线面垂直与面面垂直典型例题
2021高中数学线线,线面,面面垂直的证明(含解析)
线线，线面，面面垂直的证明一、线面垂直（共9题；共85分）1.（2021高一下·岑溪期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.（1）求证：平面；2.（2021高一下·和平期末）如图，斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，E是AB的中点．求证：（2）若，求证：．3.（2021高一下·宁波期末）已知三棱锥，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，是以为斜边的直角三角形，为上一点，为上一点，且．（Ⅰ）现给出两个条件：① ；② 为中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：平面；4.（2021高一下·怀化期末）如图，在正方体中.（1）求证：面；5.（2021高一下·绍兴期末）如图，四棱台的底面是矩形，，，，．（Ⅰ）证明：平面；6.（2021高二下·二道期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：平面PCD；7.（2021高一下·长春期末）如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.8.（2021高一下·河北期末）如图，在正四棱锥中，点E，F分别在棱PB，PD上，且．（1）证明：平面PAC．9.（2021高一下·天津期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，（2）求证：直线平面二、线线垂直（共7题；共70分）10.（2021高一下·海南期末）如图所示，三棱柱中，，，，．（1）证明：；11.（2021·全国甲卷）已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB= BC = 2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.（1）证明：BF⊥DE；12.（2021·全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形．分别为和的中点，．（2）已知为棱上的点，证明：．13.（2021·新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O为BD的中点.（1）证明：OA⊥CD：14.（2021高一下·广东期末）如图，在三棱锥中，，点是线段的中点，平面平面.（2）求证：.15.（2021高二下·湖北期末）中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中于，，，平面．（1）求证：；16.（2021·浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；三、面面垂直（共9题；共105分）17.（2021·新高考Ⅱ卷）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；18.（2021高一下·滨海新期末）如图，在三棱柱中，平面，，是的中点.（2）求证：平面平面；19.（2021高一下·和平期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，，为的中点．（2）求证：平面平面；20.（2021高一下·龙岩期末）如图，是圆锥的顶点，是底面圆的直径，为底面圆周上异于的点，为的中点．（1）求证：平面平面21.（2021高一下·东丽期末）如图，三棱柱，底面，且为正三角形，，为中点．（2）求证：平面平面．22.（2021高一下·湖北期末）如图，在三棱台中，上底面为等腰直角三角形，，，，在上，.（1）证明：平面平面；23.（2021高一下·重庆期末）如图1，在平行四边形ABCD中，，，，将沿折起，使得平面平面，如图2．（1）证明：平面平面BCD；24.（2021高一下·河北期末）如图，在三棱柱中，，点为的中点，，．（1）证明：平面平面ABC．25.（2021·全国乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点，且PB AM.（1）证明：平面PAM 平面PBD；线线，线面，面面垂直的证明参考答案一、线面垂直（共9题；共85分）1.（2021高一下·岑溪期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.（1）求证：平面；【答案】（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PD⊥AC，又，AC⊥平面PBD2.（2021高一下·和平期末）如图，斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，E是AB的中点．求证：（2）若，求证：．（2）∵侧面是菱形∴∵，，平面，平面∴平面∵平面∴．3.（2021高一下·宁波期末）已知三棱锥，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，是以为斜边的直角三角形，为上一点，为上一点，且．（Ⅰ）现给出两个条件：① ；② 为中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：平面；【答案】解：（Ⅰ）若选①证明：∵平面，平面，∴，又，，∴平面．又平面，∴．又，，∴平面．又平面，∴．又，，∴平面．若选② 为中点证明：∵平面，平面，∴．又，，∴平面．又平面，∴．又，，∴平面．又平面，∴．又为等腰直角三角形斜边中点，则，，∴平面．4.（2021高一下·怀化期末）如图，在正方体中.（1）求证：面；【答案】（1）证明：因为为正方体，所以ABCD为正方形,所以，又因为平面ABCD，平面ABCD，故，又，平面，所以平面．5.（2021高一下·绍兴期末）如图，四棱台的底面是矩形，，，，．（Ⅰ）证明：平面；【答案】解：（Ⅰ）证明：因为底面是矩形，所以，又，，所以平面，又因为，所以平面．6.（2021高二下·二道期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：平面PCD；【答案】（1）在正方形ABCD中，，又侧面底面ABCD，侧面底面，所以平面PAD，平面PAD，所以，是正三角形，M是PD的中点，所以，又，所以平面PCD.7.（2021高一下·长春期末）如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.（1）证明：BC⊥面PAC；【答案】（1）证明见解析PA垂直于所在的平面PA⊥BCAB是的直径AC⊥BCBC⊥面PAC8.（2021高一下·河北期末）如图，在正四棱锥中，点E，F分别在棱PB，PD上，且．（1）证明：平面PAC．【答案】（1）证明：如图，连接，记，连接PO，由题意可得四边形ABCD是正方形，，则O为AC的中点，且，因为，所以，因为平面，面，且，所以平面，因为，所以，则平面PAC；9.（2021高一下·天津期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，（2）求证：直线平面【答案】（2）因为四边形是菱形，所以又因为平面平面所以又因为所以平面二、线线垂直（共7题；共70分）10.（2021高一下·海南期末）如图所示，三棱柱中，，，，．（1）证明：；【答案】（1）∵，，．∴，∴．∵，，∴．又∵，平面，∴平面．∵平面，∴．11.（2021·全国甲卷）已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB= BC = 2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.（1）证明：BF⊥DE；【答案】法一法2（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以因为，，所以，又，所以平面．所以两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．所以，．由题设（）．因为，所以，所以．12.（2021·全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形．分别为和的中点，．（2）已知为棱上的点，证明：．（2）由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，正方形中，为中点，则，又，故平面，而平面，从而.13.（2021·新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O为BD的中点.（1）证明：OA⊥CD：【答案】（1），为中点，，面，面面且面面，面，．14.（2021高一下·广东期末）如图，在三棱锥中，，点是线段的中点，平面平面.（2）求证：.【答案】（2）证明：∵，∴，∴，∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴.15.（2021高二下·湖北期末）中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中于，，，平面．（1）求证：；【答案】（1）证明：∵平面，平面，∴，又，，平面，平面，∴平面，又平面．∴．16.（2021·浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；【答案】（1）证明：在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以三、面面垂直（共9题；共105分）17.（2021·新高考Ⅱ卷）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；【答案】（1）取的中点为，连接.因为，，则，而，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为平面，故平面平面.18.（2021高一下·滨海新期末）如图，在三棱柱中，平面，，是的中点.（2）求证：平面平面；【答案】（2）∵，是的中点，∴，∵三棱柱中，平面，∴平面∵AD 平面，∴，又､BC是平面内的两条相交直线∴平面∵AD 平面∴平面平面19.（2021高一下·和平期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，，为的中点．（2）求证：平面平面；【答案】（2）因为平面平面，平面平面，,所以平面，因为平面，所以,又, 平面,所以平面,又平面，所以,又,所以,又平面,所以平面,又平面,所以平面平面；20.（2021高一下·龙岩期末）如图，是圆锥的顶点，是底面圆的直径，为底面圆周上异于的点，为的中点．（1）求证：平面平面【答案】（1）由圆锥的性质可知，底面圆∵在底面圆上，∴，∵在圆上，为直径，∴，又点分别为的中点，∴∴又，且平面，∴平面，又平面，∴平面平面．21.（2021高一下·东丽期末）如图，三棱柱，底面，且为正三角形，，为中点．（2）求证：平面平面．【答案】（2）∵面，面，∴．又，，∴，面，∴面．又面，∴面面．22.（2021高一下·湖北期末）如图，在三棱台中，上底面为等腰直角三角形，，，，在上，.（1）证明：平面平面；【答案】（1）因为三棱台中，因为，所以，由，所以，所以，又由，所以，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.23.（2021高一下·重庆期末）如图1，在平行四边形ABCD中，，，，将沿折起，使得平面平面，如图2．（1）证明：平面平面BCD；【答案】（1）在中，因为，，，由余弦定理得，所以，所以，所以如图所示：作于点，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以，又由，所以平面.所以平面平面BCD；24.（2021高一下·河北期末）如图，在三棱柱中，，点为的中点，，．（1）证明：平面平面ABC．【答案】（1）证明：因为，所以，，在三棱柱中，，所以，又因为，所以平面ABC，又因为平面，所以平面平面ABC；25.（2021·全国乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点，且PB AM.（1）证明：平面PAM 平面PBD；【答案】（1）因为底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．。
立体几何线面平行垂直、面面平行垂直专题练习(高三党必做)
立体几何线面平行垂直、面面平行垂直专题一、解答题（本大题共27小题，共324.0分）1.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．2.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．BC＝12(1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值．3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥B1C；（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，△PAC是边长为2的等边三角形，PB=PD=√6，AP=4AF．（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；（Ⅱ）求直线CP与平面BDF所成角的大小；（Ⅲ）在线段PB上是否存在一点M，使得CM∥平面BDF如果存在，求BM的值，如果不存在，请说明理BP由．5.如图，在直三棱柱ABC-A1B l C1中，AC=BC=√2，∠ACB=90°．AA1=2，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD：（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．6.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=√6，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B-PD-A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．8.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AP=1，AD=√3，三棱锥P-ABD的体积V=√3，求A到平面PBC的距4离．9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．10.如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．11.如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点，N是CE的中点．（I）求证：EM⊥AD；（II）求证：MN∥平面ADE；（III）求点A到平面BCE的距离．12.已知几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥DC，EA⊥平面ABCD，FC∥EA，AB=AD=EA=1，CD=CF=2．（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面BCF；（Ⅱ）求点B到平面ECD的距离．13.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=2，E、F分别为CD、PB的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB；（3）设AB=√2AD，求直线AC与平面AEF所成角θ的正弦值．14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC=45∘，AD=AC=2，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD且PO=6，M为BD的中点．(1)证明：AD⊥平面PAC；(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．15.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=√2，点D为A1C1的中点．（I）求证：BC1∥平面AB1D；（II）求证：A1C⊥平面AB1D；（Ⅲ）求异面直线AD与BC1所成角的大小．16.如图，P-ABD和Q-BCD为两个全等的正棱锥，且A，B，C，D四点共面，其中AB=1，∠APB=90°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面APQ；（Ⅱ）求直线PB与平面PDQ所成角的正弦值．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1ACC1⊥底面ABC，AB=BC=2，∠ACB=30°，∠C1CB=60°，BC1⊥A1C，E为AC的中点，侧棱CC1=2．（1）求证：A1C⊥平面C1EB；（2）求直线CC1与平面ABC所成角的余弦值．18.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，BC=2√3，AC=2√6，D为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；，求点B到平面PAC的距离．（2）若∠PAB=π419.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D是BC边的中点，AA1=AB=1．（1）求证：平面ADB1⊥平面BB1C1C；（2）求点B到平面ADB1的距离．20.如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC．（1）求证：平面BED⊥平面PAC；（2）求二面角F-DE-B的大小；（3）若PA=6，DF=5，求PC与平面PAB所成角的正切值．21.如图,在四棱锥P—ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD＝CD＝1,DB=2√2.(1)证明PA∥平面BDE;(2)证明AC⊥平面PBD;(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值.22.如图所示，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2．（Ⅰ）若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．=√2.23.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，E为A1C1的中点，CC1C1E（Ⅰ）证明：CE⊥平面AB1C1；（Ⅱ）若AA1=√6，∠BAC=30°，求点E到平面AB1C的距离．24.如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是边长为√2的正方形，平面AEC⊥平面CDE，∠AEC=90°，F为DE中点，且DE=1．（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CD⊥DE；（Ⅲ）求FC与平面ABCD所成角的正弦值．25.已知：平行四边形ABCD中，∠DAB=45°，AB=√2AD=2√2，平面AED⊥平面ABCD，△AED为等边三角形，EF∥AB，EF=√2，M为线段BC的中点．（1）求证：直线MF∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面EAD；（3）求直线BF与平面BED所成角的正弦值．26.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=√2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AC=√2，AB=BC=1，E为AD中点．（Ⅰ）求证：PE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（Ⅲ）求平面PAB与平面PCD所成的二面角．27.如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．答案和解析1.【答案】（1）证明：法一、如图，取PB 中点G ，连接AG ，NG ，∵N 为PC 的中点， ∴NG ∥BC ，且NG =12BC ，又AM =23AD =2，BC =4，且AD ∥BC ， ∴AM ∥BC ，且AM =12BC ，则NG ∥AM ，且NG =AM ，∴四边形AMNG 为平行四边形，则NM ∥AG ， ∵AG ⊂平面PAB ，NM ⊄平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB ； 法二、在△PAC 中，过N 作NE ⊥AC ，垂足为E ，连接ME ， 在△ABC 中，由已知AB =AC =3，BC =4，得cos ∠ACB =42+32−322×4×3=23，∵AD ∥BC ，∴cos ∠EAM =23，则sin ∠EAM =√53，在△EAM 中，∵AM =23AD =2，AE =12AC =32，由余弦定理得：EM =√AE 2+AM 2−2AE ⋅AM ⋅cos∠EAM =√94+4−2×32×2×23=32，∴cos ∠AEM =(32)2+(32)2−42×32×32=19，而在△ABC 中，cos ∠BAC =32+32−422×3×3=19，∴cos ∠AEM =cos ∠BAC ，即∠AEM =∠BAC ， ∴AB ∥EM ，则EM ∥平面PAB ．由PA ⊥底面ABCD ，得PA ⊥AC ，又NE ⊥AC ， ∴NE ∥PA ，则NE ∥平面PAB ． ∵NE ∩EM =E ，∴平面NEM ∥平面PAB ，则MN ∥平面PAB ；（2）解：在△AMC 中，由AM =2，AC =3，cos ∠MAC =23，得CM 2=AC 2+AM 2-2AC •AM •cos ∠MAC =9+4−2×3×2×23=5．∴AM 2+MC 2=AC 2，则AM ⊥MC ， ∵PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD ∩平面PAD =AD ， ∴CM ⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ．在平面PAD 内，过A 作AF ⊥PM ，交PM 于F ，连接NF ，则∠ANF 为直线AN 与平面PMN 所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN=12PC=12√PA2+PC2=52，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=PA⋅AMPM =√42+22=4√55，∴sin∠ANF=AFAN =4√5552=8√525．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为8√525．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=12BC，再由已知得AM∥BC，且AM=12BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）由勾股定理得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．2.【答案】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF=12AD，AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，EF∥BC,EF=BC,∴四边形BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB;（2）解:如图所示，取AD中点O，连接PO，CO，由于△PAD为正三角形，则PO⊥AD，因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥CO. 因为AO=AB=BC=12AD，且∠BAD=∠ABC= 90∘，所以四边形ABCO是矩形，所以CO⊥AD，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系,不妨设AB=BC=12AD=1，则OA=OD=AB=CO=1.又因为△POC为直角三角形，|OC|=√33|OP|，所以∠PCO=60∘.作MN⊥CO，垂足为N，连接BN，因为PO ⊥CO ，所以MN //PO ，且PO ⊥平面ABCD ，所以MN ⊥平面ABCD ，所以∠MBN 即为直线BM 与平面ABCD 所成的角, 设CN =t ，因为∠PCO =60∘，所以MN =√3t ，BN =√BC 2+CN 2=√t 2+1. 因为∠MBN =45∘，所以MN =BN ，即√3t =√t 2+1，解得t =√22，所以ON =1−√22，MN =√62，所以A (0,−1,0)，B (1,−1,0)，M (1−√22,0,√62)，D (0,1,0)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−√22,1,√62). 设平面MAB 和平面DAB 的法向量分别为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2), 则{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1⃗⃗⃗⃗ =0AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1⃗⃗⃗⃗ =0，即{x 1=0(1−√22)x 1+y 1+√62z 1=0， 可取z 1=−2，则n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,√6,−2), 同理可得n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，所以.因为二面角M -AB -D 是锐角，所以其余弦值为√105.【解析】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，空间向量求二面角夹角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．（1）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，通过证明CE ∥BF ，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．（2）取AD 中点O ，连接PO ，CO ，作MN ⊥CO ，垂足为N ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，即可求出二面角M -AB -D 的余弦值．3.【答案】证明：（1）因为BB 1⊥面ABC ，AE ⊂面ABC ，所以AE ⊥BB 1,由AB =AC ，E 为BC 的中点得到AE ⊥BC , ∵BC ∩BB 1=B ，BC 、BB 1⊂面BB 1C 1C ， ∴AE ⊥面BB 1C 1C ，,∴AE ⊥B 1C ；解：（2）取B 1C 1的中点E 1，连A 1E 1，E 1C ，则AE ∥A 1E 1， ∴∠E 1A 1C 是异面直线AE 与A 1C 所成的角， 设AC =AB =AA 1=2，则由∠BAC =90°， 可得A 1E 1=AE =√2，A 1C =2√2，E 1C 1=EC =12BC =√2，∴E 1C =√E 1C 12+C 1C 2=√6，∵在△E 1A 1C 中，cos ∠E 1A 1C =2+8−62⋅√2⋅2√2=12， 所以异面直线AE 与A 1C 所成的角为π3；（3）连接AG ，设P 是AC 的中点，过点P 作PQ ⊥AG 于Q ，连EP ，EQ ，则EP ⊥AC ，又∵平面ABC ⊥平面ACC 1A 1,平面ABC ∩平面ACC 1A 1=AC ∴EP ⊥平面ACC 1A 1， 而PQ ⊥AG ∴EQ ⊥AG ．∴∠PQE 是二面角C -AG -E 的平面角， 由(2)假设知：EP =1，AP =1， Rt △ACG ∽Rt △AQP ，PQ =CG·AP AG=1√5，故tan ∠PQE =PEPQ =√5，所以二面角C -AG -E 的平面角正切值是√5.【解析】本题考查异面直线的夹角，线线垂直的判定，属于中档题，熟练掌握线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角及二面角的定义，是解答本题的关键，属于较难题.（1）由BB 1⊥面ABC 及线面垂直的性质可得AE ⊥BB 1，由AC =AB ，E 是BC 的中点，及等腰三角形三线合一，可得AE ⊥BC ，结合线面垂直的判定定理可证得AE ⊥面BB 1C 1C ，进而由线面垂直的性质得到AE ⊥B 1C ；（2）取B 1C 1的中点E 1，连A 1E 1，E 1C ，根据异面直线夹角定义可得，∠E 1A 1C 是异面直线A 与A 1C 所成的角，设AC =AB =AA 1=2，解三角形E 1A 1C 可得答案． （3）连接AG ，设P 是AC 的中点，过点P 作PQ ⊥AG 于Q ，连EP ，EQ ，则EP ⊥AC ，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP ⊥平面ACC 1A 1，进而由二面角的定义可得∠PQE 是二面角C -AG -E 的平面角．4.【答案】（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形，AC ∩BD =O ，所以O 为AC ，BD 中点．-------------------------------------（1分）又因为PA =PC ，PB =PD ，所以PO ⊥AC ，PO ⊥BD ，---------------------------------------（3分）所以PO ⊥底面ABCD ．----------------------------------------（4分）（Ⅱ）解：由底面ABCD 是菱形可得AC ⊥BD ， 又由（Ⅰ）可知PO ⊥AC ，PO ⊥BD ．如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz ．由△PAC 是边长为2的等边三角形，PB =PD =√6，可得PO =√3，OB =OD =√3．所以A(1，0，0)，C(−1，0，0)，B(0，√3，0)，P(0，0，√3)．---------------------------------------（5分）所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，√3)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，0，√3)． 由已知可得OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗ +14AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(34，0，√34)-----------------------------------------（6分） 设平面BDF 的法向量为n −=（x ，y ，z ），则{√3y =034x +√34z =0令x =1，则z =−√3，所以n ⃗ =（1，0，-√3）．----------------------------------------（8分） 因为cos ＜CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=-12，----------------------------------------（9分） 所以直线CP 与平面BDF 所成角的正弦值为12，所以直线CP 与平面BDF 所成角的大小为30°．-----------------------------------------（10分）（Ⅲ）解：设BMBP =λ（0≤λ≤1），则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，√3(1−λ)，√3λ)．---------------------------------（11分）若使CM ∥平面BDF ，需且仅需CM −⋅n ⃗ =0且CM ⊄平面BDF ，---------------------（12分） 解得λ=13∈[0，1]，----------------------------------------（13分） 所以在线段PB 上存在一点M ，使得CM ∥平面BDF ． 此时BM BP =13．-----------------------------------（14分）【解析】（Ⅰ）证明PO ⊥底面ABCD ，只需证明PO ⊥AC ，PO ⊥BD ；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出直线CP 的方向向量，平面BDF 的法向量，利用向量的夹角公式可求直线CP 与平面BDF 所成角的大小；（Ⅲ）设BMBP =λ（0≤λ≤1），若使CM ∥平面BDF ，需且仅需CM −⋅n ⃗ =0且CM ⊄平面BDF ，即可得出结论．本题考查线面垂直，考查线面平行，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求出向量的坐标是关键．5.【答案】解：（I ）证明：∵CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∠ACB =90°， ∴CC 1⊥AC ，AC ⊥BC ，又BC ∩CC 1=C ，∴AC ⊥平面BCC 1，BC 1⊂平面BCC 1， ∴AC ⊥BC 1．（II ）证明：如图，设CB 1∩C 1B =E ，连接DE ， ∵D 为AB 的中点，E 为C 1B 的中点，∴DE ∥AC 1， ∵DE ⊂平面B 1CD ，AC 1⊄平面B 1CD ， ∴AC 1∥平面B 1CD ．（III ）解：由DE ∥AC 1，∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角，在△CDE 中，DE =12AC 1=12√AC 2+CC 12=√62， CE =12B 1C =12√BC 2+BB 12=√62，CD =12AB =12√AC 2+BC 2=1，cos ∠CED =CE 2+DE 2−CD 22×CE×DE=32+32−12×√62×√62=23，∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为23．【解析】本题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线及其所成的角． （I ）先证线面垂直，再由线面垂直证明线线垂直即可； （II ）作平行线，由线线平行证明线面平行即可；（III ）先证明∠CED 为异面直线所成的角，再在三角形中利用余弦定理计算即可． 6.【答案】解：如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， 设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1， 则，OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，故以{OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底， 建立空间直角坐标系O -xyz ，∵AB =AA 1=2，A （0，-1，0），B （√3，0，0）， C （0，1，0），A 1（0，-1，2），B 1（√3，0，2），C 1（0，1，2）．（1）点P 为A 1B 1的中点．∴P(√32，−12，2)，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32，−12，2)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2)． |cos <BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|−1+4|√5×2√2=3√1020．∴异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为：3√1020； （2）∵Q 为BC 的中点．∴Q （√32，12，0）∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32，32，0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2),CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)，设平面AQC 1的一个法向量为n⃗ =（x ，y ，z ）， 由{AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =√32x +32y =0AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n⃗ =2y +2z =0，可取n⃗ =（√3，-1，1）， 设直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为θ， sinθ=|cos|=|CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗ |=2√5×2=√55， ∴直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为√55．【解析】本题考查了向量法求空间角，属于中档题．设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，以{OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底，建立空间直角坐标系O -xyz ，（1）由|cos ＜BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|=|BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |可得异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；（2）求得平面AQC 1的一个法向量为n⃗ ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为θ，可得sinθ=|cos ＜CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ ＞|=|CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |，即可得直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．7.【答案】（1）证明：如图，设AC ∩BD =O ，∵ABCD 为正方形，∴O 为BD 的中点，连接OM ，∵PD ∥平面MAC ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面AMC =OM ， ∴PD ∥OM ，则BOBD =BM BP，即M 为PB 的中点；（2）解：取AD 中点G ， ∵PA =PD ，∴PG ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ， ∴PG ⊥平面ABCD ，则PG ⊥AD ，连接OG ，则PG ⊥OG ，由G 是AD 的中点，O 是AC 的中点，可得OG ∥DC ，则OG ⊥AD ．以G 为坐标原点，分别以GD 、GO 、GP 所在直线为x 、y 、z 轴距离空间直角坐标系， 由PA =PD =√6，AB =4，得D （2，0，0），A （-2，0，0），P （0，0，√2），C （2，4，0），B （-2，4，0），M （-1，2，√22），DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，√2)，DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4，4，0)． 设平面PBD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，则由{m ⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−2x +√2z =0−4x +4y =0，取z =√2，得m ⃗⃗⃗ =(1，1，√2)． 取平面PAD 的一个法向量为n ⃗ =(0，1，0)．∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=12×1=12． ∴二面角B -PD -A 的大小为60°；（3）解：CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3，−2，√22)，平面BDP 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1，1，√2)．∴直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为|cos ＜CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ ＞|=|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||=|−2√9+4+12×1|=2√69．【解析】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．（1）设AC ∩BD =O ，则O 为BD 的中点，连接OM ，利用线面平行的性质证明OM ∥PD ，再由平行线截线段成比例可得M 为PB 的中点；（2）取AD 中点G ，可得PG ⊥AD ，再由面面垂直的性质可得PG ⊥平面ABCD ，则PG ⊥AD ，连接OG ，则PG ⊥OG ，再证明OG ⊥AD ．以G 为坐标原点，分别以GD 、GO 、GP 所在直线为x 、y 、z 轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD 与平面PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B -PD -A 的大小；（3）求出CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面PBD 的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．8.【答案】解：（Ⅰ）证明：设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ， ∵ABCD 是矩形， ∴O 为BD 的中点 ∵E 为PD 的中点， ∴EO ∥PB ．EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ∴PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）∵AP =1，AD =√3，三棱锥P -ABD 的体积V =√34，∴V =16PA ⋅AB ⋅AD =√36AB =√34，∴AB =32，PB =√1+(32)2=√132．作AH ⊥PB 交PB 于H ， 由题意可知BC ⊥平面PAB ， ∴BC ⊥AH ，故AH ⊥平面PBC ．又在三角形PAB 中，由射影定理可得：AH =PA⋅AB PB=3√1313A 到平面PBC 的距离3√1313．【解析】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．（Ⅰ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ，通过直线与平面平行的判定定理证明PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）通过AP =1，AD =√3，三棱锥P -ABD 的体积V =√34，求出AB ，作AH ⊥PB 角PB于H ，说明AH 就是A 到平面PBC 的距离．通过解三角形求解即可． 9.【答案】证明：（I ）∵PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD =DC =AP =2，AB =1，点E 为棱PC 的中点． ∴B （1，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0）， P （0，0，2），E （1，1，1）∴BE⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，1），DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，0） ∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ •DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴BE ⊥DC ；（Ⅱ）∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，2，0），PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，0，-2），设平面PBD 的法向量m⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ）， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−x +2y =0x −2z =0， 令y =1，则m⃗⃗⃗ =（2，1，1）， 则直线BE 与平面PBD 所成角θ满足： sinθ=m⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√6×√2=√33， 故直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为√33．（Ⅲ）∵BC⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2，0），CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，-2，2），AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，2，0）， 由F 点在棱PC 上，设CF⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2λ，-2λ，2λ）（0≤λ≤1）， 故BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ =（1-2λ，2-2λ，2λ）（0≤λ≤1）， 由BF ⊥AC ，得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2（1-2λ）+2（2-2λ）=0， 解得λ=34，即BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-12，12，32）， 设平面FBA 的法向量为n ⃗ =（a ，b ，c ）， 由{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{a =0−12a +12b +32c =0令c =1，则n⃗ =（0，-3，1）， 取平面ABP 的法向量i =（0，1，0）， 则二面角F -AB -P 的平面角α满足： cosα=|i ⋅n ⃗⃗ ||i|⋅|n ⃗⃗ |=3√10=3√1010，故二面角F -AB -P 的余弦值为：3√1010【解析】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．（I ）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据BE ⃗⃗⃗⃗⃗ •DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得BE ⊥DC ；（II ）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF ⊥AC ，求出向量BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，进而求出平面FAB 和平面ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F -AB -P 的余弦值． 10.【答案】证明：（Ⅰ）取AD 的中点F ，连接EF ，CF ，∵E 为PD 的中点，∴EF ∥PA ，EF ∥平面PAB ，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，AD =2DC =2CB ，F 为中点，∴四边形CBAF 为平行四边形，故CF ∥AB ，CF ∥平面PAB ，∵CF ∩EF =F ，EF ∥平面PAB ，CF ∥平面PAB ， ∴平面EFC ∥平面ABP ， ∵EC ⊂平面EFC ， ∴EC ∥平面PAB ．解：（Ⅱ）连接BF ，过F 作FM ⊥PB 于M ，连接PF ， ∵PA =PD ，∴PF ⊥AD ，∵DF ∥BC ，DF =BC ，CD ⊥AD ，∴四边形BCDF 为矩形，∴BF ⊥AD ， 又AD ∥BC ，故PF ⊥BC ，BF ⊥BC ，又BF ∩PF =F ,BF 、PF ⊂平面PBF ，BC ⊄平面PBF ， ∴BC ⊥平面PBF ，∴BC ⊥PB ，设DC =CB =1，由PC =AD =2DC =2CB ，得AD =PC =2， ∴PB =√PC 2−BC 2=√4−1=√3， BF =PF =1，∴MF =√12−(√32)2=12，又BC ⊥平面PBF ，∴BC ⊥MF ，又PB ∩BC =B ,PB 、BC ⊂平面PBC ，MF ⊄平面PBC ， ∴MF ⊥平面PBC ，即点F 到平面PBC 的距离为12，∵MF =12，D 到平面PBC 的距离应该和MF 平行且相等，均为12， E 为PD 中点，E 到平面PBC 的垂足也为所在线段的中点，即中位线， ∴E 到平面PBC 的距离为14，在△PCD 中,PC =2,CD =1,PD =√2，,故由余弦定理得CE =√2， 设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，则sinθ=14CE=√28．【解析】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，推导出EF∥PA，CF∥AB，从而平面EFC∥平面ABP，由此能证明EC∥平面PAB．（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而BF⊥AD，进而AD⊥平面PBF，由AD∥BC，得BC⊥PB，再求出BC⊥MF，由此能求出sinθ．11.【答案】证明：（Ⅰ）∵EA=EB，M是AB的中点，∴EM⊥AB，∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，EM⊂平面ABE，∴EM⊥平面ABCD，∵AD⊂平面ABCD，∴EM⊥AD；（Ⅱ）取DE的中点F，连接AF，NF，∵N是CE的中点，∴NF=//12CD，∵M是AB的中点，∴AM=//12CD，∴NF=//AM，∴四边形AMNF是平行四边形，∴MN∥AF，∵MN⊄平面ADE，AF⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE；解：（III）设点A到平面BCE的距离为d，由（I）知ME⊥平面ABC，BC=BE=2，MC=ME=√3，则CE=√6，BN=√BE2−EN2=√102，∴S△BCE=12CE⋅BN=√152，S△ABC=12BA×BC×sin60°=√3，∵V A-BCE=V E-ABC，即13S△BCE×d=13S△ABC×ME，解得d=2√155，故点A到平面BCE的距离为2√155．【解析】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，涉及到力、数据处理能力，考查数形结合思想，是中档题．（Ⅰ）推导出EM ⊥AB ，从而EM ⊥平面ABCD ，由此能证明EM ⊥AD ；（Ⅱ）取DE 的中点F ，连接AF ，NF ，推导出四边形AMNF 是平行四边形，从而MN ∥AF ，由此能证明MN ∥平面ADE ；（III ）设点A 到平面BCE 的距离为d ，由V A -BCE =V E -ABC ，能求出点A 到平面BCE 的距离．12.【答案】（I ）证明：∵AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB =AD =1，CD =2，∴BD =BC =√2， ∴BD 2+BC 2=CD 2， ∴BD ⊥BC ，∵EA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴EA ⊥BD ，∵EA ∥FC ， ∴FC ⊥BD ，又BC ⊂平面BCF ，FC ⊂平面BCF ，BC ∩CF =C ， ∴BD ⊥平面FBC ， 又BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCF ．（II ）解：过A 作AM ⊥DE ，垂足为M ， ∵EA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴EA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，EA ∩AD =A ， ∴CD ⊥平面EAD ，又AM ⊂平面EAD ， ∴AM ⊥CD ，又AM ⊥DE ，DE ∩CD =D ， ∴AM ⊥平面CDE ，∵AD =AE =1，EA ⊥AD ，∴AM =√22，即A 到平面CDE 的距离为√22，∵AB ∥CD ，CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ， ∴AB ∥平面CDE ，∴B 到平面CDE 的距离为√22．【解析】（I ）先计算BD ，BC ，利用勾股定理的逆定理证明BD ⊥BC ，再利用EA ⊥平面ABCD 得出AE ⊥BD ，从而有CF ⊥BD ，故而推出BD ⊥平面FBC ，于是平面EBD ⊥平面BCF ；（II ）证明AB ∥平面CDE ，于是B 到平面CDE 的距离等于A 到平面CDE 的距离，过A 作AM ⊥DE ，证明AM ⊥平面CDE ，于是AM 的长即为B 到平面CDE 的距离． 本题考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质，空间距离的计算，属于中档题． 13.【答案】证明：方法一：（1）取PA 中点G ，连结DG 、FG ． ∵F 是PB 的中点， ∴GF ∥AB 且GF =12AB ，又底面ABCD 为矩形，E 是DC 中点， ∴DE ∥AB 且DE =12AB∴GF ∥DE 且GF =DE ，∴EF ∥DG∵DG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD ．（2）∵PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂面ABCD ∴PD ⊥AB又底面ABCD 为矩形 ∴AD ⊥AB 又PD ∩AD =D ∴AB ⊥平面PAD ∵DG ⊂平面PAD ∴AB ⊥DG∵AD =PD ，G 为AP 中点 ∴DG ⊥AP又AB ∩AP =A ， ∴DG ⊥平面PAB又由（1）知EF ∥DG ∴EF ⊥平面PAB ，又EF ⊂面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAB ．证法二：（1）以D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．设AB =a ． ∵AD =PD =2，∴A （2，0，0），B （2，a ，0），C （0，a ，0），P （0，0，2）， ∵E 、F 分别为CD ，PB 的中点 ∴E （0，a2，0），F （1，a2，0）．∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，1)， ∵DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，2）+（2，0，0）=（2，0，2）， ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12（DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=12DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 、DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 、DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面， 又EF ⊄平面PAD ∴EF ∥平面PAD ．（2）由（1）知EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，a ，0)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，2)． ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ •AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2+0+2=0， ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AB ∩AP =A ，∴EF ⊥平面PAB ， 又EF ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAB ， （3）AB =2√2由（1）知，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，√2，0），EF⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，0，1）设平面AEF 的法向量n ⃗ =(x ，y ，z)，则{n⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即−2x +√2y =0令x =1，则y =√2，z =-1， ∴n⃗ =（1，√2，-1）， 又AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，2√2，0）， ∴cos ＜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=−2+4+02√12=√36， ∴sinθ=|cos ＜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|=√36．【解析】方法一；（1）取PA 中点G ，连结DG 、FG ，要证明EF ∥平面PAD ，我们可以证明EF 与平面PAD 中的直线AD 平行，根据E 、F 分别是PB 、PC 的中点，利用中位线定理结合线面平行的判定定理，即可得到答案． （2）根据线面垂直的和面面垂直的判断定理即可证明．方法二：（1）求出直线EF 所在的向量，得到EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12（DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=12DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可证明EF ∥平面PAD ．（2）再求出平面内两条相交直线所在的向量，然后利用向量的数量积为0，根据线面垂直的判定定理得到线面垂直，即可证明平面AEF ⊥平面PAB（3）求出平面的法向量以及直线所在的向量，再利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为线面角，即可解决问题．本题考查了本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，面面垂直，直线与平面所成的角，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离以及线面的位置关系等问题，属于中档题．14.【答案】解：（1）证明：∵PO ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥AD ， ∵∠ADC =45°且AD =AC =2， ∴∠ACD =45°， ∴∠DAC =90°， ∴AD ⊥AC ，∵AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，且AC ∩PO =O ， ∴由直线和平面垂直的判定定理知AD ⊥平面PAC ． （2）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ， 由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ， ∴∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角， ∵M 为PD 的中点， ∴MN ∥PO ，且MN =12PO =3， AN =12DO =√52，在Rt △ANM 中，tan ∠MAN =MNAN =3√52=6√55， 即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为6√55．【解析】（1）由PO ⊥平面ABCD ，得PO ⊥AD ，由∠ADC =45°，AD =AC ，得AD ⊥AC ，从而证明AD ⊥平面PAC ．（2）取DO 中点N ，连接MN ，AN ，由M 为PD 的中点，知MN ∥PO ，由PO ⊥平面出直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题． 15.【答案】证明：（I ）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，连接A 1B ，交AB 1于O 点，连接OD∵在△A 1BC 1中，A 1D =DC 1，A 1O =OB ， ∴OD ∥BC 1，又∵OD ⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ； ∴BC 1∥平面AB 1D ；（II ）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1； ∵B 1D ⊂平面A 1B 1C 1； ∴A 1A ⊥B 1D在△A 1B 1C 1中，D 为A 1C 1的中点 ∴B 1D ⊥A 1C 1又∵A 1A ∩A 1C 1=A 1，A 1A ，A 1C 1⊂平面AA 1C 1C ， ∴B 1D ⊥平面AA 1C 1C ， 又∵A 1C ⊂平面AA 1C 1C ， ∴B 1D ⊥A 1C又∵A 1D AA 1=AA1AC =√22∴∠DA 1A =∠A 1AC =90°∴△DA 1A ∽△A 1AC ，∠ADA 1=∠CA 1A∵∠DA 1C +∠CA 1A =90° ∴∠DA 1C +∠ADA 1=90°∴A 1C ⊥AD又∵B 1D ∩AD =D ，B 1D ，AD ⊂平面AB 1D ； ∴A 1C ⊥平面AB 1D ；解：（III ）由（I ）得，OD ∥BC 1， 故AD 与BC 1所成的角即为∠ADO在△ADO 中，AD =√3，OD =12BC 1=√62，AO =12A 1B =√62，∵AD 2=OD 2+AO 2，OD =AO∴△ADO 为等腰直角三角形故∠ADO =45°即异面直线AD 与BC 1所成角等于45°【解析】（I ）连接A 1B ，交AB 1于O 点，连接OD ，由平行四边形性质及三角形中位线定理可得OD ∥BC 1，进而由线面平行的判定定理得到BC 1∥平面AB 1D ；（II ）由直棱柱的几何特征可得A 1A ⊥B 1D ，由等边三角形三线合一可得B 1D ⊥A 1C 1，进而由线面垂直的判定定理得到B 1D ⊥平面AA 1C 1C ，再由三角形相似得到A 1C ⊥AD 后，可证得A 1C ⊥平面AB 1D ．（III ）由（I ）中OD ∥BC 1，可得异面直线AD 与BC 1所成角即∠ADO ，解△ADO 可得答案．本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，（I ）的关键是证得OD ∥BC 1，（II ）的关键是熟练掌握线面垂直与线线垂直之间的转化，（III ）的关键是得到异面直线AD 与BC 1所成角即∠ADO ．16.【答案】（Ⅰ）证明：由P -ABD ，Q -BCD 是相同正三棱锥，且∠APB =90°，分别过P 、Q 作PE ⊥平面ABD ，QF ⊥平面BCD ，垂足分别为E 、F ，则E 、F 分别为底面正三角形ABD 与BCD 的中心． 连接EF 交BD 于G ，则G 为BD 的中点，连接PG 、QG ，则PG ⊥BD ，QG ⊥BD ，又PG ∩QG =G ，∴BD ⊥平面PQG ，则BD ⊥PQ ， 再由正三棱锥的性质可得PA ⊥BD ， 又PQ ∩PA =P ，∴BD ⊥平面APQ ；（Ⅱ）∵正三棱锥的底面边长为1，且∠APB =90°，∴PQ =EF =2EG =2×13AG =2×13×√32=√33， PE =√(√22)2−(√33)2=√66，则V B−PQD =13×12×√33×√66×1=√236．△PDQ 底边PQ 上的高为√(√22)2−(√36)2=√156，∴S △PDQ =12×√33×√156=√512．设B 到平面PQD 的距离为h ，则13×√512ℎ=√236，得h =√105．∴直线PB 与平面PDQ 所成角的正弦值为√105√22=2√55．【解析】（Ⅰ）由题意分别过P 、Q 作PE ⊥平面ABD ，QF ⊥平面BCD ，可得E 、F 分别为底面正三角形ABD 与BCD 的中心．连接EF 交BD 于G ，可得PG ⊥BD ，QG ⊥BD ，由线面垂直的判定及性质可得BD ⊥PQ ，再由正三棱锥的性质可得PA ⊥BD ，则BD ⊥平面APQ ；（Ⅱ）由已知求得PQ ，PE 的长，求得四面体B -PQD 的体积，利用等积法求出B 到平面PQD 的距离，则直线PB 与平面PDQ 所成角的正弦值可求．本题考查直线与平面所成的角，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题． 17.【答案】（1）证明：如图：∵AB =BC ，E 为AC 的中点，∴BE ⊥AC ，∵平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， ∴BE ⊥平面A 1ACC 1，∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴BE ⊥A 1C ．（2）解：∵面A1ACC1⊥面ABC，∴C1在面ABC上的射影H在AC上，∴∠C1CA为直线C1C与面ABC所成的角．过H作HM⊥BC于M，连C1M，在Rt△C1CM中，CM=CC1cos∠C1CM=2cos60°=1．在Rt△CMH中，CH=CMcos∠ACB =2√33．∴在Rt△C1CH中，cos∠C1CH=CHCC1=23√32=√33．∴直线C1C与面ABC所成的角的余弦值为√33.【解析】（1）证明BE⊥平面A1ACC1，可得BE⊥A1C，即可证明：A1C⊥平面C1EB；（2）判断∠C1CA为直线C1C与面ABC所成的角．过H作HM⊥BC于M，连C1M，即可求直线CC1与平面ABC所成角的余弦值．本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18.【答案】证明：（1）连接CD，据题知AD=4，BD=2，∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴cos∠ABC=2√36=√33，∴CD2=4+12−2×2×2√3cos∠ABC=8，∴CD=2√2，∴CD2+AD2=AC2，∴CD⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CD⊂平面ABC,∴CD⊥平面PAB，∵PD⊂平面PAB，∴CD⊥PD，∵PD⊥AC，CD∩AC=C，CD、AC⊂平面ABC,∴PD⊥平面ABC．解：（2）∵∠PAB=π4，∴PD=AD=4，∴PA=4√2，在Rt△PCD中，PC=√PD2+CD2=2√6，∴△PAC是等腰三角形，∴S△PAC=8√2，设点B到平面PAC的距离为d，由V B-PAC=V P-ABC，得13S△PAC×d=13S△ABC×PD，∴d==3，故点B到平面PAC的距离为3．【解析】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）连接CD，推导出CD⊥AB，CD⊥PD，由此能证明PD⊥平面ABC．（2）设点B到平面PAC的距离为d，由V B-PAC=V P-ABC，能求出点B到平面PAC的距离．19.【答案】解：（1）证明：∵ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，又BB 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，∵△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，又平面BB 1C 1C ∩平面ABC =BC ， ∴AD ⊥平面BB 1C 1C ， 又AD ⊂平面ADB 1，∴平面ADB 1⊥平面BB 1C 1C ；（2）由（1）可得△ADB 1为直角三角形， 又AD =√32，B 1D =√52，∴S △ADB 1=12×AD ×B 1D =√158，又S △ADB =12S △ABC =√38，设点B 到平面ADB 1的距离为d ， 则V B−ADB 1=V B 1−ADB ， ∴13S △ADB 1⋅d =13S △ADB ⋅BB 1， ∴点B 到平面ADB 1的距离d =S △ADB ⋅BB 1S △ADB 1=√3√15=√55．【解析】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.（1）推导出BB 1⊥平面ABC ，从而平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，推导出AD ⊥BC ，从而AD ⊥平面BB 1C 1C ，由此能证明平面ADB 1⊥平面BB 1C 1C ；（2）设点B 到平面ADB 1的距离为d ，由V B−ADB 1=V B 1−ADB ，能求出点B 到平面ADB 1的距离.20.【答案】证明：（1）∵PA ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ， ∴PA ⊥BE ．∵AB =BC ，E 为AC 的中点， ∴BE ⊥AC ，又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA ∩AC =A ， ∴BE ⊥平面PAC ，又BE ⊂平面BED ， ∴平面BED ⊥平面PAC ．（2）∵D ，E 是PC ，AC 的中点， ∴DE ∥PA ，又PA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，∵EF ⊂平面ABC ，BE ⊂平面ABC ， ∴DE ⊥EF ，DE ⊥BE ．∴∠FEB 为二面角F -DE -B 的平面角．∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，AB =AC ， ∴EF =12BC =12AB =BF ，EF ∥BC ．又AB ⊥BC ，∴BF ⊥EF ，∴△BEF 为等腰直角三角形，∴∠FEB =45°． ∴二面角F -DE -B 为45°．∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．∴∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角．∵PA=6，∴DE=12PA=3，又DF=5，∴EF=√DF2−DE2=4．∴AB=BC=8．∴PB=√PA2+AB2=10．∴tan∠CPB=BCPB =4 5．【解析】（1）通过证明BE⊥平面PAC得出平面BED⊥平面PAC；（2）由DE∥PA得出DE⊥平面ABC，故DE⊥EF，DE⊥BE，于是∠FEB为所求二面角的平面角，根据△BEF为等腰直角三角形得出二面角的度数；（3）证明BC⊥平面PAB得出∠CPB为所求角，利用勾股定理得出BC，PB，即可得出tan∠CPB．本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，空间角的计算，做出空间角是解题关键，属于中档题．21.【答案】解：（1）证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故EH∥PA，又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角．由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2√2，可得DH=CH=√22，BH=3√22在Rt△BHC中，tan∠CBH=CHBH =13，所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为13．【解析】（1）欲证PA∥平面BDE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面BDE内一直线平行，设AC∩BD=H，连接EH，根据中位线定理可知EH∥PA，而又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，满足定理所需条件；（2）欲证AC⊥平面PBD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与平面PBD内两相交直线垂直，而PD⊥AC，BD⊥AC，PD∩BD=D，满足定理所需条件；（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，则∠CBH为直线与平面PBD所成的角，在Rt△BHC中，求出此角即可．本小题主要考查直线与平面平行．直线和平面垂直．直线和平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理能力．。
线面垂直与面面垂直的判定与性质
立体几何之垂直关系【知识要点】空间中的垂直关系如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直． 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．解决空间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系，如图所示．题型1 平移证明线线垂直 例1 如图，在四棱锥ABCD P -中，N M AD BC AB AD BC BC AB ,.2,1,,===⊥分别为DC PD ,的中点，求证：AC MN ⊥例2 底面ABCD 是正方形，Q G BE PD PD BE ,,2,=‖分别为AP AB ,的中点，求证：CG QE ⊥例3 如图，在正方形1111D C B A ABCD -中，M 为1CC 的中点，F E ,分别为11,D A CD 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：OM EF ⊥题型2 线面垂直判定例1 如图，在三棱锥ABC P -中，PAB ∆是等边三角形。
①若ABC ∆是等边三角形，证明：PC AB ⊥②若 90=∠=∠PBC PAC ，证明：PC AB ⊥例 2 已知四棱台1111D C B A ABCD -的上下底面边长分别是2和4的正方形，41=AA 且ABCD AA 底面⊥1，点P 为1DD 的中点，求证：PBC AB 面⊥1例3 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AB BAC ==∠,90，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11C B 的中点。
证明：⊥D A 1平面BC A 1题型3 线面垂直性质证明线线垂直例1 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，D AA AC ACB ,21,901==∠ 是棱1AA 的中点，求证：BD DC ⊥1例2 已知正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，M 为AC 上一点，N 为BF 上一点，且FN AM =。
线面垂直及面面垂直典型例题
线面垂直与面面垂直 基础要点1、若直线αβαβ( B ) A 、//αβB 、α不一定平行于βC 、α不平行于βD 、以上结论都不正确2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=o,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ,垂足为H ,则H 一定在( B )A 、直线AC 上B 、直线AB 上C 、直线BC 上D 、△ABC 的内部3、如图示,平面α⊥平面β,,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π与6π,过A 、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为,A B '',则:AB A B ''=( A ) A 、2:1B 、3:1C 、3:2D 、4:34、如图示,直三棱柱11ABB DCC -中,190,4ABB AB ∠==o,12,1BC CC ==DC 上有一动点P ,则△1APC 周长的最小值就是5、已知长方体1111D C B A ABCD -中,21==AB A A ,若棱AB 上存在点P,使得PC P D ⊥1,则棱AD 长的取值范围就是 。
题型一:直线、平面垂直的应用1、(2014,江苏卷)如图,在三棱锥P-ABC 中,D,E,F 分别为棱PC,AC,AB 的中点、 已知,685PA AC PA BC DF ⊥===，，、 求证:(1) PA DEF P 平面;(2) BDE ABC ⊥平面平面 、证明: (1) 因为D,E 分别为棱PC,AC 的中点, 所以DE ∥PA 、又因为PA ⊄ 平面DEF,DE ⊂平面DEF, 所以直线PA ∥平面DEF 、(2) 因为D,E,F 分别为棱PC,AC,AB 的中点,PA ＝6,BC ＝8,所以DE ∥PA,DE ＝12PA ＝3,EF ＝12BC ＝4、 又因 DF ＝5,故DF 2＝DE 2＋EF 2,所以∠DEF ＝90°,即DE 丄EF 、又PA ⊥AC,DE ∥PA,所以DE ⊥AC 、线面垂直线线垂直面面垂直B`A`B AαβCD1B 1C B 11D A D BA因为AC∩EF ＝E,AC ⊂平面ABC,EF ⊂平面ABC,所以DE ⊥平面ABC 、 又DE ⊂平面BDE,所以平面BDE ⊥平面ABC 、2、 (2014,北京卷,文科)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱垂直于底面,AB BC ⊥,12AA AC ==,E 、F 分别为11A C 、BC 的中点、 (1)求证:平面ABE ⊥平面11B BCC ;(2)求证:1//C F 平面ABE 、 证明:(1)在三棱柱111ABC A B C -中,11,,BB ABC BB AB ⊥∴⊥底面11,,AB BC AB B BCC ∴⊥∴⊥平面,AB ABE ⊂Q 平面11ABE B BCC ∴⊥平面平面、(2)取AB 的中点G,连接EG ,FGQ E 、F 分别为11A C 、BC 的中点, 1,2FG AC FG AC ∴=P , 111111AC AC AC AC FG EC FG EC =∴=Q P P ，，，,则四边形1FGEC 为平行四边形, 111,,,C F EG EG ABE C F ABE C F ABE ∴⊂⊄∴P Q P 平面平面平面、3.如图,P 就是ABC ∆所在平面外的一点,且⊥PA 平面ABC ,平面⊥PAC 平面PBC .求证AC BC ⊥.分析:已知条件就是线面垂直与面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直..证明:在平面PAC 内作PC AD ⊥,交PC 于D .因为平面⊥PAC 平面PBC 于PC ,⊂AD 平面PAC ,且PC AD ⊥,所以PBC AD 平面⊥.又因为⊂BC 平面PBC ,于就是有BC AD ⊥①.另外⊥PA 平面ABC ,⊂BC 平面ABC ,所以BC PA ⊥.由①②及A PA AD =I ,可知⊥BC 平面PAC .因为⊂AC 平面PAC ,所以AC BC ⊥.说明:在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以瞧到,面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直.4、 过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ,如图,︒=∠90BSC ,︒=∠=∠60ASB ASC ,若截取a SC SB SA ===(1)求证:平面ABC ⊥平面BSC ; (2)求S 到平面ABC 的距离.分析:要证明平面ABC ⊥平面BSC ,根据面面垂直的判定定理,须在平面ABC 或平面BSC 内找到一条与另一个平面垂直的直线.(1)证明:∵a SC SB SA ===, 又︒=∠=∠60ASB ASC ,∴ASB ∆与ASC ∆都就是等边三角形, ∴a AC AB ==,取BC 的中点H ,连结AH ,∴BC AH ⊥.在BSC Rt ∆中,a CS BS ==,∴BC SH ⊥,a BC 2=,∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=,∴222a SH =. 在SHA ∆中,∴222a AH =,222a SH =,22a SA =,∴222HA SH SA +=,∴SH AH ⊥,∴⊥AH 平面SBC .∵⊂AH 平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面BSC .或:∵AB AC SA ==,∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为BSC ∆的外心,又BSC ∆为∆Rt ,∴H 在斜边BC 上,又BSC ∆为等腰直角三角形,∴H 为BC 的中点,∴⊥AH 平面BSC .∵⊂AH 平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面BSC . (2)解:由前所证:AH SH ⊥,BC SH ⊥,∴⊥SH 平面ABC ,∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离,a BC SH 222==, ∴点S 到平面ABC 的距离为a 22. 5、如图示,ABCD 为长方形,SA 垂直于ABCD 所在平面,过A 且垂直于SC 的平面分别交SB 、SC 、SD 于E 、F 、G ,求证:AE ⊥SB ,AG ⊥SD 6、在四棱锥P-ABCD 中,侧面PCD 就是正三角形,且与底面ABCD 垂直,已知底面就是面积为32的菱形,︒=∠60ADC ,M 就是PB 中点。
线面、面面垂直的判定习题课共31页文档
15、机会是不守纪律的。——雨果
1.如果直线l与平面α内的 任意一条 直线都垂直，
【分析】欲证面面垂直，需证线面垂直.故找出垂线是关键.
【证明】证法一：如图1-10-4所示,取BC的中点D，连
接AD，SD.
由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB=AC，
∴AD⊥BC,SD⊥BC. 令SA=a,在△SBC中，SD=2 a,
2
又AD=AC 2 -CD =2 a,2
2
∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.
又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.
∵AD平面ABC，
∴平面ABC⊥平面SBC.
证法二：∵SA=SB=SC=a,又 ∠ASB=∠ASC=60°, ∴△ASB,△ASC都是等边三角形. ∴AB=AC=a. 作AD⊥平面BSC于点D， ∵AB=AC=AS, ∴D为△BSC的外心. 又∵△BSC是以BC为斜边的直角三角形，
于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的
∠AOB叫做
二面角的平面角.二面角的大小可
以用它的
平面角来度量，二面角的平面角是多
少度，就说这个二面角是多少度.平面角是
直角 的二面角叫做直二面角.一般地，两个平面相交，
如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平
面
互相垂. 直
5.一个平面过另一个平面的 垂线 ，则这两 个平面垂直.这个定理叫做两个平面互相垂直的
线和平面平行，或
线面垂直判定定理测试题(含答案)
线面垂直判定定理测试题1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA//平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积．2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．3.如图，已知AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=1，AB=2（1）求证：AF∥面BCE；（2）求证：AC⊥面BCE；（3）求三棱锥E-BCF的体积．4.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．5.如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD=√3．（1）求证：CD⊥平面ADS；（2）求AD与SB所成角的余弦值；（3）求二面角A-SB-D的余弦值．6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP=AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．求证：（1）MN∥平面PAB；（2）AM⊥平面PCD．7.如图所示四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为PD的中点，F为PC中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求证：BF∥平面ACE；（Ⅲ）求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．答案和解析1.【答案】（1）证明：由PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，且AB ∩BC =B ，可得PA ⊥平面ABC ，由BD ⊂平面ABC ，可得PA ⊥BD ；（2）证明：由AB =BC ，D 为线段AC 的中点，可得BD ⊥AC ，由PA ⊥平面ABC ，PA ⊂平面PAC ，可得平面PAC ⊥平面ABC ，又平面PAC ∩平面ABC =AC ，BD ⊂平面ABC ，且BD ⊥AC ，即有BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面BDE ，可得平面BDE ⊥平面PAC ；（3）解:PA //平面BDE ，PA ⊂平面PAC ，且平面PAC ∩平面BDE =DE ，可得PA //DE ，又D 为AC 的中点，可得E 为PC 的中点，且DE =12PA =1，由PA ⊥平面ABC ，可得DE ⊥平面ABC ，可得S △BDC =12S △ABC =12×12×2×2=1， 则三棱锥E -BCD 的体积为13DE •S △BDC =13×1×1=13．【解析】本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．（1）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；（2）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；（3）由线面平行的性质定理可得PA//DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．2.【答案】解：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB∥CD ,又∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD ,又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF ;（2）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD ,又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD,CD⊄平面PAD∴CD⊥平面PAD ,又∵AF⊂平面PAD ,∴CD⊥AF ,由（1）可知，AB∥EF，又∵AB∥CD，C,D,E,F在同一平面内，∴CD∥EF ,∵点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点,在△PAD中，∵PA=AD，∴AF⊥PD ,又∵PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD,∴AF⊥平面PCD．【解析】（1）证明AB∥平面PCD，即可得AB∥EF；（2）利用平面PAD⊥平面ABCD，证明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可证明AF⊥平面PCD；本题考查线面平行的性质，平面与平面垂直的性质，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3.【答案】（1）证明：∵四边形ABEF为矩形，∴AF∥BE，∵AF⊄平面BCE，BE⊄平面BCE，∴AF∥面BCE．（2）证明：∵AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，∴BE⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BE，∵四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=1，AB=2 ∴AC=BC=√12+12=√2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，∵BC∩BE=B，∴AC⊥面BCE．（3）解：三棱锥E-BCF的体积：V E-BCF=V C-BEF=13×S△BEF×AD=1 3×12×BE×EF×AD=1 3×12×1×2×1=13．【解析】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、转化化归思想，考查数据处理能力和运用意识，是中档题．（1）推导出AF∥BE，由此能证明AF∥面BCE．（2）推导出AC⊥BE，AC⊥BC，由此能证明AC⊥面BCE．（3）三棱锥E-BCF的体积V E-BCF=V C-BEF，由此能求出结果．4.【答案】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，∵△ABC是正三角形，AD=CD，∴DO⊥AC，BO⊥AC，∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，∵BD⊂平面BDO，∴AC⊥BD．（2）解：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD，∵OE⊂平面OBD，∴OE⊥AC，设AD=CD=√2，则OC=OA=1，EC=EA，∵AE⊥CE，AC=2，∴EC2+EA2=AC2，∴EC=EA=√2=CD，∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD=√2，由余弦定理得：cos∠CBD=BC2+BD2−CD22BC⋅BD =BC2+BE2−CE22BC⋅BE，即4+4−22×2×2=4+BE2−22×2×BE，解得BE=1或BE=2，∵BE＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED，∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，∵BE=ED，∴S△DCE=S△BCE，∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．【解析】本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．（1）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD．（2）连结OE，设AD=CD=，则OC=OA=1，由余弦定理求出BE=1，由BE=ED，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，S△DCE=S△BCE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．5.【答案】解：（I）证明：∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD又SD⊥AB，AB∥CD，则CD⊥SD（2分）AD⊥SD∴CD⊥平面ADS（II）矩形ABCD，∴AD∥BC，即BC=1，∴要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角在△SBC中，由（1）知，SD⊥面ABCD．∴Rt△SDC中，SC=√(√3)2+22=√7∴CD是CS在面ABCD内的射影，且BC⊥CD，∴SC⊥BCtan∠SBC=SCCB =√71=√7cos∠SBC=√24从而SB与AD的成的角的余弦为√24．（III）∵△SAD中SD⊥AD，且SD⊥AB∴SD⊥面ABCD．∴平面SDB⊥平面ABCD，BD为面SDB与面ABCD的交线．∴过A作AE⊥DB于E∴AE⊥平面SDB又过A作AF⊥SB于F，连接EF，从而得：EF⊥SB∴∠AFB为二面角A-SB-D的平面角在矩形ABCD中，对角线∵√12+22=√5BD=√5∴在△ABD中，AE=AB⋅CDBD =1⋅2√5=2√55由（2）知在Rt△SBC，SB=√(√7)2+12=√8．而Rt△SAD中，SA=2，且AB=2，∴SB2=SA2+AB2，∴△SAB为等腰直角三角形且∠SAB为直角，∴AF=√22AB=√2∴sin∠AFE=AEAF =2√55√2=√105所以所求的二面角的余弦为√155【解析】（1）要证CD⊥平面ADS，只需证明直线CD垂直平面ADS内的两条相交直线AD、SD即可；（2）要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角，解三角形可求AD与SB所成角的余弦值；（3）过A作AE⊥DB于E 又过A作AF⊥SB于F，连接EF，说明∠AFB为二面角A-SB-D的平面角，解三角形可求二面角A-SB-D的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，异面直线所成的角，考查学生逻辑思维能力，计算能力，是中档题．6.【答案】证明：（1）因为M、N分别为PD、PC的中点，所以MN∥DC，又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC．所以MN∥AB，又AB⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）因为AP=AD，P为PD的中点，所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM．因为CD、PD⊂平面PCD，CD∩PD=D，∴AM⊥平面PCD．【解析】（1）推导出MN∥DC，AB∥DC．从而MN∥AB，由此能证明MN∥平面PAB．（2）推导出AM⊥PD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥AM，由此能证明AM⊥平面PCD．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．7.【答案】（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，CD⊂面ABCD，所以PA⊥CD，又因为直角梯形ABCD中，AC=2√2，CD=2√2，所以AC2+CD2=AD2，即AC⊥CD，又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC；（Ⅱ）解法一：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，则在△PCE中，FG∥CE，又EC⊂平面ACE，FG⊄平面ACE，所以FG∥平面ACE，因为BC∥AD，所以BOOD =GEED，则OE∥BG，又OE⊂平面ACE，BG⊄平面ACE，所以BG∥平面ACE，又BG∩FG=G，所以平面BFG∥平面ACE，因为BF⊂平面BFG，所以BF∥平面ACE．解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接FD交CE于H，连接OH，则FG∥CE，在△DFG中，HE∥FG，则GEED =FHHD=12，在底面ABCD中，BC∥AD，所以BOOD =BCAD=12，所以FHHD =BOOD=12，故BF∥OH，又OH⊂平面ACE，BF⊄平面ACE，所以BF∥平面ACE．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，CD⊥平面PAC，所以∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，在Rt△PCD中，CD=2√2，PD=√PA2+AD2=2√5，所以sin∠DPC=CDPD =2√22√5=√105，所以直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为√105．【解析】本题考查线面垂直、线面平行，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定方法，正确找出线面角．（Ⅰ）证明CD⊥平面PAC，证明PA⊥CD，AC⊥CD即可；（Ⅱ）解法一：连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，证明平面BFG∥平面ACE，即可证得BF∥平面ACE；解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接FD交CE于H，连接OH，则证明BF∥OH，即可证得BF∥平面ACE；（Ⅲ）确定∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，在Rt△PCD中，即可求得直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．第11页，共11页。
线面、面面垂直的判定及性质 A 试题
智才艺州攀枝花市创界学校2021高考数学A课后作业：9-5线面、面面垂直的断定及性质1.(文)(2021·海淀区期末)m，n是两条不同的直线，α，β)A．假设m∥α，α∩β＝n，那么m∥nB．假设m∥n，m⊥α，那么n⊥αC．假设m⊥α，m⊥β，那么α∥βD．假设m⊥α，m⊂β，那么α⊥β[答案]A[解析]选项A中，直线m与直线n也可能异面，因此A不正确．(理)(2021·十二中)两条不同的直线m、n，两个不同的平面α、β)A．假设m⊥α，n⊥β，α⊥β，那么m⊥nB．假设m∥α，n∥β，α∥β，那么m∥nC．假设m⊥α，n∥β，α⊥β，那么m⊥nD．假设m∥α，n⊥β，α⊥β，那么m∥n[答案]A[解析]⇒m⊥n，故A正确；如图(1)，m⊥α，n⊥α满足n∥β，但m∥n，故C错；如图(2)知B错；如图(3)正方体中，m∥α，n⊥β，α⊥β，知D错．2．(文)(2021·模拟)假设l为一条直线，α、β、γ①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.)A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]C[解析]①中α与β可能平行，故①错，②③正确．(理)(2021·区模拟)设α，β，γ是三个不重合的平面，l①假设α⊥β，β⊥γ，那么α⊥γ；②假设l上两点到α的间隔相等，那么l∥α；③假设l⊥α，l∥β，那么α⊥β；④假设α∥β，l⊄β，且l∥α，那么l∥β.)A．①②B．②③C．②④D．③④[答案]D[解析]对于①：假设α⊥β，β⊥γ，那么可能α⊥γ，也可能α∥γ.对于②：假设l上两点到α的间隔相等，那么l∥α，显然错误．当l⊥α，l∩α＝A时，l上到A间隔相等的两点到α的间隔相等．③④显然正确．3．(2021·皖南八校联考)设l，m是两条不同的直线，α)A．假设l⊥m，m⊂α，那么l⊥αB．假设l⊥α，m⊂α，那么l⊥mC．假设l∥α，l∥m，那么m∥αD．假设l∥α，m∥α，那么l∥m[答案]B[解析]直线垂直于平面中两条相交直线，才能垂直于平面，故A错；C中m可能包含在平面α中；D中两条直线可能平行、相交或者异面．4.(2021·高三调研)如以下列图，在立体图形D－ABC中，假设AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，那么以下结论正确的选项是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE[答案]C[解析]要判断两个平面的垂直关系，就需找一个平面内的一条直线与另一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.所以选C.5．定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是()A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点[答案]B[解析]连接BC，∵PB⊥α，∴AC⊥PB.又∵PC⊥AC，∴AC⊥BC.∴C在以AB为直径的圆上．应选B.6．(2021·三模)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，假设AB＝2，AA1＝1，那么点A到平面A1BC的间隔为()A. B.C. D.[答案]B[解析]解法1：取BC中点E，连接AE、A1E，过点A作AF⊥A1E，垂足为F.∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥BC，∵AB＝AC.∴AE⊥BC.∴BC⊥平面AEA1.∴BC⊥AF，又AF⊥A1E，∴AF⊥平面A1BC.∴AF的长即为所求点A到平面A1BC的间隔．∵AA1＝1，AE＝，∴AF＝.解法2：V A1－ABC＝S△ABC·AA1＝××1＝.又∵A1B＝A1C＝，在△A1BE中，A1E＝＝2.∴S△A1BC＝×2×2＝2.∴V A－A1BC＝×S△A1BC·h＝h.∴h ＝，∴h ＝.∴点A 到平面A 1BC 间隔为.7．(2021·)如以下列图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠ADC ＝90°，且AA 1＝AD ＝DC ＝2，M ∈平面ABCD ，当D 1M ⊥平面A 1C 1D 时，DM ＝________.[答案]2[解析]∵DA ＝DC ＝DD 1且DA 、DC 、DD 1两两垂直，故当点M 使四边形ADCM 为正方形时，D 1M ⊥平面A 1C 1D ，∴DM ＝2.8．(2021·质检)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，B 1C 1 ①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形； ②P 在直线FG 上运动时，AP ⊥DE ；③Q 在直线BC 1上运动时，三棱锥A －D 1QC 的体积不变；④M 是正方体的面A 1B 1C 1D 1内到点D 和C 1间隔相等的点，那么M 点的轨迹是一条线段． [答案]②③④ [解析]三棱锥A 1－ABC 的四个面都是Rt △，故①错；F 在FG 上运动时，PF ⊥平面ABCD ，∴PF ⊥DE ，又在正方体ABCD 中，E 、F 为AB 、BC 中点，∴AF ⊥DE ，∴DE ⊥平面PAF ，∴DE ⊥PA ，故②真；V A －D 1QC ＝V Q －AD 1C ，∵BC 1∥AD 1，∴BC 1∥平面AD 1C ，∴无论点Q 在BC 1上怎样运动，Q 到平面AD 1C 间隔都相等，故③真；到点D 和C 1间隔相等的点在经过线段C 1D 的中点与DC 1垂直的平面α上，故点M 为平面α与正方体的面A 1B 1C 1D 1相交线段上的点，这条线段即A 1D 1.1.(2021·海淀检测)假设正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，那么A 1C 1到底面ABCD 的间隔为()A. B ．1 C. D.[答案]D[解析]依题可知∠B 1AB ＝60°，平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴B 1B 即为所求间隔，在△ABB 1中得，B 1B ＝.应选D.2．(2021·一模)l ，m 是不同的两条直线，α，β) A ．假设l ⊥α，α⊥β，那么l ∥β B ．假设l ∥α，α⊥β，那么l ∥β C ．假设l ⊥m ，α∥β，m ⊂β，那么l ⊥αD．假设l⊥α，α∥β，m⊂β，那么l⊥m[答案]D[解析]⇒l⊥m.3．(文)如以下列图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，A1D与BC1所成的角为，那么BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为()A. B.C. D.[答案]B[解析]连接B1C，∴B1C∥A1D，∵A1D与BC1所成的角为，∴B1C⊥BC1，∴长方体ABCD－A1B1C1D1为正方体，取B1D1的中点M，连接C1M，BM，∴C1M⊥平面BB1D1D，∴∠C1BM为BC1与平面BB1D1D所成的角，∵AB＝BC＝2，∴C1M＝，BC1＝2，∴sin∠C1BM＝＝，应选B.(理)(2021·质检)如以下列图，在棱长均为1的三棱锥S－ABC中，E为棱SA的中点，F为△ABC的中心，那么直线EF与平面ABC所成角的正切值是()A．2 B．1C. D.[答案]C[解析]∵F为正三棱锥底面中心，∴SF⊥平面ABC，∴平面SAF⊥平面ABC，∴∠EFA为EF与平面ABC所成的角，易知AE＝，AF＝，又EF＝SA＝，∴cos∠FAE＝＝，∴sin∠FAE＝＝，∴tan∠FAE＝.由于Rt△SAF中E为SA的中点，∴∠FAE＝∠EFA，故tan∠EFA＝.4．过正方形ABCD之顶点A作PA⊥平面ABCD，假设PA＝AB，那么平面ABP与平面CDP所成二面角的度数为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]B[解析]过P作直线l∥AB，那么l为二面角的棱，易证∠APD即为所求．∵AP＝AD，∠PAD＝90°，∴∠APD＝45°.5．如以下列图，AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.[解析](1)取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP＝DE.又AB∥DE，且AB＝DE，∴AB∥FP，且AB＝FP，∴四边形ABPF为平行四边形，∴AF∥BP.又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD.∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又AF⊥CD，CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE.又∵BP⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.6．(文)如以下列图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥DAB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB＝2.(1)求证：DB⊥平面B1BCC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E∥平面A1BD，并说明理由．[解析](1)证明：∵AB∥DC，AD⊥DC，∴AB⊥AD，在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，∴BD＝，易求BC＝，又∵CD＝2，∴BD⊥BC.又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B，∴BD⊥平面B1BCC1.(2)DC的中点即为E点．∵DE∥AB，DE＝AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD綊BE.又AD綊A1D1，∴BE綊A1D1，∴四边形A1D1EB是平行四边形．∴D1E∥A1B.∵D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴D1E∥平面A1BD.(理)(2021·文，17)如以下列图，在四面体PABC中，PC⊥AB、PA⊥BC，点D、E、F、G分别是棱AP、AC、BC、PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的间隔相等？说明理由．[解析](1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC，又因为DE⊄平面BCP，PC⊂平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG 为平行四边形，又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形．(3)存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝EG，所以EG的中点Q为满足条件的点．7．(2021·模拟)如以下列图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD ＝2，CD＝4，M为CE的中点．(1)求证：BM∥平面ADEF；(2)求证：平面BDE⊥平面BEC.[解析](1)证明：延长DA与CB相交于P，∵AB＝AD＝2，CD＝4，AB∥CD，∴B为PC的中点，又M为CE的中点，∴BM∥EP，∵BM⊄平面ADEF，EP⊂平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.(2)证明：由(1)知，BC＝PC＝＝2，又BD＝＝2，∴BD2＋BC2＝CD2，∴BD⊥BC.又平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC，∵ED∩BD＝D，∴BC⊥平面BDE，又BC⊂平面BEC，∴平面BDE⊥平面BEC.1．(2021·调研)设α、β、γ为平面，l、m、n为直线，那么m⊥β的一个充分条件为()A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．n⊥α，n⊥β，m⊥αC．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γD．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α[答案]B[解析]如图①知A错；如图②知C错；如图③在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错．⇒m⊥β，故B正确．2.(2021·十二校联考)如以下列图所示，四棱锥P－ABCD的底面是梯形，且BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝2AB.PA ⊥底面ABCD，E为PC的中点．PA＝AD＝AB＝1.(1)证明：EB∥平面PAD；(2)求直线BD与平面PDC所成角的大小．[解析](1)证明：取PD的中点Q，连接EQ，AQ，那么QE∥CD∥AB，且QE＝CD＝AB，故四边形ABEQ是平行四边形．故EB∥AQ.又AQ⊂平面PAD，EB⊄平面PAD，故EB∥平面PAD.(2)解：∵CD⊥AD，PA⊥CD，∴CD⊥平面PAD.∵AQ⊂平面PA，∴AQ⊥CD.又可得AQ⊥PD，故AQ⊥平面PCD.又BE∥AQ，故BE⊥平面PDC.所以∠BDE为所求角的平面角．易得∠BDE＝30°.3．(2021·高三年级调研测试)如以下列图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，BD＝2AD＝4，AB＝2DC＝2.(1)求证：BD⊥平面PAD；(2)求三棱锥A－PCD的体积．[解析](1)证明：在△ABD中，由于AD＝2，BD＝4，AB＝2，∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.(2)解：过P作PO⊥AD交AD于O.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD.∵△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO＝.由(1)知，AD⊥BD，在Rt△ABD中，斜边AB边上的高为h＝＝.∵AB∥DC，∴S△ACD＝CD×h＝××＝2.∴V A－PCD＝V P－ACD＝S△ACD×PO＝×2×＝.4．如以下列图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，F是PB的中点．求证：(1)DF⊥AP.(2)在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？假设存在，说明G点的位置，并证明你的结论；假设不存在，说明理由．解析：(1)取AB的中点E，那么PA∥EF.设PD＝DC＝a，易求得DE＝a，FE＝PA＝a，DF＝PB＝a.由于DE2＝EF2＋DF2，故DF⊥EF，又EF∥PA，∴DF⊥PA.(2)在线段AD上存在点G，使GF⊥平面PBC，且G点是AD的中点．取AD的中点G，连结PG、BG，那么PG＝BG.又F为AB的中点，故GF⊥PB.∵F为PB中点，∴F点在底面ABCD上的射影为正方形ABCD的中心O，∴GO为GF在平面ABCD上的射影，∵GO⊥BC，∴GF⊥BC，∵BC、PB是平面PBC内的两条相交直线，∴GF⊥平面PBC.。
线面垂直面面垂直知识点总结经典例题及解析高考题练习及答案
直线、平面垂直的判定与性质【考纲说明】1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。
2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
【知识梳理】一、直线与平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。
如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。
（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
即,//a b a b αα⊥⊥⇒.由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。
2、直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是00的角。
3、二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。
其作用是衡量二面角的大小；范围：000180θ<<.二、平面与平面垂直的判定与性质1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作l l βαβα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭.3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作l m m m lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭I .【经典例题】【例1】（2012浙江文）设l 是直线,a,β是两个不同的平面 （ ） A ．若l ∥a,l ∥β,则a∥β B ．若l ∥a,l ⊥β,则a⊥β C ．若a⊥β,l ⊥a,则l ⊥β D ．若a⊥β,l ∥a,则l ⊥β 【答案】B【解析】利用排除法可得选项B 是正确的,∵l ∥a,l ⊥β,则a⊥β.如选项A:l ∥a,l ∥β时,a⊥β或a∥β;选项C:若a⊥β,l ⊥a,l ∥β或l β⊂;选项D:若若a⊥β,l ⊥a,l ∥β或l ⊥β.【例2】（2012四川文）下列命题正确的是 （ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D 错;故选项C 正确.【例3】（2012山东）已知直线m 、n 及平面α，其中m∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①④C ．①②④D ．②④ 【答案】C【解析】如图1，当直线m 或直线n 在平面α内时有可能没有符合题意的点；如图2，直线m 、n 到已知平面α的距离相等且所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m 、n 所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.【例4】（2012四川理）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是____________.【答案】90o【解析】方法一:连接D 1M,易得DN⊥A 1D 1,DN⊥D 1M,所以,DN⊥平面A 1MD 1,又A 1M ⊂平面A 1MD 1,所以,DN⊥A 1D 1,故夹角为90o方法二:以D 为原点,分别以DA,DC,DD 1为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系D —xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A 1(2,0,2)故,），（），（2,121,2,01-== N MB 1A 1C 1D 1BD C所以,cos<|MA ||DN |111MA DN MA DN •=〉〈，=0,故DN⊥D 1M,所以夹角为90o【例5】（2012大纲理）三棱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等,1160BAA CAA ∠=∠=︒,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为_____________. 【答案】66【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有1111,AB AB AA BC AC AA AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r,则22221111||()222cos603AB AB AA AB AB AA AA =+=+⋅+=+︒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r而1111()()AB BC AB AA AC AA AB ⋅=+⋅+-u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r【例6】（2011·福建）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________． 【答案】【解析】∵EF∥面AB 1C ，∴EF∥AC .又E 是AD 的中点，∴F 是DC 的中点． ∴EF ＝AC ＝.【例7】（2012年山东文）如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形,,CB CD EC BD =⊥. （1）求证:BE DE =;（2）若∠120BCD =︒,M 为线段AE 的中点, 求证:DM ∥平面BEC .【解析】（1）设BD 中点为O ,连接OC ,OE ,则由BC CD =知CO BD ⊥,又已知CE BD ⊥,所以BD ⊥平面OCE .所以BD OE ⊥,即OE 是BD 的垂直平分线,所以BE DE =.（2）取AB 中点N ,连接,MN DN ,∵M 是AE 的中点,∴MN ∥BE , ∵△ABD 是等边三角形,∴DN AB ⊥.由∠BCD =120°知,∠CBD =30°, 所以∠ABC =60°+30°=90°,即BC AB ⊥,所以ND ∥BC ,所以平面MND ∥平面BEC ,又DM ⊂平面MND ,故DM ∥平面BEC . 另证:延长BC AD ,相交于点F ,连接EF.因为CB=CD,090=∠ABC . 因为△ABD 为正三角形,所以0090,60=∠=∠ABC BAD ,则030=∠AFB ,所以AF AB 21=,又AD AB =, 所以D 是线段AF 的中点,连接DM,又由点M 是线段AE 的中点知EF DM //,而⊄DM 平面BEC ,⊂EF 平面BEC ,故DM ∥平面BEC .【例8】（2011天津）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点． （1）证明：PB∥平面ACM ； （2）证明：AD ⊥平面PAC ；（3）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值． 【解析】（1）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB∥MO .因为PB ?平面ACM ，MO ?平面ACM ，所以PB∥平面ACM .（2）证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC ，又PO ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC . （3）取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN∥PO ，且MN ＝PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角，在Rt△DAO 中，AD ＝1，AO ＝，所以DO ＝，从而AN ＝DO ＝.在Rt△ANM 中，tan∠MAN ＝＝＝，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为.【例9】（2012湖南文）如图，在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD. （1）证明:BD⊥PC;（2）若AD=4,BC=2,直线PD 与平面PAC 所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD 的体积. 【解析】（1）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线,所以BD ⊥平面PAC, 而PC ⊂平面PAC,所以BD PC ⊥.（2）设AC 和BD 相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD ⊥平面PAC, 所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角,从而DPO ∠30=o . 由BD ⊥平面PAC,PO ⊂平面PAC,知BD PO ⊥. 在Rt POD V 中,由DPO ∠30=o ,得PD=2OD.因为四边形ABCD 为等腰梯形,AC BD ⊥,所以,AOD BOC V V 均为等腰直角三角形, 从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积 在等腰三角形AOD 中,2,22,2OD AD == 所以22242, 4.PD OD PA PD AD ===-=故四棱锥P ABCD -的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【例10】（2012新课标理）如图,直三棱柱111ABC A B C -中,112AC BC AA ==,D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1 （1）证明:BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小.【解析】（1）在Rt DAC ∆中,AD AC =得:45ADC ︒∠=同理:1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=得:111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥ 取11A B 的中点O ,过点O 作OH BD ⊥于点H ,连接11,C O C H1111111AC B C C O A B =⇒⊥,面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥得:点H 与点D 重合且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角设AC a =,则12C O =,111230C D C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒【课堂练习】．（2012浙江理）已知矩形ABCD ,AB =1,BC将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中（ ）A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直 ．（2012四川理）下列命题正确的是 （ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3．（2011重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( )A ．只有1个B ．恰有3个C ．恰有4个D ．有无穷多个4．（2012上海）已知空间三条直线l ，m ，n 若l 与m 异面,且l 与n 异面,则 （ ） A ．m 与n 异面. B ．m 与n 相交. C ．m 与n 平行. D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能. 5．（2011烟台）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m ⊥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n∥β，m ⊥n ，α•AB•β则α∥β；④若m ⊥α，n∥β，α∥β，则m ⊥n . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．（2011潍坊）已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m∥n ，m ?α，n ?β，则α∥βC ．若m∥n ，m∥α，则n∥αD ．若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β7.（2010全国卷文）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（）A ．30°B．45°C．60°D．90°8.（2010全国卷）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC1D 所成角的余弦值为（）AB．23D 9.（2010全国Ⅱ卷理）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A ．1B ．2D ．310.（2010全国Ⅰ卷）已知在半径为2的球面上有A ．B ．C ．D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（）ABC．11.（2010江西理）过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线L ，使L 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等，这样的直线L 可以作（） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12.（2012大纲）已知正方形1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为1BB ,1CC 的中点,那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为____.13.（2010上海文）已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是.14.（2010四川卷）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是.15.（江西卷文）长方体1111ABCD A B C D -的顶点均在同一个球面上，11AB AA ==，2BC =，则A ，B 两点间的球面距离为16.（2010湖南理）如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点。
线面垂直证明面面垂直专题 3
立体几何平行与垂直专题（附经典解析）1垂直证明习题——线面垂直⇒面面垂直1. 如图所示，三棱柱中，，平面．证明：平面平面．2. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，，，分别为，的中点，且．求证：平面平面．3. 如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点．求证：平面BDM ⊥平面ECA ．111ABC A B C -90BCA ∠=°1AC ⊥1A BC ABC ⊥11ACCA P ABCD -ABCD 2PA AD ==120PAD BAD ∠=∠=︒E FPDBD 2EF =PAD ⊥ABCD垂直证明习题——线面垂直⇒面面垂直（教师版）1. 如图所示，三棱柱中，，平面．证明：平面平面．【解析】证明：平面，．，，平面．又平面，平面平面．2. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，，，分别为，的中点，且．求证：平面平面．【解析】过P 作PO ⊥AD ，垂足为O ，连结AO ，BO ， 由∠PAD=120°，得∠PAO=60°，111ABC A B C -90BCA ∠=°1AC ⊥1A BC ABC ⊥11ACCA 1AC ⊥1A BC 1AC BC ∴⊥90BCA ∠︒＝BC AC ∴⊥BC ∴⊥11ACC A BC ⊂ABC ∴ABC ⊥11ACC A P ABCD -ABCD 2PA AD ==120PAD BAD ∠=∠=︒E FPDBD EF =PAD ⊥ABCD立体几何平行与垂直专题（附经典解析）3∴在Rt △PAO 中，PO=PAsin ∠PAO=2sin60°=2×，∵∠BAO=120°，∴∠BAO=60°，AO=AO ，∴△PAO ≌△BAO ，∴∵E ，F 分别是PA ，BD 的中点，EF=∴EF是△PBD 的中位线，∴PB=2EF=2×，∴PB 2=PO 2+BO 2，∴PO ⊥BO ，∵AD∩BO=O ，∴PO ⊥平面ABCD ， 又PO ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ．3. 如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点．求证：平面BDM ⊥平面ECA ．【解析】取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN //CF ．∵BD //CF ，∴MN //BD ， ∴N ∈平面BDM ．∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN ．又∵AC ⊥BN ，EC ∩AC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA ． 又∵BN ⊂平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA ．222。
高中数学必修2立体几何专题-线面垂直专题典型例题精选精讲
线面垂直的证明中的找线技巧◆通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直１ 如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 为1CC 的中点,ＡＣ交BD 于点O ,求证:1A O ⊥平面ＭＢD .证明:连结MO ，1A M，∵D Ｂ⊥1A A ,D Ｂ⊥ＡC ，1A AAC A =，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴ＤB ⊥1A O . 设正方体棱长为a ，则22132A O a =,2234MO a =.在Rt △11A C M 中,22194A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩D Ｂ=O ，∴ 1A O ⊥平面MBD . 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明.◆利用面面垂直寻求线面垂直２ 如图2,P 是△A ＢC 所在平面外的一点,且PA ⊥平面ABC ,平面PAC ⊥平面PBC .求证：B Ｃ⊥平面ＰＡC .证明：在平面PAC 内作A Ｄ⊥PC 交ＰC 于Ｄ.因为平面PAC ⊥平面PB Ｃ，且两平面交于P Ｃ,AD ⊂平面PAC ,且A Ｄ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得ＡD ⊥平面PB Ｃ． 又∵BC ⊂平面P ＢC ，∴AD ⊥BC .∵PA ⊥平面AB Ｃ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥ＢC .∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ．(另外还可证BC 分别与相交直线AD ，A Ｃ垂直,从而得到BC ⊥平面PAC ）.评注：已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.下面举例说明．3 如图1所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面AB ＣD ,过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证:AE SB ⊥,AG SD ⊥．证明：∵SA ⊥平面ＡBCD , ∴SA BC ⊥.∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ⊂平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ,∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面ＳBC ．∴AE SB ⊥.同理可证AG SD ⊥．评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化.４ 如图2，在三棱锥A －BCD 中，BC ＝AC ,AD =BD ,作BE ⊥CD ,E 为垂足，作ＡH ⊥B Ｅ于H ．求证：AH ⊥平面B ＣＤ.证明：取A Ｂ的中点Ｆ，连结CF ，ＤF . ∵ACBC =,∴CF AB ⊥．∵AD BD =,∴DF AB ⊥.又CF DF F =，∴AB ⊥平面ＣＤF ． ∵CD ⊂平面CD Ｆ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B =, ∴CD ⊥平面A ＢE ，CD AH ⊥．∵AH CD ⊥，AH BE ⊥,CD BE E =,∴ AH ⊥平面ＢCD ．评注:本题在运用判定定理证明线面垂直时,将问题转化为证明线线垂直;而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复,直到证得结论.5 如图３，AB 是圆O 的直径,C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ，E 为垂足,F 是P Ｂ上任意一点， 求证：平面AEF ⊥平面PBC ．证明：∵AB 是圆O 的直径,∴AC BC ⊥.∵PA ⊥平面AB Ｃ,BC⊂平面A ＢC ，∴PA BC ⊥．∴BC ⊥平面ＡPC . ∵BC ⊂平面P ＢC ，∴平面AP Ｃ⊥平面ＰＢC ．∵AE ⊥ＰC ，平面APC ∩平面P ＢC =P Ｃ， ∴AE ⊥平面PBC .∵AE ⊂平面AE Ｆ，∴平面AE Ｆ⊥平面PB Ｃ． 评注:证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直,而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系.6. 空间四边形ABCD 中,若ＡB ⊥CD ，BC ⊥AD,求证:ＡC ⊥ＢＤAD B O C证明：过A 作ＡO ⊥平面ＢＣD 于O 。
线面垂直与面面垂直典型例题
线面垂直与面面垂直基础要点1、若直线a与平而40所成的角相等，则平而a与0的位置关系是(B )A、alipB、a不一定平行于0 C. a不平行于0 D、以上结论都不正确2、在斜三棱柱ABC-A{B}C^ZBAC = 90\又BC』AC,过G作C"丄底而救；垂足为H ,则F—定在(B )A.直线AC上B、直线AB上C、直线BC上D、'ABC的部3、如图示，平而a丄平面0, Aea.Be/3.AB与两平而Z0所成的角分别为冬和冬，4 6 过A. B分别作两平而交线的垂线，垂足为则4 B: A B f =a (A )A. 2:1 B、3:1 C、3:2 D、4:34、如图示，直三棱柱ABB'—DCq中，ZABB l =90=BC = 2,CC,= 1 DC上有一动点P,则厶APC}周长的最小值是 _______________5•已知长方体ABCD_A"GD】中，A l A = AB = 2f若棱AB上存在点P，使得0P丄PC,则棱AD长的取值围是 ____________ 。
题型一：直线、平而垂直的应用1.(2014,卷)如图，在三棱锥P-ABC中，D, E, F分别为棱PC, AC, AB的中点.已知P4丄AC,PA = 6, BC = 8, DF = 5.求证：(1) PA||平而DEF； (2)平面BDE丄平面ABC・证明：(1)因为D, E分别为棱PC, AC的中点，所以DE〃PA・又因为PA 0平而DEF, DEc平而DEF,所以直线PA〃平而DEF.(2)因为D, E, F 分别为棱PC, AC, AB 的中点，PA=6, BC=8,所以DE〃PA, DE= 1PA=3>EF=1BC=4.2 2又因DF=5,故DF2 = DE2+EF2^所以ZDEF=90°,即DE 丄EF.又PA丄AC, DE〃PA,所以DE丄AC.因为ACC1EF=E,ACu平面ABC.EFc平而ABC,所以DE丄平而ABC. 又DEu平而BDE,所以平面BDE丄平而ABC.2.(2014、卷，文科)如图，在三棱柱ABC — A&C中，侧棱垂直于底面, 48丄BC, AA}=AC = 29 E、F分别为、3C的中点.(1)求证：平而丄平而dBCq： (2)求证：Cf〃平而ABE.它二B 证明：(1)在三棱柱ABC — AQC]中，BB l丄底面ABC；BB、丄AB, :. AB丄BC、：. AB丄平面B^BCC^•・• AB u平面ABE 平面ABE丄平面B、BCC\.⑵取AB的中点G,连接EG, FG•；E、F 分别为BC的中点，.•.FG||AC,FG =丄AC,2•.•AC || 4G，AC = A i C l,:.FG\\EC e FG = EC；,则四边形FGEC,为平行四边形，C,F || EG,・.・ EG u 平面＜z 平面ABE： C,F || 平.3.如图，P是AAZ?C所在平面外的一点，且PA丄平而A3C，平而PAC丄平而PBC.求证丄AC.分析：已知条件是线而垂直和而而垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平而中，使另一条直线与该平而垂直，即从线而垂直得到线线垂直..证明：在平而PAC作AD丄PC,交PC于D.因为平WPAC丄平面P3C于PC, 4Du平而PAC,且AD丄PC,所以AD丄平面PBC.又因为BCu平而PBC,于是有力D丄①.另外PA丄平而ABC, BCu 平而A3C,所以PA丄BC.由①②及AD[}PA=A,可知BC丄平而PAC.因为ACu平面P4C,所以丄AC.说明：在空间图形中，髙一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面而垂直二＞线而垂直二*线线垂直.4.过点S引三条不共面的直线SA、SB、 SC,如图，/BSC=90。
高中数学直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质精选题目(附答案)
高中数学直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质精选题目（附答案）1．直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．(2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b . (4)作用：①线面垂直⇒线线平行；②作平行线．2．平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．(2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂αa ⊥l ⇒a ⊥β.(4)作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线．一、线面垂直性质定理的应用1.如图，已知正方体A 1C .(1)求证：A 1C ⊥B 1D 1.(2)M ，N 分别为B 1D 1与C 1D 上的点，且MN ⊥B 1D 1，MN ⊥C 1D ，求证：MN ∥A 1C .[证明] (1)如图，连接A 1C 1.∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴CC 1⊥B 1D 1.∵四边形A 1B 1C 1D 1是正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1.又∵CC 1∩A 1C 1＝C 1，∴B1D1⊥平面A1C1C.又∵A1C⊂平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C.(2)如图，连接B1A，AD1.∵B1C∥AD，∴四边形ADC1B1为平行四边形，∴C1D∥AB1.∵MN⊥C1D，∴MN⊥AB1.又∵MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，∴MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又∵AB1∩B1D1＝B1，∴A1C⊥平面AB1D1.∴A1C∥MN.注：(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．(2)直线与平面垂直的其他性质：①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直．②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP⊂α.④垂直于同一条直线的两个平面平行．⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M 是AB 的中点．证明：(1)∵四边形ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC .又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ，∴ON=12CD=12AB .∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形．∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB .∴M 是AB 的中点.二、面面垂直性质定理的应用3.已知P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC .[证明] 如图，在平面P AC 内作AD ⊥PC 于点D ，∵平面P AC ⊥平面PBC ，AD ⊂平面P AC ，且AD ⊥PC ，∴AD ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∵AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，又AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥AC .注： 若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．4.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°.侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB.证明：(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面P AD.(2)如图，连接PG.∵△P AD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.三、垂直关系的综合应用4.如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)．(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?[解](1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，∴BE⊥平面ACD.又∵AC⊂平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝2，∴AB＝2tan 60°＝6，∴AC＝AB2＋BC2＝7.由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝67，∴λ＝AEAC＝67.故当λ＝67时，平面BEF⊥平面ACD.注：(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如下：线线垂直判定定理线面垂直定义线面垂直判定定理性质定理面面垂直(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．5.如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图(2)中△A1BE 的位置，得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为362，求a的值．解：(1)证明：在图(1)中，因为AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝π2，所以BE⊥AC.即在图(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE. 即A1O是四棱锥A1-BCDE的高．由图(1)知，A1O＝22AB＝22a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1-BCDE的体积为V＝13S·A1O＝13×a2×22a＝26a3.由26a3＝362，得a＝6.巩固练习：1．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β2．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β3．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1()A．平行B．共面C．垂直D．不垂直4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．41.解析：选B对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．2.解析：选D选项A缺少了条件：l⊂α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全条件．3.解析：选C如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C.4.解析：选B因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.5.解析：选B根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.6.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD 共6个．答案：67.如图，直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．解析：如图，连接BC，∵二角面α-l-β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，∴AC⊥β.又BC⊂β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，∴CD＝BC2－BD2＝ 2.答案： 28．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列说法①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确的说法序号是________(注：把你认为正确的说法的序号都填上)．解析：①错，垂直于交线，不一定垂直平面；②对；③错，凡是平面内垂直于m的射影的直线，m都与它们垂直；④对．答案：②④9.如图：三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△P AC是直角三角形，∠P AC＝90°，∠ACP＝30°，平面P AC⊥平面ABC.求证：平面P AB⊥平面PBC.证明：∵平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，P A⊥AC，∴P A ⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩P A＝A，AB⊂平面P AB，P A⊂平面P AB，∴BC⊥平面P AB.又BC⊂平面PBC，∴平面P AB⊥平面PBC.10.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角正弦值．解：(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.(2)取AB的中点F，连接CF，EF.∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥CF.又AC＝BC，∴CF⊥AB.∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．在Rt△CFE中，CF＝2，FE＝6，tan∠CEF＝26＝33.11．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．相交或平行12．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线D．若m，n不平行．．．，则m与n不可能．．．垂直于同一平面13．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β14．在三棱锥P-ABC中，平面P AC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为() A．2 3 B．27C．4 3 D．47参考答案：11.解析：选B∵圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行．12.解析：选D A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．13.解析：选D A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．14.解析：选B连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.15.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α∶cos β＝________.解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,25，所以cos α＝525＋4＝529，cos β＝2529，所以cos α∶cos β＝5∶2.答案：5∶216．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.答案：1或无数17.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为P A的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明：设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC.∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又EO⊂平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD.18.如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由．解：(1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥平面BB1C1C，底面ABC∩平面BB1C1C＝BC，∴AD⊥平面BB1C1C.又CC1⊂平面BB1C1C，∴AD⊥CC1.(2)证明：延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.∵A1C1＝A1N＝A1B1，∴C1N⊥B1C1，∴C1N⊥侧面BB1C1C.∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)结论正确．证明如下：过M作ME⊥BC1于点E，连接DE. ∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，∴ME⊥侧面BB1C1C.又AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，∴M，E，D，A四点共面．∵MA∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE.∴四边形AMED是平方四边形，又AM∥CC1，∴DE∥CC1.∵BD＝CD，∴DE＝12CC1，∴AM＝12CC1＝12AA1.∴AM＝MA1.。
第五讲 线面、面面垂直的判定与性质常见题型与方法归纳
2 第五讲 线面、面面垂直的判定与性质常见题型与方法归纳考点一 直线与平面垂直的判定与性质一．直线与平面垂直定义1.（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直；（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；2．直线、平面垂直的判定方法：（1）利用判定定理；（2）如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．（3）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．（4）利用面面垂直的性质。
二．直线与平面垂直判定题型讲解题型一 概念巩固【例1-1】设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）（A ）若，，则 （B ）若，，则（C ）若，，则 （D ）若，，则题型二 线面垂直的判定【例1-2】如图，P 为△ABC 所在平面外一点，P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F .求证： (1)BC ⊥平面P AB ；(2)AE ⊥平面PBC ；(3)PC ⊥平面AEF ．图1-2 图1-3 图1-3【例1-3】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，S 是△ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ．(1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC ．【例1-4】如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点．(1) 求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；(2)求直线AC 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．三 直线与平面垂直的性质 性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
题型一 利用线面垂直的性质证明平行问题【总结】当题中垂直条件很多，但又需证两直线平行关系时，考虑线面垂直的性质定理【例1-5】如图，正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，EF 与异面直线AC 、A 1D 都垂直相交．求证：EF ∥BD 1．图1-5 练习1【练习1】如图，已知平面α∩平面β＝l ，EA ⊥α，垂足为A ，EB ⊥β，B 为垂足，直线a ⊂β，a ⊥AB .求证：a ∥l ．题型二 利用线面垂直的性质证明垂直问题 方法： 线面垂直性质判定线线垂直．【例1-6】已知α∩β＝AB ，PQ ⊥α于Q ，PO ⊥β于O ，OR ⊥α于R ．求证：QR ⊥AB ．l m αl m ⊥m α⊂l α⊥l α⊥l m //m α⊥l α//m α⊂l m //l α//m α//l m //2题型三 等体积法在垂直中的应用【例1-7】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°.(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E －ABC 的体积为312，求线段CE 的长. 1-7图考点二．直线和平面所成的角一．直线和平面所成的角概念（1）斜线在平面上的射影 （2）直线与平面所成角范围 02πθ≤≤方法：关键是求斜线在平面内的射影，最终转化为找面的垂线二 典型例题题型（一）概念理解【例2-1】（1）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（2）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ）（A ）0条或 （B ）0条或无数条（C ）1条或2条 （D ）0条或1条或无数条（3）若P 为⊿ABC 所在平面外一点，且PA =PB =PC ，求证P 在⊿ABC 所在平面内的射影是⊿ABC 的 心题型（二） 求直线和平面所成的角 方法一：利用定义。
线面、面面平行、垂直例题
第12讲 §2.2.1 直线与平面平行的剖断¤进修目的：以立体几何的界说.正义和定理为动身点,经由过程直不雅感知.操纵确认.思辨论证,熟悉和懂得空间中线面平行的剖断,控制直线与平面平行剖断定理,控制转化思惟“线线平行⇒线面平行”. ¤常识要点：1. 界说：直线和平面没有公共点,则直线和平面平行.2. 剖断定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.符号暗示为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒. 图形如右图所示. ¤例题精讲：【例1】已知P 是平行四边形ABCD 地点平面外一点,E .F 分离为AB .PD 的中点,求证：AF ∥平面PEC【例2】在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E .F 分离为棱BC .C 1D 1的中点. 求证：EF ∥平面BB 1D 1D.【例3】如图,已知P 是平行四边形ABCD 地点平面外一点,M.N 分离是AB.PC 的中点（1）求证：MN //平面PAD ;（2）若4MN BC ==,43PA =,求异面直线PA 与MN 所成的角的大小. .第13讲 §2.2.2 平面与平面平行的剖断¤进修目的：以立体几何的界说.正义和定理为动身点,经由过程直不雅感知.操纵确认.思辨论证,熟悉和懂得空间中面面平行的剖断,控制两个平面平行的剖断定理与应用及转化的思惟.¤常识要点：面面平行剖断定理：假如一个平面内有两条订交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行．用符号暗示为：,,////,//a b a b P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭.¤例题精讲：【例1】如右图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M .N .P 分离是C 1C .B 1C 1.C 1D 1的中点,求证：平面MNP ∥平面A 1BD ..【例2】已知四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形. 点M.N.Q 分离在PA.BD.PD 上, 且PM ：MA =BN ：ND =PQ ：QD .求证：平面MNQ ∥平面PBC .第14讲 §2.2.3 直线与平面平行的性质¤进修目的：经由过程直不雅感知.操纵确认.思辨论证,熟悉和懂得空间中线面平行的性质,控制直线和平面平行的性质定理,灵巧应用线面平行的剖断定理和性质定理,控制“线线”“线面”平行的转化.¤常识要点：NMPD CQ B A线面平行的性质：假如一条直线和一个平面平行,经由这条直线的平面和这个平面订交,那么这条直线和交线平行.即：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭.¤例题精讲：【例1】经由正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E ,求证：E 1E ∥B 1B【例2】如右图,平行四边形EFGH 的分离在空间四边形ABCD 各边上,求证：BD //平面EFGH .第15讲 §2.2.4 平面与平面平行的性质¤进修目的：经由过程直不雅感知.操纵确认.思辨论证,熟悉和懂得空间中面面平行的性质,控制面面平行的性质定理,灵巧应用面面平行的剖断定理和性质定理,控制“线线”“线面”“面面”平行的转化. ¤常识要点：1. 面面平行的性质：假如两个平行平面同时与第三个平面订交,那么它们的交线平行. 用符号说话暗示为：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒.2. 其它性质：①//,//l l αβαβ⊂⇒; ②//,l l αβαβ⊥⇒⊥; ③夹在平行平面间的平行线段相等.¤例题精讲： 【例1】如图,设平面α∥平面β,AB .CD 是两异面直线,M .N 分离是AB .CD 的中点,且A .C ∈α,B .D ∈β. 求证：MN ∥α.【例4】如图,已知正方体1111ABCD A B C D -中,面临角线1AB ,1BC 上分离有两点E.F ,且11B E C F =. 求证：EF ∥平面ABCD .第16讲 §2.3.1 直线与平面垂直的剖断 ¤进修目的：以立体几何的界说.正义和定理为动身点,经由过程直不雅感知.操纵确认.思辨论证,熟悉和懂得空间中线面垂直的剖断,控制直线与平面垂直的界说,懂得直线与平面垂直的剖断定理,并会用界说和剖断定理证实直线与平面垂直的关系. 控制线面角的界说及求解. ¤常识要点：1. 界说：假如直线l 与平面α内的随意率性一条直线都垂直,则直线l 与平面α互相垂直,记作l α⊥. l －平面α的垂线,α－直线l 的垂面,它们的独一公共点P 叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）2. 剖断定理：一条直线与一个平面内的两条订交直线都垂直,则这条直线与该平面垂直. 符号说话暗示为：若l ⊥m ,l ⊥n ,m ∩n ＝B,m α,n α,则l ⊥α3. 斜线和平面所成的角,简称“线面角”,它是平面的斜线和它在平面内的射影β aαbGNM FEE CD B A D1C 1B1A 1βαE NM D BC A的夹角. 求直线和平面所成的角,几何法一般先定斜足,再作垂线找射影,然后经由过程解直角三角形求解,可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”. 平日,经由过程斜线上某个特别点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线是产生线面角的症结. ¤例题精讲：【例1】四面体ABCD 中,,,AC BD E F =分离为,AD BC 的中点,且22EF AC =,90BDC ∠=,求证：BD ⊥平面ACD . 【例2】已知ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,2AB =,4PA AD ==,E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ;（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．【例3】三棱锥P ABC -中,PA BC PB AC ⊥⊥，,PO ⊥平面ABC ,垂足为O ,求证：O 为底面△ABC 的垂心.第17讲 §2.3.2 平面与平面垂直的剖断¤进修目的：经由过程直不雅感知.操纵确认.思辨论证,熟悉和懂得空间中面面垂直的剖断,控制二面角和两个平面垂直的界说,懂得平面与平面垂直的剖断定理并会用剖断定理证实平面与平面垂直的关系,会用所学常识求两平面所成的二面角的平面角的大小. ¤常识要点：1. 界说：从一条直线动身的两个半平面所构成的图形叫二面角（dihedral angle ）.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）2. 二面角的平面角：在二面角l αβ－－的棱l 上任取一点O ,以点O 为垂足,在半平面,αβ内分离作垂直于棱l 的射线OA 和OB ,则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 规模：0180θ︒<<︒.3. 界说：两个平面订交,假如它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥.4. 剖断：一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. （线面垂直→面面垂直）¤例题精讲：【例1】已知正方形ABCD 的边长为1,分离取边BC .CD 的中点E .F ,贯穿连接AE .EF .AF ,以AE .EF .FA 为折痕,折叠使点B .C .D 重合于一点P .（1）求证：AP ⊥EF ;（2）求证：平面APE ⊥平面APF .【例2】如图, 在空间四边形ABCDBDCAE F G中,,,AB BC CD DA ==,,E F G 分离是,,CD DA AC 的中点,求证：平面BEF ⊥平面BGD .【例3】如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1CC 的中点,求证：1A BD BED ⊥平面平面．第18讲 §2.3.3 线面.面面垂直的性质¤进修目的：经由过程直不雅感知.操纵确认.思辨论证,熟悉和懂得空间中线面.面面垂直的有关性质,控制两共性质定理及定理的应用. ¤常识要点：1. 线面垂直性质定理：垂直于统一个平面的两条直线平行. （线面垂直→线线平行）2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.用符号说话暗示为：若αβ⊥,l αβ=,a α⊂,a l ⊥,则a β⊥.（面面垂直→线面垂直） ¤例题精讲：【例1】如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形,正面PAD 是等边三角形,且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点,求证：BG ⊥平面PAD ; （2）求证：AD PB ⊥;（3）求二面角A BC P --的大小．【例2】如图,已知空间四边形ABCD 中,,BC AC AD BD ==,E 是AB 的中点.求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC .AEDBC。
高考中线线,线面,面面的平行与垂直关系专题
直线与直线平行 (1)平行直线与平面平行 平面与平面平行 直线与直线垂直 (2)垂直直线与平面垂直 平面与平面垂直
考向三 平行与垂直关系的综合应用 【例3】►如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点 E、F分别是AB、BD的中点．求证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD. [审题视点] EFC. 第(1)问需证明EF∥AD；第或b⊂α，故A错误；由面面平行 的判定定理知，B错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或b⊂β，故C 错误． 答案 D
4．(2012· 温州模拟)已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个 不同的平面，则下列命题中正确的是( A．m∥n，m⊥α⇒n⊥α B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β )．
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 错因 实录 受平面几何知识限制，未能全面考虑空间中的情况． 甲同学：A 乙同学：C 丙同学：D.
3．(2012· 银川质检)在空间中，下列命题正确的是( A．若a∥α，b∥a，则b∥α B．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α C．若α∥β，b∥α，则b∥β D．若α∥β，a⊂α，则a∥β
考向三 利用向量求二面角 【例3】►(2011· 全国新课标)如图，四棱锥PABCD中，底面 ABCD为平行四边形，∠DAB＝60° ，AB＝2AD，PD⊥底面 ABCD. (1)证明：PA⊥BD； (2)若PD＝AD，求二面角APBC的余弦值． [审题视点] 会判断法向量的方向，找准向量夹角与二面角是
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线面垂直与面面垂直 基础要点1、若直线a 与平面,αβ所成的角相等，则平面α与β的位置关系是（ B ） A 、//αβB 、α不一定平行于βC 、α不平行于βD 、以上结论都不正确2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则H 一定在（ B ） A 、直线AC 上 B 、直线AB 上C 、直线BC 上D 、△ABC 的部3、如图示，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6π，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为,A B ''，则:AB A B ''=（ A ） A 、2:1 B 、3:1 C 、3:2D 、4:34、如图示，直三棱柱11ABB DCC -中，190,4ABB AB ∠==,12,1BC CC ==DC 上有一动点P ，则△1APC 周长的最小值是5.已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB A A ,若棱AB 上存在点P ，使得PC P D ⊥1,则棱AD 长 的取值围是 。
题型一：直线、平面垂直的应用1.（2014，卷）如图，在三棱锥P-ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点. 已知,685PA AC PA BC DF ⊥===，，.求证：(1) PA DEF 平面；(2) BDE ABC ⊥平面平面 . 证明： (1) 因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，线面垂直线线垂直面面垂直αβACD 1B 1C所以DE ∥PA.又因为PA ⊄ 平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线PA ∥平面DEF.(2) 因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4. 又因 DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE 丄EF.又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC. 因为AC∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC. 又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC.2. (2014,卷，文科)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：1//C F 平面ABE . 证明：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，11,,BB ABC BB AB ⊥∴⊥底面11,,AB BC AB B BCC ∴⊥∴⊥平面,AB ABE ⊂平面11ABE B BCC ∴⊥平面平面.(2)取AB 的中点G ，连接EG ，FGE 、F 分别为11A C 、BC 的中点, 1,2FG AC FG AC ∴=, 111111AC AC AC AC FG EC FG EC =∴=，，，,则四边形1FGEC 为平行四边形， 111,,,C F EG EG ABE C F ABE C F ABE ∴⊂⊄∴平面平面平面.3．如图，P 是ABC ∆所在平面外的一点，且⊥PA 平面ABC ，平面⊥PAC 平面PBC ．求证AC BC ⊥．分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．证明：在平面PAC 作PC AD ⊥，交PC 于D ．因为平面⊥PAC 平面PBC 于PC ，⊂AD 平面PAC ，且PC AD ⊥，所以PBC AD 平面⊥．又因为⊂BC 平面PBC ，于是有BC AD ⊥①．另外⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以BC PA ⊥．由①②及A PA AD = ，可知⊥BC 平面PAC ．因为⊂AC 平面PAC ，所以AC BC ⊥．说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．4. 过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，︒=∠90BSC ，︒=∠=∠60ASB ASC ，若截取a SC SB SA ===(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的距离．分析：要证明平面ABC ⊥平面BSC ，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC 或平面BSC 找到一条与另一个平面垂直的直线．(1)证明：∵a SC SB SA ===， 又︒=∠=∠60ASB ASC ，∴ASB ∆和ASC ∆都是等边三角形， ∴a AC AB ==，取BC 的中点H ，连结AH ，∴BC AH ⊥．在BSC Rt ∆中，a CS BS ==，∴BC SH ⊥，a BC 2=，∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =． 在SHA ∆中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =，∴222HA SH SA +=，∴SH AH ⊥，∴⊥AH 平面SBC ．∵⊂AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．或：∵AB AC SA ==，∴顶点A 在平面BSC 的射影H 为BSC ∆的外心，又BSC ∆为∆Rt ，∴H 在斜边BC 上，又BSC ∆为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，∴⊥AH 平面BSC ．∵⊂AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ． (2)解：由前所证：AH SH ⊥，BC SH ⊥，∴⊥SH 平面ABC ，∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==， ∴点S 到平面ABC 的距离为a 22． 5、如图示，ABCD 为长方形，SA 垂直于ABCD 所在平面，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB 、SC 、SD 于E 、F 、G ，求证：AE ⊥SB ,AG ⊥SD6.在四棱锥P-ABCD 中，侧面PCD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，已知底面是面积为32的菱形，︒=∠60ADC ，M 是PB 中点。
(1)求证：PA ⊥CD(2)求证：平面PAB ⊥平面CDM7.在多面体ABCDE 中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，⊥AE 面ABC ，AE//CD 。
(1)求证：AE//平面BCD ； (2)求证：平面BED ⊥平面BCD题型二、空间角的问题1.如图示，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，11,1AB BB =，E 为1BB 上使11B E =的点，平面1AEC 交1DD 于F ，交11A D 的延长线于G ，求： （1）异面直线AD 与1C G 所成的角的大小 （2）二面角11A C G A --的正弦值D BAPE DC2.如图，点A 在锐二面角βα--MN 的棱MN 上，在面α引射线AP ，使AP 与MN 所成的角PAM ∠为45，与面β所成的角大小为30，求二面角βα--MN 的大小．分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解．解：在射线AP 上取一点B ，作β⊥BH 于H ，连结AH ，则BAH ∠为射线AP 与平面β所成的角，30=∠∴BAH ．再作MN BQ ⊥，交MN 于Q ，连结HQ ，则HQ 为BQ 在平面β的射影．由三垂线定理的逆定理，MN HQ ⊥，BQH ∠∴为二面角βα--MN 的平面角．设a BQ =，在BAQ Rt ∆中，a AB BAM BQA 2,45,90=∴=∠=∠,在Rt △BHQ 中，,22,,90a BH a BQ BHQ ===∠ 2222sin ===∠a aBQ BH BQH ,BQH ∠ 是锐角， 45=∠∴BQH ,即二面角βα--MN 等于 45．说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．3. 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是AD 的中点．求二面角P BD A --1的大小． 分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到AB 垂直于平面1AD ，1BD 在平面1AD 上的射影就是1AD ．再过P 作1AD 的垂线PF ，则PF ⊥面1ABD ，过F 作B D 1的垂线FE ，PEF ∠即为所求二面角的平面角了．解：过P 作1BD 及1AD 的垂线，垂足分别是E 、F ，连结EF ． ∵AB ⊥面1AD ，PF ⊂面1AD ，∴PF AB ⊥，又1AD PF ⊥，∴PF ⊥面1ABD ．又∵1BD PE ⊥，∴1BD EF ⊥，∴PEF ∠为所求二面角的平面角． ∵D AD Rt 1∆∽PFA ∆，∴11AD APDD PF =． 而21=AP ，11=DD ，21=AD ，∴42=PF ．在1PBD ∆中，251==PB PD ．∵1BD PE ⊥，∴2321==BD BE ． 在PEB Rt ∆中，2222=-=BE PB PE ，在PEF Rt ∆中，21sin ==∠PE PF PEF ， ∴︒=∠30PEF ．4.P A 垂直于矩形ABCD 所在平面，M 、E 、N 分别是AB 、CD 和PC 的中点， （１）求证：MN ∥平面P AD（２）若二面角P －DC －A 为4π，求证:平面MND ⊥平面PDC5.已知正方体中1111ABCD A B C D -，E 为棱1CC 上的动点， （1）求证：1A E ⊥BD (2)当E 恰为棱1CC 的中点时，求证：平面1A BD ⊥平面EBD（3）在棱1CC 上是否存在一个点E ，可以使二面角1A BD E --的大小为45？如果存在，CBADPEMN试确定E 在棱1CC 上的位置；如果不存在，请说明理由。
题型三、探索性、开放型问题1.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O 。
设⊥PA 平面ABCD ，EC//PA,且PA=2。
问当CE 为多少时，PO ⊥平面BED 。
2.已知△ABC 中，90,1BCD BC CD ∠===,AB ⊥平面BCD ，60ADB ∠=,E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且(01)AE AFAC ADλλ==<< （1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC （2）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ?D P。