第五章 三角函数 练习题
必修第五章三角函数测试题(含答案)
必修第五章三角函数测试题一、选择题(每小题5分,共10小题50分)1、在平面直角坐标系中,点是角终边上的一点,若,则( ) B.C.D.2、若函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为( ) A.B.C.D.3、若,则使函数有意义的的取值范围是( )A. B. C.D.4、已知,则( )A.B.C.D.5、如果函数的图象关于直线对称,那么该函数的( ) A.B.C. D.6、若，则的取值范围是( ) A.B.C.D.7、当时，函数的最小值为( )A. B. C. D.8、设函数满足，且当时，．又函数，则函数在上的零点个数为( ) A. B.C.D.9、函数的部分图像如图所示,已知,函数的图像可由图像向右平移个单位长度而 得到,则函数的解析式为( )10、设函数则下列结论错误的是( )A.的一个周期为B.的图像关于对称C.一个零点为D.在减二、填空题(每小题5分,共7小题35分)11、已知：①，②，③，④，其中是第一象限角的为__________(填序号)． 12、已知函数的部分图像如图所示,若图中在点,处取得极大值,在点,处取得极小值,且四边形的面积为,则的值是__________.13、关于函数，下列命题： ①若存在，有时，成立；②在区间上是单调递增；③函数的图像关于点成中心对称图像； ④将函数的图像向右平移个单位后将与的图像重合．其中正确的命题序号__________（注：把你认为正确的序号都填上） 14、确定下列三角函数值的符号：__________;__________;____________________;__________;__________15、函数__________,最小值为__________. 16、已知角终边上一点的坐标为,则是第__________象限角,__________.17、若函数的周期,则__________,且函数的单调递减区间为__________.(是自然对数的底数)三、解答题(每小题12分,共5小题60分)18、设，求的取值范围．19、已知角的终边经过点,求下列各式的值.(1);(2).20、设函数，图象的一条对称轴是直线.(1)求；(2)求函数的单调增区间．21、将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. (1)写出函数的解析式;(2)若, ,求的最小值.22、若函数对任意都有．(1)求的值；(2)求的最小正值；(3)当取最小正值时，若，求的最大值和最小值．必修第五章三角函数测试题答案解析第1题答案 B第1题解析 因为,,所以角的终边落在第一象限,并且根据角的三角函数值的定义,,结合,得出.第2题答案 D第2题解析向右平移个单位长度后得到函数解析式，即，显然当时两图象重合，此时，∵，∴时，取最小值．第3题答案 C第3题解析 ∵要使函数有意义,则,.又,∴.第4题答案 A第4题解析 α化简得,则=故选:A第5题答案 C第5题解析(令,则),则则函数的最大值为,∵函数的图象关于直线对称,∴,即,,则,平方得. 得,即,则,则函数的最大值为.第6题答案 C第6题解析 ∵，∴当时，此式的取值范围是，而在上小于，故排除；在上,∴不可能相等，所以排除，故选．第7题答案 C第7题解析 ∵，∴,利用的单调性可得，当时，，故选C ．第8题答案 B第8题解析 ∵，∴函数为偶函数．又∵，∴，故函数的周期为．∵，∴为偶函数．∵当时，． 所以当时，，即．当时，；当时，．又．综合以上两函数的特点，可作出函数的大致图象(如图)，函数除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有个零点，故选B ．第9题答案第9题解析由图象可知最小正周期:,∴,又∵ 在时取最小值,∴,∴.又∵,∴ ,∴.又∵ 图象过点,∴ ,∴ .,把图象向右平移个单位后得到函数, ∴. 第10题答案D第10题解析由题意,函数,可知最小正周期为,则也是函数的一个周期,所以A是正确的;令,可得(最大值),所以是函数的其中一条对称轴,所以B是正确的;令,则,所以是函数一个零点,所以C是正确的;当,则,函数在单调递增,所以D不正确, 故选D.第11题答案②③④第11题解析， ，．第12题答案第12题解析 根据题意可得四边形为平行四边形,∵四边形的面积为,∴ ,即,∴函数的最小正周期为,∴,即.第13题答案 ①③④ 第13题解析，显然函数周期为，若存在，有时，成立，故①正确；当时，故图形图像关于点成中心对称；故③正确；将函数的图像向右平移个单位后，得到函数第14题答案 +- 0 - + +第14题解析 角的终边在第二象限，∴；；；；角的终边在第二象限，∴；。
基础模块第五章三角函数练习册
第五章 三角函数5.1角的概念的推广5.1.1任意角的概念1、按逆时针方向旋转所形成的角叫做_______角；按顺时针方向旋转所形成的角叫做_______角；当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做_______角。
2、把角的顶点放置在坐标原点,角的始边与x 轴的正半轴重合,角的终边在第几象限，就把这个角叫做_______角；终边在坐标轴上的角叫做_______角。
1、锐角一定是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角；2、角的范围已从︒0～︒360推广到了任意大小的正角、负角和零角（包括大于360°的角和负角）；1、下列说法中，正确的是（ ）A 、第一象限的角一定是锐角B 、锐角一定是第一象限的角C 、小于︒90的角一定是锐角D 、第一象限的角一定是正角2、︒-50角的终边在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、︒-197角所在象限为___________；︒615角所在象限为___________；4、在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出他们是第几象限的角：（1）︒60 （2）︒-210（3）︒225 （4）︒-3005、分针每分钟转过_______度；时针一昼夜转过_______度；6、775°是第_____象限角，—140°是第_____象限角；7、若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是 （ ）A 、︒-60B 、︒-30C 、︒60D 、︒308、已知角α是第三象限的角，则α-为（ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角9、指出下列各角是否为界限角？如果不是指出其所在的象限：（1）︒408 （2）︒1090 （3）︒540（4）︒-630 （5）︒-800 （6）52550'︒-10、举例说明第二象限的角是否一定大于第一象限的角。
5.1.2终边相同的角终边相同的角有无数个，它们的终边落在______________；它们相差_______的整数倍；终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同；1、所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合为______________；2、所有与︒30角终边相同的角的集合为________________________；3、在︒0～︒360范围内，与︒-70终边相同的角为__________；4、与︒330角终边相同的角为（ ）A 、︒-60B 、︒390C 、︒-390D 、︒-455、写出与下列各角终边相同的角的集合，并判断它们分别为第几象限的角：（1）︒75 （2）︒170 （3）︒-956、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把其中在︒0～︒360范围内的角写出来：（1）︒420 （2）︒-135 （3）︒457、)(30360Z k k ∈︒-︒⋅所表示的角是第___________象限的角；8、在︒0～︒360范围内，与︒-510终边相同的角是__________；9、若α为锐角，则)(360Z k k ∈︒⋅+-α是第__________象限的角；10、与角︒-976终边相同的最小正角是_______；11、与330-终边相同的角是（ ）A 、60-B 、330C 、30-D 、3012、第二象限的角的集合可以表示为（ ）A 、{}︒<<︒900αα B 、{}Z k k k ∈︒⋅+︒<<︒⋅,36090360αα C 、{}︒<<︒18090αα D 、{}Z k k k ∈︒⋅+︒<<︒⋅+︒,36018036090αα13、下列说法中，正确的是（ ）A 、第一象限的角一定是锐角B 、锐角一定是第一象限的角C 、第二象限的角必大于第一象限的角D 、终边相同的角一定相等14、设2α为锐角，求角α所在的象限。
第五章三角函数单元测试卷及参考答案
第五章 三角函数单元测试卷一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分） 1．已知角α的终边经过点(,3)P x -，且3tan 4α=-，则cos α=（ ） A ．35±B ．45±C ．45-D ．452．已知3cos 4x =，则cos2x =( ) A ．14-B ．14C ．18-D ．183．如果函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点（43π，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π4．已知函数()sin 3f x x x =，则在下列区间使函数()f x 单调递减的是（ ）A ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．若,αβ为锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β等于（ ） A ．1665B ．5665C ．865D ．47656．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴7．已知7sin 6πα⎛⎫+=⎪⎝⎭2cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=（ ） A ．23-B ．13-C ．23D ．138．将函数()2sin 2cos 2cos sin sin 22f x x x ππθθθθ⎛⎫=+--<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x ，()g x 的图象都经过点P ⎛ ⎝⎭，则ϕ的值可以是（ ） A ．53πB ．56π C ．2π D ．6π 二、多选题（每题有多个选项为正确答案，每题5分，共20分） 9．设函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，给出下列命题，不正确的是（ ）． A ．()f x 的图象关于直线3x π=对称B ．()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．把()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到一个偶函数的图象D ．()f x 的最小正周期为π，且在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数10．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A ．是偶函数 B ．在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．最大值为2 D ．其图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 11．如图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）．A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的12，纵坐标不变C ．把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变12．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图像的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z三、填空题（每题5分，共20分）13．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 14．函数()f x =sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭cos x 的最小值为_________．15．已知1sin 34πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．16．已知函数()tan(),(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的相邻两个对称中心距离为32π，且()f π=，将其上所有点的再向右平移3π个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的13，得()g x 的图像，则()g x 的表达式为_______四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分） 17．已知1tan 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭． （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求()()22sin 22sin 21cos 2sin παπαπαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭--+的值．18.已知函数()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭．（1）求函数()f x 的最小值和最大值及相应自变量x 的集合； （2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）画出函数()y f x =区间[]0,π内的图象．19.已知()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的函数()()()22sin 2g x f x k x =-+在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点，求实数k 的取值范围．20．一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间. （1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？21.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和()0,2x +π-.若将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到的图象关于原点对称. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()10y f kx k =+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()1f kx m +=恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.22．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭的图象如图所示.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作()y g x =. （i ）求函数()()2x h x f g x ⎛⎫=⎪⎝⎭的最大值； （ii ）若函数()2()()2F x g x mg x m R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在()()0,n n N π+∈内恰有2015个零点，求m 、n 的值.参考答案： 一、单选题 1．【答案】D【解析】角α的终边经过点(),3P x -，由3tan 4α=-，可得334x -=-，所以4x =. 所以4cos 5α==.故选D.2．【答案】D【解析】由3cos 4x =得2231cos 22cos 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，故选D ．. 3．【答案】A【解析】∵函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称. ∴4232k ππϕπ⋅+=+∴13()6πϕπ=-∈k k Z 当2k =时，有min ||6πϕ=.故选：A. 4．【答案】C【解析】依题意，函数()2sin(3)3f x x π=-，令3232,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得52211,183318k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 上先增后减，在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增，在5,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 在,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 上先增后减.故选C . 5．【答案】A【解析】由角的关系可知根据同角三角函数关系式，可得()312cos ,sin 513ααβ=+= ()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦ ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+ 12354135135=⨯-⨯ 1665=所以选A 6．【答案】C【解析】由图可知，2A =，该三角函数的最小正周期7233T πππ=-=，故A 项正确； 所以21Tπω==，则()2sin()f x x ϕ=+. 因为563f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎝ ⎝⎭⎭⎪，所以该函数的一条对称轴为5736212x πππ+==， 将7,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入2sin()y x ϕ=+，则72()122k k ππϕπ+=+∈Z ，解得2()12k k πϕπ=-+∈Z ，故()2sin 22sin 1212f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令22()2122k x k k πππππ--+∈Z ，得5722()1212k x k k ππππ-≤≤+∈Z ， 令1k =，则1931,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故函数()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.故B 项正确； 令322()2122k x k k πππππ+≤-≤+∈Z ， 得71922()1212k x k k ππππ+≤≤+∈Z ， 令1k =-，175,1212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦ 故函数()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.故C 项错误； 令()122x k k πππ-=+∈Z ，得7()12x k k ππ=+∈Z ，令2k =-，1712x π=-故直线1712x π=-是()f x 的一条对称轴.故D 项正确.故选C. 7．【答案】B【解析】由题意7sin sin sin 666πππαπαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以sin 63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 所以2cos 2cos 2cos 2cos 23336ππππαπααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 2212sin 121633πα⎛⎛⎫=+-=⨯--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 故选B ． 8．【答案】B 【解析】易得()()2sin 2cos 2cos sin sin sin 2cos cos2sin sin 2f x x x x x x θθθθθθ=+-=+=+.因为函数()f x 的图象过点P ⎛ ⎝⎭,22ππθ-<<,所以代入函数解析式得3πθ=. 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.根据题意,得()()sin 23g x x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦,又因为()g x 的图象也经过点P ⎛ ⎝⎭,所以代入得sin 23πϕ⎛⎫-=⎪⎝⎭将53πϕ=、56π、2π或6π代入sin 23πϕ⎛⎫-=⎪⎝⎭只有56π成立. 故选B. 二、多选题 9．【答案】ABD【解析】因为sin 03f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以A 不正确； 因为sin 1122f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以B 不正确；因为函数()f x 的最小正周期为π，但sin 112226f f πππ⎛⎫⎛⎫==>=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 不正确；把函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到函数sin 2sin 2cos21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，函数cos 2y x =为偶函数，所以C 正确． 故选：ABD. 10．【答案】AD【解析】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .选项A ：()2))()f x x x f x -=-== ，它是偶函数，正确；选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，错误；选项C ：()2f x x =，错误；选项D ：函数的对称中心为(,0)24k ππ+ ，k Z ∈，当0k =，图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 错误. 故选：AD 11．【答案】AC【解析】由图象知，A=1,T=π，所以ω=2，y=sin （2x+ϕ），将（6π-，0）代入得：sin(ϕ3π-)=0，所以ϕ3π-=kπ，k z ∈，取ϕ=3π，得y=sin （2x+3π），sin y x =向左平移3π，得sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．然后各点的横坐标缩短到原来的12，得sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故A 正确．sin y x =各点的横坐标缩短到原来的12，得sin 2y x =．然后向左平移6π个单位，得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故C 正确．故选：AC 12．【答案】BD 【解析】由图象可知3A =，33253441234ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭T ， ∴2ω=，则()3sin(2)f x x ϕ=+.将点5,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入()3sin(2)f x x ϕ=+中，整理得5sin 2112πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈，即2,Z 3k k πϕπ=-∈.||2ϕπ<，∴3πϕ=-，∴()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象， ∴()3sin 23sin 2,333πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦g x x x x R . ∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数，故A 错误； ∴()g x 的最小正周期22T ππ==，故B 正确. 令2,32x k k πππ+=+∈Z ，解得,122k x k ππ=+∈Z .则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k ππ=+∈Z .故C 错误； 由222,232k x k k πππππ-++∈Z ，可得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ，∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故D 正确. 故选：BD.三、填空题 13．【答案】二【解析】因为点P （tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0， 则角α的终边在第二象限，故答案为二． 14．【答案】34-【解析】由函数()211sin()cos (sin cos )cos cos cos 62222f x x x x x x x x x π=-=-=-1112(1cos 2)sin(2)44264x x x π=-+=--， 当sin(2)16x π-=-时，即,6x k k Z ππ=-+∈时，函数取得最小值34-. 15．【答案】14【解析】因为1sin()34πα+=，则1cos()sin(())sin()62634ππππααα-=--=+=． 16．【答案】2()tan()9g x x π=+. 【解析】由题意，函数()tan()f x x ωϕ=+的相邻两个对称中心距离为1322w ππ⋅=，解得13w =，且()f π=，即tan()3πϕ+=，因为02πϕ<<，解得3πϕ=，所以1()tan()33f x x π=+，将()f x 图象上的点向右平移3π个单位，可得112()tan[()]tan()33339f x x x πππ=-+=+， 再把所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的13，可得2()tan()9f x x π=+的图象， 即函数()g x 的解析式为2()tan()9f x x π=+. 故答案为：2()tan()9f x x π=+. 四、解答题17．【答案】（Ⅰ）1tan =-3α；（Ⅱ）15-19.【解析】解：（Ⅰ）tantan 1tan 14tan()41tan 21tantan 4παπααπαα+++===--，解得；（Ⅱ）22sin(22)sin ()21cos(2)sin παπαπαα+----+=22sin 2cos 1cos 2sin αααα-++ 2222sin cos cos 2cos sin ααααα-=+22tan 1152tan 19αα-==-+． 18.【答案】（1，取得最大值时相应x 的集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； 最小值为，取得最小值时相应x 的集合为,8x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭； （2）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（3）图象见解析． 【解析】（1）()f x ，当2242x k πππ-=+，即38x k ππ=+时，等号成立， ∴()f x 取得最大值时相应x 的集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭()f x 的最小值为，当2242x k πππ-=-+，即8x k ππ=-+时，等号成立，∴()f x 取得最大值时相应x 的集合为,8x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭（2）由222242k x k πππππ-+≤-≤+求得388k x k ππππ-+≤≤+， ∴()f x 的单调递增区间是3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（3）列表：()f x 图像如图所示：19．【答案】（1）()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）14k k ⎧⎪<≤⎨⎪⎩或12k ⎫=-⎬⎭． 【解析】（1）()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令3222232k x k πππππ+++，k Z ∈，解得71212k xk ππππ++，k Z ∈， ∴()f x 的单调递减区间()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知，函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭()g x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有零点等价于()()2sin 2f x k x =+在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有唯一根，∴可得2sin 2sin 23k x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1sin 22cos 226x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭设()cos 26h x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 根据函数()h x 在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象， ∵2y k =与()y h x =有唯一交点，∴实数k 应满足1222k -<≤或21k =- ∴144k -<≤或12k =-．故实数k 的取值范围1{|4k k<或1}2k =-．20．【答案】（1）()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭；（2）有1s 时间点P 距水面的高度超过2米. 【解析】（1）设水轮上圆心O 正右侧点为A ，y 轴与水面交点为B ，如图所示：设()sin h a t b ωϕ=++，由1OB =，2OP =，可得03BOP π∠=，所以06AOP π∠=.2a ∴=，1b =，6πϕ=-，由题意可知，函数2sin 16h t πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为3T =，223T ππω∴==， 所以点P 距离水面的高度h 关于时间t 的函数为()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭；（2）由22sin 1236t h ππ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭，得21sin 362t ππ⎛⎫->⎪⎝⎭， 令[]0,3t ∈，则211,3666t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由256366t ππππ<-<，解得1322<<t ，又31122-=， 所以在水轮转动的任意一圈内，有1s 时间点P 距水面的高度超过2米. 21．【答案】（1）()2sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）)1,3 【解析】（1）由题意可知函数()f x 的周期2T π=，且2A =，所以21Tπω==，故()()2sin f x x ϕ=+.将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为2sin 3y x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数2sin 3y x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象关于原点对称，所以()3k k ϕπ+=π∈Z ，即()3k k ϕπ=π-∈Z . 又2πϕ<，所以3πϕ=-，故()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）得函数()12sin 13y f kx kx π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，其周期为23π， 又0k >，所以2323k π==π.令33t x π=-，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 若sin t s =在2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上有两个不同的解，则s ⎫∈⎪⎪⎣⎭，所以当)1,3m ∈时，方程()1f kx m +=在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的解，即实数m的取值范围是)1,3.22．【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）（i ）34；（ii ）1m =-，1343n =. 【解析】（1）由图象可得1A =，最小正周期721212T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则22T πω==，由77sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以523k πϕπ=-+，k Z ∈，又2πϕ≤，则易求得3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 所以单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（2）（i ）由题意得()sin g x x =，()()sin sin 23x h x f g x x x π⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112cos 2444x x =-+ 11sin 2264x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以()()2x h x f g x ⎛⎫=⎪⎝⎭的最大值为34； （ii ）令()0F x =，可得22sin sin 10x m x --=，令[]sin 1,1t x =∈-， 得2210t mt --=，易知>0∆，方程必有两个不同的实数根1t 、2t ， 由1212t t =-，则1t 、2t 异号， ①当11t >且210t -<<或者101t <<且21t <-时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()0,n π均有偶数个根，不合题意，舍去；②当101t <<且0201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()0,n π均有偶数个根，不合题意，舍去； ③当11t =且212t =-，当()0,2x π∈时，1sin x t =，只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 1x m x --在()0,2x π∈上有三个根，由于201536712=⨯+，则方程22sin sin 10x m x --=在()0,1342π上有2013个根，由于方程1sin x t =在区间()1342,1343ππ上只有一个根，方程2sin x t =在区间()1343,1344ππ上两个根，因此，不合题意，舍去；④当11t =-时，则212t =，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 10x m x --=在()0,2x π∈上有三个根，由于201536712=⨯+，则方程22sin sin 10x m x --=在()0,1342π上有2013个根，由于方程2sin x t =在区间()1342,1343ππ上有两个根，方程1sin x t =在区间()1343,1344ππ上有一个根，此时，满足题意；因此，1343n =，21121022m ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得1m =-，综上，1m =-，1343n =.。
高中数学第五章三角函数考点专题训练(带答案)
高中数学第五章三角函数考点专题训练单选题 1、若sinα+2cosα5cosα−sinα=516，则tanα=（ ）A ．13B ．12C ．−13D ．−12 答案：C分析：利用同角三角函数基本关系化弦为切即可求解. 由sinα+2cosα5cosα−sinα=516可得tanα+25−tanα=516，解得：tanα=−13， 故选：C.2、若函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则ω=（ ）．A ．1B ．32C ．2D ．3 答案：B分析：根据f (π3)=1以及周期性求得ω.依题意函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则{f (π3)=sin π3ω=1T 2=πω≥π3，即{π3ω=2kπ+π2,k ∈Z 0<ω≤3，解得ω=32.故选：B3、已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若sin (A+B−C 2)=sin (A−B+C 2)，则△ABC 一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 答案：C分析：根据诱导公式以及内角和定理得出B =C ，从而判断三角形的形状.由sin (A+B−C 2)=sin (A−B+C 2)可得sin (π−2C 2)=sin (π−2B 2)，sin (π2−C)=sin (π2−B)，cosC =cosB ，即B =C ，故该三角形一定为等腰三角形. 故选：C4、已知角α的终边与单位圆交于点P (−12,√32)，则sinα的值为（ ） A ．−√32B ．−12C ．√32D ．12答案：C分析：根据三角函数的定义即可求出． 因为角α的终边与单位圆交于点P (−12,√32)， 所以根据三角函数的定义可知，sinα=y =√32． 故选：C ．5、已知扇形的圆心角为3π4，半径为4，则扇形的面积S 为（ ） A ．3πB ．4πC ．6πD ．2π 答案：C解析：利用S =12αr 2即可求得结论. 由扇形面积公式得：S =12×3π4×42=6π.故选：C.6、已知角θ的终边经过点P (−12,√32)，则角θ可以为（ ） A ．5π6B ．2π3C ．11π6D ．5π3答案：B分析：求得sinθ，结合P 在第二象限求得θ的值，由此确定正确选项. 依题意sinθ=√32√(−12)2+(√32)=√32，由于P 在第二象限， 所以θ=2π3+2kπ,k ∈Z ，当k=0时θ=2π3，所以B选项正确，其它选项错误.故选：B7、函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)图像上一点P(s,t)(−2<t<2)向右平移2π个单位，得到的点Q也在f(x)图像上，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，且满足f(π4−x)=f(x)，f(−π2)>f(0)，若y=f(x)，x∈[0,π2]与y=a有两个交点，则a的取值范围为（）A．(−2,−√2]B．[−2,−√2]C．[√2,2)D．[√2,2]答案：A分析：首先根据已知条件分析出|PQ|=2π=2T，可得ω=2，再由f(π4−x)=f(x)可得y=f(x)对称轴为x=π8，利用f(−π2)>f(0)可以求出符合题意的一个φ的值，进而得出f(x)的解析式，再由数形结合的方法求a的取值范围即可.如图假设P(0,0)，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，则|PQ|=2π，所以由分析可得|PQ|=2π=2T，所以T=π，可得ω=2πT =2ππ=2，因为f(π4−x)=f(x)所以f[π4−(π8+x)]=f(π8+x)，即f(π8−x)=f(π8+x)，所以x=π8是f(x)的对称轴，所以2×π8+φ=π2+kπ(k∈Z)，即φ=π4+kπ(k∈Z)，f(−π2)=2sin(−π+φ)=−2sinφ>f(0)=2sinφ，所以sinφ<0，可令k=−1得φ=−3π4，所以f(x)=2sin(2x−3π4)，当x∈[0,π2]时，令2x−3π4=t∈[−3π4,π4]，则f(t)=2sint，t∈[−3π4,π4]作f(t)图象如图所示：当t=−3π4即x=0时y=−√2，当t=−π2即x=π8时，y=−2，由图知若y=f(x)，x∈[0,π2]与y=a有两个交点，则a的取值范围为(−2,−√2]，故选：A小提示：关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点P(0,0)便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三角函数的性质求出f(x)的解析式，再利用数形结合的思想求解a的取值范围.8、函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是A．函数f(x)的图象可由y=Asinωx的图象向左平移π6个单位得到B．函数f(x)的图象关于直线x=π3对称C．函数f(x)在区间[−π3,π3]上是单调递增的D．函数f(x)图象的对称中心为(kπ2−π12,0)(k∈Z)答案：D解析：根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项. 由图象可知A＝2，f（0）＝1，∵f（0）＝2sinφ＝1，且0＜φ＜π2，∴φ=π6，∴f（x）＝2sin（ωx+π6），∵f（5π12）＝0且为单调递减时的零点，∴ω⋅5π12+π6=π+2kπ，k∈Z，∴ω=2+24k5，k∈Z，由图象知T=2πω＞2×5π12，∴ω＜125，又∵ω＞0，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x+π6），∵函数f（x）的图象可由y＝A sinωx的图象向左平移π12个单位得，∴A错，令2x+π6=π2+kπ，k∈Z，对称轴为x=π6+kπ2，则B错，令2x+π6∈[−π2+kπ,π2+kπ],则x∈[−π3+kπ2,π6+kπ2]，则C错，令2x+π6=kπ，k∈Z，则x＝kπ2−π12，则D对，故选：D．小提示：本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题．多选题9、已知θ∈(0,π)，sinθ+cosθ=−15，则下列结论正确的是（）A ．θ∈(π2,π)B ．cosθ=−35 C ．tanθ=−34D ．sinθ−cosθ=75答案：ACD分析：由θ的范围以及sinθ+cosθ<0可判断sinθ>0，cosθ<0，根据符号规律可判断A 选项；对sinθ+cosθ=−15两边平方，利用同角关系化简可得2sinθcosθ的值，由(sinθ−cosθ)2=1−2sinθcosθ，求出sinθ−cosθ的值，可判断选项D ，与已知sinθ+cosθ=−15联立，求出sinθ,cosθ，进而求出tanθ，则可判断B ，C 两选项的正误.因为θ∈(0,π)，所以sinθ>0，又sinθ+cosθ=−15<0，所以cosθ<0， 所以可得θ∈(π2,π)，A 符合题意；又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=125，则sinθcosθ=−1225， 可得(sinθ−cosθ)2=1−2sinθcosθ=4925，所以sinθ−cosθ=75，D 符合题意；由加减法联立解得，sinθ=35，cosθ=−45，B 错误；所以tanθ=−34，C 符合题意；故选：ACD. 10、已知A =sin (kπ+α)sinα+cos (kπ+α)cosα+tan (kπ+α)tanα（k ∈Z ），则A 的值可以是（ ）A ．3B ．﹣3C ．1D ．﹣1 答案：AD分析：按k 的奇偶性化简式子A ，即可求解A 的值． ∵当k 为偶数时，A =sinαsinα+cosαcosα+tanαtanα=3， ∵k 为奇数时，A =−sinαsinα−cosαcosα+tanαtanα=−1，∴A =3或A =−1.故选：AD ．11、化简下式，与tanα相等的是（ ） A ．√1−cos2α1+cos2αB ．√1+cos(π+2α)2⋅1cosα,α∈(0,π)C ．1−cos2αsin2αD ．sin2α1−cos2α答案：BC分析：利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系化简可得；解：对于A ：√1−cos2α1+cos2α=√1−(1−2sin 2α)1+2cos 2α−1=√sin 2αcos 2α=√tan 2α=|tanα|，由1−cos2α1+cos2α≥0解得−1<cos2α≤1，即2α≠π+2kπ(k ∈Z )，解得α≠π2+kπ(k ∈Z )，故A 错误； 对于B ：因为α∈(0,π)所以√1+cos(π+2α)2⋅1cosα=√1−cos2α2⋅1cosα=√sin 2α⋅1cosα=|sinα|cosα=sinαcosα=tanα， 故B正确； 对于C ：1−cos2αsin2α=2sin 2α2sinαcosα=sinαcosα=tanα 对于D ：sin2α1−cos2α=2sinαcosα2sin 2α=cosαsinα≠tanα故选：BC小提示：本题考查二倍角公式及同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题. 12、已知函数f (x )=cos (2x +π12)，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )的图象关于直线x =1124π对称C ．函数f (x )的图象关于点(−7π24,0)对称 D ．函数f (x )在(0,π4)上单调递减答案：BCD分析：根据余弦函数的性质一一判断即可；解：因为f (x )=cos (2x +π12)，所以函数的最小正周期T =2π2=π，故A 错误；f(11π24)=cos(2×11π24+π12)=cosπ=−1，所以函数f(x)的图象关于直线x=11π24对称，故B正确；f(−7π24)=cos[2×(−7π24)+π12]=cos(−π2)=cosπ2=0，所以f(x)的图象关于点(−7π24,0)对称，故C正确；若x∈(0,π4)，则2x+π12∈(π12,7π12)，因为y=cosx在[0,π]上单调递减，所以f(x)在(0,π4)上单调递减，故D正确；故选：BCD13、已知n∈Z则下列三角函数中，与sinπ3数值相同的是（）A．sin(nπ+43π)B．cos(2nπ+π6)C．sin(2nπ+π3)D．cos[(2n+1)π−π6]答案：BC分析：利用诱导公式对各个选项化简即可对于A，当n=2k,k∈Z时，sin(nπ+43π)=sin(2kπ+43π)=sin43π=sin(π+π3)=−sinπ3，所以A错误，对于B，cos(2nπ+π6)=cosπ6=sinπ3，所以B正确，对于C，sin(2nπ+π3)=sinπ3，所以C正确，对于D，cos[(2n+1)π−π6]=cos(2nπ+π−π6)=cos(π−π6)=−cosπ6=−sinπ3，所以D错误，故选：BC 填空题14、已知tanαtan(α+π4)=−23，则sin(2α+π4)的值是_____.答案：√210.分析：由题意首先求得tanα的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.由tanαtan(α+π4)=tanαtanα+11−tanα=tanα(1−tanα)tanα+1=−23，得3tan2α−5tanα−2=0，解得tanα=2，或tanα=−13.sin(2α+π4)=sin2αcosπ4+cos2αsinπ4=√22(sin2α+cos2α)=√22(2sinαcosα+cos2α−sin2αsin2α+cos2α)=√22(2tanα+1−tan2αtan2α+1)，当tanα=2时，上式=√22(2×2+1−2222+1)=√210；当tanα=−13时，上式=√22(2×(−13)+1−(−13)2(−13)2+1)=√210.综上，sin(2α+π4)=√210.小提示：本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.15、已知f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)，f(π6)=f(π3)，且f(x)在区间(π6,π3)上有最小值，无最大值，则ω=______.答案：143分析：由题意可得函数的图象关于直线x=π4对称，再根据f(x)在区间(π6,π3)上有最小值，无最大值，可得π4ω+π3=2kπ+3π2(k∈Z)，由此求得ω的值．依题意，当x=π6+π32=π4时，y有最小值，即sin(π4ω+π3)=−1，则π4ω+π3=2kπ+3π2(k∈Z)，所以ω=8k+143(k∈Z).因为f(x)在区间(π6,π3)上有最小值，无最大值，所以π3−π4≤T2=πω，即ω≤12，令k=0，得ω=143.所以答案是：14316、已知α为锐角，且sinα=34，则cos(π−α)的值为_________．答案：−√74分析：利用同角三角函数的基本关系结合诱导公式可求得结果.因为α为锐角，且sinα=34，则cosα=√1−sin2α=√74，因此，cos(π−α)=−cosα=−√74.所以答案是：−√74.解答题17、已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0).(1)当ω=2时，求f(x)在[0,π2]的值域；(2)若至少存在三个x0∈(0,π3)，使得f(x0)=−1，求f(x)最小正周期的取值范围；(3)若f(x)在(π2,π)上单调递增，且存在m∈(π2,π)，使得f(2m−π3ω)>√22，求ω的取值范围.答案：(1)[−√32,1](2)(0,4π31)(3)18<ω≤16分析：（1）当ω=2时，求出2x+π3的范围，根据三角函数的性质，可得答案；（2）由题意，设f(x)最小正周期为T，则可得T满足的不等式，由此求得T的范围．（3）由题意f(x)在(π2,π)上单调递增，列出相应不等式组，可得0<ω≤16，再根据存在m∈(π2,π)，使得f(2m−π3ω)>√22能成立，列出不等式，即可求得ω的范围．(1)当ω=2时，f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)，由x∈[0,π2]知π3≤2x+π3≤4π3，−√32≤sin(2x+π3)≤1,∴f(x)的值域为[−√32,1].(2)∵对于函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)，至少存在三个x0∈(0,π3)，使得f(x0)=−1，设f(x)最小正周期为T，∴(2π−π32π⋅T +T +34⋅T)<π3，即3112T <π3，∴0<T <4π31， ∴f (x )的最小正周期的取值范围为(0,4π31).(3)若f (x )在(π2,π)上单调递增，ωx +π3∈(ωπ2+π3,ωπ+π3) , ∴{ωπ+π3≤π2+2kπ2kπ−π2≤ωπ2+π3，k ∈Z ,∴4k −53≤ω≤16+2k,k ∈Z , 当k =0时，−53≤ω≤16，又ω>0，故0<ω≤16，当k =1时, 73≤ω≤136,ω 不存在，同理k 取其它整数时，ω不存在，故0<ω≤16 ∵存在m ∈(π2,π)，使得f(2m −π3ω)>√22， 即sin[ω(2m −π3ω)+π3]>√22能成立， 即sin2ωm >√22能成立. ∵2ωm ∈(ωπ,2ωπ)，∴需π4+2kπ<2ωπ<3π4+2kπ,k ∈Z ，∴18+k <ω<38+k,k ∈Z .，而0<ω≤16，故18<ω≤16综上可得，18<ω≤16. 18、已知函数f(x)=4sin(ωx +φ)+1(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且f(0)=3. （1）求ω和φ的值.（2）将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象， ①求函数g(x)的单调递增区间；②求函数g(x)在[0,π3]上的最大值.答案：（1）ω=2，φ=π6；（2）①[kπ,kπ+π2](k ∈Z)；②最大值为3.分析：（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可；（2）根据正弦型函数图象的变换性质，得到g(x)的解析式.①根据余弦型函数的单调性进行求解即可；②根据余弦型函数的最值性质进行求解即可.解：（1）f(x)的最小正周期为π，ω>0所以π=2πω，即ω=2.又因为f(0)=3，所以sinφ=12，因为φ|<π2，所以φ=π6.（2）由（1）可知f(x)=4sin(2x+π6)+1，函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度(纵坐标不变)，所以g(x)=f(x−π3)=4sin(2x−2π3+π6)+1=−4cos2x+1.①由2x∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)，得函数g(x)的单调递增区间为[kπ,kπ+π2](k∈Z).②因为0≤x≤π3，所以0≤2x≤2π3.当2x=2π3，即x=π3时，函数g(x)取得最大值，最大值为g(π3)=3.。
(精选试题附答案)高中数学第五章三角函数知识集锦
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第五章三角函数知识集锦单选题1、已知f (x )=2√3sinwxcoswx +2cos 2wx ，（w >0），若函数在区间(π2,π)内不存在对称轴，则w 的范围为（ ）A ．(0,16]∪[13,34]B ．(0,13]∪[23,34] C ．(0,16]∪[13,23]D ．(0,13]∪[23,56] 答案：C分析：先通过三角恒等变换将f (x )化简成正弦型函数，再结合正弦函数性质求解即可． 函数化简得f (x )=√3sin2wx +cos2wx +1=2sin (2wx +π6)+1， 由2wx +π6=kπ+π2(k ∈Z )，可得函数的对称轴为x =kπ+π32w(k ∈Z )，由题意知，kπ+π32w≤π2且(k+1)π+π32w≥π，即k +13≤w ≤3k+46，k ∈Z ，若使该不等式组有解，则需满足k +13≤3k+46，即k ≤23，又w >0，故0≤3k+46，即k >−43，所以−43<k ≤23，又k ∈Z ，所以k =0或k =1，所以w ∈(0,16]∪[13,23]．2、已知函数f(x)=sin2x +√3cos2x 的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于y 轴对称，则|φ|的最小值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π12 答案：A分析：首先将函数f (x )化简为“一角一函数”的形式，根据三角函数图象的平移变换求出函数g(x)的解析式，然后利用函数图象的对称性建立φ的关系式，求其最小值． f(x)=sin2x +√3cos2x =2sin (2x +π3)，所以g(x)=f(x +φ)=2sin [2(x +φ)+π3] =2sin (2x +2φ+π3)，由题意可得，g(x)为偶函数，所以2φ+π3=kπ+π2(k ∈Z)， 解得φ=kπ2+π12(k ∈Z)，又φ>0，所以φ的最小值为π12．故选：A.3、函数f(x)=sin x −cos (x +π6)的值域为（ ）A ．[-2，2]B ．[−√3,√3]C ．[-1，1]D ．[−√32,√32] 答案：B分析：将f(x)=sin x −cos (x +π6)展开重新整理得到√3sin(x −π6)，求出值域即可解析：f (x )=sin x -cos (x +π6)=sin x -√32cos x +12sin x =32sin x -√32cos x =√3sin (x −π6)， 所以函数f (x )的值域为[−√3,√3] 故选：B4、已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin3,−2cos3)，则角α的弧度数为（ ） A ．3−π2B ．π2−3C ．π−3D ．3π2−3 答案：A分析：先根据定义得α正切值，再根据诱导公式求解tanα=−2cos32sin3=−sin(π2−3)cos(π2−3)=tan (3−π2)，又0<3−π2<π2，α为锐角，∴ α=3−π2， 故选：A.5、函数f (x )=sinx+xcosx+x 2在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．答案：D分析：先判断函数的奇偶性，得f(x)是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．由f(−x)=sin(−x)+(−x)cos(−x)+(−x)2=−sinx−x cosx+x 2=−f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．又f(π2)=1+π2(π2)2=4+2ππ2>1, f(π)=π−1+π2>0．故选D ．小提示：本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6、已知tanα=−2，则2sinα+cosαcosα−sinα=（ ） A ．−4B ．−12C ．−1D ．−13 答案：C分析：利用齐次化可求三角函数式的值.2sinα+cosαcosα−sinα=2tanα+11−tanα=−4+11−(−2)=−1，故选：C ．7、在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于一点P (m,1)，则cos (α+π6)=（ ） A ．−12B ．12C ．−√32D ．√32答案：A分析：根据点P (m,1)在单位圆上，可求得m 的值，进而可求得角α，再根据诱导公式即可求解. 因为点P (m,1)在单位圆上，所以m 2+12=1，解得：m =0， 所以P (0,1)为单位圆与y 轴非负半轴的交点，所以α=π2+2k π(k ∈Z )，所以cos (α+π6)=cos (π2+2k π+π6)=cos (π2+π6)=−sin π6=−12， 故选：A.8、若tanθ=−2，则sin 2θ+2sinθcosθ−cos 2θ的值是（ ） A ．−15B ．−35C ．−75D ．15 答案：A分析：利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得； 解：因为tanθ=−2， 所以sin 2θ+2sinθcosθ−cos 2θ=sin 2θ+2sinθcosθ−cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+2tanθ−1tan 2θ+1=(−2)2+2×(−2)−1(−2)2+1=−15.故选：A 9、cos 2π12−cos 25π12=（ ）A ．12B ．√33C ．√22D ．√32 答案：D分析：由题意结合诱导公式可得cos 2π12−cos 25π12=cos 2π12−sin 2π12，再由二倍角公式即可得解.由题意，cos 2π12−cos 25π12=cos 2π12−cos 2(π2−π12)=cos 2π12−sin 2π12=cos π6=√32. 故选：D.10、已知α ∈(0,π)，且3cos 2α−8cos α=5，则sin α=（ ） A ．√53B ．23C ．13D ．√59 答案：A分析：用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cosα的一元二次方程，求解得出cosα，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.3cos2α−8cosα=5，得6cos 2α−8cosα−8=0，即3cos 2α−4cosα−4=0，解得cosα=−23或cosα=2（舍去），又∵α∈(0,π),∴sinα=√1−cos 2α=√53. 故选：A.小提示：本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 填空题11、计算：2cos50°−tan40°2=___________.答案：√32##12√3分析：先切化弦，再根据二倍角的正弦公式、诱导公式、两角差的余弦公式化简即可得解.2cos50°−tan40°2=2sin40°−sin40°2cos40°=4sin40°cos40°−sin40°2cos40°=2sin80°−sin40°2cos40°=2cos10°−sin40°2cos40°=2cos(40°−30°)−sin40°2cos40°=√3cos40°+sin40°−sin40°2cos40°=√32.所以答案是：√3212、已知tanθ=2，则sinθ−cosθ2sinθ+cosθ=___．答案：15##0.2分析：分子分母同除以cosθ，弦化切，进行求解.分子分母同除以cosθ得：sinθ−cosθ2sinθ+cosθ=tanθ−12tanθ+1=2−14+1=15所以答案是：1513、已知sin(π+α)−3sin(π2−α)=0，则cos2α的值为________.答案：−45分析：根据sin(π+α)−3sin(π2−α)=0，利用诱导公式结合商数关系得到tanα=−3，然后由cos2α=cos2α−sin2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α求解.因为sin(π+α)−3sin(π2−α)=0，所以−sinα−3cosα=0，解得tanα=−3，所以cos2α=cos2α−sin2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α，=1−tan2α1+tan2α=1−(−3)21+(−3)2=−45，所以答案是：−45小提示：本题主要考查诱导公式和二倍角公式以及同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14、已知tanα=2，则1sin2α−cos2α_____.答案：53分析：根据弦切互化即可求解.因为tan α=2 ，所以1sin 2α−cos 2α=sin 2α+cos 2αsin 2α−cos 2α=tan 2α+1tan 2α−1=4+14−1=53 所以答案是：5315、函数f(x)=sin(2x +3π2)−3cosx 的最小值为___________．答案：−4.分析：本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cosx 的二次函数，从而得解. f(x)=sin(2x +3π2)−3cosx =−cos2x −3cosx =−2cos 2x −3cosx +1 =−2(cosx +34)2+178，∵−1≤cosx ≤1，∴当cosx =1时，f min (x)=−4， 故函数f(x)的最小值为−4．小提示：解答本题的过程中，部分考生易忽视−1≤cosx ≤1的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误． 解答题 16、化简： (1)√1+cosα−√1−cosα√1+cosα+√1−cosαπ<α<3π2)；(2)cos(3π2−α)−tan α2(1+cosα)√1−cosα0<α<π).答案：(1)−√2cos α2 (2)−2√2cos α2分析：（1）先求出α2的范围，再利用二倍角公式和同角三角函数间的关系化简计算即可， （2）利用半角公式，诱导公式和二倍角公式化简即可. （1）因为π<α<3π2，所以π2<α2<3π4，所以原式=sin 2α2+2sin α2cos α2+cos 2α2√2cos 2α2−√2sin 2α2sin 2α2−2sin α2cos α2+cos 2α2√2cos 2α2+√2sin 2α2=(sin α2+cos α2)2−√2cos α2−√2sin α2(sin α2−cos α2)2−√2cos α2+√2sin α2 =−√22(sin α2+cos α2)+√22(sin α2−cos α2) =−√2cos α2. （2）因为tan α2=sinα2cosα2=2sin α2cosα22cos 2α2=sinα1+cosα，所以(1+cosα)tan α2=sinα.又因为cos (3π2−α)=−sinα，且1−cosα=2sin 2α2，所以原式=√2sin 2α2=√2|sin α2|=−2√2sin α2cosα2|sin α2|，因为0<α<π，所以0<α2<π2，所以sin α2>0.所以原式=−2√2cos α2.17、已知函数f (x )=sin (5π6−2x)−2sin (x −π4)cos (x +3π4).(1)解不等式f (x )≥−12；(2)若x ∈[π12,π3]，且F (x )=−4λf (x )−cos (4x −π3)的最小值是−32，求实数λ的值. 答案：(1)[kπ,kπ+2π3]，k ∈Z ；(2)λ=12. 分析：(1)利用三角恒等变换公式化简，再结合三角函数图像解不等式；(2) 利用三角恒等变换公式化简，再转化为关于λ的一元二次不等式，利用分类讨论的思想求出λ的值. (1)∵f (x )=sin (5π6−2x)−2sin (x −π4)cos (x +3π4)=12cos2x+√32sin2x+(sinx−cosx)(sinx+cosx) =12cos2x+√32sin2x+sin2x−cos2x=12cos2x+√32sin2x−cos2x=sin(2x−π6)由2kπ−π6≤2x−π6≤2kπ+7π6，得kπ≤x≤kπ+2π3，解集为[kπ,kπ+2π3]，k∈Z(2)F(x)=−4λf(x)−cos(4x−π3)=−4λsin(2x−π6)−[1−2sin2(2x−π6)]=2sin2(2x−π6)−4λsin(2x−π6)−1=2[sin(2x−π6)−λ]2−1−2λ2∵x∈[π12,π3]，∴0≤2x−π6≤π2，0≤sin(2x−π6)≤1，①当λ<0时，当且仅当sin(2x−π6)=0时，f(x)取得最小值−1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin(2x−π6)=λ时，f(x)取最小值−1−2λ2，由已知得−1−2λ2=−32，解得λ=12；③当λ>1时，当且仅当sin(2x−π6)=1时，f(x)取得最小值1−4λ，由已知得1−4λ=−32，解得λ=58，这与λ>1相矛盾.综上所述，λ=12.小提示：解三角函数的不等式问题需要利用数形结合的思想，而二次函数含参的最值问题需要利用分类讨论的思想.18、已知函数f(x)=√3sin(2x+π6)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．答案：(1)π(2)单调递增区间是[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)分析：（1）根据公式可求函数的最小正周期；（2）利用整体法可求函数的增区间.(1)∵f(x)=√3sin(2x+π6)，∴f(x)最小正周期T=2π2=π．(2)令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z)，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间是[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)．19、已知函数f(x)=12sin(x+π3)+14(√3cosx+√−12cos2x+12)，且满足sinx>0．（1）求x的取值范围；（2）求函数f(x)的单调增区间.答案：（1）2kπ<x<π+2kπ，k∈Z；（2）(2kπ,π6+2kπ]，k∈Z．分析：（1）解不等式sinx>0，即可求解x的取值范围；（2）首先化简函数f(x)，再结合sinx>0，求解f(x)的单调递增区间即可. （1）∵sinx>0∴2kπ<x<π+2kπ，k∈Z.（2）f(x)=12sin(x+π3)+14(√3cosx+√−12cos2x+12)=1 2(12sinx+√32cosx)+14(√3cosx+√sin2x)∵sinx>0∴f(x)=14sinx+√34cosx+14(√3cosx+sinx)，即f(x)=12sinx+√32cosx=sin(x+π3).故有−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，得−5π6+2kπ≤x≤π6+2kπ，k∈Z.同时需联立2kπ<x<π+2kπ，k∈Z.+2kπ]，k∈Z. 综上可得函数f(x)的单调增区间为(2kπ,π6。
(精选试题附答案)高中数学第五章三角函数专项训练题
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第五章三角函数专项训练题单选题1、已知f (x )=tanωx (0<ω<1)在区间[0,π3]上的最大值为√33，则ω=（ ） A ．12B ．13C ．23D ．34 答案：A分析：先求出0≤ωx ≤ωπ3，再根据f (x )max =tan ωπ3=tan π6=√33解方程即可. 因为x ∈[0,π3]，即0≤x ≤π3，又0<ω<1，所以0≤ωx ≤ωπ3<π3，所以f (x )max =tan ωπ3=tan π6=√33， 所以ωπ3=π6，ω=12． 故选：A ．2、若sin (π7+α)=12，则sin (3π14−2α)=（ ）A ．35B ．−12C ．12D ．13 答案：C分析：令θ=π7+α可得α=θ−π7，再代入sin (3π14−2α)，结合诱导公式与二倍角公式求解即可令θ=π7+α可得α=θ−π7，故sinθ=12，则sin (3π14−2α)=sin (3π14−2(θ−π7)) =sin (π2−2θ)=cos2θ=1−2sin 2θ=12故选：C3、记函数f(x)=sin(ωx +π4)+b(ω>0)的最小正周期为T ．若2π3<T <π，且y =f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=（ ） A ．1B ．32C ．52D ．3 答案：A分析：由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.由函数的最小正周期T 满足2π3<T <π，得2π3<2πω<π，解得2<ω<3， 又因为函数图象关于点(3π2,2)对称，所以3π2ω+π4=kπ,k ∈Z ，且b =2，所以ω=−16+23k,k ∈Z ，所以ω=52，f(x)=sin (52x +π4)+2，所以f (π2)=sin (54π+π4)+2=1. 故选：A4、已知函数f(x)=sin2x +√3cos2x 的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于y 轴对称，则|φ|的最小值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π12答案：A分析：首先将函数f (x )化简为“一角一函数”的形式，根据三角函数图象的平移变换求出函数g(x)的解析式，然后利用函数图象的对称性建立φ的关系式，求其最小值．f(x)=sin2x +√3cos2x =2sin (2x +π3)， 所以g(x)=f(x +φ)=2sin [2(x +φ)+π3] =2sin (2x +2φ+π3)， 由题意可得，g(x)为偶函数，所以2φ+π3=kπ+π2(k ∈Z)，解得φ=kπ2+π12(k ∈Z)，又φ>0，所以φ的最小值为π12． 故选：A.5、阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式为s=2sin(ωt+φ)，其中ω>0，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为s0(−2<s0<2)的时间分别为t1，t2，t3，且t3−t1=2，则ω=（）A．π2B．πC．3π2D．2π答案：B分析：利用正弦型函数的性质画出函数图象，并确定连续三次位移为s0的时间t1，t2，t3，即可得T=t3−t1，可求参数ω.由正弦型函数的性质，函数示意图如下：所以T=t3−t1=2，则2πω=2，可得ω=π.故选：B6、某公园有一摩天轮，其直径为110米，逆时针匀速旋转一周所需时间约为28分钟，最高处距离地面120米，能够看到方圆40公里以内的景致.某乘客观光3分钟时看到一个与其视线水平的建筑物，试估计建筑物多高？（）（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）A．50B．38C．27D．15答案：C分析：作出简图，求出3分钟走过的角度，从而求出三分钟后距摩天轮最低点的高度，进而求出建筑物的高度.设走了3分钟到达B（如图所示），走过的圆心角为θ=2π×328=3π14， OE =Rcos 3π14=55cos 3π14，因为π6<3π14<π4 ， 所以√22<cos 3π14<√32， 所以38.885<55cos 3π14<47.63所以AE =55−55cos 3π14∈(7.73,21.145)，所以建筑物的高度：55(1−cos 3π14)+10∈(17.73,31.145)故选：C7、已知角α的终边与单位圆的交点P (45,35)，则sin (π−α)=（ ） A ．−35B ．−45C ．35D ．45答案：C分析：首先根据三角函数的定义求得sinα，然后根据诱导公式求得正确结果.依题意sinα=35√(5)2+(5)2=35， sin (π−α)=sinα=35.故选：C8、已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如下图所示.则能够使得y =2sinx 变成函数f (x )的变换为（ ）A ．先横坐标变为原来的12倍，再向左平移π24B ．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移π12C ．先向左平移π6，再横坐标变为原来的12倍D ．先向左平移π24，再横坐标变为原来的2倍 答案：C分析：先根据给定图象求出函数f (x )的解析式，再求出由y =2sinx 到f (x )的变换即得.观察图象知A =2，f (x )周期为T ，则T 4=5π12−π6=π4，即T =π，ω=2πT =2， 又f (π6)=2，即2⋅π6+φ=2kπ+π2(k ∈Z)，而|φ|<π2，则k =0,φ=π6， 所以f (x )=2sin(2x +π6)，把y =2sinx 图象向左平移π6得y =2sin(x +π6)图象，再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的12倍即得f (x ). 故选：C9、已知函数f (x )=|cos 2x |+cos x ，下列四个结论中正确的是（ ）A ．函数f (x )在(0,π)上恰有一个零点B ．函数f (x )在[0,π2]上单调递减C ．f (π)=2D ．函数f (x )的图象关于点(π2,0)对称答案：A分析：对x 的范围进行分类讨论，由此判断A 的正确性.利用赋值法判断BC 选项的正确性.由f (π2+x)+f (π2−x)是否为0来判断D 选项的正确性. x ∈(0,π4),2x ∈(0,π2)，f (x )=cos2x +cosx =2cos 2x +cosx −1=0，cosx =−1（舍去）或cosx =12,x =π3（舍去）.x ∈[π4,3π4],2x ∈[π2,3π2]，f (x )=−cos2x +cosx =−2cos 2x +cosx +1=0，cosx =1（舍去）或cosx =−12,x =2π3. x ∈(3π4,π),2x ∈(3π2,2π)，f (x )=cos2x +cosx =2cos 2x +cosx −1=0，cosx =−1（舍去）或cosx =12（舍去）.综上所述，函数f (x )在(0,π)上恰有一个零点，A 选项正确.f (0)=2,f (π4)=√22,f (π2)=1，B 选项错误.f (π)=1−1=0，C 选项错误.f (π2+x)+f (π2−x)=|cos (π+2x )|+cos (π2+x)+|cos (π−2x )|+cos (π2−x) =2|cos2x |−sinx +sinx =2|cos2x |不恒为0， D 选项错误.故选：A10、已知角θ的终边经过点P (−12,√32)，则角θ可以为（ ） A ．5π6B ．2π3C ．11π6D ．5π3 答案：B分析：求得sinθ，结合P 在第二象限求得θ的值，由此确定正确选项.依题意sinθ=√32√(−12)2+(√32)=√32，由于P 在第二象限，所以θ=2π3+2kπ,k∈Z，当k=0时θ=2π3，所以B选项正确，其它选项错误. 故选：B填空题11、若角α的终边落在直线y＝－x上，则√1−sin2α√1−cos2αcosα的值等于________.答案：0解析：先求出α＝2kπ＋34π或2kπ＋74π，k∈Z，再分类讨论得解.因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以α＝2kπ＋34π或2kπ＋74π，k∈Z，当α＝2kπ＋34π，k∈Z,即角α的终边在第二象限时，sinα＞0，cosα＜0；所以√1−sin2α+√1−cos2αcosα=sinα|cosα|+|sinα|cosα=sinα−cosα+sinαcosα=0当α＝2kπ＋74π，k∈Z,即角α的终边在第四象限时，sinα＜0，cosα＞0.所以√1−sin2α+√1−cos2αcosα=sinα|cosα|+|sinα|cosα=sinαcosα+−sinαcosα=0综合得√1−sin2α+√1−cos2αcosα的值等于0.所以答案是：012、若cosθ=725,θ∈(0,π)，则sin(π2+θ2)=__________答案：45分析：首先利用二倍角公式求出cosθ2，再利用诱导公式计算可得；解：因为cosθ=725=2cos2θ2−1,所以2cos2θ2=3225，则cos2θ2=1625.因为θ∈(0,π)，所以θ2∈(0,π2)，即cosθ2>0，故cosθ2=45.所以sin(π2+θ2)=cosθ2=45.所以答案是：45.13、已知sinα−3cosα=0，则sin2α+sin2α=__________.答案：32##1.5分析：首先根据同角三角函数的基本关系求出tanα，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；解：因为sinα−3cosα=0，所以tanα=sinαcosα=3，所以sin2α+sin2α=sin2α+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α+2tanαtan2α+1=32+2×332+1=32所以答案是：3214、若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．答案：π2（2kπ+π2,k∈Z均可）分析：根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得f(x)=√cos2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ)，可得√cos2φ+(sinφ+1)2=2，即可解出.因为f(x)=cosφsinx+(sinφ+1)cosx=√cos2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ)，所以√cos2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.所以答案是：π2（2kπ+π2,k∈Z均可）.小提示：本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.15、若sin(θ+π8)=13，则sin(2θ−π4)＝________.答案：−79分析：由题知2(θ+π8)−π2=(2θ−π4)，进而根据诱导公式与二倍角公式求解即可.解：因为2(θ+π8)−(2θ−π4)=π2，所以sin (2θ−π4)=sin [2(θ+π8)−π2]=−cos [2(θ+π8)] =2sin 2(θ+π8)−1=2×(13)2−1=−79． 所以答案是：−79解答题16、若函数f(x)=sin (ωx +π6)(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值，求ω的取值范围.答案：(0,16]∪[13,23] 分析：由题意可知函数f(x)=sin (ωx +π6)(ω>0)在区间(π,2π)单调，易知T 2≥π，结合函数的图像与性质可得结果.由于函数f(x)=sin (ωx +π6)(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值，∴函数f(x)=sin (ωx +π6)(ω>0)在区间(π,2π)单调， ∴T 2≥π, 则0<ω≤1当x ∈(π,2π)时，ωx +π6∈(ωπ+π6,2ωπ+π6)，由于f(x)在区间(π,2π)内没有最值，因此(ωπ+π6,2ωπ+π6)⊆(2kπ−π2,2kπ+π2)或(ωπ+π6,2ωπ+π6)⊆(2kπ+π2,2kπ+3π2)， 即{ωπ+π6⩾2kπ−π22ωπ+π6⩽2kπ+π20<ω≤1或{ωπ+π6⩾2kπ+π22ωπ+π6⩽2kπ+3π20<ω≤1 ，解得0<ω⩽16或13⩽ω⩽23， 所以ω的取值范围是(0,16]∪[13,23]．17、函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)先将函数f(x)图象上所有点向右平移5π24个单位长度，再将横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，当x ∈[0,π2]时，求函数g(x)的单调递增区间． 答案：(1)f(x)=sin (2x +π4) (2)[0,π6]和[5π12,π2]分析：（1）根据图像计算A =1周期T =π，代入点(−π8,0)解得φ=π4，得到函数解析式. （2）根据函数平移得到g(x)=sin (4x −π6)，取2k π−π2≤4x −π6≤2k π+π2，解得答案. (1)由函数图象知A =1，T 2=3π8−(−π8)=π2，∴T =π，∴ω=2， ∵sin [2×(−π8)+φ]=0，∴−π4+φ=2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ=π4，∴f(x)=sin (2x +π4)．(2)y =sin (2(x −5π24)+π4)=sin (2x −π6)，故g(x)=sin (4x −π6)，由2k π−π2≤4x −π6≤2k π+π2，k ∈Z ，得k π2−π12≤x ≤k π2+π6，k ∈Z ． ∵x ∈[0,π2]，∴g(x)的单调递增区间为[0,π6]和[5π12,π2]．18、设函数f (x )=sinx +cosx(x ∈R ).（1）求函数y =[f (x +π2)]2的最小正周期；（2）求函数y =f(x)f (x −π4)在[0,π2]上的最大值.答案：（1）π；（2）1+√22. 分析：（1）由题意结合三角恒等变换可得y =1−sin2x ，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得y =sin(2x −π4)+√22，再由三角函数的图象与性质即可得解. （1）由辅助角公式得f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)，则y =[f(x +π2)]2=[√2sin(x +3π4)]2=2sin 2(x +3π4)=1−cos(2x +3π2)=1−sin2x ， 所以该函数的最小正周期T =2π2=π; （2）由题意，y =f(x)f(x −π4)=√2sin(x +π4)⋅√2sinx =2sin(x +π4)sinx=2sinx ⋅(√22sinx +√22cosx)=√2sin 2x +√2sinxcosx =√2⋅1−cos2x 2+√22sin2x =√22sin2x −√22cos2x +√22=sin(2x −π4)+√22， 由x ∈[0,π2]可得2x −π4∈[−π4,3π4]， 所以当2x −π4=π2即x =3π8时，函数取最大值1+√22. 19、已知函数f （x ）=sin 2x −2√3sinxcosx +sin （x +π4）sin （x −π4）．(1)求f （x ）的最小值并写出此时x 的取值集合；(2)若x ∈[0 ，π]，求出f （x ）的单调减区间.答案：(1)最小值为−32，x 的取值集合为{x|x =π6+kπ ,k ∈Z}；(2)[0 ,π6]和[2π3,π]分析：（1）通过各种公式(两角和差公式、倍角公式、积化和差公式等)转化，最终把函数的解析式转化为f (x )=Asin (ωx +φ)+B 的形式,即可求出f （x ）的最小值并写出此时x 的取值集合.（2）先求出f （x ）的单调减区间，令k =0和k =1与x ∈[0，π]取交，即可得出答案.（1）由于f (x )=sin 2x −2√3sinxcosx +sin (x +π4)sin (x −π4) =1−cos2x 2−√3sin2x +√22(sinx +cosx)√22(sinx −cosx)（二倍角公式、两角和差公式） =1−cos2x 2−√3sin2x −cos2x 2 =12−(√3sin2x +cos2x) (辅助角公式) =12−2sin(2x +π6)令2x +π6=2kπ+π2，k ∈ Z ，解得x =kπ+π6，k ∈Z ， 可得f (x )的最小值为−32，此时x 的取值集合为{x|x =π6+kπ,k ∈Z}； （2）由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ， 可得kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调减区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k ∈Z ， 因为x ∈[0,π]，当k =0时，减区间为[0,π6]； 当k =1时，减区间为[2π3,π]．综上，x ∈[0,π]时的单调减区间为[0,π6]和[2π3,π]．。
高一数学(必修一)《第五章 三角函数的概念》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 三角函数的概念》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．点P 从(2,0)出发，逆时针方向旋转43π到达Q 点，则Q 点的坐标为（ ）A ．1,2⎛- ⎝⎭B ．(1)-C ．(1,-D ．21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭2．角α的终边过点()3,4P -，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425- B ．725- C ．725D ．24253．已知函数1log a y x =和()22y k x =-的图象如图所示，则不等式120y y ≥的解集是（ ）A ．(]1,2B ．[)1,2C ．()1,2D ．[]1,24．已知(0,2)απ∈，sin 0α<和cos 0α>，则角α的取值范围是（ ） A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭5．已知α是第二象限角，则（ ） A ．2α是第一象限角 B ．sin02α>C ．sin 20α<D ．2α是第三或第四象限角6．已知直线l 1的斜率为2，直线l 2经过点(1,2),(,6)A B x --，且l 1∥l 2，则19log x ＝（ ） A ．3B ．12C ．2D ．12-7．已知()1cos 3αβ-=，3cos 4β=与0,2παβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭和0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则（ ）．A ．0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．()0,απ∈D ．0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭8．已知点()tan ,sin P αα在第四象限，则角α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角二、解答题9．设α是第一象限角,作α的正弦线､余弦线和正切线,由图证明下列各等式. (1)22sin cos 1αα+=; (2)sin tan cos ααα=. 如果α是第二､三､四象限角,以上等式仍然成立吗? 10．已知()()()()3sin cos 2cos 2cos sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)若α是第三象限角，且()1sin 5απ-=，求()f α的值.11．已知|cosθ|=-cosθ，且tanθ<0，试判断()()sin cos θcos sin θ的符号.12．不通过求值，比较下列各组数的大小： (1)37sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭与49sin 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)sin194︒与()cos 160︒.13．（1）已知角α的终边经过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求()()()πsin tan π2sin πcos 3παααα⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭+⋅-的值； （2）已知0πx <<，1sin cos 5x x +=求tan x 的值． 14．已知角θ的终边与单位圆在第四象限交于点1,2P ⎛ ⎝⎭． (1)求tan θ的值；(2)求()()cos cos 22sin cos πθθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭++的值．15．在平面直角坐标系xOy 中角θ的始边为x 轴的正半轴，终边在第二象限与单位圆交于点P ，点P 的横坐标为35. (1)求cos 3sin 3sin cos θθθθ+-的值；(2)若将射线OP 绕点O 逆时针旋转2π，得到角α，求22sin sin cos cos αααα--的值.三、多选题16．给出下列各三角函数值：①()sin 100-；②()cos 220-；③tan 2；④cos1.其中符号为负的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④四、双空题17．已知55sin ,cos 66P ππ⎛⎫⎪⎝⎭是角α的终边上一点，则cos α=______，角α的最小正值是______. 参考答案与解析1．C【分析】结合已知点坐标，根据终边旋转的角度和方向，求Q 点坐标即可.【详解】由题意知，442cos ,2sin 33Q ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即(1,Q -. 故选：C. 2．B【分析】化简得2sin 22cos 12παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用三角函数的坐标定义求出cos α即得解.【详解】解：2sin 2cos 22cos 12πααα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭由题得3cos 5α==-，所以237sin 22()12525πα⎛⎫+=⨯--=- ⎪⎝⎭. 故选：B 3．B【分析】可将12,y y 图象合并至一个图，由12,y y 同号或10y =结合图象可直接求解.【详解】将12,y y 图象合并至一个图，如图：若满足120y y ≥，则等价于120y y ⋅>或10y =，当()1,2x ∈时，则120y y ⋅>，当1x =时，则10y =，故120y y ≥的解集是[)1,2故选：B 4．D【分析】根据三角函数值的符号确定角的终边的位置，从而可得α的取值范围.【详解】因为sin 0α<，cos 0α>故α为第四象限角，故3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭故选：D. 5．C∴2α是第三象限，第四象限角或终边在y 轴非正半轴，sin20α<，故C 正确，D 错误. 故选：C ． 6．D【分析】由已知结合直线平行的斜率关系可求出x ，然后结合对数的运算性质可求．【详解】解：因为直线l 1的斜率为2，直线l 2经过点(1,2),(,6)A B x --，且l 1∥l 2 所以6221x +=+，解得3x =所以2113991log log 3log 32x -===-故选：D ． 7．B【分析】由已知得()0,απ∈，再利用同角之间的关系及两角差的余弦公式计算cos 0α<，即可得解.()0,απ∴∈又cos cos()cos()cos sin()sin ααββαββαββ=-+=---13034=⨯=< ,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭故选：B 8．C【分析】由点的位置可确定tan ,sin αα的符号，根据符号可确定角α终边的位置.【详解】()tan ,sin P αα在第四象限tan 0sin 0αα>⎧∴⎨<⎩，α位于第三象限.故选：C. 9．见解析【解析】作出α的正弦线､余弦线和正切线 （1）由勾股定理证明；（2）由三角形相似PMO TAO ∆∆∽证明．若α是第二､三､四象限角,以上等式仍成立.【点睛】本题考查三角函数线的应用，考查用几何方法证明同角间的三角函数关系．掌握三角函数线定义是解题基础．10．(1)()cos f αα=-.【分析】(1)根据诱导公式直接化简即可;(2)由()1sin 5απ-=,可以利用诱导公式计算出sin α,再根据角所在象限确定cos α,进而得出结论.【详解】(1)根据诱导公式()()()()3sin cos 2cos 2cos sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()sin cos sin sin sin ααααα⋅⋅-=⋅cos α=-所以()cos f αα=-;(2)由诱导公式可知()sin sin απα-=-,即1sin 5α=-又α是第三象限角 所以cos α==所以()=cos f αα-=【点睛】本题主要考查诱导公式的运用,属于基础题.使用诱导公式时,常利用口诀“奇变偶不变,符号看象限”进行记忆. 11．符号为负.【分析】由|cosθ|=﹣cosθ，且tanθ＜0，可得θ在第二象限，即可判断出．【详解】由|cosθ|=-cosθ可得cosθ≤0，所以角θ的终边在第二、三象限或y 轴上或x 轴的负半轴上;又tanθ<0，所以角θ的终边在第二、四象限，从而可知角θ的终边在第二象限.易知-1<cosθ<0，0<sinθ<1，视cosθ、sinθ为弧度数，显然cosθ是第四象限的角，sinθ为第一象限的角，所以cos(sinθ)>0，sin(cosθ)<0，故()()sin cos θcos sin θ<0故答案为符号为负.【点睛】本题考查了三角函数值与所在象限的符号问题，考查了推理能力，属于基础题． 12．(1)3749sin sin 63ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)sin194cos160︒>︒【分析】根据诱导公式及函数的单调性比较大小. (1)由37sin sin 6sin 666ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭49sin sin 16sin 333ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又函数sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增所以sin sin 63ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3749sin sin 63ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)由()sin194sin 18014sin14︒=︒+︒=-︒()cos160cos 9070sin70︒=︒+︒=-︒又0147090︒<︒<︒<︒所以sin14sin70︒<︒，即sin14sin70-︒>-︒ 所以sin194cos160︒>︒.13．（1）54；（2）4tan 3x =- ．【分析】（1）由三角函数定义易得4cos 5α=，再利用诱导公式和基本关系式化简为()()()πsin tan π12sin πcos 3πcos ααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅=+-求解； （2）将1sin cos 5x x +=两边平方得到242sin cos 025x x =-<，进而求得7sin cos 5x x -=，与1sin cos 5x x +=联立求解.【详解】解：（1）P 点到原点O的距离1r =由三角函数定义有4cos 5x r α== ()()()πsin tan πcos tan 152sin πcos 3πsin cos cos 4ααααααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅=⨯==+---； （2）∵0πx <<，将1sin cos 5x x +=两边平方得112sin cos 25x x +=∴242sin cos 025x x =-<，可得ππ2x << ∴sin 0x > cos 0x < ∴sin cos 0x x ->∵()()22sin cos sin cos 2x x x x -++= ∴7sin cos 5x x -=，联立1sin cos 5x x +=∴4sin 5x = 3cos 5x =-∴4tan 3x =-． 14．(1)(2)2.【分析】（1）根据三角函数的定义tan yxθ=，代值计算即可； （2）利用诱导公式化简原式为齐次式，再结合同角三角函数关系和（1）中所求，代值计算即可. （1）因为角θ的终边与单位圆在第四象限交于点1,2P ⎛ ⎝⎭故可得tan yxθ==（2）原式=()()cos cos 22sin cos πθθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭++ sin cos sin cos θθθθ+=-tan 1tan 1θθ+=-由（1）可得：tan θ=tan 12tan 1θθ+==-. 15．(1)35(2)1925-【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值，再利用同角三角函数的基本关系，计算求得所给式子的值．（2）由题意利用诱导公式求得3tan 4α=，再将22sin sin cos cos αααα--化为22tan tan 1tan 1ααα--+，即可求得答案． (1)P 在单位圆上，且点P 在第二象限，P 的横坐标为35，可求得纵坐标为45所以434sin ,cos ,tan 553θθθ==-=-，则cos 3sin 13tan 33sin cos 3tan 15θθθθθθ++==--． (2)由题知2παθ=+，则3sin()cos 5sin 2παθθ=+==-，24cos cos()sin 5παθθ=+=-=-则sin 3tan cos 4ααα== 故22222222sin sin cos cos tan 1sin sin cos cos sin cos tan tan 1ααααααααααααα------==++ 2233()443()1241951--==-+.16．ABC【分析】首先判断角所在象限，然后根据三角函数在各个象限函数值的符号即可求解. 【详解】解：对①：因为100-为第三象限角，所以()sin 1000-<； 对②：因为220-为第二象限角，所以()cos 2200-<； 对③：因为2弧度角为第二象限角，所以tan20<； 对④：因为1弧度角为第一象限角，所以cos10>； 故选：ABC. 17．125π3【解析】根据三角函数的定义，求得cos α的值，进而确定角α的最小正值. 【详解】由于55sin ,cos 66P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是角α的终边上一点，所以cos α=5πsin 5π1sin62==.由于5π15πsin0,cos 0626=>=<，所以P 在第四象限，也即α是第四象限角，所以π2π3k α=-，当1k =时，则α取得最小正值为5π3.故答案为：（1）12；（2）5π3【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查特殊角的三角函数值，考查终边相同的角，属于基础题.。
第五章 三角函数习题
第五章 三角函数第一节 角的概念的推广与弧度制A 组1．点P 从(－1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．解析：由于点P 从(－1，0)出发，顺时针方向运动π3弧长到达Q 点，如图，因此Q 点的坐标为(cos 2π3，sin 2π3)，即Q (－12，32)．答案：(－12，32)2．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．①tan α2 ②sin α2 ③cos α2④cos2α解析：α为第四象限角，则α2为第二、四象限角，因此tan α2<0恒成立，应填①，其余三个符号可正可负．答案：①3．(2008年高考全国卷Ⅱ改编)若sin α<0且tan α>0，则α是第_______象限的角． 答案：三4．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域为________．解析：当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，tan x >0，y ＝3； 当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，tan x <0，y ＝－1； 当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0，tan x >0，y ＝－1；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，tan x <0，y ＝－1．答案：{－1，3}5．(原创题)若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________．解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34，易得tan α＝3或33，则a＝－43或－433．答案：－43或－4336．已知角α的终边上的一点P 的坐标为(－3，y )(y ≠0)，且sin α＝24y ，求cos α，tan α的值．解：因为sin α＝24y ＝y (－3)2＋y2，所以y 2＝5， 当y ＝5时，cos α＝－64，tan α＝－153； 当y ＝－5时，cos α＝－64，tan α＝153． B 组1．已知角α的终边过点P (a ，|a |)，且a ≠0，则sin α的值为________．解析：当a >0时，点P (a ，a )在第一象限，sin α＝22；当a <0时，点P (a ，－a )在第二象限，sin α＝22．答案：222．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是_____．解析：设扇形的圆心角为α rad ，半径为R ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋α·R ＝612R 2·α＝2，解得α＝1或α＝4．答案：1或4 3．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm ，则扇形的面积为________．解析：S ＝12|α|r 2＝12×23π×100＝1003π(cm 2)．答案：1003π cm 24．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为__________．答案：{56°，176°，296°} 5．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α是第________象限．解析：当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m ·180°＋225°＝m ·360°＋225°，故α为第三象限角；当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝m ·360°＋45°，故α为第一象限角．答案：一或三6．设角α的终边经过点P (－6a ，－8a )(a ≠0)，则sin α－cos α的值是________．解析：∵x ＝－6a ，y ＝－8a ，∴r ＝(－6a )2＋(－8a )2＝10|a |，∴sin α－cos α＝y r －x r ＝－8a ＋6a 10|a |＝－a 5|a |＝±15．答案：±157．(2010年北京东城区质检)若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．解析：yx＝tan300°＝－tan60°＝－3．答案：－ 38．(2010年深圳调研)已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为________．解析：由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ在第四象限，∵tan θ＝cos3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0，2π)，∴θ＝7π4．答案：7π49．已知角α的始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝25，且cos α<0，则k 的值为________．解析：设α终边上任一点P (x ，y )，且|OP |≠0，∴y ＝kx ，∴r ＝x 2＋(kx )2＝1＋k 2|x |．又sin α>0，cos α<0．∴x <0，y >0，∴r ＝－1＋k 2x ，且k <0．∴sin α＝y r ＝kx －1＋k 2x ＝－k 1＋k 2，又sin α＝25．∴－k 1＋k 2＝25，∴k ＝－2．答案：－210．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ．若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．解：设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝103π(cm)，S 弓＝S 扇－S △＝12·103π·10－12·102sin60°＝50(π3－32)(cm 2)．11．扇形AOB 的周长为8 cm ．(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB ． 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6．(2)∵2r ＋l ＝2r ＋αr ＝8，∴r ＝82＋α．∴S 扇＝12αr 2＝12α·64(2＋α)2＝32α＋4α＋4≤4， 当且仅当α＝4α，即α＝2时，扇形面积取得最大值4．此时，r ＝82＋2＝2 (cm)，∴|AB |＝2×2sin1＝4 sin1 (cm)．12．(1)角α的终边上一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，求2sin α＋cos α的值；(2)已知角β的终边在直线y ＝3x 上，用三角函数定义求sin β的值． 解：(1)根据题意，有x ＝4t ，y ＝－3t ，所以r ＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，①当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝－35，cos α＝45，所以2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25．②当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝－3t －5t ＝35，cos α＝4t －5t＝－45，所以2sin α＋cos α＝65－45＝25．(2)设P (a ，3a )(a ≠0)是角β终边y ＝3x 上一点，若a ＜0，则β是第三象限角，r ＝－2a ，此时sin β＝3a －2a＝－32；若a ＞0，则β是第一象限角，r ＝2a ，此时sin β＝3a 2a ＝32．第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式A 组1．若cos α＝－35，α∈(π2，π)，则tan α＝________．解析：cos α＝－35，α∈(π2，π)，所以sin α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43．答案：－432．(2009年高考北京卷)若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________．解析：由sin θ＝－45<0，tan θ>0知，θ是第三象限角，故cos θ＝－35．答案：－353．若sin(π6＋α)＝35，则cos(π3－α)＝________．解析：cos(π3－α)＝cos[π2－(π6＋α)]＝sin(π6＋α)＝35．答案：354．(2010年合肥质检)已知sin x ＝2cos x ，则5sin x －cos x2sin x ＋cos x＝______．解析：∵sin x ＝2cos x ，∴tan x ＝2，∴5sin x －cos x 2sin x ＋cos x ＝5tan x －12tan x ＋1＝95．答案：955．(原创题)若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ＝________．解析：由cos2θ＋cos θ＝0，得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或cos θ＝12，当cos θ＝－1时，有sin θ＝0，当cos θ＝12时，有sin θ＝±32．于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－3．答案：0或3或－ 36．已知sin(π－α)cos(－8π－α)＝60169，且α∈(π4，π2)，求cos α，sin α的值．解：由题意，得2sin αcos α＝120169．①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得：(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得：(sin α－cos α)2＝49169．又∵α∈(π4，π2)，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713．③sin α－cos α＝713，④③＋④得：sin α＝1213．③－④得：cos α＝513．B 组1．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2x ＋1＝________．解析：由已知，得tan x ＝2，所以sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x ＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95．答案：95 2．(2010年南京调研)cos 10π3＝________．解析：cos 10π3＝cos 4π3＝－cos π3＝－12．答案：－123．(2010年西安调研)已知sin α＝35，且α∈(π2，π)，那么sin2αcos 2α的值等于________．解析：cos α＝－1－sin 2α＝－45， sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2×35－45＝－32． 答案：－324．(2010年南昌质检)若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝_________________．解析：sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1＝165．答案：165 5．(2010年苏州调研)已知tan x ＝sin(x ＋π2)，则sin x ＝___________________．解析：∵tan x ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝5－12．答案：5－126．若θ∈[0，π)，且cos θ(sin θ＋cos θ)＝1，则θ＝________．解析：由cos θ(sin θ＋cos θ)＝1⇒sin θ·cos θ＝1－cos 2θ＝sin 2θ⇒sin θ(sin θ－cos θ)＝0⇒sin θ＝0或sin θ－cos θ＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0或π4．答案：0或π47．已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)的值等于________．解析：由已知，得cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13．答案：－138．(2008年高考浙江卷改编)若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________．解析：由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②将①代入②得(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255，cos α＝－55，∴tan α＝2．答案：29．已知f (α)＝sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋3π2)cos(－π－α)，则f (－31π3)的值为________．解析：∵f (α)＝sin α·cos α·cot α－cos α＝－cos α，∴f (－313π)＝－cos π3＝－12．答案：－1210．求sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)(n ∈Z )的值．解：(1)当n 为奇数时，sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)＝sin 2π3·cos[(n ＋1)π＋π3]＝sin(π－π3)·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34．(2)当n 为偶数时，sin(2n π＋2π3)·cos(n π＋4π3)＝sin 2π3·cos 4π3＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·(－cos π3)＝32×(－12)＝－34．11．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三内角．解：由已知，得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得：2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22．(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π．(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32．又A 、B 是三角形内角，∴A ＝34π，B ＝56π，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π．12．已知向量a ＝(3，1)，向量b ＝(sin α－m ，cos α)．(1)若a ∥b ，且α∈[0，2π)，将m 表示为α的函数，并求m 的最小值及相应的α值；(2)若a ⊥b ，且m ＝0，求cos(π2－α)·sin(π＋2α)cos(π－α)的值．解：(1)∵a ∥b ，∴3cos α－1·(sin α－m )＝0，∴m ＝sin α－3cos α＝2sin(α－π3)．又∵α∈[0，2π)，∴当sin(α－π3)＝－1时，m min ＝－2．此时α－π3＝32π，即α＝116π．(2)∵a ⊥b ，且m ＝0，∴3sin α＋cos α＝0．∴tan α＝－33．∴cos(π2－α)·sin(π＋2α)cos(π－α)＝sin α·(－sin2α)－cos α＝tan α·2sin α·cos α＝tan α·2sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α·2tan α1＋tan 2α＝12．第三节 正弦函数与余弦函数的图像与性质A 组1．(2009年高考四川卷改编)已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是 ．①函数f (x )的最小正周期为2π②函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数③函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称④函数f (x )是奇函数解析：∵y ＝sin(x －π2)＝－cos x ，y ＝－cos x 为偶函数，∴T ＝2π，在[0，π2]上是增函数，图象关于y 轴对称．答案：④2．(2009年高考广东卷改编)函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是________．①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为π2的奇函数 ④最小正周期为π2的偶函数解析：y ＝2cos 2(x －π4)－1＝cos(2x －π2)＝sin2x ，∴T ＝π，且为奇函数．答案：①3．(2009年高考江西卷改编)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x <π2，则f (x )的最大值为________．解析：f (x )＝(1＋3·sin x cos x )·cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3，∴当x ＋π6＝π2时，f (x )取得最大值2．答案：24．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则a 的值为________．解析：∵x ＝π12是对称轴，∴f (0)＝f (π6)，即cos0＝a sin π3＋cos π3，∴a ＝33．答案：335．(原创题)设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期是π，则f (x )图象上的一个对称中心是________(写出一个即可)．解析：∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2，又∵函数的图象关于直线x ＝π3对称，所以有sin(2×π3＋φ)＝±1，∴φ＝k 1π－π6(k 1∈Z )，由sin(2x ＋k 1π－π6)＝0得2x ＋k 1π－π6＝k 2π(k 2∈Z )，∴x ＝π12＋(k 2－k 1)π2，当k 1＝k 2时，x ＝π12，∴f (x )图象的一个对称中心为(π12，0)．答案：(π12，0)6．(2010年宁波调研)设函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32．(1)求函数f (x )的最小正周期T ，并求出函数f (x )的单调递增区间；(2)求在[0，3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和．解：(1)f (x )＝32(cos2x ＋1)＋12sin2x －32＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin(2x ＋π3)，故T ＝π．由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－512π≤x ≤k π＋π12，所以单调递增区间为[k π－512π，k π＋π12](k ∈Z )．(2)令f (x )＝1，即sin(2x ＋π3)＝1，则2x ＋π3＝2k π＋π2(k ∈Z )．于是x ＝k π＋π12(k ∈Z )，∵0≤x <3π，且k ∈Z ，∴k ＝0，1，2，则π12＋(π＋π12)＋(2π＋π12)＝13π4．∴在[0，3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和为134π．B 组1．函数f (x )＝sin(23x ＋π2)＋sin 23x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．解析：f (x )＝cos 2x 3＋sin 2x 3＝2sin(2x 3＋π4)，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T ＝2π23＝3π，∴T 2＝3π2．答案：3π22．(2010年天津河西区质检)给定性质：a 最小正周期为π；b 图象关于直线x ＝π3对称．则下列四个函数中，同时具有性质ab 的是________．①y ＝sin(x 2＋π6) ②y ＝sin(2x ＋π6) ③y ＝sin|x | ④y ＝sin(2x －π6)解析：④中，∵T ＝2π＝π，∴ω＝2．又2×π3－π6＝π2，所以x ＝π3为对称轴．答案：④3．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)若π4<x <π2，则函数y ＝tan2x tan 3x 的最大值为_ _．解析：π4<x <π2，tan x >1，令tan 2x －1＝t >0，则y ＝tan2x tan 3x ＝2tan 4x 1－tan 2x ＝2(t ＋1)2－t＝－2(t ＋1t ＋2)≤－8，故填－8．答案：－84．(2010年烟台质检)函数f (x )＝sin 2x ＋2cos x 在区间[－23π，θ]上的最大值为1，则θ的值是________．解析：因为f (x )＝sin 2x ＋2cos x ＝－cos 2x ＋2cos x ＋1＝－(cos x －1)2＋2，又其在区间[－2π3，θ]上的最大值为1，可知θ只能取－π2． 答案：－π25．(2010年苏北四市调研)若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在[－2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为________．解析：由题意，得2π4ω≥2π3，∴0<ω≤34，则ω的最大值为34．答案：346．(2010年南京调研)设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0，0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________．解析：因为图象的对称中心是其与x 轴的交点，所以由y ＝2sin(2x 0＋π3)＝0，x 0∈[－π2，0]，得x 0＝－π6．答案：－π67．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________．①y ＝4sin(4x ＋π6)②y ＝2sin(2x ＋π3)＋2③y ＝2sin(4x ＋π3)＋2 ④y ＝2sin(4x ＋π6)＋2解析：因为已知函数的最大值为4，最小值为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＋m ＝4m －A ＝0，解得A ＝m ＝2，又最小正周期为2πω＝π2，所以ω＝4，又直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，将x ＝π3代入得sin(4×π3＋φ)＝±1，所以φ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，φ＝π6．答案：④8．有一种波，其波形为函数y ＝sin π2x 的图象，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是________．解析：函数y ＝sin π2x 的周期T ＝4，若在区间[0，t ]上至少出现两个波峰，则t ≥54T ＝5．答案：59．(2009年高考安徽卷改编)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是________．解析：∵y ＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)，且由函数y ＝f (x )与直线y ＝2的两个相邻交点间的距离为π知，函数y＝f (x )的周期T ＝π，∴T ＝2πω＝π，解得ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．答案：[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z ) 10．已知向量a ＝(2sin ωx ，cos 2ωx )，向量b ＝(cos ωx ，23)，其中ω>0，函数f (x )＝a ·b ，若f (x )图象的相邻两对称轴间的距离为π．(1)求f (x )的解析式；(2)若对任意实数x ∈[π6，π3]，恒有|f (x )－m |<2成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f (x )＝a ·b ＝(2sin ωx ，cos 2ωx )·(cos ωx ，23)＝sin2ωx ＋3(1＋cos2ωx )＝2sin(2ωx ＋π3)＋3．∵相邻两对称轴的距离为π，∴2π2ω＝2π，∴ω＝12，∴f (x )＝2sin(x ＋π3)＋3．(2)∵x ∈[π6，π3]，∴x ＋π3∈[π2，2π3]，∴23≤f (x )≤2＋3．又∵|f (x )－m |<2，∴－2＋m <f (x )<2＋m ．，若对任意x ∈[π6，π3]，恒有|f (x )－m |<2成立，则有⎩⎨⎧－2＋m ≤23，2＋m ≥2＋3，解得3≤m ≤2＋23． 11．设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x ，1)，b ＝(cos x ，3sin2x ＋m )．(1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，f (x )的最大值为4，求m 的值．解：(1)∵f (x )＝a ·b ＝2cos 2x ＋3sin2x ＋m ＝2sin(2x ＋π6)＋m ＋1，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π．在[0，π]上的单调递增区间为[0，π6]，[2π3，π]．(2)当x ∈[0，π6]时，∵f (x )单调递增，∴当x ＝π6时，f (x )取得最大值为m ＋3，即m ＋3＝4，解之得m ＝1，∴m 的值为1．12．已知函数f (x )＝3sin ωx －2sin 2ωx2＋m (ω>0)的最小正周期为3π，且当x ∈[0，π]时，函数 f (x )的最小值为0．(1)求函数f (x )的表达式；(2)在△ABC 中，若f (C )＝1，且2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )，求sin A 的值．解：(1)f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx －1＋m ＝2sin(ωx ＋π6)－1＋m ．依题意，函数f (x )的最小正周期为3π，即2πω＝3π，解得ω＝23．∴f (x )＝2sin(2x 3＋π6)－1＋m ．当x ∈[0，π]时，π6≤2x 3＋π6≤5π6，12≤sin(2x 3＋π6)≤1，∴f (x )的最小值为m ．依题意，m ＝0．∴f (x )＝2sin(2x 3＋π6)－1．(2)由题意，得f (C )＝2sin(2C 3＋π6)－1＝1，∴sin(2C 3＋π6)＝1．而π6≤2C 3＋π6≤5π6，∴2C 3＋π6＝π2，解得C ＝π2．∴A ＋B ＝π2． 在Rt △ABC 中，∵A ＋B ＝π2，2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )．∴2cos 2A －sin A －sin A ＝0，解得sin A ＝－1±52．∵0<sin A <1，∴sin A ＝5－12．第四节 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像A 组1．(2009年高考浙江卷改编)已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是________．解析：函数的最小正周期为T ＝2π|a |，∴当|a |>1时，T <2π．当0<|a |<1时，T >2π，观察图形中周期与振幅的关系，发现④不符合要求．答案：④2．(2009年高考湖南卷改编)将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，则φ等于________．解析：y ＝sin(x －π6)＝sin(x －π6＋2π)＝sin(x ＋11π6)．答案：11π63．将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为________．解析：因为f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)，f (x )的图象向右平移φ个单位所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为5π6．答案：5π64．如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)，x ∈R 的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．①函数f (x )的最小正周期为π2；②函数f (x )的振幅为23；③函数f (x )的一条对称轴方程为x ＝712π；④函数f (x )的单调递增区间为[π12，712π]；⑤函数的解析式为f (x )＝3sin(2x －23π)．解析：据图象可得：A ＝3，T 2＝5π6－π3⇒T ＝π，故ω＝2，又由f (7π12)＝3⇒sin(2×7π12＋φ)＝1，解得φ＝2k π－2π3(k ∈Z )，又－π<φ<π，故φ＝－2π3，故f (x )＝3sin(2x －2π3)，依次判断各选项，易知①②是错误的，由图象易知x ＝7π12是函数图象的一条对称轴，故③正确，④函数的单调递增区间有无穷多个，区间[π12，7π12]只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推导易知正确．答案：③⑤5．(原创题)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ，如果存在实数x 1，使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 1＋2010)成立，则ω的最小值为________．解析：显然结论成立只需保证区间[x 1，x 1＋2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，且f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，则2010≥2πω2⇒ω≥π2010．答案：π20106．(2010年苏北四市质检)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·sin(ωx ＋π2)＋2cos 2ωx ，x ∈R (ω>0)，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6． (1)求ω；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间．解：(1)f (x )＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋32＝sin(2ωx ＋π6)＋32，令2ωx ＋π6＝π2，将x ＝π6代入可得：ω＝1．(2)由(1)得f (x )＝sin(2x ＋π6)＋32，经过题设的变化得到的函数g (x )＝sin(12x －π6)＋32，当x ＝4k π＋43π，k ∈Z 时，函数取得最大值52．令2k π＋π2≤12x －π6≤2k π＋32π(k ∈Z )，∴4k π＋4π3≤x ≤4k π＋103π(k ∈Z )．即x ∈[4k π＋4π3，4k π＋103π]，k ∈Z 为函数的单调递减区间．B 组1．(2009年高考宁夏、海南卷)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________．解析：由图可知，T 2＝2π－34π，∴T ＝52π，∴2πω＝52π，∴ω＝45，∴y ＝sin(45x ＋φ)．又∵sin(45×34π＋φ)＝－1，∴sin(35π＋φ)＝－1，∴35π＋φ＝32π＋2k π，k ∈Z ． ∵－π≤φ<π，∴φ＝910π． 答案：910π2．(2010年南京调研)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________．解析：由图象知T ＝2(2π3－π6)＝π．∴ω＝2πT ＝2，把点(π6，1)代入，可得2×π6＋φ＝π2，φ＝π6．答案：π6π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周3．(2009年高考天津卷改编)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象________．解析：∵f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，∴2πω＝π，故ω＝2． 又f (x )＝sin(2x ＋π4)∴g (x )＝sin[2(x ＋π8)＋π4]＝sin(2x ＋π2)＝cos2x ．答案：向左平移π8个单位长度4．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ) 的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)＝________．解析：T 2＝1112π－712π＝π3，∴ω＝2πT ＝3．又(712π，0)是函数的一个上升段的零点， ∴3×712π＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，得φ＝－π4＋2k π，k ∈Z ，代入f (π2)＝－23，得A ＝223，∴f (0)＝23． 答案：235．将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(－π12，0)中心对称．解析：由y ＝sin(2x ＋π3)＝sin2(x ＋π6)可知其函数图象关于点(－π6，0)对称，因此要使平移后的图象关于(－π12，0)对称，只需向右平移π12即可．答案：右 π126．(2010年深圳调研)定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 cos x 1 sin x 的图象向左平移m 个单位(m >0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是________．解析：由题意，知f (x )＝3sin x －cos x ＝2(32sin x －12cos x )＝2sin(x －π6)，其图象向左平移m 个单位后变为y ＝2sin(x －π6＋m )，平移后其对称轴为x －π6＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ．若为偶函数，则x ＝0，所以m ＝k π＋2π3(k ∈Z )，故m 的最小值为2π3．答案：2π37．(2009年高考全国卷Ⅱ改编)若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为________．解析：y ＝tan(ωx ＋π4)向右平移π6个单位长度后得到函数解析式y ＝tan[ω(x －π6)＋π4]，即y ＝tan(ωx ＋π4－πω6)，显然当π4－πω6＝π6＋k π(k ∈Z )时，两图象重合，此时ω＝12－6k (k ∈Z )．∵ω>0，∴k ＝0时，ω的最小值为12．答案：128．给出三个命题：①函数y ＝|sin(2x ＋π3)|的最小正周期是π2；②函数y ＝sin(x －3π2)在区间[π，3π2]上单调递增；③x ＝5π4是函数y ＝sin(2x ＋5π6)的图象的一条对称轴．其中真命题的个数是________．解析：由于函数y ＝sin(2x ＋π3)的最小正周期是π，故函数y ＝|sin(2x ＋π3)|的最小正周期是π2，①正确；y ＝sin(x －3π2)＝cos x ，该函数在[π，3π2)上单调递增， ②正确；当x ＝5π4时，y ＝sin(2x ＋5π6)＝sin(5π2＋5π6)＝sin(π2＋5π6)＝cos 5π6＝－32，不等于函数的最值，故x ＝5π4不是函数y ＝sin(2x ＋5π6)的图象的一条对称轴，③不正确．答案：29．(2009年高考上海卷)当0≤x ≤1时，不等式sin πx2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________．解析：当0≤x ≤1时，y ＝sin πx2的图象如图所示，y ＝kx 的图象在[0，1]之间的部分应位于此图象下方，当k ≤0时，y ＝kx 在[0，1]上的图象恒在x 轴下方，原不等式成立．当k >0，kx ≤sin πx2时，在x ∈[0，1]上恒成立，k ≤1即可．故k ≤1时，x ∈[0，1]上恒有sin πx2≥kx ．答案：k ≤110．(2009年高考重庆卷)设函数f (x )＝(sin ωx ＋cos ωx )2＋2cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3．(1)求ω的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到，求y ＝g (x )的单调增区间．解：(1)f (x )＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2sin ωx ·cos ωx ＋1＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin(2ωx ＋π4)＋2，依题意，得2π2ω＝2π3，故ω＝32． (2)依题意，得g (x )＝2sin[3(x －π2)＋π4]＋2＝2sin(3x －5π4)＋2．由2k π－π2≤3x －5π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π12(k ∈Z )．故g (x )的单调增区间为[23k π＋π4，23k π＋7π12](k ∈Z )．11．(2009年高考陕西卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0，0<φ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[0，π12]时，求f (x )的最值．解：(1)由最低点为M (2π3，－2)得 A ＝2．由T ＝π得ω＝2πT ＝2ππ＝2． 由点M (2π3，－2)在图象上得2sin(4π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1， ∴4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－11π6，k ∈Z ．又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6， ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (2)∵x ∈[0，π12]，∴2x ＋π6∈[π6，π3]，∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值3．12．(2009年高考福建卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2． (1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值； (2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．解：法一：(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0得cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0， 即cos(π4＋φ)＝0．又|φ|<π2，∴φ＝π4． (2)由(1)得，f (x )＝sin(ωx ＋π4)．依题意，T 2＝π3，又T ＝2πω，故ω＝3， ∴f (x )＝sin(3x ＋π4)．函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为 g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]，g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )， 即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )．从而，最小正实数m ＝π12． 法二：(1)同法一．(2)由(1)得 ，f (x )＝sin(ωx ＋π4)．依题意，T 2＝π3．又T ＝2πω，故ω＝3， ∴f (x )＝sin(3x ＋π4)． 函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]． g (x )是偶函数当且仅当g (－x )＝g (x )对x ∈R 恒成立，亦即sin(－3x ＋3m ＋π4)＝sin(3x ＋3m ＋π4)对x ∈R 恒成立． ∴sin(－3x )cos(3m ＋π4)＋cos(－3x )·sin(3m ＋π4) ＝sin3x cos(3m ＋π4)＋cos3x sin(3m ＋π4)， 即2sin3x cos(3m ＋π4)＝0对x ∈R 恒成立．∴cos(3m ＋π4)＝0，故3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，∴m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，从而，最小正实数m ＝π12．。
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-带答案
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-带答案1.已知θ2sin )21(＜1,则θ所在象限为第 象限.2.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限.3.已知sin θ=a a+-11,cos θ=aa +-113,若θ是第二象限角，则cot a = .4.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值为 .5.如果cos α=51,且α是第四象限的角,那么cos ⎪⎭⎫⎝⎛+2πα= .6.已知cos(π+α)=-21,且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π-α)= ; (2) [][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -•++-+++ (n ∈Z )= .7.化简：αααα6644sin cos 1sin cos 1----= .8.已知函数f (x )=2sin ωx (ω＞0)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上的最小值是-2，则ω的最小值等于 .9.函数y =A sin(ωx +ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜ 2π,x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为 .10. 某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为 .11.若函数f (x )=2sin(ϕω+x )对任意x 都有f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 6π，则f ⎪⎭⎫⎝⎛6π= .12.函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的单调减区间为 .13.求f (x )=)2cos(21x --π的定义域和值域.14.已知函数y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到.15.已知函数f (x )=2A - 2A cos(2ωx +2ϕ) (A ＞0, ω＞0,0＜ϕ＜2π),且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻 两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求ϕ;(2)计算f (1)+f (2)+…+f (2 008).参考答案1.已知θ2sin )21(＜1,则θ所在象限为第 象限.答案 一或三2.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限. 答案 二3.已知sin θ=a a+-11,cos θ=aa +-113,若θ是第二象限角，则cot a = . 解 ∵θ是第二象限角，∴sin θ＞0,cos θ＜0∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-=<-<+-=<0113cos 1111sin 0a a a a θθ，解得0＜a ＜31.又∵sin 2θ+cos 2θ=1∴11131122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a a解得a =91或a =1(舍去），故实数a 的值为91.4.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值为 .答案 25.如果cos α=51,且α是第四象限的角,那么cos ⎪⎭⎫⎝⎛+2πα= .答案562 6.已知cos(π+α)=-21,且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π-α)= ; (2)[][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -•++-+++ (n ∈Z )= .解 ∵cos(π+α)=-21,∴-cos α=-21,cos α=21又∵α是第四象限角，∴sin α=-23cos 12-=-α. （1）sin(2π-α)=sin ［2π+(-α)］ =sin(-α)=-sin α=23. （2）[][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -•++-+++=)2cos()2sin()2sin()2sin(απαπαππαππ+-•++--+++n n n n=αααπαπcos sin )sin()sin(•+-++=αααπαcos sin )sin(sin •---=αααcos sin sin 2•-=αcos 2-=-4.7.化简：αααα6644sin cos 1sin cos 1----= .解 方法一 原式=αααααααα6632244222sin cos )sin (cos sin cos )sin (cos --+--+=32)sin (cos sin cos 3sin cos 2222222=+•αααααα. 方法二 原式=ααααααα6422422sin )cos cos 1)(cos 1(sin )cos 1)(cos 1(-++--+-8.已知函数f (x )=2sin ωx (ω＞0)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上的最小值是-2，则ω的最小值等于 .答案 239.函数y =A sin(ωx +ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜2π,x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为 . 答案 y =-4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+48ππx10.某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为 .答案 y =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx11.若函数f (x )=2sin(ϕω+x )对任意x 都有f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 6π，则f ⎪⎭⎫⎝⎛6π= .答案 -2或212.求函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的单调减区间为 .解 方法一 y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π化成y =-2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx .1分∵y =sin u (u ∈R )的递增、递减区间分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k （k ∈Z ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππk k (k ∈Z ) ∴函数y =-2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx 的递增、递减区间分别由下面的不等式确定2k π+2π≤x -4π≤2k π+23π（k ∈Z ) 即2k π+43π≤x ≤2k π+47π（k ∈Z ) 2k π-2π≤x -4π≤2k π+2π（k ∈Z )即2k π-4π≤x ≤2k π+43π（k ∈Z ).∴函数y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π的单调递减区间、单调递增区间分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-432,42ππππk k （k ∈Z ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++472,432ππππk k （k ∈Z ).方法二 y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π可看作是由y =2sin u 与u =x -4π复合而成的.又∵u =x -4π为减函数∴由2k π-2π≤u ≤2k π+2π（k ∈Z ) -2k π-4π≤x ≤-2k π+43π (k ∈Z ). 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）为y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递减区间. 由2k π+2π≤u ≤2k π+23π(k ∈Z ) 即2k π+2π≤4π-x ≤2k π+23π (k ∈Z )得 -2k π-45π≤x ≤-2k π-4π(k ∈Z ) 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z )为y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递增区间.综上可知：y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z ）； 递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）.13.求f (x )=)2cos(21x --π的定义域和值域.解 由函数1-2cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π≥0,得sin x ≤22,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-k k x k x ,42452|ππππ. 当sin x =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π=22时，y min =0; 当sin x =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π=-1时，y max =21+.所以函数的值域为［0，21+］.Z14.已知函数y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到.解 （1）y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的振幅A =2,周期T =22π=π 初相ϕ=3π. （2）令X =2x +3π,则y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx =2sin X .列表，并描点画出图象：（3）方法一 把y =sin x 的图象上所有的点向左平移3π个单位，得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 的图象，再把y =sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 的图象上的点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象，最后把y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象. 方法二 将y =sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的21倍，纵坐标不变，得到y =sin2x 的图象； 再将y =sin2x 的图象向左平移6π个单位； 得到y =sin2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象；再将y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象.15.已知函数f (x )=2A - 2A cos(2ωx +2ϕ) (A ＞0, ω＞0,0＜ϕ＜2π),且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻 两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.（1）求ϕ;(2)计算f (1)+f (2)+…+f (2 008). 解 （1）∵y =2A - 2Acos(2ωx +2ϕ) 且y =f (x )的最大值为2，A ＞0 ∴2A +2A=2,A =2. 又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2,ω＞0 ∴21⎪⎭⎫ ⎝⎛ωπ22=2, ω=4π.∴f (x )= 22-22cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ22x =1-cos ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ22x .∵y =f (x )过(1,2)点，∴cos ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ22=-1.ϕπ22+=2k π+π,k ∈Z .∴ϕ=k π+4π,k ∈Z . 又∵0＜ϕ＜2π，∴ϕ=4π.(2)∵ϕ=4π,∴f (x )=1-cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22ππx =1+sin x 2π.∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=2+1+0+1=4.又∵y =f (x )的周期为4，2 008=4×502∴f （1）+f （2）+…+f （2 008）=4×502=2 008.。
高一数学(必修一)《第五章 三角函数的应用》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 三角函数的应用》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t 秒时相对于平衡位置的高度h （厘米）由如下关系式确定2sin 6h t πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞和(),φππ∈-.已知当2t =时，则小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在0=t 秒时h 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．D 2．小明给学校设计数学文化长廊，计划将长廊的顶部遮雨棚设计成如图所示横截面为正弦曲线的形状（雨棚的厚度忽略不计），已知入口高度AB 和出口处高度CD 均为H ，为使参观者行走方便，要求雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的23，则雨棚横截面正弦曲线振幅的最大值为（ ）A ．3H B ．4H C ．5H D ．6H 3．如图为函数()sin ,()f x x x αα=⋅∈R 的部分图象，则α的值可能是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120140mmHg ～和6090mmHg ～．心脏跳动时，则血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg 为标准值．高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检，其中血压、视力等对于高考报考有一些影响．某同学测得的血压满足函数式()sin (0)p t a b t ωω=+>，其中()p t 为血压(mmHg)t ，为时间(min)，其函数图像如上图所示，则下列说法错误．．的是（ ）A ．收缩压为120mmHgB ．80ωπ=C ．舒张压为70mmHgD ．95a =5．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t （s ）时离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由下列两式确定：s 1＝5sin 26t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，s 2＝5cos 23t π⎛⎫- ⎪⎝⎭．则在时间t ＝23π时，则s 1与s 2的大小关系是（ ） A ．s 1＞s 2 B ．s 1＜s 2 C ．s 1＝s 2D ．不能确定6．红河州个旧市是一个风景优美的宜居城市，如图是个旧宝华公园的摩天轮，半径为20米，圆心O 距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度能够将个旧市区美景尽收眼底，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度（单位：分钟）为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．1137．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O 的半径为4米，盛水筒M 从点0P 处开始运动， 0OP 与水平面的所成角为30，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M 距离水面的高度H （单位；m ）与时间t （单位： s ）之间的函数关系式的图象可能是A ．B ．C ．D ．8．一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m （即OM 长），巨轮的半径长为30m ，2AM BP m ==，巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P距离地面的高度为（ ）A ．30sin 30122t ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．30sin 3062t ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．30sin 3262t ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．30sin 62t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、双空题9．函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭最小正周期T =______，函数()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像向左平移t 个单位（()0,t π∈）得到函数()f x 图像，则实数t =______.三、填空题10．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数为________．11．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数sin()(0,0)y A x b A ωϕω=++>>，则8时的温度大约为________C （精确到1C ）．12．已知某海浴场的海浪高度(m)y 是时间t （其中024t ≤≤，单位：时）的函数，记作()y f t =，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，曲线()y f t =可近似地看成是函数cos (0,0)A t b A y ωω+>>=的图象，根据以上数据，函数的解析式为________．13．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y （单位：m ）在某天24小时内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________．14．已知函数()sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，则()2021f =______.四、解答题15．如图所示，摩天轮的直径为100m ，最高点距离地面高度为110m ，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min ．(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，求在转动一周的过程中H 关于t 的函数解析式；(2)在甲进座舱后间隔3个座舱乙游客进座舱（如图所示，此时甲、乙分别位于P 、Q 两点，本题中将座舱视为圆周上的点），以乙进座舱后开始计时，则在运行一周的过程中求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求出25≥h 时t 的取值范围．16．在ABC 中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()tan cos cos B c A a C +. (1)求角B 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，且b =ABC 面积的取值范围.五、多选题17．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案与解析1．D【分析】根据当2t =时，则小球处于平衡位置，并开始向下移动可求得φ，进而求得h 的解析式，再代入0=t 求解即可【详解】因为当2t =时，则小球处于平衡位置，并开始向下移动，故()22,Z 6k k πφππ⨯+=+∈，即()22,Z 3k k πφπ=+∈，又(),φππ∈-，故23πφ=，故22sin 63h t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故当0=t 时，则22sin3h π==故选：D 2．C【分析】根据正弦曲线振幅的意义及雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的23建立不等式可求解.【详解】雨棚横截面正弦曲线振幅为A ，则雨棚的最低点到地面的距离为H A -,雨棚的最高点到地面的距离为H A +，由题意有2()3H A H A -≥+，解得5HA ≤，所以横截面正弦曲线振幅的最大值为5H . 故选：C 3．D【分析】根据图象判断函数的奇偶性，代入特殊值，判断函数值的大小，利用排除法求解即可.【详解】解析：由图可知()f x 为偶函数，因为sin x 为奇函数，所以x α也为奇函数，排除A 和C ，如果3α=，即3()sin f x x x =⋅，则3222f ππ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与图不符，所以不能取3，故排除B 项.故选：D ． 4．B【分析】通过观察图象得到该人的收缩压和舒张压， 通过图象求出,a b ，T ，利用周期公式求出ω得解． 【详解】由图象可知，函数的最大值为120，最小值为70，所以收缩压为120mmHg ，舒张压为70mmHg ，所以选项AC 正确； 周期121,8080T πω==由，知160ωπ=，所以选项B 错误； 由题得12070a b a b +=⎧⎨-=⎩，所以95,25.a b ==所以选项D 正确.故选：B【点睛】方法点睛：求三角函数sin()+y A x B ωϕ=+的解析式，常用待定系数法，一般根据函数的最值求出,A B 的值，根据周期求出ω的值，根据特殊点求出ϕ的值.5．C【解析】将t ＝23π代入求值，可得s 1＝s2 【详解】当t ＝23π时，则s 1＝5sin 2236ππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭－5，s 2＝5cos 2233ππ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭－5，∴s 1＝s2 故选：C 6．C【分析】先设出高度h 与时间t 的函数解析式为()sin h A t b ωϕ=++，利用三角函数的性质及特殊点求出解析式，通过解三角函数不等式得到答案.. 【详解】设点P 距离地面高度h 与时间t 的函数 解析式为()sin h A t b ωϕ=++ 由题意得20A =，25b =和10T =所以2ππ5T ω== 又因为()05f =，所以π2ϕ=-所以()πππ20sin 252520cos 0525h t t t ⎛⎫=-+=-≥ ⎪⎝⎭令35010h t ≥⎧⎨≤≤⎩，即π1cos 52010t t ⎧≤-⎪⎨⎪≤≤⎩ 故102033t ≤≤，即在摩天轮转动的一圈内 有201010333-=分钟会有这种最佳视觉效果. 故选：C. 7．D【解析】先根据题意建立坐标系，写出盛水筒M 距离水面的高度H 与时间t 之间的函数关系式，再根据关系式即可判断.【详解】解：以O 为圆心，过点O 的水平直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：0306xOP π∠==OP ∴在()t s 内转过的角为：26030t t ππ= ∴以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为：306t ππ-P ∴点的纵坐标为：4sin 306t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ H ∴与t 之间的函数关系式为：4sin 2306H t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ 当sin 1306t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，则max 426H =+=当sin 1306t ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，则max 422H =-+=-对A ，B ，由图像易知max min H H =-故A ，B 错误； 对C ，max min H H <-故C 错误； 对D ，max min H H >-故D 正确. 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解题意，根据题意写出H 与t 之间的函数关系式. 8．B【解析】先通过计算得出转动的角速度，然后利用三角函数模型表示在转动的过程中点B 的纵坐标满足的关系式，则吊舱到底面的距离为点B 的纵坐标减2.【详解】如图所示，以点M 为坐标原点，以水平方向为x 轴，以OM 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.因为巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，则转动的角速度为6π每分钟 经过t 分钟之后，转过的角度为6BOA t π∠=所以，在转动的过程中点B 的纵坐标满足：3230sin 30sin 322662y t t ππππ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则吊舱距离地面的距离30sin 32230sin 306262h t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ．【点睛】建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题：审清楚题目条件、要求、理解数学关系； （2）建模：分析题目变化趋势，选择合适的三角函数模型； （3）求解：对所建立的数学模型进行分析研究，从而得到结论.9． π 12π【分析】第一空直接用2||T πω=求得，第二空则由()2sin 26g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭变换得()2sin 212f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故向左平移12π个单位. 【详解】由2|2|T ππ==-，又()2sin 212f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()2sin 26g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 由()g x 变换到()f x ，则()()12612πππ---=，故向左平移12π个单位，即12t π=.故答案为：π12π【点睛】本题考查了正弦型函数最小正周期的求法，三角函数图象的相位变换，属于容易题. 10．0.2sin 3.85y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【分析】利用周期计算公式求出ω，由最高亮度距离平均亮度0.2星等可求出A ，由平均亮度可求出b ，即可写出三角函数模型.【详解】设所求函数为sin()y A t b ωϕ=++，由题意得10T =，即5πω=，0.2A =和 3.8b =，故0.2sin 3.85y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故答案为： 0.2sin 3.85y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查()sin y A x b ωϕ=++模型在实际问题中的应用，属于基础题. 11．13【分析】由图像可得最大值为30，最小值为10，从而可求出A ，b 的值，最高点和最低点的横坐标的差为半个周期，从而可求出 ω的值，再代入一个点的坐标可求出ϕ的值，从而可求出函数关系式，再把8x =代入函数中可得结果.【详解】解：由图像可得20b =，10A =和114682T =-=∴2168T ππωω==⇒= 10sin 208y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． ∵最低点坐标为(6,10)∴l0sin 620108πϕ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，得3sin 14πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 于是332()42k k Z πϕππ+=+∈，∴32()4k k Z ϕππ=+∈，取34ϕπ= ∴310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当8x =时，则310sin 2020134y ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭．故答案为：13【点睛】此题考查三角函数模型的应用，掌握五点法是解题的关键，属于基础题.12．1cos 126y t π=+ 【分析】由表中的数据可知，函数的最大值为1.5，最小值为0.5，从而可求出A b ，的值，再由表中的数据可得其最小正周期为12，从而可求出ω的值.【详解】解：由题意得， 1.5A b +=和0.5A b -+= ∴12A =和1b =．又12T =，∴26T ππω==． 从而1cos 126y t π=+． 故答案为：1cos 126y t π=+ 【点睛】此题考查了三角函数模型的应用，掌握五点法是解题的关键，属于基础题.13．6sin (024)6y x x π=-≤≤【分析】由图设sin()y A x ωϕ=+(024)x ≤≤，由图象可知6A =和12T =，再求出6π=ω，将(9,6)代入函数的解析式得ϕπ=，即得解.【详解】由图设sin()y A x ωϕ=+(024)x ≤≤．由图象可知6A =，12T =所以26T ππω== 所以6sin()(024)6y x x πϕ=+≤≤ 将(9,6)代入函数的解析式得366sin()2πϕ=+ 所以3sin()1cos 12πϕϕ+=∴=-， 所以ϕπ=． 所以函数关系式为6sin 6sin (024)66y x x x πππ⎛⎫=+=-≤≤ ⎪⎝⎭． 故答案为：6sin (024)6y x x π=-≤≤ 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．【分析】由(0)f =,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得ϕ的值，将点3,14⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()f x 的表达式可得ω的值，即可得()f x 的解析式，将2021x =代入解析式利用诱导公式即可求解.【详解】由图知：(0)sin f ϕ==因为,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以34ϕπ= 所以3()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为333sin 1444f πω⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()3332442k k Z ππωπ+=+∈ 所以()83k k Z πωπ=+∈ 由图知：344T >，所以23T πω=<，可得23πω> 所以取0k =和 ωπ=，所以3()sin 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以3(2021)sin 2021sin 442f πππ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：15．(1)π50cos 60,0126H t t =-+≤≤ (2)ππ50sin 66h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ [0,4][6,10]∈⋃t【分析】（1）建立合适的坐标系，求出H 关于t 的函数解析式；（2）在第一问的基础上，列出不等关系，用三角恒等变换化简，解出解集.(1)如图以摩天轮中心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系．由题意摩天轮的角速度2ππrad /min 126ω== 所以甲所在的位置的纵坐标ππ50sin 62y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭甲 则πππ50sin 6050cos 60,012626H t t t ⎛⎫=-+=-+≤≤ ⎪⎝⎭ (2)令甲、乙两位游客距离地面的高度为1H 和2H ，则12πππ50cos 6050cos 60636h H H t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ1π50cos 50cos cos 636626t t t t ⎛⎫=-++=+ ⎪⎝⎭ ππ50sin 66t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ [0,12]t ∈ 令ππ50sin 2566t ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，得ππ1sin 662t ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭或ππ1sin 662t ⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭ 解得：[0,4][6,10]∈⋃t ．16．(1)3π；(2)【分析】（1）先由正弦定理及和角公式得sin()A C B +=，进而求得tan B =（2）由正弦定理得2sin sin a c A C ==，结合三角恒等变换得2sin(2)16ac A π=-+，由角A 的范围求出ac 的范围，再由面积公式即可求得面积的范围.(1)由正弦定理得：cos sin tan (sin )cos in A A C B B C +=，所以sin()A C B +=又因为A C B π+=-，所以sin B B =和tan B =0B π<<，所以3B π=. (2)由（1）知3B π=，又ABC 是锐角三角形，所以62A ππ<<，由正弦定理得sin sin sin 2a c b A C B ====得sin sin s 244i sin()3n A C A ac A π==-21422sin 2sin sin A A A A A ⎤⎥+⎦=⎣=+2cos 212sin(2)16A A A π=-+=-+因为62A ππ<<，所以52666A πππ<-<，所以ac 的取值范围为(]2,3，因为1sin 4ABC S ac B ==△所以ABC 面积的取值范围为. 17．ABD 【解析】根据a 的取值分类讨论，估计函数的周期，确定正确选项．【详解】0a =时，则()1f x =，图象为B若0a <，则()1()sin()f x a ax =+--，此时0a ->．因此不妨设0a >，1a >则22T a ππ=<，max ()2f x >图象可能为D 若01a <<，则22T aππ=>，max ()2f x <图象可能为A ． 故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题时可通过确定函数的周期，最值，对称性，单调性确定图象的可能性．如果是单选题，则利用排除法得出结论．。
(精选试题附答案)高中数学第五章三角函数基本知识过关训练
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第五章三角函数基本知识过关训练单选题1、已知函数f(x)=a 2x−6+3（a >0且a ≠1）的图像经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sinθ−cosθsinθ+cosθ=（ ） A ．−17B ．0C ．7D ．17答案：D分析：由题知A(3,4),进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. 解:令2x −6=0得x =3,故定点A 为A(3,4), 所以由三角函数定义得tanθ=43，所以sinθ−cosθsinθ+cosθ=tanθ−1tanθ+1=43−143+1=17故选：D2、f(x)=−sinx−xcosx+x 2在[−π,π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C分析：先由函数为奇函数可排除A ，再通过特殊值排除B 、D 即可. 由f(−x)=−sin (−x )+x cosx+x 2=−−sinx−x cosx+x 2=−f (x )，所以f (x )为奇函数，故排除选项A.又f (π)=−sinπ−πcosπ+π2=−ππ2−1<0，则排除选项B,D故选：C3、设函数f(x)=2sin (ωx +φ)−1(ω>0)，若对于任意实数φ，f(x)在区间[π4,3π4]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．[83,163)B ．[4,163)C ．[4,203)D ．[83,203)答案：B分析：t =ωx +φ，只需要研究sint =12的根的情况，借助于y =sint 和y =12的图像，根据交点情况，列不等式组，解出ω的取值范围. 令f(x)=0，则sin (ωx +φ)=12令t =ωx +φ，则sint =12则问题转化为y =sint 在区间[π4ω+φ,3π4ω+φ]上至少有两个，至少有三个t ，使得sint =12，求ω的取值范围.作出y =sint 和y =12的图像，观察交点个数，可知使得sint =12的最短区间长度为2π，最长长度为2π+23π， 由题意列不等式的：2π≤(3π4ω+φ)−(π4ω+φ)<2π+23π解得：4≤ω<163.故选：B小提示：研究y =Asin (ωx +φ)+B 的性质通常用换元法（令t =ωx +φ），转化为研究y =sint 的图像和性质较为方便.4、将函数f (x )=sin 12x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位得到函数g (x )=cos 12x 的图象，则φ的最小值是（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π 答案：C分析：依据平移然后判断可知12φ=π2+2k π(k ∈Z )，简单判断可知结果. 由已知可得sin 12(x +φ)=cos 12x =sin (12x +π2)，∴12φ=π2+2k π(k ∈Z )，∴φ=π+4k π(k ∈Z )． ∵φ>0，∴φ的最小值是π． 故选：C5、已知f (x )=2√3sinwxcoswx +2cos 2wx ，（w >0），若函数在区间(π2,π)内不存在对称轴，则w 的范围为（ ）A ．(0,16]∪[13,34]B ．(0,13]∪[23,34]C ．(0,16]∪[13,23]D ．(0,13]∪[23,56] 答案：C分析：先通过三角恒等变换将f (x )化简成正弦型函数，再结合正弦函数性质求解即可． 函数化简得f (x )=√3sin2wx +cos2wx +1=2sin (2wx +π6)+1， 由2wx +π6=kπ+π2(k ∈Z )， 可得函数的对称轴为x =kπ+π32w(k ∈Z )，由题意知，kπ+π32w≤π2且(k+1)π+π32w≥π，即k +13≤w ≤3k+46，k ∈Z ，若使该不等式组有解，则需满足k +13≤3k+46，即k ≤23，又w >0，故0≤3k+46，即k >−43，所以−43<k ≤23，又k ∈Z ，所以k =0或k =1，所以w ∈(0,16]∪[13,23]． 6、若sin (π7+α)=12，则sin (3π14−2α)=（ ）A ．35B ．−12C ．12D ．13答案：C分析：令θ=π7+α可得α=θ−π7，再代入sin (3π14−2α)，结合诱导公式与二倍角公式求解即可令θ=π7+α可得α=θ−π7，故sinθ=12，则sin (3π14−2α)=sin (3π14−2(θ−π7)) =sin (π2−2θ)=cos2θ=1−2sin 2θ=12 故选：C7、设函数f(x)=2sin(ωx +φ)−1(ω>0,0⩽φ⩽π2)的最小正周期为4π，且f(x)在[0,5π]内恰有3个零点，则φ的取值范围是（ ）A ．[0,π3]∪{5π12}B ．[0,π4]∪[π3,π2]C ．[0,π6]∪{5π12}D ．[0,π6]∪[π3,π2] 答案：D分析：根据周期求出ω=12，结合φ的范围及x ∈[0,5π]，得到5π2⩽φ+5π2⩽3π，把φ+5π2看做一个整体，研究y =sinx −12在[0,3π]的零点，结合f(x)的零点个数，最终列出关于φ的不等式组，求得φ的取值范围 因为T =2πω=4π，所以ω=12.由f(x)=0，得sin(12x +φ)=12.当x ∈[0,5π]时，12x +φ∈[φ,φ+5π2]，又0⩽φ⩽π2，则5π2⩽φ+5π2⩽3π.因为y =sinx −12在[0,3π]上的零点为π6，5π6，13π6，17π6，且f(x)在[0,5π]内恰有3个零点，所以{0⩽φ⩽π6,13π6⩽φ+5π2<17π6或{π6<φ⩽π2,17π6⩽φ+5π2,解得φ∈[0,π6]∪[π3,π2]. 故选：D.8、若函数f (x )=sin (ωx +π3) (ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，112]∪[16，712]B ．(0，16]∪[13，23] C ．(0，712]D ．[13，23]答案：A分析：根据题意可得函数f (x )在区间(π，2π)内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间(π，2π)为单调区间的子集得到关于ω的不等式组，解不等式组可得所求． 解：函数y =sin x 的单调区间为[kπ+π2，kπ+3π2]，k ∈Z ，由kπ+π2⩽ωx +π3⩽kπ+3π2，k ∈Z ，得kπ+π6ω⩽x ⩽kπ+7π6ω，k ∈Z ．∵函数f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0) 在区间(π，2π)内没有最值， ∴函数f (x ) 在区间(π，2π)内单调，∴(π，2π)⊆[kπ+π6ω，kπ+7π6ω]，k ∈Z ，∴ {kπ+π6ω⩽πkπ+7π6ω⩾2π，k∈Z，解得k+16⩽ω⩽k2+712，k∈Z.由k+16<k2+712，得k<56．当k=0时，得16⩽ω⩽712，当k=−1时，得−56⩽ω⩽112，又ω>0，故0<ω⩽112，综上得ω的取值范围是(0，112]∪[16，712]，故选A9、函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[—π，π]的图像大致为A．B．C．D．答案：D分析：先判断函数的奇偶性，得f(x)是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．由f(−x)=sin(−x)+(−x)cos(−x)+(−x)2=−sinx−xcosx+x2=−f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．又f(π2)=1+π2(π2)2=4+2ππ2>1,f(π)=π−1+π2>0．故选D．小提示：本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．10、时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到20°C时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28°C时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内5~17时的气温T（单位：°C）与时间t（单位：h）近似满足关系式T=20−10sin (π8t −π8)，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历（ ）(sin 3π10≈0.8) A ．1.4h B ．2.4h C ．3.2h D ．5.6h 答案：B分析：由函数关系式T =20−10sin (π8t −π8)分别计算出花开放和闭合的时间，即可求出答案.设t 1时开始开放，t 2时开始闭合，则20−10sin (π8t 1−π8)=20,又t 1∈[5,17]，解得t 1=9，20−10sin (π8t 2−π8)=28，∴sin (π8t 2−π8)=−45,由sin 3π10≈0.8得sin 13π10≈−45，∴π8t 2−π8=13π10,∴t 2=575,∴t 2−t 1=125=2.4.故选：B. 填空题11、已知tan(α+β2)=√62,tanαtanβ=137,则cos(α−β)的值为______.答案：23分析：应用三角函数的恒等变换公式对tanβ=sinαsinβcosαcosβ变形求得cos(α−β)=−103cos(α+β)，再由tanα+β2求得cos(α+β)，可得结论．tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=12[cos(α−β)−cos(α+β)]12(cos(α−β)+cos(α+β)]=137，所以cos(α−β)=−103cos(α+β)，cos(α+β)=1−tan 2α+β21+tan 2α+β2=1−(√62)21+(√62)=−15，所以cos(α−β)=−103×(−15)=23．所以答案是：23．12、若sin (θ+π8)=13，则sin (2θ−π4)＝________.答案：−79分析：由题知2(θ+π8)−π2=(2θ−π4)，进而根据诱导公式与二倍角公式求解即可.解：因为2(θ+π8)−(2θ−π4)=π2，所以sin(2θ−π4)=sin[2(θ+π8)−π2]=−cos[2(θ+π8)]=2sin2(θ+π8)−1=2×(13)2−1=−79．所以答案是：−7913、已知一扇形的弧所对的圆心角为π3，半径r=20cm，则扇形的弧长为___________cm.答案：20π3##203π分析：由弧长公式直接求解即可.由弧长公式可得，弧长为π3×20=20π3cm.所以答案是：20π3.14、已知函数f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)在(0，π12)上单调递增，则ω的最大值是____.答案：4分析：根据正弦型函数的单调性即可求解.由函数f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)在区间(0，π12)上单调递增，可得ω⋅π12+π6≤π2，求得ω≤4，故ω的最大值为4，所以答案是：415、某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A 是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BH//DG，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．答案：4+52π分析：利用tan∠ODC=35求出圆弧AB所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB的面积，求出直角△OAH的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.设OB=OA=r，由题意AM=AN=7，EF=12，所以NF=5，因为AP=5,所以∠AGP=45°，因为BH//DG，所以∠AHO=45°，因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OA⊥AG，即△OAH为等腰直角三角形；在直角△OQD中，OQ=5−√22r，DQ=7−√22r，因为tan∠ODC=OQDQ =35，所以21−3√22r=25−5√22r，解得r=2√2；等腰直角△OAH的面积为S1=12×2√2×2√2=4；扇形AOB的面积S2=12×3π4×(2√2)2=3π，所以阴影部分的面积为S1+S2−12π=4+5π2.所以答案是：4+5π2.小提示：本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.解答题16、函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)先将函数f(x)图象上所有点向右平移5π24个单位长度，再将横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，当x∈[0,π2]时，求函数g(x)的单调递增区间．答案：(1)f(x)=sin(2x+π4)(2)[0,π6]和[5π12,π2]分析：（1）根据图像计算A=1周期T=π，代入点(−π8,0)解得φ=π4，得到函数解析式.（2）根据函数平移得到g(x)=sin(4x−π6)，取2kπ−π2≤4x−π6≤2kπ+π2，解得答案.(1)由函数图象知A=1，T2=3π8−(−π8)=π2，∴T=π，∴ω=2，∵sin [2×(−π8)+φ]=0，∴−π4+φ=2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ=π4，∴f(x)=sin (2x +π4)．(2)y =sin (2(x −5π24)+π4)=sin (2x −π6)，故g(x)=sin (4x −π6)，由2k π−π2≤4x −π6≤2k π+π2，k ∈Z ，得k π2−π12≤x ≤k π2+π6，k ∈Z ． ∵x ∈[0,π2]，∴g(x)的单调递增区间为[0,π6]和[5π12,π2]． 17、函数y =f(x)的定义域为I ，对于区间D ⊆I ，如果存在x 1,x 2∈D ，x 1≠x 2，使得f (x 1)+f (x 2)=2，则称区间D 为函数y =f(x)的“P 区间”．（1）判断(−∞,+∞)是否是函数y =sin (x +π12)+3的“P 区间”，并说明理由；（2）设ω为正实数，若[π,2π]是函数y =cosωx 的“P 区间”，求ω的取值范围．答案：（1）不是，理由见解析；（2）{2}∪[3,+∞).分析：(1)根据函数值的范围可判定(−∞,+∞)不是函数y =sin (x +π12)+3的“P 区间”；(2)根据新定义和余弦函数的性质可得存在k ，l ∈Z ，使得{ωx 1=2kπ,ωx 2=2lπ.，再分类讨论即可求出ω的取值范围. (1) (−∞,+∞)不是函数y =sin (x +π12)+3的“P 区间”.理由如下： 因为f (x )=sin (x +π12)+3≥2，所以对于任意的x 1，x 2∈(−∞,+∞)，都有f (x 1)+f (x 2)≥4，所以(−∞,+∞)不是函数y =sin (x +π12)+3的“P 区间”.(2)因为[π,2π]是函数y =cos ωx 的“P 区间”，所以存在x 1,x 2∈[π,2π]，x 1≠x 2，使得cos ωx 1+cos ωx 2=2.所以{cosωx 1=1,cosωx 2=1.所以存在k,l ∈Z ，使得{ωx 1=2kπ,ωx 2=2lπ.不妨设π≤x 1<x 2≤2π，又因为ω>0，所以ωπ≤ωx 1<ωx 2≤2ωπ，所以ω≤2k <2l ≤2ω.即在区间[ω,2ω]内存在两个不同的偶数.①当ω≥4时，区间[ω,2ω]的长度2ω−ω≥4，所以区间[ω,2ω]内必存在两个相邻的偶数，故ω≥4符合题意.②当0<ω<4时，有0<ω≤2k <2l ≤2ω<8，所以2k,2l ∈{2,4,6}.当{2k =4,2l =6时，有{ω≤4,6≤2ω ，即3≤ω≤4. 所以3≤ω<4也符合题意.当{2k =2,2l =4时，有{ω≤2,4≤2ω ，即ω=2. 所以ω=2符合题意.当{2k =2,2l =6时，有{ω≤2,6≤2ω ，此式无解. 综上所述，ω的取值范围是{2}∪[3,+∞).18、《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角∠AOB 为23π，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；（2）已知如图该扇形圆心角∠AOB 是α，半径为r ，若该扇形周长是一定值c(c >0)当α为多少弧度时，该扇形面积最大？答案：（1）16π3−4√3；（2）α=2.分析：（1）令圆弧的半径为R ，由定义知R −Rcos∠AOB 2=2求R ，进而由弧田面积S =S OACB −S △AOB ，即可求其面积；（2）由题意得αr +2r =c ，扇形面积S =αr 22，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时α的值即可.（1）由题意，如下图示CD =2，令圆弧的半径为R ，∠AOB =2π3，∴OD =Rcos π3=R 2，即CD =OC −OD =R −R 2=2，得R =4，∴弧田面积S =S OACB −S △AOB =13πR 2−12⋅OD ⋅AB ，而AB =√3R ，∴S =16π3−4√3.（2）由题意知：弧长AOB 为αr ，即该扇形周长αr +2r =c ，而扇形面积S =αr 22， ∴S =αc 22(α+2)2=c 22(α+4α)+8≤24√α⋅4α+8=c 216当且仅当α=2时等号成立. ∴当α=2时，该扇形面积最大.小提示：关键点点睛：（1）根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求弧田面积即可；（2）由扇形周长、面积公式列出扇形面积S 关于圆心角α的函数，应用基本不等式求最值并确定等号成立的条件.19、若函数f(x)=sin (ωx +π6)(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值，求ω的取值范围.答案：(0,16]∪[13,23] 分析：由题意可知函数f(x)=sin (ωx +π6)(ω>0)在区间(π,2π)单调，易知T 2≥π，结合函数的图像与性质可得结果.由于函数f(x)=sin (ωx +π6)(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值， ∴函数f(x)=sin (ωx +π6)(ω>0)在区间(π,2π)单调， ∴T 2≥π, 则0<ω≤1当x ∈(π,2π)时，ωx +π6∈(ωπ+π6,2ωπ+π6)，由于f(x)在区间(π,2π)内没有最值，因此(ωπ+π6,2ωπ+π6)⊆(2kπ−π2,2kπ+π2)或(ωπ+π6,2ωπ+π6)⊆(2kπ+π2,2kπ+3π2)， 即{ωπ+π6⩾2kπ−π22ωπ+π6⩽2kπ+π20<ω≤1或{ωπ+π6⩾2kπ+π22ωπ+π6⩽2kπ+3π20<ω≤1 ，解得0<ω⩽16或13⩽ω⩽23， 所以ω的取值范围是(0,16]∪[13,23]．。
全国通用版高中数学第五章三角函数考点专题训练
(名师选题)全国通用版高中数学第五章三角函数考点专题训练单选题1、关于函数y=sinx(sinx+cosx)描述正确的是（）A．最小正周期是2πB．最大值是√2C．一条对称轴是x=π4D．一个对称中心是(π8,12)答案：D分析：利用三角恒等变换化简y得解析式，再利用正弦型函数的图像和性质得出结论. 解：由题意得：∵y=sinx(sinx+cosx)=sin2x+12sin2x=1−cos2x2+12sin2x=√22sin(2x−π4)+12选项A：函数的最小正周期为T min=2πω=2π2=π，故A错误；选项B：由于−1≤sin(2x−π4)≤1，函数的最大值为√22+12，故B错误；选项C：函数的对称轴满足2x−π4=kπ+π2，x=k2π+3π8，当x=π4时，k=−14∉Z，故C错误；选项D：令x=π8，代入函数的f(π8)=√22sin(2×π8−π4)+12=12，故(π8,12)为函数的一个对称中心，故D正确；故选：D2、函数f(x)=sin(2x−π3)的一个对称中心的坐标是（）A ．(0,0)B ．(0,−√32)C ．(π2,0)D ．(π6,0) 答案：D分析：解方程2x −π3=kπ,k ∈Z 即得解. 解：令2x −π3=kπ,k ∈Z,∴x =12kπ+π6，令k =0,∴x =π6，所以函数f(x)=sin (2x −π3)的一个对称中心的坐标是(π6,0).故选：D3、已知α，β为锐角，sinα=45，cos(α+β)=−√22，则cosβ=（ ）A ．3√210B ．√210C ．7√210D ．9√210答案：B分析：利用同角三角函数基本关系式，求出cosα,sin(α+β)，再利用角变换β=α+β−α，利用两角差的余弦公式求得答案．由α是锐角，sinα=45，则cosα=√1−sin 2α=35， 又α，β是锐角，得α+β∈(0,π)， 又cos (α+β)=−√22，则sin(α+β)=√22， 则cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−√22×35+√22×45=−3√2+4√210= √210. 故选：B ．4、已知tanθ=2，则sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)=（ ）A ．2B ．-2C ．0D ．23答案：B分析：根据tanθ=2，利用诱导公式和商数关系求解. 因为tanθ=2，所以sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)，=2cosθcosθ−sinθ，=21−tanθ=−2，故选：B5、sin1860°等于（ ） A ．12B ．-12C ．√32D ．-√32答案：C分析：用诱导公式先化简后求值.sin1860°=sin (5×360°+60°)=sin60°=√32, 故选: C6、若y =f (x )的图像与y =cosx 的图象关于x 轴对称，则y =f (x )的解析式为（ ） A ．y =cos (−x )B ．y =−cosx C ．y =cos |x |D ．y =|cosx | 答案：B分析：根据f (−x )、−f (x )、f (|x |)与|f (x )|的图象特征依次判断即可得到结果. 对于A ，y =cos (−x )=cosx ，图象与y =cosx 重合，A 错误；对于B ，∵ y =f (x )与y =−f (x )图象关于x 轴对称，∴y =−cosx 与y =cosx 图象关于x 轴对称，B 正确； 对于C ，当x ≥0时，y =cos |x |=cosx ，可知其图象不可能与y =cosx 关于x 轴对称，C 错误；对于D ，将y =cosx 位于x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，就可以得到y =|cosx |的图象，可知其图象与y =cosx 的图象不关于x 轴对称，D 错误. 故选：B.7、若f (x )=cos (x −π3)在区间[−a,a ]上单调递增，则实数a 的最大值为（ ）A ．π3B ．π2C ．2π3D ．π 答案：A分析：先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可.易知将函数y =cosx 的图象向右平移π3得到函数f (x )=cos (x −π3)的图象，则函数f (x )=cos (x −π3)的增区间为[−23π+2kπ,π3+2kπ](k ∈Z )，而函数又在[−a,a ]上单调递增，所以{−a ≥−23πa ≤π3 ⇒a ≤π3，于是0<a ≤π3，即a 的最大值为π3. 故选：A.8、《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12(弦×矢＋矢2)．弧田（如图7-1-5）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径为4m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）A ．6m 2B ．9m 2C ．12m 2D ．15m 2答案：B分析：根据题设条件计算出弦和矢，再代入弧田面积公式计算作答.依题意，弦=2×4sinπ3=4√3(m)，矢=4−4cosπ3=2(m)，则弧田面积=12(4√3×2+22)=4√3+2≈9(m2)，所以弧田面积约是9m2.故选：B9、已知函数f(x)=sin2x+2√3sinxcosx−cos2x，x∈R，则（）A．f(x)的最大值为1B．f(x)在区间(0,π)上只有1个零点C．f(x)的最小正周期为π2D．x=π3为f(x)图象的一条对称轴答案：D分析：首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；解：函数f(x)=sin2x+2√3sinxcosx−cos2x=√3sin2x−cos2x=2(√32sin2x−12cos2x)=2sin(2x−π6)，可得f(x)的最大值为2，最小正周期为T=2π2=π，故A、C错误；由f(x)=0可得2x−π6=kπ,k∈Z，即x=kπ2+π12,k∈Z，可知f(x)在区间(0,π)上的零点为π12,7π12，故B错误；由f(π3)=2sin(2π3−π6)=2，可知x=π3为f(x)图象的一条对称轴，故D正确．故选：D10、已知2tanθ–tan(θ+π4)=7，则tanθ=（）A．–2B．–1C．1D．2答案：D分析：利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.∵2tanθ−tan(θ+π4)=7，∴2tanθ−tanθ+11−tanθ=7，令t=tanθ,t≠1，则2t−1+t1−t=7，整理得t2−4t+4=0，解得t=2，即tanθ=2.故选：D.小提示：本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.11、把函数f(x)=sin (2x −π4)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再把所得的图象向左平移a(a >0)个单位长度，得到函数y =cosx 的图象，则a 可以是（ ） A ．π8B ．π4C ．π2D ．3π4 答案：D分析：根据三角函数的图象变换得到y =sin (x +a −π4)，得到sin (x +a −π4)=cosx ，结合选项，逐项判定，即可求解.由题意，将函数f (x )的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变可得函数y =sin (x −π4)的图象，将该图象向左平移a(a >0)个单位长度，得到y =sin (x +a −π4)的图象，所以sin (x +a −π4)=cosx ，对于A 中，当a =π8时，sin (x +π8−π4)=sin (x −π8)≠cosx ，故A 错误；对于B 中，当a =π4时，sin (x +π4−π4)=sinx ≠cosx ，故B 错误； 对于C 中，当a =π2时，sin (x +π2−π4)=sin (x +π4)≠cosx ，故C 错误； 对于D 中，当a =3π4时，sin (x +3π4−π4)=sin (x +π2)=cosx ，故D 正确．故选：D ．12、√3tan26∘tan34∘+tan26∘+tan34∘= （ ） A ．√33B ．−√3C ．√3D ．−√33答案：C解析：利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解． 解：√3tan26°tan34°+tan26°+tan34°=√3tan26°tan34°+tan(26°+34°)(1−tan26°tan34°)=√3tan26°tan34°+√3(1−tan26°tan34°)=√3tan26°tan34°+√3−√3tan26°tan34°=√3．故选：C．填空题13、已知tanα＝√2，则cos4α−cos2α+sin2α＝__________.答案：49解析：将cos4α−cos2α+sin2α化简为sin2α(1−sin2α)=sin4α，然后将式子写成sin4α(sin2α+cos2α)2再转化为含tanα的式子，可求出答案.cos4α−cos2α+sin2α=cos2α(cos2α−1)+sin2α=−cos2αsin2α+sin2α=sin2α(1−sin2α)=sin4α=sin4α(sin2α+cos2α)2=tan4α(1+tan2α)2=4(2+1)2=49所以答案是：49.小提示：关键点睛：本题考查三角函数的给值求值问题，解答本题的关键是先将所求化简为sin4α，再变形为sin4α(sin2α+cos2α)2，从而转化为tan4α(1+tan2α)2，属于中档题.14、已知角α终边落在直线y=34x上，求值：sinα+1cosα=_______．答案：2或−12解析：由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，分类讨论，分别求得sinα和cosα的值，可得要求式子的值．解：当角α终边落在直线y=34x(x⩾0)上，α为锐角，sinαcosα均为正值，且tanα=sinαcosα=34，再结合sin2α+cos2α=1，求得sinα=35，cosα=45，则sinα+1cosα=35+145=2．当角α终边落在直线y=34x(x<0)上，α∈(π,3π2)，sinαcosα均为负值，且tanα=sinαcosα=34，再结合sin2α+cos2α=1，求得sinα=−35，cosα=−45，则sinα+1cosα=−35+1−45=−12，所以答案是：2或−12．小提示：本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，考查运算能力，属于基础题．15、若sin(α−π6)=−45，则cos(α+π3)=___________.答案：45分析：由已知函数值，根据诱导公式即可求cos(α+π3)的值.cos(α+π3)=cos[(α−π6)+π2]=−sin(α−π6)，又sin(α−π6)=−45，∴cos(α+π3)=45，所以答案是：45.16、已知f(x)=sinx+tanx+x−1，若f(a)=3，则f(−a)=______．答案：−5分析：由g(x)=sinx+tanx+x为奇函数得出f(−a).由于f(a)=3，即sina+tana+a−1=3，故sina+tana+a=4，令g(x)=sinx+tanx+x，则g(−x)=−sinx−tanx−x=−g(x)，即g(x)在定义域内是奇函数，满足sina+tana+a=−(sin(−a)+tan(−a)+ (−a))，则sin(−a)+tan(−a)+(−a)=−4，故f(−a)=sin(−a)+tan(−a)+(−a)−1=−4−1=−5．所以答案是：−517、如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为4√3，则这个圆锥的体积为___________.答案：128√2π81分析：作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理求出cos∠P′OP=2π3，求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积.作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：cos∠P′OP=OP2+OP′2−PP′22OP·OP′=42+42−(4√3)22×4×4=−12∴cos∠P′OP=2π3.设底面圆的半径为r,则有2πr=2π3·4,解得r=43,所以这个圆锥的高为ℎ=√16−169=8√23，则这个圆锥的体积为V=13Sℎ=13πr2ℎ=13π×169×8√23=128√2π81.所以答案是：128√2π81.小提示：立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量. 解答题18、已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R .（1）若α=60°，R =10cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大? 答案：（1）10π3cm ，(50π3−25√3)(cm 2)；（2）α=2rad .解析：(1)由公式l =αR 算出弧长，弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积(2)由周长为定值可得出弧长和半径的关系，再把S 用R 表示出来，运用函数的知识即可求出最大值. （1）设扇形的弧长为l ，弓形面积为S ，则 α=60°=π3，R =10，l =π3×10=10π3cm ，S =12×10π3×10−√34×102=(50π3−25√3)(cm 2).（2）设扇形弧长为l ，则l +2R =20，即l =20−2R(10π+1<R <10)， ∴扇形面积S =12IR =12(20−2R)⋅R =−R 2+10R =−(R −5)2+25， ∴当R =5cm 时，S 有最大值25cm 2，此时l =10cm ，α=lR =2rad . 因此当α=2rad 时，这个扇形面积最大. 小提示：C =l +2R,S =12lR当周长C 为定值时可得面积S =12(C −2R)R =−R 2+12CR 当面积S 为定值时可得周长C =2S R+2R .19、已知cosα=−√210，α∈(π2,π). （1）求sin(α−π4)的值；（2）求cos(2α+π6)的值.答案：（1）45；（2）−24√3+750分析：（1）首先利用同角三角函数的基本关系求出sinα，再根据两角差的正弦公式计算可得；（2）首先由二倍角公式求出sin2α，cos2α，再根据两角和的余弦公式计算可得；解：因为cosα=−√210，α∈(π2,π)，又cos 2α+sin 2α=1，所以sinα=7√210 （1）sin (α−π4)=sinαcos π4−cosαsin π4=7√210×√22−(−√210)×√22=45 （2）因为cosα=−√210，sinα=7√210，所以sin2α=2sinαcosα=2×(−√210)×7√210=−725，cos2α=1−2sin 2α=1−2×(7√210)2=−2425， 所以cos (2α+π6)=cos2αcos π6−sin2αsin π6=−2425×√32−(−725)×12=−24√3+750 小提示：本题考查同角三角函数的基本关系及三角恒等变换公式的应用，属于中档题.20、已知函数f (x )=2sin (x +π3)，且函数y =g (x )的图象与函数y =f (x )的图象关于直线x =π4对称．(1)求函数g (x )的解析式；(2)若存在x ∈[0,π2)，使等式[g (x )]2−mg (x )+2=0成立，求实数m 的取值范围； (3)若当x ∈[−π3,2π3]时，不等式12f (x )−ag (−x )>a −2恒成立，求实数a 的取值范围． 答案：(1)g (x )=2sin (x +π6)；(2)[2√2,3]；(3)(−2,23).分析：（1）利用给定的函数图象间的关系直接列式并化简作答.（2）利用正弦函数的性质求出g(x)的范围，再分离参数求解作答.（3）根据给定范围，按a =0，a >0，a <0分类并结合最值情况求解作答.（1）因函数y =g (x )的图象与函数y =f (x )的图象关于直线x =π4对称，则g(x)=f(π2−x)，所以g(x)=2sin(π2−x +π3)=2sin[π−(x +π6)]=2sin(x +π6)． （2）由（1）知，g (x )=2sin (x +π6)，当x ∈[0,π2)时，x +π6∈[π6,2π3)，则1≤g (x )≤2， 令g (x )=t ，则1≤t ≤2．存在x ∈[0,π2)，使[g (x )]2−mg (x )+2=0成立， 即存在t ∈[1,2]，使t 2−mt +2=0成立，则存在t ∈[1,2]，m =t +2t 成立， 而函数m =t +2t 在t ∈[1,√2]上递减，在t ∈[√2,2]上递增， 当t =√2时，m min =2√2，当t =1或2时，m max =3所以实数m 的取值范围为[2√2,3]．（3）由（1）知，不等式12f(x)−ag(−x)>a −2⇔sin(x +π3)+2asin(x −π6)>a −2， 当x ∈[−π3,2π3]时，0≤x +π3≤π，−π2≤x −π6≤π2，若a =0，因0≤sin(x +π3)≤1，即sin(x +π3)>−2恒成立，则a =0， 若a >0，因sin(x −π6)在[−π3,2π3]上单调递增，则当x =−π3时，sin(x +π3)+2asin(x −π6)取得最小值， 原不等式恒成立可转化为sin(−π3+π3)+2asin(−π3−π6)>a −2恒成立，即−2a >a −2，因此0<a <23， 若a <0，当x =2π3时，sin(x +π3)+2asin(x −π6)取得最小值， 原不等式恒成立可转化为sin(2π3+π3)+2asin(2π3−π6)>a −2恒成立，即a >−2，因此−2<a <0，所以a 的取值范围是(−2,23)．。
(精选试题附答案)高中数学第五章三角函数基础知识题库
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第五章三角函数基础知识题库单选题1、已知sinαcosα=12，则tanα+1tanα的值为（ ）A ．12B ．−12C ．−2D ．2 答案：D解析：根据题中条件，由切化弦，将所求式子化简整理，即可得出结果.∵sinαcosα=12， ∴tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=sin 2α+cos 2αsinαcosα=112=2，故选：D. 2、将函数y =2sin (x +π3)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．2π3答案：D分析：由三角函数平移变换可得平移后函数为y =2sin (x +m +π3)，根据对称性得到m +π3=kπ(k ∈Z )，结合m >0可得所求最小值.将y =2sin (x +π3)向左平移m (m >0)个单位长度得：y =2sin (x +m +π3)，∵y =2sin (x +m +π3)图象关于原点对称，∴m +π3=kπ(k ∈Z )，解得：m =−π3+kπ(k ∈Z )，又m >0，∴当k =1时，m 取得最小值2π3. 故选：D.3、若y =f (x )的图像与y =cosx 的图象关于x 轴对称，则y =f (x )的解析式为（ ）A ．y =cos (−x )B ．y =−cosxC ．y =cos |x |D ．y =|cosx |答案：B分析：根据f (−x )、−f (x )、f (|x |)与|f (x )|的图象特征依次判断即可得到结果.对于A ，y =cos (−x )=cosx ，图象与y =cosx 重合，A 错误；对于B ，∵ y =f (x )与y =−f (x )图象关于x 轴对称，∴y =−cosx 与y =cosx 图象关于x 轴对称，B 正确； 对于C ，当x ≥0时，y =cos |x |=cosx ，可知其图象不可能与y =cosx 关于x 轴对称，C 错误；对于D ，将y =cosx 位于x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，就可以得到y =|cosx |的图象，可知其图象与y =cosx 的图象不关于x 轴对称，D 错误.故选：B.4、一个扇形的半径为3，圆心角为α，且周长为8，则α=（ ）A ．53B ．23C ．35D ．32答案：B分析：根据扇形的中心角公式计算．设扇形的弧长为l ，则l =8−3−3=2，则α=l r =23 故选：B ．5、已知函数f(x)=2sin (x +π4)+m 在区间(0,π)上有零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(−√2,√2)B ．(−√2,2]C ．[−2,√2]D ．[−2,√2)答案：D分析：令f(x)=0，则2sin(x+π4)=−m，令g(x)=2sin(x+π4)，根据x的取值范围求出g(x)的值域，依题意y=g(x)与y=−m在(0,π)上有交点，即可求出参数的取值范围；解：令f(x)=0，即2sin(x+π4)=−m，令g(x)=2sin(x+π4)，因为x∈(0,π)，所以x+π4∈(π4,5π4)，所以sin(x+π4)∈(−√22,1]，即g(x)∈(−√2,2]，依题意y=g(x)与y=−m在(0,π)上有交点，则−√2<−m≤2，所以−2≤m<√2，即m∈[−2,√2)；故选：D6、函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是A．函数f(x)的图象可由y=Asinωx的图象向左平移π6个单位得到B．函数f(x)的图象关于直线x=π3对称C．函数f(x)在区间[−π3,π3]上是单调递增的D．函数f(x)图象的对称中心为(kπ2−π12,0)(k∈Z)答案：D解析：根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项. 由图象可知A＝2，f（0）＝1，∵f（0）＝2sinφ＝1，且0＜φ＜π2，∴φ=π6，∴f（x）＝2sin（ωx+π6），∵f （5π12）＝0且为单调递减时的零点， ∴ω⋅5π12+π6=π+2kπ，k ∈Z ，∴ω=2+24k 5，k ∈Z ，由图象知T =2πω＞2×5π12，∴ω＜125，又∵ω＞0，∴ω＝2， ∴f （x ）＝2sin （2x +π6），∵函数f （x ）的图象可由y ＝A sinωx 的图象向左平移π12个单位得，∴A 错，令2x +π6=π2+kπ，k ∈Z ，对称轴为x =π6+kπ2，则B 错，令2x +π6∈[−π2+kπ,π2+kπ],则x ∈[−π3+kπ2,π6+kπ2]，则C 错， 令2x +π6=k π，k ∈Z ，则x ＝kπ2−π12，则D 对，故选：D ．小提示：本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题．7、已知tanα=−2，则2sinα+cosαcosα−sinα=（ ） A ．−4B ．−12C ．−1D ．−13答案：C分析：利用齐次化可求三角函数式的值.2sinα+cosαcosα−sinα=2tanα+11−tanα=−4+11−(−2)=−1， 故选：C ．8、sin1860°等于（ ）A ．12B ．-12C ．√32D ．-√32答案：C分析：用诱导公式先化简后求值.sin1860°=sin (5×360°+60°)=sin60°=√32, 故选: C9、已知函数f (x )=sin 2x +2√3sinxcosx −cos 2x ，x ∈R ，则（ ）A ．f (x )的最大值为1B ．f (x )在区间(0,π)上只有1个零点C ．f (x )的最小正周期为π2D ．x =π3为f (x )图象的一条对称轴答案：D分析：首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；解：函数f (x )=sin 2x +2√3sinxcosx −cos 2x =√3sin2x −cos2x=2(√32sin2x −12cos2x)=2sin(2x −π6)，可得f(x)的最大值为2，最小正周期为T =2π2=π，故A 、C 错误； 由f(x)=0可得2x −π6=kπ,k ∈Z ，即x =kπ2+π12,k ∈Z ， 可知f (x )在区间(0,π)上的零点为π12,7π12，故B 错误；由f(π3)=2sin(2π3−π6)=2，可知x =π3为f (x )图象的一条对称轴，故D 正确．故选：D10、若sin(π−α)+cos(−α)=15，α∈(0,π)，则tan (32π−α)的值为（ ）A ．−43或−34B ．−43C ．−34D ．34答案：C分析：根据同角三角函数的基本关系及诱导公式求解.由sin(π−α)+cos(−α)=15可得：sinα+cosα=15，平方得：sin 2α+2sinαcosα+cos 2α=125 所以tan 2α+2tanα+1tan 2α+1=125， 解得tanα=−43或tanα=−34，又sinα+cosα=15，所以|sinα|>|cosα|，故tanα=−43，故选：C填空题11、若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则√1−sin 2α√1−cos 2αcosα的值等于________.答案：0 解析：先求出α＝2k π＋34π或2k π＋74π，k ∈Z ，再分类讨论得解.因为角α的终边落在直线y ＝－x 上，所以α＝2k π＋34π或2k π＋74π，k ∈Z ，当α＝2k π＋34π，k ∈Z ,即角α的终边在第二象限时，sin α＞0，cos α＜0； 所以√1−sin 2α+√1−cos 2αcosα=sinα|cosα|+|sinα|cosα=sinα−cosα+sinαcosα=0 当α＝2k π＋74π，k ∈Z ,即角α的终边在第四象限时，sin α＜0，cos α＞0. 所以√1−sin 2α+√1−cos 2αcosα=sinα|cosα|+|sinα|cosα=sinαcosα+−sinαcosα=0 综合得√1−sin 2α+√1−cos 2αcosα的值等于0.所以答案是：012、已知sinα=2cosα，则sin 2α+2sinαcosα=______．答案：85##1.6 分析：根据题意，由同角三角函数关系可得tanα的值，而sin 2α+2sinαcosα1=sin 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α，最后利用齐次式化成关于tanα的分式即可解.解：由sinα=2cosα，得tanα=sinαcosα=2，则sin 2α+2sinαcosα1=sin 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tanαtan 2α+1 =22+2×222+1=85.所以答案是：85.13、已知sinα=2m−5m+1,cosα=−m m+1，且α为第二象限角，则m 的值为__________. 答案：4分析：利用同角三角函数的基本关系式列方程，求得m 的可能取值，根据α为第二象限角求得m 的值. 由sin 2α+cos 2α=1得，(2m−5m+1)2+(−m m+1)2=1， ∴m =4或32，又∵α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，把m 的值代入检验得，m =4.所以答案是：414、已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则满足条件(f (x )+f (−5π4)) (f (x )+f (7π3))<0的最小正偶数x 为___________.答案：4分析：先根据图象求出函数f(x)的解析式，再求出f(−5π4),f(7π3)的值，然后求解三角不等式可得最小正偶数.由图可知34T=5π6−π12=3π4，即T=2πω=π，所以ω=2；由五点法可得2×π12+φ=π2，即φ=π3；所以f(x)=2sin(2x+π3).因为f(−5π4)=2sin(−13π6)=−1，f(7π3)=2sin(5π)=0；所以由(f(x)+f(−5π4))(f(x)+f(7π3))<0可得0<f(x)<1；由0<2sin(2x+π3)<1，即0<sin(2x+π3)<12，∴2kπ<2x+π3<2kπ+π6,k∈Z或2kπ+5π6<2x+π3<2kπ+π,k∈Z，解得kπ−π6<x<kπ−π12,k∈Z或kπ+π4<x<kπ+π3,k∈Z，令k=1，可得5π6<x<11π12或5π4<x<4π3，所以最小正偶数x为4.所以答案是：4.15、已知120°的圆心角所对的弧长为4πm，则这个扇形的面积为_________m2．答案：12π分析：选求出半径，再用扇形面积公式计算即可.由题意，120°=2π3，且圆心角所对的弧长为4πm，∴ 2π3R =4π，解得R =6，∴扇形的面积为S =12×4π×6=12π(m 2)． 所以答案是：12π．解答题16、已知函数f (x )=4cosxsin (x −π3)+√3．（Ⅰ）求函数f (x )在区间[π4,π2]上的值域．（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，若角C 为锐角，f (C )=√3，且c =2，求△ABC 面积的最大值．答案：（Ⅰ）[1,2]；（Ⅱ）√3分析：（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数f(x)在区间[π4，π2]上的值域；（Ⅱ）先求出C ，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得△ABC 面积的最大值．解：（Ⅰ）f(x)=4cosxsin(x −π3)+√3=4cosx (sinxcos π3−cosxsin π3)+√3 =4cosx (12sinx −√32cosx)+√3 =2sinxcosx −2√3cos 2x +√3=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，由π4⩽x ⩽π2，有π6⩽2x −π3⩽2π3，所以12≤sin (2x −π3)≤1 ∴函数f(x)的值域为[1,2]．（Ⅱ）由f (C )=√3，有sin(2C −π3)=√32，∵C为锐角，∴2C−π3=π3，∴C=π3．∵c=2，∴由余弦定理得：a2+b2−ab=4，∵a2+b2⩾2ab，∴4=a2+b2−ab⩾ab．∴S△ABC=12absinC=√34ab⩽√3，∴当a=b，即△ABC为正三角形时，△ABC的面积有最大值√3．17、一半径为2m的水轮（如图所示），水轮圆心O离水面1m，已知水轮逆时针转动，每3s转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间.(1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度ℎ(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？答案：(1)ℎ=2sin(2π3t−π6)+1(2)1s分析：（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，进而设ℎ=Asin(ωt+φ)+k(−π2<φ<0)，再求解析式即可；（2）令2sin(2π3t−π6)+1=3，解得t=1+3k，k∈Z，进而当k=0时，P第一次到达最高点，求得对应值即可.（1）解：以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+k(A>0,ω>0,−π2<φ<0)，则A=2，k=1，∵T=3=2πω，∴ω=2π3，∴ℎ=2sin(2π3t+φ)+1，∵t=0时，ℎ=0，∴0=2sinφ+1，∴sinφ=−12，∵−π2<φ<0，∴φ=−π6，∴ℎ(t)=2sin(2π3t−π6)+1.（2）解：令2sin(2π3t−π6)+1=3，得sin(2π3t−π6)=1，∴2π3t−π6=π2+2kπ，k∈Z，∴t=1+3k，k∈Z，∴当k=0时，P第一次到达最高点，∴点P第一次到达最高点大约要1s.18、已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象与直线y=2的相邻两个交点间的距离为2π，且________.在①函数f(x+π6)为偶函数；②f(π3)=√3；③∀x∈R，f(x)≤f(π6)；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间.答案：（1）f(x)=2sin(x+φ)；（2）答案见解析.解析：由已知得周期从而求得ω，选①：（1）得出f(x+π6)，根据偶函数与诱导公式求得φ；（2）求出f(x)的增区间，再与[0,π]求交集可得；选②：（1）解方程f(π3)=√3可得φ；（2）同选①选③：（1）由f(π6)是最大值可得φ；（2）同选①解：∵f(x)的图象与直线y=2的相邻两个交点间的距离为2π，∴T=2π，即2πω=2π，∴ω=1，∴f(x)=2sin(x+φ).方案一：选条件①（1）∵f(x+π6)=2sin(x+φ+π6)为偶函数，∴φ+π6=π2+kπ，即φ=π3+kπ，k∈Z，∵0<φ<π2，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(x+π3).（2）令−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，得：−56π+2kπ≤x≤π6+2kπ，k∈Z，令k=0，得−5π6≤x≤π6，∴函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间为[0,π6]（写成开区间也可得分）方案二：选条件②（1）方法1：∵f(π3)=2sin(π3+φ)=√3，∴sin(π3+φ)=√32，∴π3+φ=π3+2kπ或π3+φ=2π3+2kπ，k∈Z，∴φ=2kπ或φ=π3+2kπ，k∈Z，∵0<φ<π2，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(x+π3)；方法2：∵f(π3)=2sin(π3+φ)=√3，∴sin(π3+φ)=√32，∵0<φ<π2，∴π3<π3+φ<5π6，∴π3+φ=2π3即φ=π3，∴f(x)=2sin(x+π3)；（2）同方案一.方案三：选条件③∵∀x∈R，f(x)≤f(π6)，∴f(π6)为f(x)的最大值，∴π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，即φ=π3+2kπ，k∈Z，∵0<φ<π2，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(x+π3)；（2）同方案一.小提示：思路点睛：本题考查三角函数的图象与性质，掌握正弦函数的性质是解题关键．f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)，只要把ωx+φ作为一个整体，用它替换y=sinx中的x可确定函数的性质如单调性、对称中心、对称轴，最值，也可由f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中x的范围求出t=ωx+φ的范围M，然后考虑y=sinx在x∈M时的性质得出结论．19、化简下列各式：（1）√1−2cos5°sin5°cos5°−√1−cos25°；（2）(1sinα+1tanα)(1−cosα)．答案：（1）1；（2）sinα.分析：（1）根据同角三角函数关系，化简计算，即可得答案. （2）见切化弦，根据同角三角函数关系，化简计算，即可得答案.（1）原式=√(cos5°−sin5°)2cos5°−√sin25°=cos5°−sin5°cos5°−sin5°=1；（2）原式=(1sinα+cosαsinα)(1−cosα)=1+cosαsinα(1−cosα)=sin2αsinα=sinα．。
(精选试题附答案)高中数学第五章三角函数必须掌握的典型题
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第五章三角函数必须掌握的典型题单选题1、已知角α的终边与单位圆的交点P (45,35)，则sin (π−α)=（ ）A ．−35B ．−45C ．35D ．45答案：C分析：首先根据三角函数的定义求得sinα，然后根据诱导公式求得正确结果.依题意sinα=35√(5)2+(5)2=35，sin (π−α)=sinα=35.故选：C2、若tanθ=−2，则sin 2θ+2sinθcosθ−cos 2θ的值是（ ） A ．−15B ．−35C ．−75D ．15 答案：A分析：利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得； 解：因为tanθ=−2， 所以sin 2θ+2sinθcosθ−cos 2θ=sin 2θ+2sinθcosθ−cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+2tanθ−1tan 2θ+1=(−2)2+2×(−2)−1(−2)2+1=−15.故选：A3、设函数f(x)=cos (ωx +π6)在[−π,π]的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2答案：C分析：由图可得：函数图象过点(−4π9,0)，即可得到cos (−4π9⋅ω+π6)=0，结合(−4π9,0)是函数f (x )图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到−4π9⋅ω+π6=−π2，即可求得ω=32，再利用三角函数周期公式即可得解.由图可得：函数图象过点(−4π9,0)，将它代入函数f (x )可得：cos (−4π9⋅ω+π6)=0又(−4π9,0)是函数f (x )图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以−4π9⋅ω+π6=−π2，解得：ω=32所以函数f (x )的最小正周期为T =2πω=2π32=4π3故选：C小提示：本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.4、记函数f(x)=sin(ωx +π4)+b(ω>0)的最小正周期为T ．若2π3<T <π，且y =f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=（ ） A ．1B ．32C ．52D ．3 答案：A分析：由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.由函数的最小正周期T 满足2π3<T <π，得2π3<2πω<π，解得2<ω<3，又因为函数图象关于点(3π2,2)对称，所以3π2ω+π4=kπ,k ∈Z ，且b =2， 所以ω=−16+23k,k ∈Z ，所以ω=52，f(x)=sin (52x +π4)+2，所以f (π2)=sin (54π+π4)+2=1. 故选：A5、若函数f(x)=sin(ωx +π3)(0<ω<3)的图象向右平移2π3个长度单位后关于点(π2,0)对称，则f(x)在[−7π24,π2]上的最小值为（ ）A ．1B ．−√22C ．−√32D ．√6−√24答案：C分析：由图像平移过程写出平移后的解析式g(x)=sin(ωx +π3−2ωπ3)，利用正弦函数的对称性求参数ω，最后由正弦型函数的单调性求区间最小值即可.将f(x)向右平移2π3个长度单位后，得到g(x)=sin[ω(x −2π3)+π3]=sin(ωx +π3−2ωπ3)，∵g(x)关于(π2,0)对称， ∴g(π2)=sin(ωπ2+π3−2ωπ3)=sin(π3−ωπ6)=0，∴π3−ωπ6=kπ,k ∈Z ，即ω=2−6k,k ∈Z ，又0<ω<3，则ω=2，即f(x)=sin(2x +π3)， 由x ∈[−7π24,π2]知：2x +π3∈[−π4,4π3]，则sin(2x +π3)∈[−√32,1]， ∴f(x)在[−7π24,π2]上的最小值为−√32. 故选：C.6、已知f (x )=tanωx (0<ω<1)在区间[0,π3]上的最大值为√33，则ω=（ ） A ．12B ．13C ．23D ．34答案：A分析：先求出0≤ωx≤ωπ3，再根据f(x)max=tanωπ3=tanπ6=√33解方程即可.因为x∈[0,π3]，即0≤x≤π3，又0<ω<1，所以0≤ωx≤ωπ3<π3，所以f(x)max=tanωπ3=tanπ6=√33，所以ωπ3=π6，ω=12．故选：A．7、已知某摩天轮的旋转半径为60米，最高点距地面135米，运行一周大约30分钟，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10分钟时他距地面大约为（）A．95米B．100米C．105米D．110米答案：C分析：设函数关系式为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))，根据题意求得各参数得解析式，然后计算f(10)可得．设该游客在摩天轮上离地面高度f(t)（米）与时间t（分钟）的函数关系为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω> 0,φ∈[0,2π))，由题意可知A=60，B=135−60=75，T=2πω=30，所以ω=π15，即f(t)=60sin(π15t+φ)+75．又f(0)=135−120=15，得sinφ=−1，故φ=3π2，所以f(t)=60sin(π15t+3π2)+75=−60cosπ15t+75，所以f(10)=−60×cos2π3+75=105．故选：C．8、函数y=−sin2x−4cosx+6的值域是（）A．[2,10]B．[0,10]C．[0,2]D．[2,8]答案：A分析：根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于cosx 的二次函数，利用换元法可得值域. 函数y =−sin 2x −4cosx +6=−(1−cos 2x )−4cosx +6 =cos 2x −4cosx +5=(cosx −2)2+1， 因为cosx ∈[−1,1]，所以当cosx =1时，函数取得最小值2， 当cosx =−1时，函数取得最大值10， 故函数的值域为[2,10]， 故选：A ．9、将函数f (x )=sin 12x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位得到函数g (x )=cos 12x 的图象，则φ的最小值是（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π答案：C分析：依据平移然后判断可知12φ=π2+2k π(k ∈Z )，简单判断可知结果. 由已知可得sin 12(x +φ)=cos 12x =sin (12x +π2)，∴12φ=π2+2k π(k ∈Z )，∴φ=π+4k π(k ∈Z )． ∵φ>0，∴φ的最小值是π． 故选：C10、已知cosα=2√55，则cos 4α−sin 4α=（ ）A ．35B ．45C ．1225D ．−1225答案：A分析：利用同角三角函数基本关系式先化简再求值. ∵cosα=2√55， ∴cos 4α−sin 4α=(cos 2α+sin 2α)(cos 2α−sin 2α)=cos 2α−sin 2α=2cos 2α−1=2×(2√55)2−1=35.故选：A.小提示：利用三角公式求三角函数值的关键：(1)角的范围的判断；(2)选择合适的公式进行化简求值．填空题11、函数f(x)=sinx−√3cosx的严格增区间为________．答案：[2kπ−π6,2kπ+5π6],k∈Z分析：利用辅助角公式将f(x)化为f(x)=2sin(x+π3)，然后由三角函数单调区间的求法，求得函数f(x)的单调区间.依题意f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，由2kπ−π2≤x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得2kπ−π6≤x≤2kπ+5π6，k∈Z，所以f(x)单调递增区间为[2kπ−π6,2kπ+π6](k∈Z).所以答案是：[2kπ−π6,2kπ+5π6](k∈Z)12、函数y=tan(x+π6),x∈(−π6,π3)的值域为______.答案：(0,+∞)分析：根据题意，结合正切函数的图象与性质，即可求解.设z=x+π6，因为x∈(−π6,π3)，可得z∈(0,π2)，因为正切函数y=tanz在(0,π2)上的值域为(0,+∞)，即函数y=tan(x+π6)在(−π6,π3)的值域为(0,+∞).所以答案是：(0,+∞).13、函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈[−π4,π4]的值域为____________． 答案：[－4，4]分析：根据正切函数的单调性可得－1≤tan x ≤1，令tan x ＝t ，利用二次函数的性质即可求解. ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1. 令tan x ＝t ，则t ∈[－1，1]， ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5.∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4，4]． 所以答案是：[－4，4]小提示：本题考查了正切函数的单调性、二次函数的单调性求值域，属于基础题. 14、已知cos(θ+π6)=−√33,则sin(π6−2θ)=__．答案：−13分析：根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果. ∵cos(θ+π6)=−√33， ∴sin(π6−2θ) =cos[π2−(π6−2θ)] =cos(2θ+π3)=cos[2(θ+π6)]=2cos 2(θ+π6)−1 =2×(−√33)2−1=−13.所以答案是：−13.15、已知tan α=2，则1sin 2α−cos 2α _____. 答案：53分析：根据弦切互化即可求解.因为tanα=2，所以1sin2α−cos2α=sin2α+cos2αsin2α−cos2α=tan2α+1tan2α−1=4+14−1=53所以答案是：53解答题16、已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图.(1)求函数f(x)的解析式;(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，当x∈[−π6,π]时，求g(x)值域.答案：(1)f(x)=2sin(2x−π3)；(2)[−√3,2].分析：（1）根据图象由函数最值求得A，由函数周期求得ω，由特殊点求得φ，即可求得解析式；（2）根据三角函数图象的变换求得g(x)的解析式，再利用整体法求函数值域即可.(1)由图象可知，f(x)的最大值为2，最小值为−2，又A>0，故A=2，周期T=43[5π12−(−π3)]=π，∴2π|ω|=π，ω>0，则ω=2，从而f(x)=2sin(2x+φ)，代入点(5π12,2)，得sin(5π6+φ)=1，则5π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，即φ=−π3+2kπ，k∈Z，又|φ|<π2，则φ=−π3.∴f(x)=2sin(2x−π3).(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，故可得y=2sin(x−π3)；再将所得图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象故可得g(x)=2sin(x−π6)；∵x∈[−π6,π]∴x−π6∈[−π3,5π6]，sin(x−π6)∈[−√32,1]，2sin(x−π6)∈[−√3,2]，∴g(x)的值域为[−√3,2].17、已知向量m⃗⃗ =(sinx,−12),n⃗=(√3cosx,cos2x)，函数f(x)=m⃗⃗ ⋅n⃗（1）求函数f(x)的最大值及最小正周期；（2）将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[0,π2]上的值域．答案：（1）最大值为1,最小正周期为π；（2）[−12,1]分析：(1)由已知化简可得f(x)=sin(2x−π6),可得最大值，利用周期公式可求f(x)的最小正周期;(2)由图象变换得到g(x)=sin(2x+π6),从而求函数的值域.(1) f(x)=m⃗⃗ •n⃗=√3sin x cos x−12cos2x=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6).所以函数的最大值为1,最小正周期为T=2π|ω|=2π2=π(2)由(1)得f(x)=sin(2x−π6).将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位后得到y=sin[2(x+π6)−π6]=sin(2x+π6)的图象.因此g(x)=sin(2x+π6)，又x∈[0,π2]，所以2x+π6∈[π6,7π6]，sin(2x+π6)∈[−12,1].故g(x)在[0,π2]上的值域为[−12,1].小提示：本题考查利用三角恒等变换求解三角函数的性质，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于向量数量积运算与恒等变换得f(x)=sin(2x−π6)，进而根据三角函数性质求解.18、一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度ℎ（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？答案：（1）ℎ=2sin(2πt3−π6)+1(t≥0)；（2）有1s时间点P距水面的高度超过2米.分析：（1）设ℎ=asin(ωt+φ)+b，根据题意求得a、b的值，以及函数ℎ=asin(ωt+φ)+b的最小正周期，可求得ω的值，根据∠BP0O的大小可得出φ的值，由此可得出ℎ关于t的函数解析式；（2）由ℎ>2得出sin(2πt3−π6)>12，令t∈[0,3]，求得2πt3−π6的取值范围，进而可解不等式sin(2πt3−π6)>12，可得出t的取值范围，进而得解.（1）设水轮上圆心O正右侧点为A，y轴与水面交点为B，如图所示：设ℎ=asin (ωt +φ)+b ，由OB =1，OP =2，可得∠BOP 0=π3，所以∠AOP 0=π6. ∴a =2，b =1，φ=−π6，由题意可知，函数ℎ=2sin (ωt −π6)+1的最小正周期为T =3，∴ω=2πT =2π3， 所以点P 距离水面的高度ℎ关于时间t 的函数为ℎ=2sin (2πt 3−π6)+1(t ≥0)； （2）由ℎ=2sin (2πt 3−π6)+1>2，得sin (2πt 3−π6)>12， 令t ∈[0,3]，则2πt 3−π6∈[−π6,11π6]， 由π6<2π3t −π6<5π6，解得12<t <32，又32−12=1，所以在水轮转动的任意一圈内，有1s 时间点P 距水面的高度超过2米.小提示：本题考查三角函数模型的简单应用，根据题意建立函数解析式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.19、已知sinα=1517，cosβ=−513，且α∈(π2,π)，β∈(π2,π)，求cos(α+β)，sin(α−β). 答案：cos(α+β)=−140221；sin(α−β)=21221.分析：本题先求cosα、sinβ，再求cos(α+β)、sin(α−β)即可解题.解：∵sinα=1517，∴ cosα=±√1−sin 2α=±817，∵ α∈(π2,π)，∴ cosα=−817，∵ cosβ=−513，∴ sinβ=±√1−cos 2β=±1213，∵ β∈(π2,π)，∴ sinβ=1213，∴ cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=(−817)×(−513)−1517×1213=−140221；sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=1517×(−513)−(−817)×1213=21221.小提示：本题考查同角三角函数关系，两角和差的正余弦公式，是基础题.。
高一数学(必修一)《第五章 三角函数》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 三角函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．为了得到函数()()5sin 212f x x π=-的图象，可以将函数()sin 2g x x =图象上所有的点（ ） A ．向右平移512π个单位长度 B ．向左平移512π个单位长度 C ．向右平移524π个单位长度 D ．向左平移524π个单位长度 2．下列图像中，符合函数sin 2()1cos xf x x=-的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数()()πcos 2sin 06f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将函数()y f x =的图像向左平移π6个单位长度后得到函数()y g x =的图像，则（ ）A ．()g x xB ．()g x x =C ．()π26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2g x x4．函数sin y x =-在[0,2]π上的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．5．要想得到正弦曲线，只需将余弦曲线（ ） A ．向右平移2π个单位 B ．向左平移2π个单位 C ．向右平移π个单位 D ．向左平移π个单位6．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的(0)m m >倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位长度，最后将所得函数图象上所有点的纵坐标变为原来的(0)n n >倍，横坐标不变，得到如图所示的函数()f x 的部分图象，则,,m n ϕ的值分别为（ ）A ．22,2,3m n πϕ===B ．12,2,23m n πϕ===C ．2,2,3m n πϕ===D ．1,2,23m n πϕ===7．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M 3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω和φ的值分别为（ ）A ．23和π4 B ．2和π3 C ．2和π2 D ．103和π28．已知函数()π()cos 002f x A x A ωϕωϕ=+>><（，，）的部分图象如图所示，若先将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象；再把()g x 图象上所有点向左平行移动2π3个单位长度，得到函数()h x 的图象，则当2π[π,]3x ∈-时，则函数()h x 的值域为（ ）A ．[-2，0]B ．[-1，0]C ．[0，1]D ．[0，2]9．已知函数()π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 在区间3π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 的图像关于直线π4x =对称10．将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]64ππ-上为增函数，则ω最大值为（ ）A ．32B ．2C ．3D ． 11．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3C A π=-，则ba的取值范围是（ ）A ．2)B ．C ．D ．4)12．已知函数()4sin sin ,(0)33f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为π，将其图象沿x 轴向左平移(0)m m >个单位，所得图象关于直线3x π=对称，则实数m 的最小值为（ ）A ．6πB ．3π C ．34π D ．4π 13．已知函数3()2sin 242f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，为了得到函数()y f x =的图象，可把函数52cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度14．某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈()()cos f x A x B ωϕ=++的模型波动（()f x 的单位：千元，x 为月份，112x ≤≤且*x ∈N ）．已知3月出厂价最高，为9千元，7月出厂价最低，为5千元，则()f x 的解析式为（ ） A ．()ππ2sin 744f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．()9si 44πn πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()πn 74f x x =+D ．()π2sin 744πf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭15．函数()sin cos f x x x =+的图象可以由函数()sin cos g x x x =-的图象（ ）A ．向右平移π4单位得到B ．向左平移π4单位得到C ．向右平移π2单位得到D ．向左平移π2单位得到16．将函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于()g x 的说法正确的是（ ） A ．图象关于直线3x π=-对称 B ．图象关于6x π=对称 C ．图象关于点5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称17．将偶函数()()()2cos 2(0π)f x x x ϕϕϕ=+-+<<的图象向右平移π6个单位，得到()y g x =的图象，则()g x 的一个单调递减区间为（ ） A ．ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π7π,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π5π,36⎛⎫ ⎪⎝⎭二、解答题18．已知函数()()3sin 2f x x πϕϕ=+∈-，（，2π）函数关于4x π=对称.(1)求()f x ϕ的值及的解析式；(2)用五点法在下列直角坐标系中画出()f x 在744ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的图象；(3)写出()f x 的单调增区间及最小值，并写出取最小值时自变量x 的取值集合． 19．不画图，说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得出： （1）1π8sin 48y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）1πsin 337y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.20．已知函数()cos()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为奇函数，且其图象上相邻的一个最高点与一个最低点之(1)求()f x 的解析式；(2)若已知三点坐标1,0A ，1,12B f πα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭和()1,2C f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭．若//AB AC ，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin cos αα+的值．21．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为4，且满足1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)求()f x 的解析式； (2)求方程()102f x +=在区间[]22-,上所有解的和.22．已知函数1cos 2y x x =+，说明此函数是由sin y x =如何变换而来的. 23．已知函数()2sin f x x ω=，其中常数0>ω． (1)若函数()y f x =的最小正周期为2π，求ω的值；(2)若()y f x =是2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的严格增函数，求ω的取值范围；(3)当2ω=时，则将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[],(,?R,)a b a b a b ∈<且满足：()y g x =在[],a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[],a b中，求b a -的最小值．三、填空题24．已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有______．（填序号）①方程()()3π0,2f x g x x ⎫⎛⎫+=∈ ⎪⎪⎝⎭⎭所有根的和为7π12；②不等式()()g x f x ≥ππ5ππ,3262k k ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ k ∈Z③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于7π24x =对称． 25．将函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与函数()f x 的图象重合，则ω的最小值为______.26．将函数()cos 2f x x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 的图象关于原点对称，则ϕ的一个取值为_________．27．已知数列{}n a 满足()1111n n a n N a *+=-∈+，11a =.若从四个条件：①A =；②2ωπ=；③3πϕ=；④12B =中，选择一个作为条件补充到题目中，将数列{}n a 的通项n a 表示为sin()0,||2A n B πωϕωϕ⎛⎫++>< ⎪⎝⎭的形式，则n a =___________.四、多选题28．已知函数()()cos 21f x A x ϕ=+-（0A >，0ϕπ<<），若函数()y f x =的部分图象如图所示，函数()()sin g x A Ax ϕ=-，则下列结论不正确的是（ ）A ．函数()g x 的图象关于直线12x π=-对称B ．函数()g x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将函数()1y f x =+的图象向左平移12π个单位长度可得到函数()g x 的图象 D ．函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦29．将函数()2sin(2)6f x x π=-的图像向左平移6π个单位后，得到函数()g x 的图像，则下列结论中正确的是（ ）A ．()2sin 2g x x =B ．()g x 的图象关于点(,0)12π-中心对称C ．()g x 的图象关于3x π=-对称D ．()g x 在区间[,]66ππ-上单调递增参考答案与解析1．C【分析】由条件根据函数 y ＝A sin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论． 【详解】因为()()()55sin 2sin 21224f x x x ππ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦所以应将函数()sin 2g x x =的图象上所有的点向右平移524π个单位长度. 故选：C. 2．A【分析】根据函数的奇偶性及函数值验证选项即可得出答案. 【详解】由()sin 21cos x f x x =-知 ()()sin 21cos xf x f x x--==-- ()f x ∴是奇函数，选项B 错误；()sin 2101cos1f =>-， ()()()sin 2ππ01cos πf --==--所以选项C 和选项D 错误，选项A 正确. 故选：A. 3．A【分析】先将()f x )6x πω+，根据最小正周期求出ω，再根据正弦函数的图像平移得到答案.【详解】因为()ππcos 2sin 66f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为π，所以2ω=．将()π26f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位长度后得到函数()ππ2266y g x x x⎡⎤⎛⎫==++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像． 故选：A. 4．D【解析】利用五点法找到特殊点3(0,0),,1,(,0),1,(2,0)22ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由此判断选项即可【详解】根据五点法找出五个特殊点,分别为3(0,0),,1,(,0),1,(2,0)22ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,然后描点并用光滑的曲线连接 故选:D【点睛】本题考查正弦型函数的图像,考查五点法作图的应用 5．A【分析】由诱导公式及函数图象平移规则即得.【详解】因为cos sin()2y x x π==+所以将余弦曲线向右移2π个单位可得sin()sin 22y x x ππ=-+=．故选：A ． 6．D【分析】由图象求得()f x 的表达式，然后由图象变换得结论．【详解】设()()sin (0,0,)f x A x A ωαωαπ=+>><，由函数图象，知52,212122T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，所以2,2T Tππω===.所以()()2sin 2f x x α=+. 又函数图象过点5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以52sin 2212πα⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭.所以532,62k k ππαπ+=+∈Z ，解得22,3k k παπ=+∈Z . 因为απ<，所以23πα=.所以()22sin 22sin233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以1,2,23m n πϕ===.故选：D. 7．C【分析】由f （x ）是偶函数及0≤φ≤π可得φπ2=.由图象关于点M 3π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，结合ω＞1及余弦函数的图象与性质可求ω. 【详解】解：由f （x ）是偶函数 φ＝k ππ2+ k ∈Z ∵0≤φ≤π，∴当k ＝0时，则φπ2=. ∴f （x ）＝sin （ωx π2+）＝cos ωx ∵f （x ）图象上的点关于3π,04M ⎛⎫⎪⎝⎭对称∴3π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3πcos 04ω=，故3π4ω=k ππ2+ k ∈Z即()2213k ω=+ k ∈Z . ∵f （x ）在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，可得π12ππ22ωω≤⋅=，即ω≤2. 又∵()2213k ω=+ k ∈Z ω＞1∴当k ＝1时可得ω＝2． 故选：C ． 8．D【分析】由图可求出函数的周期πT =，从而可求出2ω=，由图可得2A =，然后将点13,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数中可求出ϕ的值，进而可求得函数解析式，根据三角函数图象变换规律求出()h x ，再由2ππ,3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求出3262πππx -≤+≤，再由余弦函数的性质可求得()h x 的值域. 【详解】由题意得313341234T πππ=-=，∴πT = 2π2T ω== 当13π12x =时，则ππ132212x k ωϕϕ+=⨯+= ()Z k ∈ ∴()132ππZ 6k k ϕ=-∈π2ϕ<，，令1k =可得π6ϕ=-又易知2A =，故()π2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由三角函数图象的变换可得1π1π()2cos(2)2cos()4626g x x x =⨯-=-所以()1212cos 2cos 23626πππh x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵2ππ3x -≤≤，∴3262πππx -≤+≤ ∴1π10cos 26x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故函数()g x 的值域为[]0,2.故选：D 9．C【分析】根据三角函数图象性质结合选项一一判断即可．【详解】由()π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对A 项()f x 的最小正周期为2π，故A 错；对B 项()f x ，故B 错；对C.项当3π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则有πππ442x -<-<，因为sin y x =在ππ,42⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增所以()f x 在区间3π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；对D.项，当π4x =时，则有πππ0444f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4x =不是()f x 的对称轴，故D 错．故选：C 10．B【分析】先求出()g x ，又因为()y g x =在ππ[,]64-上为增函数，则ππ62ω⎛⎫⋅-≥- ⎪⎝⎭，且ππ42ω⋅≤，即可求出ω最大值.【详解】函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象则()ππ2sin 2sin 33g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦又因为()y g x =在ππ[,]64-上为增函数 所以ππ62ω⎛⎫⋅-≥- ⎪⎝⎭，且ππ42ω⋅≤解得2ω≤，故ω的最大值为2.11．C【分析】根据题意可得2B A =，由锐角三角形可求出A 的范围，再由正弦定理及余弦函数的值域即可求解. 【详解】3C A =-π sin sin 22cos ,sin sin b B A A a A A∴=== 2(0,),2B A =∈π3(0,)2C A =-∈ππ(,)64A ∴∈ππcos A ∴∈ba∴∈. 故选：C 12．A【分析】由已知，先对函数()f x 进行化简，根据最小正周期为π，求解出ω，然后根据题意进行平移变换，得到平移后的解析式，再利用图象关于直线π3x =对称，建立等量关系即可求解出实数m 最小值.【详解】解：()ππ114sin sin 4sin sin 3322f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111cos 231cos 24sin 42cos 2124242x x x x x ωωωωω⎡⎤⎫-+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-=⋅-⋅=--⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即()2cos21f x x ω=--，由其最小正周期为π，即22ππω=，解得1ω= 所以()2cos21f x x =--将其图象沿x 轴向左平移m （0m >）个单位，所得图象对应函数为()()2cos212cos 221y x m x m =-+-=-+- 其图象关于3x π=对称，所以2π2π,Z 3m k k +=∈，所以 ππ,Z 32k m k =-+∈ 由0m >，实数m 的最小值为π6.故选：A. 13．D【分析】根据()f x 是奇函数可求得4πϕ=-，利用诱导公式得52cos 22sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得【详解】因为()f x 是奇函数，所以3,Z 4k k πϕπ-=∈，即3,Z 4k k πϕπ=+∈ 因为2πϕ<，所以4πϕ=-，所以()()2sin 22sin 2f x x x π=-=-因为52cos 22sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以可把函数52cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度.故选：D. 14．D【分析】先根据最值，求出,A B ，求出最小正周期，进而求出2ππ4T ω==，代入特殊点坐标求出π4ϕ=-，求出正确答案.【详解】解：由题意得95A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得27A B =⎧⎨=⎩，又最小正周期为()2738⨯-=所以2ππ4T ω==，所以()π2sin 74f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭将()3,9代入，解得3π2sin 794ϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则3ππ242πk ϕ+=+ Z k ∈π2π,Z 4k k ϕ=-+∈因为π2ϕ<，所以当0k =时，则π4ϕ=-符合题意 综上：()π2sin 744πf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭故选：D 15．D【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数图像变换的性质进行求解即可.【详解】因为()sin cos )4g x x x x π=--，()sin cos ))442f x x x x x πππ=+=+=-+所以函数()sin cos g x x x=-向左平移2π单位得到函数()sin cos f x x x =+的图像 故选：D 16．C【分析】根据三角函数图象的平移变换可得()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数对称轴、对称中心的定义与验证法依次判断选项即可.【详解】由题意得，()sin 2sin 2366g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴132g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，162g π⎛⎫= ⎪⎝⎭和13g π⎛⎫= ⎪⎝⎭故A ，B ，D 错误，又5012g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴()g x 图象关于点5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称．故选：C ． 17．C【分析】根据辅助角公式，结合偶函数的性质求出ϕ值，再根据余弦函数图象的变换规律求出函数()g x 的解析式，最后根据余弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】()()()π2cos 22sin 26f x x x x ϕϕϕ⎛⎫+-+=+- ⎪⎝⎭.因为函数()f x 是偶函数，所以()()ππ2ππ623k k k k ϕπϕ-=+∈⇒=+∈Z Z 因为0πϕ<<，所以2π3ϕ=，所以()2ππ2sin 22cos 236f x x x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 因为函数()f x 的图象向右平移π6个单位，得到()y g x =的图象所以()ππ2cos 22cos 263y g x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当()π2π22ππ3k x k k ≤-≤+∈Z 时，则函数()g x 单调递减 即当()π2πππ63k x k k +≤≤+∈Z 时，则函数()g x 单调递减 当0k =时，则函数()g x 在π2π63x ≤≤时单调递减. 故选：C 18．(1)4πϕ=()3sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)详见解析(3)单调递增区间是,23244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ k Z ∈最小值为3-，取得最小值的x 的集合52,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）根据函数的对称轴，列式,42k k Z ππϕπ+=+∈，求ϕ；（2）利用“五点法”列表，画图；（3）根据三角函数的性质，即可求解. (1)因为函数关于直线4x π=对称，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈,4k k Z πϕπ=+∈，因为,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以4πϕ=所以()3sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)首先根据“五点法”，列表如下：(3) 令22242k x k πππππ-≤+≤+解得32244k x k ππππ-≤≤+ k Z ∈ 所以函数的单调递增区间是,23244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ k Z ∈ 最小值为3-令3242x k πππ+=+，得524x k ππ=+ k Z ∈ 函数取得最小值的x 的集合52,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 19．（1）答案见解析；（2）答案见解析【分析】（1）根据先平移，再进行横坐标伸缩变换，最后进行纵坐标伸缩变换求解即可； （2）根据先平移，再进行横坐标伸缩变换，最后进行纵坐标伸缩变换求解即可； 【详解】解：（1）将正弦曲线sin y x =上的所有点向右平移8π个单位长度得到函数sin 8y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将它图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数1πsin 48y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将它的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的8倍，横坐标不变得到函数1π8sin 48y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.（2）将正弦曲线sin y x =上的所有点向左平移7π个单位长度得到函数sin 7y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将它图象上所有点的横坐标缩短为原来的13倍，纵坐标不变，得到函数πsin 37y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将它的图象上所有点的纵坐标缩小为原来的13倍，横坐标不变得到函数1πsin 337y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.20．(1)()sin f x x =-【分析】（1）由题意设最高点为()1,1x ，相邻最低点为()2,1x -，则12||2Tx x -=，由三角函数的图象及已知可得222()22T+=，解得T ，利用周期公式可求ω，由(0)cos 0f ϕ==，结合范围0ϕπ<<，可求ϕ的值，即可得解()f x 的解析式．（2）由（1）利用诱导公式化简三点坐标，利用向量平行的坐标表示可得1cos sin 2αα=，进而利用三角函数恒等变换即可求解sin cos αα+的值． （1）解：设最高点为()1,1x ，相邻最低点为()2,1x -，则122T x x -=由三角函数的图象及已知，可得2242T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即22444T π+=+，解得2T π=，由2T πω=，可得1ω=所以()cos()f x x ϕ=+因为函数()cos()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为奇函数 所以(0)cos 0f ϕ==，得2k πϕπ=+Z k ∈又0ϕπ<<，所以2ϕπ=于是()cos()sin 2f x x x π=+=-（2）21．(1)()cos 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)1-【分析】（1）由()f x 的最小正周期为4求得ω，由1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()f x 的图象的对称中心，并结合02πϕ<<，求出ϕ的值及()f x 的解析式（2）由()102f x +=，得1cos 242x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得546x k =+或1146x k =-和k ∈Z ，再由[]2,2x ∈-，可求出x 的值，从而可求得它们的和. （1）因为()f x 的最小正周期为4，所以242ππω==.因为()f x 满足1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称所以1cos 022πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以()42k k ππϕπ+=+∈Z ，即()4k k πϕπ=+∈Z又02πϕ<<，所以4πϕ=.()f x 的解析式为()cos 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2） 由()11cos 02242f x x ππ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭ 得1cos 242x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以22243x k ππππ+=+或22243x k ππππ+=-k ∈Z 解得546x k =+或1146x k =- k ∈Z因为[]2,2x ∈-，所以方程的解集为115,66⎧⎫-⎨⎬⎩⎭所以所有解的和为511166-=-.22．sin y x =向左平移6π个单位【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，然后根据左右平移变换即可求出结果.【详解】因为1cos sin 26y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 根据三角函数的图象变换，将函数sin y x =向左平移6π个单位，即可得到sin()6y x π=+的图象.23．(1)1 (2)304ω<≤ (3)433π【分析】(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最小正周期为2πω；(2)依题意可得42232ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解之即可；(3)由条件根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，可得()g x 的解析式，令()0g x =，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b a -最小，则a 和b 都是零点，此时在区间[a ，*]()m a m N π+∈恰有21m +个零点，所以在区间[a ，14]a π+是恰有29个零点，从而在区间(14a π+，]b 至少有一个零点，即可得到a ，b 满足的条件．进一步即可得出b a -的最小值．(1) 解：22ππω=，∴1ω＝(2)解：由0ω＞，根据题意有42232ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，，解得304ω≤＜(3)另一方面，在区间5[12π，514]312πππ++恰有30个零点因此b a -的最小值为431433πππ+=． 24．③【分析】根据图象分别确定,A T ，结合五点作图法可最终求得()f x 解析式，再根据三角函数平移变换求得()g x ；对于①，直接代入()f x ，()g x解析式，结合三角恒等变换化简方程为sin 212x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再结合x 范围求得方程的根即可；对于②，()()ππ2sin 2sin 2π33tan 2ππ32sin 2cos 263x x g x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===-≥ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ2π332k x k +≤-<+和k ∈Z ，解得ππ5ππ,32122k k x ⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭，k ∈Z 故②错误； 对于③，因为()7π7ππ4ππ2sin 22sin 22sin 2126633f x x x x g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以()y f x =与()y g x =图象关于7π24x =对称，故③正确． 故答案为：③ 25．12【分析】由题意，利用图像平移变换法则得到π6为函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个周期，从而得到12kω=()*N k ∈，可得ω的最小值.【详解】将函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后所得图象与()f x 的图象重合，故π6为函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个周期即2ππ6k ω=()*N k ∈，则12k ω=()*N k ∈，故当1k =时，则ω取得最小值12. 故答案为：12 26．4π 【分析】根据平移后的可得函数()cos(22)g x x ϕ=+，根据题意可得(0)0g =可得22k πϕπ=+，取一值即可得解.【详解】将函数()cos 2f x x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度 可得()cos(22)g x x ϕ=+，由函数()g x 的图象关于原点对称 可得(0)cos(2)0g ϕ== 所以22k πϕπ=+ 42k ππϕ=+当0k =时，则4πϕ=.故答案为：4π 27134n ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭或134n ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 【分析】由递推关系推出n a 的通项公式，发现n a 周期为2，求出w π=，则排除②，再根据，1a ，2a 的取值，求出14B =，排除④，分别讨论①和③作为条件时是否成立，得到最终的表达式. 所以数列{}n a 周期为2，即22T wπ==，解得w π=，则②不能作为条件，此时sin()n a A n B πϕ=++ 有sin()11sin(2)2A B A B πϕπϕ++=⎧⎪⎨++=-⎪⎩ 解得14B =，则④不能作为条件，此时1sin()4n a A n πϕ=++当①作为条件时，则1)4n a n πϕ=++，11)14a πϕ++=此时sin ϕ=3πϕ=-代入n a 成立，故①可作为条件，此时1)34n a n ππ=-+ 当③作为条件时，则1sin()34n a A n ππ=++，则11sin()134a A n ππ=++=，此时A =n a 成立，故③可作为条件，此时1)34n a n ππ=++. 故答案为：1)34n a n ππ=-+或1)34n a n ππ=++.【点睛】思路点睛：（1）本题在求出数列{}n a 的通项公式后，先根据周期性和特殊值确定ω和B 的值，排除部分选项，然后逐一讨论其他选项是否成立； （2）三角函数中解析式的确定，一般由周期确定ω，由特殊值确定ϕ，由最值确定A ，由对称中心确定B .28．ABD【分析】根据三角函数的图象求得,A ϕ的值，得出函数()f x ，进而求得()g x 的解析式，结合正弦函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】根据函数()y f x =的图象，可知2A =当0x =时，则满足()02f =-，则2cos 12ϕ-=-，即1cos 2ϕ=- 因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=，可得()22sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 对于A 中，当12x π=-时，则112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，可得函数()g x 的图象不关于直线12x π=-对称，所以A 项错误；对于B 中，当12x π=时，则12g π⎛⎫= ⎪⎝⎭()g x 的图象不关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所以B 项错误； 对于C 中，因为()212cos 23y f x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭232sin 232x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦52sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将其图象向左平移12π个单位，可得函数522sin 22sin 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，所以C 项正确； 对于D 中，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以223323,x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦-，所以当222,332x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，即[0,]12x π∈时，则()g x 单调递减，所以D 项错误．故选：ABD29．BCD 【分析】进行平移可得()2sin(2)6g x x π=+，根据三角函数的性质，逐项分析判断即可得解. 【详解】2sin 2()2sin(2)666()x g x x πππ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦，故A 错误； 令12x π=-可得()2sin 0012g π-==，故B 正确； 令3x π=-可得()2sin()232g ππ-=-=-，故C 正确； [,]66x ππ∈-，所以2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦易知sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单增，所以()g x 在,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单增，故D 正确.故选：BCD。
高一数学(必修一)《第五章 三角函数的概念》练习题附答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 三角函数的概念》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．若sin 2cos θθ=，则()cos 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．35B ．25C ．25-D ．352．若θ为ABC 的一个内角，且1sin cos 8θθ⋅=-，则sin cos θθ-=（ ）A ．BC ．D3．若函数()f x 是奇函数，当0x >时，则3()log f x x =，则13f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-二、填空题4．已知sin 3cos αα=，则13sin cos 2cos 24ααα-=+___________.5．设直线2y x =的倾斜角为α，则cos2=α___________.6．函数1()sin 2()24g x x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 的值域为___________.7．已知1(0,),sin()cos(2)4θππθπθ∈-+-=，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______．三、解答题8．已知,αβ为锐角，tan 2,sin()ααβ=-=． (1)求cos2α的值； (2)求tan β的值．9．已知5cos 7cos 022ββα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，求tantan 22αβα-的值． 10．已知R θ∈，设函数()()()2cos sin cos f x x x x θθ=-++．(1)若f (x )是偶函数，求θ的取值集合；(2)若方程()()()0f x f x f +-=有实数解，求sin cos θθ+的取值范围． 11．已知7sin cos 13x x +=-(0πx << )，求cos 2sin x x - 的值.12．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin ,c A B c ==． (1)求A ；(2)设D 是AB 边上靠近A 的三等分点，CD ABC 的面积．13．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的一段图像过点(0,1)，如图所示.（1）求()f x 在区间2[,]32ππ--上的最值； （2）若12(),(0)21234f ππαα-=<<,求22cos sin 2()cos sin ααπαα-+-的值.14．已知π3π044βα<<<<，3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭和3π5sin 413⎛⎫+= ⎪⎝⎭β，求()sin αβ+的值. 15．求证：sin cos 11sin sin cos 1cos αααααα-++=+-16．已知()1sin 2αβ-=和()1sin 3αβ+=． (1)证明：tan 5tan 0αβ+=； (2)计算：()()2tan tan tan tan tan αβαβααβ--+⋅-的值．四、双空题17．已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=__________，2sin 2cos αα+=__________．参考答案与解析1．A【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数的关系求解即可【详解】因为sin 2cos θθ=，显然cos 0θ≠，故tan 2θ= ()()2cos 1sin 2cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθ++=++()2222cos sin cos tan 1213sin cos tan 1215θθθθθθθ+++====+++故选：A 2．D【解析】先分析得到sin θcos θ0，再求2(sin cos )θθ-再开方即得解. 【详解】因为1sin cos 0,(0,)8θθθπ⋅=-<∈所以(,)2πθπ∈所以sin 0,cos 0,sin cos 0θθθθ><∴->. 215(sin cos )12sin cos 144θθθθ-=-=+= 所以5sin θcos θ2. 故选：D【点睛】结论点睛：看到sin cos ,sin cos θθθθ±，要联想到2(sin cos )12sin cos θθθθ±=±解题. 3．A【分析】由奇函数性质知，要求13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，只需求13f ⎛⎫⎪⎝⎭的值即可，将13 代入函数解析式求出113f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以113f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【详解】解：因为()f x 为奇函数，所以1133f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0x >时，则3()log f x x =，所以13311log log 333l f -⎛⎫== ⎪⎝=-⎭所以11133f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：A. 4．124【分析】由sin 3cos αα=，求得tan α的值，再将原式化为齐次式，即可求得结果. 【详解】因为sin 3cos αα=，所以tan 3α=则()22213sin cos sin cos 3sin cos 2cos 2422cos 14αααααααα-+-=+-+222sin cos 3sin cos 4cos 2ααααα+-=+ 222222sin cos 3sin cos tan 13tan 91912sin 6cos 2tan 629624ααααααααα+-+-+-====++⨯+.故答案为:1245．35【分析】由斜率得tan 2α=，然后由余弦的二倍角公式、同角间的三角函数关系转化代入计算． 【详解】解：由题意可知22222222cos sin 1tan 3tan 2,cos2cos sin cos sin 1tan 5αααααααααα--==-===-++. 故答案为：356．12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由正弦的二倍角公式、两角和的正弦公式变形后，令sin cos t x x =+换元，化为t 的二次函数，求得t 的范围后，由二次函数性质得结论．【详解】()()sin cos coscos sin )sin cos sin cos 44g x x x x x x x x x ππ=+=-+；令sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则22111(1)1.222t y t t -⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7【分析】由诱导公式化简得1sin cos 4θθ+=，平方后计算得15sin cos 32θθ=-，从而计算出cos sin θθ-=再由诱导公式以及余弦的二倍角公式代入求解得答案. 【详解】1sin()cos(2)sin cos 4πθπθθθ-+-=+=，则()2115sin cos 12sin cos sin cos 3216θθθθθθ+=+=⇒=-所以()231cos sin 12sin cos 16θθθθ-=-=，因为(0,)θπ∈，所以cos 0,sin 0θθ<>，cos sin θθ-=则()()()2231sin 2cos 2cos sin cos sin cos sin 24πθθθθθθθθ⎛⎫+=-=--=--+= ⎪⎝⎭8．(1)35； (2)1.【分析】（1）由二倍角的余弦公式，结合正余弦齐次式法计算作答. （2）由同角公式求出tan()αβ-，再利用差角的正切公式计算作答. (1)因tan 2α=，所以22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5ααααααααα--=-===-++. (2)因,αβ为锐角，则22ππαβ-<-<，而sin()αβ-=cos()αβ-==于是得1tan()3αβ-=，所以12tan tan()3tan tan[()]111tan tan()123ααββααβααβ---=--===+-+⨯. 9．tantan622αβα-=-【分析】将原式转化为5cos 7cos 02222αβααβα--⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据两角和差的余弦公式化简，结合同角三角函数的关系求解即可.【详解】由5cos 7cos 022ββα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，得5cos 7cos 02222αβααβα--⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开得5cos cos sin sin 7cos cos sin sin 022222222αβααβααβααβα----⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即12cos cos 2sinsin02222αβααβα--+=，两边同除以coscos22αβα-得122tantan022αβα-+=解得tantan622αβα-=-．10．(1)|=,Z 24k k ππθθ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭；(2)[.【分析】(1)用二倍角的正弦公式变形函数式，再利用偶函数的定义结合和差角的正弦化简即可求解作答. (2)由(1)及已知，利用三角恒等变换公式化简变形，求出sin 2θ的范围，再把sin cos θθ+用sin 2θ表示出求解作答. (1)因函数21()cos sin(22)2f x x x θ=-+是偶函数，即R x ∀∈，()()f x f x =-成立则2211cos sin(22)cos sin(22)22x x x x θθ--+=-+，化简整理得：sin 2cos20x θ=而sin 2x 不恒为0，于是得cos20θ=，解得2,Z 2k k πθπ=-∈，即=,Z 24k k ππθ-∈ 所以θ的取值集合{|=,Z}24k k ππθθ-∈ (2)由(1)及已知得：22111cos sin(22)cos sin(22)1sin 2222x x x x θθθ-++--+=-即212cos cos 2sin 21sin 22x x θθ-=-，化简整理得：2(sin 21)cos 2sin 2x θθ-=显然sin 21θ≠，则sin 2cos 22(sin 21)x θθ=- 依题意，原方程有实数解等价于sin 2112(sin 21)θθ-≤≤-，解得21sin 23θ-≤≤25)1sin 2[0,]3(sin cos θθθ+=+∈，解得sin cos θθ≤+≤所以sin cos θθ+的取值范围是[. 11．2213-【分析】将7sin cos 13x x +=-两边平方可得1202sin cos 169x x =-，判断x 的范围，并求出17sin cos 13x x -=，进而可求得5sin 13x =12cos 13x =- ，即可求得答案.【详解】∵7sin cos 13x x +=-(0πx <<) ∴cos 0sin 0x x <>， ，即sin cos 0x x -> 把7sin cos 13x x +=-两边平方得4912sin cos 169x x =＋ 即1202sin cos 169x x =-∴2289sin cos 12sin cos 169()x x x x --== 即17sin cos 13x x -=联立7sin cos ,1317sin cos ,13x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得5sin 13x =12cos 13x =-∴22cos 2sin 13x x -=- . 12．(1)π4A =； (2)92.【分析】（1）根据给定条件，再利用正弦定理边化角，借助同角公式计算作答.（2）利用余弦定理求出b ，再利用三角形面积公式计算作答. （1）在ABC 中，由cos sin ,c A B c ==得：cos sin b A a B =，由正弦定理得sin cos sin sin B A A B = 而0πB <<，即sin 0B >，则tan 1B =，又0πA << 所以π4A =. （2）依题意，13AD AB ==，在ACD △中，由余弦定理得：2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅即222255299b b b b =+-=，解得3b =所以ABC 的面积21π9sin sin 242ABCSbc A ===.13．(1)最小值-1，最大值1 (2)【分析】(1) 由三角函数的图象和性质求出函数解析式，根据2[,]32x ππ∈--结合正弦函数图象和性质求其值域即可 (2) 由12(),(0)21234f ππαα-=<<可求1sin 3α=利用同角三角函数关系及诱导公式即可求值.【详解】（1）由题图知，,T π=于是22Tπω== 将sin 2y A x =的图像向左平移12π个单位长度，得到sin(2)y A x φ=+的图像. 因为||2πφ<，所以2126ππφ=⨯=，将(0,1)代入sin(2)6y A x π=+，得2A = 故()2sin(2)6f x x π=+.因为232x ππ-≤≤-，所以752666x πππ-≤+≤- 所以11sin(2),262x π-≤+≤所以1()1f x -≤≤即min max ()1,()1f x f x =-=.（2）因为()2sin(2),6f x x π=+且12(),2123f πα-=所以22sin 3α=，即1sin 3α=.又因为04πα<<，所以cos α==所以222cos sin 2()2cos sin 22cos cos sin cos sin ααπααααααα-+-===--【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的图象及性质，三角函数值域的求法，同角三角函数的关系及诱导公式，属于中档题． 14．5665【分析】由于()3442πππβααβ⎛⎫⎛⎫+--=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则先利用两角和的余弦公式进行求解，接着再利用诱导公式即可得到答案 【详解】解：∵04πβ<<3344ππβπ∴<+<∵35sin 413πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴312cos 413βπ⎛⎫+=-⎪⎝⎭ ∵344ππα<<，∴344ππα-<-<- ∴024ππα-<-<∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴4sin 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴333cos cos cos sin sin 444444ππππππβαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦123545613513565⎛⎫=-⨯+⨯-=- ⎪⎝⎭ ∵()()3cos cos sin 442πππβααβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤+--=++=-+⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ∴()56sin 65αβ+=. 15．证明见解析【分析】从左边开始，将式子变形为(sin cos 1)(sin cos 1)(sin cos 1)(sin cos 1)αααααααα-++++-++，进而将式子化简，结合同角三角函数的平方关系进行变形，最后证得答案. 【详解】左边(sin cos 1)(sin cos 1)(sin cos 1)(sin cos 1)αααααααα-+++=+-++222(sin 1)cos (sin cos )1αααα+-=+- ()()2222sin 2sin 11sin sin cos 2sin cos 1ααααααα++--=++-22sin 2sin 12sin cos 1αααα+=+- 2sin (sin 1)1sin 2sin cos cos αααααα++===右边所以原等式成立. 16．(1)证明见解析(2)15【分析】（1）由已知可得()()2sin 3sin αβαβ-=+，然后利用两角和与差的正弦公式化简后，整理，再根据同角三角函数的关系化为正切即可得结论，或对已知式子利用两角和与差的正弦公式展开，可求出5sin cos 12αβ=，1cos sin 12αβ=-两式相除可得结论（2）结合两角差的正切公式的变形公式化简，再将（1）中的结论代入可求得结果 （1） 方法一：由条件()1sin 2αβ-=()1sin 3αβ+= 则()()2sin 3sin αβαβ-=+即2sin cos 2cos sin 3sin cos 3cos sin αβαβαβαβ-=+ 整理得sin cos 5cos sin αβαβ=-也即tan 5tan αβ=-，tan 5tan 0αβ+=得证． 方法二：由条件()1sin 2αβ-=()1sin 3αβ+= 即1sin cos cos sin 2αβαβ-= 1sin cos cos sin 3αβαβ+= 得5sin cos 12αβ=1cos sin 12αβ=-从而可得tan 5tan αβ=- tan 5tan 0αβ+=得证．（2）由于()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ⇒-=-+所以原式()()2tan tan tan tan tan αβαβααβ--+=-()()()()2tan tan 1tan tan tan tan αβαβαβααβ---+=-()()2tan tan tan tan 1tan tan tan 5αβαββααβα--⋅==-=- 17．13 32【分析】首先根据两角和的正切公式求解1tan 3α=，接着利用三角恒等变换将2sin 2cos αα+转化成22tan 1tan 1αα++，代入计算即可.【详解】因为tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以1tan 21tan αα+=- 解得1tan 3α=；又2222222sin 2cos 2sin cos cos sin 2cos sin cos sin cos ααααααααααα+++==++ 分子分母同除以cos α得2221212tan 133sin 2cos 1tan 12()13αααα⨯+++===++. 故答案为：13 32【点睛】熟练应用三角恒等变换公式及变换技巧，是三角恒等变换中必须要掌握的本领.。
第五章 三角函数【章节复习专项训练】(解析版)
第五章三角函数【章节复习专项训练】【考点1】：任意角和弧度制例题1．下列说法中，错误的是（）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1的角是周角的1360，1rad 的角是周角的12πC ．1rad 的角比1的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【答案】D 【分析】根据角度和弧度的定义可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，A 选项正确；对于B 选项，1的角是周角的1360，1rad 的角是周角的12π，B 选项正确；对于C 选项，11180π=<，C 选项正确；对于D 选项，用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关，D 选项错误.故选：D.【点睛】本题考查角度制与弧度制相关概念的判断，属于基础题.【变式1】5弧度的角的终边所在的象限为（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【分析】利用轴间角的弧度数判断．【详解】因为3522ππ<<，所以5弧度的角的终边在第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查象限角的概念，判断象限角，一般可把角化为2k πα+（k Z ∈，02απ≤<）形式，然后由α的象限得结论．注意轴间角的弧度数．【变式2】下列各角中，与2019°终边相同的角为（）A ．41°B ．129°C ．219°D ．﹣231°【答案】C 【分析】根据20195360219=⨯+可得答案.【详解】因为20195360219=⨯+，所以219与2019°终边相同.故选：C.【点睛】本题考查了求终边相同的角，属于基础题.【变式3】下列命题中正确的是（）．A ．第一象限角一定不是负角B ．小于90°的角一定是锐角C ．钝角一定是第二象限角D ．终边和始边都相同的角一定相等【答案】C 【分析】根据角的定义判断各选项．【详解】300︒-为第一象限角且为负角，故A 错误；5090-︒<︒，但50︒-不是锐角，故B 错误；终边与始边均相同的角不一定相等，它们可以相差360,k k Z ︒⋅∈，故D 错误．钝角一定是第二象限角，C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查角的定义，考查象限角、正角、负角等概念，属于基础题．【变式4】将300o 化为弧度为（）A ．43πB ．53πC ．76πD ．74π【答案】B 【分析】由180π︒=弧度进行转化．【详解】53003001803ππ︒=⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查角度与弧度的转化，解题关键是掌握弧度的定义，掌握转化公式：1180π︒=弧度．1弧度180π︒⎛⎫= ⎪⎝⎭．【考点2】：三角函数的概念例题1．若角α的终边经过点(5,12)P -，则sin tan αα+的值为A ．125-B ．513C ．9665-D ．1213-【答案】C 【分析】利用三角函数的定义求出sin α、tan α即可求解.【详解】由角α的终边经过点(5,12)P -，则12sin 13α==，1212tan 55α==--，所以121296sin tan 13565αα+=-=-.故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键，考查了基本运算能力，属于基础题.【变式1】若角α的终边经过点(,3)P m -，且4cos 5α=-，则m 的值为（）．A ．114-B ．114C ．4-D ．4【答案】C 【分析】利用余弦函数的定义列式求解即可.【详解】因为角α的终边经过点(,3)P m -，所以4cos 5α==-，所以0m <，解得4m =-，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的基本定义，属于基础题.【变式2】已知角α的终边经过点()1,P m ，且sin α=cos α=（）A ．10±B ．10-C ．10D ．13【答案】C 【分析】根据三角函数定义列方程，解得m ，再根据三角函数定义求结果.【详解】由三角函数定义得sin 0,3m m α==<=-由三角函数定义得cos 10α==故选：C 【点睛】本题考查三角函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题.【变式3】已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α在第几象限（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【分析】由P 所在的象限有tan 0,cos 0αα<<，即可判断α所在的象限.【详解】∵点(tan ,cos )P αα在第三象限，∴tan 0,cos 0αα<<，则角α在第二象限故选：B【变式4】．已知A 是三角形的一个内角，且7sin cos 13A A +=，则这个三角形的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【答案】C 【分析】由已知等式，两边平方得4912sin cos 169A A +=，进而确定sin cos A A 的符号，结合三角形内角的性质判断sin ,cos A A 的符号，即可判断三角形的形状.【详解】将7sin cos 13A A +=平方，可得4912sin cos 169A A +=，∴sin cos 0A A <，由A 是三角形的一个内角，∴sin 0,cos 0A A ><，A 是钝角．故选：C.【考点3】：诱导公式例题1．sin 1665°的值为（）A BC ．－2D ．2【答案】A 【分析】先用诱导公式化简再求值.【详解】()()sin1665sin 4360225sin 225sin 18045sin 45︒=⨯︒+︒=︒=+︒=-︒=故选:A【变式1】已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ()2πβ+＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝（）A ．5B ．377C ．D ．13【答案】C 【分析】根据诱导公式化简可得3sin 2tan 50tan 6sin 10βααβ-+=⎧⎨--=⎩，消去sin β可得tan α＝3，结合sin 2α＋cos 2α＝1，以及α为锐角，可得结果.【详解】由已知得3sin 2tan 50tan 6sin 10βααβ-+=⎧⎨--=⎩，消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝10(α为锐角).故选：C.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了商数关系式，考查了平方关系式，属于基础题.【变式2】设α∈R ，则下列结论中错误的是（）A ．sin()sin παα+=-B ．cos()cos ααπ-=-C ．cos()sin 2παα+=-D ．tan()tan απα--=【答案】D 【分析】根据诱导公式，二：πα+，三：α-，四：πα-，六：2πα+与角α的相关三角函数间的等量关系，即可知各选项的正误【详解】根据诱导公式公式二，有sin()sin παα+=-公式四，有cos()cos ααπ-=-公式六，有cos()sin 2παα+=-公式二、三，有tan()tan()tan αππαα--=-+=-故选：D 【点睛】本题考查了诱导公式，根据诱导公式判断相关三角函数的等式是否成立【变式3】若1sin()2A π+=-，则3cos 2A π⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A ．12-B ．12C ．D ．32【答案】A 【分析】运用诱导公式化简已知等式，再利用诱导公式进行求解即可.【详解】∵1sin()sin 2A A π+=-=-，∴1sin 2A =，∴31cos cos cos sin 2222A A A A ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A.【变式4】已知3sin()5πα+=，且α是第四象限角，则cos(2)απ-的值为（）A ．45-B ．45C ．45±D ．35【答案】B 【分析】由诱导公式知sin()sin παα+=-、cos(2)cos απα-=，结合同角三角函数的平方关系以及α是第四象限角，即可求cos(2)απ-.【详解】由3sin()sin 5παα+=-=，即3sin 5α=-又cos(2)cos(2)cos αππαα-=-=，α是第四象限角，∴4cos 5α=.故选：B【考点4】：三角函数的图像与性质例题1．函数12tan(23y x π=-++的单调递增区间是（）A ．5(2,2)33k k ππππ-+，k Z ∈B ．5(2,2)33k k ππππ-+，k Z ∈C ．5(,)33k k ππππ-+，k Z ∈D ．5(,)33k k ππππ-+，k Z ∈【答案】A 【分析】根据正切函数的图象与性质，令1,2232k x k k Z πππππ-+<+<+∈，即可求得函数的递增区间，得到答案.【详解】由题意，令1,2232k x k k Z πππππ-+<+<+∈，解得522,33k x k k Z ππππ-<<+∈，所以函数12tan()23y x π=-++的单调递增区间为5(2,2),33k k k Z ππππ-+∈.故选：A.【变式1】在[0,2π]上，满足1sin 2x 的x 的取值范围是（）A ．π[0,6B ．π5π[,]66C ．π2π[,]63D ．5π[,π]6【答案】B 【分析】根据y sinx =的函数图象结合特殊角的三角函数值，即可容易求得结果.【详解】根据sin y x =的图象可知：当1sin 2x =时，π6x =或5π6，数形结合可知：当1sin 2x ，得π5π66x ．故选：B .【点睛】本题考查利用三角函数的图象解不等式，属简单题.【变式2】在(0，2π)内，使tan x ＞1成立的x 的取值范围为（）A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．53,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭53,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭∪53,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】由正切函数的图像和性质可知，当tan x ＞1时，,24k x k k z ππππ+>>+∈，再结合x ∈(0，2π)，可求得答案【详解】由tan x >1，可得,24k x k k z ππππ+>>+∈.再根据x ∈(0，2π)，求得x ∈,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭∪53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选：D.【点睛】此题考查正切函数的性质，利用其性质解不等式，属于基础题.【变式3】函数()()sin 0,0,y A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图像如图所示，则该函数的解析式为（）A ．22sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2sin 23x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】根据图象求出,,A ωϕ即可得到函数解析式.【详解】显然2A =，因为5212122T πππ=+=，所以T π=，所以222T ππωπ===，由(212f π-=得2sin[2(]212πϕ⨯-+=，所以2,62k ππϕπ-+=+k Z ∈，即223k πϕπ=+，k Z ∈，因为0||ϕπ<<，所以23ϕπ=，所以2()2sin(2)3f x x π=+.故选：A 【点睛】本题考查了根据图象求函数解析式，利用周期求ω，代入最高点的坐标求ϕ是解题关键，属于基础题.【变式4】函数()tan 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】直接利用函数()tan y x ωϕ=+的周期公式T πω=求解.【详解】函数()tan 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是22T ππ==，故选：B ．【点睛】本题主要考查正切函数的周期性，还考查了运算求解的能力，属于基础题．【考点5】：三角恒等变换例题1．cos104sin 80sin10-=AB．CD．3-【答案】B 【详解】试题分析：原式cos104cos10sin10︒=︒-︒2sin 20cos10sin10︒-︒=︒()2sin 3010cos10sin10︒-︒-︒=︒=考点：三角恒等变换.【变式1】已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π1tan 47α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么sin cos αα+的值为（）．A ．15-B ．75C ．75-D ．34【答案】A 【解析】∵πtan 11tan 41tan 7ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，∴3tan 4α=-，又∵π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4cos 5α=-，3sin 5α=，∴1sin cos 5αα+=-．故选A ．点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一般sin cos sin cos αααα+-，，sin *cos αα，这三者我们成为三姐妹，结合22sin cos 1αα+=，可以知一求三.【变式2】cos 45cos15sin 45sin15︒︒︒︒-的值为（）A 32B ．12C ．1D ．0【答案】B 【分析】利用两角和的余弦可得正确的选项.【详解】由两角和余弦公式可得1cos 45cos15sin 45sin15cos 602-︒︒=︒=︒︒，故选：B【变式3】函数22cos sin y x x =-的最小值是（）A ．0B ．1C ．12D ．1-【答案】D 【分析】利用二倍角的余弦公式以及三角函数的性质即可求解.【详解】22cos sin cos 2y x x x =-=，所以22cos sin y x x =-的最小值为-1故选：D【变式4】如果()2tan 5αβ+=，π1tan 44β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么1tan 1tan αα+-的值为（）A ．1316B ．322C ．1322D ．316【答案】B 【分析】化简1tan 1tan αα+-()πtan 4αββ⎡⎤⎛⎫=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用差角的正切公式化简得解.【详解】1tan πtan 1tan 4ααα+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭()πtan 4αββ⎡⎤⎛⎫=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()πtan tan 4π1tan tan 4αββαββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭322=.故选：B 【点睛】本题主要考查和角差角的正切，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.【考点6】：函数)sin(ϕω+=x A y例题1．将函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，则所得函数图象的解析式为（）A ．22sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．2sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】根据三角函数的伸缩变换原则，可直接得出结果.【详解】函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得函数图像的解析式为2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：D ．【点睛】本题主要考查求三角函数图像变换后的解析式，属于基础题型.【变式1】将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移(02)ϕϕπ<<个单位后得到的图象关于直线12x π=对称，则ϕ的最大值为（）A ．116πB ．53πC ．2312πD ．43π【答案】A 【分析】平移后所得三角函数为()2sin 223f x x πϕϕ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，又因为关于平移后图像关于12x π=对称，所以()32k k Z ππϕ=+∈，再根据ϕ的取值范围，即可得解.【详解】∵()2sin 223f x x πϕϕ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，∴22()1232k k Z πππϕπ⨯-+=+∈，∴()32k k Z ππϕ=+∈，∵02ϕπ<<，∴max 116πϕ=．故选：A.【点睛】本题考查了三角函数的平移变换，考查了三角函数的最值问题，有一定的计算量，属于基础题.【变式2】将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后得到的图象解析式为（）A ．sin 2y x=B ．cos 2y x=C ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】根据三角函数图象平移变换特点，即可得解.【详解】将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，可得sin 2sin 2cos 2662y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.【点睛】本题考查了三角函数图象平移变换，属于基础题.【变式3】要得到函数sin 3y x =的图象，只需将函数()sin 33y x =-的图象上的所有点沿x 轴A ．向右平移1个单位长度B ．向左平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度【答案】C 【解析】分析:将函数()sin 33y x =-的解析式化简和函数sin3y x =的解析式比较，即得解.详解: sin3y x =因为=sin[3(x+1)-3]，所以要得到函数sin3y x =的图象，只需将函数()sin 33y x =-的图象上的所有点沿x 轴向左平移1个单位长度.点睛：（1）本题主要考查三角函数图像的变换，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)函数图像的平移变换：左加右减，把函数()y f x =向左平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=+的图像，把函数()y f x =向右平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=-的图像.【变式4】要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【详解】试题分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（2x+）的图象，故选B考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．。
全国通用版高中数学第五章三角函数专项训练题
(名师选题)全国通用版高中数学第五章三角函数专项训练题单选题1、已知sinθ=45，则sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)=（ ）A ．−169B ．169C ．−43D ．43 答案：B分析：由诱导公式和同角关系sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)可化为sin 2θcos 2θ，再由同角关系由sinθ求出cos 2θ，由此可得结果.∵ sinθ=45，∴ cos 2θ=1−sin 2θ=925 则sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)=sinθ(−sinθ)(−cosθ)cosθ=sin 2θcos 2θ=169，故选：B.2、已知函数f (x )=2sin 2(π4+x)−√3cos2x ．若关于x 的方程f (x )−m =2在x ∈[π4,π2]上有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[12,2√2]B ．[√22,√2] C ．[0,1]D ．[√22,2]答案：C分析：求出函数f (x )在[π4,π2]上的值域后可求实数m 的取值范围.f (x )=2×1−cos (π2+2x)2−√3cos2x=1+sin2x−√3cos2x=2sin(2x−π3)+1,当x∈[π4,π2]时，π6≤2x−π3≤2π3，所以12≤sin(2x−π3)≤1，故f(x)的值域为[2,3]，因为f(x)−m=2在x∈[π4,π2]上有解即f(x)=m+2在x∈[π4,π2]上有解，故2≤m+2≤3即0≤m≤1，故选：C.3、若f(x)=cos(x−π3)在区间[−a,a]上单调递增，则实数a的最大值为（）A．π3B．π2C．2π3D．π答案：A分析：先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可.易知将函数y=cosx的图象向右平移π3得到函数f(x)=cos(x−π3)的图象，则函数f(x)=cos(x−π3)的增区间为[−23π+2kπ,π3+2kπ](k∈Z)，而函数又在[−a,a]上单调递增，所以{−a≥−23πa≤π3⇒a≤π3，于是0<a≤π3，即a的最大值为π3.故选：A.4、《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为π4m，肩宽约为π8m，“弓”所在圆的半径约为54m，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）（）A ．1.012mB ．1.768mC ．2.043mD ．2.945m 答案：B分析：由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.如图所示，由题意知“弓”所在的弧ACB ⌢ 的长l =π4+π4+π8=5π8，其所对圆心角α=5π854=π2，则两手之间的距离|AB |=2|AD |=2×54×sin π4≈1.768(m )． 故选：B ．5、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m ，筒车转轮的中心O 到水面的距离为2m ，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即P 0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .设盛水筒M 从点P 0运动到点P 时所经过的时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ），则点P 第一次到达最高点需要的时间为（ ）s .A ．2B ．3C ．5D ．10 答案：C分析：设点P 离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt +φ)+2，根据题意求出A,ω,φ，再令ℎ(t)=6可求出结果. 设点P 离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt +φ)+2， 依题意可得A =4，ω=8π60=2π15，φ=−π6，所以ℎ(t)=4sin(2π15t −π6)+2，令ℎ(t)=4sin(2π15t −π6)=6，得sin(2π15t −π6)=1，得2π15t −π6=2kπ+π2，k ∈Z ， 得t =15k +5，k ∈Z ，因为点P 第一次到达最高点，所以0<t <2π2π15=15，所以k =0,t =5s . 故选：C6、若函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则ω=（ ）．A ．1B ．32C ．2D ．3答案：B分析：根据f (π3)=1以及周期性求得ω.依题意函数f(x)=sinωx (ω>0)，在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减， 则{f (π3)=sin π3ω=1T 2=πω≥π3 ，即{π3ω=2kπ+π2,k ∈Z 0<ω≤3 ，解得ω=32.故选：B7、将函数y =2sin (x +π3)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ） A ．π12B ．π6C ．π3D ．2π3 答案：D分析：由三角函数平移变换可得平移后函数为y =2sin (x +m +π3)，根据对称性得到m +π3=kπ(k ∈Z )，结合m >0可得所求最小值.将y =2sin (x +π3)向左平移m (m >0)个单位长度得：y =2sin (x +m +π3)， ∵y =2sin (x +m +π3)图象关于原点对称，∴m +π3=kπ(k ∈Z )，解得：m =−π3+kπ(k ∈Z )，又m >0， ∴当k =1时，m 取得最小值2π3. 故选：D.8、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（ ） A ．5−1sin1B ．1sin1+32C ．5sin11+sin1D ．5+51+sin1答案：C分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r 的等式，由此求解出r 的值.设扇形的半径为R ，圆心角为α，面积为S ，因为2R +αR =20， 所以S =12αR 2=(10−R )R ≤(10−R+R 2)2=25，取等号时10−R =R ，即R =5，所以面积取最大值时R =5,α=2， 如下图所示：设内切圆圆心为O ，扇形过点O 的半径为AP ，B 为圆与半径的切点， 因为AO +OP =R =5，所以r +r sin∠BPO=5，所以r +r sin1=5，所以r =5sin11+sin1， 故选：C.9、已知α，β为锐角，sinα=45，cos(α+β)=−√22，则cosβ=（ ）A ．3√210B ．√210C ．7√210D ．9√210答案：B分析：利用同角三角函数基本关系式，求出cosα,sin(α+β)，再利用角变换β=α+β−α，利用两角差的余弦公式求得答案．由α是锐角，sinα=45，则cosα=√1−sin 2α=35， 又α，β是锐角，得α+β∈(0,π)， 又cos (α+β)=−√22，则sin(α+β)=√22， 则cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−√22×35+√22×45=−3√2+4√210= √210. 故选：B ．10、在0∘~360∘范围内，与−70∘终边相同的角是（）A．70∘B．110∘C．150∘D．290∘答案：D解析：根据终边相同的角的定义即可求解.与−70∘终边相同的角的为−70∘+360∘⋅k(k∈Z)，因为在0∘~360∘范围内，所以k=1可得−70∘+360∘=290∘，故选：D.11、把函数f(x)=sin(2x−π4)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再把所得的图象向左平移a(a>0)个单位长度，得到函数y=cosx的图象，则a可以是（）A．π8B．π4C．π2D．3π4答案：D分析：根据三角函数的图象变换得到y=sin(x+a−π4)，得到sin(x+a−π4)=cosx，结合选项，逐项判定，即可求解.由题意，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变可得函数y=sin(x−π4)的图象，将该图象向左平移a(a>0)个单位长度，得到y=sin(x+a−π4)的图象，所以sin(x+a−π4)=cosx，对于A中，当a=π8时，sin(x+π8−π4)=sin(x−π8)≠cosx，故A错误；对于B中，当a=π4时，sin(x+π4−π4)=sinx≠cosx，故B错误；对于C中，当a=π2时，sin(x+π2−π4)=sin(x+π4)≠cosx，故C错误；对于D中，当a=3π4时，sin(x+3π4−π4)=sin(x+π2)=cosx，故D正确．故选：D．12、在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第x天时太阳直射点的纬度值为y，该科研小组通过对数据的整理和分析.得到y与x近似满足y=23.4392911sin0.01720279x.则每1200年中，要使这1200年与1200个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为（）（精确到1）参考数据π0.01720279≈182.6211A．290B．291C．292D．293答案：B分析：设闰年个数为x，根据闰年个数对应天数一致的原则建立关系式366x+365(1200−x)=365.2422×1200，求解x即可.解：T=2πω=2π0.01720279=2×182.6211=365.2422，所以一个回归年对应的天数为365.2422天假设1200年中，设定闰年的个数为x，则平年有1200−x个，所以366x+365(1200−x)=365.2422×1200解得：x=0.2422×1200=290.64.故选：B.填空题13、已知f(x)=sinx−3ax3+3bx−3，x∈R且f(−2π3)=−4，则f(2π3)的值为______．答案：−2分析：结合函数的奇偶性求得f(2π3)的值.由f(x)=sinx−3ax3+3bx−3，令g(x)=sinx−3ax3+3bx，g(−x)=−g(x)，g(x)为奇函数，f(x)=g(x)−3，由f(−2π3)=−4，得g(−2π3)−3=−4，则g (−2π3)=−1，g (2π3)=−g (−2π3)=1，f (2π3)=g (2π3)−3=−2． 所以答案是：−2 14、已知cos(θ+π6)=−√33,则sin(π6−2θ)=__．答案：−13分析：根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果. ∵cos(θ+π6)=−√33， ∴sin(π6−2θ) =cos[π2−(π6−2θ)] =cos(2θ+π3)=cos[2(θ+π6)]=2cos 2(θ+π6)−1 =2×(−√33)2−1=−13.所以答案是：−13.15、若α∈(0,π2)，且cos 2α+cos(π2−2α)=710，则tan2α=____ 答案：−34分析：利用诱导公式、二倍角正弦公式，将题设条件转化为1+2tanαtan 2α+1=710，结合角的范围求tanα值，再应用二倍角正切公式求tan2α即可.∵cos 2α+cos(π2−2α)=cos 2α+sin2α=cos 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=1+2tanαtan 2α+1=710，∴tanα=3或tanα=−17，又α∈(0,π2)，∴tanα=3，则tan2α=2tanα1−tan 2α=−34． 所以答案是：−3416、计算：sin330°+cos240°=______． 答案：－1分析：利用诱导公式进行化简，再由特殊角的三角函数值求值，即可求解． 解：sin330°+cos240°=sin(360°−30°)+cos(180°+60°)=sin(−30°)−cos60°=−12−12=−1． 所以答案是：−1 17、已知sin (α+π4)=√66，α∈(0,π)，则cos (2α+π6)=__________．答案：2−√156解析：构造角2α+π6=2(α+π4)−π3，求cos (α+π4)，再用两角和的余弦公式及二倍公式打开. ∵α∈(0,π),α+π4∈(π4,5π4)，sin (α+π4)=√66<√22，∴cos (α+π4)=−√306，cos2(α+π4)=2cos 2(α+π4)−1=23，sin2(α+π4)=2sin (α+π4)⋅cos (α+π4)=−√53， cos (2α+π6)=cos [2(α+π4)−π3]=cos2(α+π4)cos π3+sin2(α+π4)sin π3=23×12+(−√53)×√32=2−√156所以答案是：2−√156小提示：本题是给值求值题，关键是构造角，应注意的是确定三角函数值的符号. 解答题18、已知角α是第三象限角，tanα=12. （1）求sinα,cosα的值； （2）求1+2sin(π−α)cos(−2π−α)sin 2(−α)−sin 2(5π2−α)的值.答案：（1）{sinα=−√55cosα=−2√55；（2）−3.解析：（1）根据tanα=sinαcosα=12，以及 sin 2α+cos 2α＝1，结合范围求得sinα、cosα的值； （2）利用诱导公式与同角的三角函数关系，把正弦、余弦的比值化为正切tanα，代入正切值即求得结果． 解：（1）tanα=sinαcosα=12，sin 2α+cos 2α＝1，∴{sinα=√55cosα=2√55 或{sinα=−√55cosα=−2√55 ，而角α是第三象限角，则sinα<0,cosα<0，故{sinα=−√55cosα=−2√55； （2）1+2sin(π−α)cos(−2π−α)sin 2(−α)−sin 2(5π2−α) =1+2sinαcos(−α)(−sinα)2−sin 2(π2−α)=1+2sinαcosαsin 2α−cos 2α =sin 2α+cos 2α+2sinαcosαsin 2α−cos 2α =(sinα+cosα)2(sinα+cosα)(sinα−cosα)=sinα+cosαsinα−cosα=tanα+1tanα−1. ∵tanα=12，∴原式=12+112−1=−3.小提示：方法点睛：已知正切值化简求值时，通过整理式子使其分子分母的弦的次数相同，通过同时除以同次的余弦，进行弦化切的转化，代入计算即可.19、函数f(x)=Asin(πx +φ),x ∈R （其中A >0,0≤φ≤π2）部分图象如图所示，P(13,A)是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；(2)若∠PMN +∠PNM =π4，求A 的值．答案：(1)2；φ=π6； (2)A =√72−1.分析：（1）利用f(x)的解析式求出周期，再由给定的最高点P 求出φ作答.（2）由（1）求出点M ，N 的坐标，结合图形求出∠PMN 和∠PNM 的正切，再利用和角公式计算作答.（1）函数f(x)=Asin(πx +φ)的最小正周期T =2ππ=2， 因P(13,A)是函数f(x)图象的最高点，则13π+φ=2k π+π2,k ∈Z ，而0≤φ≤π2，有k =0，φ=π6， 所以函数f(x)的最小正周期为2，φ=π6. （2）由（1）知，f(x)=Asin(πx +π6)，由πx +π6=0得x =−16，即点M(−16,0)，由πx +π6=2π得x =116，即点N(116,0)， 于是得tan∠PMN =A 13−(−16)=2A ，tan∠PNM =A 116−13=23A ，而∠PMN +∠PNM =π4， 则tan(∠PMN +∠PNM)=tan∠PMN+tan∠PNM 1−tan∠PMN⋅tan∠PNM =2A+23A 1−2A⋅23A =1，又A >0，解得A =√72−1， 所以A =√72−1.20、用弹簧挂着的小球做上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由下列关系式确定：ℎ=2sin (t +π4)．以t 为横坐标，h 为纵坐标，作出这个函数在[0,2π]上的图象，并回答下列问题． (1)小球在开始振动时（即t =0时）的位置在哪里？(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？(3)经过多长时间小球往复运动一次？(4)每秒钟小球能往复运动多少次？答案：(1)小球在开始振动时在距离平衡位置√2厘米处(2)都是2厘米(3)2π秒(4)12π分析：（1）作出函数图象，t=0代入函数式计算可得；（2）由图象可得最高点和最低点对应的值；（3）由图象可得一个周期的时间；（4）用1除以周期可得．(1)函数ℎ=2sin(t+π4)在[0,2π]上的图象如图．当t=0时，ℎ=2sinπ4=√2（厘米），即小球在开始振动时在距离平衡位置√2厘米处．(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2厘米．(3)小球往复运动一次就是一个周期，易知T=2π秒，即经过2π秒往复运动一次．(4)每秒钟往复运动的次数f=1T =12π．。
高中数学第五章三角函数必须掌握的典型题(带答案)
高中数学第五章三角函数必须掌握的典型题单选题1、将函数y =2sin (x +π3)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ） A ．π12B ．π6C ．π3D ．2π3 答案：D分析：由三角函数平移变换可得平移后函数为y =2sin (x +m +π3)，根据对称性得到m +π3=kπ(k ∈Z )，结合m >0可得所求最小值.将y =2sin (x +π3)向左平移m (m >0)个单位长度得：y =2sin (x +m +π3)， ∵y =2sin (x +m +π3)图象关于原点对称，∴m +π3=kπ(k ∈Z )，解得：m =−π3+kπ(k ∈Z )，又m >0， ∴当k =1时，m 取得最小值2π3. 故选：D.2、已知tanα=−2，则2sinα+cosαcosα−sinα=（ ） A ．−4B ．−12C ．−1D ．−13答案：C分析：利用齐次化可求三角函数式的值.2sinα+cosαcosα−sinα=2tanα+11−tanα=−4+11−(−2)=−1，故选：C ．3、把函数f (x )=sin (2x −π4)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再把所得的图象向左平移a(a >0)个单位长度，得到函数y =cosx 的图象，则a 可以是（ ） A ．π8B ．π4C ．π2D ．3π4 答案：D分析：根据三角函数的图象变换得到y=sin(x+a−π4)，得到sin(x+a−π4)=cosx，结合选项，逐项判定，即可求解.由题意，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变可得函数y=sin(x−π4)的图象，将该图象向左平移a(a>0)个单位长度，得到y=sin(x+a−π4)的图象，所以sin(x+a−π4)=cosx，对于A中，当a=π8时，sin(x+π8−π4)=sin(x−π8)≠cosx，故A错误；对于B中，当a=π4时，sin(x+π4−π4)=sinx≠cosx，故B错误；对于C中，当a=π2时，sin(x+π2−π4)=sin(x+π4)≠cosx，故C错误；对于D中，当a=3π4时，sin(x+3π4−π4)=sin(x+π2)=cosx，故D正确．故选：D．4、《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约π4m，肩宽约为π8m，“弓”所在圆的半径约为1.25m，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为（）A．π2m B．5√24m C．5π8m D．2m答案：B分析：由题意知这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长．由题得：弓所在的弧长为：l=π4+π4+π8=5π8；所以其所对的圆心角α=5π854=π2；∴两手之间的距离d=2Rsinπ4=√2×1.25AB=5√24m．故选：B5、若y=f(x)的图像与y=cosx的图象关于x轴对称，则y=f(x)的解析式为（）A．y=cos(−x)B．y=−cosxC．y=cos|x|D．y=|cosx|答案：B分析：根据f(−x)、−f(x)、f(|x|)与|f(x)|的图象特征依次判断即可得到结果.对于A，y=cos(−x)=cosx，图象与y=cosx重合，A错误；对于B，∵y=f(x)与y=−f(x)图象关于x轴对称，∴y=−cosx与y=cosx图象关于x轴对称，B正确；对于C，当x≥0时，y=cos|x|=cosx，可知其图象不可能与y=cosx关于x轴对称，C错误；对于D，将y=cosx位于x轴下方的图象翻折到x轴上方，就可以得到y=|cosx|的图象，可知其图象与y= cosx的图象不关于x轴对称，D错误.故选：B.6、将函数f(x)=sin(2x+π6)的图象分别向左、向右平移φ(φ>0)个单位后，所得的图象都关于y轴对称，则φ的最小值分别为（）A．π6，π3B．π3，π6C．2π3，5π6D．π6，π12答案：A分析：根据给定条件写出平移后的解析式，再借助对称性求出φ满足的关系即可推理作答.函数f(x)的图象向左平移φ个单位得到函数g(x)=sin(2x+2φ+π6)的图象，因g(x)图象关于y 轴对称，则2φ+π6=π2+kπ,k ∈Z ，即φ=π6+kπ2,k ∈Z ，而φ>0，则φmin =π6，向右平移φ个单位得函数ℎ(x)=sin(2x −2φ+π6)的图象，函数ℎ(x)关于y 轴对称， 则有−2φ+π6=π2+kπ,k ∈Z ，即φ=−π6−kπ2,k ∈Z ，而φ>0，则φmin =π3，所以φ的最小值分别为π6，π3.故选：A7、在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β的顶点均与原点O 重合，始边均与x 铀的非负半轴重合，它们的终边关于y 轴对称，若cosα=23，则cosβ=（ ）A ．−√53B ．−23C ．23D ．√53答案：B分析：根据三角函数的定义可求. 设α的终边上有一点(x,y )，则cosα=22=23，因为角α和角β的终边关于y 轴对称，则(−x,y )是角β终边上一点， 所以cosβ=22=−23. 故选：B. 8、已知sinα=2√67，cos (α−β)=√105，且0<α<3π4，0<β<3π4，则sinβ=（ ）A ．9√1535B ．11√1035C ．√1535D ．√1035答案：A解析：易知sinβ=sin(α−(α−β))，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosα和sin (α−β)，分别在sin (α−β)=√155和−√155两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sinβ，结合β的范围可确定最终结果. ∵sinα=2√67<√22且0<α<3π4，∴0<α<π4，∴cosα=√1−sin 2α=57.又0<β<3π4，∴−3π4<α−β<π4，∴sin (α−β)=±√1−cos 2(α−β)=±√155. 当sin (α−β)=√155时，sinβ=sin(α−(α−β))=sinαcos (α−β)−cosαsin (α−β)=2√67×√105−57×√155=−√1535， ∵0<β<3π4，∴sinβ>0，∴sinβ=−√1535不合题意，舍去； 当sin (α−β)=−√155，同理可求得sinβ=9√1535，符合题意.综上所述：sinβ=9√1535.故选：A .小提示：易错点睛：本题中求解cosα时，易忽略sinα的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cosα的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误. 多选题9、已知α∈R ，sinα+2cosα=√102，那么tanα的可能值为（ ） A ．−3B ．−13C ．13D ．3答案：BD分析：由条件，结合sin 2α+cos 2α=1，求得sinα,cosα，从而求得tanα. 解析：因为sinα+2cosα=√102①，又sin 2α+cos 2α=1②， 联立①②，解得{cosα=3√1010sinα=−√1010或{cosα=√1010sinα=3√1010， 因为α∈R ，所以tanα=sinαcosα=−13或3. 故选：BD10、下列等式成立的是（ ） A ．cos 215°−sin 215°=√32B ．sin π8cos π8=√24C ．12sin40°+√32cos40°=sin70°D ．tan15°=2−√3答案：ABD分析：利用辅助角公式以及二倍角公式即可求解. 对于A ，cos 215°−sin 215°=cos (15°+15°)=cos30°=√32，故A 正确；对于B ，sin π8cos π8=12sin π4=√24，故B 正确；对于C ，12sin40°+√32cos40°=sin40°cos60°+sin60°cos40°=sin (40°+60°)=sin100°=sin80°，故C 错误； 对于D ，tan15°=tan (45∘−30∘) =tan45°−tan30°1+tan45°tan30°=1−√331+√33=2−√3，故D 正确.故选：ABD11、下列结论正确的是（ ） A ．−7π6是第三象限角B ．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π2 C ．若角α的终边上有一点P (−3,4)，则cosα=−35 D ．若角α为锐角，则角2α为钝角 答案：BC分析：A 中，由象限角的定义即可判断；B 中，由弧长公式先求出半径，再由扇形面积公式即可；C 中，根据三角函数的定义即可判断；D 中，取即可判断. 选项A 中，−7π6=−2π+5π6，是第二象限角，故A 错误；选项B 中，设该扇形的半径为r ，则π3⋅r =π，∴r =3，∴S 扇形=12×π3×32=3π2，故B 正确；选项C 中，r =√(−3)2+42=5，cosα=xr =−35，故C 正确； 选项D 中，取，则α是锐角，但2α=60°不是钝角，故D 错误． 故选：BC ．12、已知0<α<β<π2，且tanα，tanβ是方程x 2−kx +2=0的两不等实根，则下列结论正确的是（ ）A ．tanα+tanβ=−kB ．tan(α+β)=−k30α=︒30α=︒C．k>2√2D．k+tanα≥4答案：BCD解析：根据题意可得tanα+tanβ=k，tanα⋅tanβ=2，再利用两角和的正切公式可判断B，利用基本不等式可判断C、D由tanα，tanβ是方程x2−kx+2=0的两不等实根，所以tanα+tanβ=k，tanα⋅tanβ=2，tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=k−1=−k，由0<α<β<π2，tanα，tanβ均为正数，则tanα+tanβ=k≥2√tanα⋅tanβ=2√2，当且仅当tanα=tanβ取等号，等号不成立k+tanα=2tanα+tanβ≥2√2tanα⋅tanβ=4，当且仅当2tanα=tanβ取等号，故选：BCD小提示：本题考查了韦达定理、两角和的正切公式、基本不等式的应用，注意验证等号成立的条件，属于基础题.13、将函数f(x)=cos2x−sin2x的图象向左平移m个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的值可能为（）A．π8B．3π8C．5π8D．7π8答案：BD分析：利用辅助角公式可得f(x)=√2cos(2x+π4)，根据图象平移有g(x)=f(x+m)，确定平移后的解析式，根据对称性得到m的表达式，即可知可能值.由题意，得：f(x)=cos2x−sin2x=√2cos(2x+π4)，图象向左平移m个单位，∴g(x)=f(x+m)=√2cos(2x+2m+π4)关于y轴对称，∴2m+π4=kπ，即m=kπ2−π8(k∈Z)，故当k=1时，m=3π8；当k=2时，m=7π8；故选：BD填空题14、设f (x )=sin (2x −2π3)，x ∈R ，若将函数y =f (x )的图像向左平移a 个单位能使其图像与原图像重合，则正实数a 的最小值为___________. 答案：π分析：根据正弦型函数图像平移法则和正弦函数性质进行解题. 解：由题意得：函数y =f (x )的图像向左平移a 个单位后得： f (x )=sin [2(x +a)−2π3]=sin(2x +2a −2π3)该函数与原函数图像重合故sin(2x +2a −2π3)=sin(2x −2π3)可知2a −2π3=2kπ−2π3(k ∈Z)，即a =kπ(k ∈Z)故当k =1时，a =π为最小正实数. 所以答案是：π15、若cosθ−2sinθ=1，则tanθ= _____. 答案：0或43分析：利用同角三角函数关系中的平方关系求解sinθ,cosθ，再利用商数关系求tanθ即可. 解：∵cosθ−2sinθ=1，则cosθ=2sinθ+1，且cos 2θ+sin 2θ=1 ∴5sin 2θ+4sinθ=0，则sinθ=0或sinθ=−45，当sinθ=0时，cosθ=2sinθ+1=1，故tanθ=sinθcosθ=0； 当sinθ=−45时，cosθ=2sinθ+1=−35，故tanθ=sinθcosθ=43； 所以tanθ=0或43.所以答案是：0或43.16、已知函数f (x )=2sin (x −π3)，将y =f (x )的图象上所有点横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移π4个单位长度，得到y =g (x )图象，若g (x )=32在[0,2π]有n 个不同的解x 1,x 2,⋯,x n ，则tan (∑x i n i=1)=__________.答案：−√3分析：根据三角函数平移伸缩变换法则求出函数y =g (x )的解析式，再利用函数的对称性即可求出在[0,2π]的解，即可得解．根据题意可知，g (x )=f [2(x +π4)]=2sin (2x +π6)，由g (x )=32得sin (2x +π6)=34，由2x +π6=π2+kπ，可得x =π6+kπ2，所以函数y =sin (2x +π6)关于x =π6+kπ2对称，因为x ∈[0,2π]，所以由sin (2x +π6)=34可得x 1+x 2=π3,x 3+x 4=73π，因此∑x i n i=1=83π,tan 83π=tan (3π−π3)=−√3． 所以答案是：−√3． 解答题 17、已知sinα=1517，cosβ=−513，且α∈(π2,π)，β∈(π2,π)，求cos(α+β)，sin(α−β).答案：cos(α+β)=−140221；sin(α−β)=21221.分析：本题先求cosα、sinβ，再求cos(α+β)、sin(α−β)即可解题.解：∵sinα=1517，∴ cosα=±√1−sin 2α=±817，∵ α∈(π2,π)，∴ cosα=−817， ∵ cosβ=−513，∴ sinβ=±√1−cos 2β=±1213，∵ β∈(π2,π)，∴ sinβ=1213， ∴ cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=(−817)×(−513)−1517×1213=−140221；sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=1517×(−513)−(−817)×1213=21221. 小提示：本题考查同角三角函数关系，两角和差的正余弦公式，是基础题.18、一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点P 0）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度ℎ（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？答案：（1）ℎ=2sin(2πt3−π6)+1(t≥0)；（2）有1s时间点P距水面的高度超过2米.分析：（1）设ℎ=asin(ωt+φ)+b，根据题意求得a、b的值，以及函数ℎ=asin(ωt+φ)+b的最小正周期，可求得ω的值，根据∠BP0O的大小可得出φ的值，由此可得出ℎ关于t的函数解析式；（2）由ℎ>2得出sin(2πt3−π6)>12，令t∈[0,3]，求得2πt3−π6的取值范围，进而可解不等式sin(2πt3−π6)>12，可得出t的取值范围，进而得解.（1）设水轮上圆心O正右侧点为A，y轴与水面交点为B，如图所示：设ℎ=asin(ωt+φ)+b，由OB=1，OP=2，可得∠BOP0=π3，所以∠AOP0=π6.∴a=2，b=1，φ=−π6，由题意可知，函数ℎ=2sin(ωt−π6)+1的最小正周期为T=3，∴ω=2πT=2π3，所以点P距离水面的高度ℎ关于时间t的函数为ℎ=2sin(2πt3−π6)+1(t≥0)；（2）由ℎ=2sin(2πt3−π6)+1>2，得sin(2πt3−π6)>12，令t∈[0,3]，则2πt3−π6∈[−π6,11π6]，由π6<2π3t−π6<5π6，解得12<t<32，又32−12=1，所以在水轮转动的任意一圈内，有1s时间点P距水面的高度超过2米.小提示：本题考查三角函数模型的简单应用，根据题意建立函数解析式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.。
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第五章 三角函数1、已知角a 是第四象限的角，则2a 是（ ）A.第一象限的角B.第三象限的角C.第一、三象限的角D.第二、四象限的角 2、下列各角中，与2016°终边相同的角是（ ） A. 210° B.150° C. 140° D.-144° 3、tan 617π的值等于（ ） A.33 B.-33C.3D.-3 4、已知弧长为6cm 的圆弧所对的圆心角的弧度数是1，则该圆的半径是（ ） A. 6 B. 2 C. 3 D. 45、若m 21sinx =+有意义，则m 的范围是（ ）A. ［0，1］B. ［-1，1］C. ［0，2］D. （0，1）6、已知51-cosx -sinx =，则sin2x 的值是（ ）A. 54B. 54- C.2524 D. 2524- 7、若A 是△ABC 的一个内角，且21cos =A ,则A=（ ）A. 6πB.6π或3πC.3πD.323π或π 8、下列结论能成立的是（ ）A. 第一象限角都是锐角B.°140cos °140sin -12=B. C.若a tan =1，则4a π= D. 2.5a cos a sin =+不可能成立 9、设a 为第二象限角，则a cos -1asin 12⨯的值是（ ） A. 1 B. -1 C.±1 D.以上都不是 10、若﹥0a -tan ）（π且﹥0a cos ，则a 是（ ）A. 第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角11、若51a -cos =）（π，且﹥0a tan ，则π）（2-a sin 等于（ ）A.562 B.54 C.-562 D.-5412、若）π，（20x ∈，那么cosx sinx +的取值范围是（ ）A. [1，2]B.(1，2]C.[0，1]D.(0，1]13、函数］2 ［0,x 1sinx y π，∈+=的图像与直线y=x 的交点的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 14、函数()x 2sin 2-1x f =的最大值是（ ）A. -1B. 1C. 0D. 315、已知53sina =，且，π）π（2a ∈，则acos a 2sin 2的值等于（ ）A. 23B. -23C. 43D. 43-16、°15sin ° cos225-°15cos °45sin ⨯⨯的值是（ ） A. 23-B. 21C. 21-D.2317、已知），（，，且，2023cos 21cos πβαβα∈==，则）（βα+sin =（ ） A. 51B.257 C. 53D. 1 18、下列函数中是奇函数的是（ ）A. x sin y =B. ）（3x sin y π+= C. cosx x 2sin y ⋅= D.cosx y =19、对函数sinx 32y =表述不正确的是（ ） A. 在R ∈x 是奇函数且是周期函数 B. 其值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡3232-， C. 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡232ππ，上是减函数 D. 在[]π，0上是增函数 20、函数x 2cos x 2sin 2y ⋅=的最小正周期是（ ） A. 4π B. 2π C. 2π D. π 21、若23sin 21-cos ==βα，，且α和β在同一象限，则）（βα+tan 的值为（ ）A.21-3 B. 23 C. 23- D. 3 22、如果﹤0cos ﹤0sin αα且，则角α的终边落在（ ）A. 第一象限B.第三象限C. y 轴的正半轴上D. 以上都有可能23、已知()==⎪⎭⎫ ⎝⎛απαπ2-cos 53-2sin ，则（ ）A. 53B. 53-C.257 D. 257- 24、函数⎪⎭⎫⎝⎛=2x -6cos y π的最小正周期是（ ）A. πB. 2πC. 4πD. -4π 25、在△ABC 中，如果a=4，b=5，c=7，则△ABC 是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 D.无法确定 26、在△ABC 中，若====∠a 6c 10b , °60，则，A （ ） A. 192 B.19 C. 14 D. 1127、函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=323x sinx y ππ，，的值域是（ ） A. [-1，1] B. [21，1] C. [0，23] D. [23，1] 28、在△ABC 中，a=2，b=2，=∠=∠A B ，则6π（ ） A. 3πA. 4π A. 434ππ或A. 323ππ或 29、要得到⎪⎭⎫⎝⎛=3-x 2cos y π的图像，只需将x 2cos y =的图像（ ）A.向左平移6πB.向左平移3πC.向右平移6πD.向右平移3π30、设A 、B 、C 是三角形的三个内角，则在()()；；C cos B A cos ②C sin B A sin ①=+=+，，则若；，则若B A cosB cosA ④B A B sin A sin ③====这四个式子中正确的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D.4个31、把函数sinx y =的图像向左平移6π个单位，同时把其纵坐标扩大为原来的4倍，则所得图像的解析式为（ ）A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=64sin πx y B.⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin 4πx y C.⎪⎭⎫ ⎝⎛=6-sin 6πx y D.⎪⎭⎫ ⎝⎛=6-4sin πx y32、在△ABC 中，若为，则A ∠++=222c bc b a （ ） A. 6πB. 3π C.32π D.323ππ或 33、函数⎪⎭⎫⎝⎛+=3 x 2sin 3-y ππ的振幅、周期分别为（ ）A. -3，πB. 3，πC. -3，1D. 3，1 34、 函数cosx1sinx 1y +=的定义域是（ ） A. {}Z ∈=k k x |x ，π B.{}Z ∈+=k k 2x |x ，ππC.{}Z ∈≠k k x |x ，πD.{}Z ∈≠k 2k x |x ，π 35、已知23﹤x ﹤223-sinx ππ，且=，则角x 等于（ ） A. 6πB.32π C.34π D.67π36、在△ABC 中，” sin2B sin2A “=是“A = B ”的（ ）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 37、对于R ∈x ，下列等式中恒成立的是（ ） A. ()sinx x sin =+π B.()cosx x -cos = C.()()x -2cos x -cos ππ= D.()()x 2tan x -tan +=ππ 38、满足函数sinx y =和cosx y =都是减函数的区间是（ ）A. Z ∈⎢⎣⎡⎥⎦⎤+k 2k 2k 2，，πππ B.]Z ∈⎢⎣⎡++k k 22k 2，，ππππ C.Z ∈⎢⎣⎡⎥⎦⎤--k 2k 2k 2，，ππππ D.]Z ∈⎢⎣⎡-k k 22k 2，，πππ 39、()°150-sin 的值是（ ） A. 21B.21- C.23 D.23- 1A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件41、若()απααsin 0-53cos ，则，，且∈=的值为（ ） A. 54- B. 53- C. 53± D.54±42、已知336cos =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ65cos 的值为（ ） A.33 B.33- C.36 D.36- 43、已知53sin =α，且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，则αα2cos 2sin 的值等于（ ） A.23B.-23C.43D.43-44、 ° sin70 × ° sin20 - ° cos70°20cos ⨯的值为（ ） A. 0 B.33C. 21D. 2145、已知弧长为12cm 的圆弧所对的圆心角的弧度数是2，则该圆的半径是（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 446、如果﹥0sin α，则角α的终边可能落在（ ）A. 第一象限角B.第二象限角C.y 轴的正半轴上D.以上都有可能 二、填空题 1、已知与52-π终边相同的角中最小正角是 . 2、=πrad 12°；72°= rad. 3、已知角α的终边上点P （-12，5），则cos α的值是.4、在半径为5cm 的扇形中，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为.5、用弧度制表示，终边落在直线x y =上的角的集合是.6、若23-cos =α，且α的终边过点P （x ，2），则α是第象限的角. 7、25sin -cos 0tan 2cos 6sinπ+π++π+π）（= .9、设54sin =α，且α为第二象限角，则=αcos ，=αtan . 10、()=°420-sin . 11、若31sin =α，则 ()=απ-sin ；()=α-sin . 12、计算：=π21-8sin2. 13、已知⎪⎭⎫⎝⎛ππ∈α=α，，22-tan ，则=αcos . 14、-940°12′是第象限的角.15、=+ ° cos240- ° sin330°225tan . 16、=++° tan36° tan24×°36tan 3°24tan . 17、化简°440cos -12的结果是 .18、计算：=+° cos74×° sin76° cos16×°14sin . 19、计算：=° cos75×° cos60×° cos30×°15cos . 20、已知﹤0cos ﹥0sin θθ，，则θ是第象限的角.21、函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛π++⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=6x 2cos 126x 2sin 5x f 的最小值是 ，最小正周期是. 22、与-75°终边相同的角的集合是 .23、函数⎪⎭⎫⎝⎛ππ=4- x sin 2y 的最大值是 .24、已知81cos sin =αα，且2﹤﹤4παπ，则=ααsin -cos .25、在△ABC 中，已知a=7，b=43，c=13，则它的最小内角为 . 26、函数()2cosx sinx x 2cos y ++=的最小正周期是，最大值是，最小值是.27、若532cos =α，则=αα44cos -sin .28、若三角形的两个内角A ，B 满足﹤0cosB ×A sin ，则此三角形是 . 29、=ππ7cos 3-7sin.30、函数()()x 7cos x 11sin y +π+π=的最小正周期是 . 31、若0cos sin =αα，则=α+α44cos sin.32、比较大小：⎪⎭⎫ ⎝⎛π6-sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛π5-sin ；75sin π⎪⎭⎫ ⎝⎛π710-sin . 33、在△ABC 中，若∠B=60°，31A sin =，BC=2，则AC= . 34、在△ABC 中，b=2，c=4，∠A=30°，则△ABC 的面积为 .35、函数()﹥0A 213-2x sin A y ，+⎪⎭⎫ ⎝⎛π=的最大值是27，最小值是25-，则A= .36、已知βαtan tan ，是方程06-x x 22=+的两个根，则()=β+αtan .37、()()()()θ+θ++θ+θ+2° 35cos ×2°80cos 2° 35sin ×2°80sin 的值是 . 38、在△ABC 中，若B 2sin A 2sin =，则△ABC 的形状是 . 39、函数|2x |sin y =的最小正周期是 . 40、3-a cos =α，则a 的取值范围是 .41、在△ABC 中，a=2，∠A=30°，∠C=45°，则∠C 所对的边长为 . 42、若2﹤﹤4παπ，则αααtan cos sin ，，的大小关系是 . 三、大题1、求值： ° sin90 ° 3cos60-° 2tan45°270sin 5++.2、已知()414-tan 52tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛=+πββα，，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα的值.3、已知点P （3，-4）为角α的终边上一点，求αααtan cos sin ，，的值.4、已知23﹤﹤21-sin παπα，=，求ααα2tan 2sin 2cos ，，的值.5、已知在△ABC 中，1312cos 53cos ==B A ，，求C cos 的值.6、已知()θθθθθθθθθ2222cos -sin cos 5-cos sin 2sin f 0cos 2sin +==+，求.7、已知()βαβαα，，，且135cos 54cos =+=都是锐角，求βcos 的值.8、在△ABC 中，已知3c 5b 43tan ===，，C ，求角B.9、已知3tan =α，求αααααααααcos -sin 2cos 4sin 3cos cos 5-cos sin sin 222+++的值.10、已知55sin =α，求αα44cos -sin 的值.11、已知⎪⎭⎫⎝⎛∈==2031tan 21tan πβαβα，，，且，，求()β+αtan 的值.12、已知21cos -sin =αα，求①α2sin ②αα44cos sin + ③α2cos .13、在△ABC 中，已知()1bcc -b -a 22=，求角A.14、设锐角三角形的三个内角A,B,C 的对边分别为a ，b ，c ，且A bsin 2a =.（1）求角B 的大小； （2）若5c 33a ==，，求b.15、在△ABC 中，已知a=6，b=7，c=5,求B cos .16、［2013高］证明：1-°cos20× ° 2sin20-1°20sin -1-°20sin 2=.17、已知1sin b y cos a x =+θθ，1cos b y -sin a x =θθ，求证：2b y a x 2222=+.18、证明：ααααααtan 1tan -1sin -cos cos ×sin 2-122+=.19、求证：()()()()απαπαπααπsin 2--sin 5-tan ×4-cos ×3sin =+.20、在△ABC 中，已知B A bcos acos =,求证：△ABC 为等腰三角形.21、在△ABC 中，已知22b a sin cos sin cos =B A A B ，求证：△ABC 为等腰三角形或直角三角形.22、在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别是A 、B 、C ，且a ，b ，c 成等差数列，求证：B C A sin 2sin sin =+.23、［2011高］已知△ABC 中，C B A sin c sin b sin a ==，求证：△ABC 是等边三角形.24、已知()()βθαθ+=+bsin asin ，求证：βααβθbcos -acos asin -bsin tan =25、已知函数()﹥0b bcosx -a y =的最大值为23，最小值为21-，求a ，b 的值.26、求函数23-x cos 3sinxcosx y 2+=的最小正周期及最值.27、设()()()β+π+α+π= x bcos x asin x f ，其中b a ，，，βα都是非零实数，且满足()1-2013f =，求()2014f 的值.28、［2012高］已知函数在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a 、b 、c 且()B C cos c -a 3bcos =.（1）、求B cos 的值；（2）、若2C B A B =⋅，22b =，求a 和c 的值.29、在△ABC 中，已知C cos b 2a =，试判断三角形的形状.30、在△ABC 中，b 、c 是方程011x 7-x 2=+的两根，∠A=60°，求a 的值.31、设集合{}y -sinx 1A ，=，{}1cosx -y B ，=，且A=B. （1）、求()x f y =的解析式；（2）、求()x f y =的最小正周期、单调区间和最大值.32、求函数x 3sin 2y =的定义域和值域.。