线性代数复习提纲3-4章(14 级)

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
【重点复习知识点】
1、 求矩阵的秩；（行阶梯形矩阵，行最简形矩阵）
（若A~B,R(A)=R(B)）
2、n 元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件；R(A)<n
3、齐次线性方程组的基础解系；（P73，例10; P97，例12）
4、齐次线性方程组基础解系与系数矩阵秩的关系；
（P97，定理7：R(A)=r,解集的秩R=n-r ，即基础解系中含有n-r 个向量）
5、非齐次线性方程组有唯一解的充要条件；R(A)= R(A ，b)=n
6、求解非齐次线性方程组的通解及对应的齐次线性方程组的基础解系；（P75，例12、例13; P101，例16）
【典型例题】
1. 设110011,2,101A AX X A -⎛⎫ ⎪=-=+ ⎪ ⎪-⎝⎭
求X=
2. 用初等变换求得矩阵123458346A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
的逆矩阵为
3. 已知矩阵21111214A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
的秩为2，则a=
又如：设二阶矩阵A,B 都是非零矩阵，且AB=0，则()R A =
4. 若方程组x =A 0有无穷多解，则x =A b
A 必有无穷多解
B 可能有唯一解
C 可能无解
D 以上都不对对于非齐次线性方程组55x ⨯=A b ，若 成立，则方程组有无穷多解。

A ()5R =A
B ()5R =A,b
C ()()5R R ==A A,b
D ()()4R R ==A A,b 设方程组x =A 0中有5个未知数，且()3R =A ，则x =A 0的基础解系中向量的个数是 个。

5. 求出下面矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式。

310211211344A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
6. 求齐次方程组123412341
23420202220x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩的基础解系和通解。

7.求非齐次方程组123412341
2345231153612426x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪++-=-⎨⎪+++=-⎩的一个解和对应齐次方程组
的基础解系。

【参考答案】
1. 由()1000112,~010*********A E A -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ，则X=011101110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
2. 1201034123A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
3. 1,2a = ()1R A =
4. C 、 D 、2
5. ()2,R A =A 的一个最高阶非零子式为31
,11-
6. 基础解系为149,43ξ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭通解为149,43k k ξ⎛⎫ ⎪- ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
x k 为任意常数 7. 124179001,,71472001ηξξ-⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
第四章 向量组的线性相关性
【重点复习知识点】
1、 向量组线性相关的一些充要条件；
(1) 向量b 能由向量组12:,,,m A ααα线性表示的充要条件是
()()1212,,,,,,,m m R R αααααα=b
(2) 向量组12,,,m ααα线性相关的充要条件是其中至少有一个向
量可由其余m-1个向量线性表示；
(3) 向量组12,,,m ααα线性相关()12,,,m R m ααα⇔<；向量组12,,,m ααα线性无关()12,,,m R m ααα⇔=（P88，定理4）
2、向量组的秩；（矩阵的秩等于其列或行向量组的秩）
3、两个向量线性相关的充要条件；（对应成比例，共线或者平行向量）
4、求向量组的秩和极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。

（P93，例11）
【典型例题】
1. 若向量组1231210,2,313t ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
线性相关，则
如：向量212312,11t t t αα⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
线性相关，则
2. 若向量组123,,ααα线性无关，则向量组122331,,αααααα+++
3. 证明向量011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
b 可以由向量组1231011,1,0011ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性表示。

4. 求出下面向量组的秩和一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示。

123412110,1,,1,,0,4501αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【参考答案】
1. 52t = 、 2t =
2. 线性无关
3. 13αα=-+b
4. 由()12341211,,,01104501αααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，先将其化为行阶梯形矩阵 1211121112110110~0110~0110450103450015⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以123,,ααα是一个最大无关组
将其化为行最简形矩阵100601050015⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
，故1236,5,5x x x ==-= 4123655αααα=-+。