高中数学竞赛讲义七

高中数学竞赛讲义(免费)

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

高中数学竞赛讲义

数学竞赛讲义目录第一章集合 (2)第二章函数 (15)§函数及其性质 (15)§二次函数 (21)§函数迭代 (28)§抽象函数 (32)第三章数列 (37)§等差数列与等比数列 (37)§递归数列通项公式的求法 (44)§递推法解题 (48)第四章三角平面向量复数 (51)第五章直线、圆、圆锥曲线 (60)第六章空间向量简单几何体 (68)第七章二项式定理与多项式 (75)第八章联赛二试选讲 (82)§平几名定理、名题与竞赛题 (82)§数学归纳法 (99)§排序不等式 (103)第一章集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.§集合的概念与运算【基础知识】一．集合的有关概念1．集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.2．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.3．集合的分类：无限集、有限集、空集 .4. 集合间的关系：二．集合的运算1．交集、并集、补集和差集差集：记A 、B 是两个集合，则所有属于A 且不属于B 的元素构成的集合记作B A \.即A x B A ∈={\且}B x ∉.2.集合的运算性质(1)A A A =Y ,A A A =I (幂等律);(2)A B B A Y Y =, A B B A I I =(交换律);(3))()(C B A C B A Y Y Y Y =, )()(C B A C B A I I I I =(结合律);(4))()()(C A B A C B A Y I Y I Y =,)()()(C A B A C B A I Y I Y I =(分配律);(5)A A B A =)(Y I ,A B A A =)(I Y (吸收律);(6)A A C C U U =)((对合律);(7))()()(B C A C B A C U U U Y I =, )()()(B C A C B A C U U U I Y =(摩根律)(8))\()\()(\C A B A C B A I Y =,)\()\()(\C A B A C B A Y I =.3.集合的相等(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等;(2)利用定义,证明两个集合互为子集;(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.【典例精析】【例1】在集合},,2,1{n Λ中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 .〖分析〗已知},,2,1{n Λ的所有的子集共有个.而对于},,2,1{n i Λ∈∀,显然},,2,1{n Λ中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i ΛΛ+-的子集个数相等.这就说明i 在集合},,2,1{n Λ的所有子集中一共出现12-n 次,即对所有的i 求和,可得).(211∑=-=n i n n i S 【解】集合},,2,1{n Λ的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211+⋅=+++--n n n n n Λ =.2)1(1-⋅+⋅n n n 〖说明〗本题的关键在于得出},,2,1{n Λ中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i ΛΛ+-的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.【例2】已知集合}034|{},023|{222<+-=<++=a ax x x B x x x A 且B A ⊆,求参数a 的取值范围.〖分析〗首先确定集合A 、B,再利用B A ⊆的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得}0)3)((|{},12|{<--=-<<-=a x a x x B x x A当0>a 时,}3|{a x a x B <<=,由B A ⊆知无解;当0=a 时,φ=B ,显然无解;当0<a 时, }3|{a x a x B <<=,由B A ⊆解得.321≤≤-a 综上知,参数a 的取值范围是]32,1[-.〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B 要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【例3】已知+∈∈R y R x ,,集合}1,2,{},1,,1{2+--=---++=y y y B x x x x A .若B A =,则22y x +的值是( ).4 C【解】0)1(2≥+x Θ,x x x -≥++∴12,且012>++x x Θ及集合中元素的互异性知 x x x -≠++12,即1-≠x ,此时应有.112-->->++x x x x而+∈R y ,从而在集合B 中,.21y y y ->->+ 由B A =,得)3()2()1(12112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-+=++yx y x y x x 由(2)(3)解得2,1==y x ,代入(1)式知2,1==y x 也满足(1)式..5212222=+=+∴y x〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.【例4】已知集合}|,|,0{)},lg(,,{y x B xy y x A ==.若B A =,求++++)1()1(22y x y x ……+)1(20082008yx +的值. 〖分析〗从集合A=B 的关系入手,则易于解决.【解】B A =Θ,⎩⎨⎧=⋅⋅+=++∴0)lg(||)lg(xy xy x y x xy xy x ,根据元素的互异性,由B 知0,0≠≠y x .B ∈0Θ且B A =,A ∈∴0,故只有0)lg(=xy ,从而.1=xy又由A ∈1及B A =,得.1B ∈所以⎩⎨⎧==1||1x xy 或⎩⎨⎧==11y xy ,其中1==y x 与元素的互异性矛盾! 所以,1-=y x 代入得:++++)1()1(22y x y x ……+)1(20082008yx +=(2-)+2+(2-)+2+……+(2-)+2=0. 〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.【例5】已知A 为有限集,且*N A ⊆,满足集合A 中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.【解】设集合A=)1}(,,,{21>n a a a n Λ且n a a a Λ<<≤211,由=+++n a a a Λ21n a a a ⋅⋅⋅Λ21,*)(N n n a n ∈≥,得≥n na =+++n a a a Λ21n a a a ⋅⋅⋅Λ21)!1(-≥n a n ,即)!1(-≥n n 2=∴n 或3=n (事实上,当时,有)2)1()2)(1()!1(n n n n n >⋅-≥--≥-.当2=n 时,1,2,21122121=∴<∴<+=⋅a a a a a a a ,而.2,1122≠∴+≠⋅n a a当3=n 时,3,3213321321<⋅∴<++=⋅⋅a a a a a a a a a ,.2,121==∴a a由3332a a +=,解得.33=a综上可知,}.3,2,1{=A〖说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.【例6】已知集合}02|{},023|{22≤+-=≤+-=a ax x x S x x x P ,若P S ⊆,求实数a 的取值组成的集合A.【解】}21|{≤≤=x x P ,设a ax x x f +-=2)(2.①当04)2(2<--=∆a a ,即10<<a 时,φ=S ,满足P S ⊆;②当04)2(2=--=∆a a ,即0=a 或1=a 时,若0=a ,则}0{=S ,不满足P S ⊆,故舍去;若1=a 时,则}1{=S ,满足P S ⊆.③当04)2(2>--=∆a a 时,满足P S ⊆等价于方程022=+-a ax x 的根介于1和2之间. 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-<<><⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥<--<>∆0340121100)2(0)1(22)2(10a a a a a f f a 或φ∈⇔a . 综合①②③得10≤<a ,即所求集合A }10|{≤<=a a .〖说明〗先讨论特殊情形(S=φ),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对∆分类讨论,确定a 的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论.0>∆【例7】(2005年江苏预赛)已知平面上两个点集{(,)||1|,M x y x y x y =++∈R }, {(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R }. 若 M N ≠∅I , 则 a 的取值范围是．【解】由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10x y ++= 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察 M N =∅I 时, a 的取值范围:令 1y =,代入方程|1|x y ++=得 2420x x --=，解出得2x =± 所以，当211a <= 时, M N =∅I ． ………… ③令 2y =，代入方程|1|x y ++=得 2610x x --=. 解出得3x =．所以，当3a > 时, M N =∅I ． ………… ④因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当13a ≤≤+即[13a ∈ 时, M N ≠∅I ．故填[1-.【例8】已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<,N a a a a ∈4321,,,.若},{41a a B A =I ,1041=+a a .且B A Y 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.【解】Θ4321a a a a <<<,且},{41a a B A =I ,∴211a a =,又N a ∈1,所以.11=a又1041=+a a ,可得94=a ,并且422a a =或.423a a =若922=a ,即32=a ,则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a (舍) 此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A若923=a ,即33=a ,此时应有22=a ,则B A Y 中的所有元素之和为100≠124.不合题意. 综上可得, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合A 、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【例9】满足条件||4|)()(|2121x x x g x g -≤-的函数)(x g 形成了一个集合M,其中R x x ∈21,,并且1,2221≤x x ,求函数)(23)(2R x x x x f y ∈-+==与集合M 的关系. 〖分析〗求函数23)(2-+=x x x f 集合M 的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M 的属性.【解】|3||||)23()23(||)()(|212122212121++⋅-=++-++=-x x x x x x x x x f x f Θ 取65,6421==x x 时, .||4||29|)()(|212121x x x x x f x f ->-=- 由此可见,.)(M x f ∉〖说明〗本题中M 是一个关于函数的集合.判断一个函数)(x f 是否属于M,只要找至一个或几个特殊的i x 使得)(i x f 不符合M 中的条件即可证明.)(M x f ∉【例10】对集合}2008,,2,1{Λ及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如}9,6,4,2,1{的“交替和”是612469=+-+-,集合}10,7{的“交替和”是10－7=3,集合}5{的“交替和”是5等等.试求A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合},,2,1{n Λ求出所有的“交替和”.〖分析〗集合A 的非空子集共有122008-个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共有15个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 ;{3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1; {1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1;{1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设i A 是{1,2,3,4}中一个不含有的子集,令i A 与i A Y }4{相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对,再加上{4}的“交替和”为4,即{1,2,}的所有子集的“交替和”为32.【解】集合}2008,,2,1{Λ的子集中,除了集合}2008{,还有222008-个非空子集.将其分为两类:第一类是含2008的子集,第二类是不含2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果i A 是第二类的,则必有}2008{Y i A 是第一类的集合;如果j B 是第一类中的集合,则j B 中除2008外,还应用1,2,……,2007中的数做其元素,即j B 中去掉2008后不是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有2008,从而可得A 的所有子集的“交替和”为.2008220082008)22(2120072008⨯=+⨯- 同样可以分析},,2,1{n Λ,因为n 个元素集合的子集总数为n 2个(含φ,定义其“交替和”为0),其中包括最大元素n 的子集有12-n 个,不包括n 的子集的个数也是12-n 个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素n ),设不含n 的子集“交替和”为S,则对应的含n 子集的“交替和”为S n -,两者相加和为n .故所有子集的“交替和”为.21n n ⋅-〖说明〗本题中＂退到最简＂,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.【例11】一支人数是5的倍数的且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人，求这支游行队伍的人数最少是多少〖分析〗已知游行队伍的总人数是5的倍数，那么可设总人数为n 5.“按每横排4人编队，最后差3人”，从它的反面去考虑，可理解为多1人，同样按3人、2人编队都可理解为“多1人”，显然问题转化为同余问题.n 5被4、3、2除时都余地，即15-n 是12的倍数，再由总人数不少于1000人的条件，即可求得问题的解.【解】设游行队伍的总人数为)(5+∈N n n ，则由题意知n 5分别被4、3、2除时均余1，即15-n 是4、3、2的公倍数，于是可令)(1215+∈=-N m m n ，由此可得：5112+=m n ①要使游行队伍人数最少，则式①中的m 应为最少正整数且112+m 为5的倍数，应为2.于是可令)(25+∈+=N p q m ，由此可得：512]1)25(12[51+=++⋅=p p n ，25605+≥p n ②所以10002560≥+p ，4116≥p . 取17=p 代入②式，得10452517605=+⨯=n故游行队伍的人数最少是1045人.〖说明〗本题利用了补集思想进行求解，对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词语，可以根据补集思想方法，从词义气反面（反义词）考虑，对原命题做部分或全部的否定，用这种方法转化命题，常常能起到化繁为简、化难为易的作用，使之寻求到解题思想或方法，实现解题的目的.【例12】设n N ∈且n ≥15，B A ,都是{1，2，3，…，n }真子集，A B φ=I ，且A B U ={1，2，3，…，n }.证明：A 或者B 中必有两个不同数的和为完全平方数.【证明】由题设，{1，2，3，…，n }的任何元素必属于且只属于它的真子集B A ,之一. 假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，…，n }的真子集B A ,，使得无论是A 还是B 中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.不妨设1∈A ，则3∉A ，否则1+3=22，与假设矛盾，所以3∈B .同样6∉B ，所以6∈A ，这时10∉A ，，即10∈B .因n ≥15，而15或者在A 中，或者在B 中，但当15∈A 时，因1∈A ，1+15=24，矛盾；当15∈B 时，因10∈B ，于是有10+15=25，仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立.【赛向点拨】1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基础.因此，深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要.2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用.3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质这是解决集合问题的前提.4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.【针对练习】(A 组)1.(2006年江苏预赛) 设在xOy 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为31，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M I 所表示的图形面积为( ) A.31 B.32 C.1 D.34 2. (2006年陕西预赛)b a ,为实数,集合M=x x f a P ab →=:},0,{},1,{表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ,则b a +的值等于( )A.1- .0 C D.1±3. (2004年全国联赛)已知M={}32|),(22=+y x y x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是A ．[26,26-] B.（26,26-）C.（332,332-） D.[332,332-] 4. (2005年全国联赛) 记集合},6,5,4,3,2,1,0{=T },4,3,2,1,|7777{4433221=∈+++=i T a a a a a M i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++ 5. 集合A,B 的并集A∪B={a 1,a 2,a 3}，当且仅当A≠B 时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有( ).6.设A={n |100≤n ≤600,n ∈N }，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.7. 已知2{430,}A x x x x R =-+<∈,12{20,2(7)50,}x B x a x a x x R -=+-++∈且≤≤.若A B ⊆,则实数a 的取值范围是 .8. 设M={1,2,3,…,1995}，A 是M 的子集且满足条件: 当x ∈A 时,15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是_______________.9. (2006年集训试题)设n 是正整数，集合M={1，2，…，2n }．求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于10. 设A ＝{a |a ＝22x y -,,x y Z ∈}，求证：⑴21k -∈A (k Z ∈)； ⑵42 ()k A k Z -∉∈. 11.（2006年江苏）设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅I ，求实数a 的取值范围．12. 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：①P 中的元素有正数，有负数；②P 中的元素有奇数,有偶数；③－1∉P ；④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 试判断实数0和2与集合P 的关系.(B 组)1. 设S 为满足下列条件的有理数的集合：①若a ∈S ，b ∈S ，则a +b ∈S ， S ab ∈；②对任一个有理数r ，三个关系r ∈S ，－r ∈S ，r ＝0有且仅有一个成立.证明：S 是由全体正有理数组成的集合.2．321,,S S S 为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，若j i S y S x ∈∈,，则k S y x ∈-（1）证明：三个集合中至少有两个相等.（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素3．已知集合：}1|),{(},1|),{(},1|),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A 问（1）当a 取何值时，C B A I Y )(为含有两个元素的集合（2）当a 取何值时，C B A I Y )(为含有三个元素的集合4．已知{}22(,)4470,,A x y x y x y x y R =++++=∈, {}(,)10,,B x y xy x y R ==-∈.⑴请根据自己对点到直线的距离,两条异面直线的距离中 “距离”的认识,给集合A 与B 的距离定义;⑵依据⑴中的定义求出A 与B 的距离.5.设集合=P ｛不小于３的正整数｝，定义Ｐ上的函数如下：若P n ∈，定义)(n f 为不是n 的约数的最小正整数，例如5)12(,2)7(==f f .记函数f 的值域为Ｍ.证明：.99,19M M ∉∈6．为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个.【参考答案】A 组1.解： N M I 在xOy 平面上的图形关于x 轴与y 轴均对称，由此N M I 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得.为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了.由题意可得，N M I 的图形在第一象限的面积为A ＝613121=-.因此N M I 的图形面积为32. 所以选B.2.解:由M=P,从而1,0==a ab ,即0,1==b a ,故.1=+b a 从而选C. 3. 解：M N ≠∅I 相当于点（0，b ）在椭圆2223x y +=上或它的内部221,3b b ∴≤≤≤.故选A. 4.解: 用p k a a a ][21K 表示k 位p 进制数，将集合M 中的每个数乘以47，得32123412347{777|,1,2,3,4}{[]|,1,2,3,4}.i i M a a a a a T i a a a a a T i '=⋅+⋅+⋅+∈==∈=M '中的最大数为107]2400[]6666[=.在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400－2004=396.而=10]396[7]1104[将此数除以47，便得M 中的数.74707171432+++故选C. 5.解：A=φ时，有1种可能；A 为一元集时，B 必须含有其余2元，共有6种可能；A 为二元集时，B 必须含有另一元.共有12种可能；A 为三元集时，B 可为其任一子集.共8种可能.故共有1+6+12+8=27个.从而选A.6．解：被7除余2的数可写为7k +2. 由100≤7k +2≤600.知14≤k ≤85. 又若某个k 使7k +2能被57整除，则可设7k +2=57n . 即57256227778n n n n k n -+--===+.即n －2应为7的倍数. 设n =7m +2代入，得k =57m +16. ∴14≤57m +16≤85. ∴m =0,1.于是所求的个数为85－(14－1)－2=70．７．解：依题意可得{13}A x x =<<,设1()2x f x a -=+,2()2(7)5g x x a x =-++要使A B ⊆,只需()f x ,()g x 在(1,3)上的图象均在x 轴的下方,则(1)0f ≤,(3)0f ≤,(1)0g ≤,(3)0g ≤,由此可解得结果.8．解：由于1995=15133，所以，只要n >133，就有15n >1995.故取出所有大于133而不超过1995的整数. 由于这时己取出了159=135, … 15133=1995. 故9至133的整数都不能再取，还可取1至8这8个数，即共取出1995—133+8=1870个数, 这说明所求数≥1870.另一方面，把k 与15k 配对，（k 不是15的倍数，且1≤k ≤133）共得133—8=125对，每对数中至多能取1个数为A 的元素，这说明所求数≤1870，综上可知应填1870.9.解：考虑M 的n +2元子集P={n －l ，n ，n +1，…，2n }．P 中任何4个不同元素之和不小于(n －1)+n +( n +1)+( n +2)=4 n +2，所以k ≥n +3．将M 的元配为n 对，B i =(i ，2 n +1－i )，1≤i ≤n ．对M 的任一n +3元子集A ，必有三对123,,i i i B B B 同属于A(i 1、I 2、I 3两两不同)．又将M 的元配为n －1对，C I (i ，2n －i )，1≤i ≤n －1．对M 的任一n +3元子集A ，必有一对4i C 同属于A ，这一对4i C 必与123,,i i i B B B 中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为2 n +1+2 n =4 n +1,最小的正整数k = n +310． 10.解: ⑴∵k ,1k -∈Z 且21k -＝22(1)k k --,∴21k -∈A ；⑵假设42 ()k A k Z -∈∈,则存在,x y Z ∈,使42k -＝22x y -即()()2(21)x y x y k -+=- (*) 由于x y -与x y +具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立.由此，42()k A k Z -∉∈.11.解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<．当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅I 得03a <<；当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅I得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅I 不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-U ．12．解：由④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 可知，若x ∈P ，则)( N k P kx ∈∈ （1）由①可设x ，y ∈P ，且x ＞0，y ＜0，则－y x ＝|y |x (|y |∈N ) 故x y ,－y x ∈P ,由④,0＝(－y x )+x y ∈P .（2）2∉P .若2∈P ，则P 中的负数全为偶数，不然的话，当－（12+k ）∈P （N k ∈）时，－1＝（－12-k ）＋k 2∈P ，与③矛盾.于是，由②知P 中必有正奇数.设),( 12,2N n m P n m ∈∈--，我们取适当正整数q ，使 12|2|->-⋅n m q ，则负奇数P n qm ∈-+-)12(2.前后矛盾B 组1．证明：设任意的r ∈Q ，r ≠0,由②知r ∈S ，或－r ∈S 之一成立.再由①，若r ∈S ，则S r ∈2；若－r ∈S ，则S r r r ∈-⋅-=)()(2.总之，S r ∈2.取r =1，则1∈S .再由①，2=1+1∈S ，3=1+2∈S ，…，可知全体正整数都属于S . 设S q p ∈,，由①S pq ∈，又由前证知S q ∈21，所以21q pq q p ⋅=∈S .因此，S 含有全体正有理数.再由①知，0及全体负有理数不属于S .即S 是由全体正有理数组成的集合. 2．证明：（1）若j i S y S x ∈∈,，则i k S x y x y S x y ∈-=--∈-)(,，所以每个集合中均有非负元素.当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立.否则，设321,,S S S 中的最小正元素为a ，不妨设1S a ∈，设b 为32,S S 中最小的非负元素，不妨设,2S b ∈则b －a ∈3S .若b ＞0,则0≤b －a ＜b ，与b 的取法矛盾.所以b =0.任取,1S x ∈因0∈2S ,故x －0＝x ∈3S .所以⊆1S 3S ，同理3S 1S ⊆. 所以1S =3S .（２）可能.例如1S =2S ={奇数}，3S ={偶数}显然满足条件，1S 和2S 与3S 都无公共元素. 3．解：C B A I Y )(=)()(C B C A I Y I .C A I 与C B I 分别为方程组（Ⅰ）⎩⎨⎧=+=+1122y x y ax （Ⅱ）⎩⎨⎧=+=+1122y x ay x 的解集.由（Ⅰ）解得（y x ,）=（0，1）=（212a a+，2211a a +-）；由（Ⅱ）解得（y x ,）=（1，0），（2211a a +-，212aa+）（1）使C B A I Y )(恰有两个元素的情况只有两种可能：①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+111012222a a a a ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+011112222aa a a由①解得a =0；由②解得a =1.故a =0或1时，C B A I Y )(恰有两个元素.（2）使C B A I Y )(恰有三个元素的情况是：212a a +=2211aa +- 解得21±-=a ，故当21±-=a 时，C B A I Y )(恰有三个元素.4．解: (1)设1212,minP A P Bd P P ∈∈=(即集合A 中的点与集合B 中的点的距离的最小值),则称d 为A 与B 的距离.⑵解法一：∵A 中点的集合为圆22(2)(2)1,x y +++=圆心为(2,2)M --,令(,)P x y 是双曲线上的任一点,则2MP =22(2)(2)x y +++=224()8x y x y ++++ =2()24()x y xy x y +-+++8=2()4()28x y x y ++++ 令t x y =+,则2MP =22428(2)24t t t ++=++ 当2t =-时,即102xy x y =-⎧⎨+=-⎩有解，∴min MP =1d =解法二：如图,P 是双曲线上的任一点, Q 为圆22(2)(2)1x y +++=上任一点,圆心为M .显然,P M MP +Q Q ≥(当P M 、Q 、三点共线时取等号)∴min 1d MP =-. 5．解：记!18=n 时，由于1，2，……18都是n 的约数，故此时.19)(=n f 从而.19M ∈若存在P n ∈，使99)(=n f ，则对于小于99的正整数k ，均有n k |，从而n n |11,|9，但是1)11,9(=，由整数理论中的性质9×11=99是n 的一个约数，这是一个矛盾！从而.99M ∉ 6．证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21Λ。

高中数学竞赛讲义(全套)

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

高中数学竞赛讲义

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

三、高中数学竞赛基础知识第一章集合与简易逻辑一、基础知识定义1一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。

高中数学竞赛讲义(全套)

增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：
1. 平面几何
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个
特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、
旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2. 代数
周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角
例如 {有理数 }， { x x 0} 分别表示有理数集和正实数集。
定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，则 A 叫做 B 的子集，记为 A B ，例如 N Z 。规定空集是任何集合的子集，如果 A 是 B 的子集， B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不属于 A，则 A 叫 B 的真子集。
圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。
6 、逻辑推理问题
抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法；极端原理的简
单应用；枚举法及其简单应用。
三、高中数学竞赛基础知识
第一章集合与简易逻辑一、基础知识定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母
定理 1 集合的性质：对任意集合 A， B， C，有：
（1 ） A (B C ) ( A B) ( A C ); （ 2） A (B C ) ( A B) (A C ) ；（3 ） C1 A C1 B C1 ( A B); （ 4） C1 A C1 B C1 ( A B).
【证明】这里仅证（ 1 ）、（ 3），其余由读者自己完成。

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高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》讲义

高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》一、知识清单1. 求轨迹方程的步骤：建(系),设(点),限(制条件),代(入坐标),化(简).2．直线方程的几种形式：一般/点斜/斜截/截距/两点式.3．l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1l 2的充要条件是k 1k 2=-1。

4．两点P 1(x 1, y 1)与P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-。

5．点P(x 0, y 0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：2200||B A C By Ax d +++=。

6．圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2；圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0)圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x 二、试题汇编1. 与圆()2221x y -+=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有 (A) 2条 (B) 3条 (C) 4条 (D) 6条2. 已知221a b +=，且c a b <+恒成立，则c 的取值范围是(A) (,2)-∞- (B) (,-∞ (C) ( (D) (-∞3. P 是圆2236x y +=上的动点，A （20,0）线段PA 的中点M 的轨迹方程为4. 已知点P 是直线40kx y ++=，PA ，PB 是圆C: 2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为 .5. 若集合： {}221(,)lg(1)1lg()S x y x y x y =++≤++ {}222(,)lg(2)2lg()S x y x y x y =++≤++则2S 的面积与1S 的面积之比为 .6. 在直角坐标xoy 中，曲线235x y +=所围成的图形的面积是 .7. 直线10ax by -+=平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则ab 的取值范围为 .8. 点P 在圆2225x y +=上，A （1,2）、B （4,1），则△PAB 面积最大值是 .9. 已知[0,2)θπ∈，则θθs i n 2c o s 3-+=y 的取值范围是 .10. 方程1x -=表示的曲线是 .11. 函数()2f x x =+的值域是 .。

高中数学竞赛讲义(常考知识点归纳汇总)

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

三、高中数学竞赛基础知识第一章集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

2019年春季高一数学竞赛讲义-第七讲-排序不等式-教师版

例题精讲【例1】.设12,,,n a a a 是两两不同的正整数，证明：2111n n k k k a k k==≥∑∑解析用排序不等式。

对于任意给定的正整数n ，将12,,,n a a a 按从小到大顺序排列为12n a a a '''≤≤≤ 。

因为2222211111(1)321n n <<<<<- ，据排序不等式得12122222221111111212n n a a a a a a n n '''+++≤+++ ，即22111n n k k k k a a k k =='≥∑∑。

又因为12,,,n a a a''' 为两两不等的正整数，所以k a k '≥（n k ,...2,1=），于是221111n n n k k k k a k k k k ==='≥=∑∑∑，故∑∑==≥nk n k kk k a 1121。

【例2】假设12,,,n b b b 是正数12,,,n a a a 的某一排列，证明：1n i i ianb =≥∑解析由对称性，不妨设120n a a a ≥≥≥> ，则1211111n n a a a a -≥≥≥≥ ，注意到12111,,,n b b b 是12111,,,na a a 的一个排列，故由排序不等式：乱序和大于等于逆序和第7讲排序不等式12121212111111...n n n na a a a a a nb b b a a a ⋅+⋅++⋅≥⋅+⋅++⋅= 即证1212...n na a a nb b b +++≥【例3】若0,1i x i n >≤≤，利用排序不等式，再次证明如下命题：222223112122341n n n n x x x x x x x x x x x x x -+++++≥+++ 思考：本题和第2题有什么不同之处？解析对22212,,,n x x x ，12111,,,nx x x 而言不能直接排序（因为不是对称式）.设12,,,n x x x 从小到大的排序是12,,,n a a a ，从而22212n a a a ≤≤≤ ，12111n a a a ≥≥≥ 再设12,,,n b b b 是12,,,n x x x 的任意一个排列，则由排序不等式：乱序和大于等于逆序和，有2222221212111212111111n n n n i i i i n n a a a a a a a x b b b a a a ==⋅+⋅+⋅≥⋅+⋅+⋅==∑∑ 注意到可取i b 为分母2i a 所对应的j x ，则知22222212121223112111n n n nx x x a a a x x x x x x b b b +++=⋅+⋅+⋅≥+++ 【例4】设ABC ∆的三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其周长为1，求证：1113(a b c A B C A B C++≥++解析注意到排序不等式，由对称性，不妨设a b c ≥≥，则有A B C ≥≥，则有111C B A≥≥由排序不等式：乱序和大于等于逆序和，则有1113()a b c a b c a b c A B C A B Ca b c b c a c a b A B C A B C A B C a b c A B C ++++++++=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥++设,,a b c 为正数，求证333a b c a b c bc ac ab++≥++解析方法一：排序不等式不妨设a b c ≥≥，则111bc ac ab ≥≥，a b c bc ac ab≥≥，则由排序不等式：顺序和大于等于乱序和，有222222a b c a b c ab bc ac ac ab bc a b c b c a a b c bc ac ab bc ac ab c a b c a b++≥++=++≥++=++方法二：利用柯西不等式和均值不等式()()()()3334442222223*********a b c a b c bc ac ab abca b c a b c abc abc a b c a b c ++=++⎡⎤≥++≥++⎢⎥⎣⎦=++⋅≥++【例6】设0a b c d e ≤≤≤≤≤，且1a b c d e ++++=，求证15ad dc cb be ea ++++≤解析因为a b c d e ≤≤≤≤，所以d e c e b d a c a b +≥+≥+≥+≥+，利用切比雪夫不等式，有()()()()()12()[()()()()()]55a d ebc e c bd d a ce a b a b c d e d e c e b d a c a b +++++++++≤+++++++++++++=也即22()5ad dc cb be ea ++++≤，因此15ad dc cb be ea ++++≤【例7】将1,2,3(2018)n n ≥ 这n 个正整数任意排列可以得到!n 个不同的数列，问其中是否存在4个数列：123,,,n a a a a ，123,,,n b b b b ，123,,,n c c c c ，23,,,n d d d d 使得11221122332()n n n n a b a b a b c d c d c d c d +++=++++ .解析考虑形如1122n n a b a b a b +++ 的和式的最大值和最小值.由排序不等式，有：2221122112(1)(21)6n n a b a b a b n n n n +++≤+++=++ 11222211112(1)1(1)1(1)(1)(1)(21)26n n n n n k k k a b a b a b n n n n n k n k n k k n n n ===+++≥⋅+⋅-++⋅+=+-=+-=-++∑∑∑ 可知最大值和最小值之比小于2故不存在.（国际数学奥林匹克）设12...n x x x ≤≤≤，12...n y y y ≤≤≤，又12,,...,n z z z 是12,,...,n y y y 的一个排列，求证：2211()()n ni i i i i i x y x z ==-≤-∑∑解析由排序不等式，得11n n i i i i i i x y x z ==≥∑∑，即1122n ni i i i i i x y x z ==-≤-∑∑，但222211()()n ni i i i i i x y x z ==+=+∑∑，所以222211(2)(2)n ni i i i i i i i i i x x y y x x z z ==-+≤-+∑∑，也就是2211()()n ni i i i i i x y x z ==-≤-∑∑【例9】设c b a ,,是三角形的三边长，求证：222()()()3a b c a b c a b c a b c abc +-++-++-≤解析不妨设c b a ≥≥，首先有先得()()()a b c a b c a b c a b c +-≤+-≤+-，由排序不等式，则有222()()()()()()a b c a b c a b c a b c ab c a b bc a b c ca b c a +-++-++-≤+-++-++-以及222()()()()()()a b c a b c a b c a b c ab b c a bc c a b ca a b c +-++-++-≤+-++-++-以上两不等式相加便得.。

高中数学竞赛讲义(全套)

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

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仅证 1
4
C1 A I C1 B = C1 ( A U B).
证明
3 ，余读者自完成
则 x ∈ A，且 x ∈ B 或 x ∈C ，所 1 若 x ∈ A I (B U C ) ，
x ∈ ( A I B) 或 x ∈ ( A I C ) ，
x ∈ ( A I B) U ( A I C )
之，x ∈ ( A I B ) U ( A I C ) ，则 x ∈ ( A I B) 或 x ∈ ( A I C ) ，
k 个子集中
，否则，若在 k 个子
A，并设 A I A1 = ∅ ，则 A1 ⊆ C1 A ，而可
集中再添加 C1 A ，
知矛盾，所
k ≥ 2 n −1
综， k = 2 n −1
6．竞赛常用方法例题定理 4 容斥原理用 A 表示集合 A 的元素个数，则 A U B = A + B − A I B ,
的一元一次方程一元次方程的解法含母系数的一元一次等式的解法，一元次等式的解法含绝对值的一元一次等式简单的多元方程组简单的定方程组 4 函数次函数在给定间的最值，简单函数的最值含母系数的次函数 5 几何角形中的边角之间的等关系面等换角形中的边角之间的等关系面等换角形的心内心外心垂心心性质相似形的概念和性质圆，四点共圆，圆幂定理四种命题关系 6 逻推理题抽屉原理简单用简单的组合题简单的逻推理题，证法极端原理的简单用枚举法简单用
A U B = A, A I C = C ，求 a, m.
解依题设， A = {1,2} ，再因因
x 2 − ax + a − 1 = 0 解得 x = a − 1 或 x = 1 ，

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高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

高中数学联赛讲义

高中数学联赛培训讲义全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高。

第一讲集合、函数、方程例1.集合{x|－1≤log x110<－21，1<x ∈N}的真子集个数为。

(96年全国高中联赛) 【分析】先求出所给集合的元素个数，那么真子集的个数为2n －1 【解】【小结】运用对数运算法则和解不等式，掌握集合、真子集、换底、同底法、分数性质。

练习①.已知集合A ＝{y|2<y<3}，x ＝31log 121＋31log 151，则x 与A 的关系是。

(83年)②(93年)若M ＝{(x,y)||tg πy|＋sin 2πx ＝0}，N ＝{(x,y)|x 2＋y 2≤2}，则|M ∩N|＝。

A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 附：|A|表示A 的元素个数（93年）③若非空集合A ＝{x|2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x|3≤x ≤22}，则能使A A ∩B 成立的所有a 的集合是。

（98年）例2.f(x) （x ∈R ）是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f(x)＝x 19981，则：f(1998)、 f(17101)、f(15104)由小到大的排列是。

(98年全国高中联赛) 【分析】利用周期函数、偶函数的性质，将函数自变量转化到区间[0,1]，再比大小。

【解】【小结】周期函数的性质、偶函数性质、幂函数单调性；转化思想。

练习①设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当x ∈[2,3]时，f(x)＝x ，则当x ∈[-2,0]时，f(x)的解析式是。

(90年)A. f(x)＝x ＋4B. f(x)＝2－xC. f(x)＝3－|x ＋1|D. f(x)＝2＋|x ＋1|②若a>1，b>1，且lg(a ＋b)＝lga ＋lgb ，则lg(a －1)＋lg(b －1)的值。

高中数学竞赛讲义(七)解三角形

高中数学竞赛讲义（七）──解三角形一、基础知识在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，为半周长。

1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。

推论1：△ABC的面积为S△ABC=推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足，则a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。

先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=；再证推论2，因为B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论3，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0<-A+a，-a+A<. 所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。

2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理证明几个常用的结论。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2=（1）【证明】因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos，所以c2=AD2+p2-2AD·pcos①同理b2=AD2+q2-2AD·qcos，②因为ADB+ADC=，所以cos ADB+cos ADC=0，所以q×①+p×②得qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式（2）海伦公式：因为b2c2sin2A=b2c2(1-cos2A)= b2c2[(b+c)-a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).这里所以S△ABC=二、方法与例题1．面积法。

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高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

高中数学竞赛讲义

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

三、高中数学竞赛基础知识第一章集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

高中数学竞赛第七章解三角形【讲义】

第七章解三角形一、基础知识在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2cb a p ++=为半周长。

1．正弦定理：CcB b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。

推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 21sin 21sin 21B ca A bc C ab ==推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足)sin(sin a ba a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。

先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 21；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理BbA a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]=21-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。

2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bca cb A 2cos 222-+=⇔，下面用余弦定理证明几个常用的结论。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq qp qc p b -++ （1）【证明】因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠，所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π，所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0，所以q ×①+p ×②得qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq qp qc p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.222222a c b AD -+=（2）海伦公式：因为412=∆ ABC S b 2c 2sin 2A=41b 2c 2(1-cos 2A)=41b 2c 21614)(1222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-c b a c b [(b+c)2-a 2][a 2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里.2cb a p ++=所以S △ABC =).)()((c p b p a p p ---二、方法与例题1．面积法。

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