加分二叉树

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二叉树的基本操作

二叉树的基本操作二叉树是一种常见的数据结构，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点。

二叉树在计算机领域中得到广泛应用，它的基本操作包括插入、删除、查找、遍历等。

1.插入操作：二叉树的插入操作是将一个新的节点添加到已有的二叉树中的过程。

插入操作会按照一定规则将新节点放置在正确的位置上。

插入操作的具体步骤如下：-首先，从根节点开始，比较新节点的值与当前节点的值的大小关系。

-如果新节点的值小于当前节点的值，则将新节点插入到当前节点的左子树中。

-如果新节点的值大于当前节点的值，则将新节点插入到当前节点的右子树中。

-如果当前节点的左子树或右子树为空，则直接将新节点插入到该位置上。

-如果当前节点的左子树和右子树都不为空，则递归地对左子树或右子树进行插入操作。

2.删除操作：二叉树的删除操作是将指定节点从二叉树中删除的过程。

删除操作有以下几种情况需要考虑：-如果待删除节点是叶子节点，则直接将其从二叉树中删除即可。

-如果待删除节点只有一个子节点，则将其子节点替换为待删除节点的位置即可。

-如果待删除节点有两个子节点，则需要找到其左子树或右子树中的最大节点或最小节点，将其值替换为待删除节点的值，然后再删除最大节点或最小节点。

3.查找操作：二叉树的查找操作是在二叉树中查找指定值的节点的过程。

查找操作的具体步骤如下：-从根节点开始，将待查找值与当前节点的值进行比较。

-如果待查找值等于当前节点的值，则返回该节点。

-如果待查找值小于当前节点的值，则在当前节点的左子树中继续查找。

-如果待查找值大于当前节点的值，则在当前节点的右子树中继续查找。

-如果左子树或右子树为空，则说明在二叉树中找不到该值。

4.遍历操作：二叉树的遍历操作是按照一定规则依次访问二叉树中的每个节点。

有三种常用的遍历方式：- 前序遍历（Preorder Traversal）：先访问根节点，然后递归地前序遍历左子树和右子树。

- 中序遍历（Inorder Traversal）：先递归地中序遍历左子树，然后访问根节点，最后递归地中序遍历右子树。

满二叉树的名词解释

满二叉树的名词解释满二叉树的名词解释：满二叉树是指最大前驱（层）为两个节点，且后继（层）节点为一个节点的二叉树。

1、二叉树的基本概念：二叉树的所有叶子（结点）都具有相同的性质，不会因为从某一个叶子到另一个叶子而改变它的状态，也就是说每一个叶子对应的只有一个结点，或者称为一个二叉树的叶子（结点）。

2、二叉树的各种表示方法：在数学书上介绍了二叉树的五种表示方法：简单二叉树、完全二叉树、满二叉树、空二叉树和堆二叉树。

其中，最重要的三种就是：完全二叉树、简单二叉树和满二叉树。

在平面上找到一个二叉树的顶点的路径长度就是该二叉树的深度，那么一棵完全二叉树（完全二叉树就是前驱是完全二叉树）的深度一定是它的高度的两倍。

下面我们举一些例子来理解一下什么是完全二叉树：一棵完全二叉树有5个叶子， 4个结点，则该二叉树就叫做“五种”。

一棵完全二叉树一定是一个平衡二叉树。

如果将一棵完全二叉树转换成平衡二叉树，那么就可以反过来证明完全二叉树是平衡二叉树。

一棵完全二叉树最多有两条路径。

3、二叉树中最小的叶子一定是最小的节点吗？一棵完全二叉树中，最小的叶子是叶子结点的父节点，但是不一定是最小的结点。

如果最小的结点的父节点和最小的叶子是不同的节点，那么这个结点可以是最小的叶子的节点，这个二叉树就是一棵“满二叉树”。

一棵完全二叉树至少需要两个节点，一棵满二叉树至少需要四个节点。

二叉树与普通树相比，二叉树具有两个特点，一个是二叉树有深度，另一个是二叉树有层次性，可以看出，树枝（叶子）是从根部发散生长的。

如图，一棵完全二叉树由五种叶子组成。

我们可以用画树枝的方法来理解这个概念。

把五种叶子用不同的颜色区分开来，就像树枝一样，因此我们可以用图形来表示这五种叶子。

在一棵完全二叉树中，任意四种叶子是相邻关系，当一个叶子不是其他四个叶子中的一种时，其他四个叶子不能覆盖它。

完全二叉树的结构特征是有深度和层次性。

完全二叉树中每一层都有且只有一个结点。

二叉树知识点总结

二叉树知识点总结1. 二叉树的性质1.1 二叉树的性质一：二叉树的深度二叉树的深度是指从根节点到叶子节点的最长路径长度。

对于一个空树而言，它的深度为0；对于只有一个根节点的树而言，它的深度为1。

根据定义可知，深度为k的二叉树中，叶子节点的深度值为k。

由此可知，二叉树的深度为所有叶子节点深度的最大值。

1.2 二叉树的性质二：二叉树的高度二叉树的高度是指从根节点到叶子节点的最短路径长度。

对于一个空树而言，它的高度为0；对于只有一个根节点的树而言，它的高度为1。

由此可知，二叉树的高度总是比深度大一。

1.3 二叉树的性质三：二叉树的节点数量对于一个深度为k的二叉树而言，它最多包含2^k - 1个节点。

而对于一个拥有n个节点的二叉树而言，它的深度最多为log2(n+1)。

1.4 二叉树的性质四：满二叉树满二叉树是一种特殊类型的二叉树，它的每个节点要么是叶子节点，要么拥有两个子节点。

满二叉树的性质是：对于深度为k的满二叉树而言，它的节点数量一定是2^k - 1。

1.5 二叉树的性质五：完全二叉树完全二叉树是一种特殊类型的二叉树，它的所有叶子节点都集中在树的最低两层，并且最后一层的叶子节点从左到右依次排列。

对于一个深度为k的完全二叉树而言，它的节点数量一定在2^(k-1)和2^k之间。

2. 二叉树的遍历二叉树的遍历是指按照一定的顺序访问二叉树的所有节点。

二叉树的遍历主要包括前序遍历、中序遍历和后序遍历三种。

2.1 前序遍历（Pre-order traversal）前序遍历的顺序是：根节点 -> 左子树 -> 右子树。

对于一个二叉树而言，前序遍历的结果就是按照“根-左-右”的顺序访问所有节点。

2.2 中序遍历（In-order traversal）中序遍历的顺序是：左子树 -> 根节点 -> 右子树。

对于一个二叉树而言，中序遍历的结果就是按照“左-根-右”的顺序访问所有节点。

2.3 后序遍历（Post-order traversal）后序遍历的顺序是：左子树 -> 右子树 -> 根节点。

二叉树模型u和d公式

二叉树模型u和d公式
二叉树模型是计算机科学中常用的数据结构之一，它由节点和边组成，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

在二叉树模型中，我们可以使用一些公式来描述和操作这些节点，其中包括u和d公式。

第一个公式是u公式，它用来计算二叉树中节点的数量。

对于一个二叉树来说，u公式可以表示为：
u = n + 1
其中，u表示节点的数量，n表示叶子节点的数量。

这个公式的原理是，一个二叉树中的节点数量等于叶子节点数量加一。

这是因为在一个二叉树中，每个节点都有两个子节点，除了叶子节点，它们没有子节点。

所以，节点数量等于叶子节点数量加上根节点。

第二个公式是d公式，它用来计算二叉树中的边的数量。

对于一个二叉树来说，d公式可以表示为：
d = n
其中，d表示边的数量，n表示叶子节点的数量。

这个公式的原理
是，一个二叉树中的边的数量等于叶子节点的数量。

这是因为每个节点都有一条边与其父节点相连，除了根节点没有父节点外，其余节点都有一条边与其父节点相连。

所以，边的数量等于叶子节点的数量。

通过u和d公式，我们可以方便地计算二叉树中节点和边的数量。

这对于分析和设计二叉树算法非常有用。

另外，还可以通过这些公式来验证二叉树的正确性，例如检查节点和边的数量是否满足这些公式。

除了u和d公式外，还有其他一些常用的公式可以用来描述和操作二叉树模型，例如高度公式、深度公式等。

这些公式可以帮助我们更好地理解和使用二叉树这一重要的数据结构。

Pascal动态规划-复习

[题2] 数塔
● 如下图所示的数塔，从顶部出发，在每一结点可以选择向左下走或是向右下走，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数的和最大。数塔层数用n表示，1<=n<=100。
[题2] 数塔
贪心法。时间上有保证，但得不到最优解。主要原因是贪心法只顾眼前利益，不考虑长远利益。在规定时间内得到正确结果，唯一的方法就是“动态规划”。
dpl(i，j)=min{dpl(i-1，j)+v(i，j)，dpl(i，j-1)+h(i，j)}
[题5] 机器分配
【问题描述】总公司拥有高效生产设备M台，准备分给下属的N个公司。各分公司
若获得这些设备，可以为国家提供一定的盈利。问：如何分配这M台设
备才能使国家得到的盈利最大？求出最大盈利值。其中M≤15，N≤10。分配原则：每个公司有权获得任意数目的设备，但总台数不得超过总设
下面以示意图表示动态规划的过程：所选路径为：9-12-10-18-10
注意分析时，有以下几个特点：
（1）将问题划分成了4个阶段；
（2）每个阶段均得到了“部分”的最优解，得到最优解时，需要进行条件判断；
（3）从最下面一层往顶层推导。
[题3] 棋盘路径问题
【题目简介】有一个n*m的棋盘，左下角为（1,1），右上角为（n,m），如下图：有一颗棋子，初始位置在（1,1），该棋子只能向右走或者向上走，问该棋子从（1,1）到（n,m）一共有几条路径？输入：两个整数n和m 输出：一个数，路径总数
● 第i级台阶,可以从第i-2级台阶迈2级台阶到达,也可以从第i-1级台阶迈1级台阶到达
上楼梯问题
● 慢在哪里？
● 重叠的问题被计算了多次！ ● 例如：计算f[5]时，f[5]=f[3]+f[4];而f[4]=f[3]+f[2], 此时，f[3]又被计算了一遍。 ● 每次计算f[i]时，都要递归到f[0]或f[1]! ● 时间复杂度变成了O(N!)

树-二叉树

信息学奥赛培训之『树——二叉树』树——二叉树为何要重点研究二叉树？引：为何要重点研究二叉树？（1）二叉树的结构最简单，规律性最强；（2）可以证明，所有树都能转为唯一对应的二叉树，不失一般性。

一、二叉树基础1. 二叉树的定义二叉树是一类非常重要的树形结构，它可以递归地定义如下：二叉树 T 是有限个结点的集合，它或者是空集，或者由一个根结点以及分别称为左子树和右子树的两棵互不相交的二叉树。

因此，二叉树的根可以有空的左子树或空的右子树，或者左、右子树均为空。

二叉树有 5 种基本形态，如图 1 所示。

图1 二叉树的 5 种基本形态在二叉树中，每个结点至多有两个儿子，并且有左、右之分。

因此任一结点的儿子不外 4 种情况：没有儿子；只有一个左儿子；只有一个右儿子；有一个左儿子并且有一个右儿子。

注意：二叉树与树和有序树的区别二叉树与度数不超过 2 的树不同，与度数不超过 2 的有序树也不同。

在有序树中，11如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，则称该树为有序树，否则称为无序树。

-1-信息学奥赛培训之『树——二叉树』虽然一个结点的儿子之间是有左右次序的，但若该结点只有一个儿子时，就无须区分其左右次序。

而在二叉树中，即使是一个儿子也有左右之分。

例如图 2-1 中(a)和(b)是两棵不同的二叉树。

虽然它们与图 2-2 中的普通树(作为无序树或有序树)很相似，但它们却不能等同于这棵普通的树。

若将这 3 棵树均看作是有序树，则它们就是相同的了。

图2-1 两棵不同的二叉树图2-2 一棵普通的树由此可见，尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。

不是．．2. 二叉树的性质图3 二叉树性质１：在二叉树的第 i 层上至多有 2 i −1 结点(i>=1)。

性质２：深度为 k 的二叉树至多有 2 k − 1 个结点(k>=1)。

性质３：对任何一棵二叉树 T，如果其终端结点数为 n0,度为 2 的结点数为 n2,则 n0=n2+1。

C++动态规划

动态规划
概念
动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。
分类
动态规划一般可分为线性动规，区域动规，树形动规，背包动规四类。
线性动规：拦截导弹，合唱队形，挖地雷等
区域动规：石子合并，加分二叉树，统计单词个数等
树形动规：贪吃的九头龙，二分查找树等
背包问题：装箱问题，挤牛奶等
基本思想
动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。
一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，
对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优
策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个

正则二叉树

正则二叉树正则二叉树是一个数学名词。

在根树中，若每个分支点的出度小于或等于m,则称该树为m叉树。

如果每个分支点的出度恰好等于m，则称该树为m叉正则树。

m=2时，该根树称为二叉正则树。

若其所有树叶层次相同，称为二叉完全正则树要理解什么是二叉树正则，必须了解树、有向树、根树、叉树等概念。

一个连通且无回路的无向图，称为树。

如果有向图在不考虑边的方向时，是一棵树，那么这个有向图称为有向树。

若一棵有向树，恰有一个结点入度为0，其余所有结点的入度均为1，则称该有向树为根树。

扩展资料树的概念下图我们日常生活中所见到的树，可以看到，从主树干出发，向上衍生出很多枝干，而每一根枝干，又衍生出一些枝丫，就这样组成了我们在地面上可以看到的树的结构，但对于每一个小枝丫来讲，归根结底，还是来自于主树干的层层衍生形成的。

我们往往需要在计算机中解决这样一些实际问题例如：•用于保存和处理树状的数据，例如家谱，组织机构图•进行查找，以及一些大规模的数据索引方面•高效的对数据排序先不提一些复杂的功能，就例如对于一些有树状层级结构的数据进行建模，解决实际问题，我们就可以利用“树” 这种结构来进行表示，为了更符合我们的习惯，我们一般把“树” 倒过来看，我们就可以将其归纳为下面这样的结构，这也就是我们数据结构中的“ 树”树中的常见术语•结点：包含数据项以及指向其他结点的分支，例如上图中圆A 中，既包含数据项A 又指向 B 和 C 两个分支•特别的，因为A 没有前驱，且有且只有一个，所以称其为根结点•子树：由根结点以及根结点的所有后代导出的子图称为树的子树•例如下面两个图均为上面树中的子树•结点的度：结点拥有子树的数目，简单的就是直接看有多少个分支，例如上图A 的度为2，B的度为1•叶结点：也叫作终端结点，即没有后继的结点，例如E F G H I•分支结点：也叫作非终端结点，除叶结点之外的都可以这么叫•孩子结点：也叫作儿子结点，即一个结点的直接后继结点，例如B 和C 都是A 的孩子结点•双亲结点：也叫作父结点，一个结点的直接前驱，例如A 是B 和C 的双亲结点•兄弟结点：同一双亲的孩子结点互称为兄弟结点例如B 和C 互为兄弟•堂兄弟：双亲互为兄弟结点的结点，例如D 和E 互为堂兄弟•祖先结点：从根结点到达一个结点的路径上的所有结点，A B D 结点均为H 结点的祖先结点•子孙结点：以某个结点为根的子树中的任意一个结点都称为该结点的子孙结点，例如C 的子孙结点有 E F I•结点的层次：设根结点层次为1，其余结点为其双亲结点层次加1，例如，A 层次为1，BC 层次为2•树的高度：也叫作树的深度，即树中结点的最大层次•有序/无序树：树中结点子树是否从左到右为有序，有序则为有序树，无序则为无序树可能大家也看到了，上面我举的例子，分支全部都在两个以内，这就是我们今天所重点介绍的一种树——“二叉树”二叉树在计算机科学中，二叉树（英语：Binary tree）是每个结点最多只有两个分支（即不存在分支度大于2的结点）的树结构。

二叉树用途

二叉树用途二叉树是一种常用的数据结构，由节点和连接节点的边组成，其中每个节点最多有两个子节点，被称为左子节点和右子节点。

二叉树具有以下特点：1. 有层次结构：节点按照层次排列，每层从左到右。

2. 可以拥有零个、一个或两个子节点。

3. 二叉树的子树也是二叉树。

4. 深度为d的二叉树最多含有2^d-1个节点，其中d为二叉树的深度。

二叉树的用途非常广泛，下面将详细讨论几个主要的应用场景。

1. 搜索、排序和查找：二叉树可以用于快速搜索、排序和查找数据。

二叉搜索树是一种常用的二叉树类型，其中每个节点的值大于左子树的所有节点的值，小于右子树的所有节点的值。

通过二分查找算法，在二叉搜索树中可以快速定位目标值。

2. 堆：二叉堆是一种用于实现优先队列的数据结构。

它具有以下特点：任意节点的关键字值都小于（或大于）或等于其子节点的关键字值，根节点的关键字值最小（或最大）；并且堆是一颗完全二叉树。

二叉堆的插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)，适用于一些需要高效的优先级操作的场景，例如任务调度。

3. 表达式树：二叉树可以用于存储和计算数学表达式。

表达式树是一种二叉树，其叶节点是操作数，内部节点是操作符。

通过遍历表达式树，我们可以通过递归的方式计算整个表达式的值。

4. 文件系统：二叉树可以用于组织和管理文件系统中的文件和文件夹。

每个节点代表一个文件或文件夹，左子节点代表文件夹下的子文件夹，右子节点代表同一层级下的其他文件或文件夹。

通过遍历二叉树，可以实现文件的查找、创建、删除等操作。

5. 数据压缩：哈夫曼树是一种常用的数据压缩算法，通过构建二叉树来实现。

在哈夫曼树中，出现频率较高的字符对应的节点位于树的较低层，而出现频率较低的字符对应的节点位于树的较高层。

通过对字符进行编码，并使用相对较短的编码表示高频字符，可以实现对数据的高效压缩和解压缩。

6. 平衡树：平衡树是一种特殊类型的二叉树，其左子树和右子树的高度差不超过1。

二叉树的现实中典型例子

二叉树的现实中典型例子二叉树是一种常用的数据结构，它具有广泛的应用。

下面列举了十个二叉树在现实中的典型例子。

一、文件系统文件系统是计算机中常见的二叉树应用之一。

文件系统中的目录和文件可以组织成一棵树，每个目录称为一个节点，而文件则是叶子节点。

通过树的结构，我们可以方便地对文件和目录进行管理和查找。

二、组织架构企业或组织的组织架构通常可以用二叉树来表示。

每个部门可以看作是一个节点，而员工则是叶子节点。

通过组织架构树，我们可以清晰地了解到企业或组织内部的管理层级关系。

三、家谱家谱是一个家族的血缘关系的记录，一般可以用二叉树来表示。

每个人可以看作是一个节点，而父子关系则是节点之间的连接。

通过家谱树，我们可以追溯家族的历史和血缘关系。

四、编译器编译器是将高级语言转换为机器语言的程序。

在编译过程中，编译器通常会使用语法分析树来表示源代码的结构。

语法分析树是一种特殊的二叉树，它将源代码表示为一个树状结构，方便进行语法分析和编译优化。

五、数据库索引数据库中的索引是一种用于提高数据查询效率的数据结构。

常见的索引结构包括B树和B+树，它们都是二叉树的变种。

通过索引树，数据库可以快速地定位到需要查询的数据，提高数据库的检索性能。

六、表达式求值在数学计算中，表达式求值是一项重要的任务。

通过使用二叉树，我们可以方便地表示和计算表达式。

二叉树的叶子节点可以是操作数，而内部节点可以是运算符。

通过遍历二叉树，我们可以按照正确的顺序对表达式进行求值。

七、电路设计在电路设计中，二叉树也有广泛的应用。

例如，我们可以使用二叉树来表示逻辑电路的结构，每个门电路可以看作是一个节点，而连接线则是节点之间的连接。

通过电路设计树，我们可以方便地进行电路的布线和优化。

八、图像处理图像处理是一项常见的计算机技术，而二叉树在图像处理中也有重要的应用。

例如，我们可以使用二叉树来表示图像的像素信息，每个像素可以看作是一个节点，而像素之间的关系则是节点之间的连接。

历届动态规划题

题三加分二叉树（2003）【问题描述】设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。

每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下： subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。

不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。

要求输出；（1）tree的最高加分（2）tree的前序遍历【输入格式】第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。

【输出格式】第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

【输入样例】55 7 1 2 10【输出样例】1453 1 24 5[分析]很显然，本题适合用动态规划来解。

如果用数组value[i,j]表示从节点i到节点j 所组成的二叉树的最大加分，则动态方程可以表示如下：value[i,j]=max{value[i,i]+value[i+1,j],value[i+1,i+1]+value[i,i]*value[i+2,j], value[i+2,i+2]+value[i,i+1]*value[i+3,j],…,value[j-1,j-1]+value[i,j-2]*value[j ,j], value[j,j]+value[i,j-1]}题目还要求输出最大加分树的前序遍历序列，因此必须在计算过程中记下从节点i到节点j 所组成的最大加分二叉树的根节点，用数组root[i,j]表示[PASCAL源程序]{$N+}program NOIP2003_3_Tree;constmaxn=30;vari,j,n,d:byte;a:array[1..maxn]of byte;value:array[1..maxn,1..maxn]of comp;root:array[1..maxn,1..maxn]of byte;s,temp:comp;f1,f2:text;fn1,fn2,fileNo:string;procedure preorder(p1,p2:byte);{按前序遍历输出最大加分二叉树}beginif p2>=p1 then beginwrite(f2,root[p1,p2],' ');preorder(p1,root[p1,p2]-1);preorder(root[p1,p2]+1,p2);end;end;beginwrite('Input fileNo:');readln(fileNo);fn1:='tree.in'+fileNo;fn2:='tree.ou'+fileNo;assign(f1,fn1);reset(f1);assign(f2,fn2);rewrite(f2);readln(f1,n);for i:=1 to n do read(f1,a[i]);close(f1);fillchar(value,sizeof(value),0);for i:=1 to n do beginvalue[i,i]:=a[i];{计算单个节点构成的二叉树的加分}root[i,i]:=i;{记录单个节点构成的二叉树的根节点}end;for i:=1 to n-1 do beginvalue[i,i+1]:=a[i]+a[i+1];{计算相邻两个节点构成的二叉树的最大加分}root[i,i+1]:=i;{记录相邻两个节点构成的二叉树的根节点；需要说明的是，两个节点构成的二叉树，其根节点可以是其中的任何一个；这里选编号小的为根节点，则编号大的为其右子树；若选编号大的为根节点，则编号小的为其左子树；因此，最后输出的前序遍历结果会有部分不同，但同样是正确的。

简述二叉树的五种形态

简述二叉树的五种形态二叉树是一种常用的数据结构，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点。

根据节点的分布情况，二叉树可以分为五种形态，分别是满二叉树、完全二叉树、平衡二叉树、搜索二叉树和线索二叉树。

一、满二叉树满二叉树是指除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点的二叉树。

也就是说，满二叉树的所有层都是满的，并且最后一层的叶子节点都靠左排列。

满二叉树的节点数可以通过公式计算得到，假设树的高度为h，则节点数为2^h - 1。

满二叉树的特点是结构简单，查找速度快。

在满二叉树中，任意两个节点的路径长度都相同。

二、完全二叉树完全二叉树是指除了最后一层之外，其他层都是满的，并且最后一层的叶子节点都靠左排列的二叉树。

完全二叉树的特点是节点数较少，结构相对简单。

完全二叉树通常用数组来表示，因为它的节点之间的关系可以通过数组的下标来表示。

在完全二叉树中，任意一个节点的左子节点的下标为2i，右子节点的下标为2i+1。

三、平衡二叉树平衡二叉树是指左右子树的高度差不超过1的二叉树。

平衡二叉树的特点是查找、插入和删除的时间复杂度都为O(logn)，其中n是节点的数量。

平衡二叉树的高度可以通过节点的平衡因子来计算，平衡因子定义为左子树的高度减去右子树的高度。

平衡因子的取值范围为-1、0和1，当平衡因子的绝对值大于1时，需要通过旋转操作来调整树的平衡性。

四、搜索二叉树搜索二叉树，也称为二叉搜索树或排序二叉树，是一种特殊的二叉树。

它的特点是对于树中的任意一个节点，其左子树中的所有节点都小于它，右子树中的所有节点都大于它。

搜索二叉树的中序遍历结果是一个递增的有序序列。

搜索二叉树的特点是可以快速地查找某个节点，时间复杂度为O(logn)，其中n是节点的数量。

但是，如果搜索二叉树不平衡，即左子树或右子树过深，则会导致查找的时间复杂度退化为O(n)。

五、线索二叉树线索二叉树是对二叉树进行了优化的数据结构，它通过添加指向前驱和后继节点的线索，使得遍历操作更加高效。

计算机二级二叉树知识点

计算机二级二叉树知识点1.二叉树的定义：二叉树是一种常见的树形结构，其中每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

二叉树的节点结构通常包括一个数据元素和指向左右子节点的指针。

2.二叉树的性质：(1)二叉树的第i层最多有2^(i-1)个节点。

(2)高度为h的二叉树最多有2^h-1个节点。

(3)对于任意一棵二叉树，如果其叶子节点数为n0，度为2的节点数为n2，则n0=n2+1(4)一棵深度为k且节点总数为n的二叉树，当且仅当其满足2^(k-1)<=n<=2^k-1时，才称为完全二叉树。

3.二叉树的分类：(1)满二叉树：除了叶子节点之外，每个节点都有两个子节点，且所有叶子节点在同一层次上。

(2)完全二叉树：最后一层之前的层都是满的，并且最后一层的节点都靠左排列。

(3)平衡二叉树：左右子树的高度差不超过1的二叉树。

(4)线索二叉树：对于每个节点，除了指向其左右子节点的指针外，还包含指向其在其中一种序列下的前驱节点和后继节点的指针。

4.二叉树的遍历方法：(1)前序遍历：先访问根节点，然后递归地遍历左子树，最后递归地遍历右子树。

(2)中序遍历：先递归地遍历左子树，然后访问根节点，最后递归地遍历右子树。

(3)后序遍历：先递归地遍历左子树，然后递归地遍历右子树，最后访问根节点。

(4)层次遍历：按照从上到下、从左到右的顺序逐层访问每个节点。

5.二叉树：二叉树（Binary Search Tree，BST）是一种特殊的二叉树，它的每个节点的值都大于其左子树中的所有节点值，小于其右子树中的所有节点值。

因此，对于一个二叉树，可以采用中序遍历的方法得到一个有序序列。

二叉树的插入操作：按照二叉树的定义，从根节点开始，将要插入的值与当前节点的值比较，如果小于当前节点的值，则向左子树递归插入，如果大于当前节点的值，则向右子树递归插入，直至找到一个空节点，然后插入新节点。

二叉树的删除操作：删除一个节点需要考虑三种情况：删除节点没有子节点、只有一个子节点、有两个子节点。

动态规划习题

动态规划专题分类视图数轴动规题： (1)较复杂的数轴动规 (4)线性动规 (7)区域动规： (14)未知的动规： (20)数轴动规题：题1.2001年普及组第4题--装箱问题【问题描述】有一个箱子容量为V(正整数,0≤V≤20000),同时有n个物品(0<n≤30),每个物品有一个体积（正整数）。

要求从n个物品中,任取若干个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。

【输入格式】输入文件box.in有若干行。

第一行：一个整数，表示箱子容量V；第二行：一个整数，表示物品个数n；接下来n行，分别表示这n个物品的各自体积。

【输出格式】输出文件box.out只有一行数据，该行只有一个数，表示最小的箱子剩余空间。

【输入样例】2468312797【输出样例】题2.1996年提高组第4题--砝码秤重__数据加强版【问题描述】设有n种砝码,第k种砝码有C k个,每个重量均为W k,求：用这些砝码能秤出的不同重量的个数，但不包括一个砝码也不用的情况。

【输入格式】输入文件weight.in的第一行只有一个数n,表示不同的砝码的种类数.第2行至第n+1行,每行有两个整数.第k+1行的两个数分别表示第k种砝码的个数和重量.【输出格式】输出文件weight.out中只有一行数据:Total=N。

表示用这些砝码能秤出的不同重量数。

【输入样例】22 22 3【输出样例】Total=8【样例说明】重量2,3,4,5,6,7,8,10都能秤得【数据限制】对于100%的数据,砝码的种类n满足:1≤n≤100;对于30%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤20;对于100%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤100;对于所有的数据,砝码的总重量W满足:1≤W≤400000;题3.石子归并-szgb.pas【问题描述】有一堆石头质量分别为W1,W2,…,Wn.(Wi≤10000),将石头合并为两堆,使两堆质量的差最小。

【输入】输入文件szgb.in的第一行只有一个整数n(1≤n≤50),表示有n堆石子。

二叉树知识点总结

二叉树知识点总结二叉树是一种常见的数据结构，它由节点和边组成，每个节点最多有两个子节点。

以下是关于二叉树的知识点总结。

1. 二叉树的基本概念二叉树是一种树形结构，它由节点和边组成。

每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

如果一个节点没有子节点，则称其为叶子节点。

二叉树可以为空。

2. 二叉树的遍历方式遍历是指按照一定顺序访问二叉树中的所有节点。

常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。

前序遍历：先访问当前节点，然后递归访问左子树和右子树。

中序遍历：先递归访问左子树，然后访问当前节点，最后递归访问右子树。

后序遍历：先递归访问左子树和右子树，最后访问当前节点。

3. 二叉搜索树二叉搜索树（Binary Search Tree）也称为有序二叉树或排序二叉树。

它是一种特殊的二叉树，在满足以下条件的情况下被称为“搜索”：对于任意节点，其左子树中的所有节点的值都小于该节点的值。

对于任意节点，其右子树中的所有节点的值都大于该节点的值。

左右子树也分别为二叉搜索树。

二叉搜索树支持快速查找、插入和删除操作。

它还有一些变种，如平衡二叉搜索树（AVL Tree）和红黑树（Red-Black Tree）等。

4. 二叉堆二叉堆是一种特殊的完全二叉树，它分为最大堆和最小堆两种类型。

最大堆满足父节点的值大于等于其子节点的值，最小堆满足父节点的值小于等于其子节点的值。

在最大堆中，根节点是整个堆中最大的元素；在最小堆中，根节点是整个堆中最小的元素。

二叉堆常用来实现优先队列（Priority Queue），即按照一定优先级顺序处理元素。

5. 二叉树常见问题5.1 判断是否为平衡二叉树平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是指任意节点左右子树高度差不超过1的二叉搜索树。

判断一个二叉搜索树是否为平衡二叉树可以通过递归遍历每个节点，计算其左右子树的高度差。

5.2 判断是否为完全二叉树完全二叉树（Complete Binary Tree）是指除了最后一层外，其他层都是满的，并且最后一层的节点都靠左排列的二叉树。

数据结构二叉树知识点总结

数据结构二叉树知识点总结二叉树是指每个节点最多有两个子节点的树结构。

它是一种重要的数据结构，在算法和程序设计中被广泛应用。

下面是对二叉树的主要知识点进行详细总结。

1.二叉树的基本概念：-树节点：树的基本单元，包含数据项（节点值）和指向其他节点的指针。

-根节点：树的第一个节点。

-叶节点（又称为终端节点）：没有子节点的节点。

-子节点：一些节点的下一级节点。

-父节点：一些节点的上一级节点。

-兄弟节点：拥有同一父节点的节点。

-深度：从根节点到当前节点的路径长度。

-高度：从当前节点到最远叶节点的路径长度。

2.二叉树的分类：-严格二叉树：每个节点要么没有子节点，要么有两个子节点。

-完全二叉树：除了最后一层外，其他层的节点数都达到最大，并且最后一层的节点依次从左到右排列。

-满二叉树：每个节点要么没有子节点，要么有两个子节点，并且所有叶节点都在同一层上。

-平衡二叉树：任意节点的两棵子树的高度差不超过13.二叉树的遍历：-前序遍历：根节点->左子树->右子树。

递归实现时，先访问当前节点，然后递归遍历左子树和右子树。

-中序遍历：左子树->根节点->右子树。

递归实现时，先递归遍历左子树，然后访问当前节点，最后递归遍历右子树。

-后序遍历：左子树->右子树->根节点。

递归实现时，先递归遍历左子树，然后递归遍历右子树，最后访问当前节点。

-层序遍历：从上到下，从左到右依次访问每个节点。

使用队列实现。

4.二叉查找树（BST）：-二叉查找树是一种有序的二叉树，对于树中的每个节点，其左子树的节点的值都小于当前节点的值，右子树的节点的值都大于当前节点的值。

-插入操作：从根节点开始，递归地比较要插入的值和当前节点的值，根据比较结果向左或向右移动，直到找到插入位置为止。

-查找操作：从根节点开始，递归地比较要查找的值和当前节点的值，根据比较结果向左或向右移动，直到找到目标节点或到叶节点。

-删除操作：有三种情况：-被删除节点是叶节点：直接将其删除。

邱桂香冬令营讲义

问题的解决与超越——由NOIP2003引发的思考东北育才学校邱桂香2004年1月问题的解决与超越——由NOIP2003引发的思考信息学竞赛的目的是对有才华的青少年起到激励作用，促其能力得以发展。

因此，信息学竞赛和当今教育的许多不同方式是一致的，它的价值不止于问题的解决和答案，更在于思考的过程。

透过竞赛试题，看到题目的本意，找到问题的解决方案，更找到超越问题的思想和灵感，让思维的火花永远闪烁，青少年才能充满活力，我们的竞赛才能永葆青春。

刚刚过去的NOIP2003，结束的是这项赛事，思想的活动依然持续。

四道题目，显示了竞赛日益灵活的方向，仅仅套用经典算法，或是仅仅记住某个标准程序绝不能适应竞赛的发展。

如何正视问题、理解问题、解决问题、透视问题、超越问题，就从NOIP2003谈起吧。

题目1：神经网络（Network）[题目描述]略[题目分析]理解问题的第一步就是认真“读题”。

那么我们先来看一看这个题目涉及的问题。

研究一下题目中所给的图的一些性质，可以发现如下特点：1．图中所有的节点都有一个确定的等级，我们记作Level(i)2．图中所有的边都是有向的，并且从Level值为i-1的节点指向Level值为i 的节点我们不妨将其抽象为“阶段图”。

更一般地，我们可以发现所有的阶段图都是有向无环的，这样我们可以通过拓扑排序来得到期望的处理节点的顺序。

[问题关键]确定处理节点的顺序。

[可行算法]由于阶段图的性质使得该图的所有边所连接节点的等级都是相邻的，因此就可以设计出一个基于宽度优先搜索（即BFS）的算法：1．初始时将所有输入层的节点放入队列；2．取出队列中的一个元素，不重复地扩展并处理该节点所发出的边的目标节点；3．如果队列非空，则转向2；4．输出输出层中所有满足条件的节点。

但是由于本题在问题描述中并没有明确的给出判断一个节点是否是输入节点，因此需要在算法进行的过程当中额外地考虑一些边界情况的数据（这个过程即便是真实数据没有这样出也是要有的），下面给出的更一般的算法可能会更好的跳过这些边界情况。

最优二叉树规则

最优二叉树规则最优二叉树，也称为哈夫曼树，是一种特殊的二叉树结构，它的构建过程是基于一组权值的频率分布来进行的。

最优二叉树规则是指在构建最优二叉树时所遵循的一些基本规则，这些规则可以帮助我们更好地理解最优二叉树的构建过程，从而更好地应用它们来解决实际问题。

最优二叉树的构建过程最优二叉树的构建过程是基于一组权值的频率分布来进行的。

在构建最优二叉树时，我们需要按照以下步骤进行：1. 将所有的权值按照从小到大的顺序排列。

2. 选取两个权值最小的节点作为左右子节点，构建一个新的节点，其权值为这两个节点的权值之和。

3. 将新节点的权值插入到原来的序列中，并将原来的两个节点从序列中删除。

4. 重复步骤2和3，直到序列中只剩下一个节点为止。

最优二叉树规则在构建最优二叉树时，我们需要遵循以下规则：1. 权值越大的节点应该离根节点越近。

2. 在同一层次上，权值越小的节点应该在左边。

3. 在构建最优二叉树时，我们应该尽量使得树的深度最小。

这些规则的目的是为了使得最优二叉树的结构更加紧凑，从而减少树的深度，提高树的搜索效率。

在实际应用中，我们可以根据这些规则来构建最优二叉树，从而更好地解决实际问题。

最优二叉树的应用最优二叉树在实际应用中有着广泛的应用，例如在数据压缩、编码和解码、图像处理等领域中都有着重要的应用。

在数据压缩中，我们可以利用最优二叉树来构建哈夫曼编码，从而将数据压缩到最小的空间。

在编码和解码中，我们可以利用最优二叉树来实现高效的编码和解码算法。

在图像处理中，我们可以利用最优二叉树来实现图像的压缩和解压缩，从而减少图像的存储空间和传输带宽。

总结最优二叉树是一种特殊的二叉树结构，它的构建过程是基于一组权值的频率分布来进行的。

在构建最优二叉树时，我们需要遵循一些基本规则，例如权值越大的节点应该离根节点越近，权值越小的节点应该在左边等。

最优二叉树在实际应用中有着广泛的应用，例如在数据压缩、编码和解码、图像处理等领域中都有着重要的应用。

状态转移方程大全

1. 资源问题1-----机器分配问题总公司拥有高效生产设备M台，准备分给下属的N个公司。

各分公司若获得这些设备，可以为国家提供一定的盈利。

问：如何分配这M台设备才能使国家得到的盈利最大？求出最大盈利值。

其中M<=15，N<=10。

分配原则：每个公司有权获得任意数目的设备，但总台数不得超过总设备数M。

数据文件格式为：第一行保存两个数，第一个数是设备台数M，第二个数是分公司数N。

接下来是一个M*N的矩阵，表明了第I个公司分配J台机器的盈利。

用机器数来做状态，数组F[I，J]表示前I个公司分配J台机器的最大盈利。

则状态转移方程为:F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k])2. 资源问题2------01背包问题有N件物品和一个容量为V的背包。

第i件物品的费用是c，价值是w。

求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

F[I,j]:=max(f[i-1,j-v[i]]+w[i],f[i-1,j]);3. 线性动态规划1-----朴素最长非降子序列设有由n个不相同的整数组成的数列，记为:a(1)，a(2)，……，a(n)且a(i)<>a(j) (i<>j)例如3，18，7，14，10，12，23，41，16，24。

若存在i1且有a(i1)则称为长度为e的不下降序列。

如上例中3，18，23，24就是一个长度为4的不下降序列，同时也有3，7，10，12，16，24长度为6的不下降序列。

程序要求，当原数列给出之后，求出最长的不下降序列。

F[i]:=max{f[j]+1}4. 剖分问题1-----石子合并在一个园形操场的四周摆放N堆石子（N≤100），现要将石子有次序地合并成一堆。

规定每次只能选相邻的两堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。

编一程序，由文件读入堆数N及每堆的石子数（≤２０）。

F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);5. 剖分问题2-----多边形剖分多边形三角剖分是计算几何的一个几何基元.它可以简化问题规模,在计算机图形学、模式识别和地理数据库方面有重要应用.F[I,j]:=min(f[j,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a[i]);6. 剖分问题3------乘积最大今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。

邱桂香冬令营讲义

问题的解决与超越——由NOIP2003引发的试探东北育才学校邱桂香2004年1月问题的解决与超越——由NOIP2003引发的试探信息学竞赛的目的是对有才华的青青年起到鼓励作用，促其能力得以进展。

因此，信息学竞赛和现今教育的许多不同方式是一致的，它的价值不止于问题的解决和答案，更在于试探的进程。

透过竞赛试题，看到题目的本意，找到问题的解决方案，更找到超越问题的思想和灵感，让思维的火花永久闪烁，青青年才能充满活力，咱们的竞赛才能永葆青春。

方才过去的NOIP2003，终止的是这项赛事，思想的活动仍然持续。

四道题目，显示了竞赛日趋灵活的方向，仅仅套用经典算法，或是仅仅记住某个标准程序绝不能适应竞赛的进展。

如何正视问题、明白得问题、解决问题、透视问题、超越问题，就从NOIP2003谈起吧。

一、NOIP2003题目概况题目1：神经网络（Network）[题目描述] 略[题目分析]明白得问题的第一步确实是认真“读题”。

那么咱们先来看一看那个题目涉及的问题。

研究一下题目中所给的图的一些性质，能够发觉如下特点：1．图中所有的节点都有一个确信的品级，咱们记作Level(i)2．图中所有的边都是有向的，而且从Level值为i-1的节点指向Level值为i 的节点咱们不妨将其抽象为“时期图”。

更一样地，咱们能够发觉所有的时期图都是有向无环的，如此咱们能够通过拓扑排序来取得期望的处置节点的顺序。

[问题关键]确信处置节点的顺序。

[可行算法]由于时期图的性质使得该图的所有边所连接节点的品级都是相邻的，因此就能够够设计出一个基于宽度优先搜索（即BFS）的算法：1．初始时将所有输入层的节点放入队列；2．掏出队列中的一个元素，不重复地扩展并处置该节点所发出的边的目标节点；3．若是队列非空，那么转向2；4．输出输出层中所有知足条件的节点。

可是由于此题在问题描述中并无明确的给出判定一个节点是不是是输入节点，因此需要在算法进行的进程当中额外地考虑一些边界情形的数据（那个进程即即是真实数据没有如此出也是要有的），下面给出的更一样的算法可能会更好的跳过这些边界情形。