最新高中数学竞赛基本知识集锦

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高中数学竞赛基本知识集锦

1 一、三角函数

2 常用公式

3 由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，

4 两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，

5 有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）：

6 半角公式

7

α

α

ααααα

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12

tan

+=-=+-±

=

8 积化和差

9 ()()[]βαβαβα-++=

sin sin 21

cos sin 10 ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21

sin cos

11 ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21

cos cos

12 ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2

1

sin sin

13 和差化积

14 2cos

2sin

2sin sin β

αβ

αβα-+=+

15 2sin

2cos 2sin sin β

αβαβα-+=- 16 2cos

2cos 2cos cos β

αβαβα-+=+ 17 2

sin

2sin 2cos cos β

αβαβα-+-=- 18 万能公式

19

2

α

α

α2tan 1tan 22sin +=

20 α

α

α22tan 1tan 12cos +-=

21 α

α

α2

tan 1tan 22tan -=

22 三倍角公式

23 ()()

αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 24 ()()

αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3

25 二、某些特殊角的三角函数值 26 除了课本中的以外，还有一些

27

28

3

三、三角函数求值

29 给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具30 体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，31 如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不32 了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角33 函数除下去 34 举个例子 35 求值：7

6cos

74cos 72cos

π

ππ++ 36

提示：乘以7

2sin

2π

，化简后再除下去。 37 求值：︒︒-︒+︒80sin 40sin 50cos 10cos 22 38

39 来个复杂的

40

设n 为正整数，求证n

n n i n

i 21

212sin

1

+=

+∏=π 41

另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲

42

43 四、三角不等式证明

44 最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。 45 例

46 求证：x 为锐角，sinx+tanx<2x

47

4

48 设12

π

≥

≥≥z y x ，且2

π

=

++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值。

49 注：这个题目比较难 50 数列

51 关于数列的知识可以说怎么学怎么有，还好我们只是来了解竞赛中最基本的一些东52 西，不然我可写不完了。

53

54 1给递推式求通项公式 55 (1)常见形式即一般求解方法

56 注：以下各种情况只需掌握方法即可，没有必要记住结果，否则数学就变成无意义57 的机械劳动了。 58 ①q pa a n n +=+1

59 若p=1，则显然是以a 1为首项，q 为公差的等差数列，

60

若p ≠1，则两边同时加上

1-p q ，变为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+=-++11

1p q a p p q a n n 61 显然是以1

1-+

p q

a 为首项，p 为公比的等比数列 62

②()n f pa a n n +=+1，其中f(n)不是常数

63

若p=1，则显然a n =a 1+()∑-=11

n i i f ，n ≥2

64

5

若p ≠1，则两边同时除以p n+1，变形为

()111++++=n n n n n p

n f p a p a 65 利用叠加法易得()∑-=++=1111n i i n n p i f p a p a ，从而()⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+=∑-=-1

111n i i n n p i f a p a

66

注：还有一些递推公式也可以用一般方法解决，但是其他情况我们一般使用其他更67 方便的方法，下面我们再介绍一些属于数学竞赛中的“高级方法”。 68 (2)不动点法

69 当f(x)=x 时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。

70

典型例子：d

a c b

a a a n n n +⋅+⋅=

+1

71

注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。 72 我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类73 的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了 74 令d

x c b

x a x +⋅+⋅=

，即()02=--+b x a d cx ，

75 令此方程的两个根为x 1，x 2， 76 若x 1=x 2 77 则有

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p x a x a n n +-=-+1

111

1

79

其中k 可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。

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