，得到一张记录单．若记录单上的每条握手记录不计先后顺序（即对某两张记录单，可以分别对其各条记录进行重新排列后成为两张完全相同的，则这两张被认为是同一种），则所有可能的记录单种数为_______．【答案】3507【解析】【分析】【详解】根据已知，将这8个人进行分组，每组的所有人排成一个圆圈，每个人和与其相邻的两个人握手．问题转化为这样的分组、以及分完组之后的项链排列（因为要求握手记录无序）方法有几种．注意到最多分成两组，则：当分成一组时，有7!2种；当分成两组时，若两组人数分别为3和5，则有384!2! 22C⋅⋅种；若两组人数都是4，则有483!3!2!22C⋅⋅种．故共有43887!4!2!3!3!3507 2222!22CC+⋅⋅+⋅⋅=种．故答案为：3507.23．（2021·全国·高三竞赛）先后三次掷一颗骰子，则其中某两次的点数和为10的概率为___________．【答案】23 108【解析】【分析】【详解】有两次为5的概率为213531166216C C+=，有两次为6和4的概率为211134323306216A C C C+=，所以概率为163023216216108+=. 故答案为：23108. 24．（2021·浙江·高二竞赛）对于正整数n ，若(5315)n xy x y -+-展开式经同类项合并，(,0,1,,)i j x y i j n =合并后至少有2021项，则n 的最小值为______.【答案】44 【解析】 【分析】 【详解】由(5315)(3)(5)n n n xy x y x y -+-=+-，共有()21n +项，所以2(1)2021n +≥，得1n ≥，则min 44n =. 故答案为：44.25．（2021·浙江·高三竞赛）已知整数数列1a ，2a ，…，10a ，满足1012a a =，4862+=a a a ，且11k k a a +-=（1k =，2，…，9），则这样的数列个数共有______个. 【答案】192 【解析】 【分析】 【详解】 分情况讨论：①先考虑468,,a a a ,设4a r =，则：(1)45678,1,2,3,4a r a r a r a r a r ==+=+=+=+; (2)45678,1,,1,a r a r a r a r a r ==+==+=; (3)45678,1,,1,a r a r a r a r a r ==+==-=; (4)45678,1,2,3,4a r a r a r a r a r ==-=-=-=-; (5)45678,1,2,3,a r a r a r a r a r ==-=-=+=; (6)45678,1,,1,a r a r a r a r a r ==-==-=;②再考虑910,a a ,同理共有4种,且10a r s =+,其中6,4,2,0,2,4,6s =---;③最后考虑123,,a a a 共有8种,且1a r t =+,其中1,3t =±±,所以110a a ≠,故1012a a =一定有解, 综上共有864192⨯⨯=个; 故答案为：192.26．（2021·全国·高三竞赛）将2枚白棋和2枚黑棋放入一个44⨯的棋盘中，使得棋盘的每个方格内至多放入一枚棋子，且相同颜色的棋子既不在同一行，也不在同一列，如果我们只区分颜色而不区分同种颜色的棋子，则不同放法的种数为_________． 【答案】3960 【解析】 【分析】利用去杂法可求不同方法的种数. 【详解】解析：将两枚白棋放入方格中的方法数为169722⨯=种，两枚黑棋放入方格中使得它们既不在同一行，也不在同一列的方法数为169722⨯=，其中至少有1枚黑棋与白棋放入同一方格的方法数为1892=⨯种，两枚黑棋均放入两枚白棋所在的方格中的方法数为1种，故由容斥原理可知不同的方法数为72(72291)3960⨯-⨯+=种． 故答案为：3960. 【点睛】思路点睛：对于较为复杂的组合计数问题，我们可以采用去杂法从反面考虑，但要注意防止重复计算，如本题中同色的棋子不做区分.27．（2021·全国·高三竞赛）用平行于各边的直线将一个边长为10的正三角形分成边长为1的正三角形表格，则三个顶点均为格点且各边平行于分割线或与分割线重合的正三角形的个数是___________. 【答案】315 【解析】 【详解】解析：设边长为n 的正三角形中由格点构成各边平行于分割线或与分割线重合的正三角形的个数为n a ，则1231,5,13a a a ===，当n 为偶数时，则21+12+212322n n n n n a a C --⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭，其中21n C +为增加的一条边上的1n +分点中的任意两个不同的构成的正三角形的个数； 2212322n n -⎛⎫++++ ⎪⎝⎭为以增加的一条边上的1n +分点中的任意一个点为顶点的正三角形的个数，同理，当n 为奇数时，则21+11+21232n n n n a a C --⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，其中21n C +为增加的一条边上的1n +分点中的任意两个不同的构成的正三角形的个数； 121232n -⎛⎫+++ ⎪⎝⎭为以增加的一条边上的1n +分点中的任意一个点为顶点的正三角形的个数，故2221034111a C C C =++++()()()()()2012121221221234212345+⨯++⨯+⨯++⨯+++⨯++++⨯++++⎡⎤⎣⎦=()()3223441112123454136101580315C C C C ++++++++++++=++=答案为：315.28．（2021·全国·高三竞赛）设()40382019201k k k x xa x =++=∑，其中(0,1,,4038)i a i =为常数，则134630kk a==∑___________.【答案】20183 【解析】 【详解】 设()201822403601240361x x b b x b x b x ++=++++，则()()()201922498601403611x x x x b b x b x ++=+++++.可见0031236456,,,a b a b b b a b b b ==++=++，因此40384036a b =.20180340380140363a a a b b b +++=+++=.故答案为：20183.29．（2021·全国·高三竞赛）设129,,,a a a 是1，2，…，9的一个排列，如果它们满足123456789a a a a a a a a a <<>>>><<，则称之为一个“波浪形排列”.则所有的“波浪形排列”的个数为___________. 【答案】379 【解析】 【详解】解析： 3a 只能取7､8､9，按照3a 取值依次分成三类，若39a =，有2385280C C =种排列；若38a =，有237484C C =种排列；若37a =，有26=15C 种排列； 可得总数为379. 故答案为：379.30．（2021·全国·高三竞赛）从正方形的四个顶点及四条边的中点中随机选取三个点，则“这三个点能够组成等腰三角形”发生的概率为___________. 【答案】514【解析】 【详解】解析：按照选取点中正方形顶点的个数进行分类，依次可以为3､2､1､0个，相应的等腰三角形个数为3344C 4142C 20+⨯+⨯+=，因此所求概率为38205C 14=. 故答案为：514. 31．（2021·全国·高三竞赛）圆周上有20个等分点，从中任取4个点，是某个梯形4个顶点的概率是_______． 【答案】48323【解析】 【详解】解析：梯形共有两种：从10组平行于直径的9条平行直线中选2条，或从10组不平行于直径的10条平行直线中选2条．第一种去掉矩形有()2910C 4320⨯-=个，第二种去掉矩形有()21010C 5400⨯-=个，共有720个，故概率是42072048323C =．故答案为：48323. 32．（2021·全国·高三竞赛）在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,){1,2},{1,2,3,4}}K x y x y =∈∈．从K 中随机取出五个点，则其中有四点共线或四点共圆的概率为____________． 【答案】57【解析】 【详解】考虑任四点不共线、任四点不共圆的情形． 由无四点共线知每列至少有一个点不取．不妨设左边一列有两个点不取，分六种情况知方法数为2200228+++++=．故原概率为3838C 165C 7P -==． 故答案为：57.33．（2021·全国·高三竞赛）在0、1、2、3、4、5、6中取5个数字组成无重复数字的五位数，其中是27倍数的最小数是_______． 【答案】14256 【解析】 【详解】解析：首先这个数是9的倍数，故这5个数字只能是0、3、4、5、6或1、2、4、5、6，五位数字之和为18．设五位数是abcde ，则()1000010001001010810mod27a b c d e a b c d e ++++≡+-++， 为了使数最小，考虑1a =，故可取各数字为1、2、4、5、6，先考虑12456，此时10810123250628a b c d e +-++=-++=，不合要求； 再考虑14256，此时10810141650654a b c d e +-++=-++=，符合要求. 故所求的最小的数是14256． 故答案为：14256.34．（2019·山东·高三竞赛）6个相同的红色球，3个相同的白色球，3个相同的黄色球排在一条直线上，那么同色球不相邻的概率是______ .【答案】5924【解析】 【详解】由题意可知，所有的排列方法种数为：12!6!3!3!N =⨯⨯，满足题意的排列方法数量为：5!253!2!n =⨯⨯⨯， 故同色球不相邻的概率为5!2553!2!12!9246!3!3!p ⨯⨯⨯==⨯⨯. 故答案为：5924． 35．（2019·贵州·高三竞赛）若(a +b )n 的展开式中有连续三项的二项式系数成等差数列，则最大的三位正整数n =____________ . 【答案】959 【解析】 【详解】设(a +b )n 的展开式中连续三项的二项式系数为11C ,C ,C (11)k k k n n n k n -+-.因为112C C C k k k n n n -+=+，所以22(41)420n k n k -++-=，得到n =①由n 为正整数，则8k +9应为奇完全平方数，故设8k +9=(2m +1)2，即222k m m =+-， 代入①式得n =(m +1)2－2或n =m 2－2. 所以，三位正整数n 的最大值为959. 故答案为：959．36．（2019·广西·高三竞赛）从1，2，…，20中任取3个不同的数，这3个数构成等差数列的概率为____________ . 【答案】338【解析】 【详解】设取出的3个不同的数分别为a 、b 、c .不同的取法共有320C 种，若这3个数构成等差数列，则有a +c =2b .故、c 同为奇数或同为偶数，且a 与c 确定后，b 随之而定.从而所求概率为221010320338C C P C +==. 故答案为：338． 37．（2019·浙江·高三竞赛）在复平面上，任取方程10010z -=的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为____________. 【答案】39200 【解析】 【详解】易知10010z -=的根在单位圆上，且相邻两根之间弧长相等，都为2100π，即将单位圆均匀分成100段小弧.首先选取任意一点A 为三角形的顶点，共有100种取法.按顺时针方向依次取顶点B 和顶点C ，设AB 弧有x 段小弧，CB 弧有y 段小弧，AC 弧有z 段小弧，则△ABC 为锐角三角形的等价条件为：1001,,49x y z x y z ++=⎧⎨⎩970,,48x y z x y z ++=⎧⇒⎨⎩ ① 计算方程组①的整数解个数，记1{|97,49}P x x y z x =++=，2{|97,49}P y x y z y =++=，3{|97,49}P z x y z z =++=，{(,,)|97,,,0}S x y z x y z x y z =++=，则123123||P P P S P P P ⋂⋂=-⋃⋃2991231C |i j i j P P P P P P <⎛=-++-∑⋂+ ⎝)23|P P ⋂⋂229950C 3C 1176=-=. 由于重复计算3次，所以所求锐角三角形个数为1001176392003⨯=.故答案为：39200．38．（2019·新疆·高三竞赛）随机取一个由0和1构成的8位数，它的偶数位数字之和与奇数位数字之和相等的概率为____________ . 【答案】35128【解析】 【分析】该8位数首位数字必须为1，分别计算出奇数位上和偶数位上1的个数，结合组合知识求出基本事件总数和偶数位数字之和与奇数位数字之和相等包含的基本事件个数即可得解. 【详解】设n 是满足题意的8位数，故知其偶数位上1的个数和在奇数位上1的个数相同，从而在奇数位上与偶数位上1的个数可能为1、2、3或4.注意到首位为1，下面分情况讨论：（1）奇数位上与偶数位上有1个1，3个0共有0134C C 4⋅=种可能；（2）奇数位上与偶数位上有2个1，2个0，共有1234C C 18⋅=种可能；（3）奇数位上与偶数位上有3个1，1个0，有2334C C 12⋅=种可能；（4）奇数位上与偶数位上有4个1，共有34341C C ⋅=种可能.合计共有4+18+12+1=35个满足条件的自然数n .又因为0和1构成的8位数共有72128=个，从而概率为35128. 故答案为：35128【点睛】此题考查求古典概型，关键在于熟练掌握计数原理，根据分类计数原理结合组合知识求解概率.39．（2019·新疆·高三竞赛）记[x ]为不超过实数x 的最大整数.若27788A ⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦201920207788⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则A 除以50的余数为____________ .【答案】40 【解析】 【分析】根据21277,88k k -均不是整数，利用放缩法分析出21221217772788k k k k ---⎡⎤⎡⎤-<+<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，结合二项式定理得A 除以50的余数. 【详解】注意到21277,88k k-均不是整数. 按定义212212212212177777772117888888k k k k k kk k -----⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤-=-+-<+<+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 所以对任意正整数k 均有21221777188k k k --⎡⎤⎡⎤+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22771k -=⋅-17(49)1k -=⋅- ()()()1101111117(501)175050111r k k k r k r k k k k C C C ---------=⋅--=⋅⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯-+⋅⋅⋅+⨯--17(1)1(mod 50)k -=⋅--.从而71010(11)101040(mod50)A ≡⋅⋅--≡. 故答案为：40 【点睛】此题考查数论相关知识点，涉及同余问题结合二项式定理处理，需要熟练掌握初等数论相关知识.40．（2020·全国·高三竞赛）现有10张卡片，每张卡片上写有1，2，3，4，5中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同．将这10张卡片放入标号为1，2，3，4，5的五个盒子中，规定写有i ，j 的卡片只能放在i 号或j 号盒子中．一种放法称为“好的”，如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数．则“好的”放法共有________种． 【答案】120． 【解析】 【分析】结合题意，对满足情况进行分类，运用组合的相关知识进行求解. 【详解】解：用{,}i j 表示写有i ，j 的卡片．易知这10张卡片恰为{,}(15)i j i j ≤<≤．考虑“好的”卡片放法．五个盒子一共放有10张卡片，故1号盒至少有3张卡片，能放入1号盒的卡片仅有{1,2},{1,3},{1,4},{1,5}．情况一：这4张卡片都在1号盒中，此时其余每个盒中已经不可能达到4张卡片，故剩下6张卡片无论怎样放都符合要求，有6264=种好的放法．情况二：这4张卡片恰有3张在1号盒中，且其余每盒最多仅有2张卡片． 考虑{1,2},{1,3},{1,4}在1号盒，且{1,5}在5号盒的放法数N ．卡片{2,3},{2,4},{3,4}的放法有8种可能，其中6种是在2，3，4号的某个盒中放两张，其余2种则是在2，3，4号盒中各放一张．若{2,3},{2,4},{3,4}有两张在一个盒中，不妨设{2,3},{2,4}在2号盒，则{2,5}只能在5号盒，这样5号盒已有{1,5},{2,5}，故{3,5},{4,5}分别在3号与4号盒，即{2,5},{3,5},{4,5}的放法唯一；若{{2,3},{2,4},{3,4}在2，3，4号盒中各一张，则2，3，4号盒均至多有2张卡片，仅需再使5号盒中不超过2张卡片，即{2,5},{3,5},{4,5}有0张或1张在5号盒中，对应0133C C 4+=种放法．因此612414N =⨯+⨯=．由对称性，在情况二下有456N =种好的放法． 综上，好的放法共有6456120+=种． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是结合题意进行分类讨论，需要考虑全面，不要漏掉情况，要求综合能力较强.41．（2021·浙江·高三竞赛）一条直线上有三个数字1a ，2a ，3a ，数字2a 位于1a ，3a 之间，称数值1223a a a a -+-为该直线的邻差值.现将数字1~9填入33⨯的格子中，每个数字均出现，过横向三个格子､竖向三个格子及对角线三个格子共形成8条直线.则这8条直线的邻差值之和的最小值为______，最大值为______. 【答案】 36 60 【解析】 【分析】 【详解】如图1,这8条直线的邻差值之和：9212387894147636951i i M a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==-+-+-+-+-+-+-+-+-∑,利用局部调整法,当(1,2,,9)i a i i ==⋯时，M 有最小值2226668436+++++++=.当如图2排列时，M 有最大值8189(9823)224602i i =⨯++--⨯=+=∑. 故答案为：36,60.42．（2021·全国·高三竞赛）刘老师为学生购买纪念品，商店中有四种不同类型纪念品各10件（每种类型纪念品完全相同），刘老师计划购买24件纪念品，且每种纪念品至少购买一件．则共有________种不同的购买方案． 【答案】633 【解析】 【详解】解析：只需计算()4210()f x x x x =+++中24x 的系数而()()4104210441()(1)x f x x x x x x -=+++=⋅-又由幂级数展开式可得233411420(1)nn x x C x x +=+++++-，故()()4102030403301464n n n f x x x x x x C x ∞+=⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭∑，故24x 的系数为3332313346633C C C -+=．故答案为：633．43．（2021·全国·高三竞赛）从集合{1,2,,2020}的非空子集中随机取出一个，其元素之和恰为奇数的概率为____________． 【答案】20192020221- 【解析】 【详解】解析：集合{1,2,,2020}共有非空子集202021-个，元素和为奇数的子集个数恰为函数()()22000()(1)11f x x x x =+++的展开式中奇次项系数之和2019(1)(1)22f f --=．故20192020221P =-．故答案为：20192020221-. 44．（2021·全国·高三竞赛）将圆周21n 等分于点1221,,,n A A A +，在以其中每三点为顶点的三角形中，含有圆心的三角形个数为__________． 【答案】1(1)(21)6n n n ++【解析】 【详解】任取一个分点记为P ，然后将其余2n 个分点这样标志， 自P 点后，逆时针方向的连续n 个点依次记为12,,,n A A A ，顺时针方向的连续n 个点依次记为12,,,n B B B ．先考虑以P 为顶点且含有圆心的三角形，如图，显然这种三角形的另两个顶点必须一个属于点集{}12,,,n A A A ，而另一个属于点集{}12,,,n B B B ．且这种i j PA B ，含有圆心当且仅当1,,{1,2,,}i j n i j n ++∈．现计算符合条件的三角形个数：当i k =时，j 可取值,1,,1n n n k --+，共计k 个值．因此这种含有圆心的i j PA B 个数为()112nk n n k =+=∑ ， 当点P 取遍21n 个位置，共得1(1)(21)2n n n ++个三角形，由于每个三角形有三个顶点，故每个三角形重复计算了三遍， 因此符合条件的三角形个数为1(1)(21)6n n n ++．故答案为：1(1)(21)6n n n ++.二、解答题45．（2021·全国·高二课时练习）已知集合M={1，2，3，4，5，6}，N={6，7，8，9}，从M 中选3个元素，N 中选2个元素组成一个含5个元素的新集合C ，则这样的集合C 共有多少个？ 【答案】90 【解析】 【分析】分类计数，再用加法原理求解. 【详解】第一类：从M 中选取3个元素且含6有25C 种，从N 中选取2个元素不含6有23C 种，根据分步乘法计数原理，有2253C C ⨯=10×3=30（种）;第二类：从M 中选取3个元素且不含6有35C 种，从N 中选取2个元素有24C 种，根据分步乘法计数原理，有3254C C ⨯=10×6=60（种）．由分类加法计数原理，集合C 共有30+60=90（个）． 46．（2018·广东·高三竞赛）已知正整数n 都可以唯一表示为2012999m m n a a a a =+⋅+⋅++⋅ ①的形式，其中m 为非负整数，{}0,1,,8j a ∈（0j =，1,,1m -），{}1,,8m a ∈.试求①中的数列012,,,,m a a a a 严格单调递增或严格单调递减的所有正整数n 的和. 【答案】984374748 【解析】【详解】设A 和B 分别表示①中数列严格单调递增和递减的所有正整数构成的集合.符号S （M ）表示数集M 中所有数的和，并将满足①式的正整数记为110m m n a a a a -=.把集合A 分成如下两个不交子集{}000A n A a =∈=和{}100A n A a =∈≠. 我们有()()()01S A S A S A ==.对任意1n A ∈，令()09f n n A =∈，则f 是1A 到0A 的双射. 由此得()()019S A S A =，从而()()110S A S A =. 又对任意10m m a a a a B -=∈，令()()()()101999m m b g a a a a A -==---∈，则g 是B 到1A 的双射，其中()119999918m m m a b +++=+++=-. 因为{}101018,0,1,,7m m m m B a a a a a a m --=≤<<<≤=所以B 中共有718m m C+=∑个元素，因此()()()7111809918m m m S B S A C ++=+=-∑88880099988k k k k k C C ===-∑∑ ()8891028=-. 又令2A 表示A 中最高位数8m a =的正整数全体，A 中其余的数和零所构成的集合记为3A ， 则()()()23S A S A S A =+. 对任意10m m a a a a B -=∈，令()()()()103888m m b a a a a A σ-==---∈则σ是B 到3A 的双射，其中118989891m m m a b -++=⋅+⋅++=-.所以()()()71138091m m m S B S A C++=+=-∑ ()888091102k k o k C ==-=-∑.最后对任意{}0288ma a a A =∈-，令()()()088mb a a a B τ==--∈.则τ是{}28A -到B 的双射，其中128989891m m m a b +++=⋅+⋅++=-.所以()()()712280891m m m S B S A C ++=+=+-∑()8188818919102k k k C +==+-=⋅-∑.于是，()()()()()8899191021082102S B S A S B S A ⎧+=-⎪⎨⎪+=-⎩解之得()931108096875008032S A =⨯+=，()15624704S B =. 由于A 和B 中都含有1，2，…，8，因此所求正整数的和等于()()36984374748S A S B +-=. 47．（2019·江苏·高三竞赛）平面直角坐标系中有16个格点(i ，j )，其中0≤i ≤3，0≤j ≤3.若在这16个点中任取n 个点，这n 个点中总存在4个点，这4个点是一个正方形的顶点，求n 的最小值. 【答案】11. 【解析】 【分析】分两步来证明：先找到10个点，它们中的任意四点不能构成正方形的顶点，再根据抽屉原理证明任意的11个点，一定存在4个点为正方形的四个顶点. 【详解】存在下面的10点即：点(0，0)，(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，1)，(0，2)，(3，2)，(0，3)，(1，3)，(3，3)， 其中任意4个点不能构成正方形的顶点，故11n ≥. 下证：任意11点中，一定存在4个点为正方形的四个顶点.因为共取11个点，分两种情况讨论：（1）有一行有4个点（设为1234,,,P P P P ），则余下三行共有7个点， 由抽屉原理知余下三行中必有一行至少有3个点（设为123,,Q Q Q ），因1234,,,P P P P ，123,,Q Q Q 分布在两行，若该两行相邻或中间隔一行，则存在四个点，它们为正方形的四个顶点；若该两行间隔两行，如图，不妨设1234,,,P P P P 为线段AB 上的格点，123,,Q Q Q 为线段OC 上的格点，对应的点的坐标为()()()0,0,1,0,2,0，余下4个点分布在中间两行，若线段DE 上有两个整点，则它们和1234,,,P P P P 中的两点构成正方形的顶点，否则线段GF 上至少有3个点，则其中必有两个格点与123,,Q Q Q 中的两点构成正方形的顶点.（2）任意一行都没有4个点，则各行的格点数分别为3,3,3,2，故4行中必有相邻两行各有3个格点，这6个格点中必存在4个格点，它们构成正方形的顶点. 【点睛】本题考查组合最值，此类问题，解决的基本方法是先找一个反例，从而确定变量的初始范围，再利用抽屉原理来证明该范围成立.48．（2019·上海·高三竞赛）设n 为正整数，称n ×n 的方格表Tn 的网格线的交点(共(n +1)2个交点)为格点.现将数1，2，……，(n +1)2分配给Tn 的所有格点，使不同的格点分到不同的数.称Tn 的一个1×1格子S 为“好方格”，如果从2S 的某个顶点起按逆时针方向读出的4个顶点上的数依次递增(如图是将数1，2，…，9分配给T 2的格点的一种方式，其中B 、C 是好方格，而A 、D 不是好方格)设Tn 中好方格个数的最大值为f (n ).（1）求f (2)的值；（2）求f (n )关于正整数n 的表达式.【答案】（1）f (2)=3.（2）221()2n n f n ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦.【解析】【详解】(1)如图①，将T 2的4个1×1格子(以下简称“格子”)分别记为A 、B 、C 、D ，将9个格点上的数分别记为a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i.当a ，b ，……，i 依次取为1，2，……，9时，易验证B 、C 、D 均为好方格，这表明f (2)≥3. 现假设f (2)=4，即存在一种数的分配方式，使A 、B 、C 、D 均为好方格.由对称性，不妨设边界上8个数a ，b ，……，h 中的最小数为a 或b .此时由A 为好方格知，或者有a <b <i <h ，或者有b <i <h <a ，故b <i <h 总是成立的.进而由B 、C 为好方格知，必有i <f <g <h ，b <c <d <i ，但这时d <i <f ，与D 为好方格矛盾. 综上可得f (2)=3.(2)设Tn 的各格点的数已被分配好，此时好方格有k 个称格子的一条边为一段“格线”我们对Tn 的每段格线标记一个箭头若格线连结了两个格点U 、V ，其中U 上的数小于V 上的数，则对格线UV 标上一个指向UV 顺时针旋转90°后所得方向的箭头.称一个格子S 及S 的一条边UV 所构成的有序对(S ，UV )为一个“对子”，如果UV 上所标的箭头由S 内指向S 外设对子总数为N .一方面，每个格子S 至少贡献1个对子(否则沿逆时针方向读S 顶点上的数将永远递减，矛盾)，而根据好方格的定义每个好方格贡献3个对子，于是()22312N k n k k n +⋅-=+.另一方面，Tn 的每段格线至多贡献1个对子，且Tn 边界上至少有一段格线标有向内的箭头(否则，沿逆时针方向读n 边界上的数将永远递增，矛盾)，从而不贡献对子.注意到Tn 的格线段数为2n (n +1)，所以又有2(1)1N n n +-.综合两方面得，2k +n 2≤2n (n +1)－1，即好方格的个数2212n n k+-. 最后，对n 为奇数和n 为偶数的情况，分别如图②和图③，将1，2，……，(n +1)2按粗线经过的次序依次分配给所有格点对图中标有“▲”记号的每个格子，易验证，按被粗线经过的先后次序排列其4个顶点，恰是一种逆时针排列，因而这些格子均为好方格.。
2016全国高中数学竞赛金牌获得
2016年全国高中数学竞赛金牌获得者随着社会的不断发展，越来越多的人意识到数学在现代社会中的重要性。
在我国，数学竞赛作为一种选拔人才的重要方式，备受关注。
2016年全国高中数学竞赛金牌获得者的产生，更是引起了广泛的关注和热议。
本文将对该事件进行介绍和分析。
1. 事件概述2016年全国高中数学竞赛金牌获得者，是指在全国各地的高中生中，通过层层选拔，最终获得全国竞赛金牌的优秀学生。
他们不仅在数学知识上有着扎实的基础，而且在解题能力和应试技巧上都表现出色，从而获得了全国性的荣誉。
2. 获奖条件要成为2016年全国高中数学竞赛金牌获得者，首先需要在所在地区的初赛中脱颖而出，获得省级及以上的奖项。
随后，需要参加全国性的决赛，经过激烈的角逐，最终获得金牌荣誉。
这一过程不仅检验了学生的数学水平，也考察了学生的心理素质和应试能力。
3. 优秀获奖者2016年全国高中数学竞赛金牌获得者中，有许多优秀的学生。
他们来自各个地区的中学，有的是省级的尖子生，有的是县级的冲锋者，但他们都在竞赛中展现出了自己的才华和实力。
他们的成功不仅为自己赢得了荣誉，也为母校和家乡增添了光彩。
4. 对社会的影响2016年全国高中数学竞赛金牌获得者的涌现，不仅是对他们个人的肯定，也是对我国数学教育的一种鞭策和鼓舞。
他们的成功，将激励更多的学生学习数学，发现数学的乐趣和美丽。
也将促进全国性的数学教育改革，提高数学教学的质量和水平，为培养更多的数学人才打下坚实的基础。
5. 结语2016年全国高中数学竞赛金牌获得者的脱颖而出，是他们辛勤努力和才华横溢的体现，更是我国数学教育取得成就的标志。
相信在未来的数学竞赛中，将会有更多的学生获得荣誉，为我国数学事业的繁荣作出更大的贡献。
6. 获奖者的背后故事每一个获得2016年全国高中数学竞赛金牌的学生都有着属于自己的背后故事。
有的学生自小便展现出了超凡的数学天赋，对数学充满了浓厚的兴趣和热爱；有的学生则是依靠坚持不懈的努力和日积月累的积累获得了成功。