(推荐)高中数学竞赛基本知识集锦

高中数学竞赛基本知识集锦

一、三角函数

常用公式

由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）：

半角公式

α

αααααα

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan +=-=+-±= 积化和差

()()[]βαβαβα-++=sin sin 2

1cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 2

1sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 2

1cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2

1sin sin 和差化积

2

cos 2sin 2sin sin βαβ

αβα-+=+

2

sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2

cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ 2

sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 万能公式 α

αα2tan 1tan 22sin += α

αα22tan 1tan 12cos +-= α

αα2tan 1tan 22tan -= 三倍角公式

()()αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3

()()

αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3

二、某些特殊角的三角函数值

三、三角函数求值

给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去

举个例子

求值：7

6cos 74cos 72cos

πππ++ 提示：乘以72sin 2π，化简后再除下去。 求值：︒︒-︒+︒80sin 40sin 50cos 10cos 22

来个复杂的

设n 为正整数，求证n

n n i n i 21212sin

1+=+∏=π 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲

四、三角不等式证明

最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。

例

求证：x 为锐角，sinx+tanx<2x

设12π

≥≥≥z y x ，且2π

=++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值。

注：这个题目比较难

关于数列的知识可以说怎么学怎么有，还好我们只是来了解竞赛中最基本的一些东西，不然我可写不完了。

1给递推式求通项公式

(1)常见形式即一般求解方法

注：以下各种情况只需掌握方法即可，没有必要记住结果，否则数学就变成无意义的机械劳动了。 ①q pa a n n +=+1

若p=1，则显然是以a 1为首项，q 为公差的等差数列，

若p ≠1，则两边同时加上1-p q ，变为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=-++111p q a p p q a n n 显然是以1

1-+p q a 为首项，p 为公比的等比数列 ②()n f pa a n n +=+1，其中f(n)不是常数

若p=1，则显然a n =a 1+()∑-=11

n i i f ，n ≥2

若p ≠1，则两边同时除以p n+1，变形为()1

11++++=n n n n n p n f p a p a 利用叠加法易得()∑-=++=1111n i i n n p i f p a p a ，从而()⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+=∑-=-1111n i i n n p i f a p a 注：还有一些递推公式也可以用一般方法解决，但是其他情况我们一般使用其他更方便的方法，下面我们再介绍一些属于数学竞赛中的“高级方法”。

(2)不动点法

当f(x)=x 时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 典型例子：d

a c

b a a a n n n +⋅+⋅=+1 注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。

我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了 令d

x c b x a x +⋅+⋅=，即()02=--+b x a d cx ， 令此方程的两个根为x 1，x 2，

若x 1=x 2

p x a x a n n +-=-+1

1111 其中k 可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。

注：如果有能力，可以将p 的表达式记住，p=

d

a c +2 若x 1≠x 2则有 2

12111x a x a q x a x a n n n n --⋅=--++ 其中k 可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。

注：如果有能力，可以将q 的表达式记住，q=2

1cx a cx a -- (3)特征根法

特征根法是专用来求线性递推式的好方法。

先来了解特征方程的一般例子，通过这个来学会使用特征方程。

①n n n qa pa a +=++12

特征方程为x 2

=px+q ，令其两根为x 1，x 2

则其通项公式为n n n x B x A a 21⋅+⋅=，A 、B 用待定系数法求得。 ②n n n n ra qa pa a ++=+++123

特征方程为x 3=px 2

+qx+r ，令其三根为x 1，x 2，x 3

则其通项公式为n n n n x C x B x A a 321⋅+⋅+⋅=，A 、B 、C 用待定系数法求得。 注：通过这两个例子我们应当能够得到特征方程解线性递归式的一般方法，可以试着写出对于一般线性递归式的特征方程和通项公式，鉴于3次以上的方程求解比较困难，且竞赛中也不多见，我们仅需掌握这两种就够了。

(4)数学归纳法

简单说就是根据前几项的规律猜出一个结果然后用数学归纳法去证。这样的题虽说有不少但是要提高不完全归纳的水平实在不易。大家应当都会用数学归纳法，因此这里不详细说了。但需要记得有这样一个方法，适当的时候可以拿出来用。

(5)联系三角函数

三角函数是个很奇妙的东西，看看下面的例子

2112n

n n a a a -=+ 看起来似乎摸不着头脑，只需联系正切二倍角公式，马上就迎刃而解。

注：这需要我们对三角函数中的各种公式用得很熟，这样的题目竞赛书中能见到很多。