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上海徐汇区教师进修学院附属实验中学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试(包含答案解析)

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人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试题(答案解析)(1)

人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试题(答案解析)(1)

一、选择题1．下列命题中，正确的是（ ）A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．若直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率k的取值范围是(,[1,)-∞⋃+∞ D ．当直线的倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，直线的斜率在这个区间上单调递增. 2．1m =-是直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知(,0)A a ，(3,0)B a +，直线1x =上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，则a 的值为（ ）A ．6-B ．2-或6C ．2或6-D ．2-4．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ）A ．5270x y -+=B ．310x y +-=C ．3240x y -+=D ．230x y --= 5．已知直线1:210l ax y +-=2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则a 的值为（ ） A ．4± B ．－4C ．4D ．2± 6．已知圆C ：()()22232++-=x y ，从点()1,3P 发出的光线，经直线1y x =+反射后，光线恰好平分圆C 的周长，则入射光线所在直线的斜率为（ ）A ．2-B ．12-C ．4-D ．14- 7．过点P (1，2)引直线使两点A (2，3)､B (4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（ ） A ．4x +y -6=0B ．x +4y -6=0C ．2x +3y -7=0或x +4y -6=0D ．4x +y -6=0或3x +2y -7=08．111222(,),(,)P a b P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ） A ．无论12,,k P P 如何，总是无解B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解C ．存在12,,k P P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解 D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解9．直线l ：230kx y --=与圆C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，若ABC的周长为4+k 的值为（ ）A ．32B ．32-C ．32±D ．12± 10．曲线214y x 与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点，则k 的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎤⎥⎝⎦ C ．53,124 D ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭ 11．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点()20A ，处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A 1B ．1C ．D 12．若圆()2220x y rr +=>上仅有4个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（ ）A ．)1,+∞B．)1-C ．()1-D ．()1 二、填空题13．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A -，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是___________.14．设()11,M x y 、()22,N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by c ax by cδ++=++，以下命题中正确的序号为__________． （1）存在实数δ，使得点N 在直线l 上；（2）若1δ=，则过M 、N 的直线与直线l 平行；（3）若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；（4）若1δ>，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交； 15．已知直线l经过点(2,1)，且和直线30x --=的夹角等于30，则直线l 的方程是_________．16．已知点P 是直线:3120l x y +-=上的一点，过P 作圆22(2)1x y -+=的切线，切点为A ，则切线长||PA 的最小值为__________.17．以(1,3)N 为圆心，并且与直线3470x y --=相切的圆的方程为__________． 18．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab≠0，则2211a b +的最小值为___________ 19．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A -，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在一点M 满足2=MA MO ，则实数a 的取值范围是__________．20．已知圆C ：222x y +=，点P 为直线136x y +=上的一个动点，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则原点O 到直线AB 距离的最大值是______. 三、解答题21．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=，其中m R ∈.（1）当m 变化时，求点()3,4Q 到直线的距离的最大值；（2）若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求AOB 面积的最小值及此时的直线方程.22．已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=．（1）求证:对任意的m R ∈，直线l 与圆 C 恒有两个交点;（2）设l 与圆 C 相交于,A B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．23．设函数()f z 对一切实数m ，n 都有()()(21)f m n f n m m n +-=++成立，且(1)0f =，(0)f c =，圆C 的方程是22(1)()9x y c +++=.（1）求实数c 的值和()f z 的解析式；（2）若直线220ax by -+=（0a >，0b >）被圆C 截得的弦长为6，求4a b ab +的最小值.24．已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（1）求圆C 的方程；（2）直线4y kx =-与圆C 交于不同的M ，N 两点，且120MCN ∠=︒，求直线l 的斜率；（3）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.25．根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点()3,4-，且在两坐标轴上的截距之和为12；（2）直线m ：3260x y --=关于直线l ：2310x y -+=的对称直线m '的方程． 26．若过点P 的两直线1l ，2l 斜率之积为()0λλ≠，则称直线1l ，2l 是一组“P λ共轭线对”. （1）若直线1l ，2l 是一组“3O -共轭线对”，当两直线夹角最小时，求两直线倾斜角； （2）若点()0,1A ，()1,0B -，()1,0C 分别是直线PQ ，QR ，RP 上的点（A ，B ，C ，P ，Q ，R 均不重合），且直线PR ，PQ 是一组“1P 共轭线对”，直线QP ，QR 是一组“4Q 共轭线对”，直线RP ，RQ 是一组“9R 共轭线对”，求点P 的坐标；（3）若直线1l ，2l 是一组“2M -共轭线对”，其中点(1,M -，当两直线旋转时，求原点到两直线距离之积的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据直线斜率与倾斜角存在的关系tan k α=对每个选项逐一分析，需要注意直线有倾斜角但不一定有斜率.【详解】 倾斜角的范围为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k <，故A 错误；直线的倾斜角=2πα时，直线斜率不存在，故B 错误；直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率tan k α=的范围为(,[1,)-∞⋃+∞，故C 正确；斜率tan k α=在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭和2,23ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，故D 错误. 故选：C.【点睛】 关于直线的倾斜角与直线斜率之间的关系需要注意：（1）当直线倾斜角为=2πα时，直线的斜率不存在；（2）倾斜角的范围为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，直线斜率随着倾斜角增大而增大；倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k <，直线斜率随着倾斜角增大而增大； （3）利用倾斜角的范围研究斜率的范围，或者利用斜率的范围研究倾斜角的范围，需要利用函数tan k α=分析定义域与值域的关系.2．A解析：A【分析】因为直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直，所以0m =或1m =-，再根据充分必要条件的定义判断得解.【详解】因为直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直，所以23(21)0,220,0m m m m m m ⨯+-⨯=∴+=∴=或1m =-.当1m =-时，直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直；当直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直时，1m =-不一定成立. 所以1m =-是直线()2110mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】方法点睛：充分必要条件的常用的判断方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件选择合适的方法求解.3．B解析：B【分析】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()2214x a y -++=，则本题等价于直线1x =与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()()2222344x a y x a y --+=-+， 整理可得()2214x a y -++=，则直线1x +=上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，等价于直线1x =与圆()2214x a y -++=相切，2=，解得2a =-或6. 故选：B.【点睛】 关键点睛：解决本题的关键是将题转化为直线31x y +=与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解. 4．A解析：A【分析】根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求方程即可.【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径，则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ，则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，由两点是方程得''A D 直线方程为：436413y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.5．B解析：B【分析】由12l l //可得280,a a ⨯-⨯=解得4a =±，然后再检验,得出答案.【详解】因为12l l //，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±.当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去.当4a =-时，符合题意.所以4a =-.故选：B【点睛】易错点睛：已知直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行求参数的值时，除了要计算12210a b a b -=，还一定要把求出的参数值代入原直线方程进行检验，看直线是否重合.本题就是典型例子，否则容易出现错解，属于中档题6．C解析：C【分析】根据光路可逆，易知圆心()2,3C -关于直线1y x =+的对称点M ，在入射光线上，由此可求得结果.【详解】圆C ：()()22232++-=x y ，圆心为()2,3C -， 由已知，反射光线经过()2,3C -，故C 点关于直线1y x =+的对称点M 在入射光线上．设(),M a b ，则31232122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，即()2,1M -， 且光源()1,3P ，所以入射光线的斜率13421k --==--， 故选：C.【点睛】关键点点睛：（1）由光线恰好平分圆C 的周长，得出所在直线经过圆心；（2）入（反）射光线关于反射面的对称直线即为反（入）射光线. 7．D解析：D当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程.【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，∵直线l 与两点A (2，3)， B (4，-5）的距离相等，=解得4k =-或32k =- .:.直线l 的方程为4420x y --++=或332022x y --++= 整理，得：460x y +-=或3270x y +-= 故选：D【点睛】解决本题要注意设直线方程时，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，然后根据点到直线的距离相等即可求解.8．B解析：B【分析】由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定1221a b a b -是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解．【详解】由题意112211b ka b ka =+⎧⎨=+⎩，则1221122112(1)(1)a b a b a ka a ka a a -=+-+=-， ∵直线1y kx =+的斜率存在，∴12a a ≠，120a a -≠，∴方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解．A ，D 错误，B 正确； 若12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则11222121a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点1122(,),(,)a b a b 在直线21x y +=，即1122y x =-+上，但已知这两个在直线1y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴12x y =⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C 错误． 故选：B ．本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键．9．A解析：A【分析】先根据半径和周长计算弦长AB =即可.【详解】圆C ：()()22124x y -++=中，圆心是()1,2C -，半径是2r ，故ABC的周长为4+24r AB +=+AB =又直线与圆相交后的弦心距d ==， 故由2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()221434k k +=++，解得32k . 故选：A.【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.10．C解析：C【分析】 曲线214y x 表示半圆，作出半圆，直线过定点(2,4)，由直线与圆的位置关系，通过图形可得结论． 【详解】 曲线214y x 是半圆，圆心是(0,1)C ，圆半径为2，直线(2)4y k x =-+过定点(2,4)P ，作出半圆与过P 的点直线，如图，PD2=，解得512k =，即512PD k =， (2,1)A -，4132(2)4PA k -==--， ∴53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合思想是解题关键，由于题中曲线是半圆，因此作出图形，便于观察得出结论．11．B解析：B【分析】先求出点A 关于直线4x y +=的对称点'A ，点'A 到圆心的距离减去半径即为最短．【详解】解：设点A 关于直线4x y +=的对称点(,)A a b '，'2AA b k a =-，AA '的中点为2,22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，故122422b a a b ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得4a =，2b =， 要使从点A 到军营总路程最短，即为点f A 到军营最短的距离，即为点'A 和圆上的点连线的最小值，为点'A 和圆心的距离减半径，“将军饮马”的最短总路程为4161251+-=-，故选：B 【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．12．A解析：A 【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与222x y r +=有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r 的取值范围． 【详解】解：作出到直线20x y --=的距离为1的点的轨迹，得到与直线20x y --=平行， 且到直线20x y --=的距离等于1的两条直线， 圆222x y r +=的圆心为原点， 原点到直线20x y --=的距离为22d ==，∴两条平行线中与圆心O 距离较远的一条到原点的距离为21d '=+，又圆222(0)x y r r +=>上有4个点到直线20x y --=的距离为1，∴两条平行线与圆222x y r +=有4个公共点，即它们都与圆222x y r +=相交．由此可得圆的半径r d '>， 即21r >+，实数r 的取值范围是()21,++∞．故选：A ．【点睛】本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题13．【分析】将问题转化为以为圆心2为半径的圆为圆与圆相交问题再根据圆与圆的位置关系求解即可【详解】解：根据题意设以为圆心2为半径的圆为圆所以圆圆心为半径为则两圆圆心距为:因为圆上存在两点到的距离为2所以 解析：(3,7)【分析】将问题转化为以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：根据题意设以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A ， 所以圆222:(0),O x y r r +=> 圆心为(0,0),O 半径为r ， 则两圆圆心距为 : ||5OA = ， 因为圆O 上存在两点到A 的距离为2， 所以圆O 与圆A 相交，所以252,r r -<<+ 解得 :37.r << 所以的取值范围是：(3,7). 故答案为：(3,7). 【点睛】圆与圆位置关系问题的解题策略：（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法；（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.14．②③④【分析】①点在直线上则点的坐标满足直线方程从而得到进而可判断①不正确②若则进而得到根据两直线斜率的关系即可判断②③若即可得到即可判断③④若则或根据点与直线的位置关系即可判定④【详解】解：若点在解析：②③④ 【分析】①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到220ax bx c ++=，进而可判断①不正确．②若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++，进而得到1221y y ax x b-=--，根据两直线斜率的关系即可判断②．③若1δ=-，即可得到1212()()022x x y y a b c ++++=，即可判断③． ④若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或11220ax by c ax by c ++<++<，根据点与直线的位置关系即可判定④． 【详解】解：若点N 在直线l 上则220ax bx c ++=，∴不存在实数δ，使点N 在直线l 上，故①不正确；若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++， 即1221y y ax x b-=--， MN l k k ∴=， 即过M 、N 两点的直线与直线l 平行，故②正确； 若1δ=-，则11220ax by c ax by c +++++= 即，1212()()022x x y y a b c ++++=， ∴直线l 经过线段MN 的中点，即③正确；若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或12220ax by c ax by c ++<++<， 即点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 不平行．故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，若两直线平行则两直线的斜率相等．15．或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或分类讨论并利用点斜式方程求解即可【详解】由已知可得直线的斜率所以倾斜角为因为直线与的夹角为所以直线的倾斜角为或当倾斜角为时直线为即为；当倾斜角为解析：1y =10y --= 【分析】分析可得已知直线的倾斜角为30，则直线l 的倾斜角为0或60，分类讨论并利用点斜式方程求解即可. 【详解】由已知可得直线y x =k =30， 因为直线l与y x =30，所以直线l 的倾斜角为0或60， 当倾斜角为60时,直线l为)12y x -=-10y -+-=； 当倾斜角为0︒时,直线l 为1y =， 故答案为：1y =10y -+-=. 【点睛】本题考查直线与直线的夹角，关键点是求出直线30x --=的倾斜角得到l 的倾斜角，考查求直线方程，考查分类讨论思想.16．【分析】利用切线长最短时取最小值找点：即过圆心作直线的垂线求出垂足点就切线的斜率是否存在分类讨论结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程【详解】设切线长为则所以当切线长取最小值时取最小值过圆心作直 解析：3利用切线长最短时，PC 取最小值找点P ：即过圆心C 作直线l 的垂线，求出垂足点()3,3P ．就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程． 【详解】设切线长为L ，则21L PC =-，所以当切线长L 取最小值时，PC 取最小值，过圆心()2,0C 作直线l 的垂线，则点P 为垂足点，此时，直线PC 的方程为360x y --=，联立3120360x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得33x y =⎧⎨=⎩，点P 的坐标为()3,3.此时22(32)(30)10PC =-+-=，此时，213L PC =-=故答案为：3 【点睛】关键点睛：解题的关键是利用过点的圆的切线方程的求解，在过点引圆的切线问题时， 将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长，即设切线长为L ，则21L PC =-，问题转变为求PC 的最小值，主要考查学生分析问题与解决问题的能力，属于中等题．17．【解析】试题分析：由题意得圆心到直线的距离即为半径此题只要求出半径即可试题解析：22256(1)(3)25x y -+-=【解析】试题分析：由题意得，圆心到直线的距离即为半径，此题只要求出半径即可． 试题 因为点到直线的距离由题意得圆的半径则所求的圆的方程为考点：1．直线与圆的相切的应用；2．圆的方程；18．9【分析】圆C1C2只有一条公切线则两圆的位置关系为内切由此可以得到ab 的等量关系然后利用均值不等式求的最小值【详解】圆C1：x2＋y2＋4ax ＋4a2－4＝0标准方程：圆C2：x2＋y2－2by ＋【分析】圆C 1、C 2只有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，由此可以得到a 、b 的等量关系，然后利用均值不等式求2211a b +的最小值 【详解】圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0 标准方程：22x 2a y 4++=（） 圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0标准方程：22x y b 1+-=（）因为圆C 1 、C 2内切，1=, 即224a b 1+=， （2211a b +）=2222114a b a b++（）（） =2222b 4a 59a b++≥（）当且仅当224a b =时等号成立. 【点睛】本题考查了两圆的位置关系和均值不等式求最值；两圆位置关系有：内含、内切、相交、外切、外离，圆与圆的位置关系也决定了切线的条数，两圆相内切只有一条切线，圆心距和两圆半径的关系是解题的关键，利用该关系可以构造出均值不等式所需要的等式；均值不等式求最值要注意：一正二定三相等.19．【分析】设点的坐标为根据可得点的轨迹方程为然后将问题转化为两圆有公共点的问题解决根据圆心距和半径的关系可得结果【详解】由题意得圆的圆心为半径为1设点的坐标为∵∴整理得故点的轨迹是以为圆心2为半径的圆 解析：[0,3]【分析】设点M 的坐标为(),x y ，根据2MA MO =可得点M 的轨迹方程为()2214x y +-=，然后将问题转化为两圆有公共点的问题解决，根据圆心距和半径的关系可得结果． 【详解】由题意得圆()()22:21C x a y a -+-+=的圆心为(),2a a -，半径为1．设点M 的坐标为(),x y ， ∵2MA MO =，∴=整理得()2214x y +-=，故点M 的轨迹是以()0,1为圆心，2为半径的圆． 由题意得圆C 和点M 的轨迹有公共点， ∴13≤≤，解得03a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]0,3． 【点睛】本题考查两圆位置关系的判断和利用，解题的关键是根据题意得到点M 的轨迹方程，然后将问题转化为两圆有公共点的问题出处理，再利用代数法求解可得所求的结果．20．【分析】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是应当最小进而得到应当最小然后利用点到直线的距离公式求得的最小值利用直角三角形相似求得原点到直线距离的最大值【详解】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是【分析】为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，进而得到OP 应当最小，然后利用点到直线的距离公式求得OP 的最小值，利用直角三角形相似求得原点O 到直线AB 距离的最大值. 【详解】为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，∴OA OP应当最大，∴OP 应当最小，当且仅当OP 与直线136x y+=垂直时OP 最小，OP 的最小值为O 到直线136x y +=,即260x y +-=的距离5d ==，设OP 与AB 交于点,Q 则2~,||Rt OQA Rt OAP OQ OP OA ∴⨯=,∴max ||,3OQ ==故答案为：53. 【点睛】本题考查与圆有关的最值问题，属中等难度的题目，关键在于转化为OP 最小，同时注意利用三角形相似进行计算.三、解答题21．（1）2132）4，240x y ++= 【分析】（1）求出动直线所过定点(1,2)P --,当m 变化时，PQ ⊥直线l 时，点()3,4Q 到直线l 的距离的最大．（2）直线l 的斜率k 存在且0k ≠，因此可设直线l 的方程为2(1)y k x +=+，求出直线在x 轴、y 轴的截距．可得AOB 的面积，利用基本不等式的性质即可得出结果． 【详解】（1）直线方程为(2) (21) 340m x m y m -++++=， 可化为(24)(23)0x y m x y +++-++=对任意m 都成立， 所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点(1,2)--.设定点为(1,2)P --,当m 变化时，PQ ⊥直线l 时，点(3,4)Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点(1,2)P --的连线的距离就是所求最大值， 22(31)(42)213+++=（2）由于直线l 经过定点(1,2)P --．直线l 的斜率k 存在且0k ≠， 因此可设直线方程为2(1)y k x +=+可得与x 轴、y 轴的负半轴交于21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,2)B k -两点 ∴20kk-<，20k -<，解得0k <． ∴121221|2|1(2)2224222AOBkS k k k k k -⎛⎫=--=--=++≥+= ⎪-⎝⎭当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4此时直线l 的方程为：22(1)y x +=-+，化为：240x y ++=． 【点睛】关键点点睛：求三角形面积最小时，一般首先表示出三角形的面积，本题利用直线在坐标轴的截距表示可得222k S k -=++-,再根据均值不等式或利用函数求最值，确定最值取得的条件，求解即可.22．（1）证明见解析；（2）2211()(1)(1)24x y x -+-=≠.【分析】（1）确定直线过定点()1,1，计算定点在圆内，得到证明.（2）由已知得点M 在以CP 为直径的圆上，求得圆心和半径可得到答案. 【详解】（1）由已知可得直线 :(1)10l x m y --+=，所以直线l 恒过定点(1,1)P .又()2211115,+-=<所以点P 在圆内，所以对任意的m R ∈，直线l 与圆 C 恒有两个交点.（2）由（1）知，知直线l 恒过定点(1,1)P ，且直线l 的斜率存在. 又M 是AB 的中点，CM MP ∴⊥，所以点M 在以CP 为直径的圆上.又()()0,1,1,1,C P 所以以CP 为直径的圆的方程为2211()(1)24x y -+-=，又直线l 的斜率存在，1x ∴≠，所以点M 的轨迹方程为2211()(1)(1)24x y x -+-=≠.【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.23．（1）2c =-；2()2f z z z =+-；（2）9. 【分析】（1）令1m =，0n =代入等式中可求得c .再令m n =-代入得()f z 的解析式；（2）由已知求得直线过圆心()12-，，有1a b +=.由均值不等式得4144()5a b a b a b ab a b b a +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，可求和4a bab +的最小值. 【详解】（1）令1m =，0n =代入等式中可得，(0)2f =-，即2c =-.再令m n =-得，(0)()(21)f f n n n n -=--++，2()2f n n n =+-， 所以2()2f z z z =+-.（2）因为直线被圆22(1)(2)9x y ++-=截得的弦长为6，所以直线过圆心()12-，，有1a b +=.于是由均值不等式得，414144()559a b a b a b ab a b a b b a +⎛⎫=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即13a =，23b =时等号成立.故4a b ab +的最小值是9.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.24．（1）224x y +=；（2）k =；（3）(4,0). 【分析】（1）设出圆心(,0)C a ，根据直线与圆C 相切，得到圆心到直线的距离等于4，确定圆心坐标，即可得圆C 的方程.（2）根据垂径定理及勾股定理，由过点(1,1)P 的直线1l 被圆C 截得的弦长等于斜率存在与不存在两种情况讨论，即可求出直线1l 的方程.（3）当AB x ⊥轴时，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设出方程与圆的方程联立，结合AN BN k k =-，即可求出点N 的坐标. 【详解】（1）设圆心5(,0)2C a a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则|410|25a ， 解得0a =或5a =-（舍）． 故圆C 的方程为224x y +=．（2）由题意可知圆心C 到直线1l 的距离为2sin301．1，解得k =.（3）当直线AB x ⊥轴时，对x 轴正半轴上任意一点,N x 轴平分ANB ∠； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()()1122(1)(0),(,0),,,,y k x k N t A x y B x y =-≠， 由224,(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得()22221240k x k x k +-+-=， 2212122224,11k k x x x x k k -∴+==++ 若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即12120y yx t x t+=--， 即()()1212110k x k x x tx t--+=--，即()12122(1)20x x t x x t -+++=，即()2222242(1)2011k k t t k k -+-+=++，解得4t =． 综上，当点N 的坐标为(4,0)时，x 轴平分ANB ∠．【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键是得到圆心到直线的距离为1，第三问解题的关键是由x 轴平分ANB ∠，得AN BN k k =-，进而利用坐标表示斜率求解. 25．（1）4160x y -+=或390x y +-=；（2）9461020x y -+= 【分析】（1）设出截距式方程，由条件列出式子即可求出；（2）在直线m 上取一点，如()2,0M ，求出()2,0M 关于直线l 的对称点M '，求出m 与l 的交点，即可求出直线方程. 【详解】（1）由已知得直线不过原点，设直线方程为1x y a b+=， 则可得34112a b a b -⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得416a b =-⎧⎨=⎩或93a b =⎧⎨=⎩， 则直线方程为1416x y +=-或193x y +=， 整理可得4160x y -+=或390x y +-=； （2）在直线m 上取一点，如()2,0M ，则()2,0M 关于直线l 的对称点M '必在直线m '上，设(),M a b '，则2023102202123a b b a ++⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩，解得630,1313M '⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设直线m 与l 的交点为N ，则联立方程32602310x y x y --=⎧⎨-+=⎩可解得()4,3N ， 则m '的方程为34306341313y x --=--，即9461020x y -+=. 【点睛】方法点睛：关于轴对称问题：（1）点(),A a b 关于直线0Ax By C ++=的对称点(),A m n '，则有1022n b A m a B a m b n A B C ⎧-⎛⎫⨯-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.26．（1）2,33ππ；（2）()3,3或33,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）⎡⎣ 【分析】（1）设1l 的斜率为tan k α=，则2l 的斜率为3tan kβ-=，两直线的夹角为γ， 不妨设0k >，利用两角差的正切公式计算，利用基本不等式求得最值；（2）设直线RP ，PQ ，QR 的斜率分别为123,,k k k ，可得122313149k k k k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，可解出123,,k k k 的值，进一步求得直线RP 和直线PQ 的方程，联立得点P 的坐标；（3）设()()122:1,:1l y k x l y x k=++=-+，，设原点到两直线距离分别为12,d d ，求出12d d ，然后变形利用基本不等式求解．【详解】解：（1）设1l 的斜率为tan k α=，则2l 的斜率为3tan kβ-=，两直线的夹角为γ， 不妨设0k >， 则()()313tan tan 132k k k k γβα--⎛⎫=-==+≥ ⎪+-⎝⎭k = 此时3πα=，23πβ=， 即两直线倾斜角分别为2,33ππ； （2）设直线RP ，PQ ，QR 的斜率分别为123,,k k k ，则122313149k k k k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得12332,,623k k k ===或12332,,623k k k =-=-=-， 当12332,,623k k k ===时， 直线RP 的方程为()312y x =-，直线PQ 的方程为213y x =+， 联立得()3,3P ， 当12332,,623k k k =-=-=-时， 直线RP 的方程为()312y x =--，直线PQ 的方程为213y x =-+， 联立得33,55P ⎛⎫⎪⎝⎭， 故所求为()3,3P 或33,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）设()()122:1,:1l y k x l y x k=++=-+， 设原点到两直线距离分别为12,d d ，则12d d =====，由于22459kk++≥，当且仅当22k=时等号成立，故[)22910,145kk-∈++，12d d⎡∈⎣，即原点到两直线距离之积的取值范围为⎡⎣．【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。

上海上师初级中学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(包含答案解析)

上海上师初级中学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．如果直线:5l y kx =-与圆22240x y x my +-+-=交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线20x y +=对称，则直线l 被圆截得的弦长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．2．若P 是直线l ：3490x y +-=上一动点，过P 作圆C ：2240x y x ++=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A B ．CD ．3．若P 是直线l ：260x y ++=上一动点，过P 作圆C ：22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．设P 为直线2x ＋y ＋2＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值时直线AB 的方程为（ ） A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝05．已知M (3，)，N (－1，)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为（ ）A B ．C ．D ．6．圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值为（ ） A ．1 B ．2CD ．7．在平面直角坐标系xOy 中，直线240x y +-=与两坐标轴分别交于点A 、B ，圆C 经过A 、B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为（ ） A ．226160x y y ++-= B ．226160x y y +--= C ．22890x y y ++-=D ．22890x y y +--=8．设点M 为直线2x =上的动点，若在圆22:3O x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=︒，则M 的纵坐标的取值范围是（ ）A ．[1,1]-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[-D ．⎡⎢⎣⎦9．直线l ：230kx y --=与圆C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，若ABC的周长为4+k 的值为（ ） A ．32B ．32-C ．32±D ．12±10．一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10 km/h 这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（ ） 小时A ．1B ．2C ．3D ．411．若点()1,1P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ） A ．230x y +-= B ．210x y -+= C ．230x y +-= D ．210x y --=12．曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．53,124二、填空题13．已知直线l 经过点(2,1)，且和直线30x --=的夹角等于30，则直线l 的方程是_________．14．若P 为直线40x y -+=上一个动点，从点P 引圆2240y x C x +-=：的两条切线PM ，PN （切点为M ，N ），则MN的最小值是________.15．直线l 过点()2,3P -且与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的方程为_________．16．若直线l ：y kx =23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.17．已知直线l 过点(4,1)A -20y -+=的夹角为30°，则直线l 的方程为____________.18．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A ，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是________．19．在直角坐标系xoy 中，已知圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，则直线l 方程为______.20．已知过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交圆2220x y x +-=于M ，N 两点，其中P ，M 位于第一象限，则11PM QN+的最小值为_____．参考答案三、解答题21．已知ABC 的顶点()5,1A ，B 的平分线所在直线方程为0x y -=，C ∠的平分线所在直线方程为20x -=. （1）求BC 边所在的直线方程；（2）求B .22．圆心为C 的圆经过点(4,1)A -和(3,2)B -，且圆心C 在直线:20l x y --=上. （1）求圆心为C 的圆的方程；（2）过点(5,8)P 作圆C 的切线，求切线的方程.23．已知在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线l ：24y x =-.圆C 的半径为1，圆心C 在直线l 上.（1）若直线34120x y +-=与圆C 相切，求圆C 的标准方程；（2）已知动点(),M x y ，满足2=MA MO ，说明M 的轨迹是什么？若点M 同时在圆C 上，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.24．已知圆C ：222440x y x y +-+-=，斜率为1的直线l 与圆C 交于A 、B 两点. （1）化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；（2）是否存在直线l ，使以线段AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由；（3）当直线l 平行移动时，求CAB △面积的最大值.25．（1）如图，已知直线l ： 0mx ny r ++=（0mn ≠）外一点P （a ，b ），请写出点P 到直线l 的距离PH 的公式及公式的推导过程．．．．.（2）一质点从点(4,0)A 处沿向量(1,1)a =-方向按每秒2个单位速度移动，求几秒后质点与点(2,4)B 距离最近. 26．如图，已知ABC 的边AB 所在直线的方程为360x y --=，()2,0M 满足BM MC =，点()1,1T -在AC 边所在直线上且满足0AT AB ⋅=.（1）求AC 边所在直线的方程； （2）求ABC 外接圆的方程；（3）求过()2,0N -的ABC 外接圆的切线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由题意推出圆心在直线上，求出m ，求出圆的半径与弦心距，利用圆心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦长. 【详解】因M 、N 关于直线20x y +=对称，故圆心(1,)2m-在直线20x y +=上，4m ∴=. 又因为直线20x y +=与:5l y kx =-垂直，21K ∴-⨯=-，12K ∴=， 设圆心(1,2)-，到直线1502x y --=的距离为d ，d ∴==圆的半径为3r ==.4MN ∴==.故选：C . 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对称性可知圆心在直线20x y +=上.2．B解析：B 【分析】画出图象，根据对称性可得四边形PACB 面积2PACS S=，利用勾股定理可得PA =PC 最小时，PA 最小，面积最小，根据点到直线距离公式，即可求得答案. 【详解】圆C ：22(2)4x y ++=，圆心为（-2，0）半径2AC r ==，画出图象，如图所示：因为直线与圆相切，所以90PAC PBC ∠=∠=︒，且PAC PBC ≌ 所以四边形PACB 面积12222PACS S AC PA PA ==⨯⨯⨯=，又2224PA PC AC PC =-=-所以当PC 最小时，PA 最小，四边形PACB 面积的最小值， 由图象可得，PC 最小值即为点C 到直线3490x y +-=的距离， 所以min 223(2)9334PC ⨯--==+，所以min 945PA =-所以四边形PACB 面积的最小值225S PA == 故选：B 【点睛】解题的关键是画出图象，根据几何关系，得到PC 最小时，面积最小，再求解，将动点问题转化为点到直线距离问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.3．B解析：B 【分析】根据题意得要使四边形PACB 面积的最小值，只需PC 取最小即可，再根据几何关系求解即可. 【详解】解：根据题意：要使四边形PACB 面积的最小值，则只需切线长,PA PB 最小， 进而只需PC 取最小即可.由于()2214x y ++=，故圆心为()1,0-，2r，由于P 是直线l ：260x y ++=上一动点， 所以过圆心作直线l 的垂线，垂足即为P ，此时1655CP -+==此时切线长541PA PB ==-=，此时四边形PACB 面积为122S =⨯=. 即四边形PACB 面积的最小值为2. 故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.解题的关键是将问题转化为求PC 取最小值，再结合点到线的距离即可解答.4．D解析：D 【分析】根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求直线AB 的方程. 【详解】由于,PA PB 是圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，,A B 是切点，所以2||||2||PACB PAC S S PA AC PA ∆==⋅=== 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小， 此时PC :11(x 1)2y -=-,即210.y x --= 联立210,220y x x y --=⎧⎨++=⎩得1,,(1,0),0x P y =-⎧-⎨=⎩PC的中点为1(0,),||2PC ==以PC 为直径的圆的方程为2215(),24x y +-=即2210x y y +--=，两圆方程相减可得直线AB 的方程210,x y ++=故选：D.5．B解析：B 【分析】首先利用题中所给的点N (－1，，F (1，0)，求出直线NF 的方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】易知NF 的斜率kNF 的方程为y(x －1)，＋y＝0. 所以M 到NF.故选：B.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关点到直线的距离的问题，解题思路如下：（1）根据题意首先求出直线的方程，可以先求斜率，利用点斜式求，也可以直接利用两点式求；（2）之后利用点到直线的距离公式直接求结果.6．C解析：C 【分析】求出圆心到直线距离，减去半径得解. 【详解】圆心为(1,0)-，直线方程为5y x =+，所以d == ，圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值d r -=故选C ． 【点睛】圆上的点到直线的距离的最值的几何求法通常运用圆心到直线的距离加减半径得到.属于基础题.7．A解析：A 【分析】求出点A 、B 的坐标，设圆心坐标为()0,b ，由AC BC =可求出圆心C 的坐标，并求出圆的半径，由此可求得圆C 的方程. 【详解】易知，直线240x y +-=交x 轴于点()4,0A ，交y 轴于点()0,2B ，设圆心C 的坐标为()0,b ，由AC BC =2b =-，解得3b =-， 所以，圆C 的半径为325BC =--=，因此，圆C 的方程为()22325x y ++=，即为226160x y y ++-=.故选：A. 【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．8．C解析：C【分析】在OMN 中，由正弦定理可得22223My+=，从而得到()223sin4My ONM=±∠-，再根据角ONM∠的取值范围，求出My的取值范围，即可得解；【详解】解：设()2,MM y，在OMN中，由正弦定理得sin sinOM ONONM OMN=∠∠因为30OMN∠=︒，3ON=，所以22232312My+==整理得()223sin4My ONM=±∠-由题意知0150ONM︒<∠<︒，所以(]sin0,1ONM∠∈，所以sin1ONM∠=时，My取得最值，即直线MN为圆22:3O x y+=的切线时，M y取值最值，所以22,22My⎡⎤∈-⎣⎦故选：C【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，解答的关键转化到OMN中利用正弦定理计算，考查转化思想；9．A解析：A 【分析】先根据半径和周长计算弦长AB =即可. 【详解】圆C ：()()22124x y -++=中，圆心是()1,2C -，半径是2r，故ABC的周长为4+24r AB +=+AB =又直线与圆相交后的弦心距d ==，故由2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()221434k k +=++，解得32k . 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.10．B解析：B 【分析】根据题意建立合适平面直角坐标系，将问题转化为求直线被圆所截得的弦长问题，然后根据弦长对应的距离求解出监测时间. 【详解】根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x 轴，正北方向为y 轴， 所以()()40,0,0,30A B ，圆22:676O x y +=，记从N 处开始被监测，到M 处监测结束， 所以:14030AB x yl +=，即:341200AB l x y +-=， 因为O 到:341200AB l x y +-=的距离为24OO '==，所以20MN ==，所以监测时间持续2010=2小时， 故选：B.【点睛】思路点睛：建立平面直角坐标系求解直线与圆的有关问题的思路：（1）选择合适坐标原点（方便求解直线、圆的方程），建立平面直角坐标系； （2）根据题意写出直线与圆的方程；（3）根据直线与圆的位置关系，采用几何法计算相关长度，完成问题的求解.11．D解析：D 【分析】求得圆心坐标为(3,0)C ，根据斜率公式求得PC k ，再由根据圆的弦的性质，得到2MN k =，结合直线点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，圆2260x y x +-=，可得22(3)9x y -+=，所以圆心坐标为(3,0)C ，半径为3， 又由斜率公式，可得011312PC k -==--， 根据圆的弦的性质，可得1PC MN k k ⋅=-，所以2MN k =， 所以弦MN 所在直线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=， 所以弦MN 所在直线方程为210x y --=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及圆的弦的性质，其中解答中熟练应用圆的弦的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．D解析：D 【分析】 易知曲线214y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解.曲线214y x 变形为22214141y x x y y 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，23221kk -=+，解得512k =，即512AC k ，又413224AB k ， 由图知：当曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：ACAB k kk ，即53124k <≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题13．或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或分类讨论并利用点斜式方程求解即可【详解】由已知可得直线的斜率所以倾斜角为因为直线与的夹角为所以直线的倾斜角为或当倾斜角为时直线为即为；当倾斜角为解析：1y =32310x y --=分析可得已知直线的倾斜角为30，则直线l 的倾斜角为0或60，分类讨论并利用点斜式方程求解即可. 【详解】 由已知可得直线333y x =-的斜率33k =，所以倾斜角为30， 因为直线l 与33y x =-的夹角为30，所以直线l 的倾斜角为0或60， 当倾斜角为60时,直线l 为()132y x -=-，即为31230x y -+-=； 当倾斜角为0︒时,直线l 为1y =， 故答案为：1y =或31230x y -+-=. 【点睛】本题考查直线与直线的夹角，关键点是求出直线330x y --=的倾斜角得到l 的倾斜角，考查求直线方程，考查分类讨论思想.14．【分析】根据题意得当的长度最小时取最小值进而根据几何关系求解即可【详解】如图由题可知圆C 的圆心为半径要使的长度最小即要最小则最小因为所以当最小时最小因为所以当最小时最小因为所以所以由于所以故答案为： 解析：47【分析】根据题意得当||MN 的长度最小时，||PC 取最小值，进而根据几何关系求解即可. 【详解】如图，由题可知圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r．要使||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，则MCP ∠最小． 因为||||tan 2PM PM MCP r ∠==，所以当||PM 最小时，||MN 最小因为PM =∣， 所以当||PC 最小时，||MN 最小．因为min ||PC ==，所以cos3MCP ∠==，所以sin MCP ∠=由于1in 2s 2MCP MN∠=所以min ||3MN =．故答案为：3. 【点睛】本题解题的关键是根据已知当||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，进而得当||PC 最小时，||MN 最小．由于||PC 的最小值为C 点到直线40x y -+=，故min ||PC =.考查化归转化思想和运算能力，是中档题.15．3x ﹣2y+12=0【详解】设A （x0）B （0y ）由中点坐标公式得：解得：x=﹣4y=6由直线过点（﹣23）（﹣40）∴直线的方程为：即3x ﹣2y+12=0故答案为3x ﹣2y+12=0解析：3x ﹣2y+12=0 【详解】设A （x ，0）、B （0，y ），由中点坐标公式得：002322x y++=-=， 解得：x=﹣4，y=6，由直线l 过点（﹣2，3）、（﹣4，0），∴直线l 的方程为：320342y x -+=--+， 即3x ﹣2y+12=0． 故答案为3x ﹣2y+12=016．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析：(,)62ππ 【解析】若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率(03330k -==-l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭17．或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或分类讨论并利用点斜式方程求解即可【详解】由题直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或当倾斜角为时直线为即为；当倾斜角为时直线为故答案为：或【点睛】本题考解析：4x =-334330x y -+= 【分析】分析可得已知直线的倾斜角为60︒,则直线l 的倾斜角为30或90︒,分类讨论,并利用点斜式方程求解即可 【详解】 由题,直线32y x =+的倾斜角为60︒,则直线l 的倾斜角为30或90︒,当倾斜角为30时,直线l 为)3143y x -=+,334330x y -+=； 当倾斜角为90︒时,直线l 为4x =-, 故答案为：4x =-334330x y -+= 【点睛】本题考查直线倾斜角与斜率的关系,考查求直线方程,考查分类讨论思想18．【分析】将问题转化为以为圆心为半径的圆为圆与圆相交问题再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案【详解】解：根据题意设以为圆心为半径的圆为圆所以圆圆心为半径为则两圆圆心距为：因为圆O 上存在两点到A 的距离为 解析：()3,7【分析】将问题转化为以(3,4)A 为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案. 【详解】解：根据题意设以(3,4)A 为圆心，2为半径的圆为圆A ， 所以圆222:()0O x y r r +=>，圆心为()0,0O ，半径为r ，则两圆圆心距为：5OA =， 因为圆O 上存在两点到A 的距离为2， 所以圆O 与圆A 相交，所以252r r -<<+，解得：37r <<. 所以r 的取值范围是：()3,7. 故答案为：()3,7 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查回归转化思想，是中档题.19．【分析】先将圆的方程化为标准形式求出圆心和半径通过分析可以看出圆心在一条直线上若对于任意的实数直线被圆截得弦长为定值可得直线与圆心所在的直线平行即可得出结论【详解】圆：化为标准形式可得：所以圆心半径 解析：25x y +=【分析】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线上，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，可得直线l 与圆心所在的直线平行，即可得出结论. 【详解】圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=化为标准形式可得：()()224216x m y m --+-=⎡⎤⎣⎦ ，所以圆心()4,2C m m - ，半径4r =， 令4,2x m y m =-= ，可得28x y += ，所以圆心在28x y +=上，又因为直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值， 所以直线l 与圆心所在的直线平行，， 所以设直线l 的方程为：2x y c +=， 将()2,1代入得：5c =， 所以则直线l 方程为：25x y +=. 故答案为：25x y += 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线和圆的位置关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题.20．【分析】设根据题意可设直线的方程为将其与抛物线方程联立可求出结合图形及抛物线的焦半径公式可得再利用基本不等式即可求出的最小值【详解】圆可化为圆心坐标为半径为抛物线的焦点可设直线的方程为设由得所以又所 解析：2【分析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，根据题意可设直线PQ 的方程为1x my =+，将其与抛物线C 方程联立可求出121=x x ，结合图形及抛物线的焦半径公式可得12||||1PM QN x x ⋅==，再利用基本不等式，即可求出11PM QN+的最小值. 【详解】圆2220x y x +-=可化为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)，半径为1，抛物线C 的焦点(1,0)F ，可设直线PQ 的方程为1x my =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，所以124y y =-， 又2114y x =，2224y x =，所以222121212()14416y y y y x x =⋅==，因为1212||||(||||)(||||)(11)(11)1PM QN PF MF QF NF x x x x ⋅=--=+-+-==， 所以111122PM QN PM QN+≥⋅=，当且仅当||||1PM QN ==时，等号成立. 所以11PM QN+的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，基本不等式求最值，考查基本运算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）23y x =+；（2）4arccos 5B ∠=. 【分析】（1）求出点()5,1A 关于直线0x y -=和20x -=对称的点，利用两个对称点都在直线BC 上，即可求得BC 边所在的直线方程；（2）联立直线方程求出,B C 两点的坐标，利用两点间距离公式求出ABC 三条边长，再利用余弦定理即可求得B . 【详解】（1）作点()5,1A 关于B 的平分线0x y -=的对称点()11,5A ， 作点()5,1A 关于C ∠的平分线20x -=的对称点()21,1A -， 由题意得B ，1A ，2A ，C 四点共线， 所以直线BC 的方程为511(1)11y x --=++，即23y x =+； （2）由023x y y x -=⎧⎨=+⎩得()3,3B --，由2023x y x -=⎧⎨=+⎩得()2,7C ，又()5,1A ，所以AB ==AC ==BC ==由余弦定理得2224cos25AB BC AC B AB BC +-===⨯， 所以4arccos 5B ∠=. 【点睛】关键点点睛：根据角的两边所在的直线关于角的平分线所在的直线对称，可得BA 与BC 关于直线0x y -=对称，CB 与CA 关于直线20x -=对称，所以点()5,1A 关于直线0x y -=，20x -=对称的点都在直线BC 上，即可求得BC 边所在的直线方程；第二问求角B 要想到利用余弦定理，因此需要求,B C 两点的坐标，利用两点间距离公式求三边长.22．（1）22(2)25x y ++=；（2）5x =或34170x y -+=. 【分析】（1）联立点A 和B 的中垂线与直线l ，求出圆心坐标，算出圆心与A 距离，写出圆的标准方程即可；（2）讨论斜率存在与不存在，将直线与圆相切转化为d r =，解出k ，代回直线方程化简即可. 【详解】（1）根据题意可得2113(4)AB k -==---，,A B 中点坐标为73(,)22-，所以AB 的中垂线为7322y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，即2y x =--， 联立方程202x y y x --=⎧⎨=--⎩可得圆心坐标(0,2)-，又222(0(3))(22)25r =--+--=， 所以圆C 的方程为22(2)25x y ++=.（2）①过点P 斜率不存在的直线为5x =，与圆C 相切； ②过点P 斜率存在的直线设斜率为k ， 则(5)8y k x =-+，即580kx y k --+= 圆心(0,2)-到切线的距离为5=，解得34k =综上，切线的方程为5x =或34170x y -+=. 【点睛】求圆的方程的两种方法：（1）几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程； （2）待定系数法：①根据题意，选择标准方程与一般方程； ②根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组； ③解出,,a b r 或,,D E F ，代入标准方程或一般方程. 23．(1) 22(3)(2)1x y -+-=或22232()()11111x y -+-=（2）120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1）设圆心C 为（a ，2a -4)，利用直线与圆相切，求解a ，得到圆心坐标，求出圆的方程. (2)由2=MA MO ，求出动点M 的轨迹方程，说明轨迹，通过点M 同时在圆C 上，说明圆C 与圆D 有公共点，利用两个圆的位置关系，转化求解圆心C 的横坐标a 的取值范围即可． 【详解】（1）因为圆心C 在直线l 上，所以圆心C 可设为(a ，2a -4)，|1128|15a -==，即|1128|5a -=， 所以11285a -=±，解得3a =或2311a =， 所以圆心C 的坐标为(3，2)或232,1111⎛⎫⎪⎝⎭, 所以圆C 的标准方程为22(3)(2)1x y -+-=或22232()()11111x y -+-=(2) 由2=MA MO ,= 化简得：22230x y y ++-=， 即22(1)4x y ++=，所以动点M 的轨迹是以D (0，-1)为圆心，半径是2的圆， 若点M 同时在圆C 上，则圆C 与圆D 有公共点， 则21||21CD -≤≤+，即1 3.≤≤整理得：2251280,5120a a a a ⎧-+≥⎨-≤⎩解得1205a ≤≤， 所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]. 【点睛】关键点点睛：判断两圆位置关系式，只需求出两圆圆心的距离，比较与两圆半径的关系即可，本题根据两圆有公共点可得21||21CD -≤≤+，解不等式即可求解,属于中档题. 24．（1）()()22129x y -++=；圆心()1,2C -，3r =；（2）存在；；1y x =+或4y x =-；（3）92. 【分析】（1）将一般方程化为标准方程后即可得到结果；（2）设:l y x m =+，与圆的方程联立得到根与系数的关系，利用OA OB ⊥，即12120x x y y +=，由此整理可得方程求得m ，进而得到所求方程；（3）设:l y x m =+，由垂径定理表示出AB ，将所求面积表示为关于圆心到直线距离d 的函数，利用函数最值的求法可求得结果. 【详解】（1）由222440x y x y +-+-=得：()()22129x y -++=.∴圆C 的圆心为：()1,2C -，半径3r =.（2）假设存在直线l ，设方程为y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，以AB 为直径的圆过圆心O ，∴OA OB ⊥，即12120x x y y +=.由222440y x m x y x y =+⎧⎨+-+-=⎩消去y 得：()22221440x m x m m ++++-=. 由()()22418440m m m ∆=+-+->得：33m -<<.由根与系数关系得：()121x x m +=-+，212442m m x x +-=，()()()212121212y y x m x m x x m x x m ∴=++=+++，()21212121220x x y y x x m x x m ∴+=+++=，解得：1m =或4-.∴直线l 方程为：1y x =+或4y x =-.（3）设圆心C 到直线l ：y x m =+的距离为d，则AB =12CABSd ∴=⨯== ∴当2d =()max 92CAB S=， ∴圆心到直线距离2d ==，解得：0m =或6m =-， ∴当直线l 的方程为y x =或6y x =-时，CAB △面积取得最大值92. 【点睛】方法点睛：处理直线与圆问题中的三角形面积的最值或取值范围问题时，通常结合垂径定理和点到直线距离公式将所求面积表示为关于圆心到直线距离d 或者半径r 的函数关系式的形式，利用函数最值的求解方法求得结果. 25．（1）PH =2）2. 【分析】（1）根据直线PH 的斜率与l 的斜率的关系得到方程，再将l 的方程与所得方程联立并化简，即可推导出P 到直线l 的距离PH 的公式；（2）先确定出质点的运动轨迹对应的直线方程，然后根据点到直线的距离公式求解出最近距离，由此确定出质点的运动时间. 【详解】（1）P 到直线l的距离PH =设(),H x y ，所以1PH l k k ⋅=-，所以1y b m x a n -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，所以10y b m x a n mx ny r ⎧-⎛⎫⋅-=-⎪ ⎪-⎝⎭⎨⎪++=⎩，所以()()()()()0m y b n x a m x a n y b ma nb r ⎧---=⎪⎨-+-=-++⎪⎩， 所以()()()()()()()222222+=m y b n x a m x a n y b m n x a y b ⎡⎤----+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()2ma nb r =++，所以()()()22222ma nb r x a y b m n++⎡⎤-+-=⎣⎦+，所以()()2222ma nb r x a y b m n ++-+-=+ 又因为()()22P a y b H x -+-=，所以22ma nb rm PH n ++=+；（2）由条件可知：质点运动轨迹所在直线方程为()1041y x -=--，即40x y +-=， 如下图，作BC l ⊥，垂足为C ，显然质点运动到C 时离B 点最近，又244211BC +-==+，()()22420425AB =-+-=，所以2232AC AB BC =-=，所以质点运动时间为322秒.【点睛】关键点点睛：解答问题的关键是选用合理的方法推导出点到直线的距离公式，第二问即可使用点到直线的距离公式进行分析求解.26．（1）320x y ++=；（2）22(2)8x y -+=；（3）20x y -+=或20x y ++=.【分析】（1）求出直线AC 的斜率后可得直线AC 的方程.（2）求出点A 的坐标，结合圆心坐标可求圆的半径，从而可得圆的方程.（3）利用点到直线的距离为半径可求切线的斜率，从而可得所求的切线的方程.【详解】（1）0AT AB ⋅=，AT AB ∴⊥，又T 在AC 上，AC AB ∴⊥，ABC ∴为Rt ABC ∆，又AB 边所在直线的方程为360x y --=，∴直线AC 的斜率为3-， 又点()1,1T -在直线AC 上，AC ∴边所在直线的方程为13(1)y x -=-+，即320x y ++=.（2）AC 与AB 的交点为A ，∴由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩解得点A 的坐标为()0,2-， BM MC =，()2,0M ∴为Rt ABC 斜边上的中点，即为Rt ABC 外接圆的圆心，又||r AM ===从而ABC 外接圆的方程为22(2)8x y -+=.（3）设切线方程为(2)y k x =+=，解得1k =或1-.所以切线方程为20x y -+=或20x y ++=.【点睛】思路点睛：（1）确定直线的方程往往需要两个独立的条件，比如直线所过的两个不同点，或直线所过的一个点和直线的斜率；（2）确定圆的方程，关键是圆心坐标和半径的确定；（2）直线与圆的位置关系，往往通过圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断.。

上海静安区教育学院附属学校选修一第二单元《直线和圆的方程》检测(含答案解析)

上海静安区教育学院附属学校选修一第二单元《直线和圆的方程》检测(含答案解析)

一、选择题1．1m =-是直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设点(1,2),(2,3)A B -，若直线10ax y ++=与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（ ） A ．[3,2]- B ．[2,3]-C ．(,2][3,)-∞-⋃+∞D ．(,3][2,)-∞-⋃+∞3．若平面上两点()2,0A -，()10B ,，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．与实数k 的取值有关4．若过直线3420x y +-=上一点M 向圆C ：()()22234x y +++=作一条切线切于点T ，则MT 的最小值为（ ）A B ．4C ．D ．5．若P 是直线l ：3490x y +-=上一动点，过P 作圆C ：2240x y x ++=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A B ．CD ．6．设P 为直线2x ＋y ＋2＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值时直线AB 的方程为（ ） A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝07．已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（ ） A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-8．点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，则四边形PAOB （O 为坐标原点）的面积的最小值等于（ ） A ．8 B ．4C ．24D ．169．若直线y x b =+与曲线3y =2个公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．[1-+B ．(11]--C ．[3,1+D ．[1,3]-10．已知直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，则k 的值是（ ） A ．1或0B ．5C ．0或5D ．1或511．已知直线1 : =-1l x ，2:10l x y -+=，点P 为抛物线24y x =上的任一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为A ．2BC ．1D ．212．若圆()2220x y r r +=>上仅有4个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（ ）A ．)1,+∞B ．)1- C ．()1-D ．()1二、填空题13．已知圆221:210240C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=相交于A 、B 两点，则线段AB 的长度为__________．14．已知圆C 的方程为2240x x y -+=，直线l ：330kx y k -+-=与圆C 交于A ，B 两点，则当ABC 面积最大时，直线l 的斜率k =______.15．直线:=l y kx O:221x y +=相交于,A B 两点，当AOB ∆的面积达到最大时，k =_______16．已知P 为||||x y m +=上的点，过点P 作圆O ：221x y +=的切线，切点为M 、N ，若使得90MPN ∠=︒的点P 有8个，则m 的取值范围是_________.17．已知直线y x b =+与曲线x =恰有两个交点，则实数b 的取值范围为______. 18．已知k ∈R ，过定点A 的动直线10kx y +-=和过定点B 的动直线30x ky k --+=交于点P ，则22PA PB +的值为__________.19．已知等腰三角形的底边所在直线过点()2,1P ，两腰所在的直线为20x y +-=与740x y -+=，则底边所在的直线方程是_____________.20．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+，曲线2C 的方程为22(1)4x y ++=，若1C 与2C 有且仅有三个公共点，则实数k 的值为_____．三、解答题21．在ABC 中，(2,5)A ，()1,3B （1）求AB 边的垂直平分线所在的直线方程；（2）若BAC ∠的角平分线所在的直线方程为30x y -+=，求AC 所在直线的方程. 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过点A （1，2），B （7，－6），且圆心在直线x ＋y －2＝0上.（1）求圆M 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于C ，D 两点，且CD =2OA ，求直线l 的方程. 23．已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，AB 4=，M 过点A ，B 且与直线20x +=相切.（1）若A 在直线0x y +=上，求M 的半径；（2）求M 的圆心M 点的轨迹方程.24．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： （1）点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；（2）直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； （3）直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程．25．已知圆22:6630C x x y y -+-+=，直线:20+-=l x y 是圆E 与圆C 的公共弦AB 所在直线方程，且圆E 的圆心在直线2y x =上. （1）求圆E 的方程；（2）过点(2,0)Q -分别作直线MN 、RS ，交圆E 于M 、N 、R 、S 四点，且MN RS ⊥，求四边形MRNS 面积的取值范围.26．已知圆C ：220x y ax ++=过点,2⎛⎝⎭. （1）求圆C 的标准方程及其圆心、半径；（2）若直线0x y ++=分别与x 轴，y 轴交于M 、N 两点，点P 为圆C 上任意一点，求MNP △面积的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】因为直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直，所以0m =或1m =-，再根据充分必要条件的定义判断得解. 【详解】因为直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直， 所以23(21)0,220,0m m m m m m ⨯+-⨯=∴+=∴=或1m =-. 当1m =-时，直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直； 当直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直时，1m =-不一定成立. 所以1m =-是直线()2110mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】方法点睛：充分必要条件的常用的判断方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件选择合适的方法求解.2．D解析：D 【分析】求出线段AB 的方程，列方程组求得直线与线段交点坐标（横坐标），由21x -≤≤可求得a 的范围． 【详解】321213AB k -==---，∴AB 方程为12(1)3y x -=--，即370x y +-=，由10370ax y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得1013x a =-，（显然310a -≠），由102113a -≤≤-解得3a ≤-或2a ≥． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题，解题方法有两种：（1）求出直线AB 方程，由直线AB 方程知直线方程联立方程组求得交点坐标（只要求得横坐标），然后由横坐标在已知两个点的横坐标之间列不等式解之可得；（2）求出直线过定点P ，再求出定点P 与线段两端点连线斜率，结合图形可得直线斜率范围，从而得出参数范围．3．C解析：C 【分析】首先利用直接法求点P 的轨迹方程，则转化为直线()1y k x =-与轨迹曲线的交点个数. 【详解】 设(),P x y ，2PA PB =，=整理为：()22224024x y x x y +-=⇔-+=， 即点P 的轨迹是以()2,0为圆心，2r为半径的圆，直线():1l y k x =-是经过定点()1,0，斜率存在的直线，点()1,0在圆的内部，所以直线():1l y k x =-与圆有2个交点，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为2个. 故选：C 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.4．D解析：D 【分析】根据题意，求出圆的圆心与半径，由切线长公式可得||MT =||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，由点到直线的距离分析||MC 的最小值，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，圆22:(2)(3)4C x y +++=，其圆心为(2,3)--，半径2r m =，过点M 向圆C 作一条切线切于点T ，则||MT == 当||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，而||MC 的最小值为点C 到直线3420x y +-=的距离，则||4min MC ==，则||MT = 故选：D 【点睛】方法点睛：解析几何中的最值问题，常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.本题利用的是数形结合的方法求最值的.5．B解析：B 【分析】画出图象，根据对称性可得四边形PACB 面积2PACS S=，利用勾股定理可得PA =PC 最小时，PA 最小，面积最小，根据点到直线距离公式，即可求得答案. 【详解】圆C ：22(2)4x y ++=，圆心为（-2，0）半径2AC r ==，画出图象，如图所示：因为直线与圆相切，所以90PAC PBC ∠=∠=︒，且PAC PBC ≌ 所以四边形PACB 面积12222PACS S AC PA PA ==⨯⨯⨯=，又2224PA PC AC PC =-=-所以当PC 最小时，PA 最小，四边形PACB 面积的最小值， 由图象可得，PC 最小值即为点C 到直线3490x y +-=的距离， 所以min 223(2)9334PC ⨯--==+，所以min 945PA =-所以四边形PACB 面积的最小值225S PA == 故选：B 【点睛】解题的关键是画出图象，根据几何关系，得到PC 最小时，面积最小，再求解，将动点问题转化为点到直线距离问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.6．D解析：D 【分析】根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求直线AB 的方程. 【详解】由于,PA PB 是圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，,A B 是切点，所以2222||||2||2||||2||4PACB PAC S S PA AC PA PC AC PC ∆==⋅==-=- 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小， 此时PC :11(x 1)2y -=-,即210.y x --= 联立210,220y x x y --=⎧⎨++=⎩得1,,(1,0),0x P y =-⎧-⎨=⎩PC 的中点为1(0,),||2PC ==以PC 为直径的圆的方程为2215(),24x y +-=即2210x y y +--=，两圆方程相减可得直线AB 的方程210,x y ++=故选：D.7．C解析：C 【分析】根据勾股定理由切线长最小值求出||PC C 到直线l 的距离为l 的方程，根据点到直线的距离列式可解得结果.【详解】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，因为切线长的最小值为2，所以min ||PC ==所以圆心C 到直线l ，所以直线必有斜率，设:(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --===22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C 【点睛】关键点点睛：根据勾股定理由切线长的最小值求出||PC 的最小值，也就是圆心C 到直线l 的距离是解题关键.8．A解析：A 【分析】根据题意，得到四边形PAOB 的面积22PAOS S PA ===只需求PO 最小值，进而可求出结果. 【详解】因为圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径为2r，圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离为2d ==>，所以直线2100x y ++=与圆224x y +=相离，又点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，所以PA PB =，PA OA ⊥，PB OB ⊥，因此四边形PAOB 的面积为21222242PAO PBOPAOS SSSPA r PA PO =+==⨯⨯==-， 为使四边形面积最小，只需PO 最小，又min PO 为圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离25d =， 所以四边形PAOB 的面积的最小值为22048-=. 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于根据圆的切线的性质，将四边形的面积化为2224PAOS PO =-，求面积最值问题，转化为定点到线上动点的最值问题，即可求解.9．B解析：B 【分析】将234y x x =--化为22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有2个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解. 【详解】由234y x x =--得22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，所以直线y x b =+与半圆22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)有2个公共点，作出直线与半圆的图形，如图：当直线经y x b =+过点(4,3)时，341b =-=-，当直线与圆22(2)(3)4-+-=x y 211=+，解得122b =-或122b =+由图可知，当直线y x b =+与曲线234y x x =-2个公共点时，1221b -<≤-，故选：B【点睛】关键点点睛：作出直线与半圆的图形，利用切线的斜率表示b 的范围是解题关键.10．C解析：C 【分析】由两直线平行得出()224k k k -=-，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证. 【详解】 解:直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，()224k k k ∴-=-，整理得()50k k -=，解得0k =或5.当0k =时，直线11:4l y =-，23:2l y =，两直线平行；当5k =时，直线1:510l x y -+=，23:502l x y -+=，两直线平行. 因此，0k =或5. 故选:C. 【点睛】方法点睛:本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证.(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A1、A2、B1、B2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②2112210A A l B B l +⇔=⊥；11．B解析：B 【分析】1l 是抛物线的准线，利用抛物线的定义可把P 到准线的距离转化为P 到焦点的距离，故可得P 到两条直线的距离之和的最小值就是焦点到直线2l 的距离. 【详解】抛物线24y x =，其焦点坐标()1,0F ，准线为1x =-也就是直线1l ，故P 到直线1l 的距离就是P 到F 的距离.如图所示，设P 到直线2l 的距离为d ，则10122d PF -++≥=,,P E F 三点共线时等号成立，故选B. 【点睛】抛物线上的动点满足到焦点的距离等于它到准线的距离，我们常常利用这个性质实现两类距离的转换.12．A解析：A 【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与222x y r +=有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r 的取值范围． 【详解】解：作出到直线20x y --=的距离为1的点的轨迹，得到与直线20x y --=平行， 且到直线20x y --=的距离等于1的两条直线， 圆222x y r +=的圆心为原点， 原点到直线20x y --=的距离为22d∴两条平行线中与圆心O 距离较远的一条到原点的距离为21d '=，又圆222(0)x y r r +=>上有4个点到直线20x y --=的距离为1，∴两条平行线与圆222x y r +=有4个公共点，即它们都与圆222x y r +=相交．由此可得圆的半径r d '>， 即21r ，实数r 的取值范围是()21,+∞．故选：A ．【点睛】本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题13．【分析】由两圆方程相减可得公共弦的方程再由直线和圆相交的弦长公式计算可得所求值【详解】解：由圆和圆相减可得公共弦的方程为又圆的圆心为半径为可得到直线的距离为则故答案为：【点睛】关键点点睛：两圆相交相 解析：5【分析】由两圆方程相减可得公共弦AB 的方程，再由直线和圆相交的弦长公式，计算可得所求值． 【详解】解：由圆221:210240C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=相减可得，公共弦的方程为240x y -+=，又圆221:210240C x y x y +-+-=的圆心为(1,5)-，半径为52可得1C 到直线240x y -+=的距离为3514d =+则22||2(52)(35)25AB =- 故答案为：5 【点睛】关键点点睛：两圆相交，相交弦所在直线的方程可有两圆方程相减而得到，处理圆的弦长选择垂径定理为好．14．1或【分析】由三角形面积公式求得面积最大时这样可求得圆心到直线的距离再由点到直线距离公式求得斜率【详解】圆的标准方程为直线可变形为则圆心为半径为2直线过定点由面积公式可得所以当即圆心到直线的距离为时解析：1或7- 【分析】由三角形面积公式求得ABC 面积最大时，2ACB π∠=，这样可求得圆心C 到直线BC的距离，再由点到直线距离公式求得斜率k ． 【详解】圆C 的标准方程为()2224x y -+=，直线l 可变形为()33y k x =-+，则圆心C 为()2,0，半径为2，直线l 过定点()3,3， 由面积公式可得21sin 2sin 22ABCS r ACB ACB =∠=∠≤， 所以当2ACB π∠=，即圆心C 到直线l的距离为d =ABC 的面积取得最大值，所以d ==，解得1k =或7-．故答案为：1或7-． 【点睛】易错点睛：直线与圆相交于,A B ，圆心为C ，ABC 面积为21sin 2S r ACB =∠，当ACB ∠的最大值θ不小于2π时，2ABC π∠=时，S 取得最大值212r ，当ACB ∠的最大值2πθ<时，S 取得最大值21sin 2r θ．不是任何时候最大值都是212r ．15．【分析】由三角形面积公式可得当时的面积达到最大进而可得圆心到直线的距离即可得解【详解】由圆可得圆心坐标为半径将直线的方程化为因为所以当即时的面积达到最大此时圆心到直线的距离解得故答案为：【点睛】关键解析：【分析】由三角形面积公式可得当2AOB π∠=时，AOB 的面积达到最大，进而可得圆心到直线的距离，即可得解. 【详解】由圆22:1O x y +=可得圆心坐标为()0,0O ,半径1r =，将直线的方程化为:0l kx y -=， 因为11sin sin 22AOB S OA OB AOB AOB =⋅∠=∠△， 所以当sin 1AOB ∠=即2AOB π∠=时，AOB 的面积达到最大，此时圆心()0,0O 到直线AB 的距离22222211dk k ，解得3k =±. 故答案为：3±. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用三角形面积公式转化面积最值为圆心到弦的距离，细心计算即可得解.16．【分析】先根据条件得到点的轨迹方程为由条件可得曲线与圆有8个公共点作出的图象根据数形结合可得答案【详解】如图根据切线的性质可得与全等由则为等腰直角三角形则所以满足条件的点的轨迹方程为：P 为与圆的交点 解析：22m <<【分析】先根据条件得到点P 的轨迹方程为222x y +=,由条件可得曲线||||x y m +=与圆222x y +=有8个公共点,作出||||x y m +=的图象，根据数形结合可得答案.【详解】如图，根据切线的性质可得OPM 与OPN 全等， 由90MPN ∠=︒，则OPM 为等腰直角三角形，则2OP =所以满足条件的点P 的轨迹方程为：222x y +=P 为||||x y m +=与圆222x y +=的交点,由条件可得曲线||||x y m +=与圆222x y +=有8个公共点.对于||||x y m +=,当0,0x y ≥≥时，x y m += 当0,0x y ≤≤时，x y m --= 当0,0x y ≥≤时，x y m -= 当0,0x y ≤≥时，x y m -+= 如图，当2m =||||x y m +=与圆222x y +=有4个交点.当2m =时，曲线||||x y m +=与圆222x y +=相切，有4个公共点.22m <时，曲线||||x y m +=与圆222x y +=有8个公共点22m <<【点睛】关键点睛：本题考查轨迹问题和根据图象的交点个数求参数，解答本题的关键是先求出点P 的轨迹方程为：222x y +=，然后转化为曲线||||x y m +=与圆222x y +=有8个公共点.根据图象先求出临界情况的参数值，再数形结合解出答案，属于中档题.17．【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆进而画出曲线来要使直线与曲线恰有两个交点可以通过数形结合分析得解【详解】曲线有即表示一个半圆（单位圆左半部分）如图当直线经过点点时求得；当直线和半圆相切时由圆心到直 解析：2⎡⎣【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆，进而画出曲线来，要使直线与曲线恰有两个交点，可以通过数形结合分析得解. 【详解】曲线2x 1y =--有即221x y +=(0)x ，表示一个半圆（单位圆左半部分）．如图，(0,1)A 、(1,0)B -、(0,1)C -，当直线y x b =+经过点B 、点A 时，01b =-+，求得1b =； 当直线y x b =+和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得12=2b =2b =-（舍去），故要求的实数b 的范围为12b <， 故答案为：2⎡⎣【点睛】易错点睛：本题在把方程2x 1y =--化简找其对应的曲线时，容易漏掉0x ≤，从而把曲线的范围扩大为整个单位圆，导致结果出错.在把方程转化时，一定要注意变量范围的等价性.18．13【分析】由两直线方程可得定点再联立两直线方程解出的坐标然后由两点间距离公式可得进而可以求解【详解】动直线过定点动直线过定点联立方程解得则由两点间距离公式可得：故答案为：13【点睛】本题考查了直线解析：13 【分析】由两直线方程可得定点(0,1)A ，(3,1)B --，再联立两直线方程解出P 的坐标，然后由两点间距离公式可得2PA ，2PB ，进而可以求解． 【详解】动直线10kx y +-=过定点(0,1)A 动直线30x ky k --+=过定点(3,1)B --联立方程1030kx y x ky k +-=⎧⎨--+=⎩，解得223(1k P k -+，2231)1k k k -+++， 则由两点间距离公式可得：222222331(0)(1)11k k k PA k k--++=-+-++ 222222331(0)(1)11k k k PB k k--++=-+-++2432432222222222224129412991249124()()(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k PA PB k k k k -+-+++++∴+=+++++++422213(21)13(1)k k k ++==+，故答案为：13． 【点睛】本题考查了直线中定点问题以及两点间距离公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．19．或【分析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点利用点到两腰所在直线的距离相等可求得顶角角平分线方程再由底边所在直线过点且与顶角角平分线垂直可求得所求直线的方程【详解】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点解析：370x y +-=或310x y -+= 【分析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点(),M x y ，利用点M 到两腰所在直线的距离相等可求得顶角角平分线方程，再由底边所在直线过点P 且与顶角角平分线垂直可求得所求直线的方程. 【详解】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点(),M x y ， 则点M 到直线20x y +-=与740x y -+=的距离相等，=7452x y x y -+=+-.所以，()7452x y x y -+=+-或()7452x y x y -+=-+-，所以，该等腰三角形顶角角平分线所在直线的方程为370x y -+=或6230x y +-=. 由于底边与顶角角平分线垂直.当底边与直线370x y -+=垂直时，且直线370x y -+=的斜率为13， 此时底边所在直线方程为()132y x -=--，即370x y +-=；当底边与直线6230x y +-=垂直时，且直线6230x y +-=的斜率为3-，此时底边所在直线方程为()1123y x -=-，即310x y -+=. 故答案为：370x y +-=或310x y -+=.【点睛】本题考查等腰三角形底边所在直线方程的求解，考查了等腰三角形三线合一的性质以及点到直线距离公式的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】利用是过点B(02)且关于y 轴对称的两条射线将C1与C2有且仅有三个公共点等价转化为l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点验证即可解析：43-【分析】利用1C 是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线,将C 1与C 2有且仅有三个公共点等价转化为l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点，验证，即可得出答案. 【详解】易知2C 是圆心为A (-1,0),半径为2的圆.由题设知,1C 是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线，记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2，由于B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点. 当l 1与C 2只有一个公共点时,A 到l 1所在直线的距离为2,2=,故43k =-或k =0.经检验，当k =0时，l 1与C 2没有公共点； 当43k =-时，l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点 当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为22=,故k =0或43k =,经检验，当k =0时，l 1与C 2没有公共点，当43k =时，l 2与C 2没有公共点. 故答案为：43- 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.三、解答题21．（1）11924y x =-+；（2）280x y -+=. 【分析】（1）设AB 边的垂直平分线为l ，求出12l k =-，即得AB 边的垂直平分线所在的直线方程；（2）设B 关于直线30x y -+=的对称点M 的坐标为(,)a b ，求出(0,4)M 即得解. 【详解】（1）设AB 边的垂直平分线为l ， 有题可知53221AB k -==-，12lk ， 又可知AB 中点为3,42⎛⎫⎪⎝⎭， ∴l 的方程为13422y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即11924y x =-+，（2）设B 关于直线30x y -+=的对称点M 的坐标为(,)a b ；则311133022b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得04a b =⎧⎨=⎩，所以(0,4)M ，由题可知A ，M 两点都在直线AC 上，所以直线AC 的斜率为541202-=-，所以直线AC 的方程为14(0)2y x -=-， 所以AC 所在直线方程为280x y -+=.【点睛】方法点睛：求直线方程常用的方法是：待定系数法，先定式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式），再定量.22．（1）()()224225x y -++=；（2）2200x y --=. 【分析】（1）联立线段AB 的垂直平分线所在的方程与圆心所在直线方程，可得圆心坐标，进而求出圆的半径以及圆M 的标准方程；（2）设出直线l 的方程，由CD =2OA 可得弦长，利用点到直线的距离公式结合勾股定理列出方程，可得直线l 的方程． 【详解】（1）由题意可解得线段AB 的垂直平分线所在的方程为：y +2=34(x －4)，即354y x =-，因为圆心在直线x ＋y －2＝0上，且圆M 过点A （1，2），B （7，－6），则圆心为直线354y x =-与直线x ＋y －2＝0的交点，联立20354x y y x +-=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩，即圆心M 为（4，－2），半径为MA5=，所以圆M 的标准方程为()()224225x y -++=.（2）由直线l 平行于OA ，可设直线l 的方程为：20y x m m =+≠，，则圆心M 到直线l的距离为d ==CD =2OA =2525d +=，所以d ==，则解得m =－20或m =0（舍去），则直线l 的方程为2200x y --=. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆的标准方程，考查圆的性质，解决本题的关键点是由已知求出弦长CD ，利用圆的弦长的一半，圆心到直线的距离和圆的半径构造直角三角形，结合勾股定理计算出参数的值，进而可得直线的方程，考查了学生计算能力，属于中档题． 23．（1）2r 或6r =；（2）24y x =.【分析】 （1）M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上，设(),M a a ，根据AOM为直角三角形，由勾股定理即可求解.（2）设(), M x y ，由于MO AO ⊥，根据AOM 为直角三角形，由勾股定理即可求解. 【详解】 解：（1）因为M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线0x y +=上，且A ，B 关于坐标原点O 对称， 所以M 在直线y x =上，故可设(),M a a . 因为M 与直线20x +=相切，所以M 的半径为2r a =+.由已知得2AO =，(),M a a 点到0x y +==又MO AO ⊥，故可得()22242a a +=+，解得0a =或4a =. 故M 的半径2r 或6r =.（2）设(), M x y ，由已知得M 的半径为2r x =+，2AO =，MO =由于MO AO ⊥，所以222MO OA r +=，故可得()22242x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.【点睛】思路点睛：直线和圆相交时，通常用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形建立等量关系. 24．（1）A ′334(,)1313-；（2）9x －46y ＋102＝0；（3）2x －3y －9＝0. 【分析】（1）直接设出点(),A x y '，利用垂直和中点坐标，列方程求解；（2）首先直线m '过直线l 和m 的交点，再转化为一点关于直线的对称点，利用两点求直线方程；（3）法一，转化为点关于点的对称点，求直线方程，法二，设Q (x ，y )为l ′上任意一点，利用对称性求关于(),x y 的方程.【详解】 （1）设A ′(x ，y )，则221,13122310,22y x x y +⎧⨯=-⎪⎪+⎨--⎪⨯-⨯+=⎪⎩解得33,134,13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即A ′334(,)1313-. （2）在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则202310,22021,23a b b a ++⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩解得6,1330,13a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即M ′630(,)1313.设m 与l 的交点为N ，则由2310,3260,x y x y -+=⎧⎨--=⎩得N (4，3)．又m ′经过点N (4，3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.（3）法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1，1)，N (4，3)，则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设Q (x ，y )为l ′上任意一点，则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为Q ′(－2－x ，－4－y )， ∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0. 【点睛】方法点睛：与直线有关的对称问题的求解规律：点关于点对称，利用中点坐标得到对称点的关系式，1122x a x y b y =-⎧⎨=-⎩；直线关于点对称，两直线平行，斜率相等，再在已知直线上取点A ，再求点A 关于对称点的对称点A '，求直线方程；点关于直线对称，两对称点的连线与对称轴垂直，两对称点的对称中心在对称轴上，列式求解对称点；直线关于直线的对称，若两直线相交，则三条直线交于一点，再转化为求点关于直线的对称点；若两直线平行，则三条直线都平行，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出直线的对称直线.25．（1）229x y +=（2） 【分析】（1）设出经过圆C 和直线l 的圆系方程，利用圆心在直线2y x =上可求得结果； （2）当直线MN 的斜率不存在时，可求出四边形的MRNS面积为MN 的斜率存在时，设直线:(2)MN y k x =+，则直线:20RS x ky ++=，利用几何方法求出||MN 和||RS ，求出四边形MRNS 面积，再换元求出最值可得取值范围.【详解】（1）依题意可设圆E 的方程为22663(2)0x x y y x y λ-+-+++-=，整理得22(6)(6)320x y x y λλλ++-+-+-=， 所以圆心66(,)22E λλ----，因为圆心E 在直线2y x =上，所以66222λλ--⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，解得6λ=， 所以圆E 的方程为229x y +=.（2）当直线MN 的斜率不存在时，||MN =||6RS =，四边形MRNS 面积为162⨯= 当直线MN 的斜率存在时，设直线:(2)MN y k x =+，即20kx y k -+=，则直线:20RS x ky ++=，圆心E 到直线MN 的距离1d =，圆心E 到直线RS 的距离2d =，所以||MN ===，||RS ==所以四边形MRNS 面积为1||||2MN RS ⨯=， 令211t k =+，则01t <≤， 所以2244(5)(9)(54)(94)11t t k k +-=+-++224516164516()16t t t t =-++=---， 当12t =，即1k =±时，24516()16t t ---取得最大值49，此时四边形的MRNS 面积的最大值为14，当1t =，即0k =时，24516()16t t ---取得最小值45，此时四边形MRNS 面积的最小值为综上所述：四边形MRNS 面积的取值范围为【点睛】结论点睛：经过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程为22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=.26．（1）22(2x y +=，圆心为0)（2）[2-，2【分析】（1）把点的坐标代入圆的方程求得a 值，可得圆的方程，配方化为圆的标准方程，求得圆心坐标与半径；（2）由题意得M 与N 的坐标，求得||MN ，再求出圆心C 到直线MN 的距离，可得点P 到直线MN 的距离的最小值与最大值，则MNP △面积的取值范围可求．【详解】（1）由题意，22(0+=，解得a =-∴圆C 的方程为220x y +-=，化为标准方程：22(2x y +=，圆心为0)（2）由题意得，(M 0)，(0,N ，||2MN ∴=，圆心C 到直线MN 的距离2d =，∴点P 到直线MN 的距离的最小值为2-2+MNP ∴的面积的最小值为12(222⨯⨯=12(222⨯⨯=MNP ∴面积的取值范围是[2，2+．【点睛】关键点点睛：求圆上一点到直线的距离的最大值与最小值，先求圆心到直线的距离d ,则,d r d r +-分别是圆上点到直线的距离的最大值与最小值.。

人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试(含答案解析)

人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试(含答案解析)

一、选择题1．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈且0ab ≠，则2211a b+的最小值为（ ） A ．72B ．4C ．1D ．52．若平面上两点()2,0A -，()10B ,，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．与实数k 的取值有关3．点()4,2P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是（ ） A ．()()22211x y -++= B ．()()22214x y -++= C ．()()22421x y ++-=D ．()()22211x y ++-=4．已知直线1:210l ax y +-=2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则a 的值为（ ） A ．4±B ．－4C ．4D ．2±5．已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（ ） A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-6．点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，则四边形PAOB （O 为坐标原点）的面积的最小值等于（ ） A ．8 B ．4C ．24D ．167．已知圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>，若圆C 上至少有3个点到直线20x y ++=，则实数r 的取值范围为（ ）A ．(0,B ．C ．)+∞D ．+∞[)8．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ①对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③定义(0,0)O ，动点(,)P x y 满足(,)1d P O =，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39．若过点(2,1)P 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y -+=的距离是（ ）A B C D 10．已知点(1,1)A - 和圆221014700C x y x y +--+=: ，一束光线从点A 出发，经过x 轴反射到圆C 的最短路程是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．911．曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是（ ） A ．74y x =+B ．72y x =+C ．4y x =-D ．2y x =-12．设点()0,1M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ︒∠=，则0x 的取值范围是（ ）A ．[0,1]B ．[1,1]-C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎡⎢⎣⎦二、填空题13．已知过点()4,1P 的直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，直线l 的方程为______． 14．直线360x y +-=和圆()2215x y +-=的位置关系为______.15．已知圆C 过点（8，1），且与两坐标轴都相切，则面积较小的圆C 的方程为________. 16．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A -，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是___________.17．直线()130m x my m ++++=被圆2225x y +=所截的弦长的最小值为________. 18．若P 为直线40x y -+=上一个动点，从点P 引圆2240y x C x +-=：的两条切线PM ，PN （切点为M ，N ），则MN的最小值是________.19．若直线y x b =+与曲线y =b 的范围______________.20．若实数,a b ∈R 且0b ≠，则()221a b a b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的最小值为_______.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过点A （1，2），B （7，－6），且圆心在直线x ＋y －2＝0上.（1）求圆M 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于C ，D 两点，且CD =2OA ，求直线l 的方程. 22．已知直线l 经过直线10x y -+=与直线240x y +-=的交点，且()2,3M ，()4,5N -到l 的距离相等，求直线l 的方程.23．已知圆C 过A （1，5）、B （4，2）两点，且圆心在直线2y x =上，直线l 过点()3,2P --且与AB 平行．（1）求直线l 及圆C 的方程；（2）设点M 、N 分别是直线l 和圆C 上的动点，求|MN |的取值范围． 24．已知圆C 的圆心在直线2y x =-上，且过点(2,1),(0,3)-- （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程. 25．已知直线:10l x y +-=与圆22:430C x y x +-+=相交于,A B 两点. （1）求||AB ；（2）若(,)P x y 为圆C 上的动点，求+1yx 的取值范围. 26．如图，已知ABC 的边AB 所在直线的方程为360x y --=，()2,0M 满足BM MC =，点()1,1T -在AC 边所在直线上且满足0AT AB ⋅=.（1）求AC 边所在直线的方程； （2）求ABC 外接圆的方程；（3）求过()2,0N -的ABC 外接圆的切线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由题意可知两圆外切，可得出2249a b +=，然后将代数式2211a b +与2249a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b +的最小值. 【详解】圆222240x y ax a +++-=的标准方程为()224x a y ++=，圆心为()1,0C a -，半径为12r =，圆2224140x y by b +--+=的标准方程为()2221x y b +-=，圆心为()20,2C b ，半径为21r =.由于圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，则这两圆外切，所以，1212C C r r =+3=，所以，2249a b +=，所以，222222222211411141551999a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫+⎛⎫+=+=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当222a b =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为1. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．C解析：C 【分析】首先利用直接法求点P 的轨迹方程，则转化为直线()1y k x =-与轨迹曲线的交点个数. 【详解】 设(),P x y ，2PA PB =，=整理为：()22224024x y x x y +-=⇔-+=， 即点P 的轨迹是以()2,0为圆心，2r为半径的圆，直线():1l y k x =-是经过定点()1,0，斜率存在的直线，点()1,0在圆的内部，所以直线():1l y k x =-与圆有2个交点，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为2个. 故选：C方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.3．A解析：A 【分析】设圆上任意一点为()11,x y ，中点为(),x y ，则114222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由此得解轨迹方程．【详解】设圆上任意一点为()11,x y ，中点为(),x y ，则114222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，112422x x y y =-⎧⎨=+⎩代入224x y +=得()()2224224x y -++=，化简得()()22211x y -++=．故选：A ． 4．B解析：B 【分析】由12l l //可得280,a a ⨯-⨯=解得4a =±，然后再检验,得出答案. 【详解】因为12l l //，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±. 当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去. 当4a =-时，符合题意. 所以4a =-. 故选：B 【点睛】易错点睛：已知直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行求参数的值时，除了要计算12210a b a b -=，还一定要把求出的参数值代入原直线方程进行检验，看直线是否重合.本题就是典型例子，否则容易出现错解，属于中档题5．C【分析】根据勾股定理由切线长最小值求出||PC C 到直线l 的距离为l 的方程，根据点到直线的距离列式可解得结果.【详解】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，因为切线长的最小值为2，所以min ||PC ==所以圆心C 到直线l ，所以直线必有斜率，设:(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --===22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C 【点睛】关键点点睛：根据勾股定理由切线长的最小值求出||PC 的最小值，也就是圆心C 到直线l 的距离是解题关键.6．A解析：A 【分析】根据题意，得到四边形PAOB 的面积22PAOS S PA ===只需求PO 最小值，进而可求出结果. 【详解】因为圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径为2r，圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离为2d ==>，所以直线2100x y ++=与圆224x y +=相离，又点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，所以PA PB =，PA OA ⊥，PB OB ⊥，因此四边形PAOB 的面积为12222PAO PBOPAOS SSSPA r PA =+==⨯⨯== 为使四边形面积最小，只需PO 最小，又min PO 为圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离d =所以四边形PAOB 的面积的最小值为8=. 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于根据圆的切线的性质，将四边形的面积化为2PAOS =求面积最值问题，转化为定点到线上动点的最值问题，即可求解.7．D解析：D 【分析】根据题意，得到直线不过圆心，且求得圆心到直线的距离，结合题中条件，得到实数r 的取值范围. 【详解】圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>的圆心(1,1)到直线20x y ++=为：d ==，且直线20x y ++=不过圆心，若圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>上至少有3个点到直线20x y ++=，则有r ≥=所以实数r 的取值范围为+∞[)， 故选：D. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关直线与圆的相关问题，解决该题的思路如下： （1）求得圆心到直线的距离，并且发现直线不过圆心； （2）结合题中条件，得到r 的取值范围.8．B解析：B 【分析】由新定义表示出三点,,A B C 两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，由新定义计算出(,)d P l ，判断②，根据新定义求出P 的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③． 【详解】①设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则1212(,)d A B x x y y =-+-，13132323(,)(,)d A C d B C x x y y x x y y +=-+-+-+-，显然1323132312()()x x x x x x x x x x -+-≥---=-，同理132312y y y y y y -+-≥-，∴(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥，①正确； ②设(,)P x y 是直线l 上任一点，则21y x =-，(,)31322d P l x y x x =-+-=-+-35,31,1353,1x x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩，易知(,)d P l 在[1,)+∞上是增函数，在(,1)-∞上是减函数，∴1x =时，min (,)13222d P l =-+-=，②错； ③由(,)1d P O =得1x y +=，易知此曲线关于x 轴，y 轴，原点都对称，它是以(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--为顶点的正方形，其转成图形面积为12222S =⨯⨯=，③错．故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是把新概念转化为绝对值的问题，利用绝对值的性质求解．9．C解析：C 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y -+=的距离. 【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心()1,1到直线230x y -+=的距离均为15d ==圆心()5,5到直线230x y -+=的距离均为25d ==圆心到直线230x y -+=的距离均为5d ==；所以，圆心到直线230x y -+=. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的圆心是解题的关键，考查计算能力.10．C解析：C 【分析】先将圆221014700C x y x y +--+=:化为标准方程,求出圆心和半径,再找出圆心O 关于x 轴对称的点'O ,最短距离即(1,1)A -和圆C 的圆心()5,7O 关于x 轴对称的点()'5,7O -的距离再减去半径的距离. 【详解】解:由题可知，圆221014700C x y x y +--+=:,整理得()()222572C x y -+-=:,圆心()5,7O ,半径2r最短距离即(1,1)A -和圆C 的圆心()5,7O 关于x 轴对称的点()'5,7O -的距离再减去半径的距离，所以21028d ==-=.故选:C 【点睛】本题主要考查圆的方程和直线与圆的位置关系,考查两点间的距离公式,属于简单题.11．D解析：D 【分析】已知点(1,3)--在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程． 【详解】由已知得：曲线为34y x x =-;则：对其进行求导得243y x '=-；当1x =-时，243(1)1y '=-⨯-=∴ 曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程为：31(1)y x +=⨯+化简得：2y x =-； 故选：D.【点睛】本题主要考查了求曲线切线方程，解题关键是掌握根据导数求切线的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】首先根据题中条件，可以判断出直线MN 与圆O 有公共点即可，从而可以断定圆心O 到直线MN 的距离小于等于半径，列出对应的不等关系式，求得结果. 【详解】依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可， 即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ， 在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=， 故02sin 452OA OM ==1≤， 所以2OM ≤2012x +≤，解得011x -≤≤．故选：B. 【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，解直角三角形，属于简单题目.二、填空题13．【分析】由题意可知直线的斜率存在且不为零可设直线的方程为求出点的坐标结合已知条件可求得的取值范围并求出的面积关于的表达式利用基本不等式可求得面积的最小值及其对应的值由此可求得直线的方程【详解】由题意 解析：480x y +-=【分析】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，求出点A 、B 的坐标，结合已知条件可求得k 的取值范围，并求出AOB 的面积关于k 的表达式，利用基本不等式可求得AOB 面积的最小值及其对应的k 值 ，由此可求得直线l 的方程. 【详解】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，即14y kx k =+-. 在直线l 的方程中，令0x =，可得14y k =-；令0y =，可得41k x k-=. 即点41,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,14B k -，由题意可得410140k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <， AOB 的面积为()1411111481688222AOBk S k k k k ⎛-⎛⎫=⨯⨯-=--≥+= ⎪ ⎝⎭⎝△，当且仅当()1160k k k-=-<时，即当14k =-时，等号成立，所以，直线l 的方程为()1144y x -=--，即480x y +-=. 故答案为：480x y +-=. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点： （1）将三角形的面积利用k 加以表示；（2）在求解最值时，可充分利用基本不等式、导数、函数的单调性等知识来求解.14．相交【分析】由圆的标准方程求出圆心和半径根据圆心到直线的距离与半径的大小关系确定出直线与圆的位置关系【详解】解：圆的圆心坐标为半径则圆心到直线的距离直线与圆的位置关系是相交故答案为：相交【点睛】方法解析：相交 【分析】由圆的标准方程求出圆心和半径，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系，确定出直线与圆的位置关系 【详解】解：圆()2215x y +-=的圆心坐标为(0,1)，半径r =则圆心到直线360x y +-=的距离d =< ∴直线360x y +-=与圆()2215x y +-=的位置关系是相交.故答案为：相交. 【点睛】方法点睛：判断直线与圆的位置关系，常用圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小比较：（1）若d r =，则直线与圆相切； （2）若d r <，则直线与圆相交； （3）若dr ，则直线与圆相离.15．【分析】设圆的方程为代入点求得或进而得到圆的方程【详解】由题意圆过点且与两坐标轴都相切设圆的方程为将点代入圆的方程可得整理得解得或当时圆的面积较小所以圆的方程为故答案为：【点睛】求解圆的方程的两种方 解析：()()225525x y -+-=【分析】设圆的方程为222()()(0)x a y a a a -+-=>，代入点(8,1)，求得5a =或13a =，进而得到圆的方程. 【详解】由题意，圆C 过点(8,1)，且与两坐标轴都相切， 设圆的方程为222()()(0)x a y a a a -+-=>， 将点(8,1)代入圆的方程，可得222(8)(1)a a a -+-=， 整理得218650a a -+=，解得5a =或13a =，当5a =时，圆C 的面积较小，所以圆的方程为()()225525x y -+-=. 故答案为：()()225525x y -+-=. 【点睛】求解圆的方程的两种方法：几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程； 待定系数法：①根据题意，选择标准方程与一般方程； ②根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组； ③解出,,a b r 或,,D E F 的值，代入标准方程或一般方程.16．【分析】将问题转化为以为圆心2为半径的圆为圆与圆相交问题再根据圆与圆的位置关系求解即可【详解】解：根据题意设以为圆心2为半径的圆为圆所以圆圆心为半径为则两圆圆心距为:因为圆上存在两点到的距离为2所以 解析：(3,7)【分析】将问题转化为以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：根据题意设以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A ， 所以圆222:(0),O x y r r +=> 圆心为(0,0),O 半径为r ， 则两圆圆心距为 : ||5OA = ， 因为圆O 上存在两点到A 的距离为2，所以圆O 与圆A 相交，所以252,r r -<<+ 解得 :37.r << 所以的取值范围是：(3,7). 故答案为：(3,7). 【点睛】圆与圆位置关系问题的解题策略：（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法；（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.17．【分析】转化条件为直线过结合垂径定理可得当直线与直线垂直时弦长最小即可得解【详解】直线可变为由可得所以直线过定点又圆的圆心为半径所以点在圆内所以当直线与直线垂直时弦长最小此时弦长为故答案为：【点睛】解析：【分析】转化条件为直线过()3,2A -，结合垂径定理可得当直线AO 与直线()130m x my m ++++=垂直时，弦长最小，即可得解.【详解】直线()130m x my m ++++=可变为()130x y m x ++++=，由1030x y x ++=⎧⎨+=⎩可得32x y =-⎧⎨=⎩，所以直线()130m x my m ++++=过定点()3,2A -， 又圆2225x y +=的圆心为()0,0O ，半径=5r ，所以213AO =，点()3,2A -在圆内，所以当直线AO 与直线()130m x my m ++++=垂直时，弦长最小，此时弦长为==.故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是找到直线经过的定点，再利用几何法转化出弦长.18．【分析】根据题意得当的长度最小时取最小值进而根据几何关系求解即可【详解】如图由题可知圆C 的圆心为半径要使的长度最小即要最小则最小因为所以当最小时最小因为所以当最小时最小因为所以所以由于所以故答案为：【分析】根据题意得当||MN 的长度最小时，||PC 取最小值，进而根据几何关系求解即可. 【详解】如图，由题可知圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r．要使||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，则MCP ∠最小． 因为||||tan 2PM PM MCP r ∠==， 所以当||PM 最小时，||MN 最小因为2||4PM PC =-∣， 所以当||PC 最小时，||MN 最小． 因为min ||3211PC ==+， 所以2cos 332MCP ∠==， 所以7sin 3MCP ∠=， 由于1in 2s 2MCP MN∠=所以min 47||MN =． 47. 【点睛】本题解题的关键是根据已知当||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，进而得当||PC 最小时，||MN 最小．由于||PC 的最小值为C 点到直线40x y -+=，故min ||32PC =.考查化归转化思想和运算能力，是中档题.19．或【分析】由曲线变形为画出的图象当直线经过时直线与曲线有两个公共点求出此时的以及直线过时的值再求出当直线与曲线相切时的的值数形结合即可得b 的范围【详解】由曲线变形为画出的图象①当直线经过时直线与曲线解析：22b -≤<或22b = 【分析】 由曲线24y x =-变形为()2204y x y +=≥，画出 y x b =+，()2204y x y +=≥的图 象，当直线经过()2,0A - ，()0,2B 时，直线与曲线有两个公共点，求出此时的b ，以及直线y x b =+过(2,0)C 时b 的值，再求出当直线与曲线相切时的b 的值，数形结合即可得b 的范围. 【详解】 由曲线24y x =-变形为()2204y x y +=≥，画出 y x b =+，()2204y x y +=≥的图象，①当直线经过()2,0A - ，()0,2B 时，直线与曲线有两个公共点，此时2b =， 当直线y x b =+过(2,0)C 时02b =+，得2b =-， 所以若直线与曲线有1个公共点，则22b -≤<. ②当直线与曲线相切时，联立224y x bx y =+⎧⎨+=⎩ ，化为222240x bx b ++-=， 令2248(4)0b b ∆=--=，解得：22b =，或22b =-（舍去）， 综上所述b 的范围: 22b -≤<或22b =. 故答案为：22b -≤<或22b =.【点睛】本题主要考查了直线与圆相交相切问题、采用数形结合思想，属于中档题.20．2【分析】根据两点间的距离公式的几何意义可知表示点到点的距离点在直线上点在曲线上通过平移法设曲线的切线方程联立切线方程和曲线方程通过求出可求出切线方程最后利用两平行线间的距离公式求出两平行直线与的距【分析】(),a a 到点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离，点(),a a 在直线y x =上，点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线1y x =-上，通过平移法，设曲线1y x=-的切线方程y x m =+，联立切线方程和曲线方程，通过0∆=求出m ，可求出切线方程，最后利用两平行线间的距离公式，求出两平行直线0x y -=与20x y -+=的距. 【详解】表示点(),a a 到点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离， 而点(),a a 在直线y x =上，点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线1y x=-上， 将直线y x =平移到与曲线1y x=-相切，设切线为y x m =+，切线方程和曲线方程联立，即1y x my x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，得210x mx ++=，则240m ∆=-=，解得：2m =±，当2m =时，切线方程为：2y x =+，即20x y -+=， 所以两平行直线0x y -=与20x y -+=的距离为：d ==，所以()221a b a b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查利用两点间距离的几何意义求最值，考查两点间的距离公式以及两平行线间的距离公式的应用，还涉及两平行线的斜率关系和一元二次方程根的判别式，考查转化思想和三、解答题21．（1）()()224225x y -++=；（2）2200x y --=. 【分析】（1）联立线段AB 的垂直平分线所在的方程与圆心所在直线方程，可得圆心坐标，进而求出圆的半径以及圆M 的标准方程；（2）设出直线l 的方程，由CD =2OA 可得弦长，利用点到直线的距离公式结合勾股定理列出方程，可得直线l 的方程． 【详解】（1）由题意可解得线段AB 的垂直平分线所在的方程为：y +2=34(x －4)，即354y x =-，因为圆心在直线x ＋y －2＝0上，且圆M 过点A （1，2），B （7，－6），则圆心为直线354y x =-与直线x ＋y －2＝0的交点，联立20354x y y x +-=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩，即圆心M 为（4，－2），半径为MA5=，所以圆M 的标准方程为()()224225x y -++=.（2）由直线l 平行于OA ，可设直线l 的方程为：20y x m m =+≠，，则圆心M 到直线l的距离为d ==CD =2OA =2525d +=，所以d ==，则解得m =－20或m =0（舍去），则直线l 的方程为2200x y --=. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆的标准方程，考查圆的性质，解决本题的关键点是由已知求出弦长CD ，利用圆的弦长的一半，圆心到直线的距离和圆的半径构造直角三角形，结合勾股定理计算出参数的值，进而可得直线的方程，考查了学生计算能力，属于中档题． 22．3270x y +-=或460x y +-=. 【分析】根据题意求出交点坐标，由M ，N 到l 的距离相等，可判断直线有两种情况：①直线l 经过线段MN 的中点；②直线//l MN ，分别求解两种情况下的直线方程即可. 【详解】 联立10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线10x y -+=与直线240x y +-=的交点为()1,2P ，由M ，N 到l 的距离相等，知直线l 经过线段MN 的中点，或者直线//l MN ，线段MN 的中点为()3,1Q -，35424MN k +==--， ∴过点P ，Q 的直线l 的方程为3270x y +-=，∴过点P 与直线MN 平行的直线l 的方程为460x y +-=， 综上，直线l 的方程为3270x y +-=或460x y +-=. 【点睛】本题考查直线方程的求法，考查两直线交点等基础知识，两个点到直线的距离相等，可以分为两种情况：①直线l 经过线段MN 的中点；②直线//l MN ；当MN 的中点()3,1Q -在直线l 上时，计算出斜率PQ k ，利用点斜式即可得出直线l 的方程；当//MN l时，计算出斜率MN k ，再根据斜率相等，利用点斜式即可得出直线l 的方程.23．（1）x +y +5=0，(x -1)2+(y -2)2=9；（2）)3,⎡+∞⎣. 【分析】（1）求出AB 的斜率，利用点斜式可得直线l 的方程，求出AB 的中垂线的方程，结合圆心在直线2y x =上可得圆心坐标，求出半径后可得所求的圆的方程. （2）求出圆心到直线l 的距离后可得|MN |的取值范围． 【详解】（1）∵1AB k =-， 直线l:y +2=-(x +3)，即l:x +y +5=0，AB 的中点为57,22⎛⎫⎪⎝⎭，故AB 的中垂线方程为57122y x x =-+=+，由21y x y x =⎧⎨=+⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，∴圆心C (1，2)，半径3r CA ===， ∴圆C 的方程为：(x -1)2+(y -2)2=9.(2) ∵圆心C 到直线l 的距离为3d ==>，∴直线l 与圆C 相离,∴|MN |的最小值为3-，无最大值，∴|MN |的取值范围为)3,⎡+∞⎣. 【点睛】 方法点睛：（1）求圆的方程，关键是确定圆心坐标和圆的半径，前者的确定需要利用一些几何性质，如果圆心在弦的中垂线上，也在过切点且垂直于切线的直线上.（2）直线与圆的位置关系中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离问题. 24．（1）22(1)(2)2x y -++=；（2）0x =或34y x =-.【分析】（1）根据题意设圆心坐标为(,2)a a -，进而得222222(2)(12)(0)(32)a a r a a r ⎧-+-+=⎨-+-+=⎩，解得1,a r ==，故圆的方程为22(1)(2)2x y -++=（2）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）圆C 的圆心在直线2y x =-上，设所求圆心坐标为(,2)a a - ∵ 过点(2,1),(0,3)--，222222(2)(12)(0)(32)a a r a a r ⎧-+-+=∴⎨-+-+=⎩解得1,a r ==∴ 所求圆的方程为22(1)(2)2x y -++= （2）直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2 ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =， 此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，由于直线l 被圆C 截得的弦长为2，故圆心到直线l 的距离为1d = 故由点到直线的距离公式得：1d ==解得34k =-，所以直线l 的方程为34y x =- 综上所述，则直线l 的方程为0x =或34y x =- 【点睛】易错点点睛：本题第二问在解题的过程中要注意直线斜率不存在情况的讨论，即分直线l 的斜率存在和不存在两种，避免在解题的过程中忽视斜率不存在的情况致错，考查运算求解能力与分类讨论思想，是中档题.25．（1；（2）⎡⎢⎣⎦. 【分析】（1）求出圆的圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ，由||AB =.（2）利用+1yx 表示圆上的点与原点构成直线的斜率即可求解. 【详解】（1）()222243021x y x x y +-+=⇒-+=，所以圆心为()2,0，半径1r =，则圆心到直线:10l x y +-=的距离：2d ==，所以||AB ===（2）+1yx 表示圆上的点(),x y 与()1,0-构成直线的斜率，当直线与圆相切时取得最值，设(1),1+1yk y k x x ==-=，，可得2291k k =+，218k =，k =±+1y x的取值范围为44⎡-⎢⎣⎦.【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用几何法求弦长以及利用两点求斜率的计算公式得到+1yx 的取值范围26．（1）320x y ++=；（2）22(2)8x y -+=；（3）20x y -+=或20x y ++=. 【分析】（1）求出直线AC 的斜率后可得直线AC 的方程.（2）求出点A 的坐标，结合圆心坐标可求圆的半径，从而可得圆的方程. （3）利用点到直线的距离为半径可求切线的斜率，从而可得所求的切线的方程. 【详解】 （1）0AT AB ⋅=，AT AB ∴⊥，又T 在AC 上，AC AB ∴⊥，ABC ∴为Rt ABC ∆，又AB 边所在直线的方程为360x y --=，∴直线AC 的斜率为3-， 又点()1,1T -在直线AC 上，AC ∴边所在直线的方程为13(1)y x -=-+，即320x y ++=.（2）AC 与AB 的交点为A ，∴由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩解得点A 的坐标为()0,2-，BM MC =，()2,0M ∴为Rt ABC 斜边上的中点，即为Rt ABC 外接圆的圆心，又||r AM === 从而ABC 外接圆的方程为22(2)8x y -+=. （3）设切线方程为(2)y k x =+=，解得1k =或1-.所以切线方程为20x y -+=或20x y ++=.【点睛】思路点睛：（1）确定直线的方程往往需要两个独立的条件，比如直线所过的两个不同点，或直线所过的一个点和直线的斜率；（2）确定圆的方程，关键是圆心坐标和半径的确定；（2）直线与圆的位置关系，往往通过圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断.。

人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(答案解析)

人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(答案解析)

一、选择题1．过点()0,0A 、()2,2B 且圆心在直线24y x =-上的圆的标准方程为（ ） A ．()2224x y -+= B ．()2224x y ++= C ．()()22448x y -+-=D ．()()22448x y ++-=2．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（ ） A ．72B ．4C ．1D ．53．点()4,2P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是（ ） A ．()()22211x y -++= B ．()()22214x y -++= C ．()()22421x y ++-=D ．()()22211x y ++-=4．直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长等于（ ）A ．4B ．2C ．D5．已知圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>，若圆C 上至少有3个点到直线20x y ++=，则实数r 的取值范围为（ ）A ．(0,B ．C ．)+∞D ．+∞[)6．设点M 为直线2x =上的动点，若在圆22:3O x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=︒，则M 的纵坐标的取值范围是（ ）A ．[1,1]-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[-D ．22⎡-⎢⎣⎦7．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02cx y -+=上， 则m c += . A ．1B ．2C ．3D ．48．直线y =x +b 与曲线x =b 的取值范围是（ ）A ．||b =B ．-1<b ≤1或b =C ．-1≤b <1D ．非以上答案9．过点(1,2)的直线被圆229x y +=所截弦长最短时的直线方程是（ ） A ．250x y +-= B ．20x y -= C ．230x y -+=D ．20x y +=10．若直线y x b =+与曲线3y =2个公共点，则b 的取值范围是（ ）A．[1-+ B．(11]-- C．[3,1+D ．[1,3]-11．若过点(2,1)P 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y -+=的距离是（ ） ABCD12．曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是（ ） A ．74y x =+B ．72y x =+C ．4y x =-D ．2y x =-二、填空题13．已知点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线PA ，PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是______.14．设()11,M x y 、()22,N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by cax by cδ++=++，以下命题中正确的序号为__________．（1）存在实数δ，使得点N 在直线l 上； （2）若1δ=，则过M 、N 的直线与直线l 平行； （3）若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；（4）若1δ>，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交； 15．光线沿直线30x y -+=入射到直线220x y -+= 后反射，则反射光线所在直线的方程为___________________.16．已知圆C ：()2234x y -+=，线段MN 在直线211y x =-+上运动，点P 是线段MN 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA PB ⊥，则线段MN 长度的最大值是___________．17．过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为_____________.18．已知等腰三角形的底边所在直线过点()2,1P ，两腰所在的直线为20x y +-=与740x y -+=，则底边所在的直线方程是_____________.19．若直线y x b =+与曲线y =b 的范围______________.20．已知圆C ：222x y +=，点P 为直线136x y+=上的一个动点，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则原点O 到直线AB 距离的最大值是______.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过点A （1，2），B （7，－6），且圆心在直线x ＋y －2＝0上.（1）求圆M 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于C ，D 两点，且CD =2OA ，求直线l 的方程. 22．已知直线l 过点(2,1)M ，且分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点A 、B ，（O 为坐标原点）（1）当ABO 的面积为4时，求直线l 的一般式方程； （2）当MA MB ⋅取最小时，求直线l 的一般式方程.23．已知ABC 的顶点(5,1)A ，直线BC 的方程为6590x y AB --=，边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=． （1）求顶点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在直线方程．24．已知圆1C 过点(0,6)A ，且与圆222:10100C x y x y +++=相切于原点，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=．（1）求圆1C 的方程；（2）求直线l 被圆1C 截得的弦长最小值．25．已知圆C 的圆心在直线2y x =-上，且过点(2,1),(0,3)-- （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程. 26．圆心在直线:10l x y ++=上的经过点(1,2),(1,0)A B -； （1）求圆C 的方程（2）若过点(0,3)D 的直线1l 被圆C 截得的弦长为31l 的方程；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】设圆心的坐标为(),24a a -，根据圆心到点A 、B 的距离相等可得出关于实数a 的等式，求出a 的值，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出所求圆的标准方程. 【详解】设圆心为(),24C a a -，由AC BC ==整理可得20a -=，解得2a =，所以圆心()2,0C ，所求圆的半径为2AC =，因此，所求圆的标准方程为()2224x y -+=.故选：A. 【点睛】方法点睛：求圆的方程常见的思路与方法如下：（1）求圆的轨迹方程，直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于x 、y 的方程即可； （2）根据几何意义直接求出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程；（3）待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般方程，再根据所给条件求出参数即可.2．C解析：C 【分析】由题意可知两圆外切，可得出2249a b +=，然后将代数式2211a b +与2249a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b +的最小值. 【详解】圆222240x y ax a +++-=的标准方程为()224x a y ++=，圆心为()1,0C a -，半径为12r =，圆2224140x y by b +--+=的标准方程为()2221x y b +-=，圆心为()20,2C b ，半径为21r =.由于圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，则这两圆外切，所以，1212C C r r =+3=，所以，2249a b +=，所以，222222222211411141551999a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫+⎛⎫+=+=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当222a b =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为1. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．A解析：A 【分析】设圆上任意一点为()11,x y ，中点为(),x y ，则114222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由此得解轨迹方程．【详解】设圆上任意一点为()11,x y ，中点为(),x y ，则114222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，112422x x y y =-⎧⎨=+⎩代入224x y +=得()()2224224x y -++=，化简得()()22211x y -++=．故选：A ． 4．A解析：A 【分析】先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再求圆心到直线的距离，然后解弦长即可． 【详解】因为226240x y x y +-++= 所以22(3)(1)6x y -++=，圆心到直线的距离为d ==直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长4l =；故选：A ． 【点睛】计算圆的弦长通常使用几何法简捷．也可使用代数法计算.5．D解析：D 【分析】根据题意，得到直线不过圆心，且求得圆心到直线的距离，结合题中条件，得到实数r 的取值范围. 【详解】圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>的圆心(1,1)到直线20x y ++=为：d ==，且直线20x y ++=不过圆心，若圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>上至少有3个点到直线20x y ++=，则有r ≥= 所以实数r的取值范围为+∞[)， 故选：D. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关直线与圆的相关问题，解决该题的思路如下： （1）求得圆心到直线的距离，并且发现直线不过圆心； （2）结合题中条件，得到r 的取值范围.6．C解析：C 【分析】在OMN=，从而得到M y =ONM ∠的取值范围，求出M y 的取值范围，即可得解； 【详解】解：设()2,M M y ，在OMN 中，由正弦定理得sin sin OM ONONM OMN=∠∠因为30OMN ∠=︒，ON=12==整理得M y =由题意知0150ONM ︒<∠<︒，所以(]sin 0,1ONM ∠∈，所以sin 1ONM ∠=时，M y 取得最值，即直线MN 为圆22:3O x y +=的切线时，My取值最值，所以M y ⎡∈-⎣故选：C【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，解答的关键转化到OMN 中利用正弦定理计算，考查转化思想；7．C解析：C 【分析】由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02cx y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫⎪⎝⎭在直线02c x y -+=上代入得：12022m c+-+= 整理可得：3m c += 本题正确选项：C 【点睛】本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.8．B解析：B 【分析】作出曲线21x y =-y x b =+，求出直线过半圆直径两端点时的b 值，及直线与半圆相切时的b 值可得结论． 【详解】作出曲线21x y =-，它是单位圆的右半个圆，作出直线y x b =+，如图， 易知(0,1),(1,0)A B -，当直线y x b =+过点A 时，1b =，当直线y x b =+过点B 时，1b =-， 当直线y x b =+与半圆相切时，12b =，2b =±，由图可知2b =-∴b 的取值范围是11b -<≤或2b =-． 故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题时要注意曲线是半圆，因此直线过B 点时与半圆有两个交点，直线与半圆相切时，也只有一个公共点，这是易错点．9．A解析：A 【分析】分析可得当弦长最短时，该弦所在直线与过点(1,2)的直径垂直，先求出过点(1,2)的直径的斜率，然后再求出所求直线的斜率，最后由点斜式写出直线的方程即可. 【详解】当弦长最短时，该弦所在直线与过点(1,2)的直径垂直， 圆229x y +=的圆心为(0,0)，所以过点(1,2)的直径的斜率为20210-=-， 故所求直线为12-，所求直线方程为12(1)2y x ，即250x y +-=. 故选：A . 【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是明确当弦与圆的直径垂直时，弦长最短，考查逻辑思维能力，属于常考题.10．B解析：B 【分析】将234y x x =--化为22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有2个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解. 【详解】由234y x x =--得22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，所以直线y x b =+与半圆22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)有2个公共点，作出直线与半圆的图形，如图：当直线经y x b =+过点(4,3)时，341b =-=-， 当直线与圆22(2)(3)4-+-=x y 211=+，解得122b =-或122b =+由图可知，当直线y x b =+与曲线234y x x =-2个公共点时，1221b -<≤-，故选：B 【点睛】关键点点睛：作出直线与半圆的图形，利用切线的斜率表示b 的范围是解题关键.11．C解析：C 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y -+=的距离. 【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心()1,1到直线230x y -+=的距离均为15d ==圆心()5,5到直线230x y -+=的距离均为25d ==圆心到直线230x y -+=的距离均为5d ==；所以，圆心到直线230x y -+=. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的圆心是解题的关键，考查计算能力.12．D解析：D 【分析】已知点(1,3)--在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程． 【详解】由已知得：曲线为34y x x =-;则：对其进行求导得243y x '=-；当1x =-时，243(1)1y '=-⨯-=∴ 曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程为：31(1)y x +=⨯+化简得：2y x =-； 故选：D. 【点睛】本题主要考查了求曲线切线方程，解题关键是掌握根据导数求切线的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.二、填空题13．2【分析】根据切线的性质可将面积转化为求出的最小值即到直线的距离【详解】圆化为可得圆心为半径为1如图可得则当取得最小值时最小点是直线上一动点到直线的距离即为的最小值故答案为：2【点睛】关键点睛：本题解析：2 【分析】根据切线的性质可将面积转化为21PACB S PC =-，求出PC 的最小值即()0,1C -到直线240x y -+=的距离. 【详解】圆22:20C x y y ++=化为()2211x y ++=，可得圆心为()0,1-，半径为1，如图，可得22221PA PC AC PC =-=-，212212PACB PACS SPA AC PA PC ==⨯⨯⨯==-则当PC 取得最小值时，PACB S 最小， 点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，()0,1C ∴-到直线240x y -+=的距离即为PC 的最小值，()min 222014521PC ⨯++∴==+-()min 512PACB S ∴=-=.故答案为：2. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆相切问题，解题的关键是利用切线性质将面积转化为21PACB S PC =-PC 的最小值即可.14．②③④【分析】①点在直线上则点的坐标满足直线方程从而得到进而可判断①不正确②若则进而得到根据两直线斜率的关系即可判断②③若即可得到即可判断③④若则或根据点与直线的位置关系即可判定④【详解】解：若点在解析：②③④ 【分析】①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到220ax bx c ++=，进而可判断①不正确．②若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++，进而得到1221y y ax x b-=--，根据两直线斜率的关系即可判断②．③若1δ=-，即可得到1212()()022x x y y a b c ++++=，即可判断③． ④若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或11220ax by c ax by c ++<++<，根据点与直线的位置关系即可判定④． 【详解】解：若点N 在直线l 上则220ax bx c ++=，∴不存在实数δ，使点N 在直线l 上，故①不正确；若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++， 即1221y y ax x b-=--， MN l k k ∴=， 即过M 、N 两点的直线与直线l 平行，故②正确； 若1δ=-，则11220ax by c ax by c +++++= 即，1212()()022x x y y a b c ++++=， ∴直线l 经过线段MN 的中点，即③正确；若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或12220ax by c ax by c ++<++<， 即点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 不平行．故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，若两直线平行则两直线的斜率相等．15．【分析】求得直线与直线的交点的坐标然后求出直线上的点关于直线的对称点的坐标进而可求得直线的方程即为反射光线所在直线的方程【详解】联立解得则直线与直线的交点为设直线上的点关于直线的对称点为线段的中点在 解析：730x y --=【分析】求得直线30x y -+=与直线220x y -+=的交点A 的坐标，然后求出直线30x y -+=上的点()3,0B -关于直线220x y -+=的对称点C 的坐标，进而可求得直线AC 的方程，即为反射光线所在直线的方程. 【详解】联立30220x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩，则直线30x y -+=与直线220x y -+=的交点为()1,4A .设直线30x y -+=上的点()3,0B -关于直线220x y -+=的对称点为(),C a b ， 线段BC 的中点3(,)22a b M -在直线220xy -+=上，则322022a b-⨯-+=，整理得220a b --=.直线220x y -+=的斜率为2，直线BC 与直线220x y -+=垂直，则213ba ⋅=-+，整理得230ab ++=.所以，220230a b a b --=⎧⎨++=⎩，解得1585a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点1(,55)8C -.所以，反射光线所在直线的斜率为8457115ACk +==-， 因此，反射光线所在直线的方程为()471y x -=-，即730x y --=. 故答案为：730x y --=. 【点睛】运用点关于直线的对称点的坐标的求解是解题关键.16．【分析】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度考虑边界的情况此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形先算出进一步求出答案【详解】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度考虑边界的情况也就是PAPB 分别与圆 解析：23【分析】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度，考虑边界的情况，此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形，先算出2232lPC d =-=，进一步求出答案. 【详解】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度，考虑边界的情况，也就是PA ，PB 分别与圆相切的情况，此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形，由题意知，圆心()3,0C ，半径2r线段PC 的长为22r =圆心到直线的距离d ==，根据图像的对称性可知2l==所以线段MN 长度的最大值为故答案为: 【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用.本题的难点是分析何时EF 取到最值.根据考虑边界的情况数形结合得出结论.17．或【分析】分类讨论：直线过坐标原点直线不过坐标原点再根据截距的关系求解出直线的方程【详解】当直线过坐标原点时显然直线的斜率存在设代入所以所以所以直线方程为；当直线不过坐标原点时设所以横截距为纵截距为解析：y x =-或11542y x =-+ 【分析】分类讨论：直线过坐标原点、直线不过坐标原点，再根据截距的关系求解出直线的方程. 【详解】当直线过坐标原点时，显然直线的斜率存在，设y kx =，代入()10,10-， 所以1010k -=，所以1k =-，所以直线方程为y x =-； 当直线不过坐标原点时，设()1010y k x -=+，所以横截距为1010k--，纵截距为1010k +，所以()101041010k k --=+，解得14k =-或1k =-（舍），所以直线方程为11542y x =-+，故答案为：y x =-或11542y x =-+. 【点睛】本题考查根据截距关系求解直线方程，难度一般.根据截距的倍数求解直线方程时，要注意直线过坐标原点的情况.18．或【分析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点利用点到两腰所在直线的距离相等可求得顶角角平分线方程再由底边所在直线过点且与顶角角平分线垂直可求得所求直线的方程【详解】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点解析：370x y +-=或310x y -+= 【分析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点(),M x y ，利用点M 到两腰所在直线的距离相等可求得顶角角平分线方程，再由底边所在直线过点P 且与顶角角平分线垂直可求得所求直线的方程. 【详解】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点(),M x y ， 则点M 到直线20x y +-=与740x y -+=的距离相等，=7452x y x y -+=+-.所以，()7452x y x y -+=+-或()7452x y x y -+=-+-，所以，该等腰三角形顶角角平分线所在直线的方程为370x y -+=或6230x y +-=. 由于底边与顶角角平分线垂直.当底边与直线370x y -+=垂直时，且直线370x y -+=的斜率为13， 此时底边所在直线方程为()132y x -=--，即370x y +-=；当底边与直线6230x y +-=垂直时，且直线6230x y +-=的斜率为3-，此时底边所在直线方程为()1123y x -=-，即310x y -+=. 故答案为：370x y +-=或310x y -+=.【点睛】本题考查等腰三角形底边所在直线方程的求解，考查了等腰三角形三线合一的性质以及点到直线距离公式的应用，考查计算能力，属于中等题.19．或【分析】由曲线变形为画出的图象当直线经过时直线与曲线有两个公共点求出此时的以及直线过时的值再求出当直线与曲线相切时的的值数形结合即可得b 的范围【详解】由曲线变形为画出的图象①当直线经过时直线与曲线解析：22b -≤<或b = 【分析】由曲线y =()2204y x y +=≥，画出 y x b =+，()2204y x y +=≥的图 象，当直线经过()2,0A - ，()0,2B 时，直线与曲线有两个公共点，求出此时的b ，以及直线y x b =+过(2,0)C 时b 的值，再求出当直线与曲线相切时的b 的值，数形结合即可得b 的范围. 【详解】由曲线y =()2204y x y +=≥，画出 y x b =+，()2204y x y +=≥的图象，①当直线经过()2,0A - ，()0,2B 时，直线与曲线有两个公共点，此时2b =， 当直线y x b =+过(2,0)C 时02b =+，得2b =-， 所以若直线与曲线有1个公共点，则22b -≤<.②当直线与曲线相切时，联立224y x bx y =+⎧⎨+=⎩ ，化为222240x bx b ++-=， 令2248(4)0b b ∆=--=，解得：22b =，或22b =-（舍去）， 综上所述b 的范围: 22b -≤<或22b =. 故答案为：22b -≤<或22b =.【点睛】本题主要考查了直线与圆相交相切问题、采用数形结合思想，属于中档题.20．【分析】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是应当最小进而得到应当最小然后利用点到直线的距离公式求得的最小值利用直角三角形相似求得原点到直线距离的最大值【详解】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是 解析：53【分析】为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，进而得到OP 应当最小，然后利用点到直线的距离公式求得OP 的最小值，利用直角三角形相似求得原点O 到直线AB 距离的最大值. 【详解】为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，∴OA OP应当最大，∴OP 应当最小，当且仅当OP 与直线136x y+=垂直时OP 最小，OP 的最小值为O 到直线136x y +=,即260x y +-=的距离2266521d ==+设OP 与AB 交于点,Q 则2~,||Rt OQA Rt OAP OQ OP OA ∴⨯=,∴max5||,655OQ ==5 【点睛】本题考查与圆有关的最值问题，属中等难度的题目，关键在于转化为OP 最小，同时注意利用三角形相似进行计算.三、解答题21．（1）()()224225x y -++=；（2）2200x y --=. 【分析】（1）联立线段AB 的垂直平分线所在的方程与圆心所在直线方程，可得圆心坐标，进而求出圆的半径以及圆M 的标准方程；（2）设出直线l 的方程，由CD =2OA 可得弦长，利用点到直线的距离公式结合勾股定理列出方程，可得直线l 的方程． 【详解】（1）由题意可解得线段AB 的垂直平分线所在的方程为：y +2=34(x －4)，即354y x =-，因为圆心在直线x ＋y －2＝0上，且圆M 过点A （1，2），B （7，－6），则圆心为直线354y x =-与直线x ＋y －2＝0的交点，联立20354x y y x +-=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩，即圆心M 为（4，－2），半径为MA ()()2241225-+--=，所以圆M 的标准方程为()()224225x y -++=.（2）由直线l 平行于OA ，可设直线l 的方程为：20y x m m =+≠，，则圆心M 到直线l的距离为d ==CD =2OA=2525d +=，所以d ==，则解得m =－20或m =0（舍去），则直线l 的方程为2200x y --=. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆的标准方程，考查圆的性质，解决本题的关键点是由已知求出弦长CD ，利用圆的弦长的一半，圆心到直线的距离和圆的半径构造直角三角形，结合勾股定理计算出参数的值，进而可得直线的方程，考查了学生计算能力，属于中档题． 22．（1）240x y +-=；（2）30x y +-=. 【分析】（1）设直线的截距式方程，结合三角形面积公式即可得解；（2）设直线l 的方程为()12y k x -=-，表示出点A 、B ，进而可得,MA MB ，表示出MA MB ⋅后结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意，设直线l 的方程为()1,0,0x ya b a b+=>>， 则142ABO S ab ==△，所以8ab =， 又直线l 过点(2,1)M ，所以211a b +=，所以42a b =⎧⎨=⎩， 所以直线l 的方程为142x y+=即240x y +-=； （2）设直线l 的方程为()12y k x -=-，则12,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,21B k -+，所以MA =MB ，所以4MA MB ⋅=， 当且仅当21k =时，等号成立，所以当MA MB ⋅取最小时，1k =-（正值舍去）， 此时直线方程为12y x -=-+即30x y +-=. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是设出合理的直线方程，结合两点间距离公式及基本不等式运算即可得解.23．（1）(4,3)C ；（2）250x y --=．【分析】（1）联立直线方程可解得结果；（2）设出()00,B x y ，利用AB 的中点M 在直线CM 上以及点()00,B x y 在直线BC 上，解方程组可得B 的坐标，利用垂直可得斜率，根据点斜式可得所求直线方程. 【详解】 （1）联立6590250x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，可得(4,3)C ；（2）设()00,B x y ，则AB 的中点0051,22x y M ++⎛⎫⎪⎝⎭， 则0000659015502x y y x --=⎧⎪⎨++--=⎪⎩，解得(1,3)B --， 又23145AC k -==--，所以AC 边上的高所在直线的斜率12k =，所以AC 边上的高所在直线方程为13(1)2y x +=+，即250x y --=. 【点睛】关键点点睛：求出点B 的坐标是求出AC 边上的高所在直线方程的关键，设()00,B x y ，利用直线BC 的方程和AB 的中点坐标满足CM 的方程可解得点B 的坐标. 24．（1）22(3)(3)18x y -+-=；（2） 【分析】（1）设2221:()()C x a y b r -+-=，根据题意列方程组解得,,a b r 即可得解；（2）求出直线l 所经过的定点(3,1)B ，再根据圆心1C 到直线l 的距离的最大值可求得结果. 【详解】（1）设2221:()()C x a y b r -+-=，圆222:10100C x y x y +++=的圆心2(5,5)C --，半径为则222222()(6)a b r a b r r ⎧-+-=⎪⎪+=⎨=，解得33a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 所以圆1C 的方程为22(3)(3)18x y -+-=.（2）因为:(21)(1)740l m x m y m +++--=，即(27)40x y m x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点(3,1)B ， 设圆心1(3,3)C 到直线l 的距离为d，则1||2d C B ≤==，当且仅当1l BC ⊥时，等号成立，所以弦长||AB =≥=.所以直线l 被圆1C 截得的弦长的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第二问利用圆心1C 到直线l 的距离的最大值求弦长的最小值是解题关键. 25．（1）22(1)(2)2x y -++=；（2）0x =或34y x =-. 【分析】（1）根据题意设圆心坐标为(,2)a a -，进而得222222(2)(12)(0)(32)a a r a a r⎧-+-+=⎨-+-+=⎩，解得1,a r ==，故圆的方程为22(1)(2)2x y -++=（2）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）圆C 的圆心在直线2y x =-上，设所求圆心坐标为(,2)a a - ∵ 过点(2,1),(0,3)--，222222(2)(12)(0)(32)a a r a a r⎧-+-+=∴⎨-+-+=⎩解得1,a r ==∴ 所求圆的方程为22(1)(2)2x y -++= （2）直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2 ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =， 此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，由于直线l 被圆C 截得的弦长为2，故圆心到直线l 的距离为1d = 故由点到直线的距离公式得：1d ==解得34k =-，所以直线l 的方程为34y x =- 综上所述，则直线l 的方程为0x =或34y x =- 【点睛】易错点点睛：本题第二问在解题的过程中要注意直线斜率不存在情况的讨论，即分直线l 的斜率存在和不存在两种，避免在解题的过程中忽视斜率不存在的情况致错，考查运算求解能力与分类讨论思想，是中档题.26．（1）22(1)4x y ++=；（2）0x =，或4390x y -+=.【分析】（1）求出线段AB 中垂线方程，由中垂线与直线l 相交求得圆心坐标，再求得半径可得圆标准方程；（2）求得圆心到直线1l 距离为1，检验斜率不存在的直线是否满足题意，在斜率存在时设直线方程为30kx y --=，由圆心到直线的距离可得k ，得直线方程．【详解】（1）由题意得，圆心C 一定在线段AB 的垂直平分线上，0211(1)AB k -==---，线段AB 中点为(0,1)， ∴直线AB 的垂直平分线为10x y -+=，∴直线:10l x y ++=与10x y -+=的交点即为圆心C ，坐标为()1,0-．∴圆C 的方程为22(1)4x y ++=，（2）当直线1l 斜率不存在时，方程为0x =，此时圆心到1l 距离为1，截得的弦长为当直线1l 斜率存在时，设为k ，则1:30l kx y --=，圆心(1,0)-到1l距离1d ===∴43k = ∴直线1l 的方程为0x =，或4390x y -+=．【点睛】易错点睛：本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题．已知弦长求直线方程时，须考虑斜率不存在的直线是否满足题意，在斜率存在的情况下，设出直线方程，由圆心到直线的距离列式可得结论．。

最新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(含答案解析)

最新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．若圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为k 的值是（ ）A ．2-B ．2C ．2-或2D ．2-或02．若直线1y kx =-与曲线y =有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．4(0,]3B ．14[,]33C ．1[0,]2D ．[0,1]3．若圆22:60,(0,0)M x y ax by ab a b +++--=>>平分圆22:4240N x y x y +--+=的周长，则2a b +的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．16D ．204．圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0被直线l ：ax ＋y －1－2a ＝0截得的弦长取得最小值时，此时a 的值为（ ） A ．3B ．－3C ．13D ．－135．直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长等于（ ）A ．4B ．2C ．D6．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ①对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③定义(0,0)O ，动点(,)P x y 满足(,)1d P O =，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．已知圆22:(2)2C x y ++=，则在x 轴和y 轴上的截距相等且与圆C 相切的直线有几条（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 8．若圆x 2+y 2+ax -by =0的圆心在第二象限，则直线x +ay -b =0一定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．过点(0,2)P 的直线l 与以(1,1)A ，(2,3)B -为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率k的取值范围是（ ） A ．5[,3]2-B ．5(,][3,)2-∞-⋃+∞C ．3[,1]2-D ．1(,1][,)2-∞-⋃-+∞ 10．已知直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，则k 的值是（ ） A ．1或0B ．5C ．0或5D ．1或511．抛物线2?y x =上一点到直线240x y --=的距离最短的点的坐标是( ) A ．()2,4B ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．39,24⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,112．若直线220++=ax y 与直线840x ay ++=平行，则a 的值为（ ） A ．4B ．4-C ．4-或4D ．2-二、填空题13．已知三条直线的方程分别为0y =0y -+=0y +-，那么到三条直线的距离相等的点的坐标为___________．14．已知点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线PA ，PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是______.15．经过点(2,1)M ，并且与圆2268240x y x y +--+=相切的直线方程是________． 16．已知点M 是直线l ：22y x =--上的动点，过点M 作圆C ：()()22114x y -+-=的切线MA ，MB ，切点为A ，B ，则当四边形MACB 的面积最小时，直线AB 的方程为______.17．已知直线l 经过点(1,2)P -，且垂直于直线2310x y ，则直线l 的方程是________.18．在直角坐标系xoy 中，已知圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，则直线l 方程为______.19．定义点()00,P x y 到直线()22:00l Ax By C A B ++=+≠的有向距离d =.已知点12,P P 到直线l 的有向距离分别是12,d d ，给出以下命题：①若120-=d d ，则直线12PP 与直线l 平行；②若120d d +=，则直线12PP 与直线l 平行；③若120d d +=，则直线12PP 与直线l 垂直；④若120<d d ，则直线12PP 与直线l 相交.其中正确命题的个数是_______.20．已知点M 为直线1:20l x y a +-=与直线2:210l x y -+=在第一象限的交点，经过点M 的直线l 分别交x ，y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，则当AOBS 取得最小值为1425时，a 的值为________.三、解答题21．已知圆221:2440C x y x y ++--=.（1）在下列两个条件中任选一个作答.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.①已知不过原点的直线l 与圆1C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； ②从圆外一点(2,1)P 向圆引切线，求切线方程.（2）若圆222:4C x y +=与圆1C 相交与D 、E 两点，求线段DE 的长.22．已知圆C 的圆心在直线l ：20x y -=上，且过点()0,0O 和()2,6A . （1）求圆C 的方程.（2）求证：直线1l ：()130m x y m -+-=，m ∈R 与圆C 恒相交. （3）求1l 与圆C 相交所得弦的弦长的最小值及此时对应的直线方程.23．已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（1）求圆C 的方程；（2）直线4y kx =-与圆C 交于不同的M ，N 两点，且120MCN ∠=︒，求直线l 的斜率；（3）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.24．已知圆C 经过点()1,0A -和()3,4B ，且圆心C 在直线3150x y +-=上． （1）求圆C 的标准方程；（2）设点()()1,0Q m m ->在圆C 上，求△QAB 的面积． 25．△ABC 中∠C 的平分线所在直线方程为y x =，且A （－1，52），B （4，0）.（1）求直线AB 的截距式．．．方程； （2）求△ABC 边AB 的高所在直线的一般式．．．方程. 26．从圆外一点()4,4P -作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）求以OP 为直径的圆的方程； （2）求线段AB 的长度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】将圆的方程化成标准方程，求出圆心及半径r ，圆心到直线的距离为d ，则圆上的点到直线的最大距离为d r + 【详解】圆22220x y x y k +---=化成标准形式()()22112x y k -+-=+，圆心()1,1，半径r =2k >-；圆心()1,1到直线100x y +-=的距离===d圆上的点到直线的最大距离为+==d r=，解得：2k =或2k =-（舍去） 故选：B 【点睛】结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，求圆上点到直线的最大距离与最小距离常用的结论：设圆的半径r ，圆心到直线的距离为d ， （1）当dr 时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为d r -；（2）当d r ≤时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为0； 2．D解析：D 【分析】1y kx =-是过定点()0,1-的直线，曲线表示以()2,0为圆心，半径为1的圆的下半部分，画出两函数图像，找出两图像有公共点时k 的范围即可. 【详解】解：根据题意可得：1y kx =-是过定点()0,1-的直线，曲线表示以()2,0为圆心，半径为1的圆的下半部分，画出函数图像，如图所示： 当直线与曲线相切时：0k =，当()1,0在直线上时，代入可得1k =，所以两函数图像有公共点的k 的范围是[]0,1. 故选：D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用了数形结合的思想，属于中档题. 方法点睛：（1）画出函数图像；（2）根据图像找到有公共点的相切或相交的情况； （3）根据公式计算，得到结果.3．A解析：A 【分析】由两圆的相交弦是圆N 的直径得出,a b 的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】两圆方程相减得，(4)(2)100a x b y ab +++--=，此为相交弦所在直线方程， 圆N 的标准方程是22(2)(1)1x y -+-=，圆心为(2,1)N ， ∴2(4)2100a b ab +++--=，121a b+=， ∵0,0a b >>，∴12442(2)()4428b a b aa b a b a b a b a b+=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =即2,4a b ==时等号成立．故选：A ． 【点睛】本题考查圆的方程，考查基本不等式求最值．圆的性质：（1）圆的直径平分圆；（2）相交两圆方程相减所得一次方程是两圆公共弦所在直线方程．4．C解析：C 【分析】先判断直线l 恒过点(2,1)P ，可得直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短，利用直线垂直的性质可得答案. 【详解】直线:120+--=l ax y a 可化为:(2)(1)0-+-=l a x y ， 故直线l 恒过点(2,1)P .圆22:6890+--+=C x y x y 的圆心为(3,4)C ，半径为4. 当直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短， 因为直线PC 的斜率41332PC k -==-， ax ＋y －1－2a ＝0的斜率为a -， 此时1313PC l k k a a ⋅=-=-⇒=.故选：C . 【点睛】方法点睛：判断直线过定点主要形式有： （1）斜截式，0y kx y =+，直线过定点()00,y ； （2）点斜式()00,y y k x x -=-直线过定点()00,x y ； （3）化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 求解.5．A解析：A 【分析】先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再求圆心到直线的距离，然后解弦长即可． 【详解】因为226240x y x y +-++= 所以22(3)(1)6x y -++=， 圆心到直线的距离为22d ==直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长()222(6)24l =-；故选：A ． 【点睛】计算圆的弦长通常使用几何法简捷．也可使用代数法计算.6．B解析：B 【分析】由新定义表示出三点,,A B C 两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，由新定义计算出(,)d P l ，判断②，根据新定义求出P 的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③． 【详解】①设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则1212(,)d A B x x y y =-+-，13132323(,)(,)d A C d B C x x y y x x y y +=-+-+-+-，显然1323132312()()x x x x x x x x x x -+-≥---=-，同理132312y y y y y y -+-≥-，∴(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥，①正确； ②设(,)P x y 是直线l 上任一点，则21y x =-，(,)31322d P l x y x x =-+-=-+-35,31,1353,1x x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩，易知(,)d P l 在[1,)+∞上是增函数，在(,1)-∞上是减函数，∴1x =时，min (,)13222d P l =-+-=，②错； ③由(,)1d P O =得1x y +=，易知此曲线关于x 轴，y 轴，原点都对称，它是以(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--为顶点的正方形，其转成图形面积为12222S =⨯⨯=，③错．故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是把新概念转化为绝对值的问题，利用绝对值的性质求解．7．C解析：C 【分析】先看直线不过原点的情况，设出直线的方程，斜率为1-，则可知这样的直线有2条，再看直线过原点的情况，把原点代入即可知原点在圆外，则这样的直线也应该有2条，最后验证以上4条中有一条是重复，最后综合得到结论. 【详解】若直线不过原点，其斜率为1-，设其方程为y x m =-+，则d ==0m =或4-，当0m =时，直线过原点；若过原点，把()0,0代入()2200242++=>，即原点在圆外，所以过原点有2条切线，综上，一共有3条， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了学生数形结合的思想和对基本知识的理解，属于中档题.8．C解析：C【分析】由圆心位置确定a ，b 的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果. 【详解】因为圆22+0x y ax by +-=的圆心坐标为,22a b ⎛⎫-⎪⎝⎭， 由圆心在第二象限可得0,0a b >>，所以直线0x ay b +-=的斜率10a -<，y 轴上的截距为0b a>，所以直线不过第三象限. 故选：C9．D解析：D 【分析】画出图形，设直线l 的斜率为k ，求出PA k 和PB k ，由直线l 与线段AB 有交点，可知PA k k ≤或PB k k ≥，即可得出答案.【详解】直线过定点(0,2)P ，设直线l 的斜率为k ， ∵12110PA k -==--，321202PB k -==---， ∴要使直线l 与线段AB 有交点，则k 的取值范围是1k ≤-或12k ≥-， 即1(,1][,)2k ∈-∞-⋃-+∞.故选：D. 【点睛】方法点睛：求直线的斜率（或取值范围）的方法：（1）定义法：已知直线的倾斜角为α，且90α︒≠，则斜率tan k α=； （2）公式法：若直线过两点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x ≠，则斜率2121y y k x x -=-；（3）数形结合方法：该法常用于解决下面一种题型：已知线段AB 的两端点及线段外一点P ，求过点P 且与线段AB 有交点的直线l 斜率的取值范围.若直线,PA PB 的斜率都存在，解题步骤如下： ①连接,PA PB ； ②由2121y y k x x -=-，求出PA k 和PB k ； ③结合图形写出满足条件的直线l 斜率的取值范围.10．C解析：C 【分析】由两直线平行得出()224k k k -=-，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证. 【详解】 解:直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，()224k k k ∴-=-，整理得()50k k -=，解得0k =或5.当0k =时，直线11:4l y =-，23:2l y =，两直线平行；当5k =时，直线1:510l x y -+=，23:502l x y -+=，两直线平行. 因此，0k =或5. 故选:C. 【点睛】方法点睛:本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证.(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A1、A2、B1、B2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②2112210A A l B B l +⇔=⊥；11．D解析：D 【分析】设抛物线y=x 2上一点为A （x 0，x 02），点A （x 0，x 02）到直线2x-y-4=0的距离d ==由此能求出抛物线y=x 2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标． 【详解】设抛物线y=x 2上一点为A （x 0，x 02）， 点A （x 0，x 02）到直线2x-y-4=0的距离d ==∴当x 0=1时，即当A （1，1）时，抛物线y=x 2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短． 故选D ． 【点睛】本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．12．B解析：B 【分析】根据两直线平行，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，直线220++=ax y 与直线840x ay ++=平行，可得2802240a a a ⨯-⨯=⎧⎨-⨯≠⎩，解得4a =-.故选: B. 【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线的平行的条件是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、填空题13．【分析】先画出图形求出再分四种情况讨论得解【详解】如图所示由题得的平分线：和的平分线：的交点到三条直线的距离相等联立两直线的方程解方程组得交点为；的外角平分线：和的外角平分线：的交点到三条直线的距离解析：(0,30,3(-【分析】先画出图形，求出(1,0),(1,0)A B C -，再分四种情况讨论得解. 【详解】 如图所示，由题得(1,0),(1,0)A B C -,CAB ∠的平分线AO ：0x =和ACB ∠的平分线CD ：(1)3y x =+的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3xy x=⎧⎪⎨=+⎪⎩得交点为3(0,)3；ACB∠的外角平分线CE：3(1)y x=-+和ABC∠的外角平分线BF：3(1)y x=-的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3(1)y xy x⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩得交点为(0,3)-；ACB∠的外角平分线CG：3(1)y x=-+和CAB∠的外角平分线AG：3y=的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y xy⎧=-+⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3)-；ABC∠的外角平分线BH：3(1)y x=-和CAB∠的外角平分线AG：3y=的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y xy⎧=-⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3).故答案为：(0,3)-、30,3、(2,3)、(2,3)-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用平面几何的知识分析找到四个点，再利用直线的知识解答即可.14．2【分析】根据切线的性质可将面积转化为求出的最小值即到直线的距离【详解】圆化为可得圆心为半径为1如图可得则当取得最小值时最小点是直线上一动点到直线的距离即为的最小值故答案为：2【点睛】关键点睛：本题解析：2【分析】根据切线的性质可将面积转化为21PACBS PC=-PC的最小值即()0,1C-到直线240x y -+=的距离. 【详解】圆22:20C x y y ++=化为()2211x y ++=，可得圆心为()0,1-，半径为1，如图，可得22221PA PC AC PC =-=-，212212PACB PACS SPA AC PA PC ==⨯⨯⨯==-则当PC 取得最小值时，PACB S 最小， 点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，()0,1C ∴-到直线240x y -+=的距离即为PC 的最小值，()min 222014521PC ⨯++∴==+-()min 512PACB S ∴=-=.故答案为：2. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆相切问题，解题的关键是利用切线性质将面积转化为21PACB S PC =-PC 的最小值即可.15．或【分析】求出圆心和半径判断斜率不存在的直线是否是切线斜率存在时设出直线方程由圆心到切线距离等于半径求得参数值得切线方程【详解】圆标准方程是圆心为半径为1易知直线与圆相切设斜率存在的切线方程为即由解解析：2x =或4350x y --= 【分析】求出圆心和半径，判断斜率不存在的直线是否是切线，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数值得切线方程． 【详解】圆标准方程是22(3)(4)1x y -+-=，圆心为(3,4)，半径为1． 易知直线2x =与圆相切，设斜率存在的切线方程为1(2)y k x -=-，即210kx y k --+=，1=，解得43k =，切线方程为481033x y --+=，即4350x y --=．故答案为：2x =或4350x y --=． 【点睛】本题考查求圆的切线方程，解题方法是由圆心到切线的距离等于半径求解．但解题时要注意过定点斜率不存在的直线是否是切线，否则由方程求不出此直线方程．如果所过的点在圆上，由可由过切点的半径与切线垂直得出切线斜率后得直线方程．16．【分析】由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB 面积要使四边形MACB 面积最小则需最小此时CM 与直线垂直求得以CM 为直径的圆的方程再与圆C 的方程联立可得AB 所在直线方程【详解】由圆的标准方程可知圆 解析：210x y ++=【分析】由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB面积2||||2||CAM S S CA AM MA ==⋅==△要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直，求得以CM 为直径的圆的方程，再与圆C 的方程联立可得AB 所在直线方程. 【详解】由圆的标准方程可知，圆心C (1，1) ，半径r =2.因为四边形MACB的面积2||||2||CAM S S CA AM MA ==⋅==△ 要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直. 直线CM 的方程为11(x 1)2y -=- ，即11.22y x =+联立112222y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩，解得(1,0)M -则以CM 为直径的圆的方程为2215()24x y +-=， 联立222215(),24(1)(1)4x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪-+-=⎩消去二次项可得直线AB 的方程为210x y ++=， 故答案为：210x y ++=【点睛】关键点点睛：根据四边形的面积表达式可以看出要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直，此时所做圆的直径为CM ，写出圆的方程，两圆方程相减即可求出过AB 的直线方程.17．【分析】根据题意设直线的方程是代入点求得的值即可求解【详解】由题意所求直线垂直于直线设直线的方程是又由直线过点代入可得解得故的方程是【点睛】与直线平行的直线方程可；与直线垂直的直线方程可 解析：3270x y -+=【分析】根据题意，设直线l 的方程是320x y c -+=，代入点(1,2)P -，求得c 的值，即可求解. 【详解】由题意，所求直线l 垂直于直线2310x y ， 设直线l 的方程是320x y c -+=，又由直线l 过点(1,2)P -，代入可得340c --+=，解得7c =， 故l 的方程是3270x y -+=. 【点睛】与直线220(0)Ax By C A B ++=+≠平行的直线方程可0()Ax By n n c ++=≠；与直线220(0)Ax By C A B ++=+≠垂直的直线方程可0Bx Ay M -+=。

人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测卷(含答案解析)(1)

人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测卷(含答案解析)(1)

一、选择题1．1m =-是直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．我国东南沿海一台风中心从A 地以每小时10km 的速度向东北方向移动，离台风中心15km 内的地区为危险地区，若城市B 在A 地正北20km 处，则B 城市处于危险区内的时间为（ ）小时. A ．0.5 B ．1 C ．1.5 D ．23．若P 是直线l ：3490x y +-=上一动点，过P 作圆C ：2240x y x ++=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ） AB．CD．4．设P 为直线2x ＋y ＋2＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值时直线AB 的方程为（ ） A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝05．已知圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>，若圆C 上至少有3个点到直线20x y ++=，则实数r 的取值范围为（ ） A．(0, B．C．)+∞ D．+∞[)6．过点P (1，2)引直线使两点A (2，3)､B (4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（ ）A ．4x +y -6=0B ．x +4y -6=0C ．2x +3y -7=0或x +4y -6=0D ．4x +y -6=0或3x +2y -7=07．111222(,),(,)P a b P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A ．无论12,,k P P 如何，总是无解B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解C ．存在12,,k P P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解 D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解8．直线y =x +b与曲线x =b 的取值范围是（ ） A．||b =B ．-1<b ≤1或b =C ．-1≤b <1D ．非以上答案9．一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10 km/h 这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（ ） 小时A ．1B ．2C ．3D ．410．已知直线0(0)x y a a +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有||||OA OB AB +≥，那么a 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．(2,)+∞C ．[2,D ．11．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(4,3)A -处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．512．曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．53,124二、填空题13．已知点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线PA ，PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是______.14．在平面直角坐标系xOy 中，过圆1C ：22()(4)1x k y k -++-=上任一点P 作圆2C ：22(1)1x y ++=的一条切线，切点为Q ，则当PQ 取最小值时，k =______．15．已知点(4,0),(0,2)A B ，对于直线:0l x y m -+=的任意一点P ，都有22||||18PA PB +>，则实数m 的取值范围是__________.16．已知直线y x b =+与曲线x =恰有两个交点，则实数b 的取值范围为______. 17．已知(3,1)P ，在1y x =+(1x ≥-)和x 轴(1x ≥-)上各找一点M ､N ，使得三角形PMN 周长最小，则最小时直线MN 的方程为___________18．直线过点(1,2)A ，且不经过第四象限，那么直线的斜率的取值范围是______ 19．以(1,3)N 为圆心，并且与直线3470x y --=相切的圆的方程为__________． 20．点P(2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是____________．三、解答题21．已知圆C 经过点A (0，2)和B (2，-2)，且圆心C 在直线l :x-y +1=0上. （1）求圆C 的方程；（2）若直线m 过点(1，4)，且被圆C 截得的弦长为6，求直线m 的方程.22．如图，圆22():21M x y -+=，点(1,)P t -为直线:1l x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为,A B .（1）若1t =，求两条切线所在的直线方程；（2）求直线AB 的方程，并写出直线AB 所经过的定点的坐标.23．已知圆心为C 的圆经过点()1,1A 和()2,2B -，且圆心C 在直线l ：10x y -+=上． （1）求圆C 的方程；（2）已知直线m ：y x n =+圆C 截得的弦与圆心构成CDE △，若CDE △的面积有最大值，求出直线m ：y x n =+的方程；若CDE △的面积没有最大值，请说明理由. 24．已知圆C 经过点()1,0A -和()3,4B ，且圆心C 在直线3150x y +-=上． （1）求圆C 的标准方程；（2）设点()()1,0Q m m ->在圆C 上，求△QAB 的面积． 25．如果实数x ，y 满足()()22336x y -+-=，求： （1）yx的最大值与最小值； （2）22xy +的最大值和最小值.26．我们定义一个圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比，记作λ.已知圆1C :221x y +=，直线:340l x y m -+=. （1）若直线l 关于圆1C 的距离比2λ=，求实数m 的值;（2）当0m =时，若圆2C 与y 轴相切于点()0,3A ，且直线l 关于圆2C 的距离比65λ=，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系，并说明理由【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【分析】因为直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直，所以0m =或1m =-，再根据充分必要条件的定义判断得解. 【详解】因为直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直，所以23(21)0,220,0m m m m m m ⨯+-⨯=∴+=∴=或1m =-.当1m =-时，直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直； 当直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直时，1m =-不一定成立. 所以1m =-是直线()2110mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】方法点睛：充分必要条件的常用的判断方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件选择合适的方法求解.2．B解析：B 【分析】建立直角坐标系，过点B 作BC AF ⊥，交AF 于点C ，以点B 为圆心，15为半径的圆交AF 于点E ，F ，连接BE ，BF ，利用勾股定理求出BC 的值，进而求出EF 的值，再结合台风中心的运动速度即可求出B 城市处于危险区内的时间． 【详解】以A 为原点，正北方向为纵轴正方向，正东方向为横轴正方向，建立如图所示直角坐标系，因为台风中心从A 地以每小时10km 的速度向东北方向移动， 所以运动轨迹所在直线AF 与坐标轴成45角,设以点B 为圆心，15为半径的圆交AF 于点E ，F ，连接BE ，BF 过点B 作BC AF ⊥，交AF 于点C ，在等腰Rt ABC △中，20AB =，20BC ==，在Rt BCE 中，BC =，15BE =，5CE ∴=，210EF CE ∴==，台风中心从A 地以每小时10km 的速度向东北方向移动，且当台风中心在线段EF 上时B 城市处于危险区内，B ∴城市处于危险区内的时间为110EF=小时， 故选：B ．【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.3．B解析：B 【分析】画出图象，根据对称性可得四边形PACB 面积2PACS S=，利用勾股定理可得22PA PC AC =-，当PC 最小时，PA 最小，面积最小，根据点到直线距离公式，即可求得答案. 【详解】圆C ：22(2)4x y ++=，圆心为（-2，0）半径2AC r ==，画出图象，如图所示：因为直线与圆相切，所以90PAC PBC ∠=∠=︒，且PAC PBC ≌ 所以四边形PACB 面积12222PACS S AC PA PA ==⨯⨯⨯=，又2224PA PC AC PC =-=-所以当PC 最小时，PA 最小，四边形PACB 面积的最小值，由图象可得，PC 最小值即为点C 到直线3490x y +-=的距离，所以min 3PC ==，所以min PA =所以四边形PACB 面积的最小值2S PA == 故选：B 【点睛】解题的关键是画出图象，根据几何关系，得到PC 最小时，面积最小，再求解，将动点问题转化为点到直线距离问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.4．D解析：D 【分析】根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求直线AB 的方程. 【详解】由于,PA PB 是圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，,A B 是切点，所以2||||2||PACB PAC S S PA AC PA ∆==⋅=== 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小， 此时PC :11(x 1)2y -=-,即210.y x --= 联立210,220y x x y --=⎧⎨++=⎩得1,,(1,0),0x P y =-⎧-⎨=⎩PC 的中点为1(0,),||2PC ==以PC 为直径的圆的方程为2215(),24x y +-=即2210x y y +--=，两圆方程相减可得直线AB 的方程210,x y ++=故选：D.5．D解析：D 【分析】根据题意，得到直线不过圆心，且求得圆心到直线的距离，结合题中条件，得到实数r 的取值范围. 【详解】圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>的圆心(1,1)到直线20x y ++=为：d ==，且直线20x y ++=不过圆心，若圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>上至少有3个点到直线20x y ++=，则有r ≥=所以实数r 的取值范围为+∞[)， 故选：D. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关直线与圆的相关问题，解决该题的思路如下： （1）求得圆心到直线的距离，并且发现直线不过圆心； （2）结合题中条件，得到r 的取值范围.6．D解析：D 【分析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程. 【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=， ∵直线l 与两点A (2，3)， B (4，-5）的距离相等，=解得4k =-或32k =-.:.直线l 的方程为4420x y --++=或332022x y --++= 整理，得：460x y +-=或3270x y +-=故选：D 【点睛】解决本题要注意设直线方程时，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，然后根据点到直线的距离相等即可求解.7．B解析：B 【分析】由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定1221a b a b -是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解． 【详解】由题意112211b ka b ka =+⎧⎨=+⎩，则1221122112(1)(1)a b a b a ka a ka a a -=+-+=-，∵直线1y kx =+的斜率存在，∴12a a ≠，120a a -≠，∴方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解．A ，D 错误，B 正确；若12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则11222121a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点1122(,),(,)a b a b 在直线21x y +=，即1122y x =-+上，但已知这两个在直线1y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴12x y =⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C 错误． 故选：B ． 【点睛】本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键．8．B解析：B 【分析】作出曲线x =y x b =+，求出直线过半圆直径两端点时的b 值，及直线与半圆相切时的b 值可得结论． 【详解】作出曲线x =y x b =+，如图， 易知(0,1),(1,0)A B -，当直线y x b =+过点A 时，1b =，当直线y x b =+过点B 时，1b =-， 当直线y x b =+1=，b =b =∴b 的取值范围是11b -<≤或b = 故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题时要注意曲线是半圆，因此直线过B 点时与半圆有两个交点，直线与半圆相切时，也只有一个公共点，这是易错点．9．B解析：B 【分析】根据题意建立合适平面直角坐标系，将问题转化为求直线被圆所截得的弦长问题，然后根据弦长对应的距离求解出监测时间. 【详解】根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x 轴，正北方向为y 轴， 所以()()40,0,0,30A B ，圆22:676O x y +=，记从N 处开始被监测，到M 处监测结束， 所以:14030AB x y l +=，即:341200AB l x y +-=， 因为O 到:341200AB l x y +-=的距离为221202434OO -'==+，所以22220MN MO OO '=-=，所以监测时间持续2010=2小时， 故选：B.【点睛】思路点睛：建立平面直角坐标系求解直线与圆的有关问题的思路：（1）选择合适坐标原点（方便求解直线、圆的方程），建立平面直角坐标系； （2）根据题意写出直线与圆的方程；（3）根据直线与圆的位置关系，采用几何法计算相关长度，完成问题的求解.10．C解析：C 【分析】设AB 的中点为C ，由||||OA OB AB +，可得||||OC AC ，则222||||2()24AC OC =≤+，再结合直线与圆相交列不等式，即可求出实数a 的取值范围． 【详解】设AB 的中点为C ， 因为||||OA OB AB +，所以||||OC AC ，因为||2OC =，所以222||||2(24AC OC =≤+，所以2a -或2a ， 22<，所以2222a -<< 因为0a >，所以实数a 的取值范围是[2，2)， 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的加法运算，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．11．C解析：C 【分析】求出A 关于y 4x +=的对称点A ',根据题意，1A C '-为最短距离，求出即可. 【详解】设点A 关于4x y +=的对称点(,)A a b '，设军营所在区域为的圆心为C ,根据题意，1A C '-为最短距离，∴AA '的中点为43,22a b +-⎛⎫⎪⎝⎭，，直线'AA 的斜率为1, ∴434,22,31,4a b b a +-⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩解得：7,0a b ==, ∴1716A C '-=-=，故选: C. 【点睛】本题考查点关于直线对称，点与圆心的距离，考查运算求解能力，求解时注意对称性的应用.12．D解析：D 【分析】 易知曲线214y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解. 【详解】 曲线214y x 变形为22214141y x x y y 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，23221kk -=+，解得512k =，即512AC k ，又413224AB k ， 由图知：当曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：ACAB k kk ，即53124k <≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题13．2【分析】根据切线的性质可将面积转化为求出的最小值即到直线的距离【详解】圆化为可得圆心为半径为1如图可得则当取得最小值时最小点是直线上一动点到直线的距离即为的最小值故答案为：2【点睛】关键点睛：本题解析：2 【分析】根据切线的性质可将面积转化为21PACB S PC =-PC 的最小值即()0,1C -到直线240x y -+=的距离. 【详解】圆22:20C x y y ++=化为()2211x y ++=，可得圆心为()0,1-，半径为1，如图，可得22221PA PC AC PC =-=-，212212PACB PACS SPA AC PA PC ==⨯⨯⨯==-则当PC 取得最小值时，PACB S 最小， 点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，()0,1C ∴-到直线240x y -+=的距离即为PC 的最小值，()min 222014521PC ⨯++∴==+-()min 512PACB S ∴=-=.故答案为：2. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆相切问题，解题的关键是利用切线性质将面积转化为21PACB S PC =-PC 的最小值即可.14．【分析】首先画出相应的图形根据切线的性质得到对应的垂直关系利用勾股定理得到线段之间的关系从而将问题转化再应用圆上的点到定点的距离的最小值在什么位置取得从而求得结果【详解】由方程可得圆C1C2的圆心坐解析：32【分析】首先画出相应的图形，根据切线的性质，得到对应的垂直关系，利用勾股定理得到线段之间的关系，从而将问题转化，再应用圆上的点到定点的距离的最小值在什么位置取得，从而求得结果. 【详解】由方程可得圆C 1,C 2的圆心坐标分别为(),4k k -+,()1,0-,半径都是1.如图，因为PQ 为切线，所以2PQ C Q ⊥，由勾股定理，得221PQ PC =-PQ 最小，则需2PC 最小，显然当点P 为12C C 与1C 的交点时，2PC 最小，此时，2121PC C C =-，所以当12C C 最小时，2PC 就最小，()2222123251(4)2617222C C k k k k x ⎛⎫=++-+=-+=-+ ⎪⎝⎭ 当32k时，12C C 最小，得到PQ 最小， 故答案是：32. 【点睛】该题考查的是有关直线与圆的位置关系，切线长的求法，勾股定理，两点间距离公式，二次函数的最值，以及数形结合的思想.15．【分析】设根据条件可得即点P 在圆外故圆与直线相离根据直线与圆的位置关系可得答案【详解】设由可得即所以点P 在圆外又点P 在直线上所以圆与直线相离所以解得：或故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与 解析：(,12)(221,)-∞--⋃+∞【分析】设(),P x y ，根据条件可得()()22214x y -+->，即点P 在圆()()22214x y -+-=外，故圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，根据直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】设(),P x y ，由22||||18PA PB +>可得()()22224218x y x y -+++->，即()()22214x y -+-> 所以点P 在圆()()22214x y -+-=外，又点P 在直线:0l x y m -+=上所以圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离 所以2122md r -+=>=，解得：221m >-或122m <--故答案为：(,122)(221,)-∞--⋃-+∞ 【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与圆的位置关系求参数范围，解答本题的关键是根据条件得到点P 在圆()()22214x y -+-=外，即圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，属于中档题.16．【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆进而画出曲线来要使直线与曲线恰有两个交点可以通过数形结合分析得解【详解】曲线有即表示一个半圆（单位圆左半部分）如图当直线经过点点时求得；当直线和半圆相切时由圆心到直 解析：)1,2⎡⎣【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆，进而画出曲线来，要使直线与曲线恰有两个交点，可以通过数形结合分析得解. 【详解】曲线2x 1y =--有即221x y +=(0)x ，表示一个半圆（单位圆左半部分）．如图，(0,1)A 、(1,0)B -、(0,1)C -，当直线y x b =+经过点B 、点A 时，01b =-+，求得1b =； 当直线y x b =+和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得12=，求得2b =，或2b =-（舍去），故要求的实数b 的范围为12b <， 故答案为：)1,2⎡⎣【点睛】易错点睛：本题在把方程2x 1y =--化简找其对应的曲线时，容易漏掉0x ≤，从而把曲线的范围扩大为整个单位圆，导致结果出错.在把方程转化时，一定要注意变量范围的等价性.17．【分析】作点关于射线与轴的对称点连接两对称点得解【详解】如图作出作点关于射线与轴的对称点连接两对称点与射线与与轴交于两点则此时三角形周长最小因为所以最短设则解得同理得所以故直线的方程为故答案为：【点 解析：53120x y +-=【分析】作点(3,1)P 关于射线1y x =+1x ≥-与x 轴的对称点,C B ，连接两对称点CB 得解, 【详解】如图，作出作点(3,1)P 关于射线1y x =+1x ≥-与x 轴的对称点,C B ，连接两对称点CB 与射线1y x =+与与x 轴交于两点,M N ,则此时三角形PMN 周长最小.因为,PM CM PN NB ==,所以PM PN MN CM MN NB CB ++=++=最短，设(,)C x y 则13122113y x y x ++⎧=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩ 解得(0,4)C ，同理得(3,1)B - 所以53CB k =- 故直线MN 的方程为53120x y +-= 故答案为：53120x y +-=【点睛】作出点关于已知两射线的对称点是解题关键，属于基础题.18．【分析】根据直线过且不经过第四象限考虑直线过原点的倾斜程度及平行x 轴的情况即可写出斜率的范围【详解】当直线过点A 且平行于轴时直线斜率取得最小值；当直线过点与原点时直线斜率取得最大值所以直线的斜率的取 解析：[0,2]【分析】根据直线过(1,2)A 且不经过第四象限，考虑直线过原点的倾斜程度及平行x 轴的情况即可写出斜率的范围. 【详解】当直线过点A 且平行于x 轴时，直线斜率取得最小值min0k ；当直线过点(1,2)A 与原点(0,0)O 时，直线斜率取得最大值max 2k =，所以直线的斜率的取值范围是[0]2，.【点睛】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属于中档题.19．【解析】试题分析：由题意得圆心到直线的距离即为半径此题只要求出半径即可试题解析：22256(1)(3)25x y -+-=【解析】试题分析：由题意得，圆心到直线的距离即为半径，此题只要求出半径即可． 试题 因为点到直线的距离由题意得圆的半径则所求的圆的方程为考点：1．直线与圆的相切的应用；2．圆的方程；20．(－4－1)【分析】设对称点的坐标为根据点P 关于直线对称列出方程组即可求解【详解】设对称点的坐标为则解得所以所求对称点的坐标为【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点的求解问题其中解答中根据点关于直解析：(－4，－1) 【分析】设对称点的坐标为00(,)x y ，根据点P 关于直线1x y +=对称，列出方程组，即可求解. 【详解】设对称点的坐标为00(,)x y ，则0005(1)1225122y x x y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，解得0041x y =-⎧⎨=-⎩，所以所求对称点的坐标为(4,1)--．【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点的求解问题，其中解答中根据点关于直线对称，列出相应的不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.三、解答题21．（1）()()223225x y +++=；（2）x =1或512430x y -+= 【分析】（1）根据圆心C 在直线l :x-y +1=0上，设圆心为：(),1a a +，再根据圆C 经过点A (0，2)和B (2，-2)，由()()()2222123a a a a +-=-++求解.（2）当直线m 的斜率不存在时,方程为x =1，验证即可，当直线m 的斜率存在时,设方程为()41y k x -=-4=求解.【详解】（1）因为圆心C 在直线l :x-y +1=0上. 设圆心为：(),1a a +又圆C 经过点A (0，2)和B (2，-2)， 所以()()()2222123a a a a +-=-++， 解得3a =-，所以圆心为 ()3,2--， ()222125r a a =+-=，所以圆的方程为：()()223225x y +++=；（2）若直线m 的斜率不存在时,方程为x =1,被圆C 截得的弦长为6，符合， 若直线m 的斜率存在时,方程为()41y k x -=-，即 40kx y k -+-=，4=，解得512k =， 所以直线方程为512430x y -+=，综上：直线m 的方程为x =1或512430x y -+=. 【点睛】方法点睛：求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．22．(1) 切线方程为1y =和3410x y +-=;(2) 直线AB 的方程为350x ty --=，恒过定点5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】(1) 设切线方程为()1y t k x -=+，由相切可得圆心到切线的距离等于半径，结合1t =即可求出切线的斜率，从而可求出切线方程.(2)求出以P 为圆心，PA 为半径的圆方程，与圆M 方程联立即可求出直线AB 的方程，进而可求出定点的坐标. 【详解】解：(1)由题意知，切线的斜率一定存在，设切线方程为()1y t k x -=+， 即y kx k t =++，则圆心()2,0到直线的距离1d ===，整理得228610k kt t ++-=.当1t =时，222861860k kt t k k ++-=+=，解得0k =或34-， 则切线方程为1y =和3410x y +-=. (2)由题意知，()()22221209PMt t =--+-=+，所以22228PA PM MA t =-=+，即以P 为圆心，PA 为半径的圆方程为()()22218x y t t ++-=+，与圆M 方程联立得，()()2222218(2)1x y t t x y ⎧++-=+⎪⎨-+=⎪⎩，两式相减整理得350x ty --=，当0y =时，53x =， 所以直线AB 的方程为350x ty --=，恒过定点5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】 方法点睛:直线和圆相切问题的处理方法一般有两种:一是联立直线方程和圆的方程，通过0∆=解决问题；二是结合几何意义，即圆心到直线的距离等于半径求解.23．（1）22(3)(2)25x y +++=；（2）存在4n =-或6n =，最大值为252，直线m 的方程为4y x =-或6y x =+. 【分析】（1）设圆的一般式方程，代入A 、B 两点坐标，再圆心在直线上，列方程组得解. （2）设圆心到直线的距离为()0h h >，将三角形CDE △的面积表示为h 的函数，用基本不等式求最值及取最值时h 的取值，进一步可得对应的直线方程. 【详解】（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=因为点()1,1A 和()2,2B -在圆上，圆心C 在直线l ：10x y -+=上，所以110442201022D E F D E F D E ⎧⎪++++=⎪⎪++-+=⎨⎪⎛⎫⎪---+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得6D =，4E =，12F =-，所以圆的方程为2264120x y x y +++-=，即22(3)(2)25x y +++=． （2）设圆心C 到直线m 的距离为()0h h >，H 为DE 的中点，连接CH . 在CDE △中，∵DE ==∴CDE △的面积为1122CDES DE CH h h =⋅=⋅=∴22252522CDEh h S+-=≤=， 当且仅当2225h h =-，即2h =此时CDE △的面积取得最大值.∵|1|22CH n h ==-==， ∴|1|5n -=，∴4n =-或6n =，故存在4n =-或6n =，使得CDE △的面积最大，最大值为252，此时直线m 的方程为4y x =-或6y x =+. 【点睛】此题为直线与圆的综合题，属于能力题.方法点睛：直线与圆相交的弦、弦心距、圆的半径三者构成的直角三角形是此类问题中的特征三角形，边长满足勾股定理是解决此类问题关键. 24．（1）()()223640x y ++-=；（2）24． 【分析】（1）求出AB 的垂直平分线和直线3150x y +-=的交点可得圆心坐标，再利用两点间距离求半径，即可得答案；（2）求出点()1,12Q -，再利用点到直线距离公式求高，代入面积公式即可得答案； 【详解】（1）依题意知所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线3150x y +-=的交点．AB 的中点为()1,2，直线AB 的斜率为1，AB ∴的垂直平分线的方程为()21y x -=--，即3y x =-+．由33150y x x y =-+⎧⎨+-=⎩，得36x y =-⎧⎨=⎩，即圆心()3,6C -．∴半径r ==．故所求圆C 的标准方程为()()223640x y ++-=．（2）点()()1,0Q m m ->在圆C 上， 12m =∴或0m =(舍去)，()1,12Q ∴-，12AQ ==，直线AQ 的方程为：1x =-，点B 到直线AQ 的距离为4，QAB ∴的面积1141242422S AQ =⨯⨯=⨯⨯=． 【点睛】利用圆的几何意义求圆的方程时，注意只要圆过两点A,B ，其圆心必在线段的中垂线上. 25．（1）最大值为3+3-2）最大值为24+24-【分析】（1）设y k x =，整理得y kx =，解不等式d =≤ （2）22x y +表示的是原点()0,0到圆上的任意点的距离的平方，即得解.【详解】 （1）实数x ，y 满足()()22336x y -+-=， 则设y k x=，整理得y kx =， 所以圆心()3,3到直线的距离d =≤，整理得2610k k -+≤，即33k -≤≤+ 所以y x的最大值为3+，最小值为3-. （2）由于22x y +表示的是原点()0,0到圆上的任意点的距离的平方，所以利用最大距离为圆心()3,3到原点的距离与半径的和，=的平方，故最大值为24+最小距离为圆心()3,3到原点的距离与半径的差，=的平方，故最小值为24-【点睛】方法点睛：解析几何中的最值常用的方法有：（1）函数的方法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.本题就利用了数形结合法求最值，要根据已知条件灵活选择方法求解.26．（1）10±；（2）外切或相离，答案见解析.【分析】（1）根据新定义的要求即可求出m 的值；（2）先设圆2C 的方程222()(3)x a y a -+-=，然后根据新定义可求出a 的值，再根据a的值判断两圆的位置关系.【详解】（1）由直线关于圆的距离的比的定义 得25m=，所以10m =±（2）当0m =时，直线:340l x y -=圆2C 与y 轴相切点于(0,3)A所以可设2C ：222()(3)x a y a -+-= 3126545a a a -=⇒=-或43 ①当4a =-时，2C ：22(4)(3)16x y ++-=两圆的圆心距5d =，两圆半径之和为145+=，因此两圆外切②当43a =时，2C ：22416()(3)39x y -+-= 两圆的圆心距48433d =-+=大于两圆的半径之和47133+=，因此两圆外离 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用新定义圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比，可求出m 的值，利用圆2C 与y 轴相切于点()0,3A 设出其方程为222()(3)x a y a -+-=根据新定义可求出a 的值，再比较圆心距与半径之和、差，可判断两圆的位置关系.。

最新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测卷(含答案解析)

最新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测卷(含答案解析)

一、选择题1．如果实数x 、y 满足22640x y x +-+=，那么yx的最大值是（ ）A ．23B C ．3D2．已知(,0)A a ，(3,0)B a +，直线1x =上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，则a 的值为（ ）A ．6-B ．2-或6C ．2或6-D ．2-3．我国东南沿海一台风中心从A 地以每小时10km 的速度向东北方向移动，离台风中心15km 内的地区为危险地区，若城市B 在A 地正北20km 处，则B 城市处于危险区内的时间为（ ）小时. A ．0.5 B ．1 C ．1.5 D ．24．若P 是直线l ：3490x y +-=上一动点，过P 作圆C ：2240x y x ++=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A B ．CD ．5．若P 是直线l ：260x y ++=上一动点，过P 作圆C ：22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知圆221:4420C x y x y +---=，圆222:2880C x y x y +++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ）A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离7．过点P (1，2)引直线使两点A (2，3)､B (4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（ ）A ．4x +y -6=0B ．x +4y -6=0C ．2x +3y -7=0或x +4y -6=0D ．4x +y -6=0或3x +2y -7=08．直线l ：230kx y --=与圆C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，若ABC的周长为4+k 的值为（ ） A ．32B ．32-C ．32±D ．12±9．点(2,3)P 到直线：(1)30ax a y +-+=的距离d 最大时，d 与a 的值依次为( ) A ．3，－3 B ．5，2 C ．5，1 D ．7，1 10．若圆x 2+y 2+ax -by =0的圆心在第二象限，则直线x +ay -b =0一定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知直线1 : =-1l x ，2:10l x y -+=，点P 为抛物线24y x =上的任一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为A ．2BC ．1D 12．若点()1,1P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ） A ．230x y +-= B ．210x y -+= C ．230x y +-=D ．210x y --=二、填空题13．直线:20l mx y m --+=与圆22:6O x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则AOB 面积的最大值为__________.14．已知点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线PA ，PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是______.15．已知点(4,0),(0,2)A B ，对于直线:0l x y m -+=的任意一点P ，都有22||||18PA PB +>，则实数m 的取值范围是__________.16．已知圆C ：()2234x y -+=，线段MN 在直线211y x =-+上运动，点P 是线段MN 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA PB ⊥，则线段MN 长度的最大值是___________．17．已知点()2,0M -，()2,0N ，直线l ：340x y m +-=上存在点P ，满足PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是________.18．过点(3,5)A 作圆2248800x y x y +---=的最短弦，则这条弦所在直线的方程是__. 19．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”.已知ABC 的顶点(2,0),(0,4)A B ，其“欧拉线”的直线方程为20x y -+=，则ABC 的顶点C 的坐标__________.20．ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离的最大值为________.三、解答题21．已知直线l 经过点(2,5)P -，l 的一个方向向量为(4,3)d =-. （1）求直线l 的方程；（2）若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程.22．已知圆1C ：222280x y x y +++-=与圆2C ：22210240x y x y +-+-=相交于A 、B 两点．（1）求圆心在直线AB 上且经过A ，B 两点的圆P 的方程及弦AB 所在的直线方程；（2）直线l 经过点()2,3M 且被圆1C 所截得的弦长为l 的方程． 23．已知在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线l ：24y x =-.圆C 的半径为1，圆心C 在直线l 上.（1）若直线34120x y +-=与圆C 相切，求圆C 的标准方程；（2）已知动点(),M x y ，满足2=MA MO ，说明M 的轨迹是什么？若点M 同时在圆C 上，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.24．已知ABC 的顶点(5,1)A ，直线BC 的方程为6590x y AB --=，边上的中线CM所在直线方程为250x y --=． （1）求顶点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在直线方程．25．已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，AB 4=，M 过点A ，B 且与直线20x +=相切.（1）若A 在直线0x y +=上，求M 的半径；（2）求M 的圆心M 点的轨迹方程.26．已知圆心为C 的圆经过(0,2)A -和(1,5)B .且圆心在直线x +y +1=0上. （1）求圆C 的标准方程；（2）设直线l ：(m +2)x +(m +1)y +1=0，求直线l 被（1）中圆C 截得的弦长最短时的直线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】本题首先可求出圆的圆心与半径，然后将yx看作圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率，并结合图像得出当过原点的直线与圆相切时斜率最大，最后根据直线与圆相切即可得出结果. 【详解】22640x y x +-+=，即()2235x y -+=，圆心为()3,0yx的几何意义是圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率， 如图，结合题意绘出图像：结合图像易知，当过原点的直线与圆相切时，斜率最大，即yx最大， 令此时直线的倾斜角为α，则5tan 2α=，y x 5，故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线的斜率的几何意义的应用，考查直线与圆相切的相关性质，能否将yx看作点(),x y 与()0,0连线的斜率是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.2．B解析：B 【分析】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()2214x a y -++=，则本题等价于直线31x =与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()()2222344x a y x a y --+=-+，整理可得()2214x a y -++=，则直线31x +=上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，等价于直线31x =与圆()2214x a y -++=相切，101213a -+-=+，解得2a =-或6.故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将题转化为直线31x +=与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解.3．B解析：B【分析】建立直角坐标系，过点B 作BC AF ⊥，交AF 于点C ，以点B 为圆心，15为半径的圆交AF 于点E ，F ，连接BE ，BF ，利用勾股定理求出BC 的值，进而求出EF 的值，再结合台风中心的运动速度即可求出B 城市处于危险区内的时间．【详解】以A 为原点，正北方向为纵轴正方向，正东方向为横轴正方向，建立如图所示直角坐标系，因为台风中心从A 地以每小时10km 的速度向东北方向移动， 所以运动轨迹所在直线AF 与坐标轴成45角,设以点B 为圆心，15为半径的圆交AF 于点E ，F ，连接BE ，BF 过点B 作BC AF ⊥，交AF 于点C ， 在等腰Rt ABC △中，20AB =，220102BC =⨯=， 在Rt BCE 中，102BC =，15BE =，225CE BE BC ∴=-=，210EF CE ∴==，台风中心从A 地以每小时10km 的速度向东北方向移动，且当台风中心在线段EF 上时B 城市处于危险区内，B ∴城市处于危险区内的时间为110EF=小时， 故选：B ．【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.4．B解析：B 【分析】画出图象，根据对称性可得四边形PACB 面积2PACS S=，利用勾股定理可得22PA PC AC =-，当PC 最小时，PA 最小，面积最小，根据点到直线距离公式，即可求得答案. 【详解】圆C ：22(2)4x y ++=，圆心为（-2，0）半径2AC r ==，画出图象，如图所示：因为直线与圆相切，所以90PAC PBC ∠=∠=︒，且PAC PBC ≌ 所以四边形PACB 面积12222PACS S AC PA PA ==⨯⨯⨯=，又2224PA PC AC PC =-=-所以当PC 最小时，PA 最小，四边形PACB 面积的最小值， 由图象可得，PC 最小值即为点C 到直线3490x y +-=的距离， 所以min 223(2)9334PC ⨯--==+，所以min 945PA =-所以四边形PACB 面积的最小值225S PA == 故选：B 【点睛】解题的关键是画出图象，根据几何关系，得到PC 最小时，面积最小，再求解，将动点问题转化为点到直线距离问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.5．B解析：B 【分析】根据题意得要使四边形PACB 面积的最小值，只需PC 取最小即可，再根据几何关系求解即可. 【详解】解：根据题意：要使四边形PACB 面积的最小值，则只需切线长,PA PB 最小， 进而只需PC 取最小即可.由于()2214x y ++=，故圆心为()1,0-，2r，由于P 是直线l ：260x y ++=上一动点，所以过圆心作直线l 的垂线，垂足即为P ，此时CP ==此时切线长1PA PB ===，此时四边形PACB 面积为122S =⨯=. 即四边形PACB 面积的最小值为2. 故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.解题的关键是将问题转化为求PC 取最小值，再结合点到线的距离即可解答.6．C解析：C 【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距，大于半径之差，而小于半径之和，可得两个圆位置关系． 【详解】解：圆221:4420C x y x y +---=，22(2)(2)10-+-=x y ，()12,2C ，1r =， 圆222:2880C x y x y +++-=，22(1)(4)25x y +++=，()21,4C --，25r =，125r r +=，215r r -=12C C ==55-<<+，∴两圆相交.故选：C. 【点睛】方法点睛：先把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，再求出两圆的圆心距、半径之和、半径之差，根据三者之间的大小关系即可得到两圆的位置关系.7．D解析：D 【分析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程. 【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=， ∵直线l 与两点A (2，3)， B (4，-5）的距离相等，=解得4k =-或32k =-.:.直线l 的方程为4420x y --++=或332022x y --++= 整理，得：460x y +-=或3270x y +-=故选：D 【点睛】解决本题要注意设直线方程时，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，然后根据点到直线的距离相等即可求解.8．A解析：A 【分析】先根据半径和周长计算弦长AB =即可. 【详解】圆C ：()()22124x y -++=中，圆心是()1,2C -，半径是2r，故ABC的周长为4+24r AB +=+AB =又直线与圆相交后的弦心距d ==，故由2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()221434k k +=++，解得32k . 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.9．C解析：C 【分析】将直线方程整理为()()30a x y y ++-=，可得直线()130ax a y +-+=经过定点()3,3Q -，由此可得当直线()130ax a y +-+=与PQ 垂直时PQ 的长，并且此时点P 到直线的距离达到最大值，从而可得结果. 【详解】直线()130ax a y +-+=， 即()()30a x y y ++-=，∴直线()130ax a y +-+=是过直线0x y +=和30y -=交点的直线系方程，由030x y y +=⎧⎨-=⎩，得33x y =-⎧⎨=⎩，可得直线()130ax a y +-+=经过定点()3,3Q -，∴当直线()130ax a y +-+=与PQ 垂直时，点()2,3P 到直线()130ax a y +-+=的距离最大，d ∴的最大值为5PQ ==，此时//PQ x 轴，可得直线()130ax a y +-+=斜率不存在，即1a =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线的方程与应用，以及直线过定点问题，属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ，从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.10．C解析：C 【分析】由圆心位置确定a ，b 的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果. 【详解】因为圆22+0x y ax by +-=的圆心坐标为,22a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由圆心在第二象限可得0,0a b >>，所以直线0x ay b +-=的斜率10a -<，y 轴上的截距为0b a>，所以直线不过第三象限. 故选：C11．B解析：B 【分析】1l 是抛物线的准线，利用抛物线的定义可把P 到准线的距离转化为P 到焦点的距离，故可得P 到两条直线的距离之和的最小值就是焦点到直线2l 的距离. 【详解】抛物线24y x =，其焦点坐标()1,0F ，准线为1x =-也就是直线1l ，故P 到直线1l 的距离就是P 到F 的距离.如图所示，设P 到直线2l 的距离为d ，则10122d PF -++≥=,,P E F 三点共线时等号成立，故选B. 【点睛】抛物线上的动点满足到焦点的距离等于它到准线的距离，我们常常利用这个性质实现两类距离的转换.12．D解析：D 【分析】求得圆心坐标为(3,0)C ，根据斜率公式求得PC k ，再由根据圆的弦的性质，得到2MN k =，结合直线点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，圆2260x y x +-=，可得22(3)9x y -+=，所以圆心坐标为(3,0)C ，半径为3， 又由斜率公式，可得011312PC k -==--， 根据圆的弦的性质，可得1PC MN k k ⋅=-，所以2MN k =， 所以弦MN 所在直线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=， 所以弦MN 所在直线方程为210x y --=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及圆的弦的性质，其中解答中熟练应用圆的弦的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．3【分析】设出圆心到直线的距离为利用几何法求出表示出面积再利用二次函数的性质即可求出【详解】可得直线的定点在圆内则设圆心到直线的距离为则当即即时取得最大值为3故答案为：3【点睛】关键点睛：本题考查圆解析：3【分析】设出圆心O 到直线的距离为d ，利用几何法求出AB ，表示出面积，再利用二次函数的性质即可求出. 【详解】可得直线:20l mx y m --+=的定点()1,2在圆内，则m R ∈ 设圆心O 到直线的距离为d ，则221m d m -=+，226AB d =-，∴()22422166392AOBSAB d d d d d d =⨯⨯=-⋅=-+=--+， 当23d=，即()22231m m -=+，即26m -±=时，AOBS 取得最大值为3.故答案为：3. 【点睛】关键点睛：本题考查圆内三角形面积的最值问题，解题的关键是利用几何法求出AB ，表示出三角形面积，利用二次函数性质求解.14．2【分析】根据切线的性质可将面积转化为求出的最小值即到直线的距离【详解】圆化为可得圆心为半径为1如图可得则当取得最小值时最小点是直线上一动点到直线的距离即为的最小值故答案为：2【点睛】关键点睛：本题解析：2 【分析】根据切线的性质可将面积转化为21PACB S PC =-，求出PC 的最小值即()0,1C -到直线240x y -+=的距离. 【详解】圆22:20C x y y ++=化为()2211x y ++=，可得圆心为()0,1-，半径为1，如图，可得22221PA PC AC PC =-=-，1222PACB PACS SPA AC PA ==⨯⨯⨯==则当PC 取得最小值时，PACB S 最小， 点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，()0,1C ∴-到直线240x y -+=的距离即为PC 的最小值，min PC ∴==()min 2PACB S ∴==.故答案为：2. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆相切问题，解题的关键是利用切线性质将面积转化为PACB S =PC 的最小值即可.15．【分析】设根据条件可得即点P 在圆外故圆与直线相离根据直线与圆的位置关系可得答案【详解】设由可得即所以点P 在圆外又点P在直线上所以圆与直线相离所以解得：或故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与解析：(,11,)-∞--⋃+∞【分析】设(),P x y ，根据条件可得()()22214x y -+->，即点P 在圆()()22214x y -+-=外，故圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，根据直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】设(),P x y ，由22||||18PA PB +>可得()()22224218x y x y -+++->，即()()22214x y -+-> 所以点P 在圆()()22214x y -+-=外，又点P 在直线:0l x y m -+=上 所以圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离所以2d r=>=，解得：1m>或1m <--故答案为：(,11,)-∞--⋃+∞ 【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与圆的位置关系求参数范围，解答本题的关键是根据条件得到点P 在圆()()22214x y -+-=外，即圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，属于中档题.16．【分析】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度考虑边界的情况此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形先算出进一步求出答案【详解】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度考虑边界的情况也就是PAPB 分别与圆 解析：23【分析】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度，考虑边界的情况，此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形，先算出2232lPC d =-=，进一步求出答案. 【详解】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度，考虑边界的情况，也就是PA ，PB 分别与圆相切的情况，此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形，由题意知，圆心()3,0C ，半径2r线段PC 的长为22r =圆心到直线的距离22301152+1d -⨯-+==，根据图像的对称性可知2232lPC d =-= 所以线段MN 长度的最大值为3 故答案为: 3 【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用.本题的难点是分析何时EF 取到最值.根据考虑边界的情况数形结合得出结论.17．【分析】由可知点在以为直径的圆上可求出该圆的方程又点在直线上只需圆与直线有公共点即可即可列出关系式求出的取值范围【详解】因为所以点在以为直径的圆上该圆的圆心为半径为2圆的方程为又因为点在直线上所以点 解析：[]10,10-【分析】由PM PN ⊥，可知点P 在以MN 为直径的圆上，可求出该圆的方程，又点P 在直线l 上，只需圆与直线l 有公共点即可，即可列出关系式，求出m 的取值范围. 【详解】因为PM PN ⊥，所以点P 在以MN 为直径的圆上，该圆的圆心为()0,0O ，半径为2，圆的方程为224x y +=， 又因为点P 在直线l 上，所以点P 在直线l 和圆224x y +=的交点处， 若点P2≤，即10m ≤，解得1010m -≤≤.故答案为：[]10,10-. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是根据PM PN ⊥，得出点P 在以MN 为直径的圆上，结合点P 在直线l 上，只需圆与直线l 有公共点即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.18．【分析】利用配方法将圆化成标准方程得其圆心为当垂直这条弦时所得到的弦长最短求出直线的斜率后再根据两条直线垂直的条件和点斜式即可得解【详解】解：将圆化成标准形式为圆心为则点A 在圆内当垂直这条弦时所得到 解析：80x y +-=【分析】利用配方法将圆化成标准方程，得其圆心为M ，当AM 垂直这条弦时，所得到的弦长最短，求出直线AM 的斜率AM k 后，再根据两条直线垂直的条件和点斜式即可得解. 【详解】解：将圆2248800x y x y +---=化成标准形式为22(2)(4)100x y -+-=，圆心为(2,4)M ，则点A 在圆内，当AM 垂直这条弦时，所得到的弦长最短，54132AM k -==-， ∴这条弦所在直线的斜率为1-，其方程为5(3)y x -=--，即80x y +-=.故答案为：80x y +-=. 【点睛】本题考查直线截圆的弦长问题，熟练掌握圆的一般方程与标准方程互化、两条直线垂直的条件等基础知识点是解题的关键，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.19．【分析】设由题意结合重心的性质可得求得AB 的中垂线方程与欧拉线方程联立可得外心由外心的性质可得解方程即可得解【详解】设由重心坐标公式得的重心为代入欧拉线方程得整理得①因为AB 的中点为所以AB 的中垂线 解析：(4,0)-【分析】设(),C m n ，由题意结合重心的性质可得40m n -+=，求得AB 的中垂线方程，与欧拉=可得解. 【详解】设(),C m n ，由重心坐标公式得ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭，代入欧拉线方程得242033m n++-+=整理得40m n -+=①， 因为AB 的中点为()1,2，40202AB k -==--，所以AB 的中垂线的斜率为12，所以AB 的中垂线方程为()1212y x -=-即230x y -+=， 联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，∴ABC 的外心为()1,1-，=，联立①②得4,0m n =-=或0,4m n ==， 当0,4m n ==时，点B 、C 两点重合，舍去； ∴4,0m n =-=即ABC 的顶点C 的坐标为()4,0-. 故答案为：()4,0-. 【点睛】本题考查了直线方程的求解与应用，考查了两点间距离公式的应用，关键是对题意的正确转化，属于中档题.20．【分析】根据AOB 是直角三角形解得圆心O 到直线ax ＋by ＝1距离即得ab 关系式再根据两点间距离公式代入消去根据二次函数性质以及的范围求最值【详解】因为是直角三角形且所以O 到直线ax ＋by ＝1距离为因1【分析】根据AOB 是直角三角形，解得圆心O ax ＋by ＝1距离，即得a ，b 关系式，再根据两点间距离公式，代入消去a ，根据二次函数性质以及b 的范围求最值 【详解】因为AOB 是直角三角形，且||||1AO OB ==,所以O ax ＋by ＝1距离为2，2222a b =+= 设点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离为d ，d ====因为22,b b ≤≤≤b =d 取最大值为1=+1 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）34140x y +-=；（2）3410x y ++=或34290x y +-=. 【分析】（1）利用l 的方向向量，求出直线l 的斜率，代入点斜式方程求出直线l 的方程； （2）根据（1）设直线m 的方程为340x y c ++=，将点到直线的距离转化为平行线间的距离求c ，从而求出直线m 的方程. 【详解】（1）由l 的一个方向向量为(4,3)d =-，即直线l 的斜率34k =- 由点斜式方程得：35(2)4y x -=-+，即34140x y +-=. 所以直线l 的方程为：34140x y +-=（2）因为直线m 与l 平行，则可设m 的方程为340x y c ++=，由平行线间的距离公式得，|14|35c +=，解得：1c =或29-. 所以直线m 的方程为：3410x y ++=或34290x y +-=.【点睛】结论点睛：本题主要考查两直线的位置关系与斜率的关系，常用结论：在斜率存时， （1）1212//l l k k ⇔= （121221//0l l A B A B ⇔-=）；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-（1212120l l A A B B ⊥⇔⋅+⋅=），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心. 22．（1）240x y -+=；()()22215x y ++-=；（2）240x y -+=或112160x y --=．【分析】（1）由已知两圆方程，可得相交弦AB 所在直线的方程，再与其中一圆的方程联立求交点A 、B 坐标，由题意圆P 是以AB 为直径，其中点为圆心的圆，写出圆P 的方程即可.（2）由直线l 过点()2,3M 且被圆1C 所截得的弦长为1C 到直线l 的距离，再讨论直线l 斜率，判断定点1C 到直线l 的距离是否符合要求，进而求直线的方程. 【详解】（1）由22222280210240x y x y x y x y ⎧+++-=⎨+-+-=⎩， ()2222228210240x y x y x y x y +++--+-+-=，即弦AB 所在的直线方程240x y -+=．∴24x y =-，代入圆的方程式，解得40x y =-⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩. ∴A ，B 两点的坐标分别为()4,-0，()0,2，中点坐标为()2,1P -，则圆P 的半径r PB ===∴圆的方程为()()22215x y ++-=．（2）圆1C ：222280x y x y +++-=方程化为：()()221110x y +++=∴()11,1C --，半径r =，直线被圆所截得的弦长l =∴弦心距d == 若直线l 的斜率不存在，圆心()11,1C --到直线l ：2x =的距离为3，不合题意． ∴直线l 的斜率存在，设为()32y k x -=-，即320kx y k -+-=圆心()11,1C --到直线l =，即2424110k k -+=，解得12k =或112k =，即有()1322y x -=-或()11322y x -=-，故直线l 的方程为240x y -+=或112160x y --=．【点睛】 关键点点睛：（1）由已知两圆的方程求相交弦直线方程，只需将两圆方程左右两边同时相减即可得到，再由直线与圆的关系求交点坐标，写出圆的方程.（2）由直线过定点，且已知与圆的相交弦长，即可得弦心距，讨论直线存在与否，保证弦心距符合要求，确定直线方程. 23．(1) 22(3)(2)1x y -+-=或22232()()11111x y -+-=（2）120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1）设圆心C 为（a ，2a -4)，利用直线与圆相切，求解a ，得到圆心坐标，求出圆的方程.(2)由2=MA MO ，求出动点M 的轨迹方程，说明轨迹，通过点M 同时在圆C 上，说明圆C 与圆D 有公共点，利用两个圆的位置关系，转化求解圆心C 的横坐标a 的取值范围即可． 【详解】（1）因为圆心C 在直线l 上，所以圆心C 可设为(a ，2a -4)，|1128|15a -==，即|1128|5a -=， 所以11285a -=±， 解得3a =或2311a =， 所以圆心C 的坐标为(3，2)或232,1111⎛⎫⎪⎝⎭, 所以圆C 的标准方程为22(3)(2)1x y -+-=或22232()()11111x y -+-=(2) 由2=MA MO ,= 化简得：22230x y y ++-=， 即22(1)4x y ++=，所以动点M 的轨迹是以D (0，-1)为圆心，半径是2的圆， 若点M 同时在圆C 上，则圆C 与圆D 有公共点， 则21||21CD -≤≤+，即1 3.≤≤整理得：2251280,5120a a a a ⎧-+≥⎨-≤⎩解得1205a ≤≤， 所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]. 【点睛】关键点点睛：判断两圆位置关系式，只需求出两圆圆心的距离，比较与两圆半径的关系即可，本题根据两圆有公共点可得21||21CD -≤≤+，解不等式即可求解,属于中档题. 24．（1）(4,3)C ；（2）250x y --=． 【分析】（1）联立直线方程可解得结果；（2）设出()00,B x y ，利用AB 的中点M 在直线CM 上以及点()00,B x y 在直线BC 上，解方程组可得B 的坐标，利用垂直可得斜率，根据点斜式可得所求直线方程. 【详解】（1）联立6590250x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，可得(4,3)C ；（2）设()00,B x y ，则AB 的中点0051,22x y M ++⎛⎫⎪⎝⎭， 则0000659015502x y y x --=⎧⎪⎨++--=⎪⎩，解得(1,3)B --， 又23145AC k -==--，所以AC 边上的高所在直线的斜率12k =，所以AC 边上的高所在直线方程为13(1)2y x +=+，即250x y --=. 【点睛】关键点点睛：求出点B 的坐标是求出AC 边上的高所在直线方程的关键，设()00,B x y ，利用直线BC 的方程和AB 的中点坐标满足CM 的方程可解得点B 的坐标. 25．（1）2r 或6r =；（2）24y x =.【分析】 （1）M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上，设(),M a a ，根据AOM为直角三角形，由勾股定理即可求解.（2）设(), M x y ，由于MO AO ⊥，根据AOM 为直角三角形，由勾股定理即可求解. 【详解】 解：（1）因为M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线0x y +=上，且A ，B 关于坐标原点O 对称， 所以M 在直线y x =上，故可设(),M a a . 因为M 与直线20x +=相切，所以M 的半径为2r a =+.由已知得2AO =，(),M a a 点到0x y +==又MO AO ⊥，故可得()22242a a +=+，解得0a =或4a =. 故M 的半径2r 或6r =.（2）设(), M x y ，由已知得M 的半径为2r x =+，2AO =，MO =由于MO AO ⊥，所以222MO OA r +=，故可得()22242x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.【点睛】思路点睛：直线和圆相交时，通常用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形建立等量关系. 26．（1）22(3)(2)25x y ++-=（2）23y x =+【分析】（1）由,A B 的坐标求出线段AB 的中垂线所在方程，与直线x +y +1=0联立求出圆心坐标，再求半径，即可得出圆C 的标准方程；（2）求出直线l 过定点(1,1)D -，当圆心C 到直线l 的距离最远时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，求出直线CD 的斜率，进而得出直线l 的方程. 【详解】 （1）5271AB K +==，线段AB 的中点为13,22M ⎛⎫⎪⎝⎭则线段AB 的中垂线所在方程为311272y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即11177y x =-+ 由1117710y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪++=⎩，解得3,2x y =-=，即圆心的坐标为C (3,2)-5r ==即该圆的方程为22(3)(2)25x y ++-=（2）直线l ：(m +2)x +(m +1)y +1=0可化为21(1)1m y x m +-=-++，即直线l 过定点(1,1)D - 当圆心C 到直线l 的距离最远时，直线l 被圆C 截得的弦长最短由圆的对称性可知，当CD 与直线l 垂直时，圆心C 到直线l 的距离最远 因为211312CD k -==--+，所以直线l 的方程为12(1)y x -=+，即23y x =+ 【点睛】在处理问题（2）时，关键是由直线l 的方程得出直线l 过定点(1,1)D -，结合圆的对称性得出当CD 垂直与直线l 时，直线l 被圆C 截得的弦长最短.。

《第二章 直线和圆的方程》单元检测试卷与答案解析(共四套)

《第二章 直线和圆的方程》单元检测试卷与答案解析(共四套)

《第二章 直线和圆的方程》单元检测试卷（一）第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分） 1．已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，若12//l l ，则实数k =（ ） A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．12．直线()()1:2140l a x a y -+++=与()2:190l a x ay ++-=互相垂直，则a 的值是（ ）. A ．-0.25 B ．1 C ．-1 D ．1或-13．直线:l (1)230m x my m ---+=（m R ∈）过定点A ，则点A 的坐标为（ ） A ．(3,1)- B ．(3,1) C ．(3,1)- D ．(3,1)-- 4．设a R ∈，则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件,5．若曲线y 与直线y ＝k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦ B ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．（1，+∞）D ．（1，3] 6．已知直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ） A ．4 B ．289 C ．329D ．3277．若两平行直线20,(0)x y m m ++=>与30x ny --=则m+n ＝（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．2-8．过直线y ＝x 上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y ＝x 对称时，它们之间的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，每题5分，共20分）9．圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦AB 的长为2D ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 1+ 10．已知直线12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=，则下列说法正确的是（ ）A ．若12l l //，则m=-1或m=3B ．若12l l //，则m=3C ．若12l l ⊥，则12m =-D ．若12l l ⊥，则12m = 11．已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为()0,1M ，则实数a 的取值可为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 12．下列说法正确的是（ ）A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=第II 卷（非选择题）三、填空题(每题5分，共20分）13．圆C 的圆心为(21),-，且圆C 与直线3450x y --=相切，则圆C 的方程为_______. 14．经过点P （2，1）作直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，当△AOB 面积最小时，直线l 的方程为_____.15．在圆22420x y x y +-+=内，过点1,0（）M 的最短弦的弦长为_____；16．圆()()221:29C x m y -++=与圆()()222:14C x y m ++-=内切，则m 的值为____.四、解答题（17题10分，其余12分，共70分） 17．已知圆C 的方程为()()22215x y -+-=． （1）写出圆心C 的坐标与半径长；（2）若直线l 过点()0,1P ，试判断与圆C 的位置关系，并说明理由．18．已知圆C ：（x+2）2+y 2＝5，直线l ：mx ﹣y+1+2m ＝0，m ∈R. （1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；（2）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.19．已知圆()()22:1225C x y -+-=和直线()():211740l m x m y m +++--=.（1）证明：不论 m 为何实数，直线l 都与圆 C 相交于两点； （2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时直线l 的方程；（3）已知点P （,x y ）在圆C 上，求22x y +的最大值.20．在平面直角坐标系中，直线＝0与圆C 相切，圆心C 的坐标为(1,-1)． （1）求圆C 的方程；（2）设直线y ＝kx+2与圆C 没有公共点，求k 的取值范围； （3）设直线y ＝x+m 与圆C 交于M ，N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值．21．已知圆C ：2240x y mx ny ++++=关于直线10x y ++=对称，圆心C 在第四象限，半径为1.（1）求圆C 的标准方程；（2）是否存在直线与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.22．平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,4P ，圆22:4O x y +=与x 轴的正半轴的交于点Q ．（1）若过点P 的直线1l 与圆O 相切，求直线1l 的方程； （2）若过点P 的直线2l 与圆O 交于不同的两点A ，B ． ①设线段AB 的中点为M ，求点M 纵坐标的最小值；②设直线QA ，QB 的斜率分别是1k ，2k ，问：12k k +是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由． 答案解析第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分） 1．已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，若12//l l ，则实数k =（ ） A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 【答案】D【解析】已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，因为12//l l ，所以1k =故选：D2．直线()()1:2140l a x a y -+++=与()2:190l a x ay ++-=互相垂直，则a 的值是（ ）. A ．-0.25 B ．1 C ．-1 D ．1或-1 【答案】D【解析】当10a +=时，1a =-，此时14:3l x =，2:9l y =-，显然两直线垂直， 当0a =时，此时1:240l x y -++=，2:9l x =，显然两直线不垂直， 当10a +≠且0a ≠时，因为12l l ⊥，所以()()()2110a a a a -+++=，解得：1a =，综上可知：1a =或1-.故选D.3．直线:l (1)230m x my m ---+=（m R ∈）过定点A ，则点A 的坐标为（ ） A ．(3,1)- B ．(3,1) C ．(3,1)- D ．(3,1)-- 【答案】B【解析】根据直线(1)230m x my m ---+=得()230m x y x ---+=， 故直线过定点为直线20x y --=和30x -+=的交点，联立方程得2030x y x --=⎧⎨-+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩ ，所以定点A 的坐标为()3,1A .故选：B.4．设a R ∈，则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件, 【答案】C【解析】若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行，则21a =,且11a-≠解得1a =故选C5．若曲线y 与直线y ＝k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦ B ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．（1，+∞）D ．（1，3] 【答案】A【解析】作出曲线y 的图像，直线y ＝k （x ﹣2）+4恒过定点()2,4，当直线与曲线相切时，原点到直线240kx y k --+=的距离等于22=，解得34k =， 由图可知， ()3401422k -<≤=--，故选：A 6．已知直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ） A ．4 B ．289 C ．329D ．327【答案】C【解析】因为()2222x y t tt R +=-∈表示圆，所以220->t t ，解得02t <<，因为直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，所以圆心到直线的距离d r ≤，即≤403t ≤≤，此时403t ≤≤， 因为()()()224424=-=-+=--+f t t t t t t ，在40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，所以()4t t -的最大值34329⎛⎫= ⎪⎝⎭f . 故选：C7．若两平行直线20,(0)x y m m ++=>与30x ny --=则m+n ＝（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．2- 【答案】A【解析】由直线20,(0)x y m m ++=>与30x ny --=平行可得2n -=即2n =-， 则直线20,(0)x y m m ++=>与230x y +-=，=2m =或8m =-（舍去），所以()220m n +=+-=.故选：A.8．过直线y ＝x 上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y ＝x 对称时，它们之间的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【答案】C【解析】如图所示，过圆心C 作CP 垂直直线y x =于点P ，直线,PA PB 分别与圆:C 22(5)(1)2x y -+-=相切，切点分别为,A B ，根据几何知识可知，直线12,l l 也关于直线CP对称，所以直线12,l l 的夹角为APB ∠（或其补角）．在Rt CBP 中，BC =CP ==所以1sin 2BPC ∠=，而BPC ∠为锐角，即有30BPC ∠=，60APB ∠=． 故选：C ．二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，每题5分，共20分）9．圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦AB 的长为2D ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 1+ 【答案】ABD【解析】对于A ，由圆221:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，两式作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20x y x O +-=的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AB 中垂线斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确； 对于C ，圆221:20x y x O +-=，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为2d ==，半径1r =所以AB ==C 不正确；对于D ，P 为圆1O 上一动点，圆心1O ()1,0到0x y-=的距离为2d =，半径1r =，即P到直线AB 1+，故D 正确.故选：ABD10．已知直线12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=，则下列说法正确的是（ ）A ．若12l l //，则m=-1或m=3B ．若12l l //，则m=3C ．若12l l ⊥，则12m =-D ．若12l l ⊥，则12m = 【答案】BD【解析】直线12l l //，则3(2)0m m --=，解得3m =或1m =-，但1m =-时，两直线方程分别为10x y --=，3330x y -++=即30x y --=，两直线重合，只有3m =时两直线平行，A 错，B 正确；12l l ⊥，则230m m -+=，12m =，C 错，D 正确． 故选：BD ．11．已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为()0,1M ，则实数a 的取值可为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】AB【解析】圆C 的标准方程为：()()22125x y a ++-=-，故5a <.又因为弦AB 的中点为()0,1M ，故M 点在圆内，所以()()2201125a ++-<-即3a <. 综上，3a <. 故选：AB.12．下列说法正确的是（ ）A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y += 【答案】ABD【解析】32()y ax a a R =-+∈可化为()23y a x -=-，则直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)，故A 正确；令0x =，则2y =-，即直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确；10y ++=可化为1y =-，则该直线的斜率为，即倾斜角为120︒，故C 错误；设过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的斜率为k 因为直线230x y -+=的斜率为12，所以112k ⋅=-，解得2k =- 则过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的方程为22(1)y x -=-+，即20x y +=，故D 正确； 故选：ABD第II 卷（非选择题）三、填空题(每题5分，共20分）13．圆C 的圆心为(21),-，且圆C 与直线3450x y --=相切，则圆C 的方程为_______.【答案】22(2)(1)1x y -++=【解析】圆C 的圆心为(2,1)-，与直线:3450l x y --=相切， 圆心到直线的距离等于半径，即1r d ===，∴圆C 的方程为22(2)(1)1x y -++=．故答案为：22(2)(1)1x y -++=．14．经过点P （2，1）作直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，当△AOB 面积最小时，直线l 的方程为_____. 【答案】x+2y ﹣4＝0；【解析】由题意可知，直线的斜率一定存在，故设直线方程y ﹣1＝k （x ﹣2），k ＜0， 令x ＝0可得，y ＝1﹣2k ，令y ＝0可得x ＝2﹣1k， 则11121222AOBSOA OB k k =⋅=⨯--＝()1114444422k k ⎛⎫--+≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当﹣4k ＝﹣1k即k ＝﹣12时取等号，此时直线方程y ﹣1＝﹣12（x ﹣2）,即x+2y ﹣4＝0． 故答案为：x+2y ﹣4＝0．15．在圆22420x y x y +-+=内，过点1,0（）M 的最短弦的弦长为_____；【答案】【解析】圆22420x y x y +-+=化简得：()()22215x y -++=，点M 在圆内部，记圆心为()2,1C -，根据几何性质知过M 且与OM 垂直的弦最短，CM =由垂径定理得弦长为==故答案为：16．圆()()221:29C x m y -++=与圆()()222:14C x y m ++-=内切，则m 的值为______.【答案】2-或1-【解析】圆1C 的圆心为(),2m -，半径为13r =，圆2C 的圆心为()1,m -，半径为22r =，所以两圆的圆心距d =，1=，解得2m =-或1m =-.故答案为：2-或1-.四、解答题（17题10分，其余12分，共70分）17．已知圆C 的方程为()()22215x y -+-=．（1）写出圆心C 的坐标与半径长；（2）若直线l 过点()0,1P ，试判断与圆C 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）圆心C 的坐标为()2,1，半径长r =（2）相交，理由见解析．【解析】（1）圆心C 的坐标为()2,1，半径长r =（2）当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为0x =，与圆有2个交点；当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为1y kx =+，将1y kx =+代入()()22215x y -+-=整理，得()221410kx x +--=， 因为210k +≠，且()216410k∆=++>恒成立，所以直线l 与圆C 相交．综上所述，直线l 与圆C 相交．18．已知圆C ：（x+2）2+y 2＝5，直线l ：mx ﹣y+1+2m ＝0，m ∈R.（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；（2）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程. 【答案】（1）相交，理由见解析；（2）()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭ 【解析】（1）直线l ：120mx y m -++=，也即()12y m x -=+，故直线恒过定点()2,1-，又()222215-++<，故点()2,1-在圆C 内，此时直线l 一定与圆C 相交.（2）设点(),M x y ，当直线AB 斜率存在时，12AB y k x -=+， 又2MC y k x =+，1AB MC k k ⨯=-， 即1122y y x x -⨯=-++， 化简可得：()()22112,224x y x ⎛⎫++-=≠- ⎪⎝⎭； 当直线AB 斜率不存在时，显然中点M 的坐标为()2,1-也满足上述方程.故M 点的轨迹方程为：()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭. 19．已知圆()()22:1225C x y -+-=和直线()():211740l m x m y m +++--=. （1）证明：不论 m 为何实数，直线l 都与圆 C 相交于两点；（2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时直线l 的方程；（3）已知点P （ ,x y ）在圆C 上，求22x y +的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）250x y --=；（3）30+【解析】（1）因为()():211740l m x m y m +++--=所以()()2740x y m x y +-++-=令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩ 所以直线l 过定点()3,1.而()()22311225-+-<，即点()3,1在圆内部. 所以直线l 与恒交于两点.（2）.过圆心()1,2与点()3,1的直线1l 的方程为1522y x =-+， 被圆 C 截得的弦长最小时，直线l 必与直线1l 垂直，所以直线l 的斜率2k =，所以直线l 的方程为()123y x -=-，即250x y --=.（3）因为2222(0)(0)x y x y +-+-=，表示圆上的点(),x y 到()0,0的距离的平方，因为圆心到原点的距离d ==所以2a 2m x 2)(530(+==+x y 20．在平面直角坐标系中，直线＝0与圆C 相切，圆心C 的坐标为(1,-1)．（1）求圆C 的方程；（2）设直线y ＝kx+2与圆C 没有公共点，求k 的取值范围；（3）设直线y ＝x+m 与圆C 交于M ，N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值．【答案】（1）22()(11)9x y -++=；（2）30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）1m =-±【解析】（1）∵直线0x y ++=与圆C 相切，且圆心C 的坐标为(1,1)-，∴圆C的半径3r ==， 则圆C 的方程为22()(11)9x y -++=；（2）∵直线y ＝kx+2与圆C 没有公共点，∴点(1,1)C -3>，解得304k <<， ∴k 的取值范围为30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）联立22(1)(1)9y x m x y =+⎧⎨-++=⎩，得2222270x mx m m +++-=， 由()2248270m m m ∆=-+->，解得22m --<<-+设()()1122,,,M x y N x y ， 则2121227,2m m x x m x x +-+=-=， ∵OM ON ⊥，∴12120OM ON x x y y ⋅=+=，即()()()21212121220x x x m x m x x m x x m +++=+++=，∴2270m m +-=，解得1m =-±∴1m =-±21．已知圆C ：2240x y mx ny ++++=关于直线10x y ++=对称，圆心C 在第四象限，半径为1.（1）求圆C 的标准方程；（2）是否存在直线与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）()()22121x y -++=；（2）存在，34y x =-或1y x =--±【解析】（1）将圆C 化为标准方程，得222216()()224m n m n x y +-+++= ∴ 圆心C （,22m n --），半径r =由已知得10222412m n m n ⎧--+=⎪=-⎧⎪⇒⎨=⎩=⎩或42m n =⎧⎨=-⎩ 又C 在第四象限， ∴()1,2C -∴圆C 的标准方程为22(1)(2)1x y -++=（2）当直线过原点时，l 斜率存在，则设:l y kx =314k =⇒=- 此时直线方程为34y x =-； 当直线不过原点时，设:0l x y t +-=1= 解得1t =-10x y +++=或10x y ++= 综上，所求直线的方程为：34y x =-或1y x =--±22．平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,4P ，圆22:4O x y +=与x 轴的正半轴的交于点Q ．（1）若过点P 的直线1l 与圆O 相切，求直线1l 的方程；（2）若过点P 的直线2l 与圆O 交于不同的两点A ，B ．①设线段AB 的中点为M ，求点M 纵坐标的最小值；②设直线QA ，QB 的斜率分别是1k ，2k ，问：12k k +是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）2x =和34100x y -+=；（2）①2 ②是定值，1-．【解析】（1）圆22:4O x y +=的圆心为()0,0，半径为2， 若过点()2,4P 直线1l 垂直于x 轴，则方程为2x =，与圆相切，符合题意；若过点()2,4P 直线1l 不垂直于x 轴，设直线1l 的斜率与k ，则直线1l 方程为()42y k x -=-，即240kx y k --+=，因为直线1l 与圆22:4O x y +=相切，所以圆心到直线1l的距离2d ==，解得34k =， 所以切线方程为34100x y -+=；综上得：切线1l 的方程为2x =和34100x y -+=；（2）①设点(),M x y ，因为M 为弦AB 中点，所以MO MP ⊥，又因为(),OM x y =，()2,4PM x y =--，所以由OM PM ⊥得(2)(4)0x x y y -+-=化简得22240x y x y +--=．联立22224240x y x y x y ⎧+=⎨+--=⎩得20x y =⎧⎨=⎩或6585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； 又因为点M 在圆22:4O x y +=内部，所以点M 的轨迹是圆22240x y x y +--=中以点68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2,0为端点的一段劣弧（不包括端点），由22240x y x y +--=即()()22125x y -+-=，令1x =得2y =±根据点(1,2在22:4O x y +=内部，所以点M纵坐标的最小值是2-； ②由题意点()2,0Q ,联立224(2)4y k x x y -=-⎧⎨+=⎩得()22214(2)(24)40k x k k x k +--+--=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12221224(2)1(24)410k k x x k k x x k -⎧+=⎪+⎪--⎪=⎨+⎪∆>⎪⎪⎩， 所以()()121212121224242222k x k x y k k x x x y x -+-++=+=+---- ()()121212214444222224x x k k x x x x x x +-=++=+---++ 22224(2)444(84)1221(24)44(2)162411k k k k k k k k k k k -⎡⎤⋅-⎢⎥++⎣⎦=+=-=-----⋅+++． 所以12k k +是定值，定值为1-．《第二章 直线和圆的方程》单元检测试卷（二）一、单选题1．直线：的倾斜角为（ ）A ．B ．C ．D ．2．圆心为，且过原点的圆的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如果直线(2a+5)x+(a －2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ）A ．2B ．－2C ．2,－2D ．2,0,－24．圆与直线的位置关系( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．不能确定5．从点向圆引切线，则切线长的最小值( )A ．．5 C．6．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数A ．1B ．C ．或1D ．2或17．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为( )A ．B ．C ．D ．8．过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ） A．1 C．9．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ）A ．B ． x y +-0=30︒45︒60︒135︒()2,2()()22228x y -+-=()()22222x y -+-=()()22228x y +++=()()22222x y +++=22(1)5x y +-=120mx y m -+-=(,3)P m 22(2)(2)1x y +++=420ax y a +-+=(a =)1-2-(1,1)P 2240x y x +-=AB AB 20x y +-=0x y -=20x y -+=22(1)5x y +-=()1,030()2221x y -+=20kx y -+=()3,2M -()2,5N 32k ≤32k ≥C ．D ．或 10．已知圆，圆，、分别是圆、上动点，是轴上动点，则的最大值是( )A ． BC ．二、多选题11．在同一直角坐标系中，直线与圆的位置不可能是（ ） A ． B ． C ．D ． 12．已知点是直线上一定点，点、是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（ ）A ．B ．C ．D ． 13．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题14．直线过定点______；若与直线平行，则______.15．已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆C 的方程是______． 16．圆关于直线的对称圆的标准方程为__________．17．已知、为正实数，直线截圆所得的弦长为，则的最大值为__________． 4332k -≤≤43k ≤-32k ≥()()221:231C x y -+-=()()222:349C x y -+-=M N 1C 2C P x PN PM -4+42y ax a =+222()x a y a ++=A :0l x y +=P Q 221x y +=PAQ ∠90A (()1))1,1ABC ∆()4,0-A ()0,4B 20x y -+=C ()2,0()0,2()2,0-()0,2-()1:20l m x y m +--=()m R ∈1l 2:310l x my --=m =()4,3C -22:1O x y +=22230x y y ++-=10x y +-=a b 10x y ++=()()224x a y b -+-=ab四、解答题18．求圆上与直线的距离最小的点的坐标. 19．已知直线过点.（1）若原点到直线的距离为，求直线的方程；（2）当原点到直线的距离最大时，求直线的方程.20．在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.（1）求点坐标；（2）求直线的方程.21．如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为（1）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标；（2）若两条切线于轴分别交于两点，求面积的最小值．224x y +=43120x y +-=l (2,1)P -O l 2l O l l ABC ∆(1,2)A -AC BE 74460x y +-=AB CM 211540x y -+=C BC 22:(2)1C x y -+=P :4l x =P C ,AB AB Q ,PA PB y ,M N QMN22．已知点，，直线：，设圆的半径为，圆心在直线上．（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围．23.已知点，点在圆上运动. （1）求过点且被圆截得的弦长为（2）求的最值.答案解析一、单选题1．直线：的倾斜角为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】直线的斜率，设直线的倾斜角为， 则，所以.故选：D.2．圆心为，且过原点的圆的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意. (4,4)A (0,3)B l 1y x =-C 1C l C 37y x =-A C C M 2MB MO =O C a (2,2),(2,6),(4,2)A B C ----P 22:4E x y +=C E 222||||||PA PB PC ++x y +-0=30︒45︒60︒135︒0x y +-=1k =-0x y +-=1(080)a a ︒≤<︒tan 1α=-135α=︒()2,2()()22228x y -+-=()()22222x y -+-=()()22228x y +++=()()22222x y +++=r ==()()22228x y -+-=故选：.3．如果直线(2a+5)x+(a －2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ）A ．2B ．－2C ．2,－2D ．2,0,－2【答案】C【解析】(2a ＋5)(2－a)＋(a －2)(a ＋3)＝0，所以a ＝2或a ＝－2.4．圆与直线的位置关系( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．不能确定【答案】C【解析】 直线即即直线过点,把点代入圆的方程有,所以点在圆的内部,过点的直线一定和圆相交.故选:C.5．从点向圆引切线，则切线长的最小值( )A ．．5 C．【答案】A【解析】设切线长为,则,故选:A.6．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数 )A ．1B ．C ．或1D ．2或1【答案】D【解析】由题意，当，即时，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意； A 22(1)5x y +-=120mx y m -+-=120mx y m -+-=()12y m x -=-()21，()21，405+<()21，()21，(,3)P m 22(2)(2)1x y +++=4d 2222(2)51(2)24d m m =++-=++min d ∴=20ax y a +-+=(a =1-2-2a 0-+=a 2=ax y 2a 0+-+=2x y 0+=当，即时，直线化为，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得； 综上所述，实数或．故选：D ．7．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】化为标准方程为.∵为圆的弦的中点,∴圆心与点确定的直线斜率为,∴弦所在直线的斜率为1，∴弦所在直线的方程为,即.故选:B.8．过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ）A ．B ．1 C．【答案】C【解析】根据题意，设过点且倾斜角为的直线为 ,其方程为,即,变形可得，圆 的圆心为，半径 ,2a 0-+≠a 2≠ax y 2a 0+-+=122x y a a a+=--2a 2a a-=-a 1=a 2=a 1=(1,1)P 2240x y x +-=AB AB 20x y +-=0x y -=20x y -+=22(1)5x y +-=2240x y x +-=()22-24x y +=()1,1P ()22-24x y +=AB P 01121k -==--AB AB 11y x -=-0x y -=()1,030()2221x y -+=2()1,030l ()tan301y x =-)13y x =-10x -=()2221x y -+=()2,01r =设直线与圆交于点,圆心到直线的距离, 则C. 9．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．或 【答案】C【解析】 因为直线恒过定点，又因为，，所以直线的斜率k 的范围为． 故选：C ． 10．已知圆，圆，、分别是圆、l AB 12d ==2AB ==20kx y -+=()3,2M -()2,5N 32k ≤32k ≥4332k -≤≤43k ≤-32k ≥20kx y -+=()0,2A 43AM k =-32AN k =4332k -≤≤()()221:231C x y -+-=()()222:349C x y -+-=M N 1C上动点，是轴上动点，则的最大值是( )A ． BC ．【答案】D【解析】如下图所示：圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为， ，由圆的几何性质可得，， ，当且仅当、、三点共线时，.故选：D.二、多选题11．在同一直角坐标系中，直线与圆的位置不可能是（）A ．B ．C ．D ． 2C P x PN PM -4+41C ()12,3C 11r =2C ()23,4C 23r =12C C ==2223PN PC r PC ≤+=+1111PM PC r PC ≥-=-2112444PN PM PC PC C C -≤-+≤+=1C P 2C PN PM -42y ax a =+222()x a y a ++=【答案】ABD【解析】直线经过圆的圆心，且斜率为. 故选项满足题意.故选：.12．已知点是直线上一定点，点、是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】AC【解析】如下图所示：原点到直线的距离为，则直线与圆相切， 由图可知，当、均为圆的切线时，取得最大值，连接、，由于的最大值为，且，， 则四边形为正方形，所以由两点间的距离公式得整理得，解得，因此，点的坐标为或. 故选：AC. 2y ax a =+222()x a y a ++=(),0a -a ,,A B D ABD A :0l x y +=P Q 221x y +=PAQ ∠90A (()1))1,1l 1d ==l 221x y +=AP AQ 221x y +=PAQ ∠OP OQ PAQ ∠9090APO AQO ∠=∠=1OP OQ ==APOQ OA ==OA ==220t -=0t =A ()13．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD【解析】设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为与直线的交点为，，①由，，重心为， 代入欧拉线方程，得，②由 ①②可得或 .故选:AD三、填空题14．直线过定点______；若与直线平行，则______.【答案】【解析】(1),故. 即定点为(2) 若与直线平行,则,故或.当时与直线重合不满足.故. ABC ∆()4,0-A ()0,4B 20x y -+=C ()2,0()0,2()2,0-()0,2-(,),C x y AB y x =-ABC ∆20x y -+=y x =-(1,1)M-22||||(1)(1)10MC MA x y ∴==∴++-=()4,0A -()0,4B ABC ∆44(,)33x y -+20x y -+=20x y --=2,0x y ==0,2x y ==-()1:20l m x y m +--=()m R ∈1l 2:310l x my --=m =()1,23-()1:20(1)20l m x y m m x x y +--=⇒-+-=101202x x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩()1,21l 2:310l x my --=()()()()()2310130m m m m +---=⇒-+=1m =3m =-1m =1l 2l 3m =-故答案为：(1) ; (2)15．已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆C 的方程是______． 【答案】(x －4)2＋(y ＋3)2＝36.【解析】，设所求圆的半径为，由两圆内切的充分必要条件可得：，据此可得：，圆C 的方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝36.16．圆关于直线的对称圆的标准方程为________．【答案】【解析】 ，圆心为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，对称圆的标准方程为.故答案为：.17．已知、为正实数，直线截圆所得的弦长为，则的最大值为__________．【答案】 【解析】因为直线截圆所得的弦长为,且圆的半径为2. 故圆心到直线的距离()1,23-()4,3C -22:1O x y +=5=()0r r >15r -=6r =22230x y y ++-=10x y +-=22(2)(1)4x y -+-=2222230(41)x y y x y ++-=⇒+=+∴(0,1)-210x y +-=(,)x y ∴1(1)1,2,1.110,22y x x y x y +⎧⨯-=-⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪+-=⎪⎩∴22(2)(1)4x y -+-=22(2)(1)4x y -+-=a b 10x y ++=()()224x a y b -+-=ab 1410x y ++=()()224x a y b -+-=(),a b d ==,因为、为正实数,故,所以. 当且仅当时取等号. 故答案为： 四、解答题18．求圆上与直线的距离最小的点的坐标. 【答案】【解析】过圆心且与直线垂直的直线方程为，联立圆方程得交点坐标为，， 又因为与直线的距离最小，所以. 19．已知直线过点.（1）若原点到直线的距离为，求直线的方程；（2）当原点到直线的距离最大时，求直线的方程.【答案】（1）或；（2）=a b 1a b +=2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭12a b ==14224x y +=43120x y +-=86,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭43120x y +-=340x y -=224340x y x y ⎧+=⎨-=⎩86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭86,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭43120x y +-=86,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭l (2,1)P -O l 2l O l l 20x -=34100x y --=250.x y --=【解析】（1）①当直线的斜率不存在时，方程符合题意；②当直线的斜率存在时，设斜率为，则方程为，即，解得，则直线的方程为 故直线的方程为或（2）当原点到直线的距离最大时，直线因为，所以直线的斜率 所以其方程为，即20．在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.（1）求点坐标；（2）求直线的方程.【答案】（1）（2） 【解析】（1）边上的高为，故的斜率为， 所以的方程为， 即，因为的方程为 l 2x =l k ()12y k x +=-210.kx y k ---=2=34k =l 34100.x y --=l 20x -=34100.x y --=O l .l OP ⊥011022OP k +==--l 2,k =()122y x +=-250.x y --=ABC ∆(1,2)A -AC BE 74460x y +-=AB CM 211540x y -+=C BC ()66C ，2180x y +-=AC 74460x y +-=AC 47AC ()4217y x -=+47180x y -+=CM 211540x y -+=解得 所以. （2）设，为中点，则的坐标为， 解得， 所以， 又因为，所以的方程为 即的方程为.21．如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为（1）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标；（2）若两条切线于轴分别交于两点，求面积的最小值．【答案】（1）见解析，（2【解析】（1）设，则以 为直径的圆的方程：21154047180x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，，66x y =⎧⎨=⎩()66C ，()00,B x y M AB M 0012,22x y -+⎛⎫ ⎪⎝⎭0000122115402274460x y x y -+⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩0028x y =⎧⎨=⎩()2,8B ()6,6C BC ()866626y x --=--BC 2180x y +-=22:(2)1C x y -+=P :4l x =P C ,A B AB Q ,PA PB y ,M N QMN 5,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭(4,)P t CP， 与圆，两式相减得：，所以直线恒过定点. （2）设直线与的斜率分别为，与圆，即．所以，，所以面积的最小值为22．已知点，，直线：，设圆的半径为，圆心在直线上． （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围．【答案】（1）或.（2）或.【解析】()22232t x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭⎪⎝⎭22:(2)1C x y -+=:2(2)1AB l x ty -+=5,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭AP BP 12,k k (4)y t kx -=-C1=223410k tk t -+-=2121241,33-+=⋅=t t k k k k 14M y t k =-24N y t k =-12||44=-==≥MN k k ()min 152323MNQ S ∆=⨯⨯=3(4,4)A (0,3)B l 1y x =-C 1C l C 37y x =-A C C M 2MB MO =O C a 4x =3440x y -+=22a -≤≤-22a ≤≤(1)由得：，所以圆C ：..当切线的斜率存在时,设切线方程为，由，解得：当切线的斜率不存在时，即也满足 所以切线方程为：或. (2)由圆心在直线l ：上，设设点，由化简得：，所以点M 在以为圆心，2为半径的圆上. 又点M 在圆C 上，所以圆C 与圆D 有交点，则即，解得：或. 23.已知点，点在圆上运动. （1）求过点且被圆截得的弦长为（2）求的最值.【答案】(1)或;(2)最大值为88,最小值为72. 【解析】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点且被圆截得的弦长为所以圆心到直线的,设直线方程为,即,解得或所以直线方程为或.(2)设点坐标为则.137y x y x =-⎧⎨=-⎩()3,2C 22(3)(2)1x y -+-=4(4)y k x -=-1d ==34k =4x =4x =3440x y -+=C 1y x =-(,1)C a a -(,)M x y ||2||MB MO ==22(1)4x y ++=(0,1)D -1||3CD ≤≤13≤22a -≤≤-22a ≤≤(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----P 22:4E x y +=C E 222||||||PA PB PC ++7100x y ++=20x y +-=C E 2(4)y k x +=-420kx y k ---==17k =-1k =-7100x y ++=20x y +-=P (),x y 224x y +=222222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++++++-+-++()223468804x y y y =+-+=-因为,所以,即的最大值为88,最小值为72.《第二章 直线和圆的方程》单元检测试卷（三）一、选择题1．圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）A ．()()22111x y -+-=B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-=2．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 （ ）A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0 3．平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是（ ） A ．2x+y+5=0或2x+y ﹣5=0 B ．2x+y+=0或2x+y ﹣=0C ．2x ﹣y+5=0或2x ﹣y ﹣5=0D ．2x ﹣y+=0或2x ﹣y ﹣=04．直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 5．（多选题）下列说法中正确的是（ ） A ．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等B ．方程()()()()211211x x y y y y x x --=--能表示平面内的任何直线C ．圆22240x y x y ++-=的圆心为()1,2-D ．若直线()2320t x y t -++=不经过第二象限，则t 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．（多选题）已知圆O ：224x y +=和圆M ：224240x y x y +-++=相交于A 、B 两22y -≤≤7280488y ≤-≤222||||||PA PB PC ++点，下列说法正确的是（ ） A ．两圆有两条公切线B ．直线AB 的方程为24y x =+C ．线段ABD ．所有过点A 、B 的圆系的方程可以记为()()()222244240,1xy x y x y R λλλ+-++-++=∈≠-二、填空题7.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a = . 8．如图，已知圆C 与x 轴相切于点，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准方程为_________；（Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________．9．若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ．10．已知,AC BD 为圆O ：224x y +=的两条互相垂直的弦，且垂足为M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为______. 三、解答题11．在平面直角坐标系中，曲线与162+-=x x y 坐标轴的交点都在圆C 上， （1）求圆C 的方程；（2）如果圆C 与直线0=+-a y x 交于A,B 两点，且OB OA ⊥，求a 的值。

最新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测题(含答案解析)

最新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测题(含答案解析)

一、选择题1．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-或35B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 2．直线()()()230x m x y m -+-+=∈R 过下面哪个定点（ ） A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,5D ．()3,23．如图一所示，在平面内，点P 为圆O 的直径AB 的延长线上一点，2AB BP ==，过动点Q 作圆的切线QR ，满足2PQ QR =，则QAP 的面积的最大值为（ ）A ．83B 83C ．163D 1634．如果直线:5l y kx =-与圆22240x y x my +-+-=交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线20x y +=对称，则直线l 被圆截得的弦长为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．235．一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则AC BC +的最小值为（ ） A ．32B ．52C ．42D ．626．若直线1y kx =-与曲线21(2)y x =---有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．4(0,]3B ．14[,]33C ．1[0,]2D ．[0,1]7．赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ ） A ．10米B ．2米C ．66米D ．58．已知点()1,0A m -，()()1,00B m m +>，若圆C ：2288280x y x y +--+=上存在一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的取值范围是( ) A ．3m ≥B ．3m 7≤≤C ．27m -<≤D ．46m ≤≤9．111222(,),(,)P a b P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A ．无论12,,k P P 如何，总是无解B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解C ．存在12,,k P P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解 D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解10．已知直线0(0)x y a a +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有||||OA OB AB +≥，那么a 的取值范围是（ ） A．)+∞B ．(2,)+∞C．[2,D．11．过点(0,2)P 的直线l 与以(1,1)A ，(2,3)B -为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．5[,3]2- B ．5(,][3,)2-∞-⋃+∞ C ．3[,1]2-D ．1(,1][,)2-∞-⋃-+∞ 12．曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是（ ） A ．74y x =+B ．72y x =+C ．4y x =-D ．2y x =-二、填空题13．已知圆O ：221x y +=，圆M ：22()(2)2x a y -+-=．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得PA PB ⊥，则实数a 的取值范围为______．14．长为AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，线段AB 的中点M 的轨迹为曲线C ，已知过定点()2,0P 的直线l 与曲线C 相交与E ，F 两点，O 为坐标原点，当EOF △的面积取到最大值时，直线l 的斜率为______.15．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A -，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是___________.16．已知点P 为直线3450x y +-=上的任意一个动点，则点P 到点()3,0A 的距离的最小值是______.17．若P 为直线40x y -+=上一个动点，从点P 引圆2240y x C x +-=：的两条切线PM ，PN （切点为M ，N ），则MN的最小值是________.18．若直线l ：y x b =+与曲线C：y 有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是________19．在直角坐标系xoy 中，已知圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，则直线l 方程为______.20．ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离的最大值为________.三、解答题21．以点1(),C m m为圆心的圆与x 轴相交于点O ，A ，与y 轴相交于点,O B （O 为坐标原点）.（1）求证OAB 的面积为定值，并求出这个定值；（2）设直线23y x =-+与圆C 相交于点,P Q ，且||||OP OQ =，求圆C 的方程. 22．圆224x y +=，点P 为直线:80l x y +-=上一动点，过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）若点P 的坐标为()2,6，求直线PA 、PB 的方程； （2）求证：直线AB 恒过定点Q ，并求出该定点Q 的坐标．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过点A （1，2），B （7，－6），且圆心在直线x ＋y －2＝0上.（1）求圆M 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于C ，D 两点，且CD =2OA ，求直线l 的方程.24．已知圆221:4C x y +=和直线:1()l y kx k R =-∈. （1）若直线l 与圆C 相交，求k 的取值范围；（2）若1k =，点P 是直线l 上一个动点，过点P 作圆C 的两条切线PM 、PN ，切点分别是M 、N ，证明：直线MN 恒过一个定点.25．已知圆22:6630C x x y y -+-+=，直线:20+-=l x y 是圆E 与圆C 的公共弦AB 所在直线方程，且圆E 的圆心在直线2y x =上. （1）求圆E 的方程；（2）过点(2,0)Q -分别作直线MN 、RS ，交圆E 于M 、N 、R 、S 四点，且MN RS ⊥，求四边形MRNS 面积的取值范围.26．已知圆C ：220x y ax ++=过点,22⎛- ⎝⎭.（1）求圆C 的标准方程及其圆心、半径；（2）若直线0x y ++=分别与x 轴，y 轴交于M 、N 两点，点P 为圆C 上任意一点，求MNP △面积的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3--关于y 轴的对称点()2,3-，设反射光线所在直线方程为()32y k x +=-，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率k . 【详解】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3--关于y 轴的对称点()2,3-， 设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为()32y k x +=-，即230kx y k ---=， 又由反射光线与圆()()22321x y ++-=1=，整理得21225120k k ++=，解得43k =-或34k =-.故选：D. 【点睛】过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.2．C解析：C 【分析】由恒等式的思想得出2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解之可得选项.【详解】由2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得：25x y =⎧⎨=⎩，故直线过恒过点()2,5，故选：C. 【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.3．B解析：B 【分析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点Q 的轨迹方程，可得点Q 到AP 距离的最大值，由此能求出QAP 的面积的最大值. 【详解】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系， 因为2AB BP ==，所以()3,0P，设(),Q x y因为过动点Q 作圆的切线QR ，满足2PQ QR =，()2224PQ QO OR =-所以()()2222341x y x y -+=+-，整理得：()221613x y ++=， 所以点Q 的轨迹是以()1,0-3所以当点Q 在直线1x =-上时，3y =此时点Q 到AP 距离最大，QAP 的面积的最大，所QAP 的面积最大为1183422333QAPS AP =⨯=⨯==， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是建立直角坐标系，设(),Q x y ，利用()222244PQ QR OQ OR ==-，即可求出点Q 的轨迹方程，可得点Q 到AP 距离的最大值，即为三角形高最大，从而QAP 的面积最大.4．C解析：C【分析】由题意推出圆心在直线上，求出m ，求出圆的半径与弦心距，利用圆心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦长. 【详解】因M 、N 关于直线20x y +=对称，故圆心(1,)2m-在直线20x y +=上，4m ∴=. 又因为直线20x y +=与:5l y kx =-垂直，21K ∴-⨯=-，12K ∴=， 设圆心(1,2)-，到直线1502x y --=的距离为d ，d ∴==圆的半径为3r ==.4MN ∴==.故选：C . 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对称性可知圆心在直线20x y +=上.5．C解析：C 【分析】做出圆22(3)(2)2x y ++-=关于x 轴的对称圆，进而根据图形得AC BC AP r+≥-即可求解. 【详解】解：如图，圆22(3)(2)1x y ++-=的圆心()3,2-，其关于x 轴的对称圆的圆心为()3,2P --， 由图得AC BC AP r +≥-==故选：C. 【点睛】解题的关键在于求圆关于x 轴的对称圆圆心P ，进而将问题转化AC BC AP r +≥-求解.6．D解析：D 【分析】1y kx =-是过定点()0,1-的直线，曲线表示以()2,0为圆心，半径为1的圆的下半部分，画出两函数图像，找出两图像有公共点时k 的范围即可. 【详解】解：根据题意可得：1y kx =-是过定点()0,1-的直线，曲线表示以()2,0为圆心，半径为1的圆的下半部分，画出函数图像，如图所示： 当直线与曲线相切时：0k =，当()1,0在直线上时，代入可得1k =，所以两函数图像有公共点的k 的范围是[]0,1. 故选：D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用了数形结合的思想，属于中档题. 方法点睛：（1）画出函数图像；（2）根据图像找到有公共点的相切或相交的情况； （3）根据公式计算，得到结果.7．C解析：C 【分析】根据题意，建立圆拱桥模型，设圆O 半径为R , 当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，分析可得22100(4)R R =--，求出R ，当水面上涨2米后，可得跨度2CD CN =，计算可得解. 【详解】根据题意，建立圆拱桥模型，如图所示：设圆O 半径为R ,当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，此时水面为AB ，M 为AB 中点，即20AB =，4OM R =-，利用勾股定理可知，22222AB AM OA OB ==-，即22100(4)R R =--，解得292R =， 当水面上涨2米后，即水面到达CD ，N 为CD 中点，此时2ON R =-， 由勾股定理得2222(2)66CD CN R R ==--=.故选：C 【点睛】关键点睛：本题考查圆的弦长，解题的关键是利用已知条件建立模型，利用数形结合求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.8．B解析：B 【分析】根据题意，分析圆C 的圆心坐标以及半径，设AB 的中点为M ，由AB 的坐标分析M 的坐标以及|AB |的值，可得以AB 为直径的圆；进而分析，原问题可以转化为圆C 与圆M 有公共点，结合圆与圆的位置关系，分析可得答案． 【详解】根据题意，圆2288280C x y x y +--+=：，即()()22444x y -+-=；其圆心为()4,4，半径2r =， 设AB 的中点为M ，又由点()()1,0,1,0,A m B m -+则()1,0,2M AB m =， 以AB 为直径的圆为()2221x y m -+=，若圆2288280C x y x y +--+=：上存在一点P ，使得PA ⊥PB ，则圆C 与圆M 有公共点，又由5MC ==， 即有25m -≤且25m +≥,即37m ≤≤， 又0,37m m >∴≤≤，故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆问题转化为圆与圆的位置关系，属于基础题．9．B解析：B 【分析】由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定1221a b a b -是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解． 【详解】由题意112211b ka b ka =+⎧⎨=+⎩，则1221122112(1)(1)a b a b a ka a ka a a -=+-+=-，∵直线1y kx =+的斜率存在，∴12a a ≠，120a a -≠，∴方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解．A ，D 错误，B 正确； 若12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则11222121a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点1122(,),(,)a b a b 在直线21x y +=，即1122y x =-+上，但已知这两个在直线1y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴12x y =⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C 错误．故选：B ． 【点睛】本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键．10．C解析：C 【分析】设AB 的中点为C ，由||||OA OB AB +，可得||||OC AC ，则222||||4AC OC =≤+，再结合直线与圆相交列不等式，即可求出实数a 的取值范围． 【详解】设AB 的中点为C ， 因为||||OA OB AB +，所以||||OC AC ，因为||OC =，所以222||||4AC OC =≤+，所以2a -或2a ，2<，所以a -<<因为0a >，所以实数a 的取值范围是[2，， 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的加法运算，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．11．D解析：D 【分析】画出图形，设直线l 的斜率为k ，求出PA k 和PB k ，由直线l 与线段AB 有交点，可知PA k k ≤或PB k k ≥，即可得出答案.【详解】直线过定点(0,2)P ，设直线l 的斜率为k ， ∵12110PA k -==--，321202PB k -==---， ∴要使直线l 与线段AB 有交点，则k 的取值范围是1k ≤-或12k ≥-， 即1(,1][,)2k ∈-∞-⋃-+∞.故选：D. 【点睛】方法点睛：求直线的斜率（或取值范围）的方法：（1）定义法：已知直线的倾斜角为α，且90α︒≠，则斜率tan k α=； （2）公式法：若直线过两点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x ≠，则斜率2121y y k x x -=-； （3）数形结合方法：该法常用于解决下面一种题型：已知线段AB 的两端点及线段外一点P ，求过点P 且与线段AB 有交点的直线l 斜率的取值范围.若直线,PA PB 的斜率都存在，解题步骤如下： ①连接,PA PB ； ②由2121y y k x x -=-，求出PA k 和PB k ； ③结合图形写出满足条件的直线l 斜率的取值范围.12．D解析：D 【分析】已知点(1,3)--在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程． 【详解】由已知得：曲线为34y x x =-;则：对其进行求导得243y x '=-；当1x =-时，243(1)1y '=-⨯-=∴ 曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程为：31(1)y x +=⨯+化简得：2y x =-； 故选：D. 【点睛】本题主要考查了求曲线切线方程，解题关键是掌握根据导数求切线的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】将转化为由圆与圆：有公共点可解得结果【详解】因为所以所以所以圆与圆：有公共点所以所以得所以故答案为：【点睛】关键点点睛：转化为圆与圆：有公共点求解是解题关键 解析：22a -≤≤【分析】将PA PB ⊥转化为PO =，由圆222x y +=与圆M ：22()(2)2x a y -+-=有公共点可解得结果. 【详解】因为PA PB ⊥，所以4APO BPO π∠=∠=，所以1PA PB ==，PO =，所以圆222x y +=与圆M ：22()(2)2x a y -+-=有公共点，所以OM PO PM ≤+==≤24a ≤，所以22a -≤≤. 故答案为：22a -≤≤ 【点睛】关键点点睛：转化为圆222x y +=与圆M ：22()(2)2x a y -+-=有公共点求解是解题关键.14．【分析】求出的轨迹得到再利用正弦定理求得倾斜角得解【详解】设由题得：所以所以当时的面积取到最大值此时设直线倾斜角为在三角形中利用正弦定理得：或故答案为:【点睛】线段的中点的轨迹及利用正弦定理求得倾斜解析：3±【分析】求出M 的轨迹222x y +=得到OE OF ==.【详解】设(,)M x y 由题得：12OM AB ==所以222x y +=，OE OF ==所以1sin sin 2EOF S OE OF EOF EOF =∠=∠△ 当EOF 90∠=时，EOF △的面积取到最大值此时45OEF ∠=，设直线倾斜角为α 在三角形EOP 中 ，利用正弦定理得：22sin 12sin sin sin 22OP OE OE OEFOEF OPαα∠=⇒===∠ 0απ≤<, 6πα∴=或56π 3k ∴=故答案为: 33± 【点睛】线段AB 的中点M 的轨迹及利用正弦定理求得倾斜角是解题关键.15．【分析】将问题转化为以为圆心2为半径的圆为圆与圆相交问题再根据圆与圆的位置关系求解即可【详解】解：根据题意设以为圆心2为半径的圆为圆所以圆圆心为半径为则两圆圆心距为:因为圆上存在两点到的距离为2所以 解析：(3,7)【分析】将问题转化为以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：根据题意设以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A ， 所以圆222:(0),O x y r r +=> 圆心为(0,0),O 半径为r ， 则两圆圆心距为 : ||5OA = ， 因为圆O 上存在两点到A 的距离为2， 所以圆O 与圆A 相交，所以252,r r -<<+ 解得 :37.r <<所以的取值范围是：(3,7). 故答案为：(3,7). 【点睛】圆与圆位置关系问题的解题策略：（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法；（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.16．【分析】利用点到直线距离公式可求得点A 到直线的距离即为直线上点到点A 距离的最小值【详解】根据点到直线的距离公式可得结合图像点到直线的距离为即直线上一动点到的距离的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛解析：45【分析】利用点到直线距离公式，可求得点A 到直线的距离，即为直线上点到点A 距离的最小值. 【详解】根据点到直线的距离公式可得，结合图像点()3,0A 到直线3450x y +-=的距离为2233054534⨯+-==+d ，即直线3450x y +-=上一动点P 到()3,0A 的距离的最小值为45， 故答案为：45． 【点睛】关键点点睛：本题考查了点到直线距离公式的应用，解题的关键是分析题意，结合图像将直线上动点P 到点A 的距离的最小值转化为点A 到直线的距离，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于基础题.17．【分析】根据题意得当的长度最小时取最小值进而根据几何关系求解即可【详解】如图由题可知圆C 的圆心为半径要使的长度最小即要最小则最小因为所以当最小时最小因为所以当最小时最小因为所以所以由于所以故答案为：解析：473【分析】根据题意得当||MN 的长度最小时，||PC 取最小值，进而根据几何关系求解即可. 【详解】如图，由题可知圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r．要使||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，则MCP ∠最小． 因为||||tan 2PM PM MCP r ∠==， 所以当||PM 最小时，||MN 最小因为2||4PM PC =-∣， 所以当||PC 最小时，||MN 最小． 因为min ||3211PC ==+， 所以2cos 332MCP ∠==， 所以7sin 3MCP ∠=， 由于1in 2s 2MCP MN∠=所以min 47||MN =． 47. 【点睛】本题解题的关键是根据已知当||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，进而得当||PC 最小时，||MN 最小．由于||PC 的最小值为C 点到直线40x y -+=，故min ||32PC =.考查化归转化思想和运算能力，是中档题.18．【分析】曲线表示以为圆心半径等于1的半圆当直线过点时可得满足条件当直线和半圆相切时由解得数形结合可得实数的取值范围【详解】解：曲线方程变形为表示圆心为半径为1的上半圆根据题意画出图形如图所示：当直线 解析：)1,2⎡⎣【分析】曲线表示以(0,0)C 为圆心、半径等于1的半圆，当直线y x b =+过点(0,1)时，可得1b =，满足条件．当直线y x b =+和半圆相切时，由111=+，解得2b =，数形结合可得实数b 的取值范围． 【详解】解：曲线方程变形为221(0)x y y +=，表示圆心C 为(0,0)，半径为1的上半圆， 根据题意画出图形，如图所示：当直线y x b =+过点(0,1)时，可得1b =，满足直线y x b =+与曲线21y x =-有两个不同的公共点．当直线y x b =+和半圆相切时，由111=+，解得2b =或2b =- （舍去），故直线y x b =+与曲线21y x =-有两个不同的公共点时，实数b 的取值范围为)1,2⎡⎣， 故答案为：)1,2⎡⎣．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．19．【分析】先将圆的方程化为标准形式求出圆心和半径通过分析可以看出圆心在一条直线上若对于任意的实数直线被圆截得弦长为定值可得直线与圆心所在的直线平行即可得出结论【详解】圆：化为标准形式可得：所以圆心半径 解析：25x y +=【分析】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线上，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，可得直线l 与圆心所在的直线平行，即可得出结论. 【详解】圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=化为标准形式可得：()()224216x m y m --+-=⎡⎤⎣⎦ ，所以圆心()4,2C m m - ，半径4r =， 令4,2x m y m =-= ，可得28x y += ，所以圆心在28x y +=上，又因为直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值， 所以直线l 与圆心所在的直线平行，， 所以设直线l 的方程为：2x y c +=， 将()2,1代入得：5c =， 所以则直线l 方程为：25x y +=. 故答案为：25x y += 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线和圆的位置关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题.20．【分析】根据AOB 是直角三角形解得圆心O 到直线ax ＋by ＝1距离即得ab 关系式再根据两点间距离公式代入消去根据二次函数性质以及的范围求最值【详解】因为是直角三角形且所以O 到直线ax ＋by ＝1距离为因1【分析】根据AOB 是直角三角形，解得圆心O ax ＋by ＝1距离，即得a ，b 关系式，再根据两点间距离公式，代入消去a ，根据二次函数性质以及b 的范围求最值 【详解】因为AOB 是直角三角形，且||||1AO OB ==,所以O ax ＋by ＝1距离为2，因此22222a b =+= 设点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离为d ，d ====因为22,b b ≤≤≤b =d 取最大值为1=+1 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；定值为2；（2）225((2x y -+=. 【分析】（1）由题可得出圆的方程，即可得出,A B 坐标，进而可求出面积； （2）由题可得OC PQ ⊥，利用斜率可求出m . 【详解】解：（1）由已知圆的半径r OC ==， 故圆C 的方程为222211()()x m y m m m-+-=+， 即22220x y mx y m +--=， ∴(2,0)A m ，2(0,)B m， ∴112||||2222OABSOA OB m m=⋅=⨯⋅=， ∴OAB 的面积为定值2.（2）∵||||OP OQ =，||||CP CQ =，∴OC PQ ⊥，而2PQ k =-，∴2112OC k m==，∴m =∴圆C 的方程为225((2x y +=或225((2x y +++=当圆C 为225((22x y ++=时，圆心到直线23y x =-+的距离|3|352d --+==>， 此时直线与圆相离，故舍去.∴圆C 的方程为225((22x y +-=. 【点睛】关键点睛：本题考查圆中三角形面积的定值问题以及求圆的标准方程，解题的关键是将点A ，B 都用m 表示出来，根据||||OP OQ =得出OC PQ ⊥. 22．（1）43100x y -+=或2x =；（2）证明见解析；11,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭． 【分析】（1）考虑斜率不存在的直线是切线，然后当切线的斜率存在时设切线方程为()62y k x -=-，由圆心到切线的距离等于半径求出k 即得；（2）设P 点坐标，求出以PO 为直径的圆的方程，与已知圆方程相减可得直线AB 方程，整理成关于参数的恒等式，可得定点坐标． 【详解】解：（1）由题意，当切线的斜率存在时设切线方程为()62y k x -=-，即260kx y k --+=2=，解得43k =，即43100x y -+=． 当切线的斜率不存在时，方程为2x =满足题意． 综上所述，所求的切线的方程为43100x y -+=或2x =． （2）证明：根据题意，点P 为直线80x y +-=上一动点，设()8,P m m -，∵PA ，PB 是圆O 的切线，∴OA PA ⊥，OB PB ⊥． ∴AB 是圆O 与以PO 为直径的两圆的公共弦．由于以PO 为直径的圆的方程为2222442222m m m m x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()2280x m x y my --+-=，①又圆O 的方程为224x y +=②．①—②，得()840m x my -+-=，即()840m y x x -+-=， 则该直线必过点11,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】结论点睛：本题考查圆的切线方程，相交弦所在直线方程．对切线，一般由圆心到切线的距离等于半径去判断求解，而相交两圆方程相减后可得相交弦所在直线方程，如果外切，则得这一条公切线方程．23．（1）()()224225x y -++=；（2）2200x y --=. 【分析】（1）联立线段AB 的垂直平分线所在的方程与圆心所在直线方程，可得圆心坐标，进而求出圆的半径以及圆M 的标准方程；（2）设出直线l 的方程，由CD =2OA 可得弦长，利用点到直线的距离公式结合勾股定理列出方程，可得直线l 的方程． 【详解】（1）由题意可解得线段AB 的垂直平分线所在的方程为：y +2=34(x －4)，即354y x =-，因为圆心在直线x ＋y －2＝0上，且圆M 过点A （1，2），B （7，－6），则圆心为直线354y x =-与直线x ＋y －2＝0的交点，联立20354x y y x +-=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩，即圆心M 为（4，－2），半径为MA5=，所以圆M 的标准方程为()()224225x y -++=.（2）由直线l 平行于OA ，可设直线l 的方程为：20y x m m =+≠，，则圆心M到直线l的距离为d ==CD =2OA =2525d +=，所以d ==，则解得m =－20或m =0（舍去），则直线l 的方程为2200x y --=. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆的标准方程，考查圆的性质，解决本题的关键点是由已知求出弦长CD ，利用圆的弦长的一半，圆心到直线的距离和圆的半径构造直角三角形，结合勾股定理计算出参数的值，进而可得直线的方程，考查了学生计算能力，属于中档题．24．（1）(,)-∞⋃+∞；（2）证明见解析. 【分析】（1）直线l 与圆C 相交，则圆心到直线的距离小于半径，可得答案. （2）设点P 的坐标是()00,x y ，由条件,M N 在OP 以为直径的圆22220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+上，则MN 为圆221:4C x y +=与圆22220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+的公共弦，则直线MN 的方程是0014x x y y +=，再根据点P 在直线1y x =-上，可得答案.【详解】（1）直线1y kx =-就是10kx y --=，圆C 的圆心是(0,0)C ，半径是12. 由题意得，圆心(0,0)C 到直线l12<，解得k <k > 故k的取值范围是(,)-∞⋃+∞.（2）由（1）可知，当1k =时，直线l 与圆C 相离,设点P 的坐标是()00,x y ，则,M N 在OP 以为直径的圆22220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ 上 所以MN 为圆221:4C x y +=与圆22220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+的公共弦，由两圆方程相减可得：0014x x y y +=所以直线MN 的方程是0014x x y y +=. 因为点P 在直线1y x =-上，所以001y x =-. 代入0014x x y y +=中，得到()00114x x x y +-=， 即01()04x y x y ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭. 由0104x y y +=⎧⎪⎨⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎩得，1414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故直线MN 恒过一个定点11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆的位置关系和圆的切线问题，解答本题的关键是圆心(0,0)C 到直线l12<，MN 为圆221:4C x y +=与圆22220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+的公共弦，从而得到直线MN 的方程是0014x x y y +=，属于中档题. 25．（1）229x y +=（2） 【分析】（1）设出经过圆C 和直线l 的圆系方程，利用圆心在直线2y x =上可求得结果；（2）当直线MN 的斜率不存在时，可求出四边形的MRNS 面积为MN 的斜率存在时，设直线:(2)MN y k x =+，则直线:20RS x ky ++=，利用几何方法求出||MN 和||RS ，求出四边形MRNS 面积，再换元求出最值可得取值范围.【详解】（1）依题意可设圆E 的方程为22663(2)0x x y y x y λ-+-+++-=，整理得22(6)(6)320x y x y λλλ++-+-+-=， 所以圆心66(,)22E λλ----，因为圆心E 在直线2y x =上，所以66222λλ--⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，解得6λ=，所以圆E 的方程为229x y +=.（2）当直线MN 的斜率不存在时，||MN =||6RS =，四边形MRNS 面积为162⨯= 当直线MN 的斜率存在时，设直线:(2)MN y k x =+，即20kx y k -+=，则直线:20RS x ky ++=，圆心E 到直线MN 的距离1d =，圆心E 到直线RS 的距离2d =，所以||MN ===，||RS ==所以四边形MRNS 面积为1||||2MN RS ⨯=， 令211t k =+，则01t <≤， 所以2244(5)(9)(54)(94)11t t k k +-=+-++224516164516()16t t t t =-++=---， 当12t =，即1k =±时，24516()16t t ---取得最大值49，此时四边形的MRNS 面积的最大值为14，当1t =，即0k =时，24516()16t t ---取得最小值45，此时四边形MRNS 面积的最小值为综上所述：四边形MRNS 面积的取值范围为 【点睛】结论点睛：经过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程为22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=.26．（1）22(2x y +=，圆心为0)（2）[2-，2 【分析】（1）把点的坐标代入圆的方程求得a 值，可得圆的方程，配方化为圆的标准方程，求得圆心坐标与半径；（2）由题意得M 与N 的坐标，求得||MN ，再求出圆心C 到直线MN 的距离，可得点P 到直线MN 的距离的最小值与最大值，则MNP △面积的取值范围可求．【详解】（1）由题意，22(0+=，解得a =-∴圆C 的方程为220x y +-=，化为标准方程：22(2x y +=，圆心为0)（2）由题意得，(M 0)，(0,N ，||2MN ∴=，圆心C 到直线MN 的距离2d =，∴点P 到直线MN 的距离的最小值为2-2+MNP ∴的面积的最小值为12(222⨯⨯=12(222⨯⨯=MNP ∴面积的取值范围是[2，2+．【点睛】关键点点睛：求圆上一点到直线的距离的最大值与最小值，先求圆心到直线的距离d ,则,d r d r +-分别是圆上点到直线的距离的最大值与最小值.。

最新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测题(含答案解析)(2)

最新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测题(含答案解析)(2)

一、选择题1．若过直线3420x y +-=上一点M 向圆C ：()()22234x y +++=作一条切线切于点T ，则MT 的最小值为（ ）A B ．4C ．D ．2．若P 是直线l ：260x y ++=上一动点，过P 作圆C ：22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．点()4,2P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是（ ） A ．()()22211x y -++= B ．()()22214x y -++= C ．()()22421x y ++-=D ．()()22211x y ++-=4．已知圆221:4420C x y x y +---=，圆222:2880C x y x y +++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ）A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离5．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02cx y -+=上， 则m c += . A ．1B ．2C ．3D ．46．过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=7．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条8．一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10 km/h 这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（ ） 小时 A ．1B ．2C ．3D ．49．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点()20A ，处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A 1B ．1C ．D10．圆心为1,32C ⎛⎫-⎪⎝⎭的圆与直线:230l x y +-=交于P ､Q 两点，O 为坐标原点，且满足0OP OQ ⋅=，则圆C 的方程为（ ） A ．2215()(3)22x y -+-= B ．2215()(3)22x y -++= C ．22125()(3)24x y ++-=D ．22125()(3)24x y +++=11．抛物线2?y x =上一点到直线240x y --=的距离最短的点的坐标是( ) A ．()2,4B ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．39,24⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,112．若圆()2220x y r r +=>上仅有4个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（ ） A ．()21,++∞B ．()21,21-+ C ．()0,21-D ．()0,21+二、填空题13．已知圆O ：221x y +=，圆M ：22()(2)2x a y -+-=．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得PA PB ⊥，则实数a 的取值范围为______．14．如图，已知圆22:16,,O x y A B +=是圆O 上两个动点，点(2,0)P ，则矩形PACB 的顶点C 的轨迹方程是___________．15．已知圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>被直线:30l x y -+=截得的弦长为2 ，则m =______．16．直线()130m x my m ++++=被圆2225x y +=所截的弦长的最小值为________. 17．若P 为直线40x y -+=上一个动点，从点P 引圆2240y x C x +-=：的两条切线PM ，PN （切点为M ，N ），则MN的最小值是________.18．已知点P 是直线:3120l x y +-=上的一点，过P 作圆22(2)1x y -+=的切线，切点为A ，则切线长||PA 的最小值为__________.19．已知等腰三角形的底边所在直线过点()2,1P ，两腰所在的直线为20x y +-=与740x y -+=，则底边所在的直线方程是_____________.20．曲线1y =与直线()35y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是______．三、解答题21．已知圆C 经过点A (0，2)和B (2，-2)，且圆心C 在直线l :x-y +1=0上. （1）求圆C 的方程；（2）若直线m 过点(1，4)，且被圆C 截得的弦长为6，求直线m 的方程.22．已知一个动点M 在圆2216x y +=上运动，它与定点()8,0Q 所连线段的中点为P ． （1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程.23．设函数()f z 对一切实数m ，n 都有()()(21)f m n f n m m n +-=++成立，且(1)0f =，(0)f c =，圆C 的方程是22(1)()9x y c +++=.（1）求实数c 的值和()f z 的解析式；（2）若直线220ax by -+=（0a >，0b >）被圆C 截得的弦长为6，求4a bab+的最小值.24．已知在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线l ：24y x =-.圆C 的半径为1，圆心C 在直线l 上.（1）若直线34120x y +-=与圆C 相切，求圆C 的标准方程；（2）已知动点(),M x y ，满足2=MA MO ，说明M 的轨迹是什么？若点M 同时在圆C 上，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.25．已知点(1,0)M -，(1,0)N ，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 倍．（1）求曲线E 的方程：（2）已知0m ≠，设直线1l ：10x my --=交曲线E 于A 、C 两点，直线2l ：0mx y m +-=交曲线E 于B 、D 两点，C 、D 两点均在x 轴下方．当CD 的斜率为1-时，求线段AB 的长．26．已知圆C ：220x y ax ++=过点,22⎛-⎝⎭. （1）求圆C 的标准方程及其圆心、半径；（2）若直线0x y ++=分别与x 轴，y 轴交于M 、N 两点，点P 为圆C 上任意一点，求MNP △面积的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据题意，求出圆的圆心与半径，由切线长公式可得||MT =||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，由点到直线的距离分析||MC 的最小值，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，圆22:(2)(3)4C x y +++=，其圆心为(2,3)--，半径2r m =，过点M 向圆C 作一条切线切于点T ，则||MT == 当||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，而||MC 的最小值为点C 到直线3420x y +-=的距离，则||4min MC ==，则||MT = 故选：D 【点睛】方法点睛：解析几何中的最值问题，常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.本题利用的是数形结合的方法求最值的.2．B解析：B 【分析】根据题意得要使四边形PACB 面积的最小值，只需PC 取最小即可，再根据几何关系求解即可. 【详解】解：根据题意：要使四边形PACB 面积的最小值，则只需切线长,PA PB 最小， 进而只需PC 取最小即可.由于()2214x y ++=，故圆心为()1,0-，2r，由于P 是直线l ：260x y ++=上一动点，所以过圆心作直线l 的垂线，垂足即为P ，此时CP ==此时切线长1PA PB ===，此时四边形PACB 面积为122S =⨯=. 即四边形PACB 面积的最小值为2. 故选：B.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.解题的关键是将问题转化为求PC 取最小值，再结合点到线的距离即可解答.3．A解析：A 【分析】设圆上任意一点为()11,x y ，中点为(),x y ，则114222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由此得解轨迹方程．【详解】设圆上任意一点为()11,x y ，中点为(),x y ，则114222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，112422x x y y =-⎧⎨=+⎩代入224x y +=得()()2224224x y -++=，化简得()()22211x y -++=．故选：A ． 4．C解析：C 【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距，大于半径之差，而小于半径之和，可得两个圆位置关系． 【详解】解：圆221:4420C x y x y +---=，22(2)(2)10-+-=x y ，()12,2C，1r =， 圆222:2880C x y x y +++-=，22(1)(4)25x y +++=，()21,4C --，25r =，125r r +=，215r r -=12C C ==55-<<+，∴两圆相交.故选：C. 【点睛】方法点睛：先把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，再求出两圆的圆心距、半径之和、半径之差，根据三者之间的大小关系即可得到两圆的位置关系.5．C解析：C 【分析】由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02cx y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫⎪⎝⎭在直线02c x y -+=上 代入得：12022m c+-+= 整理可得：3m c +=本题正确选项：C 【点睛】本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.6．A解析：A 【分析】求出以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程． 【详解】圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)C ，半径为1，以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程为2215(2)()24x y -+-=，因为过点()3,1圆()2211x y -+=的两条切线切点分别为A ，B ，所以，AB 是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程230x y +-=， 故选：A ． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．7．C解析：C 【分析】将两圆化为标准形式,求出圆心距和两圆半径之和,判断即可. 【详解】圆221:(1)(2)4C x y +++=，圆心 1(1,2)C -- ，12r =， 圆222:(2)(2)9C x y -+-= ，圆心2C ()2,2，23r =，圆心距125C C ==1212C C r r =+,∴两圆外切，有3条公切线.故选:C. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系,考查学生数形结合思想以及求解运算能力,属于基础题.8．B解析：B 【分析】根据题意建立合适平面直角坐标系，将问题转化为求直线被圆所截得的弦长问题，然后根据弦长对应的距离求解出监测时间. 【详解】根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x 轴，正北方向为y 轴， 所以()()40,0,0,30A B ，圆22:676O x y +=，记从N 处开始被监测，到M 处监测结束， 所以:14030AB x y l +=，即:341200AB l x y +-=， 因为O 到:341200AB l x y +-=的距离为221202434OO -'==+，所以22220MN MO OO '=-=，所以监测时间持续2010=2小时， 故选：B.【点睛】思路点睛：建立平面直角坐标系求解直线与圆的有关问题的思路：（1）选择合适坐标原点（方便求解直线、圆的方程），建立平面直角坐标系； （2）根据题意写出直线与圆的方程；（3）根据直线与圆的位置关系，采用几何法计算相关长度，完成问题的求解.9．B解析：B 【分析】先求出点A 关于直线4x y +=的对称点'A ，点'A 到圆心的距离减去半径即为最短． 【详解】解：设点A 关于直线4x y +=的对称点(,)A a b '，'2AA bk a =-， AA '的中点为2,22a b +⎛⎫⎪⎝⎭，故122422b a a b ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得4a =，2b =， 要使从点A 到军营总路程最短，即为点f A 到军营最短的距离， 即为点'A 和圆上的点连线的最小值，为点'A 和圆心的距离减半径， “将军饮马”的最短总路程为4161251+-=-，故选：B 【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．10．C解析：C 【分析】根据题中所给的圆心坐标，设出圆的标准方程，根据题中所给的条件，求得2r 的值，得出结果. 【详解】因为圆心为1,32C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以设圆的方程为：2221()(3)2x y r ++-=， 将直线方程代入圆的方程，得到228552004y y r -+-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则有21212174,45r y y y y +=⋅=-，因为0OP OQ ⋅=，所以12120x x y y +=， 所以1212(32)(32)0y y y y -⋅-+=，整理得121296()50y y y y -++=，即2179645()045r -⨯+⨯-=，求得2254r =， 所以圆C 的方程为：22125()(3)24x y ++-=， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关圆的方程的求解，涉及到的知识点有圆的标准方程，关于垂直条件的转化，属于简单题目.11．D解析：D 【分析】设抛物线y=x 2上一点为A （x 0，x 02），点A （x 0，x 02）到直线2x-y-4=0的距离d ==由此能求出抛物线y=x 2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标． 【详解】设抛物线y=x 2上一点为A （x 0，x 02）， 点A （x 0，x 02）到直线2x-y-4=0的距离d ==∴当x 0=1时，即当A （1，1）时，抛物线y=x 2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短． 故选D ． 【点睛】本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．12．A解析：A 【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与222x y r +=有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r 的取值范围． 【详解】解：作出到直线20x y --=的距离为1的点的轨迹，得到与直线20x y --=平行， 且到直线20x y --=的距离等于1的两条直线， 圆222x y r +=的圆心为原点， 原点到直线20x y --=的距离为22d ==，∴两条平行线中与圆心O 距离较远的一条到原点的距离为21d '=+，又圆222(0)x y r r +=>上有4个点到直线20x y --=的距离为1，∴两条平行线与圆222x y r +=有4个公共点，即它们都与圆222x y r +=相交．由此可得圆的半径r d '>， 即21r >+，实数r 的取值范围是()21,++∞．故选：A ．【点睛】本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题13．【分析】将转化为由圆与圆：有公共点可解得结果【详解】因为所以所以所以圆与圆：有公共点所以所以得所以故答案为：【点睛】关键点点睛：转化为圆与圆：有公共点求解是解题关键 解析：22a -≤≤【分析】将PA PB ⊥转化为2PO =，由圆222x y +=与圆M ：22()(2)2x a y -+-=有公共点可解得结果. 【详解】因为PA PB ⊥，所以4APO BPO π∠=∠=，所以1PA PB ==，2PO =，所以圆222x y +=与圆M ：22()(2)2x a y -+-=有公共点，所以22OM PO PM ≤+=+22=，所以2422a +≤，得24a ≤，所以22a -≤≤. 故答案为：22a -≤≤ 【点睛】关键点点睛：转化为圆222x y +=与圆M ：22()(2)2x a y -+-=有公共点求解是解题关键.14．【分析】设点连接交于可写出的坐标再在直角中利用勾股定理列方程可得xy 的关系式即顶点的轨迹方程【详解】设点如图连接交于由矩形可知为的中点连接在直角中则即整理得所以顶点的轨迹方程是故答案为：【点睛】关键 解析：2228x y +=【分析】设点(,)C x y ，连接,AB PC 交于M ，可写出M 的坐标，再在直角OMB △中，OM MB ⊥，利用勾股定理列方程可得x, y 的关系式，即顶点C 的轨迹方程. 【详解】设点(,)C x y ，如图连接,AB PC 交于M ，由矩形PACB 可知M 为PC 的中点，2,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，PM MB = 连接,OB OM ，在直角OMB △中，OM MB ⊥，则22222OB OM BM OM MP =+=+即2222221622222x y x y +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得2228x y +=， 所以顶点C 的轨迹方程是2228x y += 故答案为：2228x y +=【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程，解题的关键是求谁设谁，设点(,)C x y ，然后再利用图像的几何关系找到x, y 的关系式，即求得轨迹方程，考查学生的直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.15．1【分析】根据题意求出圆的圆心与半径由直线与圆的位置关系可得圆心到直线l 的距离d 利用点到直线的距离公式可得解可得m 的值即可得答案【详解】根据题意圆即其圆心C 为半径若圆C 被直线截得的弦长为则圆心到直线解析：1 【分析】根据题意，求出圆的圆心与半径，由直线与圆的位置关系可得圆心到直线l 的距离d ，利用点到直线的距离公式可得d ==m 的值，即可得答案.【详解】根据题意，圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>，即()()2224-+-=x m y ，其圆心C 为()m,2，半径2r，若圆C 被直线:30l x y -+=截得的弦长为则圆心到直线l 的距离d ==圆心到直线l 的距离d ==，则有=1m =或-3（舍），故1m =，故答案为：1． 【点睛】思路点睛：涉及直线与圆相交的弦长问题，主要是利用垂径定理，即圆心到直线的距离、弦长的一半以及圆的半径构成直角三角形来解.16．【分析】转化条件为直线过结合垂径定理可得当直线与直线垂直时弦长最小即可得解【详解】直线可变为由可得所以直线过定点又圆的圆心为半径所以点在圆内所以当直线与直线垂直时弦长最小此时弦长为故答案为：【点睛】解析：【分析】转化条件为直线过()3,2A -，结合垂径定理可得当直线AO 与直线()130m x my m ++++=垂直时，弦长最小，即可得解.【详解】直线()130m x my m ++++=可变为()130x y m x ++++=，由1030x y x ++=⎧⎨+=⎩可得32x y =-⎧⎨=⎩，所以直线()130m x my m ++++=过定点()3,2A -， 又圆2225x y +=的圆心为()0,0O ，半径=5r ，所以213AO =，点()3,2A -在圆内，所以当直线AO 与直线()130m x my m ++++=垂直时，弦长最小，此时弦长为2222251343r AO -=-=.故答案为：43. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是找到直线经过的定点，再利用几何法转化出弦长.17．【分析】根据题意得当的长度最小时取最小值进而根据几何关系求解即可【详解】如图由题可知圆C 的圆心为半径要使的长度最小即要最小则最小因为所以当最小时最小因为所以当最小时最小因为所以所以由于所以故答案为： 解析：473【分析】根据题意得当||MN 的长度最小时，||PC 取最小值，进而根据几何关系求解即可. 【详解】如图，由题可知圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r．要使||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，则MCP ∠最小． 因为||||tan 2PM PM MCP r ∠==， 所以当||PM 最小时，||MN 最小因为2||4PM PC =-∣， 所以当||PC 最小时，||MN 最小． 因为min ||3211PC ==+， 所以2cos 332MCP ∠==， 所以7sin MCP ∠=由于1in 2s 2MCP MN∠=所以min ||MN =．. 【点睛】本题解题的关键是根据已知当||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，进而得当||PC 最小时，||MN 最小．由于||PC 的最小值为C 点到直线40x y -+=，故min ||PC =.考查化归转化思想和运算能力，是中档题.18．【分析】利用切线长最短时取最小值找点：即过圆心作直线的垂线求出垂足点就切线的斜率是否存在分类讨论结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程【详解】设切线长为则所以当切线长取最小值时取最小值过圆心作直 解析：3【分析】利用切线长最短时，PC 取最小值找点P ：即过圆心C 作直线l 的垂线，求出垂足点()3,3P ．就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程． 【详解】设切线长为L ，则L =，所以当切线长L 取最小值时，PC 取最小值，过圆心()2,0C 作直线l 的垂线，则点P 为垂足点，此时，直线PC 的方程为360x y --=，联立3120360x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得33x y =⎧⎨=⎩，点P 的坐标为()3,3.此时PC ==，此时，3L ==故答案为：3 【点睛】关键点睛：解题的关键是利用过点的圆的切线方程的求解，在过点引圆的切线问题时， 将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长，即设切线长为L ，则L =，问题转变为求PC 的最小值，主要考查学生分析问题与解决问题的能力，属于中等题．19．或【分析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点利用点到两腰所在直线的距离相等可求得顶角角平分线方程再由底边所在直线过点且与顶角角平分线垂直可求得所求直线的方程【详解】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点解析：370x y +-=或310x y -+= 【分析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点(),M x y ，利用点M 到两腰所在直线的距离相等可求得顶角角平分线方程，再由底边所在直线过点P 且与顶角角平分线垂直可求得所求直线的方程. 【详解】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点(),M x y ， 则点M 到直线20x y +-=与740x y -+=的距离相等，=7452x y x y -+=+-.所以，()7452x y x y -+=+-或()7452x y x y -+=-+-，所以，该等腰三角形顶角角平分线所在直线的方程为370x y -+=或6230x y +-=. 由于底边与顶角角平分线垂直.当底边与直线370x y -+=垂直时，且直线370x y -+=的斜率为13， 此时底边所在直线方程为()132y x -=--，即370x y +-=；当底边与直线6230x y +-=垂直时，且直线6230x y +-=的斜率为3-，此时底边所在直线方程为()1123y x -=-，即310x y -+=. 故答案为：370x y +-=或310x y -+=.【点睛】本题考查等腰三角形底边所在直线方程的求解，考查了等腰三角形三线合一的性质以及点到直线距离公式的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】化简式子可得作出图形然后求出直线与该半圆相切时的依据图形简单计算和判断可得结果【详解】由题可知：所以如图又直线即过定点当直线与半圆相切时则当直线过点时所以故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的解析：72,243⎛⎤⎥⎝⎦【分析】化简式子可得()()22191+-=≥x y y ，作出图形，然后求出直线与该半圆相切时的k ，依据图形，简单计算和判断可得结果. 【详解】由题可知：1y =，所以()()22191+-=≥x y y 如图又直线()35y k x =-+，即350kx y k 过定点()A 3,5213573241--+=⇒=+k k k 当直线过点()3,1B -时，()512333-==--k所以72,243⎛⎤∈⎥⎝⎦k 故答案为：72,243⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查直线与圆的应用，数形结合形象直观，考查分析能力以及计算能力，属中档题.三、解答题21．（1）()()223225x y +++=；（2）x =1或512430x y -+= 【分析】（1）根据圆心C 在直线l :x-y +1=0上，设圆心为：(),1a a +，再根据圆C 经过点A (0，2)和B (2，-2)，由()()()2222123a a a a +-=-++求解.（2）当直线m 的斜率不存在时,方程为x =1，验证即可，当直线m 的斜率存在时,设方程为()41y k x -=-2425941kx y kk-+-=-+求解.【详解】（1）因为圆心C 在直线l :x-y +1=0上. 设圆心为：(),1a a +又圆C 经过点A (0，2)和B (2，-2)， 所以()()()2222123a a a a +-=-++， 解得3a =-，所以圆心为 ()3,2--， ()222125r a a =+-=，所以圆的方程为：()()223225x y +++=；（2）若直线m 的斜率不存在时,方程为x =1,被圆C截得的弦长为6，符合， 若直线m 的斜率存在时,方程为()41y k x -=-，即 40kx y k -+-=，4=，解得512k =， 所以直线方程为512430x y -+=，综上：直线m 的方程为x =1或512430x y -+=. 【点睛】方法点睛：求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．22．（1）22(4)4x y -+=；（2）y x =或4x y +=± 【分析】（1）设(),P x y ，()00,M x y ，用,x y 表示出00,x y ，把00(,)x y 代入已知圆方程化简后可得P 点轨迹方程；（2）截距均为0时，设切线y kx =，截距相等且不为0时，设切线(0)x y a a +=≠，由圆心到切线的距离等于半径求出参数即得切线方程． 【详解】解：（1）设(),P x y ，()00,M x y ，根据中点公式得008202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得00282x x y y =-⎧⎨=⎩．由220016x y +=，得22(28)(2)16x y -+=∴点P 的轨迹方程是22(4)4x y -+=．（2）当切线在两坐标轴上截距均为0时，设切线y kx =2=∴k =，所以切线方程为y x =，当切线在两坐标轴上截距相等且不为0时，设切线(0)x y a a +=≠2=，∴4a =±4x y +=±综上：切线方程为y x =或4x y +=± 【点睛】关键点点睛：求动点轨迹方程的方法：直接法：设曲线上动点坐标为(,)x y 后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。

上海上海大学附属中学实验学校选修一第二单元《直线和圆的方程》检测卷(有答案解析)

上海上海大学附属中学实验学校选修一第二单元《直线和圆的方程》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-或35B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 2．若圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为22k k +-，则实数k 的值是（ ）A ．2-B ．2C ．2-或2D ．2-或03．直线()()()230x m x y m -+-+=∈R 过下面哪个定点（ ） A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,5D ．()3,24．若点()1,1P --为圆2260x y x ++=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为（ ）A ．230x y +-=B ．210x y --=C ．230x y +-=D ．210x y -+=5．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ） A ．5270x y -+= B ．310x y +-= C ．3240x y -+= D ．230x y --=6．圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0被直线l ：ax ＋y －1－2a ＝0截得的弦长取得最小值时，此时a 的值为（ ） A ．3B ．－3C ．13D ．－137．已知圆()221:24C x a y ++=与圆()22:1C x y b +-=有且仅有1条公切线，则2211a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．98．点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，则四边形PAOB （O 为坐标原点）的面积的最小值等于（ ） A ．8 B ．4C ．24D ．169．已知圆C 经过()4,2P -，()1,3Q -两点，且在y 轴上截得的线段的长为于5.若直线//l PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，则直线l 的方程为（ ） A ．40x y ++=或30x y +-= B ．40x y +-=或30x y ++= C ．40x y ++=或30x y ++=D ．40x y +-=或30x y +-=10．过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=11．点(2,3)P 到直线：(1)30ax a y +-+=的距离d 最大时，d 与a 的值依次为( ) A ．3，－3 B ．5，2 C ．5，1 D ．7，1 12．直线0x ay a +-=与直线(23)10ax a y ---=互相垂直，则a 的值为（ ）A ．2B ．－3或1C ．2或0D ．1或0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．已知过点()4,1P 的直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，直线l 的方程为______．14．已知圆221:210240C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=相交于A 、B 两点，则线段AB 的长度为__________．15．已知直线l 经过点(1,2)P -，且垂直于直线2310x y ，则直线l 的方程是________.16．三条直线10x y ++=，280x y -+=，350ax y +-=不能围成三角形，则a 的取值集合是__________．17．设直线l 的斜率为k ，且11k -<<，则直线的倾斜角α的取值范围是_________. 18．过点(3,5)A 作圆2248800x y x y +---=的最短弦，则这条弦所在直线的方程是__. 19．当直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈被圆22:(1)(2)25C x y -+-=截得的弦最短时，m 的值为____________.20．直线:20180l x y +-=的倾斜角为__________；三、解答题21．已知动点P 到两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若过点()1,3B 的直线l 与曲线相切，求直线l 的方程；（3）已知圆Q 的圆心为(,)(0)Q t t t >，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围.22．已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（1）求圆C 的方程；（2）直线4y kx =-与圆C 交于不同的M ，N 两点，且120MCN ∠=︒，求直线l 的斜率；（3）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.23．已知点(1,0)M -，(1,0)N ，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 距离的3倍．（1）求曲线E 的方程：（2）已知0m ≠，设直线1l ：10x my --=交曲线E 于A 、C 两点，直线2l ：0mx y m +-=交曲线E 于B 、D 两点，C 、D 两点均在x 轴下方．当CD 的斜率为1-时，求线段AB 的长．24．直线21:20l a x y a ++=，2:10l x ay ++=，圆22:650C x y y +-+=.（1）当a 为何值时，直线1l 与2l 垂直；（2）若圆心C 在直线2l 的左上方，当直线2l 与圆C 相交于P ，Q 两点，且22PQ =时，求直线2l 的方程.25．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的方程为22(1)4x y -+=，M 点的坐标为(3，-3).（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程.（2）已知圆222:420Q x y x ay a +-++=，若圆Q 与圆C 的公共弦长为14，求圆Q的方程.26．已知正方形的一条边AB 所在直线为310--=x y ，正方形的中心为()0,1R .求:（1）该正方形的面积;（2）该正方形的两条对角线所在直线的一般式方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D解析：D 【分析】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3--关于y 轴的对称点()2,3-，设反射光线所在直线方程为()32y k x +=-，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率k . 【详解】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3--关于y 轴的对称点()2,3-， 设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为()32y k x +=-，即230kx y k ---=， 又由反射光线与圆()()22321x y ++-=1=，整理得21225120k k ++=，解得43k =-或34k =-.故选：D. 【点睛】过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.2．B解析：B 【分析】将圆的方程化成标准方程，求出圆心及半径r ，圆心到直线的距离为d ，则圆上的点到直线的最大距离为d r + 【详解】圆22220x y x y k +---=化成标准形式()()22112x y k -+-=+，圆心()1,1，半径r =2k >-；圆心()1,1到直线100x y +-=的距离===d圆上的点到直线的最大距离为+==d r=，解得：2k =或2k =-（舍去） 故选：B 【点睛】结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，求圆上点到直线的最大距离与最小距离常用的结论：设圆的半径r ，圆心到直线的距离为d ， （1）当dr 时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为d r -；（2）当d r ≤时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为0；3．C解析：C 【分析】由恒等式的思想得出2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解之可得选项.【详解】由2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得：25x y =⎧⎨=⎩，故直线过恒过点()2,5，故选：C. 【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.4．D解析：D 【分析】连接圆心与弦中点，根据垂径定理的逆定理得到直线AP 与弦所在的直线垂直，由圆的标准方程求出圆心A 的坐标，再由弦中点P 的坐标，求出直线AP 的斜率，根据两直线垂直斜率的乘积为1-，求出弦所在直线的斜率，再由弦中点P 的坐标及求出的斜率，写出弦所在直线的方程即可． 【详解】解：由题意，知圆的标准方程为()2239x y ++=，圆心为()30A -,. 因为点()1,1P --为弦MN 的中点，所以AP MN ⊥. 又AP 的斜率101132k --==--+，所以直线MN 的斜率为2， 所以弦MN 所在直线的方程为()121y x +=+，即210x y -+=. 故选：D 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，直线斜率的求法，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，解题的关键是连接圆心与弦中点，根据垂径定理的逆定理得到直线AP 与弦所在的直线垂直．5．A解析：A【分析】根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求方程即可. 【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径， 则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --， 点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ， 则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程， 由两点是方程得''A D 直线方程为：436413y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.6．C解析：C 【分析】先判断直线l 恒过点(2,1)P ，可得直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短，利用直线垂直的性质可得答案. 【详解】直线:120+--=l ax y a 可化为:(2)(1)0-+-=l a x y ， 故直线l 恒过点(2,1)P .圆22:6890+--+=C x y x y 的圆心为(3,4)C ，半径为4. 当直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短， 因为直线PC 的斜率41332PC k -==-， ax ＋y －1－2a ＝0的斜率为a -， 此时1313PC l k k a a ⋅=-=-⇒=.故选：C . 【点睛】方法点睛：判断直线过定点主要形式有： （1）斜截式，0y kx y =+，直线过定点()00,y ； （2）点斜式()00,y y k x x -=-直线过定点()00,x y ；（3）化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩求解. 7．D解析：D 【分析】由题意可知，圆2C 内切于圆1C ，由题意可得出2241a b +=，然后将代数式2211a b+与224a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b+的最小值. 【详解】圆()221:24C x a y ++=的圆心为()12,0C a -，半径为12r =，圆()22:1C x y b +-=的圆心为()20,C b ，半径为21r =，由于两圆有且仅有1条公切线，则圆2C 内切于圆1C ， 所以22121241C C a b r r =+=-=，可得2241a b +=，()2222222222222211114445529b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=∴++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当222b a =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为9. 故选：D. 【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r .（1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含；（2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切； （3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交；（4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切； （5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.8．A解析：A 【分析】根据题意，得到四边形PAOB 的面积22PAOS S PA ===只需求PO 最小值，进而可求出结果. 【详解】因为圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径为2r，圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离为2d ==>，所以直线2100x y ++=与圆224x y +=相离，又点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，所以PA PB =，PA OA ⊥，PB OB ⊥，因此四边形PAOB 的面积为12222PAO PBOPAOS SSSPA r PA =+==⨯⨯== 为使四边形面积最小，只需PO 最小，又min PO 为圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离d =所以四边形PAOB 的面积的最小值为8=. 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于根据圆的切线的性质，将四边形的面积化为2PAOS =求面积最值问题，转化为定点到线上动点的最值问题，即可求解.9．B解析：B 【分析】先求出圆C 的方程，设出直线l 的方程为y x m =-+，()11,A x m x -，()22,B x m x -，与圆的方程联立消去y 可得12x x +、12x x 用m 表示，由以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，()21212121220OA OB x x y y x x m x x m ⋅=+=-++=将12x x +、12x x ，代入即可求出m的值，进而可得直线l 的方程. 【详解】因为()4,2P -，()1,3Q -，所以()32114PQ k --==---，所以直线PQ 的方程为：()31y x -=-+，即20x y +-=， 设圆心(),C a b ，半径为r ， 直线PQ 的垂直平分线为：1322y x -=-，即10x y --=， 所以10a b --=①，由于在y轴上截得的线段的长为(222r a =+②，又因为()()22213r a b =++-③，由①②③可得：10a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩或54a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩（舍），所以圆C 的方程为：()22113x y -+=，设直线l 的方程为：y x m =-+，()11,A x m x -，()22,B x m x -， 若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，则OA OB ⊥，0OA OB ⋅=，由()22113y x m x y =-+⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 得：()22221120x m x m -++-=， 所以121x x m +=+，212122m x x -=，所以()()()2121212122OA OB x x x m x m x x m x x m ⋅=+-+-+=-++()221210m m m m =--++=，即2120m m --=，解得：4m =或3m =-， 所以直线l 的方程为4y x =-+或3y x =--， 即直线l 的方程为40x y +-=或30x y ++=， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用待定系数法求出圆的方程，由以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，得出OA OB ⊥，0OA OB ⋅=，将直线l 的方程与圆的方程联立，即可得12x x +、12x x 用m 表示，代入()()()21212121220OA OB x x x m x m x x m x x m ⋅=+-+-+=-++=，即可求出m 的值，进而求解.10．A解析：A 【分析】求出以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程． 【详解】圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)C ，半径为1，以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程为2215(2)()24x y -+-=，因为过点()3,1圆()2211x y -+=的两条切线切点分别为A ，B ，所以，AB 是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程230x y +-=， 故选：A ． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．11．C解析：C 【分析】将直线方程整理为()()30a x y y ++-=，可得直线()130ax a y +-+=经过定点()3,3Q -，由此可得当直线()130ax a y +-+=与PQ 垂直时PQ 的长，并且此时点P 到直线的距离达到最大值，从而可得结果. 【详解】直线()130ax a y +-+=， 即()()30a x y y ++-=，∴直线()130ax a y +-+=是过直线0x y +=和30y -=交点的直线系方程，由030x y y +=⎧⎨-=⎩，得33x y =-⎧⎨=⎩，可得直线()130ax a y +-+=经过定点()3,3Q -，∴当直线()130ax a y +-+=与PQ 垂直时，点()2,3P 到直线()130ax a y +-+=的距离最大，d ∴的最大值为5PQ ==，此时//PQ x 轴，可得直线()130ax a y +-+=斜率不存在，即1a =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线的方程与应用，以及直线过定点问题，属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ，从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.12．C解析：C 【分析】先考虑其中一条直线的斜率不存在时（0a =和32a =）是否满足，再考虑两直线的斜率都存在，此时根据垂直对应的直线一般式方程的系数之间的关系可求解出a 的值. 【详解】当0a =时，直线为：10,3x y ==，满足条件； 当32a =时，直线为：3320,223x y x +-==，显然两直线不垂直，不满足； 当0a ≠且32a ≠时，因为两直线垂直，所以()230a a a --=，解得2a =， 综上：0a =或2a =. 故选C. 【点睛】根据两直线的垂直关系求解参数时，要注意到其中一条直线斜率不存在另一条直线的斜率为零的情况，若两直线对应的斜率都存在可通过121k k 去计算参数的值.二、填空题13．【分析】由题意可知直线的斜率存在且不为零可设直线的方程为求出点的坐标结合已知条件可求得的取值范围并求出的面积关于的表达式利用基本不等式可求得面积的最小值及其对应的值由此可求得直线的方程【详解】由题意 解析：480x y +-=【分析】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，求出点A 、B 的坐标，结合已知条件可求得k 的取值范围，并求出AOB 的面积关于k 的表达式，利用基本不等式可求得AOB 面积的最小值及其对应的k 值 ，由此可求得直线l 的方程.【详解】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，即14y kx k =+-. 在直线l 的方程中，令0x =，可得14y k =-；令0y =，可得41k x k-=. 即点41,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,14B k -，由题意可得410140k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <， AOB 的面积为()1411111481688222AOBk S k k k k ⎛-⎛⎫=⨯⨯-=--≥+= ⎪ ⎝⎭⎝△，当且仅当()1160k k k-=-<时，即当14k =-时，等号成立，所以，直线l 的方程为()1144y x -=--，即480x y +-=. 故答案为：480x y +-=. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点： （1）将三角形的面积利用k 加以表示；（2）在求解最值时，可充分利用基本不等式、导数、函数的单调性等知识来求解.14．【分析】由两圆方程相减可得公共弦的方程再由直线和圆相交的弦长公式计算可得所求值【详解】解：由圆和圆相减可得公共弦的方程为又圆的圆心为半径为可得到直线的距离为则故答案为：【点睛】关键点点睛：两圆相交相 解析：【分析】由两圆方程相减可得公共弦AB 的方程，再由直线和圆相交的弦长公式，计算可得所求值． 【详解】解：由圆221:210240C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=相减可得，公共弦的方程为240x y -+=，又圆221:210240C x y x y +-+-=的圆心为(1,5)-，半径为可得1C 到直线240x y -+=的距离为d =则||AB =故答案为： 【点睛】关键点点睛：两圆相交，相交弦所在直线的方程可有两圆方程相减而得到，处理圆的弦长选择垂径定理为好．15．【分析】根据题意设直线的方程是代入点求得的值即可求解【详解】由题意所求直线垂直于直线设直线的方程是又由直线过点代入可得解得故的方程是【点睛】与直线平行的直线方程可；与直线垂直的直线方程可 解析：3270x y -+=【分析】根据题意，设直线l 的方程是320x y c -+=，代入点(1,2)P -，求得c 的值，即可求解. 【详解】由题意，所求直线l 垂直于直线2310x y ， 设直线l 的方程是320x y c -+=，又由直线l 过点(1,2)P -，代入可得340c --+=，解得7c =， 故l 的方程是3270x y -+=. 【点睛】与直线220(0)Ax By C A B ++=+≠平行的直线方程可0()Ax By n n c ++=≠；与直线220(0)Ax By C A B ++=+≠垂直的直线方程可0Bx Ay M -+=。

上海市选修一第二单元《直线和圆的方程》检测题(含答案解析)

上海市选修一第二单元《直线和圆的方程》检测题(含答案解析)

一、选择题1．设点(1,2),(2,3)A B -，若直线10ax y ++=与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（ ） A ．[3,2]- B ．[2,3]-C ．(,2][3,)-∞-⋃+∞D ．(,3][2,)-∞-⋃+∞2．过点()1,0P 作圆22(2)(2)1x y -+-=的切线，则切线方程为（ ） A ．1x =或3430x y +-= B ．1x =或3430x y --= C ．1y =或4340x y -+=D ．1y =或3430x y --=3．若P 是直线l ：260x y ++=上一动点，过P 作圆C ：22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知圆M ：22(1)(2)5x y -+-=和点(3,5)P ，过点P 做圆M 的切线，切点分别为A 、B ，则下列命题：①4PA PB k k ⋅=-；②PA =；③AB 所在直线方程为：23130x y +-=；④PAB △外接圆的方程为2247130x y x y +--+=．其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知圆()222x a y a -+=平分圆()()22121x y ++-=的周长，则a 的值是（ ）A ．0B ．3-C ．25-D ．526．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ） A ．5270x y -+= B ．310x y +-=C ．3240x y -+=D ．230x y --=7．圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0被直线l ：ax ＋y －1－2a ＝0截得的弦长取得最小值时，此时a 的值为（ ） A ．3B ．－3C ．13D ．－138．已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（ ） A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-9．直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长等于（ ）A ．4B ．2C ．D10．已知圆22:(2)2C x y ++=，则在x 轴和y 轴上的截距相等且与圆C 相切的直线有几条（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条11．若直线y x b =+与曲线234y x x =--有2个公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．[122,122]-+ B ．(122,1]-- C ．[3,122)+D ．[1,3]-12．已知直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，则k 的值是（ ） A ．1或0B ．5C ．0或5D ．1或5二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，过圆1C ：22()(4)1x k y k -++-=上任一点P 作圆2C ：22(1)1x y ++=的一条切线，切点为Q ，则当PQ 取最小值时，k =______．14．已知直线l 经过点(2,1)，且和直线330x y --=的夹角等于30，则直线l 的方程是_________．15．若直线4(1)80x m y +++=与直线2390x y --=平行，则这两条平行线间的距离为_________.16．已知点P 是直线:3120l x y +-=上的一点，过P 作圆22(2)1x y -+=的切线，切点为A ，则切线长||PA 的最小值为__________.17．已知直线1:350l x y +-=，2:310l kx y -+=．若1l ，2l 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k =________．18．已知m ，n 为正数，且直线()250x n y --+=与直线30nx my +-=互相垂直，则2m n +的最小值为______.19．曲线219y x =+-与直线()35y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是______．20．若实数,a b ∈R 且0b ≠，则()221a b a b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的最小值为_______. 三、解答题21．已知||1t ≤，直线1:10l tx y -+=和直线2:10l x ty ++=相交于点P ，1l 和y 轴交于点A ，2l 和x 轴交于点B ．（1）判断1l 与2l 的位置关系，并用t 表示点P 的坐标； （2）求||OP 的长度的取值范围，并指出取最值时点P 的位置．22．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=，其中m R ∈. （1）当m 变化时，求点()3,4Q 到直线的距离的最大值；（2）若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求AOB 面积的最小值及此时的直线方程.23．已知直角三角形ABC 的项点坐标()4,0A -，直角顶点()2,22B --，顶点C 在x 轴上.（1）求BC 边所在的直线方程；（2）设M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；（3）已知AB 与平行的直线DE 交轴x 于D 点，交轴y 于点(0,72E -.若P 为圆M 上任意一点，求三角形PDE 面积的取值范围.24．已知直线l 经过直线10x y -+=与直线240x y +-=的交点，且()2,3M ，()4,5N -到l 的距离相等，求直线l 的方程.25．已知关于x ，y 的方程22:240C x y x y m +--+=．（1）若圆C 与圆22812360x y x y +--+=外切，求m 的值；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且5||5MN =，求m 的值． 26．已知直线l ：x ＋2y －4＝0，圆C 的圆心在x 2，且圆心C 到直线l 65. （1）求圆C 的方程；（2）由直线l 上一点Q 作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，若直线MN 的斜率为1，求点Q 的坐标.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】求出线段AB 的方程，列方程组求得直线与线段交点坐标（横坐标），由21x -≤≤可求得a 的范围． 【详解】321213AB k -==---，∴AB 方程为12(1)3y x -=--，即370x y +-=，由10370ax y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得1013x a =-，（显然310a -≠），由102113a -≤≤-解得3a ≤-或2a ≥． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题，解题方法有两种：（1）求出直线AB 方程，由直线AB 方程知直线方程联立方程组求得交点坐标（只要求得横坐标），然后由横坐标在已知两个点的横坐标之间列不等式解之可得；（2）求出直线过定点P ，再求出定点P 与线段两端点连线斜率，结合图形可得直线斜率范围，从而得出参数范围．2．B解析：B 【分析】按照过点P 的直线斜率是否存在讨论，结合直线与圆相切的性质及点到直线的距离公式即可得解. 【详解】圆22(2)(2)1x y -+-=的圆心为()2,2，半径为1，点P 在圆外，当直线的斜率不存在时，直线方程为1x =，点()2,2到该直线的距离等于1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-即kx y k 0--=，1=，解得34k =，所以该切线方程为3430x y --=； 所以切线方程为1x =或3430x y --=. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求过圆外一点()00,x y 的圆的切线方程的方法几何法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程;代数法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0∆=，求得k ，切线方程即可求出.3．B解析：B 【分析】根据题意得要使四边形PACB 面积的最小值，只需PC 取最小即可，再根据几何关系求解即可. 【详解】解：根据题意：要使四边形PACB 面积的最小值，则只需切线长,PA PB 最小， 进而只需PC 取最小即可.由于()2214x y ++=，故圆心为()1,0-，2r，由于P 是直线l ：260x y ++=上一动点，所以过圆心作直线l 的垂线，垂足即为P ，此时CP ==此时切线长1PA PB ===，此时四边形PACB 面积为122S =⨯=. 即四边形PACB 面积的最小值为2. 故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.解题的关键是将问题转化为求PC 取最小值，再结合点到线的距离即可解答.4．D解析：D 【分析】设出斜率k ，得出切线方程，利用相切可得2+2440k k -=，即可得出4PA PB k k ⋅=-，判断①；由PA =②；可得,,,P A B M 四点共圆，圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为2PM =④；两圆相减可得直线AB 方程，判断③. 【详解】可知切线的斜率存在，设斜率为k ，则切线方程为53y k x ，即350kx y k ，=2+2440k k -=，可得,PA PB k k 是该方程的两个根，故4PA PB k k ⋅=-，故①正确； 又PM ==PA MA ⊥，PA ∴==故②正确；,PA MA PB MB ⊥⊥，,,,P A B M ∴四点共圆，且圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2PM =故PAB △外接圆的方程为22713(2)()24x y -+-=，即2247130x y x y +--+=，故④正确；将两圆方程相减可得23130x y +-=，即直线AB 方程，故③正确. 故选：D. 【点睛】本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是利用相切关系得出圆心到直线的距离为半径，且,,,P A B M 四点共圆.5．B解析：B 【分析】由题可知，两圆的公共直线必过()()22121x y ++-=的圆心()1,2-，然后求出公共直线的方程，列式计算即可得解. 【详解】圆222()x a y a -+=平分()()22121x y ++-=的周长，所以两圆的公共直线过()()22121x y ++-=的圆心()1,2-，两圆方程相减，可得两圆的公共直线()1220a x y +-+=， 将()1,2-代入可得()1420a -+-+=，解得3a =-. 故选：B . 【点睛】两圆的公共弦方程过已知圆心是解题关键.6．A解析：A 【分析】根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求方程即可. 【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径， 则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --， 点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ， 则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程， 由两点是方程得''A D 直线方程为：436413y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.7．C解析：C 【分析】先判断直线l 恒过点(2,1)P ，可得直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短，利用直线垂直的性质可得答案. 【详解】直线:120+--=l ax y a 可化为:(2)(1)0-+-=l a x y ， 故直线l 恒过点(2,1)P .圆22:6890+--+=C x y x y 的圆心为(3,4)C ，半径为4. 当直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短， 因为直线PC 的斜率41332PC k -==-， ax ＋y －1－2a ＝0的斜率为a -， 此时1313PC l k k a a ⋅=-=-⇒=.故选：C . 【点睛】方法点睛：判断直线过定点主要形式有： （1）斜截式，0y kx y =+，直线过定点()00,y ； （2）点斜式()00,y y k x x -=-直线过定点()00,x y ； （3）化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 求解.8．C解析：C 【分析】根据勾股定理由切线长最小值求出||PC 5C 到直线l 的距离为5l 的方程，根据点到直线的距离列式可解得结果.【详解】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1， 因为切线长的最小值为2，所以2min ||215PC =+=所以圆心C 到直线l 5，所以直线必有斜率，设:(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --=2211k k =++251k =+22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C 【点睛】关键点点睛：根据勾股定理由切线长的最小值求出||PC 的最小值，也就是圆心C 到直线l 的距离是解题关键.9．A解析：A 【分析】先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再求圆心到直线的距离，然后解弦长即可．【详解】因为226240x y x y +-++= 所以22(3)(1)6x y -++=，圆心到直线的距离为d ==直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长4l =；故选：A ． 【点睛】计算圆的弦长通常使用几何法简捷．也可使用代数法计算.10．C解析：C 【分析】先看直线不过原点的情况，设出直线的方程，斜率为1-，则可知这样的直线有2条，再看直线过原点的情况，把原点代入即可知原点在圆外，则这样的直线也应该有2条，最后验证以上4条中有一条是重复，最后综合得到结论. 【详解】若直线不过原点，其斜率为1-，设其方程为y x m =-+，则d ==0m =或4-，当0m =时，直线过原点；若过原点，把()0,0代入()2200242++=>，即原点在圆外，所以过原点有2条切线，综上，一共有3条， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了学生数形结合的思想和对基本知识的理解，属于中档题.11．B解析：B 【分析】将3y =22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有2个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解. 【详解】由3y =22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，所以直线y x b =+与半圆22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)有2个公共点，作出直线与半圆的图形，如图：当直线经y x b =+过点(4,3)时，341b =-=-， 当直线与圆22(2)(3)4-+-=x y 211=+，解得122b =-或122b =+由图可知，当直线y x b =+与曲线234y x x =-2个公共点时，1221b -<≤-，故选：B 【点睛】关键点点睛：作出直线与半圆的图形，利用切线的斜率表示b 的范围是解题关键.12．C解析：C 【分析】由两直线平行得出()224k k k -=-，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证. 【详解】 解:直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，()224k k k ∴-=-，整理得()50k k -=，解得0k =或5.当0k =时，直线11:4l y =-，23:2l y =，两直线平行；当5k =时，直线1:510l x y -+=，23:502l x y -+=，两直线平行. 因此，0k =或5. 故选:C. 【点睛】方法点睛:本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证.(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A1、A2、B1、B2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②2112210A A l B B l +⇔=⊥；二、填空题13．【分析】首先画出相应的图形根据切线的性质得到对应的垂直关系利用勾股定理得到线段之间的关系从而将问题转化再应用圆上的点到定点的距离的最小值在什么位置取得从而求得结果【详解】由方程可得圆C1C2的圆心坐解析：32【分析】首先画出相应的图形，根据切线的性质，得到对应的垂直关系，利用勾股定理得到线段之间的关系，从而将问题转化，再应用圆上的点到定点的距离的最小值在什么位置取得，从而求得结果. 【详解】由方程可得圆C 1,C 2的圆心坐标分别为(),4k k -+,()1,0-,半径都是1. 如图，因为PQ 为切线，所以2PQ C Q ⊥，由勾股定理，得221PQ PC =-PQ 最小，则需2PC 最小，显然当点P 为12C C 与1C 的交点时，2PC 最小，此时，2121PC C C =-，所以当12C C 最小时，2PC 就最小，()2222123251(4)2617222C C k k k k x ⎛⎫=++-+=-+=-+ ⎪⎝⎭ 当32k时，12C C 最小，得到PQ 最小， 故答案是：32. 【点睛】该题考查的是有关直线与圆的位置关系，切线长的求法，勾股定理，两点间距离公式，二次函数的最值，以及数形结合的思想.14．或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或分类讨论并利用点斜式方程求解即可【详解】由已知可得直线的斜率所以倾斜角为因为直线与的夹角为所以直线的倾斜角为或当倾斜角为时直线为即为；当倾斜角为解析：1y =10y --= 【分析】分析可得已知直线的倾斜角为30，则直线l 的倾斜角为0或60，分类讨论并利用点斜式方程求解即可. 【详解】由已知可得直线3y x =3k =，所以倾斜角为30，因为直线l 与y x =30，所以直线l 的倾斜角为0或60，当倾斜角为60时,直线l 为)12y x -=-10y -+-=； 当倾斜角为0︒时,直线l 为1y =，故答案为：1y =10y -+-=. 【点睛】本题考查直线与直线的夹角，关键点是求出直线30x --=的倾斜角得到l 的倾斜角，考查求直线方程，考查分类讨论思想.15．【分析】根据两直线平行求得得到两直线的方程再结合两直线间的距离公式即可求解【详解】由直线与直线平行可得解得即两条分别为和所以两直线间的距离为故答案为：【点睛】两平行线间的距离的求法：利用转化法将两条【分析】根据两直线平行，求得7m =-，得到两直线的方程，再结合两直线间的距离公式，即可求解. 【详解】由直线4(1)80x m y +++=与直线2390x y --=平行， 可得4(3)2(1)m ⨯-=+，解得7m =-， 即两条分别为2340x y ++=和2390x y --=，所以两直线间的距离为d ==【点睛】两平行线间的距离的求法：利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； 利用两平行线间的距离公式进行求解.16．【分析】利用切线长最短时取最小值找点：即过圆心作直线的垂线求出垂足点就切线的斜率是否存在分类讨论结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程【详解】设切线长为则所以当切线长取最小值时取最小值过圆心作直 解析：3【分析】利用切线长最短时，PC 取最小值找点P ：即过圆心C 作直线l 的垂线，求出垂足点()3,3P ．就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程． 【详解】设切线长为L ，则L =，所以当切线长L 取最小值时，PC 取最小值，过圆心()2,0C 作直线l 的垂线，则点P 为垂足点，此时，直线PC 的方程为360x y --=，联立3120360x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得33x y =⎧⎨=⎩，点P 的坐标为()3,3.此时PC ==，此时，3L ==故答案为：3 【点睛】关键点睛：解题的关键是利用过点的圆的切线方程的求解，在过点引圆的切线问题时， 将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长，即设切线长为L ，则L =，问题转变为求PC 的最小值，主要考查学生分析问题与解决问题的能力，属于中等题．17．【分析】由l1l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆可得此四边形存在一组对角的和等于180°当直线l2的斜率大于零时根据l1⊥l2由此求得k 的值当直线l2的斜率小于零时应有∠ABC 与∠ADC 互补即t 解析：1k =±【分析】由l 1，l 2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，可得此四边形存在一组对角的和等于180°．当直线l 2的斜率大于零时，根据l 1⊥l 2 ，由此求得k 的值．当直线l 2的斜率小于零时，应有∠ABC 与∠ADC 互补，即tan ∠ABC ＝﹣tan ∠ADC ，由此又求得一个k 值，综合可得结论． 【详解】由题意知，l 1，l 2与两坐标轴围成的四边形有一组对角互补．由于直线l 1：x +3y ﹣5＝0是一条斜率等于13-的固定直线，直线l 2：3kx ﹣y +1＝0经过定点A （0，1），当直线l 2的斜率大于零时，应有l 1⊥l 2 ，∴3 k ×（13-）＝﹣1，解得 k ＝1．当直线l 2的斜率小于零时，如图所示：设直线l 1与y 轴的交点为B ，与x 轴的交点为C ，l 2 与x 轴的交点为D ，要使四边形ABCD 是圆内接四边形，应有∠ABC 与∠ADC 互补，即tan ∠ABC ＝﹣tan ∠ADC ．再由tan （90°+∠ABC ）＝K BC 13=-，可得tan ∠ABC ＝3，∴tan ∠ADC ＝﹣3＝K AD ＝3k ，解得 k ＝﹣1．综上可得，k ＝1或 k ＝﹣1， 故答案为±1．【点睛】本题考查两条直线垂直的条件，直线的倾斜角、斜率间的关系，存在一组对角的和等于180°的四边形一定有外接圆，属于基础题．18．9【分析】由直线与直线互相垂直可得进而根据基本不等式可得的最小值【详解】直线与直线互相垂直当且仅当时取等号故答案为：9【点睛】本题主要考查直线垂直的应用考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的理解析：9 【分析】由直线(2)50x n y --+=与直线30nx my +-=互相垂直，可得211n m+=，进而根据基本不等式可得2m n +的最小值． 【详解】直线(2)50x n y --+=与直线30nx my +-=互相垂直， (2)0n n m ∴--=， 2m n mn ∴+=，∴211n m+=，2122222(2)()=5529m n m nm n m n n m n m n m∴+=++++≥+⨯=，当且仅当3m n ==时取等号. 故答案为：9 【点睛】本题主要考查直线垂直的应用，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．【分析】化简式子可得作出图形然后求出直线与该半圆相切时的依据图形简单计算和判断可得结果【详解】由题可知：所以如图又直线即过定点当直线与半圆相切时则当直线过点时所以故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的解析：72,243⎛⎤⎥⎝⎦【分析】化简式子可得()()22191+-=≥x y y ，作出图形，然后求出直线与该半圆相切时的k ，依据图形，简单计算和判断可得结果. 【详解】由题可知：219y x =+-，所以()()22191+-=≥x y y 如图又直线()35y k x =-+，即350kx y k 过定点()A 3,5213573241--+=⇒=+k k k 当直线过点()3,1B -时，()512333-==--k所以72,243⎛⎤∈⎥⎝⎦k 故答案为：72,243⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查直线与圆的应用，数形结合形象直观，考查分析能力以及计算能力，属中档题.20．2【分析】根据两点间的距离公式的几何意义可知表示点到点的距离点在直线上点在曲线上通过平移法设曲线的切线方程联立切线方程和曲线方程通过求出可求出切线方程最后利用两平行线间的距离公式求出两平行直线与的距解析：2 【分析】(),a a 到点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离，点(),a a 在直线y x =上，点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线1y x=-上，通过平移法，设曲线1y x=-的切线方程y x m =+，联立切线方程和曲线方程，通过0∆=求出m ，可求出切线方程，最后利用两平行线间的距离公式，求出两平行直线0x y -=与20x y -+=的距. 【详解】表示点(),a a 到点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离， 而点(),a a 在直线y x =上，点1,b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线1y x =-上，将直线y x =平移到与曲线1y x=-相切，设切线为y x m =+，切线方程和曲线方程联立，即1y x my x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，得210x mx ++=，则240m ∆=-=，解得：2m =±，当2m =时，切线方程为：2y x =+，即20x y -+=， 所以两平行直线0x y -=与20x y -+=的距离为：d ==，所以()221a b a b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的最小值为2.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用两点间距离的几何意义求最值，考查两点间的距离公式以及两平行线间的距离公式的应用，还涉及两平行线的斜率关系和一元二次方程根的判别式，考查转化思想和运算能力.三、解答题21．（1）垂直，2211,11t t P t t ---+⎛⎫⎪++⎝⎭；（2），最小时(1,0)P -或(0,1)P ，最大时(1,1)P -．【分析】（1）可得0t =时，显然12l l ⊥，0t ≠时，由121k k =-可得12l l ⊥；联立直线方程可求得P 的坐标； （2）可得2221O t P =+，由||1t ≤即可求得取值范围. 【详解】（1）当0t =时，1:1l y =，2:1l x =-，显然12l l ⊥， 当0t ≠时，121,k t k t==-，则121k k =-，则12l l ⊥， 综上，12l l ⊥， 联立直线方程1010tx y x ty -+=⎧⎨++=⎩，解得2211,11t t x y t t ---+==++，2211,11t t P t t ---+⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭；（2）由（1）知222222112111t t t O t t P ---+⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭=， 1t ≤，201t ∴≤≤，则2112t ≤+≤，则22121t ≤≤+，即[]21,2OP ∈，则OP ⎡∈⎣，当21t =时，即1t =±时，OP 取得最小值为1，此时(1,0)P -或(0,1)P ，当20t =时，即0t =时，OP ，此时(1,1)P -. 【点睛】关键点睛：本题考查直线位置关系的判断以及取值范围的求解，解题的关键是联立直线方程求出点P 坐标，将||OP 化成关于t 的式子2221O t P =+即可求解.22．（1）2）4，240x y ++=【分析】（1）求出动直线所过定点(1,2)P --,当m 变化时，PQ ⊥直线l 时，点()3,4Q 到直线l 的距离的最大．（2）直线l 的斜率k 存在且0k ≠，因此可设直线l 的方程为2(1)y k x +=+，求出直线在x 轴、y 轴的截距．可得AOB 的面积，利用基本不等式的性质即可得出结果． 【详解】（1）直线方程为(2) (21) 340m x m y m -++++=， 可化为(24)(23)0x y m x y +++-++=对任意m 都成立， 所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点(1,2)--.设定点为(1,2)P --,当m 变化时，PQ ⊥直线l 时，点(3,4)Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点(1,2)P --的连线的距离就是所求最大值，=（2）由于直线l 经过定点(1,2)P --．直线l 的斜率k 存在且0k ≠， 因此可设直线方程为2(1)y k x +=+ 可得与x 轴、y 轴的负半轴交于21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,2)B k -两点 ∴20kk-<，20k -<，解得0k <． ∴121221|2|1(2)2224222AOBkS k k k k k -⎛⎫=--=--=++≥+= ⎪-⎝⎭当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4此时直线l 的方程为：22(1)y x +=-+，化为：240x y ++=． 【点睛】关键点点睛：求三角形面积最小时，一般首先表示出三角形的面积，本题利用直线在坐标轴的截距表示可得222kS k -=++-,再根据均值不等式或利用函数求最值，确定最值取得的条件，求解即可.23．（1）20x --=；（2）()2219x y ++=；（3）22⎡⎢⎣⎦.【分析】（1）设AC 中点M 为(),0t ，则()42,0C t +，得到BM MC =，求出t ，利用点斜式写方程即可；（2）利用（1）得到圆心坐标以及半径即可得解；（3）先求AB k ，再求直线DE 的方程，点M 到直线DE 的距离，则三角形PDE 的高263,263h ⎡⎤∈-+⎣⎦，最后利用12PDESDE h =求解即可. 【详解】（1）设AC 中点M 为(),0t ，又()4,0A -， 则()42,0C t +，90ABC ∠=︒，则BM MC =,又(2,22B --， ()()222202424t t t t --+--=+-=+，则1t =-， 所以()2,0C ， 故202222BC k -==--， 则BC 边所在的直线方程为：)2022202y x x -=-⇒--=； 所以BC 边所在的直线方程为：220x --=； （2）由M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心， 则M 为AC 的中点坐标为()1,0-， 又3MC r ==,则圆M 的方程为：()2219x y ++=； （3）由()4,0A -，(2,22B --， 得220224AB k -==-+，直线AB 与直线DE 平行，又(0,E -，则直线DE 的方程为：y =- 则()7,0D -，所以点M 到直线DE 的距离d ==，则三角形PDE 的高3h ⎡⎤∈⎣⎦，DE ==则12PDESDE h ==∈⎣⎦，三角形PDE 面积的取值范围为22⎡⎢⎣⎦.【点睛】方法点睛：圆上的点到直线的距离的范围问题，转化为圆心到直线的距离加半径最大，减半径最小.24．3270x y +-=或460x y +-=. 【分析】根据题意求出交点坐标，由M ，N 到l 的距离相等，可判断直线有两种情况：①直线l 经过线段MN 的中点；②直线//l MN ，分别求解两种情况下的直线方程即可. 【详解】 联立10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线10x y -+=与直线240x y +-=的交点为()1,2P ，由M ，N 到l 的距离相等，知直线l 经过线段MN 的中点，或者直线//l MN ，线段MN 的中点为()3,1Q -，35424MN k +==--， ∴过点P ，Q 的直线l 的方程为3270x y +-=，∴过点P 与直线MN 平行的直线l 的方程为460x y +-=， 综上，直线l 的方程为3270x y +-=或460x y +-=. 【点睛】本题考查直线方程的求法，考查两直线交点等基础知识，两个点到直线的距离相等，可以分为两种情况：①直线l 经过线段MN 的中点；②直线//l MN ；当MN 的中点()3,1Q -在直线l 上时，计算出斜率PQ k ，利用点斜式即可得出直线l 的方程；当//MN l时，计算出斜率MN k ，再根据斜率相等，利用点斜式即可得出直线l 的方程.25．（1）4；（2）4.【分析】（1）利用圆心距等于半径之和求参数；（2）求出圆心C 到直线l 的距离d ，由勾股定理列出关于m 的方程解之可得．【详解】（1）把圆22812360x y x y +--+=，化为标准方程得22(4)(6)16x y -+-=，所以圆心坐标为()4,6，半径为4R =，则两圆心间的距离5d ==，因为两圆的位置关系是外切，所以d R r =+，即45=，解得4m =，故m 的值为4；（2）因为圆心C 的坐标为()1,2，所以圆心C 到直线l 的距离d ==，所以222221()2MN d =+=+， 即51m -=，解得4m =，故m 的值为4．【点睛】方法点睛：本题考查两圆位置关系，求直线与圆相交弦长．求弦长方法：（1）代数法，求出直线与圆交点坐标，由两点间距离公式计算；（2）几何法：求出圆心到弦所在直线的距离d ，由勾股定理求得弦长l = 26．（1）22(2)2++=x y ；（2）(8,6)-Q .【分析】（1）设出圆心坐标(,0)(0)C a a <，再根据圆心C 到直线l 的距离为5，列式即可求出a ，从而得到圆C 的方程；（2）设(2,2)-Q t t ，根据圆系知识可知，直线MN 即为以QC 为直径的圆与圆C 的公共弦所在直线，先求出以QC 为直径的圆的方程为(2)(2)(2)0x x t y y t +-+-+=，于是得到直线MN 的方程为(22)(2)240+--++=t x t y t ，再根据其斜率为1，即可解出t ，得到点Q 的坐标．【详解】（1）依题意设圆心(,0)(0)C a a <5=，解得2a =-或10a =.由于0a <，∴2a =-.∴圆的方程为22(2)2++=x y .（2）设(2,2)-Q t t ，以QC 为直径的圆的方程为(2)(2)(2)0,+-+-+=x x t y y t 即22(22)(2)40++-+--=x y t x t y t ①，22420x y x +++=②由②－①得直线MN 的方程为(22)(2)240+--++=t x t y t .又∵221,12MN t K t +=∴=-，即4t =-． ∴点Q 的坐标为(8,6)-Q . 【点睛】本题主要考查圆的方程的求法以及圆系知识的应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于中档题．圆的方程常用求法有：待定系数法，几何法；直线与圆系：设直线:0l Ax By C ++=，圆22:0C x y Dx Ey F ++++=，则经过直线l 与圆C 的交点的圆系方程可设为：()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=；圆与圆系：设圆221111:0C x y D x E y F ++++=，222222:0C x y D x E y F ++++=， 当圆1C 与圆2C 相交时，则经过圆1C 与圆2C 交点的圆系方程可设为：()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（除去圆2C ），当1λ=-时，其表示两圆公共弦所在直线的方程：()()()1212120D x E D E y F F -+-+-=．。

上海上海中学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测卷(包含答案解析)

上海上海中学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．若圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为k 的值是（ ）A ．2-B ．2C ．2-或2D ．2-或02．设点(1,2),(2,3)A B -，若直线10ax y ++=与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（ ） A ．[3,2]- B ．[2,3]-C ．(,2][3,)-∞-⋃+∞D ．(,3][2,)-∞-⋃+∞ 3．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（ ） A ．72B ．4C ．1D ．54．已知圆22:3C x y +=，从点()2,0A -观察点()2,B a ，要使视线不被圆C 挡住，则a 的取值范围是 （ ）A ．⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()(),22,-∞-+∞C ．((),23,-∞-+∞D ．((),-∞-⋃+∞5．一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则AC BC +的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知圆()222x a y a -+=平分圆()()22121x y ++-=的周长，则a 的值是（ ） A ．0B ．3-C ．25-D ．527．若圆22:60,(0,0)M x y ax by ab a b +++--=>>平分圆22:4240N x y x y +--+=的周长，则2a b +的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．16D ．208．已知圆()221:24C x a y ++=与圆()22:1C x y b +-=有且仅有1条公切线，则2211a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．99．已知圆C ：224x y +=上恰有两个点到直线l ：0x y m -+=的距离都等于1，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,32⎡-⎣ B ．(2,32⎡-⎣C ．2,32⎡⎡-⎣⎣D ．((2,32-10．过点(1,2)的直线被圆229x y +=所截弦长最短时的直线方程是（ ）A ．250x y +-=B ．20x y -=C ．230x y -+=D ．20x y +=11．若直线y x b =+与曲线3y =2个公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．[1-+B ．(11]--C ．[3,1+D ．[1,3]-12．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(4,3)A -处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．5二、填空题13．已知点P 为直线3450x y +-=上的任意一个动点，则点P 到点()3,0A 的距离的最小值是______.14．已知直线l 经过点(1,2)P -，且垂直于直线2310x y ，则直线l 的方程是________.15．已知圆C 的方程是2220x y y +-=，圆心为点C ，直线:20λλ+-=l x y 与圆C 交于A 、B 两点，当ABC 面积最大时，λ=______．16．已知圆C ：()2234x y -+=，线段MN 在直线211y x =-+上运动，点P 是线段MN 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA PB ⊥，则线段MN 长度的最大值是___________．17．已知M ，N 是圆22:20A x y x +-=与圆22:240B x y x y ++-=的公共点，则线段MN 的长度为______.18．若实数x ，y 满足关系10x y ++=，则式子S =______．19．设直线l 的斜率为k ，且11k -<<，则直线的倾斜角α的取值范围是_________. 20．过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为_________．三、解答题21．已知圆C 经过点()0,1A ，()2,1B ，()3,4M ． （1）求圆C 的方程；（2）设点P 为直线l ：210x y --=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为E ，F ．若60EPF ∠=︒，求点P 的坐标．22．如图，已知点()4,0A ，()0,2B ，直线l 过原点，且A 、B 两点位于直线l 的两侧，过A 、B 作直线l 的垂线，分别交l 于C 、D 两点．（1）当C 、D 重合时，求直线l 的方程； （2）当23AC BD =时，求线段CD 的长度．23．已知圆C 与x 轴相切于点()1,0，且圆心C 在直线3y x =上， （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线y x m =+交于不同两点A ，B ，若直角坐标系的原点O ，在以线段AB 为直径的圆上，求实数m 的值.24．光线从(1,1)A 点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,7)D . （1）求BC 所在直线的方程；（2）过点(2,2)E 且斜率为(0)m m ->的直线l 与x ，y 轴分别交于,P Q ，过,P Q 作直线BC 的垂线，垂足为,R S ，求线段||RS 长度的最小值.25．已知直线l ：240x y +-=，圆C 的圆心在x 2，且圆心C 到直线l 65. （1）求圆C 的方程；（2）直线l 上是否存在一点Q 作圆C 的两条切线，切点分别为,M N 直线MN 恒过定点，并求定点坐标.26．根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点()3,4-，且在两坐标轴上的截距之和为12；（2）直线m ：3260x y --=关于直线l ：2310x y -+=的对称直线m '的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】将圆的方程化成标准方程，求出圆心及半径r ，圆心到直线的距离为d ，则圆上的点到直线的最大距离为d r + 【详解】圆22220x y x y k +---=化成标准形式()()22112x y k -+-=+，圆心()1,1，半径r =2k >-；圆心()1,1到直线100x y +-=的距离===d圆上的点到直线的最大距离为+==d r=，解得：2k =或2k =-（舍去） 故选：B 【点睛】结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，求圆上点到直线的最大距离与最小距离常用的结论：设圆的半径r ，圆心到直线的距离为d ， （1）当dr 时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为d r -；（2）当d r ≤时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为0； 2．D解析：D 【分析】求出线段AB 的方程，列方程组求得直线与线段交点坐标（横坐标），由21x -≤≤可求得a 的范围． 【详解】321213AB k -==---，∴AB 方程为12(1)3y x -=--，即370x y +-=，由10370ax y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得1013x a =-，（显然310a -≠），由102113a -≤≤-解得3a ≤-或2a ≥． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题，解题方法有两种：（1）求出直线AB 方程，由直线AB 方程知直线方程联立方程组求得交点坐标（只要求得横坐标），然后由横坐标在已知两个点的横坐标之间列不等式解之可得；（2）求出直线过定点P ，再求出定点P 与线段两端点连线斜率，结合图形可得直线斜率范围，从而得出参数范围．3．C解析：C 【分析】由题意可知两圆外切，可得出2249a b +=，然后将代数式2211a b +与2249a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b+的最小值. 【详解】圆222240x y ax a +++-=的标准方程为()224x a y ++=，圆心为()1,0C a -，半径为12r =，圆2224140x y by b +--+=的标准方程为()2221x y b +-=，圆心为()20,2C b ，半径为21r =.由于圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，则这两圆外切，所以，1212C C r r =+3=，所以，2249a b +=，所以，222222222211411141551999a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫+⎛⎫+=+=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当222a b =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为1. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．D解析：D 【分析】设过点与圆相切的直线为()2y k x =+，则圆心到直线的距离解得k =，可得切线方程为()32y x =±+，由A 点向圆C 引2条切线，只要点B 在切线之外，那么就不会被遮挡，即a 大于B 点在x 轴上方的纵坐标或者小于B 点在x 轴上方的纵坐标即可. 【详解】设过点()2,0A -与圆22:3C x y +=相切的直线为()2y k x =+，则圆心()0,0到直线的距离为2231k k=+，解得3k =±，∴切线方程为()32y x =±+，由A 点向圆C 引2条切线，只要点B 在切线之外，那么就不会被遮挡，B 在2x =的直线上，在()32y x =±+中，取2x =，得43y =±，从A 点观察B 点，要使视线不被圆C 挡住，需43a >或43a <-， ∴a 的取值范围是()(),4343,-∞-⋃+∞， 故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，关键点是求过A 点且与圆相切时的直线方程，考查分析问题解决问题的能力.5．C解析：C 【分析】做出圆22(3)(2)2x y ++-=关于x 轴的对称圆，进而根据图形得AC BC AP r+≥-即可求解. 【详解】解：如图，圆22(3)(2)1x y ++-=的圆心()3,2-，其关于x 轴的对称圆的圆心为()3,2P --， 由图得AC BC AP r +≥-52242==故选：C. 【点睛】解题的关键在于求圆关于x 轴的对称圆圆心P ，进而将问题转化AC BC AP r +≥-求解.6．B解析：B 【分析】由题可知，两圆的公共直线必过()()22121x y ++-=的圆心()1,2-，然后求出公共直线的方程，列式计算即可得解. 【详解】圆222()x a y a -+=平分()()22121x y ++-=的周长，所以两圆的公共直线过()()22121x y ++-=的圆心()1,2-，两圆方程相减，可得两圆的公共直线()1220a x y +-+=， 将()1,2-代入可得()1420a -+-+=，解得3a =-. 故选：B . 【点睛】两圆的公共弦方程过已知圆心是解题关键.7．A解析：A 【分析】由两圆的相交弦是圆N 的直径得出,a b 的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】两圆方程相减得，(4)(2)100a x b y ab +++--=，此为相交弦所在直线方程， 圆N 的标准方程是22(2)(1)1x y -+-=，圆心为(2,1)N ，∴2(4)2100a b ab +++--=，121a b+=， ∵0,0a b >>，∴1242(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =即2,4a b ==时等号成立．故选：A ． 【点睛】本题考查圆的方程，考查基本不等式求最值．圆的性质：（1）圆的直径平分圆；（2）相交两圆方程相减所得一次方程是两圆公共弦所在直线方程．8．D解析：D 【分析】由题意可知，圆2C 内切于圆1C ，由题意可得出2241a b +=，然后将代数式2211a b +与224a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b +的最小值. 【详解】圆()221:24C x a y ++=的圆心为()12,0C a -，半径为12r =，圆()22:1C x y b +-=的圆心为()20,C b ，半径为21r =，由于两圆有且仅有1条公切线，则圆2C 内切于圆1C ，所以12121C C r r ==-=，可得2241a b +=，()2222222222111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=∴++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当222b a =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为9. 故选：D. 【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r .（1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含； （2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切； （3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交； （4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切；（5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.9．D解析：D 【分析】先判断圆心到直线的距离()1,3d ∈，再利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】圆C ：224x y +=的圆心是()0,0C ，半径2r，而圆C ：224x y +=上恰有两个点到直线l ：0x y m -+=的距离都等于1，所以圆心()0,0C 到直线l ：0x y m -+=的距离()1,3d ∈，即()1,3d ==，解得m -<<m <<.故选：D. 【点睛】本题考查了圆上的点到直线的距离问题和点到直线的距离公式，属于中档题.10．A解析：A 【分析】分析可得当弦长最短时，该弦所在直线与过点(1,2)的直径垂直，先求出过点(1,2)的直径的斜率，然后再求出所求直线的斜率，最后由点斜式写出直线的方程即可. 【详解】当弦长最短时，该弦所在直线与过点(1,2)的直径垂直， 圆229x y +=的圆心为(0,0)，所以过点(1,2)的直径的斜率为20210-=-， 故所求直线为12-，所求直线方程为12(1)2y x ，即250x y +-=. 故选：A . 【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是明确当弦与圆的直径垂直时，弦长最短，考查逻辑思维能力，属于常考题.11．B解析：B 【分析】将3y =22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有2个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解. 【详解】由3y =22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，所以直线y x b =+与半圆22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)有2个公共点，作出直线与半圆的图形，如图：当直线经y x b =+过点(4,3)时，341b =-=-， 当直线与圆22(2)(3)4-+-=x y 211=+，解得122b =-或122b =+由图可知，当直线y x b =+与曲线234y x x =-2个公共点时，1221b -<≤-，故选：B 【点睛】关键点点睛：作出直线与半圆的图形，利用切线的斜率表示b 的范围是解题关键.12．C解析：C 【分析】求出A 关于y 4x +=的对称点A ',根据题意，1A C '-为最短距离，求出即可. 【详解】设点A 关于4x y +=的对称点(,)A a b '，设军营所在区域为的圆心为C ,根据题意，1A C '-为最短距离，∴AA '的中点为43,22a b +-⎛⎫⎪⎝⎭，，直线'AA 的斜率为1, ∴434,22,31,4a b b a +-⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩解得：7,0a b ==, ∴1716A C '-=-=，故选: C. 【点睛】本题考查点关于直线对称，点与圆心的距离，考查运算求解能力，求解时注意对称性的应用.二、填空题13．【分析】利用点到直线距离公式可求得点A到直线的距离即为直线上点到点A距离的最小值【详解】根据点到直线的距离公式可得结合图像点到直线的距离为即直线上一动点到的距离的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛解析：45【分析】利用点到直线距离公式，可求得点A到直线的距离，即为直线上点到点A距离的最小值.【详解】根据点到直线的距离公式可得，结合图像点()3,0A到直线3450x y+-=的距离为2233054534⨯+-==+d，即直线3450x y+-=上一动点P到()3,0A的距离的最小值为45，故答案为：45．【点睛】关键点点睛：本题考查了点到直线距离公式的应用，解题的关键是分析题意，结合图像将直线上动点P到点A的距离的最小值转化为点A到直线的距离，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于基础题.14．【分析】根据题意设直线的方程是代入点求得的值即可求解【详解】由题意所求直线垂直于直线设直线的方程是又由直线过点代入可得解得故的方程是【点睛】与直线平行的直线方程可；与直线垂直的直线方程可解析：3270x y-+=【分析】根据题意，设直线l的方程是320x y c-+=，代入点(1,2)P -，求得c的值，即可求解.【详解】由题意，所求直线l垂直于直线2310x y，设直线l的方程是320x y c-+=，又由直线l过点(1,2)P-，代入可得340c--+=，解得7c=，故l的方程是3270x y-+=.【点睛】与直线220(0)Ax By C A B ++=+≠平行的直线方程可0()Ax By n n c ++=≠；与直线220(0)Ax By C A B ++=+≠垂直的直线方程可0Bx Ay M -+=。

上海市西中学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测卷(有答案解析)

上海市西中学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．如果实数x 、y 满足22640x y x +-+=，那么y x 的最大值是（ ）A ．23BC ．3D 2．一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则AC BC +的最小值为（ ）A．B ．C ．D ．3．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ）A ．5270x y -+=B ．310x y +-=C ．3240x y -+=D ．230x y --= 4．夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆的最大面积等于（ ） A ．2π B ．4π C ．8π D ．12π5．已知1122(,),(,)A x y B x y 是不同的两点，点(cos ,sin )C θθ，且11,33OA OC OB OC ⋅=⋅=，则直线AB 与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能6．已知0a >，0b >，直线1l ：()410x a y +-+=，2l ：220bx y +-=，且12l l ⊥，则1112a b++的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．23 D ．457．已知圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>，若圆C 上至少有3个点到直线20x y ++=，则实数r 的取值范围为（ ）A ．(0,B ．C ．)+∞D ．+∞[) 8．直线0x ay a +-=与直线(23)10ax a y ---=互相垂直，则a 的值为（ ） A ．2 B ．－3或1 C ．2或0 D ．1或0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案9．已知直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，则k 的值是（ ）A ．1或0B ．5C ．0或5D ．1或510．已知11(,)P x y 是直线1:(,)0l f x y =上一点，22(,)Q x y 是l 外一点，则方程(,)f x y =1122(,)(,)f x y f x y +表示的直线（ ）A ．与l 重合B ．与l 交于点PC ．过Q 与l 平行D ．过Q 与l 相交 11．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点()20A ，处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A 1B ．1C ．D12．设点()0,1M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ︒∠=，则0x 的取值范围是（ ）A ．[0,1]B ．[1,1]-C ．22⎡-⎢⎣⎦D ．2⎡⎢⎣⎦二、填空题13．光线沿直线30x y -+=入射到直线220x y -+= 后反射，则反射光线所在直线的方程为___________________.14．已知直线3x ＋4y -12＝0与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 在圆x 2＋y 2-10x -12y ＋52＝0上移动，则△ABC 面积的最大值和最小值之差为________.15．已知圆C 的方程是2220x y y +-=，圆心为点C ，直线:20λλ+-=l x y 与圆C 交于A 、B 两点，当ABC 面积最大时，λ=______．16．过点()3,1的直线分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则AOB （O 为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________.17．直线()130m x my m ++++=被圆2225x y +=所截的弦长的最小值为________.18．已知直线y x b =+与曲线x =恰有两个交点，则实数b 的取值范围为______. 19．已知直线1:350l x y +-=，2:310l kx y -+=．若1l ，2l 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k =________．20．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A ，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是________．三、解答题21．已知直线l 经过点(2,5)P -，l 的一个方向向量为(4,3)d =-.（1）求直线l 的方程；（2）若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程.22．以点1(),C m m为圆心的圆与x 轴相交于点O ，A ，与y 轴相交于点,O B （O 为坐标原点）. （1）求证OAB 的面积为定值，并求出这个定值；（2）设直线23y x =-+与圆C 相交于点,P Q ，且||||OP OQ =，求圆C 的方程. 23．已知||1t ≤，直线1:10l tx y -+=和直线2:10l x ty ++=相交于点P ，1l 和y 轴交于点A ，2l 和x 轴交于点B ．（1）判断1l 与2l 的位置关系，并用t 表示点P 的坐标；（2）求||OP 的长度的取值范围，并指出取最值时点P 的位置．24．已知在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线l ：24y x =-.圆C 的半径为1，圆心C 在直线l 上.（1）若直线34120x y +-=与圆C 相切，求圆C 的标准方程；（2）已知动点(),M x y ，满足2=MA MO ，说明M 的轨迹是什么？若点M 同时在圆C 上，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.25．已知关于x ，y 的方程22:240C x y x y m +--+=．（1）若圆C 与圆22812360x y x y +--+=外切，求m 的值；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且5||5MN =，求m 的值． 26．已知直线l ：240x y +-=，圆C 的圆心在x 2，且圆心C 到直线l 65. （1）求圆C 的方程；（2）直线l 上是否存在一点Q 作圆C 的两条切线，切点分别为,M N 直线MN 恒过定点，并求定点坐标.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】 本题首先可求出圆的圆心与半径，然后将y x 看作圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率，并结合图像得出当过原点的直线与圆相切时斜率最大，最后根据直线与圆相切即可得出结果.【详解】 22640x y x +-+=，即()2235x y -+=，圆心为()3,0，半径为5， y x的几何意义是圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率， 如图，结合题意绘出图像：结合图像易知，当过原点的直线与圆相切时，斜率最大，即y x 最大， 令此时直线的倾斜角为α，则5tan 2α=，y x 5， 故选：D.【点睛】 关键点点睛：本题考查直线的斜率的几何意义的应用，考查直线与圆相切的相关性质，能否将y x看作点(),x y 与()0,0连线的斜率是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题. 2．C解析：C【分析】做出圆22(3)(2)2x y ++-=关于x 轴的对称圆，进而根据图形得AC BC AP r+≥-即可求解.【详解】解：如图，圆22(3)(2)1x y ++-=的圆心()3,2-， 其关于x 轴的对称圆的圆心为()3,2P --，由图得AC BC AP r +≥-52242=-=.故选：C.【点睛】解题的关键在于求圆关于x 轴的对称圆圆心P ，进而将问题转化AC BC AP r +≥-求解.3．A解析：A【分析】根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求方程即可.【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径，则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ，则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，由两点是方程得''A D 直线方程为：436413y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.4．B解析：B【分析】夹在两平行直线之间的面积最大的圆与这两条直线都相切，求出直径即可得到面积【详解】两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的距离：204916d ==+，夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆半径最大值为2， 所以该圆的面积为4π.故选：B【点睛】此题考查求两条平行直线之间的距离，关键在于熟记距离公式正确求解.5．C解析：C【分析】根据题意，可知直线BC 与OC 垂直，且点O 到直线AB 的距离为13，与圆的半径比较大小得到直线与圆的位置关系.因为(cos ,sin )C θθ，所以点C 在圆221x y +=上， 根据圆的对称性，可知C 点取圆上的任意点都可以，不妨设(1,0)C ， 因为11,33OA OC OB OC ⋅=⋅=，所以,OA OB 在OC 上的投影均为13，如图所示：所以有直线AB 与OC 垂直，且O 到直线AB 的距离为113<， 所以直线AB 与圆221x y +=的位置关系是相交，故选：C.【点睛】 思路点睛：该题所考查的是有关直线与圆的位置关系的判定，在解题的过程中注意： （1）判断直线与圆的位置关系的关键点是圆心到直线的距离与半径的关系；（2）根据向量数量积的定义式，求得线之间的关系，从而判断出结果.6．D解析：D【分析】根据12l l ⊥得到125a b ++=，再将1112a b++化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为12l l ⊥，所以240b a +-=，即125a b ++=，因为0,0a b >>，所以10,20a b +>>， 所以1112a b ++=1112a b ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()1125a b ⨯++1212512b a a b +⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭1214225125b a a b ⎛+≥+⋅= +⎝， 当且仅当35,24a b ==时，等号成立.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方7．D解析：D【分析】根据题意，得到直线不过圆心，且求得圆心到直线的距离，结合题中条件，得到实数r 的取值范围.【详解】圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>的圆心(1,1)到直线20x y ++=为：d ==，且直线20x y ++=不过圆心，若圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>上至少有3个点到直线20x y ++=，则有r ≥=所以实数r 的取值范围为+∞[)，故选：D.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关直线与圆的相关问题，解决该题的思路如下：（1）求得圆心到直线的距离，并且发现直线不过圆心；（2）结合题中条件，得到r 的取值范围. 8．C解析：C【分析】先考虑其中一条直线的斜率不存在时（0a =和32a =）是否满足，再考虑两直线的斜率都存在，此时根据垂直对应的直线一般式方程的系数之间的关系可求解出a 的值.【详解】 当0a =时，直线为：10,3x y ==，满足条件； 当32a =时，直线为：3320,223x y x +-==，显然两直线不垂直，不满足；当0a ≠且32a ≠时，因为两直线垂直，所以()230a a a --=，解得2a =， 综上：0a =或2a =.故选C.【点睛】根据两直线的垂直关系求解参数时，要注意到其中一条直线斜率不存在另一条直线的斜率为零的情况，若两直线对应的斜率都存在可通过121k k 去计算参数的值.9．C解析：C【分析】由两直线平行得出()224k k k -=-，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证.【详解】解:直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，()224k k k ∴-=-，整理得()50k k -=，解得0k =或5.当0k =时，直线11:4l y =-，23:2l y =，两直线平行； 当5k =时，直线1:510l x y -+=，23:502l x y -+=，两直线平行. 因此，0k =或5.故选:C.【点睛】 方法点睛:本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证.(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A1、A2、B1、B2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②2112210A A l B B l +⇔=⊥；10．C解析：C【分析】由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论．【详解】解：由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =即(f x ，2)(y f x -，2)0y =，它与直线:(,)0l f x y =的一次项系数相等，但常数项不相等，故(f x ，2)(y f x -，2)0y =表示过Q 点且与l 平行的直线，故选：C ．【点睛】根据平行直线系方程，即两直线方程10Ax By C ++=与20Ax By C ++=互相平行. 11．B解析：B【分析】先求出点A 关于直线4x y +=的对称点'A ，点'A 到圆心的距离减去半径即为最短．【详解】解：设点A 关于直线4x y +=的对称点(,)A a b '，'2AA b k a =-， AA '的中点为2,22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，故122422b a a b ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得4a =，2b =， 要使从点A 到军营总路程最短，即为点f A 到军营最短的距离，即为点'A 和圆上的点连线的最小值，为点'A 和圆心的距离减半径，“将军饮马”的最短总路程为4161251+-=-，故选：B【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．12．B解析：B 【分析】首先根据题中条件，可以判断出直线MN 与圆O 有公共点即可，从而可以断定圆心O 到直线MN 的距离小于等于半径，列出对应的不等关系式，求得结果. 【详解】依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可， 即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ， 在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=， 故02sin 452OA OM ==1≤， 所以2OM ≤2012x +≤，解得011x -≤≤．故选：B. 【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，解直角三角形，属于简单题目.二、填空题13．【分析】求得直线与直线的交点的坐标然后求出直线上的点关于直线的对称点的坐标进而可求得直线的方程即为反射光线所在直线的方程【详解】联立解得则直线与直线的交点为设直线上的点关于直线的对称点为线段的中点在 解析：730x y --=【分析】求得直线30x y -+=与直线220x y -+=的交点A 的坐标，然后求出直线30x y -+=上的点()3,0B -关于直线220x y -+=的对称点C 的坐标，进而可求得直线AC 的方程，即为反射光线所在直线的方程. 【详解】联立30220x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩，则直线30x y -+=与直线220x y -+=的交点为()1,4A .设直线30x y -+=上的点()3,0B -关于直线220x y -+=的对称点为(),C a b ， 线段BC 的中点3(,)22a b M -在直线220x y -+=上，则322022a b-⨯-+=，整理得220a b --=.直线220x y -+=的斜率为2，直线BC 与直线220x y -+=垂直，则213ba ⋅=-+，整理得230ab ++=.所以，220230a b a b --=⎧⎨++=⎩，解得1585a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点1(,55)8C -.所以，反射光线所在直线的斜率为8457115ACk +==-， 因此，反射光线所在直线的方程为()471y x -=-，即730x y --=. 故答案为：730x y --=. 【点睛】运用点关于直线的对称点的坐标的求解是解题关键.14．15【分析】根据直线3x ＋4y-12＝0可求得的坐标及利用圆心到直线的距离求出点C 到直线的距离的最小值和最大值利用面积公式可求得结果【详解】令得令得所以A （40）点B （03）∴|AB|＝5由x2＋y解析：15 【分析】根据直线3x ＋4y -12＝0可求得,A B 的坐标及||AB ，利用圆心到直线的距离求出点C 到直线AB 的距离的最小值和最大值，利用面积公式可求得结果. 【详解】令0y =得4x =，令0x =得3y =，所以A （4，0），点B （0，3）， ∴|AB |＝5，由x 2＋y 2-10x -12y ＋52＝0得22(5)(6)9x y -+-=， 所以圆的半径为3，圆心为(5,6)， 圆心(5,6)到直线AB的距离d ==275，所以点C 到直线AB 的距离的最小值为2712355-=，最大值为2742355+=， 所以ABC S的最大值为14252125⨯⨯=，最小值为1125625⨯⨯=， 所以△ABC 面积的最大值和最小值之差为21615-=. 故答案为：15 【点睛】关键点点睛：利用圆心到直线的距离求出点C 到直线AB 的距离的最小值和最大值是解题关键.15．或【分析】由三角形面积公式知当面积最大时即为等腰直角三角形再利用点到直线的距离公式和半径的关系可得答案【详解】圆C 的方程即圆心半径由面积公式知当时面积最大即为等腰直角三角形此时圆心C 到直线的距离为则解析：1λ=或17λ=. 【分析】由三角形面积公式in 12s S ab C =知，当ABC 面积最大时，90ACB ∠=，即ABC 为等腰直角三角形，再利用点到直线的距离公式和半径的关系可得答案. 【详解】圆C 的方程即22(1)1x y +=-，圆心(0,1)C ，半径1R =，由面积公式21sin 2ABCSR ACB =∠知，当90ACB ∠=时面积最大， 即ABC 为等腰直角三角形，此时圆心C 到直线:20λλ+-=l x y 的距离为d =1==，解得1λ=或17λ=，故答案为：1λ=或17λ=. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系及求三角形面积最大值的问题.16．【分析】设直线的方程为求出点的坐标结合已知条件求出的取值范围然后求出的面积关于的表达式利用基本不等式可求出面积的最小值利用等号成立求出的值即可得出所求直线的方程【详解】易知直线的斜率存在且不为零设直 解析：360x y +-=【分析】设直线AB 的方程为()13y k x -=-，求出点A 、B 的坐标，结合已知条件求出k 的取值范围，然后求出AOB 的面积关于k 的表达式，利用基本不等式可求出AOB 面积的最小值，利用等号成立求出k 的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】易知直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的方程为()13y k x -=-，即13y kx k =+-.在直线AB 的方程中，令0x =，可得13=-y k ；令0y =，可得31k x k-=. 所以，点31,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,13B k -. 由已知条件可得310130k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <.OAB 的面积为()131111136966222k S k k k k ⎡-⎛⎫=⨯-⨯=--≥⨯+=⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣.当且仅当()190k k k-=-<时，即当13k =-时，等号成立，所以，直线AB 的方程为123y x =-+，即360x y +-=. 故答案为：360x y +-=. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将三角形的面积利用斜率k 有关的代数式表示，并结合基本不等式求出三角形面积的最小值，同时不要忽略了斜率k 的取值范围的求解.17．【分析】转化条件为直线过结合垂径定理可得当直线与直线垂直时弦长最小即可得解【详解】直线可变为由可得所以直线过定点又圆的圆心为半径所以点在圆内所以当直线与直线垂直时弦长最小此时弦长为故答案为：【点睛】 解析：【分析】转化条件为直线过()3,2A -，结合垂径定理可得当直线AO 与直线()130m x my m ++++=垂直时，弦长最小，即可得解.【详解】直线()130m x my m ++++=可变为()130x y m x ++++=， 由1030x y x ++=⎧⎨+=⎩可得32x y =-⎧⎨=⎩，所以直线()130m x my m ++++=过定点()3,2A -，又圆2225x y +=的圆心为()0,0O ，半径=5r ， 所以213AO =，点()3,2A -在圆内，所以当直线AO 与直线()130m x my m ++++=垂直时，弦长最小， 此时弦长为2222251343r AO -=-=.故答案为：43. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是找到直线经过的定点，再利用几何法转化出弦长.18．【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆进而画出曲线来要使直线与曲线恰有两个交点可以通过数形结合分析得解【详解】曲线有即表示一个半圆（单位圆左半部分）如图当直线经过点点时求得；当直线和半圆相切时由圆心到直 解析：)1,2⎡⎣【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆，进而画出曲线来，要使直线与曲线恰有两个交点，可以通过数形结合分析得解. 【详解】曲线2x 1y =--有即221x y +=(0)x ，表示一个半圆（单位圆左半部分）．如图，(0,1)A 、(1,0)B -、(0,1)C -，当直线y x b =+经过点B 、点A 时，01b =-+，求得1b =； 当直线y x b =+和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得12=，求得2b =，或2b =-（舍去），故要求的实数b 的范围为12b <， 故答案为：)1,2⎡⎣【点睛】易错点睛：本题在把方程2x 1y =--化简找其对应的曲线时，容易漏掉0x ≤，从而把曲线的范围扩大为整个单位圆，导致结果出错.在把方程转化时，一定要注意变量范围的等价性.19．【分析】由l1l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆可得此四边形存在一组对角的和等于180°当直线l2的斜率大于零时根据l1⊥l2由此求得k 的值当直线l2的斜率小于零时应有∠ABC 与∠ADC 互补即t 解析：1k =±【分析】由l 1，l 2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，可得此四边形存在一组对角的和等于180°．当直线l 2的斜率大于零时，根据l 1⊥l 2 ，由此求得k 的值．当直线l 2的斜率小于零时，应有∠ABC 与∠ADC 互补，即tan ∠ABC ＝﹣tan ∠ADC ，由此又求得一个k 值，综合可得结论． 【详解】由题意知，l 1，l 2与两坐标轴围成的四边形有一组对角互补．由于直线l 1：x +3y ﹣5＝0是一条斜率等于13-的固定直线，直线l 2：3kx ﹣y +1＝0经过定点A （0，1），当直线l 2的斜率大于零时，应有l 1⊥l 2 ，∴3 k ×（13-）＝﹣1，解得 k ＝1．当直线l 2的斜率小于零时，如图所示：设直线l 1与y 轴的交点为B ，与x 轴的交点为C ，l 2 与x 轴的交点为D ，要使四边形ABCD 是圆内接四边形，应有∠ABC 与∠ADC 互补，即tan ∠ABC ＝﹣tan ∠ADC ．再由tan （90°+∠ABC ）＝K BC 13=-，可得tan ∠ABC ＝3，∴tan ∠ADC ＝﹣3＝K AD ＝3k ，解得 k ＝﹣1．综上可得，k ＝1或 k ＝﹣1， 故答案为±1．【点睛】本题考查两条直线垂直的条件，直线的倾斜角、斜率间的关系，存在一组对角的和等于180°的四边形一定有外接圆，属于基础题．20．【分析】将问题转化为以为圆心为半径的圆为圆与圆相交问题再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案【详解】解：根据题意设以为圆心为半径的圆为圆所以圆圆心为半径为则两圆圆心距为：因为圆O 上存在两点到A 的距离为 解析：()3,7【分析】将问题转化为以(3,4)A 为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案. 【详解】解：根据题意设以(3,4)A 为圆心，2为半径的圆为圆A ， 所以圆222:()0O x y r r +=>，圆心为()0,0O ，半径为r ，则两圆圆心距为：5OA =， 因为圆O 上存在两点到A 的距离为2， 所以圆O 与圆A 相交，所以252r r -<<+，解得：37r <<. 所以r 的取值范围是：()3,7. 故答案为：()3,7 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查回归转化思想，是中档题.三、解答题21．（1）34140x y +-=；（2）3410x y ++=或34290x y +-=. 【分析】（1）利用l 的方向向量，求出直线l 的斜率，代入点斜式方程求出直线l 的方程； （2）根据（1）设直线m 的方程为340x y c ++=，将点到直线的距离转化为平行线间的距离求c ，从而求出直线m 的方程. 【详解】（1）由l 的一个方向向量为(4,3)d =-，即直线l 的斜率34k =- 由点斜式方程得：35(2)4y x -=-+，即34140x y +-=. 所以直线l 的方程为：34140x y +-=（2）因为直线m 与l 平行，则可设m 的方程为340x y c ++=，由平行线间的距离公式得，|14|35c +=，解得：1c =或29-. 所以直线m 的方程为：3410x y ++=或34290x y +-=.【点睛】结论点睛：本题主要考查两直线的位置关系与斜率的关系，常用结论：在斜率存时， （1）1212//l l k k ⇔= （121221//0l l A B A B ⇔-=）；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-（1212120l l A A B B ⊥⇔⋅+⋅=），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.22．（1）证明见解析；定值为2；（2）225((22x y -+-=. 【分析】（1）由题可得出圆的方程，即可得出,A B 坐标，进而可求出面积； （2）由题可得OC PQ ⊥，利用斜率可求出m . 【详解】解：（1）由已知圆的半径r OC ==， 故圆C 的方程为222211()()x m y m m m-+-=+， 即22220x y mx y m +--=， ∴(2,0)A m ，2(0,)B m， ∴112||||2222OABSOA OB m m=⋅=⨯⋅=， ∴OAB 的面积为定值2.（2）∵||||OP OQ =，||||CP CQ =，∴OC PQ ⊥，而2PQ k =-，∴2112OC k m==，∴m =∴圆C 的方程为225((22x y +-=或225(()22x y +++=当圆C 为225((2x y ++=时，圆心到直线23y x =-+的距离|3|352d --==>， 此时直线与圆相离，故舍去.∴圆C 的方程为225((22x y +-=. 【点睛】关键点睛：本题考查圆中三角形面积的定值问题以及求圆的标准方程，解题的关键是将点A ，B 都用m 表示出来，根据||||OP OQ =得出OC PQ ⊥.23．（1）垂直，2211,11t t P t t ---+⎛⎫⎪++⎝⎭；（2），最小时(1,0)P -或(0,1)P ，最大时(1,1)P -．【分析】（1）可得0t =时，显然12l l ⊥，0t ≠时，由121k k =-可得12l l ⊥；联立直线方程可求得P 的坐标； （2）可得2221O t P =+，由||1t ≤即可求得取值范围. 【详解】（1）当0t =时，1:1l y =，2:1l x =-，显然12l l ⊥， 当0t ≠时，121,k t k t==-，则121k k =-，则12l l ⊥， 综上，12l l ⊥， 联立直线方程1010tx y x ty -+=⎧⎨++=⎩，解得2211,11t t x y t t ---+==++， 2211,11t t P t t ---+⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭；（2）由（1）知222222112111t t t O t t P ---+⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭=， 1t ≤，201t ∴≤≤，则2112t ≤+≤，则22121t ≤≤+，即[]21,2OP ∈，则OP ⎡∈⎣，当21t =时，即1t =±时，OP 取得最小值为1，此时(1,0)P -或(0,1)P ，当20t =时，即0t =时，OP ，此时(1,1)P -. 【点睛】关键点睛：本题考查直线位置关系的判断以及取值范围的求解，解题的关键是联立直线方程求出点P 坐标，将||OP 化成关于t 的式子2221O t P =+即可求解. 24．(1) 22(3)(2)1x y -+-=或22232()()11111x y -+-=（2）120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1）设圆心C 为（a ，2a -4)，利用直线与圆相切，求解a ，得到圆心坐标，求出圆的方程. (2)由2=MA MO ，求出动点M 的轨迹方程，说明轨迹，通过点M 同时在圆C 上，说明圆C 与圆D 有公共点，利用两个圆的位置关系，转化求解圆心C 的横坐标a 的取值范围即可． 【详解】（1）因为圆心C在直线l上，所以圆心C可设为(a，2a-4)，|1128|15a-==，即|1128|5a-=，所以11285a-=±，解得3a=或2311a=，所以圆心C的坐标为(3，2)或232,1111⎛⎫⎪⎝⎭,所以圆C的标准方程为22(3)(2)1x y-+-=或22232()()11111x y-+-=(2) 由2=MA MO,=化简得：22230x y y++-=，即22(1)4x y++=，所以动点M的轨迹是以D (0，-1)为圆心，半径是2的圆，若点M同时在圆C上，则圆C与圆D有公共点，则21||21CD-≤≤+，即1 3.≤≤整理得：2251280,5120a aa a⎧-+≥⎨-≤⎩解得125a≤≤，所以圆心C的横坐标a的取值范围为[0，125].【点睛】关键点点睛：判断两圆位置关系式，只需求出两圆圆心的距离，比较与两圆半径的关系即可，本题根据两圆有公共点可得21||21CD-≤≤+，解不等式即可求解,属于中档题. 25．（1）4；（2）4.【分析】（1）利用圆心距等于半径之和求参数；（2）求出圆心C到直线l的距离d，由勾股定理列出关于m的方程解之可得．【详解】（1）把圆22812360x y x y+--+=，化为标准方程得22(4)(6)16x y-+-=，所以圆心坐标为()4,6，半径为4R=，则两圆心间的距离5d==，因为两圆的位置关系是外切，所以d R r =+，即45=，解得4m =，故m 的值为4；（2）因为圆心C 的坐标为()1,2，所以圆心C 到直线l 的距离5d ==，所以222221()()(255MN d =+=+， 即51m -=，解得4m =，故m 的值为4．【点睛】方法点睛：本题考查两圆位置关系，求直线与圆相交弦长．求弦长方法：（1）代数法，求出直线与圆交点坐标，由两点间距离公式计算；（2）几何法：求出圆心到弦所在直线的距离d ，由勾股定理求得弦长l =26．（1）22(2)2++=x y ；（2）存在，52,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）直接利用圆心到直线的距离公式求解即可；（2）先假设存在，写出以QC 为直径的圆的方程，两圆相减得到公共弦MN 的方程， 再求出定点即可.【详解】解：（1）依题意知：圆心(,0)(0)C a a <，5=， 解得：2a =-或10a =，0a <，2a ∴=-，即圆的方程为22(2)2++=x y ；（2）设存在(2,2)-Q t t ，则,,,M N Q C 四点共圆，即以QC 为直径的圆的方程为：(2)(2)(2)0x x t y y t +-+-+=，即22(22)(2)40++-+--=x y t x t y t ① 22420x y x +++=②由①-②得：直线MN 的方程为：(22)(2)240+--++=t x t y t ，即(24)2220t x y x y -++++=，令240 2220x yx y-+=⎧⎨++=⎩，解得：5323xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线MN恒过定点的坐标为52 (,)33 -.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到,,,M N Q C四点共圆，写出以QC为直径的圆的方程，利用两圆方程相减得到公共弦方程.。

上海奉贤区教师进修学院附属实验中学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测(含答案解析)

上海奉贤区教师进修学院附属实验中学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测(含答案解析)

一、选择题1．下列命题中，正确的是（ ）A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．若直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率k 的取值范围是(,[1,)-∞⋃+∞ D ．当直线的倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，直线的斜率在这个区间上单调递增. 2．若平面上两点()2,0A -，()10B ,，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．与实数k 的取值有关3．如果实数x 、y 满足22640x y x +-+=，那么yx的最大值是（ ）A ．23B C D 4．若P 是直线l ：3490x y +-=上一动点，过P 作圆C ：2240x y x ++=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A B ．C D ．5．圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0被直线l ：ax ＋y －1－2a ＝0截得的弦长取得最小值时，此时a 的值为（ ） A ．3B ．－3C ．13D ．－136．已知圆()221:24C x a y ++=与圆()22:1C x y b +-=有且仅有1条公切线，则2211a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．97．直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（ ） A ．9B ．4C ．12D ．148．已知圆C ：()()22232++-=x y ，从点()1,3P 发出的光线，经直线1y x =+反射后，光线恰好平分圆C 的周长，则入射光线所在直线的斜率为（ ） A ．2-B ．12-C ．4-D ．14-9．直线210y x -+=关于30y x -+=对称的直线方程是（ ） A ．280x y --=B ．2100x y --=C ．2120x y +-=D ．2100x y +-=10．若直线y x b =+与曲线3y =2个公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．[1-+B ．(11]--C ．[3,1+D ．[1,3]-11．若过点(2,1)P 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y -+=的距离是（ ）A B C D 12．曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是（ ） A ．74y x =+B ．72y x =+C ．4y x =-D ．2y x =-二、填空题13．已知直线l 经过点(2,1)，且和直线30x --=的夹角等于30，则直线l 的方程是_________．14．已知直线l 经过点(1,2)P -，且垂直于直线2310x y ，则直线l 的方程是________.15．三条直线10x y ++=，280x y -+=，350ax y +-=不能围成三角形，则a 的取值集合是__________．16．已知圆C ：()2234x y -+=，线段MN 在直线211y x =-+上运动，点P 是线段MN 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA PB ⊥，则线段MN 长度的最大值是___________．17．过点(3,5)A 作圆2248800x y x y +---=的最短弦，则这条弦所在直线的方程是__.18．已知直线3y ax =+与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点()00,P x y 在直线2y x =上，且PA PB =，则0x 的取值范围为______．19．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A ，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是________．20．若实数,a b ∈R 且0b ≠，则()221a b a b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的最小值为_______. 三、解答题21．已知圆222:(2)(2)(0)M x y r r +++=>过点()3,3T --，圆M 关于直线20x y ++=对称的圆为圆C ，设P 点为T 点关于20x y ++=的对称点．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 分别与x 轴的交点分别为E ，F ，若PEF 是以P 为顶点的等腰三角形，O 为坐标原点，试判断直线OP和AB 是否平行，并说明理由．22．已知ABC 的顶点(5,1)A ，直线BC 的方程为6590x y AB --=，边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=． （1）求顶点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在直线方程．23．已知点A (8，0)，点B (4，0)，动点M (x ，y )满足：|MA |MB |. （1）求点M 的轨迹方程；（2）点P (0，6)，在直线OP (O 为坐标原点)上存在定点E (不同于点P )，满足对于圆M 上任意一点N ，都有NENP为常数，试求所有满足条件的点E 的坐标.24．过圆外一点(0,3)P 作圆()2224x y -+=的两条切线分别与圆交于,A B 两点 （1）求切线,PA PB 的方程； （2）求直线AB 的方程.25．已知圆C ：22420x y x +-+=. （1）求圆心C 的坐标和半径.（2）已知过点()1,3P 的直线l 交圆C 于,A B 两点，且2AB =，求直线l 的方程. 26．已知点E 与两个定点1,0A ，()4,0B 的距离的比为12. （1）记点E 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的轨迹方程.（2）过点()2,3G 作两条与曲线C 相切的直线，切点分别为M ，N ，求直线MN 的方程.（3）若与直线1:l y x =-垂直的直线l 与曲线C 交于不同的两点P ，Q ，若POQ ∠为钝角，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据直线斜率与倾斜角存在的关系tan k α=对每个选项逐一分析，需要注意直线有倾斜角但不一定有斜率. 【详解】倾斜角的范围为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k <，故A 错误；直线的倾斜角=2πα时，直线斜率不存在，故B 错误；直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率tan k α=的范围为(,[1,)-∞⋃+∞，故C 正确；斜率tan k α=在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭和2,23ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，故D 错误. 故选：C. 【点睛】关于直线的倾斜角与直线斜率之间的关系需要注意： （1）当直线倾斜角为=2πα时，直线的斜率不存在；（2）倾斜角的范围为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，直线斜率随着倾斜角增大而增大；倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，直线斜率0k <，直线斜率随着倾斜角增大而增大； （3）利用倾斜角的范围研究斜率的范围，或者利用斜率的范围研究倾斜角的范围，需要利用函数tan k α=分析定义域与值域的关系.2．C解析：C 【分析】首先利用直接法求点P 的轨迹方程，则转化为直线()1y k x =-与轨迹曲线的交点个数. 【详解】 设(),P x y ，2PA PB =，=整理为：()22224024x y x x y +-=⇔-+=， 即点P 的轨迹是以()2,0为圆心，2r为半径的圆，直线():1l y k x =-是经过定点()1,0，斜率存在的直线，点()1,0在圆的内部，所以直线():1l y k x =-与圆有2个交点，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为2个. 故选：C 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.3．D解析：D 【分析】本题首先可求出圆的圆心与半径，然后将yx看作圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率，并结合图像得出当过原点的直线与圆相切时斜率最大，最后根据直线与圆相切即可得出结果. 【详解】22640x y x +-+=，即()2235x y -+=，圆心为()3,0，半径为5，yx的几何意义是圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率， 如图，结合题意绘出图像：结合图像易知，当过原点的直线与圆相切时，斜率最大，即yx最大， 令此时直线的倾斜角为α，则5tan α=，y x 5，故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线的斜率的几何意义的应用，考查直线与圆相切的相关性质，能否将yx看作点(),x y 与()0,0连线的斜率是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.4．B解析：B 【分析】画出图象，根据对称性可得四边形PACB 面积2PACS S=，利用勾股定理可得22PA PC AC =-PC 最小时，PA 最小，面积最小，根据点到直线距离公式，即可求得答案. 【详解】圆C ：22(2)4x y ++=，圆心为（-2，0）半径2AC r ==，画出图象，如图所示：因为直线与圆相切，所以90PAC PBC ∠=∠=︒，且PAC PBC ≌ 所以四边形PACB 面积12222PACS S AC PA PA ==⨯⨯⨯=，又2224PA PC AC PC =-=-所以当PC 最小时，PA 最小，四边形PACB 面积的最小值， 由图象可得，PC 最小值即为点C 到直线3490x y +-=的距离， 所以min 223(2)9334PC ⨯--==+，所以min 945PA =-所以四边形PACB 面积的最小值225S PA == 故选：B 【点睛】解题的关键是画出图象，根据几何关系，得到PC 最小时，面积最小，再求解，将动点问题转化为点到直线距离问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.5．C解析：C 【分析】先判断直线l 恒过点(2,1)P ，可得直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短，利用直线垂直的性质可得答案. 【详解】直线:120+--=l ax y a 可化为:(2)(1)0-+-=l a x y ， 故直线l 恒过点(2,1)P .圆22:6890+--+=C x y x y 的圆心为(3,4)C ，半径为4. 当直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短， 因为直线PC 的斜率41332PC k -==-， ax ＋y －1－2a ＝0的斜率为a -，此时1313PC l k k a a ⋅=-=-⇒=.故选：C . 【点睛】方法点睛：判断直线过定点主要形式有： （1）斜截式，0y kx y =+，直线过定点()00,y ； （2）点斜式()00,y y k x x -=-直线过定点()00,x y ； （3）化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 求解.6．D解析：D 【分析】由题意可知，圆2C 内切于圆1C ，由题意可得出2241a b +=，然后将代数式2211a b+与224a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b+的最小值. 【详解】圆()221:24C x a y ++=的圆心为()12,0C a -，半径为12r =，圆()22:1C x y b +-=的圆心为()20,C b ，半径为21r =，由于两圆有且仅有1条公切线，则圆2C 内切于圆1C ， 所以22121241C C a b r r =+=-=，可得2241a b +=，()2222222222222211114445529b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=∴++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当222b a =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为9. 故选：D. 【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r .（1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含；（2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切；（3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交； （4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切； （5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.7．D解析：D 【分析】根据弦长可知直线过圆心，再利用基本不等式求ab 的最大值. 【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=， 故该圆圆心为(1,2)-，半径为3. 因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相交，基本不等式求最值，本题的关键是根据弦长判断直线过圆心，这样问题就变得简单易求.8．C解析：C 【分析】根据光路可逆，易知圆心()2,3C -关于直线1y x =+的对称点M ，在入射光线上，由此可求得结果. 【详解】圆C ：()()22232++-=x y ，圆心为()2,3C -，由已知，反射光线经过()2,3C -，故C 点关于直线1y x =+的对称点M 在入射光线上．设(),M a b ，则31232122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，即()2,1M -，且光源()1,3P ，所以入射光线的斜率13421k --==--， 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：（1）由光线恰好平分圆C 的周长，得出所在直线经过圆心； （2）入（反）射光线关于反射面的对称直线即为反（入）射光线.9．A解析：A【分析】设所求直线上任意一点()()11,,,P x y Q x y 是P 关于直线30y x -+=的对称点，根据对称关系求得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩,代入直线210y x -+=的方程整理即得所求. 【详解】解：设所求直线上任意一点()()11,,,P x y Q x y 是P 关于直线30y x -+=的对称点，则111113022y y x x y y x x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪-+=⎪⎩，解得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩, 由对称性得Q 在直线210y x -+=上，()()23310x y ∴--++=, 即280x y --=, 故选：A. 【点睛】根据“一垂直二中点”列出方程组，求得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩是解决问题的关键，利用轨迹方程思想方法求直线的方程也是重要的思想之一.10．B解析：B 【分析】将234y x x =--化为22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有2个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解. 【详解】由234y x x =--得22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，所以直线y x b =+与半圆22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)有2个公共点，作出直线与半圆的图形，如图：当直线经y x b =+过点(4,3)时，341b =-=-，当直线与圆22(2)(3)4-+-=x y 2=，解得1b =-或1b =+由图可知，当直线y x b =+与曲线3y =2个公共点时，11b -<≤-，故选：B 【点睛】关键点点睛：作出直线与半圆的图形，利用切线的斜率表示b 的范围是解题关键.11．C解析：C 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y -+=的距离. 【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心()1,1到直线230x y -+=的距离均为15d ==圆心()5,5到直线230x y -+=的距离均为2d ==圆心到直线230x y -+=的距离均为d ==；所以，圆心到直线230x y -+=. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的圆心是解题的关键，考查计算能力.12．D解析：D 【分析】已知点(1,3)--在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程． 【详解】由已知得：曲线为34y x x =-;则：对其进行求导得243y x '=-； 当1x =-时，243(1)1y '=-⨯-=∴ 曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程为：31(1)y x +=⨯+化简得：2y x =-； 故选：D. 【点睛】本题主要考查了求曲线切线方程，解题关键是掌握根据导数求切线的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.二、填空题13．或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或分类讨论并利用点斜式方程求解即可【详解】由已知可得直线的斜率所以倾斜角为因为直线与的夹角为所以直线的倾斜角为或当倾斜角为时直线为即为；当倾斜角为解析：1y =10y --= 【分析】分析可得已知直线的倾斜角为30，则直线l 的倾斜角为0或60，分类讨论并利用点斜式方程求解即可. 【详解】由已知可得直线y x =3k =，所以倾斜角为30，因为直线l 与y x =30，所以直线l 的倾斜角为0或60，当倾斜角为60时,直线l 为)12y x -=-10y -+-=； 当倾斜角为0︒时,直线l 为1y =，故答案为：1y =10y -+-=. 【点睛】本题考查直线与直线的夹角，关键点是求出直线30x --=的倾斜角得到l 的倾斜角，考查求直线方程，考查分类讨论思想.14．【分析】根据题意设直线的方程是代入点求得的值即可求解【详解】由题意所求直线垂直于直线设直线的方程是又由直线过点代入可得解得故的方程是【点睛】与直线平行的直线方程可；与直线垂直的直线方程可 解析：3270x y -+=【分析】根据题意，设直线l 的方程是320x y c -+=，代入点(1,2)P -，求得c 的值，即可求解. 【详解】由题意，所求直线l 垂直于直线2310x y ， 设直线l 的方程是320x y c -+=，又由直线l 过点(1,2)P -，代入可得340c --+=，解得7c =， 故l 的方程是3270x y -+=. 【点睛】与直线220(0)Ax By C A B ++=+≠平行的直线方程可0()Ax By n n c ++=≠；与直线220(0)Ax By C A B ++=+≠垂直的直线方程可0Bx Ay M -+=。

(人教版)上海市选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(答案解析)

(人教版)上海市选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(答案解析)

一、选择题1．1m =-是直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若平面上两点()2,0A -，()10B ,，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．与实数k 的取值有关3．一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则AC BC +的最小值为（ ）A．B ．C ．D ．4．过点()1,0P 作圆22(2)(2)1x y -+-=的切线，则切线方程为（ ） A ．1x =或3430x y +-= B ．1x =或3430x y --= C ．1y =或4340x y -+=D ．1y =或3430x y --=5．直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，那么点(),a b 与圆22+1x y =的位置关系是（ ） A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定6．已知圆()222x a y a -+=平分圆()()22121x y ++-=的周长，则a 的值是（ ） A ．0B ．3-C ．25-D ．527．圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0被直线l ：ax ＋y －1－2a ＝0截得的弦长取得最小值时，此时a 的值为（ ） A ．3B ．－3C ．13D ．－138．过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=9．已知圆C ：224x y +=上恰有两个点到直线l ：0x y m -+=的距离都等于1，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,32⎡-⎣ B ．(2,32⎡-⎣C ．2,32⎡⎡-⎣⎣D ．((2,32-10．直线:210l x my m +--=与圆22:(2)4C x y +-=交于A B 、两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为（ ）A ．2410x y +-=B ．2430x y -+=C ．2410x y ++=D ．2430x y ++=11．若直线220++=ax y 与直线840x ay ++=平行，则a 的值为（ ） A ．4B ．4-C ．4-或4D ．2-12．设点()0,1M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ︒∠=，则0x 的取值范围是（ ）A ．[0,1]B ．[1,1]-C ．22⎡-⎢⎣⎦D ．2⎡⎢⎣⎦二、填空题13．若M 是直线cos sin 10x y θθ++=上到原点的距离最近的点，则当θ在实数范围内变化时，动点M 的轨迹方程是______．14．过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线一般式方程是___________15．当直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈被圆22:(1)(2)25C x y -+-=截得的弦最短时，m 的值为____________.16．已知k ∈R ，过定点A 的动直线10kx y +-=和过定点B 的动直线30x ky k --+=交于点P ，则22PA PB +的值为__________.17．已知等腰三角形的底边所在直线过点()2,1P ，两腰所在的直线为20x y +-=与740x y -+=，则底边所在的直线方程是_____________.18．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．19．已知点A (0，2)，O (0，0)，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在点M ，使3MA MO ⋅=，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________________.20．在直角坐标系xoy 中，已知圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，则直线l 方程为______.三、解答题21．已知直线l 经过点(2,5)P -，l 的一个方向向量为(4,3)d =-. （1）求直线l 的方程；（2）若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程. 22．已知圆C 与x 轴相切于点()1,0，且圆心C 在直线3y x =上， （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线y x m =+交于不同两点A ，B ，若直角坐标系的原点O ，在以线段AB 为直径的圆上，求实数m 的值.23．已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=． （1）求证:对任意的m R ∈，直线l 与圆 C 恒有两个交点;（2）设l 与圆 C 相交于,A B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．24．已知直线:3470l x y +-=．（1）若直线m 与直线l 平行，且直线m 过点(2,5)P -，求直线m 的方程；（2）若点C 坐标为10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点C 的直线与直线l 垂直，垂足为M ，求点M 的坐标. 25．已知圆C 过A （1，5）、B （4，2）两点，且圆心在直线2y x =上，直线l 过点()3,2P --且与AB 平行．（1）求直线l 及圆C 的方程；（2）设点M 、N 分别是直线l 和圆C 上的动点，求|MN |的取值范围．26．已知圆221:4C x y +=和直线:1()l y kx k R =-∈. （1）若直线l 与圆C 相交，求k 的取值范围；（2）若1k =，点P 是直线l 上一个动点，过点P 作圆C 的两条切线PM 、PN ，切点分别是M 、N ，证明：直线MN 恒过一个定点.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】因为直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直，所以0m =或1m =-，再根据充分必要条件的定义判断得解. 【详解】因为直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直，所以23(21)0,220,0m m m m m m ⨯+-⨯=∴+=∴=或1m =-. 当1m =-时，直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直； 当直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直时，1m =-不一定成立. 所以1m =-是直线()2110mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】方法点睛：充分必要条件的常用的判断方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件选择合适的方法求解.2．C解析：C 【分析】首先利用直接法求点P 的轨迹方程，则转化为直线()1y k x =-与轨迹曲线的交点个数. 【详解】 设(),P x y ，2PA PB =，=整理为：()22224024x y x x y +-=⇔-+=， 即点P 的轨迹是以()2,0为圆心，2r为半径的圆，直线():1l y k x =-是经过定点()1,0，斜率存在的直线，点()1,0在圆的内部，所以直线():1l y k x =-与圆有2个交点，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为2个. 故选：C 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.3．C解析：C 【分析】做出圆22(3)(2)2x y ++-=关于x 轴的对称圆，进而根据图形得AC BC AP r+≥-即可求解. 【详解】解：如图，圆22(3)(2)1x y ++-=的圆心()3,2-，其关于x 轴的对称圆的圆心为()3,2P --， 由图得AC BC AP r +≥-52242=-=.故选：C. 【点睛】解题的关键在于求圆关于x 轴的对称圆圆心P ，进而将问题转化AC BC AP r +≥-求解.4．B解析：B 【分析】按照过点P 的直线斜率是否存在讨论，结合直线与圆相切的性质及点到直线的距离公式即可得解. 【详解】圆22(2)(2)1x y -+-=的圆心为()2,2，半径为1，点P 在圆外，当直线的斜率不存在时，直线方程为1x =，点()2,2到该直线的距离等于1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-即kx y k 0--=， 22211k k k --=+，解得34k =，所以该切线方程为3430x y --=； 所以切线方程为1x =或3430x y --=. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求过圆外一点()00,x y 的圆的切线方程的方法几何法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程;代数法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0∆=，求得k ，切线方程即可求出.5．A解析：A 【分析】直线1ax by +=与圆221x y +=||1<，即为1>，由此可得点与圆的位置关系．【详解】因为直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，||1<，1>，因为点(,)b a 与221x y += 圆224x y +=的半径为1，所以点P 在圆外. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将直线与圆的位置关系的判断式和点与圆的关系的判断式联系起来.6．B解析：B 【分析】由题可知，两圆的公共直线必过()()22121x y ++-=的圆心()1,2-，然后求出公共直线的方程，列式计算即可得解. 【详解】圆222()x a y a -+=平分()()22121x y ++-=的周长，所以两圆的公共直线过()()22121x y ++-=的圆心()1,2-，两圆方程相减，可得两圆的公共直线()1220a x y +-+=， 将()1,2-代入可得()1420a -+-+=，解得3a =-. 故选：B . 【点睛】两圆的公共弦方程过已知圆心是解题关键.7．C【分析】先判断直线l 恒过点(2,1)P ，可得直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短，利用直线垂直的性质可得答案. 【详解】直线:120+--=l ax y a 可化为:(2)(1)0-+-=l a x y ， 故直线l 恒过点(2,1)P .圆22:6890+--+=C x y x y 的圆心为(3,4)C ，半径为4. 当直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短， 因为直线PC 的斜率41332PC k -==-， ax ＋y －1－2a ＝0的斜率为a -， 此时1313PC l k k a a ⋅=-=-⇒=.故选：C . 【点睛】方法点睛：判断直线过定点主要形式有： （1）斜截式，0y kx y =+，直线过定点()00,y ； （2）点斜式()00,y y k x x -=-直线过定点()00,x y ； （3）化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 求解.8．A解析：A 【分析】求出以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程． 【详解】圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)C ，半径为1，以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程为2215(2)()24x y -+-=，因为过点()3,1圆()2211x y -+=的两条切线切点分别为A ，B ，所以，AB 是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程230x y +-=， 故选：A ． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．9．D【分析】先判断圆心到直线的距离()1,3d ∈，再利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】圆C ：224x y +=的圆心是()0,0C ，半径2r，而圆C ：224x y +=上恰有两个点到直线l ：0x y m -+=的距离都等于1，所以圆心()0,0C 到直线l ：0x y m -+=的距离()1,3d ∈，即()1,3d ==，解得m -<<m <<.故选：D. 【点睛】本题考查了圆上的点到直线的距离问题和点到直线的距离公式，属于中档题.10．B解析：B 【分析】先求出直线经过定点1(,1)2P ，圆的圆心为()0,2C ，根据直线与圆的位置关系可知，当CP l ⊥时弦AB 最短，根据1CP l k k ⋅=-求出m 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】解：由题得，(21)(1)0x m y -+-=，21010x y -=⎧∴⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线l 过定点1(,1)2P ，圆22:(2)4C x y +-=的圆心为()0,2C ，半径为2，当CP l ⊥时，弦AB 最短，此时1CP l k k ⋅=-， 由题得212102CP k -==--，12l k ∴=， 所以212m -=，4m ∴=-， 所以直线l 的方程为：2430x y -+=.故选：B. 【点睛】本题考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，以及直线和圆的位置关系，考查分析推理和化简运算能力.11．B【分析】根据两直线平行，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，直线220++=ax y 与直线840x ay ++=平行，可得2802240a a a ⨯-⨯=⎧⎨-⨯≠⎩，解得4a =-.故选: B. 【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线的平行的条件是解答的关键，着重考查运算与求解能力.12．B解析：B 【分析】首先根据题中条件，可以判断出直线MN 与圆O 有公共点即可，从而可以断定圆心O 到直线MN 的距离小于等于半径，列出对应的不等关系式，求得结果. 【详解】依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可， 即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ， 在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=， 故02sin 452OA OM ==1≤， 所以2OM ≤2012x +≤，解得011x -≤≤．故选：B. 【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，解直角三角形，属于简单题目.二、填空题13．【分析】直线上到原点的距离最近的点就是过原点作直线的垂线垂足即为又原点到直线的距离为定值所以可知动点的轨迹【详解】∵原点到直线的距离为∴当在实数范围内变化时动点的轨迹为以原点为圆心半径为1的圆即其轨 解析：221x y +=【分析】直线cos sin 10x y θθ++=上到原点的距离最近的点，就是过原点作直线的垂线，垂足即为M ，又原点到直线的距离为定值，所以可知动点M 的轨迹. 【详解】∵原点()0,0到直线cos sin 10x y θθ++=1=，∴当θ在实数范围内变化时，动点M 的轨迹为以原点()0,0为圆心，半径为1的圆， 即其轨迹方程为221x y +=． 故答案为：221x y += 【点睛】本题主要考查轨迹方程，解决与直线有关的轨迹问题时，要充分考虑到图形的几何性质，属于中档题.14．或【分析】当纵截距为时设直线方程为代入点求得的值得解当纵截距不为时设直线的截距式方程代入点求得直线的方程【详解】当轴上的截距时设直线方程为点代入方程得即当时设直线的方程为点代入方程解得即直线方程为即解析：290x y +-=或250x y -= 【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y kx =，代入点()5,2求得k 的值得解，.当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点()5,2求得直线l 的方程. 【详解】当y 轴上的截距0b =时，设直线方程为y kx =，点()5,2代入方程，得25y x =，即250x y -=.当0b ≠时，设直线的方程为12x y b b +=，点()5,2代入方程，解得92b =，即直线方程为1992x y+=，即290x y +-=.故答案为：250x y -=或290x y +-=【点睛】讨论截距为0或截距不为0是解题关键，否则会漏解，属于基础题.15．【分析】先求得直线过定点分析可知当直线与CM 垂直时直线被圆截得的弦长最短进而利用斜率的关系即可求得m 的值【详解】直线的方程可化为所以直线会经过定点解得定点坐标为圆C 圆心坐标为当直线与CM 垂直时直线被 解析：34- 【分析】先求得直线过定点()3,1M ，分析可知当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短 ，进而利用斜率的关系即可求得m 的值．【详解】直线l 的方程可化为()2740x y m x y +-++-=所以直线l 会经过定点27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得定点坐标为()3,1M ，圆C 圆心坐标为()1,2 当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短211132CM k -==-- ，211l m k m +=-+ 所以121121CM l m k k m +⎛⎫⎛⎫⨯=-⨯-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，解方程得34m =- 【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系，根据斜率关系求得参数的值，属于基础题． 16．13【分析】由两直线方程可得定点再联立两直线方程解出的坐标然后由两点间距离公式可得进而可以求解【详解】动直线过定点动直线过定点联立方程解得则由两点间距离公式可得：故答案为：13【点睛】本题考查了直线 解析：13【分析】由两直线方程可得定点(0,1)A ，(3,1)B --，再联立两直线方程解出P 的坐标，然后由两点间距离公式可得2PA ，2PB ，进而可以求解．【详解】动直线10kx y +-=过定点(0,1)A动直线30x ky k --+=过定点(3,1)B --联立方程1030kx y x ky k +-=⎧⎨--+=⎩， 解得223(1k P k -+，2231)1k k k -+++， 则由两点间距离公式可得：PA =PB =2432432222222222224129412991249124()()(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k PA PB k k k k -+-+++++∴+=+++++++ 422213(21)13(1)k k k ++==+， 故答案为：13．【点睛】本题考查了直线中定点问题以及两点间距离公式，考查了学生的运算能力，属于基础题． 17．或【分析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点利用点到两腰所在直线的距离相等可求得顶角角平分线方程再由底边所在直线过点且与顶角角平分线垂直可求得所求直线的方程【详解】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点 解析：370x y +-=或310x y -+=【分析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点(),M x y ，利用点M 到两腰所在直线的距离相等可求得顶角角平分线方程，再由底边所在直线过点P 且与顶角角平分线垂直可求得所求直线的方程.【详解】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点(),M x y ，则点M 到直线20x y +-=与740x y -+=的距离相等，=7452x y x y -+=+-.所以，()7452x y x y -+=+-或()7452x y x y -+=-+-，所以，该等腰三角形顶角角平分线所在直线的方程为370x y -+=或6230x y +-=. 由于底边与顶角角平分线垂直.当底边与直线370x y -+=垂直时，且直线370x y -+=的斜率为13， 此时底边所在直线方程为()132y x -=--，即370x y +-=；当底边与直线6230x y +-=垂直时，且直线6230x y +-=的斜率为3-， 此时底边所在直线方程为()1123y x -=-，即310x y -+=. 故答案为：370x y +-=或310x y -+=. 【点睛】本题考查等腰三角形底边所在直线方程的求解，考查了等腰三角形三线合一的性质以及点到直线距离公式的应用，考查计算能力，属于中等题.18．2x ﹣4y+3＝0【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大此时直线l 与直线垂直即可算出的斜率求得直线l 的方程【详解】由题得当∠ACB 最小时直线l 与直线垂直此时又故又直线l 过点所以即故解析：2x ﹣4y +3＝0【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程.【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= . 故答案为2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.19．【解析】【分析】设利用可得的轨迹方程以为圆心2为半径的圆利用圆上存在点可得两圆相交或相切建立不等式即可求出实数的取值范围【详解】解：设因为A(02)O(00)所以因为所以化简得：所以点的轨迹是以为圆解析：[0,3]【解析】【分析】设(),M x y ，利用 3MA MO ⋅= ，可得M 的轨迹方程以()0,1 为圆心，2为半径的圆，利用圆C 上存在点M ，可得两圆相交或相切，建立不等式，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：设(),M x y ，因为 A (0，2)，O (0，0)，所以(,2)MA x y =-- ，(,)MO x y =-- .因为3MA MO ⋅= ，所以()()()()23x x y y --+--= ，化简得：22(1)4x y +-= ， 所以M 点的轨迹是以()0,1 为圆心，2为半径的圆.因为M 在()()22:21C x a y a -+-+= 上，所以两圆必须相交或相切.所以13≤≤ ，解得03a ≤≤. 所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为： [0,3].故答案为：[0,3].【点睛】本题主要考查求轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，确定M 的轨迹方程是解题的关键，属于中档题.20．【分析】先将圆的方程化为标准形式求出圆心和半径通过分析可以看出圆心在一条直线上若对于任意的实数直线被圆截得弦长为定值可得直线与圆心所在的直线平行即可得出结论【详解】圆：化为标准形式可得：所以圆心半径 解析：25x y +=【分析】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线上，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，可得直线l 与圆心所在的直线平行，即可得出结论.【详解】圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=化为标准形式可得： ()()224216x m y m --+-=⎡⎤⎣⎦ ，所以圆心()4,2C m m - ，半径4r =，令4,2x m y m =-= ，可得28x y += ，所以圆心在28x y +=上，又因为直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值， 所以直线l 与圆心所在的直线平行，，所以设直线l 的方程为：2x y c +=，将()2,1代入得：5c =，所以则直线l 方程为：25x y +=.故答案为：25x y +=【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线和圆的位置关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题.三、解答题21．（1）34140x y +-=；（2）3410x y ++=或34290x y +-=.【分析】（1）利用l 的方向向量，求出直线l 的斜率，代入点斜式方程求出直线l 的方程；（2）根据（1）设直线m 的方程为340x y c ++=，将点到直线的距离转化为平行线间的距离求c ，从而求出直线m 的方程.【详解】（1）由l 的一个方向向量为(4,3)d =-，即直线l 的斜率34k =-由点斜式方程得：35(2)4y x -=-+，即34140x y +-=. 所以直线l 的方程为：34140x y +-=（2）因为直线m 与l 平行，则可设m 的方程为340x y c ++=， 由平行线间的距离公式得，|14|35c +=，解得：1c =或29-. 所以直线m 的方程为：3410x y ++=或34290x y +-=. 【点睛】结论点睛：本题主要考查两直线的位置关系与斜率的关系，常用结论：在斜率存时， （1）1212//l l k k ⇔= （121221//0l l A B A B ⇔-=）；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-（1212120l l A A B B ⊥⇔⋅+⋅=），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.22．（1）()()22139x y -+-=；（2）1m =.【分析】（1）求出圆心坐标和半径可得圆方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入圆方程一应用韦达定理得1212,x x x x +，已知条件得OA OB ⊥，即12120x x y y +=，由此可求得m 值．【详解】解：（1）由题意可得：圆心C 的横坐标为1，且圆心直线3y x =上，可得圆心C 坐标为()1,3，半径3r =， 则圆C 的方程为：()()22139x y -+-=. （2）由()()22139y x m x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩可得：()22228610x m x m m +-+-+= 设()11,A x y ，()22,B x y 则：122124612x x m m m x x +=-⎧⎪⎨-+⋅=⎪⎩，且241656m m ∆=-++，由题意可得：OA OB ⊥，0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，且11y x m =+，22y x m =+，代入化简可得：2210m m -+=求得：1m =，此时满足：2416560m m ∆=-++>综上可知：1m =.【点睛】关键点点睛：本题考查求圆的方程，考查直线与圆相交问题，直线与圆相交问题的解法是设而不求思想方法：即设交点为1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入圆方程，消元整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入题中其他条件OA OB ⊥，即12120x x y y +=可解得m 值．23．（1）证明见解析；（2）2211()(1)(1)24x y x -+-=≠. 【分析】（1）确定直线过定点()1,1，计算定点在圆内，得到证明.（2）由已知得点M 在以CP 为直径的圆上，求得圆心和半径可得到答案.【详解】（1）由已知可得直线 :(1)10l x m y --+=，所以直线l 恒过定点(1,1)P .又()2211115,+-=<所以点P 在圆内，所以对任意的m R ∈，直线l 与圆 C 恒有两个交点.（2）由（1）知，知直线l 恒过定点(1,1)P ，且直线l 的斜率存在.又M 是AB 的中点，CM MP ∴⊥，所以点M 在以CP 为直径的圆上.又()()0,1,1,1,C P所以以CP 为直径的圆的方程为2211()(1)24x y -+-=， 又直线l 的斜率存在，1x ∴≠，所以点M 的轨迹方程为2211()(1)(1)24x y x -+-=≠. 【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.24．（1）34140x y +-=；（2）(1,1)M .【分析】（1）通过平行设出直线方程，代入(2,5)P -即可；（2）过点C 10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线与直线l 垂直，可得004310x y --=，加上M 在直线上，联立求交点即可.【详解】（1）因为直线m 与直线l 平行，设直线m ：340(7)x y a a ++=≠-，将点(2,5)P -代入得：14a =-，所以直线m ：34140x y +-=.（2）设()0,0M x y ，则001433CM y k x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==，即004310x y --=①， 又M 在直线l 上，所以003470x y +-=②，①②联立得：0011x y =⎧⎨=⎩，所以(1,1)M . 【点睛】本题主要考查直线的一般式的平行关系与垂直关系，正确写出解析式是处理此题的关键. 25．（1）x +y +5=0，(x -1)2+(y -2)2=9；（2）)3,⎡+∞⎣.【分析】（1）求出AB 的斜率，利用点斜式可得直线l 的方程，求出AB 的中垂线的方程，结合圆心在直线2y x =上可得圆心坐标，求出半径后可得所求的圆的方程.（2）求出圆心到直线l 的距离后可得|MN |的取值范围．【详解】（1）∵1AB k =-， 直线l:y +2=-(x +3)，即l:x +y +5=0， AB 的中点为57,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故AB 的中垂线方程为57122y x x =-+=+， 由21y x y x =⎧⎨=+⎩解得12x y =⎧⎨=⎩， ∴圆心C (1，2)，半径3r CA ===， ∴圆C 的方程为：(x -1)2+(y -2)2=9.(2) ∵圆心C 到直线l的距离为3d ==>，∴直线l 与圆C 相离,∴|MN |的最小值为3-，无最大值，∴|MN |的取值范围为)3,⎡+∞⎣.【点睛】方法点睛：（1）求圆的方程，关键是确定圆心坐标和圆的半径，前者的确定需要利用一些几何性质，如果圆心在弦的中垂线上，也在过切点且垂直于切线的直线上.（2）直线与圆的位置关系中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离问题. 26．（1）(,)-∞⋃+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）直线l 与圆C 相交，则圆心到直线的距离小于半径，可得答案.（2）设点P 的坐标是()00,x y ，由条件,M N 在OP 以为直径的圆22220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+上，则MN 为圆221:4C x y +=与圆22220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+的公共弦，则直线MN 的方程是0014x x y y +=，再根据点P 在直线1y x =-上，可得答案.【详解】（1）直线1y kx =-就是10kx y --=，圆C 的圆心是(0,0)C ，半径是12. 由题意得，圆心(0,0)C 到直线l12<，解得k <k > 故k的取值范围是(,)-∞⋃+∞.（2）由（1）可知，当1k =时，直线l 与圆C 相离,设点P 的坐标是()00,x y ， 则,M N 在OP 以为直径的圆22220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ 上 所以MN 为圆221:4C x y +=与圆22220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+的公共弦，由两圆方程相减可得：0014x x y y += 所以直线MN 的方程是0014x x y y +=. 因为点P 在直线1y x =-上，所以001y x =-. 代入0014x x y y +=中，得到()00114x x x y +-=， 即01()04x y x y ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭. 由0104x y y +=⎧⎪⎨⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎩得，1414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故直线MN 恒过一个定点11,44⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】 关键点睛：本题考查直线与圆的位置关系和圆的切线问题，解答本题的关键是圆心(0,0)C 到直线l12<，MN 为圆221:4C x y +=与圆22220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+的公共弦，从而得到直线MN 的方程是0014x x y y +=，属于中档题.。

(人教版)上海市选修一第二单元《直线和圆的方程》检测卷(包含答案解析)

(人教版)上海市选修一第二单元《直线和圆的方程》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．过点)引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）A ．B ．C ．D 2．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈且0ab ≠，则2211a b+的最小值为（ ） A ．72B ．4C ．1D ．53．已知(,0)A a ，(3,0)B a +，直线1x =上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，则a 的值为（ ）A ．6-B ．2-或6C ．2或6-D ．2-4．已知圆()222x a y a -+=平分圆()()22121x y ++-=的周长，则a 的值是（ ） A ．0B ．3-C ．25-D ．525．已知圆()221:24C x a y ++=与圆()22:1C x y b +-=有且仅有1条公切线，则2211a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 6．直线210y x -+=关于30y x -+=对称的直线方程是（ ）A ．280x y --=B ．2100x y --=C ．2120x y +-=D ．2100x y +-=7．已知直线l ：(3)(2)20m x m y m ++---=，点()21A --，，(22)B -，，若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（ ）A ．(4][4)-∞-⋃+∞，， B ．(22)-， C ．3[8]2-，D ．(4)+∞，8．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ①对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③定义(0,0)O ，动点(,)P x y 满足(,)1d P O =，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02cx y -+=上， 则m c += . A ．1B ．2C ．3D ．410．已知圆22:(2)2C x y ++=，则在x 轴和y 轴上的截距相等且与圆C 相切的直线有几条（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条11．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(4,3)A -处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．512．直线:210l x my m +--=与圆22:(2)4C x y +-=交于A B 、两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为（ ） A ．2410x y +-= B ．2430x y -+= C ．2410x y ++=D ．2430x y ++=二、填空题13．已知圆C 过点（8，1），且与两坐标轴都相切，则面积较小的圆C 的方程为________. 14．已知圆C ：224x y +=，直线l ：(0)x y m m +=>，圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1.则m 的取值范围是_____________.15．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A -，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是___________.16．若直线0x y m +-=与曲线2y =没有公共点，则实数m 所的取值范围是______.17．如图，已知圆22:16,,O x y A B +=是圆O 上两个动点，点(2,0)P ，则矩形PACB 的顶点C 的轨迹方程是___________．18．设直线l 的斜率为k ，且11k -<<，则直线的倾斜角α的取值范围是_________. 19．与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有________个20．在直角坐标系xoy 中，已知圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，则直线l 方程为______.三、解答题21．圆224x y +=，点P 为直线:80l x y +-=上一动点，过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）若点P 的坐标为()2,6，求直线PA 、PB 的方程； （2）求证：直线AB 恒过定点Q ，并求出该定点Q 的坐标．22．已知直线l ：2830mx y m ---=和圆C ：22612200x y x y +-++=. （1）求圆C 的圆心、半径（2）求证：无论m 为何值，直线l 总与圆C 有交点；（3）m 为何值时，直线l 被圆C 截得的弦最短？求出此时的弦长. 23．已知动点P 到两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若过点()1,3B 的直线l 与曲线相切，求直线l 的方程；（3）已知圆Q 的圆心为(,)(0)Q t t t >，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围.24．已知圆1C ：222280x y x y +++-=与圆2C ：22210240x y x y +-+-=相交于A 、B 两点．（1）求圆心在直线AB 上且经过A ，B 两点的圆P 的方程及弦AB 所在的直线方程； （2）直线l 经过点()2,3M 且被圆1C 所截得的弦长为25l 的方程． 25．已知圆22:2220C x y x y ++--=，点(),1A m -、()4,2B m +，其中m R ∈． （1）若直线AB 与圆C 相切，求直线AB 的方程；（2）若以AB 为直径的圆D 与圆C 有公共点，求实数m 的取值范围． 26．如果实数x ，y 满足()()22336x y -+-=，求： （1）yx的最大值与最小值； （2）22xy +的最大值和最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由y =221x y +=()0y ≥，由题知直线斜率存在，设直线l 的斜率为k ，10k -<<，设直线l为0(y k x -=，然后根据圆的弦长公式||AB =以及圆心O 到直线l的距离d =12AOBSd AB =，进而化简求解即可 【详解】由y =221x y +=()0y ≥，∴曲线y =x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），由题知，直线斜率存在，设直线l 的斜率为k 若直线与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合，则10k -<<，∴直线l的方程为：0(y k x -=-，即0kx y --= 则圆心O 到直线l的距离d ==直线l 被半圆所截得的弦长为||AB ===12AOBSd AB ====令211t k =+则AOBS=，当3t 4=，即21314k =+时，AOBS 有最大值为12此时，21314k =+3k ∴=±又10k -<<，k ∴=综上所述，直线l 的斜率是3-故答案为：A 【点睛】关键点睛：通过圆的弦长公式||AB =和圆心O 到直线l 的距离d =得出12AOBSd AB ==211t k =+，可得AOBS=，进而利用二次函数的性质求解即可，属于中档题2．C解析：C 【分析】由题意可知两圆外切，可得出2249a b +=，然后将代数式2211a b +与2249a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b+的最小值. 【详解】圆222240x y ax a +++-=的标准方程为()224x a y ++=，圆心为()1,0C a -，半径为12r =，圆2224140x y by b +--+=的标准方程为()2221x y b +-=，圆心为()20,2C b ，半径为21r =.由于圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，则这两圆外切，所以，1212C C r r =+3=，所以，2249a b +=，所以，222222222211411141551999a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫+⎛⎫+=+=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当222a b =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为1. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．B解析：B 【分析】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()2214x a y -++=，则本题等价于直线1x =与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()()2222344x a y x a y --+=-+，整理可得()2214x a y -++=，则直线1x +=上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，等价于直线1x =与圆()2214x a y -++=相切，2=，解得2a =-或6.故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将题转化为直线1x +=与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解.4．B解析：B【分析】由题可知，两圆的公共直线必过()()22121x y ++-=的圆心()1,2-，然后求出公共直线的方程，列式计算即可得解. 【详解】圆222()x a y a -+=平分()()22121x y ++-=的周长， 所以两圆的公共直线过()()22121x y ++-=的圆心()1,2-，两圆方程相减，可得两圆的公共直线()1220a x y +-+=， 将()1,2-代入可得()1420a -+-+=，解得3a =-. 故选：B . 【点睛】两圆的公共弦方程过已知圆心是解题关键.5．D解析：D 【分析】由题意可知，圆2C 内切于圆1C ，由题意可得出2241a b +=，然后将代数式2211a b +与224a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b+的最小值. 【详解】圆()221:24C x a y ++=的圆心为()12,0C a -，半径为12r =，圆()22:1C x y b +-=的圆心为()20,C b ，半径为21r =，由于两圆有且仅有1条公切线，则圆2C 内切于圆1C ，所以12121C C r r ==-=，可得2241a b +=，()2222222222111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=∴++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当222b a =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为9. 故选：D. 【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r .（1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含； （2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切；（3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交； （4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切； （5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.6．A解析：A 【分析】设所求直线上任意一点()()11,,,P x y Q x y 是P 关于直线30y x -+=的对称点，根据对称关系求得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩,代入直线210y x -+=的方程整理即得所求. 【详解】解：设所求直线上任意一点()()11,,,P x y Q x y 是P 关于直线30y x -+=的对称点，则111113022y y x x y y x x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪-+=⎪⎩，解得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩, 由对称性得Q 在直线210y x -+=上，()()23310x y ∴--++=, 即280x y --=, 故选：A. 【点睛】根据“一垂直二中点”列出方程组，求得1133x y y x =+⎧⎨=-⎩是解决问题的关键，利用轨迹方程思想方法求直线的方程也是重要的思想之一.7．C解析：C 【分析】根据题意得直线l 恒过点4155C ⎛⎫⎪⎝⎭，，进而得直线l 的斜率k 的取值范围为：116k ≤-或37k ≥，再根据32m k m +=--，解不等式即可得答案. 【详解】直线l 方程变形得：(1)(322)0x y m x y +-+--=. 由103220x y x y +-=⎧⎨--=⎩得4515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l 恒过点4155C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，11354725ACk +==+，121154625BC k +==--，由图可知直线l 的斜率k 的取值范围为：116k ≤-或37k ≥， 又32m k m +=--， ∴11263m m ≤--+-或3273m m -≥+-，即28m <≤或322m -≤<，又2m =时直线的方程为45x =，仍与线段AB 相交， ∴m 的取值范围为382⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. 故选：C.【点睛】本题解题的关键在于根据直线系方程(1)(322)0x y m x y +-+--=得直线l 恒过点4155C ⎛⎫⎪⎝⎭，.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题. 8．B解析：B 【分析】由新定义表示出三点,,A B C 两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，由新定义计算出(,)d P l ，判断②，根据新定义求出P 的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③． 【详解】①设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则1212(,)d A B x x y y =-+-，13132323(,)(,)d A C d B C x x y y x x y y +=-+-+-+-，显然1323132312()()x x x x x x x x x x -+-≥---=-，同理132312y y y y y y -+-≥-，∴(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥，①正确； ②设(,)P x y 是直线l 上任一点，则21y x =-，(,)31322d P l x y x x =-+-=-+-35,31,1353,1x x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩，易知(,)d P l 在[1,)+∞上是增函数，在(,1)-∞上是减函数，∴1x =时，min (,)13222d P l =-+-=，②错； ③由(,)1d P O =得1x y +=，易知此曲线关于x 轴，y 轴，原点都对称，它是以(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--为顶点的正方形，其转成图形面积为12222S =⨯⨯=，③错．故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是把新概念转化为绝对值的问题，利用绝对值的性质求解．9．C解析：C 【分析】由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02cx y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫⎪⎝⎭在直线02c x y -+=上 代入得：12022m c+-+= 整理可得：3m c += 本题正确选项：C 【点睛】本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.10．C解析：C 【分析】先看直线不过原点的情况，设出直线的方程，斜率为1-，则可知这样的直线有2条，再看直线过原点的情况，把原点代入即可知原点在圆外，则这样的直线也应该有2条，最后验证以上4条中有一条是重复，最后综合得到结论. 【详解】若直线不过原点，其斜率为1-，设其方程为y x m =-+，则d ==0m =或4-，当0m =时，直线过原点；若过原点，把()0,0代入()2200242++=>，即原点在圆外，所以过原点有2条切线，综上，一共有3条， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了学生数形结合的思想和对基本知识的理解，属于中档题.11．C解析：C 【分析】求出A 关于y 4x +=的对称点A ',根据题意，1A C '-为最短距离，求出即可. 【详解】设点A 关于4x y +=的对称点(,)A a b '，设军营所在区域为的圆心为C ,根据题意，1A C '-为最短距离，∴AA '的中点为43,22a b +-⎛⎫⎪⎝⎭，，直线'AA 的斜率为1, ∴434,22,31,4a b b a +-⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩解得：7,0a b ==,∴1716A C '-=-=，故选: C. 【点睛】本题考查点关于直线对称，点与圆心的距离，考查运算求解能力，求解时注意对称性的应用.12．B解析：B 【分析】先求出直线经过定点1(,1)2P ，圆的圆心为()0,2C ，根据直线与圆的位置关系可知，当CP l ⊥时弦AB 最短，根据1CP l k k ⋅=-求出m 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】解：由题得，(21)(1)0x m y -+-=，21010x y -=⎧∴⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线l 过定点1(,1)2P ，圆22:(2)4C x y +-=的圆心为()0,2C ，半径为2，当CP l ⊥时，弦AB 最短，此时1CP l k k ⋅=-， 由题得212102CP k -==--，12l k ∴=， 所以212m -=，4m ∴=-， 所以直线l 的方程为：2430x y -+=.故选：B. 【点睛】本题考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，以及直线和圆的位置关系，考查分析推理和化简运算能力.二、填空题13．【分析】设圆的方程为代入点求得或进而得到圆的方程【详解】由题意圆过点且与两坐标轴都相切设圆的方程为将点代入圆的方程可得整理得解得或当时圆的面积较小所以圆的方程为故答案为：【点睛】求解圆的方程的两种方 解析：()()225525x y -+-=【分析】设圆的方程为222()()(0)x a y a a a -+-=>，代入点(8,1)，求得5a =或13a =，进而得到圆的方程. 【详解】由题意，圆C 过点(8,1)，且与两坐标轴都相切， 设圆的方程为222()()(0)x a y a a a -+-=>， 将点(8,1)代入圆的方程，可得222(8)(1)a a a -+-=， 整理得218650a a -+=，解得5a =或13a =，当5a =时，圆C 的面积较小，所以圆的方程为()()225525x y -+-=. 故答案为：()()225525x y -+-=.【点睛】求解圆的方程的两种方法：几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程； 待定系数法：①根据题意，选择标准方程与一般方程； ②根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组； ③解出,,a b r 或,,D E F 的值，代入标准方程或一般方程.14．【分析】根据圆的几何性质结合点到直线距离公式进行求解即可【详解】圆C ：的半径为2圆心坐标为：设圆心到直线l ：的距离为要想圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1只需即而所以故答案为：【点睛】关键点睛：利用解析：【分析】根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】圆C ：224x y +=的半径为2，圆心坐标为：(0,0) 设圆心(0,0)到直线l ：x y m +=的距离为d ，要想圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1，只需112d <<+，即13m <<⇒<< 0m >m <<.故答案为： 【点睛】关键点睛：利用圆的性质转化为点到直线的距离是解题的关键.15．【分析】将问题转化为以为圆心2为半径的圆为圆与圆相交问题再根据圆与圆的位置关系求解即可【详解】解：根据题意设以为圆心2为半径的圆为圆所以圆圆心为半径为则两圆圆心距为:因为圆上存在两点到的距离为2所以 解析：(3,7)【分析】将问题转化为以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：根据题意设以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A ， 所以圆222:(0),O x y r r +=> 圆心为(0,0),O 半径为r ， 则两圆圆心距为 : ||5OA = ， 因为圆O 上存在两点到A 的距离为2， 所以圆O 与圆A 相交，所以252,r r -<<+ 解得 :37.r << 所以的取值范围是：(3,7).故答案为：(3,7). 【点睛】圆与圆位置关系问题的解题策略：（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法；（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.16．【分析】根据题意作出曲线的图象然后采用平移直线的方法求解出的临界值由此求解出的取值范围【详解】如下图所示：即为表示圆心在半径为的半圆当直线与曲线在左下方相切时此时所以此时（舍）或；当直线经过点时所以 解析：()(),122,-∞-⋃+∞【分析】根据题意作出曲线()22y x x =--+的图象，然后采用平移直线的方法求解出m 的临界值，由此求解出m 的取值范围. 【详解】如下图所示：()22y x x =--+即为()()()2212112x y y ++-=≤≤，表示圆心在()1,2-，半径为1的半圆，当直线与曲线在左下方相切时，此时0m <，所以12111m -+-=+，此时21m +=（舍）或12m =-；当直线经过点()0,2时，020m +-=，所以2m =，综上可知：当直线与曲线()22y x x =--+没有交点时，()(),122,m ∈-∞-⋃+∞， 故答案为：()(),122,-∞-⋃+∞.【点睛】思路点睛：根据直线与半圆的交点数求解参数范围的思路：（1）根据条件画出半圆的图象确定好圆心和半径； （2）采用平移直线的方法确定出直线的临界位置；（3）利用圆心到直线的距离公式以及直线经过某点求解出参数的临界值，由此确定出参数的取值范围.17．【分析】设点连接交于可写出的坐标再在直角中利用勾股定理列方程可得xy 的关系式即顶点的轨迹方程【详解】设点如图连接交于由矩形可知为的中点连接在直角中则即整理得所以顶点的轨迹方程是故答案为：【点睛】关键 解析：2228x y +=【分析】设点(,)C x y ，连接,AB PC 交于M ，可写出M 的坐标，再在直角OMB △中，OM MB ⊥，利用勾股定理列方程可得x, y 的关系式，即顶点C 的轨迹方程. 【详解】设点(,)C x y ，如图连接,AB PC 交于M ，由矩形PACB 可知M 为PC 的中点，2,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，PM MB = 连接,OB OM ，在直角OMB △中，OM MB ⊥，则22222OB OM BM OM MP =+=+即2222221622222x y x y +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得2228x y +=， 所以顶点C 的轨迹方程是2228x y += 故答案为：2228x y +=【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程，解题的关键是求谁设谁，设点(,)C x y ，然后再利用图像的几何关系找到x, y 的关系式，即求得轨迹方程，考查学生的直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.18．【分析】利用倾斜角与斜率关系图象得解【详解】由图得当时故答案为：【点睛】熟悉倾斜角与斜率函数图象是解题关键解析：3[0,)(,)44πππ【分析】利用倾斜角与斜率关系图象得解. 【详解】由图得当11k -<<时，3[0,)(,)44ππαπ∈ 故答案为：3[0,)(,)44πππ 【点睛】熟悉倾斜角与斜率函数图象是解题关键.19．7【分析】根据两圆相离可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个【详解】解：因为两圆是相离的所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个是以原点为圆心即；与两圆都外切的有2个设切点解析：7 【分析】根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个． 【详解】解：因为两圆221:(2)1O x y ++=，222:(2)1O x y -+=是相离的，所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个，是以原点为圆心，即229x y +=；与两圆都外切的有2个，设切点为(0,)b 22(02)423b b -+=⇒=±∴22(23)9x y +±=，同理，利用圆与圆的圆心距和半径的关系可得：与圆1O 外切于圆2O 内切的圆有2个；与圆1O 内切于圆2O 外切的圆有2个；分别为22315()()92x y ++±=和22315()()92x y -+=，共7个， 故答案为：7． 【点睛】由圆心距判断两圆的位置关系相离，再利用直观想象可得与两圆都相切的情况，包括内切和外切两类.20．【分析】先将圆的方程化为标准形式求出圆心和半径通过分析可以看出圆心在一条直线上若对于任意的实数直线被圆截得弦长为定值可得直线与圆心所在的直线平行即可得出结论【详解】圆：化为标准形式可得：所以圆心半径 解析：25x y +=【分析】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线上，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，可得直线l 与圆心所在的直线平行，即可得出结论. 【详解】圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=化为标准形式可得：()()224216x m y m --+-=⎡⎤⎣⎦ ，所以圆心()4,2C m m - ，半径4r =， 令4,2x m y m =-= ，可得28x y += ，所以圆心在28x y +=上，又因为直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值， 所以直线l 与圆心所在的直线平行，， 所以设直线l 的方程为：2x y c +=， 将()2,1代入得：5c =， 所以则直线l 方程为：25x y +=. 故答案为：25x y += 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线和圆的位置关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题.三、解答题21．（1）43100x y -+=或2x =；（2）证明见解析；11,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭． 【分析】（1）考虑斜率不存在的直线是切线，然后当切线的斜率存在时设切线方程为()62y k x -=-，由圆心到切线的距离等于半径求出k 即得；（2）设P 点坐标，求出以PO 为直径的圆的方程，与已知圆方程相减可得直线AB 方程，整理成关于参数的恒等式，可得定点坐标． 【详解】解：（1）由题意，当切线的斜率存在时设切线方程为()62y k x -=-，即260kx y k --+=2=，解得43k =，即43100x y -+=． 当切线的斜率不存在时，方程为2x =满足题意． 综上所述，所求的切线的方程为43100x y -+=或2x =． （2）证明：根据题意，点P 为直线80x y +-=上一动点，设()8,P m m -，∵PA ，PB 是圆O 的切线，∴OA PA ⊥，OB PB ⊥． ∴AB 是圆O 与以PO 为直径的两圆的公共弦．由于以PO 为直径的圆的方程为2222442222m m m m x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()2280x m x y my --+-=，①又圆O 的方程为224x y +=②．①—②，得()840m x my -+-=，即()840m y x x -+-=， 则该直线必过点11,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】结论点睛：本题考查圆的切线方程，相交弦所在直线方程．对切线，一般由圆心到切线的距离等于半径去判断求解，而相交两圆方程相减后可得相交弦所在直线方程，如果外切，则得这一条公切线方程．22．（1）圆心(3,6)C -，半径5R =（2）证明见解析（3）16m =-时，直线l 被圆C 截得的弦最短，弦长为【分析】（1）利用6,12,20D E F =-==可求得结果； （2）利用直线l 经过的定点在圆C 内可证结论成立；（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，直线l 被圆C 截得的弦为AB ，根据弦长公式可知d 最大即CM l ⊥时，弦长最短，由此可求得结果. 【详解】（1）因为6,12,20D E F =-==所以6322D --=-=，12622E -=-=-，所以(3,6)C -，所以半径5R ===. （2）由2830mx y m ---=得(28)(3)0x m y --+=，由28030x y -=⎧⎨+=⎩得4,3x y ==-，所以直线l 经过定点M (4,3)-，5=<，所以定点M (4,3)-在圆C 内， 所以无论m 为何值，直线l 总与圆C 有交点.（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，直线l 被圆C 截得的弦为AB ，则||AB =d 最大值时，弦长||AB 最小，因为||d CM ≤==，当且仅当CM l ⊥时，d ，||AB取最小值=111236343CMm k =-=-=--+-，所以16m =-.所以16m =-时，直线l 被圆C 截得的弦最短，弦长为 【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键是证明直线经过的定点在圆内，第（3）问的关键是推出CM l ⊥时，弦长最短.23．（1）22(1)4x y ++=；（2）1x =或12530x y -+=；（3）[3-+. 【分析】（1）设(,)P x y ，由||2||AP PO =结合两点间距离公式可求；（2）可得斜率不存在时满足，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率即可；（3）设出圆Q 方程，利用|2|||2t CQ t -+可求出.【详解】解：（1）由题意知：设(,)P x y ， 由||2||AP PO =，得22||4||AP PO =， ∴()2222(3)4x y x y-+=+，整理得22(1)4x y ++=.故动点P 的轨迹C 的方程为22(1)4x y ++=；（2）由（1）知道，曲线C 为以(1,0)-为圆心，2为半径的圆， ①若直线l 斜率不存在，则直线l 为 1x =；②若直线l 斜率存在，设为k ，则直线l 方程为3(1)y k x -=-，即3y kx k =-+， 此时圆心C 到直线l 的距离2d ==，化简得：125k =.综上，直线l 方程为1x =或12530x y -+=.（3）∵点Q 的坐标为(,)(0)t t t >，且圆Q 与x 轴相切， ∴圆Q 的半径为t ，∴圆Q 的方程为222()()x t y t t -+-=，∴圆Q 与圆C 的两圆心距离为||CQ ==∵圆Q 与圆C 有公共点，∴|2|||2t CQ t -+，即222(2)221(2)t t t t -+++，解得：33t -+，实数t 的取值范围是[3-+. 【点睛】本题考查圆的切线方程的求解，注意需要讨论斜率不存在的情况，考查圆与圆的位置关系，解题的关键是根据圆心距和半径之间的关系判断.24．（1）240x y -+=；()()22215x y ++-=；（2）240x y -+=或112160x y --=．【分析】（1）由已知两圆方程，可得相交弦AB 所在直线的方程，再与其中一圆的方程联立求交点A 、B 坐标，由题意圆P 是以AB 为直径，其中点为圆心的圆，写出圆P 的方程即可.（2）由直线l 过点()2,3M 且被圆1C 所截得的弦长为1C 到直线l 的距离，再讨论直线l 斜率，判断定点1C 到直线l 的距离是否符合要求，进而求直线的方程. 【详解】（1）由22222280210240x y x y x y x y ⎧+++-=⎨+-+-=⎩， ()2222228210240x y x y x y x y +++--+-+-=，即弦AB 所在的直线方程240x y -+=．∴24x y =-，代入圆的方程式，解得40x y =-⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩. ∴A ，B 两点的坐标分别为()4,-0，()0,2，中点坐标为()2,1P -，则圆P 的半径r PB ===∴圆的方程为()()22215x y ++-=．（2）圆1C ：222280x y x y +++-=方程化为：()()221110x y +++=∴()11,1C --，半径r =，直线被圆所截得的弦长l =∴弦心距d == 若直线l 的斜率不存在，圆心()11,1C --到直线l ：2x =的距离为3，不合题意． ∴直线l 的斜率存在，设为()32y k x -=-，即320kx y k -+-=圆心()11,1C --到直线l =，即2424110k k -+=，解得12k =或112k =，即有()1322y x -=-或()11322y x -=-， 故直线l 的方程为240x y -+=或112160x y --=． 【点睛】关键点点睛：（1）由已知两圆的方程求相交弦直线方程，只需将两圆方程左右两边同时相减即可得到，再由直线与圆的关系求交点坐标，写出圆的方程.（2）由直线过定点，且已知与圆的相交弦长，即可得弦心距，讨论直线存在与否，保证弦心距符合要求，确定直线方程.25．（1）34170x y -+=或3430x y --=；（2）33.⎡⎤---⎣⎦【分析】（1）求出圆心C 的圆心坐标与半径长，求出直线AB 的方程，利用直线AB 与圆C 相切可得出圆心C 到直线AB 的距离等于圆C 的半径，可得出关于实数m 的等式，求出m 的值，进而可求得直线AB 的方程；（2）求出线段AB 的中点D 的坐标，由题意可得出关于m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）圆C 的标准方程为()()22114x y ++-=，圆心()1,1C -，半径为2r ， 直线AB 的斜率为()21344AB k m m +==+-， 所以，直线AB 的方程为()314y x m +=-，即34340x y m ---=， 由于直线AB 与圆C 相切，则31125m --=，解得13m =-或7m =-， 因此，直线AB 的方程为34170x y -+=或3430x y --=；（2）线段AB 的中点为12,2D m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且5AB =， 由于以AB 为直径的圆D 与圆C 有公共点，则22AB AB r CD r -≤≤+，可得1922≤≤，解得33m --≤≤，故实数m 的取值范围为33⎡⎤--⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题考查利用两圆有公共点求参数的取值范围，若两圆圆心分别为1C 、2C ，半径分别为1r 、2r ，可将问题等价转化为121212r r C C r r -≤≤+来处理.26．（1）最大值为3+3-2）最大值为24+24-【分析】（1）设y k x =，整理得y kx =，解不等式d =≤ （2）22x y +表示的是原点()0,0到圆上的任意点的距离的平方，即得解.【详解】 （1）实数x ，y 满足()()22336x y -+-=， 则设y k x=，整理得y kx =， 所以圆心()3,3到直线的距离d =≤，整理得2610k k -+≤，即33k -≤≤+ 所以y x的最大值为3+，最小值为3-. （2）由于22x y +表示的是原点()0,0到圆上的任意点的距离的平方，所以利用最大距离为圆心()3,3到原点的距离与半径的和，=的平方，故最大值为24+最小距离为圆心()3,3到原点的距离与半径的差，=的平方，故最小值为24-【点睛】方法点睛：解析几何中的最值常用的方法有：（1）函数的方法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.本题就利用了数形结合法求最值，要根据已知条件灵活选择方法求解.。

上海第二初级中学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测卷(答案解析)

上海第二初级中学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测卷(答案解析)

一、选择题1．圆心在曲线()30y x x=>上，且与直线3430x y ++=相切的面积最小的圆的方程为（ ）A ．((229x y +=B ．()()22216315x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭C ．()()22218135x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭D ．()223292x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 2．过点()0,0A 、()2,2B 且圆心在直线24y x =-上的圆的标准方程为（ ） A ．()2224x y -+= B ．()2224x y ++= C ．()()22448x y -+-=D ．()()22448x y ++-=3．若平面上两点()2,0A -，()10B ,，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．与实数k 的取值有关4．如果直线:5l y kx =-与圆22240x y x my +-+-=交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线20x y +=对称，则直线l 被圆截得的弦长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5．若点()1,1P --为圆2260x y x ++=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为（ ）A ．230x y +-=B ．210x y --=C ．230x y +-=D ．210x y -+=6．若直线1y kx =-与曲线y =有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．4(0,]3B ．14[,]33C ．1[0,]2D ．[0,1]7．若圆22:60,(0,0)M x y ax by ab a b +++--=>>平分圆22:4240N x y x y +--+=的周长，则2a b +的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．16D ．208．设P 为直线2x ＋y ＋2＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值时直线AB 的方程为（ ） A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝09．已知圆()221:24C x a y ++=与圆()22:1C x y b +-=有且仅有1条公切线，则2211a b +的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．910．过点(1,2)的直线被圆229x y +=所截弦长最短时的直线方程是（ ） A ．250x y +-= B ．20x y -= C ．230x y -+=D ．20x y +=11．过点(0,2)P 的直线l 与以(1,1)A ，(2,3)B -为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．5[,3]2- B ．5(,][3,)2-∞-⋃+∞ C ．3[,1]2-D ．1(,1][,)2-∞-⋃-+∞ 12．曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．53,124二、填空题13．直线360x y +-=和圆()2215x y +-=的位置关系为______.14．如果圆22()()1(0)x a y a a -+-=>上总存在点到原点的距离为3，则实数a 的取值范围为________．15．已知点(4,0),(0,2)A B ，对于直线:0l x y m -+=的任意一点P ，都有22||||18PA PB +>，则实数m 的取值范围是__________.16．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A -，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是___________.17．经过点(2,1)M ，并且与圆2268240x y x y +--+=相切的直线方程是________． 18．已知P 为||||x y m +=上的点，过点P 作圆O ：221x y +=的切线，切点为M 、N ，若使得90MPN ∠=︒的点P 有8个，则m 的取值范围是_________.19．设直线l 的斜率为k ，且11k -<<，则直线的倾斜角α的取值范围是_________.20．已知直线y x b =+与曲线x =恰有两个交点，则实数b 的取值范围为______.三、解答题21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+=及其上一点()2,4A .（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；22．已知圆心为C 的圆经过点()1,1A 和()2,2B -，且圆心C 在直线l ：10x y -+=上． （1）求圆C 的方程；（2）已知直线m ：y x n =+圆C 截得的弦与圆心构成CDE △，若CDE △的面积有最大值，求出直线m ：y x n =+的方程；若CDE △的面积没有最大值，请说明理由. 23．设函数()f z 对一切实数m ，n 都有()()(21)f m n f n m m n +-=++成立，且(1)0f =，(0)f c =，圆C 的方程是22(1)()9x y c +++=.（1）求实数c 的值和()f z 的解析式；（2）若直线220ax by -+=（0a >，0b >）被圆C 截得的弦长为6，求4a bab+的最小值.24．已知点(1,0)M -，(1,0)N ，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 3倍．（1）求曲线E 的方程：（2）已知0m ≠，设直线1l ：10x my --=交曲线E 于A 、C 两点，直线2l ：0mx y m +-=交曲线E 于B 、D 两点，C 、D 两点均在x 轴下方．当CD 的斜率为1-时，求线段AB 的长．25．已知圆1C ：2246120x y x y +--+=． （1）过点()3,5P 作圆1C 的切线l ，求l 的方程；（2）若圆2C ：222440x y x y ++--=与圆1C 相交于A ，B 两点，求AB .26．已知圆C ：224x y +=.（1）求过点A 且与圆C 相切的直线方程； （2）若(),P x y 圆C 上的任意一点，求x y +的最大值.参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设圆心为(),a b ，利用圆心到直线的距离求出半径，利用基本不等式可求出最小半径，即可求出该圆. 【详解】设圆心为(),a b ，半径为r ，则满足条件的圆面积最小时即r 最小时，3435a b r ++==≥， ∵圆心(),a b 在()30y x x=>上， ∴3b a=，即3ab =，∴min 335r ==， 当且仅当34a b =，即2a =，32b =时取等号， ∴此时圆的方程为()223292x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的相切问题，解题的关键是利用基本不等式求出半径的最小值.2．A解析：A 【分析】设圆心的坐标为(),24a a -，根据圆心到点A 、B 的距离相等可得出关于实数a 的等式，求出a 的值，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出所求圆的标准方程. 【详解】设圆心为(),24C a a -，由AC BC ==整理可得20a -=，解得2a =，所以圆心()2,0C ，所求圆的半径为2AC =，因此，所求圆的标准方程为()2224x y -+=.故选：A. 【点睛】方法点睛：求圆的方程常见的思路与方法如下：（1）求圆的轨迹方程，直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于x 、y 的方程即可； （2）根据几何意义直接求出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程；（3）待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般方程，再根据所给条件求出参数即可.3．C解析：C 【分析】首先利用直接法求点P 的轨迹方程，则转化为直线()1y k x =-与轨迹曲线的交点个数. 【详解】 设(),P x y ，2PA PB =，=整理为：()22224024x y x x y +-=⇔-+=， 即点P 的轨迹是以()2,0为圆心，2r为半径的圆，直线():1l y k x =-是经过定点()1,0，斜率存在的直线，点()1,0在圆的内部，所以直线():1l y k x =-与圆有2个交点，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为2个. 故选：C 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.4．C解析：C 【分析】由题意推出圆心在直线上，求出m ，求出圆的半径与弦心距，利用圆心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦长. 【详解】因M 、N 关于直线20x y +=对称，故圆心(1,)2m-在直线20x y +=上，4m ∴=. 又因为直线20x y +=与:5l y kx =-垂直，21K ∴-⨯=-，12K ∴=， 设圆心(1,2)-，到直线1502x y --=的距离为d ，d ∴==圆的半径为3r ==.4MN ∴==.故选：C . 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对称性可知圆心在直线20x y +=上.5．D解析：D 【分析】连接圆心与弦中点，根据垂径定理的逆定理得到直线AP 与弦所在的直线垂直，由圆的标准方程求出圆心A 的坐标，再由弦中点P 的坐标，求出直线AP 的斜率，根据两直线垂直斜率的乘积为1-，求出弦所在直线的斜率，再由弦中点P 的坐标及求出的斜率，写出弦所在直线的方程即可． 【详解】解：由题意，知圆的标准方程为()2239x y ++=，圆心为()30A -,. 因为点()1,1P --为弦MN 的中点，所以AP MN ⊥. 又AP 的斜率101132k --==--+，所以直线MN 的斜率为2， 所以弦MN 所在直线的方程为()121y x +=+，即210x y -+=. 故选：D 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，直线斜率的求法，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，解题的关键是连接圆心与弦中点，根据垂径定理的逆定理得到直线AP 与弦所在的直线垂直．6．D解析：D 【分析】1y kx =-是过定点()0,1-的直线，曲线表示以()2,0为圆心，半径为1的圆的下半部分，画出两函数图像，找出两图像有公共点时k 的范围即可. 【详解】解：根据题意可得：1y kx =-是过定点()0,1-的直线，曲线表示以()2,0为圆心，半径为1的圆的下半部分，画出函数图像，如图所示： 当直线与曲线相切时：0k =，当()1,0在直线上时，代入可得1k =，所以两函数图像有公共点的k 的范围是[]0,1. 故选：D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用了数形结合的思想，属于中档题. 方法点睛：（1）画出函数图像；（2）根据图像找到有公共点的相切或相交的情况； （3）根据公式计算，得到结果.7．A解析：A 【分析】由两圆的相交弦是圆N 的直径得出,a b 的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】两圆方程相减得，(4)(2)100a x b y ab +++--=，此为相交弦所在直线方程， 圆N 的标准方程是22(2)(1)1x y -+-=，圆心为(2,1)N ， ∴2(4)2100a b ab +++--=，121a b+=， ∵0,0a b >>，∴12442(2)()4428b a b aa b a b a b a b a b+=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =即2,4a b ==时等号成立．故选：A ． 【点睛】本题考查圆的方程，考查基本不等式求最值．圆的性质：（1）圆的直径平分圆；（2）相交两圆方程相减所得一次方程是两圆公共弦所在直线方程．8．D解析：D 【分析】根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求直线AB 的方程. 【详解】由于,PA PB 是圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，,A B 是切点，所以2||||2||PACB PAC S S PA AC PA ∆==⋅=== 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小， 此时PC :11(x 1)2y -=-,即210.y x --= 联立210,220y x x y --=⎧⎨++=⎩得1,,(1,0),0x P y =-⎧-⎨=⎩PC 的中点为1(0,),||2PC ==以PC 为直径的圆的方程为2215(),24x y +-=即2210x y y +--=，两圆方程相减可得直线AB 的方程210,x y ++=故选：D.9．D解析：D 【分析】由题意可知，圆2C 内切于圆1C ，由题意可得出2241a b +=，然后将代数式2211a b+与224a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b+的最小值. 【详解】圆()221:24C x a y ++=的圆心为()12,0C a -，半径为12r =，圆()22:1C x y b +-=的圆心为()20,C b ，半径为21r =，由于两圆有且仅有1条公切线，则圆2C 内切于圆1C ，所以12121C C r r ==-=，可得2241a b +=，()2222222222111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=∴++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当222b a =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为9. 故选：D. 【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r .（1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含；（2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切；（3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交； （4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切； （5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.10．A解析：A 【分析】分析可得当弦长最短时，该弦所在直线与过点(1,2)的直径垂直，先求出过点(1,2)的直径的斜率，然后再求出所求直线的斜率，最后由点斜式写出直线的方程即可. 【详解】当弦长最短时，该弦所在直线与过点(1,2)的直径垂直， 圆229x y +=的圆心为(0,0)，所以过点(1,2)的直径的斜率为20210-=-， 故所求直线为12-，所求直线方程为12(1)2y x ，即250x y +-=. 故选：A . 【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是明确当弦与圆的直径垂直时，弦长最短，考查逻辑思维能力，属于常考题.11．D解析：D 【分析】画出图形，设直线l 的斜率为k ，求出PA k 和PB k ，由直线l 与线段AB 有交点，可知PA k k ≤或PB k k ≥，即可得出答案.【详解】直线过定点(0,2)P ，设直线l 的斜率为k ，∵12110PA k -==--，321202PB k -==---， ∴要使直线l 与线段AB 有交点，则k 的取值范围是1k ≤-或12k ≥-， 即1(,1][,)2k ∈-∞-⋃-+∞.故选：D. 【点睛】方法点睛：求直线的斜率（或取值范围）的方法：（1）定义法：已知直线的倾斜角为α，且90α︒≠，则斜率tan k α=； （2）公式法：若直线过两点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x ≠，则斜率2121y y k x x -=-； （3）数形结合方法：该法常用于解决下面一种题型：已知线段AB 的两端点及线段外一点P ，求过点P 且与线段AB 有交点的直线l 斜率的取值范围.若直线,PA PB 的斜率都存在，解题步骤如下： ①连接,PA PB ； ②由2121y y k x x -=-，求出PA k 和PB k ； ③结合图形写出满足条件的直线l 斜率的取值范围.12．D解析：D 【分析】 易知曲线214y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解. 【详解】 曲线214y x 变形为22214141y x x y y 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径， 23221k k -=+，解得512k =，即512AC k ，又413224AB k ， 由图知：当曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：ACAB k kk ，即53124k <≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题13．相交【分析】由圆的标准方程求出圆心和半径根据圆心到直线的距离与半径的大小关系确定出直线与圆的位置关系【详解】解：圆的圆心坐标为半径则圆心到直线的距离直线与圆的位置关系是相交故答案为：相交【点睛】方法解析：相交 【分析】由圆的标准方程求出圆心和半径，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系，确定出直线与圆的位置关系 【详解】解：圆()2215x y +-=的圆心坐标为(0,1)，半径5r =则圆心到直线360x y +-=的距离d =< ∴直线360x y +-=与圆()2215x y +-=的位置关系是相交.故答案为：相交. 【点睛】方法点睛：判断直线与圆的位置关系，常用圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小比较： （1）若d r =，则直线与圆相切； （2）若d r <，则直线与圆相交； （3）若dr ，则直线与圆相离.14．【分析】求出到原点的距离为3的点的轨迹方程为则等价于则圆与圆有交点利用圆心距与半径关系即可求出【详解】根据题意到原点的距离为3的点的轨迹方程为若圆上总存在点到原点的距离为3则圆与圆有交点两圆的圆心距解析：【分析】求出到原点的距离为3的点的轨迹方程为229x y +=，则等价于则圆22()()1(0)x a y a a -+-=>与圆229x y +=有交点，利用圆心距与半径关系即可求出.【详解】根据题意，到原点的距离为3的点的轨迹方程为229x y +=， 若圆22()()1(0)x a y a a -+-=>上总存在点到原点的距离为3， 则圆22()()1(0)x a y a a -+-=>与圆229x y +=有交点，=，3131∴-≤≤+a ≤故答案为：.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将题目等价于圆22()()1(0)x a y a a -+-=>与圆229x y +=有交点，利用圆心距与半径关系求解.15．【分析】设根据条件可得即点P 在圆外故圆与直线相离根据直线与圆的位置关系可得答案【详解】设由可得即所以点P 在圆外又点P 在直线上所以圆与直线相离所以解得：或故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与解析：(,11,)-∞--⋃+∞【分析】设(),P x y ，根据条件可得()()22214x y -+->，即点P 在圆()()22214x y -+-=外，故圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，根据直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】设(),P x y ，由22||||18PA PB +>可得()()22224218x y x y -+++->，即()()22214x y -+-> 所以点P 在圆()()22214x y -+-=外，又点P 在直线:0l x y m -+=上 所以圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离所以2d r =>=，解得：1m >或1m <--故答案为：(,11,)-∞--⋃+∞ 【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与圆的位置关系求参数范围，解答本题的关键是根据条件得到点P 在圆()()22214x y -+-=外，即圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，属于中档题.16．【分析】将问题转化为以为圆心2为半径的圆为圆与圆相交问题再根据圆与圆的位置关系求解即可【详解】解：根据题意设以为圆心2为半径的圆为圆所以圆圆心为半径为则两圆圆心距为:因为圆上存在两点到的距离为2所以 解析：(3,7)【分析】将问题转化为以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：根据题意设以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A ， 所以圆222:(0),O x y r r +=> 圆心为(0,0),O 半径为r ， 则两圆圆心距为 : ||5OA = ， 因为圆O 上存在两点到A 的距离为2， 所以圆O 与圆A 相交，所以252,r r -<<+ 解得 :37.r << 所以的取值范围是：(3,7). 故答案为：(3,7). 【点睛】圆与圆位置关系问题的解题策略：（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法；（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.17．或【分析】求出圆心和半径判断斜率不存在的直线是否是切线斜率存在时设出直线方程由圆心到切线距离等于半径求得参数值得切线方程【详解】圆标准方程是圆心为半径为1易知直线与圆相切设斜率存在的切线方程为即由解解析：2x =或4350x y --= 【分析】求出圆心和半径，判断斜率不存在的直线是否是切线，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数值得切线方程． 【详解】圆标准方程是22(3)(4)1x y -+-=，圆心为(3,4)，半径为1． 易知直线2x =与圆相切，设斜率存在的切线方程为1(2)y k x -=-，即210kx y k --+=，1=，解得43k =，切线方程为481033x y --+=，即4350x y --=．故答案为：2x =或4350x y --=． 【点睛】本题考查求圆的切线方程，解题方法是由圆心到切线的距离等于半径求解．但解题时要注意过定点斜率不存在的直线是否是切线，否则由方程求不出此直线方程．如果所过的点在圆上，由可由过切点的半径与切线垂直得出切线斜率后得直线方程．18．【分析】先根据条件得到点的轨迹方程为由条件可得曲线与圆有8个公共点作出的图象根据数形结合可得答案【详解】如图根据切线的性质可得与全等由则为等腰直角三角形则所以满足条件的点的轨迹方程为：P 为与圆的交点2m <【分析】先根据条件得到点P 的轨迹方程为222x y +=,由条件可得曲线||||x y m +=与圆222x y +=有8个公共点,作出||||x y m +=的图象，根据数形结合可得答案.【详解】如图，根据切线的性质可得OPM 与OPN 全等， 由90MPN ∠=︒，则OPM为等腰直角三角形，则OP =所以满足条件的点P 的轨迹方程为：222x y +=P 为||||x y m +=与圆222x y +=的交点,由条件可得曲线||||x y m +=与圆222x y +=有8个公共点.对于||||x y m +=,当0,0x y ≥≥时，x y m += 当0,0x y ≤≤时，x y m --= 当0,0x y ≥≤时，x y m -= 当0,0x y ≤≥时，x y m -+= 如图，当2m =时，曲线||||x y m +=与圆222x y +=有4个交点.当2m =时，曲线||||x y m +=与圆222x y +=相切，有4个公共点.根据图象可得，当22m <<时，曲线||||x y m +=与圆222x y +=有8个公共点故答案为：22m <<【点睛】关键点睛：本题考查轨迹问题和根据图象的交点个数求参数，解答本题的关键是先求出点P 的轨迹方程为：222x y +=，然后转化为曲线||||x y m +=与圆222x y +=有8个公共点.根据图象先求出临界情况的参数值，再数形结合解出答案，属于中档题.19．【分析】利用倾斜角与斜率关系图象得解【详解】由图得当时故答案为：【点睛】熟悉倾斜角与斜率函数图象是解题关键解析：3[0,)(,)44πππ【分析】利用倾斜角与斜率关系图象得解. 【详解】由图得当11k -<<时，3[0,)(,)44ππαπ∈ 故答案为：3[0,)(,)44πππ 【点睛】熟悉倾斜角与斜率函数图象是解题关键.20．【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆进而画出曲线来要使直线与曲线恰有两个交点可以通过数形结合分析得解【详解】曲线有即表示一个半圆（单位圆左半部分）如图当直线经过点点时求得；当直线和半圆相切时由圆心到直 解析：2⎡⎣【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆，进而画出曲线来，要使直线与曲线恰有两个交点，可以通过数形结合分析得解. 【详解】曲线2x 1y =--有即221x y +=(0)x ，表示一个半圆（单位圆左半部分）．如图，(0,1)A 、(1,0)B -、(0,1)C -，当直线y x b =+经过点B 、点A 时，01b =-+，求得1b =； 当直线y x b =+和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得12=2b =2b =-（舍去），故要求的实数b 的范围为12b <，故答案为：)1,2⎡⎣【点睛】易错点睛：本题在把方程2x 1y =--化简找其对应的曲线时，容易漏掉0x ≤，从而把曲线的范围扩大为整个单位圆，导致结果出错.在把方程转化时，一定要注意变量范围的等价性.三、解答题21．（1）()()22611x y -+-=；（2）250x y -+=或2150x y --=. 【分析】（1）设()06,N y ，由圆与x 轴相切、与圆M 外切可得0075y y -=+，进而可得01y =，即可得解；（2）由直线平行的性质可设直线l 的方程为20x y m -+=，利用垂径定理、点到直线的距离公式即可得解. 【详解】圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心()6,7M ，半径为5，（1）由圆心N 在直线6x =上，可设()06,N y . 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =， 因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=；（2）因为直线//l OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-， 设直线l 的方程为2y x m =+，即20x y m -+=，则圆心M 到直线l 的距离267555mm d ⨯-++==，因为BC OA ===，而2222BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()252555m +=+，解得5m =或15m =-，故直线l 的方程为250x y -+=或2150x y --=.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化直线与圆、圆与圆的位置关系及垂径定理的应用. 22．（1）22(3)(2)25x y +++=；（2）存在4n =-或6n =，最大值为252，直线m 的方程为4y x =-或6y x =+. 【分析】（1）设圆的一般式方程，代入A 、B 两点坐标，再圆心在直线上，列方程组得解. （2）设圆心到直线的距离为()0h h >，将三角形CDE △的面积表示为h 的函数，用基本不等式求最值及取最值时h 的取值，进一步可得对应的直线方程. 【详解】（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=因为点()1,1A 和()2,2B -在圆上，圆心C 在直线l ：10x y -+=上，所以110442201022D E F D E F D E ⎧⎪++++=⎪⎪++-+=⎨⎪⎛⎫⎪---+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得6D =，4E =，12F =-，所以圆的方程为2264120x y x y +++-=，即22(3)(2)25x y +++=． （2）设圆心C 到直线m 的距离为()0h h >，H 为DE 的中点，连接CH . 在CDE △中，∵DE ==∴CDE △的面积为1122CDES DE CH h h =⋅=⋅=∴22252522CDEh h S+-=≤=， 当且仅当2225h h=-，即2h =此时CDE △的面积取得最大值.∵|1|22CH n h ==-==， ∴|1|5n -=，∴4n =-或6n =，故存在4n =-或6n =，使得CDE △的面积最大，最大值为252，此时直线m 的方程为4y x =-或6y x =+. 【点睛】此题为直线与圆的综合题，属于能力题.方法点睛：直线与圆相交的弦、弦心距、圆的半径三者构成的直角三角形是此类问题中的特征三角形，边长满足勾股定理是解决此类问题关键. 23．（1）2c =-；2()2f z z z =+-；（2）9. 【分析】（1）令1m =，0n =代入等式中可求得c .再令m n =-代入得()f z 的解析式；（2）由已知求得直线过圆心()12-，，有1a b +=.由均值不等式得4144()5a b a b a b ab a b b a +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，可求和4a bab +的最小值. 【详解】（1）令1m =，0n =代入等式中可得，(0)2f =-，即2c =-.再令m n =-得，(0)()(21)f f n n n n -=--++，2()2f n n n =+-， 所以2()2f z z z =+-.（2）因为直线被圆22(1)(2)9x y ++-=截得的弦长为6，所以直线过圆心()12-，，有1a b +=.于是由均值不等式得，414144()559a b a b a b ab a b a b b a +⎛⎫=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即13a =，23b =时等号成立.故4a b ab +的最小值是9.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.24．（1）22(2)3x y -+=；（2） 【分析】（1）设动点坐标为(,)x y ，由两点间距离公式得等式，化简后可得轨迹方程；（2）由题意知12l l ⊥，且两条直线均过定点(1,0)N ，设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，线段CD 的中点为P ，则直线:2EP y x =-，设直线:CD y x t =-+，可得22(,)22t t P +-，利用圆的几何性质得12NP CD ==0t =或3t =，确定直线:CD y x =-，可得,C D 坐标，然后求得,A B 两点坐标，得弦长AB ．【详解】解：（1）设曲线E 上任意一点坐标为(,)x y ，=， 整理得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=. （2）由题意知12l l ⊥，且两条直线均过定点(1,0)N ，设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，线段CD 的中点为P ，则直线:2EP y x =-，设直线:CD y x t =-+，由2y x y x t =-⎧⎨=-+⎩得点22(,)22t t P +-，由圆的几何性质得12NP CD ==而22222222(1)(),3,22t t NP ED EP +-=-+==， 解得0t =或3t =，又,C D 两点均在x 轴下方，所以直线:CD y x =-，由22410x y x y x ⎧+-+=⎨=-⎩，解得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或121x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不失一般性，设(11),(11)C D +， 由22410(1)x y x y u x ⎧+-+=⎨=-⎩，消去y 得2222(1)2(2)10u x u x u +-+++=① 方程①的两根之积为1，所以点A的横坐标2A x = 又因为点C (11)22--在直线1:10l x my --=上，解得1m ，直线1:1)(1)l y x =-，所以(2A +，同理可得(2B -， 所以线段AB的长为 【点睛】关键点点睛：本题考查求圆的轨迹方程，考查求圆中弦长．本题求弦长方程是求出交点坐标，再得弦长，而解题关键是由直线12l l ⊥，且交点为定点(1,0)N ，设出CD 方程，CD中点P，由圆的性质得12NP CD ==求得CD 方程，得出,C D 两点坐标，再得,A B 两点坐标，得弦长． 25．（1）34110x y -+=或3x =；（2． 【分析】（1）讨论切线l 斜率是否存在，设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果；（2）两圆相减得到相交弦AB 的方程，再计算1C 到直线AB 的距离d ，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦长AB .【详解】解：（1）圆1C 方程可化为22(2)(3)1x y -+-=，则()12,3C ，若切线l 斜率存在，则设l 的方程为()35y k x =-+，即530kx y k -+-=，则1d ==，解得34k =，∴l 的方程为311044x y -+=，即34110x y -+=，若切线l 斜率不存在时，方程为3x =，此时与圆1C 相切，l ∴的方程为34110x y -+=或3x =；（2）1C 与2C 方程相减得直线AB 的方程为380x y +-=，则1C 到直线AB的距离d =AB ∴== 【点睛】 几何法判断直线l 与圆C 的位置关系时，先计算圆心C 到直线l 的距离d ，若d r <时，直线与圆相交；若=d r 时，直线与圆相切；若d r 时，直线与圆相例. 其中相交时，可利用弦三角形勾股定理2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求弦长AB .26．（1）40x +-=；（2）.【分析】（1）A 在圆上，直接求得切线方程；（2）设t x y =+，两方程联解利用0∆≥得解【详解】（1）∵A 在圆上，显然直线斜率存在，设斜率为k ，则切线方程为(1)y k x =-+2=解得3y =- ∴过A点的切线方程为：40x +-=（2）设t x y =+，则y x t =-+.由224y x t x y =-+⎧⎨+=⎩，得：222240x tx t -+-= ∴()()2224240t t ∆=-⋅-≥，整理得：28t ≤，t -≤∴t的最大值为x y +的最大值为【点睛】求过圆上的一点00()x y ，的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程为0y y =；若0k =，则结合图形可直接写出切线方程为0x x =；若k 存在且0k ≠，则由垂直关系知切线的斜率为1k -，由点斜式可写出切线方程．。

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一、选择题1．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-或35B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 2．直线()()()230x m x y m -+-+=∈R 过下面哪个定点（ ） A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,5D ．()3,23．如果实数x 、y 满足22640x y x +-+=，那么yx的最大值是（ ）A ．23B C D 4．已知圆M ：22(1)(2)5x y -+-=和点(3,5)P ，过点P 做圆M 的切线，切点分别为A 、B ，则下列命题：①4PA PB k k ⋅=-；②PA =；③AB 所在直线方程为：23130x y +-=；④PAB △外接圆的方程为2247130x y x y +--+=．其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长，则）A B ．5C ．D ．106．已知直线1:210l ax y +-=2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则a 的值为（ ） A ．4± B ．－4C ．4D ．2±7．圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值为（ ）A ．1B ．2CD ．8．已知0a >，0b >，直线1l ：()410x a y +-+=，2l ：220bx y +-=，且12l l ⊥，则1112a b++的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．23D ．459．已知直线l ：(3)(2)20m x m y m ++---=，点()21A --，，(22)B -，，若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（ ）A ．(4][4)-∞-⋃+∞，，B ．(22)-，C ．3[8]2-，D ．(4)+∞，10．已知圆22:(2)2C x y ++=，则在x 轴和y 轴上的截距相等且与圆C 相切的直线有几条（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条11．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12．已知点(1,1)A - 和圆221014700C x y x y +--+=: ，一束光线从点A 出发，经过x 轴反射到圆C 的最短路程是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题13．已知圆O ：221x y +=，圆M ：22()(2)2x a y -+-=．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得PA PB ⊥，则实数a 的取值范围为______．14．已知圆C ：224x y +=，直线l ：(0)x y m m +=>，圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1.则m 的取值范围是_____________.15．已知圆221:210240C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=相交于A 、B 两点，则线段AB 的长度为__________．16．若直线4(1)80x m y +++=与直线2390x y --=平行，则这两条平行线间的距离为_________.17．已知M ，N 是圆22:20A x y x +-=与圆22:240B x y x y ++-=的公共点，则线段MN 的长度为______.18．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A -，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在一点M 满足2=MA MO ，则实数a 的取值范围是__________．19．以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0公共弦为直径的圆的方程为________．20．已知：()2,0A -，()2,0B ，()0,2C ，()1,0E -，()1,0F ，一束光线从F 点出发发射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上（不含端点）FD 斜率的范围为____________.三、解答题21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+=及其上一点()2,4A .（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；22．已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（1）求圆C 的方程；（2）直线4y kx =-与圆C 交于不同的M ，N 两点，且120MCN ∠=︒，求直线l 的斜率；（3）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.23．已知圆C ：222430x y x y ++-+=（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； （2）若从圆C 外一点()1,2P -向该圆引切线PA 和PB （A ，B 为切点），求弦长AB 的大小.24．已知圆1C 过点(0,6)A ，且与圆222:10100C x y x y +++=相切于原点，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=．（1）求圆1C 的方程；（2）求直线l 被圆1C 截得的弦长最小值．25．已知圆心为C 的圆经过(0,2)A -和(1,5)B .且圆心在直线x +y +1=0上. （1）求圆C 的标准方程；（2）设直线l ：(m +2)x +(m +1)y +1=0，求直线l 被（1）中圆C 截得的弦长最短时的直线方程.26．已知点E 与两个定点1,0A ，()4,0B 的距离的比为12. （1）记点E 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的轨迹方程.（2）过点()2,3G 作两条与曲线C 相切的直线，切点分别为M ，N ，求直线MN 的方程. （3）若与直线1:l y x =-垂直的直线l 与曲线C 交于不同的两点P ，Q ，若POQ ∠为钝角，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3--关于y 轴的对称点()2,3-，设反射光线所在直线方程为()32y k x +=-，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率k . 【详解】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3--关于y 轴的对称点()2,3-， 设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为()32y k x +=-，即230kx y k ---=， 又由反射光线与圆()()22321x y ++-=1=，整理得21225120k k ++=，解得43k =-或34k =-.故选：D. 【点睛】过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.2．C解析：C 【分析】由恒等式的思想得出2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解之可得选项.【详解】由2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得：25x y =⎧⎨=⎩，故直线过恒过点()2,5，故选：C. 【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.3．D解析：D 【分析】本题首先可求出圆的圆心与半径，然后将yx看作圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率，并结合图像得出当过原点的直线与圆相切时斜率最大，最后根据直线与圆相切即可得出结果. 【详解】22640x y x +-+=，即()2235x y -+=，圆心为()3,0，半径为5，yx的几何意义是圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率， 如图，结合题意绘出图像：结合图像易知，当过原点的直线与圆相切时，斜率最大，即yx最大， 令此时直线的倾斜角为α，则5tan α=，y x 5，故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线的斜率的几何意义的应用，考查直线与圆相切的相关性质，能否将yx看作点(),x y 与()0,0连线的斜率是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.4．D解析：D 【分析】设出斜率k ，得出切线方程，利用相切可得2+2440k k -=，即可得出4PA PB k k ⋅=-，判断①；由PA =②；可得,,,P A B M 四点共圆，圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为22PM =，写出圆的方程可判断④；两圆相减可得直线AB 方程，判断③. 【详解】可知切线的斜率存在，设斜率为k ，则切线方程为53y k x ，即350kx y k ，=2+2440k k -=，可得,PA PB k k 是该方程的两个根，故4PA PB k k ⋅=-，故①正确； 又PM ==PA MA ⊥，PA ∴==故②正确；,PA MA PB MB ⊥⊥，,,,P A B M ∴四点共圆，且圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2PM =故PAB △外接圆的方程为22713(2)()24x y -+-=，即2247130x y x y +--+=，故④正确；将两圆方程相减可得23130x y +-=，即直线AB 方程，故③正确. 故选：D. 【点睛】本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是利用相切关系得出圆心到直线的距离为半径，且,,,P A B M 四点共圆.5．A解析：A 【分析】由直线过圆心得,a b 满足的关系式，说明点(,)a b 在一条直线上，由点到平面的距离公式可得最小值． 【详解】由题意直线l 过已知圆的圆心，圆心为(2,1)--，∴210a b --+=，即210a b +-=， 点(,)a b 在直线210x y +-=上，210x y +-=的点(,)a b 到点(2,2)的距离，∴=【点睛】方法点睛：本题考查二元函数的最值问题．解题方法是利用其几何意义：两点间距离求解，解题关键是求出,a b 满足的条件，得点(,)a b 在一条直线210x y +-=上，从而只要求得定点到直线的距离即可得．6．B解析：B 【分析】由12l l //可得280,a a ⨯-⨯=解得4a =±，然后再检验,得出答案. 【详解】因为12l l //，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±. 当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去. 当4a =-时，符合题意. 所以4a =-. 故选：B 【点睛】易错点睛：已知直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行求参数的值时，除了要计算12210a b a b -=，还一定要把求出的参数值代入原直线方程进行检验，看直线是否重合.本题就是典型例子，否则容易出现错解，属于中档题7．C解析：C 【分析】求出圆心到直线距离，减去半径得解. 【详解】圆心为(1,0)-，直线方程为5y x =+，所以d == ，圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值d r -=故选C ． 【点睛】圆上的点到直线的距离的最值的几何求法通常运用圆心到直线的距离加减半径得到.属于基础题.8．D解析：D 【分析】根据12l l ⊥得到125a b ++=，再将1112a b++化为积为定值的形式后，利用基本不等式可【详解】因为12l l ⊥，所以240b a +-=，即125a b ++=， 因为0,0a b >>，所以10,20a b +>>， 所以1112a b ++=1112a b ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()1125a b ⨯++1212512b a a b +⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭14255⎛≥+= ⎝， 当且仅当35,24a b ==时，等号成立. 故选：D 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方9．C解析：C 【分析】根据题意得直线l 恒过点4155C ⎛⎫⎪⎝⎭，，进而得直线l 的斜率k 的取值范围为：116k ≤-或37k ≥，再根据32m k m +=--，解不等式即可得答案. 【详解】直线l 方程变形得：(1)(322)0x y m x y +-+--=. 由103220x y x y +-=⎧⎨--=⎩得4515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l 恒过点4155C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，11354725ACk +==+，121154625BC k +==--， 由图可知直线l 的斜率k 的取值范围为：116k ≤-或37k ≥，又32m k m +=--， ∴11263m m ≤--+-或3273m m -≥+-，即28m <≤或322m -≤<，又2m =时直线的方程为45x =，仍与线段AB 相交， ∴m 的取值范围为382⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. 故选：C.【点睛】本题解题的关键在于根据直线系方程(1)(322)0x y m x y +-+--=得直线l 恒过点4155C ⎛⎫⎪⎝⎭，.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题. 10．C解析：C 【分析】先看直线不过原点的情况，设出直线的方程，斜率为1-，则可知这样的直线有2条，再看直线过原点的情况，把原点代入即可知原点在圆外，则这样的直线也应该有2条，最后验证以上4条中有一条是重复，最后综合得到结论. 【详解】若直线不过原点，其斜率为1-，设其方程为y x m =-+， 则0222md --==0m =或4-，当0m =时，直线过原点；若过原点，把()0,0代入()2200242++=>，即原点在圆外，所以过原点有2条切线，综上，一共有3条， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了学生数形结合的思想和对基本知识的理解，属于中档题.11．C解析：C 【分析】将两圆化为标准形式,求出圆心距和两圆半径之和,判断即可. 【详解】圆221:(1)(2)4C x y +++=，圆心 1(1,2)C -- ，12r =， 圆222:(2)(2)9C x y -+-= ，圆心2C ()2,2，23r =，圆心距125C C ==1212C C r r =+,∴两圆外切，有3条公切线.故选:C. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系,考查学生数形结合思想以及求解运算能力,属于基础题.12．C解析：C 【分析】先将圆221014700C x y x y +--+=:化为标准方程,求出圆心和半径,再找出圆心O 关于x 轴对称的点'O ,最短距离即(1,1)A -和圆C 的圆心()5,7O 关于x 轴对称的点()'5,7O -的距离再减去半径的距离. 【详解】解:由题可知，圆221014700C x y x y +--+=:,整理得()()222572C x y -+-=:,圆心()5,7O ,半径2r最短距离即(1,1)A -和圆C 的圆心()5,7O 关于x 轴对称的点()'5,7O -的距离再减去半径的距离，所以21028d ==-=.故选:C 【点睛】本题主要考查圆的方程和直线与圆的位置关系,考查两点间的距离公式,属于简单题.二、填空题13．【分析】将转化为由圆与圆：有公共点可解得结果【详解】因为所以所以所以圆与圆：有公共点所以所以得所以故答案为：【点睛】关键点点睛：转化为圆与圆：有公共点求解是解题关键 解析：22a -≤≤【分析】将PA PB ⊥转化为PO =，由圆222x y +=与圆M ：22()(2)2x a y -+-=有公共点可解得结果. 【详解】因为PA PB ⊥，所以4APO BPO π∠=∠=，所以1PA PB ==，PO =，所以圆222x y +=与圆M ：22()(2)2x a y -+-=有公共点，所以OM PO PM ≤+==≤24a ≤，所以22a -≤≤. 故答案为：22a -≤≤ 【点睛】关键点点睛：转化为圆222x y +=与圆M ：22()(2)2x a y -+-=有公共点求解是解题关键.14．【分析】根据圆的几何性质结合点到直线距离公式进行求解即可【详解】圆C ：的半径为2圆心坐标为：设圆心到直线l ：的距离为要想圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1只需即而所以故答案为：【点睛】关键点睛：利用解析：【分析】根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】圆C ：224x y +=的半径为2，圆心坐标为：(0,0) 设圆心(0,0)到直线l ：x y m +=的距离为d ，要想圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1，只需112d <<+，即13m <<⇒<< 0m >m <<.故答案为： 【点睛】关键点睛：利用圆的性质转化为点到直线的距离是解题的关键.15．【分析】由两圆方程相减可得公共弦的方程再由直线和圆相交的弦长公式计算可得所求值【详解】解：由圆和圆相减可得公共弦的方程为又圆的圆心为半径为可得到直线的距离为则故答案为：【点睛】关键点点睛：两圆相交相解析：由两圆方程相减可得公共弦AB 的方程，再由直线和圆相交的弦长公式，计算可得所求值． 【详解】解：由圆221:210240C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=相减可得，公共弦的方程为240x y -+=，又圆221:210240C x y x y +-+-=的圆心为(1,5)-，半径为可得1C 到直线240x y -+=的距离为d =则||AB =故答案为： 【点睛】关键点点睛：两圆相交，相交弦所在直线的方程可有两圆方程相减而得到，处理圆的弦长选择垂径定理为好．16．【分析】根据两直线平行求得得到两直线的方程再结合两直线间的距离公式即可求解【详解】由直线与直线平行可得解得即两条分别为和所以两直线间的距离为故答案为：【点睛】两平行线间的距离的求法：利用转化法将两条【分析】根据两直线平行，求得7m =-，得到两直线的方程，再结合两直线间的距离公式，即可求解. 【详解】由直线4(1)80x m y +++=与直线2390x y --=平行， 可得4(3)2(1)m ⨯-=+，解得7m =-， 即两条分别为2340x y ++=和2390x y --=，所以两直线间的距离为d ==【点睛】两平行线间的距离的求法：利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； 利用两平行线间的距离公式进行求解.17．【分析】利用两个圆的方程求出公共弦所在直线方程然后求出点到直线的距离再根据勾股定理可求得弦长【详解】由两圆方程相减消去二次项可得两圆公共弦所在直线方程为：又圆的圆心半径所以点到直线的距离所以故答案为利用两个圆的方程求出公共弦所在直线方程，然后求出点A 到直线MN 的距离，再根据勾股定理可求得弦长. 【详解】由两圆方程相减，消去二次项可得两圆公共弦MN 所在直线方程为：0x y -=， 又圆22:20A x y x +-=的圆心(1,0)A ，半径R =1，所以点A 到直线MN 的距离2d ==，所以||MN ===【点睛】关键点点睛：利用两个圆的方程求出公共弦所在直线方程是解题关键.18．【分析】设点的坐标为根据可得点的轨迹方程为然后将问题转化为两圆有公共点的问题解决根据圆心距和半径的关系可得结果【详解】由题意得圆的圆心为半径为1设点的坐标为∵∴整理得故点的轨迹是以为圆心2为半径的圆 解析：[0,3]【分析】设点M 的坐标为(),x y ，根据2MA MO =可得点M 的轨迹方程为()2214x y +-=，然后将问题转化为两圆有公共点的问题解决，根据圆心距和半径的关系可得结果． 【详解】由题意得圆()()22:21C x a y a -+-+=的圆心为(),2a a -，半径为1．设点M 的坐标为(),x y ， ∵2MA MO =，∴=整理得()2214x y +-=，故点M 的轨迹是以()0,1为圆心，2为半径的圆． 由题意得圆C 和点M 的轨迹有公共点，∴13≤≤，解得03a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]0,3． 【点睛】本题考查两圆位置关系的判断和利用，解题的关键是根据题意得到点M 的轨迹方程，然后将问题转化为两圆有公共点的问题出处理，再利用代数法求解可得所求的结果．19．x2＋y2－4x＋4y－17＝0【解析】试题分析：解法一：先两圆方程相减得到公共弦方程再联立直线和圆的方程求出公共点坐标进而求出圆的半径和圆心写出圆的方程即可；解法二：先两圆方程相减得到公共弦方程再解析：x2＋y2－4x＋4y－17＝0【解析】试题分析：解法一：先两圆方程相减，得到公共弦方程，再联立直线和圆的方程求出公共点坐标，进而求出圆的半径和圆心，写出圆的方程即可；解法二：先两圆方程相减，得到公共弦方程，再利用圆系方程进行求解.试题解法一：联立两圆方程22221221301216250 x y x yx y x y⎧+---=⎨+++-=⎩，相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.再由22122130 4320x y x yx y⎧+---=⎨+-=⎩，联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)5=，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.设所求圆的方程为x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ为参数)．可求得圆心1212162 (,)2(1)2(1)Cλλλλ----++．∵圆心C在公共弦所在直线上，∴12121624320 2(1)2(1)λλλλ---⨯+⨯-=++，解得λ＝1 2 .∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0.20．【分析】先作出关于的对称点再作关于的对称点因为光线从点出发射到上的点经反射后反射光线的反向延长线经过关于直线的对称点点又因为再经反射反射光线经过关于直线的对称点所以只需连接交与点连接分别交为点则之间解析：()4,+∞【分析】先作出F关于BC的对称点P，再作P关于AC的对称点M，因为光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，反射光线的反向延长线经过F关于直线BC的对称点P点，又因为再经AC 反射，反射光线经过P 关于直线AC 的对称点，所以只需连接,MA ME 交AC 与点N ，连接,PN PA 分别交BC 为点,G H ，则,G H 之间即为点D 的变动范围．再求出直线,FG FH 的斜率即可． 【详解】∵(2,0),(2,0),(0,2)A B C -，∴直线BC 方程为20x y +-=，直线AC 方程为20x y -+=,如图， 作F 关于BC 的对称点P ，则(2,1)P ， 再作P 关于AC 的对称点M ，则(1,4)M -,连接,MA ME 交AC 与点N ，则直线ME 方程为1x =-, ∴(1,1)N -，连接,PN PA 分别交BC 为点,G H ，则直线PN 方程为1y =，直线PA 方程为420x y -+=， ∴64(1,1),,55G H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接,GF HF ， 则,G H 之间即为点D 的变动范围．∵直线FG 方程为1x =，直线FH 的斜率为 454615=-∴FD 斜率的范围为(4,)+∞故答案为：(4,)+∞.【点睛】本题主要考查入射光线与反射光线之间的关系，入射光线与反射光线都经过物体所成的像，据此就可找到入射点的范围，解决此类问题时，关键在于求出点关于直线的对称点，属于中档题.三、解答题21．（1）()()22611x y -+-=；（2）250x y -+=或2150x y --=.【分析】（1）设()06,N y ，由圆与x 轴相切、与圆M 外切可得0075y y -=+，进而可得01y =，即可得解；（2）由直线平行的性质可设直线l 的方程为20x y m -+=，利用垂径定理、点到直线的距离公式即可得解. 【详解】圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心()6,7M ，半径为5，（1）由圆心N 在直线6x =上，可设()06,N y . 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =， 因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=；（2）因为直线//l OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-， 设直线l 的方程为2y x m =+，即20x y m -+=，则圆心M 到直线l 的距离d ==，因为BC OA ===，而2222BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()252555m +=+，解得5m =或15m =-，故直线l 的方程为250x y -+=或2150x y --=.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化直线与圆、圆与圆的位置关系及垂径定理的应用.22．（1）224x y +=；（2）k =；（3）(4,0). 【分析】（1）设出圆心(,0)C a ，根据直线与圆C 相切，得到圆心到直线的距离等于4，确定圆心坐标，即可得圆C 的方程.（2）根据垂径定理及勾股定理，由过点(1,1)P 的直线1l 被圆C 截得的弦长等于斜率存在与不存在两种情况讨论，即可求出直线1l 的方程.（3）当AB x ⊥轴时，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设出方程与圆的方程联立，结合AN BN k k =-，即可求出点N 的坐标. 【详解】（1）设圆心5(,0)2C a a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则|410|25a ，解得0a =或5a =-（舍）． 故圆C 的方程为224x y +=．（2）由题意可知圆心C 到直线1l 的距离为2sin301．1，解得k =.（3）当直线AB x ⊥轴时，对x 轴正半轴上任意一点,N x 轴平分ANB ∠； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()()1122(1)(0),(,0),,,,y k x k N t A x y B x y =-≠， 由224,(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得()22221240k x k x k +-+-=， 2212122224,11k k x x x x k k -∴+==++ 若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即12120y yx t x t+=--， 即()()1212110k x k x x tx t--+=--，即()12122(1)20x x t x x t -+++=，即()2222242(1)2011k k t t k k -+-+=++，解得4t =． 综上，当点N 的坐标为(4,0)时，x 轴平分ANB ∠．【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键是得到圆心到直线的距离为1，第三问解题的关键是由x 轴平分ANB ∠，得AN BN k k =-，进而利用坐标表示斜率求解. 23．（1）30x y +-=或10x y ++=；（2. 【分析】（1）先把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再利用已知条件设切线l 的方程为0x y m ++=，利用圆心到直线的距离公式求解即可得解；（2）设A ，B 中点为D ，在APC △以及ACD △中，求出cos ACP ∠，得到CD ，最后利用勾股定理求解即可. 【详解】解：（1）圆C 的标准方程为()()22122x y ++-=， 圆心()1,2C -，半径r =因为圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零， 所以可设切线l 的方程为0x y m ++=，于是圆心C 到直线l 的距离122m d r +===，解得3m =-或1，所以切线方程为30x y +-=或10x y ++= （2）如图，设A ，B 中点为D ，在APC △中，2AC =25CP =所以2cos 25ACP ∠=， 在ACD △中，cos 2CD ACP CA ∠== 2225=， 解得5CD =， 所以22295AD AC CD =-=， 于是652AB AD == 【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为L ，则2222L r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）代数法，设直线与圆相交于()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与圆的方程()()222y kx mx a y b r=+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y 得到一个关于x 的一元二次方程，从而可求出12x x +，12x x ，根据弦长公式()22121214AB k x x x x =++-.24．（1）22(3)(3)18x y -+-=；（2）214 【分析】（1）设2221:()()C x a y b r -+-=，根据题意列方程组解得,,a b r 即可得解；（2）求出直线l 所经过的定点(3,1)B ，再根据圆心1C 到直线l 的距离的最大值可求得结果. 【详解】（1）设2221:()()C x a y b r -+-=，圆222:10100C x y x y +++=的圆心2(5,5)C --，半径为则222222()(6)a b r a b r r ⎧-+-=⎪⎪+=⎨=，解得33a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 所以圆1C 的方程为22(3)(3)18x y -+-=.（2）因为:(21)(1)740l m x m y m +++--=，即(27)40x y m x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点(3,1)B ， 设圆心1(3,3)C 到直线l 的距离为d，则1||2d C B ≤==，当且仅当1l BC ⊥时，等号成立，所以弦长||AB =≥=. 所以直线l 被圆1C截得的弦长的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第二问利用圆心1C 到直线l 的距离的最大值求弦长的最小值是解题关键. 25．（1）22(3)(2)25x y ++-=（2）23y x =+ 【分析】（1）由,A B 的坐标求出线段AB 的中垂线所在方程，与直线x +y +1=0联立求出圆心坐标，再求半径，即可得出圆C 的标准方程；（2）求出直线l 过定点(1,1)D -，当圆心C 到直线l 的距离最远时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，求出直线CD 的斜率，进而得出直线l 的方程. 【详解】 （1）5271AB K +==，线段AB 的中点为13,22M ⎛⎫⎪⎝⎭则线段AB 的中垂线所在方程为311272y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即11177y x =-+ 由1117710y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪++=⎩，解得3,2x y =-=，即圆心的坐标为C (3,2)-5r ==即该圆的方程为22(3)(2)25x y ++-=（2）直线l ：(m +2)x +(m +1)y +1=0可化为21(1)1m y x m +-=-++，即直线l 过定点(1,1)D - 当圆心C 到直线l 的距离最远时，直线l 被圆C 截得的弦长最短由圆的对称性可知，当CD 与直线l 垂直时，圆心C 到直线l 的距离最远 因为211312CD k -==--+，所以直线l 的方程为12(1)y x -=+，即23y x =+ 【点睛】在处理问题（2）时，关键是由直线l 的方程得出直线l 过定点(1,1)D -，结合圆的对称性得出当CD 垂直与直线l 时，直线l 被圆C 截得的弦长最短. 26．（1）224x y +=；（2）2340x y +-=；（3）(2,0)(0,2)-【分析】（1）设点E 点坐标为(),x y ，则||1||2EA EB =，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解；（2）连接OG ，OM ，求出以G 为圆心，||GM 为半径的圆的方程，再跟圆C 求公共弦，即切点弦方程；（3）设直线的方程为：y x b =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，利用根与系数的关系可得P ，Q 两点横坐标的和与积，结合POQ ∠为钝角，得0OP OQ <，即12120x x y y +<，从而可得直线l 的纵截距的取值范围． 【详解】解：（1）设点E 点坐标为(),x y ，则||1||2EA EB = 得2222(1)1(4)4x y x y -+=-+ 整理得：2233120x y +-= 曲线C 的方程是224x y +=.（2）过G 点()2,3作两条与曲线C 相切的直线，G 点在圆外，连接OG ，OM ，由题意知||OG =||3GM =，∴以G 为圆心，||GM 为半径的圆的方程为22(2)(3)9x y -+-=①，又圆C 的方程为224x y +=②，由①-②得直线MN 的方程是2340x y +-=；（3）设直线的方程为：y x b =-+，联立224x y +=得：222240x bx b -+-=，设直线l 与圆的交点()11,P x y ，()22,Q x y由()22(2)840b b ∆=--->，得28b <， 12x x b +=.21242b x x -⋅= 因为POQ ∠为钝角，所以0OP OQ ⋅<，即12120x x y y +<，且OP 与OQ 不是反向共线，又11y x b =-+，22y x b =-+，所以()21212121220x x y y x x b x x b +=-++< 12x x b +=，21242b x x -= 222121240x x y y b b b +=--+<得24b <，即22b -<<，当OP 与OQ 反向共线时，直线y x b =-+过原点，此时0b =，不满足题意， 故直线l 在y 轴上的截距的取值范围是22b -<<，且0b ≠.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，训练了利用圆系方程求两圆公共弦所在的直线方程，考查了平面向量的数量积运算，对于过圆222()()x a y b r -+-=外一点()00,x y 的切点弦方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=．。

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