2017-2018学年四川省雅安中学高一下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2017-2018学年四川省雅安中学高一下学期期中考试数学（理）试题一、单选题 1．已知等差数列 的通项公式，则它的公差为（ ）A. 2B. 3C.D.【答案】D【解析】分析：可用后项减前项得出. 详解：∵，∴，∴，故选D.点睛：本题考查等差数列的概念，等差数列的公差是数列的后项减前项，因此只要求出相邻两项即可求得公差.2．已知a b >， c d >，且0cd ≠，则 ( )A. a c b d +>+B. ac bd >C. a c b d ->-D. ad bc > 【答案】A【解析】∵b <a ，d <c ，∴设b =−1，a =−2，d =2，c =3， 选项B ,(−2)×3>(−1)×2，不成立， 选项C ，−2−3>−1−2，不成立， 选项D ，−2×2>−1×3，不成立， 本题选择A 选项. 3．已知向量则下列结论正确的是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：根据向量的坐标运算进行验证. 详解：由已知，A 错误；又，∴不平行，B 错误；，，∴，C 正确；，D 错误.故选C.点睛：平面向量的坐标运算：，则有：，，，，，.4．不等式1021x x -≤+的解集为 ( )A. 1,12⎛⎤-⎥⎝⎦ B. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. [)1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.[)1,1,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】A【解析】试题分析：不等式1021x x -≤+等价于()()1210{ 210x x x -+≤+≠解得112x -<≤，所以选A.【考点】分式不等式的解法.5．已知a>0，b>0，且2是2a 与b 的等差中项，则的最大值为 ( )A. B. C. 2 D. 4 【答案】C【解析】分析：由等差中项定义列出的关系式，再由基本不等式求得最值.详解：∵2是2a 与b 的等差中项，∴，∴，∴，当且仅当时等号成立，故选C. 点睛：本题考查等差中项的概念和用基本不等式求最值，只要掌握相应的概念即可求解，属于基础题. 6．如果依次成等比数列，那么 ( )A. b ＝3， ＝9B. b ＝3，＝－9C. b ＝－3，＝－9 D. b ＝－3，＝9【答案】D 【解析】分析：由等比数列的性质，等比中项的定义求解，注意等比数列中奇数项同号，偶数项同号. 详解：由题意，又，∴，∴，故选D.点睛：本题考查等比数列的概念，等比中项的定义，其中掌握性质：等比数列的奇数项同号，偶数项同号是解题关键.7．如图，在△OAB 中， P 为线段AB 上的一点， OP xOA yOB =+，且2B P P A =,则( )A. 23x =, 13y = B. 13x =, 23y =C.14x=,34y= D.34x=,14y=【答案】A【解析】由题可知OP＝OB＋BP，又BP＝2PA，所以OP＝OB＋23BA＝OB＋23(OA－OB)＝23OA＋13OB，所以x＝23，y＝13，故选A.8．如图,无人机在离地面高的处,观测到山顶处的仰角为、山脚处的俯角为,已知，则山的高度为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由已知得∠ACB＝45°，从而在ΔABC中求得AC，再在ΔACM中求得MC，最后在ΔMNC中求得MC.详解：∵AD//BC，∴∠ACB＝∠DAC＝45°，∴AC＝AB＝，又∠MCA＝180°－60°－45°＝75°，∠MAC＝15°＋45°＝60°，∴∠AMC＝45°，在ΔAMC中，，∴，∴，故选A.点睛：本题考查解三角形的实际应用，首先要掌握测量中的俯角、仰角等概念，其次掌握解三角形的常用定理，如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，解直角三角形等知识，特别要能够通过分析已知条件、隐含条件选用正确的公式求解.9．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何?题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，nS为前n天两只老鼠打洞长度之和，则5S=（）A.153116B.153216C.153316D.1262【答案】B【解析】大老鼠、小老鼠每天打洞进度分别构成等比数列{}{}n na b、，公比分别为2、12。

首项都为1，所以()555111112215321121612S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⨯-⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+=--。

故选B 。

10．若方程对应图形过点，则的最小值等于（ ）A. 3B. C. 4D.【答案】B【解析】分析：将（1，2）代入直线得：+=1，从而a+b=（+）（a+b ），利用基本不等式求出即可．详解：∵直线=1（a ＞0，b ＞0）过点（1，2），∴+=1（a ＞0，b ＞0），所以a+b=（+）（a+b ）=3++≥3+2= ，当且仅当=即a=时取等号，∴a+b 最小值是，故选：B ．点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.11．设等差数列{}n a 满足()2222477456sin cos sin cos 1sin a a a a a a -=+,公差()1,0d ∈-,当且仅当9n =时,数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则该数列首项1a 的取值范围是( )A. 74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B. 74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 43,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【解析】试题分析：等差数列{}n a 满足()2222366345sin cos sin cos 1sin a a a a a a -=+所以()()()()36633663363663s i nc o s s i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n s i n c o s s i na a a a a a a a a a a a a a -+=+=+，()366336sin cos sin cos 1,sin 1a a a a a a -=∴-=或()36sin 0a a +=（舍）；当()36sin 1a a -=时，()363630,3,2,,3,226a a d a a k k Z d d ππππ-=-∈-=+∈∴-==-，且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，故选C ．【考点】数列与三角函数的综合12．.若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析： 详解：不等式在上恒成立，即在上恒成立∴，即设则在上单调递增，∴∴故选：D点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.二、填空题 13．等差数列的前项和，若则______.【答案】8【解析】分析：利用等差数列性质可迅速求解.详解：，故答案为8.点睛：设，数列是等差数列，若，则，特别若，则，利用此性质可简化等差数列的一些计算，不需要再求出首项和公差.14．在中，三个角所对的边分别为．若角成等差数列，且边成等比数列，则的形状为_______．【答案】等边三角形【解析】分析：利用角在成等差数列得，利用边成等比数列得，再用正弦定理化为角的关系，代入化简可得.详解：∵成等差数列，∴，∴，∵成等比数列，∴，∴，，整理得，∴，，从而，∴是等边三角形，故答案为等边三角形.点睛：三角形三角成等差数列，对应三边成等比数列，此三角形为等边三角形，如果利用积化和差公式可很简单得出结论：，，则，由此得为等边三角形.15．在矩形中，，．边上（包含、）上的动点与延长线上（包含点）的动点满足，则的最小值为___________．【答案】【解析】分析：建立直角坐标系，设出P 点坐标，把向量的数量积用坐标表示出来后，可求最小值.详解：以为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，设，则，，，∴ ，∴当时，取最小值，故答案为.点睛：在平面向量的运算中，如果有垂直，则可以建立平面直角坐标系，把向量的运算用坐标表示出来，这样就把形转化为数，使问题得到了简化．象本题求数量积的最小值，通过建立坐标系，函数关系式非常容易找到，而且很方便地求出最小值．这种方法我们在平常学习中要多注意体会．16．如图,在ABC ∆中,D 是边BC 上一点，AB =2AD AC =,1cos 3BAD ∠=，则s i n C =【解析】试题分析：由题意不妨取2AC =,则AB AD ==,且1cos 3BAD ∠=,由余弦定理，可得BD ==,sin BAD ∠=,由正弦定理得sin sin AD BAD B BD ⋅∠==,从而sin sin AB B C AC ⋅==. 【考点】正弦定理、余弦定理的应用.【易错点晴】此题主要考查解三角形中余弦定理、正弦定理方面等知识的综合应用，属于中档题.根据题目中的条件“AB =2AD AC =”，可有多种方法假设，比如：设()20AC t t =>，则AB AD ==；或者取AC =,则有AD AB =，…，代入余弦定理、正弦定理进行运算，注意在取值时候要按照题目所给的比例合理进行，更要注意新引入参数t 的范围.17．某企业生产甲，乙两种产品均需用两种原料，已知生产1吨每种产品需用原料及每天原料的可用限额如下表所示，如果生产1吨甲，乙产品可获利润分别为3万元、【答案】18【解析】设每天生产甲乙两种产品分别为x ，y 吨，利润为z 元，则 ，目标函数为 z=3x+4y ．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域． 由z=3x+4y 得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线经过点B 时，截距最大， 此时z 最大，解方程组，解得，即B 的坐标为x=2，y=3，∴z max =3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元， 故答案为：18．点睛：（1）利用线性规划求最值的步骤①在平面直角坐标系内作出可行域；②考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；③在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；④将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．求线性目标函数最值应注意的问题：求二元一次函数的最值，将函数转化为直线的斜截式：，通过（2）求直线的截距的最值间接求出的最值，应注意以下两点：①若，则截距取最大值时，也取最大值；截距取最小值时，也取最小值．②若，则截距取最大值时，取最小值；截距取最小值时，取最大值．三、解答题18．（1）已知求与的夹角；（2）已知若求实数的值．【答案】(1)(2) .【解析】试题分析：（1）求出的模与积数量积，利用平面向量夹角公式可得结果；（2）先求得，利用向量垂直数量积为零，列方程求解即可.试题解析：（1）夹角为（2），即【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.19．已知在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小：（2）若，．求的面积．【答案】（1）（2）4【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据求出，即可确定出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosA的值代入求出c的值，再由b，sinA的值，利用三角形面积公式求出即可．详解：在中，由正弦定理得．即，又角为三角形内角，，所以，即，又因为，所以．（2）在中，由余弦定理得：，则．即．解得（舍）或．所以．·点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.20．已知函数（1）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）已知中,角的对边分别为,若,求.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据f（A）=3时，求解A，然后利用内角和定理为π求解sinC，最后正弦定理求解c.详解：解：（1）=的最小正周期要使函数的单调递增故函数的单调递增区间（2）在中，由正弦定理得：，即,即点睛：函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.21．已知数列满足：.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和的取值范围.【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】分析：（1）根据等比数列的定义，证明是常数即可；（2）由（1）易求得通项公式；（3）由（2）得，用裂项相消法可求得其前项和．详解：（1）证明：数列是等比数列（其它证法合理也可）（2）解：由（1）及已知是等比数列，公比，从而所以（3）解：由于，．点睛：（1）证明数列是等差数列或等比数列，一般都是用其定义，即证明或为常数；（2）设数列是等差数列，是等比数列，则数列的前项和求法分别为：分组求和法，裂项相消法，错位相减法，这些方法都是特定的数列的求和方法，一定要掌握．。