高中数学竞赛辅导讲义-第五章--数列【讲义】

第五章 数列

一、基础知识

定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2,

a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：S n =

d n n na a a n n 2

)

1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有

a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数

列的充要条件是S n =An 2+Bn .

定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a a n

n =+1

，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。

定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，

S n =q

q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即

b 2=a

c (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。

定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极

限，记作.lim

A a n n =∞

→ 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为

q

a -11

（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。

竞赛常用定理

定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程

x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其

中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。

例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n .

例2 已知数列{a n }满足a 1=2

1

,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1=2

1,又a 1+a 2=22·a 2,

所以a 2=

231

⨯，a 3=4311

322⨯=-+1a a ,猜想)1(1+=n n a n (n ≥1).

证明；1）当n =1时，a 1=1

21

⨯，猜想正确。2）假设当n ≤k 时猜想成立。

当n =k +1时，由归纳假设及题设，a 1+ a 1+…+a 1=[(k +1)2-1] a k +1,，

所以

)

1(1231121+⨯++⨯+⨯k k =k (k +2)a k +1, 即1

1

13121211+-

++-+-k k =k (k +2)a k +1, 所以

1

+k k

=k (k +2)a k +1,所以a k +1=

.)2)(1(1++k k 由数学归纳法可得猜想成立，所以.)

1(1

+=

n n a n 例3 设0

a 1

，求证：对任意n ∈N +,有a n >1.

【证明】 证明更强的结论：1

2)假设n =k 时，①式成立，即1

.11111111121

=++>+++=++≥+=>++a a a a a a a a a a a k

k

由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。 2．迭代法。

数列的通项a n 或前n 项和S n 中的n 通常是对任意n ∈N 成立，因此可将其中的n 换成n +1或n -1等，这种办法通常称迭代或递推。