2016年浙江省赛试题及答案

2 1 1 (OB OC ) (b c), 3 2 3
所以 AH OH OA
1 2 (b c 3a), 因此 AD 2 AH (b c 3a). 3 3
又 AM
1 2 1 1 ( AD AC ) (9a 2b 5c), 所以 OM OA AM (2b 5c). 9 3 2 9 2 1 1 1 ( BC BD) (OC OB AD AB) (3a 4b 5c), 3 2 3 9
解答：由 f ( x 2) f ( x) 得 f ( x 4) f ( x) ，所以 f ( x) 的周期为 4.因此，
f (10 3) f (10 3 16) f (16 10 3) f (18 10 3) 36 20 3 .
10. 已知数列 {an },{bn } 满足： a1 1, b1 2, an1 bn , bn1 2an 3bn (n N*), 则
c 2 1 .故正确答案为 a
D. 4. 已知正三棱锥 S ABC ，底面是边长为 1 的正三角形，侧棱长为 2. 若过直线 AB 的截 面， 将正三棱锥的体积分成两个相等的部分， 则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为 ( ). A.
15 10
B.
4 15 15
C.
15 15
D.
2 15 15
k 2 5ak 3 ,故题设条 2
k 2 5ak 3 5 k a. ……………………① 2 2
即对任意的 k [0, 2] 均有 5a
k 2 2k 3 k 2 2k 3 ， 5a min 0 k 2 k 1 k 1
为 （ A.
的直线与双曲线的一个交点 . 若△ F1 F2 A 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 4
）.
3 1 2
B.
3 1
C.
2 1 2
D.
2 1
解答： 因为 AF1 AF2 2a, 要使△ F1 F2 A 为等腰直角三角形， 则 AF1 AF2 2a, 以及
AF2 F1F2 2c ，由勾股定理得 (2(a c))2 2(2c)2 ，解答
12. 已知两个底面重合的正四面体 A OBC 和 D OBC ， M , N 分别为△ ADC 与△ BDC 的重心.记 OA a ， OB b ， OC c ，若点 P 满足 OP xa yb zc ， MP 2PN ，则 实数 x ______, y _______, z ________. 解答：设点 A 在面 OBC 上的投影为 H ，则 OH
3
A. 2
B.
2
x x cos ) 2 的最小正周期为（ 2 2 2 C. 3
）. D.
解答：化简得
f ( x) sin 3x 2 ，则函数 f ( x) 的最小正周期为
2 .故正确答案为 C. 3
3. 设双曲线
x2 y 2 1 （ a 0, b 0 ）的左右焦点分别为 F1 , F2 ，点 A 是过 F2 且倾斜角 a 2 b2
(2)i (b2 b1 ). 所以
11. 设 a R ，方程 x a a 2 恰有三个不同的根，则 a
.
解答：原方程可变形为 x a a 2 ，要使方程恰有三个不同的根，则 a 2, 此时方程恰 有三个不同的根 x1 2, x2 6, x3 2 .所以 a 2.
12
的最小值为（ A. 2 193
）. B. 26 C. 24 2 D.24
解答：用数形结合方法求解，作正方形 OACB ，连对角线 AB ，则向量 t AB AO 等于向 量 OD( D 为对角线 AB 上一点） ，向量
EB 10 ） D D C ，O
5 BO (1 t ) BA 等于向量 ED( E 为 OB 边上一点， 12 ，所以 t AB AO 5 BO (1 t ) BA 等于 ED DC ，由几何意义可知
3 cos x m cos y
有实数解，则正实数 m 的取值范围为
解答：两式平方，消去 x 得 1=m (1
2
3 2 4 sin 2 y) ，故 sin 2 2 y = 1 m2 [0,1] 4 3
这样，1 m 2 。反之，当 1 m 2 时，也存在 x0 , y0 满足方程。因此，正实数 m 的
5 y Q ．同理， 5x Q . 所以可设 x 5a 2 , y 5b2 , a, b N* ，因此，原式
1 1 1 1 1 1 a, b (2, 6) . 又因为 a, b 与 x, y 一一对应，则 a b 3 x y 45
b2015 b2016
解答：由已知
.
ai 1 bi , 得到 bi 2 2ai 1 3bi 1 ,
bi 2 bi 1 2(bi 1 bi ) (2)2 (bi bi 1 )
b2015 b2016 3 22015.
同理， BN
1 ON OB BN (3a 5b 5c). 9
由 MP 2PN 得， 3OP OM 2ON ，所以 xa yb zc
1 (2a 4b 5c), 因此 9
2 4 5 x , y ,z . 9 9 9
13. 在△ ABC 中， B
D.
4 2 [ , ] 5 7
uv
a 0 f (1) 1 0 a b 1 u a b 2 ，这 解答：由题意得 .令 ，则 0 f (1) 1 1 a b 0 v a b b u v 2

4
, C
5 ， AC 2 6 ， AC 的中点为 D . 若长度为 3 的线 12
.
段 PQ ( P 在 Q 的左侧)在直线 BC 上滑动，则 AP DQ 的最小值为
解 答 ： 由 已 知 求 得 BC 6 ， 过 D 做 直 线 DE 平 行 BC ， 交 AB 于 E 点 ， 则
集合 M 中的元素个数为 1. 故选 B. 8. 记 [ x] 为不超过 x 的最大整数. 若集合 S ( x, y) 所表示的平面区域的面积为（ A. ）. C.

[ x y] [ x y] 1 ，则集合 S

5 2
B. 3
9 2
D. 4
解答：当 0 x y 1 时， [ x y] 0, 所以 [ x y] 1 ，即 1 x y 2 ； 当 1 x y 2 时， [ x y] 1, 所以 [ x y] 0 ，即 0 x y 1 ； 当 1 x y 0 时， [ x y] 1, 所以 [ x y] 0 ，即 0 x y 1 ； 画出满足上述条件的区域，可知集合 S 所表示的平面区域的面积为
12
ED DC 的最小值为 EC 的值，即等于 26.故正确答案为 B.
7. 设集合 M ( x, y )

1 1 1 , x, y N* ，则集合 M 中的元素个数为（ x y 45
C. 2 D. 3
）.
A. 0 解答：由于
B. 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ，故 + + ，这样 5 x 225 5 y 15 5 y x y 45 5x 5 y 15
解答： 设截面与棱 SC 交于 D 点， 由已知条件可知， 点 D 为棱 SC 的中点.取 AB 的中点 E ， 连接 EC, DE, SE ,则 DEC 为截面与底面所成二面角的平面角，设为 .在△ SEC 中，
SE
15 3 5 .在△ DEC 应用余弦定理得 , EC , SC 2 ，所以中线 DE 2 2 2 2 15 .正确答案为 D. 15
cos
5. 已知 a, b R ，函数 f ( x) ax b .若对任意 x [1,1] ，有 0 f ( x) 1 ，则 的取值范围为（ A. ）. B.
3a b 1 a 2b 2
1 [ ,0] 2
4 [ ,0] 5
C.
1 2 [ , ] 2 7
2 2
取值范围为 [1, 2] ． 15. 已知 a, b, c 为互不相等的整数，则 4(a 2 b2 c 2 ) (a b c)2 的最小值为 .
解答： 4(a2 b2 c2 ) (a b c)2 (a b)2 (b c)2 (c a)2 a 2 b2 c 2 ，其最小 值为 8. 三、解答题（本大题共有 3 小题，16 题 15 分，17、18 每题 18 分，共 51 分） 16.设函数 f ( x) x 2 (k 2 5ak 3) x 7（ a, k R ） .已知对于任意的 k [0, 2] ， 若 x1 , x2 满足 x1 [k , k a], x2 [k 2a, k 4a] ，则 f ( x1 ) f ( x2 ) ， 求正实数 a 的最大值. 解答： 由于二次函数 f ( x) x 2 (k 2 5ak 3) x 7 的对称轴为 x 件等价于对任意的 k [0, 2] 均有
A. C.
a0 a 1
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B. a 1 D. a R
解答：若 a 0 ，则曲线表示的曲线是三条交于原点的直线，反之，由于直线 y
x 和直线
y x 交于原点，所以曲线要为平面上三条交于一点的直线，则直线 x 2 y a 0 过原
点，即 a 0 .故正确答案为 A. 2. 函数 f ( x) 4sin x sin x 2(sin
1 D E/ / B C, D E 2
PQDE 为平行四边形，即 DQ EP .这样问题就转化为 B C ，所以 3
在直线 BC 上找一点，使 AP EP 最小.计算得 AP EP 的最小值为
30 3 10 . 2
.
14. 若关于 x, y 的方程组
sin x m sin 3 y
2016 年浙江省高中数学竞赛试卷
一、选择题（本大题共有 8 小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后
的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题 6 分，共 48 分） 1. 曲线 ( x 2 y a)( x y ) 0 为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（
2 2
）.
3a b 1 4u 2v 2 = 2 a 2b 2 3u v 4
样
4 3a b 1 2 10 ． ，由此即知 5 a 2b 2 7 5v 11 3 5u 3
正确答案为 D. 6. 已知向量 OA ，OB 垂直，且 OA OB 24 .若 t [0,1] ，则 t AB AO 5 BO ( 1 t ) BA
5 .正确答案为 A. 2
二、填空题（本大题共有 7 小题，将正确答案填入题干后的横线上，每题 7 分，12 题 9 分， 共 51 分） 9. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数. 若对任意实数 x , 有 f ( x 2) f ( x) ，且当 x [0,1] 时， f ( x) 2 x ，则 f (10 3) = .