专题二:立体几何---线面垂直、面面垂直
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专题二:立体几何---线面垂直、面面垂直
一、知识点
(1)线面垂直性质定理 (2)线面垂直判定定理 (3)面面垂直性质定理 (2)面面垂直判定定理
线面垂直的证明中的找线技巧
通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直
1.如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 为1CC 的中点,AC 交BD 于点O ,求证:1A O ⊥平面MBD .
证明:连结MO ,1A M ,∵DB ⊥1A A ,DB ⊥AC ,1A A AC A =I ,
∴DB ⊥平面11A ACC ,而1
AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O . 设正方体棱长为a ,则22132A O a =
,2234
MO a =. 在Rt △11A C M 中,22194
A M a =.∵222
11A O MO A M +=,∴
1
AO OM ⊥. ∵OM ∩DB =O ,∴ 1A O ⊥平面MBD . 评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过计算来证明.
利用面面垂直寻求线面垂直
2.如图2,P 就是△ABC 所在平面外的一点,且P A ⊥平面ABC ,平面P AC ⊥平面PBC .求证:BC ⊥平面P AC .
证明:在平面P AC 内作AD ⊥PC 交PC 于D .
因为平面P AC ⊥平面PBC ,且两平面交于PC ,
AD ⊂平面P AC ,且AD ⊥PC , 由面面垂直的性质,得AD ⊥平面PBC . 又∵BC ⊂平面PBC ,∴AD ⊥BC .
∵P A ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,∴P A ⊥BC . ∵AD ∩P A =A ,∴BC ⊥平面P AC .
评注:已知条件就是线面垂直与面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线
中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以瞧到,面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直.
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直
−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质
面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理
证明问题.下面举例说明.
3.如图1所示,ABCD 为正方形,SA ⊥平面ABCD ,过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ,,于E F G ,,.求证:AE SB ⊥,AG SD ⊥.
证明:∵SA ⊥平面ABCD ,
∴SA BC ⊥.∵AB BC ⊥,∴BC ⊥平面SAB .又∵AE ⊂平面SAB ,∴BC AE ⊥.∵SC ⊥平面AEFG ,∴SC AE ⊥.∴AE ⊥平面SBC .∴AE SB ⊥.同理可证AG SD ⊥.
评注:本题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直
与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用,同学们应多注意考虑线与线所在平面的特征,从而顺利实现证明所需要的转化.
4.如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC =AC ,AD =BD ,
作BE ⊥CD ,E为垂足,作AH ⊥BE 于H.求证:AH ⊥平面BCD . 证明:取AB 的中点F,连结CF ,DF . ∵AC BC =,∴CF AB ⊥.
∵AD BD =,∴DF AB ⊥.
又CF DF F =I ,∴AB ⊥平面CDF . ∵CD ⊂平面CDF ,∴CD AB ⊥. 又CD BE ⊥,BE AB B =I ,
∴CD ⊥平面ABE ,CD AH ⊥.
∵AH CD ⊥,AH BE ⊥,CD BE E =I ,
∴ AH ⊥平面BCD .
评注:本题在运用判定定理证明线面垂直时,将问题转化为证明线线垂直;而证明线线垂直时,又转化为证明线面垂直.如此反复,直到证得结论.
5.如图3,AB 就是圆O的直径,C就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,E为垂足,F就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC . 证明:∵AB 就是圆O的直径,∴AC BC ⊥. ∵PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC , ∴PA BC ⊥.∴BC ⊥平面APC . ∵BC ⊂平面PBC , ∴平面APC ⊥平面PBC .
∵AE ⊥PC ,平面APC ∩平面PBC =PC , ∴AE ⊥平面PBC .
∵AE ⊂平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面PBC .
评注:证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线,即证线面垂直,而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线
线垂直的关系.
10.如图, 在空间四边形SABC中, SA⊥平面ABC, ∠ABC = 90︒, AN⊥SB于N, AM⊥SC于M。求证: ①AN⊥BC;②SC⊥平面ANM
分析:
①要证AN⊥BC, 转证, BC⊥平面SAB。
②要证SC⊥平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SC⊥AM, SC⊥AN。要证SC⊥AN, 转证AN⊥平面SBC, 就可以了。
证明:
①∵SA⊥平面ABC
∴SA⊥BC
又∵BC⊥AB, 且AB I SA = A
∴BC⊥平面SAB
∵AN⊂平面SAB
∴AN⊥BC
②∵AN⊥BC, AN⊥SB, 且SB I BC = B
∴AN⊥平面SBC
∵SCC平面SBC
∴AN⊥SC
又∵AM⊥SC, 且AM I AN = A
∴SC⊥平面ANM
[例2]如图9—40,在三棱锥S—ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.
图9—40
(1)求证:AB⊥BC;
(1)【证明】作AH⊥SB于H,∵平面SAB⊥平面SBC.平面SAB∩平面SBC=SB,∴AH ⊥平面SBC,
又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC,而SA在平面SBC上的射影为SB,∴BC⊥SB,又SA∩SB=S,
∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.
[例3]如图9—41,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD就是矩形,PA=AD=a,M、N分别就是AB、PC的中点.