线面垂直和面面垂直典型例题

线面垂直与面面垂直 基础要点

1、若直线a 与平面,αβ所成的角相等，则平面α与β的位置关系是（ B ） A 、//αβ

B 、α不一定平行于β

C 、α不平行于β

D 、以上结论都不正确

2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则H 一定在（ B ） A 、直线AC 上 B 、直线AB 上

C 、直线BC 上

D 、△ABC 的内部

3、如图示，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6

π，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为,A B ''，则:AB A B ''=（ A ） A 、2:1 B 、3:1 C 、3:2 D 、4:3

4、如图示，直三棱柱11ABB DCC -中，190,4ABB AB ∠==,

12,1BC CC ==DC 上有一动点P ，则△1APC 周长的最小值是

5.已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB A A ,

若棱AB 上存在点P ，使得PC P D ⊥1,则棱AD 长

的取值范围是 。

题型一：直线、平面垂直的应用

1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥P-ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点. 已知,685PA AC PA BC DF ⊥===，，.

求证：(1) PA DEF 平面错误！未找到引用源。；(2) BDE ABC ⊥平面平面 错误！未找到引用源。.

线面垂直

线线垂直

面面垂直

B`

A`

B

A

α

β

A

B

C

D 1

B 1

C B 1

C 1

D 1

A 1

D C

B A

证明： (1) 因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥PA.

又因为PA ⊄ 平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线PA ∥平面DEF.

(2) 因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3，EF ＝1

2

BC ＝4. 又因 DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE 丄EF.

又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC.

因为AC∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC. 又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC.

2. (2014,北京卷，文科)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点. （1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：1//C F 平面ABE . 证明：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，

11,,BB ABC BB AB ⊥∴⊥底面11,,AB BC AB B BCC ∴⊥∴⊥平面

,AB ABE ⊂平面11ABE B BCC ∴⊥平面平面.

(2)取AB 的中点G ，连接EG ，FG

E 、

F 分别为11A C 、BC 的中点, 1

,2

FG AC FG AC ∴=

, 111111AC AC AC AC FG EC FG EC =∴=，，，,则四边形1FGEC 为平行四边形， 111,,,C F EG EG ABE C F ABE C F ABE ∴⊂⊄∴平面平面平面.

3．如图，P 是ABC ∆所在平面外的一点，且⊥PA 平面ABC ，平面⊥PAC 平面PBC ．求证AC BC ⊥．

分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．

证明：在平面PAC 内作PC AD ⊥，交PC 于D ．因为平面⊥PAC 平面PBC 于PC ，

⊂AD 平面PAC ，且PC AD ⊥，所以PBC AD 平面⊥．又因为⊂BC 平面PBC ，于

是有BC AD ⊥①．另外⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以BC PA ⊥．由①②及A PA AD = ，可知⊥BC 平面PAC ．因为⊂AC 平面PAC ，所以AC BC ⊥． 说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．

4. 过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，︒=∠90BSC ，︒=∠=∠60ASB ASC ，若截取a SC SB SA ===

(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的距离．

分析：要证明平面ABC ⊥平面BSC ，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC 或平面BSC 内找到一条与另一个平面垂直的直线．

(1)证明：∵a SC SB SA ===， 又︒=∠=∠60ASB ASC ，

∴ASB ∆和ASC ∆都是等边三角形， ∴a AC AB ==，

取BC 的中点H ，连结AH ，∴BC AH ⊥．

在BSC Rt ∆中，a CS BS ==，∴BC SH ⊥，a BC 2=

，

∴2)22(222

2

2

2

a a a CH AC AH =-=-=，∴2

22a SH =． 在SHA ∆中，∴2

22

a AH =，222a SH =，2

2a SA =，

∴2

22HA SH SA +=，∴SH AH ⊥，∴⊥AH 平面SBC ．

∵⊂AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．

或：∵AB AC SA ==，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为BSC ∆的外心，

又BSC ∆为∆Rt ，∴H 在斜边BC 上，

又BSC ∆为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，

∴⊥AH 平面BSC ．∵⊂AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ． (2)解：由前所证：AH SH ⊥，BC SH ⊥，∴⊥SH 平面ABC ，

∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 2

2

2==

，