最新高考-高考数学附加题教学案 精品
附加题教案
第十一章 几何证明选讲[选修4－1] 第一节相似三角形的进一步认识[知识能否忆起]一、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段____，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也____二、平行截割定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段____ 三、相似三角形的判定与性质 1．判定定理：直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积，斜边上的高等于两条直角边在斜边上射影的乘积．[小题能否全取]1.(教材习题改编)如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm.则BC 的长为________．2．(教材习题改编)如图所示，BD 、CE 是△ABC 的高，BD 、CE 交于F .写出图中所有与△ACE 相似的三角形________________．3.如图，在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，AN 、CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________．4.已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与直线a 、b 、c 交于点A 、B 、C 和点A ′、B ′、C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝32，则A ′C ′＝________.5．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D .若BC ＝m ，∠B ＝α，则AD 长为________．典题导入[例1] (2011·广东高考)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．本例条件“EF ＝3”若变为“DE EA ＝34”，试求EF 的长．由题悟法比例线段常由平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而又必须转移比例时，常通过添加辅助平行线达到转移比例的目的．典题导入[例2] (2012·新课标全国卷)如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．若CF ∥AB ，证明：(1)CD ＝BC ； (2)△BCD ∽△GBD .由题悟法1．相似三角形的判定主要是依据三个判定定理，结合定理创造条件建立对应边或对应角的关系；2．注意辅助线的添加，多数作平行线；3．相似三角形的性质可用来考查与相似三角形相关的元素，如三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的直径等．以题试法3.(2012·衡阳联考)如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝27，AB＝BC＝3，则AC的长为________．典题导入射影定理的应用[例3](2012·陕西高考)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.由题悟法1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”；2．证题时，作垂线构造直角三角形是解该问题的常用方法．以题试法4如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD＝4，BD＝8，则圆O的半径等于________．第二节圆的进一步认识[知识能否忆起]一、圆周角定理1．圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的2．两个推论：推论1：同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧推论2：半圆(或直径)上的圆周角等于90°；90°的圆周角所对的弦为二、圆的切线的性质及判定定理1．性质：性质定理：圆的切线垂直于经过切点的推论1：切点与圆心的连线与圆的切线推论2：经过切点且与圆的切线的直线过2．判定定理：过半径外端且与这条半径直线是圆的切线．3．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长三、弦切角的性质定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．四、与圆有关的比例线段1相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成两段的相等．2．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段的相等．3．切割线定理：从圆外一点引圆的一条切线和一条割线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的五、圆内接四边形的性质与判定定理1．性质定理：圆内接四边形对角2．判定定理：如果四边形的对角，则此四边形内接于圆．[小题能否全取]1．(教材习题改编)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P.则BP的长为________．2．(教材习题改编)如图，⊙O中弦AB、CD相交于点F，AB＝10，AF＝2，若CF∶DF＝1∶4.则CF的长为________．3.如图，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OB绕点O逆时针旋转120°到OD，连结PD交圆O于点E，则PE＝________.4．(2012·太原模拟)如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A＝100°，∠C＝30°，则∠DFE的度数是________．5.(2012·东城模拟)如图，已知P A是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，若P A＝23，∠APB＝30°，则AE＝________.1.与圆有关的辅助线的五种作法：(1)有弦，作弦心距；(2)有直径，作直径所对的圆周角；(3)有切点，作过切点的半径；(4)两圆相交，作公共弦；(5)两圆相切，作公切线．2．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．[例1]满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则P A＝________.本例条件变为“P A是⊙O的切线，切点为A，PO交圆O于B、C，且AC＝3，∠P AB＝30°”，求圆的半径r.由题悟法1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．以题试法1．已知P A是圆O的切线，切点为A，直线PO交圆O于B，C两点，AC＝2，∠P AB＝120°，则圆O的面积为________．2．如图，AB是圆O的直径，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于点D，若圆O的面积为4π，∠ABC＝30°，则AD的长为________．[例2]线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点．(1)求证：四点A，I，H，E共圆；(2)若∠C＝50°，求∠IEH的度数．由题悟法判断四点共圆的步骤(1)观察几何图形，找到一定点、一对对角或一外角与其内对角；(2)判断四点与这一定点的关系；(3)判断四边形的一对对角的和是否为180°；(4)判断四边形一外角与其内对角是否相等；(5)下结论．以题试法3．如图，BA是⊙O的直径，延长BA至E，使得AE＝AO，过E点作⊙O的割线交⊙O于D、C，使得AD＝DC.(1)求证：OD∥BC；(2)若ED＝2，求⊙O的内接四边形ABCD的周长．[例3]交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.由题悟法解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，要灵活把握．以题试法4．(2012·泉州模拟)如图，AB为圆O的直径，P为圆O外一点，过P点作PC⊥AB于C，交圆O于D点，P A交圆O于E点，BE交PC于F点．求证：(1)∠P＝∠ABE；(2)CD2＝CF·CP.5．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2AC.(1)求证：BE＝2AD；(2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．第一节 矩阵的性质、变换及乘法[知识能否忆起]一、二阶矩阵与平面向量 1．矩阵的概念在数学中，把形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3， 42，0，－1这样的 数字(或字母)阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的 ，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的 ，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素．2．二阶矩阵与平面列向量的乘法(1)[a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝ ；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝ ； 二、几种常见的平面变换 1．恒等变换恒等变换的坐标变换公式为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ；对应的二阶矩阵为 .2．伸压变换伸压变换的坐标变换公式为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 1x k 2y ；对应的二阶矩阵为 3．反射变换(1)关于x 轴的反射变换的坐标公式为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y ，对应的二阶矩阵为 ； (2)关于y 轴的反射变换的坐标公式为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x y ，对应的二阶矩阵为 ； (3)关于直线y ＝x 的反射变换的坐标公式为T ：⎣⎡⎦⎤x y →⎣⎡⎦⎤x′y′＝⎣⎡⎦⎤yx ，对应的二阶矩阵为 .4．旋转变换旋转变换的坐标变换公式为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，对应的二阶矩阵为5．投影变换关于x 轴的(正)投影变换的坐标公式为：T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，对应的二阶矩阵为 三、线性变换的基本性质1．设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则λα＝ ； 2．设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2，则α＋β＝ ；3．A 是一个二阶矩阵，α，β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A (λα)＝λAα，A (α＋β)＝Aα＋Aβ.4．二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成 四、二阶矩阵的乘法 1．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1c 1 d 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2 b 2c 2 d 2.则AB ＝2．矩阵乘法满足结合律(AB )C ＝A (BC )[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y x ＋3y x －y x ＋y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 4a b ，若A ＝B ，求ax ＋by 的值．2．(教材习题改编)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 2－1 1，求点P (2,1)在A 所对应的线性变换作用下像P ′的坐标．3．已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下，点A (1,2)变成了点A ′(7,10)，点B (2,0)变成了点B ′(2,4)，求矩阵M .1.矩阵的运算律中通常不满足交换律和消去律，即AB ≠BA ，由AB ＝AC 无法得到B ＝C . 2．对于二阶矩阵A ，如果定义矩阵的幂运算：A n ＝AA …A n 个 (其中n ∈N *)，则根据结合律可以得到两个重要性质： (1)A k A l ＝A k ＋l (其中k ，l ∈N *)；(2)(A k )l ＝A kl (其中k ，l ∈N *)3．对于旋转变换，将直角坐标系xOy 内的每个点P (x ，y )绕原点O 按逆时针方向旋转α角到P ′(x ′，y ′)，那么，绕原点逆时针旋转90°的变换，相应矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0；绕原点顺时针旋转90°的变换，相应矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 01－10；中心对称也就是绕原点旋转180°的变换，相应矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1.[例1] 已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 3 4 －1，求矩阵B . .本例条件若变为“A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 012，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 3 4 －2且α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34”，试判断(AB )α与A (Bα)的关系．由题悟法:1．矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想．2．对于二阶矩阵的运算，要熟记运算法则，尤其是元素的搭配形式．1．求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤2435＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M .[例2] 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎦⎥b1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值；(2)求A 2的逆矩阵．由题悟法:曲线(或点)经过二阶矩阵变换后的曲线(或点)的求法，类似于平面解析几何中的代入法求轨迹，解类问题的关键是求对坐标之间的变换公式．2．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．3．求关于直线y ＝3x 的对称的反射变换对应的矩阵A .第二节逆变换与逆矩阵、矩阵的特征向量[知识能否忆起]一、逆变换与逆矩阵1．逆矩阵：对于二阶矩阵A ，B ，若有BA ＝AB ＝E ，则称矩阵A 可逆，并且称B 是A 的逆矩阵．2．一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd (ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1＝ . 3．若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝ 4．已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则 . 二、逆矩阵与二元一次方程组1．定理：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组(线性方程组)⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e cx ＋dy ＝f 的系数矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2．推论：关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0，cx ＋dy ＝0.其中a ，b ，c ，d 是不全为零的常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式 =0三、特征值和特征向量 设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么 称为矩阵A 的一个特征值， 称为矩阵A 的属于特征值 的一个特征向量．四、特征向量的性质设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，α1，α2是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t 1α1＋t 2α2(t 1，t 2为实数)，则对任意的正整数n ，有A n α＝[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求(AB )－1.2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：x ＋y －2＝0变为直线l ′，求直线l ′的方程．3．已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.求矩阵A .1.求一个矩阵的逆矩阵满足的条件是det A ≠0，特别要注意AB 的逆矩阵是B －1A －1，而不是A －1B －1.2．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 有特征值λ的充分必要条件是方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0有解．典题导入[例1]若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α－sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．由题悟法1．逆矩阵的求法有两种： (1)利用待定系数法； (2)利用公式法， 即当A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 时，有A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .2．若A ，B 两个矩阵均存在可逆矩阵时，则有(AB )－1＝B －1A －1；若A ，B ，C 为二阶矩阵且A 可逆，则当AB ＝AC 时，有B ＝C ，即此时矩阵乘法的消去律成立．以题试法1．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－13将直线l ：x ＋y －1＝0变换成直线l ′.(1)求直线l ′的方程；(2)判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求出矩阵A 的逆矩阵A －1；若不可逆，请说明理由．典题导入[例2] 用矩阵方法求二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －5y ＝4，3x ＋y ＝6的解．由题悟法1．用矩阵方法求解二元一次方程组的关键是求解系数所对应的矩阵的逆矩阵；2．若系数矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则方程组的解可以表达成⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f .以题试法2．(2012·福州质检)利用矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2，4x ＋2y ＝3.典题导入[例3] (2012·江苏高考)已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 34 12 －12，求矩阵A 的特征值．由题悟法1．关于特征值问题的一般解法如下：给定矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，若有特征值λ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即λ2－(a ＋d )λ＋(ad －bc )＝0.2．求M n α，一般都是先求出矩阵M 的特征值与特征向量，将α写成t 1α1＋t 2α2.利用性质M n α＝t 1λn 1α1＋t 2λn 2α2求解．以题试法3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 x 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．4．(2012·龙岩模拟)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 b c 2有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23.(1)求矩阵M ；(2)求曲线5x 2＋8xy ＋4y 2＝1在M 的作用下的新曲线方程．第一节坐标系与曲线的极坐标方程[知识能否忆起]一、平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ＞0).y ′＝μ·y ，(μ＞0).的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二、极坐标系1．极坐标与极坐标系的概念：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．O 点称为 ，Ox 称为 ．M 为平面上任一点，ρ表示线段 的长度，θ表示以射线 为始边，射线 为终边所成的角，ρ称为点M 的 ，θ称为点M 的极角，有序数对 为点M 的极坐标．2．极坐标与直角坐标的互化：设M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由右图可知下面关系式成立：或顺便指出，上式对ρ＜0也成立．这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 三、常见曲线的极坐标方程1．(教材习题改编)在极坐标系中，直线l 的方程ρsin θ＝3，则点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线l 的距离为________．2．(教材习题改编)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________________．3．在极坐标系中，以⎝⎛⎭⎫a 2，π2为圆心，a2为半径的圆的方程为________________．4．在极坐标系中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1(0≤θ<2π)的交点的极坐标为________．5．在极坐标系中，圆ρ＝4cos θ的圆心C 到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22的距离为________．典题导入[例1] 求曲线y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y后的曲线方程．本例若变为“若曲线y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4经过伸缩变换后变为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4”，试求此伸缩变换．由题悟法平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λ>0，y ′＝μ·y ，μ>0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．典题导入[例2]在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．由题悟法极坐标(ρ，θ)化为直角坐标时，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；直角坐标(x ，y )化为极坐标时，ρ＝x 2＋y 2惟一确定，但由tan θ＝yx (x ≠0)确定角θ时不惟一，一般根据点(x ，y )所在的象限取最小正角．以题试法2．已知圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为________________．3．圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程． (2)求经过圆O 1，圆O 2两个交点的直线的直角坐标方程．典题导入[例3] (1)在极坐标系中，点P ⎝⎛⎭⎫1，π2到曲线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝322上的点的最短距离为________．(2)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)，判断直线l 和圆C的位置关系．由题悟法1．求曲线的极坐标方程其实质是在极坐标系中建立动点M (ρ，θ)的极坐标ρ与θ的关系，注意检验特殊点．2．极坐标方程应用时，一般化为直角坐标方程，转化时注意方程的等价性．第二节参_数_方_程 [知识能否忆起]几种常见曲线的参数方程 1．直线：经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 (l 为参数)． 2．圆：以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是 其中α是参数，α∈[0,2π)．当圆心在(0,0)时，方程为 3．椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是 其中φ是参数．(2)椭圆x 2b 2＋y 2a2＝1(a >b >0)的参数方程是 其中φ是参数．[小题能否全取]1．(教材习题改编)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝t －1(t 为参数)的普通方程为________________．2．(教材习题改编)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的左焦点的坐标是________．3．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．4．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1，y ＝sin θ(参数θ∈[0,2π))，则圆心C 到直线l 的距离是________．5．(2012·湖南十二校联考)若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线的倾斜角为________．1.在直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)中t 的几何意义是表示在直线上过定点P 0(x 0，y 0)与直线上的任一点P (x ，y )构成的有向线段P 0P 的长度，且在直线上任意两点P 1、P 2的距离为P 1P 2＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2.2．参数方程化为普通方程的关键是消参数：一要熟练掌握常用技巧(如整体代换)；二要注意变量取值范围的一致性，这一点最易忽视．典题导入[例1]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．本例1中“曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t(t 为参数)”若变为“⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－2t (t 为参数)”，试判断曲线C 1与C 2的位置关系．由题悟法1．消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．以题试法1．(2012·东莞模拟)在平面直角坐标系下，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ＋2a ，y ＝－t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．若曲线C 1，C 2有公共点，则实数a 的取值范围是________．[例2] 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (2,2)，倾斜角α＝π3. (1)写出圆的标准方程和直线l 的参数方程；(2)设l 与圆C 相交于A 、B 两点，求P A ·PB 的值．由题悟法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2.线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0.注意以下几个常用的结论：(1)t 0＝t 1＋t 22；(2)PM ＝t 0＝|t 1＋t 2|2；(3)AB ＝|t 2－t 1|；(4)P A ·PB ＝|t 1t 2|.[例3] 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.。
高考数学二轮复习 专题八 附加题 第2讲 计数原理、随机变量、数学归纳法学案
—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————第2讲 计数原理、随机变量、数学归纳法[考情考向分析] 1.考查分类计数原理、分步计数原理与排列、组合的简单应用，B 级要求. 2.考查n 次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的数学期望与方差，B 级要求.3.考查数学归纳法的简单应用，B 级要求．热点一 计数原理与二项式定理例1 (2018·苏州调研)已知f n (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋3a x 3n ，n ∈N *.(1)当a ＝1时，求f 5(x )展开式中的常数项；(2)若二项式f n (x )的展开式中含有x 7的项，当n 取最小值时，展开式中含x 的正整数次幂的项的系数之和为10，求实数a 的值．解 二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋3a x 3n的展开式通项为T r ＋1＝C r n ()x 2n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a x 3r ＝C r n (3a )r x2n －5r(r ＝0,1,2，…，n )， (1)当n ＝5，a ＝1时，f (x )的展开式的常数项为T 3＝9C 25＝90. (2)令2n －5r ＝7，则r ＝2n －75∈N ，所以n 的最小值为6，当n ＝6时，二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋3a x 36的展开式通项为T r ＋1＝C r 6(3a )r x12－5r(r ＝0,1,2，…，6)， 则展开式中含x 的正整数次幂的项为T 1，T 2，T 3，它们的系数之和为 C 06＋C 16(3a )＋C 26(3a )2＝135a 2＋18a ＋1＝10， 即15a 2＋2a －1＝0，解得a ＝－13或15.思维升华 涉及二项式定理的试题要注意以下几个方面：(1)某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念，必须严格加以区别． (2)根据所给式子的结构特征，对二项式定理的逆用或变用，注意活用二项式定理是解决二项式问题应具备的基本素质．(3)关于x 的二项式(a ＋bx )n(a ，b 为常数)的展开式可以看成是关于x 的函数，且当x 给予某一个值时，可以得到一个与系数有关的等式，所以，当展开式涉及到与系数有关的问题时，可以利用函数思想来解决．跟踪演练1 (2018·江苏丹阳高级中学期中)设n ≥3，n ∈N *，在集合{}1，2，…，n 的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较大元素相加，和记为a ，较小元素之和记为b . (1)当n ＝3时，求a ，b 的值；(2)求证：对任意的n ≥3，n ∈N *，b a为定值．(1)解 当n ＝3时，集合{}1，2，3的所有元素个数为2的子集为{}1，2， {}1，3，{}2，3，所以a ＝2＋3＋3＝8,b ＝1＋1＋2＝4.(2)证明 当n ≥3，n ∈N *时，依题意，b ＝1×C 1n －1＋2×C 1n －2＋3×C 1n －3＋…＋()n －2×1(2)C n n --＋()n －1×1(1)C n n --， a ＝2×C 11＋3×C 12＋4×C 13＋…＋()n －1×C 1n －2＋n ×C 1n －1＝2×1＋3×2＋4×3＋…＋()n －1×()n －2＋n ×()n －1.则a2＝C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2n ＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 2n ＝C 34＋C 24＋…＋C 2n ＝…＝C 3n ＋1， 所以a ＝2C 3n ＋1.又a ＋b ＝(n －1)(1＋2＋3＋…＋n )＝n ()n ＋12×()n －1＝3C 3n ＋1，所以b ＝C 3n ＋1.故b a ＝12.热点二 随机变量及其概率分布例2 (2018·南京师大附中考前模拟)如图，设P 1，P 2，…，P 6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S .(1)求S ＝32的概率； (2)求S 的概率分布及数学期望E (S )．解 (1)从六个点中任选三个不同点构成一个三角形共有C 36种不同选法， 其中S ＝32的为有一个角是30°的直角三角形，(如△P 1P 4P 5)，共6×2＝12种，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫S ＝32＝12C 36＝35. (2)S 的所有可能取值为34，32，334. S ＝34的为顶角是120°的等腰三角形(如△P 1P 2P 3)， 共6种，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫S ＝34＝6C 36＝310. S ＝334的为等边三角形(如△P 1P 3P 5)， 共2种，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫S ＝334＝2C 36＝110.又由(1)知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫S ＝32＝12C 36＝35，故S 的概率分布为所以E (S )＝34×310＋32×35＋334×110＝9320. 思维升华 求解一般的随机变量的数学期望的基本方法先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出概率分布，根据数学期望公式计算．跟踪演练2 (2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X 元．(1)求概率P ()X ＝600；(2)求X 的概率分布及数学期望E (X )．解 (1)从3×3表格中随机不重复地点击3格，共有C 39种不同情形，则事件“X ＝600”包含两类情形：第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含C 34种情形，第二类包含C 11·C 14·C 14种情形． ∴P ()X ＝600＝C 34＋C 11·C 14·C 14C 39＝521. (2)X 的所有可能值为300,400,500,600,700. 则P ()X ＝300＝C 34C 39＝484＝121，P ()X ＝400＝C 14·C 24C 39＝2484＝27，P ()X ＝500＝C 11·C 24＋C 14·C 24C 39＝3084＝514， P (X ＝600)＝521，P ()X ＝700＝C 11·C 24C 39＝684＝114.∴X 的概率分布为∴E ()X ＝300×121＋400×27＋500×514＋600×521＋700×114＝500.热点三 数学归纳法例3 (2018·江苏姜堰、溧阳、前黄中学联考)已知数列{}a n 满足a n ＝C 0n ＋C 1n ＋12＋C 2n ＋222＋C 3n ＋323＋…＋C nn ＋n 2n ，n ∈N *. (1)求a 1, a 2, a 3的值；(2)猜想数列{}a n 的通项公式，并证明． 解 (1)a 1＝2, a 2＝4, a 3＝8. (2)猜想： a n ＝2n (n ∈N *)． 证明如下：①当n ＝1时，由(1)知结论成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立， 则有a k ＝C 0k ＋C 1k ＋12＋C 2k ＋222＋C 3k ＋323＋…＋C kk ＋k 2k ＝2k.则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝C 0k ＋1＋C 1k ＋1＋12＋C 2k ＋1＋222＋C 3k ＋1＋323＋…＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1.由C k ＋1n ＋1＝C k ＋1n ＋C kn 得a k ＋1＝C 0k ＋C 1k ＋1＋C 0k ＋12＋C 2k ＋2＋C 1k ＋222＋C 3k ＋3＋C 2k ＋323＋…＋C k k ＋k ＋C k －1k ＋k 2k＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1 ＝2k＋C 0k ＋12＋C 1k ＋222＋C 2k ＋323＋…＋C k －1k ＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1＝2k＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫C 0k ＋1＋C 1k ＋22＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋k 2k －1＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＝2k＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫C 0k ＋1＋C 1k ＋22＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k ＋C k ＋1k ＋1＋k 2k . 又Ck ＋1k ＋1＋k＝()2k ＋1！k ！()k ＋1！＝()2k ＋1！()k ＋1()k ＋1k ！()k ＋1！＝12()2k ＋1！()2k ＋2()k ＋1！()k ＋1！＝12C k ＋1k ＋1＋k ＋1， a k ＋1＝2k＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫C 0k ＋1＋C 1k ＋22＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1，于是a k ＋1＝2k＋12a k ＋1.所以a k ＋1＝2k ＋1,故n ＝k ＋1时结论也成立．由①②得，a n ＝2n，n ∈N *.思维升华 在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n ＝k 到n ＝k ＋1时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法．跟踪演练3 (2018·常州期末)记()x ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1n (n ≥2且n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为S n ，含x 2项的系数为T n . (1)求S n ；(2)若T nS n＝an 2＋bn ＋c 对n ＝2,3,4成立，求实数a ，b ，c 的值； (3)对(2)中的实数a ，b ，c 用数学归纳法证明：对任意n ≥2且n ∈N*, T nS n＝an 2＋bn ＋c 都成立． (1)解 S n ＝1＋2＋…＋nn ！＝ n ＋12()n －1！.(2)解T 2S 2＝23， T 3S 3＝116， T 4S 4＝72，则⎩⎪⎨⎪⎧23＝4a ＋2b ＋c ，116＝9a ＋3b ＋c ，72＝16a ＋4b ＋c ，解得a ＝14， b ＝－112， c ＝－16，(3)证明 ①当n ＝2时，由(2)知等式成立； ②假设n ＝k (k ∈N *，且k ≥2)时，等式成立，即T k S k ＝14k 2－112k －16. 当n ＝k ＋1时，由f (x )＝()x ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1k ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤()x ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ！＋S k x ＋T k x 2＋…⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1k ＋1，知T k ＋1＝S k ＋1k ＋1T k ＝k ＋12()k －1！·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫14k 2－112k －16，所以T k ＋1S k ＋1＝ k ＋12()k －1！⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫14k 2－112k －16k ＋1＋12k ！＝k k ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1＋3k 2－k －212＝k ()3k ＋512，又14()k ＋12－112()k ＋1－16 ＝k ()3k ＋512， 等式也成立；综上可得，对任意n ≥2且n ∈N *，都有T n S n ＝n 24－n 12－16成立．1．(2018·全国大联考江苏卷)(1)求4C 47－7C 36＋k C k n n C k －1n －1(n ≥k ，且n ，k ∈N *)的值．(2)设f (n )＝1·C 1n ·3＋2·C 2n ·32＋…＋n C n n ·3n (n ∈N *)，求方程f (n )＝3 840的所有解． 解 (1)因为4C 47＝4×35＝140, 7C 36＝7×20＝140，k C k n ＝k ·n ！k ！(n －k )！＝ n ·(n －1)！(k －1)！[(n －1)－(k －1)]！＝n C k －1n －1(n ≥k ，且n ，k ∈N *)． 所以4C 47－7C 36＋k C knn C k －1n －1＝1.(2)由(1)知k C k n ＝n C k －1n －1对1≤k ≤n ，且n ，k ∈N *成立． 所以f (n )＝n (C 0n －13＋C 1n －132＋…＋C n －1n －13n)， 所以f (n )＝3n (C 0n －1＋C 1n －13＋…＋C n －1n －13n －1)＝3n (1＋3)n －1＝3n ·4n －1(n ∈N *)．又因为f (n ＋1)f (n )＝3(n ＋1)·4n 3n ·4n －1 ＝4(n ＋1)n ＝4＋4n>1，即f (n ＋1)>f (n )对n ∈N *成立， 所以f (n )是关于n (n ∈N *)的递增函数． 又因为f (n )＝3 840＝3×5×44＝f (5)，所以当且仅当n ＝5时才满足条件，即n ＝5是方程f (n )＝3 840的唯一解．2．(2018·江苏)设n ∈N *，对1,2，…，n 的一个排列i 1i 2…i n ，如果当s ＜t 时，有i s ＞i t ，则称(i s ，i t )是排列i 1i 2…i n 的一个逆序，排列i 1i 2…i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序(2,1)，(3,1)，则排列231的逆序数为2.记f n (k )为1,2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． (1)求f 3(2)，f 4(2)的值；(2)求f n (2)(n ≥5)的表达式(用n 表示)．解 (1)记τ(abc )为排列abc 的逆序数，对1,2,3的所有排列，有τ(123)＝0，τ(132)＝1，τ(213)＝1，τ(231)＝2，τ(312)＝2，τ(321)＝3， 所以f 3(0)＝1，f 3(1)＝f 3(2)＝2.对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f 4(2)＝f 3(2)＋f 3(1)＋f 3(0)＝5.(2)对一般的n (n ≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以f n (0)＝1. 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以f n (1)＝n －1.为计算f n ＋1(2)，当1,2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n ＋1添加进原排列，n ＋1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n ＋1(2)＝f n (2)＋f n (1)＋f n (0)＝f n (2)＋n .当n ≥5时，f n (2)＝[f n (2)－f n －1(2)]＋[f n －1(2)－f n －2(2)]＋…＋[f 5(2)－f 4(2)]＋f 4(2)＝(n －1)＋(n －2)＋…＋4＋f 4(2)＝n 2－n －22，因此，当n ≥5时，f n (2)＝n 2－n －22.3．已知实数数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＝n ＋23n·(a n －1＋2)，n ≥2. 证明：当n ≥2时，{a n }是单调减数列． 证明 当n ≥1时，有a n ＋1－a n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋33(n ＋1)－1a n ＋2(n ＋3)3(n ＋1)＝23(n ＋1)(n ＋3－na n)．下面用数学归纳法证明：a n >1＋3n(n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝2时，a 2＝46(3＋2)＝103>1＋32；(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时，结论成立，即a k >1＋3k.那么，a k ＋1＝k ＋33(k ＋1)(a k ＋2)>k ＋33(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3k ＋2＝1＋3k >1＋31＋k.故由(1)(2)知，a n >1＋3n(n ≥2，n ∈N *)．因此，当n ≥2，n ∈N *时，a n ＋1－a n ＝23(n ＋1)(n ＋3－na n )<0，即当n ≥2时，{a n }是单调减数列．4．(2018·江苏盐城中学模拟)某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a (a 为常数)，演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a .求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望．解 (1)设“至少演唱1首原创新曲”为事件A ，则事件A 的对立事件A 为“没有1首原创新曲被演唱”．所以P (A )＝1－P (A )＝1－C 45C 48＝1314.所以该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为1314.(2)设随机变量x 表示被演唱的原创新曲的首数，则x 的所有可能值为0,1,2,3. 依题意知，X ＝ax ＋2a (4－x )，故X 的所有可能值依次为8a,7a,6a,5a .则P (X ＝8a )＝P (x ＝0)＝C 45C 48＝114，P (X ＝7a )＝P (x ＝1)＝C 13C 35C 48＝37，P (X ＝6a )＝P (x ＝2)＝C 23C 25C 48＝37，P (X ＝5a )＝P (x ＝3)＝C 33C 15C 48＝114.从而X 的概率分布为所以X 的数学期望E (X )＝8a ×114＋7a ×37＋6a ×37＋5a ×114＝132a .A 组 专题通关1．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程． (1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布与数学期望E (X )． 解 (1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P ＝1－33×3＝23.(2)由题意得X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13， P (X ＝k )＝C k5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5. 所以X 的概率分布为所以X 的数学期望E (X )＝5×13＝53.2．(2018·江苏省南京师大附中模拟)设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集．(1)若M ＝{a 1，a 2}，且A 是B 的子集，求所有有序集合对(A ，B )的个数；(2)若M ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }，且A 的元素个数比B 的元素个数少，求所有有序集合对(A ，B )的个数．解 (1)若集合B 含有2个元素，即B ＝{a 1，a 2}， 则A ＝∅，{}a 1，{}a 2，则(A ，B )的个数为3；若集合B 含有1个元素，则B 有C 12种，不妨设B ＝{a 1}，则A ＝∅，此时(A ，B )的个数为C 12×1＝2.综上，(A ，B )的个数为5.(2)集合M 有2n个子集，又集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集， 则不同的有序集合对(A ，B )的个数为2n (2n－1)．若A 的元素个数与B 的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A ，B )的个数为 C 0n (C 0n －1)＋C 1n (C 1n －1)＋C 2n (C 2n －1)＋…＋C n n (C nn －1)＝ ()C 0n 2＋()C 1n 2＋()C 2n 2＋…＋()C n n 2－(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn )，又(x ＋1)n(x ＋1)n的展开式中x n的系数为()C 0n 2＋()C 1n 2＋()C 2n 2＋…＋()C n n 2,且(x ＋1)n (x ＋1)n ＝(x ＋1)2n 的展开式中x n 的系数为C n2n ， 所以()C 0n 2＋()C 1n 2＋()C 2n 2＋…＋()C n n 2＝C n2n .因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n，所以当A 的元素个数与B 的元素个数一样多时， 有序集合对(A ，B )的个数为C n 2n －2n.所以，A 的元素个数比B 的元素个数少时，有序集合对(A ，B )的个数为 2n (2n －1)－(C n 2n －2n )2＝22n －C n2n2.3．已知()1＋x 2n ＋1＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n ＋1x2n ＋1，n ∈N *.记T n ＝∑nk ＝0()2k ＋1a n －k .(1)求T 2的值；(2)化简T n 的表达式，并证明：对任意的n ∈N *,T n 都能被4n ＋2整除． 解 由二项式定理，得a i ＝C i2n ＋1(i ＝0,1,2，…，2n ＋1)． (1)T 2＝a 2＋3a 1＋5a 0＝C 25＋3C 15＋5C 05＝30. (2)∵()n ＋1＋k C n ＋1＋k2n ＋1＝()n ＋1＋k ·()2n ＋1！()n ＋1＋k ！()n －k ！＝()2n ＋1·()2n ！()n ＋k ！()n －k ！＝()2n ＋1C n ＋k2n ，∴T n ＝∑nk ＝0()2k ＋1a n －k ＝∑nk ＝0()2k ＋1Cn －k 2n ＋1＝∑nk ＝0()2k ＋1C n ＋1＋k2n ＋1＝∑nk ＝0[]2()n ＋1＋k －()2n ＋1C n ＋1＋k2n ＋1＝2∑nk ＝0()n ＋1＋k Cn ＋1＋k 2n ＋1－()2n ＋1∑nk ＝0C n ＋1＋k2n ＋1＝2()2n ＋1∑nk ＝0Cn ＋k 2n－()2n ＋1∑nk ＝0C n ＋1＋k 2n ＋1＝2()2n ＋1·12·()22n ＋C n 2n －()2n ＋1·12·22n ＋1＝()2n ＋1C n 2n .∴T n ＝()2n ＋1C n2n ＝()2n ＋1()C n －12n －1＋C n2n －1＝2()2n ＋1C n2n －1.∵C n 2n －1∈N *，∴T n 能被4n ＋2整除．4．是否存在正整数m 使得f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9对任意正整数n 都能被m 整除？若存在，求出最大的m 的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．解 由f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9，得f (1)＝36，f (2)＝3×36，f (3)＝10×36，f (4)＝34×36，由此猜想m ＝36. 下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，结论显然成立；②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，结论成立，即f (k )能被36整除， 设f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9＝t ·36. 当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9＝(2k ＋7)·3k ＋1＋2·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k＋9]＋18(3k －1－1)＝3·36t ＋18·2s ＝36(3t ＋s )． 所以当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知，对一切正整数n ，存在正整数m ，使得f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9都能被m 整除，m 的最大值为36.B 组 能力提高5．(2018·常州模拟)已知正四棱锥P －ABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制)； 若这两条棱所在的直线平行，则ξ＝0；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制)． (1)求P ()ξ＝0的值；(2)求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ()ξ.解 根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到△PAC ，△PBD 为等腰直角三角形， ξ的可能取值为： 0, π3， π2，共C 28＝28种情况，其中，当ξ＝0时，有2种；当ξ＝π3时，有3×4＋2×4＝20(种)；当ξ＝π2时，有2＋4＝6(种)．(1)P ()ξ＝0＝228＝114. (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝π3＝2028＝57， P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝π2＝628＝314， 根据(1)的结论，随机变量的概率分布如下表：根据上表， E ()ξ＝0×114＋π3×57＋π2×314＝2984π. 6．设P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C knmm ＋k，Q (n ，m )＝C n n ＋m ，其中m ，n ∈N *.(1)当m ＝1时，求P (n,1)·Q (n,1)的值；(2)对∀m ∈N *，证明：P (n ，m )·Q (n ，m )恒为定值．(1)解 当m ＝1时，P (n,1)＝∑k ＝0n(－1)k C kn11＋k＝1n ＋1∑k ＝0n (－1)k C k ＋1n ＋1＝1n ＋1， 又Q (n,1)＝C nn ＋1＝n ＋1，显然P (n,1)·Q (n,1)＝1.(2)证明 P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C knmm ＋k＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k(C kn －1＋C k －1n －1)mm ＋k＋(－1)nmm ＋n＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k Ck n －1mm ＋k＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )－m n ∑k ＝0n (－1)k C k n m m ＋k＝P (n －1，m )－m nP (n ，m )． 即P (n ，m )＝nm ＋nP (n －1，m )， 由累乘，易求得P (n ，m )＝n ！m ！(n ＋m )！＝1C n n ＋m，又Q (n ，m )＝C nn ＋m ，所以P (n ，m )·Q (n ，m )＝1.7．已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 3是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m展开式的前三项的系数．(1)求⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m展开式的中间项；(2)当n ≥2时，试比较1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n 2与13的大小．解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m ＝1＋C 1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋C 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋…＋C m m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x m，依题意a 1＝1，a 2＝12m ，a 3＝m (m －1)8，由2a 2＝a 1＋a 3，可得m ＝1(舍去)或m ＝8.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m展开式的中间项是第五项，T 5＝C 48⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4＝358x 4. (2)由(1)知，a n ＝3n －2，当n ＝2时，1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n 2＝1a 2＋1a 3＋1a 4＝14＋17＋110＝69140>13；当n ＝3时，1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n 2＝1a 3＋1a 4＋1a 5＋…＋1a 9＝17＋110＋113＋116＋119＋122＋125＝17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110＋113＋116＋⎝ ⎛⎭⎪⎫119＋122＋125 >18＋⎝ ⎛⎭⎪⎫116＋116＋116＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋132＋132 ＝18＋316＋332>18＋316＋116>13. 猜测：当n ≥2时，1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n 2>13.以下用数学归纳法加以证明： ①当n ＝2时，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，1a k ＋1a k ＋1＋1a k ＋2＋…＋1a k 2>13，则当n ＝k ＋1时，1a k ＋1＋1a (k ＋1)＋1＋1a (k ＋1)＋2＋…＋1a (k ＋1)2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a k ＋1a k ＋1＋1a (k ＋1)＋1＋1a (k ＋1)＋2＋…＋1a k 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a k 2＋1＋1a k 2＋2＋…＋1a (k ＋1)2－1a k >13＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a k 2＋1＋1a k 2＋2＋…＋1a (k ＋1)2－1a k >13＋2k ＋1a (k ＋1)2－1a k＝13＋2k ＋13(k ＋1)2－2－13k －2＝13＋(2k ＋1)(3k －2)－[3(k ＋1)2－2][3(k ＋1)2－2](3k －2) ＝13＋3k 2－7k －3[3(k ＋1)2－2](3k －2). 由k ≥3可知，3k 2－7k －3>0， 即1a k ＋1＋1a (k ＋1)＋1＋1a (k ＋1)＋2＋…＋1a (k ＋1)2>13. 综合①②，可得当n ≥2时， 1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n 2>13. 8．设|θ|<π2，n 为正整数，数列{a n }的通项公式a n ＝sin n π2·tan nθ，其前n 项和为S n .(1)求证：当n 为偶数时，a n ＝0；当n 为奇数时，a n ＝(－1)12n -tan nθ.(2)求证：对任意正整数n ，S 2n ＝12sin 2θ·[1＋(－1)n ＋1·tan 2nθ]．证明 (1)因为a n ＝sinn π2tan nθ.当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈N *)，a n ＝a 2k ＝sin 2k π2tan 2k θ＝sin k π·tan 2kθ＝0，a n ＝0.当n 为奇数时，设n ＝2k －1(k ∈N *)，a n ＝a 2k －1 ＝sin (2k －1)π2tan 2k －1θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2·tan 2k －1θ.当k ＝2m (m ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2m π－π2·tan 4m －1θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2·tan 4m －1θ＝－tan 4m －1θ，此时n －12＝2m －1，a n ＝a 2k －1＝－tan 4m －1θ＝(－1)2m －1tan 4m －1θ＝(－1)12n -tan nθ.当k ＝2m －1(m ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2m π－3π2·tan 4m －3θ ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2·tan 4m －3θ＝tan 4m －3θ，此时n －12＝2m －2，a n ＝a 2k －1＝tan4m －3θ＝(－1)2m －2tan4m －3θ＝(－1)12n -tan nθ.综上，当n 为偶数时，a n ＝0； 当n 为奇数时，a n ＝(－1)12n -tan nθ.(2)当n ＝1时，由(1)得S 2＝a 1＋a 2＝tan θ， 12sin 2θ[1＋(－1)n ＋1tan 2n θ]＝12sin 2θ(1＋tan 2θ) ＝sin θ·cos θ·1cos 2θ＝tan θ. 故当n ＝1时，命题成立．假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时命题成立， 即S 2k ＝12sin 2θ·[1＋(－1)k ＋1tan 2kθ]．当n ＝k ＋1时，由(1)得S 2(k ＋1)＝S 2k ＋a 2k ＋1＋a 2k ＋2＝S 2k ＋a 2k ＋1＝12sin 2θ·[1＋(－1)k ＋1tan 2k θ]＋(－1)k tan 2k ＋1θ＝12sin 2θ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(－1)k＋1tan2kθ＋(－1)k·2sin 2θtan2k＋1θ＝12sin 2θ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(－1)k＋2·tan2k＋2θ⎝⎛⎭⎪⎫－1tan2θ＋2sin 2θtan θ＝12sin 2θ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(－1)k＋2·tan2k＋2θ⎝⎛⎭⎪⎫－cos2θsin2θ＋1sin2θ＝12sin 2θ·[1＋(－1)k＋2·tan2k＋2θ]．即当n＝k＋1时命题成立．综上所述，对正整数n，命题成立．。
高考数学试卷附加题
一、（15分）已知函数f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d（a≠0）的图像在x轴上有一个切点A，且过点B(1, 2)。
求函数f(x)的表达式。
二、（20分）在直角坐标系中，设点P(m, n)是直线y = mx + 1与圆x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0的交点。
若点P到直线3x + 4y - 5 = 0的距离等于2，求m和n的值。
三、（25分）已知数列{an}满足an = an-1 + 2n - 1（n≥2），且a1 = 1。
求：（1）数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn = 2n - 1，求数列{an + bn}的前n项和Sn。
四、（30分）在平面直角坐标系中，已知点A(1, 2)，点B在直线y = 3x + 1上，且|AB| =2√2。
求点B的坐标。
五、（35分）已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + a，其中a为常数。
若函数f(x)在x = 1处的切线斜率为2，且f(0) = 2，求函数f(x)的解析式。
六、（40分）设数列{an}满足an = an-1 + an-2（n≥3），且a1 = 1，a2 = 2。
求：（1）数列{an}的前n项和Sn；（2）若数列{bn}满足bn = an / (an+1)，求数列{bn}的前n项和Tn。
七、（45分）已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）的图像在x轴上有一个切点A，且过点B(1, 3)。
若函数f(x)的图像与直线y = x + 2相交于点C，求a、b、c的值，并求出点C的坐标。
八、（50分）已知函数f(x) = (x - 1)^2 / (x + 2)（x ≠ -2）。
若函数f(x)在x = 1处的导数大于0，求函数f(x)的单调递增区间。
人教版新课标高中数学(新课标全国卷)高考选做题(附加题)解题技巧
人教版新课标高中数学（新课标全国卷）高考选做题（附加题）解题技巧【摘要】美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题，而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于把题目解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解题。
本文重点介绍一下选做题的技巧，希望能够对学生以及教师提供帮助。
【关键词】新课标；选做题；技巧；思维众所周知，近几年来，随着新课标的公布实施，高考数学试题十分重视选做题的考查，这部分试题特别突出能力的考查，这就需要教师有意识地培养学生应用数学思想方法分析问题解决问题，并且形成能力，提高数学素质。
第一部分技巧介绍在解答高考选做题的时候，准确找到解题的突破口，是正确解答问题的前提条件，以下介绍三种技巧。
1.直接法所谓直接法就是直接用数学定义解题。
数学中的公理、公式、性质和法则等，都是由定义与公式推导出来。
定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和解释了客观世界的本质，简单说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象，所以用定义解题是最最直接的解高考选做题的技巧。
2.寻找题目中的“隐含条件”解答数学选做题时，有的题目除了给出已知条件外，另有一些已知条件隐含在题目中，需要解题者反复弄清题意及其有关概念，认真分析已知条件，挖掘出隐含条件，再运用适当的方法完善解答。
有时找出隐含条件成为解题的突破口。
（1）条件隐含在已知条件中。
有些高考选做题出给出已知条件外，在已知条件外还包含着隐含性条件，若解题者不注意观察分析，会受局部满足感的驱使而产生错误。
（2）条件隐藏在概念中。
有些高考选做题所提供的数学概念本身就包含着隐含条件，如高考选做题三个重要内容：平面几何证明题、不等式、极坐标，这些隐含条件不依赖于题目而独立存在，因而要求解题者在理解题意的同时，还需要做到概念清晰。
（3）条件隐含在解题过程中。
有些高考选做题若选择恰当的方法，则在解答过程中会发现对问题的解决起关键作用的隐含条件，一旦挖掘出隐含条件问题迎刃而解。
高考数学试卷函数附加题
已知函数f(x) = |x| - x，其中x∈R。
现要探究函数f(x)的以下性质：（1）求函数f(x)的奇偶性；（2）求函数f(x)的值域；（3）设g(x) = 2f(x) + 1，求函数g(x)的解析式；（4）若函数h(x) = f(x) + k，其中k为常数，求k的取值范围，使得h(x)在区间[0, 2]上单调递增。
二、解答（1）求函数f(x)的奇偶性首先，我们需要了解奇偶函数的定义。
若对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数；若对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数。
现在我们来判断函数f(x)的奇偶性。
根据题目中给出的函数f(x) = |x| - x，我们可以将f(-x)代入，得到：f(-x) = |-x| - (-x) = |x| + x显然，f(-x) ≠ f(x)，且f(-x) ≠ -f(x)。
因此，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。
（2）求函数f(x)的值域由于f(x) = |x| - x，我们可以将其分为两部分来讨论：当x ≥ 0时，f(x) = x - x = 0；当x < 0时，f(x) = -x - x = -2x。
因此，函数f(x)的值域为R。
（3）求函数g(x)的解析式根据题目中给出的函数g(x) = 2f(x) + 1，我们可以将f(x)代入，得到：g(x) = 2(|x| - x) + 1根据绝对值的性质，我们可以将g(x)分为两部分来讨论：当x ≥ 0时，g(x) = 2x - 2x + 1 = 1；当x < 0时，g(x) = 2(-x) - 2x + 1 = -4x + 1。
因此，函数g(x)的解析式为：g(x) =1, x ≥ 0-4x + 1, x < 0（4）求k的取值范围由于h(x) = f(x) + k，我们需要根据f(x)的单调性来确定k的取值范围。
高考数学教案(精选6篇)
高考数学教案(精选6篇)高考数学教案篇1教学准备教学目标熟悉两角和与差的正、余公式的推导过程，提高逻辑推理能力。
掌握两角和与差的正、余弦公式，能用公式解决相关问题。
教学重难点熟练两角和与差的正、余弦公式的正用、逆用和变用技巧。
教学过程复习两角差的余弦公式用-B代替B看看有什么结果?高考数学教案篇2教学目标：1.理解流程图的选择结构这种基本逻辑结构.2.能识别和理解简单的框图的功能.3.能运用三种基本逻辑结构设计流程图以解决简单的问题.教学方法：1.通过模仿、操作、探索，经历设计流程图表达求解问题的过程，加深对流程图的感知.2.在具体问题的解决过程中，掌握基本的流程图的画法和流程图的三种基本逻辑结构.教学过程：一、问题情境1.情境：某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为其中(单位：)为行李的重量.试给出计算费用(单位：元)的一个算法，并画出流程图.二、学生活动学生讨论，教师引导学生进行表达.解算法为：输入行李的重量;如果，那么，否则;输出行李的重量和运费.上述算法可以用流程图表示为：教师边讲解边画出第10页图1-2-6.在上述计费过程中，第二步进行了判断.三、建构数学1.选择结构的概念：先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构.如图：虚线框内是一个选择结构，它包含一个判断框，当条件成立(或称条件为“真”)时执行，否则执行.2.说明：(1)有些问题需要按给定的条件进行分析、比较和判断，并按判断的不同情况进行不同的操作，这类问题的实现就要用到选择结构的设计;(2)选择结构也称为分支结构或选取结构，它要先根据指定的条件进行判断，再由判断的结果决定执行两条分支路径中的某一条;(3)在上图的选择结构中，只能执行和之一，不可能既执行，又执行，但或两个框中可以有一个是空的，即不执行任何操作;(4)流程图图框的形状要规范，判断框必须画成菱形，它有一个进入点和两个退出点.3.思考：教材第7页图所示的算法中，哪一步进行了判断?高考数学教案篇3教材分析(一)教材地位、作用《古典概型》是高中数学人教A版必修3第三章概率3.2的内容，教学安排是2课时，本节是第一课时。
江苏09高考数学附加题教学案(选修部分,40分)
江苏09高考数学附加题教学案(选修部分， 40分)一、圆锥曲线与方程内 容要 求 A B C圆锥曲线与方程 曲线与方程 √抛物线的标准方程和几何性质（顶点在坐标原点） √1、θ取一切实数时，连接A(4sin θ，6cos θ)和B(－4cos θ， 6sin θ)两点的线段的中点为M ，求点M 的轨迹．简答：轨迹为焦点在y 轴上的椭圆22x y 1818+=。
2、已知平面上一个定点C （－1，0）和一条定直线L ：x =－4，P 为该平面上一动点，作 PQ ⊥L ，垂足为Q ，(2)(2)0.PQ PC PQ PC +⋅-=（1）求点P 的轨迹方程；（2）求PQ PC ⋅ 的取值范围．解：（Ⅰ）由(2)(2)0PQ PC PQ PC +⋅-=，22||4||PQ PC = 2分设P （x ，y ），得222|4|4[(1)]x x y +=++，223412x y +=，∴ 点P 的轨迹方程为22143x y +=． 3分（Ⅱ）设P （x ，y ），(4,0)PQ x =--，(1,)PC x y =---2259(4,0)(1,)54()24PQ PC x x y x x x ⋅=--⋅---=++=+- 2分由[2,2]x ∈-，故有[2,18]PQ PC ⋅∈- 3分二、空间向量与立体几何内 容要 求 A B C 2．空间向 量与立体几何空间向量的有关概念√ 空间向量共线、共面的充分必要条件 √ 空间向量的线性运算 √ 空间向量的坐标表示 √ 空间向量的数量积 √ 空间向量的共线与垂直√ 直线的方向向量与平面的法向量 √ 空间向量的应用√1．（本小题满分12分） 如图，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈， B α∈，C β∈，CA CB =，45BAP ∠=，直线CA 和平面α所成的角为30． （I ）证明BC PQ ⊥；（II ）求二面角B AC P --的所成角的余弦值．（Ⅲ）在线段AC 上是否存在一点M 使得直线BM 与平面β所成角为6π。
高考数学二轮复习 专题17附加题21题学案
专题17附加题21题回顾2009～2012年的高考考题，附加题选做四选二中分别考查几何证明选讲、极坐标与参数方程、矩阵与变换、不等式选讲这四个内容，要求考生从中选择两个来完成，每题10分，难度不是很大，但是要求考生对所学知识点熟练掌握.[典例1](2012·江苏高考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.[解] 证明：如图，连结AD.∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°.∴AD⊥BD.又∵BD＝DC，∴AD是线段BC的中垂线．∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.又∵D，E为圆上位于AB异侧的两点，∴∠B＝∠E.∴∠E＝∠C.(1)本题利用中间量代换的方法证明∠E＝∠C，一方面考虑到∠B和∠E是同弧所对圆周角相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到∠B＝∠C.(2)本题还可连结OD，利用三角形中位线来证明∠B＝∠C.[演练1](2012·泰州期末)已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC 的外接圆于点F，连结FB，FC.(1)求证：FB ＝FC ；(2)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝33，求AD 的长． 解：(1)证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC . ∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC . ∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ， ∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC .(2)∵AB 是圆的直径，∴∠ACD ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠D ＝30°.在Rt △ACB 中，∵BC ＝33，∠BAC ＝60°，∴AC ＝3. 又在Rt △ACD 中，∠D ＝30°，AC ＝3，∴AD ＝6. [典例2](2012·江苏高考)已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12 －12，求矩阵A 的特征值．[解] ∵A －1A ＝E ，∴A ＝(A －1)－1.∵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12 －12，∴A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321.∴矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，解得矩阵A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.由矩阵A 的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A ，从而可求出矩阵A 的特征值． [演练2](2012·泰州期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .解：由题意得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1，∵AX ＝B ，∴X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1.[典例3](2012·江苏高考)在极坐标中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程[解] ∵圆C 圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，∴在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1.∴圆C 的圆心坐标为(1,0)． ∵圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，∴圆C 的半径为PC ＝22＋12－2×1×2cos π4＝1.∴圆C 经过极点，∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.求圆的方程的关键是求出圆心坐标和圆的半径． [演练3](2012·南通二模)在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与圆C 2相切，求实数a 的值．解：C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝8， 圆心C 1(2,2)，半径r 1＝2 2.C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心C 2(－1，－1)，半径r 2＝|a |. ∴圆心距C 1C 2＝3 2.两圆外切时，C 1C 2＝r 1＋r 2＝22＋|a |＝32，a ＝±2； 两圆内切时，C 1C 2＝|r 1－r 2|＝|22－|a ||＝32，a ＝±5 2.综上，a ＝±2或a ＝±5 2. [典例4](2012·江苏高考)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518.[证明] ∵3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，∴3|y |<13＋16＝56.∴|y |<518.解决本题的关键是用(x ＋y )和(2x －y )表示y . [演练4](2012·南通二模)已知x ，y ，z 均为正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.证明：因为x ，y ，z 都为正数， 所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z. 同理，可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. [专题技法归纳](1)几何证明选讲主要考查直线与圆的相切关系，弦切角定理是沟通角的桥梁，解决与圆有关的线段问题常利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理，并结合三角形相似等知识；(2)矩阵与变换主要考查变换、矩阵的特征值与特征向量、逆矩阵、二阶矩阵的乘法；(3)极坐标与参数方程主要考查参数方程与普通方程的互化及应用参数方程求最值、范围等问题； (4)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号化为不含绝对值的不等式，其过程体现了分类讨论思想的应用．1.(2012·苏北四市三模)如图，圆O 的直径AB ＝4，C 为圆周上一点，BC ＝2，过C 作圆O 的切线l ，过A 作l 的垂线AD 分别与直线l ，圆O 交于点D ，E ，求线段AE 的长．解：在Rt △ABC 中，因为AB ＝4，BC ＝2，所以∠ABC ＝60°， 因为l 为过C 的切线，所以∠DCA ＝∠CBA ， 所以∠DCA ＝∠ABC ＝60°. 又因为AD ⊥DC ，所以∠DAC ＝30°.在△AOE 中，因为∠EAO ＝∠DAC ＋∠CAB ＝60°，且OE ＝OA ， 所以AE ＝AO ＝12AB ＝2.2.如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，求证：∠PDE ＝∠POC .证明：因AE ＝AC ，AB 为直径， 故∠OAC ＝∠OAE . 所以∠POC ＝∠OAC ＋∠OCA ＝∠OAE ＋∠OAC ＝∠EAC .又∠EAC ＝∠PDE ，所以∠PDE ＝∠POC .3．(2012·扬州期末)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 26的特征值和特征向量．解：f (λ)＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)， 由f (λ)＝0，可得λ1＝7，λ2＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧＋x －4y ＝0，－2x ＋－y ＝0可得属于λ1＝7的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.由⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x －4y ＝0，－2x ＋－2－y ＝0可得属于λ1＝－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－1.4．(2012·南通二模)已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 5β. 解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－1＝λ2－2λ－3.令f (λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得它们对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.令β＝m α1＋n α2，所以求得m ＝4，n ＝－3.M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2)＝4(λ51α1)－3(λ52α2)＝4·35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3(－1)5⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤975969. 5．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤112 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β. 解：∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，∴A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 121⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A 2α＝β⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2y 4x ＋3y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2. 6．已知P (x ，y )是椭圆x 24＋y 2＝1上的点，求M ＝x ＋2y 的取值范围．解：∵x 24＋y 2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)∴设P (2cos θ，sin θ)．∴M ＝x ＋2y ＝2cos θ＋2sin θ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∴M ＝x ＋2y 的取值范围是[－22，2 2 ]．7．(2012·泰州期末)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋1(t 为参数)，求直线l 被曲线C 截得的线段长度．解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2－6y ＝0，即x 2＋(y －3)2＝9，它表示以(0,3)为圆心，3为半径的圆． 直线方程l 的普通方程为y ＝3x ＋1， 圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|3－1|3＋1＝1，故直线l 被曲线C 截得的线段长度为232－12＝4 2. 8．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy的O 点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.(1)求直线l 的倾斜角；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB . 解：(1)设直线l 的倾斜角为θ，则⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝12，sin θ＝32且θ∈[0，π)，∴θ＝π3，即直线l 的倾斜角为π3.(2)l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22， ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的直角坐标方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －222＝1，∴圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22到直线l 的距离d ＝64，∴AB ＝102. 9．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －y ＋1|的最大值． 解：法一：|x －y ＋1|＝|(x －1)－(y －2)|≤|x －1|＋|y －2|≤2. 当且仅当x ＝2，y ＝3或x ＝0，y ＝1时，取等号． ∴|x －y ＋1|的最大值为2. 法二：∵|x －1|≤1，∴0≤x ≤2. ∵|y －2|≤1，∴1≤y ≤3. ∴－3≤－y ≤－1. ∴－2≤x －y ＋1≤2. ∴|x －y ＋1|的最大值为2.10．若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值． 解：因为正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥(1＋1＋1)2，即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1， 当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，原式取最小值1.。
加分技巧高中数学教案
加分技巧高中数学教案
学科：数学
年级：高中
课时：1课时
教学目标：
1.了解高中数学加分技巧的重要性。
2.掌握常见加分技巧的应用方法。
3.提高解题效率和准确性。
教学重点：
1.了解高中数学加分技巧的应用范围。
2.掌握常见加分技巧的应用方法。
教学难点：
1.灵活运用加分技巧解题。
2.提高解题效率和准确性。
教学准备：
1.教学课件。
2.练习题目。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师向学生介绍高中数学中的加分技巧并解释其重要性，激发学生学习的兴趣。
二、讲解（15分钟）
1.解释常见加分技巧的应用方法，如因式分解、化简运算等。
2.通过练习题目演示加分技巧的运用。
三、练习（20分钟）
学生自主练习，教师进行辅导和指导，帮助学生掌握加分技巧的运用方法。
四、总结（10分钟）
教师对本节课内容进行总结，强调加分技巧的重要性和应用方法。
五、作业布置（5分钟）
布置相关练习题目作业，巩固学生的学习成果。
教学反思：
本节课主要是针对高中数学中的加分技巧进行讲解和练习，通过实际操作提高学生的解题效率和准确性。
在教学过程中，需要灵活运用不同的加分技巧，激发学生的学习兴趣，帮助他们更好地掌握数学知识。
在以后的教学中，可以结合实际问题和案例进行讲解，增强学生的应用能力和解决问题的能力。
高中数学逐题讲解教案模板
高中数学逐题讲解教案模板
主题：函数与方程
教学目标：通过本节课学习，学生能够掌握函数与方程相关的基本概念，并能够运用所学
知识解决相关问题。
一、导入（5分钟）
引导学生回顾上节课学习内容，激发学生对函数与方程的兴趣，引入本节课的学习内容。
二、讲解与示范（15分钟）
1. 介绍函数与方程的定义及相关概念；
2. 讲解函数与方程的基本性质；
3. 示范几道相关的例题，让学生理解并掌握解题方法。
三、练习与训练（20分钟）
1. 布置一些练习题，让学生尝试解题；
2. 对学生进行辅导和指导，纠正他们在解题过程中的错误。
四、深化与拓展（10分钟）
1. 提出一些拓展问题，让学生思考并解答；
2. 对部分学生的答案进行点评和讨论，引导学生深化对函数与方程的理解。
五、总结与反思（5分钟）
1. 总结本节课的重点知识；
2. 让学生进行反思，回顾本节课学习过程，提出问题或建议。
追踪反馈：随堂作业布置一定数量的习题，并鼓励学生课后主动练习。
教学评价：通过课堂表现、作业完成情况以及随堂习题的答题情况来评价学生的学习效果，及时发现学生存在的问题并加以解决。
2021-2022年高考数学第2部分必考补充专题突破点20排列组合、二项式定理教学案
2021年高考数学第2部分必考补充专题突破点20排列组合、二项式
定理教学案
提炼1 求解排列、组合问题的基本原则
(1)特殊优先原则，问题中涉及特殊元素或特殊位置的，求解时优先考虑特殊元素或
特殊位置．
(2)先取后排原则，问题中涉及既要取出元素又要对取出的元素进行排列时，先完整
地把需要排列的元素取出后再进行排列．
(3)正难则反原则，直接求解困难时，采用间接的方法．
(4)先分组后分配原则，在分配问题中，如果被分配的元素多于位置，应先进行分组，
再进行分配.
提炼2 求解排列、组合问题常用的解题方法
(1)元素相邻的排列问题——“捆绑法”．
(2)元素相间的排列问题——“插空法”．
(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”．
(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”.
提炼3 二项展开式的通项
通项T r＋1＝C r n a n－r b r是指(a＋b)n的展开式中的第r＋1项，而非第r项，其中n∈N*，r ＝0,1，…，n，且r≤n，若n，r一旦确定，则展开式中的指定项也就确定，通常用来求二项展开式中任意指定的项或系数，如常数项或x n的系数．
实用文档。
新高考数学经典题讲解教案
新高考数学经典题讲解教案教案标题：新高考数学经典题讲解教案教学目标：1. 通过讲解新高考数学经典题，帮助学生理解和掌握数学知识点。
2. 提高学生解题能力和应对新高考数学考试的能力。
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学内容：1. 选择一到两个新高考数学经典题，结合相关知识点进行讲解。
2. 分析题目的解题思路和方法，引导学生理解解题过程。
3. 强调解题的关键步骤和技巧，帮助学生掌握解题方法。
4. 给予学生大量的练习机会，巩固所学知识。
教学步骤：引入：1. 创设情境，引发学生对数学题目的兴趣。
2. 提出一个新高考数学经典题，引导学生思考解题思路。
讲解：1. 分析题目，解释题目中的关键概念和要求。
2. 介绍解题的基本思路和方法。
3. 逐步讲解解题过程，注重解题的关键步骤和技巧。
4. 引导学生参与解题过程，让学生积极思考和提问。
练习：1. 给予学生一些类似的练习题，让学生独立解题。
2. 监督学生的解题过程，及时给予指导和纠正。
3. 鼓励学生互相交流和讨论解题思路，促进合作学习。
总结：1. 总结本节课的重点内容和解题方法。
2. 强调解题的思维方式和技巧，鼓励学生在以后的学习中运用。
3. 鼓励学生自主学习和探索更多数学经典题目。
教学评价：1. 观察学生在课堂上的表现，包括解题的准确性和速度。
2. 收集学生的解题过程和思考记录，分析学生的解题思路和方法。
3. 给予学生及时的反馈和评价，鼓励他们在解题中不断改进。
教学资源：1. 新高考数学经典题目集。
2. 相关的教学课件和多媒体资源。
3. 练习题集和答案解析。
教学延伸：1. 鼓励学生在课后继续做相关的练习题，巩固所学知识。
2. 提供更多的数学经典题目，让学生拓展解题思路和能力。
3. 组织数学讲解竞赛或小组讨论活动，培养学生的合作和竞争意识。
今年高考数学试卷附加题
一、题目：函数与几何的综合应用（满分20分）阅读下列材料，完成下列各题：某城市计划在市中心修建一座大型购物中心，该购物中心位于城市的中心区域，周边交通便利。
为方便市民出行，购物中心拟采用环形道路进行交通规划。
环形道路的半径为500米，道路中心设有一个圆形广场，广场的半径为100米。
（1）设环形道路的圆心为O，广场的圆心为A。
现从O点出发，以OA为直径，在环形道路上画一个半圆，求该半圆的面积。
（6分）（2）设环形道路上任意一点P的坐标为（x，y），其中x≥0，y≥0。
求函数f（x）=x²+500²-2×500×x+100²的值域。
（8分）（3）设点P在环形道路上，其坐标为（x，y）。
若点P到点A的距离为√（x²+y²），求函数g（x）=√（x²+y²）的最大值。
（6分）二、解答：（1）解：以OA为直径的半圆的半径为250米，面积为：S = π×250²/2 = 3.14×250²/2 = 19625（平方米）。
（2）解：函数f（x）=x²+500²-2×500×x+100²可以化简为：f（x）=（x-250）²+100²-250²f（x）=（x-250）²+100²-62500由于（x-250）²≥0，所以f（x）的最小值为100²-62500=10000-62500=-52500又因为x≥0，所以f（x）的值域为[-52500，+∞）。
（3）解：函数g（x）=√（x²+y²）表示点P到点A的距离，即g（x）=√（x²+（500-y）²）。
由于y≥0，所以500-y≤500，即（500-y）²≤500²。
高三数学试题练习题教案
高三数学试题练习题教案本教案将介绍一套高三数学试题练习题，帮助学生在备战高考的过程中更好地掌握数学知识和解题技巧。
以下是具体的试题内容以及相应的解题思路和讲解。
第一题：函数 f(x) = 2x - 3，求函数 f(x) 的单调递增区间。
解题思路和讲解：首先，我们需要判断这个函数的单调性。
根据函数的一次函数定义，我们可以知道当系数大于0时，函数单调递增，在本题中，系数为2，所以函数 f(x) 是单调递增函数。
其次，我们需要求出该函数的单调递增区间。
我们将 f(x) = 2x - 3 中等号两侧都加上3，得到 f(x) + 3 = 2x。
然后我们将方程两边除以2，得到 (f(x) + 3) / 2 = x。
所以，当 x 大于等于 (f(x) + 3) / 2 时，函数 f(x) 是单调递增的。
因此，单调递增区间为[ (f(x) + 3) / 2, +∞ )。
第二题：已知函数 f(x) 的定义域为实数集合 R，然而函数 g(x) 的定义域为正实数集合 R+。
若 f(x) = x^2 + 1，求 g(f(x))。
解题思路和讲解：我们首先计算出 f(x) = x^2 + 1，然后将其代入g(x) 中（注意，g(x) 的定义域为正实数集合 R+，所以 f(x) 必须保证是正实数）。
因此，我们需要保证 x^2 + 1 大于0。
根据平方根的性质，我们知道平方根的结果总是非负的，所以 x^2 大于等于0。
因此， x^2 + 1 大于等于1，即 f(x) 大于等于1。
所以，我们需要保证 x^2 大于等于0，即 x 属于实数集合 R。
综上所述，当 x 属于实数集合 R 时，g(f(x)) 的解为 g(x)。
所以 g(f(x)) 等于 x^2 + 1。
第三题：已知等差数列 {an} 的前三项分别为 a，b，c，并且满足 a+ c = b。
若 a = 3，b = 5，则求数列 {an} 的通项公式。
解题思路和讲解：首先，我们根据等差数列的性质，知道第 n 项与公差（差数）有关，而 a、b、c 是前三项，所以我们可以利用这些已知量来求解公差。
高三数学试卷逐题讲解教案
课时：1课时教学目标：1. 帮助学生梳理高三数学试卷中的重点题型和解题方法。
2. 培养学生的解题思路和答题技巧。
3. 提高学生的数学成绩。
教学重点：1. 高三数学试卷中的重点题型和解题方法。
2. 解题思路和答题技巧。
教学难点：1. 复杂题型的解题思路和答题技巧。
2. 学生对解题方法的灵活运用。
教学过程：一、导入1. 回顾高三数学学习过程中遇到的问题和困惑。
2. 引出本次讲解的重点内容：高三数学试卷中的重点题型和解题方法。
二、讲解1. 选择题（1）讲解选择题的解题技巧，如排除法、代入法等。
（2）分析典型选择题的解题思路，让学生学会如何快速找到解题关键。
2. 填空题（1）讲解填空题的解题方法，如公式法、代入法等。
（2）分析典型填空题的解题思路，让学生学会如何准确找到答案。
3. 解答题（1）讲解解答题的解题步骤，如审题、分析、解答、检查等。
（2）分析典型解答题的解题思路，让学生学会如何将解题思路转化为解题步骤。
4. 综合题（1）讲解综合题的解题方法，如分步法、归纳法等。
（2）分析典型综合题的解题思路，让学生学会如何将多个知识点串联起来解题。
三、练习1. 学生独立完成一道高三数学试卷中的典型题目，教师巡视指导。
2. 学生互相交流解题思路，共同提高。
四、总结1. 总结本次讲解的重点内容，强调解题思路和答题技巧的重要性。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
教学反思：1. 通过本次讲解，学生是否掌握了高三数学试卷中的重点题型和解题方法？2. 学生在解题过程中是否能够灵活运用所学知识？3. 教师是否能够及时发现并解决学生在解题过程中遇到的问题？教学评价：1. 学生在课后作业中的完成情况。
2. 学生在模拟考试中的成绩。
3. 学生对本次讲解的满意度。
2020高三数学 附加题速成教材1素材 理
2020高三理科班数学附加题速成教材1（一）基础知识参数极坐标1.极坐标定义：M是平面上一点，ρ表示OM的长度，θ是MOx∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。
2.常见的曲线的极坐标方程（1）直线过点M00(,)ρθ,倾斜角为α常见的等量关系：正弦定理sin sinOP OMOMP OPM=∠∠，OMPπαθ∠=-+OPMαθ∠=-；（2）圆心P00(,)ρθ半径为R的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理；（3）圆锥曲线极坐标：1cosepeρθ=-，当1e>时，方程表示双曲线；当1e=时，方程表示抛物线；当01e<<时，方程表示椭圆.提醒：极点是焦点，一般不是直角坐标下的坐标原点。
极坐标方程324cosρθ=-表示的曲线是双曲线3.参数方程：（1）圆222()()x a x b r-+-=的参数方程：cos,sinx a r x b rθθ-=-=（2）椭圆22221x ya b+=的参数方程：cos,sinx a x bθθ==（3）直线过点M00(,)x y,倾斜角为α的参数方程：0tany yx xα-=-即00cos sinx x y ytθθ--==，即0cossinx x ty y tαα=+⎧⎨=+⎩注：0cosx xtθ-=，0siny ytθ-=据锐角三角函数定义，t的几何意义是有向线段MPu u u r的数量；如：将参数方程222sin(sinxyθθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)化为普通方程为2(23)y x x=-≤≤将2sinyθ=代入22sinxθ=+即可，但是20sin1θ≤≤；如：直线122(112x tty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被圆224x y+=截得的弦长为____直线为10x y+-=22d222142()2-144. 极坐标和直角坐标互化公式：cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan(0)x yyxxρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合.（2）将点(,)ρθ变成直角坐标(cos ,sin )ρθρθ，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。
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江苏08高考数学附加题教学案(选修部分， 40分)一、圆锥曲线与方程1、θ取一切实数时，连接A(4sin θ，6cos θ)和B(－4cos θ， 6sin θ)两点的线段的中点为M ，求点M 的轨迹．简答：轨迹为焦点在y 轴上的椭圆22x y 1818+=。
2、已知平面上一个定点C （－1，0）和一条定直线L ：x =－4，P 为该平面上一动点，作 PQ ⊥L ，垂足为Q ，(2)(2)0.PQ PC PQ PC +⋅-=（1）求点P 的轨迹方程；（2）求P Q P C ⋅的取值范围．解：（Ⅰ）由(2)(2)0PQ PC PQ PC +⋅-=，22||4||PQ PC = 2分设P （x ，y ），得222|4|4[(1)]x x y +=++，223412x y +=，∴ 点P 的轨迹方程为22143x y +=． 3分 （Ⅱ）设P （x ，y ），(4,0)P Q x =--，(1,)PC x y =---2259(4,0)(1,)54()24PQ PC x x y x x x ⋅=--⋅---=++=+- 2分由[2,2]x ∈-，故有[2,18]PQ PC ⋅∈- 3分二、空间向量与立体几何1．（本小题满分12分） 如图，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈， B α∈，C β∈，CA CB =，45BAP ∠=，直线CA 和平面α所成的角为30．（I ）证明BC PQ ⊥；（II ）求二面角B AC P --的所成角的余弦值．（Ⅲ）在线段AC 上是否存在一点M 使得直线BM 与平面β所成角为6π。
证明：（1）因为αβ⊥，CO PQ ⊥，PQ αβ=，所以CO α⊥，又因为CA CB =，所以OA OB =．而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=OC OA ⊥，OC OB ⊥，OAOB ⊥ ……………………………4分（2）O 为原点，分别以直线OB OA OC ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）．因为CO a ⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO∠=． 不妨设2AC =，则AO 1CO =． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=， 所以BO AO ==则相关各点的坐标分别是(000)O ，，，0)B ，，(0A ，(001)C ，，，OA=（0，3，0） 所以(3AB =，，(0AC =．=（3-，0,1）………6分设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00z =+=⎪⎩，取1x =，得1n =．………8分ABCQαβ P Q易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量． ………10分 设二面角B AC P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<>，．所以1212cos ||||51n n n n θ===⨯B-AC-P 所成角的余弦值为552．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，M 、N分别是A 1B 1，A 1A 的中点，（1）求; （2）求;,cos 11的值><CB BA（3）.:11M C B A ⊥求证（14分）解：（1）以射线oz oy ox CC ,,,,1分别为建立坐标系， ……1分 则B （0，1，0）(1,0,1),N||(1BN ∴=……4分1111(2)(1,0,2)(0,1,2),(0,0,0)(1,1,2),(0,1,2),A B C BACB ∴=-=111111cos ,||||10BA CB BA CB BA CB ⋅∴<>=⋅== ……7分11111111111(3)(0,0,2),(,,2)(,,0),(1,1,2)222211(1)10(2)022C M C M A B C M A B A B C M∴==--⋅=⨯-+⨯+⨯-=∴⊥……10分3、右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA=，12BB =，13CC =． （1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小； （3）求此几何体的体积．11解法一：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ． 则11OD BB CC ∥∥． 因为O 是AB 的中点，所以1111()32OD AA BB CC =+==．则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥． 1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ，则OC ∥面111A B C ．（2）如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ． 作22BH A C ⊥于H ，连CH ．因为1CC ⊥面22BA C ，所以1CC BH ⊥，则BH ⊥平面1AC ．又因为AB =BC =222AC AB BC AC ⇒=+．所以BC AC ⊥，根据三垂线定理知CH AC ⊥，所以BCH ∠就是所求二面角的平面角．因为BH =，所以1sin 2BH BCH BC ==∠，故30BCH =∠， 即：所求二面角的大小为30．（3）因为BH =，所以222211121(12)23322B AAC C AA C C V S BH -==+=．1112211111212A B C A BC A B C V S BB -===△．所求几何体体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=． 解法二：（1）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．易知，(001)n =，，是平面111A B C 的一个法向量．因为0OC n =，OC ⊄平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ． （2）(012)AB =--，，，(101)BC =，，， 设()m x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则11A 21x则0AB m =，0BC m =得：200y z x z --=⎧⎨+=⎩取1x z =-=，(121)m =-，，．显然，(110)l =，，为平面11AAC C 的一个法向量．则cos 22m l m l m l===⨯，，结合图形可知所求二面角为锐角． 所以二面角1B AC A --的大小是30．4（10分）、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB =1BC =，2PA =， 为PD 的中点.（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出点N 到AB 和AP的距离.解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,A B C D P E 的坐标为(0,0,0)A 、B 、,0)C 、(0,1,0)D 、(0,0,2)P 、1(0,,1)2E ，从而).2,0,3(),0,1,3(-== 设与的夹角为θ，则,1473723||||cos ==⋅=PB AC θ∴AC 与PB 所成角的余弦值为1473. （Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为(,0,)x z ，则)1,21,(z x --=，由NE ⊥面PAC 可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴⎪⎩⎪⎨⎧==163z x 即N点的坐标为)1,0,63(，从而N 点到AB 和AP 的距离分别为. 三、导数与应用1．（本小题满分8分）求曲线249y x x =-+及直线3y x =+所围封闭区域的面积．解方程组2493y x x y x ⎧=-+⎨=+⎩，得25x y =⎧⎨=⎩或36x y =⎧⎨=⎩，∴面积3323222151(349)(6)326S x xx d x xx x =+-+-=-+-=⎰22、已知[](]⎩⎨⎧∈+-∈+=4,2,12,2,12)(2x x x x x f ，求k 的值，使340)(3=⎰dx x f k2、如图，过点A (6，4)作曲线()f x =l ．（1）求切线l 的方程； （2）求切线l ，x 轴及曲线所围成的封闭图形的面积S ．2、解：（1）∵()f x '=，∴1(6)2f '=，∴切线l 的方程为：14(6)2y x -=-，即材112y x =+．（2）令()f x ，则x =2．令112y x =+=0，则x = -2。
∴A=6221(1)2x dx -+-⎰⎰=3226611()(48)2246x x x +---=163．四、推理与证明1．已知数列{}n a 满足11a =，且11429n n n n a a a a ++-+=（n N ∈+） （1）求123,,a a a 的值（2）由（1）猜想{}n a 的通项公式，并给出证明。
解：（1）由11429n n n n a a a a ++-+=得1921244n n n n a a a a +-==---， 求得23471319,,357a a a === ……3分 （2）猜想6521n n a n -=- ……5分证明：①当n=1时，猜想成立。
……6分②设当n=k 时()k N ∈+时，猜想成立，即6521k k a k -=-， ……7分 则当n=k+1时，有111616(1)522654212(1)1421k k k k a k a k k k +++-=-=-==--++---， 所以当n=k+1时猜想也成立 ……9分 ③综合①②，猜想对任何n N ∈+都成立。
……10分 2、已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a 0111,(4),.2n n n a a a a n N +==⋅-∈ （1）求12,a a ；（2）证明12,n n a a n N +<<∈． 解：（1）010*********1,(4),(4),2228a a a a a a a ==-==-= 4分 方法一 用数学归纳法证明：1°当n=0时，0131,,2a a ==∴210<<a a ，命题正确． 2°假设n =k 时有.21<<-k k a a则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时 11111112()()()()(4).22k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a -----=---+=---而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a ∴1+=k n 时命题正确． 由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 6分 方法二：用数学归纳法证明：1°当n=0时，0131,,2a a ==∴2010<<<a a ； 2°假设n =k 时有21<<-k k a a 成立，令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设 有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有。